de matriz rigidez

CAPÍTULO 8
ASSEMBLAGEM DE ELEMENTOS FINITOS
No Capítulo 3, foi apresentado com detalhe o caso da assemblagem de barras em
problemas unidimensionais. Neste capítulo apresenta-se de um modo sucinto a
adaptação da técnica já descrita ao caso dos elementos finitos com mais do que dois nós
e mais do que um grau de liberdade por nó [8.1].
8.1 - Simbologia
Apresenta-se em primeiro lugar a simbologia adoptada na descrição da assemblagem de
elementos finitos.
Tabela 8.1 - Simbologia relativa à assemblagem de elementos finitos.
x
Coordenada cartesiana
a
Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade da estrutura, no referencial geral
ag
Deslocamentos nodais, nos graus de liberdade do elemento finito, no
referencial geral
K
Matriz de rigidez da estrutura no referencial geral
Kg
Matriz de rigidez do elemento finito no referencial geral
F
Forças nodais equivalentes à acção exterior, nos graus de liberdade da estrutura,
no referencial geral
Fg
Forças nodais equivalentes à acção exterior, nos graus de liberdade do elemento
finito, no referencial geral
145
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
8.2 - Assemblagem da matriz de rigidez global e do vector solicitação
Depois de calculadas as matrizes de rigidez de todos os elementos finitos no referencial
geral ( Kg ), é necessário proceder ao cálculo da matriz de rigidez global da
estrutura ( K ). Uma operação semelhante tem de ser efectuada com os vectores
solicitação dos diversos elementos finitos.
A assemblagem das matrizes de rigidez dos diversos elementos finitos na matriz de
rigidez global é em seguida apresentada com base no exemplo da Figura 8.1.
a4
a2
1
a1
a6
a3
2
B
3
a5
A
a8
x2
a10
a7
a9
5
4
a12
C
a11
6
x1
Fig. 8.1 - Estrutura constituída por um elemento de 4 nós (A), um elemento de 2 nós (B) e um
elemento de 3 nós (C).
A estrutura representada na Figura 8.1 tem seis nós (1 a 6) e três elementos finitos (A, B
e C). O elemento A tem quatro nós, o elemento B tem dois nós e o elemento C tem três
nós. Em cada nó existem dois graus de liberdade. Em correspondência com os doze
graus de liberdade da estrutura existem doze deslocamentos nodais ( a ) e doze forças
nodais equivalentes à acção exterior ( F ).
146
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
 F1   F11 
 F  F 
 2   12 
 F3   F21 
   
 F4   F22 
 F5   F31 
   
 F  F 
F =  6  =  32 
F
F
 7   41 
 F8   F42 
 F  F 
 9   51 
 F10   F52 
   
 F11   F61 
 F12   F62 
 a1   a11 
 a  a 
 2   12 
 a3   a21 
   
 a4  a22 
 a5   a31 
   
 a  a 
a =  6  =  32 
a
a
 7   41 
 a8  a42 
 a  a 
 9   51 
a10  a52 
   
 a11   a61 
a12  a62 
(1)
De acordo com (1), nas considerações que se seguem é adoptada a numeração dos graus
de liberdade de 1 a 12.
Na relação de rigidez correspondente à estrutura
Ka=F
(2)
a matriz de rigidez global ( K ) é uma matriz 12x12.
Nas Figuras 8.2, 8.3 e 8.4 encontram-se representados os elementos finitos que vão ser
assemblados e a respectiva numeração local (nós e graus de liberdade).
a6
a8
4
a7
3
a5
A
a2
a4
a1
a3
2
1
Fig. 8.2 - Numerações locais do elemento finito de 4 nós (A).
147
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
a2
a4
a1
1
a3
2
B
Fig. 8.3 - Numerações locais do elemento finito de 2 nós (B).
a6
3
a2
a5
a4
C
a1
a3
1
2
Fig. 8.4 - Numerações locais do elemento finito de 3 nós (C).
São as seguintes as matrizes de rigidez dos três elementos finitos no referencial geral
Elemento A:
 A11
A
 21
 A31

A
A
K g =  41
 A51

 A61
 A71

 A81
A12
A22
A32
A42
A52
A62
A72
A82
A13
A23
A33
A43
A53
A63
A73
A83
A14
A24
A34
A44
A54
A64
A74
A84
Elemento B :
 B11
B
B
K g =  21
 B31

 B41
B12
B22
B32
B42
B13
B23
B33
B43
B14 
B24 

B34 

B44 
148
A15
A25
A35
A45
A55
A65
A75
A85
A16
A26
A36
A46
A56
A66
A76
A86
A17
A27
A37
A47
A57
A67
A77
A87
A18 
A28 

A38 

A48 
A58 

A68 
A78 

A88 
(3)
(4)
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
C11
C
 21
C
C
K g =  31
C41
C51

C61
Elemento C :
C12
C22
C32
C42
C52
C62
C13
C23
C33
C43
C53
C63
C14
C24
C34
C44
C54
C64
C16 
C26 

C36 

C46 
C56 

C66 
C15
C25
C35
C45
C55
C65
(5)
Atendendo à numeração global dos graus de liberdade indicada na Figura 8.1 (1 a 12),
as matrizes de rigidez dos elementos finitos passam a ser
 A77
A
 87
 A57

