Exercícios sobre Números Complexos - GMA
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Exercícios sobre Números Complexos - GMA
Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatı́stica Departamento de Matemática Aplicada - GMA Rua Mário Santos Braga s/n 24020 -140 Niterói, RJ Tels: (21) 26.29.20.86 uff Exercı́cios sobre Números Complexos 2014.1 1. Considere a lista de números complexos: i ; 1−i ; −1 + i ; 2−i ; −2 − 3i ; −i + √ 1 2i 2 ; ; 1+i 1−i ; 2−i 3i − 1 ; 2i . i+2 Para cada um deles, determine: (a) o valor absoluto; (b) o conjugado (colocando-o na forma a + bi); (c) seu simétrico em relação à origem (colocando-o na forma a + bi); (d) seu inverso (colocando-o na forma a + bi); (e) sua forma polar, isto é, escreva cada número complexo z na forma z = |z|(a + bi) onde a2 + b2 = 1; (f) normalize cada um dos números complexos, isto é, determine z |z| . 2. Considere os números complexos dados nas figuras a seguir. Represente graficamente, nessas figuras: (a) o valor absoluto de cada complexo; (b) o argumento principal de cada complexo; Nota: Lembre-se que na definição dada em sala de aula o argumento principal de um número complexo pertence ao intervalo (−π , π ] (c) a soma desses complexos; (d) a diferença desses complexos; (e) o produto de tais complexos; (f) o conjugado de cada um dos complexos; (g) o simétrico de cada um deles em relação à origem; (h) o complexo unitário associado a cada um desses complexos (isto é, z/|z|). 3. Seja 0 ̸= a ∈ R e considere o número complexo z = a + ai . (a) represente z no plano complexo (considere os casos a < 0 e a > 0 separadamente); (b) determine o argumento principal de z ; Números Complexos 2 (c) sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 2 quando a > 0 ; (d) sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z n quando a > 0 e n ∈ Z+ ; (e) sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 3 quando a < 0 ; 4. Coloque na forma a + bi onde a , b ∈ R , os seguintes números complexos: • (1 − 3i)2 ; i (2 − 3i) ; 1−i i ; z i ; i(z − i) ; 2 + 3i 3 + 4i onde z ∈ C. 5. Calcule i2014 . 6. Se −π < θ ≤ π é o argumento principal de 0 ̸= z ∈ C , qual será o argumento principal de z −1 ? 7. Resolva as equações em C . Dê a resposta na forma a + b i . • z2 − z − 1 = 0 • z 2 − 2z + 2 = 0 • z2 − z + 1 = 0 • z 2 − 3z + 4 = 0 . 8. Seja 0 ̸= a ∈ R e considere o número complexo z = −a + ai . (a) Represente z no plano complexo (considere os casos a < 0 e a > 0 separadamente); (b) Determine −π < arg(z) ≤ π, isto é, o argumento principal de z ; (c) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 2 quando a > 0 ; (d) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z n quando a > 0 e n ∈ Z+ ; (e) Sem fazer cálculos, determine o argumento principal de z 3 quando a < 0 ; 9. Se −π < θ1 , θ2 ≤ π são os argumentos principais de 0 ̸= z1 , z2 ∈ C respectivamente, qual será o argumento principal de: (a) z̄1 ; (e) z1−2 ; (b) z1−1 ; (f) z1−2 ; (c) (z̄1 )−1 ; (g) z1 z2−1 ; (d) z1−2 ; (h) z1 z2 ; 1 ; z1 z2 z1 (j) ; z1 z2 z1 z2 (k) . z1 z2 (i) 10. Se z é um complexo não nulo, qual a intrepretação geométrica para o complexo iz ? 11. Se z1 e z2 são complexos unitários (i.e. de módulo 1), qual a intrepretação geométrica para o complexo z1 z2 ? 12. Coloque na forma polar os seguintes números complexos e determine o seno e o cosseno dos seus argumentos principais. Represente graficamente no plano complexo o argumento principal associado a cada um desses complexos : • −12 • −2 + 3i • 2 • 1−i • −1 − 2i • 5 + 4i . 13. Represente graficamente no plano complexo: • o conjunto dos números complexos cujo módulo vale 2 ; • o conjunto dos números complexos cuja parte real vale 1 ; • o conjunto dos números complexos cuja parte real é maior do que 1 ; • o conjunto dos números complexos da forma x + ix2 onde x ∈ R ; Números Complexos 3 • o conjunto dos números complexos cujo módulo é superior a 1 e inferior a 2 ; • o conjunto dos números complexos não nulos cujo argumento principal está no intervalo [−π/4 , π/4 ] . 14. Represente graficamente no plano complexo o conjunto dos números complexos não nulos cujo argumento principal vale: • π/4 • 5π/6 • −π/3 • −5π/7 15. Calcule as raı́zes dos seguintes números complexos: √ −9 √ 4 • −16 √ • 3 −27 • • √ −i √ 3 • −i √ • 4 −i √ 3 −27 √ • i √ • 3i √ 3 −1 √ • 1+i √ • 31+i • • √ 4 1+i √ • 1−i √ • −3 + 4i • 16. Determine o argumento principal, em radianos, dos números complexos a seguir. Os argumentos dados abaixo estão em radianos. { } • 2 cos(5π/3) + i sin(5π/3) ; { } • 3 cos(10π/3) + i sin(10π/3) ; { } • 12 cos(87π/5) + i sin(87π/5) ; 17. Dado z = 2 cos(π/3) + 2 i sin(π/3) calcule z 30 , z 100 . 18. Dado z = cos(3π/2) + i sin(3π/2) calcule z 6 , z 15 , z 21 . 19. Calcule : ( ) ( ) • cos(π/2) + i sin(π/2) × cos(π/6) + i sin(π/6) ; ( ) • 1 ÷ cos(π/3) + i sin(π/3) ; ( ) • i ÷ cos(π/4) + i sin(π/4) ; ( ) ( ) • cos(π/2) + i sin(π/2) ÷ cos(π/6) + i sin(π/6) . • 3 2 { } cos(59π/6) + i sin(59π/6) ; • cos(100π/3) + i sin(100π/3) ; • cos(57π/4) + i sin(57π/4).
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