Distribuição Exponencial
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Distribuição Exponencial
Distribuição Exponencial • Aplicada a dados com forte assimetria • Caso especial da distribuição gamma com o parâmetro λ = 1. Distribuição Exponencial PDF f(X ) = λe CDF − Xλ ∞ F(X ) = ∫ λe − Xλ 0 Parâmetro Ou, 1 λ= X F(X ) = 1 − e − X X =1− e − Xλ • Dessa maneira: A esperança e a variância da distribuição exponencial são obtidas através das expressões: X = 1/λ e; s2 = σ2 = 1/λ2, Exemplo: Chuva em Pelotas f frequencia absoluta Classes X Valor Central 1 – 10 5,5 450 10 – 20 15 184 20 – 30 25 80 30 - 40 35 43 40 – 50 45 23 50 - 60 55 9 60 -70 65 7 70 – 80 75 5 80 – 90 85 2 90 -100 95 2 100 – 110 105 0 110 -120 115 1 Totais - 806 Calculando os Parâmetro da f(x) • Média ou Esperança fX ∑ X = ∑f • Parâmetro λ 1 λ= X Exemplo: Chuva em Pelotas Classes X Valor Central 1 – 10 5,5 10 450 2475 10 – 20 15 2760 20 – 30 25 20 184 30 80 30 - 40 35 40 43 1505 40 – 50 45 50 23 1035 50 - 60 55 60 9 495 60 -70 65 70 7 455 70 – 80 75 80 5 375 80 – 90 85 90 2 170 90 -100 95 100 2 190 100 – 110 105 110 0 0 110 -120 115 120 1 115 806 11575 Totais X - f f x X 2000 Σf Xcentral = 5,5x450 + 15x184 + 25x80 + ....... = 11575 Σf = 450 + 184 + 80 + 43 + 23 + 9 + 7 + .... = 806 Calculando os Parâmetro da f(x) • Média ou Esperança fX 11575 ∑ X = = = 14,361 ∑ f 806 • Parâmetro λ 1 1 λ= = = 0,0696 X 14,361 Classes X f F(X)=1-e-Xλλ Valor Esperado Σf-F(X)*Σ Σf 1 – 10 10 450 0,5016 402 10 – 20 20 184 0,7516 201 20 – 30 30 80 0,8762 100 30 - 40 40 43 0,9383 50 40 – 50 50 23 0,9692 25 50 - 60 60 9 0,9847 12 60 -70 70 7 0,9924 6 70 – 80 80 5 0,9962 3 80 – 90 90 2 0,9981 2 90 -100 100 2 0,9990 1 100 – 110 110 0 0,9995 0 110 -120 120 1 0,9998 0 806 - 806 Totais - F(X=10) = 1 – exp(-10 x 0,0696) = 0,5016 F(X=20) = 1 – exp(-20 x 0,0696) = 0,7516..... Excercicio: 0 0.1-10 10-20 20-30 30-40 40-50 50-60 60-70 70-80 80-90 90-100 100-110 110-120 120-130 130-140 140-150 Frequency 0 11105 1755 870 400 206 121 50 32 7 9 4 5 2 2 1 Chuva Diaria Observada na EM/IAG/USP 12000 10000 Frequencia Absoluta Bin 8000 6000 4000 2000 0 5 15 25 35 45 55 65 75 85 95 105 115 125 135 145 Chuva Diaria (mm) Distribuição de valores extremos, Tipo I de Fisher-Tippet ou Gumbel. • Utilizada para calcular a probabilidade de ocorrência de eventos extremos (chuva, vazão, vento e etc.) Distribuição de valores extremos PDF 1 f(X ) = e β CDF X −α − β e −e − X−α β F(X ) = e −e ± X−α β O duplo sinal no segundo expoente da CDF refere-se aos valores extremos máximo (sinal negativo) e mínimo (sinal positivo) Os parâmetros α e β podem ser calculados por diversos métodos. α e β via Método dos Momentos • As estimativas dos parâmetros β e α com base nos dois primeiros momentos da amostra (média X e desvio-padrão - s) α = X − 0,5772β β= 6 π s Chuva máxima de 24 horas de Piracicaba, SP, no período de 1917 a 1988 Ano 0 1 2 3 4 5 6 191... 