Rubens Vilhena Fonseca Maria da Glória Costa Lima

Transcrição

Prof. Drª Marília Brasil Xavier
REITORA
Profª. Drª. Maria das Graças Silva
VICE-REITORA
Prof. Dr. Ruy Guilherme Castro de Almeida
PRÓ-REITOR DE ENSINO E GRADUAÇÃO
Profª. M.Sc. Maria José de Souza Cravo
DIRETORA DO CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
Prof. M.Sc. Antonio Sérgio Santos Oliveira
CHEFE DO DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
Prof. M. Sc. Rubens Vilhena Fonseca
COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA
COORDENADOR DO CURSO DE MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA
UNIVERSIDADE DO ESTADO DO PARÁ
CENTRO DE CIÊNCIAS SOCIAIS E EDUCAÇÃO
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA, ESTATÍSTICA E INFORMÁTICA
LICENCIATURA EM MATEMÁTICA MODALIDADE A DISTÂNCIA
Atividades Complementares – Desafios
Geométricos com Palitos de Fósforo.
Rubens Vilhena Fonseca
Maria da Glória Costa Lima
BELÉM – PARÁ – BRASIL
- 2009 -
MATERIAL DIDÁTICO
ELABORAÇÃO DO CONTEÚDO
Rubens Vilhena Fonseca
COLABORAÇÃO
Maria da Glória Costa Lima
EDITORAÇÃO ELETRONICA
Odivaldo Teixeira Lopes
ARTE FINAL DA CAPA
Odivaldo Teixeira Lopes
REALIZAÇÃO
APRESENTAÇÃO.
A nossa preocupação em oferecer às crianças, jovens e adultos, independentemente
de sua classe social, um passatempo economicamente acessível gerou esse livro. Nele são
propostos 100 “problemas”, com soluções, que oferecem uma opção para jogos individuais
e/ou coletivos e apresentam concomitantemente um recurso educacional pelos desafios que
propõem. Por serem utilizados apenas palitos de fósforo, na sua resolução, o desafio poderá
ser proposto em qualquer lugar, exigindo o mínimo recurso no ambiente no qual acontecerá.
Esta será, certamente, uma brincadeira divertida para os que dela queiram fazer uso.
A maioria dos desafios apresentados exige, de quem os enfrenta, um mínimo de
entendimento matemático, embora tenha todo um conhecimento científico sustentando suas
proposições.
Além de uma simples opção de divertimento, os desafios que compõem esse livro
podem ser um recurso didático para o professor ou, no mínimo, uma fonte de idéias para
que ele pense em renovar as suas aulas, tornando-as mais divertidas e atraentes. Esta
proposta seria viável desde o ensino fundamental onde o senso comum dos desafios
enquanto brincadeira está mais presente e o lúdico é mais notório, até o ensino superior em
disciplinas como a Lógica, por exemplo, devido à variedade de opções de conteúdos que
podem ser desmembrados a partir desses desafios. Desse modo, o processo do
desenvolvimento e da compreensão de conceitos matemáticos de forma mais significativa
estaria sendo favorecido, possibilitando a aplicação em situações-problema
contextualizadas e/ou interdisciplinares, conforme sugerem os PCNs, bem como se
desenvolveria uma visão positiva em relação à Matemática, que
é temida e
“incompreensível” para muitos.
É consenso que os jogos estimulam o pensamento na construção do raciocínio
lógico e reflexivo através das resoluções dos quebra-cabeças porque é uma das atividades
que mais envolvem os alunos. “O que é Matemática senão a solução de quebra-cabeças? E
o que é Ciência senão um esforço sistemático para obter respostas cada vez melhores para
os quebra-cabeças impostos pela natureza”. (Martin Gardner,). Assim, de uma forma geral,
os desafios que propomos nesse livro devem exercer uma grande atração sobre crianças,
jovens e adultos permitindo, principalmente às crianças, a organização do pensamento
lógico-abstrato necessário ao desenvolvimento das idéias matemáticas.
O jogo em geral é um elemento externo que atua internamente no sujeito,
possibilitando-o a chegar a uma nova estrutura de pensamento. Colocar o aluno diante de
situações de jogo pode ser uma boa estratégia para aproximá-lo dos conteúdos culturais a
serem veiculados na escola como também estar promovendo o desenvolvimento de novas
formações cognitivas.
