Desenvolvimento de uma Ferramenta Gráfica para Análise
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Desenvolvimento de uma Ferramenta Gráfica para Análise
LUÍS FERNANDO KAEFER DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA GRÁFICA PARA ANÁLISE DE PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia. São Paulo 2000 LUÍS FERNANDO KAEFER DESENVOLVIMENTO DE UMA FERRAMENTA GRÁFICA PARA ANÁLISE DE PÓRTICOS DE CONCRETO ARMADO Dissertação apresentada à Escola Politécnica da Universidade de São Paulo para a obtenção do título de Mestre em Engenharia. Área de Concentração: Engenharia de Estruturas Orientador: Túlio Nogueira Bittencourt São Paulo 2000 a À Deus, aos meus pais, Libório e Iolanda, aos meus irmãos, Lígia e Leonardo, à minha namorada, Elka. b Agradecimentos AGRADECIMENTOS Faltam-me palavras para agradecer a todos que me ajudaram neste trabalho assim como àqueles que me deram suporte para simplesmente chegar ao ponto de poder começá-lo. Só posso agradecer pelas pessoas maravilhosas que tive o prazer de conhecer ao longo de minha vida e mais especificamente ao longo desta jornada. Apresento então os meus agradecimentos ao meu orientador Prof. Túlio Nogueira Bittencourt pelo incentivo e apoio na execução deste trabalho, ao meu “co-orientador” Prof. Luiz Fernando Martha, pelo entusiasmo contagiante com relação a este trabalho e pela confiança depositada em mim, c aos professores do PEF (Departamento de Estruturas e Fundações) da EPUSP (Escola Politécnica da Universidade de São Paulo), em especial aos professores Miguel Luiz Bucalem, Ricardo Leopoldo e Silva França e Lauro Modesto dos Santos, cuja troca de idéias em muito enriqueceu este trabalho, aos amigos de Pós-Graduação e do LMC, em especial à Adriane, Christian, Carlos, Célio, Eduardo Prado, Estela, Gustavo, Irani, Mara e Odulpho, pela troca de informações e pelas palavras amigas que sempre me ajudaram a seguir adiante, aos meus amigos de Curitiba, em especial ao Alexandre, Eduardo Torres e Raul, pelo apoio e pelos momentos de descontração, ao grande amigo Paulo, pelo incentivo constante, aos funcionários do PEF, em especial à Marly e à Wady, pelas palavras amigas e pelo apoio “burocrático”, aos professores da UFPR (Universidade Federal do Paraná) aonde me formei, que me encorajaram a começar esta jornada, em especial aos professores Marcos José Tozzi, Mauro Lacerda Santos Filho, Mildred Ballin Hecke, Roberto Dalledone Machado e Sérgio Scheer, ao LMC (Laboratório de Mecânica Computacional) do PEF/EPUSP pelas instalações físicas, ao Tecgraf/PUC-Rio (Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica) pelos toolkits essenciais para a confecção da ferramenta gráfica proposta, à FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) pelo suporte financeiro, sem o qual seria impossível a realização deste trabalho, e a todas as outras pessoas não citadas aqui que muitas vezes, de uma maneira singela fizeram parte desta jornada. d Índice ÍNDICE AGRADECIMENTOS............................................................................................................. B ÍNDICE ...................................................................................................................................... D LISTA DE FIGURAS ..............................................................................................................K LISTA DE TABELAS ............................................................................................................. O LISTA DE SÍMBOLOS, ABREVIATURAS E SIGLAS ...................................................Q Símbolos................................................................................................................................... q Letras romanas maiúsculas...................................................................................................... q Letras romanas minúsculas.......................................................................................................s Letras gregas............................................................................................................................ t Siglas e Abreviaturas ............................................................................................................... v RESUMO................................................................................................................................... X ABSTRACT................................................................................................................................Z e 1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................. 1 1.1 1.2 1.3 2 Objetivos ........................................................................................................................ 1 O FTOOL ....................................................................................................................... 3 Organização do Texto ................................................................................................... 3 HIPÓTESES BÁSICAS E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS............................ 6 2.1 2.2 Introdução ...................................................................................................................... 6 Concreto......................................................................................................................... 7 2.2.1 Classes ...................................................................................................................... 7 2.2.2 Massa Específica....................................................................................................... 7 2.2.3 Coeficiente de Dilatação Térmica .............................................................................. 7 2.2.4 Resistência à Tração .................................................................................................. 7 2.2.5 Módulo de Elasticidade ............................................................................................. 9 2.2.6 Diagramas Tensão-Deformação................................................................................11 2.2.6.1 Compressão ..........................................................................................................11 2.2.6.2 Tração ..................................................................................................................12 2.3 Aço ............................................................................................................................... 13 2.3.1 Categoria..................................................................................................................13 2.3.2 Coeficiente de Dilatação Térmica .............................................................................13 2.3.3 Módulo de Elasticidade ............................................................................................13 2.3.4 Diagrama Tensão-Deformação .................................................................................13 2.3.4.1 Aços de Dureza Natural ........................................................................................13 2.3.4.2 Aços Encruados a Frio ..........................................................................................14 2.3.5 Alongamento e Encurtamento Máximo Permitido para a Armadura..........................16 3 ANÁLISE ESTRUTURAL .............................................................................................17 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 Introdução .................................................................................................................... 17 Objetivo da Análise Estrutural.................................................................................... 17 Hipóteses Simplificadoras no Projeto de Edifícios ................................................... 18 Modelagem do Edifício ............................................................................................... 19 Determinação do Carregamento Vertical................................................................... 21 Modelagem das Lajes.................................................................................................. 22 Modelagem dos Elementos Lineares – Vigas e Pilares............................................. 24 Modelagem das Estruturas de Contraventamento..................................................... 25 3.8.1 Carregamento Horizontal..........................................................................................26 3.8.1.1 Vento....................................................................................................................26 3.8.1.2 Consideração das Imperfeições Construtivas.........................................................27 3.8.1.3 Assimetria da Estrutura ou do Carregamento.........................................................28 3.8.2 Definição da Estrutura de Contraventamento ............................................................28 3.8.3 Deslocabilidade........................................................................................................29 3.8.3.1 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis........................................................29 3.8.4 Análise Não-Linear ..................................................................................................32 3.9 Modelagem de Vigas Isoladas .................................................................................... 36 3.10 Modelagem de Pilares Isolados .................................................................................. 38 3.10.1 3.10.2 3.10.3 3.10.4 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem......................................................40 Solicitações Iniciais..................................................................................................43 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas..................................................44 Métodos para o Dimensionamento dos Pilares Isolados ............................................44 f 3.10.4.1 3.10.4.2 3.10.4.2.1 3.10.4.2.2 3.10.4.3 4 Método Geral ....................................................................................................45 Métodos Aproximados ......................................................................................45 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada..................................................... 45 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada............................................ 46 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r ....................................46 DIMENSIONAMENTO..................................................................................................47 4.1 Introdução .................................................................................................................... 47 4.2 Hipóteses Básicas ........................................................................................................ 48 4.3 Domínios de Deformações.......................................................................................... 49 4.4 Parâmetros Adimensionais Utilizados ....................................................................... 52 4.5 Equações de Compatibilidade..................................................................................... 53 4.6 Limites entre Domínios............................................................................................... 56 4.7 Resultante de Compressão do Concreto..................................................................... 57 4.8 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com armadura em duas bordas – Proporção entre armaduras superior e inferior variáveis..................................................... 60 4.8.1 4.8.2 4.8.3 4.8.4 4.8.5 4.8.6 Hipóteses Básicas.....................................................................................................60 Equações de Equilíbrio.............................................................................................61 Zonas de Solicitação.................................................................................................62 Determinação de βx ..................................................................................................62 Limites entre as Zonas de Solicitação .......................................................................64 Roteiro – Procedimento de Cálculo ..........................................................................66 4.9 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com a proporção entre as diversas faces pré-estabelecida ............................................................................................. 67 4.9.1 4.9.2 4.9.3 4.9.4 4.9.5 4.9.6 Hipóteses Básicas.....................................................................................................67 Equações de Equilíbrio.............................................................................................68 Cálculo da Taxa de Armadura ..................................................................................70 Zonas de Solicitação.................................................................................................71 Limites entre as Zonas..............................................................................................72 Roteiro.....................................................................................................................73 4.10 Limites para a taxa de armadura longitudinal............................................................ 73 4.10.1 Vigas........................................................................................................................73 4.10.1.1 Armadura Mínima.............................................................................................73 4.10.1.2 Armadura Máxima ............................................................................................73 4.10.2 Pilares ......................................................................................................................74 4.10.2.1 Armadura Mínima.............................................................................................74 4.10.2.2 Armadura Máxima ............................................................................................74 4.11 Cisalhamento - Dimensionamento ............................................................................. 74 4.11.1 4.11.2 Taxa Mínima de Armadura.......................................................................................74 Verificação no Estado Limite Último........................................................................74 4.12 Implementação Computacional .................................................................................. 75 4.13 Exemplos de Aplicação ............................................................................................... 76 4.13.1 4.13.2 4.13.3 4.13.4 4.13.5 4.13.6 Exemplos de [SANTOS-2] .......................................................................................77 Exemplos de [FUSCO-1]..........................................................................................78 Exemplos de [SÜSSEKIND-1] .................................................................................80 Exemplos de [ISHITANI-1] .....................................................................................81 Exemplos de [ISHITANI-2] .....................................................................................82 Cisalhamento – Exemplos de [ISHITANI-2].............................................................83 4.14 Conclusões ................................................................................................................... 83 g 5 ANÁLISE...........................................................................................................................84 5.1 5.2 Introdução .................................................................................................................... 84 Análise Interna............................................................................................................. 85 5.2.1 5.3 Análise Linear ..........................................................................................................85 Análise Externa (ADINA)........................................................................................... 86 5.3.1 Consideração sobre Cargas Distribuídas e de Temperatura .......................................86 5.3.2 Análise Linear ..........................................................................................................87 5.3.3 Análise Não Linear...................................................................................................87 5.3.3.1 Análise Não Linear Geométrica ............................................................................90 5.3.3.2 Análise Não Linear Física e Geométrica................................................................91 5.3.3.3 Geração dos Diagramas N-M-1/r...........................................................................93 5.4 Exemplos de Validação do Algoritmo de Geração dos Diagramas N-M-1/r .......... 94 5.4.1 5.4.2 5.4.3 5.5 6 Conclusões ................................................................................................................. 100 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL..............................................................101 6.1 6.2 6.3 6.4 6.5 7 Notação e Expressões Utilizadas...............................................................................95 Arranjos de Armadura utilizados ..............................................................................95 Tabelas.....................................................................................................................96 Introdução .................................................................................................................. 101 Histórico ..................................................................................................................... 101 Implementação........................................................................................................... 103 Estrutura de Dados .................................................................................................... 103 Interface Gráfica ........................................................................................................ 108 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO ..................................................................................113 7.1 7.2 Introdução .................................................................................................................. 113 Viga 1 [SOLER-1]..................................................................................................... 114 7.2.1 7.2.2 7.2.3 7.3 Viga 2 [SOLER-1]..................................................................................................... 117 7.3.1 7.3.2 7.3.3 7.4 Dados.....................................................................................................................124 Considerações sobre os tipos de análise ..................................................................125 Comentários sobre Efeitos de Instabilidade e Ruptura da Seção de Concreto ..........128 Resultados Obtidos para o Último Ponto da Curva ANLFG (1)...............................129 Pórtico Plano [GARCIA-1]....................................................................................... 131 7.6.1 7.6.2 7.6.3 7.7 Dados.....................................................................................................................120 Resultados..............................................................................................................120 Discussão dos Resultados.......................................................................................123 Pilar 2[SANTOS-1]................................................................................................... 123 7.5.1 7.5.2 7.5.3 7.5.4 7.6 Dados.....................................................................................................................117 Resultados Obtidos ................................................................................................118 Discussão dos Resultados.......................................................................................119 Pilar 1[GARCIA-1] ................................................................................................... 119 7.4.1 7.4.2 7.4.3 7.5 Dados.....................................................................................................................114 Resultados Obtidos ................................................................................................114 Discussão dos Resultados.......................................................................................116 Dados.....................................................................................................................131 Resultados..............................................................................................................132 Discussão dos Resultados.......................................................................................134 Conclusões ................................................................................................................. 134 h 8 EXEMPLO DE APLICAÇÃO .....................................................................................135 8.1 8.2 Introdução .................................................................................................................. 135 Pórtico de Edifício [OLIVEIRA-1].......................................................................... 136 8.2.1 Geometria ..............................................................................................................136 8.2.2 Materiais ................................................................................................................137 8.2.3 Carregamento.........................................................................................................137 8.2.4 Modelo...................................................................................................................139 8.2.5 Deslocabilidade da Estrutura ..................................................................................141 8.2.6 Análise...................................................................................................................141 8.2.6.1 Análise Não-Linear.............................................................................................142 8.2.7 Resultados..............................................................................................................144 8.3 9 Conclusões ................................................................................................................. 151 CONCLUSÕES...............................................................................................................152 10 BIBLIOGRAFIA ........................................................................................................155 ANEXO I - TUTORIAL DO FTOOL .......................................................................................I A1.1 A1.2 A1.3 Generalidades .............................................................................................................. i Manipulação de Arquivos.......................................................................................... ii Criação e Manipulação da Geometria do Modelo .................................................. iv A1.3.1 Menu de Edição ....................................................................................................... iv A1.3.2 Menu de Undo e Redo ............................................................................................... v A1.3.3 Menu Transform ....................................................................................................... v A1.4 Controles de Visualização ......................................................................................... v A1.4.1 Menu de Controle de Visualização ............................................................................ v A1.4.2 Menu de Controle de Coordenadas ........................................................................... vi A1.4.3 Menu Display........................................................................................................... vi A1.5 Configurações........................................................................................................... vii A1.5.1 Menu Options ......................................................................................................... vii A1.5.2 Janela de Configuração do Solver........................................................................... viii A1.5.3 Janela de Configuração de Unidades e Formato de Numeração............................... viii A1.5.4 Janela de Controle do Estabelecimento dos Pontos de Cálculo, do Dimensionamento e da Análise Não-Linear ............................................................................ ix A1.6 Atributos de Nós e Barras......................................................................................... xi A1.6.1 A1.6.2 A1.6.3 A1.6.4 A1.6.5 A1.6.6 A1.6.7 A1.6.8 A1.6.9 A1.7 Menu de Controle dos Atributos dos Nós e Barras.................................................... xi Características comuns aos submenus...................................................................... xii Submenu de Propriedades dos Materiais ................................................................. xiii Submenu de Propriedades das Seções Transversais................................................. xiii Submenu de Propriedades do Dimensionamento..................................................... xiv Submenu de Aplicação de Área de Aço ................................................................... xv Submenu das Propriedades de Apoio....................................................................... xv Submenu das Propriedades dos Apoios Elásticos .................................................... xvi Submenu das Propriedades de Articulação das Barras............................................ xvii Atribuição do Carregamento ................................................................................xviii A1.7.1 Seleção do Caso de Carregamento ........................................................................ xviii A1.7.2 Manipulação dos Casos de Carregamento............................................................. xviii i A1.7.3 A1.7.4 A1.7.5 A1.7.6 A1.7.7 A1.8 Menu de Controle dos Carregamentos .....................................................................xix Submenu do Carregamento Nodal ...........................................................................xix Submenu do Carregamento Uniforme.......................................................................xx Submenu do Carregamento Linear............................................................................xx Submenu do Carregamento de Temperatura ............................................................xxi Processamento.........................................................................................................xxi A1.8.1 Seleção da Combinação de Casos de Carga Corrente ...............................................xxi A1.8.2 Configuração das Combinações de Carregamento....................................................xxi A1.8.3 Menu de Processamento ........................................................................................ xxii A1.9 Pós-Processamento ...............................................................................................xxiv A1.9.1 Menu de Pós-Processamento .................................................................................xxiv A1.9.2 Listagem de Resultados (Inquiry) ..........................................................................xxiv A1.9.3 Visualização dos Resultados...................................................................................xxv A1.9.3.1 Convenção de Sinais – Notação.......................................................................xxv A1.9.3.2 Telas de Resultados.......................................................................................xxvii ANEXO II - COMUNICAÇÃO ENTRE ADINA E FTOOL ........................................XXIX A2.1 A2.2 A2.3 Introdução ..............................................................................................................xxix Arquivo Batch ........................................................................................................xxx Sintaxe do Arquivo .in (ADINA Input File) ........................................................xxxi A2.3.1 A2.3.2 A2.3.3 A2.3.4 A2.3.5 A2.3.6 A2.3.7 A2.3.8 A2.3.9 A2.3.10 A2.3.11 A2.3.12 A2.3.13 A2.3.14 A2.3.15 A2.3.16 A2.3.17 A2.3.18 A2.3.19 A2.3.20 A2.3.21 A2.3.22 A2.3.23 A2.3.24 A2.3.25 A2.4 Controles Principais da Análise .............................................................................xxxi Hipóteses Cinemáticas..........................................................................................xxxii Método de Iteração..............................................................................................xxxiii Definição da Função de Carregamento ................................................................xxxiii Definição dos Incrementos de Carga....................................................................xxxiii Definição das Coordenadas dos Nós....................................................................xxxiv Condições de Apoio ............................................................................................xxxiv Suportes Inclinados ..............................................................................................xxxv Propriedades do Material......................................................................................xxxv Seção Transversal............................................................................................xxxvi Liberações de Extremidade: End-Release.........................................................xxxvi Curva Momento-Curvatura.............................................................................xxxvii Relação Força Normal – Momento – Curvatura ..............................................xxxvii Rigidez..........................................................................................................xxxviii Definição do tipo de elemento .......................................................................xxxviii Criação dos Elementos.....................................................................................xxxix Atribuição de Propriedades aos Elementos.......................................................xxxix Cargas Concentradas ............................................................................................ xl Cargas Distribuídas.............................................................................................. xli Deslocamentos Prescritos .................................................................................... xli Apoio Elástico .................................................................................................... xlii Formatação do Arquivo de Resultados................................................................ xlii Ativação do Solver............................................................................................. xliii Saindo do AUI – QUIT...................................................................................... xliii Observações ...................................................................................................... xliv Exemplo de arquivo .in ..........................................................................................xliv A2.4.1 Análise Linear ....................................................................................................... xliv A2.4.2 Análise Não-linear Geométrica............................................................................... xlv A2.4.3 Análise Não-linear Física e Geométrica ................................................................. xlvi A2.5 Formato do arquivo de resultados (porthole) .......................................................xlix j ANEXO III - VALORES NUMÉRICOS COMPLEMENTARES AOS EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO ................................................................................................................... LII A3.1 A3.2 Introdução ..................................................................................................................lii Pilar [GARCIA-1].....................................................................................................lii A3.2.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura.................................................... lii A3.2.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento .............................................. lv A3.3 Pilar [SANTOS-1]..................................................................................................... lv A3.3.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura.................................................... lv A3.3.1.1 ANLFG(1) ....................................................................................................... lvi A3.3.1.2 ANLFG(2) ..................................................................................................... lviii A3.3.2 Curvas Momento – Deslocamento (Valores Numéricos) .......................................... lix A3.3.3 Diagramas de Interação (Valores numéricos)............................................................ lx A3.4 Exemplo de Pórtico [GARCIA-1].........................................................................lxiii A3.4.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura................................................. lxiii A3.4.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento .......................................... lxvii ANEXO IV - TABELAS ADIMENSIONAIS PARA RELAÇÕES FORÇA NORMAL - MOMENTO - CURVATURA ......................................................................................LXVIII A4.1 A4.2 Introdução .............................................................................................................lxviii Relações N-M-1/r [SANTOS-3] .........................................................................lxviii k Lista de Figuras LISTA DE FIGURAS Figura 2.1 – Comparação dos valores para a resistência à tração do concreto prescritos em [ABNT-1] e [ABNT-2]............................................................................................ 8 Figura 2.2 – Comparação entre os módulos de elasticidade do concreto definidos em [ABNT-1] e [ABNT-2] ................................................................................................ 10 Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para o concreto............................................. 11 Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para aços de dureza natural ......................... 14 Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para aços encruados a frio ........................... 15 Figura 3.1 – Estrutura de concreto armado de um edifício............................................... 19 Figura 3.2 – Decomposição do edifício em elementos básicos........................................ 21 Figura 3.3 – Configuração das fissuras de uma laje de concreto armado retangular sob carga uniforme no estado de ruptura [LEONHARDT-1] .......................................... 24 Figura 3.4 – Exemplo de Edifício [OLIVEIRA-1]............................................................ 26 Figura 3.5 – Consideração das imperfeições geométricas globais [ABNT-2] ................ 27 Figura 3.6 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1]. 29 Figura 3.7 – Efeito de imperfeição geométrica em um viga que liga um pilar contraventado a um pilar de contraventamento [ABNT-2] ....................................... 35 Figura 3.8 – Modelo básico para a determinação da envoltória para uma viga contínua de três tramos (somente “q” é mostrada) .................................................................... 36 Figura 3.9 – Modelo simplificado para a consideração do efeito de pilar de extremidade ....................................................................................................................................... 37 l Figura 3.10 – Consideração da solidariedade dos pilares com as vigas........................... 38 Figura 3.11 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas de edifícios................................................................................................... 39 Figura 3.12 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez.......................................................................................................................... 40 Figura 3.13 – Variação de λ 1 para pilares em balanço...................................................... 42 Figura 3.14 – Variação de λ 1 para pilares biapoiados....................................................... 42 Figura 3.15 – Pilares de extremidade (Modelo simplificado) .......................................... 43 Figura 3.16 – Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2] ..................................................... 44 Figura 3.17 – Desaprumo do pilar [ABNT-2] ................................................................... 44 Figura 4.1 – Domínios de Deformação.............................................................................. 50 Figura 4.2 – Regiões de deformação [SANTOS-2] ......................................................... 52 Figura 4.3 – Deformações na Região I [SANTOS-2]....................................................... 54 Figura 4.4 – Deformações na Região II [SANTOS-2]...................................................... 55 Figura 4.5 – Deformações na Região III [SANTOS-2] .................................................... 56 Figura 4.6 – Resultante de compressão do concreto......................................................... 57 Figura 4.7 – Transformação da seção transversal na poligonal de cálculo...................... 58 Figura 4.8 – Hipóteses Básicas [SANTOS-2] ................................................................... 61 Figura 4.9 – Zonas de Solicitação ...................................................................................... 64 Figura 4.10 – Disposição da armadura............................................................................... 67 Figura 4.11 – Forças atuantes na seção [SANTOS-2] ...................................................... 68 Figura 4.12 – Zonas de Solicitação .................................................................................... 72 Figura 4.13 – Notação Utilizada......................................................................................... 77 Figura 5.1 – Comportamento de um pilar submetido a uma carga vertical constante e a uma carga horizontal variável...................................................................................... 87 Figura 5.2 – Método de Newton-Raphson Completo ....................................................... 90 Figura 5.3 – Conjunto de curvas momento-curvatura [ADINA-3] .................................. 91 Figura 5.4 – Modelo para a entrada de uma curva momento-curvatura .......................... 92 Figura 5.5 – Relação momento-curvatura.......................................................................... 94 Figura 5.6 – Disposições das armaduras............................................................................ 96 Figura 5.7 – Relação M x 1/r (σcd = 0,85 fcd) .................................................................... 97 Figura 5.8 – Relação M x 1/r (σcd = 1,10 fcd) .................................................................... 98 Figura 5.9 – Comparação entre diagramas M x 1/r........................................................... 99 Figura 6.1 – Estrutura de dados – versão FTOOL com suporte para uma única combinação de carregamento. ................................................................................... 105 Figura 6.2 – Estrutura de dados – versão FTOOL/RC com suporte para múltiplas combinações de carregamento................................................................................... 