Aula 11 - AllanMath

Soluções de Equações Lineares Homogêneas
e
Wronskiano
Allan Fonseca
Aula expositiva
Allan Fonseca
BAC022 - Matemática IV - Aula 11
Soluções de Equações Lineares Homogêneas
e
Wronskiano
Allan Fonseca
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Para a discussão de propriedades gerais das equações diferenciais
lineares utilizamos a notação de um operador diferencial. Sejam
p e q funções contı́nuas em um intervalo aberto I . Então, para
qualquer função φ duas vezes diferenciável em I definimos o operador
diferencial L pela fórmula.
L[φ] = φ00 + pφ0 + qφ.
(1)
Veja que L[φ] é uma função também definida em I . O valor de L[φ]
em um ponto t é
L[φ](t) = φ00 (t) + pφ0 (t) + qφ(t)
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Exemplo
Se p(t) = t 3 , q(t) = 1 − t e φ(t) = cos 3t, calcule L[φ](t).
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As equações lineares homogêneas de segunda ordem podem ser vistas como L[φ](t) = 0. Mas, geralmente, utilizamos o sı́mbolo y no
lugar de φ, logo
L[y ] = y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0
(2)
Associamos a equação anterior um conjunto de condições iniciais,
y (t0 ) = y0 ,
y 0 (t0 ) = y00
(3)
em que t0 é qualquer ponto no intervalo I e y0 e y00 são números
reais.
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Teorema (Existência e Unicidade
Considere o problema de valor inicial
y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = g (t),
y (t0 ) = y0 ,
y 0 (t0 ) = y00 ,
(4)
em que p, q e g são contı́nuas em um intervalo aberto I que contém
o ponto t0 . Então, existe exatamente uma solução y = φ(t) deste
problema e a solução existe em todo o intervalo I .
Exercı́cio
Determine o maior intervalo no qual a solução do problema de
valor inicial
(t 2 − 3t)y 00 + ty 0 − (t + 3)y = 0,
y (1) = 2,
y 0 (1) = 1,
existe com certeza.
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Teorema (Existência e Unicidade
Considere o problema de valor inicial
y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = g (t),
y (t0 ) = y0 ,
y 0 (t0 ) = y00 ,
(4)
em que p, q e g são contı́nuas em um intervalo aberto I que contém
o ponto t0 . Então, existe exatamente uma solução y = φ(t) deste
problema e a solução existe em todo o intervalo I .
Exercı́cio
Determine o maior intervalo no qual a solução do problema de
valor inicial
(t 2 − 3t)y 00 + ty 0 − (t + 3)y = 0,
y (1) = 2,
y 0 (1) = 1,
existe com certeza.
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Teorema (Princı́pio da Superposição)
Se y1 e y2 são solução da equação diferencial (2),
L[y ] = y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0
então a combinação linear c1 y1 + c2 y2 também é solução, quaisquer
que sejam os valores das constantes c1 e c2 .
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Será que todas as soluções da Eq. (2) estão incluı́das na combinação
linear de y1 e y2 ou podem existir soluções diferentes?
Para responder esta pergunta começaremos examinando as constantes c1 e c2 podem ser escolhidas de modo que satisfaça as
condições iniciais (3). Essas condições obrigam c1 e c2 satisfazerem as equações
c1 y1 (t0 ) + c2 y2 (t0 ) = y0
c1 y10 (t0 ) + c2 y20 (t0 ) = y00
O determinando dos coeficientes do sistema (5) é
y1 (t0 ) y2 (t0 ) = y1 (t0 )y20 (t0 ) − y10 (t0 )y2 (t0 ).
W = 0
y1 (t0 ) y20 (t0 ) Allan Fonseca
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(5)
(6)
Se W 6= 0, as equações (5) têm única solução (c1 , c2 ), não importanto quais sejam os valores de y0 e de y00 .
Por outro lado, se W = 0 podemos não ter solução ou termos
infinitas soluções.
O determinate W é chamdado determinante wronskiano ou wronskiano das soluções y1 e y2 .
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Teorema
Sejam y1 e y2 duas soluções da Eq. (2),
L[y ] = y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0,
e suponha que as condições iniciais (3)
y (t0 ) = y0 ,
y 0 (t0 ) = y00 ,
sejam atribuı́das. Então, sempre é possı́vel escolher constantes c1 e
c2 tais que
y = c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
satisfazendo a equação diferenial (2) e as condições (3) se, e
somente se, o wronskiano
W = y1 y20 − y10 y2
não se anula tem t0 .
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Exercı́cio
Se y1 (t) = e −2t e y2 (t) = e −3t são soluções da equação diferencial
y 00 + 5y 0 + 6y = 0. Calcule o wronskiano de y1 e y2 .
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Teorema
Suponha que y1 e y2 são duas soluções da equação diferencial
L[y ] = y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0.
Então, a famı́lia de soluções
y = c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
com coeficientes arbitrários c1 e c2 inclui todas as soluções da
equação diferencial se, e somente se, existe um ponto t0 onde o
wronskiano de y1 e y2 não é nulo.
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O Teorema anterior diz que a combinação linear entre y1 e y2 nos
dá todas as soluções do problema linear de segunda ordem. Desta
forma,
y = c1 y1 (t) + c2 y2 (t)
é chamada de solução geral. Dizemos que as soluções y1 e y2
formam um conjunto fundamental de soluções da Eq. (2) se, e
somente se, seu wronskiano é diferente de zero.
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Exemplo
Suponha que y1 (y ) = e r1 t e y2 (t) = e r2 t são duas soluções de
uma equação da forma (2). Mostre que elas formam um conjunto
fundamental de soluções se r1 6= r2 .
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Teorema
Considere a equação diferencial
L[y ] = y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0,
cujos coeficientes p e q são contı́nuos em algum intervalo aberto I .
Escolha algum ponto t0 em I . Seja y1 a solução da equação, que
tambem satisfaz as condições iniciais
y (t0 ) = 1,
y 0 (t0 ) = 0,
e seja y2 a solução da equação que satisfaz as condições iniciais
y (t0 ) = 0,
y 0 (t0 ) = 1.
então y1 e y2 formam um conjunto fundamental de soluções da
equação.
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Teorema de Abel
Se y1 e y2 são soluções da equação diferencial
L[y ] = y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0,
em que p e q são contı́nuas em um intervalo aberto I , então o
wronskiano W (y1 , y2 )(t) é dado por
Z
W (y1 , y2 )(t) = c exp − p(t)dt ,
onde c é uma certa constante que só depende de y1 e y2 , mas não
de t. Além disso, W (y1 , y2 )(t) ou é nulo para todo t em I (se
c = 0) ou nunca se anula em I (se c 6= 0).
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Exercı́cios recomendados
Seção 3.2:
1 a 14;
17 e 18;
22 a 30;
34 e 35.
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Referências
BOYCE, W., DIPRIMA, R. Equações Diferenciais e Problemas de Valores de
Contorno. 9 ed. Rio de Janeiro: LTC, 2012.
LIMA, P. Equações Diferenciais A. Disponı́vel em:
<http://www.mat.ufmg.br/∼lima/apostilas/apostila eda.pdf>. Acessado em
19/03/2013.
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