Princípios Estruturais Arcos, Abóbadas e Cúpulas.indd

Gaudi
....La base de todo raciocínio es la regla de tres, la proporción matemática, el silogismo. El hombre debe recurrir a estos medios; primero supone el
conocimiento de una cosa para encontrar otra que le sirva de base firme. Primero avanza un pie y luego el otro. Un problema de muchas incógnitas debe
resolverse por partes. El hombre se vale de dos cosas conocidas, comparadas
entre sí, para deducir la relación desconocida entre otras dos; es la proporción
<<a es a b como c es a d>>.” (Conversaciones con Gaudi - Cesar Martinell
Brunet - Ed. Punto Fijo, 1969).
O Mecanismo Estrutural
É comum vermos nos livros que tratam de cálculo estrutural, a representação de vigas, lajes e pilares por linhas sem espessura, sujeitas a momentos
e a deformações elásticas e que conduzem à soluções matemáticas bastante
abstratas para mentalidades mais visuais como a dos arquitetos e designers,
quando sabemos que para qualquer material resistir à alguma força é indispensável que tenha massa e sempre uma parte deve resistir à tração e outra à
compressão.
Através de desenhos mais condizentes com os mecanismos que são
acionados para que os elementos estruturais resistam às forças e utilizando
uma parte da matemática mais visual
que é a geometria vamos caminhar
para a resolução dos nossos problemas
estruturais, com mais tranqüilidade.
O desenho ao lado mostra um
bloco de um material qualquer, ou seja
um pilar, apoiado no chão carregando
uma carga.
Seu peso e qualquer outra carga
que estiver carregando estão sendo
entregues ao apoio no chão, que reage
com uma força igual e contrária.
Vitor Amaral Lotufo
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O peso da carga mais seu próprio peso comprimem o pilar, fazendo com
que este diminua de tamanho, é a maneira que os materiais resistem à forças
de compressão, como conseqüência o chão também é amassado pelo peso do
pilar.
Essa diminuição de comprimento, entre certos valores, é proporcional
à força total de compressão, à seção da área comprimida e ao tipo de material
de que é feito o pilar. Se as forças forem de tração haverá aumento no comprimento da peça tracionada e também entre certos valores será proporcional à
área da seção e ao tipo de material.
Os materiais que usamos para construção tem características variadas,
por exemplo a pedra, o vidro e os tijolos são quebradiços, resistentes à compressão, mas frágeis à tração, possuem pequenas fissuras causadas pelo processo de endurecimento que praticamente os fazem explodir, quando tracionados.
Já a fibra de vidro feita com fiapos muito finos do próprio vidro não
apresenta esse inconveniente, a escala pode alterar essa característica.
Metais como o ferro, o alumínio, são duteis, podem se deformar bastante
antes da ruptura, a madeira não é dutil mas também não é quebradiça.
Cada material tem então várias características e talvez as mais importantes para a construção sejam suas resistências típicas à compressão e à tração
em determinadas condições normais de trabalho e seu módulo de elasticidade
(E), que é definido como a tensão de compressão ( força dividido pela seção)
multiplicado pelo inverso da porcentagem do aumento de comprimento (comprimento inicial dividido pelo aumento), como este último item sempre dará
um número grande o módulo de elasticidade será sempre representado por um
número grande.
Material
Madeira
Concreto
Tijolo Comum
Aço CA-50
Compressão
100 kgf/cm²
50 a 300 kgf/cm²
50 kgf/cm²
5000 kgf/cm²
Tração
E
100 kgf/cm²
140000kgf/cm²
15 a 30 kgf/cm²
240000kgf/cm²
----70000kgf/cm²
5000 kgf/cm² 2100000kgf/cm²
A fórmula de Hook relaciona o aumento ou diminuição do comprimento,
com a força que é aplicada.
DL = (F. L) / (E . S)
Por exemplo:
Uma carga de 10000kgf
comprime um pilar de madeira
com 250cm de altura e com
seção de10 x 10 cm.