107 Figura 6.3 – Estrutura de dados para armazenar os valores das relações N – M – 1/r.. 108 Figura 6.4 – Tela do FTOOL – Pré-processamento (em detalhe as alterações na interface). .................................................................................................................... 109 Figura 6.5 – Configurando o solver e o tipo de análise. ................................................. 110 Figura 6.6 – Load Case Manager / Load Combination Manager. .................................. 111 Figura 6.7 – Visualização de resultados: configuração deformada................................ 112 Figura 7.1 – Geometria da viga 1 ..................................................................................... 114 Figura 7.2 – Gráfico comparativo do deslocamento da extremidade livre da viga 1.... 115 m Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento. (Resultados obtidos pelo FTOOL) ............................................................................ 115 Figura 7.1 – Geometria da Viga 2 .................................................................................... 117 Figura 7.2 – Comparação do deslocamento na extremidade livre da viga 2. ................ 118 Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento (Resultados obtidos pelo FTOOL). ........................................................................... 118 Figura 7.4 – Geometria do Pilar 1 [GARCIA-1]............................................................. 120 Figura 7.5 – Valores publicados em [GARCIA-1].......................................................... 121 Figura 7.6 – Valores obtidos pelo FTOOL-ADINA. ...................................................... 122 Figura 7.7 – Gráficos comparativos: [GARCIA-1] e FTOOL-ADINA......................... 122 Figura 7.8 – Geometria do Pilar 2[SANTOS-1].............................................................. 124 Figura 7.9 – Curvas “Deslocamento em Função do Momento Aplicado” .................... 126 Figura 7.10 – Diagramas de interação para a seção transversal e para pilares de comprimento variável................................................................................................. 128 Figura 7.11 – Resultado impressos pelo FTOOL: Deformada, Força Normal (kN), Força Cortante (kN), Momento Fletor (kNcm), Área de aço longitudinal calculada (cm 2), Área de aço transversal calculada (cm 2/m)............................................................... 130 Figura 7.12 – Geometria do Pórtico Plano [GARCIA-1] ............................................... 131 Figura 7.13 – Curvas Força Horizontal – Deslocamento a............................................. 132 Figura 7.14 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três elementos por barra – F = 99,27 kN)......................................................... 133 Figura 7.15 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três elementos por barra – F = 95,7 kN).......................................................... 133 Figura 8.1 – Planta baixa do Edifício [OLIVEIRA-1].................................................... 136 Figura 8.2 – Corte vertical esquemático [OLIVEIRA-1] ............................................... 137 Figura 8.3 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1]. ..................................................................................................................................... 139 Figura 8.4 – Carregamento vertical aplicado a todos os pavimentos [OLIVEIRA-1].. 140 Figura 8.5 - Deformada..................................................................................................... 145 Figura 8.6 – Esforço Normal (kN) ................................................................................... 146 Figura 8.7 – Momento Fletor (kN.m).............................................................................. 147 Figura 8.8 – Força Cortante (kN) ..................................................................................... 148 Figura 8.9 – Armadura Longitudinal (cm 2) .................................................................... 149 Figura 8.10 – Armadura transversal (cm 2/m).................................................................. 150 Figura A1.1 – Tela do FTOOL 2.06..................................................................................... ii Figura A1.2 – Tela do FTOOL/RC ...................................................................................... ii Figura A1.3 – Menu File...................................................................................................... iii Figura A1.4 – Comandos principais do menu File ............................................................ iii Figura A1.5 – Menu de Edição............................................................................................ iv Figura A1.6 – Definição de nós e elementos através do teclado....................................... iv Figura A1.7 – Menu de Undo e Redo .................................................................................. v Figura A1.8 – Menu Transform ........................................................................................... v Figura A1.9 – Menu de Controle de visualização .............................................................. vi Figura A1.10 – Menu de Controle de Coordenadas........................................................... vi Figura A1.11 – Menu Display............................................................................................ vii Figura A1.12 – Menu Options............................................................................................ vii Figura A1.13 – Janela de Configuração dos programas de análise................................. viii Figura A1.14 – Janela de configuração de unidades e formatos de numeração............... ix n Figura A1.15 – Configuração da divisão dos elementos .................................................... x Figura A1.16 – Menu de controle dos atributos de nós e barras ....................................... xi Figura A1.17 – Lista drop-down ........................................................................................ xii Figura A1.18 – Manipulação dos conjuntos de propriedades .......................................... xii Figura A1.19 – Criação de um novo conjunto de propriedades...................................... xiii Figura A1.20 – Submenu Material Parameters............................................................... xiii Figura A1.21 – Submenu Section Properties................................................................... xiv Figura A1.22 – Submenu Reinforced Concrete Parameters............................................ xv Figura A1.23 – Submenu Steel Area Member Parameters .............................................. xv Figura A1.24 – Submenu das propriedades de apoio....................................................... xvi Figura A1.25 – Submenu das propriedades de apoio elástico ........................................ xvii Figura A1.26 – Submenu das propriedades de articulação das barras........................... xvii Figura A1.27 – Seleção do caso de carregamento .........................................................xviii Figura A1.28 – Manipulação dos casos de carregamento .............................................xviii Figura A1.29 – Menu de controle do carregamento ........................................................ xix Figura A1.30 – Submenu Nodal Loading......................................................................... xix Figura A1.31 – Submenu Uniform Loading ...................................................................... xx Figura A1.32 – Submenu Linear Loading ......................................................................... xx Figura A1.33 – Submenu Thermal Loading ..................................................................... xxi Figura A1.34 – Seleção da combinação de carregamentos ............................................. xxi Figura A1.35 – Configuração das combinações de carregamento................................. xxii Figura A1.36 – Configuração dos casos de carregamento ............................................. xxii Figura A1.37 – Menu de Processamento........................................................................xxiii Figura A1.38 – Processamento utilizando o ADINA.....................................................xxiii Figura A1.39 – Menu de pós-processamento ................................................................. xxiv Figura A1.40 – Inquiry ..................................................................................................... xxv Figura A1.41 – Desenho dos diagramas de momento fletor para uma viga contínua.xxvii Figura A1.42 – Visualização das envoltórias de momento fletor para uma viga contínua ................................................................................................................................... xxvii Figura A1.43 – Desenho das configurações deformadas obtidas para três casos ......xxviii Figura A1.44 – Visualização da envoltória obtida para a área de aço longitudinal superior e..................................................................................................................xxviii Figura A2.1 – Fluxograma do esquema de comunicação FTOOL – ADINA ..............xxx Figura A2.2 – Elemento de barra ..............................................................................xxxiv Figura A2.3 – Sistema de coordenadas local do elemento de viga ...........................xxxvi Figura A2.4 – End-Release's criados ........................................................................xxxvii Figura A2.5 – Sentido de aplicação das cargas distribuídas no elemento ......................xli Figura A2.6 – Convenção para os esforços de extremidade do elemento de barra XXHermitiano do ADINA..............................................................................................li o Lista de Tabelas LISTA DE TABELAS Tabela 2.1 – Categoria dos aços para armadura passiva................................................... 13 Tabela 4.1 – Valores para ω mín ........................................................................................... 73 Tabela 5.1 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 0,10) [SANTOS-3]................................................................................................................. 96 Tabela 5.2 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 0,10; σcd = 0,85 fcd) (FTOOL)............................................................................................... 97 Tabela 5.3 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 0,10; σcd = 1,10 fcd ) (FTOOL).............................................................................................. 97 Tabela 7.1 – Resultados obtidos por [SOLER-1] e utilizando o ADINA (Coordenadas da extremidade da viga para diversos níveis de carregamento). ............................. 116 Tabela 7.2 – Exemplo de Pilar [GARCIA-1]. ................................................................. 121 Tabela 7.3 – Comparação da Carga Última (M d) de [SANTOS-1] e da curva ANLFG (1)................................................................................................................................. 130 Tabela 7.4 – Exemplo de pórtico plano [GARCIA-1]. ................................................... 132 Tabela 8.1 – Carregamento do Vento .............................................................................. 138 Tabela 8.2 – Combinações de Carregamento .................................................................. 140 Tabela 8.3 – Comparação dos valores de γz [OLIVEIRA-1]................................................... 141 p Tabela 8.4 – Tentativa 1 – Processamento 1 ................................................................... 142 Tabela 8.5 – Tentativa 1 – Processamento 2 ................................................................... 143 Tabela 8.6 – Tentativa 2 – Passo 1................................................................................... 143 Tabela 8.7 – Tentativa 2 – Processamento 2 ................................................................... 143 Tabela 8.8 – Tentativa 2 – Processamento 3 ................................................................... 143 q Lista de Símbolos LISTA DE SÍMBOLOS, ABREVIATURAS E SIGLAS Símbolos Letras romanas maiúsculas A - área Ac - área da seção transversal bruta de concreto As - área da seção transversal da armadura longitudinal tracionada - área de aço total da seção As’ - área da seção transversal da armadura longitudinal comprimida Asi - área da seção transversal de uma barra de aço genérica Asw - área de aço de armadura transversal Ec - módulo de elasticidade do concreto Ecs - módulo de elasticidade secante do concreto (EI)sec - rigidez secante r Es - módulo de elasticidade do aço F - vetor das forças resistentes internas Fd - valor de cálculo das ações Fgk - valor característico das ações permanentes diretas Fk - valor característico das ações Fqk - valor característico das ações variáveis Fq1k - valor característico das ações variáveis principais diretas Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo Ic - momento de inércia da seção de concreto K - matriz de rigidez - matriz de rigidez tangente M - momento fletor M0 - momento na viga em apoio de extremidade M1,tot,d - momento de tombamento (soma dos momentos de todas as forças horizontais de cálculo em relação à base da estrutura) M1d,mín - momento mínimo de cálculo MA,MB - momentos fletores de 1ª ordem de cálculo nas extremidades A e B do pilar MC - momento fletor de cálculo de 1ª ordem no meio do pilar Md - momento fletor de cálculo Meng - momento de engastamento perfeito MRd - momento fletor resistente de cálculo MSd - momento solicitante de cálculo N - força normal Nd - força normal total de cálculo Nk - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico NRd - força normal resistente de cálculo NSd - força normal solicitante de cálculo R - vetor das forças externas aplicadas Rcc - resultante das tensões de compressão do concreto Rst - força de tração na armadura Sd - esforço solicitante de cálculo s Vc - parcela de força cortante resistida por mecanismos complementares ao modelo de treliça Vd - força cortante de cálculo VRd2 - força cortante resistente de cálculo, relativa à ruína das diagonais comprimidas de concreto Letras romanas minúsculas a - distância de R cc à borda mais comprimida da seção transversal ah, a v - deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade das cargas verticais da estrutura. O deslocamento horizontal av é o decorrente somente das ações verticais e o deslocamento horizontal ah é decorrente somente das ações horizontais. b - largura bf - largura da mesa das vigas de seção T bw - largura das vigas de seção retangular ou da nervura das vigas de seção T d’ - distância do centro da armadura à borda mais próxima da seção transversal de concreto (recobrimento) e1 - excentricidade de 1a ordem e1,mín - excentricidade de 1a ordem mínima f - resistência fcd - resistência de cálculo do concreto à compressão fck - resistência característica do concreto à compressão fctk - resistência característica do concreto à tração fctk,inf - resistência característica do concreto inferior à tração fctk,sup - resistência característica do concreto superior à tração fctm - resistência característica do concreto média à tração direta fyc - resistência de escoamento do aço à compressão fycd - resistência de cálculo do aço à compressão fyck - resistência característica do aço à compressão fyd - resistência de cálculo do aço à tração fyk - resistência característica do aço à tração g - carga permanente t h - altura total da seção transversal hf - espessura da mesa das vigas de seção T i - raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não se considerando a presença da armadura) l - altura total da estrutura ou de um lance de pilar - vão le - comprimento equivalente de flambagem linf - comprimento do tramo inferior de pilar lsup - comprimento do tramo superior de pilar lvig - comprimento do tramo de viga n - número de barras de aço - número total de elementos verticais contínuos - número de andares acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo n’ - número de camadas de barras de aço (número de linhas) n1 - número de barras da primeira camada (igual à última) r - raio de curvatura; rinf - rigidez de tramo inferior de pilar em uma ligação tramo inferior de pilar – viga – tramo superior de pilar rsup - rigidez de tramo superior de pilar em uma ligação tramo inferior de pilar – viga – tramo superior de pilar rvig - rigidez da viga em uma ligação tramo inferior de pilar – viga – tramo superior de pilar q - carga acidental s - espaçamento dos estribos medido segundo o eixo longitudinal da peça x - distância da linha neutra à borda mais comprimida em uma seção transversal de um elemento Letras gregas α - relação tensão de cálculo na armadura / tensão de cálculo do concreto β - coeficiente adimensional que leva em conta a posição relativa (vertical) u das armaduras superior, inferior e lateral de um elemento, além de d’ e x. δ - distância do centro da armadura à borda mais próxima da seção transversal de concreto (adimensional) ∆Mtot,d soma dos produtos de todas as forças verticais de cálculo atuantes na estrutura pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos na análise de 1ª ordem ∆R - vetor dos incrementos de carga ∆U - vetor dos deslocamentos incrementais ε - deformação específica εc - deformação específica do concreto - deformação específica na borda superior (ou mais comprimida) da seção de concreto εc1 - deformação específica do início do trecho retangular do concreto no diagrama parábola retângulo - deformação específica na borda inferior da seção de concreto εcu - deformação específica convencional da ruptura do concreto comprimido εs - deformação específica do aço εy - deformação específica de escoamento do aço εycd - deformação específica de escoamento de cálculo do aço na compressão εyd - deformação específica de escoamento de cálculo do aço na tração εycu - deformação específica convencional de ruptura do aço na compressão εyu - deformação específica convencional de ruptura do aço na tração η - força normal resistente do concreto reduzida adimensional η’ - momento fletor resistente do concreto reduzido adimensional γc - coeficiente de minoração da resistência do concreto γs - coeficiente de minoração da resistência do aço γf - coeficiente de majoração das ações γf3 - parte de γf que considera os desvios gerados nas construções e as aproximações feitas em projetos do ponto de vista das solicitações γz - coeficiente de majoração dos esforços globais finais de 1ª ordem para a obtenção dos esforços finais globais de 2ª ordem v λ - índice de esbeltez λ1 - valor limite para λ para que não se considerem os efeitos localizados de 2ª ordem κ - rigidez secante adimensional ou relativa µ - momento fletor relativo ou reduzido adimensional µf - momento de ruptura (reduzido adimensional) ν - coeficiente de Poisson - força normal relativa ou reduzida adimensional νo - valor reduzido adimensional da força normal de ruptura no caso ideal de compressão centrada θ1 - desaprumo de um elemento vertical contínuo - desaprumo de um lance de pilar de altura l. θa - desaprumo a ser considerado para um conjunto de elementos verticais contínuos da estrutura aporticada θf - curvatura majorada adimensional correspondente ao momento de ruptura ρ - taxa geométrica de armadura σ - tensão normal σc - tensão normal de compressão no concreto σcd - tensão de cálculo do concreto σs - tensão normal de tração na armadura σsd - tensão de cálculo na armadura ω - taxa mecânica da armadura Siglas e Abreviaturas ABNT - Associação Brasileira de Normas Técnicas ADINA - Automatic Dynamic Incremental Non-Linear Analysis CD - Canvas Draw – Biblioteca Gráfica 2D CEB - Comite Européen du Béton ELU - Estado Limite Último EPUSP - Escola Politécnica da Universidade de São Paulo FEMOOP - Finite Element Method – Object Oriented Programming w FTOOL - Frame Tool Program – Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento de Estruturas IUP - Sistema Portátil de Interface com o Usuário LED - Linguagem de Especificação de Diálogos LMC - Laboratório de Mecânica Computacional PEF - Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações PUC-Rio - Pontíficie Universidade Católica do Rio de Janeiro Tecgraf - Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica UFPR - Universidade Federal do Paraná x Resumo RESUMO O objetivo deste trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta gráfica interativa para a modelagem e dimensionamento de pórticos planos de concreto armado que seja capaz de lidar com múltiplos casos e combinações de carregamento e efetuar análises nãolineares físico-geométricas das estruturas. Utilizamos como base o programa FTOOL, que é um sistema gráfico interativo cujo objetivo principal é fornecer ao estudante de engenharia estrutural uma ferramenta para aprender o comportamento estrutural de pórticos planos. Desta forma, apresentamos uma nova versão do programa FTOOL, que agora incorpora ferramentas para a inserção de múltiplos casos de carga; múltiplas combinações de carregamento; o dimensionamento das seções de concreto armado à flexão normal composta e ao cisalhamento; o traçado de envoltórias de esforços e de área de aço; o cálculo de diagramas força normal – momento – curvatura e integração com o programa y (solver) comercial ADINA, permitindo a obtenção de esforços e a verificação do dimensionamento sob não-linearidade geométrica e física (acoplada a diagramas força normal – momento – curvatura). O trabalho de implementação computacional é complementado pela apresentação das características dos materiais concreto e aço recomendadas pela ABNT e utilizadas para o dimensionamento, de um roteiro para a modelagem dos pórticos planos, vigas e pilares sob efeitos de 2ª ordem, do método utilizado para a confecção das rotinas de dimensionamento e de um breve relato sobre as análises linear e não-linear efetuadas e geração de diagramas força normal – momento – curvatura. São apresentados também vários exemplos de aplicação e finalmente, um manual de utilização do programa e a documentação sobre o formato de comunicação entre o FTOOL e o ADINA. z ABSTRACT ABSTRACT The objective of this work is the development of an interactive graphics tool for the modeling and designing of reinforced concrete plane frames. This tool is also capable of handling multiple loading combinations and perform material and geometrical non linear analyses of plane frames. The program FTOOL has been used as the platform for this work. This program is an interactive graphics educational system. Its main purpose is to provide a tool for better understanding the structural behavior of plane frames. In that way, a new version of the program FTOOL has been developed. This version now incorporates tools for handling: multiple load cases and loading combinations, the design of concrete linear elements subjected to normal bending and shear, the automatic sketching of internal forces diagrams and steel areas envelopes, the computation of interaction diagrams (N-M-1/r) and the integration with the commercial package aa ADINA. The new FTOOL allows the calculation of internal forces necessary for the design of concrete frames taking into account material and geometrical nonlinearities. The computer implementation addresses: the definition of properties of concrete and steel, recommended by ABNT and necessary for design; the script for the modeling of plane frames, beams and columns under 2nd order effects; the algorithm used in the reinforced concrete design routines; a brief description of the linear and non linear analyses performed and the generation of interaction (N-M-1/r) diagrams. Finally, some application examples, the system tutorial and the documentation about the format of the interface communication between FTOOL and ADINA are presented. 1 1. Introdução 1 1.1 INTRODUÇÃO Objetivos O presente trabalho busca o desenvolvimento de um sistema computacional utilizando a programação gráfica interativa, proporcionando com isso, um meio efetivo para visualização de eventos ligados tanto à construção de modelos e entrada de dados, quanto à interpretação e análise de resultados na análise de pórticos bi-dimensionais de concreto armado. Este sistema será capaz de simular efeitos não-lineares decorrentes da relação momento-curvatura das peças (não-linearidade física), bem como da evolução da deformação da estrutura (não-linearidade geométrica). Além disso, o sistema será capaz de dimensionar os elementos de concreto armado à flexão normal composta e ao cisalhamento. O objetivo básico deste trabalho foi ampliar as capacidades do programa FTOOL (Frame Tool Program – Programa Gráfico-Interativo para Ensino de Comportamento 2 de Estruturas) de maneira que este pudesse lidar com a análise e dimensionamento de pórticos planos de concreto armado. Resumidamente, implementamos: § a possibilidade da inserção de múltiplos casos de carga e da posterior combinação destes em combinações de carga, que serão processadas, gerando uma envoltória de esforços, deslocamentos e áreas de aço para cada elemento; § a alteração da interface gráfica do FTOOL de modo a permitir a entrada dos novos dados necessários à análise e ao dimensionamento (materiais: aço e concreto, geometria da seção transversal); § a adaptação do FTOOL, possibilitando a comunicação com um solver externo (programa ADINA – Automatic Dynamic Incremental Non-Linear Analysis), permitindo análises lineares, sob não-linearidade geométrica (pré-dimensionamento) e sob não-linearidade física e geométrica (verificação do dimensionamento) do pórtico, criando um sistema integrado ADINA-FTOOL; § a geração de diagramas esforço normal – momento – curvatura como dados para o programa ADINA proceder à análise não-linear (física e geométrica) do problema; e apresentando a documentação do sistema computacional proposto. A presente dissertação complementa este trabalho, organizando os fundamentos teóricos necessários para a modelagem dos pórticos planos. Todo procedimento adotado neste trabalho se baseia nas diretrizes apontadas pela Norma Brasileira NBR6118/2000 [ABNT-2] – Projeto de Estruturas de Concreto, a ser publicada em novembro de 2000, para a análise das estruturas no estado limite último (ELU). Embora tenhamos consultado uma versão preliminar, pelo fato da revisão desta norma estar praticamente concluído, acreditamos que nada mude em relação ao exposto neste trabalho. Para efeito de comparação, em vários pontos desse texto traçaremos paralelos entre ela e a norma vigente, a NB1/1978 [ABNT-1] – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado, lembrando entretanto, sempre que a norma que deve ser seguida é a NBR6118/2000. 3 1.2 O FTOOL O FTOOL é um sistema gráfico interativo cujo objetivo principal é fornecer ao estudante de engenharia estrutural uma ferramenta para aprender o comportamento estrutural de pórticos planos. O sistema consiste de uma interface gráfica com o usuário baseada em manipulação direta, utilizando um sistema de janelas, com menus em cascata e botões. Graças à utilização do sistema de interface IUP/LED (http://www.tecgraf.puc-rio.br/manuais/iup) e o sistema gráfico CD (Canvas Draw – http://www.tecgraf.puc-rio.br/manuais/cd), ambos desenvolvidos no Tecgraf/PUC-Rio, o FTOOL pode ser executado em praticamente em qualquer plataforma, de microcomputadores a estações gráficas de trabalho, bastando recompilá-lo na plataforma desejada e ligá-lo com as bibliotecas gráficas apropriadas. O estudante tem controle total sobre o modelo estrutural sendo analisado. A manipulação no modelo é feita através de entrada via mouse ou teclado. O programa integra todas as fases do processo de análise estrutural: criação e manipulação do modelo com aplicação de atributos (pré-processamento), resolução pelo método da rigidez direta e visualização de resultados (pós-processamento). Uma estrutura de dados bastante eficiente, baseada em topologia computacional, permite uma integração natural entre estas fases e uma poderosa capacidade de modelagem e visualização. Esta integração é o aspecto fundamental no processo de aprendizagem, permitindo ao estudante experimentar com rapidez diferentes concepções estruturais para uma estrutura e assim entender melhor o seu comportamento estrutural [KAEFER-1]. 1.3 Organização do Texto Esta dissertação de mestrado é constituída por dez capítulos, incluindo este capítulo introdutório, e de quatro anexos. O Capítulo "Materiais" tem por objetivo apresentar os parâmetros utilizados neste trabalho para a modelagem dos materiais concreto e aço. No Capítulo "Análise Estrutural" abordamos o processo do estabelecimento de um modelo matemático que representa uma estrutura real de edifício. Procuramos sempre, 4 quando conveniente, traçar um paralelo entre as recomendações da norma brasileira vigente para o cálculo estrutural e as recomendações de sua nova redação a ser publicada no final de 2000. Acreditamos que este capítulo possui o mérito de sistematizar de uma maneira simples a forma usual de se dimensionar estruturas de contraventamento compostas por quadros planos. O processo descrito em [SANTOS-2] e utilizado para o dimensionamento dos elementos (vigas e pilares) é descrito no Capítulo 4 – Dimensionamento. Também apresentamos os critérios para o dimensionamento ao cisalhamento e para o estabelecimento dos limites mínimos e máximos de armadura para as seções de concreto implementados e baseados na NBR6118/2000. No final do capítulo, apresentamos exemplos simples de validação (seções isoladas de concreto armado) para as rotinas de dimensionamento implementadas. O Capítulo 5 – Análise, contém informações sobre as análises feitas pelo FTOOLADINA e sobre como foram confeccionadas as rotinas para a geração das relações força normal – momento – curvatura . No último tópico deste capítulo apresentamos um exemplo de validação constituído por uma tabela de valores adimensionais para um diagrama N-M-1/r , apresentando exemplos adicionais no Anexo IV. Maiores detalhes sobre a implementação computacional realizada, como as estruturas de dados implementadas e as alterações na interface gráfica básica (FTOOL 2.06), são encontradas no Capítulo 6 – Implementação Computacional. Os Capítulos 7, 8 e 9 concluem o trabalho. No Capítulo 7, apresentamos os exemplos de validação constituídos por análises de vigas, pilares e de um pórtico simples. Os aspectos da discretização da malha de elementos finitos e da detecção de pontos limite de instabilidade são abordados. No Capítulo 8 apresentamos um exemplo maior, de um pórtico simplificado de um edifício de 20 andares, visando mostrar o grande potencial de modelagem do programa implementado. Finalmente, o Capítulo 9 apresenta as conclusões obtidas. 5 No primeiro anexo apresentamos o manual de utilização do programa. Neste anexo pretendemos mostrar o funcionamento do FTOOL e as novas implementações. O segundo anexo contém a sintaxe utilizada para a comunicação entre ADINA e FTOOL através de arquivos texto. É particularmente importante o item que trata da leitura do arquivo de resultados do ADINA, pois não há documentação deste formato. O Anexo III contém os valores numéricos dos gráficos apresentados e das relações força normal – momento – curvatura utilizadas no Capítulo 7. No Anexo IV apresentamos mais algumas tabelas adimensionais com diagramas força normal – momento – curvatura complementares às apresentadas no Capítulo 5. 6 2. Hipóteses Básicas 2 2.1 HIPÓTESES BÁSICAS E PROPRIEDADES DOS MATERIAIS Introdução Neste capítulo apresentamos as características para os materiais concreto e aço utilizadas neste trabalho. Tais características se baseiam na Norma Brasileira NBR6118/2000 [ABNT-2] – Projeto de Estruturas de Concreto, a ser publicada em novembro de 2000. Em vários pontos do texto traçaremos paralelo entre ela e a norma vigente, a NB1/1978 [ABNT-1] – Projeto e Execução de Obras de Concreto Armado. Entretanto, lembramos sempre que a norma que deve ser seguida é a NBR6118/2000. Ressaltamos que nada impede que outros conjuntos de características, baseados em outros códigos internacionais, para o concreto e para o aço sejam introduzidas no futuro, pois todos os algoritmos de dimensionamento foram desenvolvidos visando uma grande generalidade e uma possível posterior expansão dos modelos de materiais disponíveis. 7 Acreditamos que esta possibilidade seria bastante interessante, permitindo futuras comparações. Assim sendo, neste capítulo, apresentaremos as características físicas (módulo de elasticidade, diagramas tensão-deformação, módulo de dilatação, ...) do concreto e do aço recomendadas por [ABNT-1] e [ABNT-2] e utilizadas nas rotinas do FTOOL. 2.2 Concreto 2.2.1 Classes A norma brasileira se aplica a concretos de massa específica normal, das classes do grupo I, indicadas na NBR8953, com resistência à compressão característica (fck) especificada para a idade de 28 dias variando de 10 a 50 MPa (concretos C10, C15, C20, C25, C30, C35, C40, C45 e C50). A NBR6118/2000 relaciona a resistência do concreto à durabilidade das estruturas e por isto estabelece valores mínimos da resistência à compressão, que deverá ser no mínimo 20 MPa para concretos que contenham apenas armadura passiva, 25 MPa para concretos com armadura ativa e 15 MPa para fundações e obras provisórias. 2.2.2 Massa Específica A massa específica dos concretos, para efeito de cálculo, pode ser adotada como sendo de 2400 kg/m3 para o concreto simples e de 2500 kg/m3 para o concreto armado. 2.2.3 Coeficiente de Dilatação Térmica Para efeito de análise estrutural, o coeficiente de dilatação térmica pode ser admitido como sendo igual a 10-5 /ºC. 2.2.4 Resistência à Tração Na falta de ensaios, a resistência à tração pode ser avaliada por meio das equações (2.1) a (2.3) [ABNT-2]. 8 fctm = 0,3 ⋅ fck 2 (2.1) (fctm, fck,inf , fctk,sup e fck em MPa) 3 fctk ,inf = 0,7 ⋅ fctm (2.2) fctk ,sup = 1,3 ⋅ fctm (2.3) [ABNT-1] prescreve o seguinte valor para fctk: para f ck ≤ 18MPa 0,1⋅ fck fctk = (fctk e fck em MPa) 0,06 ⋅ fck + 0,7 para f ck > 18MPa (2.4) Resistência à Tração (MPa) Resistência à Tração do Concreto 6.000 5.000 fctk,inf 4.000 fctm 3.000 fctk,sup 2.000 fctk 1.000 0.000 0 10 20 30 40 50 60 Resistência à Compressão (fck-MPa) fck 10 15 18 20 25 30 35 40 45 50 fctk,inf 0.975 1.277 1.442 1.547 1.795 2.028 2.247 2.456 2.657 2.850 fctm 1.392 1.825 2.060 2.210 2.565 2.896 3.210 3.509 3.795 4.072 fctk,sup 1.810 2.372 2.679 2.874 3.334 3.765 4.173 4.561 4.934 5.293 fctk 1.000 1.500 1.800 1.900 2.200 2.500 2.800 3.100 3.400 3.700 Figura 2.1 – Comparação dos valores para a resistência à tração do concreto prescritos em [ABNT-1] e [ABNT-2] 9 2.2.5 Módulo de Elasticidade Na ausência de dados experimentais sobre o módulo de elasticidade inicial do concreto utilizado, na idade de 28 dias, a NBR6118/2000 permite estimá-lo através da equação (2.5). E c = 5600 ⋅ fck (MPa) (2.5) O módulo de elasticidade secante a ser utilizado nas análises elásticas de projeto, especialmente para a determinação de esforços solicitantes e verificação de estados limite de serviço, deve ser calculado por (2.6), entretanto, na avaliação do comportamento global da estrutura permite-se utilizar em projeto o módulo inicial fornecido pela equação (2.5). E cs = 0,85 ⋅ E c = 4760 ⋅ f ck (MPa) (2.6) A NB1/78 prescreve outra expressão para o cálculo do módulo de elasticidade do concreto à compressão, no início da deformação efetiva, correspondente ao primeiro carregamento: E c = 6600 ⋅ fck + 3,5 (MPa) (2.7) Na flexão, quando a deformação lenta for nula ou desprezível, por serem de curta duração, o módulo de deformação Ec a ser adotado pela NB1/78 é o módulo secante do concreto (Ecs), suposto igual a 0,9 do módulo na origem: E cs = 5940 ⋅ fck + 3,5 (MPa) (2.8) 10 Módulo de Elasticidade do Concreto 60.00 50.00 E (GPa) 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0 20 40 60 fck (MPa) Ec (1982) fck 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Ec (2000) Ec (1982) 24.25 28.39 31.99 35.23 38.20 40.95 43.53 45.96 48.27 Ec (2000) 17.71 21.69 25.04 28.00 30.67 33.13 35.42 37.57 39.60 Ecs (1982) Ecs (2000) Ecs (1982) Ecs (2000) 21.82 15.05 25.55 18.44 28.80 21.29 31.71 23.80 34.38 26.07 36.86 28.16 39.18 30.10 41.37 31.93 43.45 33.66 Figura 2.2 – Comparação entre os módulos de elasticidade do concreto definidos em [ABNT-1] e [ABNT-2] A Figura 2.2 permite que observemos a grande redução do módulo de elasticidade introduzida pela NBR6118/2000. Os módulos de elasticidade e elasticidade secante das novas estruturas de concreto estão respectivamente e em média 20% e 25% menores que os módulos definidos pela NB1/78. Este fato se deve à evolução dos cimentos, que permitem que se obtenha concretos com grande resistência com teores menores de cimento, o que entretanto, torna a estrutura interna do material menos compacta e consequentemente as estruturas como um todo, mais flexíveis. 11 2.2.6 Diagramas Tensão-Deformação 2.2.6.1 Compressão Para análises no estado limite último, pode ser empregado o diagrama tensãodeformação idealizado mostrado na Figura 2.3. Neste e nos próximos diagramas é adotada a convenção de que tensões e deformações positivas representam compressão. σc Parábola do 2o grau Diagrama Característico fck σcd Diagrama de Cálculo εc1= 2‰ εc Figura 2.3 – Diagrama tensão-deformação para o concreto. O diagrama é descrito por uma parábola, para deformações entre 0 e εc1 e por uma reta ( σc = σcd ) entre εc1 e εcu, sendo σcd dado pela expressão: σ cd = α ⋅ fcd = α ⋅ fck γc onde: γc é o coeficiente de minoração da resistência do concreto, tendo para os casos normais valor 1,4 definido pela NBR6118 e 1,5 pelo CEB/90. α assume o valor 0,85 (consideração a deformação lenta do concreto (Efeito Rüsch)) e é utilizado para o dimensionamento no estado limite último ou 1,10 na análise não-linear física ([ABNT-2] item 15.2). (2.9) 12 As equações (2.10) e (2.11) fornecem a relação entre tensão e deformação para o diagrama de cálculo. 2 ε c σ c = σ cd ⋅ ε c − (εc em ‰) 4 para 0 < εc < εc1 σc = σcd para ε c1 < ε c < ε cu (2.10) (2.11) A NBR6118 permite a utilização deste diagrama para concretos com fck máximo de 50 MPa, entretanto, o CEB/90 permite que se utilize o mesmo diagrama para concretos com fck compreendido entre 50 e 80 MPa, alterando-se o valor de εcu conforme a expressão (2.12). ε cu = 3,5 ⋅ 50 (fck em MPa) fck (2.12) A deformação específica εcu é o valor convencional para o qual se admite a ruptura do concreto comprimido. Segundo [ABNT-1], para o encurtamento de ruptura do concreto (εcu) nas seções não inteiramente comprimidas considera-se o valor convencional de 3,5‰ (domínios 3 e 4a cuja definição é encontrada no item 4.3). Nas seções inteiramente comprimidas (domínio 5) admite-se que o encurtamento da borda mais comprimida, na ocasião da ruptura, varie de 3,5‰ a 2‰, mantendo-se inalterada e igual a 2‰ a deformação a 3/7 da altura total da seção, a partir da borda mais comprimida. No caso particular da compressão centrada o encurtamento de ruptura do concreto é de 2‰. 2.2.6.2 Tração No estado limite último o concreto tracionado se encontra fissurado não se considera nesta situação resistência à tração nas rotinas de dimensionamento e geração de diagramas força normal – momento – curvatura. 13 2.3 Aço 2.3.1 Categoria De acordo com o valor característico da resistência de escoamento, as barras e os fios são classificados atualmente nas categorias CA-25, CA-50, CA-60. Aço fyk (MPa) CA-25 250 CA-50 500 CA-60 600 Tabela 2.1 – Categoria dos aços para armadura passiva 2.3.2 Coeficiente de Dilatação Térmica O coeficiente de dilatação térmica vale 10-5 /ºC para intervalos de temperatura entre – 20 e 150ºC. 2.3.3 Módulo de Elasticidade Na falta de ensaios ou valores fornecidos pelo fabricante, admite-se o módulo de elasticidade do aço igual a 210 GPa ([ABNT-1], [ABNT-2]) ou 200 GPa (CEB/90). 2.3.4 Diagrama Tensão-Deformação Na falta de determinação experimental, são admitidos os seguintes diagramas tensãodeformação para os aços de dureza natural e encruados a frio. A NBR6118/2000 permite que o diagrama da Figura 2.3 seja utilizado para cálculos nos estados-limite de serviço e último para aços com ou sem patamar de escoamento. 2.3.4.1 Aços de Dureza Natural São os aços ditos de classe A. Possuem patamar de escoamento bem definido. 