 A67
 0

0
A
K =
 A17

 A27
 A37

 A47
 0

 0
0
0

0

0
0

0
B
K =
0

0
0

0
0

0
A78
A88
A58
A68
0
0
A18
A28
A38
A48
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B11
B21
B31
B41
0
0
0
0
0
0
A75
A85
A55
A65
0
0
A15
A25
A35
A45
0
0
0
0
B12
B22
B32
B42
0
0
0
0
0
0
A76
A86
A56
A66
0
0
A16
A26
A36
A46
0
0
0
0
B13
B23
B33
B43
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
B14
B24
B34
B44
0
0
0
0
0
0
A71
A81
A51
A61
0
0
A11
A21
A31
A41
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A72
A82
A52
A62
0
0
A12
A22
A32
A42
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
149
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A73
A83
A53
A63
0
0
A13
A23
A33
A43
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
A74
A84
A54
A64
0
0
A14
A24
A34
A44
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0

0

0
0

0
0

0
0

0
0

0
(6)
(7)
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
0
0

0

0
0

0
C
K =
0

0
0

0
0

0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C55
C65
0
0
C15
C25
C35
C45
0
0
0
0
C56
C66
0
0
C16
C26
C36
C46
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
C51
C61
0
0
C11
C21
C31
C41
0
0
0
0
C52
C62
0
0
C12
C22
C32
C42
0
0
0
0
C53
C63
0
0
C13
C23
C33
C43
0 
0 

0 

0 
C54 

C64 
0 

0 
C14 

C24 
C34 

C44 
(8)
De acordo com o que foi exposto no Capítulo 3, a matriz de rigidez global é a soma
de (6), (7) e (8), resultando
K =K +K +K =
A
 A77
A
 87
 A57

 A67
 0

 0
 A17

 A27
A
 37
 A47
 0

 0
A78
B
C
A75
A76
0
0
A71
A72
A73
A74
0
A88
A85
A86
0
0
A81
A82
A83
A84
0
A58
A55 + B11
A56 + B12
B13
B14
A51
A52
A53
A54
0
A68
0
A65 + B21
B31
A66 + B22
B32
B23
B33 + C55
B24
B34 + C56
A61
0
A62
0
A63
C51
A64
C52
0
C53
0
B41
B42
B43 + C65
B44 + C66
0
0
C61
C62
C63
A18
A15
A16
0
0
A11
A12
A13
A14
0
A28
A25
A26
0
0
A21
A22
A23
A24
0
C13
A38
A35
A36
C15
C16
A31
A32
A33 + C11
A34 + C12
A48
A45
A46
C25
C26
A41
A42
A43 + C21
A44 + C22 C23
0
0
0
C35
C36
0
0
C31
C32
C33
0
0
0
C45
C46
0
0
C41
C42
C43
0 
0 

0 

0 
C54 

C64 
0 

0 
C14 

C24 
C34 

C44 
(9)
Em correspondência com os graus de liberdade indicados nas Figuras 8.1 a 8.4, têm-se
as forças nodais equivalentes às acções exteriores sobre a estrutura. Assim, e de acordo
com o que foi exposto no Capítulo 3, são os seguintes os vectores solicitação
correspondentes a cada elemento finito, atendendo à numeração global da estrutura
150
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
 F7A 
 A
 F8 
 F5A 
 A
 F6 
0
 
0
A
F =  A
F 
 1A 
 F2 
F A 
 3A 
 F4 
0
 
 0 
 0
 0
 
 0
 
 0
 F5C 
 C
F
C
F = 6 
 0
 
 0
 F1C 
 C
 F2 
F C 
 3C 
 F4 
0
0
 
 F1B 
 B
 F2 
 F3B 
 B
F
B
F = 4 
0
 
0
0
 
0
0
 
 0 
(10)
O vector F é a soma destes três vectores
 F7A 


A
 F8

 F5A + F1B 
 A
B
 F6 + F2 
 F3B + F5C 
 B

F4 + F6C 
A
B
C

F =F +F +F =
 FA 
1


A
 F2

F A + F C 
1
 3A

C
 F4 + F2 
 FC 
3


 F4C 
(11)
A relação de rigidez correspondente à totalidade dos graus de liberdade, no referencial
geral, é a seguinte (ver o Capítulo 3)
(K
A
+K +K
B
C
)a
(
= F +F +F
A
Ka=F
151
B
C
)
(12)
(13)
Assemblagem de Elementos Finitos - Álvaro F. M. Azevedo
Depois de acrescentar a (13) as condições de apoio (ver o Capítulo 3), é possível
resolver o sistema de equações lineares que daí resulta e obter os deslocamentos
segundo todos os graus de liberdade da estrutura.
8.3 - Considerações finais
Neste capítulo foi apresentada a assemblagem da matriz de rigidez global com base no
armazenamento de todos os seus termos. A matriz de rigidez global apresenta uma
distribuição de termos particular, que, quando devidamente explorada, conduz a
significativas economias de recursos informáticos, nomeadamente a redução do número
de operações de cálculo e a diminuição da quantidade de memória consumida. A
característica mais simples de explorar é o facto de a matriz de rigidez global ser
simétrica, evitando-se assim o cálculo e o armazenamento dos termos do seu triângulo
inferior, bem como todas as operações de cálculo que sobre eles teriam de ser
efectuadas. Considerando apenas os termos do triângulo superior, é ainda vantajoso
atender ao facto de muitos desses termos serem nulos. O critério de selecção da técnica
de armazenamento dos termos da matriz depende do método que vai ser usado para
resolver o sistema de equações. As técnicas de armazenamento mais comuns são as
seguintes: armazenamento em semibanda de largura constante, armazenamento em
semibanda de largura variável, armazenamento em skyline e armazenamento
esparso [8.2].
BIBLIOGRAFIA
[8.1] - Zienkiewicz, O. C.; Taylor, R. L. - The Finite Element Method, Fourth Edition,
McGraw-Hill, 1988.
[8.2] - Cook, R. D.; Malkus, D. S.; Plesha, M. E.; Witt, R. J. - Concepts and
Applications of Finite Element Analysis, Fourth Edition, John Wiley & Sons, Inc.,
2002.
152