Consideraç˜oes sobre - Escola Criacionista

Transcrição

Considerações sobre
• Leis Fı́sicas
• Cosmologia
• Métodos de Datação
Eduardo F. Lütz
Março de 2009
ii
Sumário
I
Assuntos Principais
1 Introdução
1.1 Objetivo e Estratégia . . . . . . . .
1.2 Barreiras Filosóficas . . . . . . . .
1.3 Fé e Razão . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Confiança em Fontes . . . .
1.3.2 Cenário Bı́blico . . . . . . .
1.3.3 Cenário Evolucionista . . .
1.4 Criacionismo Versus Evolucionismo
1.5 Conceitos de Ciência . . . . . . . .
1
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
2 A Matemática e as Leis Fı́sicas
2.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Relação entre Matemática e Leis Fı́sicas
2.3 O Papel da Matemática . . . . . . . . .
2.4 Sem Matemática Não Há Ciência . . . .
2.5 Equações Diferenciais . . . . . . . . . .
2.6 Princı́pios e Consequências . . . . . . .
2.7 Simetrias e Conservação . . . . . . . . .
2.8 Definições e Classificações . . . . . . . .
2.8.1 Um Contexto-Exemplo . . . . . .
2.8.2 Aplicação . . . . . . . . . . . . .
2.8.3 Um Contexto Mais Amplo . . . .
2.8.4 Classificações . . . . . . . . . . .
3 Cosmologia
3.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Uma Revolução Geométrica . . . . . . .
3.3 Geometrias Não-Euclidianas . . . . . . .
3.4 A Constante Cosmológica . . . . . . . .
3.5 Primeiras Soluções . . . . . . . . . . . .
3.5.1 Buracos Negros . . . . . . . . . .
3.5.2 Universo Homogêneo e Isotrópico
3.6 Primeiras Evidências . . . . . . . . . . .
3.6.1 Avermelhamento . . . . . . . . .
3.6.2 Radiação Cósmica de Fundo . . .
3.7 Ponderações . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7.1 Resistência Geral . . . . . . . . .
3.7.2 Ceticismo entre Criacionistas . .
3.7.3 Velocidade da Luz Variável? . . .
3.7.4 Universo Não-Homogêneo? . . .
3.7.5 O Modelo de Gentry . . . . . . .
3.8 Questões Frequentes . . . . . . . . . . .
3.8.1 De Onde Veio a Energia? . . . .
3.8.2 Pecado e Leis Fı́sicas . . . . . . .
3.9 Primeiros Instantes e Teologia Bı́blica .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
iii
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
3
3
4
4
4
5
6
7
9
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
11
11
11
11
12
12
14
14
15
15
16
16
17
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
19
19
19
20
21
21
21
21
22
22
23
24
24
24
25
25
26
26
26
27
28
iv
SUMÁRIO
4 Métodos de Datação
4.1 Introdução . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Ideias Preliminares . . .
4.1.2 Tipos de Métodos . . .
4.2 Estrutura da Matéria . . . . . .
4.2.1 Vácuo . . . . . . . . . .
4.2.2 As Partı́culas . . . . . .
4.2.3 Os átomos . . . . . . . .
4.3 Primeira Aplicação . . . . . . .
4.3.1 Estrutura da Matéria .
4.3.2 Decaimento Radioativo
4.3.3 Decaimento Exponencial
4.3.4 Meia vida . . . . . . . .
4.3.5 Vida Média . . . . . . .
4.4 O Método do Carbono 14 . . .
4.4.1 Dados Coletados . . . .
4.4.2 A Idade da Amostra . .
4.4.3 As Hipóteses . . . . . .
4.4.4 Objeções Comuns . . .
4.4.5 Conclusão . . . . . . . .
4.5 Isócronas . . . . . . . . . . . .
4.5.1 Princı́pios . . . . . . . .
4.5.2 Pontos Frágeis . . . . .
4.6 Testes de Céticos . . . . . . . .
II
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
Apêndices
31
31
31
31
32
32
33
33
33
34
34
35
35
35
35
35
36
36
36
37
38
38
39
39
41
A O Método Cientı́fico
A.1 Introdução . . . . . . . . . . . .
A.2 Os Dois Fundamentos . . . . .
A.2.1 Observação Controlada
A.2.2 Sistematização Formal .
A.3 Palavras Importantes . . . . . .
A.3.1 Axioma . . . . . . . . .
A.3.2 Hipótese . . . . . . . . .
A.3.3 Lei . . . . . . . . . . . .
A.3.4 Modelo . . . . . . . . .
A.3.5 Postulado . . . . . . . .
A.3.6 Teoria . . . . . . . . . .
A.4 O Fundamento Maior . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
43
43
43
43
44
44
44
44
44
44
44
44
45
B O Raciocı́nio Formal
B.1 Objetividade . . . . . . . . .
B.2 O Método Axiomático . . . .
B.2.1 O Uso de Axiomas . .
B.2.2 Definições . . . . . . .
B.2.3 Exemplo . . . . . . . .
B.3 Do Simples para o Complexo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
47
47
47
47
47
47
48
C Aplicação do Método Cientı́fico à Teoria da Evolução
C.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2 Perspectiva Histórica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.1 Contexto Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.2.2 Contexto Histórico . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.3 Perspectiva Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.4 O Conceito de Evolução . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.5 Evolução do Universo . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.6 A Teoria de Darwin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
C.7 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
49
49
49
49
50
53
54
56
56
58
.
.
.
.
.
.
SUMÁRIO
v
D Reducionismo Versus Holismo
D.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1.1 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1.2 Posições Antagônicas? . . . . . . . . .
D.1.3 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . . .
D.1.4 Contradições . . . . . . . . . . . . . .
D.1.5 Sobre o Exemplo Formal . . . . . . . .
D.2 Conceitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . .
D.2.2 Argumento do Espantalho . . . . . . .
D.2.3 Aperfeiçoando os Conceitos . . . . . .
D.3 Antagonismo ou Inclusão? . . . . . . . . . . .
D.4 Contradição . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
D.5 A Mecânica Estatı́stica . . . . . . . . . . . . .
D.6 Exemplo Formal . . . . . . . . . . . . . . . .
D.6.1 Base para a Abordagem Holista . . . .
D.6.2 Base para a Abordagem Reducionista
D.6.3 Princı́pio de Hamilton . . . . . . . . .
D.6.4 Abordagem Holista . . . . . . . . . . .
D.6.5 Abordagem Reducionista . . . . . . .
D.6.6 A Relação de Inclusão . . . . . . . . .
D.7 Comentários Finais . . . . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
61
61
61
61
61
61
61
62
62
62
62
63
63
63
64
64
64
64
64
65
67
67
E A Natureza Hiperbólica do Espaço-Tempo
E.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.2 Os Postulados de Euclides . . . . . . . . . . . .
E.3 A Teoria Eletromagnética . . . . . . . . . . . .
E.4 A Relatividade Especial . . . . . . . . . . . . .
E.4.1 Algumas Noções Importantes . . . . . .
E.4.2 O Significado da 4-distância . . . . . . .
E.5 Conseqüências dos Princı́pios da Relatividade .
E.5.1 Dilatação do Tempo e Similares . . . . .
E.5.2 Spin e Antimatéria . . . . . . . . . . . .
E.6 A Teoria de Maxwell e a Velocidade da Luz . .
E.7 Equações de Maxwell na Geometria Diferencial
E.7.1 O Vetor do Campo Eletromagnético . .
E.7.2 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.7.3 Tensores Antissimétricos . . . . . . . . .
E.7.4 Vetores Axiais . . . . . . . . . . . . . .
E.7.5 p-formas . . . . . . . . . . . . . . . . . .
E.7.6 Produto Exterior . . . . . . . . . . . . .
E.7.7 Derivada Exterior . . . . . . . . . . . .
E.7.8 Equações de Maxwell Revisitadas . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
69
69
69
70
71
71
72
72
72
73
75
75
76
76
76
76
77
77
77
78
F Conceitos Matemáticos Fundamentais
F.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . .
F.2 A Teoria dos Conjuntos . . . . . . . .
F.2.1 Definições Preliminares . . . .
F.2.2 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .
F.3 Estruturas Algébricas . . . . . . . . .
F.3.1 Introdução . . . . . . . . . . .
F.3.2 Grupo . . . . . . . . . . . . . .
F.3.3 Anel . . . . . . . . . . . . . . .
F.3.4 Corpo . . . . . . . . . . . . . .
F.3.5 Módulo e Espaço Vetorial . . .
F.3.6 Espaço Topológico . . . . . . .
F.3.7 Considerações Gerais . . . . . .
F.3.8 Exercı́cios . . . . . . . . . . . .
F.4 Conceitos Adicionais . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
81
81
81
82
82
82
82
82
83
83
83
83
83
84
84
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
vi
SUMÁRIO
F.5
F.6
F.7
F.8
F.9
F.10
F.11
F.12
F.4.1 Conjunto Vazio . . . . . . . . . . . .
F.4.2 Subconjunto . . . . . . . . . . . . .
F.4.3 União . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.4.4 Intersecção . . . . . . . . . . . . . .
F.4.5 Diferença . . . . . . . . . . . . . . .
F.4.6 Diferença Simétrica . . . . . . . . .
F.4.7 Complemento . . . . . . . . . . . . .
F.4.8 Comentário Adicional sobre Relações
F.4.9 Relação de Igualdade . . . . . . . . .
F.4.10 Conjunto Potência . . . . . . . . . .
F.4.11 Grupóide e Semigrupo . . . . . . . .
Primeiras Definições em Lógica Formal . . .
F.5.1 Malha . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.5.2 Malha Distributiva . . . . . . . . . .
F.5.3 Álgebra Booleana . . . . . . . . . . .
Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Revisão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
F.8.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . .
Topologia: Exercı́cio . . . . . . . . . . . . .
Álgebra Booleana . . . . . . . . . . . . . . .
F.10.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . .
Operações n-árias . . . . . . . . . . . . . . .
F.11.1 Uma Álgebra Booleana . . . . . . .
Lógica das Proposições . . . . . . . . . . . .
F.12.1 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . .
F.12.2 Outras Operações Lógicas . . . . . .
F.12.3 Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . .
F.12.4 Uma Falácia . . . . . . . . . . . . .
G Números Reais e Complexos
G.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
G.2 Números Naturais . . . . . . . . . .
G.2.1 Aplicação Biunı́voca . . . . .
G.2.2 Aplicação Sobrejetora . . . .
G.2.3 Classe de Equivalências . . .
G.2.4 Cardinalidade e Equipotência
G.3 Operações com Cardinais . . . . . .
G.3.1 Operações Básicas . . . . . .
G.3.2 Operações Secundárias . . . .
G.3.3 Considerações Gerais . . . . .
G.4 Números Reais . . . . . . . . . . . .
G.4.1 Axiomas . . . . . . . . . . . .
G.4.2 Conceitos Auxiliares . . . . .
G.5 Estrutura dos Reais: Corpo Abeliano
G.5.1 Corpo . . . . . . . . . . . . .
G.5.2 Conjunto Ordenado . . . . .
G.5.3 Corpo Arquimediano . . . . .
G.5.4 Outras Considerações . . . .
G.6 Números Complexos . . . . . . . . .
G.6.1 Definição . . . . . . . . . . .
G.6.2 Notação para Complexos . .
G.6.3 Complexo Conjugado . . . .
G.6.4 Norma de um Complexo . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Arquimediano Ordenado Completo
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
H O Caráter Exponencial do Decaimento Radioativo
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
84
84
84
84
84
84
84
84
84
85
85
85
85
85
85
86
86
86
86
87
87
87
87
88
88
88
88
89
89
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
91
91
91
91
91
91
91
92
92
92
92
92
92
93
93
93
93
93
93
93
93
94
94
94
95
SUMÁRIO
I
Leis
I.1
I.2
I.3
vii
de Newton
Enunciado . . . . . . . . . . . . . . . . .
As Leis de Kepler . . . . . . . . . . . . .
Leis de Newton Geram Leis de Kepler .
I.3.1 Objetos Esfericamente Simétricos
I.3.2 A Segunda Lei de Kepler . . . .
J A Mecânica Quântica
J.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
J.2 Fundamentos Teóricos . . . . . . .
J.3 Autovetores e Autovalores . . . . .
J.4 Operadores Lineares Autoadjuntos
J.5 O Princı́pio da Correspondência . .
J.6 Comutadores . . . . . . . . . . . .
J.7 A Equação de Schrödinger . . . . .
J.8 Equação de Klein-Gordon . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
97
97
97
97
97
98
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
101
101
101
102
102
103
103
103
103
Átomo com 1 Elétron
Introdução . . . . . . . . . . . . . . .
Equação de Schrödinger . . . . . . .
Mudança de Coordenadas . . . . . .
Separação do Tempo . . . . . . . . .
Separação de Coordenadas . . . . . .
Centro de Massa . . . . . . . . . . .
Coordenadas Relativas . . . . . . . .
K.7.1 Solução para a parte angular
K.7.2 Solução para a Parte Radial .
K.8 Soluções . . . . . . . . . . . . . . . .
K.9 Exemplos . . . . . . . . . . . . . . .
K.9.1 Orbital 1s . . . . . . . . . . .
K.9.2 Orbital 2s . . . . . . . . . . .
K.9.3 Orbitais 2p . . . . . . . . . .
K.9.4 Orbital 3s . . . . . . . . . . .
K.9.5 Orbitais 3p . . . . . . . . . .
K.9.6 Orbitais 3d . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
105
105
105
105
106
106
106
107
107
108
108
109
109
109
109
109
109
109
L A Equação de Einstein
L.1 Tensores . . . . . . . . . . . . . . . . . .
L.2 Contração de Tensores . . . . . . . . . .
L.3 O Tensor Métrico . . . . . . . . . . . . .
L.4 A Derivada Covariante . . . . . . . . . .
L.5 O Tensor de Curvatura . . . . . . . . . .
L.6 O Tensor de Ricci . . . . . . . . . . . .
L.7 Escalar de Curvatura . . . . . . . . . . .
L.8 As Identidades de Bianchi . . . . . . . .
L.8.1 Primeira Identidade de Bianchi .
L.8.2 Identidade de Bianchi Contraı́da
L.9 Conservação de Energia . . . . . . . . .
L.10 A Equação de Einstein . . . . . . . . . .
L.11 Buracos Negros . . . . . . . . . . . . . .
L.12 Buracos de Verme . . . . . . . . . . . .
L.13 Friedman-Lemaı̂tre . . . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
111
111
112
113
113
115
115
115
116
116
116
116
116
117
117
117
Luz
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
. . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
119
119
119
119
119
120
120
K Um
K.1
K.2
K.3
K.4
K.5
K.6
K.7
M Possı́vel Decaimento da Velocidade
M.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . .
M.2 Contexto . . . . . . . . . . . . . .
M.3 Problemas Conceituais . . . . . . .
M.3.1 Primeiro Problema . . . . .
M.3.2 Segundo Problema . . . . .
M.3.3 Terceiro Problema . . . . .
da
. .
. .
. .
. .
. .
. .
viii
SUMÁRIO
M.4 Consequências na Relatividade Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
M.5 Tempo Atômico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
M.6 Efeito em Constantes de Decaimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
N O Que É Energia?
N.1 Introdução . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
N.2 Estados de Sistemas Fı́sicos . . . . . . . . .
N.2.1 Vetores . . . . . . . . . . . . . . . .
N.2.2 Operadores . . . . . . . . . . . . . .
N.2.3 Autovetores e Autovalores . . . . . .
N.2.4 Comutadores . . . . . . . . . . . . .
N.3 Geradores de Transformações . . . . . . . .
N.3.1 Teoremas Importantes . . . . . . . .
N.3.2 Aplicação dos Teoremas . . . . . . .
N.4 Definição de Energia . . . . . . . . . . . . .
N.5 Conservação de Energia . . . . . . . . . . .
N.6 Algumas Consequências da Conservação . .
N.6.1 O Que É Massa? . . . . . . . . . . .
N.6.2 Aniquilação Partı́cula-Antipartı́cula
N.6.3 Massa de uma Caixa com Fótons . .
N.6.4 Massa Gravitacional . . . . . . . . .
N.6.5 Ondas e Partı́culas . . . . . . . . . .
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
123
123
123
123
124
124
124
125
125
125
126
126
127
127
128
129
129
130
Parte I
Assuntos Principais
1
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
Objetivo e Estratégia
Ao longo dos próximos capı́tulos, trataremos de algumas
questões relacionadas a Matemática, leis fı́sicas, Cosmologia e métodos de datação. Por serem temas tecnicamente
pesados e interdisciplinares, procuramos amenizar a dificuldade para o leitor por meio da seguinte estratégia:
faz-se uso muito parcimonioso de linguagens formais (matemáticas) nos capı́tulos principais, sendo apresentados alguns detalhes técnicos em apêndices e notas de rodapé. E,
mesmo nestes apêndices, procuramos evitar o excesso de
rigor matemático quando isso tende a tornar o assunto menos acessı́vel para pessoas com formação em áreas como
as engenharias. Isto é verdade mesmo para apêndices
como o L, por exemplo, o qual, apesar de parecer pesado
para o leigo, foi bastante simplificado, evitando-se detalhes
técnicos muito avançados da Geometria Diferencial.
O (pouco) uso que se faz de linguagens matemáticas
serve apenas para ilustrar ideias sobre o assunto. Desta
forma, os leitores pouco familiarizados à linguagem cientı́fica podem ter mais facilidade de acompanhar o texto,
ao passo que os leitores razoavelmente familiarizados com
métodos formais podem beneficiar-se dos apêndices.
Uma olhada nos comentários que aparecem nos mesmo
nos apêndices mais técnicos pode ser útil mesmo àquelas
pessoas para quem a simbologia formal não faz sentido.
É importante ter em mente que não existe conhecimento
genuı́no de leis fı́sicas sem conhecimentos matemáticos
adequados, como equações diferenciais, no mı́nimo.
Apesar de nossos esforços para simplificar a linguagem e não entrar em detalhes demasiadamente complexos, aconselha-se o leitor a fazer uso de recursos como a
Wikipédia para obter esclarecimentos sobre conceitos utilizados, uma vez que não é possı́vel incluirmos neste material todos os pré-requisitos necessários a um entendimento
profundo de cada assunto.
Ainda assim, colocamos algum material introdutório a
vários assuntos nos apêndices. Esses assuntos incluem
desde recomendações quanto a conceitos filosóficos até
conceitos básicos sobre Teoria dos Conjuntos, Geometria
Diferencial, estrutura da natéria, Mecânica Quântica, Relatividade Especial, Relatividade Geral e alguns outros temas de utilidade.
O objetivo deste material é o de servir como ponto de
partida para futuros aprofundamentos em certas áreas
básicas do conhecimento como preparação para estudos
envolvendo a controvérsia entre Criacionismo e Evolucionismo.
Este não é um material que passou por um processo
completo de revisão em todos os detalhes e não tem a
pretenção de ser isento de erros (alguma distração pode
ter ocorrido em função da escassez de tempo), o que não
o impede de servir de ponto de partida para pesquisas e
discussões.
Por outro lado, o leitor não deve simplesmente descartar
informações ou argumentos por lhe parecerem estranhos,
pois abordamos muitos assuntos cujo entendimento depende de coisas que ultrapassam os limites da intuição humana, mesmo que pareçam corriqueiros à primeira vista.
Deve o leitor levar tudo em consideração o suficiente para
investigar com cuidado antes de pensar que encontrou alguma “bobagem” nestes comentários.
Descrevemos alguns cenários que achamos pouco prováveis (como o de uma rápida redução da velocidade da
luz nos últimos milênios). Porém, como é de nosso costume, procuramos dar um crédito de confiança a cenários
alternativos quando fazemos a avaliação formal dos mesmos, chegando ao ponto de corrigir argumentos equivocados para ver como afetam as conclusões.
O alvo primário é o público criacionista, mas evolucionistas também são bem-vindos a colaborar para cooperarem com os criacionistas no aprofundamento dos assuntos
aqui tratados ou na correção de argumentos. Pontos de
vista diferentes facilitam a eliminação de maus argumentos, desde que haja honestidade e sincera busca pela verdade. Esse processo pode, contudo, ser arruinado quando
surge irritação em relação a pontos de vista alheios. Isso
obscurece a mente e tende a transformar-se em um sério
obstáculo à investigação, independentemente de a pessoa
afetada ter ou não razão inicialmente.
É importante ter em mente que nem todas as pessoas
que defendem pontos de vistas diferentes dos nossos são
“idiotas” ou mal-intencionadas, mesmo quando vemos argumentos que nos parecem pueris. Muitas vezes, o ponto
de vista que defendem pode ter mérito mas estar sendo temas abertos. Isso é um absurdo do ponto de vista fı́sico, mas a
idéia básica por trás desse argumento poderia ser melhor defendida
defendido de maneira equivocada1 .
1 Por
afirmando-se que a entropia de um sistema aberto pode diminuir
com o tempo sob certas condições.
exemplo, há quem afirme que não existe entropia em sis-
3
4
1.2
CAPÍTULO 1. INTRODUÇÃO
Barreiras Filosóficas
A revolução cientı́fica, promovida por Galileo Galilei e outros, trouxe em sua essência os elementos indicativos da
necessidade e da possibilidade de usar-se a Matemática
para aprofundar estudos em todas as áreas. Embora esse
impulso tenha produzido formidáveis frutos na Fı́sica e
áreas afins, o uso que se faz da Matemática em outras
áreas é insignificante comparado ao que deveria ser.
Isso abre as portas para uma série de distorções, as quais
atingem massa crı́tica e espalham-se pela sociedade na
forma de preconceitos e crendices populares entre filósofos
da ciência.
Em vários momentos, faremos uso de conceitos que não
estão em perfeita sincronia com ideias popularmente aceitas, mas procuraremos sinalizar e esclarecer os motivos
sempre que possı́vel.
Entre as ideias populares que servem de barreira contra
o aprofundamento encontramos até mesmo preconceitos
associados a itens fundamentais, como conceitos de Matemática e de Ciência.
Com estas coisas em mente, gastaremos algum tempo
desfazendo equı́vocos antes de podermos avançar para coisas mais úteis.
Embora haja uma realimentação entre Filosofia e Ciência, é importante ter presente o fato de que a Filosofia
está presa aos limites da mente humana, enquanto a metodologia cientı́fica beneficia-se de informações externas,
às vezes até contrárias à intuição dos próprios cientistas.
A Filosofia não é um instrumento adequado para validar
ou não a Ciência. Para este fim a Matemática é usada,
tanto no caso da avaliação de evidências experimentais
quanto no caso do estudo de relações entre sistemas. E
é com este referencial que somos capazes de perceber distorções filosóficas. Note-se que isto não faria sentido se a
Matemática fosse uma construção humana, como é comum
acreditar-se. Mas isso é uma longa história, discutida em
parte no apêndice C, por exemplo.
O método cientı́fico caracteriza-se por ser muito mais
eficiente do que outras formas de investigação e organização de conhecimentos, desde que seja definido corretamente. Tal grau de eficiência nos permite diferenciar
o método cientı́fico genuı́no de definições expúrias. Na
tentativa de incluir ideias e pesquisas menos rigorosas no
corpo da ciência, é comum utilizarem-se conceitos amenizados e até incoerentes de método cientı́fico. Isso permite
que a mera observação de fenômenos se passe por pesquisa
experimental e que a mera elaboração de conjecturas filosóficas se passe por pesquisa teórica.
O método cientı́fico genuı́no tem realmente as componentes experimental e teórica, mas ambas possuem um
fundamento comum que lhes dá eficiência. E este fundamento é parte do que deveria ser chamado de Matemática.
Essas coisas precisam ser bem entendidas antes de podermos ter uma ideia clara e realista sobre como e por que
a Ciência funciona tão bem e por que muitas ideias popularmente consideradas cientı́ficas não compartilham dessa
eficiência.
1.3
1.3.1
Fé e Razão
Confiança em Fontes
No âmbito religioso, assim como em todas as demais áreas
do pensamento humano, encontramos distorções. Mas distorções em relação a quê? Assim como no caso da Ciência,
se falamos em distorções, estamos nos referindo implicitamente a algum referencial.
Muitos tomam a fé como ponto de partida, mas o que
é a fé? E fé em que ou em quem? E que critério se utiliza
para depositar a fé sobre esta ou aquela base?
Como exemplos notáveis de pessoas que colocam a fé
acima de tudo, encontramos uma classe de ateus que possuem uma fé inabalável na não existência de Deus. Com
base nessa fé, deduzem que a vida originou-se sem a intervenção de um Criador, apesar da absoluta falta de
evidências nesse sentido e da abundância de evidências
contrárias. Muitas dessas pessoas se dizem cientistas e
afirmam estar defendendo a ciência em oposição aos “fundamentalistas criacionistas”.
Encontramos o mesmo fenômeno em uma classe de
teı́stas, que crêem em Deus sem saber por que, e procuram defender ideias supostamente criacionistas (muitas
vezes erradas) em oposição aos “fundamentalistas evolucionistas”.
E então, que fé devemos escolher? Que critérios podem
ser válidos para tomar a decisão? A Bı́blia? O Alcorão?
O Livro de Buda? A tradição? A Ciência?
Se escolhemos usar a Bı́blia como fundamento, como
sabemos se essa escolha é melhor do que a de alguém que
escolheu o Alcorão, por exemplo?
Em qualquer caso, é importante tomar conhecimento e
avaliar evidências nas quais a fé deve basear-se.
Criacionistas usualmente afirmam crer na Bı́blia, na
Torá, ou no Alcorão, e crêem que o método cientı́fico é
confiável e compatı́vel com os textos inspirados por Deus
desde que as pesquisas sejam suficientemente bem feitas.
É bom lembrar que a Torá é um sobconjunto da Bı́blia e
que o Alcorão é derivado de um subconjunto da Bı́blia.
Evolucionistas usualmente afirmam crer na ciência (em
alguma de suas versões). Entre os evolucionistas há os
que crêem em Deus e em textos sagrados, mas consideram
trechos como Gênesis 1 como sendo mı́ticos ou alegóricos.
Há também os que procuram não fazer conjecturas sobre a
existência ou não de Deus e os que acreditam que Deus não
existe. Para estes últimos, o trabalho de Darwin proporcionou uma válvula de escape muito atraente para fugir
da ideia de um Criador. Neste caso, encontrar uma rota
viável para o surgimento espontâneo da vida é algo muito
importante para apoiar sua fé, que não pode basear-se em
evidências, mas tende a fundamentar-se em preferências,
experiências negativas com pessoas religiosas ou pressões
sociais e psicológicas existentes nos meios acadêmicos.
Há ainda correntes filosóficas que procuram atribuir à
pesquisa cientı́fica as mesmas limitações da pesquisa não
formal, usualmente citando exemplos de pesquisa não formal como se fosse cientı́fica. O leitor percebe a inconsistência dessa linha de pensamento?