14 σs Diagrama Característico fyck fycd Compressão εyd Es εycd εycu εs Tração εyu Diagrama de Cálculo fyk fyd Figura 2.4 – Diagrama tensão-deformação para aços de dureza natural O início do patamar de escoamento é dado pela equação (2.13). ε yd = ε ycd = γs f yd Es ,onde f yd = f yk (2.13) γs é o coeficiente de minoração da resistência do aço, tendo o valor 1,15 definido tanto pela NBR6118 como pelo CEB/90. As equações (2.14) e (2.15) fornecem a relação entre tensão e deformação para o diagrama de cálculo. ε yd ≤ ε s ≤ 0 σs = Es ⋅ ε s para 0 ≤ ε s ≤ ε ycd σ s = fyd 2.3.4.2 ( (2.14) ) ε yu = 10 o oo ≤ εs ≤ ε yd para o ε ycd ≤ εs ≤ ε ycu = 3,5 oo ( ) (2.15) Aços Encruados a Frio São os aços ditos de classe B. Possuem patamar de escoamento convencional para o valor de tensão correspondente à deformação permanente de 2‰. 15 σs 0,7 fyck 0,7 fycd εyu εyd -2 ‰ Diagrama Característico fyck fycd Diagrama de Cálculo Es 2‰ Parábola do 2o grau fyd fyk εycd εycu εs 0,7 f yd 0,7 fyk Figura 2.5 – Diagrama tensão-deformação para aços encruados a frio O início do patamar de escoamento é dado pela equação (2.16): ε yd = ε ycd = f yd Es + 2 0 00 onde f yd = f yk γs (2.16) O diagrama é descrito por uma reta, para deformações situadas nos intervalos [ 0,7εyd ; 0 ] e [ 0 ; 0,7ε ycd ], por uma parábola para os intervalos [εyd ; 0,7εyd] e [ 0,7εycd ; εycd ] e por retas horizontais (σs constante) para os intervalos [ εyu ; εyd ] e [ ε ycd ; εycu ]. As equações (2.17), (2.18) e (2.19) fornecem a relação entre tensão e deformação para o diagrama de cálculo. σ s = Es ⋅ ε s f yd ≤ εs ≤ 0 0,7 Es para f 0 ≤ ε s ≤ 0,7 ycd Es (2.17) 16 B + B2 − 4 ⋅ A ⋅ C 2⋅A 1 A = 2 45 ⋅ f yd 1,4 1 − com B = 45 ⋅ f yd E s 0,49 C = 45 − ε sd σs = f yd ε yd ≤ ε s ≤ 0,7 ⋅ Es para f 0,7 ⋅ ycd ≤ ε s ≤ ε ycd Es (2.18) e εs adimensional. ε yu ≤ ε s ≤ ε yd σ s = f yd para ε ycd ≤ ε s ≤ ε ycu (2.19) 2.3.5 Alongamento e Encurtamento Máximo Permitido para a Armadura Os valores para εyu e εycu são iguais para os aços de dureza natural e para os aços encruados a frio. Tanto εyu como εycu são valores convencionais. Segundo [ABNT-1], o alongamento máximo permitido (εyu) ao longo da armadura de tração é de 10‰ (domínios 1 e 2), a fim de prevenir deformação plástica excessiva. εycu deve ser limitado a um valor inferior a 3,5‰ em virtude do limite convencional de ruptura do concreto à compressão. 17 3. Análise Estrutural 3 3.1 ANÁLISE ESTRUTURAL Introdução Abordaremos neste capítulo o processo de análise estrutural de um edifício. Nosso primeiro passo será identificar em um prédio os elementos estruturais que podem ser calculados e dimensionados pelo FTOOL. Em seguida, discutiremos o processo recomendado pela norma brasileira [ABNT-2] para a obtenção da envoltória de esforços para cada um destes elementos (ou sub-estruturas) no estado limite último, sem considerar os efeitos da fluência. 3.2 Objetivo da Análise Estrutural O objetivo da análise estrutural é determinar os efeitos das ações em uma estrutura, com a finalidade de efetuar verificações de estados limites últimos e de serviço. A análise estrutural permite estabelecer as distribuições de esforços internos, tensões, deformações e deslocamentos em uma parte ou em toda a estrutura [ABNT-2]. 18 Em geral as estruturas das construções são excessivamente complexas para possibilitarem um tratamento numérico global. Desta forma, faz parte da análise estrutural a divisão das estruturas em elementos mais simples, identificando o comportamento estrutural principal destas partes simples para associá-las aos modelos da Teoria das Estruturas. Deve-se ressaltar, entretanto, que o projetista da estrutura terá sempre limitações quanto às simplificações a serem adotadas, pois ele não poderá ignorar o comportamento real da mesma como um todo. A análise estrutural será tanto mais eficaz quanto mais os resultados do tratamento numérico simplificado aproximarem-se dos valores reais esperados [ISHITANI-1]. 3.3 Hipóteses Simplificadoras no Projeto de Edifícios Em geral o comportamento das estruturas de concreto armado é bastante difícil de ser representado. São inúmeros os aspectos a serem considerados, entre eles: a) o emprego de materiais (concreto e aço) com diagramas tensão-deformação não lineares, com características físicas que variam conforme a idade do concreto (fluência do caso do concreto e relaxação para os aços); b) o processo de construção artesanal, que pode inserir diversas imperfeições na construção: “bicheiras” devidas a uma má vibração do concreto, falta de prumo em pilares, cobrimentos insuficientes e concretos com características diferentes nos diversos pontos da construção; c) o processo de construção incremental, que faz com que existam concretos com diversas idades na construção, com características físicas diferentes, o que ocasiona uma grande redistribuição de esforços pela estrutura [ISHITANI-1]; d) a interação entre o solo e a estrutura; e) os esforços de vento; f) as exigências quanto à durabilidade da estrutura; g) a grande quantidade de elementos básicos (a saber: vigas, lajes, pilares, ... ); h) a presença constante de elementos complementares (escadas, caixas d’água) e de fundação (blocos, estacas, cortinas, ...). 19 Percebe-se que sem uma análise estrutural adequada, o projeto das estruturas de concreto assume proporções “épicas”. Deve-se considerar, entretanto, que com o grande aumento da capacidade de processamento dos computadores, a custos cada vez menores, a cada dia há maior poder de processamento nos escritórios de engenharia, o que torna análises globais e a utilização modelos não-lineares uma possibilidade real para o projeto das estruturas de concreto. 3.4 Modelagem do Edifício Um edifício pode ser modelado como um pórtico espacial ao qual são acrescentadas placas em diversos níveis (ou pavimentos). Figura 3.1 – Estrutura de concreto armado de um edifício Observa-se que a estrutura de um edifício é composta por elementos com funções estruturais bem definidas, sendo os elementos estruturais básicos [ISHITANI-1]: a) Laje Elemento estrutural bidimensional, geralmente horizontal. Constitui os pisos dos compartimentos. Suporta diretamente as cargas verticais do piso, e é solicitado predominantemente à flexão (placa). No caso mais usual, as lajes descarregam as cargas verticais do piso e o seu peso próprio a vigas de apoio, embora existam casos (lajes cogumelo) aonde as lajes apoiam-se diretamente nos pilares; 20 b) Viga Elemento unidimensional (barra), geralmente horizontal, que vence os vãos entre os pilares dando apoio às lajes, às alvenarias de tijolos e, eventualmente, a outras vigas. É solicitado predominantemente à flexão. As vigas devem ainda ser dimensionadas para absorver esforços de cisalhamento decorrentes de seu carregamento e de esforços devidos à torção se suportarem platibandas ou pertencerem a estruturas tridimensionais; c) Pilar Elemento unidimensional (barra), geralmente vertical, que garante o vão vertical dos compartimentos (pé-direito) fornecendo apoio às vigas, e é solicitado predominantemente à compressão. Além dos elementos básicos podemos citar também os elementos de fundação (sapatas, radiers e blocos sobre estacas) responsáveis pelo encaminhamento da carga total da estrutura para o solo e elementos complementares como escadas, caixas de água e muros de arrimo. Na próxima figura apresentamos o esquema convencional de estrutura de um edifício, destacando seus elementos básicos: 21 Laje Pórtico de Contraventamento Pilar Viga Edifício Figura 3.2 – Decomposição do edifício em elementos básicos Desta forma, dentro do processo de análise da estrutura, tendo em vista diminuir a complexidade da estrutura de forma que possamos modelá-la, o primeiro passo é identificar os elementos principais, eliminando do modelo os elementos secundários (em muitos casos substituídos por um sistema de forças equivalentes), de menor importância para o comportamento global da estrutura. Resulta então, um modelo tridimensional composto por elementos de barra e de placa. Para que o problema possa ser resolvido pelo sistema computacional proposto, as lajes devem ser destacadas da estrutura e modeladas a parte. Após a análise das lajes, seu carregamento deve ser transferido para as vigas ou pilares, que podem estar sendo modelados individualmente ou fazer parte de uma estrutura plana de contraventamento. 3.5 Determinação do Carregamento Vertical O carregamento vertical atuante na estrutura pode ser considerado permanente ou acidental. 22 O carregamento permanente é constituído em geral pelo peso próprio da estrutura e pelo peso dos revestimentos e fechamentos. O carregamento acidental é decorrente do tipo de utilização da estrutura e será representado por cargas normalizadas uniformemente distribuídas sobre as lajes. Os valores para tais cargas são encontradas na NBR6120/1990 – Cargas para o Cálculo de Estruturas de Edificações. Deve-se lembrar que durante todos os cálculos, as cargas permanentes devem ser mantidas em um caso de carga diferente do das cargas acidentais, facilitando combinações futuras com outros tipos de carregamento, como o efeito do vento e da excentricidade acidental global. Primeiramente deve-se fazer a estimativa das cargas atuantes nas lajes. A análise das lajes fornecerá reações de apoio que deverão ser somadas ao carregamento aplicado diretamente sobre as vigas (seu peso próprio e alvenarias por exemplo), constituindo o carregamento final das vigas. 3.6 Modelagem das Lajes As estruturas de placas (lajes) podem ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses [ABNT-2]: a) manutenção da seção plana após a deformação, em faixas suficientemente estreitas; b) representação dos elementos por seu plano médio. Os apoios das lajes são em geral constituídos pelas vigas do piso. Nestes casos, o cálculo das lajes pode ser feito de maneira simplificada como se elas fossem isoladas das vigas, com apoios (charneiras) livres à rotação e indeslocáveis à translação, considerando-se, contudo, a continuidade de lajes contíguas. Em geral, podem ser desprezados os efeitos da interação com as vigas. De fato, normalmente as flechas apresentadas pelas vigas de apoio são desprezíveis quando comparadas às das lajes, justificando a consideração dos apoios como irrecalcáveis. Além disso, também a rigidez à torção das vigas é relativamente pequena face à rigidez à flexão da laje, permitindo-se, em geral, desprezar-se a solicitação resultante desta interação. É 23 obrigatória, entretanto, a consideração de esforços de torção inseridos nas vigas por lajes em balanço, aonde a compatibilidade entre a flexão na laje e a torção na viga é responsável pelo equilíbrio da laje [ISHITANI-1]. As cargas das lajes são constituídas pelo seu peso próprio, pela carga das alvenarias e dos revestimentos que nela se encontrarem e pelas ações acidentais. As lajes podem ser armadas em uma ou duas direções. As lajes armadas em um única direção podem ser calculadas como vigas de largura unitária (maiores detalhes podem ser encontrados em [ABNT-1], item 3.3.2.6). Já as lajes armadas em duas direções, podem ser modeladas com elementos de placa, utilizando o coeficiente de Poisson ν = 0,2 para o material elástico linear. Dentro desta sistemática, inicialmente as lajes são calculadas isoladamente, observando-se as condições de apoio de bordo engastado ou de charneira, conforme haja continuidade ou não entre as lajes. Posteriormente é feita a compatibilização entre os momentos de bordo de lajes contíguas. Os valores dos momentos fletores máximos no vão e de engastamento para as formas e condições de apoio mais comuns encontram-se tabelados, existindo tabelas publicadas por diversos autores (Kalmanock, Barès, Czèrny, Timoshenko). Para o cálculo das reações de apoio das lajes maciças retangulares com carga uniforme, permite-se que as reações em cada apoio correspondam às cargas atuantes nos triângulos ou trapézios determinados através das charneiras plásticas correspondentes à análise efetivada com os critérios do item 14.6.5 – Análise Plástica [ABNT-2]. Estas reações podem ser, de maneira aproximada, consideradas por retas inclinadas, a partir dos vértices com os ângulos: a) 45o entre dois apoios de mesmo tipo; b) 60o a partir do apoio considerado engastado, se o outro for considerado simplesmente apoiado; c) 90o a partir do apoio, quando a borda vizinha for livre. 24 Face superior da laje Face inferior da laje Figura 3.3 – Configuração das fissuras de uma laje de concreto armado retangular sob carga uniforme no estado de ruptura [LEONHARDT-1] Além das lajes usuais, temos as lajes nervuradas e as lajes cogumelo (que se apoiam em pilares com capitéis) e lajes planas (apoiadas diretamente sobre pilares). Embora a forma de modelar as lajes apresentada possa não ser a mais exata, ela permite que as lajes sejam modeladas de uma forma simples, com a obtenção de esforços condizentes com a realidade e que estes esforços resultantes (reações de apoio) possam ser aplicados de maneira consistente às vigas e pilares modeladas utilizando-se o FTOOL. 3.7 Modelagem dos Elementos Lineares – Vigas e Pilares Após a análise das lajes e da transferência das reações destas para as vigas e pilares, passamos para a análise dos elementos lineares. Estruturas ou partes de estruturas que possam ser assimiladas a elementos lineares poderão ser analisadas admitindo-se as seguintes hipóteses [ABNT-2]: a) manutenção da seção transversal plana após a deformação; b) representação dos elementos por seus eixos longitudinais; c) comprimento limitado pelo centro de apoios ou pelo cruzamento com o eixo de outro elemento estrutural. 25 Dentre o conjunto de vigas e pilares da estrutura de um edifício, deveremos identificar sempre elementos que resistam aos esforços horizontais formando um sistema chamado de estrutura de contraventamento. A estrutura de contraventamento pode ser formada por pilares de maior rigidez (como a caixa dos elevadores), pela associação destes a vigas e a outros pilares, formando conjuntos de pórticos planos em cada direção considerada, ou finalmente por todos os pilares e vigas principais do edifício. É interessante fazer com que todos os pilares e vigas principais participem do modelo de contraventamento, pois por menor rigidez que possuam, sempre contribuirão para a rigidez global da estrutura. Após a análise global da estrutura de contraventamento, cada elemento deverá ser analisado individualmente. Nesta análise local, são introduzidas as excentricidades acidentais locais, e quando necessário, modelados os efeitos localizados de 2ª ordem. Os demais elementos serão calculados individualmente, como elementos contraventados, utilizando o processo de modelagem apresentado em [ABNT-2]. 3.8 Modelagem das Estruturas de Contraventamento Deste ponto em diante, visando facilitar a compreensão do problema de modelagem de um edifício, utilizaremos um exemplo, extraído de [OLIVEIRA-1]. A estrutura em questão possui 20 andares, com distância entre lajes de 2,80 m. Todos os andares possuem a mesma planta baixa apresentada na Figura 3.4, observando que as lajes e vigas em balanço são substituídas por suas forças equivalentes sobre o pilar P2 e P4 e sobre a viga V4, obtendo o modelo simplificado da direita. 26 P4 (60/60) x P2 V4 P3 V2 V2 (18/70) y V1 V3 L2 h=12 740 P1 V5(18/70) L1 h=12 P2 (60/60) V4(18/70) V1 (18/70) P3 (35/35) V3(18/70) 800 P1 (60/60) P4 P5 (60/60) 800 P5 740 230 Figura 3.4 – Exemplo de Edifício [OLIVEIRA-1] 3.8.1 Carregamento Horizontal O carregamento horizontal é constituído pelo vento, pela consideração do desaprumo global e pelo efeito da assimetria da geometria ou do carregamento do edifício. O desaprumo global não precisa ser superposto ao carregamento de vento. Dentre os dois, vento e desaprumo, pode ser considerado apenas aquele mais desfavorável, permitindo-se escolher o mais desfavorável como sendo o que provoca o maior momento total na base de construção. 3.8.1.1 Vento A consideração do efeito do vento nas edificações é obrigatória segundo [ABNT-2] sendo que este efeito pode ser calculado com base na NBR6123/1988 – Forças Devidas ao Vento em Edificações. Em geral, pela introdução da ação do vento, deve-se levar em conta sempre duas combinações de carga levando em conta a simultaneidade das ações acidentais verticais e o caráter acidental do vento. Segundo [ABNT-2] apud [OLIVEIRA-1], a primeira combinação considera a carga acidental como a ação variável principal e a segunda combinação considera a carga horizontal de vento como a ação variável principal. As combinações são dadas por : 27 n Fd = γ g Fgk + γ q Fq1k + γ q ∑ ψ 0 j Fqjk (3.1) 2 onde Fd representa os valores de cálculo das ações; Fgk representa as ações permanentes diretas; Fqk representa as ações variáveis diretas das quais Fq1k é escolhida principal; γg, γq representam os coeficientes de ponderação aplicados às ações permanentes e variáveis; ψ0 representa o coeficiente que leva em conta a simultaneidade de atuação das ações. As combinações ficam assim determinadas: Fd = 1,4 Cargas Perm. + 1,4 Cargas Var. + 1,4⋅0,4 Ações horizontais (3.2) Fd = 1,4 Cargas Perm. + 1,4⋅0,4 Cargas Var. + 1,4 Ações horizontais 3.8.1.2 Consideração das Imperfeições Construtivas Na análise global das estruturas reticuladas, sejam elas contraventadas ou não, deve ser considerado um desaprumo dos elementos verticais conforme mostra a Figura 3.5 [ABNT-2]. l θa n prumadas de pilares Figura 3.5 – Consideração das imperfeições geométricas globais [ABNT-2] Aonde: 28 θ1 = 1 (3.3) 100 l θ a = θ1 1 + 1n 2 (3.4) tal que, l é a altura da estrutura em metros; n é o número total de elementos verticais contínuos. θ1min 1 = 400 1 300 θ1máx = para estruturas de nós fixos; (3.5) para estruturas de nós móveis e imperfeições locais. 1 200 3.8.1.3 Assimetria da Estrutura ou do Carregamento Este efeito pode ser facilmente compreendido visualizando o exemplo [OLIVEIRA-1]. As lajes e vigas em balanço tornam a estrutura assimétrica na direção x, fazendo com que a estrutura se deforme naturalmente na direção positiva do eixo x. 3.8.2 Definição da Estrutura de Contraventamento Deve-se considerar o efeito do vento e das imperfeições construtivas pelo menos nas direções principais x e y. Desta forma devem existir dois sistemas de contraventamento ortogonais entre si. Na direção x associaremos dois pórticos, o primeiro formado pelas vigas V1, V11, ... e V201 e pelos pilares P1 e P2 e o segundo formado pelas vigas V2, V12, ... e V202 e pelos pilares P4 e P5 com o pilar contraventado P3. Na direção y adotaremos arranjo similar. A compatibilização dos deslocamentos dos pilares e transferência dos esforços horizontais em cada pavimento é feita com a introdução de uma série de barras rígidas articuladas nas extremidades, conforme pode ser visto na Figura 3.6. 29 Figura 3.6 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1] 3.8.3 Deslocabilidade Considerando o deslocamento dos nós das estruturas reticuladas perante cargas horizontais, elas podem ser classificadas como de nós fixos ou de nós deslocáveis: a) Estruturas de nós fixos: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e por decorrência, os efeitos globais de 2ª ordem são desprezíveis (inferiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem); nestas estruturas basta considerar os efeitos locais e localizados de 2ª ordem; b) Estruturas de nós móveis: são as estruturas nas quais os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos globais de 2a ordem são importantes (superiores a 10% dos respectivos esforços de 1ª ordem). Nestas estruturas devem ser obrigatoriamente considerados os esforços globais, locais e localizados de 2ª ordem [ABNT-2]. 3.8.3.1 Rigidez Mínima das Estruturas Indeslocáveis Dois processos aproximados são indicados pela NBR6118/2000 (e são transcritos a seguir) para garantir a rigidez mínima das estruturas de nós fixos. Lembramos que a avaliação da deslocabilidade da estrutura deve ser feita para todas as combinações de carga aplicadas à estrutura. 30 a) Parâmetro de Instabilidade Uma estrutura reticulada simétrica poderá ser considerada como sendo de nós fixos se seu parâmetro de instabilidade α for menor que o valor α1 definido a seguir: α ≤ α1 α = H tot (3.6) Nk E c Ic (3.7) α 1 = 0,2 + 0,1 ⋅ n se n ≤ 3 α 1 = 0,6 se n ≥ 4 (3.8) onde: n - número de níveis de barras horizontais (andares) acima da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Htot - altura total da estrutura, medida a partir do topo da fundação ou de um nível pouco deslocável do subsolo; Nk - somatória de todas as cargas verticais atuantes na estrutura (a partir do nível considerado para o cálculo de Htot), com seu valor característico. Ec Ic - somatória da rigidez de todos os pilares na direção considerada. No caso de estruturas de pórticos, de treliças ou mistas, ou com pilares de rigidez variável ao longo da altura, permite-se considerar produto de rigidez Ec Ic de um pilar equivalente de seção constante. Para Ec permite-se adotar, nessa expressão e em todas as análises de estabilidade global, o valor do módulo de elasticidade inicial (equação (2.5)). O valor de Ic é calculado considerando as seções brutas dos pilares. Para determinar a rigidez equivalente (Ec Ic) em pórticos planos e estruturas treliçadas, procede-se da seguinte maneira: § calcula-se o deslocamento do topo da estrutura de contraventamento, sob a ação do carregamento horizontal característico; 31 § calcula-se a rigidez de um pilar equivalente de seção constante, engastado na base e livre no topo, de mesma altura Htot, tal que, sob a ação do mesmo carregamento, sofra o mesmo deslocamento no topo da estrutura de contraventamento. O valor limite α1 = 0,6 prescrito para n ≥ 4 é, em geral, aplicável às estruturas usuais de edifícios. Vale para associações de pilares-parede, e para pórticos associados a pilaresparede. Ele pode ser aumentado para 0,7 no caso de contraventamento constituído exclusivamente por pilares-parede, e deve ser reduzido para 0,5 quando só houver pórticos. b) Coeficiente γz É possível determinar de forma aproximada o coeficiente γz de majoração dos esforços globais finais com relação aos de primeira ordem. Essa avaliação é efetuada a partir dos resultados de uma análise linear de primeira ordem, adotando-se os valores de rigidez dados nas equações (3.6), que estimam o efeito da não-linearidade física. para lajes para vigas : (EI)sec = 0,3 ⋅ E cIc : (EI)sec = 0,4 ⋅ E cIc para A’ s ≠ As e (EI)sec para pilares = 0,5 ⋅ E cIc para A’ s = As : (EI)sec = 0,8 ⋅ E cIc para estruturas de contraventamento compostas exclusivamente por vigas e pilares, pode-se considerar para ambas: (EI)sec = 0,7 ⋅ E cIc sendo Ec : o módulo de elasticidade inicial do concreto (2.5) e Ic : o momento de inércia da seção bruta de concreto (3.9) 32 O valor de γz é: 1 γz = 1− ∆Mtot , d ah + a v . M1, tot ,d ah (3.10) sendo: M1,tot,d - momento de tombamento, ou seja, a soma dos momentos de todas as forças horizontais, com seus valores de cálculo, em relação à base da estrutura; ∆Mtot,d - soma dos produtos de todas as forças verticais atuantes na estrutura, com seus valores de cálculo, pelos deslocamentos horizontais de seus respectivos pontos de aplicação, obtidos da análise de 1ª ordem; ah, a v - são os deslocamentos horizontais no nível do centro de gravidade das cargas verticais da estrutura. O deslocamento horizontal av é o decorrente somente das ações verticais e o deslocamento horizontal ah é decorrente somente das ações horizontais. Considera-se que a estrutura é de nós fixos se for obedecida a condição γz ≤ 1,1, sendo que neste caso é possível desconsiderar os efeitos de 2ª ordem. Solução aproximada para a determinação dos esforços globais de 2ª ordem, válida para estruturas regulares consiste na avaliação dos esforços finais (1ª ordem + 2ª ordem) pela multiplicação por 0,95 γz dos momentos de 1ª ordem, desde que γz ≤ 1,3. Para valores de γz maiores que 1,3 é necessária a análise de 2ª ordem adequada, permitindo-se a adoção do processo P∆ para a avaliação da não-linearidade geométrica em conjunto com os valores de rigidez dados por (3.9) representativos do efeito da não-linearidade física [ABNT-2]. 3.8.4 Análise Não-Linear A análise estrutural com efeitos de 2ª ordem deve assegurar que as combinações mais desfavoráveis das ações de cálculo não ocasionem perda de estabilidade ou esgotamento da capacidade resistente de cálculo [ABNT-2]. Assim sendo, neste tópico mostraremos como proceder a uma análise não-linear de um pórtico plano utilizando o FTOOL. 33 Num primeiro momento, não é possível utilizar a análise não-linear física e geométrica, pois com o pré-dimensionamento temos apenas as dimensões das peças, mas não as armaduras. Desta forma, primeiro devemos processar todas as combinações utilizando a opção de análise não-linear geométrica, adotando valores de rigidez aproximados para a seção transversal fissurada de concreto. Os valores de rigidez para vigas e pilares recomendados em [ABNT-2] podem ser vistos em (3.9). Outras referências indicam valores levemente diferentes para a avaliação da rigidez da seção fissurada de concreto, ficando a cargo do projetista a utilização dos valores mais adequados: Vasconcelos & Franco ( [VASCONCELOS-1] apud [ANTUNES-1] ) (EI)sec = 0,50 ⋅ E cIc para vigas (EI)sec = 0,80 ⋅ E cIc para pilares MacGregor & Hage ( [MACGREGOR-1] apud [ANTUNES-1] ) (EI)sec = 0,40 ⋅ EcIc para vigas (EI)sec = 0,80 ⋅ E cIc para pilares (3.11) ACI-318-95 ( apud [ANTUNES-1] ) (EI)sec = 0,30 ⋅ E cIc para vigas (EI)sec = 0,70 ⋅ E cIc para pilares A seguir, dimensionamos todos os elementos da estrutura para a envoltória de esforços (no FTOOL calculam-se as áreas de aço para cada combinação e depois comparam-se estes valores para o traçado da envoltória). Após o dimensionamento passamos a ter os valores para a taxa de armadura em cada elemento, permitindo que se proceda à verificação do dimensionamento recalculando os esforços atuantes através de análises não-lineares físico-geométricas para todas as combinações de carga. Nesta análise, o sistema pode resultar instável, por falta de rigidez. Neste caso, a falta de rigidez da estrutura é ocasionada por terem sido adotados 34 valores muito altos para a rigidez da seção de concreto fissurado nos cálculos nãolineares geométricos (pré-dimensionamento). Assim sendo, deve-se estimar uma rigidez inicial menor para as vigas e pilares e efetuar uma nova análise não-linear geométrica com o posterior redimensionamento das armaduras. Havendo rigidez suficiente, o sistema convergirá para todas as combinações de carga, originando mais uma envoltória de esforços solicitantes. Observa-se que no cálculo nãolinear físico e geométrico haverá uma redistribuição de rigidez ao longo da estrutura conforme o dimensionamento das armaduras efetuado. Esta redistribuição poderá alterar significativamente os esforços solicitantes em toda a estrutura ou em parte dela. Por causa disto, mais uma vez deve-se proceder ao dimensionamento das armaduras das seções de concreto armado. Se os valores obtidos para as armaduras calculadas com os esforços provenientes da análise não-linear física e geométrica forem muito diferentes dos obtidos pela análise não-linear geométrica, deve-se proceder a novos cálculos (com a nova distribuição de armadura) que considerem a não-linearidade física e geométrica até que se tenha a estabilização (convergência) da distribuição da armadura nos diversos elementos. Lembramos que segundo [ABNT-2] poderá ser considerada também a formulação de segurança em que se calculam os efeitos de 2ª ordem das cargas majoradas de γf/γf3 que posteriormente são majorados de γf3, com γf3 = 1,1. O fator γf3 considera as incertezas provenientes do método de análise e deve ser aplicado aos valores finais dos esforços. Nos problemas não-lineares, a consideração deste fator em γf poderia conduzir a deformações e consequentemente a esforços de 2ª ordem superavaliados. Finalmente, deve-se ainda avaliar os efeitos de 2ª ordem e decorrentes de desaprumos locais em cada tramo de pilar da estrutura de contraventamento. O processo é análogo ao dimensionamento de elementos contraventados. Os efeitos localizados de 2ª ordem tornam-se presentes apenas quando o índice de esbeltez do pilar definido entre dois pavimentos superar os valores de λ 1 estabelecidos no tópico 3.10.1. Caso haja necessidade da avaliação destes efeitos, ela pode ser feita de várias maneiras: 35 § no modelo global, discretizando-se cada tramo de pilar em pelo menos três elementos; § criando um modelo local com os esforços de extremidade provenientes do pórtico, discretizado em pelo menos três elementos com a posterior análise não-linear física e geométrica; § criando um modelo local com os esforços de extremidade provenientes do pórtico e utilizando métodos aproximados baseados no método do pilar padrão (ver item 3.10.4.2). As excentricidades acidentais podem ser introduzidas no modelo localizado através de momentos mínimos de extremidade (M1d,mín). Deve-se também efetuar a análise local de vigas que liguem pilares contraventados a pilares de contraventamento, considerando a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado [ABNT-2]. O valor de θ1 para a avaliação de imperfeições locais é considerado como l/300. Pilar de contraventamento Pilar contraventado θ1 θ1 l Figura 3.7 – Efeito de imperfeição geométrica em um viga que liga um pilar contraventado a um pilar de contraventamento [ABNT-2] Finalmente, a última recomendação é ressaltar o fato de que quando o FTOOL constrói os diagramas M-1/r utilizados para estimar a não-linearidade física, ele utiliza taxas de armadura constantes (valores máximos calculados da área de aço) em todo o elemento. 36 Desta forma, para uma avaliação da rigidez um pouco mais refinada, convém dividir cada tramo de viga em pelo menos três elementos. Dimensionada a estrutura de contraventamento, deve-se calcular as vigas e pilares contraventados. A análise destes elementos restantes é feita através de modelos localizados supondo que estes façam parte de estruturas indeslocáveis. 3.9 Modelagem de Vigas Isoladas O modelo básico para a consideração das cargas verticais é a análise linear de uma viga contínua. A caracterização da geometria das vigas pode ser vista no item 14.5.2 da NBR6118/2000. O carregamento das vigas é composto pelas reações das lajes (admite-se que estas sejam consideradas uniformes sobre cada viga de bordo), pelo seu peso próprio e pelo peso das alvenarias. Permite-se supor que a posição das cargas acidentais uniformemente distribuídas (q) com a qual se obtém a situação mais desfavorável para a seção considerada, seja determinada com cada tramo totalmente carregado ou totalmente descarregado. Dispensa-se o cálculo das envoltórias quando a carga acidental for menor que 20% da carga total. Figura 3.8 – Modelo básico para a determinação da envoltória para uma viga contínua de três tramos (somente “q” é mostrada) No modelo básico de viga contínua, é desconsiderada a solidariedade da viga aos pilares e por isso, devemos utilizar modelos adicionais de forma a estimar esta influência. 37 Quando um pilar interno for muito rígido (largura na direção da viga maior que o pédireito dividido por 5 [ABNT-1] ou 4 [ABNT-2]), não poderá ser considerado momento negativo de valor absoluto menor do que o de engastamento perfeito nesse apoio. O efeito de pilar de extremidade pode ser estimado através do modelo constituído por três barras convergentes, todas consideradas engastadas nas extremidades (pode-se considerar a viga simplesmente apoiada no pilar interno, dependendo de sua rigidez). O esquema básico é representado na próxima figura. l sup linf l Figura 3.9 – Modelo simplificado para a consideração do efeito de pilar de extremidade M0 = rinf + rsup rvig + rinf + rsup Meng = rvig = rinf = rsup = (g + q) ⋅ l 2 12 4EIvig l 4EIinf l inf 4EIsup l sup Meng (momento na viga, apoio de extremidade) (3.12) (momento de engastamento perfeito) (3.13) (rigidez da viga) (3.14) (rigidez do pilar inferior) (3.15) (rigidez do pilar superior) (3.16) Em certas situações, a articulação perfeita junto a pilares internos pode subestimar o momento positivo em um vão pequeno ou pouco carregado face a vãos adjacentes mais carregados. Costuma-se então comparar os valores dos momentos positivos em cada tramo, obtidos engastando-se todos os apoios internos. 38 Todo este processo de modelagem de viga contínua pode ser substituída pela análise de um pórtico plano que considere a solidariedade dos pilares com as vigas, o que conduz a uma modelagem muito mais simples e eficaz da viga. Figura 3.10 – Consideração da solidariedade dos pilares com as vigas. Sobre os apoios, os momentos fletores poderão ser arredondados conforme o item 14.5.3 da NBR6118/2000. Pode também ser considerado no cálculo das vigas o momento fletor de 2ª ordem dos pilares a que ela está rigidamente ligada [ABNT-1]. Na análise local de vigas que liguem pilares contraventados a pilares de contraventamento, deve ser considerada a tração decorrente do desaprumo do pilar contraventado [ABNT-2] (ver Figura 3.7). 3.10 Modelagem de Pilares Isolados As funções dos pilares são as de conduzir as cargas verticais dos pavimentos para as fundações, donde decorre seu comportamento primário de barra comprimida, e de fornecer estabilidade ao edifício quanto aos esforços horizontais (vento e terremotos). As simplificações possíveis (tanto do seu comportamento, como do método de modelagem) de serem adotadas no projeto de pilares estão diretamente relacionadas com o índice de esbeltez λ do pilar. λ= i= le i Ic Ac (3.17) (3.18) 39 onde le = comprimento de flambagem i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção de concreto não se considerando a presença da armadura) Ic = momento de inércia da seção transversal do pilar em relação ao eixo principal de inércia na direção considerada Ac = área da seção transversal do pilar Nas estruturas de edifícios consideradas indeslocáveis, o comprimento de flambagem le dos pilares é determinado conforme a Figura 3.11 e a Equação (3.19). Nas estruturas de nós móveis, rigorosamente o comprimento de flambagem é medido entre pontos de inflexão da configuração deformada do pilar. Entretanto, uma boa aproximação é considerar o mesmo critério adotado para os pilares de estruturas indeslocáveis. 0 h Figura 3.11 – Determinação do comprimento de flambagem nos casos usuais de estruturas de edifícios O comprimento equivalente le do elemento comprimido suposto vinculado em ambas as extremidades é o menor dos seguintes valores: l + h le ≤ 0 l (3.19) 40 A próxima figura mostra os critérios para a modelagem dos pilares isolados em função de seu índice de esbeltez. 0 λ1 90 140 200 a Consideração dos efeitos de 2 ordem Consideração da Fluência Método Geral Método do Pilar Padrão com curvatura aproximada Método do Pilar Padrão com rigidez Κ aproximada Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r Figura 3.12 – Critérios para a modelagem dos pilares isolados conforme o índice de esbeltez As duas primeiras barras indicam o intervalo onde há obrigatoriamente a necessidade da consideração dos efeitos de 2ª ordem e de fluência e nas quatro barras seguintes o intervalo de validade de cada método de solução recomendado pela NBR6118/2000. Devemos ainda complementar que o valor λ 1 é um valor que determina o início da consideração dos efeitos de 2ª ordem e será discutido com mais detalhe no Tópico 3.10.1 e que não são permitidos pilares usuais com índice de esbeltez maior que 200. 3.10.1 Critério para a Dispensa dos Efeitos de 2ª Ordem A NBR6118/2000 estabelece novos critérios para a dispensa dos efeitos de 2ª ordem. Ela estabelece que os esforços locais de 2ª ordem em elementos isolados podem ser desprezados quando o índice de esbeltez λ for menor que o valor limite λ 1 (ao invés do valor fixo de 40 utilizado anteriormente). O valor de λ1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são: § a excentricidade relativa de 1ª ordem e1/h; § a vinculação dos extremos da coluna isolada; § a forma do diagrama de momentos de 1ª ordem. 41 Desta forma, são estabelecidas expressões que visam levar em conta a influência de cada um dos fatores citados acima. Assim sendo, o valor de λ 1 é calculado pela expressão: (25 + 12,5 e1/h) λ1 = αb ≤ 90 35 ≥ α b (3.20) O parâmetro αb é determinado em função da vinculação dos extremos da coluna e da forma do diagrama de momentos de 1ª ordem: a) Para pilares biapoiados MB ≥ 0,40 para pilares biapoiados sem cargas transversais MA α b = 0,60 + 0,40 (3.21) αb = 1,0 para pilares biapoiados com cargas transversais significativas, ao longo da altura. Sendo, MA e MB os momentos de 1ª ordem nos extremos do pilar, tomando-se para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar e adotando para MB o sinal positivo se tracionar a mesma face que M A e negativo em caso contrário. b) Para em pilares em balanço α b = 0,80 + 0,20 MC ≥ 0,85 MA (3.22) Sendo, MA o momento de 1ª ordem no engaste, e MC o momento de 1ª ordem no meio do pilar em balanço. c) Para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo Deve-se tomar αb = 1 se o maior momento ao longo da coluna for menor que o momento mínimo definido em (3.26). 42 Nas figuras seguintes apresentamos curvas representativas do valor de λ 1 para pilares em balanço e biapoiados para diversos fatores e1/h (excentricidade relativa de 1ª ordem) e para diversas formas do diagrama de momentos de primeira ordem (M A/MB ou MC/M A). λ 1 x Mc/Ma 65.0 60.0 55.0 50.0 45.0 e 1 /h 40.0 2.20 1.80 35.0 1.40 1.00 30.0 0.00 - 0.80 25.0 20.0 -3 -2 -1 0 1 2 3 Mc /M a Figura 3.13 – Variação de λ1 para pilares em balanço λ 1 x Mb/M a 100.0 e 1 /h 90.0 80.0 λ 70.0 60.0 2.20 50.0 1.80 1.40 1.00 0.00 - 0.80 40.0 30.0 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 M b /M a Figura 3.14 – Variação de λ1 para pilares biapoiados 1.5 43 3.10.2 Solicitações Iniciais A solicitação inicial é composta pela força normal de cálculo (Nd) e pelos momentos iniciais de cálculo (M1d,A e M1,B) aplicados às extremidades das barras. O momento inicial é introduzido nos pilares em virtude da sua solidariedade com as vigas. Para pilares de edifícios com cargas previstas na NBR6120, sem a consideração de cargas transversais (vento), admite-se: a) que para pilares intermediário, não há momento aplicado, desde que não haja grande variação de rigidez ou carregamento nos tramos das vigas de uma direção, pois neste caso pode haver um momento fletor expressivo aplicado ao pilar; b) para pilares extremos, serão aplicados os momentos fletores provenientes da solidariedade viga-pilar; os pilares de canto, com momentos fletores de duas vigas ortogonais será solicitado à flexão oblíqua. 1 Msup 2 M vig Msup M inf 1 Minf 2 Figura 3.15 – Pilares de extremidade (Modelo simplificado) Minf = Msup = rvig rinf Meng + rinf + rsup rsup rvig + rinf + rsup Meng (3.23) (3.24) onde as definições de rinf, rsup, rvig podem ser vistas nas equações (3.14) a (3.16). Deve-se ressaltar que os momentos iniciais nas extremidades podem ser oriundos de uma análise de 1ª ordem ou de 2ª ordem (constituídos pelos esforços de extremidade da análise não-linear de um pórtico). 44 O momento inicial deve ainda respeitar um momento mínimo inicial decorrente da consideração de imperfeições construtivas conforme será visto no item 3.10.3. 3.10.3 Momento Decorrente de Imperfeições Construtivas A NBR6118/2000 recomenda que sejam considerados os efeitos decorrentes da falta de retilinidade e de desaprumo no pilar. θ1 θ1 l 2 Figura 3.16 – Falta de retilinidade no pilar [ABNT-2] l Figura 3.17 – Desaprumo do pilar [ABNT-2] A excentricidade acidental mínima deve respeitar a relação (3.25), admitindo-se para as estruturas reticuladas que o efeito das imperfeições locais esteja atendido se for respeitado este valor. e a ,mín = 1,5 + 0,03h (dimensões em cm) (3.25) h = dimensão do pilar paralelo à excentricidade acidental considerada A consideração desta excentricidade gera M1d,mín, o momento de 1a ordem acrescido dos efeitos das imperfeições locais que sempre deve respeitar o valor mínimo dado por (3.26) M1d,mín = Nd ⋅ e a,mín = Nd ⋅ (1,5 + 0,03h) (dimensões em cm) (3.26) 3.10.4 Métodos para o Dimensionamento dos Pilares Isolados A NBR6118/2000 estabelece alguns métodos que podem ser utilizados para a obtenção de esforços utilizados para o dimensionamento de pilares. A seguir apresentamos a transcrição destes métodos. 45 3.10.4.1 Método Geral Consiste na análise não-linear de 2ª ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-curvatura real em cada seção e consideração da não-linearidade geométrica de maneira não aproximada, sendo obrigatório para λ >140. Na modelagem de um pilar utilizando o FTOOL discretizado em mais de três elementos e selecionando a opção “análise não-linear física e geométrica”, estamos empregando o método geral com a avaliação rigorosa do efeito de 2a ordem geométrico. 