7 8 9 65,0 68,0 65,0 59,2 192... 64,0 65,0 55,0 64,0 60,0 57,0 66,5 64,0 50,0 193... 86,5 93,0 69,0 65,0 83,0 50,0 64,4 58,8 58,0 109,5 194... 83,3 77,9 104,9 97,7 111,2 95,3 64,4 75,2 46,8 108,4 195... 55,5 62,4 73,9 54,4 57,8 80,1 39,9 59,1 80,0 78,4 196... 83,8 55,5 82,9 52,0 48,3 80,4 70,7 49,1 63,0 73,7 197... 71,6 68,5 80,4 99,5 68,6 76,0 72,7 71,8 46,4 63,4 198... 50,7 59,2 68,6 114,0 51,1 70,4 62,0 103,2 86,7 X= ∑X N = 65,0 + 68,0 + 65,0 + ... 62,3 + 103,2 + 86,7 5120,64 = = 70,7 72 72 [∑ ( X − X ) ] = 364,34 = 2 s β= 2 s = s 2 = 19,08 N −1 6 19,08 = 14,87 3,14 α = 70,7 − 0,5772 ×14,87 = 62,11 α e β via Método da Regressão Tomando-se os valores da variável aleatória X, ordenados em forma crescente, faz-se a regressão de n/(N+1) contra F(X), ou seja: F(X ) = e − e − X−α β n = N +1 n ln =e N + 1 n X −α α X ln ln = − = − β β β N +1 − X−α β • Assim, se utilizarmos uma equação da forma Y = a + bX, temos que n Y = ln ln N + 1 α a= β b= 1 β Portanto, os parâmetros a e b podem ser estimados por a = Y − bX b= X∑ Y ∑ ∑ XY − N ( X) ∑ − 2 ∑X 2 N Exemplo: Valores anuais de chuva máxima de 24 horas de Piracicaba, SP, ordenados para estimativa dos parâmetros da distribuição de valores extremos b= a = Y − bX X∑ Y ∑ ∑ XY − N ( X) ∑ − 2 ∑X 2 N n Y = ln ln ( ) N + 1 ∑ X = 39,9 + 46,4 + ... + 111,2 + 114,0 = 5120,7 ∑ X = 39,9 + 46,4 + ... + 111,2 + 114,0 = 38255,29 ∑ Y = 1,4564 + 1,2802 + ... + −3,5835 + −4,2836 = −39,97 2 2 2 2 ∑ XY = 39,9 × 1,4564 + 46,4 × 1,2802 + ... + 111,2 × (−3,5835) + 114,0 × (−4,2836) = −4295,91 a = 4,3492 e b = -0,06896 β=− 1 1 =− = 14,5012 b − 0,06896 α = aβ = 14,5012 × 4,3492 = 63,0686 Lista de Exercício 4 Entrega: 24 de Junho • 1) A partir da Tabela de Precipitação máxima diária observada na Estação Meteorológica do IAG/USP, calcule os parâmetros alfa e beta da distribuição de valores extremos segundo os seguintes métodos: a) momentos b) regressão Obs. Apresente todos os passos. Valor Médio da Classe • 2) A partir da tabela (ao lado) de frequência de ocorrência de precipitação mensal observada na EM/IAG/USP, ajuste uma distribuição de frequência exponencial e plote os resultados (observação e modelo) Frequencia Absoluta 25 128 50 120 75 117 100 96 125 99 150 69 175 55 200 62 225 47 250 39 275 29 300 12 325 10 350 8 375 4 400 5 425 1 450 1 475 1 500 0