Lema 1 Seja V espaço vetorial e L : V → V operador nilpotente de

Lema 1 Seja V espaço vetorial e L : V → V operador nilpotente de

Lema 1 Seja V espaço vetorial e L : V → V operador nilpotente de grau q ≥ 2. Seja
{x1 , x2 , . . . , xk } ⊂ N (Lr ) conjunto linearmente independente, onde 2 ≤ r ≤ q. Assuma
ainda que span{x1 , x2 , . . . , xk }∩N (Lr−1 ) = {0}. Então {x1 , x2 , . . . , xk , Lx1 , Lx2 , . . . , Lxk }
é linearmente independente e span{x1 , x2 , . . . , xk , Lx1 , Lx2 , . . . , Lxk } ∩ N (Lr−2 ) = {0}.
Demonstração
Seja x ∈ span{x1 , x2 , . . . , xk , Lx1 , Lx2 , . . . , Lxk } ∩ N (Lr−2 ). Então
Pk
x = i=1 αi xi + βi Lxi e Lr−2 x = 0, o que implica Lr−1 x = 0. Lembrando que xi ∈
P
P
P
N (Lr )∀i, temos Lr−1 ki=1 αi xi + βi Lxi = Lr−1 ki=1 αi xi = 0 e portanto ki=1 αi xi ∈
span{x1 , x2 , . . . , xk } ∩ N (Lr−1 ) = {0}. Como os xiP
’s são linearmente independentes,
conclui-se que os αi ’s são todos zero. Assim, x = ki=1 βi Lxi ∈ N (Lr−2 ) e portanto
P
Lr−1 ki=1 βi xi = 0. Como anteriormente, conclui-se que os βi ’s são todos zero. Desta
forma, temos x = 0.
{x1 , x2 , . . . , xk , Lx1 , Lx2 , . . . , Lxk }. Suponha
Pde
Pk Falta provar a independência linear
k
r−1
α x = 0 e, como acima, concluimos que os
α
x
+
β
Lx
=
0.
Então
L
i
i
i=1 i i
Pk i=1 i i
Pk
r−2
r−1
αi ’s são todos zero. Portanto, L
i=1 αi xi + βi Lxi = L
i=1 βi xi = 0 e, uma vez
mais, concluimos que os βi ’s são todos zero.
Definição 2 Bloco de Jordan de tamanho q é uma matriz q × q de entradas
1, se i + 1 = j
(Jq )ij =
0, se i + 1 6= j.
Por exemplo,

0
 0
J4 = 
 0
0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
0 
.
1 
0
Observação 3 Seja L nilpotente e x e k tais que Lk x = 0 6= Lk−1 x. Defina β =
{Lk−1 x, Lk−2 x, . . . , L2 x, Lx, x} e M = span(β). Então β é linearmente independente e
M é invariante por L. Ademais, [L|M ]β = Jk .
Definição 4 Se L : V → V é nilpotente de grau q > 1, defina νk = ν(Lk ), k =
0, 1 . . . , q, q + 1. Note que 0 = ν0 < ν1 < · · · < νq−1 < νq = νq+1 = dim(V ).
Lema 5 Se L é uma transformação linear nilpotente, então existe uma base β tal que
[L]β = diag(Jd1 , Jd2 , . . . , Jdnb ), com d1 ≥ d2 ≥ · · · ≥ dnb . Os inteiros nb , d1 , d2 , . . . , dnb
são completamente determinados por L.
Exercı́cio 6 Mostre que o número de bloquinhos de Jordan de tamanho k × k é igual
a (νk − νk−1 ) − (νk+1 − νk ), para 1 ≤ k ≤ q.
(q)
(q)
(q)
Demonstração Tome uma base β (q−1) para N (Lq−1 ) e sejam x1 , x2 , . . . , xνq −νq−1
(q)
(q)
(q)
tais que {β (q−1) , x1 , x2 , . . . , xνq −νq−1 } seja base de V . Seja β (q−2) base para N (Lq−2 ).
(q)
(q)
(q)
Do Lema 1, sabemos que {β (q−2) , Lx1 , Lx2 , . . . , Lxνq −νq−1 } é linearmente independente e pode, portanto, ser completado a uma base de N (Lq−1 ):
(q)
(q)
(q)
(q−1)
(q−1)
(q−1)
{β (q−2) , Lx1 , Lx2 , . . . , Lxνq −νq−1 , x1 , x2 , . . . , x(νq−1 −νq−2 )−(νq −νq−1 )(νq−1 −νq−2 )−(νq −νq−1 ) }.
1
Este processo, repetido à exaustão, nos leva à construção de uma base da forma
{x
(q)
(q)
(q)
(q−1)
Lx1 , Lx2 , . . . , Lxn−νq−1 , x1
(q−1)
, x2
(q)
(q)
(q)
1 , x2 , . . . , xn−νq−1 ,
(q−1)
, . . . , x(νq−1 −νq−2 )−(νq −νq−1 ) ,
...
(1)
(1)
(1)
x1 , x2 , . . . , x2ν1 −ν2
}
2