1.3. FÉ E RAZÃO
Resumindo: na controvérsia entre Criacionismo e Evolucionismo surgem dois tipos de pontos de apoio: textos
que se dizem inspirados por Deus (mas em linguagem humana com suas limitações) e diversas versões de ciência,
com diferentes caracterı́sticas e graus de confiabilidade,
mas apresentadas ao público como se fossem uma única
entidade.
Precisamos testar a confiabilidade dessas fontes.
No caso da Ciência, a maioria das versões realmente
não apresenta confiabilidade superior a outras abordagens
comuns. Existe, entretanto, o que poderı́amos chamar de
pesquisa formal, baseada em métodos matemáticos usados
de uma maneira especial. Tal metodologia demonstra um
grau de eficiência (usualmente infinito) muito superior ao
das abordagens não formais. Há milhares de experimentos
ocorrendo todos os dias e demonstrando a confiabilidade
da metodologia matemática. Por outro lado há cientistas
enfatizando suas próprias ideias de maneira apaixonada
e tendenciosa, sem o respaldo de evidências adequadas
e muito menos do método cientı́fico. Para que ‘Ciência’
signifique algo confiável, não devemos definir este termo
como significando um conjunto de cientistas e nem suas
conclusões.
Entre as melhores evidências em relação à Bı́blia, encontramos as profecias, quando interpretadas de acordo com a
chave que a própria Bı́blia fornece. Predições envolvendo
detalhes que chegam aos números e datas têm-se cumprido com precisão. Por outro lado, encontramos pessoas,
que dizem seguir a Bı́blia, defendendo suas próprias ideias
de maneira apaixonada e tendenciosa, sem o respaldo de
uma exegese bı́blica rigorosa e neutra. Os ensinamentos
bı́blicos e o que grupos cristãos crêem ou pregam não são
necessariamente a mesma coisa.
Há um outro nı́vel de evidência: a experiência pessoal.
A Bı́blia menciona (de passagem) algumas coisas que só recentemente foram reveladas pela pesquisa cientı́fica, sendo
que outras permanecem por descobrir. Mas o objetivo
principal da Bı́blia é o de ajudar aos que quiserem participar do plano de Deus para restaurar a Terra. Um item
fundamental nesse plano é um relacionamento profundo
e bilateral do indivı́duo com Deus. A fé defendida pela
Bı́blia é esse relacionamento, e não a mera crença em alguma coisa. As pessoas que se envolvem nesse relacionamento passam a sentir a influência divina e realmente
superam limitações. Infelizmente, esse tipo de evidência é
subjetiva e difı́cil de avaliar.
5
os quais tendem a aperfeiçoar-se e a expandir-se com o
tempo.
Entre os seres inteligentes, há um grupo especial que parece ter sido criado antes dos demais, os quais têm atuado
como orientadores para outras raças. Na parte da Bı́blia
que foi escrita em grego, eles são chamados de άγγελος
(ânguelos, anjo, mensageiro). O mais importante desses
seres, que muitos chamam hoje de Lúcifer, com o tempo,
afastou-se das recomendações de Deus. Apesar das advertências sobre as consequências naturais desse procedimento, ele prosseguiu e convenceu outros a segui-lo. Pensou ser capaz de estabelecer um reino melhor do que o de
Deus ao remover regras que lhe pareciam desnecessárias.
Cerca de um terço dos anjos seguiram esse lı́der. Os demais preferiram confiar em Deus, mas não tinham respostas para alguns dos argumentos de Lúcifer.
Como Deus considera importante que todos os seres sejam livres para decidir, mesmo que isso lhes cause grandes
sofrimentos, Ele os adverte mas não impede, a menos que
se ultrapassem certos limites. Lúcifer estava livre para
demonstrar ao Universo como seria seu reino, desde que
houvesse um mundo que se submetesse a ele.
Os primeiros humanos foram enganados por Lúcifer
e decidiram acreditar que Deus mentia em Suas advertências. Com isso, entregaram o planeta para servir
de vitrine do reino de Lúcifer diante de todo o Universo.
Imediatamente, Deus apresentou um plano de resgate
para todos os que quiserem ser restaurados a uma vida
feliz e eterna que Deus planejara originalmente. Por outro
lado, a intervenção direta de Deus na Terra deveria ser
parcimoniosa em função das circunstâncias.
Hoje está demonstrado ao Universo quanta injustiça e
sofrimento são causados pelas ideias de Lúcifer, mas ainda
restam alguns pequenos detalhes no processo. Assim, que
esta parte do processo estiver completa, Deus intervirá
direta e visivelmente na história humana e porá um fim a
todo o sofrimento, restaurando a Terra e aos que tiverem
resistido a Lúcifer, reintegrando este planeta à comunidade
maior.
Mas enquanto isso não acontece, Lúcifer, que vive com
seus seguidores originais em um setor do espaçotempo
(ἐπουρανίοις) provisoriamente inacessı́vel aos humanos,
trabalha induzindo pessoas com suas sugestões para que
propaguem suas ideias e enganos. Esses enganos são adaptados de forma a serem mais eficientes para diferentes tipos
de pessoas.
Inicialmente, Lúcifer lançava dúvidas sobre o amor e
a justiça de Deus de várias maneiras, incluindo a ideia
1.3.2 Cenário Bı́blico
de que ele impunha leis desnecessárias, que impediam o
Reunindo certos relatos e comentários bı́blicos, podemos desenvolvimento natural dos seres criados. Segundo as
obter o seguinte cenário: Deus criou o Universo (espaço- advertências de Deus, as propostas de Lúcifer causariam
tempo) e tem criado seres vivos para habitá-lo. Ao criar injustiça e sofrimento. Agora, após ter recebido a chance
seres inteligentes, Ele não os abandona à própria sorte, de demonstrar ao Universo como funcionam suas ideias
mas interage diretamente com eles, mantendo contato pes- na prática, Lúcifer reúne os males que ele mesmo provosoal, da forma como pais conversam com seus filhos, dire- cou e os apresenta à humanidade ou como resultados da
tamente. Embora interaja diretamente com Suas criações, injustiça de Deus ou como evidências de que Deus não
Ele não faz o que elas podem fazer, mas permite que existe.
cada indivı́duo se desenvolva ao trabalhar pelo bem-estar
Sob o domı́nio de Lúcifer, a Terra se corrompeu, os sedos demais de acordo com suas habilidades e interesses, res vivos se degeneraram (embora a seleção natural tenda
6
a retardar o processo). Muito do que evolucionistas apresentam como falhas de projeto em seres vivos, que seriam
evidências da inexistência de um projetista, são meras consequências dessa degeneração.
Entre as profecias bı́blicas, encontramos as que descrevem eventos futuros (do ponto de vista de quem as escreveu). Como uma grande parte dessas previsões referiamse a nosso passado, podemos conferir o grau de exatidão.
Nessas profecias encontramos também nosso passado recente (últimos séculos), presente e futuro.
Um dos propósitos das profecias é o de proporcionar
uma visão panorâmica e mostrar a missão das pessoas que
desejam ser fiéis a Deus em cada época. Também aponta
perigos, mostrando que muitos dos que afirmam estar defendendo a causa de Deus estão, na verdade, trabalhando
contra ela.
Entre as profecias para esta época, vemos menção da
controvérsia entre Criacionismo e Evolucionismo, e de
Deus sendo apresentado como Criador por Seu povo.
Para um futuro próximo, encontramos a ascenção ao
poder de grupos polı́tico-religiosos que, dizendo defender
os interesses de Deus, estando na verdade a apoiar Lúcifer.
Iniciativas anti-religião, como as de Richard Dawkins e
outros, apenas tendem a irritar esses grupos e acelerar o
processo. O resultado é uma espécie de retorno à Idade das
Trevas por algum tempo, com aparente solução de muitos
problemas sociais seguida de degeneração a tal ponto que
se completam as condições para que Deus interfira direta
e visivelmente na História da Terra. Antes, porém, ocorre
um falso aparecimento de Deus na Terra para confirmar
o poder dos grupos polı́tico-religiosos que mencionamos
previamente.
Quando Deus interfere, pelo aparecimento de Cristo
com sua comitiva no espaço, Ele ressuscita seus fiéis de
todas as épocas (Apocalipse chama isso de primeira ressurreição) e os leva para morar em outro lugar (a capital
do Universo, muitas vezes chamada de Céu) por mil anos,
deixando vivos na Terra apenas Lúcifer e seus seguidores
originais, sem humanos para serem tentados. A Terra é
transformada em uma prisão para os anjos rebeldes.
Durante os mil anos, há uma revisão do julgamento de
todo o caso da entrada do pecado no Universo e seus detalhes.
No final dos mil anos, os humanos salvos são trazidos
de volta à Terra. Também a Nova Jerusalém, uma cidade imensa capaz de voar pelo espaço, é conduzida a
este planeta. Os humanos que não foram salvos serão
ressuscitados. Esta é a segunda ressurreição. Eles têm
tempo suficiente para planejar e preparar-se para tomar a
Nova Jerusalém. Ao tentarem fazer isso, inicia-se a última
sessão do julgamento, da qual todos participam.
Quando se vive para sempre, algumas regras precisam
ser observadas ou o resultado são desastres como os que se
observaram no reino de Lúcifer. As regras do julgamento
e a sentença têm a ver com princı́pios desta natureza, de
manutenção da felicidade no Universo para sempre. Pequenos desvios que parecem irrelevantes quando se leva
uma vida limitada, tornam-se grandes problemas quando
se vive para sempre.
Após ser pronunciada a sentença e todos perceberem
que está sendo feita justiça, a Terra será purificada com
altas temperaturas, destruindo Lúcifer e seus seguidores.
Os salvos permanecem seguros dentro da cidade.
Depois da purificação, a Terra é renovada a sua condição
original e passa a chamar-se Nova Terra. Este planeta
passa a ser a nova capital do Universo.
Dependendo da religião, uma versão um pouco diferente
dessa história é contada, pois ela não se encontra completa
na Bı́blia em um único lugar, mas precisa ser montada com
o auxı́lio de várias declarações feitas em diferentes passagens e usando-se as chaves de significação fornecidas pela
própria Bı́blia. Frequentemente, várias dessas passagens
são ignoradas nesse estudo, o que leva a versões diferentes. Contudo, essas versões têm um núcleo em comum: a
humanidade afastou-se do plano de Deus, trazendo grande
sofrimento sobre si mesma, mas Deus tem um plano para
restaurar a felicidade dos que estiverem dispostos a aceitar.
Em função de sua batalha de informações contra Deus,
é interessante para Lúcifer e seus aliados criar versões
e interpretações alternativas de fatos e ideias, gerando
cenários nos quais Deus não existe ou é cruel. Isso ajuda a
evitar que pessoas tenham interesse em investigar o plano
de salvação, seja por serem induzidas a pensar tratar-se de
algo desagradável e desnecessariamente restritivo, ou por
serem induzidas a pensar que Deus não existe e que tudo
isso faz parte apenas do imaginário popular.
E se for? E se não for? A própria Bı́blia aconselha:
“Ponde tudo à prova. Retende o que é bom.” I Tessalonicenses 5:20. É importante ter uma mente aberta para
considerar mesmo possibilidades que nos pareçam surreais. Na Fı́sica, temos encontrado fenômenos que desafiam
a intuição e o “bom senso”, mas são possibilidades expostas pela Matemática e confirmadas pela experimentação.
Quando a Bı́blia apresenta cenários que nos parecem bizarros, tratamos de rejeitá-los de imediato ou investigamos
o suficiente para avaliar as evidências? E se, por algum
tempo, não encontramos evidências contra ou a favor de
alguma coisa, o que fazemos? Deduzimos que tal coisa não
existe? Uma coisa é não levar em conta a existência de algo
que não podemos testar, outra é acreditar piamente que
esse algo não existe.
1.3.3
Cenário Evolucionista
Espécies podem sofrer alterações com o tempo pelos mais
variados motivos. Seja por mutação ou por adaptação de
algum tipo, essas alterações podem significar vantagens,
desvantagens ou até ser neutras em relação a chances de
sobrevivência.
Indivı́duos com alterações genéticas que geram desvantagens têm menor probabilidade de sobreviver e de passar suas caracterı́sticas a seus descendentes, os quais, se
existirem, também têm maiores chances de se estinguir.
Indivı́duos com alterações que representem algum tipo de
vantagem tendem a sobreviver e gerar descendentes com
maior facilidade, aumentando as chances de preservação
de seus genes nas próximas gerações.
1.4. CRIACIONISMO VERSUS EVOLUCIONISMO
A seleção natural pode ter um efeito bastante notável
sobre populações. Ao aplicarmos um antibiótico em uma
colônia de bactérias, por exemplo, pode ocorrer que algumas bactérias sobrevivam por serem resistentes àquele
antibiótico especı́fico. Essas se reproduzem e, como resultado, obtém-se uma população de bactérias resistentes ao
antibiótico.
Com esses dois tipos de mecanismos, variações genéticas
e seleção (natural ou artificial), imagina-se que espécies
podem sofrer profundas alterações com o tempo, a ponto
de surgirem novas espécies.
Poderı́amos imaginar que, dado tempo suficiente, podem surgir formas de vida muito diferentes daquelas que
lhes deram origem.
Extrapolando os limites da testabilidade e falseabilidade, podemos imaginar que todos os tipos de seres vivos
podem ter se originado de um ancestral comum. Penetrando ainda mais nesse terreno não testável, podemos
imaginar que essa primeira forma de vida surgiu espontaneamente graças a uma certa combinação adequada de
fatores.
Há os que acreditam que este tipo de assunto está nos
domı́nios da testabilidade. Mas note-se que fazer testes
sobre a viabilidade dessas ideias não é o mesmo que testar
as próprias ideias. Por quê? Simplesmente porque provar
que algo não é impossı́vel não é o mesmo que provar que
algo aconteceu de fato. A hipótese da origem espontânea
da vida é tão testável quanto a hipótese de que a vida foi
produzida por um Criador.
Seleção natural e variabilidade são princı́pios excelentes
(pelo menos de um ponto de vista intuitivo, não formal)
para começarmos a entender a evolução das espécies. Isso
é observável.
Criacionistas geralmente acreditam nisso até o limite da
microevolução, isto é, de alterações relativamente pequenas, como transformar vira-latas em poodles, por exemplo. É bastante comum a ideia de que existe um limite intransponı́vel entre espécies. Um gato não poderia transformar-se em um cachorro, por exemplo. Essa
crença parece apoiar-se nas expressões de Gênesis dizendo
que Deus criou seres vivos que se reproduzissem segundo
suas espécies.
Mas essa é uma forma, no mı́nimo, questionável de se
usar a Bı́blia. Só porque cães não dão à luz gatos em uma
única geração, isso não significa que esse tipo de fenômeno
não pudesse acontecer com o tempo, ao longo de muitas e
muitas gerações.
Do ponto de vista observacional, nota-se que nem tudo
se explica por mutações e seleção natural, mas estes mecanismos realmente existem e podem ser verificados, estando
nos limites da testabilidade. Portanto, mesmo que a maioria desses estudos seja frágil do ponto de vista cientı́fico,
é possı́vel aperfeiçoar os métodos de investigação obtendo
uma descrição matemática mais detalhada e confirmação
de processos descritos por Darwin.
Principalmente a partir da década de 1990, têm havido
estudos formais baseados principalmente na Teoria dos Jogos, o que lança luz sobre processos evolutivos. Ainda que
este seja apenas o inı́cio da jornada para desenvolver uma
7
teoria realmente cientı́fica da evolução das espécies, é um
passo importante que merece ser estimulado. Teorias cientı́ficas proporcionam um ambiente muito mais favorável
à análise objetiva de evidências.
1.4
Criacionismo Versus Evolucionismo
A Bı́blia diz que Deus criou várias espécies simultaneamente. Por outro lado, não há como verificarmos por
meio de fósseis se houve ou não algum ancestral comum.
Portanto, nem criacionistas e nem evolucionistas podem
apelar ao método cientı́fico para defender suas respectivas
posições. O criacionista só tem a palavra da Bı́blia e o
evolucionista só tem a imaginanção e o argumento por autoridade: “os cientistas crêem assim” (o que até é verdade
para muitos cientistas).
O mesmo se dá quanto à origem da vida. Até o momento, sequer foi possı́vel provar a viabilidade do surgimento espontâneo da vida. Tudo o que foi testado apenas serviu para descartar as alternativas que pareciam
prováveis. Resta apenas uma fé muito forte na possibilidade de se explicar a origem da vida sem se apelar a
um Criador externo ao Universo. Essas considerações metafı́sicas (“Não existe um Criador” e seus corolários) nada
têm a ver com ciência, estando mais para um dogma de religião ateı́sta, assim como a crença de que a vida foi criada
por intervenção de um Criador é uma doutrina religiosa
baseada em textos sagrados.
O fato é que nenhuma hipótese sobre a origem da vida
pode ser testada a não ser quanto a sua viabilidade, o que
é pouco relevante, diga-se de passagem.
De qualquer forma, até o momento, criacionistas não podem afirmar categoricamente que o surgimento espontâneo
de formas simples de vida seja impossı́vel pelas leis da
Fı́sica, e nem os evolucionistas podem afirmar que seja
possı́vel, uma vez que, até o momento, ninguém tem conhecimento suficiente para provar uma coisa ou outra.
O que temos nessa área não é um debate entre fé e razão,
mas sim um debate entre duas correntes filosóficas, sendo
que uma delas se autodenomina ciência sem o ser.
Na controvérsia entre Criacionismo e Evolucionismo, há
leigos e profissionais do conhecimento de ambos os lados.
É inevitável que surjam ideias e argumentos equivocados
em ambos os times, como se tem visto na prática. Os criacionistas não têm todos a mesma ideia sobre tudo assim
como os evolucionistasm não concordam entre si em todos
os pontos.
Isso torna ainda mais importante conhecermos cenários
de ambos os lados. É cada vez mais comum vermos criacionistas apresentando um domı́nio cada vez maior e mais
profundo do Evolucionismo, ao mesmo tempo em que vemos evolucionistas expondo cada vez mais uma profunda
ignorância em relação ao Criacionismo.
Nossa proposta é a de que se use o método cientı́fico
da melhor forma possı́vel para estudar tanto evidências
fı́sicas quanto evidências bı́blicas. Mas é importante lembrar que nos referimos ao método cientı́fico mais rigoroso,
8
o adotado nas chamadas “hard sciences”, desconfiando de
conjecturas baseadas apenas na versão “light”, mais popularmente aceita do método cientı́fico.
É importante não confundir Ciência com opiniões de
cientistas e nem fé com opiniões de teólogos. A confiabilidade da Ciência não é a confiabilidade dos cientistas, assim
como a confiabilidade da Bı́blia não deve ser confundida
com a confiabilidade de teólogos.
É comum atualmente haver uma certa animosidade entre cientistas e religiosos, mesmo havendo um grande
número de pessoas que pertençam simultaneamente a ambas as categorias2 . Ideias equivocadas no mundo religioso
unidas à autoridade de grupos eclesiásticos na Idade Média
serviram de barreiras contra o progresso do conhecimento
humano, o que ainda causa ressentimentos entre cientistas.
Porém, longe de ser um obstáculo ao uso da verdadeira
Ciência, o Cristianismo parece ter tido um papel importante na descoberta do método cientı́fico. O fı́sico Freeman
Dyson faz o seguinte comentário a respeito [1]: “A ciência
ocidental nasceu da teologia cristã. Provavelmente não é
um acidente que a ciência moderna tenha crescido explosivamente na Europa cristã e deixado para trás o resto do
mundo. Milhares de anos de debates teológicos nutriram
o hábito do pensamento analı́tico capaz de ser aplicado à
análise de fenômenos naturais.”
O leitor pode encontrar mais detalhes sobre este assunto
no apêndice C (esse apêndice é essencialmente dissertativo, e procura evitar detalhes matemáticos sempre que
possı́vel).
É assustador o número crescente de manifestações apaixonadas de evolucionistas que querem negar o direito
de expressão a criacionistas. Frequentemente tais manifestações baseiam-se em comentários vagos e argumentos
do espantalho 3 . A situação chega a ser cômica, pois alguns usam argumento do espantalho para dizer que criacionistas usam o argumento do espantalho. De fato, há
desinformação e argumentos do espantalho em ambos os
lados da controvérsia.
Mas assim como há desinformação e argumentos inválidos de ambos os lados, também há argumentos válidos
tanto a favor de ideias ditas evolucionistas quanto a favor
de ideias consideradas criacionistas.
Há não muito tempo atrás, chamava a atenção deste autor a desinformação de alguns defensores do Criacionismo
ao defender posições que apenas se opõem às evidências.
Mais recentemente, porém, ao tornarem-se mais e mais
comuns as manifestações de evolucionistas em relação ao
Criacionismo, tem-se notado uma ignorância muito maior
de evolucionistas em relação ao Criacionismo do que a ignorância que nos preocupava de criacionistas em relação
ao Evolucionismo.
É preciso que defensores de ambas as posições façam
algumas perguntas a si mesmos.
• Quais são minhas fontes sobre as crenças e argumentos adversários? São os próprios defensores daquelas
2 Exemplo: o padre Lemaı̂tre, autor pioneiro de um modelo de
Big Bang.
3 Um argumento do espantalho é uma falácia na qual o argumento
do adversário é distorcido a fim de parecer ridı́culo, inaceitável.
ideias ou são meus companheiros de crença?
Se for o último caso, então é preciso conferir os argumentos nas fontes, para descobrir o quanto foram
distorcidos.
• Será que nós estamos certos em todos os pontos e nossos oponentes estão errados em todos os pontos? Não
existe a possibilidade de precisarmos corrigir algum
ponto de vista?
• Estou disposto a mudar de ideia diante de bons argumentos ou penso que já conheço toda a verdade e só
preciso encontrar bons argumentos que a justifiquem
(cuidado! )?
• Confiro as evidências por mim mesmo ou aceito a palavra de alguém que me parece confiável?
Por exemplo, quando me dizem que a origem espontânea da vida foi comprovada pelo experimento
de Urey e Miller, ou que o RNA autocatalı́tico é a
resposta para a origem espontânea da vida, acredito
sem ver os modelos matemáticos correspondentes e
testá-los?
E quando me dizem que as profecias da Bı́blia se cumprem com precisão, procuro estudar essas profecias,
verificando se não há margem para interptretações vagas e adaptáveis a qualquer coisa?
• Tento a qualquer custo encaixar as evidências em minhas crenças pessoais (ou de minha comunidade) ou
procuro ser tão objetivo quanto possı́vel?
• Quando uns dizem que não há evidências da existência de Deus e outros dizem que há, qual a minha
reação? Prefiro aceitar que Deus não existe porque
alguém que se diz cientista4 afirma ser ignorante sobre evidências nesse sentido? Ou procuro descobrir
quais são essas evidências a favor da existência de
Deus para poder examiná-las?
E se achar evidências razoáveis, significa que tenho
que crer no que a religião A ou B ensina?
• Acredito no método cientı́fico? Em qual versão?
Aquela mais eficiente, baseada em Matemática, proposta por Galileo e aperfeiçoada por cientistas de
gerações subsequentes, ou me contendo com a versão
“simplificada” dos livros de Biologia de Ensino Médio?
• Se confio no método cientı́fico, devo considerar a palavra de cientistas como verdade absoluta?
• Se acredito na Bı́blia, devo considerar a palavra de
teólogos como sendo a Palavra de Deus?
• Ao confrontar Evolucionismo e Criacionismo, penso
nisso como um debate entre fé e razão, entre ciência
4 O que é um cientista, afinal? Alguém que publica artigos, ou
faz pesquisas em uma universidade, mesmo que não use o método
cientı́fico com o devido rigor matemático?
1.5. CONCEITOS DE CIÊNCIA
9
e religião, ou procuro lembrar que há leigos e cientis- nia com o funcionamento da realidade em si, e não porque
tas de ambos os lados da controvérsia e que estamos o descobrimos ou encaramos desta ou daquela maneira.
lidando com duas correntes filosóficas?
A Ciência, vista desta maneira, como metodologia baseada no funcionamento da realidade, não é uma construção
Muitos que dizem estar defendendo a ciência contra fun- humana e independe da humanidade. Como tal, não pode
damentalistas religiosos não passam de facistas, completa- depender de qualquer tipo de filosofia. Trata-se de algo
muito maior e mais profundo do que a raça humana.
mente fechados ao diálogo.
Discutimos vários aspectos deste tema no capı́tulo 2 e
É bom lembrar que cientistas evolucionistas têm sido
impedidos de continuar exercendo suas funções em gran- no apêndice C.
des instituições ao levantarem a possibilidade remota de
que Darwin não era detentor de todos os aspectos da verdade absoluta sobre a vida, o Universo e tudo mais ou
ao manifestarem qualquer tipo de tolerância a um diálogo
entre criacionistas e evolucionistas.
Diante desse caos ideológico, é fácil entender porque ficamos com a impressão de que todos os cientistas são ateus
e evolucionistas.
A julgar pelo teor dos comentários de Darwin em seu livro revolucionário, ele não aprovaria tal comportamento.
Pelo contrário: ele esperava que outros continuassem seu
trabalho não tentando confirmar tudo desesperadamente,
mas conferindo, percebendo falhas e propondo alternativas.
No outro lado do ringue, encontramos religiosos que parecem ter muito medo de ciência. Há os que, pelo menos
na prática, acabam promovendo uma fé baseada no sentimento, em detrimento da razão.
Há os que, ao invés de seguir conselhos bı́blicos para
estudar profundamente as leis do mundo fı́sico para melhor
entender temas teológicos, crêem que a lógica de Deus é
absurda para os humanos e vice-versa. Tal tipo de ideia
parece brotar de uma descontextualização de I Corı́ntios
3:19: “Porque a sabedoria deste mundo é loucura diante
de Deus; pois está escrito: Ele apanha os sábios na sua
própria astúcia”. Note-se que esta passagem se refere ao
que a sociedade considera sabedoria (σοφία), e não ao que
pode ser aprendido pelo estudo da Natureza. Isso tem a
ver com filosofias humanas, não com Ciência.
1.5
Conceitos de Ciência
O que a maioria das pessoas chama de ciência não passa
de mais uma corrente filosófica que muito pouco tem a ver
com o método cientı́fico, tendo mais a ver com um tipo
de atividades baseadas no naturalismo metodológico ou,
muitas vezes, filosófico. Esse tipo de ciência é tão confiável
quanto outras correntes de pensamento filosófico: é apenas
mais uma construção humana.
A verdadeira Ciência não se baseia em filosofia alguma.
Nem mesmo no naturalismo metodológico. Ela é bem mais
fundamental do que isso. Baseia-se, antes, em uma forma
rigorosa de usar métodos matemáticos que têm sido usados
no contexto do naturalismo metodológico, o que pode levar
a alguma confusão.
O método cientı́fico não se baseia no naturalismo metodológico (e muito menos filosófico) porque não depende
dessa ou de qualquer outra postura filosófica para funcionar. O método cientı́fico funciona por causa de sua sincro-
10
Capı́tulo 2
A Matemática e as Leis Fı́sicas
2.1
Introdução
O que é Matemática?
