Tudo começa em pizza Série Problemas e Soluções

Tudo começa em pizza
Série Problemas e Soluções
Objetivos
1. Introduzir a relação entre diâmetro e área
de um círculo através de um problema.
Tudo começa em
pizza
Série
Problemas e Soluções
Conteúdos
Relação entre a área e o diâmetro
de uma circunferência.
Sinopse
Donatello e Michelangelo
conversam sobre a relação do
diâmetro e a área de um círculo
para fazer as pizzas de seu novo
empreendimento.
Duração
Aprox. 6 minutos.
Objetivos
1. Introduzir a relação entre
diâmetro e área de um círculo.
Material relacionado
Vídeos: Roda do sonho, As
aventuras de Radix, Panquecas
da dona Glória, ;
Experimentos: Polígonos e
circunferência;
Introdução
Sobre a série
A série Problemas e Soluções trata de problemas típicos de matemática
do ensino médio contextualizados por uma ficção. Em cada programa
um ou dois problemas são interpretados no primeiro bloco de cinco
minutos, ao final do qual o leitor é convidado a tentar resolver. No
contexto da sala de aula, o professor então tem a oportunidade de
discutir os métodos ou as formas possíveis de resolver o problema. O
segundo bloco do programa apresenta as soluções e alguns
comentários ou informações adicionais.
Durante o programa os alunos devem exercitar a sua abstração, pois
estarão apenas ouvindo os problemas e as suas soluções, mas é
sempre recomendável que os ouvintes façam anotações para melhor
aproveitar o conteúdo.
Sobre o programa
Michelangelo e Donatello são irmãos bastante diferentes. Donatello é
apavorado e não é muito fã de contas, enquanto Michelangelo é calmo.
Os dois estão prestes a abrir uma pizzaria, mas resta definir o
tamanho das pizzas. Como fazer?
É necessário definir diversos tamanhos de pizza para satisfazer a fome
de diferentes clientes. As pizzas devem ter 6, 8, 12 e 16 pedaços
segundo Donatello e um ponto de grande importância é que todos os
pedaços tenham o mesmo tamanho independente do número de
pedaços de pizza.
Contudo, Donatello não tem a menor idéia de como definir o tamanho
da pizza de tal forma que esta restrição seja satisfeita.
ÁUDIO
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Michelangelo dá a solução: para que os pedaços de pizza tenham o
mesmo tamanho é necessário que eles tenham a mesma área!
E qual a área de um pedaço de pizza?
Michelangello pede a Donattelo que ele ligue para algumas pizzarias e
pergunte o tamanho das pizzas e o número de pedaços para que eles
possam ter uma base na definição da área de um pedaço de pizza.
Entretanto, será que o atendente da pizzaria sabe a área do pedaço da
pizza? Ninguém saberá tal resposta ironiza Donatello pela sua aversão
a matemática.
Michelangelo responde apropriadamente ao afirmar que é necessário
somente conhecer o tamanho da pizza e a partir do número de
pedaços, é possível calcular o tamanho do pedaço de uma pizza.
Donatello se empolga e complementa que para saber o tamanho da
pizza, basta conhecer o diâmetro e esta informação é conhecida por
qualquer atendente!
O raio também é outra informação útil no lugar do diâmetro, já que o
último é duas vezes o primeiro, ou seja, se o diâmetro da pizza é D, o
raio é dado por R, então
R = D/2.
Na sua pesquisa, Donatello descobre que a pizza mais comum tem
35cm de diâmetro com 8 pedaços.
Agora, é fácil calcular o tamanho das outras pizzas - basta seguir a
proporção. Segundo Donatello, por exemplo, a pizza com 16 pedaços
deve ter 70cm de diâmetro.
Michelangelo corrige rapidamente Donatello, são necessárias algumas
contas, não é tão simples!
A relação não é linear. Se uma pizza apresenta diâmetro D, a área é
dada por A,
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A = π(D/2)2.
A partir da relação acima, é possível ver facilmente que a relação não é
linear como tinha pensado Donatello.
Sugestões de atividades
Antes da execução
O professor deve revisar o conceito de função e dos casos que tenha
inversa. Por exemplo,
• y = x + 5 tem função inversa dada por x = y – 5;
• y = x2 tem função inversa dada por x = y0,5, para intervalos
apropriados, isto é, y≥0 e x≥0.
Durante a execução
No instante 1:54, o professor pode pausar o áudio para anotar os
números de pedaços que devem ter as pizzas de Donatello e
Michelangelo.
Igualmente, no instante 3:18, para anotar a relação entre raio R e o
diâmetro D da pizza apresentado na seção Sobre o Programa.
Depois da execução
Uma pizza de 35,00cm de diâmetro tem área igual a 962,11cm e,
portanto, cada pedaço de pizza tem tamanho igual a 120,26cm. Então,
Número de pedaços
Área total da pizza (cm)
6
721,58
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12
1443,17
16
1924.23
A partir da área total da pizza, pode-se calcular o diâmetro de cada
tamanho de pizza. Para tanto, é necessário encontrar a função inversa
da área A total da pizza,
D = 2*(A/π)0,5.
Agora, o cálculo do diâmetro para cada tamanho de pizza segue,
Número de pedaços
Área total da pizza (cm)
6
30,31
12
42,87
16
49,50
Sugestões de leitura
W. Spinelli e M. H. Souza (2001). Matemática 6ª Série. Editora Ática.
O. Guelli (2004). Matemática em Construção 5ª Série. Editora Ática.
Ficha técnica
Autor Márcio Augusto Diniz
Revisão Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de Mídias Audiovisuais Prof. Dr. Eduardo Paiva
Coordenação Geral Prof. Dr. Samuel Rocha de Oliveira
Universidade Estadual de Campinas
Reitor Fernando Ferreira Costa
Vice-reitor Edgar Salvadori de Decca
Pró-Reitor de Pós-Graduação Euclides de Mesquita Neto
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Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica
Diretor Jayme Vaz Jr.
Vice-diretor Edmundo Capelas de Oliveira
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