Introdução aos Conceitos Básicos da Mecânica da Fratura

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Introdução aos Conceitos Básicos da Mecânica da Fratura Elasto-Plástica
Estela Mari Ricetti Bueno
Túlio Nogueira Bittencourt
Laboratório de Mecânica Computacional - LMC
Departamento de Estruturas e Fundações da Escola Politécnica da
Universidade de São Paulo
Resumo
O objetivo deste trabalho é apresentar de forma compacta e simplificada os conceitos fundamentais e modelos
básicos da mecânica da fratura elasto-plástica. Ao ocorrer o fraturamento de um corpo, para alguns tipos de
materiais, sempre há uma região plastificada na ponta da fissura. Apesar disso, muitas vezes a existência dessa
plastificação pode ser negligenciada, sem prejudicar a simulação do comportamento da fissura, quando esta tem
dimensão pequena em relação à região K-dominante. Nesses casos, é possível aplicar a mecânica da fratura
elástica linear (MFEL). Nos casos em que estas condições não se verificam, é preciso considerar a plastificação,
aplicando-se então os conceitos da mecânica da fratura elasto-plástica. Geralmente materiais com alta tenacidade
e baixa resistência sofrem grandes deformações plásticas e necessitam da aplicação da mecânica da fratura
elasto-plástica para simulação de seu fraturamento. No fraturamento elasto-plástico ocorre dissipação de energia
por meio da deformação plástica e da propagação da fissura. A avaliação do fluxo de energia envolvido no
processo pode ser dado pela Integral J. Será abordado o conceito de região J-dominante, onde o crescimento da
fissura e a estabilidade são controlados pelo valor da integral J. Será também apresentado o modelo de Dugdale,
que propõe uma simplificação para chapas metálicas finas bastante eficiente para a representação do fenômeno.
A representação de fissuras elasto-plásticas exige o desenvolvimento de técnicas de solução não-lineares gerais,
embora neste trabalho sejam abordadas somente soluções não-lineares restritas a pequenas deformações. Para
simular de maneira satisfatória o processo de fraturamento elasto-plástico é preciso enfocar o comportamento do
material a nível microscópico, sendo este válido também com grandes deformações. Para materiais dúcteis o
comportamento microscópico do material é simplificadamente explicado através da mecânica do dano pelos
modelos de nucleação e crescimento de vazios de Gurson[29, 36] e de Tvergaard[34].
1. Introdução
No desenvolvimento do estudo da mecânica da fratura, Wells[7] observou que os
valores obtidos para tenacidade, KIC, para aços estruturais eram muito elevados, ou seja,
tratavam-se de materiais com tenacidade extremamente elevada, que atingiam tensões muito
maiores do que a de escoamento. Por conseguinte, tornava-se inviável a representação do
fenômeno do fraturamento através da Mecânica da Fratura Elástica Linear (MFEL).
Claramente, estes materiais desenvolviam o fraturamento em regime plástico. Devido à
grande necessidade de utilização destes materiais na indústria, houve incentivo para que se
pesquisasse o fenômeno do fraturamento elasto-plástico, e conseqüentemente, métodos de
cálculo que permitissem o projeto de estruturas sob esta condição de serviço.
A mecânica da fratura elasto-plástica representa o comportamento de fissuras em
materiais com comportamento não-linear e independente do tempo. Há dois parâmetros que
são mais utilizados para representação da elasto-plasticidade no fraturamento : a Integral J e a
abertura de ponta de fissura δ (CTOD - “Crack Tip Opening Displacement”). Seus valores
críticos são quase independentes da tenacidade ao fraturamento, para grandes deformações
plásticas. A integral J e a CTOD podem ser utilizados como critérios para dimensionamento
no regime elasto-plástico. Embora possuam limitações, esses parâmetros são mais
abrangentes que a MFEL.
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2. Abertura de Ponta de Fissura (CTOD) - δ
Através de ensaios de fraturamento para obtenção de KIC, Wells[7] percebeu que as
faces da fissura se afastavam. As deformações plásticas provocavam um arredondamento da
ponta aguda da fissura (fig. 1) e o crescimento da fissura aumentava proporcionalmente à
tenacidade do material, quando a zona de plastificação não era muito grande. Essa separação
entre as faces da fissura devida ao arredondamento é chamada de abertura de ponta de fissura
δ (CTOD - “Crack Tip Opening Displacement”). Wells[7] relacionou o valor de KI ao de δ
com escoamento em pequena escala. Baseado nisto, Irwin[8] propôs uma extensão de fissura
fictícia (fig. 2), para ajustar à MFEL em casos de pequena zona de plastificação na ponta da
fissura. O comprimento fictício seria dado por a+ry, sendo a o comprimento da fissura e ry o
raio da região em plastificação para estado plano de tensão, conforme abaixo:
uy = (κ +1)/2µ * KI * (ry/2π)
(1)
Figura 1 - Abertura de ponta de fissura (CTOD - “Crack Tip Opening Displacement”). Um início de
arredondamento da ponta da fissura com deformação plástica, resultante do deslocamento δ na ponta da fissura.
[1]
Figura 2 - Estimativa da abertura de ponta de fissura (CTOD - “Crack Tip Opening Displacement”) a partir da
fissura efetiva na zona de plastificação de Irwin. [1]
ry = (KI / σys)2/(2π)
(2)
δ = 2uy = λ* (KI)2/(E σys)
(3)
substituindo (1) em (2) :
onde : λ = (4/ π)
λ = 1 (experimentalmente)
Dentro da limitação de uma pequena zona da plastificação é possível relacionar
CTOD a G ( taxa de liberação de energia) e KI. A medida de CTOD continua válida, mesmo
quando a MFEL não pode mais ser aplicada.
Wells[7] propôs uma relação para δ que é válida para a zona de plastificação de
tamanho significativo que depende da tensão aplicada na chapa (σ) e que considera que na
ponta da fissura ocorre a tensão de escoamento (σys). O tamanho da região entre a abertura e a
3
ponta de fissura que de fato ainda resiste sob tensão de escoamento é baseado na tensão
necessária para fechar a fissura de abertura δ (fig 3) de uma chapa infinita[9] com estado
plano de tensão e sem encruamento do material.