A diminuição será de:
DL = (F x L) / (E x S)
DL = (10000kgf x 250 cm) /
(140000 kgf/cm² x 100 cm²)
DL = 0,18cm ou em torno
de 2mm
O desenho seguinte mostra
o pilar agora inclinado, apoiado em dois pontos, o chão e a
parede.
A parede é lisa, só oferece
reação horizontal, o apoio no
chão reage verticalmente igual
e contrario ao peso e, através de atrito reage à força horizontal, ele precisa do
atrito com o chão para não escorregar.
O pilar agora pode ser chamado de viga pois vence um vão, inclusive
podendo carregar algum outro peso alem de seu próprio, mas como depende
do atrito no chão para
resistir à força horizontal, não é autoportante, sem o atrito
perderia sua forma de
viga.
As forças relativas a seu próprio peso
que percorrem o pilarviga produzem flexão,
esse efeito será visto
mais à frente, agora
nos concentraremos
nas forças causadas
Vitor Amaral Lotufo
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pela carga externa colocada no topo do pilar-viga.
Espelhando essa figura e colocando um tirante ligando as partes inferiores
para que a força horizontal de um lado equilibre o outro, temos uma viga da
maneira que estamos acostumados a ver, algo parecido com uma tesoura de
telhado.
Na parte de cima os dois pilares-viga se comprimem um se escora no
outro enquanto que na parte de baixo o tirante é tracionado, completando uma
estrutura autoportante, pois agora não é necessário a ajuda externa do atrito.
As cargas vão para os apoios, gerando forças horizontais que vão se contrapor, compressão na parte de cima e tração na parte de baixo.
Vamos chamar de “altura estrutural” a distância entre as forças de compressão na parte de cima às de tração na parte de baixo.
Quanto maior a altura estrutural em relação ao vão menores serão as forças horizontais.
Esquematicamente é assim que funciona toda e qualquer viga, podem
sempre ser divididas em duas partes, sempre uma se contrapondo à outra.
Os triângulos formados pelas forças são semelhantes aos geométricos da
estrutura e se conhecemos uma das forças, por
exemplo o peso, poderemos conhecer as outras.
Exemplo: Nesta estrutura temos duas águas
de um telhado, apoiadas
nas vigas cumeeira e em
vigas na base. As cumeeiras descarregam metade
do peso de cada água
do telhado na estrutura
(tesoura) e a outra metade nas vigas da base que
descarregam diretamente
nos pilares.
No desenho só estão
representadas as forças
que carregam as vigas
cumeeiras.
As cargas das vigas
cumeeiras vão para as pernas da tesoura, as pernas de um dos lados só tem
apoio horizontal (uma horizontal contra a outra), gerando com as forças verticais resultantes que percorrem as pernas da tesoura, até a base onde estas se
decompõe em horizontais e verticais.
Como neste exemplo o ângulo das pernas com o tirante é de 45°, as
horizontais vão ter a mesma intensidade das verticais. Se o ângulo for menor,
a altura estrutural será menor e as forças horizontais maiores, se for maior, a
altura estrutural será maior e as forças horizontais menores.
Neste caso (ângulo de 45°), as horizontais esticam o tirante com força de
intensidade igual ao peso de cada uma das águas do telhado e comprimem as
pernas com a intensidade igual ao do peso de uma das águas do telhado, multiplicado pelo seno de 45° que é e2.
Este é um exemplo do mecanismo estrutural, que permite a construção
de um vão livre, um abrigo, uma ponte...enfim uma estrutura autoportante, e
que aplicado repetidamente nos permite criar estruturas mais complexas.
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E é o princípio de funcionamento de toda e qualquer estrutura, é um
jogo de tração e compressão atuando sempre em triângulos de forças e para
dimensioná-las utilizaremos a ferramenta básica, a regra de três, comparando
o triângulo geométrico da estrutura com o triângulo formado pelas forças.
Mudança da forma geométrica após a aplicação das forças
Devemos lembrar que as peças comprimidas da tesoura diminuirão de
tamanho e as tracionadas aumentarão de tamanho e isso pode alterar os ângulos entre as peças, alterando o vão e a altura estrutural e conseqüentemente
alterando a intensidade das forças.
