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APOSTILA DE MATEMÁTICA 2016
3º ANO
PROFESSOR: DENYS DOMICIANO
YOSHIDA
PERÍODO: NOTURNO
MATEMÁTICA - 3º ANO – ENSINO MÉDIO TÉCNICO - 2016
1
Sumário
1.Análise combinatória..................................................................................................................4
1.1 Princípio Fundamental da Contagem......................................................................................4
1.2 Fatorial.....................................................................................................................................7
1.3 Permutações simples............................................................................................................10
1.4 Arranjo simples......................................................................................................................13
1.5 Combinações simples...........................................................................................................14
1.6 Números Binomiais...............................................................................................................17
1.7 Triângulo de Pascal...............................................................................................................18
1.8 Binômio de Newton...............................................................................................................20
2.Geometria Analítica..................................................................................................................23
2.1 Distância entre dois pontos...................................................................................................23
2.2 Ponto médio de segmento.....................................................................................................25
2.3Condição de alinhamento de três pontos distintos ................................................................27
2.4 Coeficiente angular de reta...................................................................................................29
2.5 Equação geral da reta...........................................................................................................30
2.6 Equação reduzida da reta.....................................................................................................30
2.7 Posições relativas entre duas retas.......................................................................................31
4. Números complexos................................................................................................................36
4.1 Unidade imaginária................................................................................................................36
4.2 Definição................................................................................................................................37
4.3 Operações com complexos...................................................................................................40
4.4 Inverso de um número complexo..........................................................................................43
4.5 Potências de i........................................................................................................................44
4.6 Representação geométrica dos números complexos...........................................................48
4.7 Módulo de um complexo.......................................................................................................50
2
4.8 Argumento de um complexo..................................................................................................50
5. Polinômios...............................................................................................................................54
5.1 Definição................................................................................................................................54
5.2 Polinômio nulo.......................................................................................................................55
5.3 Valor numérico de um polinômio...........................................................................................56
5.4 Operações com polinômios...................................................................................................58
5.5 Teoremas sobre divisão de polinômios.................................................................................61
5.6 Dispositivo de Briot-Ruffini....................................................................................................62
Exercícios de vestibulares...........................................................................................................67
Referências bibliográficas...........................................................................................................94
3
1. Análise Combinatória
A partir da necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos jogos de azar foi
desenvolvida a Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de
contagem. Os estudos sobre Análise Combinatória foram iniciados pelo matemático italiano
Niccollo Fontana (1500-1557), conhecido como Tartaglia. Depois estudada pelos franceses
Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa
desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número de elementos de
um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.
1.1 Princípio fundamental da contagem
Princípio Fundamental da Contagem também é conhecido como Regra do Produto, um
princípio combinatório que indica quantas vezes e as diferentes formas que um evento pode
ocorrer.
O evento é formado por duas etapas caracterizadas como sucessivas e independentes:
O primeiro estágio pode ocorrer de m modos distintos, o segundo estágio pode ocorrer de n
modos distintos.
Desse modo, podemos dizer que o número de formas diferente que pode ocorrer em um
evento é igual ao produto m. n.
Exemplo
1. Felipe possui 4 calças sociais e 6 camisas, de quantas maneiras distintas poderá associálas?
m. n = 4 . 6 = 24
Felipe pode associar suas roupas de 24 formas diferentes
Exercícios sobre Principio Fundamental da Contagem
1- Com 3 tipos de macarrão e 2 tipos de molho, quantos pratos diferentes de macarronada
podem ser preparados com 1 tipo de macarrão e 1 tipo de molho?
2- Uma determinada viagem pode ser feita de carro, ônibus ou avião. De quantos modos
pode-se escolher o meio de transporte se não for usado na volta o mesmo meio de
transporte usado na ida?
3- Epaminondas quer viajar de Recife a Porto Alegre passando por São Paulo. Sabendo que
há 5 roteiros diferentes para chegar a São Paulo partindo de Recife e 4 roteiros diferentes
para chegar a Porto Alegre partindo de São Paulo, de quantas maneiras possíveis
Epaminondas poderá viajar de Recife a Porto Alegre?
4
4- De quantas maneiras distintas pode-se vestir uma pessoa que tenha 5 camisas, 3 calças, 2
pares de meias e 2 pares de sapatos?
5- Numa lanchonete há 5 tipos de sanduíche, 4 tipos de refrigerante e 3 tipos de sorvete. De
quantas maneiras podemos tomar um lanche composto por um sanduíche, um refrigerante
e um sorvete?
6- Genoveva convidou sete meninas e dez rapazes para sua festa de aniversário. Contando
com ela, quantos casais podem ser formados?
7- Doze cavalos participam de uma corrida. Se nenhum pode ganhar mais de um prêmio, de
quantas maneiras podem ser distribuídos o 1º e o 2º prêmio?
8- Três alunos chegam atrasados a uma palestra. No auditório, só estão vazias 7 cadeiras.
De quantas maneiras eles podem ocupar essas cadeiras?
9- Em uma prova classificatória para as olimpíadas, 10 atletas disputam os 800 metros. Sabese que apenas os quatro primeiros serão classificados para as finais. Quantos resultados
possíveis existem para os quatro primeiros lugares?
10- Dispondo de seis cores, de quantas formas distintas podemos pintar uma bandeira com 3
listras verticais de cores diferentes?
11- Uma churrascaria oferece 30 tipos de salada, dez tipos de carne e cinco tipos de
sobremesa. Asclépio resolveu optar por um tipo de salada, um tipo de carne e um tipo de
sobremesa. Quantas opções ele tem para montar seu prato?
12- Uma comissão de uma câmara de vereadores será composta por 1 presidente, 1 secretário
e 1 relator. Considerando que essa câmara possui 18 vereadores, de quantos modos pode
ser formada essa comissão?
13- Um cofre de segurança possui um disco com as 26 letras do alfabeto e dois outros
numerados de 1 a 9. o segredo do cofre consiste em 4 letras distintas, em uma
determinada ordem, e 2 números distintos, também em ordem. Considerando que as letras
devem sempre anteceder os números, quantos segredos diferentes podem ter o cofre?
5
14- Com os algarismos 0,1,2,3,4,5,6 e 7, quantos números de 3 algarismos:
a) podemos formar?
b) distintos podemos formar?
15- Quantos números naturais de quatro algarismos distintos existem?
16- Quantos são os números de quatro algarismos formados somente por algarismos ímpares?
17- Quantos números naturais ímpares de 4 algarismos distintos podemos formar com os
algarismos de 0 a 9?
18- As placas de automóveis são formadas por 3 letras e 4 algarismos. Quantas placas
podemos formar, utilizando apenas as vogais e os algarismos pares?
19- (Cespe-DF) O lanche vespertino dos empregados de uma empresa consiste de uma xícara
de café, um biscoito e um sanduíche. O café é servido com açúcar ou sem açúcar. Há três
tipos de sanduíche e quatro tipos de biscoito. Considerando que um empregado faça um
lanche completo usando apenas uma de cada opção oferecida, o número possível de
maneiras diferentes de ele compor o seu lanche é:
a) Menor que 13
b) Maior que 13 e menor que 17
c) Maior que 17 e menor que 20
d) Maior que 20 e menor que 23
e) Maior que 23
20- (MACK-SP) Com os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6 são formados números de 4 algarismos
distintos. Entre eles, são divisíveis por 5:
a) 20 números
b) 30 números
c) 60 números
d) 120 números
e) 180 números
6
1.2 Fatorial de um número
Denominamos fatorial o produto dos números naturais começando em n e decrescendo até 1,
um fatorial é apresentado da forma n!, onde:
n! = n·(n-1)·(n-2)...(3)·(2)·(1)
Nota: Por definição tanto 0!, quanto 1! são iguais a 1.
Exemplo
1. Calcule 6!
Temos que 6! lê-se 6 fatorial e pela definição:
6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Escrevendo um fatorial a partir de outro fatorial menor
Conforme vimos acima, sabemos que 6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1, porém podemos escrevê-lo em
função de fatoriais menores, tais como 5!, 4!, 3! e 2!:
6! = 6. 5!
6! = 6. 5 . 4!
6! = 6. 5 . 4 . 3!
6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2!
Podemos generalizar a idéia, escrevendo:
n! = n . (n - 1)! = n . (n - 1) . (n - 2)! = n . (n - 1) . (n - 2) . (n - 3) . ... . 1!
Esse procedimento pode ser bastante utilizado para simplificação de expressões ou cálculo de
fatoriais.
Exemplo:
1. Simplifique as expressões abaixo:
a)
6! 6.5.4.3!

 6.5.4  120
3!
3!
b)
(n  2)!
(n  2)!
1
1



n!
n.(n  1).(n  2)! n(n  1) n²  n
Exercícios sobre fatorial
7
21- Calcule o valor dos números fatoriais:
a) 0!
b) 1!
c) 7!
d) 2! + 3!
e) 3! – 2!
f)
2! . 3!
g) 4! . 2!
h) 0! . 5!
i)
(10  5)!
22- Simplifique as expressões:
a)
14!
11!
b)
9!
11!
c)
8!
2!6!
d)
29!30!
28!
e)
40!39!
38!
f)
n!
(n  1)!
8
g)
(n  2)!
(n  3)!
h)
(n  3)!
n!
i)
(n  10)!
(n  8)!
j)
(n  1)!
(n  1)!
k)
(2n  2)!
(2n)!
23- Resolva as seguintes equações fatoriais:
a)
( x  1)!
 72
( x  1)!
xN / x  3
b)
n!
2
(n  2)!
n N
c)
8( x  3)!
2
( x  4)!
xN
24- (PUC-SP) Se
(n  6)! 720 , então n é igual a:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
9
25- Resolva a equação
( x  1)! 15.( x  1)! tal que x  N .
1.3 Permutações simples
Considere A como um conjunto com n elementos. Os arranjos simples n a n dos elementos de
A, são denominados permutações simples de n elementos.
De acordo com a definição, as permutações têm os mesmos elementos. São os n elementos
de A. As duas permutações diferem entre si somente pela ordem de seus elementos.
.
Cálculo do número de permutações simples
O número total de permutações simples de n elementos indicado por Pn, e fazendo k = n na
fórmula An , k = n (n – 1) (n – 2) . ... . (n – k + 1), temos:
Pn = A n,n = n·(n-1)·(n-2)...(3)·(2)·(1) = n! Portanto:
Pn = n!
Anagramas
Um tipo de exercício no qual se é muito comum o uso de permutação simples é o anagrama,
que consiste em investigar de quantas formas distintas um conjunto poderá ser arranjado.
Exemplo:
1. Quantos números de quatro algarismos podem ser escritos utilizando os números: 2, 3,
4,5?
Observe que o total de números a serem permutados são 4, portanto n=4, e pela definição:
P4=4! = 4.3.2.1 = 24
Os números 2, 3, 4,5 podem dar origem a 24 números distintos de quatro algarismos.
2. Quantos anagramas possui a palavra TECIDO?
A palavra TECIDO possui 6 letras, então n=6, portando pela definição:
P4=6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
A palavra TECIDO possui 720 anagramas.
10
Anagramas com elementos fixos
É um anagrama como os já vistos, porém, um ou mais dos elementos que compõem o conjunto
investigado pode estar fixo, de maneira que não permutará com os demais.
Exemplo
1. Quantos são os anagramas da palavra TECIDO, que começam com C?
Perceba que nesse caso só nos interessam os anagramas começados em C, de maneira que
essa letra é fixa, e a permutação deve ocorrer somente entre as letras: T, E, I, D, O, então
iremos permutar apenas as letras restantes, que são 5, portanto n=5.
P5= 5! = 120
Existem 120 permutações da palavra TECIDO que começam com C.
Exercícios sobre permutações simples
26- Calcule:
a)
P4
b)
P5
c)
P7
d)
P9
e)
P5 2
27- Considere a palavra LUCIANE:
a) Quantos são os anagramas dessa palavra?
b) Quantos anagramas começam por L?
c) Quantos começam com L e terminam em E?
d) Quantos começam por vogal?
11
e) Quantos apresentam as letras ANE juntas e nessa ordem?
f)
Quantos apresentam as letras ANE juntas?
28- Quantos anagramas da palavra VESTIBULAR:
a) Têm juntas as letras V, E, S, T, nessa ordem?
b) Têm juntas todas as vogais?
29- Quantos anagramas da palavra BIGODE têm as consoantes e as vogais dispostas
alternadamente?
30- Com a palavra ADEUS, podemos formar:
a) Quantos anagramas?
b) Quantos anagramas que se iniciam com a letra A?
c) Quantos anagramas que se iniciam com vogal?
31- Qual é o número de anagramas da palavra BRASIL começados por A e terminados por R?
32- Quantos anagramas da palavra FUVEST possuem as vogais juntas?
33- Forme números obtidos pela permutação dos algarismos 2, 3, 4, 8 e 9 e disponha-os em
ordem crescente. Que lugar ocupa o número 43892?
34- Dispostos em ordem crescente todos os números formados pelos algarismos 1, 3, 5, 7 e 9,
sem repetição, que posição ocupa o número 79531?
35- (Unifesp) As permutações das letras da palavra PROVA foram listadas em ordem
alfabética, como se fossem palavras de cinco letras em um dicionário. A 73ª palavra nessa
lista é:
a) PROVA
b) VAPOR
c) RAPOV
d) ROVAP
e) RAOPV
12
1.4 Arranjo simples
Chamam-se arranjos simples todos os agrupamentos simples de p elementos que podemos
formar com n elementos distintos, sendo
p  n . Cada um desses agrupamentos se diferencia
de outro pela ordem ou natureza de seus elementos.
A notação para o número de arranjos simples de n elementos tomados p a p é:
An , p .
Exemplo:
Uma escola possui 18 professores. Entre eles, serão escolhidos: um diretor, um vice-diretor e
um coordenador pedagógico. Quantas são as possibilidades de escolha?
A18,3 
18!
18!