δ = [8 σys a / (πE) ] * ln sec [πs / (2σys)]
δ = [8 σys a / (πE) ] * { [πσ / (2σys)2]/2 + [πσ / (2σys)4]/12 +...}
δ = [(KI)2 / (2σys E) ] * { 1 + [ πσ / (2σys)2]/6 +...}
(4)
Figura 3 - Estimativa da CTOD a partir do modelo do prolongamento plastificado. [1]
Desta forma a relação entre CTOD , KI e G é:
δ = [(KI)2 / (m sys E) ] = [G / (m sys E) ]
(5)
onde: m é um parâmetro adimensional que assume o valor aproximadamente 1
para estado plano de tensão e 2 para estado plano de deformação.
Há diversas maneiras de se medir a CTOD, as duas mais comuns estão indicadas
abaixo (fig. 4):
Figura 4(a) - Deslocamento da ponta de fissura
original
Figura 4(b) - Deslocamento na interseção a um ângulo
de 900 com as faces da fissura
Em laboratório, a maneira mais comum de se medir CTOD é através do ensaio do
corpo de prova com fissura de extremidade sujeito a carga aplicada em 3 pontos (fig. 5),
“three-point bend specimens”.
4
Figura 5 - Ensaio “three-point bend specimens”.para estimar CTOD [1]
Onde : r = fator de rotação adimensional, que varia de 0 a 1
V = abertura do entalhe (valor medido no ensaio).
Este valor V é aproximadamente o que se define por Vp abertura da boca da fissura
(MOD - Mouth Openingning Displacement). Na verdade a CTOD medida é composta por
duas partes, uma devida à contribuição da deformação elástica (δe), e a outra devida à
deformação plástica (δp)
δ = δe+ δp = [(KI)2 / (σys E’) ] + [rp(W-a)Vp] / [rp(W-a) + a]
(6)
Onde : rp = fator de rotação plástica (aproximadamente 0,44)
Na figura abaixo é possível visualizar a relação entre P(carga) e MOD do ensaio
descrito, obtendo o valor de Vp.
Figura 6 - Abertura da Boca da Fissura (MOD - “Mouth Opening Displacement”) [1]
3. Integral J
A integral J é um parâmetro de fraturamento que quantifica o fluxo de energia através
de um contorno fechado em torno da ponta da fissura. Este parâmetro foi desenvolvido para
materiais elásticos não-lineares.
A teoria da deformação na plasticidade relaciona as deformações totais com as
tensões, sendo equivalente à análise não-linear elástica, desde que não ocorra
descarregamento (fig. 7).
5
Figura 7 - Comparação do comportamento tensão-deformação de materiais elasto-plásticos e elásticos nãolineares [1]
Rice[10] utilizou esta semelhança e simulou, com êxito, o comportamento de
materiais elasto-plásticos sob fraturamento como se fossem materiais não-lineares elásticos,
ultrapassando o campo de validade da MFEL.
A utilização de uma integral J independente de trajetória para análises de
fraturamento, proposta por Rice[4], prova que o valor desta integral é a taxa de energia de
dissipação calculada para um corpo de material não-linear com uma fissura e comportamento
elástico. Aplicando a analogia do comportamento inelástico ao não-linear, tem-se taxa de
energia de dissipação para a mecânica da fratura elasto-plástica.
J = - (dΠ)/dA
(7)
Π= U-F
(8)
onde : A = área da fissura
Π = energia potencial
onde : U = energia de deformação armazenada
F = trabalho realizado pelas forças externas
Deduzindo o valor de J para o caso ilustrado a seguir (fig. 8, 9 e 10):
Figura 8 - Taxa de energia de dissipação não-linear [4]
Π = U - F = U - ∆P = - U*
onde : U* = energia complementar de deformação
(9)
6
Quando o carregamento é controlado:
J = (dU*/da)P
(10)
Se a fissura cresce para ∆P = 0, então:
(11)
ou
(12)
Figura 9 - Esquema para ontenção de J×∆ a partir de valores de carga×deslocamentos conhrcidos [4]
Figura 10 - Representações Equivalentes para J[4]
É preciso tomar precauções quanto à interpretação de J, pois para materiais elásticos,
esta energia é totalmente dissipada no crescimento da fissura. No caso elasto-plástico grande
parte desta energia dissipada é depositada da formação de deformações permanentes, restando
menos energia para propagar a fissura.
Para MFEL, quando a região de plastificação é muito pequena, no modo I :
J = (KI)2 / E’
E’ = E → estado plano de tensão
E’ = E/(1 - ν2) → estado plano de deformação
(13)
7
O parâmetro J é função da carga aplicada, comprimento da fissura e geometria do
corpo para cargas monotônicas, e pode ser utilizado em situações de deformação plástica.
3.1. Determinação da Integral J independente da Trajetória
Considerando um contorno fechado (Γ) ao redor da fissura, como o indicado na figura
11, a integral J, integral independente do contorno :
(14)
onde : w = densidade de energia de deformação
Ti = componentes do vetor de tração
ui = deslocamento na direção i
ds = incremento de comprimento ao longo do contorno Γ
Ti = σij nj
ni = normal ao contorno Γ
σij = componente do tensor de tensões
w = 0∫εij σijdεij
Figura 11 - Contorno Γ considerado no cálculo da integral J, através do qual é avaliado o fluxo de energia
com incremento de comprimento ds . [1]
Todo material tem uma valor de Integral J crítico (Jc) para o qual a fissura se
propaga. Sua utilização constitui um critério de fraturamento com a condição J = Jc (este
critério será detalhado no item 6 deste trabalho),desde que se esteja trabalhando dentro da
região J-Dominante(fig. 12).
Figura 12 - Regiões de comportamento na ponta da fissura
[4]
3.2. Integral J, Tensão e Deformação
A pesquisa sobre a integral J para caracterizar a fratura elasto-plástica como um
processo equivalente em um material não-linear elástico foi feita independentemente por Rice
8
e Rosengren [11] e por Hutchinson[12]. Para relacionar tensões e deformações plásticas,
foram utilizadas leis de potencial, que para o caso uniaxial de deformação é dado pela lei de
Ramberg-Osgood[1] (eq. 15).
ε/ε0 = σ/σ0 + α(σ/σ0)n
(15)
onde: σ0 é a tensão de referência, usualmente igual a σys
ε0 = σ0/E
α é uma constante adimensional do material
n é o expoente da deformação de encruamento
As equações (16) e (17) são chamadas de singularidades HRR(Hutchinson, Rice e
Rosengren) e foram desenvolvidas a partir da equação (15), fazendo as simplificações
possíveis devidas à restrição de pequenas deformações que permite considerar que a
deformação total é composta por uma parcela elástica e outra plástica separadamente. Essas
equações são válidas quando a região J é dominante, ou seja, a região de grandes deformações
ainda é bastante pequena ( D >> R).