Lei de Hooke: Robert Hooke foi quem descobriu a relação entre força e a
forma com que os materiais resistem à essas forças, aumentando ou diminuindo seu comprimento.
DL = (F. L) / (E . S)
O triângulo formado pelas duas pernas da tesoura mais o tirante terá sua
forma modificada, pois as pernas sujeitas a compressão diminuirão de comprimento e o tirante devido à tração aumentará de comprimento.
Se as cargas devidas ao telhado forem de 1500kgf sobre cada uma das
vigas no topo da tesoura, sendo seu vão livre de 3m e a altura do triângulo de
1,50m, teremos uma força de 1500kgf tracionando o tirante e de 1500kgf x
e2 comprimindo cada perna da tesoura= 2121,32kgf..
Usando peças de madeira no perfil de 6 x 16cm com E= 140000kgf/cm²,
teremos para as peças comprimidas:
DL = (L x F)/(S x E)
DL = (212,132cm x 2121kgf) / (96 cm² x 140000kgf/cm²)
DL = 0,03348cm
E o tirante:
DL = (300 x 1500kgf) / (96 cm² x 140000kgf/cm²)
DL = 0,0335cm
Se a simetria se mantém a metade do triângulo continuará com ângulo de
90° (retângulo), mas o Ângulo formado entre perna e tirante não será mais de
45°, pois o cateto e a hipotenusa se modificaram: de 212.132 para 212,09855 e
de 150 para 149,98cm, o ângulo será então de 44,997°.
É uma diferença muito pequena para ser levada em conta, mas em estruturas maiores e cargas maiores, as diferenças poderão ser importantes.
Arcos
Os arcos são vários triângulos (mecanismo estrutural) superpostos.
Para entendermos essa idéia, vamos retirar o tirante da tesoura e apoiá-la
em outros blocos, ou pilares-viga, inclinados de tal forma que queiram “cair”
para dentro com a mesma intensidade que os que estão acima querem “cair,
abrir” para fora.
O tirante agora deve ser colocado na parte de baixo dos novos blocos.
A inclinação dos blocos de baixo será determinada pela direção da resultante entre a força horizontal provocada pelos blocos de cima e a vertical,
soma do peso dos dois blocos (o de cima mais o de baixo), pois o bloco de
baixo além do próprio peso, suporta também o peso do de cima, como mostrado no desenho.
É uma aplicação repetida do mecanismo estrutural do exemplo anterior.
Esse é o perfil que um arco deve ter para resistir à cargas iguais ao longo
de seu percurso, ou seja quando formado por infinitos blocos assume a forma
de uma curva catenária.
Para que o desenho se aproxime mais de uma curva catenária, devemos
trabalhar com pedaços pequenos, principalmente no centro da curva, porém
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é interessante notar que
os arcos podem estar
equilibrados tendo aquela
ponta típica dos arcos
góticos.
No exemplo ao lado
mostramos que podemos
construir a catenária também a partir do elemento
inferior, mantendo-se
fixo o valor da força horizontal, diminuindo-se o
valor da força vertical, à
medida que colocamos
mais elementos.
O valor da força
horizontal é relativo
ao bloco mais alto pois
depois sempre será igual,
pois nestes arcos o objetivo é que as horizontais
sempre se anulem.
Dessa maneira os blocos trabalharão somente à compressão, haverá tração
na interrupção da curva, para isso o tirante.
As forças horizontais são sempre iguais e vão se contrapondo ao longo do
arco.
O arco entrega em cada apoio a metade do peso total do arco, através de
uma força com a direção da inclinação do bloco que chega ao apoio ou seja
a tangente da curva do arco no ponto de apoio e a intensidade da força horizontal será proporcional ao peso descarregado, lembrando que essa tangente
será determinada pelo vão e pela altura estrutural, pois são as determinantes da
proporção da curva catenária.
Não vamos nos importar com o que acontece internamente em cada bloco,
pois iremos depois subdividi-los em inúmeros pedaços, sempre nos importando apenas com as forças que cada um entrega para seus vizinhos, ou seja nos
seus apoios.