 4896
(18  3)! 15!
Exercícios sobre Arranjo simples
36- Calcule:
a)
A4,3
b)
A4, 4
c)
A5, 2
d)
A8, 4
e)
A10,3
f)
A12,3
g)
h)
A4, 2
A6,5
A9, 2
A7 ,3
1
37- Resolva as equações:
a)
An, 2  2
b)
An, 2  12
c)
An, 2  30
13
d)
An , 4
An ,3
8
38- Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com os elementos do conjunto
E  {1,2,3,4,5} ?
39- Uma empresa possui 16 funcionários administrativos, entre os quais serão escolhidos 3,
que disputarão para os cargos de diretor, vice-diretor e tesoureiro. De quantas maneiras
pode ser feita a escolha?
40- Um clube tem 30 membros. A diretoria é formada por um presidente, um vice-presidente,
um secretário e um tesoureiro. Se uma pessoa pode ocupar apenas um desses cargos, de
quantas maneiras pode-se formar uma diretoria?
41- Júlio deseja pintar a palavra LIVRE em um cartaz de publicidade, usando uma cor em
cada letra. De quantos modos isso pode ser feito, se ele dispõe de 8 cores de tinta?
42- Um estudante tem 6 lápis de cores diferentes. De quantas maneiras ele poderá pintar os
estados da região sudeste do Brasil, cada um de uma cor?
43- Para estimular o uso da bicicleta, o prefeito de uma cidade resolveu premiar os primeiros
colocados de uma corrida de bicicletas ao redor da cidade com uma casa, um carro e uma
bicicleta. De quantas maneiras distintas 20 concorrentes poderão ganhar esses prêmios?
44- Duas pessoas entram num ônibus que tem 7 lugares vagos. De quantas maneiras
diferentes as 2 pessoas podem ocupar esses lugares?
45- Num grande prêmio de Fórmula 1, participarão 20 pilotos e somente os 6 primeiros
marcam pontos. Quantas são as possibilidades de classificação nos 6 primeiros lugares?
1.5 Combinações Simples
Denominamos combinação simples aos agrupamentos formados com os elementos de um
conjunto que se diferenciam somente pela natureza de seus elementos. Nesses casos a ordem
dos elementos não é importante.
Considere A como um conjunto com n elementos p um natural menor ou igual a n. Os
agrupamentos de p elementos distintos cada um, que diferem entre si apenas pela natureza de
14
seus elementos são denominados combinações simples p a p, dos n elementos de A. para
esse cálculo utilizamos a expressão:
C
=
n,p
n!
p!(n-p)!
Exemplo
1. Quantas combinações de 3 letras elementos poderemos formar com os elementos de A
= {a, b, c, d}?
Temos um conjunto A com 4 elementos, ou seja n = 4, e precisamos de uma
combinação desses elementos de 3 a 3, ou seja p = 3, logo, aplicando a expressão:
C
4,3
=
4!
4! 4.3!
=
=
=4
3!(4-3)! 3!1! 3!
Ou seja, podemos criar 4 combinações dos elementos de A, combinados 3 a 3.
Nota: Fica evidente que esse problema pode ser resolvido manualmente, porém, para
um conjunto com mais elementos o trabalho é relativamente árduo.
Exercícios sobre combinações simples
46- Calcule:
a)
C 5, 3
b)
C 8, 4
c)
C9,3
d)
C 7 ,5
47- Em uma classe de 20 alunos, o professor deseja organizar grupos de 5 para trabalhar no
laboratório. Quantos grupos distintos podemos formar?
15
48- Quantas equipes de 3 astronautas podem ser formadas com 20 astronautas?
49- Em um curso de língua estrangeira estudam trinta alunos. O coordenador do curso quer
formar um grupo de três alunos para realizar um intercâmbio em outro país. Quantas
possíveis equipes podem ser formadas?
50- Quantos subconjuntos de 4 elementos possui um conjunto de 8 elementos?
51- (IME-SP) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies
diferentes, podem ser feitas?
52- Um baralho comum possui 52 cartas. De quantas formas distintas um jogador pode receber
5 cartas?
53- No jogo de truco, cada jogador recebe 3 cartas de um baralho de 40 cartas(são excluídas
as cartas 8,9 e 10). De quantas maneiras diferentes um jogador pode receber suas 3
cartas?
54- De quantas maneiras é possível escalar um time de futebol de salão dispondo de 8
jogadores?
55- Resolva a equação:
C x,2  3 .
56- Numa sala temos 5 rapazes e 6 moças. Quantos grupos de 2 rapazes e 3 moças podemos
formar?
57- O conselho desportivo de uma escola é formado por 2 professores e 3 alunos.
Candidataram-se 5 professores e 30 alunos. De quantas maneiras diferentes esse
conselho pode ser eleito?
58- Uma associação tem uma diretoria formada por 10 pessoas: 6 homens e 4 mulheres. De
quantas maneiras podemos formar uma comissão dessa diretoria que tenha 3 homens e 2
mulheres?
16
59- Num grupo de 4 rapazes e 7 moças, quantas comissões com 2 rapazes e 2 moças
podemos formar?
60- Em uma seleção de futebol, existem 8 jogadores de ataque, 6 de meio-campo, 6
defensores e 3 goleiros. Quantos times diferentes podem ser formados utilizando-se 1
goleiro, 4 defensores, 3 meio-campistas e 3 atacantes?
1.6 Números Binomiais
Para compreender melhor o conceito de números binomiais é necessário relembrar situações
que envolvem produtos notáveis. A partir da expressão
n
(x + y) iremos calcular as expressões seguintes, com n ≤ 3.
( x  y) 0  1
(x + y)¹ = x + y
(x + y)² = x² + 2xy + y²
(x + y)³ = x³ +3x²y + 3xy² + y³
Com base no desenvolvimento das expressões onde n ≤ 3, podemos estabelecer uma relação
para cálculos quando n > 3. Observe:
( x  y) 4  1 = (x + y)(x + y)³ = (x + y)*( x³ +3x²y + 3xy² + y³)
x 4 + 3x³y + 3x²y² + xy³ + xy³ + 3x²y² + 3xy³ + y4
x 4 + 3x³y + 6x²y² + 2xy³ + y4
Podemos verificar que com n > 3, os cálculos começam a ficar mais complexos e trabalhosos.
Podemos definir os coeficientes binomiais através da expressão:
n
n!
 =
p
p!(n-p)!
 
Casos Particulares
1. Quando p = 0:
17
n
n!
n!
= = 1,  
  =
0!(n-0)!
n!
0
2. Quando p = 1:
n
n!
n(n-1)!
=
= n,  
  =
(n-1)!
 1  1!(n-1)!
3. Quando p = n:
n
n!
n!
=
= 1,  
  =
 n  n!(n-n)! n!(0)!
1.7 Triângulo de Pascal
O triângulo de Pascal é uma tabela na qual podemos dispor os coeficientes binomiais, onde
coeficientes de mesmo numerador agrupam-se em uma mesma linha, enquanto coeficientes de
mesmo denominador agrupam-se em uma mesma coluna:
0
 
0
 1   1
  
 0   1
2 2  2
   
 0   1  2 
3  3  3  3
    
 0   1  2   3 
44444
     
 0   1  2   3   4 
.......................................
k  k  k  k  k 
k 
          .......  
0
1
2
3
4
     
k 
Calculando os valores dos coeficientes acima, temos uma outra representação do triângulo de
Pascal:
18
1
1
1
1
2
1
1
1
3
4
3 1
6 4 1
1
5 10 10 5 1
Exercícios sobre números binomiais
61- Calcule os seguintes números binomiais:
a)
 4
 
3
b)
 20 
 
18 
c)
9
 
 2
d)
10 
 
7 
e)
12 
 
9 
f)
 30 
 
1 
g)
 n  1


n 
19
62- Calcule E, sendo
.
63- Calcule o valor de x nas equações:
a)
9  9
    
 x  3
b)
12  12 

  

 2 x  1  x  1
64- Ache o conjunto solução da equação:
 n  3

  21
2 
65- Simplifique a expressão:
 x
 
5 
 x
 
4
1.8 Binômio de Newton
Denomina-se Binômio de Newton, a todo binômio da forma (a + b)n , sendo n um número
natural.
Exemplo:
1. B = (3x - 2y)4 ( onde a = 3x, b = -2y e n = 4 [grau do binômio] ).
Teorema do Binômio de Newton
20
Sendo x e y dois números reais e n um número natural, temos:
n
n
n
 n 
n
n
0
n-1
1
n-2
2
1
n-1
0
n
=   .a .b +   .a .b +   .a .b +...+ 
 .a .b +   .a .b
0
1
2
n-1
n
 