A experiência tem indicado profusamente que suficiente
aprofundamento em qualquer área acaba levando à Matemática, que parece funcionar como fundamento de toda
e qualquer forma de conhecimento.
Isso é estranho e desconfortável para quem pensa que a
Matemática é uma linguagem (em sentido literal) ou uma
criação da mente humana. Essa idéia tem-se mostrado
um grande obstáculo para os que tentam entender como
funciona o mundo fı́sico, e é importante descartá-la.
A palavra ‘matemática’ é de origem grega, e está associada a μάθημα (máthema), que significa conhecimento.
Matemática tem a ver com a existência de possibilidades
viáveis para estruturar toda e qualquer forma de conhecimento.
2.2
Relação entre Matemática e
Leis Fı́sicas
A existência de qualquer coisa1 , seja uma entidade fı́sica
ou não, está intimamente associada a regras que definem
suas caracterı́sticas. Em outras palavras, se algo existe
então está associado a uma ou mais leis.
Eis um exemplo abstrato: a circunferência. O que é?
É o conjunto (C) de pontos (P ) de um plano (S) os quais
estão todos a uma certa distância r de um dado ponto
de referência (C).2 O que isso significa exatamente não
é importante para os nossos propósitos, mas é essencial
o fato de que a existência da circunferência é regida por
uma regra.
Usamos caracterı́sticas para identificar objetos do cotidiano, como cadeiras, mesas e assim por diante. Como reconhecemos uma mesa, por exemplo? Temos uma espécie
de definição intuitiva que serve de regra para definirmos
‘mesa’.
Embora haja uma dose de arbitrariedade em definições
deste tipo, não há como negar racionalmente que as mesas
possuem caracterı́sticas em comum entre si, as quais não
são compartilhadas com “não-mesas”.
É a existência de caracterı́sticas que permite a existência
e classificação de tudo o que existe (fisicamente ou não).
E note que essas caracterı́sticas são regras.
Estamos propositalmente removendo algumas barreiras
entre conceitos e objetos representados pelos conceitos, a
fim de amenizar uma tendência filosófica contrária que tem
servido de grande obstáculo ao progresso e uso do conhecimento. Atualmente, toma-se tanto cuidado para fazer diferença entre o que é sı́mbolo e entre o que é simbolizado
que chega-se a perder de vista que os sı́mbolos podem
estar representando algo que existe além dos limites da
mente humana. Nem tudo é tão arbitrário e dependente
da psiquê humana quanto querem fazer-nos crer muitos
filósofos modernos.
A Matemática, embora não possa ser definida por ser
muito fundamental, é o que permite a existência de regras
e relações.
O criacionista pode pensar na Matemática como um
conjunto de caracterı́sticas (regras) do caráter de Deus.
Um subconjunto dessas caracterı́sticas manifesta-se na
forma de leis fı́sicas, isto é, na forma de caracterı́sticas
do mundo fı́sico.
2.3
O Papel da Matemática
Nossa mente é capaz de perceber padrões nas informações
coletadas pelos sentidos. São esses padrões que permitem
que as atividades do cérebro tenham alguma utilidade,
criando representações funcionais e respostas adequadas
ao que acontece ao redor e no próprio organismo.
Há correntes filosóficas que tendem a negar a existência
objetiva de padrões, associando-os a meros artifı́cios mentais. Em grande parte, tais idéias parecem basear-se em
definições pouco eficientes de ‘padrão’. Não nos daremos
ao trabalho de discutir essas idéias por serem demasiadamente inconsistentes com a observação, embora tais
idéias frequentemente apresentem coerência interna. Destacamos apenas que é por causa de coisas desse tipo que
pessoas contaminadas por muita leitura em Filosofia da
1 Ou pessoa, que seria um caso particular de coisa neste contexto.
Ciência costumam tornar-se inaptas para entender e utili2 Em linguagem um pouco mais técnica, uma circunferência de
raio r e centro no ponto C no plano S é o conjunto de pontos definido zar leis fı́sicas.
Tudo o que existe tem caracterı́sticas. Entidades dispor
C = {P ∈ S | P C = r} .
tintas podem ter caracterı́sticas em comum. Uma caracterı́stica que pode ser compartilhada por uma coleção de
11
12
CAPÍTULO 2. A MATEMÁTICA E AS LEIS FÍSICAS
entidades é que podemos chamar de padrão.
Esses padrões podem ser entendidos como comportamentos. Por exemplo, a forma de um objeto é parte de
seu comportamento em relação ao espaço. O movimento é
um comportamento em relação ao espaço-tempo3 . A cor
é um comportamento em relação a interações com fótons.
É interessante notar que padrões também podem apresentar padrões. Padrões podem ter relacionamentos entre
si que podem ir do trivial (padrões não-correlacionados)
até o terrivelmente complexo.
Ao estudarmos padrões no mundo fı́sico, percebemos
que existem maneiras eficientes e ineficientes de lidarmos
com eles. Existem maneiras de raciocinar que são mais
“naturais”, isto é, que tornam mais simples e eficiente lidar com padrões do mundo natural. Ao nos aprofundarmos nessas formas mais eficientes de raciocı́nio, acabamos
encontrando aos poucos o que chamamos de Matemática.
Existem também maneiras mais eficientes de representar entidades matemáticas e suas relações. São linguagens
especiais. Estas são as chamadas linguagens formais, ou
linguagens matemáticas, que alguns chegam a confundir
com a própria Matemática.
Ao tentarmos traduzir os padrões que percebemos no
mundo fı́sico para alguma linguagem matemática, e ao
mesmo tempo tentando conferir a validade e generalidade
das observações por meio de métodos estatı́sticos, estamos
colocando em prática o método cientı́fico.
As primeiras representações matemáticas que obtemos
dessa maneira são o que chamamos de dados, que são informações devidamente consolidadas e expressas em linguagem adequada para futuros estudos.
Uma coleção de dados que descrevem um padrão de
comportamento chama-se lei.
Podemos organizar um conjunto de leis que se relacionem entre si para formar um modelo. No mı́nimo, o modelo precisa ser capaz de gerar as mesmas leis que lhe
serviram de base.
Para serem mais eficientes, os modelos devem ser cientı́ficos, isto é, devem consistir de estruturas matemáticas,
expressas em linguagem matemática, associadas a aspectos relevantes da área que se pretende estudar. É importante que esses modelos possam gerar resultados quantitativos verificáveis.
Um modelo suficientemente abrangente chama-se teoria.
Vejamos um exemplo. Newton resumiu os resultados de
um grande número de observações na forma de 4 leis, 3
leis para a mecânica em geral e uma lei para a gravidade.
2.4
1. Lei da inércia.
2. Relação entre força e momentum.
3. Ação e reação.
4. Gravitação.
Estas quatro leis, quando expressas matematicamente,
formam uma teoria capaz de gerar resultados quantitativos, como reproduzir a lei das áreas de Kepler ou prever
eclipses, por exemplo. (Ver apêndice I.)
3 Entidade
da qual o espaço e o tempo fazem parte.
Sem Matemática
Ciência
Não
Há
Quando parece estar-se “fazendo” ciência sem o uso de
métodos matemáticos adequados, trata-se do que chamamos de pesquisa não-formal, que pode ser boa, mas
não é Ciência. Como são os métodos matemáticos os
responsáveis por conferir eficiência excepcional à pesquisa, e é a eficiência que justifica falar-se em método cientı́fico, então pesquisas que não se baseiam diretamente
em métodos matemáticos não deveriam ser chamadas de
pesquisas cientı́ficas. Quando apresentamos uma dessas pesquisas como cientı́fica, estamos apresentando falsa
ciência, independentemente de lidarmos com resultados
verdadeiros ou falsos. Não são os resultados ou uma particular doutrina filosófica que caracterizam a ciência, mas
a eficiência da metodologia matemática.
Ciência não é um conjunto de pessoas, nem um conjunto
de atividades, nem uma área do conhecimento e nem um
conjunto de descobertas e conclusões.
Ciência é uma metodologia de investigação baseada na Matemática e precisamos entender isso
com a maior clareza possı́vel.
A importância da Matemática para a pesquisa já era
percebida por Galileo Galilei, que, em 1623, escreveu [2]:
“A Filosofia [Fı́sica] está escrita neste grandioso livro que está
sempre aberto à nossa contemplação (refiro-me ao universo),
mas que não pode ser entendido sem que primeiro aprendase a lı́ngua, e conheçam-se os caracteres com os quais está
escrito. Ele está escrito em linguagem matemática, e seus caracteres são triângulos, cı́rculos, e outras figuras geométricas
sem as quais é humanamente impossı́vel entender sequer uma
de suas palavras; sem estes [caracteres] fica-se a vagar por
um escuro labirinto.”
Mais detalhes sobre o desenvolvimento do conhecimento
cientı́fico podem ser encontrados no apêndice C.
Há mais sobre o assunto do relacionamento entre Matemática e leis fı́sicas no apêndice E (“A Natureza Hiperbólica do Espaço-tempo”), que fala da curiosidade milenar dos matemáticos em relação ao quinto postulado de
Euclides e as tremendas descobertas que resultaram da
solução do problema.
Outro ponto que deverı́amos manter em mente é o de
que a maior contribuição de Newton para as pesquisas em
Fı́sica não foram itens como sua teoria da Mecânica ou
estudos sobre a gravidade e a luz. Sua maior contribuição
foi a exemplificação de como utilizar Matemática para estudar o mundo fı́sico com o auxı́lio do Cálculo Diferencial
e Integral.
Uma das formas mais importantes de representaremse princı́pios fı́sicos é por meio de equações diferenciais.
Este tipo de conhecimento é imprescindı́vel para iniciar-se
qualquer estudo sério sobre o mundo fı́sico.
2.5
Equações Diferenciais
Uma dos instrumentos mais eficientes que fazem parte do
método cientı́fico é o uso de equações diferenciais. Pro-
2.5. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS
13
curaremos fazer uma breve introdução ao assunto direcionada para leitores não familiarizados com este tema.
Informações mais detalhadas podem ser encontradas em
[3].
No Ensino Fundamental, estuda-se o conceito de
equação. É uma igualdade, que pode ser expressa por
uma fórmula como
x + 1 = 3,
(2.1)
sendo que, neste caso, o sı́mbolo x representa um número
desconhecido. De acordo com o tipo de estrutura matemática que representa o contexto da equação, utilizamse as regras que definem essa estrutura e suas consequências para extrairem-se informações da equação.
No caso do exemplo acima, a estrutura matemática envolvida pode ser o conjunto dos números reais, por exemplo, e pode ser de nosso interesse descobrir o valor de x.
Para isso, utilizamos regras como a que diz que a aplicação
de uma mesma operação a ambos os lados da equação preserva a validade da igualdade. Podemos então usar isto
com estratégia básica e aplicar operações simultaneamente
a ambos os lados da equação até transformá-la em algo do
tipo
x = ...
(2.2)
No caso do exemplo acima, basta subtrair 1 de ambos
os lados,
x + 1 − 1 = 3 − 1,
(2.3)
para obtermos
x = 2,
(2.4)
que resolve o problema nos fornecendo o valor de x.
Neste contexto, dizemos que a equação admite uma
solução: x = 2.
Por outro lado, uma equação como
sendo n um número inteiro (positivo, negativo ou zero).
Aqui não estamos falando de uma possibilidade de solução
em que n é um inteiro desconhecido, mas estamos representando implicitamente todas as soluções reais possı́veis,
uma para cada um dos números inteiros que existem.
Uma das caracterı́sticas mais interessantes da Matemática é sua facilidade para lidar com o infinito. De fato,
ao examinarmos conceitos básicos, como o de número, nos
vemos praticamente forçados a definir coisas finitas em termos de coisas infinitas, e não o contrário, que seria mais
natural para a intuição humana.
Até aqui, exploramos um pouco o conceito de equação
e de soluções para uma equação. Mas isto em si ainda é
insuficiente para lidarmos com leis fı́sicas. Para isso, precisamos do conceito de equação diferencial. Antes, porém,
precisamos dos conceitos de função e de derivada.
Para nossas necessidades imediatas, podemos pensar em
funções como máquinas que transformam uma coisa em
outra de maneira determinı́stica, isto é, coloca-se algo na
entrada da máquina e obtém-se algo na saı́da da máquina,
sendo que o que sai depende exclusivamente do que entra. Uma definição mais adequada pode ser encontrada
no apêndice F, mas no momento estamos interessados em
noções intuitivas que nos ajudem a entender o contexto
das equações diferenciais.
Um tipo básico e importante de função é o das funções
reais de uma variável. Eis um exemplo:
f (x) = x2 .
(2.10)
pois qualquer um desses 3 números satisfaz à equação
dada.
Estes são exemplos de equações algébricas, pois podem
ser expressas em termos de um número finito de operações
algébricas (somas e produtos). Existem também as chamadas equações transcedentais. Exemplo:
Se substituirmos x por 3 nesta função (na analogia acima,
se introduzirmos o número 3 na máquina), o resultado será
32 , isto é, 9.
Podemos substituir x por qualquer número real e a
função nos fornecerá um resultado correspondente. Este
exemplo simples já nos mostra que uma função pode fornecer uma infinidade de resultados. Trata-se de uma forma
infinitamente eficiente de representar informações.
Podemos representar resultados de f em um gráfico cartesiano no qual marcamos os pontos (x, y) que satisfazem
y = f (x). No caso do exemplo acima, o resultado será uma
curva denominada parábola. Por outro lado, podemos usar
a função f para representar a curva.
Mais genericamente, funções podem ser usadas para representar comportamentos em geral, sendo que formas
geométricas são um caso particular.
Uma função pode, por exemplo, representar a posição de
um carro em uma estrada à medida em que passa o tempo.
Consideremos um exemplo simples. Chamemos de x a
distância percorrida por um automóvel em uma rodovia
desde que ele deixou sua cidade de origem. Essa posição
tem um valor que pode ser diferente em cada instante de
tempo t. Dizemos então que
sin(x) = 1 .
x = f (t) ,
x2 = 1
possui duas soluções reais: x = 1 e x = −1.
A equação
x3 = 1
(2.5)
(2.6)
possui apenas uma solução real. Mas se, ao invés de lidarmos com números reais, lidarmos com números complexos,
esta equação passa a ter 3 soluções:


 x = 1, √
x = 1+i2√3 ,
(2.7)

 x = 1−i 3 ,
2
(2.8)
(2.11)
Neste exemplo, há uma infinidade de soluções reais, as isto é, a posição x é dada por alguma função do (operação
que se faz com o) tempo.
quais podem resumidas na fórmula
Pergunta-se: conhecendo-se f (t), é possı́vel obter-se
π
x =
+ 2πn ,
(2.9) uma outra função, f 0 (t), que fornece a taxa de variação
2
14
da posição, isto é, a velocidade do veı́culo em função do
tempo? Em condições usuais a resposta é afirmativa, mas
o importante agora é o conceito subjascente.
Uma função f 0 (t) que fornece a taxa de variação em
relação a t sofrida por outra função f (t) chama-se derivada
de f em relação a t. Por exemplo, a velocidade é a taxa
de variação da posição em relação ao tempo. Portanto, a
função velocidade é derivada da função posição em relação
ao tempo.
Isaac Newton descobriu maneiras de lidar eficientemente
com cálculos deste tipo, e foi basicamente isso que catalisou a revolução cientı́fica, pois abriu as portas para os elementos mais importantes para entenderem-se leis fı́sicas.
Se f 0 (x) é a derivada de f (x) em relação a x, então
diz-se que f (x) é uma integral de f 0 (x) em relação a x.
A área da Matemática que trata de assuntos deste tipo é
usualmente chamada de Cálculo Diferencial e Integral.
Estudando propriedades de derivadas e integrais, descobre-se que cada função tende a possuir uma infinidade de
integrais, mas a derivada de uma dada função, se existe, é
única.
Também definem-se as derivadas de ordem superior, isto
é, derivadas de derivadas, sendo que a operação pode
repetir-se tantas vezes quantas forem necessárias. Por
exemplo, a derivada de f (x) e relação a x é f 0 (x). A
derivada de f 0 (x) em relação a x é f 00 (x). A derivada de
f 00 (x) é f 000 (x). A derivada de f 000 (x) é f IV (x), e assim
por diante.
Nesta área, encontramos um novo tipo de equação. Em
equações deste tipo, aparecem expressões envolvendo uma
função e/ou suas derivadas, sendo que a incógnita a ser
descoberta é a própria função. Estas são as chamadas
equações diferenciais, tão fundamentais em estudos cientı́ficos. Eis um exemplo:
Podemos organizar nossos conhecimentos de diversas
maneiras, com base em diferentes princı́pios. Mas isso não
significa que o conhecimento seja algo arbitrário. Existem
diferentes maneiras de representar os mesmos fatos, mas
as diferentes representações não alteram os fatos.
Assim como casas podem ser feitas de tijolos mas não o
contrário em condições normais, existem regras que podem
ser usadas mais eficientemente como princı́pios.
De fato, existem interessantes estratégias para se fazerem escolhas eficientes de definições e princı́pios. Essas
estratégias têm sido amplamente utilizadas em pesquisas
de Matemática pura. É importantı́ssimo treinar a mente
em disciplinas deste tipo para poder entender as leis da
Natureza com certa profundidade.
Apesar de todos os esforços e cuidados para obterem-se
boas definições e princı́pios, de vez em quando se descobre uma maneira ainda mais eficiente do que as anteriores
para representar aspectos do conhecimento. Um interessante exemplo disso é o princı́pio de Hamilton, que pode
ser usado como base para reconstruir-se a Mecânica Newtoniana a partir de princı́pios bastante diferentes. (Ver
seção D.6.)
E é interessante notar que o princı́pio de Hamilton foi
descoberto por meio de considerações teológicas; mais precisamente, a partir da idéia de que Deus faz tudo da maneira mais eficiente possı́vel. Ao expressar-se esta idéia
em linguagem matemática, obtém-se um instrumento extremamente poderoso para estudar as leis fı́sicas. Apesar
desta idéia ter sido primeiro publicada no século XVIII,
ainda hoje é um dos principais instrumentos no que há de
mais avançado em termos de pesquisa em Fı́sica.
Um outro avanço importante para a instrumentação teórica foi o teorema de Noether, que estabeleceu uma relação
entre simetrias e leis de conservação.
00
É bom lembrar também que, sem a pesquisa teórica, a
f (x) + f (x) = 0 .
(2.12)
experimental tem utilidade muito reduzida. Bons instruEsta equação admite uma infinidade de soluções, que po- mentos teóricos são essenciais ao aprofundamento.
dem ser todas resumidas na fórmula
f (x) = A cos(x) + B sin(x) ,
(2.13)
sendo A e B constantes arbitrárias (como o valor de n em
2.9). Constantes arbitrárias que surgem expontaneamente
em soluções de equações diferenciais chamam-se constantes de integração.
Leis fı́sicas são eficientemente representadas por equações diferenciais. Uma mesma lei pode gerar uma infinidade de comportamentos, conforme as circunstâncias.
Cada um destes comportamentos é representado por uma
das soluções da equação diferencial que representa a lei.
2.7
Simetrias e Conservação
Leis de conservação são muito úteis à pesquisa cientı́fica.
Mas o que são?
Lei de conservação é uma regra que diz que a medida
de uma determinada grandeza não pode variar em um sistema isolado, mantendo-se é claro, o mesmo referencial,
unidades de medida, e assim por diante.
Um exemplo bem conhecido é a lei da conservação de
energia, isto é, energia não pode ser criada ou destruı́da
em “condições normais”.
Existem várias outras grandezas que também se conser2.6 Princı́pios e Consequências
vam, como carga elétrica e massa. Para uma discussão
Neste contexto, um princı́pio é um ponto de partida cu- sobre como fica a questão da conservação de massa em
jas consequências são úteis em algum campo de estudo. relação à questão da “transformação de massa em enerTeorias são normalmente construı́das tomando-se um con- gia”, o leitor pode consultar [4] e o apêndice N.
E o que isso tem a ver com simetrias? Bem, primeiro é
junto de princı́pios e demonstrando-se teoremas que correspondem às previsões da teoria. Os princı́pios não pre- importante esclarecer o conceito de simetria.
cisam ser absolutamente verdadeiros, mas devem ser boas
Uma simetria de um sistema é uma transformação que,
aproximações nos casos de interesse.
quando aplicada ao sistema, não o afeta. Em outras pala-
2.8. DEFINIÇÕES E CLASSIFICAÇÕES
15
cessador(es) e a memória (ROM e RAM4 ). A memória
ROM vem da fábrica com um programa (BIOS) e normalmente não é alterada ao longo da vida útil do computador.
Quando uma pessoa diz que configurou a BIOS, não alterou de fato esse programa, mas alterou o conteúdo de uma
memória RAM especial, alimentada por uma pilha e que
armazena informações que o programa da BIOS usa para
definir caracterı́sticas do computador.
A memória (RAM e ROM) é composta por bits, que são
células de armazenamento. Cada bit só pode armazenar
um 0 ou um 1. Os bits são agrupados em bytes, que são
conjuntos de 8 bits. Cada byte possui um endereço na
memória. Esse endereço é representado por um número
inteiro.
Ao ligarmos o computador, o conteúdo da memória
RAM é aleatório, lixo. O processador também “acorda”
com informações aleatórias em seus registradores5 . Se nenhuma providência fosse tomada, o processador executaria instruções sem nexo localizadas em locais aleatórios
da memória. O resultado seria que, ao ligarmos o computador, não perceberı́amos sinal de vida: o processador
estaria em um estado de loucura executando instruções
sem sentido.
Quando o computador é ligado, o(s) processador(es) recebe(m) um sinal avisando da situação. O(s) processador(es) então, ignorando as informações aleatórias de seus
registradores, passam a executar um programa (BIOS) que
se localiza em um determinado endereço de memória correspondente à area da ROM. Este programa faz uma “faxina”, cria tabelas de controle na memória RAM, consulta
as configurações definidas pelo usuário (ou fabricante),
testa e prepara os dispositivos para serem usados e, por
fim, procura por um sistema operacional em algum desses
dispositivos. Normalmente o sistema operacional está no
HD.
Havendo encontrado o dispositivo que contém o sistema
operacional, a BIOS traz para a memória RAM um bloco
especial de informações desse dispositivo. Nesse bloco,
2.8 Definições e Classificações
encontra-se um programa (boot loader 6 ) que é capaz de
localizar, trazer para a memória e executar os demais proÀ primeira vista, uma definição parece algo arbitráro. Afi- gramas que fazem parte do sistema operacional. O sistema
R
nal, não podemos inventar uma linguagem com os sı́mbolos operacional pode ser uma variante de Linux, Mac OS X
,
R
R
e significados que quisermos?
FreeBSD, Solaris , Windows , e assim por diante.
Por outro lado, se temos essa liberdade, será que a ma4 Read-Only Memory: memória só de leitura; Ramdom Access
neira como estruturamos uma linguagem não faz diferença Memory: memória de acesso aleatório, que é a memória de trabalho
para a sua eficiência?
do computador. Esses tipos de memória ficam em chips dentro do
Uma das maneiras mais interessantes de fazermos expe- computador, conectados diretamente à placa principal (placa mãe).
rimentos nessa área é por meio de linguagens programação Não confundir com armazenamento em disco rı́gido (HD), que é um
dispositivo que serve para armazenar informações de médio e longo
de computadores. Para fazer algum sentido o que vamos prazo, incluindo arquivos e programas do computador. Quando usadiscutir, vamos falar um pouquinho sobrre computadores mos um editor de textos, o que escrevemos está sendo armazenado
antes de voltar à questão da arbitrariedade das linguagens. na memória RAM, que se apaga quando o computador é desligado.
vras, é impossı́vel saber se uma destas transformações foi
ou não aplicada ao sistema.
Vejamos um exemplo: se uma esfera perfeita for girada
em torno de seu centro, não será possı́vel notar o giro.
Uma bola de futebol, por exemplo, não é uma esfera perfeita, pois possui marcas, cores e reentrâncias. Uma bola
de bilhar sem marcas estaria mais próxima da simetria
esférica. Neste caso, dizemos que há uma simetria aproximada.
Um outro exemplo é o quadrado perfeito. Se ele sofrer um giro de 90◦ no seu plano em torno do seu centro,
nada muda. Portanto, giros deste tipo são simetrias do
quadrado.
Em 1915, Emmy Noether demonstrou um teorema (publicado em 1918) que estabelece uma relação fundamental
entre simetrias das leis fı́sicas e leis de conservação.
Eis um exemplo de simetria das leis fı́sicas: elas não
mudam com o passar do tempo. Ou seja, translações no
tempo são transformações que não afetam as leis fı́sicas.
De acordo com o teorema de Noether, isso tem como consequência a conservação de energia. Em outras palavras,
se as leis fı́sicas não se alteram com o tempo, então energia
não pode ser criada e nem destruı́da.
Outro exemplo é o das translações espaciais: as leis
fı́sicas são as mesmas em todo o Universo. Portanto,
translações espaciais são simetrias que não afetam as leis
fı́sicas. Como consequência, a quantidade de movimento
(momentum, massa vezes velocidade) se conserva, o que
implica na segunda lei de Newton.
Muitas simetrias foram encontradas nas leis fı́sicas e as
respectivas leis de conservação foram identificadas.
De fato, o conjunto de simetrias das leis fı́sicas juntamente com o princı́pio da otimização de MaupertuisHamilton (seção D.6) permite deduzir as leis fundamentais
do Universo.
2.8.1
Um Contexto-Exemplo
Tudo o que computadores atuais fazem é executar programas o tempo todo, desde o momento em que são ligados
até serem desligados.
Os computadores atuais possuem muitos componentes,
sendo que entre os mais indispensáveis estão o(s) pro-
Quando “salvamos” o texto em um arquivo, estamos fazendo uma
cópia de informações da RAM para o HD, que não se apaga quando
desligamos o computador.
5 Um registrador é uma pequena área de memória dentro do processador, tipicamente de 32 ou 64 bits, que guarda informações
de controle para o processador, como a localização na memória do
próximo comando a ser executado, o resultado da última operação,
onde fica a tabela de tarefas em execussão, e assim por diante.
6 Boot é o nome do processo que ocorre quando o computador é
ligado. Loader (carregador, em inglês) é um programa que traz algo
para a memória.
16
A BIOS então passa o controle para o “boot loader”,
que traz para a memória (carrega) o núcleo do sistema
operacional e o que mais for necessário para que ele assuma
o controle do computador.
O sistema operacional é um conjunto de programas
básicos sem o qual o computador seria inútil.
Além dos componentes essenciais do sistema operacional, existem os programas que serão mais notados pelos
usuários — editores de texto, gerenciadores de planilhas
eletrônicas, navegadores de internet, reprodutores de multimı́dia, jogos, etc.