Os desafios que esse livro propõe podem ser utilizados na sala de aula como
motivadores para o estabelecimento de situações que levem o indivíduo a construir,
identificar, diferenciar, reconhecer e comparar formas geométricas, visualizar figuras,
analisar características das construções, conjecturar sobre relações entre os jogos, observar
movimentos realizados no plano, as simetrias das formas, a conservação da forma após a
realização de um movimento, etc. Podem ainda estimular, nessas ocasiões, habilidades de
raciocínio como organização, atenção e concentração, tão necessárias ao aprendizado da
Matemática bem como suscitar a curiosidade em relação a outros tipos de desafios uma
vez que as figuras dos quadrados, triângulos e polígonos são muito estudadas.
Grande parte desses desafios é conhecida de longa data porém as construções e as
observações pedagógicas direcionadas ao professor são de importância relevante porque
acredito que se todos nós fôssemos apresentados aos jogos e desafios desde cedo,
fazendo com que os mesmos estivessem em nossas vidas naturalmente possibilitaríamos,
por esse meio, o desenvolvimento do raciocínio independente. Essa minha crença é
reforçada por um relato feito por uma colega de trabalho que não teve a oportunidade de
vivenciar vitórias ou fracassos que envolvem os desafios sente-se “atordoada” quando com
eles se depara chegando a “desconfiar” do seu raciocínio lógico. Isso faz-nos ver que se
esconde em seu interior o medo enraizado das cobranças feitas por pais e/ou mestres
rigorosos. Certamente eles não tiveram a visão pedagógica do lúdico como elemento de
aprendizagem deixando essa lacuna, ainda hoje, não compreendida em sua formação.
Daí a importância de oferecer às crianças atividades dinâmicas, quer na escola ou
em casa, que irão contribuir para a construção de sua personalidade com esse “jogo” de
errar e acertar no qual o medo de errar será eliminado pela vontade de acertar. Assim,
obviamente, a criança “acorda” para a beleza do pensar, do desenvolvimento da
criatividade, do desafiar-se, do vencer, do construir estratégias, do agir livremente porém
com objetividade, do concluir que a derrota é um indicativo para que suas estratégias sejam
revistas já que desafiar e ser desafiado são experiências que estão presentes no nosso
cotidiano, mesmo que inconscientemente e, sem as quais, o espírito humano deixa de
manifestar-se livremente, como diz Leibniz “os jogos auxiliam a inteligência. Nos jogos o
espírito humano se manifesta mais livremente. Seria desejável que existisse um curso
inteiro de jogos tratados matematicamente”.
Todos os desafios presentes neste livro já foram experimentados por uma variedade
de pessoas que abrange desde os alunos das séries iniciais do ensino fundamental, onde
tenho colegas atuando, até com futuros professores de Matemática e de Formação de
Professores para as séries inicias, com os quais trabalho. O feedback dado por eles muito
contribuiu para termos a coragem de querer publicar este livro.
Enfim, acredito que o livro é um prazer em perfeita simbiose com o aprender em
seus cem desafios, mais quatro, aqui apresentados.
CONSIDERAÇÕES E SUGESTÕES FINAIS
O livro foi dividido em seis partes assim classificadas: I-Quadrados; II-Retângulos,
Triângulos e Losangos; III - Miscelânea; IV - Áreas; V - Igualdade e VI - Os Romanos. Os
desafios foram agrupados por semelhança de tema para que possam ser apresentados de
forma mais coerente, porém sem a obrigação de que sejam desfrutados em uma seqüência
específica porque eles são independentes entre si. No final do livro são apresentadas as
soluções. Esperamos, é óbvio, que o leitor apenas as consulte depois de ter se confrontado
com os desafios por um período de tempo razoável. Assumimos, porém, que as soluções
apresentadas podem não ser as únicas possíveis.
“Antes de iniciar a resolução dos desafios, leia as seguintes considerações que
julgamos serem importantes”:
 Você vai encontrar mais de 100 desafios que vão mexer com a sua imaginação.
 Esses desafios se utilizam dos palitos de fósforo.
 Procure uma superfície plana para dispor os palitos e arrume-os com cuidado,
observando o número de peças que vão ser utilizadas e o seu tipo.