 
 


 
n
(a+b)
Ou utilizando o símbolo somatório:
n
n
n
(a+b) =  k  .a .b
 
n-k
k
k=0
Exemplo:
1. Desenvolva (2x + 3)3 através do teorema binomial:
Aplicando a expressão acima, temos:
(3x+2)
4
 4
 4
 4
 4
4
3
2
1
0
0
1  4
2
3
4
=   .3x .1 +   .3x .1 +   .3x .1 +   .3x .1    .3x .1
0
 1
 2
3
0
4
4
3
2
(3x+2) =81x +216x +216x +96x
 16
Exercícios sobre Binômio de Newton
66- Desenvolva os binômios:
a)
(2 x  1) 4
b)
(3x  y) 5
c)
(4  a) 7
d)
( x  3) 4
1 5  .
5
67- Determine
68- Calcule, utilizando a fórmula do binômio de Newton:
4  2 
1 3 
3
a)
4
b)
21
69- Determine o termo pedido no desenvolvimento dos binômios abaixo:
a) O quarto termo de (4 x  1)
b) O sétimo termo de ( x  1)
c) O quinto termo de
7
10
( x 2  y) 8
70- Determine a soma dos coeficientes no desenvolvimento de ( x  y ) .
9
22
2. Geometria Analítica
A Geometria Analítica foi concebida por René Descartes. Aliando a Álgebra à Geometria, ela
possibilita o estudo das figuras geométricas, associando-as a um sistema de coordenadas.
Desse modo, as figuras podem ser representadas de pares ordenados, equações ou
inequações. Neste número do Aprovar iremos estudar o ponto e a reta.
SISTEMA CARTESIANO ORTOGONAL
Dado um plano a dois eixos x e y perpendiculares em O. O par de eixos x (Ox), eixo das
abscissas, e y (Oy), eixo das ordenadas, chama-se sistema cartesiano ortogonal, onde o
plano
é o plano cartesiano e o ponto O é a origem do sistema.
2.1 Distância entre dois pontos
Dados dois pontos, A e B, onde A = (x1, y1) e B= (x2, y2), é concebível que estejam a uma
distância, podemos calcular essa distância por meio da expressão:
d ( A, B)  ( x2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
Exemplo
1. Calcule a distância entre os pontos A (3, 2) e B (1, - 2).
Aplicando a fórmula, temos:
d ( A, B)  ( x 2  x1 ) 2  ( y 2  y1 ) 2
d ( A, B)  (1  3) 2  (2  2) 2
d ( A, B)  (2) 2  (4) 2
d ( A, B)  4  16
d ( A, B)  20
d ( A, B)  2 5
23
A distância entre A e B é 2 5
Exercícios sobre distância entre dois pontos
71- Marque num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais os pontos: A(1,-2), B(0,3),
C(3,-2), D(-3,3), E(-1,-5), F(0,-4).
72- Calcule a distância entre os pontos a seguir:
a)
A(2,5) e B(3,1)
b)
P(4,0) e Q(1,5)
c)
 1 
R ,1 e S (5,1)
 2 
d)
T (0,8) e V (7,0)
73- Calcule a distância do ponto A(3,4) à origem do sistema cartesiano.
74- Calcule o perímetro do triângulo de vértices A, B e C em cada caso:
a)
A(3,0) , B(0,4) e C (0,0)
b)
A(1,3) , B(1,2) e C (5,0)
c)
A(6,1) , B(4,2) e C (3,1)
75- Classifique cada triângulo ABC como isósceles, equilátero ou escaleno:
a)
A(3,1) , B(1,6) e C (2,3)
b)
A(2,3) , B(1,2) e C (2,3)
c)
A(2,0) , B(2,0) e C (0,2 3 )
76- Demonstre que o triângulo de vértices A(-2,4), B(-5,1) e C(-6,5) é isósceles.
77- A distância do ponto A(a,1) ao ponto B(0,2) é igual a 3. Calcule o valor da abscissa a.
24
78- Obtenha o valor de m sabendo que a distância entre os pares de pontos seguintes é d:
a)
A(6, m), B(1,2) e d  13
b)
A(1,2), B(m,2) e d  5
79- Mostre que o triângulo de vértices A (3,1), B(8,1) e C(3,7) é retângulo.
80- Considerando os vértices A(-1,-3), B(6,1) e C(2,-5), verifique se o triângulo ABC é
retângulo.
2.2 Ponto médio de um segmento
Sejam os pontos A, B, há um ponto M, ao qual chamamos ponto médio de AB, pois divide AB
ao meio, temos que XM e YM do ponto médio M são obtidos por meio da média aritmética das
abscissas e ordenadas, respectivamente, dos pontos dos quais M é ponto médio. O cálculo do
ponto M é dado por:
 x +x y +y 
M=  A B , A B 
2 
 2
Graficamente, temos:
Exemplo:
1. Qual o ponto médio do seguimento delimitado por A (3, 2) e B (1, - 2)?
Observando os pontos A e B, temos: xA=3, xB=1, yA=2 e yB=-2,
aplicando a fórmula do ponto médio:
 x +x y +y   3+1 2+(-2)   4 0 
M=  A B , A B   
,

,
 (2,0)
2   2
2   2 2 
 2
Exercícios sobre ponto médio de segmento
25
81- Determine o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
a)
A(4,6) e B(8,10)
b)
5 
 2 
A ,6  e B  ,1
3 
 3 
c)
3 
A(0,4) e B ,0 
4 
d)
A(b  2, b) e B(6  b,5b)
82- Qual a distância da origem do sistema cartesiano ao ponto médio do segmento de
extremos (-2, -7) e (-4,1)?
83- Dados os pontos A(4,2), B(6,-5) e C(10,-3), calcule a medida da mediana
AM do triângulo
ABC.
84- Calcule os comprimentos das medianas de um triângulo cujos vértices são os pontos A(2,6), B(-4,2) e C(0,4).
85- Sabendo que A(-1,6) e que o ponto médio do segmento AB é M(3,5), determine as
coordenadas do ponto B.
86- Uma das extremidades de um segmento AB é o ponto A(3,2). Sendo M(-1,3) o ponto
médio desse segmento, determine as coordenadas da outra extremidade do segmento.
87- Uma das extremidades de um segmento é o ponto A(-2,-2). Sabendo que M(3,-2) é o ponto
médio desse segmento, calcule as coordenadas do ponto B, que é a outra extremidade
desse segmento.
88- (UFES) As coordenadas do ponto médio de um segmento AB são (-1,2). Sabendo-se que
as coordenadas do ponto A são (2,5), então as coordenadas de B são:
a) (4,1)
b) (-4,1)
c) (4,-1)
d) (-1,-4)
26
e) N.D.A
89- Determine as coordenadas do baricentro do triângulo ABC nos seguintes casos:
a)
A(1,3) , B(2,1) e C (0,7)
b)
A(3,4) , B(1,3) e C (0,2)
c)
1

A  8,  , B(2,3) e C (4,6)
2

90- O baricentro de um triângulo é o par de coordenadas (4,2) e dois de seus vértices são (1,5)
e (2,8). Determine o terceiro vértice.
2.3 Condição de alinhamento de três pontos distintos
Considere três pontos distintos do plano cartesiano A(x a, ya), B(xb, yb) e C(xc, yc). Esses pontos
estão alinhados se o determinante de suas coordenadas for igual a zero. Ou seja:
Então, basta resolvermos o determinante verificar se três pontos estão ou não alinhados.
Exemplo
1. Vamos verificar se os pontos P(2,1), Q(0,-3) e R(-2,-7) estão alinhados.
Resolução:
Vamos construir a matriz através das coordenadas dos pontos P, Q e R e aplicar Sarrus.
2.(–3).1 + 1.1.(–2) + 1.(–7).0 – [1.(–3).( –2) + 1.0.1 + 2.(–7).1] = 0
– 6 – 2 – 0 – [6 + 0 – 14] = 0
– 8 – 6 +14 = 0
27
–14 + 14 = 0
0=0
Como a igualdade é válida, os pontos estão alinhados.
Exercícios sobre condição de alinhamento de três pontos distintos
91- Verifique se estão alinhados os pontos A, B e C nos seguintes casos:
a) A(3,4), B(1,2) e C(0,3)
b) A(3,-1), B(-2,-6) e C(8,4)
c) A(3,7), B(1,2) e C(0,0)
92- Determine o valor de x para que os pontos A, B e C sejam colineares:
a) A(x,2), B(3,1) e C(-4,2)
b) A(1,-4), B(-3,5) e C(4x,3)
c) A(1,2), B(x,0) e C(3,4)
93- Determine x de modo que os pontos
A(1,3) , B(x,1) e C (3,5) sejam os vértices de um
triângulo.
94- Determine o valor de x para que os pontos
A(2,3) , B(x,7) e C (x,1) sejam:
a) colineares
b) os vértices de um triângulo
95-
(PUC-MG) Determine t, sabendo que os pontos
1 
2 
A , t  , B ,0  e C (1,6) são
2 
3 
colineares.
96- Calcule a área S do triângulo de vértices A, B e C em cada um dos casos:
a) A(1,1), B(3,4) e C(0,4)
b) A(-1,2), B(-4,1) e C(3,0)
c) A(-1,-2), B(-5,-2) e C(-8,1)
28
97- Determine o valor de x para que o triângulo de vértices A(x,-2), B(1,6) e C(3,3) tenha área
igual a 6 u.a.
98- Determine o valor de y para que o triângulo de vértices A(4,3), B(5,y) e C(6,-3) tenha área
igual a 2 u.a.
99- Determine a ordenada y de um dos vértices do triângulo ABC cuja área vale 8 unidades de
área e os vértices são (1,y), B(2,0) e C(3,4).
100- (EEM-SP) os pontos
A(1,1), B(5,4) e C (0, y) são vértices de um triângulo. Ache os
valores de y de modo que a área do triângulo ABC seja numericamente igual a
7
.
2
2.4 Coeficiente Angular de uma Reta
Chamamos de coeficiente angular (m) de uma reta r não perpendicular ao eixo das abscissas,
a um número real m que é calculado pela tangente de um ângulo

entre a reta e o eixo das
abcissas.
m  tg
Caso não seja fornecido o valor do ângulo
 , podemos utilizar outra expressão para o cálculo
do coeficiente angular, de modo que sejam A(xA,yB) e B(xA, yB) pontos pertencentes à reta S,
conforme a figura
29
,
O coeficiente angular m, será dado por:
m 
yB  y A
xB  x A
Exemplo:
1. Determine o coeficiente angular da reta que passa por A(3 , 0) e B (8,4)
Solução:
m
40 4
 1
84 4
2.5 Equação geral da reta
Podemos representar toda e qualquer reta por uma equação do tipo:
ax  by  c  0
Sendo que a, b, c são constantes e com
a  0 ou b  0 .
Exemplos:
São equações da reta
a) 2x + 3y - 4 = 0
b)
-x + 2y- 8 = 0
c) x + 2y = 0
d) –x + 6 = 0
e)
3y - 4 = 0
2.6 Equação reduzida da reta
30
Chamamos equação reduzida da reta, a equação é obtida quando isolamos a variável y. Sendo
essa do tipo:
y 
a
c
x 
b
b
.
Nessa forma é mais fácil destacar o coeficiente linear n da reta, coeficiente esse que lida com a
translação da reta no eixo das ordenadas, pode e é calculado por
Note
que,
da
definição
de
coeficiente
E da definição de coeficiente linear, temos n 
angular,
c
.
b
temos:
m  tg  m 
a
b
c
b.
Assim sendo, podemos escrever a equação reduzida da reta como:
y  mx  n
2.7 Posições relativas entre duas retas
Considere duas retas r e s no plano cartesiano, a posição dessas retas com relação uma à
outra podem ser classificadas como coincidentes, paralelas, concorrentes, conforme abaixo:
Retas Coincidentes
Duas ou mais retas são consideradas coincidentes, se uma reta estiver sobreposta à outra, ou
seja, todos os pontos de r pertencem a s e vice-versa:
r = s (Coincidentes)
r e s são coincidentes
Duas retas coincidentes têm a mesma expressão, ou seja:
r e s são coincidentes se
 r : y  a1x  b1
 a1  a2 e b1  b2

s : y  a2 x  b2
Retas Paralelas
Duas ou mais retas são consideradas paralelas se possuem a mesma inclinação e nenhum
ponto em comum, conforme figura:
r
31
s
r e s são paralelas
Duas retas paralelas tem o mesmo coeficiente angular, ou seja:
r e s são paralelas:
 r : y  a1x  b1
 a1  a2