3.10.4.2 Métodos Aproximados A determinação dos esforços locais de 2ª ordem pode ser feita por métodos aproximados como o do pilar padrão e o do pilar padrão melhorado. 3.10.4.2.1 Método do Pilar Padrão com Curvatura Aproximada É permitido para λ ≤ 90, em pilares de seção constante e de armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não-linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não-linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da curvatura na seção crítica. O momento total máximo na coluna é dado por: Md, tot = α b M1d, A l 2e 1 + Nd . ≥ M1d, A 10 r (3.27) sendo 1/r a curvatura, que na seção crítica pode ser avaliada pela expressão aproximada: 1 0,005 0,005 = ≤ r h (ν + 0,5) h (3.28) onde, h = altura da seção na direção considerada; ν = força normal adimensional, dada pela expressão ν = NSd A c fcd 46 M1d,A deve respeitar o valor mínimo estabelecido em (3.26) (M1d,A ≥ M1d,min). O momento M1d,A e o coeficiente αb têm as mesmas definições do item 3.10.1, sendo M1d,A o valor de cálculo de 1ª ordem do momento MA. 3.10.4.2.2 Método do Pilar Padrão com rigidez Κ (kapa) aproximada É permitido para λ ≤ 90 nos pilares de seção retangular constante, armadura simétrica e constante ao longo do eixo. A não linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo que a deformada da barra seja senoidal. A não linearidade física é levada em conta através de uma expressão aproximada da rigidez. O momento total máximo na coluna é dado por: Md,tot = αb M1d, A λ2 1− 120 κ/ν ≥ M1d, A ≥ M1d,min (3.29) sendo o valor da rigidez adimensional Κ (kapa) dado aproximadamente por: Md,tot ν Κ = 32 1 + 5 . h.N d (3.30) As variáveis h, ν, M1d,A e αb são as mesmas definidas no item anterior e o processo é iterativo, sendo usualmente 2 ou 3 iterações suficientes. 3.10.4.3 Método do Pilar Padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r A determinação dos esforços locais de 2ª ordem em pilares com λ ≤ 140 pode ser feita pelo método do pilar padrão ou pilar padrão melhorado, utilizando para a curvatura da seção crítica valores obtidos de diagramas M – N – 1/r específicos para o caso. 47 4. Dimensionamento 4 4.1 DIMENSIONAMENTO Introdução Neste capítulo apresentaremos os métodos e as considerações utilizados pelo FTOOL para dimensionar os elementos de concreto armado. As prescrições para a quantidade mínima e máxima de armadura e o dimensionamento quanto ao cisalhamento seguem [ABNT-2]. As rotinas para o dimensionamento das seções de concreto submetidas à flexão normal composta do FTOOL foram confeccionadas de acordo com os procedimentos propostos em [SANTOS-2] e respeitam as prescrições da NBR6118/2000 [ABNT-2]. Tais procedimentos foram adotados por considerarmos muito eficiente o método de separar os casos de dimensionamento em “regiões” caracterizadas pelos pólos de ruína 48 (pontos A, B e C da Figura 4.1) e não com base nos domínios de deformação da NBR6118. Os algoritmos são capazes de identificar a região em que se encontra a peça e, através de procedimentos diretos ou iterativos, de dimensionar a peça para qualquer combinação de força e momento para distribuições de armadura bastante variadas. Além disso, as seções são dimensionadas pelo método mais exato possível, aproveitando a facilidade do cálculo automático pelo computador. Nos vários processos iterativos utilizados, as funções que relacionam as diversas grandezas são bastante “caprichosas” e por isto o prof. Lauro Modesto evita o uso de técnicas de cálculo numérico, como o procedimento de Newton-Raphson para acelerar a convergência, trabalhando com intervalos encaixantes com o conhecimento prévio de cada trecho por onde a iteração segue. Pelo fato do concreto e dos pilares (principais peças submetidas à flexão composta) trabalharem basicamente à compressão, o prof. Lauro Modesto inverte a convenção de sinais para forças, tensões e deformações. Desta forma, neste capítulo seguimos a mesma convenção: forças e tensões de compressão encurtamentos forças e tensões de compressão alongamentos 4.2 sinal positivo (+) sinal negativo (-) Hipóteses Básicas A NBR6118 estabelece certas hipóteses básicas para o cálculo dos elementos lineares sujeitos a solicitações normais nos Estados Limite Últimos. Para o dimensionamento das armaduras passivas são consideradas as seguintes hipóteses: a) as seções transversais se mantém planas após a deformação (Hipótese de Navier); b) a deformação das barras aderentes, em tração ou compressão, é a mesma do concreto em seu entorno; 49 c) as tensões de tração no concreto, normais à seção transversal, podem ser desprezadas; d) a distribuição de tensões no concreto se faz de acordo com o diagrama parábola retângulo definido no item 2.2.6.1 com pico igual a 0,85 fcd. Permite-se, embora utilizemos em nossas rotinas o diagrama parábola retângulo, a substituição desse diagrama pelo retângulo de altura 0,8 x (onde x é a profundidade da linha neutra) com a seguinte tensão: § 0,85 fcd no caso da largura da seção, medida paralelamente à linha neutra, aumentar a partir desta para a borda comprimida; § 0,80 fcd no caso contrário. e) a tensão nas armaduras será obtida a partir dos diagramas tensão-deformação do aço. Segundo [ABNT-2], os valores de cálculo utilizados são os definidos no item 2.3.4.1, tanto para aços com ou sem patamar de escoamento. Entretanto, [ABNT-1] estabelece distinção entre os tipos de aço, devendo ser utilizados os valores prescritos em 2.3.4.1 para os aços de classe A e os valores prescritos em 2.3.4.2 para os aços de classe B. Foram implementadas rotinas para se obter as tensões nas armaduras a partir os diagramas definidos em 2.3.4.1 e 2.3.4.2; f) o estado limite último é caracterizado quando a distribuição das deformações na seção transversal pertencer a um dos domínios de deformações caracterizados pelos pólos de ruptura definidos na Figura 4.1. 4.3 Domínios de Deformações Os domínios de deformação definidos pelas [ABNT-1] e [ABNT-2] podem ser vistos na Figura 4.1. 50 reta a A 3h 7 3 2a 2 2b B 4 5 1 4a C -10 ooo alongamentos (-) reta b h encurtamentos (+) Figura 4.1 – Domínios de Deformação O domínio 1 representa a tração não uniforme (cujo caso particular é a tração uniforme ⇔ reta a). É caracterizado pelas retas representativas do estado de deformação da seção transversal passarem necessariamente pelo pólo de ruína C que caracteriza o alongamento máximo permitido para a armadura de tração e pelo fato de toda a seção de concreto estar tracionada. O domínio 2 representa a flexão simples ou composta sem ruptura à compressão do concreto. É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo fato de existirem fibras de concreto comprimidas. A deformação específica da fibra mais comprimida fica compreendida entre 0 e o limite εcu. O domínio 3 representa a flexão simples (seção subarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto e com escoamento do aço (εs ≥ εyd). Desta forma, este domínio é caracterizado pelo pólo de ruptura A, ou seja, o estado limite último é caracterizado pelo esmagamento do concreto e pela deformação da armadura mais tracionada se encontrar entre 10‰ e εyd. 51 O domínio 4 representa a flexão simples (peça superarmada) ou composta com ruptura à compressão do concreto (caracterizada pelo pólo de ruptura A) e aço tracionado sem escoamento (εs ≤ εyd). O domínio 4a representa a flexão composta com armaduras comprimidas. Este domínio é, pois, caracterizado pelo pólo de ruína A e por toda armadura estar comprimida. O domínio 5, representa a compressão não uniforme (cujo caso particular é a compressão uniforme ⇔ reta b). É caracterizado pelo pólo de ruptura C e pelo fato de toda seção transversal e consequentemente todas as armaduras estarem comprimidas. O encurtamento máximo do concreto varia de 2‰ na compressão centrada a 3,5‰, mantendo-se sempre o encurtamento de 2‰ a uma distância de 3h / 7 da borda mais comprimida. Conforme [SANTOS-2], a divisão dos estados limite últimos em domínios de deformação facilita o tratamento teórico, entretanto, do ponto de vista do dimensionamento, dos domínios de deformação só nos interessam as regiões para as quais são válidas cada pólo de ruptura, pois é a partir do estabelecimento destes pólos que se estabelecem as equações de compatibilidade que caracterizam a deformação específica ao longo da seção transversal. Desta forma serão estabelecidas três regiões caracterizadas pelos três pólos de ruína. 52 A 3h 7 Região II h B Região II Região I C o -10 oo alongamentos (-) Região I encurtamentos (+) ⇒ pólo de ruína B Região II ⇒ pólo de ruína A Região III ⇒ pólo de ruína C Figura 4.2 – Regiões de deformação [SANTOS-2] 4.4 Parâmetros Adimensionais Utilizados Apresentamos as variáveis adimensionais utilizadas para a dedução das expressões deste capítulo. Para uma melhor compreensão ver a representação das variáveis envolvidas na Figura 4.8. βx = x h β= d h η= R cc σ cd ⋅ A c η' = R cc ⋅ a σ cd ⋅ A c coeficiente adimensional que representa a distância da linha neutra à borda superior da seção (4.1) coeficiente adimensional que representa a distância de uma fibra genérica à borda superior da seção força normal resistente do concreto reduzida adimensional momento fletor resistente do concreto, em relação à borda mais encurtada, reduzido adimensional (4.2) 53 ρ1 = A s1 Ac ρ2 = A s2 Ac (4.3) δ1 = d'1 h δ2 = d' 2 h (4.4) βe1 = e1 h βe 2 = e2 h (4.5) βc 1 = c1 h βc 2 = c2 h (4.6) α1 = σ sd1 σ cd α2 = σ sd2 σ cd ν= αi = σ sdi σ cd (4.7) Nd σ cd ⋅ A c Esforços solicitantes adimensionais (4.8) Md µ= σ cd ⋅ A c ⋅ h σ cd = 0,85 ⋅ fcd = 0,85 ⋅ f ck γc (4.9) β c2 = β e 2 + δ 2 = 1 − β c1 = 1 − β e1 − δ1 (4.10) β e1 = 1 − δ1 − β c 2 (4.11) 4.5 β e2 = β c 2 − δ 2 Equações de Compatibilidade O princípio básico para o estabelecimento das equações de compatibilidade é o de que a Hipótese de Navier seja válida. Desta forma, as deformações ao longo da seção transversal do elemento (supostas constantes para retas paralelas à linha neutra) podem ser dadas por retas. A equação de uma reta precisa que dois coeficientes sejam definidos. No nosso caso, o primeiro é dado pela deformação no pólo de ruptura e o segundo pela posição da linha neutra (x). Desta forma, precisaremos estabelecer três equações de compatibilidade, uma para cada região de deformação ou pólo de ruína. Pela hipótese de que há perfeita aderência entre concreto e armadura, as expressões aqui deduzidas servem para que se obtenha tanto a deformação para o concreto como para o aço a uma dada altura (posição). 54 Abaixo apresentamos as equações deduzidas em [SANTOS-2] para as equações de compatibilidade: a) Região I O diagrama de deformações é do tipo apresentado na Figura 4.3, onde x é a profundidade da linha neutra. O encurtamento na borda mais comprimida (ou superior no caso padrão) é εc e na borda inferior εc1. Todas as deformações serão dadas em ‰. εc 3h 7 2 h d Pólo B x ε εc1 L x - di N Figura 4.3 – Deformações na Região I [SANTOS-2] Por semelhança de triângulos (e utilizando parâmetros adimensionais vistos no item 4.4) na Figura 4.3 obtém-se a expressão geral: ε= 14(β x − β ) 7β x − 3 (4.12) que permite que se calcule a deformação nas duas bordas da seção: εc = 14β x 7β x − 3 (4.13) ε c1 = 14(β x − 1) 7β x − 3 (4.14) e reciprocamente, a partir de (4.13) e (4.14): 55 βx = 3ε c 7ε c − 14 (4.15) βx = 3ε c1 − 14 7ε c1 − 14 (4.16) A deformação ε pode ainda ser dada por: ε ε = c x−d x ε = εc donde, βx − β βx (4.17) É necessário tomar cuidado, pois quando εc1 = 2‰, β x tende ao infinito como mostra (4.15). b) Região II εc = 3,5 d ε x h L Pólo A N Figura 4.4 – Deformações na Região II [SANTOS-2] ε = 3,5 x−d β −β = 3,5 x x βx Observe-se que (4.18) é a mesma (4.17) com εc = 3,5‰. (4.18) 56 c) Região III εc d x h-d’ Pólo C |10| d’ Figura 4.5 – Deformações na Região III [SANTOS-2] Da Figura 4.5: ε= 10(x − d ) 10(β x − β) = h − d'− x 1 − δ − βx (4.19) Donde as relações entre εc e β x: εc = 10β x 1− δ − βx (4.20) βx = ε c (1 − δ) ε c + 10 (4.21) Levando (4.20) em (4.19) resulta (4.17). Desta forma, (4.17) é geral e vale em todas as regiões. Em todas as fórmulas apresentadas, o sinal de ε resulta automaticamente. Na região III também é preciso tomar cuidado. A equação (4.21) mostra que quando εc = -10‰ (tração centrada), β x tende para o infinito. 4.6 Limites entre Domínios Pode-se determinar β x correspondente a cada limite entre dois domínios. No dimensionamento das vigas é particularmente necessário o conhecimento de β x correspondente ao limite entre os domínios 3 e 4 (dimensionamento econômico). 57 De (4.18): β x,lim 4.7 3−4 = 3,5 ⋅ (1 − δ ) 3,5 + ε yd (4.22) Resultante de Compressão do Concreto A determinação dos esforços resistentes do concreto (força normal e momento fletor resistidos pelo concreto) são fundamentais para a verificação e dimensionamento das seções de concreto armado. Na flexão normal de seções transversais com um eixo de simetria, os esforços resistentes ficam caracterizados quando se determina a resultante Rcc de tensões de compressão no concreto e a sua posição a em relação à borda mais comprimida. Borda 2 A s2 εc d'2 Rs2 εsd2 x e2 a Rcc c1 h e1 d'1 Borda 1 c2 εsd1 Rs1 εc1 A s1 Figura 4.6 – Resultante de compressão do concreto A resultante de compressão é obtida pela integração do diagrama tensão-deformação do concreto (Figura 2.3) sobre a seção transversal para um determinado estado de deformação da seção. O primeiro passo é então transformarmos a seção transversal genérica numa poligonal representativa do seu semi-contorno (Figura 4.7). 58 Segmento 1 y pi pi-1 εc = 2 B(x) 1 y B(x)i εc = 0 p(x,y) i i i pi-1(xi-1,yi-1) x x Figura 4.7 – Transformação da seção transversal na poligonal de cálculo B( x )i = a i ⋅ x + b i y i − yi −1 ai = x − x B(x)i é válida no intervalo [p i-1, pi] i i −1 x ⋅ y − x i −1 ⋅ y i b i = i i −1 x i − x i −1 (4.23) A seguir temos de caracterizar o estado de deformação. Utilizando a Hipótese de Navier, a seção transversal deformada pode ser caracterizada por uma reta (Figura 4.6). Esta reta pode ser caracterizada por β x (posição da linha neutra) e εc2 (deformação na borda mais comprimida), pela deformação εc2 e pela curvatura 1/r ou algum outro par de valores que consigam representar o estado de deformação. Estes valores devem ser convertidos através das equações de compatibilidade para as deformações na borda 1 (εc1) e borda 2 (εc2). Em termos de εc1 e εc2 a equação da reta das deformações da seção transversal assume a forma: ε( x) = c ⋅ x + d ε − ε c1 c = c 2 h d = ε c 2 (4.24) Vemos nas equações (2.10) e (2.11) transcritas abaixo que o comportamento do concreto é representado por três diferentes equações para o domínio de deformação. 59 Desta forma devemos inserir quando necessário dois pontos a mais na poligonal da seção transversal referente às deformações 0 e 2 ‰ para procedermos à integração das tensões, conforme pode ser visto na Figura 4.7. 0 2 α ⋅ f ε + ε cd σ (ε( x )) = 4 α ⋅ fcd para ε ≤ 0 para 0 < ε < 2‰ (4.25) para ε ≥ 2‰ onde α pode assumir os valores 0,85 e 1,10. Assim sendo a resultante de compressão é dada por: n segmentos R cc = ∑ rcci i n segmentos a ⋅ R = ∑ (x ⋅ rcci ) cc i (4.26) onde rcci é a resultante de compressão do concreto para obtida para segmento § 1o caso: para ε ≤ 0 ⇒ rcci = 0 rcci = 0 xircci = 0 (4.27) 60 2o caso: para 0 < ε < 2‰ § rcci = 2 xi x i ε (x ) ⋅ B( x ) dx = ( ( ) ) ( ) = σ ε ⋅ = ⋅ α ⋅ + ε 2 x B ( x ) dx 2 f x c i cd ∫xi−1 ∫xi −1 4 ac 2 4 4ac + bc 2 + 2acd 3 4 3 − + x x x i − x i−1 + i i−1 6 8 2 4bc + 4ad + 2bcd + ad 2 2 = α ⋅ fcd + x i − x i−1 + 4 bd(4 + d) (x i − x i−1 ) + 2 x ircci = 2 x i ε(x ) xi + ε(x ) ⋅ B(x ) dx = = 2∫x x ⋅ σ c (ε(x )) ⋅ Bi (x ) dx = 2 ⋅ α ⋅ f cd ∫x i −1 i −1 4 ac 2 5 4ac + bc 2 + 2acd 4 4 5 − + x x x i − x i−1 − i i 1 8 10 2 = α ⋅ f + 4bc + 4ad + 2bcd + 2ad x 3 − x 3 + i i−1 cd 6 ( ) + bd 4 d 2 2 + x i − x i−1 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ( ( ) (4.28) ) ) ) 3o caso: para ε ≥ 2‰ § r = 2 xi α ⋅ f ⋅ B( x) dx = 2α ⋅ f ⋅ (x − x ) ⋅ [a ⋅ (x − x ) + 2b] cd i i −1 i i −1 ∫xi−1 cd cci xi 2 2 3 3 2a xircci = 2∫xi−1 α ⋅ fcd ⋅ x ⋅ B( x ) dx = 2α ⋅ fcd ⋅ b ⋅ x i − x i − 1 + 3 x i − xi − 1 [ ( 4.8 ) ( (4.29) )] Flexão Normal Composta – Dimensionamento com Armadura em duas bordas – Proporção entre Armaduras Superior e Inferior Variáveis É o caso usual do dimensionamento de vigas. 4.8.1 Hipóteses Básicas A seção transversal é qualquer, mas com um eixo de simetria, que coincide com o traço do plano do momento. Supõe-se que os esforços solicitantes de cálculo, Nd e M d, 61 estejam aplicados no ponto O, centro geométrico da seção de concreto. Md é suposto sempre positivo, tracionando As1 e comprimindo As2. Borda 2 A s2 εc d'2 εsd2 x e2 c1 a Md R cc Nd h O e1 c2 εsd1 R s1 εc1 d'1 Borda 1 Rs2 A s1 Figura 4.8 – Hipóteses Básicas [SANTOS-2] 4.8.2 Equações de Equilíbrio Equilíbrio das forças normais NSd = Nd Nd = Rcc + R s1 + Rs2 Nd = ησcd A c + A s1σsd1 + A s2σ sd2 (4.30) Equilíbrio de momentos em relação à borda 2: Ndc 2 − Md = Rcca + A s1σ sd1(h − d'1 ) + A s2σsd2d' 2 (4.31) Dividindo ambos os membros de (4.30) e de (4.31) por σ cd A c e por σ cdA c h , obtemos respectivamente: ν = η + ρ1α 1 + ρ 2 α 2 (4.32) β c2 ν − µ = η'+ρ1 α 1 (1 − δ1 ) + ρ 2 α 2 δ 2 (4.33) 62 Considerando ρ1 e ρ2 como incógnitas, (4.32) e (4.33) formam um sistema de duas equações que resolvido fornece: ρ1 = βe 2 ν − µ + δ 2 η − η' α1 (1 − δ1 − δ2 ) (4.34) ρ2 = β e1ν + µ − (1 − δ1 )η + η' α 1 (1 − δ1 − δ 2 ) (4.35) e daí as respostas, A s1 = ρ1 A c A s2 = ρ 2 A c (4.36) Examinando (4.34) e (4.35), vemos que ρ1 e ρ2 dependem de α1, α2, η e η' que por sua vez são funções de β x, ou seja, as armaduras são determinadas quando se define a posição da linha neutra. 4.8.3 Zonas de Solicitação Quando se procuram as duas armaduras As1 e As2, ocorrem cinco situações principais. O conjunto dos pares (ν, µ) para cada um destes casos formam conjuntos chamados zonas de solicitação: § Zona A: as duas armaduras são comprimidas; § Zona B: só há uma armadura (As2) comprimida; o equilíbrio é conseguido sem a armadura As1; § Zona C: As1 é tracionada, As2 é comprimida; § Zona D: só há uma armadura (As1) tracionada; o equilíbrio é conseguido sem a armadura As2; § Zona E: as duas armaduras são tracionadas; § Zona 0: teoricamente não há necessidade de armadura. 4.8.4 Determinação de β x Da consideração das zonas de solicitação, decorrem dois casos de dimensionamento. 63 No primeiro (zonas B e D), só há uma incógnita em relação à armadura. A segunda incógnita, β x, tem valor único e determinável por equação de equilíbrio: § Na zona B, As1 = 0 e portanto ρ1 = 0. Pela (4.34): β e 2 ν − µ − η'+δ 2 η = 0 ou β e 2 ν − µ = η'−δ 2 η (4.37) resulta β x calculado por tentativas. § Analogamente, na zona D, As2 = 0 e portanto ρ2 = 0. Pela (4.35): β e1ν + µ − (1 − δ1 )η + η' = 0 ou β e1ν + µ = (1 − δ1 )η − η' (4.38) que também resulta β x calculado por tentativas. No segundo caso, (zonas A, C e D), há duas incógnitas (As1 e As2) e o sistema de equações formado pelas equações de equilíbrio torna-se indeterminado e passa a ser necessário escolher um valor para β x. Da infinidade de soluções possíveis, deve-se escolher a mais econômica. Demonstra-se que β x econômico é dado por: § na zona A: β x → ∞ (compressão uniforme) (4.39) § na zona C: β x = β x,lim 3-4 (4.40) § na zona E: β x → -∞ (tração uniforme) (4.41) na expressão (4.40), β x,lim 3-4 corresponde ao limite entre os domínios 3 e 4 e é dado por (4.22). Aqui vale a menção de que a NBR6118/2000 recomenda que em regiões de apoio das vigas ou de ligações com outros elementos estruturas, quando não fizerem redistribuições de esforços solicitantes, deve-se garantir para a posição da linha neutra no estado limite último os valores: β x ≤ 0,50 β x ≤ 0,40 para concretos com fck ≤ 35 Mpa (4.42) para concretos com fck > 35 Mpa 64 Desta forma, foi implementada a opção de, na zona C, limitar a posição da linha neutra aos valores indicados em (4.42) (em todo o elemento de viga), ocasionando um consumo um pouco maior de armadura, porém, aumentando a capacidade de rotação das seções da viga. Desta forma: § na zona C: β x = 0,5 ou 0,4 (4.43) 4.8.5 Limites entre as Zonas de Solicitação Criando um gráfico ν-µ, podemos determinar os limites entre as zonas. µC D µ (ν) (ν) µ BC βx,lim =βx,lim 3-4 C C βx,lim = 0,4 ou 0,5 µD E (ν) D (ν) µ AB B E O B A A 0 ν Figura 4.9 – Zonas de Solicitação § Limite AB No limite entre A e B, devemos ter ρ1 = 0, característica da zona B e ao mesmo tempo β x → ∞, que corresponde à zona A. Temos, pois, que satisfazer (4.37), sendo aqui ν = 1 e η' = β c2 (correspondente a β x → ∞ - compressão uniforme). Chamando de µAB(ν) a equação da reta que determina o limite entre as zonas A e B, (4.37) fornece: µ = β e2ν + δ2 η − η' ; µ AB (ν ) = β e 2 ν + δ 2 − β c 2 A abscissa ν A do ponto A pode ser determinada a partir de (4.37): (4.44) 65 β e 2 ν + δ 2 η − η' = 0 § ∴ νA = β c 2 − δ 2 β e2 = ou seja, β e2 β e2 νA = 1 (4.45) Limite BC No limite entre B e C, devemos ter ρ1 = 0, característica da zona B e ao mesmo tempo β x = β x,lim que corresponde à zona C ( dado por (4.40) ou (4.43)). Chamando ηlim e η'lim respectivamente os valores de η e η' para β x = β x,lim, de (4.37) resulta: µ BC (ν ) = β e 2 ν + δ 2 ηlim − η' lim § (4.46) Limite CD Combinando β x = β x,lim 3-4 , característica da zona C, com ρ2 = 0, característica da zona D (equação (4.38)) resulta: µ CD (ν ) = −β e1ν + (1 − δ1 )ηlim − η'lim § (4.47) Limite DE Corresponde a ρ2 = 0 combinado com β x → -∞. Neste caso η = 0 e η' = 0. De (4.38) resulta: µ DE (ν ) = −β e1ν § (4.48) Coordenadas do ponto B O ponto B é definido pela interseção das retas BC e CD. Igualando as expressões das duas retas (4.46) e (4.47) , resultam: ν B = ηlim (4.49) µ B = β c2 ηlim − η' lim (4.50) § Limite da zona O Na zona O temos ρ1 = ρ2 = 0. Substituindo ρ1 = ρ2 = 0 em (4.32) e (4.33) resultam respectivamente: 66 ν0 = η e µ 0 = β c 2 η − η' (4.51) (4.52) Vemos que µ0 é função de β x, uma vez que η e η' o são. A curva limite da zona O é dada pelas equações paramétricas (4.51) e (4.52) com pontos (ν0, µ0). Desde já podemos observar que: a) a curva passa pela origem 0: De fato, para β x → -∞, η = η' = 0, resultando ν0 = 0 e µ0 = 0; b) a curva passa pelo ponto A: Para β x → +∞, η = 1, donde ν0 = 0 e µ0 = βc2 - β c2 = 0; c) a curva passa pelo ponto B: Basta observar que (4.49) e (4.50) são (4.51) e (4.52) tomados para β x,lim. 4.8.6 Roteiro – Procedimento de Cálculo Calcula-se previamente as características dos materiais e os adimensionais da seção. Em seguida, para cada seção de cálculo em todo elemento (viga) da estrutura, adota-se o procedimento: a) dada a solicitação (N d, M d), calculam-se ν e µ; b) determinam-se os limites entre as zonas; c) verifica-se a localização do ponto (ν, µ), isto é, em que zona se encontra a solicitação dada; d) fixa-se ou determina-se o valor de β x, conforme a zona; e) tendo β x, têm-se η, η' e as deformações e consequentemente as tensões e daí α1 e α2; f) aplicam-se as fórmulas (4.34) a (4.36) para o cálculo das áreas de aço. 67 4.9 Flexão Normal Composta – Dimensionamento com a Proporção entre as Diversas Faces Pré-Estabelecida É o caso usual do dimensionamento de pilares. 4.9.1 Hipóteses Básicas A seção transversal é retangular e deve-se definir o arranjo da armadura. O eixo de simetria coincide com o traço do plano do momento. Supõe-se que os esforços solicitantes de cálculo, Nd e Md, estejam aplicados no ponto O, centro geométrico da seção de concreto. Md é suposto sempre positivo, tracionando a borda 1 e comprimindo a borda 2. Borda 2 d' x e2 c1 h O e1 c2 d' Borda 1 A s1 Figura 4.10 – Disposição da armadura 68 4.9.2 Equações de Equilíbrio di N L x a A si σsdi R cc 1 a d ro B 2 a d ro B Nd Md d' d' e2 e1 c2 c1 h Figura 4.11 – Forças atuantes na seção [SANTOS-2] Equilíbrio das forças normais: Nd − NRd = 0 n' Nd = R cc + ∑ A si σ sdi (4.53) 1 como as barras utilizadas são de mesma bitola, a área de uma só barra é: A s,unit = A s,tot n tot a soma das áreas das barras da camada i, Asi, será: (4.54) 69 A s,tot A si = n i A s,unit = n i (4.55) n tot A equação de equilíbrio das forças normais fica: N d = R cc + A s,tot n' ∑n σ i n tot (4.56) sdi 1 n' = número de camadas Equilíbrio de momentos em relação à borda mais encurtada (borda 2): n' N d c 2 − Md − R cca − ∑ A siσ sdi di = 0 1 N d c 2 − Md − R cc a − A s,tot n tot n' ∑n σ i sdi di = 0 (4.57) 1 Dividindo ambos os membros de (4.56) e de (4.57) por σ cd A c e por σ cdA c h , respectivamente, vem: ρ n tot σ cd ∑n σ β c2 ν − µ = η'+ ρ n tot σ cd ν = η+ n' i onde, ρ = e, (4.58) sdi 1 βi = n' ∑n σ i sdi βi (4.59) 1 A s,tot Ac di h Introduzindo os coeficientes com dimensão: (4.60) (4.61) 70 n' A= ∑n σ i sdi βi 1 (4.62) n tot n' B= ∑n σ i sdi (4.63) 1 n tot e o coeficiente adimensional: κ= A B (4.64) as equações de equilíbrio (4.58) e (4.59) podem ser rescritas como: ν = η+ ρ B σ cd β c2 ν − µ = η'+ (4.65) ρ A σ cd (4.66) 4.9.3 Cálculo da Taxa de Armadura A taxa geométrica de armadura ρ pode ser determinada de duas maneiras. Na primeira, a taxa geométrica de armadura resulta de (4.65): ρ= (ν − η) σ B cd (4.67) Desta forma, ρ depende de η e B, que por sua vez dependem de β x, que expressa a profundidade da linha neutra. Levando (4.67) em (4.66), obtemos: β c2 ν − µ = η'+ κ(ν − η) (4.68) fazendo, Ω = η'− κη (4.68) pode ser escrita: (4.69) 71 (β c 2 − κ )ν − µ − Ω = 0 (4.70) Uma vez satisfeita a equação (4.70), tem-se o valor de β x, e daí η e B, podendo-se calcular ρ pela equação (4.67). Conhecido ρ tem-se As,tot pela (4.60) e o problema fica resolvido. Utilizamos a segunda solução quando B = 0. Nela, todo o processo é análogo à primeira solução, entretanto ρ é isolado de (4.66), donde: ρ= (β c 2 ν − µ − η')σcd A (4.71) fazendo: C = β c 2 ν − µ − η' (4.72) resulta: ρ= Cσ cd A (4.73) que levada em (4.65) resulta: ν = η+ C C ou ν − η − = 0 κ κ 4.9.4 Zonas de Solicitação Pode ocorrer um dos seguintes casos: § Zona A: todas as barras de aço são comprimidas; § Zona C: parte da armadura é tracionada, parte é comprimida; § Zona E: todas as barras são tracionadas; § Zona 0: teoricamente, não há necessidade de armadura. (4.74) 72 µ C C βx = δ µ0 E βx = 1 -δ A 0 0 ηEC ηAC 1,0 ν Figura 4.12 – Zonas de Solicitação Em qualquer uma das zonas, β x é variável e constitui a segunda incógnita do problema (a primeira é a taxa ρ). 4.9.5 Limites entre as Zonas § Limite AC Na zona A, β x varia desde o infinito (compressão uniforme) até um valor limite com a zona C, a partir do qual começa a existir tração. É fácil ver que tal limite corresponde a β x,AC = 1 - δ. Dando a β x o valor (1 - δ), determina-se η, η' e κ, que serão chamados de ηAC, η'AC e κ AC, de maneira que a equação da reta que divide as zonas A e C é dada por: µ AC (ν ) = (β c 2 − κ AC )ν − η' AC − κ AC η AC ou µ AC (ν ) = (β c 2 − κ AC )ν − Ω AC § (4.75) Limite EC Analogamente, na zona E, β x varia desde -∞ (tração uniforme) até um valor limite com a zona C, a partir do qual todas as barras ficam tracionadas, o que corresponde a β x,EC = δ. Dando a β x o valor δ, determina-se η, η' e κ, que serão chamados de ηEC, η'EC e κEC, de maneira que a equação da reta que divide as zonas E e C é dada por: µ EC (ν ) = (β c 2 − κ EC )ν − η'EC −κ EC ηEC ou µ EC (ν ) = (β c 2 − κEC )ν − Ω EC (4.76) 73 § Limite da zona O O limite da zona O independe da disposição da armadura, tal que o processo é igual ao descrito no dimensionamento de armadura disposta em duas bordas. 4.9.6 Roteiro A seqüência de cálculo é análoga ao dimensionamento de armadura disposta em duas bordas. 4.10 Limites para a taxa de armadura longitudinal 4.10.1 Vigas 4.10.1.1 Armadura Mínima A s,mín = ωmín ⋅ A c ⋅ fcd fyd (4.77) onde Ac é a área total de concreto, considerando-se a mesa colaborante nas vigas T e fcd e fyd respectivamente as resistências de cálculo do concreto e do aço. Forma da Seção Retangular T (mesa comprimida) T (mesa tracionada) ω mín 0,035 0,024 0,031 Tabela 4.1 – Valores para ωmín 4.10.1.2 Armadura Máxima (A s1 + A s2 ) ≤ (4%) ⋅ A c (4.78) considerando os trechos fora da região de emendas. As1 e As2 são as áreas de aço situadas respectivamente nas seções inferior e superior da viga. 74 4.10.2 Pilares 4.10.2.1 Armadura Mínima A s,mín = 0,15 ⋅ Nd ≥ 0,40% ⋅ A c f yd (4.79) 4.10.2.2 Armadura Máxima A s,máx ≤ (8%) ⋅ A c (4.80) inclusive nas regiões de emenda. 4.11 Cisalhamento - Dimensionamento O cálculo à força cortante segue a NBR6118/2000, considerando-se sempre os estribos dispostos perpendicularmente ao eixo dos elementos [KAEFER-2]. 4.11.1 Taxa Mínima de Armadura Exige-se em todos os elementos a taxa mínima de armadura dada por: ρ sw = A sw f A sw f ⋅b ≥ 0,2 ctm ∴ ≥ 0,2 ctm w bw ⋅ s f ywk s f ywk (4.81) onde, fctm = 0,3 fck 3 , com fctm e fck em MPa (2.1) e 2 fywk ≤ 500 Mpa Ressalta-se que para elementos de fundação e pilares estes valores mínimos podem ser dispensados conforme o item 17.3.1.1.b da NBR6118/2000. Em nosso trabalho, não contemplamos esta possibilidade. 4.11.2 Verificação no Estado Limite Último Utilizamos o modelo de cálculo I conforme o item 17.3.2.1 [ABNT-2]. 75 VSd < VRd 2 VSd < VRd 3 = Vc + Vsw Verificação concreto das diagonais comprimidas de (4.82) Verificação relativa à tração diagonal em que: Vsd = força cortante solicitante de cálculo na seção Verificação da compressão diagonal do concreto: f VRd 2 = 0,271 − ck fcd ⋅ b w ⋅ d 250 (4.83) Cálculo da armadura transversal: A sw s V − Vc = Sd 0,9 ⋅ d ⋅ f ywd 0 Vc = Vc0 = 0,6 ⋅ fctd ⋅ b w ⋅ d (4.84) nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção (4.85) nos demais casos onde fctd = fctk ,inf f = 0,7 ctm γc γc nas peças tracionadas quando a linha neutra se situa fora da seção (4.86) Há ainda a possibilidade de aumentar Vc na flexo-compressão aproveitando o efeito favorável da força de compressão, principalmente nos casos de peças protendidas. Todavia este efeito não é levado em conta em nossos algoritmos. 4.12 Implementação Computacional Apesar da forte presença de processos iterativos, percebe-se que estes são extremamente rápidos. Tendo testado exemplos de pequenas estruturas, com pelo menos 4 seções de cálculo em cada elemento, com a plataforma utilizada para desenvolvimento (Pentium II e III) nem se percebe o tempo de cálculo. No FTOOL, deve-se caracterizar cada elemento como viga ou pilar, o que condicionará o dimensionamento, respectivamente, ao disposto em 4.8 e 4.9. Para o dimensionamento como viga foram implementadas as opções de seção retangular e T, para pilar, foram 76 implementadas as opções de armadura uniformemente distribuída nas quatro faces, armadura distribuída nas faces laterais e armadura distribuída nas faces superior e inferior para seções retangulares. No que se refere ao dimensionamento de vigas, a opção de termos outras seções com um eixo de simetria podem ser facilmente implementadas, bastando alterar a interface gráfica e criar novas rotinas para transformar estas seções em poligonais. No caso dos pilares, o procedimento proposto em [SANTOS-2] foi simplificado para seções transversais com duplo eixo de simetria. Desta forma, novos arranjos de armadura para o pilar retangular seriam facilmente implementadas, através da alteração da interface gráfica e da função responsável por alojar a armadura na seção transversal. A opção de seções diferentes, mas com duplo eixo de simetria seriam implementadas analogamente ao procedimento adotado para novas seções de vigas. Para disponibilizarmos a opção de seções com apenas um eixo para pilares, além das modificações citadas anteriormente para criação de novas seções transversais de pilares, teríamos de modificar o algoritmo de cálculo segundo [SANTOS-2]. 4.13 Exemplos de Aplicação Apresentamos nas próximas tabelas, exemplos de dimensionamento de seções de concreto submetidas à flexão normal composta de diversos autores acompanhadas dos valores obtidos pelo FTOOL. bf A s2 d’ hf M As2 + h N As1 A s1 d’ bw 77 Unidades dos Exemplos Momento fletor – kN.m Dimensões – cm Esforço Normal – kN Área de aço – cm2 ou cm2/m Resistência do Concreto – MPa Figura 4.13 – Notação Utilizada 4.13.1 Exemplos de [SANTOS-2] a) Armadura sem disposição fixa (vigas) [Santos-1] fck Aço bw h 6.1 20 50A 20 6.2 20 6.3 d’ Nd Md As1 50 3 -400 300 22,80 1,37 22,80 1,37 50A 20 50 3 -400 100 9,80 0,00 20 50A 20 50 3 -800 100 14,43 3,97 14,43 3,97 6.4 20 50A 20 30 4 0 100 11,28 4,51 11,28 4,51 6.5 20 50A 20 50 3 500 10 0,00 0,00 6.6 20 50A 20 50 3 1000 500 17,16 27,92 17,16 27,92 6.7 20 50A 20 40 40 10 4 1100 2 0,00 0,00 0,00 0,00 6.8 20 50A 20 40 40 10 4 1500 2 3,57 5,60 3,57 5,60 6.9 20 50A 20 40 40 10 4 -500 200 18,98 0,00 18,98 0,00 6.10 20 50A 20 40 40 10 4 0 200 16,07 1,49 16,07 1,49 γs=1,15 γc=1,5 bf hf As2 FTOOL As1 9,80 0,00 As2 0,00 0,00 Es=200GPa b) Armadura com disposição fixa (pilares) [Santos-1] FTOOL fck Aço bw h n’ n1 d’ Nd Md As As 7.1 20 50A 20 50 2 2 3 400 100 3,79 3,79 7.2 20 50A 20 50 4 2 3 400 100 6,24 6,24 7.3 20 50A 20 50 2 2 3 -400 100 19,61 19,61 7.4 20 50A 20 30 2 2 3 3000 30 47,26 47,26 7.5 20 50A 20 50 2 2 3 1000 5 0,00 0,00 γs=1,15 γc=1,5 Es=200GPa (As = As1 + As2) 78 c) Discussão dos resultados Como esperado, os valores dos exemplos e os calculados pelo FTOOL foram exatamente iguais, pois no FTOOL utilizamos o procedimento de dimensionamento proposto em [SANTOS-2]. 4.13.2 Exemplos de [FUSCO-1] a) Seções sem disposição fixa para as armaduras (vigas) [FUSCO-1] fck 1(1) 2 - 3(2) 18 4(3) Aço bw h 50A 50 - hf d’ 4 Nd Md -1175 117,5 As1 As2 20 10 (19,94) (7,07) 1,86 As1 As2 19,95 7,08 60 4 -700 140 14,3 50A 25 50 4 0 126 7,26 18 50A 12 50 4 0 126 8,19 5(2) 18 50A 25 50 4 0 126 7,12 6(3) 18 50A 12 50 4 0 126 8,24 1,11 8,25 1,19 7(4) 18 50B 12 50 4 0 126 7,60 2,56 7,50 2,54 13,5 50A 30 50 4,5 0 318,3 18,9 9,45 20,22 7,13 8(5) 50A - bf FTOOL 14,24 1,86 7,23 1,22 8,25 1,19 7,23 9(6) 25 50A 25 70 5 700 560 18,9 6,82 19,18 6,43 10(7) 25 50B 25 70 5 700 560 15,99 12,18 16,07 11,96 11(6) 25 50A 25 70 5 700 560 18,9 7,02 19,18 6,43 (7) 12 25 50B 25 70 5 700 560 16,4 12,6 16,07 11,96 13(8) 25 50A 25 70 5 2800 280 11,46 13,21 (12,42) 14(8) 25 50B 25 70 5 2800 280 12,17 15(9) 25 50A 25 70 5 4200 420 34,22 1,71 35,04 1,71 16(9) 25 50B 25 70 5 4200 420 41,50 2,07 41,41 2,02 17(9) 15 50B 12 45 112 7 5 0 84 5,03 γs=1,15 γc=1,4 Es=210GPa 14,14 5,03 79 b) Discussão dos resultados Pelo fato dos resultados serem calculados manualmente e com a utilização de tabelas, ocorreram inevitavelmente diferenças nas áreas de aço calculadas. Além disso, podemos fazer as seguintes observações: (1) Flexo-tração. Neste problema de verificação pede-se a máxima força de tração com excentricidade de 10cm que pode ser aplicada dadas As1 = 10cm2 e As2 = 20cm2. Verifica-se que As1 não alcançou o limite de escoamento, pois ao dimensionarmos para o par Nd = 1175kN e Md = 117,5 kN.m obtemos os valores entre parênteses (cálculo manual – equação de equilíbrio) que coincidem com os calculados pelo FTOOL. (2) Observa-se que o par de esforços é o mesmo para os dois problemas, mas que os valor de referência do primeiro exemplo aproxima-se mais da solução do FTOOL. Isto se deve ao fato de no primeiro exemplo o prof. Fusco utilizar tabelas de dimensionamento que utilizam o diagrama tensão-deformação parábola-retângulo para o concreto e no segundo tabelas que utilizam o diagrama retangular simplificado. (3) Vide observações em (2). Observa-se que, novamente, comparando a soma das áreas de aço, os valores do exemplo 4 aproximam-se mais dos valores calculados pelo FTOOL. (4) Diferenças provenientes do fato do exemplo ter sido resolvido com tabelas de dimensionamento que utilizam o diagrama tensão-deformação simplificado retangular para o concreto. (5) A diferença entre as áreas de aço calculadas pelo Prof. Fusco e as calculadas pelo FTOOL advém deste ser um problema de verificação, além de ter sido adotado para a solução de referência o diagrama retangular simplificado. 80 (6) Vide observações em (2). Observa-se, que novamente, comparando-se a soma das áreas de aço, os valores do exemplo 9 aproximam-se mais dos valores calculados pelo FTOOL. (7) Vide observações em (2). Observa-se, que novamente, comparando-se a soma das áreas de aço, os valores do exemplo 10 aproximam-se mais dos valores calculados pelo FTOOL. (8) O valor entre parênteses do exemplo 13 foi obtido utilizando-se o diagrama retangular (ver exemplo 5 – [ISHITANI-2]). Considerando o fato das áreas de aço obtidas com a utilização do diagrama retangular nos cálculos sempre ficarem mais distantes dos obtidos pelo FTOOL, acredita-se que o processo adotado pelo prof. Fusco, utilizando vários valores interpolados de valores tabelados introduziu algum desvio no resultado final. (9) Nestes exemplos, de flexo-compressão com pequena excentricidade, foi utilizado o diagrama parábola-retângulo. Dada a utilização da mesma formulação na referência e no FTOOL são obtidos valores idênticos. 4.13.3 Exemplos de [SÜSSEKIND-1] Os exemplos apresentados em [SÜSSEKIND-1] utilizam o diagrama tensão-deformação retangular simplificado. a) Seções sem disposição fixa para as armaduras (vigas) [Süssekind-1] fck Aço bw h bf hf 1 18 50B 25 60 2 18 50B 25 60 3(1) 20 50B 20 60 100 10 4 18 50B 30 50 170 9 d’ Nd Md As1 3 250 175 6,00 500 200 4,50 3 -150 375 3 420 450,5 18,3 (17,6) 21,80 As2 FTOOL As1 As2 6,02 3,10 4,75 17,72 21,35 3,05 81 5 18 50B 40 80 4 4000 600 6 18 50B 40 80 4 5500 600 4,60 50,40 4,73 51,61 7 18 50B 40 80 4 5500 0 27,50 27,50 28,17 28,17 γs=1,15 γc=1,4 28,00 27,99 Es=210GPa b) Discussão dos resultados (1) O resultado em parênteses foi calculado segundo o procedimento descrito em [ISHITANI-2]. 4.13.4 Exemplos de [ISHITANI-1] Nesta referência encontramos exemplos de seções de vigas submetidas à flexão normal simples. O modelo para o diagrama tensão-deformação do concreto utilizado é o retangular simplificado, que conduz sempre a áreas de aço um pouco menores, como pode ser visto no quadro comparativo. a) Seções sem disposição fixa para as armaduras (vigas) [ISHITANI-1] fck Aço bw h 1 18 50A 12 2 15 50A 12 3 15 50A 20 100 100 4 15 50A 12 50 5 15 50A 12 50 γs=1,15 γc=1,4 bf d’ Nd Md As1 40 4 0 55,6 4,47 4,52 40 4 0 18,2 1,18 1,19 7 10 0 602 16,10 16,15 7 5 0 54,18 2,82 2,86 5 0 96,32 5,99 87 hf Es=210GPa As2 FTOOL 1,47 As1 6,04 As2 1,46 82 b) Discussão dos resultados Percebe-se que a diferença entre os valores para uma mesma seção é muito pequena, da ordem de 1%, o que nos faz concluir que a substituição do diagrama parábola-retângulo pelo diagrama retangular é perfeitamente aceitável na flexão simples. 4.13.5 Exemplos de [ISHITANI-2] Nesta referência temos seções submetidas à flexão normal composta. As seções são resolvidas para distribuição fixa de armadura ou não. a) Seções sem proporção pré-definida entre As 1 e As2 (vigas) [ISHITANI-2] fck Aço bw h 1 15 50A 20 2 15 3 d’ Nd Md As1 40 4 100 50 2,77 50A 20 40 4 100 100 7,23 15 50A 20 40 4 -100 82 7,37 4(1) 25 50A 25 70 5 4200 280 7,27 5 25 50A 25 70 5 2800 280 12,42 13,21 6 25 50A 25 70 5 2600 280 10,42 11,16 7(2) 25 50A 25 70 5 1000 280 8(3) 25 50A 25 70 5 -1000 100 15,33 γs=1,15 γc=1,4 bf hf As2 FTOOL As1 As2 2,80 1,95 7,33 1,96 7,40 29,49 3,90 - - 8,67 7,67 7,27 29,49 4,25 15,33 7,67 Es=210GPa b) Discussão dos resultados (1) A seção está muito próxima da compressão centrada, com todas as fibras da seção submetidas à uma deformação muito próxima de influência dos diferentes diagramas adotados. εc = 2,0‰, aonde não há 83 (2) Dois arranjos de armadura são possíveis para equilibrar o sistema. No primeiro, a armadura é posicionada na borda tracionada e no segundo a armadura está comprimida. Observa-se que entre as duas opções, o FTOOL escolhe o dimensionamento mais econômico. (3) Com a seção totalmente tracionada, sem a participação do concreto, não há influência dos diferentes diagramas tensão-deformação do concreto e consequentemente os valores calculados são exatamente iguais. 4.13.6 Cisalhamento – Exemplos de [ISHITANI-2] Verifica-se que as diretrizes apontadas por [ABNT-2] para a verificação e dimensionamento das seções de concreto ao cisalhamento resultam em valores menores para as armaduras que as obtidas em [ISHITANI-2] que utiliza [ABNT-1]. [ISHITANI-2] 4.14 FTOOL fck Aço bw h d’ Q Asw/s Asw,mín/s Asw/s Asw,mín/s 15 50A 12 50 4 85,5 3,32 1,68 3,07 0,88 15 50A 12 50 4 64,1 2,08 1,68 1,88 0,88 Conclusões Concluímos que o procedimento indicado em [SANTOS-2], apresentado neste capítulo, para o dimensionamento das peças submetidas à flexão normal composta é bastante eficiente, pois estabelece um método que permite tratar todos os casos de solicitação normal de uma maneira consistente para as seções transversais e arranjos de armadura testados. A utilização do diagrama parábola-retângulo para o concreto comparado ao diagrama retangular simplificado conduz a um maior consumo de armadura. Esta diferença é da ordem de no máximo 5%, o que não acarreta mudança significativa no detalhamento das armaduras. 