 Alguns desafios são bem fáceis, outros “divertidos” e há os que exigirão um maior
esforço. Não desanime! Tente mais um pouco! Dê-se a oportunidade de vencer,
pela persistência em tentar resolver.
Prof. Rubens Vilhena Fonseca
Universidade Estadual do Pará
Centro de Ciências Sociais e Educação
IMPORTANTE:
 Mover um palito de fósforo significa mudá-lo de posição sem
alterar o número total de palitos.
 Retirar um palito de fósforo significa que ele não fará parte da
resposta, portanto, ficará reduzido o número de palitos dados
no enunciado do problema.
 Acrescentar um palito de fósforo significa que o número total
dado no enunciado será aumentado quando da resposta.
I. Quadrados
Observe a figura abaixo:
Para formar os 5 quadrados que a compõem foram utilizados 12 palitos.
Com imaginação e muita criatividade tente resolver os 6 primeiros desafios propostos.
Mova:
1) 3 palitos e forme 3 quadrados.
Retire:
5) 3 palitos e mova 2 para formar 3 quadrados.
6) 1 palito e mova 4 para formar 11 quadrados.
Nos desafios 7, 8,9,10 e 11 mova:
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Departamento de Matemática, Estatística e Informática
Licenciatura em Matemática Modalidade a Distância
9) 3 palitos e forme 4 quadrados interligados.
10
Os desafios seguintes são sobre a figura abaixo.
Retire:
13) 5 palitos para formar 6 quadrados .
14) e 15) 6 palitos para formar 5 quadrados (duas soluções).
16) e 17) 8 palitos e forme 5 quadrados (duas soluções).
19) e 20) 8 palitos e forme 2 quadrados (duas soluções).
11
A figura abaixo possui vários quadrados, retire:
21) 9 palitos de modo que não reste nenhum quadrado na figura.
22) Na figura abaixo, retire 3 palitos e forme 3 quadrados.
A figura abaixo refere-se as questões 23 e 24
23) Retire 5 palitos e forme 3 quadrado.
12
24) Retire 6 palitos e forme 2 quadrados.
13
Temos 6 palitos de fósforos. Dois estão quebrados ao meio. Use todos os palitos e forme:
28) 1 quadrado.
29) 2 quadrados.
30) 3 quadrados.
31) 4 quadrados.
Pegue palitos e construa a figura abaixo.
14
32) Retire, primeiramente, 2 palitos e forme 5 quadrados;
33) Da figura que você construiu acima, mova 2 palitos e forme 4 quadrados.
Nos desafios 34,35 e 36, observe as figuras e mova:
15
36) 4 palitos e forme um outro quadrado menor sem sobrepor os palitos.
Nos desafios 37 e 38 considere a figura abaixo e construa:
37) 4 quadrados movendo 3 palitos.
38) 8 quadrados de mesma área com 15 palitos. Não é permitido quebrar palitos.
Observe a figura abaixo e vença mais estes desafios, movendo:
39) 3 palitos e formando 3 quadrados.
40) 4 palitos e formando 3 quadrados.
16
II. Retângulos, Triângulos e Losangos.
41) Mova 3 palitos e forme 4 triângulos.
Observe a figura abaixo e resolva os desafios seguintes. Para isso, mova:
42) 4 palitos e forme 3 triângulos.
Retire:
47) 3 palitos e forme 3 triângulos interligados.
17
Resolva os desafios sobre a figura abaixo, movendo:
48) 6 palitos e formando 6 losangos.
49) 2 palitos e formando 6 triângulos.
50) Na figura abaixo mova 2 palitos e forme 6 triângulos.
51) Na figura abaixo retire 4 palitos e forme 4 triângulos.
18
52) Mova 1 palito e forme 4 retângulos.
53) Na figura, os quatro triângulos foram construídos usando-se 9 palitos. Retire três e
construa 4 triângulos novamente.
54) Mova 3 palitos e forme 8 triângulos.
55) Mova 4 palitos, na figura abaixo, de modo a obter 3 triângulos.
19
A figura abaixo foi construída com 13 palitos de fósforos. Tente resolver os desafios
56,57, 58 e 59, retirando:
56) 2 palitos de modo a ficarem 4 triângulos.