No desenho abaixo, optamos por construir com oito blocos ou pedaços
de mesmo tamanho e peso, somente o oitavo foi subdividido pela metade e
a metade seguinte também pela metade e finalmente mais uma subdivisão
para que a curva ficasse visualmente mais arredondada no topo (sempre com
o peso proporcional ao comprimento, caso contrario não teremos mais uma
catenária).
Começamos então o desenho considerando oito unidades de peso para a
força vertical e a horizontal foi fixada como uma constante. Apenas nos pedaços do topo o peso foi considerado proporcional à metade do bloco e assim
sucessivamente.
Estes arcos podem ser chamados de arcos com curvatura natural, pois sua
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curvatura é definida para que sempre a força horizontal seja a mesma ao longo
de todo o seu desenvolvimento respeitando seu carregamento.
Se houverem cargas extras externas, estas deverão ser acrescidas ao peso
de cada bloco. Se essas cargas externas forem iguais em todos os blocos constituintes do arco, a sua forma ideal não se modificará, porém se não houver
regularidade é possível que uma outra forma de arco seja a resultante natural.
O arco resultante natural é chamado de funicular, pois se pendurarmos
pesos em um cordão (funiculum em latim), este adotará a forma do arco resultante e que consistiu a maneira de Gaudi projetar os arcos da Cripta Guell.
A cada passo, a força horizontal é sempre de mesma intensidade, porém
a força vertical que é nula no centro do arco vai aumentando passo a passo, a
tangente que na verdade é a resultante da horizontal com a vertical consequen-
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temente aumenta conforme se aproxima dos apoios.
O arco que trabalha à tração, trabalha igual ao de compressão, porém com
inversão de sinal nas forças, as forças horizontais se dirigem para o interior do
arco e as verticais ficam dependuradas no arco.
Abóboda em pedra maciça - Residência Gardel - arq. Cecília Lenzi
Na parte superior, travando o arco de tração, podemos colocar uma barra
horizontal para compensar as forças de compressão horizontais. Podemos também ao invés da barra de compressão, colocarmos outro arco invertido com as
mesmas cargas, eles se compensarão.
Quando o carregamento de um arco tiver uma regularidade linear (cargas
iguais à distâncias horizontais iguais), sua forma ideal será o de uma parábola.
Este constitue o carregamento mais usual.
Estes arcos, na realidade são instáveis em termos de equilíbrio, qualquer
eventual força pode desequilibrá-los. É preciso que esses arcos possam resistir também à forças de tração que eventualmente possam surgir, provocando
flexão. Isso será visto adiante.
Arcos com curvatura não natural
Os arcos de circunferência normalmente não consistem em curva funicular
de um carregamento, pois este teria de ser muito atípico.
Isso quer dizer que as forças horizontais não se compensam, existindo ao
longo da curva forças horizontais excedentes, maiores ou menores.
Vamos ver como as forças caminham em um arco de semi circunferência
tendo de resistir somente ao seu próprio peso.
Exatamente como no exemplo do pilar inclinado, o bloco de cima descarrega seu peso no bloco de baixo provocando horizontal dirigida para fora e o
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de baixo provocando horizontal para dentro em sentidos opostos, apesar da horizontal do bloco que está
abaixo a reduzir, resta um excedente de força horizontal dirigida para fora, inclusive nos outros encontros
de blocos.
Arcos isolados como este trabalham à flexão,
sendo necessário criar elementos resistentes à flexão.
A maior parte das vezes construímos arcos como
portais em paredes, dessa maneira as paredes acabam
fornecendo a escora para esses excedentes de forças
horizontais.
O desenho ao lado mostra que o arco para resistir a essas forças excedentes terá de se comportar como viga resistindo à essas forças, apoiado na base e
no topo.
Como o desenho desse arco é uma semi circunferência e se o arco for
dividido em infinitas partes, a força horizontal na base será nula.
Cúpulas
Da mesma maneira funcionam as cúpulas, calculamos um arco que gira
em torno de uma circunferência.