84 5. Análise 5 5.1 ANÁLISE Introdução Neste capítulo abordaremos os diversos tipos de análise que podem ser disparados a partir do sistema computacional desenvolvido. O enfoque será bem simples, pois nosso objetivo é fornecer o subsídio mínimo para a compreensão das análises efetuadas pelo FRAMOOP e pelo ADINA, já que não foi objetivo principal deste trabalho confeccionar solvers lineares e não-lineares. O leitor que necessitar de maiores esclarecimentos deverá consultar as referências [ADINA-3], [BATHE-1], [BATHE-2], [CRISFIELD-1] e [MCGUIRE-1]. Os elementos de viga utilizados são sempre retos, com seção transversal constante e que suas seções transversais permanecem planas durante a deformação e perpendiculares ao eixo neutro. 85 O elemento pode sofrer grandes deslocamentos e rotações (na análise não-linear) mas sempre apenas pequenas deformações são consideradas. Assim sendo, a área da seção transversal e o comprimento do elemento de viga não mudam durante a deformação. 5.2 Análise Interna O solver interno disponível é capaz de realizar análises lineares empregando o método da rigidez direta. Este solver é um módulo independente (FRAMOOP) que é compilado junto com o FTOOL. 5.2.1 Análise Linear O elemento bidimensional utilizado é derivado do elemento de viga tridimensional, utilizando apenas as linhas e colunas correspondentes aos graus de liberdade x, y e θz. Assume-se que os deslocamentos, rotações e deformações são infinitesimalmente pequenos, e é utilizado o material elástico isotrópico, sendo a matriz de rigidez calculada em forma fechada. As matrizes de rigidez de cada elemento são determinadas primeiramente no sistema de coordenadas local do elemento e em seguida, estas matrizes são transformadas do sistema de coordenadas local para o sistema de coordenadas global e então somada à matriz de rigidez global da estrutura. Matriz de rigidez do elemento bidimensional: EA l 0 0 K= − EA l 0 0 0 12 6 EIz 3 l EIz l2 0 − 12 6 − 0 l2 EIz 2 l EIz 4 l 3 −6 0 0 − 12 0 −6 EA l 0 EIz l EIz 6 EA l EIz 2 l EIz 2 l EIz l3 EIz l2 0 0 12 0 −6 EI 6 2z l EIz 2 l 0 EIz −6 2 l EIz 4 l 0 EIz l3 EIz l2 (5.1) 86 A matriz de rigidez e o vetor de esforços final do elemento são obtidos a partir da condensação estática das matrizes e vetores básicos, de maneira a considerar as liberações de extremidade. 5.3 Análise Externa (ADINA) O ADINA (Automatic Dynamic Incremental Nonlinear Analysis) é um programa comercializado pela empresa ADINA R & D, Inc. (http://www.adina.com), fundada em 1986 pelo Prof. Dr. K.J. Bathe e outros associados. O ADINA é um sistema integrado utilizado para a análise de estruturas e escoamento de fluidos. Cada um dos módulos de solução (ADINA, ADINA-F (fluid) e ADINA-T (thermal) ) utiliza o mesmo pré e pós-processador (ADINA-IN e ADINA-PLOT) acoplados ao ADINA-AUI (Adina User Interface). Em nosso trabalho utilizamos diretamente o módulo de solução ADINA. A comunicação entre o FTOOL e o ADINA é feita através de arquivos neutros (arquivos texto). Inicialmente alimentamos o ADINA com a geometria e carregamento do pórtico e após o processamento lemos o arquivo de resultados (o processo de comunicação entre o FTOOL e o ADINA é explicado em detalhe no Anexo II). 5.3.1 Consideração sobre Cargas Distribuídas e de Temperatura O ADINA não lida bem com cargas distribuídas, pois ele faz a redução das cargas distribuídas em forças nodais equivalentes considerando sempre o elemento biengastado, que desconsidera liberações de extremidade. Ele também não possui a opção de aplicar gradientes térmicos aos elementos. Por isto, todas as cargas distribuídas são transformadas em esforços nodais equivalentes que então serão enviados para o ADINA. Os algoritmos utilizados para esta transformação são os mesmos utilizados pelo FRAMOOP. 87 5.3.2 Análise Linear Os elementos finitos de viga assumem a mesma forma daqueles obtidos pela teoria das estruturas (item 5.2.1). 5.3.3 Análise Não Linear O comportamento real dos pórticos de concreto armado é não-linear. Este efeito advém da combinação do efeito P-∆ da estrutura com o comportamento não-linear do concreto. Desta forma a solução para um pórtico de concreto armado é obtida da resolução de um sistema de equações não-lineares. F N Ponto de Instabilidade do Equilíbrio ELU F a l y a Figura 5.1 – Comportamento de um pilar submetido a uma carga vertical constante e a uma carga horizontal variável A Figura 5.1 ilustra o comportamento típico das estruturas civis. Com o incremento da força horizontal a estrutura vai perdendo rigidez até atingir um ponto de instabilidade do equilíbrio. Como a capacidade de carga diminui a partir deste ponto, considera-se este ponto como um ponto limite último. Em estruturas pouco esbeltas, este ponto pode não ser atingido, alcançando-se antes o limite de ruptura para a seção de concreto mais solicitada. Nas análises não-lineares, assumimos que as equações não-lineares de equilíbrio podem ser reduzidas a um conjunto para o qual podemos adaptar técnicas utilizadas para a 88 resolução de sistemas de equações lineares, onde o comportamento pode ser traçado incrementalmente [MCGUIRE-1]: K∆U = ∆R (5.2) onde K é a matriz de rigidez tangente, ∆U é o vetor dos deslocamentos incrementais e ∆R é o vetor dos incrementos de carga O problema essencial nas análises não lineares é então garantir o equilíbrio das forças internas e externas para um determinado incremento de carga [ADINA-3]: i R− i F = 0 (5.3) onde, i R é o vetor das forças externas aplicadas no final do passo (incremento de carga) i, e i F é o vetor das forças resistentes internas no final do passo (incremento de carga) i. Existem diversas estratégias para a obtenção da resposta não-linear. Podemos dividi-las em dois grupos principais, o primeiro controlando a carga aplicada e o segundo os deslocamentos impostos. O ADINA fornece diversas opções de processo de solução para as duas estratégias. O método de controle de deslocamentos é mais vantajoso pois conseguimos captar o comportamento das estruturas após pontos de instabilidade do equilíbrio. Entretanto, optamos por utilizar controle de carga, que se adapta melhor com a estrutura de dados implementada no FTOOL, no qual aplicamos a carga final da estrutura em vários incrementos de carga configuráveis. Além disso nas análises mais usuais, nosso principal interesse é na carga máxima da estrutura, não nos importando o comportamento pós-pico. Ressaltamos, entretanto, que com algumas modificações na estrutura de dados do FTOOL, seriamos capazes de lidar com o controle de deslocamentos. 89 Dos métodos baseados no controle de carga, optamos por utilizar um método iterativo, o método de Newton-Raphson Completo. A vantagem dos métodos iterativos em relação ao método do incremento de carga sem iteração é que estes garantem o equilíbrio a cada incremento de carga, evitando que a solução calculada desvie da solução real. Dentre os métodos iterativos disponíveis no ADINA (Newton-Raphson Completo e Modificado e BFGS), o método de Newton-Raphson Completo é o mais custoso computacionalmente por incremento de carga, pois atualiza a matriz de rigidez tangente a cada incremento de carga e a cada iteração. No entanto, é também o mais exato (sendo inclusive o mais indicado quando as não-linearidades forem muito fortes), fazendo com que seja necessário utilizar menos incrementos de carga. Desta forma, como foi detectado um custo computacional para a solução do problema insignificante quando comparado com as operações de I/O entre ADINA-FTOOL optamos por este método: Método de Newton-Raphson Completo i K ( j − 1) ∆U( j) =i R − i F ( j − 1) (5.4) i U( j ) = i U( j − 1) + ∆U( j) (5.5) onde, i K(j-1) é a matriz de rigidez tangente baseada na solução calculada para a iteração (j-1) do incremento de carga i, ∆U(j) é o incremento do vetor dos deslocamentos na iteração j, i R é o vetor das forças externas aplicadas no final do passo (incremento de carga) i, i (j-1) F é o vetor das forças resistentes internas para a iteração (j-1) do passo (incremento de carga) i, i U(j) i U(j-1) é o vetor dos deslocamentos para a iteração (j-1) do passo i. é o vetor dos deslocamentos para a iteração (j) do passo i, e, 90 Carga i i (0) R- F i R - i F(1) i R i (1) K i K(0) i-1 R ∆U (1) ∆U (2) i-1 U i U Deslocamento Figura 5.2 – Método de Newton-Raphson Completo (representação para um modelo com um grau de liberdade) Todo processo iterativo necessita de um mecanismo que o interrompa quando o nível de acerto exigido for atingido. O ADINA possui diversas opções, critérios de convergência baseados na avaliação das forças, deslocamentos ou energia a cada incremento de carga. Em testes não foi verificada menor ou maior vantagem na adoção de um método em particular. Como em [ADINA-3] indica como mais efetivo o critério baseado na energia, que leva em conta deslocamentos e forças, optamos por utilizar este método: [ ∆U( j) i R − i F ( j −1) T T [ ∆U(1) i R− i F ] ] ≤ ETOL (5.6) onde, ETOL é a tolerância na norma de energia. 5.3.3.1 Análise Não Linear Geométrica Utilizamos o elemento de viga hermitiano de dois nós, que utiliza funções cúbicas para interpolar os deslocamentos transversais e interpolação linear dos deslocamentos longitudinais. O material é considerado elástico isotrópico e a formulação utilizada é a lagrangeana incremental, sendo que este tipo de elemento é recomendado para análise de estabilidade elástica. 91 O elemento admite grandes deslocamentos e rotações, mas apenas pequenas deformações. Observamos que apesar do fato de que apenas pequenas deformações serem permitidas, não há problema para as análises de estruturas de concreto, pois o concreto é um material frágil, com deformação de ruptura baixa, atingindo então sua carga de ruptura com a aplicação de deformações muito pequenas. Maiores detalhes sobre a formulação dos elementos pode ser vista em [BATHE-2]. 5.3.3.2 Análise Não-Linear Física e Geométrica Na prática da engenharia, os dados disponíveis para descrever o comportamento dos elementos de viga (planos) podem ser dados somente na forma de relações entre o momento fletor e a curvatura. O ADINA oferece a capacidade de usarmos diretamente estes dados sem ter que se definir uma relação tensão-deformação equivalente e a forma exata da seção transversal da viga como dados de entrada. Desta forma, empregamos o mesmo elemento descrito em 5.3.3 com a diferença de fornecermos a rigidez de cada elemento através de relações força normal – momento – curvatura. Na figura abaixo vemos a forma típica destas relações e como elas são fornecidas para o ADINA. Entrada para o ADINA Conjunto típico de relações Momento-Curvatura para uma viga Momento Momento Ni+1 Ni Ni-1 Força Axial - N i (pode ser positiva ou negativa) Curvatura F3 F4 F5 Força axial Figura 5.3 – Conjunto de curvas momento-curvatura [ADINA-3] Curvatura 92 Conjunto de dados para uma determinada força axial Extrapolação feita pelo Adina Momento Último ponto fornecido Curvatura Primeiro ponto fornecido Primeiro e último pontos não são considerados como pontos de ruptura Figura 5.4 – Modelo para a entrada de uma curva momento-curvatura para uma determinada força normal [ADINA-3] O comportamento descrito pelas curvas momento-curvatura para rotações negativas pode ser diferente do que para rotações positivas. Deve-se notar que os últimos segmentos de uma curva momento-curvatura são extrapolados se necessário, de maneira a calcular o momento quando a curvatura encontra-se fora da abrangência da curva fornecida, sendo que desta forma os pontos finais das curvas não representam pontos de ruptura. Por causa disto, na geração dos diagramas pelo FTOOL, utilizamos o procedimento de traçar uma reta horizontal com a abscissa do último (momento fletor) do último ponto fornecido, garantindo que não haja aumento da capacidade de carga com a extrapolação. Para o cálculo da matriz de rigidez tangente do elemento de viga e do vetor de forças internas, é utilizada integração numérica (Newton-Cotes) para integrar ao longo do comprimento do elemento e uma solução fechada é usada ao longo da seção transversal. A rigidez axial do elemento é suposta constante e é calculada por: Rigidez Axial = (A c − A s ) ⋅ Ec + A s ⋅ E s (5.7) 93 5.3.3.3 Geração dos Diagramas N-M-1/r Utilizamos para a confecção dos diagramas momento-curvatura o procedimento semianalítico apresentado em [SANTOS-1], utilizando para descrever o concreto o diagrama parábola-retângulo com tensão máxima 0,85 fcd ou 1,10 fcd (item 2.2.6) e as leis tensãodeformação para os aços de classes A e B (item 2.3.4). Simplificadamente, o procedimento adotado é: 1) variam-se os valores para a força normal (ν) da força normal resistente à tração uniforme até o valor limite para a compressão uniforme; § para um determinado valor para a força normal (ν); 2) variam-se os valores para a curvatura (θ) de zero até a curvatura máxima positiva (θmáx) e negativa (θmín); § para uma determinada curvatura (θ); 3) escolhe-se um valor inicial para a deformação na borda mais comprimida (εc); 4) calcula-se a posição da linha neutra (determinada pela curvatura e pela deformação na borda mais comprimida); 5) fixados εc e θ, determinam-se a força e momento resistente pelo concreto; 6) calculam-se as deformações (εsi) para cada posição da armadura; 7) com os valores de εsi obtemos as tensões (σsi) nas armaduras; 8) determinadas as forças resistentes pelo concreto e pelas armaduras, calcula-se a força normal resistida pela seção (νi); 9) se (νi ≠ ν fixado), repete-se o ciclo de cálculos a partir de 3), alterandose εc; 10) quando (νi = ν fixado) a menos de uma tolerância, calcula-se µi, que é momento fletor associado à curvatura e força normal atuais. Ao final de cada iteração, antes de se definir um ponto para a curva M-1/r, verifica-se se o estado limite último não foi alcançado. Neste caso calcula-se o ponto final da curva M-1/r a partir do ELU. Tem-se então um conjunto de curvas com a aparência da representada na Figura 5.4. 94 Observamos que a NBR6118/2000 no item 15.2.1 recomenda que as relações momentocurvatura sejam obtidas a partir do diagrama tensão-deformação do concreto com tensão máxima de 1,10 fcd. A curva obtida utilizando os diagramas de cálculo do concreto e do aço (curva tracejada da figura 8) será utilizada somente para definir os esforços resistentes Nrd e Mrd (ponto B) últimos. Momento Curva obtida com 1,10 fc d B ELU Curva obtida com 0,85 fcd Curvatura Figura 5.5 – Relação momento-curvatura Esta consideração da norma leva em conta que para caracterizar a capacidade portante de um elemento é determinante a característica física da pior seção. Entretanto, no cálculo de seu alongamento, importam as características de todas as seções e não faz sentido imaginar que toda a peça seja constituída por um material com dimensões e valores correspondentes a quantis estatísticos inferiores (característicos ou de projeto). O alongamento obtido com esta postura possui uma probabilidade de ocorrência muito menor do que a suposta no cálculo da capacidade portante [FRANÇA-2], sendo a adoção de σcd,máx = 1,10 fcd mais coerente e realista. 5.4 Exemplos de Validação do Algoritmo de Geração dos Diagramas N-M-1/r A validação do algoritmo foi feita comparando-se os valores obtidos pelo FTOOL com tabelas [SANTOS-3] que contêm relações força normal – momento – curvatura. Neste tópico apresentamos em detalhe a comparação com a primeira destas tabelas e no Anexo IV, comparações adicionais. 95 5.4.1 Notação e Expressões Utilizadas n’ : número de camadas de barras de aço (número de linhas); n1 : número de barras da primeira camada (igual à última); µf : momento de ruptura (reduzido adimensional); θf : curvatura majorada adimensional correspondente ao momento de ruptura; νo : valor reduzido adimensional da força normal de ruptura no caso ideal de compressão centrada. σ cd = 0,85 δ= fck γc d' h θ = 1000 (5.8) (5.9) h r (5.10) ν= Nd σ cd ⋅ A c (5.11) µ= Md σ cd ⋅ A c ⋅ h (5.12) ω= A s ⋅ f yd A c ⋅ σ cd θ = 1000 h r 5.4.2 Arranjos de Armadura Utilizados As tabelas foram implementadas para três arranjos de armadura: a) Armadura em duas bordas b ( n’ = 2; n 1 = 2); b) Armadura ao longo de todo o perímetro (n’ = 10; n 1 = 8); c) Armadura em duas bordas h (n’ = 10; n 1 = 2 ). (5.13) (5.14) 96 Arranjo 1 Arranjo 2 Arranjo 3 Armadura nas duas bordas b Armadura distribuída Armadura nas duas bordas h Figura 5.6 – Disposições das armaduras Os arranjos de armadura são iguais aos implementados no FTOOL. Entretanto, para o arranjo de armadura distribuída nas quatro faces, no FTOOL utilizamos n’ = 10 e n1 = 10 e por isto, para efeito de comparação com as tabelas, estes valores foram alterados para n’ = 10 e n 1 = 8. 5.4.3 Tabelas Nas tabelas de [SANTOS-3], fez-se a força normal ν variável de 0 a 2,4; a taxa mecânica ω de 0,1 até 2,0; a curvatura θ, de 1,0 a 8,0. Nas tabelas geradas pelo FTOOL, para uma taxa de armadura ω, o algoritmo varre ν do limite de resistência da seção à tração centrada ao limite de resistência da seção à compressão centrada com passo 0,1. A curvatura θ varia de 0 a θf. Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 0,10 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 1.10 0.0 .015 .029 .042 .042 .042 .042 .043 .043 .043 12.5 0.1 .042 .058 .072 .080 .081 .082 .082 .083 .084 13.8 0.2 .060 .082 .097 .111 .113 .115 .116 .117 .119 14.2 0.3 .070 .099 .116 .130 .139 .141 .143 .143 .144 9.4 0.4 .072 .109 .129 .143 .153 .157 .158 0.5 .067 .114 .135 .148 .154 0.6 .061 .111 .134 .142 0.7 .055 .101 .122 .129 0.8 .048 .085 .101 0.9 .039 .064 .072 1.0 .027 .036 .158 7.1 .158 5.8 .147 4.9 .130 4.3 .106 3.8 .073 3.2 .037 2.2 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 Tabela 5.1 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10) [SANTOS-3] 2.4 97 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef FTOOL (σcd = 0,85 fcd) 0.0 .015 .029 .042 .042 .042 .043 .043 .043 .043 .043 .043 .043 0.1 .042 .058 .073 .080 .081 .082 .083 .083 .083 .084 .084 .084 .084 .043 12.5 .084 13.8 0.2 .060 .082 .097 .111 .113 .115 .116 .117 .118 .118 .118 .119 .119 .119 .119 14.2 0.3 .070 .099 .116 .130 .139 .141 .143 .143 .144 0.4 .072 .109 .129 .143 .153 .157 .158 0.5 .067 .114 .135 .148 .154 0.6 .061 .111 .134 .142 0.7 .055 .101 .122 .129 0.8 .048 .085 .101 0.9 .039 .064 .072 1.0 .027 .036 .144 9.44 .158 7.08 .158 5.77 .147 4.94 .130 4.3 .106 3.79 .073 3.22 .037 2.17 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 Tabela 5.2 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10; σcd = 0,85 fcd) (FTOOL) Relações M x 1/r Adimensionais 0.18 0.0 0.16 0.1 0.14 0.2 0.3 0.1 0.4 mi 0.12 0.5 0.08 0.6 0.06 0.7 0.8 0.04 0.9 0.02 1.0 0 0 2 4 6 8 10 12 14 16 teta Figura 5.7 – Relação M x 1/r (σcd = 0,85 fcd) θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef FTOOL (σcd = 1,10 fcd) 0.0 .015 .030 .042 .042 .043 .043 .043 0.1 .045 .061 .076 .082 .083 .083 0.2 .067 .088 .104 .115 .118 0.3 .081 .109 .127 .142 0.4 .089 .125 .146 0.5 .091 .136 0.6 .087 .142 0.7 .081 .118 0.8 .075 0.9 .068 1.0 .043 8.0 .084 7.0 .119 6.0 .144 4.1 .157 3.8 .157 2.9 .147 2.2 .130 1.72 .106 1.45 .073 1.1 .037 .59 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 Tabela 5.3 – Relações N – M – 1/r (Aço CA50A; d’ = 0,10; n’ = 2; n1 = 2; ω = 0,10; σcd = 1,10 fcd ) (FTOOL) 2.4 98 Relações M x 1/r Adimensionais 0.18 0.0 0.16 0.1 mi 0.14 0.2 0.12 0.3 0.10 0.4 0.5 0.08 0.6 0.06 0.7 0.8 0.04 0.9 0.02 1.0 0.00 0 2 4 6 8 10 teta Figura 5.8 – Relação M x 1/r (σcd = 1,10 fcd) ni = 0.1 0.1 0.05 0.04 0.03 0.02 0.01 0 0.08 mi mi ni = 0.0 0.06 0.04 0.02 0 0 5 10 0 15 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 10 teta 15 ni = 0.3 mi mi ni = 0.2 5 10 teta teta 0 5 15 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 5 teta 10 99 ni = 0.5 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 mi mi ni = 0.4 0 2 4 6 0.18 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0 8 2 4 teta 0.16 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 2 4 0.14 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 6 0 2 teta 6 ni = 0.9 0.12 0.1 0.08 0.06 0.04 0.02 0 0.08 0.06 mi mi 4 teta ni = 0.8 0.04 0.02 0 0 1 2 3 4 0 1 2 teta teta ni = 1.0 0.04 0.03 mi 8 ni = 0.7 mi mi ni = 0.6 0 6 teta 0.02 0.85 fcd 1.10 fcd 0.01 0 0 1 2 3 teta Figura 5.9 – Comparação entre diagramas M x 1/r 3 4 100 5.5 Conclusões As tabelas do tópico anterior mostram que os resultados obtidos pelo FTOOL são precisos quando comparados com os valores das tabelas de [SANTOS-3]. No Anexo IV encontram-se outras tabelas, que cobrem um grande número de situações. 101 6. Implementação 6 6.1 IMPLEMENTAÇÃO COMPUTACIONAL Introdução Neste capítulo apresentaremos um breve histórico sobre o FTOOL e em seguida explicaremos como funcionam e como foram feitas as alterações em sua estrutura de dados e em sua interface gráfica. Não abordaremos aspectos mais específicos, relacionados à implementação das rotinas de dimensionamento, à geração dos diagramas N-M-1/r e à comunicação com o ADINA. Maiores esclarecimentos sobre estes assuntos podem ser encontrados respectivamente nos Capítulos 4, 5 e Anexo II. 6.2 Histórico O FTOOL (Frame Tool Program) nasceu em 1991, fruto de um projeto integrado de pesquisa o do Grupo de Tecnologia em Computação Gráfica (Tecgraf/PUC-Rio). No 102 ponto de partida do programa foi importante o desenvolvimento da biblioteca de funções HED (Half-Edge Data Structure), para representação interna dos dados, e do programa MTOOL, cuja interface gráfica e estrutura de dados foram aproveitados. O programa, desenvolvido na plataforma DOS, sofreu alguns aprimoramentos até abril de 1995. Durante o período do final de 1997 ao início de 1998, o FTOOL foi remodelado, utilizando o sistema de interface IUP e o sistema gráfico CD, desenvolvidos pelo Tecgraf/PUC-Rio. Esta interface gráfica permite que o programa seja executado tanto no ambiente Windows quanto no ambiente Unix/X-windows. Em fevereiro de 1998 foi lançada a versão 2.00 do FTOOL. Deste então sucessivas versões do FTOOL foram lançadas, cada uma com pequenos melhoramentos, até a última versão 2.08 de junho de 2000. Neste período, o FTOOL demonstrou ser uma valiosa ferramenta para o ensino de engenharia, sendo utilizado nos cursos de Análise Estrutural, Estruturas de Concreto Armado e Estruturas de Aço dos cursos de Engenharia Civil de diversas universidades, brasileiras (PUC-Rio, EPUSP, UERJ, UNICAMP) e estrangeiras (BUCKNELL, CORNELL, Universidade de Alberta). Seu ponto forte vem dele ser um programa que se destina ao ensino do comportamento estrutural de quadros planos, ocupando um espaço pouco explorado por programas educativos, que se preocupam mais com o ensino das técnicas numéricas de análise e por versões educacionais de programas comerciais, mais preocupados em introduzir os estudantes a sua interface [KAEFER-1]. Seu objetivo básico é motivar o aluno a aprender a teoria dos métodos de análise mostrando como o modelo se comporta realmente. Do seu objetivo básico decorre a necessidade do FTOOL ser uma ferramenta simples (mesmo com as novas implementações), unindo em uma única plataforma recursos para uma eficiente criação e manipulação do modelo (pré-processamento), de uma análise numérica rápida (não mais transparente), e de uma visualização de resultados rápida e efetiva (pós-processamento) [MARTHA-]. 103 Esta nova versão, chamada FTOOL/RC (Ftool – Reinforced Concrete Version), é particularmente voltada para os cursos de concreto armado. Ela incorpora novos recursos como a possibilidade de termos simultaneamente múltiplas combinações de carregamento, de efetuarmos análises não-lineares físicas e geométricas, e de dimensionarmos os elementos à flexão normal composta e ao cisalhamento [KAEFER-2]. 6.3 Implementação O trabalho de programação se divide na alteração da interface gráfica, que é feita usando o IUP e o CD e na programação em C que fornece operacionalidade à interface. O FTOOL é constituído por diversos módulos. Existe um módulo principal (ftooldrv.c), que faz a ligação dos elementos da interface com restante do programa e diversos módulos (arquivos) independentes que agrupam conjuntos de funções responsáveis por tarefas similares. Durante a implementação de rotinas para o suporte aos múltiplos casos e combinações de carga, fizemos muitas alterações nos módulos já existentes. Ao estabelecermos a comunicação com o ADINA e ao programarmos rotinas para o dimensionamento das seções de concreto armado e para a geração dos diagramas momento-curvatura, optamos por criar módulos independentes, pensando em facilitar a linkagem destes módulos a outros programas. 6.4 Estrutura de Dados Os objetivos do FTOOL impuseram severos requisitos no projeto de sua estrutura de dados. Primeiro, era necessário uma estrutura de dados que fosse comum a todas as fases da simulação das estruturas de quadros: pré-processamento (criação do modelo), análise estrutural e pós-processamento (visualização de resultados de análise). Segundo, ela deveria propiciar uma interface com usuário consistente e com fácil navegação entre estas fases. Além disso, a estrutura de dados deveria possibilitar a detecção de inconsistências na definição do modelo, permitindo uma forma eficiente de 104 se registrar relações de adjacência entre as entidades do modelo (por exemplo, quais barras compartilham um determinado nó). Finalmente, ela deveria propiciar operadores geométricos eficientes, incluindo detecção automática de interseção de membros. O grupo que desenvolveu o FTOOL, no Tecgraf, optou por uma estrutura de dados centralizada em uma representação topológica completa de uma subdivisão planar, com busca eficiente de informações de adjacência, percebendo que a topologia não só era um meio conveniente de armazenar as informações necessárias, mas também um poderoso agente organizador dos dados. A representação topológica completa provê um mecanismo através do qual todas as relações necessárias podem ser armazenadas e manipuladas de forma matematicamente consistente. No caso de modelagem de pórticos planos, os vértices da subdivisão planar são relacionados com os nós do quadro e as curvas (arestas) da subdivisão são relacionadas com os membros (elementos de barra) do quadro [MARTHA-1]. Observa-se que este tipo de representação acaba sendo um caso particular da representação de sólidos, isto é, do problema de criar e manter uma subdivisão planar, que se refere ao problema de “Representação de Fronteiras” da Modelagem de Sólidos [MÄNTYLÄ-1]. A estrutura de dados topológica usada no FTOOL é descrita nas referências [CARVALHO-1], [CAVALCANTI-1]. Dessa forma, o FTOOL utiliza uma biblioteca de modelagem chamada HED (Half-Edge Data Structure) [CAVALCANTI-1], que implementa a referida representação topológica completa. O HED é uma ferramenta bastante poderosa que isenta o cliente programador de grande parte do trabalho de confecção de funções para a manipulação do modelo. Por outro lado, o HED impõe um padrão na definição e na organização da estrutura de dados do programa cliente. No caso do FTOOL, os registros de dados para forças e condições de apoio aplicados a nós, forças distribuídas aplicadas a barras, etc., são blocos de atributos “pendurados” nas entidades topológicas do HED: solid (modelo), edge (aresta, que corresponde a uma barra) e vertex (vértice, que corresponde a um nó). Portanto, com a utilização da biblioteca HED para gerenciar as subdivisões planares, o trabalho no desenvolvimento da estrutura de dados do FTOOL consistiu em acrescentar registros de dados de cliente, que ficam relacionados às entidades topológicas do HED. 105 A Figura 6.1 descreve simplificadamente a estrutura de dados do FTOOL, projetada inicialmente para lidar com apenas um caso de carregamento (versão 2.07). No fluxograma desta figura, omitiu-se o registro de dados da entidade tolopológica Halfedge (semi-aresta), que é uma entidade de ligação entre as diversas entidades topológicas, vertex, edge e loop, do HED [MÄNTYLÄ-1]. Os retângulos pretos no fluxograma representam os nomes dos registros principais, os retângulos cinza, os conjuntos de dados armazenados no FTOOL, e os brancos, com as variáveis precedidas por um asterisco, os ponteiros que relacionam as entidades e registros de dados. SOLID SOLID Nforc SOLID *prevs *nexts *next *sverts Tmodel *sedges *nodforce *unifload *lineload *tempevar *matparam *sectprop *u_atrib EDGE EDGE EDGE *preve *nexte Halfedge *he1 *he2 Tmember Lload *edval *line *unif *temp *matp *spro Tpvar Matpa VERTEX VERTEX Uload Uload *next Lload Lload *next Tpvar Tpvar *next *u_atrib Uload Nforc Sprop Matpa Matpa *next Sprop Sprop *next VERTEX *prevv *nextv *vedge Halfedge *u_atrib Tnode Nforc *force Figura 6.1 – Estrutura de dados – versão FTOOL com suporte para uma única combinação de carregamento. A Figura 6.2, na qual adota-se a mesma convenção da Figura 6.1, ilustra a estrutura de dados implementada para suportar os múltiplos casos e combinações de carregamento e o dimensionamento das seções. A montagem do vetor carregamento é definida a partir das informações contidas em cada combinação de carregamento. Cada combinação é composta de parâmetros como nome, visibilidade e cor, e pelo ponteiro *lcaselst que aponta para uma lista encadeada que relaciona casos de carregamento a um fator de ponderação. Os casos de carregamento se relacionam com as cargas (forças 106 concentradas, forças distribuídas e variação de temperatura). Este relacionamento é feito pelo usuário na fase de pré-processamento. Cada vez que se aplica uma carga ao modelo, relaciona-se à mesma um caso de carregamento (dito corrente ou atual). Dessa forma, no registro de dados que corresponde ao bloco de atributos de um modelo (Tmodel), foram criados dois novos ponteiros, *loadcase e *loadcomb, que apontam para listas encadeadas que abrigam os casos de carregamento e as combinações entre os casos de carregamento definidos. Ainda em Tmodel foi criado o ponteiro *rcparam, que aponta para a lista encadeada com dados para o detalhamento e dimensionamento das seções de concreto armado. No bloco de atributos das barras (Tmember), os ponteiros diretos para as cargas foram substituídos por uma lista encadeada de registros de cargas de barra (Lmember), que contêm ponteiros para as cargas distribuídas uniformes e lineares (*unif e *line), para a variação de temperatura (*temp) e para um caso de carregamento (*lcase), permitindo, assim, que se apliquem os casos de carregamento às barras. Além disso, todas as variáveis responsáveis por armazenar os resultados da análise foram movidas do registro Tmember para uma lista encadeada de registros de esforços de barras (Meffort). Esta lista encadeada contém uma célula para cada combinação de carregamento definida. Os valores das envoltórias são armazenados no registro de dados Tmember. Alterações análogas foram processadas no bloco de atributos de nós (Tnode): o ponteiro para carga concentrada (*force) foi substituído por uma lista encadeada de registros de cargas de nó (Lnode) e os campos responsáveis por guardar os deslocamentos nodais foram substituídos por uma lista encadeada de registros de deslocamentos (e rotações) nodais (Ndispl). 107 Nforc Nforc *next Uload SOLID SOLID SOLID *next *prevs *nexts Lload *sverts *sedges *u_atrib EDGE EDGE EDGE *preve *nexte *he1 *he2 Halfedge *u_atrib Tmodel *nodforce *unifload *lineload *tempevar *matparam *sectprop *rcparam *loadcase *loadcomb Tpvar Rcpar *spro *brig *efflst Uload Lload Lmember *next *unif *line *temp *lcase Meffort *next Sprop Rcpar BeamRigid Rcpar *next Lcase Meffort *next *edval Lcomb edval[] *next *lcaselst Lcase VERTEX Sprop *next Tpvar VERTEX Matpa *next Lcase Lmember Tpvar *next Matpa Sprop *matp *rcpar *loadlst Lload *next Tmember Matpa Uload Ccomb Lcomb Ccomb *next *lcase VERTEX *prevv *nextv *vedge Halfedge *u_atrib Tnode *loadlst *displst Lnode *next *force *lcase Lnode Nforc Lcase Ndispl *next ndisp Ndispl Figura 6.2 – Estrutura de dados – versão FTOOL/RC com suporte para múltiplas combinações de carregamento. Tendo em vista o cálculo dos diagramas força normal – momento – curvatura, em Tmember ainda foi criada a variável axrig para armazenar a rigidez axial do elemento e o ponteiro *brig para uma lista encadeada de registros Tbeamrigid. Cada registro Tbeamrigid armazena uma curva M x 1/r. Cada um destes registros armazena um esforço normal (ν) e possui um ponteiro *curvmom que aponta para uma lista encadeada 108 de registros Tcurvmom. Cada registro Tcurvmom armazena um ponto (ν,µ) de uma determinada curva M-1/r. A memória para estas estruturas é alocada no cálculo dos diagramas M-1/r e é automaticamente liberada após a escrita do arquivo de dados de entrada para o ADINA. *brig BeamRigid BeamRigid *next *curvmom *next *curvmom Curvmom BeamRigid Curvmom Curvmom *next Curvmom *next Figura 6.3 – Estrutura de dados para armazenar os valores das relações N – M – 1/r 6.5 Interface Gráfica Os elementos gráficos para interação com o usuário (diálogos, botões, caixas de texto, etc.) do FTOOL são confeccionados utilizando elementos e funções do IUP. O IUP é um sistema portátil de interface com usuário composto por uma Linguagem de Especificação de Diálogos (LED) e uma biblioteca de aproximadamente 60 funções para a criação e a manipulação de diálogos. A proposta do toolkit IUP é permitir que um programa possa ser executado sem modificações em vários ambientes de interface, conferindo ao programa uma alta portabilidade. Os ambientes suportados atualmente são: DOS, X-Windows/Motif, Microsoft Windows (http://www.tecgraf.puc- rio.br/manuais/iup). A disposição dos elementos de interface dentro da tela do FTOOL é guardada em um arquivo texto escrito em LED que é lido ao se executar o programa. Este arquivo LED pode ser também convertido em um arquivo “C” que é compilado com o restante do código do FTOOL, dispensando-se os arquivos LED. Para dar suporte a esta nova versão, a janela principal do FTOOL precisou sofrer algumas modificações (Figura 6.4). 109 Figura 6.4 – Tela do FTOOL – Pré-processamento (em detalhe as alterações na interface). Em primeiro lugar, foram criados dois conjuntos contendo uma lista dropdown e um botão cada uma. As listas dropdown servem para que o usuário possa selecionar o caso de carregamento e a combinação ativa ou atual, e os botões servem para o acesso às janelas de configuração dos casos e combinações de carregamento. Em seguida, foram alterados os menus responsáveis pela entrada de dados referentes ao material utilizado e à seção transversal para que se possa agora entrar com os novos dados do concreto e do aço e dos elementos de pilar e viga. Além disso, foram criados dois novos menus, um responsável pelos parâmetros necessários para o dimensionamento das seções (Reinforced Concrete Parameters) e outro para que se possa atribuir armaduras diretamente aos elementos (recurso indispensável em problemas de verificação). O próximo passo foi criar o botão Solve e o botão Design . Pressionando o botão Design é disparado o algoritmo de dimensionamento para toda a estrutura e para todas as combinações de carregamento calculadas. Cada combinação de carregamento terá um 110 conjunto de armaduras calculado. A envoltória de armaduras é calculada comparando-se estes diversos conjuntos de cada combinação, ou seja, não se calculam as armaduras para os valores finais das envoltórias de esforços. O botão Solve foi criado para separar o processamento do pós-processamento. Isto foi feito tendo em vista a utilização do FTOOL com o solver não-linear externo (ADINA), que necessita de um tempo maior de processamento e que não é transparente para o usuário, o que tornaria o processo de visualização de resultados bastante lento, pois toda vez que se acessasse o pósprocessamento todas as combinações de carregamento precisariam ser recalculadas. Pressionando o botão Solve é disparado o processo de análise para a combinação ativa. Desta forma, cada combinação é calculada individualmente, possibilitando a comparação entre resultados obtidos com diferentes formulações. Na seqüência criamos itens (no menu Options) e uma janela para configurarmos os solvers e o tipo de análise. Figura 6.5 – Configurando o solver e o tipo de análise. No menu Options foi adicionado o item Options. O selecionamento deste item dispara um diálogo de interface através do qual o usuário pode definir parâmetros para guiar a subdivisão das barras para cálculo de resultados e definir parâmetros utilizados na análise não-linear e no dimensionamento. Nas versões anteriores, esta subdivisão era feita transparentemente com base no tamanho da tela, visando sempre uma boa visualização. Na versão atual, como as envoltórias são calculadas comparando-se os valores dos esforços de cada combinação em pontos fixos do elemento, há a necessidade de que estes pontos sejam bem estabelecidos. O diálogo de subdivisão de barras possibilita ao usuário informar comprimentos mínimos e máximos entre os pontos de cálculo, assim como os números mínimo e máximo de subdivisões por barra. 111 Dois novos diálogos, Load Case Manager e Load Combination Manager, foram criados (Figura 4) para que o usuário possa escolher a cor e a visibilidade de forças e de diagramas, assim como adicionar, renomear e remover casos de carregamento e combinações. No diálogo de combinações ainda há o recurso de incluir ou não uma combinação nas envoltórias e a possibilidade de disparar uma janela para aplicar fatores de ponderação aos casos de carregamento. Figura 6.6 – Load Case Manager / Load Combination Manager. Finalmente, foram criados os botões Envelope de esforços, Transversal Steel Area , que ativa a exibição das envoltórias e Longitudinal Steel Area para visualização das áreas de aço transversal e longitudinal calculadas. Após o processamento, pode-se selecionar qualquer botão do pós-processamento e os resultados da estrutura serão automaticamente atualizados na tela. Foram criados algoritmos que captam qualquer alteração no modelo e limpam as listas de resultados, solicitando que o usuário reprocesse a estrutura. 112 Figura 6.7 – Visualização de resultados: configuração deformada. 113 7. Exemplos de Validação 7 7.1 EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO Introdução Este capítulo contém exemplos que complementam os exemplos de dimensionamento e de elaboração de tabelas momento-curvatura já apresentados. Nos dois primeiros exemplos apresentaremos resultados de análises não-lineares puramente geométricas, comprovando o bom funcionamento do ADINA para este tipo de análise. Nos exemplos seguintes pretendemos validar o processo de análise nãolinear físico-geométrica implementada, discutindo aspectos como pontos de instabilidade do equilíbrio e nível de discretização das barras. 114 7.2 Viga 1 [SOLER-1] y M x l Figura 7.1 – Geometria da viga 1 7.2.1 Dados b = 0,5774cm A = 20 cm 2 h = 34,641cm I = 2000 cm 2 Obs.: Os valores para b e h foram obtidos para uma seção transversal retangular equivalente a partir dos valores de A e I apresentados na referência. l = 500 cm Es = 200 GPa A viga foi dividida em 10 elementos, tanto na referência como na modelagem utilizando o FTOOL. Foram utilizados 50 passos iguais (análise incremental) de carregamento para cada análise efetuada. 7.2.2 Resultados Obtidos Na Figura 7.2 apresentamos um gráfico mostrando as coordenadas da extremidade livre da viga para os diversos níveis de carregamento apresentados na Tabela 7.1. 115 Deslocamento da ponta da viga 350 300 250 y (cm) 200 150 100 50 0 -150 -50 50 150 250 350 450 x (cm) Exato Soler ADINA Figura 7.2 – Gráfico comparativo do deslocamento da extremidade livre da viga 1. Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento. (Resultados obtidos pelo FTOOL) 550 116 M (kNcm) Solução Exata [SOLER-1] x (cm) y (cm) 10 elem. [SOLER-1] θ (rad) x (cm) y (cm) θ (cm) ADINA M (kNcm) x (cm) y (cm) θ (cm) 500 499.997 1.562 0.00625 499.997 1.562 0.00625 500 499.997 1.563 0.00625 1413 499.974 4.416 0.01766 499.974 4.416 0.01766 1413 499.974 4.416 0.01766 3079.5 499.876 9.622 0.03849 499.877 9.622 0.03849 3079.5 499.877 9.622 0.0385 5000 499.675 15.620 0.0625 499.675 15.620 0.0625 5000 499.675 15.620 0.0625 50265.5 467.745 151.979 0.6283 467.745 151.980 0.06283 50265.5 467.822 152.005 0.6283 138029 286.340 334.408 1.725 286.313 334.421 1.725 138029 278.685 333.618 2.0497 290987 -65.388 258.379 3.637 -65.400 258.373 3.637 273000 55.852 100.167 6.1289 367491 -108.08 121.742 4.594 -108.98 121.784 4.594 443945 -60.346 23.194 5.549 -60.088 23.195 5.549 502655 0.000 0.000 6.283 0.000 0.000 6.283 Tabela 7.1 – Resultados obtidos por [SOLER-1] e utilizando o ADINA (Coordenadas da extremidade da viga para diversos níveis de carregamento). 