~
σij = σ0[(EJ)/( ασ02 In r)][n/(n+1)] σij(n,θ)
~
εij = (ασ0/E)*[(EJ)/( σ02 In r)][n/(n+1)] εij(n,θ)
~
(16)
(17)
~
onde: σij , In e εij são constantes adimensionais que dependem de n e θ
α é uma constante adimensional do material
n é o expoente da deformação de encruamento
θ variação angular.
A integral J descreve completamente as condições na zona de plastificação e define o
tamanho da zona de singularidade HRR. Quando ocorre plastificação em pequena escala há
duas regiões singulares dominantes: uma é elástica onde a tensão é proporcional a r1/2 e a
outra plástica onde a tensão é proporcional a r1/(n+1).
3.3. Obtenção experimental de J
O valor de J pode ser obtido experimentalmente, através da energia de
deformação(fig.13).
Para calcular J é preciso encontrar as relações entre carga, deslocamento e geometria
do corpo. Obedecendo a lei de tensão-deformação de Ramberg-Osgood[6] eq.(18) e
considerando o material isotrópico, pode-se calcular o deslocamento ∆ eq.(19) em relação a
carga e a geometria do corpo.
ε = σ/E + α *(σR /E) *( σ/σR )m
(18)
onde : α , m são constantes do material
σR é um valor de tensão de referência
9
Figura 13 - Esquema dos primeiros ensaios experimentais para obtenção experimental de J. [1]
∆ = b φ( P/σ0b; a/b ; σ0/E; ν ; α ;n)
(19)
Sendo ∆ o deslocamento devido à abertura da fissura, o funcional φ é adimensional e
pode ser simplificado separando as deformações elásticas das deformações plásticas. Para
uma chapa com duas fissuras laterais, tem-se como resultado desta simplificação:
(20)
E’ = E → estado plano de tensão
E’ = E/(1 - ν2) → estado plano de deformação
Experimentalmente, determina-se o valor de Jcrítico (característica do material), assim
como KIC. O ensaio para obtenção de JIc é normalizado pela ASTM, e tem como código de
referência ASTM E399. É muito utilizado para materiais dúcteis.
3.4. Integral de Domínio Equivalente (EDI - Equivalent Domain Integral) [2]
A Integral de Domínio Equivalente(EDI - Equivalent Domain Integral) [19] tem
grande utilidade quando há necessidade de limitar o tamanho do contorno, por exemplo em
implementações computacionais como elementos finitos. O contorno passa a ser definido
como na figura 14 [2]. É possível avaliar o valor de J além do contorno Γε em termos do
contorno fechado Γ, quando Γ0 e Γs assumem valor zero:
Γ = Γ 0 + Γ s+ - Γ ε + Γ s-
(21)
10
Figura 14 - Contorno considerado no cálculo da EDI [2]
Cria-se então uma função totalmente arbitrária de variação q(x,y) dentro do domínio,
assumindo o valor unitário na ponta da fissura e ao longo de Γ0 e Γs. A definição de JIntegral passa a ser escrita como:
(22)
Onde : ui = deslocamento na direção i
ni = normal ao contorno Γ
σij = componente do tensor de tensões
δij = delta Kroniker
w = 0∫εij σijdεij
k = assume os valores 1 e 2, embora originalmente a integral J seja somente igual a 1.
Utilizando o teorema da divergência de Gauss, tem-se:
(23)
As equações (22) e (23) foram propostas por deLorenzi (1981) [20] e depois
reformuladas por Li (1985) [21] . Para materiais homogêneos, isotrópicos, elásticos-linerares
ao redor da ponta da fissura, é possível obter os valores da integral J para os modos I e II (J1
e J2 )[22] em relação aos valores dos coeficientes de intensidade de carga referentes a cada
modo, por unidade de espessura :
J1 = (k +1)(KI2 + KII2)/(8G)
(24)
J2 = -2 KI KII(k +1) /(8G)
(25)
A equação de J2 fornecida em (25) não é independente do caminho, apesar disto, o
cálculo de J ainda é válido. Este método foi aprimorado inicialmente separando-se as partes
simétricas e anti-simétricas como sugerido por Bui(1983) [23] e posteriormente houve as
contribuições de Eischen(1987)[24] e Kienze e Kordisch(1990)[25], fornecendo bons
resultados da integral J para modos mistos.
A EDI tem larga aplicação em programas de elementos finitos como no programa
FRANC2D (Fracture Analysis Code[26], desenvolvido em Cornell University), no qual sua
implementação permite o cálculo do campo de tensões e deformações para modos mistos e
pode também pode ser aplicado para alguns materiais não-lineares[2].
11
3.5. J de deformação (JD)
Este método avalia a energia que não foi absorvida pelas deformações plásticas
estimando o valor de J como sendo a energia de deformação total armazenada para um
deslocamento ∆, que provoca um incremento de fissura ∆a, mas o comprimento inicial da
fissura de cálculo é igual ao comprimento final da fissura real (a1 = a0 + ∆a). Ou seja, a
energia de dissipação armazenada considerada é calculada para o corpo deformado (fig. 19).
UD =  ⌠∆ P da
 ⌡0
a = a1
(26)
J D = - 1 .  ∂ UD
2  ∂a ∆
(27)
Figura 15 - Energia de deformação para material elástico-não linear. [1]
4. Zona de Grandes Deformações
Na zona HRR de singularidade o valor de tensão singular em r = 0. Quando há grande
plastificação, devido ao arredondamento da ponta de fissura, a tensão σxx é diferente de zero
e varia nesta face livre e arredondada da fissura.
McMeeking e Parks[13] incorporaram o conceito de grandes deformações a esta teoria
e obtiveram a distribuição de tensão σyy em função de σ0 e J, conseguindo representar a queda
de resistência em relação a aproximidade da ponta da fissura (r → 0) depois de passar por um
valor de máximo. Esta região de máxima tensão σyy fica a uma distância aproximada de raio
r≈ σ0/J ≈ δ(CTOD) da ponta da fissura (fig.16).
Figura 16 -Relação entre σ na ponta da fissura com singularidade de HHR e amolecimento da ponta e σo.[4]
5. Relação entre CTOD e J Integral
12
Para condições elásticas (MFEL), J = G ( Taxa de liberação de energia potencial total)
então :
J = m σys δ
(28)
onde : m é uma constante adimensional relacionada ao material e ao confinamento.