Este arco agora será composto por dois setores opostos da cúpula, não
tendo uma seção constante, pois no topo os dois setores se tocam em apenas
um ponto e sua seção é crescente até atingir a meia calota.
Dividimos cada setor em partes e conseqüentemente cada parte do setor
terá um peso diferente, o superior triangular, os subseqüentes trapezoidais e
com áreas crescentes e pesos crescentes somente se a cúpula exceder a meia
esfera os setores terão área reduzida.
Cúpulas com curvatura natural trabalham somente à compressão, mas
quando a curvatura não for natural como por exemplo a esférica, as forças
horizontais não serão constantes existindo em cada paralelo forças horizontais
excedentes.
Se quisermos construir cúpulas com curvaturas não naturais, deveremos
prever elementos estruturais que absorvam essas forças horizontais tais como
cintas ou anéis de tração.
Cúpula Hemisférica
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A curvatura de um arco ou de uma cúpula com a forma de uma meia esfera apresentará desequíibrios entre as forças horizontais em cada paralelo.
Este desenho mostra um corte vertical de uma cúpula hemisférica dividida em dezesseis setores e cada setor dividido em quatro partes, por paralelos
A,B,C e D. Formando quatro trapézios com áreas diferentes e portanto com
pesos diferentes. A primeira é um trapézio onde um dos lados é nulo, portanto
é um triângulo.
A área de cada trapézio é a média da soma dos dois lados paralelos multiplicado pela altura. Cada lado dos trapézios é a circunferência do respectivo
paralelo, dividido pelo número de setores, no caso 16 e a altura de cada parte é
a circunferência da esfera dividido por 16 também.
Considerado o raio R unitário, temos que
R° = cos 90° ou 0,
R¹ = cos 67,5° ou 0,3827,
R² = cos 45° ou 0,707,
R³ = cos 22,5° ou 0,92388 e
R = cos 0° ou 1.
E, o comprimento
O = 0,
A = (0,3827 x p / 8) ou 0,15029,
B = 0,2777, C = 0,34833,
D = 0,3927 que é também a altura de cada trapézio.
Área da parte A = ((0 + 0,15029) / 2) x (0,3927) = 0,0295
parte B = 0,084
parte C = 0,1229
parte D = 0,1455, todas expressas em R²
Vamos adotar essas áreas como um fator de peso e vamos calcular as
forças que agem na esfera adotando-se as áreas
como forças peso.
A força horizontal que a parte “A” descarrega na parte “B”, se compensa pela horizontal
contraria proveniente da parte”B”.
A força horizontal descarregada pela parte
“B” na parte “C” é um pouco maior que a proveniente da “C”, resultando um excedente dirigido
para fora.
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A força horizontal descarregada pela parte “C” na parte “D” é um pouco
maior que a proveniente da “D”, resultando um excedente dirigido para fora.
A parte “D” descarrega no apoio uma força inclinada que decomposta tem
uma componente horizontal para fora e uma vertical igual a soma de todas as
partes do setor.
Como o excedente de forças se dirige para fora as forças são de tração nos
anéis. Se forem dirigidas para dentro, as forças serão de compressão.
O desenho da vista superior da cúpula mostra os excedentes das forças
horizontais decompostos em forças que tracionam as cintas ou anéis entre as
partes em que foram divididos os setores.
As forças horizontais na base, também tem componentes que tracionam o
anel da base da cúpula.
A precisão do resultado melhora em quanto mais setores e partes dividirmos a cúpula.
Essas operações também podem ser calculadas com a ferramenta estrutural, em operações sucessivas.
Exemplo
Cúpula hemisférica feita em tijolos comuns 1/2 vez, com 5m de raio,
peso próprio da alvenaria 280 kgf/m² e carga acidental de 50kgf/m², total de
330kgf/m².