A figura abaixo deve ser utilizada para resolver os desafios 60 e 61 e dela se deve
retirar:
60) 4 palitos para obter 5 triângulos.
61) 6 palitos para que fiquem apenas 3 triângulos.
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III- Miscelânea
62) O peixinho da figura está nadando para a esquerda. Mova 3 palitos para que ele nade no
sentido contrário.
63) F aça com que o “bichinho” abaixo olhe para a direita, movendo dois palitos.
64) Movendo 6 palitos nesses dois copinhos, forme uma casinha.
21
Tente colocar o gelo fora do copinho, sem mexê-lo do lugar, movendo:
65) 2 palitos.
66) 3 palitos.
67) O “pirulito” abaixo foi formado com palitos. Mova 4 palitos e forme 2 “pirulitos”.
Mova:
68) 2 palitos e dobre o valor do número abaixo.
69) 5 palitos e coloque a balança em equilíbrio.
22
70) 2 palitos e acrescente mais 1 para obter o tempo exato das 4 e meia.
71) 2 palitos e forme 4 polígonos de mesma forma.
72) Acrescente 3 palitos e obtenha 11.
73) Consiga o nome de outra nota musical com o mesmo número de palitos (desconsidere a
falta do acento).
23
IV- ÁREAS
Nos desafios seguintes, considere cada palito com o comprimento de 1 cm
74) 14 palitos formam uma área de 12 cm2 . Mova 8 palitos de modo que a área passe a ter
8 cm2.
75) Adicione 2 palitos à figura de modo que a sua nova área seja o dobro da apresentada.
Nos desafios 76, 77 e 78, observe a figura e mova:
76) 5 palitos de forma a reduzir a área da figura pela metade.
24
77) 3 palitos de forma que a área da nova figura seja 5/9 da área original.
78) 3 palitos e reduza a área da figura em 2/3.
Nos desafios 79 e 80, 20 palitos estão divididos em 2 grupos A e B, A com 6 e B com 14.
Cada grupo forma um polígono fechado cuja medida da região interior do grupo B é o
triplo da medida da região interior do grupo A.
79) Divida esses 20 palitos em dois grupos de 13 e 7 palitos e forme polígonos fechados
cuja medida da região interior de um grupo também seja o triplo da medida da região
interior do outro grupo.
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80) Desloque um palito do grupo B para o grupo A e forme dois novos polígonos com 15(B)
e 7(A) palitos de modo que a medida da área de um seja também o triplo da medida da
área do outro.
81) Acrescente 11 palitos ao quadrado abaixo de maneira que ele fique dividido em quatro
partes com a mesma área.
82) Divida o quadrado em duas regiões iguais utilizando os quatro palitos.
26
V. IGUALDADES
As igualdades dos desafios 83, 84, 85, 86, 87 e 88 como se pode ver estão incorretas
então, para torná-las verdadeiras, mova:
83) 1 palito.
84) 1 e retire 1.
85) 2 palitos.
Mova apenas 1 palito em cada um dos desafios 86, 87 e 88, de modo a tornar as igualdades
verdadeiras.
86)
87)
27
88)
VI – OS ROMANOS
Como se pode ver, a igualdade acima está incorreta. Para torná-la verdadeira, mova:
89) 1 palito.
90) 3 palitos (duas soluções).
Nos problemas abaixo, mova apenas um palito para que as igualdades fiquem corretas.
91)
92)
93)
28
94)
95)
96)
97)
98)
99)
100) Mova um palito e torne a igualdade verdadeira com aproximação de duas casas
decimais exatas.
29
EPÍLOGO
Nosso livro chegou ao fim e nosso desejo é que
ele tenha sido um companheiro constante e divertido
para você e todos ao seu redor.
Não poderíamos nos despedir sem parabenizá-lo
pelo seu esforço em resolver os desafios aqui
propostos. E como forma de incentivá-lo deixaremos 4
probleminhas extras para você se divertir.
Até a próxima, se Deus quiser.
Usando palitos forme os números 0, 2, 4, 5, 6, 7, 8 conforme se vê abaixo:
Nos desafios a seguir você deve dizer qual o número mínimo de palitos, e como eles
devem ser movidos para conseguir o que se pede.
1) A partir de 25, escreva 52.
5) Quatro quadrados estão sendo formados por 16 palitos. Tente retirar 2 palitos,
movimentando 4 deles para obter ONZE.
