Lista de Exercícios de Eq. Diferenciais 1 Terceira Monitoria 1

Lista de Exercícios de Eq. Diferenciais 1
Terceira Monitoria
1.
Suponha que y1 (t) seja solução, que não se anula, da equação diferencial
y 00 + p(t)y 0 + q(t)y = 0.
(a)
Mostre que uma segunda solução, y2 , satisfaz a equação diferencial
y2
y1
!0
=
W (y1 , y2 )
,
y12
em que W (y1 , y2 ) é o Wronskiano de y1 e y2 . Depois utilize o Teorema de Abel para
determinar uma fórmula para encontrar y2 .
(b)
Utilizando o método sugerido no item (a) encontre uma segunda solução para a equação
√
ty 00 − y 0 + 4t3 y = 0, 0 < t < π
sabendo que y1 (t) = sin (t2 ) é solução. Verifique que a função encontrada é solução da
equação diferencial.
2.
A equação diferencial
xy 00 − (x + N )y 0 + N y = 0,
em que N é um número inteiro não negativo, já foi discutida por diversos autores. Uma razão
para esse interesse é que a mesma possui uma solução exponencial e uma solução polinomial.
(a)
Verifique que uma solução é y1 (x) = ex .
(b)
Utilizando o método
´ Nda−xredução de ordem, verifique que uma segunda solução tem a
x
forma y2 (x) = ce x e dx. Calcule y2 (x) para N = 1 e N = 2 utilizando a constante
c = −1/N !. Perceba, que no caso geral, para c = 1/N !, temos
y2 (x) = 1 +
x
x2
xN
+
+ ··· +
.
1!
2!
N!
Observe que y2 (x) é precisamente a soma das N + 1 parcelas da série de Taylor para ex
em torno de x = 0, isto é, da série de Taylor para y1 (x).
1
Gabarito
1.
(a) Sabemos que o Wronskiano é dado por W (y1 , y2 ) = y20 y1 − y10 y2 , assim, dividindo os dois
lados por y12 , temos que
W
y20
y10
=
−
y
2 2.
y12
y1
y1
Percebendo que o lado direito é uma derivada do quociente, temos que
y2
y1
!0
=
W (y1 , y2 )
.
y12
Pelo Teorema de Abel o Wronskiano é dado por
W (y1 , y2 ) = c1 e−
e portanto,
ˆ
e−
y2 = c1 y1
´
´
p(t)dt
p(t)dt
y12
dt.
(b) Pelo Teorema de Abel, temos que o Wronskiano da equação
é dado por W = e−
´
1
y 00 − y 0 + 4t2 y = 0
t
1/tdt
= c1 t. Assim, a solução geral y(t) pode ser escrita como
ˆ
t
y(t) = c1 sin t2
2 2 dt
sin (t )
ˆ
= c1 sin t2
t csc2 t2 dt
h
i
c1
sin t2 cot t2 + c2
2 = k1 cos t2 + k2 sin t2 ,
= −
sendo que y2 (t) = cos (t2 ) .
2.
(a) Basta substituir a função y1 na equação diferencial.
(b) Supondo que a segunda solução da equação seja dada por y2 (x) = u(x)ex , então y20 (x) =
u0 (x)ex + u(x)ex e y200 (x) = u00 (x)ex + 2u0 (x)ex + u(x)ex . Substituindo as derivadas na equação
diferencial, temos
N
00
− 1 u0 ,
u =
x
´
logo, u0 (x) = cxN e−x e, portanto, u(x) = c xN e−x dx. Finalmente, temos que a solução é
dada por
ˆ
x
y2 (x) = ce
xN e−x dx.
Para N = 1, calculando a integral por partes, temos
y2 (x) = cex −xe−x − e−x
= −c(1 + x),
2
como c = −1/1!, então y2 (x) = 1 + x. Para N = 2, novamente calculando a integral por
partes, temos
y2 (x) = cex −x2 e−x − 2xe−x − 2e−x
= −c 2 + 2x + x2 ,
como c = −1/2!, então y2 (x) = 1 + x + x2 /2!. Por indução, pode-se verificar que
y2 (x) = 1 +
x2
xN
x
+
+ ··· +
.
1!
2!
N!
3