Dividiremos a cúpula da mesma forma que a anterior em 16 setores e em
4 partes cada setor. Poderemos então utilizar as proporções de peso de cada
parte do setor:
Peso da parte A: 0,0295 x 5m² x 330 kgf/m² = 243,375 kgf
Peso da parte B: 0,084 x 5 m² x 330 kgf/m² = 693 kgf
Peso da parte C: 0,1229 x 5 m² x 330 kgf/m² = 1013,925 kgf
Peso da parte D: 0,1455 x 5 m² x 330 kgf/m² = 1200,375 kgf/m²
A parte A esta apoiada horizontalmente na outra parte A do setor oposto
e no topo da parte B, com um ângulo de 11,25°
com a horizontal, provocando uma força horizontal de
243,375 kgf / tg 11,25° = 1223,53 kgf
direcionada para fora.
A parte B está apoiada na parte C, descarregando seu peso de 693 kgf
mais o de A de 243,375 kgf, totalizando 936,375 kgf com o ângulo de 11,25°
mais 22,5° ou 33,75°, provocando uma força horizontal de 936,375 kgf / tg
33,75° = 1401,38 kgf.
Uma força igual com sentido contrário agirá na outra extremidade empurrando a força horizontal proveniente da parte A para dentro, resultando uma
força excedente de 1401,38 kgf - 1223,53kgf = 177,85 kgf,
esta força dirigida para dentro portanto comprimindo o anel desse paralelo.
A parte C, está apoiada na parte D, descarregando seu peso de 1013,925
kgf mais o de A e B, de 936,375 kgf, totalizando 1950,3 kgf com o ângulo de
33,75° mais 22,5° ou 56,25°, provocando uma força horizontal de 1950,3 kgf /
tg 56,25° = 1303,15 kgf.
Uma força igual com sentido contrário agirá na outra extremidade empurrando a força horizontal proveniente da parte B para dentro, resultando uma
força excedente de 1303,15kgf - 1401,38 kgf = - 98,23 kgf,
esta força dirigida para fora, portanto tracionando o anel desse paralelo.
A parte D, está apoiada na fundação, descarregando seu peso de 1200,375
kgf mais o de A, B e C, de 1950,3 kgf, totalizando 3150,675 kgf com o ângulo
de 56,25° mais 22,5° ou 78,75°, provocando uma força horizontal de 3150,675
kgf / tg 78,75° = 626,71 kgf.
Uma força igual com sentido contrário agirá na outra extremidade empurrando a força horizontal proveniente da parte C para dentro, resultando uma
força excedente de 626,71 kgf - 1303,15 kgf = - 676,44 kgf,
esta força dirigida para fora, portanto tracionando o anel desse paralelo.
A força horizontal na base da parte D provocará tração no anel final.
A força excedente horizontal entre as partes A e B provoca compressão e
tem a intensidade de 177,85 kgf . Decomposta em duas, nas direções dos setores adjacentes que formam um ângulo entre si de 157,5° valerão:
F compressão = \F excedente / (2 x cos78,75°) ou 177,85 / 0,39 = 456 kgf
Os tijolos aguentam 50 kgf/cm² à compressão, portanto são necessários 10
cm² de seção de tijolo no anel.
A força excedente horizontal entre as partes B e C provoca tração e tem
a intensidade de 98,23 kgf . Decomposta em duas, nas direções dos setores
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adjacentes que formam ângulo entre si de 157,5° valerão: 98,23 kgf / 0,39 =
251,87 kgf de tração, multiplicado por 1,4 coeficiente de segurança = 353 kgf,
será necessário reforçar com uma barra de aço que suporte essa força ou 353
kgf/ (50 kgf/mm² x 0,85 coef. seg.) = 8,2 mm².
A força excedente horizontal entre as partes C e D provoca tração e tem
a intensidade de 676,44 kgf . Decomposta em duas, nas direções dos setores
adjacentes que formam ângulo entre si de 157,5° valerão: 676,44 kgf / 0,39
= 1735 kgf de tração, multiplicado por 1,4 coeficiente de segurança = 2429
kgf, será necessário reforçar com uma barra de aço que suporte essa força ou
2429 kgf/ (50 kgf/mm² x 0,85 coef. seg.) = 57,2 mm² (uma barra de 10 mm de
diâmetro ou duas de 6,2 mm).
