CE-003: Estat´ıstica II, turma H

CE-003: Estatı́stica II, turma H
1a Prova (2a chamada) - 2o semestre 2005 (06 de outubro de 2005)
1. (2,0 pontos) O tempo de vida de um componente eletrônico tem distribuição exponencial com tempo
médio de vida de 2 anos.
X ∼ Exp(λ = 2)
f (x) = λ exp{−λx}
(a) qual a probabilidade de que o dure menos que 18 meses?
Z 18
P [X < 1.5] =
f (x)dx
0
> pexp(1.5, rate = 1/2)
[1] 0.5276334
(b) em um lote de 3,000 componentes quantos devem durar mais que 3 anos?
Z 18
3.000 . P [X > 3] = 3.000
f (x)dx
0
> 3000 * pexp(3, rate = 1/2, low = F)
[1] 669.3905
(c) qual o tempo até o qual se espera que 90% dos componentes falhem?
Z
P [X < t] = 0.90
t
f (x)dx = 0.90
0
> qexp(0.9, rate = 1/2)
[1] 4.60517
(d) Você compra um equipamento que tem 30 meses, com o componente em funcionamento, e planeja
mantê-lo por mais 1 ano. Qual a probabilidade de que o componente falhe durante o perı́odo
que você pretende manter o equipamento?
P [2, 5 < X < 3, 5|X > 2.5]
> (pexp(3.5, rate = 1/2) - pexp(2.5, rate = 1/2))/(1 - pexp(2.5, rate = 1/2))
[1] 0.3934693
ou, usando a propriedade da ”falta de memória”da exponencial, simplesmente:
> pexp(1, rate = 1/2)
[1] 0.3934693
2. (3,0 pontos) Os dados a seguir são medidas da intensidade de insolação (watts/m2 ) tomadas em
diferentes dias em um certo local.
562
918
957
869
558
693
708
768
835
775
870
905
775
918
939
704
940
955
809
946
960
856
661
498
655
820
563
806
898
730
878
935
753
909
952
0
500
2
600
700
Frequency
4
800
6
900
8
> par(mfrow = c(1, 2), mar = c(3, 3, 0, 0), mgp = c(2, 1, 0))
> hist(insola)
> boxplot(insola)
Histogram of insola
500
600
700
800
insola
900
1000
Figura 1: Histograma (esquerda) e boxplot (direita) dos dados de insolação da Questão 2.
> insola <- c(562, 869, 708, 775, 775, 704, 809, 856, 655, 806, 878, 909, 918,
+
558, 768, 870, 918, 940, 946, 661, 820, 898, 935, 952, 957, 693, 835, 905,
+
939, 955, 960, 498, 563, 730, 753)
(a) construa um histograma dos dados
(b) construa um box-plot
(c) comente sobre os principais aspectos da distribuição destes dados baseando-se nos gráficos do
problema anterior
Resp: comentar sobre medida(s) de posição, dispersão, assimetria e presença de dados discrepantes
(d) calcule a média e mediana dos dados
> mean(insola)
[1] 807.9429
> median(insola)
[1] 835
(e) calcule o desvio padrão e amplitude interquartı́lica
> sd(insola)
[1] 132.4044
> unname(diff(quantile(insola, prob = c(0.25, 0.75))))
[1] 199
(f) calcule o coeficiente de variação e a amplitude total
> 100 * sd(insola)/mean(insola)
[1] 16.38785
> diff(range(insola))
[1] 462
3. (3,0 pontos) Um lote de 100 chips semicondutores contém 20 defeituosos. Seleciona-se dois ao acaso
do lote, sem reposição.
(a) qual a probabilidade de que o segundo seja defeituoso, sabendo que o primeiro não era defeituoso?
P [X1 = D̄, X2 = D] =
80 20
.
= 0.162
100 99
(b) qual a probabilidade de ambos sejam defeituosos?
P [X1 = D, X2 = D] =
20 19
.
= 0.038
100 99
(c) qual a probabilidade do ı́tem anterior caso o primeiro chip com defeito seja retornado ao lote
antes da retirada do segundo?
P [X1 = D, X2 = D] =
20
20
.
= 0.04
100 100
(d) retirando-se 8 chips, qual a probabilidade de que no máximo 1 seja defeituoso?
X ∼ HG(N = 100, n = 8, k = 20)
P [X ≤ 1] = P [X = 0] + P [X = 1]
> phyper(1, 20, 80, 8)
[1] 0.4971944
(e) suponha agora que os chips são retirados um a um até que se encontre o primeiro defeituoso. Qual
a probabilidade de que sejam necessárias mais que 3 retiradas para que se encontre o primeiro
defeituoso?
X ∼ G(p = 20/100)
P [X > 3] = 1 − P [X = 1] − P [X = 2] − P [X = 3]
> 1 - pgeom(2, p = 20/100)
[1] 0.512
(f) suponha que 12 chips são retirados de uma só vez. Qual a probabilidade de que se encontre no
máximo 2 defeituosos?
X ∼ HG(N = 100, n = 12, k = 20)
P [X ≤ 2] = P [X = 0] + P [X = 1] + P [X = 2]
> phyper(2, 20, 80, 12)
[1] 0.5546668
4. (2,0 pontos) O peso de um tênis de corrida sofisticado é normalmente distribuı́do com média de 12
onças (onça é uma unidade de peso) e desvio padrão de 0,5 onças.
X ∼ N (12, 0.52 )
(a) qual a probabilidade de um tênis pesar mais que 13,2 onças?
P [X > 13.2]
> 1 - pnorm(13.2, mean = 12, sd = 0.5)
[1] 0.008197536
(b) qual a probabilidade de um tênis pesar entre 11,6 e 12,7 onças?
P [11.6 < X < 12.7]
> pnorm(12.7, mean = 12, sd = 0.5) - pnorm(11.6, mean = 12, sd = 0.5)
[1] 0.707388
(c) quanto deveria ser o desvio padrão para que 99,9% dos tênis tenham menos que 13 onças?
P [X < 13] = 0.999 ; σ =?
> (13 - 12)/qnorm(0.999)
[1] 0.3236003
(d) se o desvio padrão se mantiver em 0,5, quanto deveria ser a média para que 99,9% dos tênis
tenham menos que 13 onças?
P [X < 13] = 0.999 ; µ =?
> 13 - 0.5 * qnorm(0.999)
[1] 11.45488