Considerando a situação de fraturamento elasto-plástico (fig. 17) , onde ρ>>δ e Γ é o
contorno da integral J:
(29)
para δ = 2 uy e σyy = σys , ou seja no ponto em que se mede CTOD :
J = σys δ
(30)
Figura 17 - Contorno ao longo da faixa sob tensão de escoamento na ponta da fissura [1]
Sih[14] desenvolveu outra relação entre J e CTOD baseando-se nos deslocamentos
propostos pela solução HRR(fig. 18) , de acordo com qual:
(31)
Figura 18 - Desenho esquemático da relação entre CTOD e deslocamentos ux e uy
δ/2 = uy(r* , π) = r* - ux(r* , π)
~
~
r* = (α σ0/E)(1/n) [ uy(r* , π) + ux(r* , π)] [(n+1)/n] [J/σ0In]
então:
com:
δ = (dn J) /σ0
dn= [α σ0/(E In)](1/n) [ uy(r* , π) + ux(r* , π)](1/n)
[1]
(32)
(33)
(34)
(35)
13
Os valores da constante adimensional dn são encontrados em ábacos[1] para estado
plano de tensão e de deformação. Esta relação de CTOD e J baseada em HRR não tem grande
precisão quando r < 2δ, devido a ocorrência de grandes deformações plásticas nesta região.
6. Resistência ao Fraturamento baseada em J Integral
6.1. Curvas de Resistência
É comum materiais com alta tenacidade ao fraturamento apresentarem curvas de
resistência crescentes, nos quais os valores de J e CTOD aumentam com o crescimento da
fissura. A curva R nos metais dúcteis é crescente devido aos mecanismos de fraturamento
microscópico (apêndice 1).
A figura a seguir (fig.19) mostra uma curva típica de valores de J resistente para o
tamanho da fissura. Enquanto J < Jc a ponta da fissura vai sofrendo aumento através do
arredondamento da ponta (energia sendo dissipada em deformação plástica), o valor de J
aumenta porque está havendo fluxo de energia través do contorno, até que ao atingir um valor
próximo de Jc surge um incremento real no comprimento da fissura.
Figura 19 - Esquema da curva de resistência JR para um material dúctil [1]
O valor do CTOD correspondente ao ponto em que se inicia a propagação da fissura é
denotado por δi pelo “U.S. and British Testing Standart” podendo ser obtido
experimentalmente.
6.2. Estabilidade e Crescimento de Fissuras
O módulo de rasgamento(“Tearing Modulus”) é uma grandeza adimensional,
introduzida por Paris , obtida através da tangente a curva de rasgamento J em cada ponto. É
uma ferramenta importante para verificação da estabilidade do crescimento de fissuras sob
regime elasto-plástico.
T = ( E/ σ02) ( dJ / da)∆T
onde :
e
TR = ( E/ σ02) ( dJR / da)
(36)
14
T : é o módulo de rasgamento calculado para uma situação qualquer para um
deslocamento total ∆T e σ0 é a tensão aplicada ao corpo.
TR : é o módulo de rasgamento máximo resistente.
Como critério de estabilidade de crescimento da fissura( fig. 20) tem-se:
J = JR → Verificar T
T < TR → estável
T > TR → instável
Figura 20 - Diagrama de propagação de fissura através da curva JR com controle carga(Pi) e desloc.(∆i) [1]
Há diversos métodos de estimar o crescimento da fissura utilizando a integral J por
meio de diferentes enfoques como o J de deformação(JD), o campo de domínio J (Jf) e
Integral de Domínio Equivalente (EDI - “Equivalent Domain Integral”), embora o mais
comum seja estabelecimento de curvas experimentais.
Jf e JD apresentam valores muito próximos, no entanto, Jf também tende a zero
quando o contorno tende a zero. Não há nenhuma garantia de que somente Jf ou JD consigam
caracterizar completamente as condições na ponta da fissura para definir o seu crescimento.
Sem estes parâmetros a curva JR passa a ter que ser representada com depedência da
geometria.
Um desenho esquemático de uma fissura com crescimento controlado pela integral J,
suas fases de propagação em regime elasto-plástico e o seu estágio na curva de resistência JR
são apresentadas na figura 21.
O comportamento na ponta da fissura no estágio 1 é dado por :
σij / σ0 = Fij (1)(E’J/ σ02r ,θ )
(37)
No estágio 2 a fissura começa a crescer e as tensões e deformações são provavelmente
influenciadas pelo amolecimento(arredondamento) ocorrido no estágio 1. A função que
descreve o fenômeno tem novos parâmetros:
σij / σ0 = Fij (2)(E’J/ σ02r ,θ , ∆a/δi)
(38)
onde δi = CTOD no início da propagação.
15
O terceiro estágio é nitidamente um fenômeno localizado, no qual as tensões e
deformações independem da extensão da fissura.
σij / σ0 = Fij (3)(E’J/ σ02r ,θ ,)
(39)
Apesar das funções F(1) e F(3) trabalharem sob mesmo tipo de regime de tensões
(inferior a σy), elas são diferentes devido a história do material, pois F(3) sofre influência do
amolecimento anterior e descreve somente um comportamento localizado na ponta da fissura,
enquanto F(1) representa um material com micro-estrutura ainda íntegra.
O estágio 2 é a transição entre um arredondamento(amolecimento) e o crescimento
sob condições estáveis.
Figura 21 - Três estágios de propagação de fissura em um corpo infinito [1]
6.3 - Validade do método da Integral J
Como foi mostrado anteriormente, os parâmetros J e CTOD tem uma única relação
entre si, por isso fazer a descrição do comportamento ao fraturamento é equivalente para
ambos, em termos de resultados, restrições e validade. A integral J pode ser aplicada em
qualquer processo elasto-plástico em que J caracterize completamente o comportamento na
ponta da fissura. Há restrições quanto à aplicação deste método em casos de grandes
deformações plásticas.
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A integral J pode ser aplicada sem problemas à MFEL, tendo uma relação direta com
G (taxa de energia potencial dissipada), J = G, e conseqüentemente com KI. Neste caso não
aparecerão as parcelas referentes à deformação plástica.
A seqüência de ilustrações a seguir (fig. 22) indica claramente as condições de ponta
de fissura que podem ser encontradas.