Mencionamos programas e processadores executando
programas. Mas o que exatamente são programas? São
basicamente um conjunto de instruções estruturadas de
uma maneira muito cuidadosa. Estas instruções são representadas em alguma linguagem.
Os programas que podem ser executados diretamente
por um processador são expressos em linguagem de
máquina, na qual cada instrução é representada por um
número. Cada tipo de processador tem uma linguagem de
máquina especı́fica.
Como é pouco produtivo para humanos criar programas
diretamente em linguagem de máquina, existem os compiladores, que são programas capazes de traduzir outras
linguagens de programação para linguagem de máquina.
Basicamente, inventa-se uma linguagem de programação e cria-se um compilador para ela. Um programa
pode então ser escrito na forma de um texto (ou uma
coleção de textos) escrito(s) nessa linguagem, que será(ão)
traduzido(s) por um compilador para uma linguagem de
máquina.
Ao invés de usar um compilador, podemos usar um interpretador, o qual lê uma por uma das instruções do programa e as executa, ao invés de gerar uma tradução para
linguagem de máquina. Neste caso, a execussão é muito
mais lenta, mas essa abordagem é bastante útil em algumas circunstâncias.
Linguagens de programação podem ser para uso geral,
como a linguagem C ou a linguagem Java, ou podem ser
destinadas (e limitadas) a um tipo especı́fico de aplicação7 .
sibilidade de fazermos programas que funcionem usando
aquela linguagem.
Por outro lado, podemos exagerar na quantidade de regras da linguagem, tornando-a tão rı́gida a ponto de ser
inviável utilizá-la para escrever programas.
Existe um meio-termo ideal para esses propósitos.
Além disso, também precisamos tomar cuidado com a
qualidade das definições de instruções e regras. Dependendo do tipo de definições que inventamos, a linguagem
pode ser muito eficiente e abrangente ou pode ser praticamente inútil.
Qual a origem dessas restrições sobre o que podemos
inventar em termos de linguagens de programação? Basicamente dois tipos de coisas:
2.8.2
Aplicação
• limitações de hardware (incluindo leis da Fı́sica) e
• regras da Metamática, que afetam todo e qualquer
sistema com possibildade de existir de alguma forma.
Quanto melhor entendemos esses limites fı́sicos e matemáticos, mais eficientes podem ser as linguagens que inventamos.
O fundamental aqui é que dispomos de uma infraestrutura (a arquitetura e a existência de computadores)
para testar as linguagens em situações reais. Se nos limitássemos apenas a considerações filosóficas, estarı́amos
sujeitos a todo viés associado a nossa bagagem de preconceitos.
2.8.3
Um Contexto Mais Amplo
Mesmo antes do surgimento dos computadores artificiais
8
, tem havido pessoas preocupadas em estruturar o conhecimento pelo uso de definições e associação eficiente de
ideias.
Um dos frutos deste tipo de atividade filosófica foi a assimilação, inicialmente sutil, de padrões de funcionamento
do mundo fı́sico, os quais inspiraram maneiras especiais de
inventar definições.
Entre as orientações filosóficas possı́veis, há dois caminhos bastante explorados.
• Numa das vias, procura-se entender a realidade
tomando-se a si mesmo como ponto de partida. Geralmente esse tipo de abordagem é mais popular na
Filosofia.
Hoje em dia existe uma grande quantidade de linguagens
de programação e podemos facilmente inventar uma infinidade de outras mais.
Como podemos inventar essas linguagens, será que não
• Outra via possı́vel consiste em tentar entender a rehá retrições “naturais” quanto às caracterı́sticas com as
alidade tomando-se o mundo externo como ponto de
quais podemos dotar essas linguagens? Em outras palapartida, reconhecendo que nos originamos dele e não
vras, até onde vai nossa liberdade criativa nessa área?
ele de nós. Essa linha é mais utilizada na pesquisa
cientı́fica e em estudos de Matemática (se bem que a
Na verdade, se quisermos que a linguagem “funcione”,
Metamática pode ser utilizada em qualquer contexto).
somos obrigados a aceitar limites a nossa capacidade criativa. Se inventarmos qualquer coisa de qualquer maneira,
Em ambas essas linhas, procuramos fazer boas dequase sempre teremos algo que não funciona, ou seja, estafinições.
Porém, as definições utilizadas em estudos maremos restringindo severamente ou até eliminando a postemáticos que seguem a segunda linha têm-se demonstrado
7 Como algumas linguagens de macros de planilhas ou certas linmuito mais eficientes. O que seria responsável por isso?
guagens de scripts (arquivos .bat) usadas em sistems operacionais
baseados em arquiteturas menos avançadadas, como é o caso do tipo
de sistema operacional usado pela maioria das pessoas atualmente.
8 Nós somos exemplos de computadores “naturais”, pois somos
capazes de processar informações.
2.8. DEFINIÇÕES E CLASSIFICAÇÕES
O que acontece é que certos tipos de definições geram resultados mais facilmente testáveis do que outros,
o que permite realimentar o processo, perceber definições
inconsistentes ou ineficientes e substituı́-las por melhores
versões.
Definições bem feitas podem servir de base até mesmo
para estudos além da conhecimento do autor das próprias
definições.
Existem alguns princı́pios gerais que ajudam na elaboração de boas definições, com menor necessidade de ciclos de testes e correção de definições.
Uma das dicas mais importantes é a de que a definição
sempre deve ser tão geral quanto possı́vel e, de preferência,
sem excessões.
Ao definirmos retângulo, por exemplo, como sendo um
quadrilátero em que todos os ângulos internos são retos,
não devemos excluir o quadrado de nossa definição, mas
tratá-lo como um caso particular de retângulo.
Definições devem ser estruturadas como árvores, galhos,
ramificações de vários nı́veis, e folhas.
Tomemos agora um exemplo da Biologia. A missão
primária nessa área deveria ser a de definir vida e pesquisar
formas de expressar matematicamente suas leis de funcionamento, a fim de viabilizar aplicações eficientes desses
conhecimentos.
Na tentativa de definir vida, por exemplo, não devemos
apenas olhar as poucas formas de vida que conhecemos
e ver o que elas têm em comum, pois essa seria a abordagem menos eficiente possı́vel, um bom exemplo do que
não se deve fazer. Devem-se utilizar informações de arquitetura, não detalhes de implementação (engenharia). Ao
definir-se “câmera filmadora”, por exemplo, não devemos
incluir aquele botãozinho vermelho que estava presente em
todas as câmeras que vimos. Ao contrário, devemos pensar nos aspectos mais gerais, pois uma câmera sem aquele
botãozinho ainda seria uma câmera.
Para quem tem um pouco de experiência com bons
métodos de gerar definições, é óbvio que detalhes como
composição, espécie e histórico não devem, em hipótese
alguma, fazer parte da definição de vida. Exigir a presença de DNA, por exemplo, é confundir detalhes de implementação com a arquitetura do sistema.
Uma boa definição de vida deve nos habilitar a examinar um sistema e dizer se, naquele momento, ele está ou
não vivo, somente com base em seu comportamento local,
sem referência a seu passado, futuro ou composição, independentemente de ele fazer parte de um conjunto de seres
do mesmo tipo ou não.
Capacidade de se reproduzir, por exemplo, é algo comportamental, mas é irrelevante. Se não fosse assim, nenhum ser estéril poderia ser considerado vivo.
Tentar definir vida em termos de espécies também é algo
que não faz o menor sentido, pois um cadáver pode pertencer a uma epécie de seres vivos sem estar vivo. Além disso,
quando uma espécie está estinta exceto por um indivı́duo,
devemos deixar de considerá-lo vivo?
Deixando de lado essas estratégias de definição que levam a essas situações ridı́culas, podemos nos concentrar
no que realmente importa: que caracterı́sticas puramente
17
comportamentais um sistema deve ter para que, em dado
momento, possa-se dizer que se ele está ou não vivo? A resposta a esta pergunta seria uma definição mais adequada
de vida do que as que normalmente lemos ou ouvimos no
ambiente acadêmico.
2.8.4
Classificações
Definições servem como mecanismos de classificação.
Classificar significa organizar em classes de equivalência
(ver subseção F.2.1).
O número 1, por exemplo, é definido como sendo a classe
de equivalência dos conjuntos unitários (ver G.2.4).
Sabendo o que é uma classe de equivalência, facilmente
podemos identificar algumas definições inválidas.
Um bom exemplo é a definição biológica de espécie:
“Espécies são grupos de populações naturais que cruzam
entre si, de fato ou potencialmente, e são reprodutivamente isolados de outros grupos” [5]. O que há de errado
com esta definição? Simples: ela não satisfaz a todos axiomas das relações de equivalência, que servem de base para
as classes de equivalência.
Mais especificamente, o problema está na falta de transitividade. Neste contexto, transitividade significa o seguinte: se a pertence à mesma espécie de b e b pertence
à mesma espécie de c, então a pertence à mesma espécie
de c. O fenômeno das “espécies em anel” 9 mostra que
a definição biológica de espécie não satisfaz a esta propriedade, o que torna a definição inconsistente, inválida
logicamente.
A súmula de tudo isso é: ainda que o conhecimento humano de Matemática seja bastante limitado, ainda assim
trata-se de uma grande quantidade de conhecimentos já
catalogados que precisam ser aproveitados em todas as demais áreas do conhecimento. Não colocar isso em prática
implica em grandes atrasos para a pesquisa, com repetidas
tentativas fracassadas de reinventar a roda de pedra com
3 ou 4 lados, sendo que outros pesquisadores não só conhecem tecnologias avançadas para construir pneus, mas
ainda dominam tecnologias aeroespaciais.
É fundamental que haja maior interação entre as diversas áreas do conhecimento, e é na Matemática que encontramos os recursos para colocar isso em prática.
9 Membros da população P podem cruzar com membros da po1
pulação P2 , que podem cruzar com membros da população P3 e
assim por diante, até que se encontra um n tal que membros da
população Pn não se reproduzem com membros da população P1 .
18
Capı́tulo 3
Cosmologia
3.1
Introdução
guns tópicos importantes como preparação para estudos
sobre Cosmologia.
Cosmologia, termo que muitos traduziriam como ‘estudo
do cosmos’, vem do grego κόσμος = mundo ou universo,
e λογία = razão, lógica, tratado (ou discurso, ou estudo,
segundo alguns usos)1 ; é a área do conhecimento associada ao Universo como um todo. O estudo deste assunto
depende de conhecimentos sobre leis fı́sicas.
É importante lembrar que leis fı́sicas são regularidades,
isto é padrões de existência e funcionamento do mundo
fı́sico. Esses padrões são expressos com mais precisão em
linguagem matemática.
O entendimento de Cosmologia ganhou grande impulso
com a descoberta de certas leis que, na segunda década do
século XX, foram organizadas na forma do que se conhece
como Teoria Geral da Relatividade, ou simplesmente Relatividade Geral. Esta teoria contém um dos fundamentos
mais importantes para o entendimento do comportamento
global do Universo.
O entendimento da Relatividade Geral, por sua vez,
passa pelo entendimento de Cálculo Tensorial e, preferencialmente, também Geometria Diferencial, que dá sustentação lógica ao primeiro. Estas são áreas da Matemática pura.
De fato, a experiência tem indicado profusamente que
suficiente aprofundamento em qualquer área leva à Matemática, que parece funcionar como fundamento de toda
e qualquer forma de conhecimento.2
Isso é estranho e desconfortável para quem pensa que a
Matemática é uma linguagem (em sentido literal) ou uma
criação da mente humana. Essa idéia tem-se mostrado
um grande obstáculo para os que tentam entender como
funciona o mundo fı́sico, e é importante descartá-la.
Resumindo: para estudar Cosmologia, precisamos estudar leis fı́sicas e, para isto, precisamos estudar Matemática. Mas nossa visão filosófica da Matemática pode
arruinar grande parte do processo.
Com isso em mente, discutiremos preliminarmente al1 Termos derivados de lìgoc usualmente têm significados associados a palavra ou raciocı́nio. A palavra logikìc, por exemplo, tem
sido traduzida como ‘racional’ (ver Romanos 12:1). Muitos preferem traduzir logÐa como ‘estudo’, indicando que preferem tratar do
assunto enfatizando atividades de pesquisa em detrimento do que
pode haver para ser descoberto e de regularidades respeitadas pelo
sistema em questão.
2 A palavra Matemática é derivada do grego mjhma, que significa
conhecimento, ciência.
3.2
Uma Revolução Geométrica
No século XIX, resolveu-se um problema milenar: o
caso do quinto postulado da Geometria de Euclides (ver
apêndice E). Convém lembrar que a geometria euclidiana
é a base do que se estuda em Geometria no Ensino Fundamental e no Ensino Médio.
Uma das pessoas mais importantes a trabalhar no assunto foi um dos matemáticos mais brilhantes de todos os
tempos (talvez, o mais brilhante): Carl Friedrich Gauss
(1777-1855).
Na Geometria Euclidiana, podemos tratar de figuras
geométricas no plano, por exemplo, obtendo resultados
adequados a esse ambiente.
A soma dos ângulos internos de um triângulo no plano
é 180◦ (ou π radianos). Mas, e se resolvermos desenhar
um triângulo sobre uma superfı́cie esférica, ao invés de
um plano? O resultado será um triângulo cuja soma dos
ângulos internos será superior a 180◦ . Uma geometria assim obedece aos quatro primeiros postulados de Euclides,
mas não ao último.
Gauss desenvolveu métodos matemáticos para o estudo
de superfı́cies curvas com base apenas em caracterı́sticas
intrı́nsecas de tais superfı́cies, sem a necessidade de referência a um espaço maior no qual estariam imersas. Isso
lançou os fundamentos para o que hoje chamamos de Geometria Diferencial.
Seguindo os passos de Gauss, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866) desenvolveu estruturas matemáticas que abriram as portas para o estudo de tipos
muito mais gerais de geometrias. A Geometria Riemanniana pavimentou o caminho para a formulação da Relatividade Geral, por Albert Einstein (1879–1955), no século
seguinte.
A Relatividade Geral estabelece uma relação entre distribuição de densidade de energia e momentum3 e curvatura do espaçotempo. Esta relação é expressa na forma
3 Momentum significa quantidade de movimento neste contexto.
Informalmente, podemos dizer que a quantidade de movimento (m v)
de um objeto é uma medida da dificuldade que terı́amos para fazer
esse objeto parar em relação a nós.
19
20
CAPÍTULO 3. COSMOLOGIA
de uma equação diferencial 4 tensorial 5 que nos permite
estudar o comportamento macroscópico6 dessa “tessitura
do Universo”, que chamamos de espaçotempo.
A equação fundamental da Relatividade Geral pode
tanto ser deduzida com o auxı́lio do princı́pio de Hamilton
(ver seção D.6) quanto pelo uso de um resultado (teorema)
da Geometria Diferencial chamado de identidades de Bianchi contraı́das (ver apêndice L) juntamente com uma
generalização do “princı́pio” 7 da conservação de energia.
Ao contrário da equação de Newton para a gravitação,
a equação de Einstein fornece detalhes interessantes sobre
a causa da gravidade.
A idéia básica por trás da dedução da equação de Einstein que apresentamos no apêndice L é a seguinte linha de
raciocı́nio.
• As leis fı́sicas são as mesmas em toda parte e ao longo
de todo o tempo. (Ou, no mı́nimo, variam pouquı́ssimo de um ponto para outro.)
• O item anterior implica na conservação de energia e
momentum por causa do teorema de Noether [6]. (Ou
na quase-conservação de energia, se esse postulado
não for exato.)
• Conservação de energia e momentum juntamente com
uma das identidades de Bianchi (que é um teorema
da Geometria) implicam na equação de Einstein.
A equação de Einstein mostra que energia, momentum e tensão provocam a existência de uma curvatura no
espaçotempo, cujos efeitos todos nós experimentamos sob
a forma de gravidade. Podemos, por exemplo, deduzir a
equação da gravidade de Newton8 a partir da curvatura
do espaçotempo prevista pela equação de Einstein.
Além de fornecer esclarecimentos sobre o funcionamento
da gravidade, a equação de Einstein tem um impacto fundamental sobre estudos de cosmologia: ela nos permite
estudar possibilidades de evolução do Universo.
Embora a Relatividade Geral possua limitações9 conhecidas, ela é uma excelente aproximação da realidade, verificada por literalmente milhões de experimentos. Qualquer ideia sobre cosmologia precisa ser confrontada com a
Relatividade Geral.
4 Veja
os comentários sobre equações diferenciais no capı́tulo 2.
diferenciais tensoriais são equações diferenciais cujas incógnitas são tensores. O conceito de tensor é discutido nos
apêndices E e L.
6 O comportamento microscópico, isto é, envolvendo os componentes mais básicos, como “partı́culas” que formariam o espaçotempo, depende de aspectos não contemplados na Relatividade Geral, como o que diz respeito à Geometria Quântica, por exemplo.
7 A rigor, a conservação de energia pode ser deduzida da simetria
de traslação temporal das leis fı́sicas [6]; neste contexto, chamar esta
lei de princı́pio é questionável.
8 Como uma aproximação, no caso de campos gravitacionais fracos.
9 Leva em conta curvatura mas não torção; considera o espaçotempo como contı́nuo, sem levar em conta sua estrutura microscópica.
5 Equações
3.3
Geometrias Não-Euclidianas
Em seu livro “Crı́tica da Razão Pura” [7], Immanuel Kant
(1724–1804) tece algumas considerações interessantes sobre tempo e espaço, as quais, em certo sentido, se opõem
às sugestões de Galileu (muito bem sucedidas, por sinal) sobre a forma mais eficiente de se lidar com conceitos. A abordagem de Kant é praticamente ortogonal
às estratégias que se têm demonstrado mais eficientes na
prática da pesquisa cientı́fica. Mas isso não desmerece o
trabalho de Kant se o considerarmos como um exercı́cio
de introspecção filosófica.
Ele tenta esclarecer o significado filosófico da Geometria. Na época, o que se sabia de geometria provinha da
Geometria Euclidiana.
Raciocinando nesse contexto, podemos imaginar, por
exemplo, que o espaço é infinito, pois, se ele fosse finito
teria uma fronteira. E o que existiria além dessa fronteira?
Seria espaço também. Portanto o espaço deve ser infinito.
O mesmo se daria quanto ao tempo. Ele não poderia ter
inı́cio ou fim. Se o tempo tivesse um inı́cio, então o que
teria ocorrido antes? Isso seria tempo também. Portanto
o tempo não deve ter tido um inı́cio. Da mesma forma,
poderı́amos concluir que o tempo não pode ter fim.
Mas esses argumentos não passam de falácias.
Se pensarmos em uma superfı́cie plana, por exemplo, é
fácil imaginar que ela possa ter limites na forma de bordas,
fronteiras onde ela termina. Mas, ainda assim, poderı́amos
pensar em prolongá-la no mesmo plano, o que poderı́amos
fazer indefinidamente. Nessas condições, o argumento de
kantiano é válido, pois o plano que contém a superfı́cie
seria infinito.
Pensemos agora na superfı́cie da Terra. Seguindo a
mesma linha descrita por Kant, poderı́amos concluir que
trata-se de uma superfı́cie infinita já que nela não se encontram as tais bordas. Isso seria uma falácia, pois há uma
diferença entre espaço ilimitado e espaço infinito. Uma
superfı́cie esférica é ilimitada mas finita.
Um dos maiores avanços cientı́ficos do século XIX (após
Kant) foi a descoberta de métodos matemáticos para lidar com novos tipos de geometria, mais gerais do que a
euclidiana.
Através da Relatividade Geral, Einstein demonstrou
que generalizações das geometrias riemannianas são aplicáveis ao espaçotempo.
Entre as novidades do século XX, temos a descoberta
de que o tempo é uma dimensão como as de espaço, sendo
diferente apenas por um detalhe representado por um sinal
em uma fórmula.
Outro detalhe interessante é o de que não precisamos supor que uma superfı́cie curva esteja contida em um espaço
euclidiano para poder estudá-la. Basta lidarmos com suas
propriedades intrı́nsecas, sem necessitar de qualquer referência a um suposto espaço no qual ela estaria contida.
Assim, ao lidarmos com curvaturas do espaçotempo
(gravidade), não precisamos imaginar que o Universo esteja dentro de um outro espaço maior para que a curvatura
tenha sentido.
As “provas” kantianas de que o espaço e o tempo são in-
3.5. PRIMEIRAS SOLUÇÕES
finitos caem por terra nessas generalizações. Mas isso seria
de se esperar que ocorresse com o tempo, pois as “provas”
kantianas são argumentos filosóficos e não demonstrações
matemáticas.
Hoje em dia, sabe-se que existem muitas maneiras pelas
quais o Universo pode ser finito, porém ilimitado.
Há também evidências de que o tempo teve um inı́cio
(Big Bang).
3.4
21
junto ao termo que descreve as demais formas de energia.
Neste caso, a equação fica com o seguinte aspecto:
Rµν −
1
8πG
Tµν + gµν Λ ,
gµν R =
2
c4
(3.3)
É importante notar que esta convenção de sinal para a
constante cosmológica não afeta os resultados da equação,
desde que se mantenha a coerência nos cálculos. Trata-se
apenas de uma questão de organização conceitual.
A Constante Cosmológica
3.5
Primeiras Soluções
A equação obtida por Einstein ao formular a Relatividade
Geral é equivalente à seguinte (o leitor leigo não deve 3.5.1 Buracos Negros
assustar-se com detalhes técnicos, mas apenas acompaNo mesmo ano da formulação da Relatividade Geral, 1915,
nhar a idéia geral):
Karl Schwarzchild (1873–1916) obteve uma solução exata
8πG
1
Tµν ,
(3.1) para a equação de Einstein, publicada no ano seguinte
Rµν − gµν R =
2
c4
[8], a qual descrevia a geometria do espaçotempo no exterior de um objeto esfericamente simétrico. Este tipo
sendo que o lado esquerdo desta equação (à esquerda do
de solução também serve como aproximação para objetos
sinal de igual) trata das caracterı́sticas geométricas do
quase-esfericamente simétricos. (Ver apêndice L).
espaçotempo, e o lado direito refere-se à maneira como
Imaginemos o caso de uma estrela com massa M e que
a energia está distribuı́da em um sistema.
não gira. A solução de Schwarzchild mostra “distorções”
De acordo com esta equação, a energia causa um encurno espaço e no tempo ao redor da estrela e nos permite
vamento do espaçotempo. O resultado disso é o tipo de
calcular exatamente a intensidade dessas distorções. Mas
fenômeno conhecido como gravidade.
acontece algo interessante: se o raio do objeto for suficienEinstein percebeu que, no caso do Universo como um
temente pequeno, mantendo-se a mesma massa, essa distodo, haveria uma tendência de colapso, pois a gravidade
torção fica tão grande a ponto de formar o que se chama
é somente atrativa. Como ele imaginava que o Universo
‘horizonte de eventos’, que funciona como se fosse uma
fosse estático, concluiu que a equação deveria estar incomespécie de fronteira entre regiões do espaço a qual não
pleta e acrescentou um termo que permitiria a possibilipermite a passagem de informações de um dos lados para
dade de um universo estático. Eis a equação modificada:
o outro.
O raio crı́tico para que isso aconteça é
1
8πG
Rµν − gµν R + gµν Λ =
T
,
(3.2)
µν
2
c4
2GM
,
(3.4)
R0 =
c4
sendo Λ uma constante universal a ser determinada, a chamada constante cosmológica.
sendo c a velocidade da luz no vácuo e G a mesma consCom esta modificação, a equação admite a existência de tante gravitacional que aparece na fórmula de Newton
uma situação de equilı́brio instável no qual o Universo não para a atração gravitacional entre dois objetos puntiforse expande e nem se contrai.
mes:
GM m
Quando Einstein ficou sabendo das descobertas de HubF =
.
(3.5)
ble sobre o avermelhamento de galáxias distantes (que cor2
mentaremos a seguir), entendeu que o universo não é reSe um objeto sofrer colapso gravitacional, como é o caso
almente estático e que a constante cosmológica não seria de estrelas que esgotam sua fonte de energia, e se esse
necessária na equação. Ele considerou o haver postulado colapso for tal que o raio do objeto possa chegar ao valor
essa constante como sendo o maior erro de sua carreira.
de R0 , então forma-se um horizonte de eventos e nasce um
Ao examinarmos com mais detalhes caminhos matemá- buraco negro, do qual nem mesmo a luz pode escapar.
ticos que nos permitem deduzir a equação de Einstein,
percebemos que o primeiro engano de Einstein foi o de de3.5.2 Universo Homogêneo e Isotrópico
duzir uma equação sem a constante cosmológica (detalhes
técnicos podem ser encontrados no apêndice L). O segundo Generalizando um pouco a solução de Schwarzschild,
erro foi introduzi-la artificialmente na equação. O terceiro podem-se obter resultados interessantes para escalas cosfoi imaginar que as observações de Hubble permitiriam mológicas. Um dos primeiros pesquisadores a estudar condescartar a constante cosmológica.
sequências cosmológicas da Relatividade Geral foi Willem
Hoje em dia, prefere-se colocar o termo da constante de Sitter (1872–1934), [9, 10, 11].
cosmológica no lado direito da equação, invertendo o sinal
Seguiram-se estudos de outros pesquisadores, como
da constante em relação ao da equação 3.2. O objetivo é o Alexander Alexandrovich Friedman (1888–1925) [12, 13],
de deixar claro que ela está associada à energia do vácuo Georges-Henri Édouard Lemaı̂tre (1894–1966) [14, 15] e
(energia escura) e, portanto, é mais natural que apareça Sir Arthur Stanley Eddington (1882–1944) [16].
22
Estes trabalhos seguiam uma linha que é altamente recomendável no estudo de teorias cientı́ficas: buscar primeiro soluções para equações nas situações mais simples
e simétricas possı́veis a fim de que se ganhe experiência
com as caracterı́sticas mais fundamentais da teoria. Após
esta fase inicial, o estudo pode evoluir para situações mais
realistas.
Um tipo muito simples de universo para estudar com a
equação de Einstein é um universo homogêneo, isotrópico
e sem conteúdo além do espaçotempo em si.
O próximo caso mais simples é o de um universo homogêneo e isotrópico com um conteúdo uniformemente
distribuı́do que comporta-se como um fluido perfeito. Supor estas condições é o que normalmente se entende
quando se fala em usar o ‘princı́pio cosmológico’.
Dependendo dos valores dos parâmetros cosmológicos
(dados globais sobre o Universo), obtêm-se possibilidades
como as seguintes:
• Um universo que se contrai desde o infinito, cada
vez mais lentamente à medida em que chega a um
mı́nimo. Depois, volta a expandir-se cada vez mais
rápido sem limites.
• Um universo estático mas instável, que sempre existiu.
• Um universo que saiu do equilı́brio instável e começou
a expandir-se cada vez mais rápido.
• Um universo sem conteúdo (sem energia/matéria) que
expande-se cada vez mais rápido após sua criação.