s : y  a2 x  b2
Retas Concorrentes
Duas ou mais retas são concorrentes quando se interceptam uma com as outras. A intersecção
de duas retas sempre é um ponto.
r
s
r e s são concorrentes
Para duas retas serem concorrentes o valor do coeficiente angular de ambas deve ser
diferente.
r e s são concorrentes, se:
 r : y  a1x  b1
 a1  a2

s : y  a2 x  b2
.
Retas Perpendiculares
Retas perpendiculares são um caso particular de retas concorrentes, duas retas são
perpendiculares se tem intersecção e formam um ângulo de 90º.
r
s
r e s são concorrentes
Para duas retas serem concorrentes o valor de seus coeficientes angulares devem ser o
inverso uma da outra, ou seja:
32
r e s são perpendiculares, se:
 r : y  a1x  b1
1
1
 a1  a2 e a1 
 a2 

a2
a1
s : y  a2 x  b2
.
Exercícios sobre equações da reta
101- Calcule o coeficiente angular do segmento AB em cada caso:
a) A(2,3) e B(3,4)
b) A(4,-1) e B(5,1)
c) A(3,2) e B(4,2)
d) A(-3,-4) e B(-2,-2)
e) A(-1,2) e B(-3,4)
f)
A(2,5) e B(-2,-1)
g) A(-1,4) e B(3,2)
102- Usando o coeficiente angular e a condição de alinhamento de três pontos distintos,
verifique se os pontos A, B e C dados são colineares:
a) A(0,1), B(2,3) e C(4,1)
b) A(2,3), B(0,5) e C(3,-2)
c) A(6,4), B(3,2) e C(-9,-6)
103- Determine a equação fundamental da reta que passa pelos pontos A e B:
a) A(3,4) e B(-1,1)
b) A(-2,-1) e B(5,-2)
c) A(6,0) e B(0,4)
104- Qual a equação da reta que passa pelo ponto A (6,-9) e tem coeficiente angular
1
?
2
105- Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos:
a) A(2,2) e B(4,3)
b) C(-1,6) e D(2,-3)
33
c) R(-3,2) e S(-1, -1)
d)
 1
4 
A ,2  e B 3, 
 5
3 
106- (Fuvest-SP) Dados os pontos A(2,3) e B(8,5), determine a equação geral da reta que
passa pelos pontos A e B.
107- Verifique se o ponto A (2,2) pertence à reta de equação 2x+3y-10=0.
108- Verifique se os pontos P(2,1) e Q(1,4) pertencem à reta (r) = 2x+y-5=0.
109- Qual o valor de n para que o ponto Q(3,n) pertença à reta s, cuja equação é
5x  y  7  0 ?
110- O ponto A(a, a+3) pertence á reta de equação 5x-y-5=0. Determine as coordenadas do
ponto A.
111- Dados os pontos A(-2,1), B(0,-3) e C(2,5), ache a equação das retas suportes desse
triângulo ABC.
112- Se um triângulo tem como vértices os pontos A(2,3), B(4,1) e C(6,7), determine a
equação geral da reta suporte da mediana relativa ao lado BC.
113- (UFSCar-SP) No plano cartesiano, seja r uma reta de equação
ax  2 y  2  0 .
Sabendo que P(1,-1) é um ponto de r, determine:
a) O valor de a
b) O coeficiente angular de r
114- Determine as coordenadas do ponto de intersecção das retas r e s, em cada caso:
a)
r : 2 x  y  1  0 e s : 3x  2 y  4  0
b)
r : 2 x  3 y  8  0 e s : 2 x  4 y  13  0
c)
r : x  2y  3  0 e s : x  2y  7  0
115- Obtenha a equação reduzida de cada uma das retas a seguir:
34
a)
2x  y  3  0
b)
6x  9 y  1  0
c)
x y
 1
3 2
116- Escreva a equação reduzida da reta que tem coeficiente angular m = 2 e que cruza o
eixo y no ponto (0,-3).
117- Determine o coeficiente angular da reta que tem como equação
3x  4 y  7 .
118- Determine a equação segmentaria das retas que passam pelos pontos A e B:
a) A(3,0) e B(0,1)
b) A(3,0) e B(0,2)
c) A(-4,0) e B(0,2)
d) A(5,0) e B(0,-3)
119- Encontre os pontos A e B de intersecção da reta de equação
3x  2 y  6  0 com os
eixos coordenados.
120- Determine a posição relativa das retas r e s nos seguintes casos:
a)
(r )  2 x  3 y  2  0 e ( s)  4 x  6 y  8  0
b)
(r )  3x  2 y  4  0 e (s)  3x  2 y  1  0
c)
(r )  3x  2 y  2  0 e (s)  2 x  3 y  3  0
35
3. Números Complexos
Em geral os conjuntos numéricos surgem da necessidade de se trabalhar com certas
operações que são restritas aos conjuntos numéricos conhecidos, vamos relembrar como se
desenvolveram os conjuntos numéricos que conhecemos:

No início era conhecido o conjunto dos números naturais, que surgiu a partir da
necessidade básica de contar objetos concretos;

A necessidade de subtração entre quaisquer dois números fez com que surgissem os
números inteiros;

Com a limitação do conjunto dos inteiros para a divisão, surgiu o conjunto dos números
racionais;

Os números irracionais surgiram após a descoberta dos números incomensuráveis, que
são tão grandes ou tão pequenos que se tornam impossíveis medir;

O conjunto que engloba os números naturais, inteiros, racionais e irracionais é chamado de
conjunto dos números reais.
Surgimento dos números complexos
Meado do século XVI partir da necessidade de resolução de uma expressão matemática, o
matemático Cardano deparou-se com o termo
, então após anos de estudos, foi
necessário que o matemático Bombelli conseguisse a façanha de resolver a equação, para isso
foi necessário desfazer-se da proibição sobre raízes de números negativos, Bombelli concluiu
que, havendo uma unidade i, podemos dizer que
, e obteve o resultado da expressão
matemática. Vale a pena ressaltar que os números complexos nem sempre tiveram aceitação
da comunidade matemática, sendo obtida no século XVIII, mais de dois séculos após sua
descoberta.
3.1 Unidade Imaginária
A essa altura de nossos estudos conhecemos as principais operações que podem ser
realizadas com pares ordenados, então vamos considerar o produto entre dois pares
ordenados, sabemos que:
(a,
b).
(c,
d)
=
(ac
–
bd,
ad
–
bc),
então
vamos
considerar
o
produto:
(0,1).(0,1) = (0.0 – 1.1 , 0.1 – 1.0) = (-1, 0)
Se chamarmos o par ordenado (0,1) da unidade imaginária, podemos representá-lo por i,
teremos que:
i.i = (-1) ou i²=(-1)
36
Então, a partir da definição da unidade imaginária, podemos facilmente chegar à mesma
conclusão que Bombelli
.
3.2 Definição
Denominamos conjunto dos números complexos, o conjunto representado por ℂ , o conjunto de
pares ordenados, z = (x, y) onde x pertence a ℝ e y pertence a ℝ.
Considere o par ordenado (x, y), temos:
( x, y )  ( x,0)  (0, y )
( x, y )  ( x,0)  ( y  0  0  1, y  1  1 0)
( x, y )  ( x,0)  ( y ,0)  (0,1)
Sabemos que, ( x,0)  x, ( y,0)  y e (0,1)  i
Então sendo assim, temos que:
(x , y )  x  y  i ou z  x  y  i
Sendo z = x + y.i a forma algébrica de representar um número complexo, de maneira que x é
chamada de parte real e y (que sempre acompanha o i) é chamada de parte imaginária,
indicadas por:
x  Re(z ) e y  Im(z )
Se x =0 chamamos o número de imaginário puro, se y=0, temos que z é um número real.
Exemplos:
1. Sejam os números complexos abaixo, indique sua parte real e sua parte imaginária:
a)
(2, 1)  2  i
Solução:
Re(z) = 2 e Im(z) = 1
b)
z  3  6i
Solução:
Re(z) = -3 e Im(z) = 6
2. Determine o valor de a e b, para que z seja um número imaginário puro:
z = 3a + (a+2b-3)i
Solução:
37
Para que seja um imaginário puro, a parte real deverá ser zero, então:
3a  0  a  0
Também para que seja um número imaginário puro, temos que a parte imaginária precisa ser
diferente de 0, sou seja Im( z )  0
Se Im( z)  5a  2b  3 , precisamos que resolver a inequação:
5a  2b  3  0
5.(0)  2b  3  0(Como sabemos a = 0)
2b  3  0
3
b
2
Então, z é um número imaginário puro para qualquer b 
3
2 .
Exercícios sobre números complexos
121-
Identifique a parte real e a parte imaginária em cada caso:
a)
z  9i
b)
z4
c)
z  2  3i
d)
z  2  8i
e)
z  3  5i
122- Determine o valor de m e n para que o complexo z  (m  1)  (2n  16)i seja um
2
2
imaginário puro.
123- Para que o complexo
z  2  (a 2  1)i seja um número real, quais devem ser os valores
de a?
124- Determine os números reais x e y, tais que o número complexo z  ( x  6)  ( y  16)i
2
seja:
38
a) Um número real
b) Um número imaginário puro
c) O real
z0
125- Dados os complexos a seguir, determine:
a)
O valor de m e n para que z  m  (2m  n  1)i seja imaginário puro.
b)
O valor de a e b para que z  (4a  5)  (2b  7)i seja real.
c)
O valor de x e y para que z  (2 x  4)  ( y  3)i seja o real
z  0.
126- Resolva as equações a seguir dentro do conjunto dos complexos:
a)
z2  9  0
b)
z 2  36  0
c)
z 2  121  0
d)
z 2  15  0
e)
 z 2  4 z  13  0
f)
4z 2  z  3  0
g)
5z 2  2 z  1  0
h)
z2  z 1  0
i)
2z 2  z  3  0
j)
z 4  36  0
127-
Quais
os
valores
complexos
de
x
que
tornam
verdadeira
a
igualdade
complexos
de
x
que
tornam
verdadeira
a
igualdade
4x 2  4x  5  0 ?
128-
Quais
os
valores
x 2  4 2x  6  0 ?
129- Sabendo que as expressões
x 2  x e x  5 são iguais, determine os valores de x, no
universo dos números complexos.
130- Dê 5 exemplos de números:
39
a)
complexos
b)
reais
c)
complexos que não são reais
3.3 Operações com complexos
Igualdade entre números complexos
Dois números complexos serão iguais se, e somente se, tiverem partes imaginárias iguais e
partes reais iguais simultaneamente. Ou seja:
Dado os números complexos z1 = a + bi e z2 = d + ei, z1 e z2, serão iguais se, somente se, a = d
e bi = ei.
Exemplos:
1. Encontre o valor de a e b para que (a+2b) + (-a+b)i = 5 + i.
Solução:
Da definição de igualdade temos:
a  2b  5 resolvendo o sistema a  1



b2
 a  b  1
Como os demais conjuntos numéricos que estudamos até o momento, os números complexos
permitem operações matemáticas, operações essas que iremos estudar a seguir.
Considere dois números complexos z1 = a + bi e z2 = c + di. Vamos estudar como se dá cada
uma das operações elementares para os elementos desse conjunto.
Adição
z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i
Assim como na igualdade, para somarem-se números complexos basta distinguir entre parte
real e parte imaginária, ou seja, somar parte real com parte real e parte imaginária com parte
imaginária.
Exemplo:
1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i, calcule:
a) z1 + z2
Solução
(1 + 2i) + (3 + i) = (1 + 3) + (2 + 1)i = 4 + 3i
40
b)
z2 + z3
Solução:
(3 + i) + (2 – 3i) = (3 + 2) + (1 – 3)i = 5 –2i
Subtração
Da mesma maneira realizamos a subtração entre números complexos, observe:
z1 – z2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i
Exemplo:
1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i calcule:
a) z1 - z2
Solução
(1 + 2i) - (3 + i) = (1 - 3) + (2 - 1)i = -2 + i
b)
z2 - z3
Solução:
(3 + i) - (2 – 3i) = (3 - 2) + [1 –(– 3)]i = 1 –4i
Multiplicação
Considere
z1
e
z2,
para
realizarmos
a
multiplicação
z1.
z2,
temos:
z1 .z2 = (a + bi).(c + di) = a.c + a.di + c.di + b.di²
Como i2 = – 1.
Temos: z1 .z2 = ac + adi + cdi - bd
Agrupando os termos da parte real e parte imaginária, obtemos:
z1 .z2 = (ac –bd) +(ad + bc)i
Exemplo:
1. Dados os números complexos z1 = 1 + 2i, z2 = 3 + i e z3 = 2 – 3i calcule:
a) z1 . z2
Solução
(1 + 2i). (3 + i) = (1.3 – 2.1)+(1.1 + 2.3)i = 1 + 3i
b)
z2 . z3
41
Solução:
(3 + i). (2 – 3i) = [3 . 2 – 1(-3)] + [3.(– 3)+1.2]i = 9 –11i
Conjugado de um número
Para realizar a divisão entre números complexos, primeiramente precisamos conhecer o
conceito de conjugado, o conjugado de um número complexo z é representado por z de forma
que:
z = a + bi
z = a - bi
Ou seja, praticamente, basta copiar a parte real do número complexo e acrescentar o oposto
de sua parte imaginária.
Exemplo
1. Dê o conjugado dos números complexos abaixo:
a) z = 1+2i
Solução:
z = 1 - 2i
b) z = 2 - 5i
Solução:
z  2 - (-5)i  2  5i
Divisão
Agora que já definimos o conjugado de um número complexo, vamos ao procedimento de
divisão, dados z1 e z2, temos:
z1 a  bi c  di