Figura 22 - Efeitos da plastificação nos campos de tensões de ponta de fissura [1]
Para o caso (a)-MFEL- sendo rs o raio do círculo no qual ocorre singularidade:
σij = Fij (KI2/ σ02r ,θ )
KI2 = J E’
( para
0 ≤ r ≤ rs(θ) )
(40)
(41)
Em (a) a zona J-Dominante engloba a K-Dominante, embora não seja necessário a
ocorrência da singularidade de HRR.
No caso (b) aplica-se a integral J, mesmo para materiais que não se comportem
exatamente segundo as leis de escoamento de Ramberg-Osgood[6]. Na zona de grandes
deformações, bem próxima à ponta da fissura, os fenômenos micro-mecânicos dominam.
Grandes deformações invalidam a singularidade de HRR.
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Para o caso (c) em que as grandes deformações são predominantes, Hutchinson[12]
desenvolveu
uma técnica analítica, que representa as tensões nesta região por séries
infinitas, nas quais o termo principal é proporcional a r-1/(n+1).
Além das condições de tensão da ponta da fissura é preciso considerar o
confinamento (estado plano de tensão ou deformação) e a razão entre a dimensão da área
plastificada na ponta da fissura e a espessura do corpo nesta região.
6.4 - Comportamento da Ponta da Fissura com Grande Zona de Plastificação
McClintok[15] utilizou o modelo de escoamento rígido-plástico, sob condições de
plastificação total e estado plano de tensão, com várias configurações de tensões, como
mostra a figura 23 com os respectivos valores de máxima concentração de tensão.
Figura 23 - Modelos de McClintok
[1]
Para materiais sem encruamento, as tensões na ponta da fissura dependem também da
geometria, mas com pequenas deformações na região da fissura, simplifica-se esta influência
desta com um único parâmetro. Obviamente este parâmetro não é válido para materiais com
encruamento sob condições de plastificação total. A tenacidade ao fraturamento, sempre
quantificado por K, J ou CTOD, sofre a mesma influência. Embora seja possível obter um
parâmetro aproximadamente válido para estes casos de plastificação, seria necessário manter
maior relação de triaxilidade. A maior parte dos ensaios é feita com corpos de prova sujeitos a
flexão porque estes apresentam menores dificuldades experimentais.
Prospectos feitos com aplicação da mecânica da fratura em casos de escoamento em
grande escala não se mostraram tão desanimadores como os resultados teóricos de McClintok.
Os efeitos de configuração de geometria são muito mais significativos quanto maior o
encruamento sofrido.
Na figura 24 a tenacidade ao fraturamento carregado por flexão e tração, comparando
a influência da geometria do corpo . A relação entre a profundidade da fissura e o tamanho do
18
corpo de prova tem também afeta o valor de tenacidade que é obtido (fig. 25). O efeito da
relação entre comprimento da fissura e largura do corpo de prova na curva J-R (fig. 26) e no
valor de TR.
Figura 24 -CTOD críticos fratura por clivagem em corpos de prova de ligas de aço sob tração e flexão [1]
Figura 25 - Jc em função do tamanho da fissura e largura do CP com fissura de aresta sob flexão [1]
Figura 26 - Razão fissura/largura do CP na curva JR para corpos de prova de fissura de aresta sob flexão [1]
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7. Modelo de Dugdale
O modelo de escoamento ou modelo coesivo para chapas finas fissuradas proposto
por Dugdale-Barentblatt[4] é um tipo de modelo fissuras que apresentam escoamento
localizado, baseado em extensões da MFEL. Experimentalmente foi determinado que o raio
da zona plastificada ao redor da fissura é aproximadamente igual a espessura da chapa.
Dugdale[16] assumiu que a zona de plastificação é muito maior que a espessura e
modelou a zona plastificada em forma de uma tira na frente da ponta da fissura. O material é
considerado elasto-plástico perfeito, então σ22 = σys , na ponta da tira. Este modelo
considera que o efeito do escoamento aumenta o tamanho da fissura, na dimensão da zona
escoada (fig. 27). O comprimento do incremento d é calculado considerando uma placa
infinita, sujeita a uma tensão uniforme de σ. Na ponta da fissura não ocorre singularidade no
campo de tensões.
Figura 27 - Esquema do modelo de Dugdale
[4]
d = a { sec[ (πσ)/(2σy)] -1}
(42)
Dugdale obteve bons resultados comparando sua estimativa de tamanho de região
plastificada com ensaios de aços, para valores de σ > 0,9σy . Igualmente ocorreu com
Mills[17] para fissuras em chapas de policarbonatos, polisulfatos e policlorovinil.
O valor do CTOD é dado por:
δt = (8/π)/(σy/E)] . a . ln{ sec[ (πσ)/(2σy)] }
(43)
Através da representação da fissura e da zona escoada, por acúmulo de deslocamentos,
Bilby, Cottrell e Swiden[18] obtiveram expressões análogas a (43) para os modos II e III.
O critério de Dugdale para a propagação da fissura é esta atingir o valor crítico de
CTOD (δtc). A relação entre δt e J é dada por δt = σy J, então:
J = (8/π)/(σy 2/E)] . a . ln{ sec[ (πσ)/(2σy)] }
(44)
Analogamente o critério de propagação é J = Jc.
Para pequena região de plastificação ( Região K-dominante):
Jssy = (KI 2/E) = [(πσ2 a)/(E)]
(45)
20
Levando (44) em (43), faz-se a correção para plastificação:
J/ Jssy = [(8/π2)(σy /σ)2]. ln{ sec[ (πσ)/(2σy)] }
Quando σ→σy :
J/ Jssy = 1 + (π2/24)(σ /σ y)2}
(46)
(47)
Na fratura σ = σf e J = Jc :
(J/ Jssy )f = [(8/π2)(σy /σf)2]. ln{ sec[ (πσf)/(2σy)] }
(48)
(KI/ Kc )f =(σf /σc) { (8/π2) . ln{ sec[ (πσf)/(2σc)] }1/2
(49)
σf: tensão que provoca propagação
σc = γσ0(1 - a/W)n
γ = constante adimensional
n = 1 para chapas com fissura central ou 2 fissuras laterais
n = 2 para flexão
Onde :
É possível construir um diagrama Kr x Sr (fig. 28) , onde:
Kr = KI/ Kc
Figura 28 - KR
x SR
e
Sr = σ /σc
(50)
com trajetória de defeito para estado plano de tensão para placa com fissura central [4]
Para uma intensidade de carga a localização do ponto (Kr,Sr) para diferentes tamanhos
de fissuras levam a caminhos de falha. Uma vez que o caminho da falha foi estabelecido, os
outros são construídos por simples proporcionalidade.