• Um universo que, após criado, expande-se a uma taxa
decrescente até certa época, após a qual expande-se
cada vez mais rápido.
• Um universo que, após criado, expande-se com velocidade cada vez menor até atingir o ponto de equilı́brio,
lentamente deixando de expandir-se.
• Um universo que, após criado, cresce a uma velocidade cada vez menor até parar de expandir-se, vindo
a contrair-se em seguida, terminando em um colapso
que destrói o espaçotempo.
3.6
Primeiras Evidências
Para descobrir em qual desses tipos de universo vivemos,
é necessário comparar essas previsões com dados observacionais.
Atualmente, várias grandezas são levadas em conta,
mas duas evidências foram bastante relevantes do ponto
de vista histórico para eliminar possibilidades da lista
acima: o avermelhamento de galáxias distantes e a radiação cósmica de fundo.
A primeira dessas evidências convenceu Einstein de que
não vivemos em um universo estático. A segunda forneceu
credibilidade à ideia de que o Universo foi criado, ou seja,
deu credibilidade a modelos em que existe um Big Bang.
3.6.1
Avermelhamento
Discutiremos brevemente o fenômeno do avermelhamento
e seu contexto.
Iniciemos pelo contexto. Toda a luz que vemos vem
de algum lugar. Pode vir do Sol, de estrelas distantes,
de lâmpadas, de telas de TVs e computadores, do fogo,
de objetos fosforescentes e assim por diante. O que estas
fontes têm em comum? De onde vem luz?
A luz é feita de fótons, que são partı́culas associadas a
fenômenos eletromagnéticos. Como todas as partı́culas, os
fótons comportam-se como ondas.
A matéria normal é feita de átomos, que, por sua vez são
feitos de um núcleo (normalmente com prótons e nêutrons)
e uma nuvem de elétrons ao seu redor. A energia desses
elétrons não pode ser qualquer. As leis da natureza só
admitem certos valores bastante especı́ficos para cada tipo
de átomo.
Átomos podem combinar-se para formar moléculas.
Nesse caso, alguns elétrons ligam-se a mais de um átomo
fazendo com que eles permaneçam unidos. Esses elétrons
moleculares também possuem nı́veis de energia bem definidos.
Além dos nı́veis de energia dos elétrons, ainda existe
“energia de vibração” interna de moléculas, que também
é quantizada, isto é, só admite valores especı́ficos.
Ao excitarmos a matéria de alguma forma, que pode
ser aquecimento, por exemplo, podemos fazer com que um
elétron passe a ocupar um nı́vel mais alto de energia, ou
que uma molécula passe a vibrar com energia maior. Após
a excitação, normalmente ocorre o decaimento, isto é, a
liberação da energia anteriormente absorvida e o retorno
da molécula ou átomo a uma situação de menor energia.
Essa liberação de energia ocorre pela criação e emissão
de fótons. A energia E que um fóton carrega determina
sua frequência f (lembre-se de que fótons apresentam comportamento ondulatório, como todas as partı́culas):
E = hf ,
(3.6)
sendo h uma constante universal chamada de constante
de Planck, em homenagem ao trabalho de Karl Ernst
Ludwig Marx Planck (1858–1947, mais conhecido como
Max Planck) sobre a radiação de corpo negro [17], onde
esta constante aparece pela primeira vez.
Do ponto de vista sensorial, percebemos a frequência de
um fóton como sendo sua cor. Um fóton azul, por exemplo,
possui frequência maior (mais energia, portanto) do que
um fóton vermelho.
Além disso, ao decompormos a luz emitida por qualquer material (como acontece quando a luz passa por um
prisma, por exemplo), podemos medir a intensidade de
cada cor. A função que relaciona a intensidade com a
frequência (ou comprimento de onda) da luz emitida por
algum material chama-se espectro de emissão do material
e funciona como uma espécie de impressão digital que nos
permite conhecer em detalhes a composição e situação do
material.
Existe também o espectro de absorção: quando a luz
atravessa um material, certas frequências são mais absovidas do que outras, formando uma espécie de negativo
3.6. PRIMEIRAS EVIDÊNCIAS
fotográfico do espectro de emissão, o que também nos permite identificar o material com precisão.
Este tipo de técnica chama-se espectroscopia (sondagem
por meio do espectro).
Ao observarmos estrelas ou mesmo gases interestelares,
podemos medir sua temperatura, grau de ionização, saber sua composição e até a proporção de cada substância,
átomo ou ı́on.
Como a luz é um fenômeno ondulatório, a espectroscopia ainda nos fornece informações adicionais por meio
do efeito Doppler, que é uma alteração da frequência (ou
comprimento de onda) por causa do movimento relativo
ou por causa de efeitos relativı́sticos (dilatação do tempo,
ver apêndice E).
Ao observarmos o espectro da luz de uma estrela, podemos, além de sua composição e temperatura, obter dados
sobre movimentos de translação, rotação e gravidade. Se
essas estrelas estão em outras galáxias, podemos obter informações sobre movimentos de rotação dessas estrelas em
torno do centro de suas galáxias e também sobre o movimento médio da galáxia em relação a nós. Se a galáxia
está se afastando de nós, observaremos um desvio para o
vermelho, ou seja, percebemos os espectros deslocados no
sentido das menores frequências.
Se uma galáxia se aproxima de nós, sua luz tende a
sofrer um desvio para o azul, isto é, os espectros aparecem
deslocados no sentido das frequências maiores.
Notamos que, em média, galáxias pertencentes a aglomerados mais distantes apresentam, de nossa perspectiva,
um avermelhamento tanto mais pronunciado quanto maior
for a distância do aglomerado. É preciso trabalhar com
médias, pois normalmente galáxias possuem movimentos
dentro do aglomerado que podem chegar, em princı́pio, a
desvios para o azul, se o aglomerado não for suficientemente distante.
O efeito do avermelhamento que cresce com a distância
é compatı́vel com as soluções nas quais o Universo se expande.
É preciso, contudo, ter algum cuidado para não confundir o efeito Doppler gravitacional com o efeito Doppler devido ao movimento. Mesmo levando-se em conta o
efeito gravitacional intrı́nseco de uma galáxia ou aglomerado de galáxias, alguém ainda poderia supor a existência
de um outro campo gravitacional em escalas cósmicas, o
qual seria responsável pelo avermelhamento ao invés da
velocidade de recessão das galáxias em relação a nós.
Como o avermelhamente tende a ocorrer de forma semelhante em todas as direções, terı́amos essencialmente duas
possibilidades:
• o Universo é aproximadamente homogêneo e está em
expansão, ou
23
Basicamente, temos expansão nos dois casos. Em ambos
os casos ocorre a criação do Universo, apelidada de Big
Bang. O que muda é a hipótese de o Universo ter ou não
um centro próximo de nós.
Como a hipótese de que o Universo é homogêneo parece
muito mais provável (se o Universo tivesse um centro, qual
a chance de ser tão próximo daqui?), a outra possibilidade
não costuma ser levada a sério a não ser por alguns criacionistas.
Além disso, a ideia de que o Universo possui um centro levanta uma série de problemas que não existem no
modelo homogêneo. Em outras palavras, de um ponto
de vista criacionista, um universo assim parece ser mais
complexo do que o necessário para cumprir suas funções,
o que é uma indicação de que seria improvável que Deus
optasse por esse tipo de projeto, além da aparente falta de
sustentação bı́blica para a ideia de que o Universo possua
algum centro (a não ser pelo centro polı́tico, mencionado
na Bı́blia). Mesmo assim, é difı́cil eliminar completamente
essa possibilidade.
3.6.2
Radiação Cósmica de Fundo
Em 1948, George Gamow (Georgiy Antonovich Gamov,
1904–1968) publicou um artigo [18] que utilizava o cenário
do Big Bang, no qual o Universo foi criado pequeno, vindo
a expandir-se, para tentar determinar como seriam as
condições e processos nas fases iniciais da existência do
espaçotempo.
Entre os processos descritos, ele tratou da nucleossı́ntese, isto é, da formação natural de núcleos atômicos.
Nas fases iniciais, o Universo não deveria ser transparente por causa da frequente interação dos fótons com
partı́culas carregadas. À medida em que o Universo se
expandia, as interações ficavam menos frequêntes até chegar ao ponto de ser possı́vel aos fótons viajarem grandes
distâncias sem sofrer interações significativas.
Nesse momento de transição, os fótons emitidos pelos
últimos processos formariam um espectro semelhante ao
de um corpo negro10 preservando uma espécie de assinatura térmica daquela época.
Levando-se em conta a expansão do Universo, deverı́amos poder detectar esse espectro térmico hoje em dia,
o qual sinalizaria uma temperatura poucos graus acima do
zero absoluto. Inicialmente, essa temperatura foi estimada
em cerca de 5 K (−268◦ C), embora os dados astrofı́sicos
para calibrar o modelo do Big Bang ainda fossem muito
rudimentares na época.
Em 1965, Arno Penzias (1933–) e Robert Woodrow Wilson (1936–) construı́ram um radiômetro para ser usado em
experimentos com satélites de comunicação e radioastronomia. Esse dispositivo captou um ruı́do de fundo vindo
de todas as direções.
Seguiram-se outras observações mais precisas, indicando
com cada vez mais detalhes a correção da previsão do modelo de Gamow.
• o Universo possui um centro que, casualmente está
muito próximo de nós e existe um campo gravitacional radial (partindo desse ponto central) que seria o responsável pelo avermelhamento (ver subseção
3.7.5). Um campo gravitacional capaz de causar esse
10 Corpo negro é um objeto ideal que não reflete luz, mas pode
avermelhamento também causaria expansão do Uni- apenas emitir ou absorver fótons em função de sua temperatura, por
força da Termodinâmica.
verso.
24
A distribuição de pequenas irregularidades na radiação
Seguindo a regra exegética de comparar diferentes texcósmica de fundo coincide com a de um gás aquecido que tos que fornecem informações sobre um mesmo assunto,
se expandiu rapidamente, exatamente como previsto pelo encontramos coisas interessantes em livros como Jó, Ezemodelo de Gamow.
quiel e Apocalipse que contrariam essas ideias.
Os capı́tulos 1 e 2 de Jó, por exemplo, mencionam
reuniões nas quais os filhos de Deus compareciam para
3.7 Ponderações
adorá-Lo e Satanás apresentou-se como vindo da Terra!
Em Apocalipse, menciona-se que houve uma guerra no
3.7.1 Resistência Geral
Céu e que o dragão (Satanás) e seus seguidores (um terço
Por razões diferentes, modelos com um Big Bang (ou seja, das estrelas) foi expulso para a Terra (antes da história de
modelos em que o Universo foi criado) foram combatidos e Jó). Em relatos proféticos desse tipo, anjos usualmente
defendidos tanto por criacionistas como por evolucionistas. são chamados de estrelas. Lúcifer foi chamado de estrela
Einstein preferia crer que o Universo (espaçotempo) da manhã, por exemplo.
Observando o contexto geral, parece-nos que a expressão
sempre existiu.
“filhos
de Deus” refere-se a outros tipos de seres que não
Já o padre Lemaı̂tre, estudando a Relatividade Geral,
os
anjos
ou, no mı́nimo, trata-se de uma generalização que
viu-a como uma evidência fı́sica de que Deus realmente
abrange
também outras criaturas.
criou o Universo, não apenas a matéria. Einstein despreEm
Jó
38, menciona-se que quando Deus “lançava os
zou as ideias de Lemaı̂tre até que Hubble anunciou seus
fundamentos
da Terra”, isto é, durante a semana de
resultados sobre o avermelhamento de galáxias distantes.
Gênesis
1,
as
estrelas
da alva (anjos) e os filhos de Deus
Depois disso, Einstein retratou-se e passou a admirar o
(seres
de
outros
planetas?)
comemoravam.
trabalho de Lemaı̂tre.
Para
estes
relatos,
o
cenário
mais natural seria o seAinda assim, a ideia de que o Universo (incluindo o
guinte:
tempo) teve uma origem era muito difı́cil de aceitar para
muitos fı́sicos. A própria expressão “Big Bang” foi cunhada por Sir Fred Hoyle (1915–2001) em um programa
de rádio da BBC (“The Nature of Things” — “A Natureza
das Coisas”), como termo pejorativo, enquanto criticava o
modelo. O texto correspondente foi publicado em 1950.
Após a descoberta da radiação cósmica de fundo exatamente como prevista pelo modelo do Big Bang e ainda
servindo de forte evidência para a homogeneidade aproximada do Universo, a maioria das crı́ticas cessou.
3.7.2
Ceticismo entre Criacionistas
Muitos criacionistas ainda têm dificuldades de aceitar
este cenário em função da confusão que muitos fazem
entre criação da Terra e criação do Universo no relato
bı́blico. Lendo apenas Gênesis 1, pode-se ter a impressão de que o primeiro verso se refere à criação do
Universo. Examinando-se mais de perto o uso das expressões, percebe-se que as palavras traduzidas por ‘céus’ e
‘terra’ têm significados bastante vagos. Uma olhada ainda
mais cuidadosa na linguagem nos leva a pensar seriamente
na possibilidade de que Gênesis 1:1 realmente se refira à
criação do Universo e que esta teria ocorrido no primeiro
dia da semana.
É interessante fazer esse tipo de análise linguı́stica, mas
há o perigo de ultrapassar-se a “resolução” da Bı́blia. O
que queremos dizer é que a Bı́blia afirma ter sido escrita
por humanos (embora inspirados por Deus) em linguagem
humana, com suas limitações. É por isso que não se deve
extrair uma doutrina de uma passagem apenas. A precisão
das palavras dos escritores bı́blicos tem limites, os quais
às vezes são ultrapassados na tentativa de se fazer a Bı́blia
dizer coisas que ela não diz.
Também há quem acredite que a Terra é o centro do
Universo, pois seria o único planeta em que Deus colocou
seres à Sua imagem e semelhança.
• Quando Deus criou a Terra já havia outros seres no
Universo (espaçotempo). Provavelmente esses seres
viviam (e vivem) em planetas, pois seres criados precisam de condições muito especiais para viver. O relato da organização Terra para suportar vida e da
criação de seus primeiros habitantes pode representar
algo que já havia ocorrido inúmeras vezes em diferentes partes do Universo.
Seja como for, a Bı́blia sugere fortemente que o Universo foi criado antes da semana de Gênesis 1. Quanto
tempo antes? Uma semana? Um ano? Um bilhão
de anos? Até o momento não encontramos essa informação na Bı́blia.
• Segundo a Bı́blia, existem outras formas de vida inteligente no Universo além dos humanos. No mı́nimo,
anjos. Provavelmente seres que vivem em outros planetas e que não são anjos. Seria mesmo um desperdı́cio haver só um planeta habitado em um universo tão grande.
Se Deus criou o Universo (espaçotempo), perceberı́amos
o surgimento dessa estrutura exatamente como um Big
Bang (criação e expansão do espaçotempo).
Quanto a Jó 38, alguém poderia imaginar que os seres
que comemoravam a fundação da Terra talvez existissem
em algum ambiente etéreo, fora do Universo, na Eternidade, talvez. Se fosse fora do Universo, não haveria sentido
dizer-se que eles comemoravam quando Deus lançava os
fundamentos da Terra, pois se o tempo de lá é conectado
com o tempo daqui de forma a ter sentido essa expressão,
então, por definição, esse tal “lugar etéreo” faz parte do
Universo.
Se eles estivessem em outro universo, não haveria essa
conexão temporal.
3.7. PONDERAÇÕES
Por outro lado, para estarem na Eternidade, onde não
há tempo (sucessão de acontecimentos), eles não poderiam
ter sido criados, sendo eternos, imortais e infinitos como
Deus. Segundo a Bı́blia, só Deus (as pessoas da trindade)
possuem essas caracterı́sticas. Essa Eternidade nada tem
a ver com o conceito de durar para sempre ao longo de
uma linha de tempo.
A rigor, criacionistas não podem alegar apoio bı́blico
nem para combater a ideia do Big Bang e nem para tentar
argumentar contra a ideia de que o Universo tem mais de
13 bilhões de anos de idade.
A Bı́blia não parece prover apoio nem para a idéia de
que estamos no centro do Universo, ou próximo a ele, e
nem para a ideia de que o Universo é jovem.
Pergunta-se então: por que há criacionistas fazendo
tanto esforço para demonstrar que o Universo é jovem ou
que estamos no centro do Universo? Será por causa de
alguma doutrina supostamente bı́blica?
3.7.3
Velocidade da Luz Variável?
Como vimos, por estranhas razões, alguns acreditam precisar defender a ideia de que o Universo tenha menos de
10 mil anos de idade!
Mas o que fazer então com as observações astronômicas?
Olhando para o céu, não vemos o presente mas o passado. Ao observarmos nossa galáxia vizinha Andrômeda,
por exemplo, estamos recebendo a luz que partiu de lá há
mais de 2 milhões de anos atrás! Como conciliar isso com
a ideia de um universo tão jovem?
Houve quem levantasse a hipótese de que as imagens
que vemos são falsas, de que Deus teria criado já a luz em
movimento transportando esses cenários enganosos.
Porém, mais razoável é a ideia de que a velocidade da
luz já foi muito maior no passado e tem estado a diminuir com o tempo. Assim, ao calcularmos as distâncias e
o tempo que a luz deve ter demorado para percorrê-las supondo constante a velocidade da luz, cometerı́amos erros
grosseiros, superestimando os tempos de viagem.
Algumas evidências fı́sicas nesse sentido têm sido apresentadas por Barry Setterfield e outros.
Algo que inspira cuidados nessa área é que existem argumentos inconsistentes a favor e argumentos do espantalho
contra a ideia do decaimento da velocidade da luz ao longo
do tempo.
Alguns comentários inconsistentes a favor passam por
afirmações como a seguinte [19]: “O tempo atômico é definido em termos de uma revolução de um elétron na órbita
do estado fundamental de um átomo de hidrogênio.” O
problema é que não se pode afirmar que elétrons giram
em torno de núcleos atômicos, muito menos o elétron do
hidrogênio no subnı́vel 1s, que possui momento angular
nulo!
Em alguns cálculos, essa abordagem clássica é usada
para estabelecer algumas dependências entre “constantes”. Experimentamos refazer um dos mais fundamentais
desses cálculos utilizando a Mecânica Quântica, e obtivemos o mesmo resultado de Norman e Setterfield [19].
25
Tratava-se de um argumento inválido levando a uma conclusão correta!
No mesmo trabalho, Norman e Setterfield mencionam
uma variação na constante cosmológica (Λ) em função da
variação da velocidade da luz no vácuo. Note-se que os autores mecionam que seu modelo é totalmente compatı́vel
com a Relatividade Geral. Uma possı́vel dependência temporal da constante cosmológica tem até sido discutida em
artigos respeitados (como em [20]). O problema é que a
constante cosmológica, conforme definimos no apêndice L,
não pode variar com o tempo e nem com o espaço por
tratar-se de uma constante de integração em relação a essas variáveis. Poderı́amos apenas falar em alguma outra
grandeza que entra na equação de Einstein de forma parecida com a da constante cosmológica mas que não funciona
como constante de integração. Essa grandeza sim, poderia
variar com o tempo.
Por outro lado, se alguém realmente conseguir demonstrar que a verdadeira constante cosmológica se altera com
o tempo, então a Relatividade Geral precisará de correções
importantes.
Entre os argumentos do espantalho contrários, encontramos afirmações de que, no modelo de Setterfield, a gravidade teria sofrido drásticas alterações a ponto de esfacelar estrelas e planetas. Mas, segundo Setterfield, o campo
gravitacional não é afetado pela variação da velocidade da
luz no vácuo.
Independentemente das motivações das pessoas que são
contra ou a favor da ideia de Setterfield, é preciso avaliar
com cuidado as evidências antes de aceitar ou descartar
possibilidades.
Um cuidado que precisamos ter é o de não descartar
simplesmente ideias (contra ou a favor) por causa de argumentos inconsistentes. Como vimos, às vezes os argumentos podem ser corrigidos e ainda assim levar às mesmas
conclusões.
Para os evolucionistas, aceitar as ideias de Setterfield
seria problemático, pois elas tendem a estimar que o Universo seja muitı́ssimo jovem.
Para os criacionistas, as consequências cosmológicas
desta questão devem ser apenas uma curiosidade, pois a
Bı́blia não parece fornecer informações sobre a idade do
Universo exceto ao afirmar que é maior do que a idade
da Terra (e não igual, como querem alguns). Por outro
lado, consequências sobre métodos de datação possuiriam
impacto direto em estimativas de idades de fenômenos
geológicos e de fósseis.
Nossas primeiras estimativas, entretanto, indicam que
uma variação da velocidade da luz no vácuo não afetaria
constantes de decaimento radioativo (M.6).
Preparamos uma breve discussão técnica sobre este assunto no apêndice M, ainda que em caráter preliminar.
3.7.4
Universo Não-Homogêneo?
Um dos postulados básicos de modelos como o de Lemaı̂tre
é o chamado princı́pio cosmológico: em uma escala suficientemente grande, o Universo é aproximadamente homogêneo e isotrópico.
26
Ser homogêneo significa que todos os pontos são equivalentes (não há pontos especiais), com as mesmas propriedades em toda parte.
Ser isotrópico significa que não há direções especiais,
mas todas as direções são equivalentes.
Em um universo homogêneo, existe conservação de momentum (quantidade de movimento), como realmente observamos no Universo.
Em um universo isotrópico, conserva-se o momento angular (quantidade de movimento de rotação), como acontece no Universo.
A questão é: o que ocorre se removermos o princı́pio
cosmológico de nossas buscas por soluções para a equação
de Einstein? Elimina-se o Big Bang? De forma nenhuma!
O que o princı́pio cosmológico faz é simplificar os
cálculos. Se quisermos testar modelos de universos muito
irregulares, teremos muito mais trabalho, muitas vezes
precisando de um bom poder computacional para obter
resultados complexos.
Mas existem outras possibilidades relativamente fáceis
de calcular, como é o caso do modelo de Gentry (subseção Figura 3.1: Representação da distribuição de matéria no
3.7.5).
Universo por Richard Powell.
Em qualquer caso, porém, uma coisa permanece: a gravidade tende a fazer o Universo colapsar, o que pode ser
compensado (e até supercompensado) por duas coisas:
Gentry argumenta que, ao invés de considerarmos o Universo como sendo homogêneo, poderı́amos reinterpretar
• a constante cosmológica, que aparentemente tem um os resultados das observações de acordo com a hipótese
sinal tal que induz a expansão do Universo,
de que o Universo possui um centro e que estamos muito
próximos dele.
• e a própria expansão inicial do Universo causada pela
Para explicar o avermelhamento de galáxias distantes,
criação.
ele supõe um campo radial (em relação ao centro do Universo) de gravidade negativa (mas isso causaria a expansão
Qualquer que seja a forma ou distribuição do que existe do Universo).
no Universo, estes princı́pios são válidos, de acordo com a
Para explicar a radiação cósmica de fundo, ele imagina
Relatividade Geral, ou seja, se o Universo teve um inı́cio, uma imensa nuvem de hidrogênio aquecido formando uma
então esse inı́cio seria em um Big Bang seguido de ex- espécie de casca esférica ao redor do Universo conhecido.
pansão (o que tenderia a produzir um Universo mais ou O que manteria aquecida essa “casca” de hidrogênio? E o
menos homogêneo, com pequenas irregularidades, por si- que haveria fora dela?
nal). O que acontece depois? Isso depende de detalhes do
Gentry argumenta que o princı́pio cosmológico não pode
modelo.
ser demonstrado, mas o substitui por outro postulado
O mapeamento das observações de aglomerados galácti- ainda mais difı́cil de demonstrar, sem mencionar os postucos tem gerado resultados como os representados na figura lados extras altamente improváveis (como o da misteriosa
3.1, encontrada em [21].
nuvem de hidrogênio na “borda do Universo”).
Os artigos de Gentry geraram debates por algum tempo,
mas
acabaram sendo desconsiderados pela comunidade
3.7.5 O Modelo de Gentry
acadêmica sob a alegação de viés religioso [23] [24].
Em uma série de artigos, iniciando por [22], Robert Gentry propõe um modelo semelhante ao original de Einstein, de um universo estático, o que é bastante curioso 3.8
Questões Frequentes
considerando-se que Gentry é criacionista.
É bom lembrar que modelos de universo estático são in- 3.8.1 De Onde Veio a Energia?
compatı́veis com o Criacionismo, pois neles não há criação
do Universo, a menos que o caráter estático seja apenas Um dos argumentos que alguns levantam contra modelos
uma condição atual, havendo o Universo se expandido an- de Big Bang é: como fica a lei da conservação de energia
teriormente. E mais: modelos de universo sem Big Bang nesse caso, isto é, de onde teria vindo toda a matéria do
são, no mı́nimo, bastante problemáticos para o Criacio- Universo?
Alguns criacionistas optariam por uma “resposta fácil”
nismo, pois tendem a tornar difı́cil de harmonizar a crença
de que Deus criou o Universo com o que se sabe sobre o (e inútil): Deus simplesmente fez aparecer toda a matéria
e energia do Universo, pois Ele tem poder. Mas isso não
funcionamento das leis fı́sicas.
3.8. QUESTÕES FREQUENTES
responderia à pergunta, pois a questão é sobre a forma
como isso foi feito. A Bı́blia apresenta Deus como sendo
metódico, isto é, tudo o que Ele faz segue métodos, regras.
As leis fı́sicas são exemplos de regras desse tipo. O Deus
da Bı́blia não viola as próprias leis para poder agir, embora
tenha poder para fazê-lo.
A resposta à questão da origem da matéria e da energia do Universo está a uma profundidade um pouquinho
maior: de onde vem a lei da conservação de energia? Esta
lei é consequência do fato de que as leis básicas da Fı́sica
não se alteram com o passar do tempo. Enquanto essas
leis permanecem inalteradas, energia não pode ser criada
ou destruı́da.
O momento de criação do Universo é o instante inicial
do tempo. Não existe um “antes” em relação àquele momento. As leis fı́sicas entraram em vigor a partir dali.
Trata-se de um ponto de quebra de simetria, a qual gera
energia, que excita o vácuo e produz partı́culas.
3.8.2
Pecado e Leis Fı́sicas
Entre os criacionistas, existem pessoas que imaginam as
leis fı́sicas se alteraram com o pecado (de quem? de Lúcifer
ou de Adão?). Alternativamente, a Terra poderia ter sido
lançada em um Universo alternativo, criado com leis diferentes para abrigar pecadores. Imaginam que, em um
universo perfeito, sem pecado, não haveria morte de estrelas, por exemplo. Poderiam ser até citadas algumas passagens bı́blicas fora de contexto na tentativa de reforçar
essas hipóteses.
Além de não ter apoio bı́blico ou fı́sico descente, esse
tipo de ideia (alteração de leis fı́sicas ou universo alternativo) parece gerar muito mais problemas do que resolve.