.
z2 c  di c  di
Ou seja, basta multiplicar e simultaneamente dividir o numerador pelo conjugado do
denominador. Com esse procedimento, fazemos com que o denominador seja um número real
puro, observe:
42
z1 a  bi (c  di ) ac  adi  bci  bdi 2

.


z2 c  di (c  di ) c 2  cdi  cdi  d 2i 2
ac  bd (1)  (ad  bc )i
c  d ( 1)
2
2

(ac  bd )  (ad  bc )i
c2  d 2
1. Dados os números complexos z1 = 2 + 2i, z2 = 3 - i calcule
z1
z2
Solução:
2
z1 2  1i 3  i (2.3  1.i )  2.( 1)  (1.3) i (6  1)  ( 2  3)i 5  i

.



z2 3  i 3  i
32  i 2
9 1
8
Simplificação
A simplificação de um número complexo, é utilizada no caso de termos uma divisão com um
número complexo no denominador, nesse caso, utilizaremos o mesmo artifício utilizado na
divisão, também com o objetivo de eliminar quaisquer termos com parte imaginária do
denominador:
1
1 a  bi
a  bi

 2
a  bi a  bi a  bi a  b2
3.4 Inverso de um número complexo
Dado o número complexo z = x+yi, chamamos
1
1
o inverso de z, como vimos acima

z a  bi
é necessário simplificar quando temos um termo com parte imaginário no denominador, assim
sendo, aplicando a simplificação:
1
1
1 a  bi
a  bi


 2
z a  bi a  bi a  bi a  b 2
Exemplo
1. Encontre o inverso de z = 2 + 1, se necessário simplifique.
1
1
é o inverso de z, como o denominador tem parte imaginária, precisamos simplificar:

z 2i
1
1
1 2i
2i
2i


 2 2 
z 2  i 2  i 2  i 2 1
5 .
43
3.5 Potências de i
Como os demais conjuntos, os números complexos poderão ser apresentados em forma de
potência, caso a potência seja aplicada à parte real, o procedimento é exatamente o mesmo
que utilizamos nos números reais, agora quando a parte imaginária é elevada a uma potência,
podemos seguir uma regra prática:
i0 = 1
i1 = i
i2 = – 1
i3 = i2 . i = (–1) . i = –i
i4 = i2 . i2 = (–1) . (– 1) = 1
i5 = i4. i = 1 . i = i
i6 = i5 . i = i . i = i2 = –1
i7 = i6 . i = (–1) . i = – i
i8 = i4 . i4 = 1 . 1 = 1
i9 = i8. i = 1 . i = i
i10 =(i2)5 = (–1)5 = –1
Perceba que a partir da potência i4 o resultado se repete de 4 em 4 potências, para
calcularmos in (onde n>3 é um número inteiro qualquer), podemos dividir o expoente n por 4, e
verificar a existência de um resto r, podemos verificar que : i n = i r
Exemplo:
1. Calcule o valor das potências abaixo:
a) i43
Solução
Conforme o procedimento prático das potências em ℂ , temos:
43
 10 com resto 3, assim sendo i43 = i3= - i
4
b) i1001
Solução
Conforme o procedimento prático das potências em ℂ , temos:
1001
 250 com resto 1, assim sendo i43 = i1= i
4
Exercícios sobre operações com números complexos
44
131- Dados
z1  1  3i e z 2  2  i calcule:
a)
z1  z 2
b)
z1  z 2
c)
z 2  z1
d)
2 z1  3z 2
e)
5z1  2 z 2
f)
z1 .z 2
g)
z 2 .z1
h)
z1
i)
z2
j)
( z1  z 2 ).( z1  z 2 )
2
2
132- Calcule o valor do número z  (5  i)  (5  i) .
2
2
133- Efetue as operações:
a)
(1  i) 2 .(1  i) 2
b)
(1  i) 2 .(1  i) 2 .i
134- Resolva:
a)
(3  4i) 2
b)
(2  i ) 3
c)
(1  i) 4
135- (Unic-MT) Para que o número
z  ( x  3i).(3  xi ) seja real, devemos ter x  R tal
que:
a)
x0
b)
x
1
3
45
c)
x  9
d)
x  3
e)
N.D.A
136- Escreva o conjugado de cada um dos complexos:
a)
z  3i  1
b)
z i 3
c)
z  4  2i
d)
z
e)
z  14
f)
z  2  3i
137-
7
i
2
Calcule o produto de cada número complexo abaixo pelo seu conjugado:
a)
z  7  2i
b)
z  1 4i
c)
z  3  2i
d)
z  x  2 yi
138- Efetue as divisões:
a)
z
4  2i
1 i
b)
z
5  3i
i
c)
z
1 i
1 i
d)
z
4  3i
2i  5
139- Determine o conjugado do número z 
2  3i
.
3  2i
46
140- Calcule o conjugado de cada um dos números complexos:
a)
z
1
i
b)
z
2
1 i
c)
z
3i
2i
141- Determine o inverso dos números:
a)
z i
b)
z  3i
c)
z  4  2i
d)
z
i
2
e)
z
4  5i
3
142- (Unimep-SP) O número complexo
3i
tem a parte imaginária nula. O valor do número
m 1
real m é:
a)
-3
b)
3
c)
0
d)
1
e)
-1
143- (UFBA) Sendo
z  2  i , calcule o inverso de z 2 .
144- (UFPel-Rs) Dado o número complexo
complexo
z  1 2i , escreva, na forma algébrica, o
z 1 .
145- Dadas as funções f ( x)  x  2 x  1 e
2
g ( x)  x 2  x , calcule
f (2  i )
.
g (1  i )
47
1 i 
146- (FEI-SP) Calcule a forma algébrica do número complexo z  
 .
1 i 
3
147- Calcule as potências de i:
a)
i 68
b)
i 54
c)
i 145
d)
i 327
e)
i 401
f)
i 578
148- Ache o valor de
i123  i180 .
149- Determine o número z tal que:
a)
z
i 5  3i 7  i 41
i 18  i 6  1
b)
z
i 23  i 4  2i 10
i 28  2i 30
c)
z
2i 7  3i 42  i 12
4i 5  3i 38  7i 15
150- (Fafi/BH-MG) A fração
a)
1 i
b)
1  i
c)
1  i
d)
1 i
e)
2i
i 3  i 2  i 17  i 35
corresponde ao número complexo:
i 16  i 13  i 30
3.6 Representação geométrica dos números complexos
48
Também podemos representar os números complexos de forma geométrica, através de pares
ordenados no Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss.
Consideremos um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy e um ponto P de
coordenadas (a, b) num Plano Cartesiano ou Plano de Argand Gauss. Sabendo que c = (a, b) =
a + bi, concluímos que há uma relação biunívoca entre os pontos do plano e os números
complexos.
Ponto P: imagem geométrica de ℂ ou o afixo de ℂ .
Eixo das abscissas Ox: eixo real, uma vez que seus pontos são os afixos dos números reais.
Eixo das ordenadas Oy: eixo imaginário, uma vez que seus pontos são os afixos dos números
imaginários puros.
Exemplo:
1. Escreva z = 2 - i na forma de par ordenado, e localize-o no plano Argand- Gauss.
Resolução:
Como vimos basta que consideremos a parte real como o correspondente a Ox e a
parte imaginária como correspondente a Ou, assim sendo:
z = 2 - i = (2, - 1)
Para sua localização no plano Argand Gauss, identificarmos o ponto
(2, - 1) e marcar no plano.
49
3.7 Módulo de um complexo
O módulo ρ simboliza a distância entre os pontos P e O, pois conforme o teorema de Pitágoras
temos:
2
dOP
 a2  b2  dOP  a2  b2  
Exemplo
1. Encontre o módulo de z = 3 – 4i
Solução
  32  (4)2  9  14  25  5
3.8 Argumento de um complexo
O argumento θ simboliza a medida do ângulo constituído por Oa e Op , que é determinado
no sentido anti-horário partindo do semieixo
cos 
a

e sen 
b

Oa . Sendo assim, da trigonometria, temos:
,
50
Representando o complexo c na forma algébrica fazemos uma referência ao ponto P dado
pelas suas coordenadas polares.
z= a + bi ⇔P(a, b)
Exemplo
1. Determine o argumento de z = (1, -1)
Solução:
Da trigonometria, temos que:
cos 
a

   arccos
a

,e
sen 
b

   arc sen
b

  12  (1)2  2
  arccos
1
2
 arccos
2
1
 2
 arccos
e   arc sen
2
2
2
Pela trigonometria, temos que o único ângulo que satisfaz simultaneamente essas
duas conduções é