6) Em baixo há 3 quadrados e 1 palito solto. Retire 2 palitos, movimente 1 e obtenha OITO.
30
Uma Breve História do Fósforo
A
lguém já disse antes da invenção dos fósforos que fazer fogo não era nada fácil.
Pode-se até dizer que era “fogo” mesmo. Embora a humanidade tenha aprendido a
obter o fogo na última Era Glacial o registro dos métodos utilizados datam de 4000
a.C. A imagem de dois pedaços de madeira sendo friccionados a uma pedra (de
preferência o sílex e o quartzo duro), que é tão famosa, retrata a realidade de então.
Durante muito tempo foi assim mesmo, friccionando-se pedaços de madeira e pedras é que
se obteve o fogo.
Os “fósforos” tornaram-se conhecidos dos Chineses no século VI. Eram simples
varinhas com enxofre que se acendiam em contato com a chama e entre 1669 e 1675 o
alquimista alemão, de Hamburgo, Henning Brandt, descobriu o elemento fósforo e suas
propriedades inflamáveis quando buscava transformar alguns metais em ouro. Usou para
isso compostos que agregavam areia e até a urina do próprio pesquisador. Entretanto, só
muito tempo depois, através de um longo processo de descobertas e experimentações é
que se conseguiu chegar aos palitos de fósforo que conhecemos hoje.
No Ocidente as primeiras experiências ocorreram em 1680 quando o físico e químico
inglês Robert Boyle, tentando encontrar um novo explosivo percebeu, por acaso, as
propriedades explosivas do elemento químico “fósforo” quando observou que ao ter mexido
suas misturas químicas com um palito ela secou, em forma de lágrima, que continha fósforo.
E então para eliminá-la ele raspou contra a pedra do laboratório e viu arder fogo, nascendo
naquele momento o fósforo de fricção.
Então, em 1845 a descoberta do fósforo amorfo por Anton Von Schrotte levou à
fabricação de palitos de segurança onde apenas uma porção dos ingredientes para
combustão encontrava-se na cabeça do palito. Já na superfície de atrito da caixinha de
fósforos era passada uma camada de fósforo amorfo fazendo com que o palito só pegasse
fogo após o atrito da sua cabeça nesta superfície. Fácil e seguro, pois do contrário, muita
caixa de fósforos sairia explodindo por aí.
A cabeça do palito de fósforo é feita de uma massa química mas não contém fósforo
nem pólvora como muita gente pensa. Esta massa contém um elemento químico chamado
clorato de potássio que cede oxigênio facilmente. É na lixa da caixinha de fósforos que se
encontra o elemento químico fósforo e a cabeça do palito quando risca a lixa retira dela um
pouco de fósforo que reage com o clorato de potássio e o oxigênio. Assim, o fósforo acende
e daí a origem do nome que deriva do grego e significa portador de luz.
A palavra fósforo é proveniente do grego phos, que significa luz e phoros, que
significa transportador.
No
dicionário
Aurélio
você
encontra
as
seguintes
definições:
Fósforo: --1. Elemento de número atômico 15, não metálico, reativo, com diversos
compostos importantes. (Símbolo: P. É um elemento luminoso na obscuridade, e que arde
em contato com o ar.) 2. Palito provido de uma cabeça composta de corpos que se inflamam
quando atritados com uma superfície áspera.
A idéia de uma pequena lasca de madeira impregnada de enxofre como maneira
habitual de acender o fogo surgiu em 1800 e os primeiros fósforos foram comercializados
em 1830 pelo químico inglês Jonh Walker, em Londres; chamou-lhes primeiro de fósforos
“lucíferos”, mas como a palavra lembrava Lúcifer, príncipe dos demônios, as pessoas diziam
que tudo aquilo fazia pensar no inferno, então, depois, chamo-os «fósforo de Prometeu» por
ser a esta personagem mitológica a quem competia manter o fogo sagrado.
Desde a descoberta do fogo (um dos maiores marcos do desenvolvimento da história da
humanidade) o homem percebeu que dominá-lo seria fundamental para a segurança e
evolução de sua espécie.
31
RESOLUÇÃO
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Questões Extras
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Rubens Vilhena Fonseca Maria da Glória Costa Lima

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