Pelo que entendemos, a Bı́blia aponta no sentido
contrário: a lei de Deus é imutável e não pode ser afetada pelo pecado até porque ela define o pecado. A lei
moral é gerada pelo mesmo princı́pio que gera a lei fı́sica
— o princı́pio de Hamilton. É a mesma seqüência formal que mostramos na seção D.6. O funcionamento da
lei moral apoia-se no funcionamento da lei fı́sica. Se uma
pode mudar, a outra também. Se uma é imutável, a outra
também o é.
A hipótese de que fomos lançados em um gigantesco
universo alternativo feito por causa do pecado, além de
não ter apoio bı́blico, é bizarra do ponto de vista fı́sico
e bizarra do ponto de vista teológico. Para começar, por
que Deus Se daria ao trabalho de criar um universo inteiro
só por causa de um planeta que se rebelou? É claro que
Ele tem poder para isso, mas Ele utiliza o princı́pio de
maximização de eficiência em tudo o que faz. Isso está
escrito por toda parte neste universo.
O universo no qual vivemos é otimizado, pois o princı́pio
de Hamilton funciona muito bem aqui. Este mesmo argumento também funciona contra a hipótese de que o pecado
alterou as leis fı́sicas. Essas leis são perfeitas (otimizadas)
aqui e agora.
Mas o pecado alterou alguma coisa. Após a queda, a
Terra transformou-se. A biosfera terrestre passou a ter
um comportamento bastante diferente. Isso não mostra
27
que as leis fı́sicas mudaram? De forma nenhuma!
Leis fı́sicas são bem descritas por equações diferenciais,
sendo que cada equação diferencial descreve uma infinidade de comportamentos possı́veis. O que define qual
dos comportamentos possı́veis ocorrerá é o conjunto de
condições que afetam o sistema.
Por exemplo, existe uma lei que rege a propagação de
ondas. Para saber exatamente como uma corda de violão
irá vibrar ao ser perturbada, utilizamos a equação diferencial que rege o fenômeno para descobrir o que chamamos de solução geral, que é uma expressão matemática
que nos fornece todas as infinitas soluções possı́veis da
equação. Utilizamos as condições do sistema (tensão da
corda, condições de contorno, condições iniciais) para descobrir qual das soluções contidas na solução geral é a que
se concretizará no caso especı́fico em estudo.
Condições de contorno e condições iniciais podem alterar radicalmente o comportamento de sistemas, chegando
a parecer que há diferentes leis atuando em cada caso.
O que mudou em função do pecado não foram as leis
básicas, foram condições deste tipo. Isso afeta profundamente a Biologia, alterando radicalmente muitas de suas
regras, mas não toca na Fı́sica. Aliás, alterações em leis
fı́sicas tendem a ter um efeito muito mais disruptivo, como
modificação ou inviabilização da Quı́mica e, portanto, da
Biologia, tornando inviável a existência de seres vivos e
assim por diante. As diferenças que observamos entre
o mundo de hoje e o que a Bı́blia descreve antes e depois do pecado, por mais pronunciadas que pareçam, são
apenas diferenças sutis do ponto de vista fı́sico, aparentemente ligadas unicamente a pequenas alterações de algumas condições locais.
E como fica o caso da morte de estrelas em um universo
perfeito? Não é verdade que, em um universo perfeito,
tudo duraria para sempre? A resposta é não!
De acordo com Gênesis, Adão e Eva comiam, assim
como os animais. Outras passagens mostram o mesmo
acontecendo depois de o pecado estar extinto. Quando
alguém come uma fruta, será que a fruta continua existindo? Se nada pode ser destruı́do em um universo perfeito, então a alimentação está fora de cogitação em um
ambiente desses.
Quando comemos, destruı́mos o alimento a utilizar seus
componentes a fim de contruir itens de que nosso organismo necessita. Decompomos proteı́nas em aminoácidos e
utilizamos esses aminoácidos para formar outras proteı́nas
das quais precisamos. Nosso organismo é capaz, por exemplo, de gerar água e gás carbônico a partir de moléculas de
oxigênio e de glicose. O que nos interessa nesse processo é
que ele libera energia, da qual necessitamos.
Tomando este processo como exemplo, observemos a
cena maior. O Sol emite energia na forma de fótons. Plantas captam alguns desses fótons e utilizam sua energia para
transformar água e gás carbônico em moléculas como a
de glicose. Nenhum átomo é criado ou destruı́do no processo. Há apenas recombinação de átomos em diferentes
moléculas e armazenamento de energia.
Após ingerirmos a glicose produzida pelas plantas, efetuamos o processo inverso: extraı́mos a energia armaze-
28
nada e devolvemos os mesmos átomos ingeridos na forma
de água e gás carbônico. Assim, o ciclo se repete. Se não
devolvêssemos esse material, após algum tempo as plantas
ficariam sem matéria prima para trabalhar, estagnando o
processo e inviabilizando a vida.
O que ocorre com o ciclo da glicose ocorre também com
todas as demais substâncias que ingerimos. De uma forma
ou de outra, os átomos ingeridos precisam ser devolvidos
ao ambiente para serem reaproveitados na continuação do
ciclo. Se havia alimentação antes da queda, então esse ciclo existia, com destruição de alimentos, aproveitamento
de energia e devolução de materiais para serem reaproveitados por outros organismos, retornando por fim às plantas para que o processo se reinicie.
Em processos biológicos, moléculas são destruı́das e reconstruı́das. Isso é essencial à vida, mesmo antes do pecado. Mas átomos não podem ser criados e nem destruı́dos
neste tipo de processo.
Há processos, porém, que destroem uns tipos de átomos
e criam outros: são as reações nucleares que ocorrem no
núcleo de estrelas 11 . Neste caso, temos um tipo de reciclagem mais profunda, como a transformação de átomos
de hidrogênio em hélio, e de hélio em elementos mais “pesados”.
Enquanto a reação nuclear que transforma hidrogênio
em hélio ocorre no interior de uma estrela, liberando energia, a estrela pode permanecer estável por muito tempo.
A gravidade tende a fazer a estrela implodir, mas a pressão
gerada pela energia das reações nucleares evita o colapso.
Cedo ou tarde, porém, a quantidade disponı́vel de hidrogênio deixa de ser suficiente para manter a estabilidade
da estrela, que vem a colapsar.
Durante o colapso, energia gravitacional transforma-se
em energia cinética. À medida em que a estrela se contrai, essa energia cinética converte-se em energia térmica
em função de colisões de partı́culas. Se a temperatura e
pressão chegarem a certos valores, outros tipos de reações
nucleares mais violentas ocorrem, podendo liberar energia
tão rapidamente que a extrela explode, liberando valiosos
elementos quı́micos ao seu redor.
Longe de ser uma imperfeição, trata-se de um meio
muito interessante de produzir materiais úteis.
criação desse deus. Esse também não poderia ser o Criador
do Universo.
Há os que imaginam o espaçotempo como infinito e
eterno. Nesse caso, se a matéria e a energia não forem
também eternas, temos uma violação de leis fı́sicas em
algum momento 12 ou, no mı́nimo, uma conexão com universos paralelos que teriam descarregado energia e matéria
aqui. Para que possam ser caracterizados propriamente
como “universos paralelos”, eles precisam ter suas próprias
dimensões de espaço e de tempo ou outras estruturas que
as substituam. Se não forem assim, serão partes deste universo e não universos paralelos e voltamos à estaca zero.
É importante perceber que os conceitos intuitivos populares de tempo e de espaço são inadequados para lidar
com Cosmologia e ainda muito mais inadequados para tecer considerações sobre a origem do Universo. Esta é uma
das razões pelas quais precisamos entender bem pelo menos áreas como a Relatividade Geral e como funciona o
espaçotempo nesse contexto.
Assuntos como Geometria Quântica (ou algo equivalente) precisam ser razoavelmente bem entendidos para
poder-se lidar de forma razoável de assuntos ligados aos
primeiros instantes do Big Bang.
Na Teologia bı́blica, Cristo é chamado de Pai da Eternidade, ou Pai Eterno (Isaı́as 9:6), dependendo da tradução.
Comparando esse tipo de expressão com a forma como
Deus Se apresentou a Moisés na sarça ardente, e outras
passagens, como João 1, começamos a ter um vislumbre
do que tudo isso significa. Deus se apresenta não apenas
como o Criador de todas as coisas, mas como o Eu Sou,
usando esta expressão de tal maneira que indica que Sua
caracterı́stica mais distintiva é a de que Ele existe independentemente do tempo (o verbo nunca se conjuga) e de
qualquer condição externa a Ele mesmo.
Em Hebreus 11:3, lemos: “Pela fé entendemos que os
mundos foram criados pela palavra de Deus; de modo que
o visı́vel não foi feito daquilo que se vê.” Mas é interessante
verificarmos o original grego desta passagem 13 : “Πίστει
νοοῦμεν κατηρτίσθαι τοὺς αἰῶνας ῥήματι θεοῦ, εἰς τὸ μὴ ἐκ
φαινομένων τὸ βλεπόμενον γεγονέναι.”
A palavra traduzida por ‘mundos’ é ‘αἰῶνας’ (aiôonas),
que normalmente significa ‘eras’ (no sentido de épocas),
mas até pode significar mundos, por extensão. Uma
tradução mais literal seria: “Pela fé entendemos que as
foram construı́das pela palavra de Deus...” Utili3.9 Primeiros Instantes e Teologia eras
zamos a palavra ‘construı́das’ ao invés de ‘criadas’ por
se adequar mais ao significado de ‘κατηρτίσθαι’, que dá a
Bı́blica
ideia de trabalho metódico de construção ou restauração.
Para pessoas que creem em um deus que é “uma energia”, A continuação do verso estabelece o contexto de criação e
a criação do tempo seria o momento da criação do seu
12 Violações de leis fı́sicas devem ser consideradas inaceitáveis tanto
deus, pois a existência da energia depende da existência do ponto de vista fı́sico quanto do ponto de vista bı́blico. De acordo
do tempo (ver apêndice N). Esse deus não poderia ser o com a Bı́blia, por exemplo, a lei de Deus é eterna. Cristo morreu para
pagar o preço exigido pela lei moral em lugar do pecador porque a lei
Criador do Universo.
Para quem acredita em um deus que está confinado ao não poderia ser alterada. Se isso se refere à lei moral, então também
se refere à fı́sica, pois leis morais vêm do mesmo princı́pio que gera
tempo como nós, a criação do Universo seria também a as leis fı́sicas: são duas faces de uma mesma moeda. A definição
11 Na
verdade são reações envolvendo núcleos atômicos em plasma
com altas pressões e temperaturas, mas quando esses núcleos escapam para condições mais amenas, combinam-se com elétrons e
formam átomos comuns.
de milagre como sendo violação de leis fı́sicas é incompatı́vel com a
Bı́blia e demonstra falta de entendimento sobre o que é lei.
13 Mostramos o texto em grego para benefı́cio dos que possuem
alguma familiaridade com a lı́ngua grega, mas explicamos os pontos
essenciais para que os demais possam acompanhar.
3.9. PRIMEIROS INSTANTES E TEOLOGIA BÍBLICA
não de restauração. Portanto a tradução de ‘κατηρτίσθαι’
neste caso é ‘construı́das’.
Resumindo, nesta passagem temos um exemplo de comentário que nos indica que Deus construiu de forma
metódica até o próprio tempo e que isso serviu de fundamento para tudo o que vemos. Convidamos o leitor a
pensar com cuidado no aspecto do método, pois muitas
pessoas que crêem em Deus parecem gostar de imaginar
que o que Deus faz não tem explicações, simplesmente
acontece, sem lei nem regra alguma. Alguns chegam até
o extremo de achar errado tentar querer explicações para
o que Deus faz. É exatamente o contrário disso que encontramos na Bı́blia. Note que isso é diferente de exigir
de Deus explicações no sentido de justificativas para Seus
atos. Ele é soberano e não deve explicações a ninguém.
Esse, porém, é um assunto totalmente diferente do que
estamos abordando.
Alguns temas teológicos e certas passagens bı́blicas dificilmente podem ser bem entendidas sem um conhecimento
razoável das leis da Natureza 14 . Essa mensagem parece
fazer parte do que Deus fala em Jó 38.
De volta à questão da criação do tempo, notemos que,
se o tempo teve um inı́cio, não houve um instante “antes
da criação do Universo”.
Tampouco tem sentido falar-se em criação fora (ou antes) do tempo (na Eternidade). Qualquer coisa (ou pessoa)
que exista além do tempo não pode ter sido criada, pois
criação significa que algo que não existia passou a existir,
o que só tem sentido onde há tempo.
Perguntar quem criou Deus é sem sentido, se entendermos Deus como sendo o Criador do tempo.
Se Deus existe além do tempo e do espaço, Ele é eterno
e onipresente como consequência disso.
A passagem da não existência de espaço e de tempo
para a existência dessas entidades tem o aspecto do que
em estudos matemáticos chamamos de singularidade. O
caminho que parece ser o mais natural para a criação do
espaço tempo é o Universo ter surgido em uma singularidade, vindo a expandir-se para possibilitar a existência de
cada vez mais espaço com o passar do tempo.
Não se pode confirmar modelos de Big Bang pela Bı́blia,
mas esse tipo de ideia se encaixa muito bem nos comentários feitos pela Bı́blia sobre a criação do Universo
a qual, lembramos, ocorreu (provavelmente muito) antes
da criação da Terra, segundo a Bı́blia.
14 ‘Natureza’ com inicial maiúscula é substantivo próprio e é
sinônimo de Universo (o universo no qual vivemos). Com inicial
minúscula refere-se à natureza (conjunto de caracterı́sticas) de alguma coisa, sendo um substantivo comum.
29
30
Capı́tulo 4
Métodos de Datação
4.1
Introdução
áreas da pesquisa.
Seja qual foi o método, ele sempre envolve postulados
sobre como o sistema funciona, como o ambiente afeta o
sistema e, em muitos casos, depende de hipóteses a resAo olharmos para uma pessoa, normalmente ficamos com
peito de como o sistema veio a existir.
alguma impressão a respeito de sua idade. No mı́nimo,
Possivelmente a famı́lia mais conhecida é a dos métodos
costumamos perceber se estamos vendo uma criança, um
baseados
em decaimento radioativo.
jovem ou uma pessoa mais madura. Este é um exemplo
de datação.
Existem também métodos baseados em modelos de uma
No escopo deste trabalho, o termo ‘datação’ refere-se ao outra forma: simula-se o comportamento do sistema por
processo de determinar a idade de alguma coisa ou de esti- meio de equações diferenciais ou de algoritmos que levam
mar a época em que teria ocorrido determinado fenômeno. em conta certas estimativas iniciais e interações com o
No exemplo citado, poderı́amos tentar estimar a idade da ambiente, se for o caso, para determinar-se como o sistema
pessoa ou a época aproximada de seu nascimento, ape- evolui ao longo de seu ciclo de vida. Ao compararemnas usando nossa experiência pessoal. Em várias áreas do se os resultados com sistemas reais pode-se determinar
conhecimento, estimativas de idade e época são importan- a precisão da simulação e, com base no estado atual do
tes e demandam métodos especiais, tão confiáveis quanto sistema, estimar sua idade.
possı́vel.
Este último tipo de abordagem tende a exigir conheA quantidade de metodologias conhecidas atualmente cimentos relativamente avançados de Matemática e Iné bastante grande, de forma que nem sequer poderemos formática (programação). Métodos deste tipo têm sido
mencioná-las todas aqui. Entretanto, apresentamos al- usados para estimativas de idades de estrelas, galáxias e
guns princı́pios gerais e algumas famı́lias bastante impor- do próprio Universo. No caso do Universo, por exemplo,
tantes de métodos de datação.
utilizam-se parâmetros observacionais, como relação entre
Como em qualquer área importante do conhecimento, distâncias e avermelhamento, para determinar o estado do
é preciso calibrar nosso ceticismo. Confiar demais nos Universo ao longo do tempo1 e utilizar estas informações
métodos é perigoso assim como duvidar excessivamente é em soluções da equação de Einstein a fim de estimar a
nocivo. Só porque diversos métodos estimam uma mesma idade do Universo. Isso exige conhecimentos técnicos basidade para algum sistema, não significa necessariamente tante mais avançados do que os necessários para lidar-se
que a medida é confiável, pois os métodos podem ter sido com decaimento radioativo.
calibrados uns pelos outros de alguma forma. Por outro
Pretendemos nos ater mais aos métodos baseados em
lado, é importante levar em conta estimativas bem fundadecaimento radioativo por serem mais populares e por esmentadas em leis fı́sicas. Mas não saberemos o que é bem
tarem envolvidos em debates importantes, levando prinfundamentado e o que não é a menos que tenhamos um cocipalmente em conta o fato de que estamos procurando
nhecimento razoável sobre o funcionamento dos métodos.
minimizar as “tecnicalidades” que precisam aparecer nesEstes comentários evidentemente não poderão suprir
tes comentários.
toda informação necessária, mas poderão servir como uma
Porém, mesmo para tratar deste tipo de assunto, é imvisão panorâmica para que o leitor possa iniciar suas pesportante
que o leitor tenha alguns conhecimentos sobre
quisas com uma noção sobre os tipos de áreas que devem
estrutura
da matéria. Dedicaremos a próxima seção a esser investigadas e alguns conceitos básicos.
clarecer alguns pontos nesse sentido.
4.1.1
Ideias Preliminares
4.1.2
Tipos de Métodos
Depois disso, poderemos iniciar algumas considerações
teóricas úteis para fins de avaliação de métodos.
Em cada área encontramos diferentes estratégias para estimativas de épocas e idades. Ainda assim, existem famı́lias
1 Lembre-se: quanto mais distante no espaço é um evento obserde métodos que se tornaram mais famosas por causa de vado, mais distante no passado foi sua ocorrência. Não vemos o
sua aplicabilidade horizontal, isto é, por servir a várias presente mas o passado ao examinarmos o Universo.
31
32
4.2
CAPÍTULO 4. MÉTODOS DE DATAÇÃO
Estrutura da Matéria
Antes de falarmos em decaimento radioativo, precisamos
conhecer o significado de alguns termos pertinentes ao assunto.
4.2.1
Vácuo
Os pensadores antigos (e os atuais que não tiveram acesso
à Fı́sica) consideravam o vácuo como sendo o nada. Com o
conhecimento atual, não podemos mais manter essa idéia
simplista ao tratarmos da estrutura do Universo.
Com o advento da Teoria da Relatividade Restrita (primeira década do século XX) e das descobertas propiciadas por ela, passamos a entender que o espaço e o tempo
não são coisas independentes entre si, mas juntos formam
uma estrutura a que denominamos espaçotempo, ou hiperespaço.
Com o advento da Teoria Geral da Relatividade (segunda década do século XX), passamos a entender o
funcionamento macroscópico do espaçotempo. Podemos
entender e calcular seu comportamento em relação ao
seu conteúdo (partı́culas como fótons, elétrons, prótons,
átomos, moléculas, células, planetas, estrelas, etc.). Descobrimos que o hiperespaço pode ser deformado pela presença de concentrações de energia.
A estas alturas, começou a ficar cada vez mais difı́cil de
considerar este “tecido elástico” que é o hiperespaço, com
propriedades fı́sicas observáveis, como sendo simplesmente
“o nada”. Mas havia ainda muito mais por descobrir.
Com o advento da Mecânica Quântica (terceira década
do século XX), passamos a ter acesso a uma série de
fenômenos e leis até ali desconhecidos e algumas questões
intrigantes sobre o que é o vácuo começaram ser propostas, especialmente com a descoberta da antimatéria —
primeiro via Matemática (como consequência natural da
Relatividade Restrita aliada à Mecânica Quântica) e mais
tarde em laboratório.
A Mecânica Quântica abriu as portas para entendermos coisas como o chamado “comportamento ondulatório
da matéria” e para resolvermos quebra-cabeças como a
dualidade partı́cula-onda da luz, dualidade esta também
observada em todas as partı́culas existentes (incluindo
moléculas).
Podemos ver a Mecânica Quântica como uma aplicação
especializada da teoria dos espaços vetoriais, que é uma
área da Matemática que possui importância estratégica
na Fı́sica.
Algumas questões, porém, permaneceram mal explicadas até o desenvolvimento mais pleno da Teoria Quântica
de Campos, no âmbito da qual fica muito mais interessante falarmos da estrutura do vácuo. A Teoria Quântica
de Campos também pode ser vista como uma aplicação
especializada da teoria dos espaços vetoriais.
Ao encontrar soluções para sua equação, Dirac observou que elas previam a existência de estados de energia
negativa para as partı́culas. Para cada estado de energia positiva, existiria um correspondente estado de energia negativa. Mas as partı́culas tendem a ocupar o estado
de menor energia disponı́vel. Como então ocorre que as
partı́culas não decaem de seus estados energéticos até atingir uma energia negativa infinita?
A proposta de Dirac para este problema foi mais ou
menos a seguinte:
— Os estados de energia negativa estariam normalmente
todos preenchidos por uma infinidade de partı́culas. Esta
infinidade de estados preenchidos de energia negativa foi
denominada de “mar de Dirac”.
A equação de Dirac indica que normalmente a diferença
entre o primeiro estado de energia negativa e o primeiro
estado de energia positiva é relativamente grande. Assim,
seria necessário fornecer uma grande quantidade de energia a uma partı́cula do “mar de Dirac” para trazê-la a um
estado positivo, deixando em seu lugar um “buraco” (estado livre). Como tal quantidade de energia normalmente
não está disponı́vel, em geral não conseguimos interagir
com o “mar de Dirac”, que se comportaria simplesmente
como um “vácuo”.
Por outro lado, seria possı́vel extrair uma partı́cula
(como um elétron, por exemplo) do vácuo, deixando nele
um “buraco” (estado vazio).
O “buraco” teria o mesmo comportamento geral de uma
partı́cula, mas teria algumas caracterı́sticas invertidas em
relação à que foi extraı́da do vácuo, dando-lhe origem.
Por exemplo, o buraco deixado por um elétron teria algumas caracterı́sticas iguais às do elétron (massa, momento
angular intrı́nseco), mas teria caracterı́sticas (como carga
elétrica e número leptônico) invertidas em relação às do
elétron.
A “buracos” deste tipo chamamos de antimatéria.
Note-se que a idéia do mar de Dirac não decorre como
consequência da equação de Dirac, mas é uma tentativa (à
moda filosófica, sem tanta preocupação com rigor matemático) de explicar o não decaimento energético de todas as
partı́culas. Mas esta explicação tem suas inconsistências
e deve ser encarada com cuidado.
A Teoria Quântica de Campos (TQC) oferece uma descrição mais consistente dos estados fı́sicos acessı́veis às
partı́culas (consistente com a equação de Dirac e com a
experimentação).
O Vácuo na TQC
Para entendermos a terminologia da TQC, é importante
conhecer a teoria dos espaços vetoriais.
Na TQC, são importantı́ssimos os chamados operadores
de criação e de aniquilação, os quais estabelecem as relações entre os vários estados fı́sicos possı́veis na Natureza.
De todos estes estados possı́veis, existe um em particular
A Antimatéria — I
que pode ser considerado como estado fundamental. A
A existência da antimatéria foi prevista pela teoria de Di- este estado denominamos vácuo. Neste contexto, o vácuo
rac, que unia os postulados da Mecânica Quântica aos é descrito por uma série de parâmetros que especificam o
postulados da Relatividade Restrita.
tipo de universo com que estamos lidando.
4.3. PRIMEIRA APLICAÇÃO
4.2.2
As Partı́culas
Os primeiros estados fı́sicos (mais próximos do vácuo) seriam as partı́culas elementares e suas correspondentes antipartı́culas.
Cada partı́cula é especificada por uma série de números
quânticos, da mesma forma que existem números quânticos para especificar os estados possı́veis de elétrons em
átomos e moléculas. Eis alguns exemplos de tipos de
números quânticos: carga elétrica, spin (momento angular
intrı́nseco), número leptônico, número bariônico, carga de
cor, estranheza, charme.
Quanto mais descemos ao mundo microscópico, maiores as chances de encontrarmos duas partı́culas idênticas.
Por exemplo, é praticamente impossı́vel encontrarmos dois
grãos de pó exatamente idênticos. Por outro lado, é impossı́vel encontrarmos dois elétrons diferentes um do outro.
Eles são indistinguı́veis.
Graças à existência da indistinguibilidade, as partı́culas
(sejam elementares ou não) podem ser agrupadas em duas
grandes categorias: os férmions e os bósons. O que nos
permite distinguir uns dos outros é o número quântico
chamado spin.
Se o spin for um número inteiro, então a partı́cula é um
bóson. Os bósons não obedecem ao “Princı́pio da Exclusão
de Pauli”2 . Isto significa que dois ou mais bósons podem
ocupar o mesmo estado fı́sico ao mesmo tempo3 . Exemplos de bósons: fótons, glúons, Z, W, grávitons, pı́ons,
dêuterons. Os bósons fundamentais são mediadores das
interações básicas: eletro-fracas (fótons, W e Z), nucleares ou fortes (glúons) e gravitacionais (grávitons). Todas as demais interações da Natureza se compõem destas básicas. A vida, como conhecida na Terra, baseia-se
unicamente nas interações eletromagnéticas (mediadas por
fótons). Embora os demais tipos de interação tenham um
papel importante na manutenção do ambiente4 eles não
desepenham um papel tão direto quanto o do eletromagnetismo no funcionamento dos seres vivos.
Os férmions têm spin do tipo inteiro mais meio, isto é,
1/2, 3/2, etc. Estes obedecem ao “princı́pio” da exclusão. Exemplos de férmions: quarks, elétrons, neutrinos,
prótons, nêutrons.
Os férmions fundamentais (conhecidos atualmente) dividem-se em léptons e quarks.
Os léptons são os seguintes: elétron, múon, táuon, neutrino do elétron, neutrino do múon e neutrino do táuon.
Os quarks são os seguintes: up, down, strange, charm,
bottom e top.
A cada tipo de partı́cula corresponde um tipo de antipartı́cula.
Ao que tudo indica, os quarks não podem ser encontrados livres na Natureza, mas aparecem apenas formando
outras partı́culas. Por exemplo, um próton seria formado
2 Que
pode ser deduzido da teoria dos espaços vetoriais.
corpos ocupando mesmo espaço ao mesmo tempo.
4 A gravidade mantém a atmosfera na Terra e a Terra a
uma distância adequada do Sol, impede que planetas e estrelas
se desfaçam; a força nuclear mantém a estabilidade de núcleos
atômicos, sem os quais não haveria átomos.
3 Dois
33
por dois quarks up e um down. Um nêutron seria formado
por um quark up e dois down.
4.2.3
Os átomos
Prótons (2up + 1down) são partı́culas carregadas eletricamente (positivas, por convenção). A carga elétrica total
de um nêutron (2down + 1up) é nula. Os elétrons possuem carga elétrica negativa tal que a carga de um próton
mais a carga de um elétron resulta em carga nula.