O modelo de Dugdale prevê que ocorrerá grande escoamento ou colapso plástico para
pequenas falhas em tubos de alta tenacidade e baixo σys. A condição para o colapso é :
21
σhc /σ0 = 1/M
fissuras passantes
(51)
σhc /σ0 = 1/Mp
fissuras de superfície
(52)
onde : σhc é a tensão de colapso plástico.
A figura 29 mostra comportamento de fissuras de superfícies em tubos de aço,
aplicando a proposta de Dugdale.
Figura 29 - Comparação entre medidas e defeitos previstos em tubod de 24 x 1,5 in. Fissuras de superfície.[4]
8 - Crescimento de Fissura Dúctil sob Enfoque da Mecânica do Dano
Devido à concentração de tensões na ponta da fissura, surgem vazios nesta região.
Inicialmente são pequenos, mas aumentam e se unem, até formar uma falha a nível macroestrutural.
Os mecanismos que descrevem este fenômeno são estudados pela Mecânica do Dano,
através de modelos de nucleação de vazios como o de Gurson. A ocorrência de nucleação
provoca uma subida na curva de resistência. Geralmente ocorre nucleação entre a ponta
arredondada da fissura até uma distância 2δ.
Este fenômeno está bem claro na figura abaixo:
22
Figura 30 - Mecanismos de crescimento de fissura dúctil
[1]
A simulação do desenvolvimento de dano em materiais dúcteis pode ser simplificado
considerando os três estados reduzidos:
estado
Dano
Modelo
Discordâncias
MICRO
Estrutura atômica
modelo físico
Micro-vazios
MESO
volume representativo
elementar
modelo
micromecânico
Fissura
MACRO
corpo
modelo de
dano contínuo
A representação do dano em micro-escala considera o material no plano atômico,
mostrando o arranjo de átomos como uma grade (estrutura cristalina), ocorrendo
deslocamentos de ligações, tendo em vista a existência de discordâncias (falhas da estrutura
23
atômica), que se movem devido a esforços e se concentram. Esse fenômeno conduz ao
processo seguinte que é a existência dos vazio, pois, o conjunto de discordâncias provoca o
surgimento de um “vazio”. Com ajuda de algoritmos é possível avaliar este mecanismo e
introduzir seus efeitos no corpo antes do surgimento da etapa macroscópica [27].
Enquanto na estrutura no enfoque intermediário (meso) o comportamento do defeito é
isolado ou mais discreto (por exemplo um microporo ou microfissura) e é perceptível matriz
do material (visível no volume infinitesimal), homogeneiza-se o material ( considera-se que a
existência de danos é igual em todas as direções e na mesma proporção) em comparação ao
plano macrospópico e em seu mecanismo de comportamento, ou seja, o material danificado é
considerado isotrópico. A influência de um grande número de vazios pode ser quase
considerado como uma “lubrificação”. A lei de comportamento das variáveis de dano
(escalares ou tensoriais) podem ser obtidas por estudo dos fenômenos que ocorrem ou por
observação do micro-compormento [28]. Um enfoque de danificação discreta pelo método de
ruptura mecânica, por exemplo a simulação de uma fissura discreta(isolada, definida), é
propagada por uma região isolada.
O modelo que liga as vantagens do tratamento de dano através da mecânica do
contínuo com as vantagens do modelo de mecanismo de ruptura e torna possível fazer uma
teoria de surgimento de dano baseada em fenômenos micro-mecânicos.
No âmbito teórico, considera-se o formato do poro como círculo ou elipse em
materiais plásticos sob estado elástico e define-se uma função de vizinhança para falha do
material, que entra, se o poro vizinho começar a se fundir com esse.
O modelo mais utilizado para descrição deste mecanismo é o modelo de área de vazios
proposto por Gurson [29], [30] e modificações deste, como o de Tvergaard e Needleman [31],
[32], [33], [34]. Gurson escreveu sobre a avaliação de um valor de fronteira da área de poros
esféricos ou forma cilíndrica.
8.1. Modelo de Gurson
O principal mecanismo de dano dúctil são as nucleações, crescimento e união de
microcavidades por grandes deformações plásticas locais. Considerando um volume
elementar representativo ( meso-escala) como um cubo de aresta l com n células de
cavidades de dimensão d3. Neste simples modelo escreve-se o balanço de energia calculado
a partir do crescimento dos vazios e de um conceito de dano.
De acordo com o modelo de Gurson, a porosidade em meso-escala P é igual a parte
hidrostática das deformações plásticas εpH = (εpkk /3) devido ao crescimento dos vazios. Para o
modelo geométrico considerado, sendo n é o número de cavidades:
P = n d3 / l 3
Escrevendo a equação para a taxa em meso-escala:
. .
P = εpH
(53)
(54)
A densidade de potência total dissipada em meso-escala para tensão homogeneizada
σij e taxa de deformação plástica εpij é:
.
σij = εpij
(55)
Podendo ser escrita em duas partes, uma deviatória e a outra hidrostática:
.
.
(σDij + σH δij ) = ( εpDij + εpH δij)
(56)
24
A primeira parcela é a potência dissipada na plasticidade simples por escorregamento.
O segundo termo corresponde a parte irreversível de mudança de volume, pode ser
interpretada como a potência dissipada pelo aumento de descontinuidades no volume
elementar representativo pelo crescimento de cavidades. Esta parte é igual a dissipação do
dano:
.
.
3σH εpH l3 = YD l3
(57)
O valor crítico de porosidade correspondente a D = 1 é:
que leva a obter:
Pc = d/l
(58)
D = n d2 / l2
(59)
A lei cinemática de evolução do dano é dada por :
.
.
.
2 2
D = n d / l + 2dn/ l2
(60)
O primeiro termo indica o aumento do número de cavidades e o segundo a taxa de
crescimento dos vazios.
8.1.1. Crescimento pelo surgimento de novas cavidades
.
.
D = n d2/ l2
(61)
No modelo de Gurson, a taxa de porosidade é também a soma de dois termos que
contribuem para a nucleação (surgimento de novos poros) e o crescimento. Para nucleação a
lei cinética de Tvergaard é usada:
.
.
.
P = A σeq + B σH
(62)
onde A e B são parâmetros do material.
Considerando por simplificação uma nucleação subta de cavidades de tamanho fixo d:
.
. .
