Interpolação Polinomial de Newton Interpolação Linear: n = 1
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Interpolação Polinomial de Newton Interpolação Linear: n = 1
Interpolação Polinomial de Newton x0 p1 x0 f x0 Interpolação Linear: n = 1 , tem-se: x1 p1 x1 f x1 p0 x C0 f x0 e p1 x p0 x C1 x x0 ,note que p0 x já satisfaz a primeira condição e para que p1 x1 f x1 deve-se ter: p1 x1 f x1 p0 x1 C1 x1 x0 C1 f x1 p0 x1 x1 x0 x0 p2 x0 f x0 Interpolação Parabólica: n = 2 x1 p2 x1 f x1 , tem-se: x p x f x 2 2 2 2 p2 x p1 x C2 x x0 x x1 , note que p1 x já satisfaz as duas primeiras condições e para que p2 x2 f x2 deve-se ter: p2 x2 f x2 p1 x2 C2 x2 x0 x2 x1 C2 f x2 p1 x2 x2 x0 x2 x1 x0 p3 x0 f x0 x1 p3 x1 f x1 Interpolação Cúbica: n = 3 , tem-se: x p x f x 3 2 2 2 x p x f x 3 3 3 3 p3 x p2 x C3 x x0 x x1 x x2 , note que p2 x já satisfaz as três primeiras condições e para que p3 x3 f x3 deve-se ter: p3 x3 f x3 p2 x3 C3 x3 x0 x3 x1 x3 x2 C3 1 f x3 p2 x3 x3 x0 x3 x1 x3 x2 Recursivamente: pm x pm 1 x Cm x x0 x x1 x xm 1 para m 1, , n f xm pm 1 xm C m xm x0 xm x1 xm xm1 inicializando com: p0 x C0 f x0 . Tal procedimento recursivo foi implementado em MATHCAD conforme apresentado a seguir. PNewton ( n c xX ) yc n In1 for i I 0 y c y X x i if n 0 i y Coef ( n xf ) 0 c f x 0 m 0 for i 1 n c i f x PNewton mc xx i i m xi xk k 0 m i c Para exemplificar o uso desse procedimento, o aplicamos à interpolação polinomial de décimo grau da função: f x 1 efetuado no intervalo: [1,+1] adotando onze 1 25 x 2 pontos igualmente espaçados (incluindo as duas extremidades!). 1 f ( x) n 10 2 1 25 x j 0 100 z j j 50 1 k 0 n j y f z j x k 2 k n Y fap z j j 1 c Coef ( n xf ) fap ( X ) PNewton ( n c xX ) erro y Y A representação gráfica da função e de sua interpolação polinomial, assim como a representação gráfica do errosão mostradas a seguir. 2 Gráfico de f x 1 [curva 1 25 x 2 vermelha] e correspondente interpolação Erro da interpolação polinomial de polinomial de décimo grau (onze pontos de décimo grau da função interpolação igualmente espaçados) [curva f x azul] 1 1 25 x 2 2 0 y erro 1 Y 2 1 0 1 1 0.5 0 0.5 1 z 3 0.5 0 z 0.5 1
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