Prótons e nêutrons têm massa quase igual. Um elétron
tem massa cerca de 1840 vezes menor do que a de um
próton.
Prótons e nêutrons podem formar aglomerados estáveis
e metaestáveis. Estes aglomerados, se formados, possuirão
carga elétrica positiva, o que atrairá elétrons que estiverem nas vizinhanças, até que a carga elétrica total do sistema seja nula. O sistema resultante é um átomo. Os
átomos (neutros) têm, portanto, tantos elétrons quantos
prótons. O aglomerado central de prótons e nêutrons
chama-se núcleo atômico, o qual é extremamente denso
(mais de 100 trilhões de gramas por centı́metro cúbico).
Ao redor do núcleo, distribuem-se os elétrons formando nuvens chamadas orbitais atômicos, ou orbitais
eletrônicos. A maior parte do volume do átomo é ocupada pelos orbitais dos elétrons, de forma que a densidade
de um átomo tı́pico é semelhante às densidades que observamos no cotidiano humano. À maneira com que os
elétrons se distribuem pelos orbitais denominamos configuração eletrônica.
É a configuração eletrônica que faz com que os átomos
tenham diferentes propriedades quı́micas. Podemos classificar os átomos pelo número de prótons que possuem
no núcleo, o que estará associado com as configurações
eletrônicas possı́veis e, portanto, com suas propriedades
quı́micas. O número de prótons é também denominado
número atômico (simbolizado por Z ). A soma do número
de nêutrons (N) com o número atômico chama-se número
de massa (simbolizado por A).
Cada famı́lia de átomos com o mesmo número atômico
é denominada elemento quı́mico.
Dois tipos de átomo com números de massa diferentes
e mesmo número atômico são chamados isótopos.
Cada famı́lia de átomos com mesmo número atômico e
mesmo número de massa é denominada nuclı́deo.
4.3
Primeira Aplicação
Tecemos aqui alguns comentários sobre as seguintes questões:
1. O que é decaimento radioativo e como ocorre?
2. O que é decaimento exponencial e por que é exponencial?
3. O que é meia vida? O que é vida média?
Antes de prosseguirmos, porém, comentaremos mais um
pouquinho a estrutura da matéria.
34
4.3.1
Estrutura da Matéria
Como os núcleons6 são férmions, há severas restrições
quanto à ocupação destes orbitais. Cada orbital só pode
ser ocupado por, no máximo, dois prótons e dois nêutrons
(pois há duas orientações possı́veis para o spin).
Quando um núcleo não está em sua configuração de mais
baixa energia, existe a tendência de que ele sofra modificações espontâneas para atingir tal estado.
Por outro lado, os próprios nêutrons também possuem
uma certa instabilidade intrı́nseca (vida média ≈ 887±2s).
O decaimento de um nêutron pode ser esquematizado da
seguinte forma:
Como já vimos, existem muitas partı́culas ditas atualmente “elementares” na Natureza. São ditas elementares
se puderem ser consideradas indivisı́veis. Na prática, este
critério depende do que queremos estudar. Por exemplo,
se quisermos apenas estudar reações quı́micas, não precisaremos saber se o núcleo atômico é ou não indivisı́vel, pois
isto não vem ao caso. Neste contexto, os núcleos atômicos
podem ser considerados como partı́culas elementares.
Por outro lado, se desejamos estudar reações nucleares,
torna-se importante conhecer os componentes do núcleo.
Neste contexto, pode acontecer que nos baste considerar
n → p+ + e− + ν̄e
(4.1)
prótons e nêutrons como partı́culas elementares. Notese que isto não deve ser considerado um erro (no sentido
pejorativo), mas uma aproximação que pode ser muito (próton, elétron e anti-neutrino do elétron.)
Como se explica então que os nêutrons podem permaútil.
necer estáveis no núcleo por bilhões de anos? A resposta pode ser encontrada no “bloqueio de Pauli”. Se
4.3.2 Decaimento Radioativo
um nêutron decair, surgirá um próton em seu lugar. Este
próton terá de ocupar algum estado energético no núcleo.
No contexto de nosso interesse atual, decaimento é qualSe a energia do primeiro estado disponı́vel a um próton
quer processo capaz de alterar o estado fı́sico de um nuclı́for muito alta (maior do que a desintegração do nêutron
deo, usualmente convertendo-o em um nuclı́deo diferente,
pode fornecer), então tal reação estará proibida pela come que ocorre espontaneamente.
binação do princı́pio da exclusão de Pauli com o princı́pio
Para que possa ocorrer espontaneamente, é necessário
da conservação de energia.
que a energia total dos nuclı́deos resultantes seja menor
No caso do 14 C, podemos imaginar o seguinte esquema
ou igual à energia total do nuclı́deo inicial. A diferença de
simplificado (reduzindo o rigor em benefı́cio da didática)
energia entre os estados inicial e final é emitida (irradiada)
de distribuição de partı́culas por nı́vel de energia:
por meio de partı́culas.
As partı́culas mais comumente irradiadas em tais proNı́vel Prótons Nêutrons Núcleons
cessos são: fótons (raios gama), elétrons, pósitrons (anti1
2
2
4
elétrons), partı́culas alfa (agregado de 2 prótons e 2 nêu2
2
2
4
trons), neutrinos, prótons e nêutrons.
3
2
2
4
A tı́tulo de exemplo, consideremos o caso do 14 C (6
4
0
2
2
prótons e 8 nêutrons), que emite um elétron de seu núcleo
(o elétron é criado e emitido; não estava lá antes). Neste
processo, um dos nêutrons converte-se em próton. O
Esta tabela esconde alguns detalhes importantes (como
nuclı́deo resultante é o 14 N (7 prótons e 7 nêutrons).
subdivisões mais finas dos estados energéticos, por exemOs núcleons (prótons e nêutrons) que formam o núcleo
plo), mas serve para nos dar uma primeira idéia sobre o
estão fortemente ligados uns aos outros pela força nuclear.
decaimento do 14 C. Vemos que há dois estados disponı́veis
Um dos resultados disto é que “tudo se passa como se”
para prótons com energias da mesma ordem de grandeza
houvesse uma barreira (apelidada de barreira de potencial )
das dos nêutrons do nı́vel 4. O bloqueio de Pauli apaque os impede de escapar do núcleo.
rentemente está inativo (ignorando outras sutilezas). O
Mas, no mundo das partı́culas submicroscópicas, existe resultado é que um dos nêutrons acaba sofrendo a reação
um fenômeno que foi apelidado de efeito túnel, pois per- (4.1): ocorre a substituição de um nêutron por um próton
mite que as partı́culas se comportem como se, às vezes, e a criação de um elétron e de um antineutrino do elétron.
conseguissem cavar túneis por barreiras de potencial e aca- Como resultado, o 14 C converte-se em 14 N . A tabela de
bam aparecendo do outro lado.5
estados para o nitrogênio resultante seria a seguinte:
O decaimento radioativo, no caso de emissão de núcleons, é um exemplo de manifestação do efeito túnel.
Nı́vel Prótons Nêutrons Núcleons
Outra consequência importante do confinamento dos
1
2
2
4
núcleons é a quantização dos nı́veis de energia, isto é,
2
2
2
4
os núcleons passam a formar ondas estacionárias (orbi3
2
2
4
tais nucleares), cada uma correspondendo a certo valor de
4
1
1
2
energia.
5 Estamos usando metáforas para fins didáticos. Este tipo de
fenômeno é previsto matematicamente pela Mecânica Quântica e
confirmado em laboratório. Na verdade, não há escavação de túnel
algum, mas sim uma espécie de teletransporte.
6 Núcleons são prótons e nêutrons, as principais partı́culas que
compõem o núcleo atômico.
4.4. O MÉTODO DO CARBONO 14
4.3.3
35
Decaimento Exponencial
Dada uma amostra de um certo nuclı́deo instável, existe
uma certa probabilidade de que um certo número de
átomos sofra decaimento por unidade de tempo.
Se considerarmos que esta probabilidade praticamente
não é afetada pelo meio ambiente, esta probabilidade será
dependente apenas do tipo de nuclı́deo.
Além disso, o número de átomos que sofrem decaimento
por unidade de tempo será proporcional ao número de
átomos da amostra. Podemos nos convencer disto pelo
raciocı́nio a seguir.
Imaginemos n amostras de um dado nuclı́deo instável,
cada amostra contendo N átomos. Considerando sem importância o efeito do ambiente sobre as amostras, o número de átomos que decaem por unidade de tempo (que chamaremos de atividade, a) em cada amostra é a (igual para
todos). Então a atividade total de todas as n amostras
juntas será na, pois teremos n vezes mesmo o fenômeno
ocorrendo simultaneamente nas diferentes amostras.
Em outras palavras, se em uma amostra de N nuclı́deos
a taxa de decaimento é a, então em uma amostra de nN
nuclı́deos a taxa de decaimento será na, o que caracteriza
a proporcionalidade entre N e a. Formalmente,
a = λN ,
N (t) = N0 e−λt .
Meia vida
Pode-se perguntar: qual é a expectativa de vida de um
átomo com núcleo instável, sendo λ sua constante de decaimento? Ou, equivalentemente, quanto tempo, em média,
dura um átomo destes?
Como se trata simplesmente de uma média aritmética, a
vida-média poderia ser calculada se somássemos a duração
total de cada átomo e dividı́ssemos o total pelo número de
átomos (inicial, naturalmente).
A soma das vidas de todos os átomos é dada pela área
limitada pela curva N = N0 e−λt e pelos eixos coordenados
(N e t). Isso resulta em 8
t̄ =
t1/2
1
=
.
λ
ln 2
(4.5)
A última igualdade decorre da definição de t1/2 .
4.4
O Método do Carbono 14
4.4.1
Dados Coletados
Na prática, o que se mede neste caso não é N , mas N/M ,
onde N é a quantidade de átomos de 14 C da amostra e M
é quantidade de 12 C. O que se tem, então, é a proporção
entre 14 C e 12 C.
Assim, a fórmula a ser usada passa a ser
N
N0 −λt
=
e
.
M
M
(4.6)
• a validade da lei exponencial
• e
– a constância da quantidade M na amostra
– ou a retirada de
14
C. 9
12
C na mesma proporção do
Em outras palavras, estamos supondo o seguinte:
Há outras maneiras de expressar (4.3). Uma delas é a
seguinte: 7
N (t) = N0 2−t/t1/2 .
(4.4)
que
λ
N (t) = N0 e−λt = N0 e− ln 2 t ln 2
= N0 eln 2
Vida Média
Nesta fórmula, já estão embutidas pelo menos duas
(4.3) hipóteses:
O parâmetro λ chama-se constante de decaimento radioativo, e é diferente diferente para cada nuclı́deo.
No cenário de Setterfield (3.7.3) poderı́amos imaginar
que λ varie com o tempo. Nesse caso, precisarı́amos deduzir outra vez uma fórmula para N (t) utilizando uma
definição adequada para λ(t).
7 Note
4.3.5
(4.2)
que é simplesmente uma outra forma de dizer-se que a é
proporcional a N , sendo λ uma constante que caracteriza
o nuclı́deo.
Mas λ é constante em que sentido? No sentido de que
deve ter o mesmo valor para todas as amostras em um
mesmo instante, o que deve ocorrer se todas as amostras
estão sob as mesmas condições ou se as condições externas
não afetam λ.
Se, além disso, postularmos que λ não varia com o
tempo, obtemos como consequência lógica a lei de decaimento exponencial (ver apêndice H):
4.3.4
O parâmetro t1/2 é chamado de meia vida. É o tempo
necessário para que metade da amostra sofra decaimento
radioativo.
Observe-se (4.4) e note-se que, para t = t1/2 , N = N0 /2
(metade do valor inicial). Para t = 2t1/2 , N = N0 /4
(metade da metade do valor inicial). E assim por diante.
−λt/ ln 2
t1/2 ≡
= N0 2−λt/ ln 2 ,
ln 2
.
λ
8 Note
que
t̄ =
1
=⇒ t̄ =
N0
=⇒ t̄ =
Z
1
N0
∞
Z
N (t)dt
0
∞
−λt
N0 e
0
Z
dt =
∞
e−λt dt
0
t1/2
1 −λt ∞
1
−e
=
=
.
0
λ
λ
ln 2
9 Acréscimo resultaria em contaminação da amostra, invalidando
os resultados.
36
1. O decaimento radioativo é praticamente independente de condições externas ao núcleo.
diretamente para calcular a idade de uma amostra, bastando medir a proporção N0 /M para a atmosfera atual
(ou anterior ao perı́odo industrial) e supor que a mesma é
2. As constantes fı́sicas relevantes para determinar λ não válida para a amostra.
se alteram ao longo do tempo.
Com isto, teremos acesso ao valor
3. Não há contaminação da amostra, isto é, não entram
12
C e/ou 14 C.
N
= e−λt ,
N0
4. Se houver perda de 12 C ou de 14 C, esta ocorre de
de onde poderemos calcular t facilmente:
forma a manter a razão 14 C/12 C.
t1/2
1
N0
N0
A meia vida do 14 C já foi medida:
t = ln
=
ln
,
λ
N
ln 2
N
t1/2 ≈ 5730 anos.
(4.7) ou
N0
t = t1/2 log2
.
N
4.4.2 A Idade da Amostra
(4.10)
(4.11)
(4.12)
Neste ponto, a questão é: como utilizar (4.6) para calcular a idade de uma amostra, já que não temos acesso às 4.4.3 As Hipóteses
condições iniciais (N0 )?
Convém agora reunir as hipóteses utilizadas e tecer mais
Em primeiro lugar, notemos que este método tem sido alguns comentários sobre as mesmas.
aplicado a sistemas que já foram seres vivos.
Em segundo lugar, vale a pena considerar a origem do Resumo
14
C presente na atmosfera. As camadas superiores da at1. O decaimento radioativo é praticamente indepenmosfera são constantemente bombardeadas por raios cósdente de condições externas ao núcleo.
micos, muitos deles vindos do Sol.
O Sol, com seu campo magnético a interagir com o
2. A constante de decaimento é realmente constante em
plasma (sopa de ı́ons de que as estrelas normais são comrelação ao tempo.
postas) arremessa para o espaço muitas partı́culas carregadas, incluindo prótons e elétrons. A energia destes prótons
3. Não há contaminação da amostra, isto é, não entram
muitas vezes é suficiente para provocar reações nucleares,
12
C e/ou 14 C.
caso estes venham a interagir com núcleos atômicos em
seu caminho.
4. Se houver perda de 12 C ou de 14 C, esta ocorre de
Tais reações ocorrem nas camadas superiores da atmosforma a manter a razão 14 C/12 C.
fera terrestre. Algumas dessas reações produzem neutrons,
5. Após formar-se o 14 C, na atmosfera superior, ele
os quais podem reagir com nitrogênio 14 da seguinte mapassa a fazer parte de alguma molécula aproveitável
neira:
1
14
14
1
pelos vegetais que realizam a fotossı́ntese.
(4.8)
0n + 7 N → 6 C + 1H .
O 14 C acaba então por difundir-se na atmosfera, con6. Os organismos vivos não têm como distinguir entre
14
fundindo-se com o 12 C. Aqui aparece outra hipótese: o
C e 12 C.
14
C, depois de produzido, acaba ficando disponı́vel para
7. A proporção entre 14 C e 12 C sempre foi a mesma na
participar da alimentação dos seres vivos da mesma forma
12
atmosfera (pelo menos até antes da revolução indusque o C.
trial). Esta hipótese se apoia nas seguintes:
Como as eletrosferas do 14 C e do 12 C são quase idênticas, suas propriadades quı́micas devem ser muito pareci(a) A taxa de formação de 14 C na atmosfera superior
das. Os seres vivos então, sem ter um mecanismo capaz de
sempre foi a mesma.
distinguir estes dois isótopos (nova hipótese), assimilam a
ambos na mesma proporção em que se encontram na at(b) A quantidade de 12 C disponı́vel para os seres
mosfera (plantas capturam CO2 para gerarem açúcares e
vivos sempre foi a mesma.
amidos que são consumidos por outros seres).
A partir do momento em que o ser vivo morre, ele deixa
4.4.4 Objeções Comuns
de assimilar carbono. Mas o 14 C contido no organismo
começa a converter-se em nitrogênio, alterando a propor- Campo Geomagnético
ção 14 C/12 C:
Uma das objeções mais comuns ao método do 14 C diz res14
14
−
(4.9) peito a um questionamento sobre a constância da taxa de
6 C → 7 N + e + ν̄e .
produção deste nuclı́deo nas camadas superiores da atmosAgora, se pudermos supor que esta proporção sempre se fera.
manteve na atmosfera, desde a origem da vida na Terra,
Para que haja formação de 14 C, faz-se necessário o bomentão parece razoável supor que poderemos utilizar (4.6) bardeio da atmosfera terrestres por prótons. A taxa de
4.4. O MÉTODO DO CARBONO 14
bombardeio de prótons na atmosfera superior dependeria
da intensidade do campo magnético terrestre.
Medições realizadas desde a primeira metade do século
XIX têm indicado que o momento magnético terrestre está
diminuindo, o que faria com que, em épocas mais remotas,
a taxa de formação de 14 C fosse menor, o que nos levaria
a idades superestimadas por este método de datação.
Alguns criacionistas, modelando o núcleo terrestre por
uma esfera condutora, com certa resistividade, e nenhum mecanismo de reposição de energia para o campo
magnético, obtiveram um momento magnético exponencialmente decrescente para seu modelo.
Evolucionistas afirmam que deve haver algum mecanismo mais complexo que faça com que o campo oscile
(talvez aproximadamente como uma senóide), invertendo
a polaridade do campo magnético de tempos em tempos.
Consideram que uma evidência para isso são rochas magnetizadas, cuja orientações dos campos magnéticos chegam a ser opostas entre si.
Se imaginarmos que não ocorreram fenômenos capazes
de inverter a posição destas rochas e nem alguma outra
explicação para suas orientações magnéticas, poderemos
supor que elas se formaram e adquiriram sua magnetização
em épocas diferentes, quando o campo magnético da Terra
tinha diferentes orientações.
O que acontece se tomarmos os valores medidos do momento magnético terrestre e utilizarmos estes dados para
ajustar uma exponencial ou uma senóide, qual se ajustaria melhor? Infelizmente, os dados coletados desde 1835
(quando se começou a fazer este tipo de medição) até agora
correspondem a um trecho tão pequeno da curva que apenas temos acesso a sua inclinação atual (ela está mesmo
indo em direção ao zero), mas não se pode dizer se é uma
reta, uma senóide, uma exponecial decrescente ou outra
coisa qualquer (decrescente no momento).
Outro argumento evolucionista tem sido o de que, embora o momento (de dipolo) magnético terrestre esteja
mesmo decaindo, outras componentes do campo podem
estar aumentando (multipolos de ordem superior).
Uma coisa, porém, se pode afirmar: o campo magnético
da Terra não é constante. Como este campo afeta a taxa
de incidência de prótons na atmosfera superior e, consequentemente a taxa de produção de 14 C, não é razoável
supor que esta última seja constante.
É importante lembrar a importância dos prótons emitidos pelo Sol para a formação de carbono 14: os que
conseguem atingir a atmosfera superior da Terra (apesar
do campo magnético) e possuem energia adequada, conseguem provocar reações que emitem nêutrons. Nêutrons na
faixa de energia certa podem atingir núcleos de átomos de
nitrogênio, transformando-os em átomos de carbono 14.
Considerando-se o decaimento do momento magnético
terrestre, é de se esperar que a taxa de formação de carbono 14 esteja aumentando com o tempo, pois esse campo
mangético tende a blindar a Terra contra partı́culas carregadas vindas do Sol. A consequência disso é que determinações de idades pelo método do 14 C tenham precisão
razoável até vários séculos antes da era industrial, mas
comecem a apresentar erros sistematicamente maiores à
37
medida em que as idades aumentam.
Algumas comparações entre o método do 14 C e dos anéis
das árvores indicou exatamente isso: a partir de cerca
de 2000 anos, o erro sistemático do método do carbono
14 parece crescer rapidamente (exemplo: [25] e suas referências). Mas há também quem afirme ser possı́vel calibrar o método para funcionar para idades de até 26 mil
anos sob certas circunstâncias [26].
Constância de λ
Algumas pessoas têm levantado a possibilidade de que o
meio ambiente possa afetar a taxa de decaimento radioativo. Fortes campos elétricos parecem ser capazes de
afetar taxas de decaimento beta.
Em 2008, foram publicados resultados bastante interessantes relacionando variações periódicas das taxas de decaimento de 32 Si e 226 Ra com a distância (variável) entre
a Terra e o Sol [27].
De qualquer forma, se o problema fosse apenas este, o
método do 14 C ainda seria útil para estimar ordens de
grandeza das idades de fósseis.
Já propostas como a de Setterfield [19] poderiam ter
um grande impacto quanto à variação sistemática de λ
com o tempo. Praticamente todos os fenômenos quânticos
são regulados, por assim dizer, pela constante de Planck
reduzida (h̄). Como h estaria aumentando com o tempo,
λ também poderia estar sofrendo variações.
Nossa estimativa preliminar, entretanto, sugere que a
proposta de Setterfield não afeta constantes de decaimento
(ver seção M.6).
Diferenças Quı́micas entre
14
C e
12
C
Se levarmos em conta apenas reações quı́micas mais simples (inorgânicas), parecerá bastante razoável supor que
14
C e 12 C são praticamente indistinguı́veis quimicamente.
Extrapolando, poderı́amos imaginar que estes isótopos
também seriam indistinguı́veis para os seres vivos.
O problema potencial de tal extrapolação é o de supor
que os seres vivos não são suficientemente sofisticados para
detectar a diferença. Lembremo-nos de que, se há alguma
diferença quı́mica, por menor que seja, existe uma probabilidade não nula de que haja algum dispositivo biológico
de “amplificação de sinal” capaz de torná-la relevante.
De fato, têm sido mencionados testes que parecem indicar absorção seletiva de 12 C por parte de vários organismos vivos, em detrimento do 14 C (exemplos: [28], [29]).
Falta saber o quanto essa seletividade se aplica a cada tipo
de ser vivo.
4.4.5
Conclusão
Mesmo que estas questões não fiquem plenamente esclarecidas, percebemos que o nı́vel de dúvida é suficiente para
considerarmos como plausı́vel a idéia de que os valores de
idades determinados por este método possam conter erros
de até algumas ordens de grandeza.
38
De qualquer forma, estas considerações devem servir
apenas como um subsı́dio preliminar a investigações futuras, baseadas em bibliografia “palpável” (artigos publicados por pesquisadores de cada área envolvida e livros
sobre estes assuntos).
É importante também salientar que o método do carbono 14 é usado para estimar a idade de fósseis de seres
vivos. Não serve para datar rochas, por exemplo.
No caso de material inorgânico, o decaimento de outros
elementos radioativos costuma ser usado.
4.5
Isócronas
4.5.1
Princı́pios
Os métodos mais simples de datação baseada em isótopos
radiogênicos baseiam-se na fórmula 4.3, sendo comumente
necessárias hipóteses ousadas sobre condições iniciais da
amostra, como vimos no exemplo do carbono 14.
Uma estratégia mais eficiente é da datação por
isócronas.
Uma forma de aplicar este método consiste no seguinte:
uma rocha é separada em seus minerais constituintes, os
quais contêm diferentes proporções entre a concentração
de um nuclı́deo radioativo e a concentração de seu nuclı́deo
filho.
Um exemplo bastante importante é o do uso do decaimento do rubı́dio (Rb) em estrôncio (Sr):
87
A concentração atual do nuclı́deo pai é P0 − ∆P . A
concentração atual do nuclı́deo filho é F0 + ∆P .
A proporção atual entre a concentração do nuclı́deo filho
e a do nuclı́deo de referência é
F0 + ∆P
.
Fr
(4.14)
Multiplicando e dividindo essa razão por P0 − ∆P , obtemos
∆P
P0 − ∆P
F0
(F0 + ∆P )(P0 − ∆P )
=
+
,
Fr (P0 − ∆P )
P0 − ∆P
Fr
Fr
(4.15)
ou seja,
F0 + ∆P
∆P
P0 − ∆P
F0
=
+
.
Fr
P0 − ∆P
Fr
Fr
(4.16)
As razões x = (P0 − ∆P )/Fr e y = (F0 + ∆P )/Fr são
mensuráveis atualmente. Obtendo esses valores para um
número suficientemente grande de amostras para que haja
valor estatı́stico, teremos uma série de pares (x, y). Se a
fórmula 4.16 for aplicável, então, se colocarmos o conjunto
de pontos {(x, y)} em um gráfico, eles deverão apresentarse aproximadamente sobre uma mesma reta, descrita por
uma equação do tipo
y = ax + b.
(4.17)
Utilizando técnicas bastante conhecidas, como o método
dos mı́nimos quadrados, podem-se calcular os valores de a
e de b que melhor se ajustam ao conjunto de pontos.
Mas, de acordo com 4.16,
(4.13)
Rb → 0 e− + 87 Sr ,
com meia vida de (4, 7 ± 0, 1) × 1010 anos [30]. Além
de medirem-se as concentrações de 87 Rb e 87 Sr, medese também a concentração de 86 Sr, que é outro isótopo
estável do estrôncio.
Supõe-se que a concentração de 86 Sr (que chamaremos
de nuclı́deo de referência) tenha permanecido constante no
mineral desde a sua formação, ao passo que a concentração
de 87 Rb tende a diminuir com o tempo e a de 87 Sr deve
aumentar.
A concentração de 86 Sr pode (e deve, de preferência) ser
diferente em cada um dos minerais, mas supõe-se que esses
minerais têm todos a mesma idade porque fazem parte da
mesma rocha. Essas informações são então usadas para
estimar a idade da rocha.
Vejamos como usar essas informações. Definamos os
seguintes sı́mbolos:
87
• P0 : concentração inicial do nuclı́deo pai ( Rb no
exemplo),
• ∆P : valor absoluto da variação de concentração do
nuclı́deo pai desde a formação da rocha até o presente,
87
• F0 : concentração inicial do nuclı́deo filho ( Sr, no
exemplo),
• Fr : concentração do nuclı́deo de referência, que se
supõe ter permanecido inalterada desde a formação
da rocha até o presente (86 Sr, no exemplo).
a =
F0
∆P
, eb =
.
P0 − ∆P
Fr
(4.18)
O parâmetro b nos permite então saber qual era a concentração inicial do nuclı́deo filho, e o parâmetro a (inclinação
da reta) parece ser capaz de fornecer informações sobre a
idade da amostra, pois, ao aplicarmos 4.3 a este caso, temos
P0 − ∆P = P0 e−λt ,
(4.19)
−λt
=⇒ ∆P = P0 1 − e
.
(4.20)
Por outro lado, de acordo com 4.18, temos também
∆P = (P0 − ∆P ) a ,
o que nos permite calcular ∆P .
formação, podemos determinar P0 :
(4.21)
De posse dessa in-
P0 = (P0 − ∆P ) + ∆P .