7
4 .
Exercícios sobre representação gráfica de um número complexo
151- Escreva na forma de par ordenado os complexos:
a)
z  2  5i
51
b)
z  4  9i
c)
z  (3  i).(3  i)
d)
z
5  2i
2i
e)
z
4  2i
2i
f)
z  (4  2i) 2
g)
z  (3  4i) 2
152- Localize no plano de Argand-Gauss os afixos de z:
a)
z  (0,2)
b)
z  i 42
c)
z  i 31
d)
z  i 60
e)
z
i 30  i 20
i 17
153- Determine o módulo dos seguintes complexos:
a)
z  4  3i
b)
z  2  5i
c)
z  2  2i
d)
z  3 i
e)
z  (0,3)
f)
z  (3  2i).(5  2i)
g)
z
4  2i
3  2i
154- Determine o argumento
a)

do número complexo z nos seguintes casos:
z  (1,1)
52
b)
z   3 i
c)
z  3 i
d)
z  4  4i
e)
z  6i
f)
z  12
g)
z  10i
155- Sendo
a)
z
b)
w
c)
z.w
z  4  i e w  3  2i , calcule:
53
4. Polinômios
4.1 Definição
Denominamos polinômios a expressões matemáticas do tipo:
p(x)=an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0
Os polinômios são formados através de coeficientes (a n, an–1, an–2,..., a2, a1, a0) pertencentes ao
conjunto dos números reais ligados à variável x. São classificados quanto ao grau de maior
valor da variável x, observe:
p(x) = a1x + a0 →Polinômio de grau 1
p(x) a2 x2+a1 x+a0 → Polinômio de grau 2
p(x) = a3 x3 + a2 x2+a1 x+a0 → Polinômio de grau 3
___________________________________________
p(x) = an xn+a(n-1) x(n-1)+...+a2 x2+a1 x+a0 → Polinômio de grau n
Exemplos
1. Classifique os polinômios abaixo quanto a seu grau
a)
p(x) = 2x+5x4+x2-8
Solução:
O maior grau é 4, portanto p(x) é um polinômio de grau 4.
b) p(x) = x6 - 3x4 – x + 40
Solução:
O maior grau é 6, portanto p(x) é um polinômio de grau 6.
c) p(x) = x - 1
Solução:
O maior grau é 1, portanto p(x) é um polinômio de grau 1, aos quais também
chamamos de monômios.
Podemos calcular o valor da expressão polinomial para qualquer valor real, basta substituir o
valor da incógnita x.
Exemplo
2. Calcule os valores das expressões polinomiais abaixo
2
a) p(x) = 2x +x-1, para x = 1
54
Solução
Basta substituir x por 1, então teremos:
p(1) = 2(1)2+(1) – 1 = 2 + 1 – 1 = 2
b) p(x) = x4– x3 + x2– x + 1, para x = 2
Solução
Exatamente como o anterior
p(2) = 24–23 + 22– 2 + 1 = 16 – 8 + 4 – 2 + 1 = 11
4.2 Polinômio Nulo
Um polinômio é dito nulo se, e somente se, todos seus coeficientes forem iguais à zero.
Indicamos por p( x )  0
Exemplo:
1. Seja p( x )  (m  2)x  (2n  4)x  (t  5) ,determine m, n e t, para que p( x )  0 .
2
Solução
Como já vimos os coeficientes devem ser zero, para que, p( x )  0 então:
m2  0
m  2


2n  4  0  n  2
 t 5 0
 t  5


Identidade polinomial
Dois polinômios p1(x) e p2(x) são idênticos, se e somente se, seus coeficientes forem
ordenadamente iguais, assim sendo, indicamos p1( x )  p2 ( x ) .
1. Seja
p( x )  (m  2)x 2  (2n  4)x  (t  5) ,determine
m,
n
e
t,
para
que
p( x )  f ( x ) dado que f ( x )  2x  12 .
Solução
Vamos ordenar e igualar os coeficientes, então:
55
m2  0
m  2


2n  4  2  n  1
 t  5  12
 t 7


4.3 Valor numérico de um polinômio
O valor numérico de um polinômio P(x), para x = a, é o número que se obtém substituindo x por
a e efetuando todas as operações indicadas pela expressão que define o polinômio. Se P(a) =
0, o número a é denominado raiz ou zero de P(x).
Exercícios sobre polinômios
156- Determine o grau dos polinômios a seguir:
a)
p ( x)  3 x 3  2 x  1
b)
p ( x)  x
c)
p ( x)  2 x 7  3 x 2  3 x 4
157- Discuta o grau dos polinômios em função de
a)
p( x)  (2k  6) x 3  (3  k ) x  1
b)
p( x)  (k 2  4) x 2  (k  2) x  3
158- Dado o polinômio
a)
p(1)
b)
p(1)
c)
1
p 
2
k R:
p( x)  3x 5  x 2  3 , calcule:
159- Dados os polinômios A( x)  x  x  x  1 e B( x)  3x  x  2 , calcule:
3
a)
2
2
A(0)  B(1)
56
b)
1
A   B(1)
2
160- Dado o polinômio P( x)  2 x  x  x  3 , calcule
3
161- Dado o polinômio
2
P(2)  2.P(1)
.
1
P 
2
p( x)  2 x 2  kx  2 , determine k, sabendo que p(2)  6 .
162- Sendo p( x)  x  2 x  1 , calcule:
2
a)
P(i)
b)
P(i  1)
c)
P( 2  i )
163- Determine k para que
x  3 seja raiz do polinômio p( x)  kx3  x 2  2 x  1 .
164- Sendo P( x)  x  2 x  1 , calcule o valor de P( x  1)  P( x) .
2
165- Mostre que 1 e 3 são raízes do polinômio p( x)  x  3x  x  3 .
3
2
166- Mostre que o número 2 é raiz da equação: x  3x  6 x  8 .
3
2
167- Quais dos seguintes números:  2,1,0,1,2 são raízes da equação: x  x  2 x  0 ?
3
2
168- Classifique em verdadeiro ou falso:
a) A expressão P( x)  x
2
 5x  8 define uma função polinomial.
b) -1 é raiz de p( x)  x  3x  3x  1
3
2
169- Determine a, b e c para que os seguintes polinômios sejam nulos:
57
a)
p( x)  (a  2) x 3  (b  2) x  (c 2  9)
b)
p( x)  (a  5) x 3  (b 2  36) x  (c 4  16)
170- Determine a e b, sabendo que os números 2 e -2 são raízes do polinômio
p( x)  x 3  2 x 2  ax  b .
4.4 Operações com polinômios
As operações de adição, subtração ou multiplicação de polinômios são análogas às que já
realizamos com as equações, na álgebra, por exemplo, o que tem um aprofundamento em
nosso curso atual é a divisão de polinômios, para realizarmos as operações iremos operar com
p1  x   an x n  a( n 1) x ( n 1)  ...  a2 x 2  a1 x  a0 e
dois polinômios genéricos
p2  x   bn x n  b( n 1) x ( n 1)  ...  b2 x 2  b1 x  b0
.
Adição
Basta realizar a soma, agrupando seus coeficientes, considere a soma polinomial p1(x) +
p2(x), teremos:
p1  x  +p2  x  
an x n  a( n 1) x ( n 1)  ...  a2 x 2  a1 x  a0 + bn x n  b( n 1) x ( n 1)  ...  b2 x 2  b1 x  b0
(an bn ) x n  (a( n 1)  b( n 1) )x ( n 1)  ...  (a2  b2 ) x 2  (a1  b1 ) x  (a0  b0 )
Subtração
Assim como na adição, basta subtrair, agrupando seus coeficientes, considere a soma
polinomial p1(x) - p2(x) teremos:
p1  x  -p2  x  
(an x n  a( n 1) x ( n 1)  ...  a2 x 2  a1 x  a0 ) - (bn x n  b( n 1) x ( n 1)  ...  b2 x 2  b1 x  b0 )
(an bn ) x n  (a( n 1)  b( n 1) )x ( n 1)  ...  (a2  b2 ) x 2  (a1  b1 ) x  (a0  b0 )
Multiplicação
A multiplicação entre dois polinômios pode ser realizada, destacando se membro a membro de
um polinômio e multiplicando por todo o segundo polinômio, conforme se segue:
58
p1  x   p2  x  
(an x n  a( n 1) x ( n 1)  ...  a2 x 2  a1 x  a0 ) . (bn x n  b( n 1) x ( n 1)  ...  b1 x  b0 )
an x n  p2  x   a( n 1) x ( n 1)  p2  x   ...  a2 x 2  p2  x   a1 x  p2  x   a0  p2  x 
Observação: para multiplicar cada um dos termos pelo segundo polinômio, basta aplicar a
distributiva no formato: a(b  c )  ab  ac .
Exemplos
1. Dado f(x) = 2x3 – x² +5x – 6 e g(x) = x4 + 3x2 – x + 1, calcule:
a) f(x)+ g(x)
3
4
2
f(x)+ g(x) = (2x – x² +5x – 6)+( x + 3x – x + 1) =
f(x)+ g(x) = (0+1) x4 + (2+0) x3+[(-1)+1] x2+(5-1)x + [(-6)+1] =
f(x)+ g(x) = x4 + 2 x3 +4x – 5
b) f(x) – g(x)
f(x) – g(x) = (2x3 – x² +5x – 6) – ( x4 + 3x2 – x + 1) =
f(x) – g(x) = (0-1) x4 + (2-0) x3+[(-1)-1] x2+[5-(-1)]x + [(-6)-1] =
f(x) – g(x)) = -x4 + 2 x3 – 2 x2 +6x – 7
c) 2.f(x)
2.f(x) = 2.(2x3 – x² +5x – 6) = (2.2x3 – 2.x² +2.5x – 2.6)
2.f(x) = 4x3 – 2x² +10x – 12
d) f(x).g(x)
f(x).g(x) = (2x3 – x² +5x – 6).( x4 + 3x2 – x + 1) =
(2x3)(x4+3x2–x+1)–(x²)(x4+3x2–x+1)+5x(x4+3x2–x+1)–6(x4+3x2–x+1)=
(2x7+6x5–2x4+2x3)–(x6+3x4–x3+x2)+(5x5+15x3–5x2+5x)–(6x4+18x2–6x+6.
A partir daqui basta agrupar os termos e realizar as somas e subtrações deixamos
essas operações a cargo dos leitores.
Divisão de Polinômios
Sejam dois polinômios: f(x) denominado dividendo e g(x) denominado divisor, com g(x) ≠ 0.
Dividir f(x) por g(x0 é determinar outros dois polinômios q(x) (quociente) e r(x) (resto) tais que :