7.2.3 Discussão dos Resultados Observa-se que até o carregamento de 1380,29 kNm os resultados do ADINA são muito bons. A partir deste ponto, com o aumento da carga, as rotações são muito grandes e a formulação adotada no ADINA, recomendada apenas para pequenas deformações e rotações impede que se capte com exatidão o comportamento da viga para cargas maiores e por isto os resultados desviam-se dos de Soler, que utilizou em sua dissertação formulação que permite que as vigas sejam submetidas a grandes deslocamentos, rotações de deformações. Observamos entretanto, que estes níveis de carregamento nunca seriam obtidos numa análise de uma estrutura de concreto, pois o material romperia muito antes disto, o que valida os resultados obtidos com o ADINA para os problemas normais em projetos de estruturas de concreto armado. 117 7.3 Viga 2 [SOLER-1] F y x l Figura 7.1 – Geometria da Viga 2 7.3.1 Dados A geometria, o material e a discretização são os mesmos do exemplo anterior: b = 0,5774cm A = 20 cm 2 h = 34,641cm I = 2000 cm 2 Obs.: Os valores para b e h foram obtidos para uma seção transversal retangular equivalente a partir dos valores de A e I apresentados na referência. l = 500 cm Es = 200 GPa A viga foi dividida em 10 elementos, tanto na referência como na modelagem utilizando o FTOOL. Foram utilizados 50 passos iguais de carregamento para cada análise efetuada. 118 7.3.2 Resultados Obtidos Deslocamento da ponta da viga 0 0 100 200 300 400 500 -50 -100 -150 y (cm) -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500 x (cm) [SOLER-1] ADINA Figura 7.2 – Comparação do deslocamento na extremidade livre da viga 2. Figura 7.3 – Evolução da deformação da viga com o aumento do carregamento (Resultados obtidos pelo FTOOL). 119 F (kN) [SOLER-1] x (cm) y (cm) ADINA θ (rad) x (cm) y (cm) θ (rad) 0 500.00 0.00 0.000 500.00 0.00 0.000 48 497.06 -49.50 -0.147 497.06 -49.50 -0.149 96 488.78 -96.19 -0.291 488.80 -96.19 -0.291 144 476.53 -138.13 -0.421 476.57 -138.15 -0.421 227.808 450.16 -198.20 -0.615 450.25 -198.24 -0.615 307.824 423.72 -241.35 -0.762 423.85 -241.43 -0.763 387.84 398.75 -273.88 -0.880 398.91 -274.00 -0.880 427.824 387.14 -287.11 -0.929 387.32 -287.25 -0.930 480 372.94 -301.98 -0.986 373.13 -302.14 -0.987 1416 236.20 -399.96 -1.402 236.55 -400.35 -1.403 1920 203.83 -416.25 -1.468 204.22 -416.72 -1.468 2676 173.07 -430.85 -1.516 173.52 -431.43 -1.517 3209.76 158.15 -437.87 -1.534 158.63 -438.51 -1.534 3876.96 144.00 -444.62 -1.547 144.52 -445.33 -1.548 4710.72 130.73 -451.15 -1.557 131.28 -451.96 -1.557 4800 129.51 -451.77 -1.557 130.07 -452.58 -1.558 7.3.3 Discussão dos Resultados Observa-se que, neste exemplo, conseguimos bons resultados com o ADINA para todos os níveis de deslocamento, pois as rotações das seções das barras são menores. Da análise dos resultados obtidos com estes dois exemplos percebe-se que a formulação utilizada pelo ADINA para simular os efeitos não-lineares geométricos pode ser utilizada tranqüilamente para estruturas aporticadas. 7.4 Pilar 1[GARCIA-1] Apresentamos neste exemplo uma comparação entre os resultados fornecidos pelo FTOOL-ADINA, quando, na análise do pilar considerado se utiliza um número variável de elementos. Para tanto, o pilar em questão será dividido em 1, 2, 4 e 10 elementos. 120 N b F d’ a As 2 h As 2 l d’ y y Figura 7.4 – Geometria do Pilar 1 [GARCIA-1]. 7.4.1 Dados b = 40cm A = 1600 cm 2 h = 40cm I d’ = 4cm δ = 0,10 λ = 69,28 λ1 =38,89 = 213333 cm 2 N = 1280 kN (compressão) F = variável l = 400 cm As = 30,2 cm2 Aço Classe A γs = 1,1905 Es = 210 GPa Concreto: fck = 32,941 MPa γc = 1,4 Ec = 32,141 GPa Na geração dos diagramas força normal – momento – curvatura foi adotado σcd = 0,85 fcd e γf3 = 1,0 para manter a compatibilidade com os resultados da bibliografia. As curvas utilizadas na análise estão transcritas no Anexo III. 7.4.2 Resultados Na próxima tabela apresentamos os valores máximos para a carga suportada pelo pilar com a respetiva flecha a obtidas por Garcia e pelo FTOOL . 121 [GARCIA-1] FTOOL Fmáx a Fmáx a 1 elemento 76,1 8,24 82,2 8,47 2 elementos 71,4 7,00 72,9 6,88 4 elementos 70,1 6,70 70,3 6,84 10 elementos 68,9 6,36 69,1 6,44 Tabela 7.2 – Exemplo de Pilar [GARCIA-1]. Para cada situação de discretização do pilar foram traçadas curvas relacionando a carga horizontal F com a flecha a (deslocamento horizontal da ponta do pilar) mantendo-se sempre N constante e igual a -1280 kN. Primeiro apresentamos as curvas apresentadas em [GARCIA-1], em seguida as obtidas em nosso trabalho e finalmente quatro gráficos relacionando os nossos resultados com os de [GARCIA-1] para cada situação. [GARCIA-1] 80.00 70.00 60.00 F (kN) 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 a (cm) 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos Figura 7.5 – Valores publicados em [GARCIA-1] 122 FTOOL 90.00 80.00 70.00 F (kN) 60.00 50.00 40.00 30.00 20.00 10.00 0.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 10.00 a (cm) 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos Figura 7.6 – Valores obtidos pelo FTOOL-ADINA. 1 Elemento 2 Elementos 90.00 80.00 80.00 70.00 70.00 60.00 50.00 F (kN) F (kN) 60.00 50.00 40.00 40.00 30.00 30.00 20.00 20.00 10.00 10.00 0.00 0.00 2.00 4.00 6.00 8.00 0.00 0.00 10.00 1.00 2.00 3.00 a (cm) Garcia Ftool 70.00 60.00 60.00 50.00 50.00 F (kN) F (kN) 80.00 70.00 40.00 30.00 20.00 20.00 10.00 10.00 3.00 4.00 5.00 a (cm) Garcia 7.00 8.00 Ftool 40.00 30.00 2.00 6.00 10 Elementos 80.00 1.00 5.00 Garcia 4 Elementos 0.00 0.00 4.00 a (cm) 6.00 7.00 8.00 0.00 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 a (cm) Ftool Garcia Ftool Figura 7.7 – Gráficos comparativos: [GARCIA-1] e FTOOL-ADINA. 6.00 7.00 123 7.4.3 Discussão dos Resultados Os resultados de [Garcia-1] foram obtidos utilizando um programa de sua autoria que utiliza um processo iterativo constituído por etapas lineares de cálculo, levando em conta a não-linearidade dos diagramas tensão-deformação dos materiais e os efeitos de segunda ordem decorrentes da interação esforço axial – flexão. Observa-se que com o mesmo nível de discretização obtém-se resultados compatíveis com os da bibliografia. Além disso nota-se que para valores da força horizontal menores que 35kN, os resultados independem do número de elementos e que para valores de F superiores, há um aumento da rigidez da estrutura ao empregarmos um número menor de elementos. Neste caso (pilar engastado na base) observa-se que já com um número reduzido de elementos (3 ou 4) obtemos resultados bastante próximos dos valores considerados exatos (obtidos com 10 elementos). Baseados em outros testes não publicados, percebemos que a exigência de uma maior discretização dos pilares aumentará conforme haja também um aumento do índice de esbeltez (λ), acentuando-se esta necessidade quando λ superar λ 1. 7.5 Pilar 2[SANTOS-1] O objetivo deste exemplo é discutir tipo de resposta que pode ser obtida utilizando a análise linear, não-linear geométrica e a não-linear física e geométrica, bem como comentar sobre a influência da utilização do fator γf3, dos diagramas normal – momento – curvatura com σcd = 1,10 fcd, e da esbeltez da coluna. 124 Nd Md b d’ a As 2 h As 2 l d’ y y Figura 7.8 – Geometria do Pilar 2[SANTOS-1]. 7.5.1 Dados b = 20cm A = 1000 cm 2 h = 50cm I d’ = 5cm δ = 0,10 l Aço CA50B γs = 1,15 Es = 210 GPa Concreto C20 γc = 1,4 Nd = 605 kN = 208330 cm 2 = 500 cm ⇒ λ = 69,28 As = 12 cm 2 Os módulos de elasticidade do concreto foram calculados utilizando as expressões (2.5) e (2.6): Ec = 25,044 GPa Ecs = 21,287 GPa O pilar foi dividido em cinco elementos, tanto na referência como na modelagem utilizando o FTOOL. 125 7.5.2 Considerações sobre os tipos de análise Os resultados deste tópico ilustram as grandes diferenças entre resultados que podem ser obtidos conforme se mude o tipo de análise ou seus parâmetros, mostrando o cuidado que deve ser tomado durante a análise de uma estrutura, principalmente quando forem efetuadas análises não-lineares. Mostra-se também que, quando o modelo for calibrado para as mesmas condições dos cálculos efetuados pelo prof. Lauro Modesto, obtemos curvas bastante semelhantes, validando os resultados do FTOOL. Embora nas análises no estado limite último estejamos interessados em esforços e nas respectivas armaduras obtidas, por simplicidade os comentários serão efetuados em termos de curvas que representem o deslocamento da extremidade superior do pilar em função do momento variável aplicado, mantendo sempre constante a força normal de 605 kN. Por conveniência, os deslocamentos serão apresentados no eixo das coordenadas e os momentos no eixo das ordenadas. Os valores numéricos das curvas e os valores dos diagramas momento-curvatura podem ser encontrados no Anexo III. 126 140 Momento Fletor Aplicado (kN.m) 120 100 80 60 40 20 0 0 2 4 6 8 10 12 14 Deslocamento no topo do pilar (cm) AL (1) AL (2) AL (3) ANLG (1) ANLG (2) SANTOS[1] ANLFG (1) ANLFG (2) Figura 7.9 – Curvas “Deslocamento em Função do Momento Aplicado” As curvas AL foram obtidas através de análise linear do problema. AL(1) utiliza o módulo de elasticidade tangente Ecs. AL(2) e AL(3) utilizam respectivamente os produto de rigidez (EI)sec = 0,80 EcIc e (EI)sec = 0,70 EcIc (ver relações (3.9) e (3.11)) para estimar o efeito da não-linearidade física. Analisando as curvas obtidas, percebe-se obviamente que a análise elástica não é capaz de captar um momento máximo suportável pelo pilar (decorrente de uma situação de ruptura ou de instabilidade elástica), tampouco capta o trecho inicial (praticamente linear) obtido por análise nãolinear. Deve-se ressaltar que o índice de esbeltez da coluna na direção considerada (λ) é de 69,28, tendo para este nível de solicitação λ 1 = 35 o que já indica que os efeitos de 2ª ordem são importantes e desta forma de maneira alguma poderia ser utilizada apenas uma análise linear para a modelagem da coluna. As curvas ANLG foram obtidas através de análise não-linear geométrica, utilizando-se 10 incrementos de carga. ANLG(1) e ANLG(2) utilizam respectivamente os produto de rigidez (EI)sec = 0,80 EcIc e (EI)sec = 0,70 EcIc. Para este nível de carregamento, as curvas podem ser representadas por duas retas. ANLG(2) consegue representar bem o 127 trecho inicial da curva ANLFG(2) (ver comentários a seguir), o que sugere que a análise não-linear física com a estimativa do efeito da não-linearidade geométrica através da redução do produto rigidez é um bom método para a obtenção de esforços que possam ser utilizados para o pré-dimensionamento das seções de concreto que depois poderão ser verificadas através de análises não-lineares físico-geométricas. Finalmente, as curvas ANLFG foram obtidas através de análise não linear física e geométrica utilizando 10 incrementos de carga e os diagramas momento-curvatura do Anexo III. As respostas diferem em virtude da adoção de valores diferentes para o σcd utilizado para a construção das curvas força normal – momento – curvatura e para o valor de γf3. ANLFG(1) utiliza σcd = 0,85 fcd e γf3 = 1,0 e ANLFG(2) σcd = 1,10 fcd e γf3 = 1,10. ANLFG(1) pode ser comparada à curva apresentada em [SANTOS-1], pois as duas utilizam os mesmos dados. Desta comparação percebe-se que os valores obtidos pelo FTOOL representam com extrema fidelidade os valores obtidos pelo Prof. Lauro Modesto, (que utilizou o “Método Geral”, associado ao método das diferenças finitas e ao diagrama M-1/r para a força normal de compressão de 605 kN) excetuando-se o trecho final, aonde há diminuição da carga, que não somos capazes de captar por enquanto, pois estamos utilizando algoritmos baseados em controle de carga e não de deslocamentos. ANLFG(2) utiliza novos critérios introduzidos em [ABNT-2], e descritos com maior detalhe em [FRANÇA-2], que permitem uma avaliação mais racional do comportamento das estruturas de concreto (ver item 5.3.3.3). Uma observação importante é que γf3 deve ser utilizado com bastante cuidado. Observando os diagramas apresentados no item A3.3, em certos casos, que serão melhor comentados no próximo tópico, ao dividirmos a força normal por γf3 podemos passar a utilizar outra curva momento-curvatura (associada a um esforço normal mais baixo) com momento-fletor último mais elevado, induzindo a valores mais elevados para a capacidade de carga do pilar (que levariam à ruptura da seção de concreto mais solicitada). Este fato pode ser percebido dimensionando os elementos com os esforços obtidos da análise não-linear. 128 Se a partir do cálculo das armaduras resultar uma taxa de armadura maior, ocorreu o problema destacado acima. 7.5.3 Comentários sobre Efeitos de Instabilidade e Ruptura da Seção de Concreto Na próxima figura apresentamos o diagrama de interação completo para a seção transversal de concreto do pilar em questão e outras curvas de interação para força normal de compressão e momento fletor positivo para pilares de diferentes comprimentos. Para o pilar com comprimento de 5,0 m geramos duas respostas. A primeira associada à utilização de σcd = 0,85 fcd e γf3 = 1,0, e a segunda a σcd = 1,10 fcd e γf3 = 1,10. As curvas de interação dos pilares representam o momento fletor máximo (na seção do apoio) suportável pelo pilar para cada nível de solicitação normal. No Anexo III apresentamos os valores numéricos das curvas da Figura 7.13 e os momentos solicitantes associados a cada ponto dos diagramas dos pilares. Diagramas de Interação 2000 1500 N (kN) 1000 500 0 -200 -150 -100 -50 0 50 100 150 200 -500 -1000 M,máx (kN.m) Seção Transversal Coluna 5,0m (1) Coluna 5,0m (2) Coluna 2,5m Coluna 10,0m Figura 7.10 – Diagramas de interação para a seção transversal e para pilares de comprimento variável 129 Analisando o gráfico percebemos que para colunas com comprimento de 5,0m (1) e 10,0m (λ = 138,56) a ruptura do pilar se dá por instabilidade do equilíbrio para todo o nível de solicitação normal, pois suas curvas de interação são internas à curva da seção transversal. Não há, portanto, esgotamento da capacidade das seções. O mesmo não acontece para o pilar curto, com comprimento de 2,5 m (λ = 34,64), pois vemos que sua curva coincide com o diagrama de interação da seção transversal que comanda seu processo de ruptura. Comparando agora as duas curvas obtidas para o pilar com comprimento de 5,0m percebemos que a utilização de σcd = 1,10 fcd ao invés de 0,85 fcd realmente enrigesse a coluna. Vemos também que a utilização de γf3 = 1,10 conduz a momentos resistentes superiores aos suportados pela seção transversal de concreto para forças normais mais elevadas. Isto se dá pelo fato de que ao dividirmos a força normal aplicada à coluna pelo fator γf3 = 1,10 acabamos utilizando uma curva momento-curvatura que suporta um momento máximo mais elevado, como pode ser visto nos diagramas momentocurvatura apresentados no Anexo III. 7.5.4 Resultados Obtidos para o Último Ponto da Curva ANLFG (1) Neste tópico apresentamos os resultados que podem ser obtidos pelo FTOOL para um dado carregamento. Para isto tomaremos o nível de carregamento do último ponto da Curva ANLFG(1) (Item 7.5.2), aproveitando para comparar com mais detalhe com o valor para a carga última apresentada em [SANTOS-1]. 130 Figura 7.11 – Resultado impressos pelo FTOOL: Deformada, Força Normal (kN), Força Cortante (kN), Momento Fletor (kNcm), Área de aço longitudinal calculada (cm2), Área de aço transversal calculada (cm2/m). Carga Última (M d) [SANTOS-1] FTOOL a (cm) 9129,5 10,91 9270 10,97 Tabela 7.3 – Comparação da Carga Última (Md) de [SANTOS-1] e da curva ANLFG (1). 131 7.6 Pórtico Plano [GARCIA-1] b P P d’ As 2 F F a h y As 2 d’ y y Arranjo das armaduras y Figura 7.12 – Geometria do Pórtico Plano [GARCIA-1] 7.6.1 Dados P = 128 tf F = 9,40 tf Aço Classe A γs = 1,1905 Es = 210 GPa Concreto: fck = 32,941 MPa γc = 1,4 Ec = 37,88 GPa Viga b = 40cm h = 60cm d’ = 4cm δ = 0,067 l = 606 cm As = 33,4 cm 2 Pilares b = 40cm h = 40cm d’ = 4cm δ = 0,10 l = 303 cm As = 30,2 cm 2 Na geração dos diagramas força normal – momento – curvatura, foi adotado σcd = 0,85 fcd e γf3 = 1,0 para manter a compatibilidade com os resultados da bibliografia. As curvas utilizadas são apresentadas no Anexo III. 132 7.6.2 Resultados Na próxima tabela apresentamos os valores máximos para a carga suportada pelo pórtico com a respetiva flecha a, publicadas em [GARCIA-1] e calculadas pelo FTOOL . Fmáx (kN) a (cm) Garcia [GARCIA-1] 100,0 5,46 Frame Analysis [GARCIA-1] 94,00 5,30 FTOOL ( 3 elem.) 99,27 5,90 FTOOL (10 elem.) 95,70 5,21 Tabela 7.4 – Exemplo de pórtico plano [GARCIA-1]. A próxima figura mostra curvas relacionando a flecha a com a carga horizontal F. Os valores numéricos de cada curva estão transcritos no Anexo III. 120 100 F (kN) 80 60 40 20 0 0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00 a (cm) TABORDA FTOOL - 3 elem. FRAME ANALYSIS FTOOL - 10 elem. Figura 7.13 – Curvas Força Horizontal – Deslocamento a 7.00 133 A seguir, apresentamos duas telas de computador com a representação gráfica das armaduras longitudinais calculadas para os esforços provenientes da carga máxima aplicada ao pórtico para pilares e vigas discretizadas respectivamente em 3 e 10 elementos. Figura 7.14 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três elementos por barra – F = 99,27 kN) Figura 7.15 – Dimensionamento da armadura longitudinal (Discretização em três elementos por barra – F = 95,7 kN) 134 7.6.3 Discussão dos Resultados Os valores obtidos pelo programa de computador desenvolvido em [GARCIA-1] para o pórtico foi modelado dividindo-se vigas e pilares em 3 elementos. Com o mesmo nível de discretização o FTOOL-ADINA obteve resultados praticamente iguais. Entretanto, para este exemplo, os valores de referência são os obtidos utilizando o programa Frame Analysis. O processo de solução deste programa se baseia num processo iterativo constituído por etapas lineares de análise pelo método da rigidez com controle de deslocamentos. Os resultados do programa Frame Analysis também foram publicados em [GARCIA-1]. Não se menciona o nível de discretização utilizado para a obtenção destes resultados, entretanto, vê-se que com 10 elementos nos aproximamos muito da resposta publicada. As Figuras 7.17 e 7.18 mostram a diferença no resultado final que pode ser obtido utilizando diferentes níveis de discretização. Na primeira tela percebe-se que os valores obtidos são bastante diferentes do dimensionamento inicial proposto, o que já não se verifica na segunda figura. 7.7 Conclusões O sistema computacional proposto mostra-se muito eficiente para a modelagem de estruturas de concreto armado, captando bem os efeitos decorrentes da não-linearidade física e geométrica, desde que haja uma modelagem criteriosa. A qualidade das respostas depende do modelo adotado. Para um mesmo problema, as respostas podem variar bastante conforme o tipo de análise, os parâmetros adotados e o grau de refinamento da malha de elementos finitos. É de responsabilidade do usuário avaliar o nível de não-linearidade da estrutura. Deve-se ater principalmente à verificação do nível de esbeltez das colunas e se há inversão de momento-fletor ao longo do elemento. Quanto mais esbelto o elemento e se houver inversão do diagrama de momento-fletor, maior será necessidade de refinamento da malha. Às vezes torna-se interessante testar mais de um nível de discretização antes de proceder à análise final. 135 8. Exemplo de Aplicação 8 8.1 EXEMPLO DE APLICAÇÃO Introdução Neste capítulo apresentaremos um exemplo com o objetivo de demonstrar as capacidades de modelagem do FTOOL em estruturas de edifícios. Ressaltamos que o programa tem um grande potencial, mas ainda não é muito indicado para a prática corriqueira dos escritórios. As análises ainda são um pouco demoradas, com tempo de processamento para cada combinação de carregamento do exemplo em questão, variando de 3 a 5 minutos, dependendo do grau de refinamento. Entretanto, identificamos que em vários pontos os algoritmos de geração e exportação das relações N-M-1/r poderiam ser otimizados, fazendo com que facilmente reduzíssemos o tempo de processamento a 1/3 do tempo atual. Faltam também recursos para a manipulação simultânea de muitos elementos, como listagens de esforços, deslocamentos e áreas de 136 aço. Podemos dizer que este é o início de um trabalho, que ainda pode ser muito melhorado. 8.2 Pórtico de Edifício [OLIVEIRA-1] O problema apresentado aqui foi inicialmente proposto por Rogério M. Oliveira em sua dissertação de mestrado [OLIVEIRA-1]. Este problema já foi discutido parcialmente no Capítulo 3 e desta forma omitiremos vários aspectos que já tenham sido abordados. 8.2.1 Geometria A estrutura em questão possui 20 andares, com distância entre lajes de 2,80 m. Todos os andares possuem a mesma planta baixa apresentada na Figura 8.1 e o corte esquemático vertical na figura Figura 8.2, observando-se que as lajes e vigas em balanço são substituídas por suas forças equivalentes sobre o pilar P2 e P4 e sobre a viga V4, sendo que a planta resultante pode ser vista à direita. P4 (60/60) x V4 V2 P4 P5 (60/60) 800 P2 P3 V2 (18/70) y V1 V3 L2 h=12 740 P1 V5(18/70) L1 h=12 P2 (60/60) V4(18/70) V1 (18/70) P3 (35/35) V3(18/70) 800 P1 (60/60) P5 740 230 Figura 8.1 – Planta baixa do Edifício [OLIVEIRA-1] 137 Figura 8.2 – Corte vertical esquemático [OLIVEIRA-1] Utilizou-se para todas as vigas seção T com largura da mesa igual a 73 cm. 8.2.2 Materiais Foi utilizado concreto C25 (desconsiderando-se efeitos de fluência) e aço CA50-A em toda a estrutura, com demais características dos materiais definidas segundo [ABNT-2]. 8.2.3 Carregamento O carregamento vertical considerado [OLIVEIRA-1] é igual em todos os pavimentos e é dado por: § Lajes: Carga permanente por área (revestimento) = 1,00 kN/m2 Carga acidental por área = 1,50 kN/m2 138 § Vigas: Carga permanente linear = 6,00 kN/m nas vigas V1 a V4 em toda a extensão. Carga permanente linear = 2,00 kN/m na viga V5 em toda a extensão. O carregamento horizontal é constituído apenas pelo vento e é apresentado na Tabela 8.1. Desconsiderou-se o carregamento horizontal decorrente da avaliação do desaprumo global do edifício por se considerar o efeito do vento num edifício alto preponderante. Andar Vento (kN) 20º 9,60 19º 19,10 18º 19,0 17º 18,90 16º 18,40 15º 17,90 14º 17,80 13º 17,30 12º 16,70 11º 16,60 10º 16,10 9º 15,50 8º 15,30 7º 14,70 6º 14,10 5º 13,50 4º 12,50 3º 11,40 2º 10,20 1º 11,90 Tabela 8.1 – Carregamento do Vento 139 8.2.4 Modelo Neste trabalho, tendo-se em vista o caráter didático, procedemos apenas à análise da estrutura de contraventamento da estrutura na direção x, analisando o pórtico plano formado pela associação de dois pórticos, o primeiro formado pelas vigas V1, V11, ... e V201e pelos pilares P1 e P2 e o segundo formado pelas vigas V2, V12, ... e V202 e pelos pilares P4 e P5 com o pilar P3 (pilar contraventado). A compatibilização dos deslocamentos dos pilares e transferência dos esforços horizontais em cada pavimento foi feita com a introdução de uma série de barras rígidas articuladas nas extremidades, conforme pode ser visto no modelo plano apresentado na próxima figura. Considerou-se os pilares engastados na fundação. Figura 8.3 – Estrutura de contraventamento do exemplo proposto em [OLIVEIRA-1]. O carregamento que solicita o pórtico plano foi dividido em três casos: § Caso 1 – Cargas permanentes; § Caso 2 – Cargas acidentais; § Caso 3 – Cargas horizontais (vento). A carga vertical das lajes foi distribuída para as vigas e o pilar P3. Como não aparecem no pórtico plano, as vigas V3, V4 , V5 e os balanços das vigas V1 e V2, tiveram seus carregamentos representados por meio de suas reações nos pilares [OLIVEIRA-1]. A 140 figura Figura 8.4 mostra o esquema de carregamento final imposto em cada pavimento em decorrência das cargas permanentes e acidentais verticais. Figura 8.4 – Carregamento vertical aplicado a todos os pavimentos [OLIVEIRA-1] Desta forma, considerando a simultaneidade das ações acidentais (3.8.1.1) e a incidência do vento nas direções positiva e negativa do eixo x, devemos adotar 4 combinações de carregamento: Caso 1 Caso 2 Caso 3 (Vento) Combinação 1 1,4 1,4 0,4 ⋅ 1,4 Combinação 2 1,4 0,4 ⋅ 1,4 1,4 Combinação 3 1,4 1,4 -(0,4 ⋅ 1,4) Combinação 4 1,4 0,4 ⋅ 1,4 -(1,4) Fator de Ponderação Tabela 8.2 – Combinações de Carregamento 141 Finalmente, cada lance de pilar foi representado por apenas um elemento. Isto é possível porque os efeitos localizados de 2ª ordem podem ser desconsiderados em virtude da esbeltez pequena dos pilares (λ = 16,2 para P1, P2, P4 e P5 e λ = 27,7 para P3 sendo bem menores que λ 1,mín ≅ 46 para os dois tipos de pilar). Cada viga foi dividida em 3 elementos. 8.2.5 Deslocabilidade da Estrutura A avaliação da deslocabilidade da estrutura pode ser realizada através da consideração do coeficiente γz, cujo processo de obtenção foi descrito em 3.8.3.1. Utilizando (EI)sec = 0,4 EcIc para vigas e (EI)sec = 0,8 EcIc para pilares para a avaliação da não-linearidade física, obtivemos os seguintes valores [OLIVEIRA-1]: γz Combinação 1 – Sentido (+) de x 3,64 Combinação 2 – Sentido (+) de x 1,41 Combinação 3 – Sentido (-) de x 1,00 Combinação 4 – Sentido (-) de x 1,05 Tabela 8.3 – Comparação dos valores de γz [OLIVEIRA-1] É interessante mencionar que, embora γz indique que a estrutura é indeslocável para a combinação 4, verifica-se um comportamento não-linear bastante pronunciado da estrutura como será visto a seguir. 8.2.6 Análise É muito difícil comparar elemento a elemento os resultados obtidos, pois as armaduras determinadas aqui e na referência são diferentes (na referência, as armaduras utilizadas na verificação decorrem do detalhamento dos elementos). Desta forma, utilizaremos como parâmetro de controle global (qualitativo) o deslocamento horizontal no topo do edifício. 142 Nos processamentos sempre foram utilizados 10 incrementos de carga, σcd = 1,10 fcd para a confecção dos diagramas M-1/r, γf3 = 1,10. As curvas M-1/r utilizadas distanciam-se entre si de 0,05 ν e foram consideradas as curvas distanciadas de ± 0,08 ν do esforço normal da análise anterior. 8.2.6.1 Análise Não-Linear O processo da análise não-linear é iterativo. Primeiro faz-se um pré-dimensionamento das armaduras do pórtico e em seguida processa-se (análise não-linear físicogeométrica) a estrutura quantas vezes forem necessárias até que não haja mais alteração significativa dos esforços internos e consequentemente da disposição das armaduras. § Tentativa 1 Em nossa primeira tentativa, adotamos os parâmetros para a da rigidez reduzida secante indicadas em [ABNT-2] (tópico 3.8.3.1, equações (3.9)), obtendo o seguinte quadro de deslocamentos (topo do pilar P1 no 20º andar) e armadura resultante para o pilar mais solicitado: Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2) 1 17,56 89,54 2 25,90 3 4,84 4 -5,55 Tabela 8.4 – Tentativa 1 – Processamento 1 Com as armaduras dimensionadas procedeu-se à análise não-linear físico-geométrica da estrutura, observando-se que não se obteve convergência para a combinação 4 (Tabela 8.5). Por causa disto, iniciamos uma nova tentativa, reduzindo um pouco mais a rigidez inicial da estrutura. 143 Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2) 1 26,79 105,25 2 43,13 3 3,90 4 - Tabela 8.5 – Tentativa 1 – Processamento 2 § Tentativa 2 Nesta tentativa adotamos os valores para a rigidez secante reduzida determinados pelo ACI-318/95 (ver tópico 3.8.4) para a análise não-linear geométrica, iniciando uma nova tentativa de dimensionamento: Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2) 1 22,72 97,11 2 33,88 3 5,62 4 -8,20 Tabela 8.6 – Tentativa 2 – Passo 1 Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2) 1 24,56 104,45 2 39,31 3 3,02 4 -23,21 Tabela 8.7 – Tentativa 2 – Processamento 2 Combinação Deslocamento (cm) As,máx P2 (cm2) 1 24,10 107,54 2 38,60 3 3,31 4 -18,96 Tabela 8.8 – Tentativa 2 – Processamento 3 144 Nas tabelas acima, os processamentos 2 e 3 constituem de análises não-lineares físicogeométricas, que utilizam a armadura determinada no passo imediatamente anterior para a geração dos diagramas N-M-1/r. O processo é interrompido no processamento 3, pois verifica-se que há pouca alteração nos esforços e consequentemente nas armaduras. Tal diferença seria suprida no detalhamento dos elementos, aonde sempre há um acréscimo na área de aço.de cada elemento. 8.2.7 Resultados Apresentamos a seguir telas de programa com a configuração deformada para todos as combinações de carregamento obtidas no processamento 3 da tentativa 2 e gráficos dos esforços obtidos apenas para a combinação de carregamento 2. Comparando os deslocamentos, obtivemos 38,60cm de deslocamento horizontal final máximo (combinação 2) para o pórtico contra 35,27cm obtidos em [OLIVEIRA-1]. Nota-se que os resultados obtidos são muito parecidos e acreditamos que esta diferença advenha de termos utilizado menos armadura, pois não fizemos o detalhamento de cada peça antes das análises não-lineares físico-geométricas. 145 Combinação 4 Combinação 1 Combinação 3 Combinação 2 Figura 8.5 - Deformada 146 Figura 8.6 – Esforço Normal (kN) 147 Figura 8.7 – Momento Fletor (kN.m) 148 Figura 8.8 – Força Cortante (kN) 149 Figura 8.9 – Armadura Longitudinal (cm2) 150 Figura 8.10 – Armadura transversal (cm2/m) 151 8.3 Conclusões Já era esperado que o valor para o deslocamento do topo da estrutura (combinação 2) fosse superior ao da referência, pois neste trabalho não detalhamos as vigas e pilares. O detalhamento ocasiona um aumento da armadura, que na análise não-linear aumenta a rigidez dos elementos e as torna consequentemente menos deslocáveis. Desta forma podemos dizer mais uma vez que o sistema computacional proposto é eficiente para o dimensionamento e verificação de pórticos planos de concreto armado, inclusive os mais complexos, com maior quantidade de elementos. Deste exemplo, concluímos também que o trabalho de modelagem seria bastante facilitado com a confecção de rotinas que permitam automatizar o processo de cálculo utilizado, constituído por sucessivas análises não-lineares até que haja estabilização da armadura dos diversos elementos e de rotinas para a impressão de listagens com esforços, deslocamentos e áreas de aço. 152 9. Conclusões 9 CONCLUSÕES Resumindo as conclusões parciais apresentadas no desenvolver deste trabalho, concluímos que: § o procedimento indicado em [SANTOS-2], para o dimensionamento das seções simétricas com disposição pré-definida das armaduras submetidas à flexão normal composta é bastante eficiente, pois estabelece um método que permite tratar todos os casos de solicitação de uma maneira consistente (Capítulo 4); § a utilização do diagrama parábola-retângulo para o concreto, ao invés do retangular simplificado, conduz a um maior consumo de armadura. Esta diferença de consumo é pequena, não ocasionando mudança significativa no detalhamento (Capítulo 4); § os algoritmos para confecção das relações N-M-1/r geram resultados precisos quando comparados com os valores das tabelas de [SANTOS-3] (Capítulo 5); 153 § o sistema computacional proposto mostra-se muito eficiente para a modelagem de estruturas de concreto armado, captando bem os efeitos decorrentes da nãolinearidade física e geométrica, desde que haja uma modelagem criteriosa (Capítulos 6 e 7). Podemos registrar também que o programa desenvolvido pode ser um grande aliado no ensino do comportamento das estruturas de concreto. Há muitos outros problemas planos, e também espaciais, que podem ser modelados e melhor explicados utilizando o FTOOL. Seria inviável abordar todos estes problemas nesta dissertação, mas acreditamos que, uma vez criada a ferramenta, a confecção de exemplos didáticos tornase mais simples. Sugestões para Trabalhos Futuros Sempre há a possibilidade de melhorar. O FTOOL pode ser aperfeiçoado para aplicações acadêmicas incluindo a possibilidade de fazer animações, de visualizar os diagramas força normal – momento – curvatura, de gerar diagramas de interação e de imprimir os resultados. Para sua aplicação no âmbito profissional, é interessante elaborar rotinas para: § a consideração da fluência, elaborando modelos considerando as alterações das características mecânicas do concreto ao longo do tempo, e permitindo o tratamento de peças mais esbeltas (λ > 90); § a automatização do processo de cálculo utilizado, constituído por sucessivas análises não-lineares até que haja estabilização da armadura dos diversos elementos; § a impressão de listagens com esforços, deslocamentos e áreas de aço; § o detalhamento de vigas e pilares ou para a integração com softwares de detalhamento (como o Strakon); 154 § a automatização de certas tarefas, como o cálculo do peso próprio e do efeito de vento; § a resolução dos problemas não-lineares internos sem a utilização de solvers comerciais. Desta forma, acreditamos que o nosso trabalho abre a possibilidade de diversas outras pesquisas dentro da mesma interface, sempre buscando uma modelagem cada vez mais fiel dos pórticos planos e quiçá do comportamento global dos edifícios com uma interface que proporcione o tratamento tridimensional das estruturas de concreto armado. 155 10. Bibliografia 10 BIBLIOGRAFIA [ABNT-1] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de obras de concreto armado - NB1 / NBR6118. Rio de Janeiro, 1978. [ABNT-2] ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto - NBR6118. Rio de Janeiro, a ser publicada em 2000. [ADINA-1] ADINA R & D Inc.. ADINA user interface - primer. Watertown, MA, 1996. [ADINA-2] ADINA R & D Inc.. ADINA user interface - command reference manual (model definition). Watertown, MA, 1996. 156 [ADINA-3] ADINA R & D Inc.. ADINA - Automatic dynamic incremental nonlinear analysis - Theory and modeling guide. Watertown, MA, 1996. 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Nas próximas figuras apresentamos duas telas, uma da versão básica do FTOOL e outra do FTOOL implementado nesta dissertação, visando a identificação, a grosso modo, dos novos recursos e particularidades. ii Figura A1.1 – Tela do FTOOL 2.06 Figura A1.2 – Tela do FTOOL/RC A1.2 Manipulação de Arquivos A manipulação de arquivos no FTOOL se dá através do menu suspenso File. iii Figura A1.3 – Menu File O Menu File contém opções de informações sobre o programa (About FTOOL) e opções para criar um novo modelo (New), carregar na memória o modelo gravado em um arquivo armazenado em disco (Open), gravar o modelo corrente em um arquivo em disco com o mesmo nome (Save) ou com um nome diferente (Save as), exportar a imagem da tela (Export Screen) para a área de transferência do Windows (Clipboard) ou arquivos com formatos específicos, verificar o número total de barras e nós existentes no modelo (Totals), determinar o limite da janela de trabalho (Limits) e por fim a opção de saída do programa (Exit). A opção Read Results serve para lermos arquivos de resultados gravados em disco. Os comandos mais utilizados do menu File foram agrupados no conjunto de botões abaixo do menu File. Novo arquivo Copiar tela para o Clipboard Abrir arquivo Imprimir Gravar arquivo Figura A1.4 – Comandos principais do menu File iv A1.3 A1.3.1 Criação e Manipulação da Geometria do Modelo Menu de Edição O menu de edição reúne as principais ferramentas para a criação do modelo. Seleciona um grupo de barras ou nós Insere uma barra Insere um nó Modo teclado Elimina os objetos selecionados Figura A1.5 – Menu de Edição A criação de uma entidade se faz de maneira direta. Para inserir uma barra, basta pressionar o botão e “clicar” em dois pontos do canvas. Instantaneamente são criados os nós nas extremidades da barra. Ao criarmos duas barras que se interceptem, o nó da interseção dos dois elementos é automaticamente criado. Analogamente, para criarmos um nó, selecionamos e “clicamos” em um ponto do canvas. O FTOOL possui também um sistema parecido com o Osnap do AutoCAD, que automaticamente seleciona um nó para a definição das barras. O processo de criação pode ser auxiliado pelo uso do Snap (A1.4.2). Adicionalmente, selecionando o modo teclado, podemos criar nós e elementos digitando suas coordenadas nos diálogos da Figura A1.6: Figura A1.6 – Definição de nós e elementos através do teclado v Finalmente, o botão coloca o FTOOL em modo de seleção. Neste modo, “clicando” com o botão direito do mouse sobre barras ou nós, pode-se visualizar seus atributos na área do menu lateral. Usando o botão esquerdo selecionamos a entidade e em conjunto com a tecla shift podemos selecionar mais de uma entidade (precisamos selecionar as entidades para lhes aplicar atributos). A1.3.2 Menu de Undo e Redo Permitem desfazer as últimas ações, ou refazê-las. Undo Redo Figura A1.7 – Menu de Undo e Redo A1.3.3 Menu Transform Figura A1.8 – Menu Transform O menu Transform nos fornece opções para manipular entidades já criadas. Existem as opções de mover (Move), espelhar (Mirror), rotacionar (Rotate), aplicar um fator de escala (Scale) e repetir a última transformação (Repeat). Selecionando Leave Original, é feita uma cópia do elemento, que é então transformada. Desta forma Leave Original associado com o comando Move é responsável por fazer cópias dos elementos. A1.4 A1.4.1 Controles de Visualização Menu de Controle de Visualização Este menu agrupa todos os controles para definição da janela de visualização do modelo. vi Redesenha o modelo Ajusta o modelo à tela Área de visualização definida por um retângulo Aproxima (Mais Zoom) Afasta (Menos Zoom) Dial para definição da escala do desenho (Afasta ou aproxima o observador) Figura A1.9 – Menu de Controle de visualização A1.4.2 Menu de Controle de Coordenadas Neste menu se encontram as informações sobre a superfície de visualização. Os campos H e V armazenam o tamanho da janela de visualização e permitem a alteração destes valores. As labels X e Y mostram a posição do cursor na tela. Disponibiliza-se também a opção do usuário definir um Grid (pontos na tela) e ativar o Snap, que faz com que somente os pontos espaçados uniformemente pela tela (do Grid) possam ser selecionados. Tamanho da área de trabalho Aciona o Grid Espaçamento dos pontos do Grid Posição do cursor Aciona o Snap Figura A1.10 – Menu de Controle de Coordenadas A1.4.3 Menu Display Neste menu o usuário pode escolher de acordo com sua preferência, qual a cor de fundo de tela, tendo para cada cor de fundo selecionada diferentes cores relacionadas com as barras e nós do modelo. Outra opção do usuário é trabalhar com todos os elementos do modelo com a cor preta e fundo de tela branco. Isto permite que a imagem do modelo possa ser impressa em uma impressora monocromática. Pode-se também especificar vii quais os atributos que devem ser mostrados na tela durante o manuseio do programa, devendo-se observar que certas opções aplicam-se somente ao pré-processamento e outras somente ao pós-processamento. Fundo de tela Branco Cinza Perto Mostrar Modelo com todos elementos pretos Orientação do Elemento Carregamento Carregamento e Resultados Valores do carregamento Suportes Valores dos resultados Reações nos apoios Valores das reações Numeração dos nós Numeração dos elementos Figura A1.11 – Menu Display A1.5 A1.5.1 Configurações Menu Options O menu Options agrupa os controles para configurar o tipo de análise efetuada (Linear, Não-linear geométrica e Não-linear geométrica e física), qual programa efetuará a análise (ADINA ou Femoop/Framoop), além de chamar as janelas de configuração das Unidades e Formatação de Números (Units & Number Formatting) e do estabelecimento dos pontos de cálculo dos diagramas dos elementos e configuração do dimensionamento e da análise não-linear (Options). Figura A1.12 – Menu Options viii A1.5.2 Janela de Configuração do Solver Esta janela permite que se selecione o programa que efetuará a análise. São disponíveis a análise interna (linear) Femoop e a análise externa (com a opção não-linear) efetuada pelo Adina. Figura A1.13 – Janela de Configuração dos programas de análise Os campos AUI e Adina devem ser preenchidos com os diretórios, aonde respectivamente estão instalados o ADINA-AUI (Adina User Interface) e o ADINA (solver). Deve-se ainda instalar o ADINA em diretórios com nomes com menos de 8 caracteres sem a utilização de caracteres acentuados. A mesma prescrição se faz para os diretórios de trabalho, pois dependendo do caso, o ADINA pode não reconhecer a posição dos arquivos de dados. A1.5.3 Janela de Configuração de Unidades e Formato de Numeração Com o objetivo de tornar a interface com o usuário mais amigável, permite-se que sejam definidas unidades para as diversas grandezas envolvidas, bem como um formato para exibição para os números. ix Figura A1.14 – Janela de configuração de unidades e formatos de numeração A1.5.4 Janela de Controle do Estabelecimento dos Pontos de Cálculo, do Dimensionamento e da Análise Não-Linear Na ficha