D = ( l /d)σeq (A + B σH /σeq)
(63)
.
É conveniente expressar o dano em função da taxa de deformação plástica acumulada p, que é
fácil de introduzir pelo significado do módulo tangente de plasticidade ET. Com carregamento
proporcional:
.
.
p = σeq/ ET
(64)
.
.
(65)
(σH /σeq) = (σH /σeq)
.
. .
.
D = ( l /d) ET(A + B σH /σeq) p
(66)
8.1.2. Crescimento através do aumento do tamanho das cavidades
.
.
D = 2dn/ l2
(67)
Considerando o estudo de vazios cilíndricos e esféricos de volume V em um corpo infinito e
perfeitamente plástico, a taxa de variação de volume em função da taxa de deformação
plástica acumulada e da razão triaxial:.
.
25
com V = d3 :
V = 0.85 V p exp(3σH /2σeq)
(68)
.
.
3d2 d = 0.85 V p exp(3σH /2σeq)
(69)
.
.
D = 0.57 D p exp(3σH /2σeq)
(70)
8.2. Modelo de Tvergaard-Needleman
O surgimento de microporos( microvazios) e seu crescimento é o principal
mecanismo de fratura de materiais dúcteis. Os vazios crescem e em uma segunda fase
provocam o aparecimento de falhas e regiões sem coesão nas interfaces, e a ruptura final
envolve o crescimento dos vazios vizinhos que se fundem. Gurson introduziu uma estrutura
constitutiva para sólidos com cavitação de vazios progressiva. A base é um potencial de
escoamento , que caracteriza a porosidade em termos de uma única variável interna escalar, f ,
a fração de volume de vazios:
φ = ( σe2 / σ2) + 2 q1 f* cosh[ (3q2σh )/ 2σ ] - 1 - q12 f*2 = 0
(71)
Com f* = 0 , a equação reduz-se ao potencial de von Mises. Os parâmetros q1 e q2 foram
introduzidos em [36] para trazer prognósticos do modelo em difusão de bordas de grãos e
escorregamento plástico na adjacência dos grãos. Assumindo que a superfície de difusão é
suficientemente rápida para manter quase-equilíbrio, cavidades em forma esférica. A
expressão para o cisalhamento parte da taxa de deformação que é obtida de Hutchinson[37]
para materiais policristalinos levando a cisalhamento imposto por cavitação na borda dos
grãos, modificado por Tvergaard [35] para considerar esforço normal não nulo atuando nas
faces da cavidade,
dc = ε0( σ/σ0)n
3 σ’ + ρ
2 σ
3 n - 1 σ’ ( σ - σn )2 / σ2 + 2 [( σ - σn )/σ] n ⊗ n
2 n+1 σ
n +1
(72)
onde n = 1/m é o expoente de cisalhamento, x ⊗ y denota produto tensorial tendo
componentes xiyj e s = n.σ. n ; s representa o esforço macroscópico normal nas faces das
cavidades com normal n na configuração corrente. Os parâmetros σ0 e ρ são variáveis
internas, σ0 é a tensão média nos arredores dos vazios e ρ é a densidade de cavitação, que, nos
cálculos é considerada constante. Com nas ρ ≡ 0, eq. (72) se reduz a lei de Norton.
Equações de evolução são especificadas por n e por σn. A evolução da normal a face
do grão de cavitação, n, é obtida por uma relação geométrica e equação de evolução de σn
vem da descrição do crescimento do vazio nas fronteiras do grão. Expressões específicas para
as equações de evolução são dadas em [35, 38] e pode também ser encontrada em [39] . O
defeito ocorre quando as cavidades dos grãos se fundem e abrem microfissuras, quando o raio
da cavidade é igual a metade do espaço entre cavidades [35, 38].
9. Conclusão
Os processos de fraturamento elasto-plásticos são bem descritos para materiais dúcteis
e coesivos, em condições de pequenas de formações. O método da integral J é bastante
eficiente, principalmente para materiais dúcteis, e de fácil implementação computacional.
26
O desenvolvimento de modelos que combinam dano e fraturamento tem ganhado
bastante ênfase por representarem mais fielmente o fenômeno físico, sendo válidos para os
casos de pequenas e de grandes deformações. Apesar disso, ainda há grande dificuldade em
acoplar de maneira satisfatória estes modelos, pois a transição entre a predoninância de
efeitos microscópicos para os macroscópicos não é instantânea. Há grande ênfase no
desenvolvimento de métodos que permitam a continuidade de representação do
comportamento de microscópico para o macroscópico sem perda de informações nesta
transição, e conseqüente aplicação simultânea de ambos harmonicamente .
27
10. Referências Bibliográficas
[ 1]
ANDERSON, T.L.: Fracture Mechanics : Fundamentals and Applications, CRC
Press, 1995, pp. 117-201 265-281
[ 2]
BITTENCOURT, T.N. e SOUSA, J.L..A.O.: A Numerical Implementation of JIntegral for Elasto-plastic Fracture Mechanics - XVI Cilamce, 1995 , pp. 263-272
[ 3]
LEMAITRE, J. e CHABOCHE, J.L.: Mechanics os Solid Materials, Cambridge
University Press, 1990, pp. 161-261
[ 4]
KANNINEN, MALVIN F. e POPELAR, CRAL H.: Advanced Fracture Mechanics,
Oxford University Press e Clarendon Press, 1985, pp. 281-387
[ 5]
LEMAITRE, J.: A course on Damage Mechanics, Second Edition Springer, 1996,
pp. 72-75
[ 6]
LUBLINER, J.: Plasticity Theory , University of California at Berkeley, 1990, pp.