f ( x )  g( x )  q( x )  r ( x )
59

O grau de r < grau de g ou r ( x )  0
Podemos representar a divisão com uma chave, conforme abaixo:
f ( x ) g( x )
r ( x ) q( x )
Verifique passo a passo com o exemplo a seguir:
Exemplo
1. Sejam os polinômios f(x) = x3 + 3x2 – 4x +1 e g(x) = x2 – x + 1, calcule f(x): g(x).
Solução:
Deve-se escolher o primeiro termo do quociente, que deve ser multiplicado pelos
termos do divisor.
Segundo passo é passar o inverso do resultado para subtrair do polinômio.
Então se repete o primeiro passo, ou seja, escolher o termo conveniente para
multiplicar pelo primeiro termo do divisor para que fique igual ao primeiro termo do
polinômio que foi resultado da primeira operação.
Repetir o mesmo processo do segundo passo.
60
Assim temos que q(x) = x + 4 e que r(x) = – x -3.
4.5 Teoremas sobre divisão de polinômios
Começaremos nossos estudos sobre divisão de polinômios com um caso particular, a divisão
de um polinômio p(x) por um binômio do tipo x-a
,onde:
a ℂ , estudaremos essa divisão a partir de alguns métodos, conforme veremos.
O teorema do resto
O
resto
da
divisão
de
um
polinômio p(x) pelo
binômio (x-a) é
igual
a P(a).
O quociente da divisão de p(x) por (x-a) é um polinômio q(x) de grau inferior de uma unidade
ao do polinômio p(x) e o resto r(x) é um número constante r, assim podemos escrever:
p(x) = ( x -a ) . q(x) + r
Para x = a temos:
p(a) = (a -a ) .q(a) + r
Logo: p(a) = r
Exemplo:
1. Determine o resto da divisão de f(x) = x3 + 3x2 – 4x +1 por g(x) = x + 1
Resolução
Vemos que a raiz do divisor é:
0  x  1  x  1
Então pelo teorema do resto, afirmamos que r = f(-1),
r = f(-1) = (-1)3 + 3(-1)2 – 4(-1) +1 = -1+3+4+1 = 7
O teorema de D’Alembert
Analisando o teorema do resto, o matemático francês D’Alembert provou, levando em
consideração o teorema citado acima, que todo polinômio p(x) quando dividido por um binômio
do tipo x – a, resultará em uma divisão exata, ou seja, terá resto igual a zero se, e somente se,
a constante a for raiz do polinômio p(x).
Exemplo:
61
1. Verificar se P(x) = x3 – 2x2 + 1 é divisível por:
a) x + 1
Solução:
Para P(x) ser divisível por x + 1 é necessário que P(–1) = 0. Então:
P(–1) = (–1)3 – 2(–1)2 + 1 = –1 – 2 + 1 = -2
Logo, P(x) não é divisível por x + 1.
b) x – 1
Solução
Para P(x) ser divisível por x – 1 é suficiente que P(1) = 0. Então:
P(1) = (1)3 – 2(1)2 + 1 = 1 – 2 + 1 = 0
Logo, P(x) é divisível por x – 1.
4.6 Dispositivo de Briot- Ruffini
Os matemáticos e Charles August Briot e Paolo Ruffini criaram um dispositivo prático para
realizar a divisão de um polinômio por um monômio do tipo x-a, dispositivo este que recebeu
seus nomes: dispositivo de Briot-Ruffini.
Esse algoritmo é utilizado para dividirmos polinômios por um binômio do tipo
(x -a). Para
divisão utilizando o dispositivo usaremos apenas os coeficientes do polinômio e o termo
constante (a).
Chamemos de p(x) o polinômio a ser dividido (dividendo); e h(x) o divisor no qual h(x)=x-a.
Com isso, a estrutura do dispositivo é a seguinte:
Para melhor compreendermos como este dispositivo funciona, utilizá-lo-emos em um exemplo,
e explicaremos passo a passo seu processo.
Exemplo:
1. Efetue a divisão de p(x) por h(x), na qual:
62
Solução
Agora multiplique esse termo repetido pelo divisor, o resultado será somado ao próximo termo
do dividendo p(x).
Repita o processo agora para o novo elemento, multiplique esse número pelo divisor e some-o
ao próximo termo.
Obtemos o resto 0 e um quociente da seguinte forma:
Para verificarmos se a divisão foi feita de forma correta, podemos utilizar o algoritmo da divisão
que diz o seguinte:
63
Dessa forma, temos:
Logo, a divisão foi feita corretamente, pois ao verificar os termos da divisão no algoritmo da
divisão constatamos que a igualdade é verdadeira.
Exercícios sobre operações com polinômios
171- Dados os polinômios
p ( x)  x 4  x 3  2 x 2  1 , q ( x )  3 x 5  1 e t ( x)  4 x 2  1 ,
obtenha:
a)
p ( x)  q ( x)
b)
q( x).t ( x)
c)
q ( x)  t ( x)
d)
2. p( x)  3.q( x)
e)
2.q( x)  4.t ( x)
f)
t ( x). p( x)  q( x)
g)
(q( x)) 2
h)
(t ( x)) 2  16. p( x)
i)
(q( x)) 2  p( x)
j)
( p( x)) 2
172- Verifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa:
a) Se o grau do polinômio p é 5, então o grau do polinômio 2p é 10.
b) Se o grau do polinômio p é 7 e do polinômio q é 1, então o grau do polinômio p.q é 7.
173- Dado
p( x)  x 3  2 x 2 . O valor de  p(x) é igual a:
2
64
a)
x 6  5x 5  4 x 4
b)
 x 6  4x 5  4x 4
c)
x 6  4x 5  2x 4
d)
x 6  2x 5  4x 4
e)
x 6  4x 5  4x 4
174- Qual o polinômio que subtraído de
A( x)  2 x 3  x 2  4 x  5 dá o polinômio
B( x )  x 2  3 x  1 ?
175- Efetue a divisão de p(x) por d(x) em cada item:
a)
p ( x)  x 3  2 x 2  6 x  5 e d ( x)  x 2  2 x  1
b)
p ( x)  x 3  5 x 2  7 x  4 e d ( x)  x  1
c)
p ( x)  5 x 5  2 x 4  4 x 3  4 x e d ( x )  x 2  x
d)
p ( x)  x 3  3 x 2  3 x  1 e d ( x )  x 2  2 x  1
176- Verifique se o polinômio P( x)  x  2 x  x  x  2 é divisível por
5
177- A divisão do polinômio
Determine o polinômio
4
3
x 1.
P(x) por x 2  3x resulta no quociente x  2 e resto 5.
P(x) .
178- Calcule o valor de t sabendo que o resto da divisão de p( x)  4 x  2 x  tx  5 por
3
2
x  2 é 1.
179- Determine o resto r(x) das divisões de p(x) por d(x) em cada caso a seguir:
a)
p ( x)  2 x 4  3 x 3  1 e d ( x) 2 x  1
b)
p ( x)  x 5  x 4  2 x 3  x 2 e d ( x)  x  3
c)
p ( x)  x 2  5 x  6 e d ( x)  x  3
d)
p ( x)  2 x 6  x 5  2 x 4  x 3 e d ( x )  x  1
65
180- Determine o quociente q(x) e o resto r(x) das divisões de p(x) por d(x):
a)
p ( x)  3 x 3  2 x 2  x  1 e d ( x)  x  1
b)
p ( x)  x 5  4 x 4  3 e d ( x)  x  2
c)
p ( x)  5 x 2  3 x  1 e d ( x)  x  1
d)
p ( x )  x 5  1 e d ( x)  x  1
66
Questões de vestibulares
Questão 1
(Cefet-SP) Em uma classe com 20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres, um professos
propôs as seguintes regras para divisão dos alunos em duplas:
– as mulheres não podem fazer duplas entre si;
– Paulo e Carlos não podem fazer dupla juntos;
– Henrique e Pedro têm de fazer dupla juntos.
O número de maneiras diferentes de formar as duplas na sala, atendendo a todas as regras do
professor, é igual a:
a) 142
b) 168
c) 226
d) 284
e) 312
Questão 2
(Enem-MEC) A escrita Braile para cegos é um sistema de símbolos no qual cada caráter e um
conjunto de 6 pontos dispostos em forma retangular, dos quais pelo menos um se destaca em
relação aos demais.
Por exemplo, a letra A é representada por:
• ·
· ·
· ·
O número total de caracteres que podem ser representados no sistema Braile é:
a) 12
b) 31
67
c) 36
d) 63
e) 720
Questão 3
(Enem-MEC) Estima-se que haja, no Acre, 209 espécies de mamíferos distribuídas conforme a
tabela abaixo:
Deseja-se realizar um estudo comparativo entre três dessas espécies de mamíferos – uma do
grupo Cetáceos, outra do grupo Primatas e a terceira do grupo Roedores. O número de
conjuntos distintos que podem ser formados com essas espécies para esse estudo é igual a:
a) 1 320
b) 2 090
c) 5 845
d) 6 600
e) 7 245
68
Questão 4
(ESPM-SP) De 101! + 2 até 101! + 101 existem:
a) 100 números naturais compostos
b) 100 números naturais primos
c) 98 números naturais primos e 2 compostos
d) 98 números naturais compostos e 2 primos
e) 50 números naturais compostos e 50 primos
Questão 5
(ESPM-SP) Numa festa de aniversário estavam presentes apenas meninos e meninas. Ao
final, todos se despediram da seguinte forma: as crianças do mesmo sexo trocaram abraços
entre si e as crianças de sexos diferentes se despediram com apertos de mãos. Sabendo-se
que foram dados, no total, 102 abraços e 108 apertos de mãos e que nenhum par de crianças
se cumprimentou mais de uma vez, podemos concluir que o número de crianças que estavam
nessa festa é igual a:
a) 34
b) 15
c) 30
d) 24
e) 21
Questão 6
69
(ESPM-SP) Um grupo de pessoas é formado por 5 crianças e 4 adultos, dos quais 3 possuem
habilitação para dirigir automóvel. De quantos modos distintos pode-se efetuar a lotação de um
carro de 5 lugares (2 na frente e 3 atrás) para uma viagem, sabendo-se que criança não pode
viajar no banco da frente?
a) 540
b) 630
c) 720
d) 1 260
e) 1 890
Questão 7
(FGV-SP)
a) Uma senha de um banco é constituída de 3 letras escolhidas entre as 26 do alfabeto,
seguidas de 3 algarismos, escolhidos entre os 10 algarismos de 0 a 9. Quantas senhas podem
ser formadas usando-se 3 vogais e 3 algarismos pares?
b) Um professor precisa elaborar uma prova de Matemática com 5 questões, sendo uma de
Trigonometria, duas de Álgebra e duas de Geometria. Ele dispõe de 3 questões de
Trigonometria, 6 de Álgebra e 5 de Geometria. De quantas formas a prova pode ser elaborada,
não se levando em conta a ordem das questões?
Questão 8
(FGV-SP) De quantas formas podemos permutar as letras da palavra ELOGIAR, de modo que
as letras A e R fiquem juntas em qualquer ordem?
a) 360
70
b) 720
c) 1 080
d) 1 440
e) 1 800
Questão 9
(FGV-SP) O número de permutações da palavra ECONOMIA que não começam nem terminam
com a letra O é:
a) 9 400
b) 9 600
c) 9 800
d) 10 200
e) 10 800
Questão 10
(Fuvest-SP) Com as 6 letras da palavra FUVEST podem ser formadas 6! = 720 “palavras”
(anagramas) de 6 letras distintas cada uma. Se essas “palavras” forem colocadas em ordem
alfabética, como num dicionário, a 250.ª “palavra” começa com:
a) EV
b) FU
c) FV
d) SE
e) SF
71
Questão 11
(Fuvest-SP) Participam de um torneio de voleibol 20 times distribuídos em 4 chaves, de 5 times
cada.
Na 1.ª fase do torneio, os times jogam entre si uma única vez (um único turno), todos contra
todos em cada chave, sendo que os 2 melhores de cada chave passam para a 2.ª fase.
Na 2.ª fase, os jogos são eliminatórios; depois de cada partida, apenas o vencedor permanece
no torneio. Logo, o número de jogos necessários até que se apure o campeão do torneio é:
a) 39
b) 41
c) 43
d) 45
e) 47
Questão 12
(ESPM-SP) A média aritmética dos coeficientes numéricos do desenvolvimento do binômio (x +
y)31 é igual a:
a) 88
b) 414
c) 414
d) 87
e) 225
Questão 13
72
(ITA-SP) Determine o coeficiente de x4 no desenvolvimento de (1 + x + x²)9.
Questão 14
(ITA-SP) O termo independente de x no desenvolvimento do binômio
é:
Questão 15
(ITA-SP) A respeito das combinações an=
e bn =
, temos que, para cada n = 1,
2, 3..., a diferença an – bn é igual a:
73
Questão 16
(ITA-SP) Considere uma prova com 10 questões de múltipla escolha, cada questão com 5
alternativas. Sabendo que cada questão admite uma única alternativa correta, então o número