R. C. Config encontram-se controles para que se estabeleça um fator γf3 (ver tópico 3.8.4) diferente de 1,0 para as análises não-lineares, limitar a posição da linha neutra (β x,lim) conforme 4.8.4 e determinar a tensão máxima de cálculo para o concreto (σcd) no cálculo dos diagramas momento-curvatura (ver item 5.3.3.3). x Figura A1.15 – Configuração da divisão dos elementos A ficha N. L. Analysis contém controles para a configuração da análise não-linear. Os elementos para a configuração do ADINA permitem que se opte entre uma função de carregamento constante (toda a carga já é aplicada no início) ou linear (o carregamento varia linearmente entre o primeiro e o último incremento de carga) e que se estabeleça o número de incrementos de carga. As configurações do FTOOL referem-se à geração dos diagramas força normal – momento – curvatura. ∆ν define o incremento de variação da força normal e ∆θ da curvatura para o traçado das curvas (em termos adimensionais). Além disso pode ser estabelecido um intervalo (também em termos adimensionais) em torno da força normal obtida de uma análise linear (ou não-linear geométrica) preliminar para o qual serão geradas os diagramas momento-curvatura. A ficha Memb. Subdiv. controla o estabelecimento dos pontos de cálculo dos diagramas e da deformada. Estabelece-se um número mínimo e máximo de divisões, bem como um comprimento mínimo e máximo para o espaçamento entre as seções. Ao dividir as xi barras, o FTOOL procurará respeitar estes critérios, buscando adequar a divisão a tamanhos diferentes de barras. A configuração do número de subdivisões dos elementos foi necessária ao inserirmos o cálculo das envoltórias e dimensionamento das seções de concreto armado, quando detectamos a necessidade de o passo de cálculo dos diagramas ser feito não com base em critérios de uma boa visualização, mas como critério de projeto. A1.6 A1.6.1 Atributos de Nós e Barras Menu de Controle dos Atributos dos Nós e Barras Os botões deste menu nos permitem visualizar os diversos submenus responsáveis pela criação e atribuição de propriedades às entidades do modelo. Aciona o submenu com as possibilidades de articulação das barras Aciona o submenu que permite a aplicação dos apoios de mola nos nós Aciona o submenu que permite a aplicação das condições de apoio dos nós Aciona o submenu que fixa as áreas de aço dos nós Aciona o submenu responsável pela criação das propriedades para o cálculo de concreto armado Aciona o submenu responsável pela criação das seções transversais das barras. Aciona o submenu responsável pela criação das propriedades dos materiais. Figura A1.16 – Menu de controle dos atributos de nós e barras xii A1.6.2 Características comuns aos submenus Os submenus para manipulação dos materiais, seções transversais, parâmetros de detalhamento e carregamentos possuem funcionamento básico igual. A lista drop-down (Figura A1.17) permite que seja selecionado um conjunto de propriedades através de seu nome. Os valores desta propriedade serão automaticamente visualizadas nos campos do submenu, permitindo sua edição. Figura A1.17 – Lista drop-down Os botões da próxima figura permitem a manipulação destes conjuntos de propriedade. Aplica o conjunto de propriedades corrente ao elemento. Seleciona elementos que possuírem o conjunto de propriedades corrente ou atual. Condensa o conjunto de propriedades, excluindo aquelas que não estiverem sendo usadas. Exclui o conjunto de propriedades corrente. Altera o nome do conjunto de propriedades corrente. Cria um novo conjunto de propriedades. Figura A1.18 – Manipulação dos conjuntos de propriedades Para criar um novo conjunto de propriedades, deveremos pressionar nome diferente das outras propriedades. e atribuir um xiii Figura A1.19 – Criação de um novo conjunto de propriedades A1.6.3 Submenu de Propriedades dos Materiais Ao criarmos um novo conjunto de propriedades de material deveremos atribuir os valores das características do concreto e do aço. A notação utilizada é a mesma desta dissertação. O tipo do aço deverá ser selecionado entre os aços padronizados pela ABNT através de uma lista expansível. Figura A1.20 – Submenu Material Parameters A1.6.4 Submenu de Propriedades das Seções Transversais Deve-se escolher a que tipo de elemento se aplicará esta seção transversal. Selecionando viga (Beam) o dimensionamento seguirá conforme o disposto em 4.8, caso contrário, assinalando pilar (Column) o dimensionamento será realizado segundo 4.9. xiv Conforme o elemento estrutural selecionado poderemos escolher entre duas formas básicas: retangular para vigas e pilares e T somente para vigas. Para os pilares disponibilizamos três arranjos simétricos de armadura: armadura uniformemente distribuída nas quatro faces, armadura distribuída nas laterais e armadura distribuída nas faces superior e inferior. Nos demais campos editáveis devemos digitar os valores das medidas da seção, conforme a próxima figura e nos campos A, I e y temos os valores para a área, momento de inércia em relação ao centro geométrico e distância do centróide à face inferior da seção . Figura A1.21 – Submenu Section Properties A1.6.5 Submenu de Propriedades do Dimensionamento O parâmetro d’ é a distância do centro geométrico armadura longitudinal às faces dos elementos. xv Figura A1.22 – Submenu Reinforced Concrete Parameters A1.6.6 Submenu de Aplicação de Área de Aço Neste submenu e nos demais desta seção, não há a criação de conjuntos de propriedades que então serão atribuídas aos elementos (ou nós). Os atributos são armazenados diretamente nas entidades. Este submenu é muito importante para problemas de verificação. Através dele podemos aplicar às barras áreas de aço independentemente dos valores calculados. Selecionando Lock, os parâmetros a serem atribuídos (se Apply As’s estiver selecionado) ou atuais serão conservados, independentemente de novos processamentos e novos dimensionamentos das armaduras. Figura A1.23 – Submenu Steel Area Member Parameters A1.6.7 Submenu das Propriedades de Apoio Através deste submenu, o usuário define as componentes de deslocamentos na direção x e y e a rotação em torno do eixo z estão liberados ou não. Define-se também o ângulo do apoio, bem como se há algum deslocamento ou rotação prescrita. xvi Fixa/Libera o deslocamento no eixo “X” global. Fixa/Libera o deslocamento no eixo “Y” global. Fixa/Libera o rotação em torno do eixo “Z”. Ângulo de rotação do apoio Prescreve deslocamentos Deslocamento aplicado (no eixo “X” global). Deslocamento aplicado (no eixo “Y global). Rotação aplicada. Limpa os parâmetros Seleciona nós que possuírem a mesma condição de apoio atual. Aplica os parâmetros definidos aos nós. Figura A1.24 – Submenu das propriedades de apoio OBSERVAÇÃO: Os fatores de ponderação das combinações de carregamento não são aplicados a deslocamentos de apoio ou molas. O fator γf3 é aplicado nas cargas, deslocamentos prescritos e fatores de mola. A1.6.8 Submenu das Propriedades dos Apoios Elásticos Permite que sejam aplicados apoios elásticos aos nós das estruturas. O princípio é similar ao disposto no item A1.6.7. xvii Figura A1.25 – Submenu das propriedades de apoio elástico OBSERVAÇÃO: Os fatores de ponderação das combinações de carregamento não são aplicados a deslocamentos de apoio ou molas. O fator γf3 é aplicado nas cargas, deslocamentos prescritos e fatores de mola. A1.6.9 Submenu das Propriedades de Articulação das Barras Este submenu permite que se atribuam rótulas a barras ou nós. Articula / Remove articulação de um nó. Articula as duas extremidades da barra. Articula a extremidade inicial da barra. Articula a extremidade final da barra. Remove articulações das barras. Seleciona barras com o tipo de articulação corrente. Aplica situação de articulação aos elementos. Figura A1.26 – Submenu das propriedades de articulação das barras xviii A1.7 Atribuição do Carregamento O sistema de atribuição dos carregamentos é aproximadamente igual ao disposto no item A1.6.2. Entretanto, além do já disposto, ao aplicar um carregamento, deve-se sempre selecionar um caso de carregamento, ao qual este será relacionado. A1.7.1 Seleção do Caso de Carregamento O caso de carregamento corrente (ao qual serão relacionado os carregamentos aplicados posteriormente) pode ser escolhido através da lista drop-down mostrada na próxima figura. Figura A1.27 – Seleção do caso de carregamento A1.7.2 Manipulação dos Casos de Carregamento Pressionando o botão da Figura A1.27 abre-se a janela de configuração dos casos de carregamento. Figura A1.28 – Manipulação dos casos de carregamento Através dos botões pode-se criar (Add) ou remover (Del) casos de carga. O botão OK confirma alterações processadas. A criação ou remoção de um caso de carregamento não pode ser cancelada (Cancel). Os dados de cada caso de carregamento podem ser xix vistos e alterados diretamente na tabela. Pode-se alterar o nome (Label) e a cor (Color) com a qual os carregamentos de cada caso serão mostrados ou não (Visible). A1.7.3 Menu de Controle dos Carregamentos Os botões deste menu nos permitem visualizar os diversos submenus responsáveis pela criação e atribuição de carregamentos às entidades do modelo. Os carregamentos disponíveis são os de força concentrada aplicada aos nós, carga uniformemente ou linearmente distribuída e carga de gradiente térmico sobre as barras. Carregamento de temperatura Carregamento linearmente distribuído Carregamento uniformemente distribuído Carregamento Nodal Figura A1.29 – Menu de controle do carregamento A1.7.4 Submenu do Carregamento Nodal Permite que sejam criadas e aplicadas cargas concentradas aos nós da estrutura. O sistema de coordenadas é o global. Figura A1.30 – Submenu Nodal Loading xx A1.7.5 Submenu do Carregamento Uniforme Permite que sejam criados e aplicados carregamentos uniformes aos elementos. Pode-se adotar como sistema de referência o sistema de coordenadas global ou local (da barra). Figura A1.31 – Submenu Uniform Loading A1.7.6 Submenu do Carregamento Linear Permite que sejam criados e aplicados carregamentos lineares aos elementos. Pode-se adotar como sistema de referência o sistema de coordenadas global ou local (da barra). Figura A1.32 – Submenu Linear Loading xxi A1.7.7 Submenu do Carregamento de Temperatura Permite que sejam criados e aplicados carregamentos ocasionados por gradientes térmicos aos elementos. Figura A1.33 – Submenu Thermal Loading A1.8 A1.8.1 Processamento Seleção da Combinação de Casos de Carga Corrente A seleção da combinação de carregamento ativa, que será calculada pressionando o botão que dispara o processamento pode ser feita através da lista drop-down mostrada na próxima figura. Figura A1.34 – Seleção da combinação de carregamentos A1.8.2 Configuração das Combinações de Carregamento A configuração das combinações de carregamento é análoga à dos casos de carregamento. Acresce-se apenas a manipulação dos atributos Envelope e Load Cases. xxii Figura A1.35 – Configuração das combinações de carregamento A opção Envelope indica se a combinação é incluída ou não no cálculo das envoltórias. “Clicando” com o botão direito do mouse sobre uma das células da coluna Load Cases, visualizamos a janela abaixo, aonde podemos atribuir fatores de ponderação aos diversos casos de carregamento. Todo caso de carregamento que possuir coeficiente de ponderação diferente de zero será incluído na respectiva combinação. Figura A1.36 – Configuração dos casos de carregamento pertencentes às combinações de carregamento A1.8.3 Menu de Processamento Nesta versão do FTOOL, cada combinação de carregamento deverá ser calculada individualmente (combinação corrente) o que permite que se configure tipos de análise diferentes (linear ou não) para cada combinação. O dimensionamento das seções de concreto armado é realizado para todas as combinações previamente calculadas. xxiii Resolve a estrutura para a combinação de carregamento ativa Dimensiona as seções de concreto armado para todas as combinações calculadas Figura A1.37 – Menu de Processamento ATENÇÃO: Antes de se analisar uma estrutura sob não linearidade física e geométrica, deve-se primeiramente definir ou calcular as áreas de aço dos elementos e armazenar na combinação aonde pretende-se gravar os resultados da análise não-linear primeiramente os valores obtidos por uma análise linear. Figura A1.38 – Processamento utilizando o ADINA xxiv A1.9 A1.9.1 Pós-Processamento Menu de Pós-Processamento Seleciona a visualização em modo envoltória. Mostra os diagramas de áreas de aço (longitudinal e transversal). Mostra as deformadas. Mostra os diagramas de momento fletor. Mostra os diagramas de força cortante. Mostra os diagramas de força normal. Figura A1.39 – Menu de pós-processamento A1.9.2 Listagem de Resultados (Inquiry) “Clicando” sobre um elemento com o botão direito do mouse no pós-processamento, visualiza-se o valor do diagrama neste ponto e lista-se na caixa de mensagens acima do canvas o respectivo valor. Utilizando o botão esquerdo sobre nós ou elementos, o menu lateral se transforma numa caixa de texto aonde são exibidos os valores mínimos, máximos e das extremidades do esforço área de aço ou deslocamento que está sendo exibido para cada combinação ou da envoltória. xxv Figura A1.40 – Inquiry A1.9.3 Visualização dos Resultados Todos os resultados podem ser visualizados, inclusive as áreas de aço. Existe a opção de se visualizar os diagramas ou apenas os valores mínimos e máximos destes (envoltórias). A1.9.3.1 Convenção de Sinais – Notação Transcrevendo texto do Prof. Luiz Fernando Martha (disponível em http://www.tecgraf.puc-rio/ftool): A convenção de sinais depende da definição de um sistema de coordenadas local para as barras. Neste sistema o eixo x local coincide com o eixo da barra. No FTOOL, o eixo y (para o traçado dos diagramas) fica definido da seguinte maneira: a) Barras horizontais e inclinadas eixo y no sentido do eixo Y global (eixo vertical da tela com sentido para cima); xxvi b) Barras verticais eixo y no sentido contrario ao eixo global X, isto é o eixo y tem a direção horizontal com sentido da direita para esquerda. A definição de um sistema de eixos locais para cada barra serve para definir fibras inferiores (do lado negativo do eixo y local) e fibras superiores (do lado positivo do eixo y local) para a barra. Assim, nas barras horizontais e inclinadas as fibras inferiores são as fibras de baixo quando se olha o eixo vertical da tela na sua orientação natural (cabeça do observador para cima). Nas barras verticais as fibras inferiores são as da direita. Uma vez definido o sistema de eixos locais, o FTOOL adota é a seguinte convenção para desenho do diagrama: a) Esforços normais (axiais) Valores positivos são desenhados do lado das fibras superiores (do lado positivo do eixo x local) e negativos do outro lado. Esforços normais positivos são de tração e negativos de compressão. Na linha de mensagem, além do sinal do valor do esforço normal, também é indicado se ele é de compressão ou tração; b) Esforços cortantes Esforços cortantes são positivos quando entrando com as forcas à esquerda de uma seção transversal (no seu sistema de eixos locais) a resultante das forças na direção vertical local for no sentido positivo do eixo y local. O sinal aparece na linha de mensagens quando um ponto na barra é selecionado; c) Momentos fletores O diagrama de momentos fletores é sempre desenhado do lado da fibra tracionada. O sinal que aparece na linha de mensagem adota a convenção de que momentos são positivos quando tracionam as fibras inferiores e negativos quando tracionam as fibras superiores. xxvii A1.9.3.2 Telas de Resultados Apresentamos a seguir algumas telas do FTOOL com representações gráficas que podem ser obtidas. Figura A1.41 – Desenho dos diagramas de momento fletor para uma viga contínua. Figura A1.42 – Visualização das envoltórias de momento fletor para uma viga contínua xxviii Figura A1.43 – Desenho das configurações deformadas obtidas para três casos de carregamento aplicados à uma viga contínua. Figura A1.44 – Visualização da envoltória obtida para a área de aço longitudinal superior e inferior para uma viga contínua (As,mín e As,máx não calculados). xxix 12. Anexo II A2 ANEXO II COMUNICAÇÃO ENTRE ADINA E FTOOL A2.1 Introdução Neste anexo descreveremos o procedimento utilizado para se estabelecer a comunicação entre o FTOOL e o programa ADINA - Automatic Dynamic Incremental Non-Linear Analysis. Ressaltamos que o procedimento descrito aqui é geral e salvo as devidas modificações inerentes a cada tipo de problema que possa a ser resolvido com o ADINA, pode ser utilizado para estabelecer a comunicação entre quaisquer pré e pósprocessadores e o ADINA. Lembramos que estes procedimentos referem-se à utilização do ADINA versão 7.3 em ambiente Windows NT, que podem não ser totalmente válidos utilizando-se versões diferentes do ADINA ou de sistema operacional. A comunicação entre o FTOOL e o ADINA é feita através de arquivos padrão ASCII. Quando uma análise através do ADINA é disparada pelo FTOOL, é criado um arquivo tipo texto com a extensão .in (ADINA-IN Command File) e um arquivo batch com as instruções para se executar o ADINA. O arquivo .in é processado pelo AUI, que gera xxx um arquivo .dat (ADINA Input File) com as informações do modelo, que será lido e processado pelo ADINA, que gravará um arquivo .por (ADINA Porthole File), em formato texto ou binário com os resultados da análise. Finalmente o arquivo .por, gravado como texto, com os deslocamentos e esforços nodais é lido pelo FTOOL e os resultados podem ser visualizados em sua própria interface. Ftool Pré-Processamento modelo.in Pós-Processamento AUI Adina User Interface modelo.dat Adina Processamento resultados.por Figura A2.1 – Fluxograma do esquema de comunicação FTOOL - ADINA A2.2 Arquivo Batch 1 d: 2 cd \Program Files\adina\adina73\aui 3 aui -b C:\Models\model-001.in 4 d: 5 cd \Program Files\adina\adina73\adina 6 adina C:\Models\model-001.dat Arquivo batch gerado pelo FTOOL (adina.bat) Tanto o AUI, como o ADINA devem ser executados de dentro do seu diretório de instalação (instruções 1-2 e 4-5 do arquivo batch), pois caso contrário não reconhecerão a licença de utilização. A instrução 3 dispara o AUI, que lerá o arquivo .in gerado pelo FTOOL e gerará um arquivo texto .dat (ADINA Input File) para processamento no ADINA através da linha de comando 6. A sintaxe para a execução do AUI e ADINA é: aui -b modo não gráfico path_do-arquivo\arquivo.in adina path_do_arquivo\arquivo.dat xxxi A2.3 Sintaxe do Arquivo .in (ADINA Input File) A interface do ADINA e consequentemente seus comandos e manuais são mais voltados para a geração automática da malha de elementos finitos, através da definição da geometria dos problemas através de linhas, superfícies e volumes. Entretanto, esta sistemática não pôde ser adotada, pois no FTOOL a geometria já está discretizada em nós e elementos, com uma numeração já definida, que deve ser respeitada para que os programas possam se comunicar adequadamente. Desta forma foram utilizados apenas comandos, ainda que mais limitados, que funcionassem dentro de uma geração direta da geometria. Abaixo apresentamos um "esqueleto" de Input File, dispondo os comandos na seqüência que consideramos ser mais lógica, mostrando e comentando apenas o que é fundamental para se modelar pórticos planos e analisá-los estaticamente, sob hipóteses de linearidade física e geométrica, não-linearidade geométrica e não-linearidade físico-geométrica. Para a resolução de outros tipos de problema recomendamos a consulta ao ADINA User Interface Command Reference Manual: Adina Model Definition [ADINA-2]. A2.3.1 Controles Principais da Análise MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000 ANALYSIS=STATIC Define que a análise é estática. MODEX=EXECUTE Define o modo de execução: o ADINA checa os dados e executa. IDOF=100011 Graus de liberdade do problema. Cada dígito indica se o grau de liberdade é livre (0) ou não (1). xxxii Dígito Grau de Liberdade 1 Translação segundo X 2 Translação segundo Y 3 Translação segundo Z 4 Rotação segundo X 5 Rotação segundo Y 6 Rotação segundo Z Observe-se que a geometria é definida no plano YZ. REACTIONS=YES Indica se as reações de apoio são calculadas (YES) ou não (NO). AUTOMATIC=... Seleciona um método de incremento automático durante a análise: SOLVER=... OFF Usuário define a seqüência dos timesteps ATS Automatic Time-Stepping LDC Automatic Load-Displacement Seleciona o algoritmo de solução utilizado para resolver o sistema de equações de equilíbrio: DIRECT Algoritmo direto (Eliminação de Gauss) SPARSE Sparse Matrix Solver SINGULAR=YES Força a resolução de uma matriz de rigidez singular. STIFFNES=1000 Multiplicador da rigidez. A2.3.2 Hipóteses Cinemáticas KINEMATICS DISPLACE=LARGE STRAINS=SMALL PRESSURE=NO INCOMPAT=NO DISPLACE=... STRAINS=SMALL Define se é considerada a não-linearidade geométrica: SMALL Análise linear geométrica LARGE Análise não-linear geométrica A formulação do elemento de viga do ADINA só possibilita a consideração de pequenas deformações. xxxiii A2.3.3 Método de Iteração ITERATION METHOD=FULL-NEWTON LINE-SEA=DEFAULT MAX-ITER=15, PRINTOUT=LAST No caso de uma análise não linear, define o método iterativo. TOLERANCES ITERATION CONVERGE=ENERGY ETOL=0.00100000000000000 RCTOL=0.0500000000000000 STOL=0.500000000000000 RCONSM=0.0100000000000000 Define os parâmetros de tolerância para o método iterativo na análise não linear. A2.3.4 Definição da Função de Carregamento TIMEFUNCTION NAME=1 IFLIB=1 FPAR1=0.00, FPAR2=0.00 FPAR3=0.00, FPAR4=0.00 FPAR5=0.00, FPAR6=0.00 @CLEAR 0.00000000000000 0.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 @ Utilizamos TIMEFUNCTION para estabelecer uma função para o carregamento aplicado. O código acima cria uma função com nome 1 (NAME=1) linear, estabelecendo que para o tempo 0 o carregamento aplicado é zero e que para o tempo 1, aplica-se a totalidade do carregamento (fator 1). Podemos ter mais de uma função de carregamento e desta forma quando aplicarmos cargas à estrutura deveremos associá-las a funções de carregamento diferentes. A2.3.5 Definição dos Incrementos de Carga TIMESTEP NAME=DEFAULT @CLEAR 5 0.20 @ Dada uma função de carregamento, deve-se definir os tempos aonde serão processadas análises, estabelecendo assim incrementos de carga. No código anterior criamos 5 TIMESTEP’s com um intervalo de 0,20. Desta forma o último TIMESTEP corresponderá ao tempo e carregamento 1. xxxiv A2.3.6 Definição das Coordenadas dos Nós COORDINATES NODE SYSTEM=0 @CLEAR 1 0 0 0 2 0 10 0 3 0 0 2 @ Demarca o início da definição das coordenadas dos COORDINATES NODE SYSTEM=0 nós, no sistema de coordenadas 0 (usamos um único sistema de coordenadas). @ Demarca o início da entrada dos dados dos nós CLEAR Limpa a lista de nós. 1 0 0 0 Define o nó 1 com coordenadas x=0, y=0 e z=0. @ Demarca o fim da entrada dos dados dos nós. Lembrando que os pórticos são definidos no plano YZ, o código exemplo acima define os nós necessários para a definição de um elemento. Os nós 1 e 2 definem o elemento e o nó auxiliar 3 a orientação e consequentemente a face superior da barra. Z 3 Face superior 1 2 Y Figura A2.2 – Elemento de barra A2.3.7 Condições de Apoio BOUNDARIES @CLEAR 1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED' 3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' @ BOUNDARIES Assinala o início da definição das restrições nodais. xxxv 2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED' Restrições do nó 2, deslocamentos segundo y e z e rotação em torno do eixo x liberados. A sintaxe do comando é: nodei uxi uyi uzi rxi ryi rzi, aonde ux, uy e uz representam os deslocamentos segundo os eixo x, y e z e rx, ry e rz as rotações em torno dos eixos x, y e z. Cada posição pode assumir o valor 'FREE' (livre) ou 'FIXED' (fixo). A2.3.8 Suportes Inclinados SKEWSYSTEMS EULERANGLES @CLEAR 1 30.0 0.0 0.0 @ DOF-SYSTEM NODES @CLEAR 3 1 @ SKEWSYSTEMS EULERANGLES Define um sistema de coordenadas cartesianas "rotacionado" em função dos ângulos de Euler. 1 30.0 0.0 0.0 Define o sistema de coordenadas 1 (rótulo de identificação) rotacionando o sistema local alinhado com o sistema de coordenadas 30º em torno do eixo x, perpendicular ao plano y-z que contém o pórtico plano. Em problemas planos sempre os dois últimos ângulos serão iguais a zero. DOF-SYSTEM NODES Aplica os sistemas de coordenadas rotacionados a nós. 3 1 Aplica o skewsystem 1 ao nó 3. Observação: Ao aplicarmos um sistema de coordenadas rotacionado a um nó, as cargas aplicadas a este nó e resultados nodais terão como referência este novo sistema. A2.3.9 Propriedades do Material MATERIAL ELASTIC 1 E=20000 NU=.3 DENSITY=2500 xxxvi MATERIAL ELASTIC Define um material isótropo elástico linear. 1 Rótulo ("número indicando o nome") do material E=20000 Módulo de Elasticidade NU=.3 Coeficiente de Poisson DENSITY=2500 Densidade (massa/volume) A2.3.10 Seção Transversal CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=200 AREA=50 Define uma seção transversal genérica em termos CROSS-SECTION PROPERTIES dos momentos principais de inércia e áreas. 1 Rótulo ("número indicando o nome") da seção transversal. TINERTIA = 200 Momento de inércia em relação ao eixo local t do elemento. AREA= 50 Área da seção transversal. Z Aux s N2 N1 r t O eixo r representa o eixo da viga, mas não necessariamente o eixo principal da seção. Y O nó Aux determina o plano r-s. X Figura A2.3 – Sistema de coordenadas local do elemento de viga A2.3.11 Liberações de Extremidade: End-Release ENDRELEASE ENDRELEASE ENDRELEASE ENDRELEASE NAME=1 NAME=2 MOMENT1=6 NAME=3 MOMENT1=12 NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12 xxxvii ENDRELEASE Define um conjunto de liberações de graus de liberdade de um elemento, prescrevendo que as forças ou momentos selecionados são zero. NAME=1 Define um rótulo para o ENDRELEASE. MOMENT1=6 Lista com até seis identificadores MOMENTi=j, (i=1,...,6) indicando quais graus de liberdade (j) são liberados. 1 2 3 4 i j i j i j i j Rotação Restrita Rotação Liberada Figura A2.4 – End-Release's criados A figura representa a situação de vinculação para as condições de vinculação criadas no quadro anterior. A2.3.12 Curva Momento-Curvatura CURVATURE-MOMENT NAME=18 @CLEAR -0.002948 -16.947 -0.00268 -16.947 -0.002 -13.957 0.000 0.000 0.002 13.957 0.00268 16.947 0.002948 16.947 @ CURVATURE-MOMENT Cria uma curva momento-curvatura. NAME=18 Número (ou nome) da relação momento-curvatura. -0.002948 -16.947 Especifica um ponto da curva: (curvatura, momento). A2.3.13 Relação Força Normal – Momento – Curvatura MOMENT-CURVATURE-FORCE NAME=1 @CLEAR -485.71 9 -607.14 10 xxxviii -728.57 11 @ MOMENT-CURVATURE-FORCE Cria um conjunto de relações força normal – momento – curvatura , associando as curvas definidas por CURVATUREMOMENT a suas respectivas forças normais. Número (ou nome) da relação força normal-momento- NAME=1 curvatura. -485.71 9 Adiciona uma relação M/1r (definida por CURVATUREMOMENT ), associando-a a uma força normal. A2.3.14 Rigidez RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE NONLINEAR-ELASTIC NAME=1, RIGIDITY=2.2315e+006 MOMENT-T=1 RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE NONLINEAR-ELASTIC Cria uma rigidez, constituída por curvas momentocurvatura e uma rigidez axial constante. NAME=1 Número (ou nome) da rigidez. RIGIDITY=2.2315e+006 Especifica o valor da rigidez axial. MOMENT-T=1 Associa um conjunto força normal-momento-curvatura à rigidez do elemento à flexão ao redor do eixo local t. A2.3.15 § Definição do tipo de elemento Linear EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACEMENTS=SMALL RESULTS=FORCES, MOMENT-CURVATURE=NO § Não Linear (Geométrico) EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACEMENTS=LARGE RESULTS=FORCES MOMENT-CURVATURE=NO § Não Linear (Físico e Geométrico) EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACEMENTS=LARGE RESULTS=FORCES xxxix MOMENT-CURVATURE=YES RIGIDITY=1 Cria um novo grupo de elementos baseado no elemento EGROUP BEAM Hermitiano de viga. 1 Rótulo do EGROUP. SUBTYPE=TWO-D Indica o tipo do elemento de viga. TWO-D define que o problema será bidimensional. DISPLACEMENTS=... Indica se a formulação cinemática deve levar em conta grandes deslocamentos (DISPLACEMENTS=LARGE ) ou não (DISPLACEMENTS=SMALL). Define que os resultados (esforços nodais) devem ser RESULTS=FORCES dados em termos de forças. MOMENT-CURVATURE=... Especifica se as propriedades de momento-curvatura são utilizadas (YES/NO). RIGIDITY=1 Especifica a rigidez aplicada ao elemento (definida por RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE). A2.3.16 Criação dos Elementos ENODES GROUP=1 @CLEAR 1 3 2 4 @ ENODES GROUP=1 Define a conectividade nodal para o grupo de elementos especificado (GROUP=1) definido pelo comando EGROUP. Cria o elemento 1, com nó auxiliar 3 do nó 2 ao nó 4, ou seja, a 1 3 2 4 sintaxe para criação de elementos é eli auxi n1i n2i, aonde eli é o número do nó, aux i o número do nó auxiliar, n1i o nó inicial e n2i o nó final. A2.3.17 Atribuição de Propriedades aos Elementos EDATA GROUP=1 @CLEAR 1 2 3 4 @ xl EDATA GROUP=1 Atribui as propriedades material (MATERIAL), seção transversal (CROSS-SECTION) e liberação de extremidade (ENDRELEASE) para elementos pertencentes ao grupo de elementos 1 (GROUP=1 ). 1 2 3 4 Atribui ao elemento 1, pertencente ao grupo 1 o material 2, a seção transversal tipo 3 e a liberação de extremidade tipo 4. A sintaxe é eli material i cross-sectioni endrelease i (elemento - material - seção transversal – situação de vinculação das extremidades). A2.3.18 Cargas Concentradas APPLY CONCENTRATED-LOADS @CLEAR 2 3 -10 1 2 -5 2 2 -5 @ APPLY CONCENTRATED-LOADS Demarca o início da definição da aplicação de cargas (forças ou momentos) concentradas aos nós da estrutura. 2 3 -10 Aplica ao nó 2 uma carga concentrada com valor -10 segundo a direção 3 (eixo z). A sintaxe para a aplicação de cargas é nodei directioni factor i (nó - direção da carga - valor da carga). A definição da direção das forças segue a sintaxe da tabela abaixo. Flag 1 Força aplicada na direção do eixo local x (rotacionado ou não). 2 Força aplicada na direção do eixo local y (rotacionado ou não). 3 Força aplicada na direção do eixo local z (rotacionado ou não). 4 Momento aplicado em torno do eixo local x (rotacionado ou não). 5 Momento aplicado em torno do eixo local y (rotacionado ou não). 6 Momento aplicado em torno do eixo local z (rotacionado ou não). xli A2.3.19 Cargas Distribuídas LOADS-ELEMENT @CLEAR 5 1 -2 -3 @ LOADS-ELEMENT Demarca o início da definição de cargas distribuídas transversais sobre elementos. 5 1 -2 -3 Aplica ao elemento 5, segundo a direção 1 (carga atuante no plano r-s), uma carga distribuída com intensidade -2 no nó i e -3 no nó j. + i j Figura A2.5 – Sentido de aplicação das cargas distribuídas no elemento. Observação: O ADINA transforma o carregamento distribuído em ações equivalentes nos nós, entretanto, isto se dá sempre tendo como base o elemento biengastado. No caso de rótulas internas isto poderá introduzir diferenças nos resultados obtidos pela teoria das estruturas. A2.3.20 Deslocamentos Prescritos APPLY DISPLACEMENTS @ CLEAR 1 2 10 @ APPLY DISPLACEMENTS Demarca o início da definição da aplicação de cargas (forças ou momentos) concentradas aos nós da estrutura. 1 2 10 Aplica ao nó 1 um deslocamento de 10 segundo a direção 2 (eixo local y). A sintaxe para a aplicação de cargas é nodei directioni factori (nó - direção do deslocamento - valor do deslocamento). A definição da direção das forças segue a sintaxe da tabela abaixo. xlii Flag 1 Translação na direção do eixo local x (rotacionado ou não). 2 Translação na direção do eixo local y (rotacionado ou não). 3 Translação na direção do eixo local z (rotacionado ou não). 4 Rotação em torno do eixo local x (rotacionado ou não). 5 Rotação em torno do eixo local y (rotacionado ou não). 6 Rotação em torno do eixo local z (rotacionado ou não). A2.3.21 Apoio Elástico PROPERTYSET NAME=1 K=1000.00 M=0.0 C=0.0 S=0.0 NONLINEA=NO EGROUP SPRING NAME=1 PROPERTY=1 RESULT=FORCES, NONLINEA=NO SKEWSYST=NO BOLT=NO ENODES SUBSTRUC=0 GROUP=1 @CLEAR 1 3 4 0 0 @ PROPERTYSET NAME=1 Cria o conjunto de propriedades número 1. K=1000.00 Atribui o valor da rigidez da mola. EGROUP SPRING NAME=1 PROPERTY=1 Cria um grupo de elemento de mola (número 1) e aplica o PROPERTYSET 1 a este conjunto (PROPERTY=1 ). ENODES SUBSTRUC=0 GROUP=1 Inicia a geração de elementos de mola (para EGROUP=1). 1 3 4 0 0 Cria o elemento de mola 1, no nó 3 com a mola na direção 4 (mesma convenção de direções usada para a prescrição de deslocamento). A2.3.22 Formatação do Arquivo de Resultados PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, TEMPERATURES=NO xliii Controla a formatação do arquivo de resultados escrito pelo PORTHOLE ADINA. FORMATTED=YES Grava os resultados num arquivo em formato texto. INPUT-DATA=0 Define o nível de "gravação" dos dados da malha. Definindo INPUT-DATA=0 salva-se apenas as informações principais. Não escreve as velocidades (iniciais ou calculadas) no arquivo de VELOCITIES=NO resultados. ACCELERATIONS=NO Não escreve as acelerações (iniciais ou calculadas) no arquivo de resultados. TEMPERATURES=NO Não escreve as temperaturas (iniciais ou calculadas) no arquivo de resultados. A2.3.23 Ativação do Solver ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Ex\x-001.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES Inicia a validação do modelo e se o modelo for válido, cria ADINA o arquivo de entrada para o ADINA indicado por FILE. OPTIMIZE=SOLVER Renumeração nodal é feita levando-se em conta o SOLVER utilizado. FILE='C:\Ex\x-001.dat' Define o nome do arquivo de entrada de dados para o ADINA a ser gerado. FIXBOUNDARY=YES Apaga graus de liberdade que não estejam sendo usados. OVERWRITE=YES Escreve o novo arquivo de dados mesmo que já exista um outro arquivo com o mesmo nome. Sobrescreve-se o arquivo antigo. A2.3.24 Saindo do AUI – QUIT QUIT IMMEDIATE=YES QUIT Requisita o término do programa. IMMEDIATE=YES Dispensa confirmação para encerrar o AUI. xliv A2.3.25 Observações Um asterisco (*) faz com que o AUI pule a linha de comando, permitindo a inserção de comentários. Para continuar comandos em outra linha deve-se inserir um vírgula ( , ). A2.4 Exemplo de arquivo .in A2.4.1 Análise Linear *** 'Two-Dimensional Analysis of a Frame' MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000 * COORDINATES NODE SYSTEM=0 @CLEAR 1 0 0 0 2 0 0 5 3 0 -1 0 @ * BOUNDARIES @CLEAR 1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED' 3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' @ * MATERIAL ELASTIC 1 E=2.0035e+007 CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=0.00208333 AREA=0.1 ENDRELEASE NAME=1 ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6 ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12 ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12 * EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACE=SMALL RESULTS=FORCES, MOMENT-CURVATURE=NO * ENODES GROUP=1 @CLEAR 1 3 1 2 @ * EDATA GROUP=1 @CLEAR 1 1 1 1 xlv @ * APPLY CONCENTRATED-LOADS @CLEAR 2 3 -605 2 4 -130 @ * PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, TEMPERATURES=NO ACCELERATIONS=NO * ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Comum\anexoII\pilar01-001.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES * QUIT IMMEDIATE=YES A2.4.2 Análise Não-linear Geométrica *** 'Two-Dimensional Analysis of a Frame' MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000 * KINEMATICS DISPLACE=LARGE STRAINS=SMALL PRESSURE=NO INCOMPAT=NO * ITERATION METHOD=FULL-NEWTON LINE-SEA=DEFAULT MAX-ITER=15, PRINTOUT=LAST * TOLERANCES ITERATION CONVERGE=ENERGY ETOL=0.00100000000000000, RCTOL=0.0500000000000000 STOL=0.500000000000000, RCONSM=0.0100000000000000 * TIMEFUNCTION NAME=1 IFLIB=1 FPAR1=0.00000000000000, FPAR2=0.00000000000000 FPAR3=0.00000000000000, FPAR4=0.00000000000000 FPAR5=0.00000000000000, FPAR6=0.00000000000000 @CLEAR 0.00000000000000 0.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 @ * TIMESTEP NAME=DEFAULT @CLEAR 5 0.20 @ * COORDINATES NODE SYSTEM=0 @CLEAR 1 0 0 0 2 0 0 5 3 0 -1 0 @ * BOUNDARIES @CLEAR 1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' xlvi 2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED' 3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' @ * MATERIAL ELASTIC 1 E=2.0035e+007 * CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=0.00208333 AREA=0.1 * ENDRELEASE NAME=1 ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6 ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12 ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12 * EGROUP BEAM 1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACE=LARGE RESULTS=FORCES, MOMENT-CURVATURE=NO * ENODES GROUP=1 @CLEAR 1 3 1 2 @ * EDATA GROUP=1 @CLEAR 1 1 1 1 @ * APPLY CONCENTRATED-LOADS @CLEAR 2 3 -605 2 4 -130 @ * PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, TEMPERATURES=NO ACCELERATIONS=NO * ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Comum\anexoII\pilar01-002.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES * QUIT IMMEDIATE=YES A2.4.3 Análise Não-linear Física e Geométrica *** 'Two-Dimensional Analysis of a Frame' MASTER ANALYSIS=STATIC MODEX=EXECUTE, IDOF=100011 REACTIONS=YES AUTOMATIC=OFF, SOLVER=SPARSE SINGULAR=YES STIFFNES=1000 * TIMEFUNCTION NAME=1 IFLIB=1 FPAR1=0.00000000000000, FPAR2=0.00000000000000 FPAR3=0.00000000000000, FPAR4=0.00000000000000 FPAR5=0.00000000000000, FPAR6=0.00000000000000 @CLEAR 0.00000000000000 0.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 @ * xlvii TIMESTEP NAME=DEFAULT @CLEAR 5 0.20 @ * COORDINATES NODE SYSTEM=0 @CLEAR 1 0 0 0 2 0 0 5 3 0 -1 0 @ * BOUNDARIES @CLEAR 1 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 2 'FIXED' 'FREE' 'FREE' 'FREE' 'FIXED' 'FIXED' 3 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' 'FIXED' @ * MATERIAL ELASTIC 1 E=2.0035e+007 * CROSS-SECTION PROPERTIES 1 TINERTIA=0.00208333 AREA=0.1 * ENDRELEASE NAME=1 ENDRELEASE NAME=2 MOMENT1=6 ENDRELEASE NAME=3 MOMENT1=12 ENDRELEASE NAME=4 MOMENT1=6 MOMENT2=12 * CURVATURE-MOMENT NAME=9 @CLEAR -0.015532 -166.17 -0.01412 -166.17 -0.014 -165.89 -0.012 -161.12 -0.01 -154.91 -0.008 -143.87 -0.006 -122.48 -0.004 -94.565 -0.002 -59 0 0 0.002 59 0.004 94.565 0.006 122.48 0.008 143.87 0.01 154.91 0.012 161.12 0.014 165.89 0.01412 166.17 0.015532 166.17 @ * CURVATURE-MOMENT NAME=10 @CLEAR -0.013112 -163.09 -0.01192 -163.09 -0.01 -156.12 -0.008 -142.87 -0.006 -125.28 -0.004 -98.403 -0.002 -58.571 xlviii 0 0 0.002 58.571 0.004 98.403 0.006 125.28 0.008 142.87 0.01 156.12 0.01192 163.09 0.013112 163.09 @ * CURVATURE-MOMENT NAME=11 @CLEAR -0.01166 -153.09 -0.0106 -153.09 -0.01 -150.16 -0.008 -138.86 -0.006 -124.03 -0.004 -99.925 -0.002 -55.956 0 0 0.002 55.956 0.004 99.925 0.006 124.03 0.008 138.86 0.01 150.16 0.0106 153.09 0.01166 153.09 @ * MOMENT-CURVATURE-FORCE NAME=1 @CLEAR -485.71 9 -607.14 10 -728.57 11 @ * RIGIDITY-MOMENT-CURVATURE NONLINEAR-ELASTIC NAME=1, RIGIDITY=2.2315e+006 MOMENT-T=1 * EGROUP BEAM NAME=1 SUBTYPE=TWO-D DISPLACE=LARGE RESULTS=FORCES, MOMENT-C=YES RIGIDITY=1 * ENODES GROUP=1 @CLEAR 1 3 1 2 @ * EDATA GROUP=1 @CLEAR 1 1 1 1 @ * APPLY CONCENTRATED-LOADS @CLEAR 2 3 -605 2 4 -100 @ * PORTHOLE FORMATTED=YES INPUT-DATA=0, VELOCITIES=NO ACCELERATIONS=NO, xlix TEMPERATURES=NO ACCELERATIONS=NO * ADINA OPTIMIZE=SOLVER FILE='C:\Comum\anexoII\pilar01-003.dat', FIXBOUNDARY=YES OVERWRITE=YES * QUIT IMMEDIATE=YES A2.5 Formato do arquivo de resultados (porthole) Descrevemos neste item o procedimento para se ler o arquivo de resultados do ADINA gravado como texto (ASCII). O arquivo de resultados é criado com o mesmo nome do arquivo de dados processado pelo ADINA (com extensão .dat), mudando-se apenas a extensão para .por. O arquivo de resultados contém diversos dados sobre o problema, como a geometria e informações sobre o processamento. Estas informações variam conforme a configuração do arquivo de resultados (volume). No nosso caso, nos interessa o trecho do arquivo aonde estão gravados os resultados. Abaixo apresentamos a transcrição do trecho correspondente aos resultados de um time step. NEW STEP 0 11 0 1 0 0 0 0.10000000E+00 0 DISP-XYZ 15 0.11274504E-03-0.28421102E-04-0.22549009E-03 0.45098019E-03 -0.56842204E-04-0.45098019E-03 0.10147054E-02-0.85263306E-04 -0.67647028E-03 0.18039207E-02-0.11368440E-03-0.90196038E-03 0.28186262E-02-0.14210551E-03-0.11274504E-02 ELEMBIRT 0 1 NEWSTEP4 0 1 1 1 4 5 0 0 0 3 2 5 3 1 -1 12 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.1000000000000E+00 OUTPUT-4 1 12 0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02 OUTPUT-4 2 12 0 0 1 1 0 0 l 0.60500000E+02-0.14210854E-13 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.14210854E-13 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02 OUTPUT-4 3 12 0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02 OUTPUT-4 4 12 0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02 OUTPUT-4 5 12 0.60500000E+02-0.22737367E-12 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00-0.10000000E+02-0.60500000E+02 0.22737367E-12 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.00000000E+00 0.10000000E+02 REACFORC 1 3 REACFOR1 1 REACFOR2 0.0000000000000E+00 0.6050000000000E+02 0.1000000000000E+02 O bloco de dados de um passo de carregamento é marcado com a instrução NEW STEP. Duas linhas abaixo é registrado o valor do passo de carregamento (0.10000000E+00 por exemplo). A instrução DISP-XYZ marca o início da transcrição dos deslocamentos. A seguir consta o número de graus de liberdade da estrutura e consequentemente de deslocamentos (no exemplo 15 deslocamentos). Os valores seguintes são os valores destes deslocamentos, que são gravados seguindo a numeração crescente dos nós e na seqüência das direções dos esforços de extremidade dos elementos, indicadas na Figura A2.6. Deve-se lembrar que caso o sistema de coordenadas do nó tiver sido girado, os deslocamentos referir-seão a este sistema e deverão pois ser transformados para o sistema global. li S11 S8 S5 s r S2 Z S7 S10 2 S9 S12 t S4 S1 1 S3 S6 Y X Figura A2.6 – Convenção para os esforços de extremidade do elemento de barra Hermitiano do ADINA Os esforços internos de cada barra são gravados após a instrução OUTPUT-4. Na linha seguinte consta o número da barra e o número de graus de liberdade. Nas linhas seguintes são gravados os esforços (no nosso caso 12) segundo a notação da Figura A2.6. As reações são gravadas ao final. lii 13. Anexo III A3 ANEXO III VALORES NUMÉRICOS COMPLEMENTARES AOS EXEMPLOS DE VALIDAÇÃO A3.1 Introdução Neste anexo apresentamos os valores numéricos de diagramas força normal – momento – curvatura e dos gráficos do Capítulo 7 A3.2 Pilar [GARCIA-1] A3.2.