73-75
[ 7]
WELLS, A.A.: Unstable Crack Propagation in Metals: Cleavage and Fast
Fracture, Proceedings of the Crack Propagation Symposium, Vol. 1, Paper 84,
Cranfield, UK, 1961
[ 8]
IRWIN, G.R.: Plastic Zone Near a Crack and Fracture Thoughness, Sagamore
Research Conference Proceedings, Vol. 4, 1961
[ 9]
BURDEKIN, F.M. e STONE, D.E.W.: The Crack Openingning Displacement
Approach to Fracture Mechanics in Yieding Materials, Journal of Strain Analysis,
Vol. 1, 1966, pp. 145-153
[10]
RICE, J.R.: A Path Independent Integral and the Approximate Analysis of Strain
Concentration by Notches and Cracks, Journal of Applaied Mechanics, Vol. 35,
1968, pp. 379-386
[11]
RICE, J.R. e ROSEGREEN, G.F.: Plane Strain Deformation near a Crack Tip in a
Power Law Hardening Material, Journal of the Mechanics and Physics of Solids,
Vol. 16, 1968, pp. 1-12
[12]
HUTCHINSON, J.W.: Singular behavior at the End of a Tensile Crack Tip in a
Hardening Material, Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 16, 1968,
pp. 13-31
[13]
MCMEEKING, R.M. e PARKS, D.M.: On Criteria for J-Dominance of Crack Tip
Filds in Large Scale Yielding, ASTM STP 668, American Society for Testing and
Materials, Philadelphia, 1979, pp. 175-794
[14]
SIH, C.F.: Relationship between the J-Integral and the Crack Openinging
28
Displacement for Stationary and Extending Cracks, Journal of the Mechanics and
Physics of Solids, Vol. 29, 1981, pp. 305-326
[15]
MCCLINTOCK, T.A.: Plasticity Aspects of Fracture, Fracture: An Treatise, Vol. 3,
Academic Press, New York, 1971, pp. 47-225
[16]
DUGDALE, D.S.: Yielding of Steel Sheets Containing Slits, Journal of the
Mechanics and Physics of Solids, 8, 1960, pp. 100-108
[17]
MILLS, M.J.: Dugdale Yielding Zones in Cracked Sheets of Glassy Polymers,
Engineering Fracture Mechanics, 6, 1974, pp. 537-549
[18]
BILBY, B.A., COTTRELL, A.H. e SWIDEN, K.H.: The Spread of Plastic Yield
from a Notch, Proceedings of the Royal Society, Series A, 272, 1963, pp. 304-314
[19]
DODDS JR., R.H. e VARGAS, P.M. : Numerical Evaluation of domain and
contour integrals
for nonlinear fracture mechanics: formulation and
implementation aspects, Report, University of Illinois at Urbana-Champaign, Dept.
of Civil Engineering, 1988 .
[20]
deLORENZI, H.G. : 3-D elastic-plastic fracture mechanics with ADINA, Int.
Journal of Computers and Structures, 13, 1981, pp. 613-621.
[21]
LI, F.Z., SHIH, C.F., NEEDLEMAN, A.: A comparison of methods for calculating
energy release rates, Engineering Fracture Mechanics, 21, 1985, pp. 405-421
[22]
HELLEN, T.K., CAMPBELL, W.S. : Non-linear fracture mechanics and finite
elements, Eng. Comput. , 4, 1987, pp. 2-14.
[23]
BUI, H.D.: Associated path J-Integrals for separating mixed modes, Journal of the
Mechanics and Physics of Solids, Vol. 31(6), 1983, pp. 439-448
[24]
EISCHEN, J.W. : An improved method for computing the J2 integral, Engineering
Fracture Mechanics, vol. 26 (6), 1987, pp. 691-700
[25]
KIENZLER, R. e KORDISCH, H. : Claculaation of J1 and J2 using the L and M
integrals, International Journal of Fracture, vol. 43, 1990, pp. 213-225.
[26]
WAWRZYNEK, P.A. e INGRAFFEA, A.R. : Interactive finite element analysis of
fracture processes: Na Integrated Approach, Theor. & Appl. Frac. Mech. , 1987
[27]
DAWSON, P.R., BEAUDIN, A.J., MATHUR, K.K.: Simulating deformationinduced texture in metal forming, Numerical Methods in Industrial Forming
Process, Chenot, Wood & Zienkiewicz (eds.), Balkema, Rotterdam, 1992, pp. 25-33
[28]
HULT, J.: Introduction and General Overview, Continnum Damage Mechanics,
Theory and Applications, D. Krajcinovic, J. Lemaitre(eds.), Springer Verlag, Berlin,
1987, pp.1-36
GURSON, A. L.: Continuum Theory of Ductile Rupture by Void Nucleation and
[29]
29
Growth: Part I - Yield Criteria and Flow Rules for Porous Ductile Media, J. of
Eng. Materials and Technology 99, (1977)
[30]
GURSON, A. L.: Porous Rigid-Plastic Materials containing Rigid Inclusions Yield Function, Plastic Potencial, and Void Nucleation, Fracture, Volume 2, ICF
4, Waterloo Canada, June 1977
[31]
TVERGAARD, V., NEEDLEMAN, A., LO, K.K.: Flow Localization in the Plane
Strain Tensile Test, J. of the Mech. and Physics of Solids, Vol 29, No 2 , 1982,
pp.115-142
[32]
TVERGAARD, V.: Influence of Void Nucleation on Ductile Shear Fracture at a
Free Surface, J. of the Mech. and Physics of Solids, Vol 30, No 6, 1982, pp. 399-425
[33]
TVERGAARD, V.: Material Failure by Void Coalescence in Localized Shear
Bands, Int. J. of Solids and Structures, Vol 18, No 8 , 1982, pp. 659-672
[34]
TVERGAARD, V.: Material Failure by Void Growth to Coalescence, Adv. In
Appl. Mech., Volume 27, 1990, pp. 83 - 151
[35]
TVERGAARD, V.: Constitutive relations for creep in polycristals with grain
boundary cavitation, Acta Metallurgica, Vol. 32, 1983, pp. 1977-1990
[36]
GURSON, A. L.:Plastic Flow and Fracture Behavior of Ductile Materials
Incorporating Void Nucleation, Growth and Interaction , Ph.D Thesis, Brown
University, 1975
[37]
HUTCHINSON,J.W.: Constitutive behavior and crack tip for materials
undergoing creep-constrained grain boundary cavitation, ActaMetall, vol. 31,
1983, pp.1079-1088
[38]
TVERGAARD, V., NEEDLEMAN, A.: Analysis of the Cup-Cone Fracture in a
round tensile bar, Acta Metallurgica, Vol. 32, No. 1, 1984, pp.157-169
[39]
GURSON, A. L.:Plastic Flow and Fracture Behavior of Ductile Materials
Incorporating Void Nucleation, Growth and Interaction , Ph.D Thesis, Brown
University, 1975
[40]
KÖNKE, C.: Kopplung eines micromechanischen Porenswachstumsmodells mit
einem Makroriβmodell zur Beschreibung der Schädigung in ductilen Materialen,
Technisch-wissenschaftliche Mitteilungen, Nr. 94-4, Instutit für Konstrukturen
Ingenieurbau, Ruhr-Universität Bochum, 1994