de formas possíveis para que um candidato acerte somente 7 das 10 questões é:
a) 44 · 30
b) 43 · 60
c) 53 · 60
d)
·43
e)
Questão 17
(Unesp-SP) Considere todos os números formados por 6 algarismos distintos obtidos
74
permutando-se, de todas as formas possíveis, os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6.
a) Determine quantos números é possível formar (no total) e quantos números se iniciam com o
algarismo 1.
b) Escrevendo-se esses números em ordem crescente, determine qual posição ocupa o
número 512 346 e que número ocupa a 242.ª posição.
Questão 18
(Unesp-SP) O número de maneiras que 3 pessoas podem sentar-se em fileira de 6 cadeiras
vazias de modo que, entre duas pessoas próximas (seguidas), sempre tenha exatamente uma
cadeira vazia, é:
a) 3
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
Questão 19
(Unesp-SP) Uma grande firma oferecerá aos seus funcionários 10 minicursos diferentes, dos
quais só 4 serão de informática. Para obter um certificado de participação, o funcionário deverá
cursar 4 minicursos diferentes, sendo que exatamente 2 deles deverão ser de informática.
Determine de quantas maneiras distintas um funcionário terá a liberdade de escolher:
a) Os minicursos que não são de informática.
b) Os 4 minicursos de modo a obter um certificado.
75
Questão 20
(ESPM-SP) A equação da reta r do plano cartesiano abaixo é:
a) 13x – 14y + 52 = 0
b) 12x – 13y + 48 = 0
c) 7x – 8y + 28 = 0
d) 9x – 11y + 36 = 0
e) 6x – 7y + 24 = 0
Questão 21
(FGV-SP - adaptado) Na figura abaixo, os ângulos
são retos; o
ângulo
são, respectivamente, 2 cm
mede 45°, e as medidas dos segmentos
e 5 cm.
76
Escreva a equação da reta t, suporte do segmento
.
Questão 22
(FGV-SP)
a) No plano cartesiano, considere a circunferência de equação x² + y² – 4x = 0 e o ponto
P(3,
). Verificar se P é interior, exterior ou pertencente à circunferência.
b) Dada a circunferência de equação x² + y² = 9 e o ponto P(3, 5), obtenha as equações das
retas tangentes à circunferência, passando por P.
Questão 23
(FGV-SP)
a) Os lados do triângulo ABC da figura abaixo são: AB = 28 cm, AC = 21 cm e BC = 35 cm.
Uma paralela ao lado
intercepta os lados
e
nos pontos D e E, respectivamente.
77
Determine a medida dos lados BD, DE e EC do trapézio BDEC, sabendo que o seu perímetro é
74 cm.
b) Escreva a equação da reta que passa pelo ponto A(2, 5) e que corta a reta r dada por suas
equações paramétricas: x = t + 1 e y = t – 2, num ponto B, tal que AB = 3
.
Questão 24
(FGV-SP) Uma função f(x) é tal que f(2) = 0,4 e f(3) = –0,6. Admitindo que para x entre 2 e 3 o
gráfico seja um segmento de reta, podemos afirmar que o valor de k, tal que f(k) = 0, é:
a) 2,40
b) 2,35
c) 2,45
d) 2,50
e) 2,55
Questão 25
(Fuvest-SP) A hipotenusa de um retângulo está contida na reta r: y –5x – 13, e um de seus
catetos está contido na reta s: y – x – 1. Se o vértice onde está o ângulo reto é um ponto da
forma (k, 5) sobre a reta s, determine:
78
a) todos os vértices do triângulo;
b) a área do triângulo.
Questão 26
(Fuvest-SP)
a) A reta r passa pela origem do plano cartesiano e tem coeficiente angular m > 0. A
circunferência C passa pelos pontos (1, 0) e (3, 0) e tem centro no eixo x. Para qual valor de m
a reta r é tangente a C?
b) Suponha agora que o valor de m seja menor que aquele determinado no item anterior.
Calcule a área do triângulo determinado pelo centro de C e pelos pontos de interseção de r
com C.
Questão 27
(Fuvest-SP) Os pontos A = (0, 0) e B = (3, 0) são vértices consecutivos de um paralelogramo
ABCD situado no primeiro quadrante. O lado AD é perpendicular à reta y = 2x e o ponto D
pertence à circunferência de centro na origem e raio
. Então, as coordenadas de C são:
a) (6, 2)
b) (6, 1)
c) (5, 3)
d) (5, 2)
e) (5, 1)
Questão 28
79
(Fuvest-SP) Sejam A = (0, 0), B = (8, 0) e C = (–1, 3) os vértices de um triângulo e D = (u, v)
um ponto do segmento
. Sejam E o ponto de interseção de
D e é paralela ao eixo dos y e F o ponto de interseção de
com a reta que passa por
com a reta que passa por D e é
paralela ao eixo dos x.
a) Determine, em função de u, a área do quadrilátero AEDF.
b) Determine o valor de u para o qual a área do quadrilátero AEDF é máxima.
Questão 29
(Fuvest-SP) Uma reta de coeficiente angular m > 0 passa pelo ponto (2, 0) e é tangente à
circunferência inscrita no quadrado de vértices (1, 1), (5, 1), (5, 5) e (1, 5). Então:
80
Questão 30
(PUC-PR) A área do triângulo cujos vértices são os três pontos de interseção da circunferência
2
2
x + y – 2x + 2y = 0, com os eixos coordenados, é, em unidades de área:
a) 2
b) 4
c) 6
d) 1
e) 3
Questão 31
(UEL-PR) Os pontos A = (6, 2), B = (–2, 6) e C = (2, 6) são representados no plano cartesiano
no qual O é a origem. Considere as afirmativas a seguir:
81
A alternativa que contém todas as afirmativas corretas é:
a) I e II
b) II e III
c) III e IV
d) II, III e IV
Questão 32
A distância entre os pontos (2a+1,3) e (-1, -2a) é √85. Calcule a.
Questão 33
Calcule a área do triângulo de vértices: A (-2,1), B(1,5) e C(4,1) exclusivamente através de
fórmulas e cálculos analíticos. A seguir, desenhe o triângulo num plano cartesiano e verifique
se poderia ter calculado essa área de outra forma.
Qual das duas maneiras é a mais fácil? Você acha que é sempre assim?
82
Questão 34
Calcule x para que a distância entre os pontos (–2, –1) e (4, x) seja 10.
Questão 35
Um triângulo tem como vértices os pontos: A(1,-1), B(1,5) e C(9,-1). Calcule a medida da
mediana relativa ao lado BC.
Questão 36
Verifique algebricamente se os pontos (–2,1), (4,5) e (1,3) estão alinhados. Depois, desenhe-os
e confirme o resultado.
Questão 37
Sabendo que os pontos: A (-5, -4), B(1,0) e C(4,a) são colineares, determine a.
Questão 38
Dados os vértices: A(1,1); B(4,3) e C(3,-2), classifique o triângulo ABC segundo os lados e
ângulos.
83
Questão 39
O valor de x, para que os pontos A (-1,1), B (1,7) e C (x,10) estejam alinhados é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
Questão 40
Resolva a equação x2+x+1=0 no universo dos números complexos.
Questão 41
Encontre z tal que (3 + 2i)z = (5 – i)
Questão 42
Mostre que os números 3+i e 3-i são raízes da equação z2-6z+10=0.
84
Questão 43
Determine o valor de
para que o número complexo
seja imaginário puro.
Questão 44
(Unesp-SP) Se z = (2 + i) · (1 + i) · i, então z, o conjugado de z, será dado por:
a) –3 – i
b) 1 – 3i
c) 3 – i
d) –3 + i
e) 3 + i
Questão 45
(UPM-SP) Se i2 = –1, então (1 + i)·(1 + i)2·(1 + i)3·(1 + i)4 é igual a:
a) 2 i
b) 4 i
c) 8 i
d) 16 i
e) 32 i
85
Questão 46
(UPM-SP) Sendo i² = –1, o número complexo
com x não nulo e –
<x<
,
tem módulo igual a:
Questão 47
Calcule (1 + i)20.
Questão 48
(ITA-SP) Seja z
C com
. Então, a expressão
assume valor:
86
a) maior que 1, para todo w com
> 1.
b) menor que 1, para todo w com
< 1.
c) maior que 1, para todo w com w ≠ z.
d) igual a 1, independente de w com w ≠ z.
e) crescente para
crescente com
.
Questão 49
(UEM-PR) Dado um número complexo z e um número natural n ω 2, chama-se raiz enésima de
z(
) qualquer número complexo ω tal que ωn = z. Entre os itens a seguir, assinale aquele
cujo número complexo ω é uma raiz sexta de z = −64.
a) ω = −2
b) ω não existe, pois não existe raiz par de número real negativo.
c) ω = 3i
d) ω = −
e) ω = 1+
+i
i
Questão 50
(UFC-CE) O valor do número complexo
é:
a) 1
b) i
c) –i
87
d) –1
e) 220
Questão 51
(ESPM-SP) O resto da divisão do polinômio x10 pelo polinômio x² – 3x + 2 é:
a) x – 1
b) 1 023
c) 1
d) 1 022x – 1 023
e) 1 023x – 1 022
Questão 52
(Fatec-SP) Se x = 2 é uma das raízes da equação x3 – 4x2 + mx – 4 = 0, m
R, então as suas
outras raízes são números:
a) negativos.
b) inteiros.
c) racionais não inteiros.
d) irracionais.
e) não reais.
Questão 53
88
(FGV-SP) A equação x3 – 3x2 + 4x + 28 = 0 admite –2 como raiz. As outras raízes satisfazem a
equação:
a) x2 – 4x + 14 = 0
b) x2 – 5x + 14 = 0
2
c) x – 6x + 14 = 0
d) x2 – 7x + 14 = 0
e) x2 – 8x + 14 = 0
Questão 54
(FGV-SP) Dividindo o polinômio P(x) por x2 + x – 1 obtém-se quociente igual a x – 5 e resto
igual a 13x + 5. O valor de P(1) é:
a) 12
b) 13
c) 15
d) 16
e) 14
Questão 55
(FGV-SP) Podemos afirmar que a equação x6 – 5x5 + 10x3 – 3x2 – 5x + 2 = 0 admite:
a) duas raízes duplas e duas raízes simples.
b) duas raízes duplas e uma raiz tripla.
c) uma raiz simples, uma raiz dupla e uma raiz tripla.
d) uma raiz tripla e três raízes simples.
e) duas raízes triplas.
89
Questão 56
(Fuvest-SP) A soma dos valores de m para os quais x = 1 é raiz da equação x2 + (1 + 5m –
3m2)x + (m2 + 1) = 0 é igual a:
Questão 57
Usando o dispositivo prático de Briot-Ruffini, calcule o quociente e o resto da divisão de:
a) P(x)= 3x2– 2x + 2 por H(x)=x+1
b) P(x) = 3x4 – x2 +2x – 3 por H(x)=x-2
Questão 58
90
Verifique se x = 2 é raiz do polinômio p(x) = x6 – x5 – x4 – 2x3 – 3x2 + x + 3.
Questão 59
Sabendo que x = – 1 é raiz do polinômio p(x) = x3 + mx2 – 5x – 6, calcule m.
Questão 60
Se i e 1+ i são raízes da equação X5 - 4X4 + 7X3 - 8x2 + 6x -4 = 0 encontre as outras raízes.
Questão 61
(ITA-SP) O número complexo 2 + i é raiz do polinômio f(x) = x4 + x3 + px2 + x + q, com p, q
R. Então, a alternativa que mais se aproxima da soma das raízes reais de f é:
a) 4
b) –4
c) 6
d) 5
e) –5
Questão 62
91
(ITA-SP) O polinômio p(x) = x3 + kx2 + 6x + 5 é divisível por x + 5. Então, a soma das raízes da
equação p(x + 1) = 0 é:
a) –6
b) –7
c) 6
d) –9
e) –3
Questão 63
(ITA-SP) Seja p um polinômio com coeficientes reais, de grau 7, que admite 1– i como raiz de
multiplicidade 2. Sabe-se que a soma e o produto de todas as raízes de p são,
respectivamente, 10 e –40. Sendo afirmado que três raízes de p são reais e distintas e formam
uma progressão aritmética, então, tais raízes são:
c) –4, 2, 8
d) –2, 3, 8
e) –1, 2, 5
Questão 64
(PUC-RS) Sabe-se que a equação x4 + x3 – 4x2 + x + 1 = 0 admite raízes inteiras. Se m é a
92
maior das raízes não inteiras dessa equação, então o valor de m +
é:
a) –6
b) –3
c) 0
d)
e) 2
Questão 65
(UFSC-SC) As dimensões, em metros, de um paralelepípedo retângulo são dadas pelas raízes
do polinômio
. Determine, em metros cúbicos, o volume desse
paralelepípedo.
93
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
NICOLAU, Antonio. Matemática de olho no mundo do trabalho. São Paulo: Scipione,
2004.
RUY, José. Matemática Fundamental: Uma nova abordagem. São Paulo: FTD, 2002.
BARRETO, Benigno. Matemática: Aula por aula. São Paulo FTD, 2000.
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