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura As unidades utilizadas nos diagramas são o quilo-Newton (kN) e o metro (m). O sinal negativo representa força de tração e o positivo compressão. liii σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = -959,99 1/r M N = -640 1/r N = -320 M 1/r N = 0,0 M 1/r N = 320 M 1/r N = 640 M 1/r M -0,0394 -257,89 -0,0389 -304,67 -0,0373 -208,4 -0,0358 -257,89 -0,0354 -304,67 -0,0333 -103,21 -0,0353 -156,78 -0,0339 -208,4 -0,035 -257,82 -0,035 -304,54 -0,0308 -49,332 -0,0303 -103,21 -0,0321 -156,78 -0,0325 -208,36 -0,0325 -257,54 -0,0325 -304,28 -0,028 -49,332 -0,03 -103,14 -0,03 -156,7 -0,03 -208,24 -0,03 -257,23 -0,03 -303,63 -0,0275 -49,352 -0,0275 -102,94 -0,0275 -156,51 -0,0275 -208,04 -0,0275 -256,8 -0,0275 -302,64 -0,025 -49,212 -0,025 -102,86 -0,025 -156,31 -0,025 -207,78 -0,025 -256,27 -0,025 -301,57 -0,0225 -49,212 -0,0225 -102,56 -0,0225 -156,12 -0,0225 -207,39 -0,0225 -255,64 -0,0225 -300,27 -0,02 -49,212 -0,02 -102,3 -0,02 -155,96 -0,02 -206,99 -0,02 -254,82 -0,02 -298,74 -0,0175 -49,212 -0,0175 -102,17 -0,0175 -155,66 -0,0175 -206,46 -0,0175 -253,78 -0,0175 -296,81 -0,015 -49,212 -0,015 -101,91 -0,015 -155,38 -0,015 -205,76 -0,015 -252,22 -0,015 -294,22 -0,0125 -49,212 -0,0125 -101,78 -0,0125 -154,96 -0,0125 -204,66 -0,0125 -250,09 -0,0125 -290,66 -0,01 -49,212 -0,01 -101,44 -0,01 -154,53 -0,01 -203,23 -0,01 -246,87 -0,01 -276,53 -0,0075 -49,212 -0,0075 -101,23 -0,0075 -153,74 -0,0075 -180,82 -0,0075 -203,06 -0,0075 -222,88 -0,005 -49,212 -0,005 -81,178 -0,005 -97,448 -0,005 -121,92 -0,005 -145,58 -0,005 -166,25 -0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -61,586 -0,0025 -85,783 -0,0025 -104,56 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0025 40,589 0,0025 40,589 0,0025 40,589 0,0025 61,586 0,0025 85,783 0,0025 104,56 0,005 49,212 0,005 81,178 0,005 97,448 0,005 121,92 0,005 145,58 0,005 166,25 0,0075 49,212 0,0075 101,23 0,0075 153,74 0,0075 180,82 0,0075 203,06 0,0075 222,88 0,00 0,01 49,212 0,01 101,44 0,01 154,53 0,01 203,23 0,01 246,87 0,01 276,53 0,0125 49,212 0,0125 101,78 0,0125 154,96 0,0125 204,66 0,0125 250,09 0,0125 290,66 0,015 49,212 0,015 101,91 0,015 155,38 0,015 205,76 0,015 252,22 0,015 294,22 0,0175 49,212 0,0175 102,17 0,0175 155,66 0,0175 206,46 0,0175 253,78 0,0175 296,81 0,02 49,212 0,02 102,3 0,02 155,96 0,02 206,99 0,02 254,82 0,02 298,74 0,0225 49,212 0,0225 102,56 0,0225 156,12 0,0225 207,39 0,0225 255,64 0,0225 300,27 0,025 49,212 0,025 102,86 0,025 156,31 0,025 207,78 0,025 256,27 0,025 301,57 0,0275 49,352 0,0275 102,94 0,0275 156,51 0,0275 208,04 0,0275 256,8 0,0275 302,64 0,02803 49,332 0,03 103,14 0,03 156,7 0,03 208,24 0,03 257,23 0,03 303,63 0,03083 49,332 0,03029 103,21 0,03213 156,78 0,0325 208,36 0,0325 257,54 0,0325 304,28 0,03332 103,21 0,03534 156,78 0,03391 208,4 0,035 257,82 0,035 304,54 208,4 0,03578 257,89 0,0354 304,67 257,89 0,03894 304,67 0,0373 0,03935 liv σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 959,99 1/r N = 1280 M 1/r N = 1600 M 1/r N = 1920 M 1/r N = 2240 M 1/r N = 2560 M 1/r M -0,026 -335,78 -0,0236 -335,78 -0,0225 -335,51 -0,0195 -353,73 -0,02 -335,06 -0,0177 -353,73 -0,0175 -334,38 -0,0175 -353,59 -0,0162 -348,61 -0,0147 -321,84 -0,015 -331,19 -0,015 -352,55 -0,0147 -348,61 -0,0133 -321,84 -0,0133 -293,61 -0,0121 -262,83 -0,0125 -325,68 -0,0125 -343,72 -0,0125 -333,42 -0,0125 -317,35 -0,0121 -293,61 -0,011 -262,83 -302,7 -0,01 -309,97 -0,01 -300,77 -0,01 -283,44 -0,01 -259,52 -0,0075 -239,67 -0,0075 -252,71 -0,0075 -261,58 -0,005 -183,22 -0,005 -195,87 -0,005 -203,86 -0,01 -291,47 -0,01 -0,0025 -122,54 -0,0075 -265,7 -0,0075 -264,81 -0,0075 -245,62 -0,005 -206,87 -0,005 -204,51 -0,005 -196,48 -0,0025 -115,74 -0,0025 -109,66 -0,0025 -116,9 -0,0025 -121,4 -0,0025 -103,1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0025 116,9 0,0025 122,54 0,0025 121,4 0,0025 115,74 0,0025 109,66 0,0025 103,1 0,005 183,22 0,005 195,87 0,005 203,86 0,005 206,87 0,005 204,51 0,005 196,48 0,0075 239,67 0,0075 252,71 0,0075 261,58 0,0075 265,7 0,0075 264,81 0,0075 245,62 0,01 291,47 0,01 302,7 0,01 309,97 0,01 300,77 0,01 283,44 0,01 259,52 0,0125 325,68 0,0125 343,72 0,0125 333,42 0,0125 317,35 0,01208 293,61 0,01096 262,83 0,01329 293,61 0,01205 262,83 0,015 331,19 0,015 352,55 0,01473 348,61 0,01334 321,84 0,0175 334,38 0,0175 353,59 0,0162 348,61 0,01467 321,84 0,02 335,06 0,0177 353,73 0,0225 335,51 0,01947 353,73 0,0236 335,78 0,02596 335,78 σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 2880 1/r N = 3200 M 1/r N = 3520 M 1/r N = 3840 M 1/r N = 4160 M -0,011 -228,9 -0,01 -188,87 -0,0086 -143,13 -0,01 -228,9 -0,0091 -188,87 -0,0078 -143,13 -0,0065 -95,461 -0,0075 -0,0075 -142,56 -218,4 -0,0075 -183,59 -0,005 -182,51 -0,005 -165,17 -0,0025 -96,002 -0,0025 -88,215 1/r M -0,0059 -95,461 -0,0039 -47,416 -132,2 -0,005 -94,084 -0,0035 -47,416 -0,0025 -79,362 -0,0025 -68,855 -0,0025 -46,084 -0,005 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0025 96,002 0,0025 88,215 0,0025 79,362 0,0025 68,855 0,0025 46,084 0,005 182,51 0,005 165,17 0,005 132,2 0,005 94,084 0,0035 47,416 0,0075 218,4 0,0075 183,59 0,0075 142,56 0,00588 95,461 0,00385 47,416 0,00998 228,9 0,00908 188,87 0,00778 143,13 0,00646 95,461 0,01097 228,9 0,00999 188,87 0,00855 143,13 lv A3.2.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento [GARCIA-1] 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.50 27.50 1.50 27.50 1.50 27.50 1.50 27.50 3.00 46.05 3.00 45.52 3.00 45.48 3.00 45.45 4.50 58.20 4.50 57.48 4.50 57.40 4.50 57.35 6.00 68.00 6.00 67.00 6.00 66.52 6.00 66.52 7.30 73.60 7.00 71.40 6.70 70.10 6.36 68.90 8.24 76.10 (Valores aproximados, extraídos graficamente do gráfico publicado.) FTOOL 1 Elemento 2 Elementos 4 Elementos 10 Elementos a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 1.40 27.50 1.43 27.50 1.44 27.50 1.44 27.50 2.80 46.00 2.91 46.00 2.96 46.00 2.97 46.00 4.02 57.50 4.24 57.50 4.33 57.50 4.36 57.50 5.22 67.00 5.63 67.00 5.78 67.00 5.82 67.00 6.22 73.50 6.88 72.90 6.84 70.30 6.44 69.10 8.47 82.20 A3.3 Pilar [SANTOS-1] A3.3.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura As unidades utilizadas nos diagramas são o quilo-Newton (kN) e o metro (m). O sinal negativo representa força de tração e o positivo compressão. lvi A3.3.1.1 ANLFG(1) σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = -485,71 1/r M N = -364,29 1/r M N = -242,86 1/r M N = -121,43 1/r M N = 0,0 1/r N = 121,43 M 1/r M -0,032 -130,290 -0,030 -106,920 -0,029 -130,290 -0,027 -57,295 -0,029 -82,541 -0,027 -106,920 -0,028 -130,230 -0,025 -31,627 -0,025 -57,295 -0,026 -82,541 -0,026 -106,850 -0,026 -130,090 -0,023 -31,627 -0,024 -57,229 -0,024 -82,468 -0,024 -106,800 -0,024 -129,920 -0,021 -7,110 -0,022 -31,599 -0,022 -57,165 -0,022 -82,403 -0,022 -106,680 -0,022 -129,710 -0,019 -7,110 -0,020 -31,499 -0,020 -57,077 -0,020 -82,337 -0,020 -106,570 -0,020 -129,430 -0,018 -7,132 -0,018 -31,449 -0,018 -56,966 -0,018 -82,232 -0,018 -106,400 -0,018 -129,090 -0,016 -7,132 -0,016 -31,510 -0,016 -56,922 -0,016 -82,099 -0,016 -106,150 -0,016 -128,670 -0,014 -7,132 -0,014 -31,510 -0,014 -56,767 -0,014 -82,009 -0,014 -105,860 -0,014 -128,120 -0,012 -7,132 -0,012 -31,510 -0,012 -56,683 -0,012 -81,832 -0,012 -104,900 -0,012 -124,370 -0,010 -7,132 -0,010 -31,510 -0,010 -56,402 -0,010 -78,367 -0,010 -99,097 -0,010 -118,080 -0,008 -7,132 -0,008 -31,142 -0,008 -50,477 -0,008 -71,930 -0,008 -92,029 -0,008 -110,110 -0,006 -7,132 -0,006 -26,027 -0,006 -43,452 -0,006 -63,755 -0,006 -82,422 -0,006 -98,086 -0,004 -6,781 -0,004 -20,000 -0,004 -34,798 -0,004 -48,687 -0,004 -60,077 -0,004 -71,044 -0,002 -3,380 -0,002 -12,417 -0,002 -20,160 -0,002 -20,203 -0,002 -30,351 -0,002 -41,623 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 3,380 0,002 12,417 0,002 20,160 0,002 20,203 0,002 30,351 0,002 41,623 0,004 6,781 0,004 20,000 0,004 34,798 0,004 48,687 0,004 60,077 0,004 71,044 0,006 7,132 0,006 26,027 0,006 43,452 0,006 63,755 0,006 82,422 0,006 98,086 0,008 7,132 0,008 31,142 0,008 50,477 0,008 71,930 0,008 92,029 0,008 110,110 0,010 7,132 0,010 31,510 0,010 56,402 0,010 78,367 0,010 99,097 0,010 118,080 0,012 7,132 0,012 31,510 0,012 56,683 0,012 81,832 0,012 104,900 0,012 124,370 0,014 7,132 0,014 31,510 0,014 56,767 0,014 82,009 0,014 105,860 0,014 128,120 0,016 7,132 0,016 31,510 0,016 56,922 0,016 82,099 0,016 106,150 0,016 128,670 0,018 7,132 0,018 31,449 0,018 56,966 0,018 82,232 0,018 106,400 0,018 129,090 0,019 7,110 0,020 31,499 0,020 57,077 0,020 82,337 0,020 106,570 0,020 129,430 0,021 7,110 0,022 31,599 0,022 57,165 0,022 82,403 0,022 106,680 0,022 129,710 0,023 31,627 0,024 57,229 0,024 82,468 0,024 106,800 0,024 129,920 0,025 31,627 0,025 57,295 0,026 82,541 0,026 106,850 0,026 130,090 0,027 57,295 0,029 82,541 0,027 106,920 0,028 130,230 0,030 106,920 0,029 130,290 0,032 130,290 lvii σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 242,86 1/r M N = 364,29 1/r M N = 485,71 1/r N = 607,14 M 1/r N = 728,57 M 1/r N = 850 M 1/r M -0,027 -150,240 -0,024 -150,240 -0,024 -150,130 -0,022 -149,840 -0,020 -149,480 -0,019 -164,140 -0,018 -149,060 -0,017 -164,140 -0,016 -166,170 -0,016 -148,510 -0,016 -162,810 -0,014 -166,170 -0,014 -146,820 -0,014 -158,730 -0,014 -165,890 -0,013 -163,090 -0,012 -153,090 -0,012 -141,690 -0,012 -153,890 -0,012 -161,120 -0,012 -163,090 -0,011 -153,090 -0,011 -139,750 -0,010 -134,950 -0,010 -147,730 -0,010 -154,910 -0,010 -156,120 -0,010 -150,160 -0,010 -139,750 -0,008 -125,820 -0,008 -138,460 -0,008 -143,870 -0,008 -142,870 -0,008 -138,860 -0,008 -131,860 -0,006 -108,570 -0,006 -116,370 -0,006 -122,480 -0,006 -125,280 -0,006 -124,030 -0,006 -119,240 -0,004 -80,686 -0,004 -88,637 -0,004 -94,565 -0,004 -98,403 -0,004 -99,925 -0,004 -98,147 -0,002 -50,447 -0,002 -56,257 -0,002 -59,000 -0,002 -58,571 -0,002 -55,956 -0,002 -53,123 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 50,447 0,002 56,257 0,002 59,000 0,002 58,571 0,002 55,956 0,002 53,123 0,004 80,686 0,004 88,637 0,004 94,565 0,004 98,403 0,004 99,925 0,004 98,147 0,006 108,570 0,006 116,370 0,006 122,480 0,006 125,280 0,006 124,030 0,006 119,240 0,008 125,820 0,008 138,460 0,008 143,870 0,008 142,870 0,008 138,860 0,008 131,860 0,010 134,950 0,010 147,730 0,010 154,910 0,010 156,120 0,010 150,160 0,010 139,750 0,012 141,690 0,012 153,890 0,012 161,120 0,012 163,090 0,011 153,090 0,011 139,750 0,014 146,820 0,014 158,730 0,014 165,890 0,013 163,090 0,012 153,090 0,016 148,510 0,016 162,810 0,014 166,170 0,018 149,060 0,017 164,140 0,016 166,170 0,020 149,480 0,019 164,140 0,022 149,840 0,024 150,130 0,024 150,240 0,027 150,240 σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 971,43 1/r M N = 1092,9 1/r M N = 1214,3 N = 1335,7 1/r M 1/r M N = 1457,1 1/r M N = 1578,6 1/r M -0,010 -125,320 -0,009 -125,320 -0,009 -109,070 -0,008 -90,544 -0,007 -68,026 -0,008 -122,050 -0,008 -109,070 -0,007 -90,544 -0,006 -68,026 -0,005 -43,189 -0,006 -111,010 -0,006 -99,280 -0,006 -84,425 -0,006 -67,112 -0,005 -43,189 -0,003 -16,947 -0,004 -91,962 -0,004 -81,924 -0,004 -69,799 -0,004 -56,128 -0,004 -40,098 -0,003 -16,947 -0,002 -50,062 -0,002 -46,722 -0,002 -42,929 -0,002 -36,374 -0,002 -27,264 -0,002 -13,957 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 50,062 0,002 46,722 0,002 42,929 0,002 36,374 0,002 27,264 0,002 13,957 0,004 91,962 0,004 81,924 0,004 69,799 0,004 56,128 0,004 40,098 0,003 16,947 0,006 111,010 0,006 99,280 0,006 84,425 0,006 67,112 0,005 43,189 0,003 16,947 lviii 0,008 122,050 0,008 109,070 0,007 90,544 0,006 68,026 0,009 125,320 0,009 109,070 0,008 90,544 0,007 68,026 0,010 125,320 0,005 43,189 A3.3.1.2 ANLFG(2) σ cd = 1,10 fcd; γ f3 = 1,10 N = -485,71 1/r M N = -364,29 1/r M N = -242,86 1/r M N = -121,43 1/r M N = 0,0 1/r N = 121,43 M 1/r M -0,009 -52,086 -0,010 -75,037 -0,010 -97,201 -0,010 -118,440 -0,008 -28,751 -0,008 -52,086 -0,009 -75,037 -0,009 -97,201 -0,009 -118,440 -0,007 -28,751 -0,008 -50,716 -0,008 -72,831 -0,008 -93,706 -0,008 -112,890 -0,0042 -6,463 -0,006 -26,027 -0,006 -43,563 -0,006 -64,609 -0,006 -84,298 -0,006 -101,700 -0,004 -6,463 -0,004 -20,000 -0,004 -34,798 -0,004 -49,995 -0,004 -62,798 -0,004 -75,258 -0,002 -3,380 -0,002 -12,417 -0,002 -20,160 -0,002 -20,216 -0,002 -31,704 -0,002 -44,441 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 3,380 0,002 12,417 0,002 20,160 0,002 20,216 0,002 31,704 0,002 44,441 0,004 6,463 0,004 20,000 0,004 34,798 0,004 49,995 0,004 62,798 0,004 75,258 0,0042 6,463 0,006 26,027 0,006 43,563 0,006 64,609 0,006 84,298 0,006 101,700 0,007 28,751 0,008 50,716 0,008 72,831 0,008 93,706 0,008 112,890 0,008 28,751 0,008 52,086 0,009 75,037 0,009 97,201 0,009 118,440 0,009 52,086 0,010 75,037 0,010 97,201 0,010 118,440 σ cd = 1,10 fcd; γ f3 = 1,10 N = 242,86 1/r M N = 364,29 1/r M N = 485,71 1/r M N = 607,14 1/r N = 728,57 M -0,010 -136,590 -0,010 -149,220 -0,009 -136,590 -0,009 -149,220 -0,008 -151,060 -0,007 -148,260 -0,008 -130,100 -0,008 -145,090 -0,007 -151,060 -0,007 -148,260 1/r -0,0062 N = 850 M -139,170 1/r M -0,0052 -127,050 -0,006 -115,840 -0,006 -125,610 -0,006 -133,830 -0,006 -140,460 -0,006 -139,170 -0,005 -127,050 -0,004 -86,550 -0,004 -96,292 -0,004 -104,380 -0,004 -110,600 -0,004 -114,890 -0,004 -117,150 -0,002 -54,940 -0,002 -62,836 -0,002 -68,011 -0,002 -70,474 -0,002 -70,214 -0,002 -67,662 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 54,940 0,002 62,836 0,002 68,011 0,002 70,474 0,002 70,214 0,002 67,662 0,004 86,550 0,004 96,292 0,004 104,380 0,004 110,600 0,004 114,890 0,004 117,150 0,006 115,840 0,006 125,610 0,006 133,830 0,006 140,460 0,006 139,170 0,005 127,050 0,008 130,100 0,008 145,090 0,007 151,060 0,007 148,260 0,0062 139,170 0,0052 127,050 0,009 136,590 0,009 149,220 0,008 151,060 0,007 148,260 0,010 136,590 0,010 149,220 lix σ cd = 1,10 fcd; γ f3 = 1,10 N = 971,43 1/r N = 1092,9 M 1/r N = 1214,3 M 1/r N = 1335,7 M 1/r N = 1457,1 M 1/r N = 1578,6 M 1/r M -0,0043 -113,930 -0,004 -99,154 -0,0033 -82,312 -0,003 -61,842 -0,004 -113,930 -0,003 -99,154 -0,003 -82,312 -0,002 -61,842 -0,0017 -39,262 0,00075 -15,407 -0,002 -61,639 -0,002 -58,365 -0,002 -54,829 -0,0015 -39,262 -0,0007 -15,407 -64,749 -0,002 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,000 0,002 64,749 0,002 61,639 0,002 58,365 0,002 54,829 0,0015 39,262 0,0007 15,407 0,004 113,930 0,003 99,154 0,003 82,312 0,002 61,842 0,0017 39,262 0,00075 15,407 0,0043 113,930 0,004 99,154 0,0033 82,312 0,003 61,842 A3.3.2 Curvas Momento – Deslocamento (Valores Numéricos) AL(1) a (cm) AL(2) Md (kNm) AL(3) a (cm) Md (kNm) a (cm) Md (kNm) 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 0,0 3,6647 130,0 3,8938 130,0 4,4499 130,0 ANLG(1) a (cm) ANLG (2) Md (kNm) a (cm) Md (kNm) 0,0 0,0 0,0 0,0 3,5189 100,0 4,1242 100,0 4,5745 130,0 5,3614 130,0 SANTOS[1] a (cm) Md (kNm) 0,0 0,0 1,22 22,869 2,51 45,315 2,818 48,718 6,52 81,554 10,00 90,75 10,44 91,113 10,91 91,295 lx 11,49 90,811 11,96 90,387 ANLFG (1) a (cm) Md (kNm) 0,0 0,0 1,0834 20,0 2,1668 40,0 3,7628 60,0 6,1283 80,0 9,3438 91,3 10,6048 92,65 10,9664 92,7 ANLFG(2) a (cm) A3.3.3 M (kNm) 0,0 0,0 0,862 20,0 1,724 40,0 2,5859 60,0 4,2419 80,0 5,2987 91,3 6,3779 100 7,7236 110 8,8761 115,1 8,907 115,15 Diagramas de Interação (Valores numéricos) Diagrama de Interação da Seção Transversal lxi Md (kNm) Nd (kN) 0 -521,78 7,1096 -485,71 31,627 -364,29 57,295 -242,86 82,541 -121,43 106,92 0,00 130,29 121,43 150,24 242,86 164,14 364,29 166,17 485,71 163,09 607,14 153,09 728,57 139,75 850 125,32 971,43 109,07 1092,9 90,544 1214,3 68,026 1335,7 43,189 1457,1 16,947 1578,6 0,00 1641,6 -16,947 1578,6 -43,189 1457,1 -68,026 1335,7 -90,544 1214,3 -109,07 1092,9 -125,32 971,43 -139,75 850 -153,09 728,57 -163,09 607,14 -166,17 485,71 -164,14 364,29 lxii -150,24 242,86 -130,29 121,43 -106,92 0,00 -82,541 -121,43 -57,295 -242,86 -31,627 -364,29 -7,1096 -485,71 0,00 -521,78 Diagramas de Interação para os diversos comprimentos de pilar Coluna 5,0m (1) Mmáx,base Md Coluna 5,0m (2) Nd Mmáx,base Md Nd 92,55 92,55 0 100,68 100,68 0 145,79 108,8 300 152,48 122,3 300 158,98 92,70 605 164,15 115,15 605 116,91 59,23 900 140,79 92,10 900 37,655 6,948 1350 88,504 43,58 1350 0,0 0,0 1578,6 0,0 0,0 1641,6 Coluna 2,5m Mmáx,base Md Coluna 10,0m Nd Mmáx,base Md Nd 103,05 103,05 0 86,83 86,83 0 155,94 141,81 300 112,16 37,34 300 165,55 146,21 450 62,964 8,311 605 163,22 142,42 605 0,00 0,00 702,7 133,99 109,97 900 65,248 42,56 1350 0,00 0,00 1641,6 lxiii A3.4 Exemplo de Pórtico [GARCIA-1] A3.4.1 Diagramas Força Normal – Momento – Curvatura As unidades utilizadas nos diagramas são o quilo-Newton (kN) e o metro (m). O sinal negativo representa força de tração e o positivo compressão. Pilares σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 960 1/r N = 640 M 1/r N = 320 M 1/r N = 0,0 M 1/r N = 320 M 1/r N = 640 M 1/r M -0,03935 -257,89 -0,03894 -304,67 -0,0373 -208,4 -0,03578 -257,89 -0,0354 -304,67 -0,03332 -103,21 -0,03534 -156,78 -0,03391 -208,4 -0,035 -257,82 -0,035 -304,54 -0,03083 -49,332 -0,03029 -103,21 -0,03213 -156,78 -0,0325 -208,36 -0,0325 -257,54 -0,0325 -304,28 -156,7 -0,03 -208,24 -0,03 -257,23 -0,03 -303,63 -0,0275 -102,94 -0,0275 -156,51 -0,0275 -208,04 -256,8 -0,0275 -302,64 -0,025 -102,86 -0,025 -156,31 -0,025 -207,78 -0,025 -256,27 -0,025 -301,57 -0,0225 -102,56 -0,0225 -156,12 -0,0225 -207,39 -0,0225 -255,64 -0,0225 -300,27 -0,02803 -49,332 -0,03 -103,14 -0,0275 -49,352 -0,025 -49,212 -0,0225 -49,212 -0,02 -49,212 -0,0175 -49,212 -0,02 -0,03 -0,0275 -102,3 -0,02 -155,96 -0,02 -206,99 -0,02 -254,82 -0,02 -298,74 -0,0175 -102,17 -0,0175 -155,66 -0,0175 -206,46 -0,0175 -253,78 -0,0175 -296,81 -0,015 -49,212 -0,015 -101,91 -0,015 -155,38 -0,015 -205,76 -0,015 -252,22 -0,015 -294,22 -0,0125 -49,212 -0,0125 -101,78 -0,0125 -154,96 -0,0125 -204,66 -0,0125 -250,09 -0,0125 -290,66 -0,01 -49,212 -0,01 -101,44 -0,01 -154,53 -0,01 -203,23 -0,01 -246,87 -0,01 -276,53 -0,0075 -49,212 -0,0075 -101,23 -0,0075 -153,74 -0,0075 -180,82 -0,0075 -203,06 -0,0075 -222,88 -0,005 -49,212 -0,005 -81,178 -0,005 -97,448 -0,005 -121,92 -0,005 -145,58 -0,005 -166,25 -0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -40,589 -0,0025 -61,586 -0,0025 -85,783 -0,0025 -104,56 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0025 40,589 0,005 49,212 0,0075 49,212 0,00 0,00 0,0025 40,589 0,005 81,178 0,0075 101,23 0,00 0,00 0,0025 40,589 0,005 97,448 0,0075 153,74 0,00 0,00 0,0025 61,586 0,005 121,92 0,0075 180,82 0,00 0,0025 85,783 0,0025 104,56 0,005 145,58 0,005 166,25 0,0075 203,06 0,0075 222,88 0,01 49,212 0,01 101,44 0,01 154,53 0,01 203,23 0,01 246,87 0,01 276,53 0,0125 49,212 0,0125 101,78 0,0125 154,96 0,0125 204,66 0,0125 250,09 0,0125 290,66 0,015 49,212 0,015 101,91 0,015 155,38 0,015 205,76 0,015 252,22 0,015 294,22 0,0175 49,212 0,0175 102,17 0,0175 155,66 0,0175 206,46 0,0175 253,78 0,0175 296,81 0,02 49,212 0,02 102,3 0,02 155,96 0,02 206,99 0,02 254,82 0,02 298,74 0,0225 49,212 0,0225 102,56 0,0225 156,12 0,0225 207,39 0,0225 255,64 0,0225 300,27 0,025 49,212 0,025 102,86 0,025 156,31 0,025 207,78 0,025 256,27 0,025 301,57 0,0275 49,352 0,0275 102,94 0,0275 156,51 0,0275 208,04 0,0275 256,8 0,0275 302,64 0,028025 49,332 0,03 103,14 0,03 156,7 0,03 208,24 0,03 257,23 0,03 303,63 0,030828 49,332 0,030287 103,21 0,032125 156,78 0,0325 208,36 0,0325 257,54 0,0325 304,28 0,033316 103,21 0,035337 156,78 0,033912 208,4 0,035 257,82 0,035 304,54 208,4 0,035775 257,89 0,0354 304,67 0,039352 257,89 0,03894 304,67 0,037304 lxiv σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 959,99 1/r N = 1280 M 1/r N = 1600 M 1/r N = 1920 M 1/r N = 2240 M 1/r N = 2560 M 1/r M -0,02596 -335,78 -0,0236 -335,78 -0,0225 -335,51 -0,01947 -353,73 -0,02 -335,06 -0,0177 -353,73 -0,0175 -334,38 -0,0175 -353,59 -0,015 -331,19 -0,0125 -325,68 -0,0162 -348,61 -0,01467 -321,84 -0,015 -352,55 -0,01473 -348,61 -0,01334 -321,84 -0,0125 -343,72 -0,0125 -333,42 -0,0125 -317,35 -302,7 -0,01 -309,97 -0,01 -300,77 -0,0075 -239,67 -0,0075 -252,71 -0,0075 -261,58 -0,005 -183,22 -0,005 -195,87 -0,005 -203,86 -0,01 -291,47 -0,01 -0,0025 -122,54 -0,0075 -0,01329 -293,61 -0,01205 -262,83 -0,01208 -293,61 -0,01096 -262,83 -0,01 -283,44 -0,01 -259,52 -265,7 -0,0075 -264,81 -0,0075 -245,62 -0,005 -206,87 -0,005 -204,51 -0,005 -196,48 -0,0025 -115,74 -0,0025 -109,66 -0,0025 -116,9 -0,0025 -121,4 -0,0025 -103,1 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0025 116,9 0,0025 122,54 0,0025 121,4 0,0025 115,74 0,0025 109,66 0,0025 103,1 0,005 183,22 0,005 195,87 0,005 203,86 0,005 206,87 0,005 204,51 0,005 196,48 0,0075 239,67 0,0075 252,71 0,0075 261,58 0,0075 265,7 0,0075 264,81 0,0075 245,62 0,01 291,47 0,01 302,7 0,01 309,97 0,01 300,77 0,01 283,44 0,0125 325,68 0,0125 343,72 0,0125 333,42 0,0125 352,55 0,01 259,52 317,35 0,012077 293,61 0,010955 262,83 293,61 262,83 0,015 331,19 0,015 0,01473 348,61 0,013335 321,84 0,013285 0,0175 334,38 0,0175 353,59 0,016203 348,61 0,014669 321,84 0,02 335,06 0,0177 353,73 0,0225 335,51 0,01947 353,73 0,0236 335,78 0,02596 335,78 0,01205 σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 2880 1/r N = 3200 M 1/r N = 3520 M 1/r N = 3840 M 1/r N = 4160 M -0,01097 -228,9 -0,00999 -188,87 -0,00855 -143,13 -0,00998 -228,9 -0,00908 -188,87 -0,00778 -143,13 -0,00646 -95,461 -0,0075 -218,4 -0,0075 -183,59 -0,005 -182,51 -0,005 -165,17 -0,0025 -96,002 -0,0025 -88,215 1/r M -0,0075 -142,56 -0,00588 -95,461 -0,00385 -47,416 -0,005 -132,2 -0,005 -94,084 -0,0035 -47,416 -0,0025 -79,362 -0,0025 -68,855 -0,0025 -46,084 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,0025 96,002 0,0025 88,215 0,0025 79,362 0,0025 68,855 0,0025 46,084 0,005 182,51 0,005 165,17 0,005 132,2 0,005 94,084 0,0035 47,416 0,0075 218,4 0,0075 183,59 0,0075 142,56 0,005875 95,461 0,00385 47,416 95,461 0,009975 228,9 0,009083 188,87 0,007775 143,13 0,006463 0,010972 228,9 0,009991 188,87 0,008553 143,13 lxv Vigas σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = -960 1/r N = 480 M 1/r N = 0,0 M -0,0215 -243,44 1/r N = 480 M 1/r N = 960 M 1/r N = 1440 M -0,026 -593,6 -593,6 -0,0244 -487,75 -0,0236 -0,023 -368,67 -0,0222 -487,75 -0,0233 -593,32 -0,0209 -368,67 -0,0217 -487,54 -0,0217 -593,12 1/r M -0,0196 -115,31 -0,0196 -243,44 -0,02 -368,47 -0,02 -486,77 -0,02 -592,78 -0,0178 -115,31 -0,0183 -243,55 -0,0183 -368,15 -0,0183 -485,64 -0,0183 -592,34 -0,0173 -663,61 -0,0167 -115,19 -0,0167 -243,24 -0,0167 -367,69 -0,0167 -484,53 -0,0167 -0,0157 -663,61 -0,015 -114,89 -0,015 -243,16 -0,015 -367,15 -0,0133 -114,95 -0,0133 -242,98 -0,0133 -0,0117 -115,19 -0,0117 -242,73 -0,01 -114,89 -0,01 -242,48 -0,0083 -114,95 -0,0067 -115,19 -0,015 -591,8 -483,1 -0,015 -588,95 -0,015 -663 -366,4 -0,0133 -481,13 -0,0133 -585,18 -0,0133 -662 -0,0117 -365,57 -0,0117 -478,72 -0,0117 -580,63 -0,0117 -660,45 -0,01 -364,36 -0,01 -475,58 -0,01 -574,95 -0,01 -658,07 -0,0083 -242,33 -0,0083 -362,52 -0,0083 -471,15 -0,0083 -566,87 -0,0083 -648,16 -0,0067 -241,83 -0,0067 -360,15 -0,0067 -464,65 -0,0067 -0,0067 -555,5 -605,4 -0,005 -114,89 -0,005 -241,51 -0,005 -351,54 -0,005 -409,63 -0,005 -460,64 -0,005 -503,05 -0,0033 -114,95 -0,0033 -174,81 -0,0033 -236,46 -0,0033 -297,05 -0,0033 -349,19 -0,0033 -390,47 -0,0017 -79,024 -0,0017 -79,024 -0,0017 -119,24 -0,0017 -180,07 -0,0017 -225,47 -0,0017 -253,53 0,00 0.00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00167 79,024 0,00167 79,024 0,00167 119,24 0,00167 180,07 0,00167 225,47 0,00167 253,53 0,00333 114,95 0,00333 174,81 0,00333 236,46 0,00333 297,05 0,00333 349,19 0,00333 390,47 114,89 241,51 351,54 409,63 460,64 0,005 503,05 0,005 0,005 0,005 0,005 0,005 0,00667 115,19 0,00667 241,83 0,00667 360,15 0,00667 464,65 0,00667 555,5 0,00667 605,4 0,00833 114,95 0,00833 242,33 0,00833 362,52 0,00833 471,15 0,00833 566,87 0,00833 648,16 114,89 242,48 364,36 475,58 0,01 574,95 0,01 658,07 0,01 0,01 0,01 0,01 0,01167 115,19 0,01167 242,73 0,01167 365,57 0,01167 478,72 0,01167 580,63 0,01167 660,45 0,01333 114,95 0,01333 242,98 0,01333 366,4 0,01333 481,13 0,01333 585,18 0,01333 662 114,89 243,16 0,015 588,95 0,015 663 0,01667 0,015 115,19 0,01667 0,015 243,24 0,01667 0,015 367,69 0,01667 484,53 0,01667 591,8 0,01573 663,61 0,01782 115,31 0,01833 243,55 0,01833 368,15 0,01833 485,64 0,01833 592,34 0,01731 663,61 0,0196 115,31 0,01957 243,44 368,47 486,77 0,02 592,78 0,02153 243,44 0,02 367,15 0,015 0,02 483,1 0,0209 368,67 0,02167 487,54 0,02167 593,12 0,02299 368,67 0,02221 487,75 0,02333 593,32 0,02443 487,75 0,0236 593,6 0,02596 593,6 lxvi σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 1920 1/r N = 2400 M 1/r N = 2880 M 1/r N = 3360 M 1/r N = 3840 M 1/r N = 4320 M 1/r M -0,013 -703,99 -0,0118 -703,99 -0,0117 -703,68 -0,0106 -703,94 -0,0094 -646,02 -0,01 -701,35 -0,0096 -703,94 -0,0086 -646,02 -0,0085 -582,93 -0,0076 -511,54 -0,0083 -697,42 -0,0083 -677,57 -0,0083 -641,92 -0,0077 -582,93 -0,0069 -511,54 -0,0069 -426,29 -0,0067 -633,72 -0,0067 -634,89 -0,0067 -609,89 -0,0067 -567,71 -0,0067 -508,34 -0,0063 -426,29 -0,005 -534,89 -0,005 -554,88 -0,005 -561,51 -0,005 -532,55 -0,005 -480,63 -0,005 -410,33 -0,0033 -420,14 -0,0033 -437,01 -0,0033 -440,42 -0,0033 -429,48 -0,0033 -402,7 -0,0033 -363,01 -0,0017 -264,15 -0,0017 -257,7 -0,0017 -243,78 -0,0017 -228,78 -0,0017 -212,46 -0,0017 -194,22 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00167 264,15 0,00167 257,7 0,00167 243,78 0,00167 228,78 0,00167 212,46 0,00167 194,22 0,00333 420,14 0,00333 437,01 0,00333 440,42 0,00333 429,48 0,00333 402,7 0,00333 363,01 0,005 534,89 0,005 554,88 0,005 561,51 0,005 532,55 0,005 480,63 0,005 410,33 0,00667 633,72 0,00667 634,89 0,00667 609,89 0,00667 567,71 0,00667 508,34 0,00626 426,29 0,00833 697,42 0,00833 677,57 0,00833 641,92 0,0077 582,93 0,00693 511,54 0,00688 426,29 0,01 701,35 0,00961 703,94 0,00859 646,02 0,00847 582,93 0,00763 511,54 0,01167 703,68 0,01057 703,94 0,00945 646,02 0,0118 703,99 0,01298 703,99 σ cd = 0,85 fcd; γ f3 = 1,00 N = 4800 1/r N = 5280 M 1/r N = 5760 M 1/r M -0,0061 -327,56 -0,0055 -327,56 -0,0046 -217,54 -0,005 -322,3 -0,0042 -217,54 -0,0028 -105,96 -0,0033 -292,9 -0,0033 -208,73 -0,0025 -105,96 -0,0017 -173,82 -0,0017 -149,58 -0,0017 -99,777 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00 0,00167 173,82 0,00167 149,58 0,00167 99,777 0,00333 292,9 0,00333 208,73 0,00252 105,96 0,005 322,3 0,0042 217,54 0,00277 105,96 0,00552 327,56 0,00462 217,54 0,00607 327,56 lxvii A3.4.2 Valores Numéricos das Curvas Força - Deslocamento [GARCIA-1] Frame Analysis [GARCIA-1] FTOOL 3 elementos 10 elementos F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) F (kN) a (cm) 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 27.0 1.00 29.3 1.00 25.0 0.99 25.0 0.93 49.5 2.00 52.0 2.00 50.0 1.99 50.0 1.99 67.5 3.00 67.5 3.00 75.0 3.43 75.0 3.45 83.3 4.00 83.3 4.00 85.0 4.13 85.0 4.15 93.0 4.78 91.3 4.78 95.0 4.9672 95.0 5.0472 96.5 5.11 93.6 5.11 99.0 5.6888 95.7 5.2108 98.3 5.28 94 5.30 99.27 5.90 100 5.46 92.3 5.77 (Os valores de [GARCIA-1] e Frame Analysis foram obtidos graficamente.) lxviii 14. Anexo IV A4 ANEXO IV TABELAS ADIMENSIONAIS PARA RELAÇÕES FORÇA NORMAL – MOMENTO - CURVATURA A4.1 Introdução Apresentamos neste anexo exemplos de validação adicionais ao apresentado no tópico 5.4, constituídos também por tabelas adimensionais com relações N-M-1/r para diversos arranjos e taxas de armadura em pilares para os aços classe A e B. A4.2 Relações N-M-1/r [SANTOS-3] Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 1,0 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 1.97 0.0 .101 .200 .296 .389 .395 .397 .399 .400 .403 14.3 0.1 .113 .211 .306 .397 .429 .432 .435 .437 .442 14.7 0.2 .124 .221 .315 .405 .461 .466 .469 .472 .479 14.2 0.3 .132 .231 .323 .411 .491 .498 .503 .503 .504 9.4 0.4 .138 .238 .330 .417 .499 .517 .518 0.5 .141 .245 .336 .421 .485 .508 0.6 .141 .249 .340 .424 .466 0.7 .138 .252 .343 .422 .445 0.8 .135 .253 .344 .403 .421 0.9 .131 .251 .344 .382 1.0 .127 .248 .340 .357 1.1 .124 .242 .317 .331 1.2 .119 .234 .291 1.3 .115 .225 .261 1.4 .111 .215 .229 1.5 .106 .185 .194 1.6 .100 .153 1.7 .095 1.8 .077 1.9 .518 7.1 .509 6.0 .480 5.7 .451 5.4 .422 5.1 .393 4.8 .363 4.5 .333 4.2 .301 4.0 .268 3.7 .232 3.5 .194 3.0 .156 2.5 .117 2.0 .079 1.4 .040 .7 2.0 2.2 2.4 lxix FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef 0.0 .101 .2 .296 .389 .395 .397 .399 .4 .401 .401 .402 .402 .403 .403 .403 14.3 0.1 .113 .211 .306 .397 .429 .432 .435 .437 .438 .439 .44 .44 .441 .441 .442 14.7 0.2 .124 .221 .315 .405 .461 .466 .469 .472 .474 .476 .477 .478 .479 .479 .479 14.2 0.3 .132 .231 .323 .411 .491 .498 .503 .503 .504 0.4 .138 .238 .33 .417 .499 .517 .518 0.5 .141 .245 .336 .421 .485 .508 0.6 .141 .249 .34 .424 .466 0.7 .138 .252 .343 .422 .445 0.8 .135 .253 .344 .403 .421 0.9 .131 .251 .344 .382 1.0 .128 .248 .34 .358 1.1 .124 .242 .317 .33 1.2 .119 .234 .291 1.3 .115 .225 .261 1.4 .111 .215 .228 1.5 .106 .186 .194 1.6 .1 .153 1.7 .095 1.8 .078 1.9 .504 9.44 .518 7.08 .509 6.04 .48 5.71 .451 5.39 .422 5.08 .393 4.77 .363 4.49 .333 4.22 .301 3.01 .267 3.47 .232 3.71 .194 3.96 .155 2.5 .117 1.96 .078 1.35 .039 .66 2.0 2.2 2.4 Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 2,0 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 2.93 0.0 .183 .363 .538 .709 .786 .791 .794 .796 .802 14.6 0.1 .191 .370 .544 .713 .821 .827 .831 .834 .841 14.9 0.2 .198 .376 .549 .717 .855 .862 .867 .870 .879 14.2 0.3 .205 .382 .554 .721 .883 .897 .903 .903 .904 9.4 0.4 .210 .388 .559 .725 .885 .917 .918 0.5 .214 .393 .563 .728 .873 .904 0.6 .217 .397 .567 .730 .848 0.7 .219 .401 .570 .732 .821 0.8 .219 .404 .572 .734 .794 0.9 .217 .406 .574 .735 .766 1.0 .215 .407 .576 .711 .737 1.1 .212 .407 .576 .685 1.2 .210 .407 .576 .657 1.3 .207 .405 .576 .629 1.4 .204 .403 .574 .599 1.5 .202 .399 .549 .568 1.6 .199 .394 .520 .536 1.7 .196 .389 .490 1.8 .193 .383 .458 1.9 .190 .377 .424 2.0 .187 .371 .389 2.2 .181 .308 2.4 .174 .236 .918 7.1 .907 6.1 .873 5.9 .840 5.7 .806 5.5 .773 5.3 .739 5.2 .706 5.0 .673 4.8 .639 4.6 .605 4.4 .571 4.3 .537 4.1 .502 3.9 .466 3.8 .430 3.6 .392 3.4 .315 2.8 .237 2.2 0.2 .198 .376 .549 .717 .855 .862 .867 .87 .873 .875 .876 .878 .879 .879 .879 14.2 0.3 .205 .382 .554 .721 .883 .897 .903 .903 .904 0.4 .21 .388 .559 .725 .885 .917 .918 0.5 .214 .393 .563 .728 .873 .904 0.6 .217 .397 .567 .73 .848 0.7 .219 .401 .57 .732 .821 0.8 .219 .404 .572 .734 .794 0.9 .217 .406 .574 .735 .766 1.0 .215 .407 .576 .711 .737 1.1 .212 .407 .576 .685 1.2 .21 .407 .576 .658 1.3 .207 .405 .576 .628 1.4 .204 .403 .574 .599 1.5 .202 .399 .549 .568 1.6 .199 .394 .521 .535 1.7 .196 .389 .49 1.8 .193 .383 .458 1.9 .19 .377 .425 2.0 .187 .371 .389 2.2 .181 .308 2.4 .174 .237 .904 9.44 .918 7.08 .907 6.11 .873 5.91 .84 5.72 .806 5.53 .773 5.34 .739 5.15 .706 4.97 .673 4.79 .639 4.61 .605 4.44 .571 4.26 .537 4.1 .501 3.93 .466 3.77 .43 3.62 .393 3.44 .315 2.82 .236 2.16 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef 0.0 .183 .363 .538 .709 .786 .791 .794 .796 .798 .799 .8 .801 .801 .802 .802 14.6 0.1 .191 .37 .544 .713 .821 .827 .831 .834 .836 .837 .838 .839 .84 .841 .841 14.9 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 µef θef 2.0 .187 .371 .389 2.1 .184 .342 .352 2.2 .181 .308 2.3 .178 .272 2.4 .174 .237 2.5 .171 2.6 .157 2.7 .119 2.8 2.9 .393 3.44 .353 3.13 2.82 .315 2.5 .276 2.16 .236 1.82 .198 1.46 .158 1.08 .118 .7 .080 .28 .039 lxx Aço CA50B; d = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 0,10 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 1.08 0.0 .015 .029 .035 .039 .042 .042 .043 .043 .043 12.5 0.1 .042 .058 .070 .075 .079 .082 .082 .083 .084 13.8 0.2 .060 .082 .097 .105 .110 .114 .116 .117 .119 13.6 0.3 .070 .099 .116 .128 .134 .137 .140 .142 .143 9.3 0.4 .072 .109 .129 .141 .148 .151 .154 0.5 .067 .114 .134 .144 .152 0.6 .061 .110 .130 .139 0.7 .055 .099 .118 .126 0.8 .048 .081 .097 0.9 .038 .059 .069 1.0 .023 .032 .154 7.1 .155 5.8 .145 4.9 .128 4.3 .103 3.8 .070 3.2 .033 2.1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 1.9 2.0 2.2 2.4 1.9 2.0 2.2 2.4 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 0.0 .015 .029 .035 .039 .042 .043 .043 .043 .043 .043 .043 .043 0.1 .042 .058 .070 .075 .079 .082 .083 .083 .083 .084 .084 .084 .084 0.2 .060 .082 .097 .105 .110 .114 .116 .117 .117 .118 .118 .118 .118 0.3 .070 .099 .116 .128 .134 .137 .140 .142 .142 0.4 .072 .109 .129 .141 .148 .151 .154 0.5 .067 .114 .134 .144 .152 0.6 .061 .110 .130 .139 0.7 .055 .099 .118 .126 0.8 .048 .081 .097 0.9 .038 .059 .069 1.0 .023 .032 µef θef .043 12.5 .084 13.8 .119 13.6 .143 9.26 .154 7.08 .155 5.75 .145 4.92 .128 4.28 .103 3.77 .070 3.19 .033 2.1 Aço CA50B; d = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 1,0 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 1.82 0.0 .101 .200 .291 .333 .362 .385 .399 .400 .403 14.3 0.1 .113 .211 .306 .359 .390 .414 .433 .436 .440 14.9 0.2 .124 .221 .315 .382 .415 .437 .455 .467 .470 10.7 0.3 .132 .231 .323 .400 .432 .453 .470 .485 .487 8.2 0.4 .138 .238 .330 .406 .441 .463 .480 0.5 .141 .245 .336 .400 442 .465 0.6 .141 .249 .335 .390 .432 0.7 .138 .252 .330 .378 .415 0.8 .135 .253 .321 .364 0.9 .131 .248 .308 .346 1.0 .127 .238 .292 .326 1.1 .124 .223 .272 .304 1.2 .119 .204 .249 1.3 .114 .184 .224 1.4 .104 .161 .195 1.5 .090 .136 1.6 .072 .109 1.7 .050 1.8 .480 7.0 .469 6.2 .451 5.6 .423 5.3 .395 5.0 .367 4.7 .338 4.4 .307 4.1 .276 3.9 .242 3.6 .204 3.3 .161 2.8 .116 2.2 .070 1.6 .018 0.6 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef 0.0 .200 .291 .333 .362 .385 .399 .400 .401 .401 .402 .402 .403 .403 0.1 .211 .306 .359 .390 .414 .433 .436 .437 .438 .439 .439 .440 .440 0.2 .221 .315 .382 .415 .437 .455 .467 .468 .470 0.3 .231 .323 .400 .432 .453 .470 .485 0.4 .238 .330 .406 .441 .463 .480 0.5 .245 .336 .400 .442 .465 0.6 .249 .335 .391 .432 0.7 .252 .330 .378 .415 0.8 .253 .321 .364 0.9 .248 .308 .346 1.0 .238 .292 .326 1.1 .223 .272 .304 1.2 .205 .250 1.3 .184 .224 1.4 .161 .196 1.5 .136 1.6 .110 1.7 1.8 .403 14.3 .440 14.9 .470 1.7 .487 8.18 .480 7.05 .469 6.19 .451 5.59 .423 5.26 .395 4.96 .367 4.67 .338 4.39 .307 4.12 .275 3.87 .243 3.64 .204 3.31 .161 2.8 .116 2.23 .070 1.6 .016 .61 lxxi Aço CA50B; d = 0,10; n’ = 2; n 1 = 2; ω = 2,0 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 2.64 0.0 .183 .363 .538 .643 .703 0.1 .191 .370 .544 .665 .729 0.2 .18 .376 .549 .686 .748 0.3 .205 .382 .554 .700 .761 0.4 .210 .388 .559 .696 .767 0.5 .214 .393 .563 .684 .768 0.6 .217 .397 .567 .671 .761 0.7 .219 .401 .566 .655 .744 0.8 .219 .404 .561 .639 .724 0.9 .217 .406 .552 .621 .703 1.0 .215 .407 .540 .601 .681 1.1 .212 .407 .527 .580 1.2 .210 .404 .511 .558 1.3 .207 .396 .493 .535 1.4 .204 .384 .474 .511 1.5 .202 .369 .453 1.6 .199 .350 .430 1.7 .196 .331 .405 1.8 .193 .310 .379 1.9 .184 .287 .352 2.0 .172 .263 .323 2.2 .139 .212 2.4 .098 .788 .795 .801 15.0 .808 .828 .834 11.7 .824 .853 .861 9.0 .835 .841 .857 7.8 .842 7.0 .825 6.4 .804 5.9 .778 5.6 .746 5.4 .714 5.2 .682 5.0 .650 4.8 .617 4.7 .584 4.5 .551 4.3 .518 4.1 .484 4.0 .450 3.8 .415 3.7 .379 3.5 .334 3.2 .241 2.5 .145 1.8 0.1 .191 .370 .544 .665 .729 .773 .808 .828 .830 .832 .833 0.2 .198 .376 .549 .686 .748 .790 .824 .853 .861 0.3 .205 .382 .554 .700 .761 .802 .835 0.4 .210 .388 .559 .704 .767 .809 .841 0.5 .214 .393 .563 .696 .768 .810 0.6 .217 .397 .567 .684 .761 0.7 .219 .401 .566 .671 .744 0.8 .219 .404 .561 .655 .725 0.9 .217 .406 .552 .639 .704 1.0 .215 .407 .540 .621 .682 1.1 .212 .407 .527 .601 1.2 .210 .404 .511 .581 1.3 .207 .396 .493 .559 1.4 .204 .384 .474 .535 1.5 .202 .369 .453 .511 1.6 .199 .351 .430 1.7 .196 .331 .405 1.8 .193 .310 .379 1.9 .184 .287 .352 2.0 .172 .264 .323 2.2 .140 .213 2.4 .098 .834 11.7 .861 9.01 .857 7.78 .842 7.03 .825 6.41 .804 5.92 .778 5.57 .746 5.37 .714 5.19 .682 5.01 .649 4.83 .617 4.65 .584 4.48 .551 4.31 .518 4.15 .484 3.98 .449 3.82 .415 3.67 .379 3.52 .334 3.21 .241 2.52 .145 1.76 2.6 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef 0.0 .183 .363 .538 .643 .703 .751 .788 .795 .796 .797 .798 .799 .800 .800 .801 15.0 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 µef θef 2.0 .172 .264 .323 2.1 .157 .239 2.2 .14 .213 2.3 .12 .186 2.4 .098 2.5 .074 3.21 .334 2.87 .287 2.52 .241 2.15 .193 1.76 .145 1.35 .095 Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 10; n 1 = 8; ω = 0,3 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 1.29 0.0 .028 .056 .083 .099 .106 .110 .113 .115 .120 14.2 0.1 .050 .077 .104 .125 .134 .140 .143 .146 .153 13.9 0.2 .065 .096 .121 .145 .158 .165 .169 .172 .176 10.5 0.3 .075 .110 .136 .159 .176 .184 .188 .190 .191 8.4 0.4 .079 .120 .147 .169 .187 .195 .198 0.5 .077 .126 .154 .175 .187 .197 0.6 .072 .127 .156 .173 .183 0.7 .067 .123 .154 .166 0.8 .061 .114 .142 .152 0.9 .055 .101 .124 1.0 .047 .084 .099 1.1 .039 .062 1.2 .027 .198 7.1 .197 6.1 .186 5.4 .172 4.9 .155 4.3 .132 .3.9 .104 3.5 .069 2.8 .034 1.8 lxxii FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef 0.0 .029 .056 .083 .099 .106 .110 .113 .115 .116 .117 .118 .119 .120 .120 .120 14.2 0.1 .050 .077 .104 .125 .134 .140 .143 .146 .148 .149 .151 .151 .152 0.2 .065 .096 .121 .145 .158 .165 .169 .172 .174 .175 0.3 .075 .110 .136 .159 .176 .184 .188 .190 0.4 .079 .120 .147 .169 .187 .195 .198 0.5 .077 .126 .154 .175 .187 .197 0.6 .072 .127 .156 .173 .183 0.7 .067 .123 .154 .166 0.8 .061 .114 .142 .152 0.9 .055 .101 .124 1.0 .048 .084 .099 1.1 .039 .062 1.2 .028 .153 13.9 .176 1.5 .191 8.44 .198 7.06 .197 6.08 .186 5.43 .172 4.85 .155 4.35 .132 3.91 .104 3.54 .069 2.78 .034 1.75 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 2.0 2.2 2.4 Aço CA50A; d = 0,10; n’ = 10; n 1 = 2; ω = 0,3 θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 µef θef [SANTOS-3] ν0 = 1.29 0.0 .023 .046 .068 .085 .094 .100 .104 .106 .114 14.9 0.1 .045 .067 .088 .107 .118 .125 .130 .133 .139 11.9 0.2 .060 .085 .106 .125 .138 .146 .150 .154 .157 9.7 0.3 .070 .100 .121 .138 .152 .161 .166 .169 .169 8.2 0.4 .074 .110 .132 .148 .161 .169 .175 0.5 .071 .116 .139 .154 .164 .172 0.6 .067 .117 .141 .155 .163 0.7 .061 .113 .138 .150 0.8 .056 .104 .129 .140 0.9 .049 .090 .114 1.0 .042 .075 .092 1.1 .034 .056 1.2 .023 .175 7.0 .174 6.2 .167 5.5 .157 4.9 .142 4.4 .123 4.0 .098 3.6 .065 2.9 .031 1.9 0.1 .045 .067 .088 .107 .118 .125 .130 .133 .135 .137 .138 0.2 .060 .085 .106 .125 .138 .146 .150 .154 .156 0.3 .070 .100 .121 .138 .152 .161 .166 .169 0.4 .074 .110 .132 .148 .161 .169 .175 0.5 .071 .116 .139 .154 .164 .172 0.6 .067 .117 .141 .155 .163 0.7 .061 .113 .138 .150 0.8 .056 .104 .129 .140 0.9 .049 .090 .114 1.0 .042 .075 .092 1.1 .034 .056 1.2 .023 .139 11.9 .157 9.66 .169 8.16 .175 7.05 .174 6.2 .167 5.53 .157 4.95 .142 4.43 .123 3.98 .098 3.6 .065 2.9 .031 1.85 FTOOL θ\ν 1.0 2.0 3.0 4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0 10.0 11.0 12.0 13.0 14.0 µef θef 0.0 .023 .046 .068 .085 .094 .100 .104 .106 .108 .110 .111 .112 .113 .113 .114 14.9