A força horizontal na base de D é de 626,71 kgf, decomposta em duas
626,71 / 0,39 = 1607 kgf x 1,4 = 2250 kgf / (50 kgf/ mm² x 0,85) = 53 mm²
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11
A B
C
D
E
F
G
H
I
J
K
L
M
N
O
P
Q
R
S
T
r nºsets nºpart âng H
âng V
Raios H
Circ. H
Segm H
Segm V
parte área pte
peso pt
p acum
âng pte
âng graus Força H exced
exced*1,4
âng horiz
Força anel
5 32
16 0,196349541 1,570796327 0
0
0
0,981747704 A 0,094016812 31,02554782 31,02554782 0,09817477 5,625 315,0076733 90,17195611 126,2407386 1,472621556 643,9727691
5 32
16 0,196349541 1,374446786 0,97545161
6,12894322 0,191529476 0,981747704 B 0,278437421 91,88434904 122,9098969 0,294524311 16,875 405,1796294 103,9247929 145,4947101 1,472621556 742,1901395
5 32
16 0,196349541 1,178097245 1,913417162 12,0223546 0,375698581 0,981747704 C 0,452157837 149,2120863 272,1219831 0,490873852 28,125 509,1044224 37,79475208 52,91265291 1,472621556 269,9153063
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 D 0,535474455 176,7065701 448,8285532 0,687223393 39,375 546,8991745 -33,53576587 -46,95007221 1,472621556 -239,499296
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 E
0,535474455 176,7065701 625,5351233 0,883572934 50,625 513,3634086 -84,55628977 -118,3788057 1,472621556 -603,8678811
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 F
0,535474455 176,7065701 802,2416934 1,079922475 61,875 428,8071188 -131,8464097 -184,5849736 1,472621556 -941,5953829
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 G 0,535474455 176,7065701 978,9482634 1,276272016 73,125 296,9607091 -191,8406818 -268,5769545 1,472621556 -1370,050961
5 32
16 0,196349541 0,981747704 2,777851165 17,45375363 0,545429801 0,981747704 H 0,267737227 88,35328504 1067,301548 1,472621556 84,375 105,1200273 -105,1200273 -147,1680382 1,472621556 -750,726035
Como as operações são repetitivas e sequenciais, podemos construir
tabela com EXCEL .
A- Raio da cúpula (r), em metros.
B- Número de setores em que dividimos a esfera.
C- Número de partes em que cada setor foi dividido, consideramos aqui
uma metade de setor.
D- Ângulo horizontal que define cada setor em radianos, fórmula
=2*PI()/B.
E- Ângulos verticais em radianos, fórmula =PI()/C.
F- Raios horizontais de cada paralelo, fórmula =A*cos(E).
G- Comprimento de cada circunferência de cada paralelo fórmula
=2*PI()*F.
H- Comprimento de cada segmento horizontal de cada parte, fórmula
=G/B.
I- Comprimento do segmento vertical das partes, fórmula =2*PI()*A/B.
J- Designativo de cada parte.
K- Área de cada parte em m², fórmula =((H¹+H²)/2)*I,.
L- Peso de cada parte, considerando 330 kgf/m², fórmula =K*330.
M- Peso acumulado das partes a partir da superior, com a fórmula
=SOMA(L²+M¹).
N- Ângulo que cada parte faz com a seguinte inferior em radianos, fórmula =(PI()/C)+N.
O- Ângulo N medido em graus com a fórmula =(180*N)/PI().
P- Força horizontal sob cada parte em kgf, fórmula =M/TAN(N).
Q- Força excedente sob cada parte em kgf, fórmula =P²-P¹.
R- Forças multiplicadas pelo coeficiente de segurança 1,4.
S- Ângulo entre setores, fórmula =(PI()-D)/2.
T- Força que comprime (em positivo) ou que traciona (em negativo)
cada anel entre partes em kgf, fórmula =R/(2*COS(S)).
Quanto mais dividirmos a cúpula em setores e partes mais o resultado
ganha em precisão.
Para aplicar este esquema em geodésicas, devemos fazer coincidir aproximadamente os paralelos com os da geodésica e dividir a soma das forças de
todas as partes de mesma posição e dividi-las pelo número de barras de mesma
posição.