Com isso, podemos determinar t usando 4.20:
P0 − ∆P
1
P0
1
=
ln
.
t = − ln
λ
P0
λ
P0 − ∆P
(4.22)
(4.23)
Resumindo, após determinar a e b, temos:
F0
∆P
= Fr b ,
=
(P0 − ∆P ) a ,
(P0 − ∆P )(1 + a) ,
ln(1 + a)
t =
.
λ
P0
=
(4.24)
(4.25)
(4.26)
(4.27)
4.6. TESTES DE CÉTICOS
Note-se que, do lado direito das relações 4.24 a 4.27, constam apenas grandezas observáveis atualmente.
Além de tudo isso, a precisão do método ainda pode ser
avaliada pelo grau de colinearidade do conjunto de pontos
{(x, y)}, desde que o pesquisador não elimine amostras
“anômalas”.
Esse método representa um grande avanço.
4.5.2
Pontos Frágeis
Contaminação das amostras tende a deslocar os pontos
(x, y) para fora da reta. Se a contaminação for diferente
em todas as amostras e ocorrer de forma aleatória, então
é possı́vel observar-se uma perda de correlação estatı́stica.
Contaminação que afeta todas as amostras de maneira
não aleatória, mas diferente, pode levar a falsos resultados
“precisos”.
Se forem tomados poucos pontos, então o valor estatı́stico tende a ser muito pequeno e poderia, em
princı́pio, haver viés, inclusive sistemático.
Existe também o problema da baixa precisão na determinação de constantes de decaimento [31].
4.6
Testes de Céticos
É importante fazer o teste do duplo cego para avaliar
evidências desse tipo.
1. Quem coleta as amostras as rotula e registra as circunstâncias de sua coleta, incluindo a procedência de
cada uma.
2. O pessoal do laboratório que aplica os métodos de
datação não deve ter acesso a informações sobre a
origem das amostras para garantir objetividade.
3. Só após os resultados do laboratório estarem prontos, devem ser correlacionados os rótulos das amostras com os dados sobre sua origem.
Também é importante compararem-se resultados de diferentes métodos para as mesmas amostras.
Em 1997, uma equipe de pesquisadores chamada RATE
(“Radioisotopes and the Age of The Earth” — Radioisótopos e a Idade da Terra) propuseram-se a investigar
as hipóteses comumente utilizadas em práticas de datação
por radioisótopos [32].
Steve Austin, PhD em Geologia e membro da equipe
RATE submeteu a datação amostras de uma rocha recém
formada. As amostras de rocha vinham do derrame do
monte Santa Helenta, que ocorreu em 1986. O método
do potássio/argônio indicou idades para as amostras entre
0,5 e 2,8 milhões de anos.
Onze amostras de lava solidificada foram coletadas do
monte Ngaurube, em North Island (Ilha do Norte), Nova
Zelândia. Sabe-se que essas rochas se formaram nas
erupções de 1949, 1954 e 1975. As amostras foram enviadas para os Geochron Laboratories, em Cambridge, Massachussetts. O laboratório atribuiu às amostras idades
39
entre 0,27 e 3,5 milhões de anos. As idades reais eram
inferiores a 70 anos.
Geólogos crêem que as Montanhas Bearthooth contenham algumas das mais antigas rochas dos Estados Unidos, com uma idade estimada em 2,79 bilhões de anos. A
tabela abaixo contém um resumo dos resultados do RATE
para amostras dessas rochas.
Isótopos
Bilhões
de
Anos
Sm/Nd
2,886
Tipo de Dado
(rocha inteira ou
minerais extraı́dos
do interior da rocha)
Quartzo/plagioclase
Rocha inteira
Biotita
Hornblenda
5 minerais
Resultados previamente
publicados baseados em
30 amostras de rocha
inteira (1982).
4 minerais
K/Ar
1,52
2,011
2,403
2,62
2,515
2,79
Pb/Pb
2,689
5 minerais
Rb/Sr
Poderı́amos argumentar que, no caso das amostras do
monte Santa Helena, foi utilizado um método de amostragem simples, que teria uma incerteza da ordem de uns 5
milhões de anos. Isso significa que se a datação atribuir a
uma rocha uma idade de 5 milhões de anos, a idade real
deveria estar entre 0 e 10 milhões de anos.
Por isso é essencial estudarmos com precisão o processo
de estimativas de margens de erro, pois tanto argumentos
contra quanto argumentos a favor de cada método precisam apoiar-se nesse tipo de informação.
Quanto aos mitens de Rb/Sr, Sm/Nd e Pb/Pb da tabela
acima, como são instâncias do método das isócronas, supostamente confiável e preciso, é interessante ver as grandes diferenças de resultados (centenas de milhões de anos).
Também é interessante notar as diferentes idades fornecidas pelos diferentes métodos. Aquela suposta margem
de erro de 5 milhões de anos é claramente superada, chegando à ordem de bilhões de anos, observando a tabela
como um todo.
A equipe RATE tem repetido esse tipo de experimentos
e publicado muitos resultados que colocam em dúvida a
precisão e confiabilidade de métodos de datação baseados
em materiais radiogênicos.
40
Parte II
Apêndices
41
Apêndice A
O Método Cientı́fico
A.1
Introdução
A.2.1
Hoje em dia existe muita confusão sobre o significado da
palavra ‘ciência’. Existem pessoas que afirmam, por exemplo, que a Astrologia é uma ciência. Existem outras áreas
que normalmente são consideradas cientı́ficas mas que não
fazem uso do método cientı́fico. Por isso, tais áreas ainda
não fazem parte da Ciência de fato. Mas como podemos
fazer para saber se algo é Ciência ou não?
Para saber se algo é ou não é Ciência, precisamos conhecer o método cientı́fico. Ciência é o método cientı́fico em
funcionamento. Em outras palavras, Ciência é uma classe
de métodos de investigação e suas aplicações em cada assunto. Mas, para entender razoavelmente bem o método
cientı́fico, é preciso estudar muito este assunto.
A maneira como falaremos do método cientı́fico neste
texto é um pouco diferente do que normalmente encontramos em livros didáticos. Procuramos destacar aqui algo
que tenha mais a ver com os princı́pios que fazem com que
a Ciência seja tão eficiente.
A seguir, apresentaremos as primeiras coisas que devem
ser entendidas para que se possa estudar o método cientı́fico.
O método cientı́fico é como uma moeda que tem duas faces mas, ainda assim, apresenta unidade de fundamentos.
Vamos ver isto a seguir.
Observação Controlada
Observação controlada é uma forma especial de obter informações sobre o que desejamos estudar.
Podemos dividir a observação controlada nas seguintes
etapas:
1. Observação preliminar.
2. Planejamento da coleta de informações.
3. Coleta de informações.
4. Elaboração de dados a partir das informações coletadas.
Vamos comentar a seguir cada uma destas etapas.
Observação Preliminar
Esta fase inclui desde o primeiro contato com o assunto
que pretendemos estudar até o ponto em que formamos
alguma idéia inicial sobre o assunto.
Por exemplo, vamos supor que o assunto que desejamos
investigar seja a queda de objetos que soltamos no ar.
As observações preliminares sobre este assunto começam
quando ainda somos bebês e notamos o que ocorre com
brinquedos que caem quando os soltamos.
Experiências deste tipo normalmente continuam ocorA.2 Os Dois Fundamentos
rendo durante toda a nossa vida. Desta forma, formamos
uma idéia intuitiva sobre este tipo de fenômeno.
A Ciência apóia-se em duas colunas (em sentido figurado)
Estas experiências e observações fazem parte do que chaque, por sua vez, têm um fundamento comum. Estas “co- mamos de observação preliminar.
lunas” são as seguintes:
Nesta etapa podemos ainda pensar sobre o assunto
— Observação controlada.
de uma forma que possamos entender melhor o estado
— Sistematização formal.
atual de nosso conhecimento sobre o assunto. NormalA observação controlada corresponde à parte experi- mente, usamos nesta etapa o que poderı́amos chamar de
mental, prática, da Ciência. É nesta fase da Ciência que raciocı́nio filosófico.
ocorrem pesquisas em laboratórios, pesquisas de campo,
observações astronômicas, etc.
Planejamento
A sistematização formal é a parte teórica da Ciência,
na qual comparamos dados, elaboramos teorias, compara- Nesta etapa, usamos as idéias que formamos na etapa anmos e testamos idéias, tiramos conclusões, enfim, procu- terior a fim de planejar testes para que as idéias sejam
ramos aproveitar ao máximo as informações obtidas pela testadas e aperfeiçoadas ou substituı́das.
observação controlada.
Para podermos entrar nesta etapa de maneira apropriTentaremos, a seguir, formar uma primeira idéia sobre ada, precisamos ter certos conhecimentos de uma área da
Matemática denominada Estatı́stica.
o que significam estes dois itens.
43
44
APÊNDICE A. O MÉTODO CIENTÍFICO
Os métodos da Estatı́stica nos permitem aproveitar melhor os conhecimentos de que dispomos para planejar observações mais eficientes e também para aproveitar melhor
as informações coletadas na próxima etapa.
Sem a ajuda da Estatı́stica, é praticamente impossı́vel
planejar e aproveitar observações e experiências de forma
que possamos ter alguma confiança de que seus resultados
tenham pouca chance de ser coincidências.
Coleta de Informações
1. Pode significar uma afirmação que se faz sobre alguma
coisa e que pode ser verdadeira ou falsa. Neste caso,
estamos interessados em descobrir maneiras de saber
se a hipótese é falsa ou verdadeira.
2. Pode significar um princı́pio, isto é, um ponto de partida de uma linha de raciocı́nio. Neste caso, a hipótese
também pode ser chamada de axioma ou de postulado.
A.3.3
Lei
Nesta etapa, colocamos em prática o que foi planejado na A palavra ‘lei’ pode ser usada com mais de um significado.
etapa anterior. Efetuamos medidas, fazemos experiências,
anotamos resultados, refazemos experiências, repetimos
1. Lei pode significar uma regularidade da Natureza,
observações, etc.
isto é, algo que sempre acontece de determinada maElaboração de Dados
Nesta etapa, utilizamos as informações coletadas na etapa
anterior e as expressamos em linguagem matemática. Estas informações expressas devidamente em linguagem matemática chamam-se dados.
Os dados podem ser expressos em forma de números,
gráficos, fórmulas, etc., acompanhados de comentários que
especifiquem as condições em que as observações foram
feitas.
neira em determinadas circunstâncias. Geralmente,
tais leis devem ser encontradas por cientistas experimentais (que fazem medições, experiências, observações, etc.).
2. Às vezes, também usamos esta palavra para significar
certas equações de teorias que funcionam bem.
A.3.4
Modelo
Um modelo é uma forma de representar caracterı́sticas de
alguma coisa.
A.2.2 Sistematização Formal
Por exemplo, um texto que descreve algo pode ser considerado um modelo.
Esta fase do método cientı́fico é a que requer maior conheUma maquete também é um modelo.
cimento matemático por parte dos cientistas. Não comenUm automóvel de brinquedo é um modelo que pode retaremos muito esta fase porque sua compreensão é menos
presentar
um carro de verdade.
acessı́vel.
Podemos classificar os modelos em duas categorias,
Sistematização formal é o processo de elaborar e utilicomo
veremos a seguir.
zar modelos matemáticos (confira a lista de palavras importantes a seguir) que expressem aspectos do assunto em
1. Modelos formais ou cientı́ficos: são representações
estudo.
que usam rigorosamente uma linguagem e uma meNesta etapa, geralmente trabalhamos com fórmulas matodologia da Matemática. Modelos formais também
temáticas que expressam os conhecimentos que já temos
são chamados de modelos matemáticos.
e, com as quais, podemos obter resultados que ainda não
conhecı́amos.
A.3
2. Não formais ou não cientı́ficos: todos os modelos que
não se encaixam na categoria formal.
Palavras Importantes
A.3.5
Postulado
A.3.6
Teoria
Vamos ver agora o significado de algumas das mais importantes palavras que costumamos usar quando falamos em O mesmo que axioma.
método cientı́fico.
A.3.1
Axioma
Axioma é o ponto de partida de uma linha de raciocı́nio
matemático, isto é, um axioma é um princı́pio.
Axioma é sinônimo de postulado.
A.3.2
Hipótese
A palavra hipótese tem mais de um significado.
A palavra ‘teoria’ é praticamente um sinônimo da palavra
‘modelo’.
A diferença é que normalmente usamos a palavra ‘teoria’ para significar modelos que descrevem muitas coisas. Por exemplo, a “Teoria Eletromagnética” descreve os
fenômenos eletromagnéticos. Podemos, por exemplo, usar
esta teoria para fazer um modelo (que é mais simplificado)
que represente um circuito de rádio, TV ou computador.
A.4. O FUNDAMENTO MAIOR
A.4
O Fundamento Maior
A Matemática é o que sustenta o método cientı́fico tanto
na parte experimental, por meio da Estatı́stica, quanto na
parte teórica, isto é, no processo de elaboração e uso de
modelos matemáticos.
A parte da Estatı́stica que pode ser considerada mais
importante para os métodos experimentais chama-se “Teoria da Informação”. Para evitar dúvidas, o leitor pode
entender “Teoria da Informação” segundo a abordagem de
Solomon Kullback [33].
Para desenvolver e estudar modelos, por outro lado,
usamos as mais variadas áreas da Matemática. As áreas
mais usadas são: Equações Diferenciais, Cálculo Vetorial,
Cálculo Tensorial, Espaços Vetoriais, Estatı́stica, Variedades Diferenciáveis, Álgebras, etc.
O raciocı́nio matemático, também chamado de raciocı́nio formal, é importante para que erros possam ser mais
facilmente identificados e para que possamos penetrar em
certas áreas inacessı́veis à intuição humana desarmada.
45
46
APÊNDICE A. O MÉTODO CIENTÍFICO
Apêndice B
O Raciocı́nio Formal
B.1
Objetividade
B.2.2
Muitas foram as descobertas resultantes da pesquisa sobre Matemática pura que se demonstraram extremamente
úteis em estudos sobre os mais diversos assuntos. Muitas das idéias que usamos em estudos de Matemática são
simples e nos ajudam a ver sua importância e utilidade
prática.
Temos tendência de filtrar evidências e, pior ainda, distorcer uma linha de raciocı́nio para defender nosso ponto
de vista particular.
Com o devido treinamento no uso de métodos matemáticos, é possı́vel em princı́pio chegar a eliminar esses
problemas quando estivermos usando rigorosamente estes
métodos.
Além disso, existem maneiras de usar os métodos matemáticos que são muito mais eficientes do que outras.
E estas maneiras são mais eficientes porque elas mesmas
estão ligadas a métodos matemáticos.
Comentaremos agora algumas idéias simples que são
úteis em relação ao que mencionamos.
Uma definição é algo que distingue uma classe de coisas
de todas as demais. As boas definições compõem-se de um
pequeno conjunto de axiomas.
Cada axioma funciona como uma restrição ao que estamos definindo. Quanto menos axiomas, mais abrangente
será a definição. As definições devem ser tão abrangentes
quanto possı́vel para os propósitos do estudo a que nos
propomos. Isto tende a produzir resultados mais gerais,
que se aplicam em mais situações.
Se este processo for bem criterioso, podemos aprender
uma infinidade de coisas de cada vez, mesmo tendo mentes
finitas.
Cada restrição representa uma ou mais caracterı́sticas
do objeto de estudo e são essas caracterı́sticas que representam o objeto e nos permitem estudá-lo. Note que a
palavra ‘objeto’ aqui não significa necessariamente algo
do mundo fı́sico. Pode ser uma idéia, uma regularidade,
um conceito. Também pode ser uma pessoa, um conjunto
de coisas ou pessoas, e assim por diante.
B.2.3
B.2
Definições
Exemplo
O Método Axiomático
A tı́tulo de exemplo, observe como foi definido um grupo
no apêndice sobre princı́pios matemáticos. Cada um dos
Um dos mais úteis instrumentos descobertos na Ma- itens usados na definição é um axioma que pode ser usado
temática é o método axiomático. Com o devido treina- para deduzirmos novas informações sobre grupos (teoremento, podemos ter controle total sobre tudo o que é le- mas).
vado em conta em uma linha de raciocı́nio.
Por exemplo, a partir das propriedades (axiomas) que
definem grupos, podemos deduzir que, se a, b e x são elementos de um grupo, e sendo a operação definida no
B.2.1 O Uso de Axiomas
grupo, então
Alguns dizem que axioma é uma verdade incontestável,
algo tão óbvio que ninguém discute. Mas não é essa a
idéia básica do que se entende por axioma em estudos de
Matemática.
Em princı́pio, qualquer proposição pode ser usada como
axioma, desde que seja formalizada, ou seja, expressa por
uma linguagem matemática.
Os axiomas são usados como pontos de partida de linhas
de raciocı́nio. A partir dos axiomas, deduzem-se teoremas.
Os melhores axiomas são os que formam uma definição.
Eles são usados como pontos de partida para linhas de
raciocı́nio a respeito do objeto de estudo da definição associada.
a x = b =⇒ x = a−1 b.
(B.1)
Mas esta conclusão precisa ser baseada somente nas propriedades do grupo e nas definições que as sustentam. Não
temos permissão de usar outras idéias só porque elas fazem
sentido para nós.
Por exemplo, para demonstrar o teorema acima, usamos os axiomas que definem operação e igualdade, além
dos axiomas que definem grupos. Note que estas duas
definições estão embutidas nos axiomas dos grupos.
Usando estes princı́pios, podemos aplicar o elemento inverso de a, isto é, a−1 , a ambos os lados de a x = b,
tomando o cuidado de aplicar a operação pela esquerda;
47
48
APÊNDICE B. O RACIOCÍNIO FORMAL
que contrarie aos vôos de imaginação da comunidade, pelo
menos os vôos mais acariciados.
a−1 a x = a−1 b .
(B.2)
E tudo isso porque existem pessoas que condescendem com seus medos da Matemática e que, apesar disso,
Neste passo, usamos uma propriedade da igualdade.
consideram-se tão espertas que se acham acima da idéia
Usando o axioma de que a operação definida no grupo de um Deus Criador.
é associativa, sabemos que a equação acima é equivalente
a
(a−1 a) x = a−1 b .
(B.3) B.3
Do Simples para o Complexo
obtemos então
De acordo com a definição de elemento inverso nos grupos (que é mais um axioma),
a−1 a = e ,
(B.4)
sendo e o elemento neutro. De acordo com o axioma que
define o elemento neutro,
e x = x.
(B.5)
Reunindo tudo isto, a equação (B.2) se transforma em
x = a−1 b .
(B.6)
Isto demonstra o teorema (B.1).
Note-se que, em
princı́pio, a, b e x não são números.
O que acabamos de fazer chama-se raciocı́nio formal, ou
raciocı́nio cientı́fico, que consiste em seguir rigorosamente
regras devidamente expressas em linguagem formal (axiomas) para obter resultados (teoremas). Se este processo
for bem feito, poderemos rastrear tudo o que estamos levando em conta em uma linha de raciocı́nio, o que nos
permitirá julgar melhor até onde estamos usando preconceitos e de que tipo de coisas exatamente nossa conclusão
depende para ser verdadeira.
Isto é o que falta na maioria dos estudos que se autodenominam “cientı́ficos”. Esta é uma das principais atividades que se desenvolvem na parte teórica do método
cientı́fico.
Como muitos ingressam na carreira acadêmica com
grandes preconceitos em relação à Matemática e querem
restringir-se ao mı́nimo indispensável, o resultado é que
essas pessoas, quando não superam seus problemas, acabam por se tornar pesquisadores capazes de pouco mais
do que mero trabalho braçal de laboratório ou pesquisa
de campo, sem poder entender a fundo os resultados de
sua própria pesquisa.
Mas o pior é quando o pesquisador não percebe isso e
começa a achar que seus vôos de imaginação são teorias
cientı́ficas.
Descendo mais um nı́vel nesta caminhada de degradação, encontramos grupos de pesquisadores que só sabem
trabalhar dessa maneira, e resolvem chamar de ‘Ciência’
ao conjunto de suas idéias, que são uma mistura de resultados da sua pesquisa com vôos de imaginação, muitos
dos quais chegam a violar leis fı́sicas bem conhecidas (mas
não por eles), testadas e documentadas.
Descendo ainda mais um nı́vel nesta escala de degradação, encontramos comunidades formadas por grupos
que se comportam como mencionamos acima e que punem
duramente os pesquisadores que descobrem alguma coisa
Outra estratégia muito importante para pesquisas eficientes é procurar definir primeiro as coisas mais simples
e depois apoiar-se nestas definições para chegar às mais
complexas, conforme exemplificamos no apêndice sobre
princı́pios matemáticos.
Mas é importante tomar cuidado com o que se entende
por ‘simples’.
‘Simples’ não é a mesma coisa que ‘familiar’. Vejamos
um exemplo.
Para a maioria das pessoas, a frase “Mariazinha colheu
uma flor” representa uma afirmação simples, fácil de entender. Isto parece verdade por causa das redes neurais
do cérebro, as quais estão treinadas para lidar com este
tipo de informação.
A rigor, a frase que mencionamos é terrivelmente complexa, a começar pelo conceito de ‘Mariazinha’, continuando pelo conceito de ‘colheu’ (chega a envolver até
mesmo a definição de ‘passado’, que passa pela definição
de tempo, que envolve Geometria Diferencial), passando
pelo conceito de ‘uma’ (além de envolver gênero, ainda envolve o conceito de número, derivado da Teoria dos Conjuntos após muitas gerações de definições), e chegando ao
conceito de flor (tão complexo que nem vale a pena mencionar agora).
Por outro lado, o exemplo de raciocı́nio formal que apresentamos acima tende a parecer muito complexo (“complicado”) para a maioria das pessoas que acham que “Mariazinha colheu uma flor” expressa uma idéia simples.
Na verdade, o exemplo de raciocı́nio formal que apresentamos acima é decalhões de vezes (sem exagero) mais
simples do que a frase sobre a Mariazinha.
Essa tremenda distorção da percepção humana se dá em
função da familiaridade com coisas extremamente complexas e falta de familiaridade com coisas simples.
Em minha experiência como professor, notei que certos
conceitos de Matemática são muito mais fáceis de ensinar
a crianças que ainda não aprenderam sequer a ler (mesmo
números) do que a adolescentes do Ensino Médio.
Grande parte dos problemas conceituais que ocorrem
em ambos os lados dos debates entre Criacionismo e Evolucionismo se devem ao fato de que a maioria das pessoas
não resolve estas distorções. Na maioria dos casos, as pessoas não corrigem estes aspectos cognitivos mesmo após
ingressar em uma carreira acadêmica de pesquisas que se
propõem a ser cientı́ficas.
Não importa em que estado estamos agora: ainda é
tempo de fazer alguma coisa para atenuar este problema.
Apêndice C
Aplicação do Método Cientı́fico à Teoria
da Evolução
C.1
Introdução
C.2
O conceito de método cientı́fico tem sido bastante distorcido para o grande público, tanto em relação às propostas
de pioneiros como Galileo, quanto em relação aos componentes essenciais que o tornam eficiente além do que parece
“plausı́vel”.
Conceitos “eufemizados” de ciência permitem até mesmo a inclusão de atividades triviais, ineficientes, como se
fizessem parte da ciência. Este é um dos problemas que
precisamos atacar para chegar ao objetivo deste artigo.
Há muita anti-informação sendo divulgada em nome da
Filosofia da Ciência, às vezes com graves conseqüências
para a capacidade de entendimento de fenômenos fı́sicos
por parte de estudantes e pesquisadores.
O segundo problema diz respeito ao conceito de teoria
da evolução. Este se decompõe nos conceitos de teoria, de
evolução, e de teorias de evolução.
Semelhantemente ao que ocorre com o método cientı́fico
em si, há conceitos inadequados de teoria cientı́fica.
Quanto a teorias de evolução, existem várias. O próprio
cenário do Big Bang pode ser considerado como uma teoria de evolução em certo sentido, embora tecnicamente
não seja exatamente uma teoria cientı́fica, mas sim uma
famı́lia de soluções da equação fundamental de uma teoria
cientı́fica (a Relatividade Geral).
Nosso objetivo final, entretanto, é discutir de forma panorâmica alguns aspectos estratégicos da teoria da origem
das espécies de Darwin [34] no contexto do método cientı́fico, sem entrar em muitos pormenores. Discussões
deste tipo tendem a ser desconfortáveis, porém úteis para
o enriquecimento da qualidade de futuras pesquisas nesta
área.
Iniciaremos por uma contextualização histórica e conceitual, a fim de obtermos algum subsı́dio para iniciar o
tratamento das distorções que mencionamos. Não podemos, neste simples artigo, tratar em profundidade dos problemas que mais nos preocupam em relação à conceituação
e uso da teoria de Darwin, mas se estes comentários servirem como um alerta para que se observe o problema mais
de perto, já teremos feito um grande progresso.
C.2.1
Perspectiva Histórica
Contexto Geral
Desde os primórdios, a humanidade tem aprendido por
meio de tentativa e erro, coletando informações pelos sentidos, identificando problemas, tentando resolvê-los de
várias maneiras até encontrar estratégias que sirvam aos
seus propósitos.
O acúmulo de experiência com o passar dos séculos resultou no aperfeiçoamento de muitas dessas estratégias.
Tentar entender como as coisas funcionam, criando modelos mentais, é parte integrante desse sistema de estratégias.
Um modelo é uma representação de algo. Não podemos
ter objetos concretos armazenados na mente, apenas modelos. Mesmo animais como as abelhas demonstram lidar
com modelos mentais e representá-los por meio de alguma
linguagem — é o caso da “dança” que abelhas batedoras
realizam após voltarem à colméia para comunicar às companheiras a localização de uma fonte de matéria-prima.
Ao pensar sobre o pensamento em geral e sobre os modelos em particular, a humanidade demonstra uma habilidade muito valiosa: possibilidade de um elevado nı́vel
de abstração. Neste caso, trata-se da abstração filosófica.
Com a abstração, o pensamento tende a tornar-se mais
abrangente e sistemático. Entre os filósofos gregos, por
exemplo, encontramos interessantes exercı́cios de pensamento. Alguns tipos de estratégias de pensamento que
muitos hoje em dia ainda pensam tratar-se de teorias cientı́ficas já eram exercitados por antigos filósofos.
Um outro fenômeno que parecia inicialmente quase
inócuo foi o desenvolvimento de um conjunto de métodos
e regras para resolver certos tipos bem especı́ficos de problemas que envolviam contagens e medidas. Esses conhecimentos serviram de semente para a descoberta do que
podemos chamar de Matemática.
“Um momento,” diria alguém, “a Matemática não foi
descoberta! Foi construı́da, inventada! A Matemática é
apenas uma linguagem, uma livre criação do espı́rito humano.”
Será? O problema é que esse tipo de idéia gera paradoxos (contradições), ou seja, essa conceituação de Matemática está errada! Mas adiemos um pouco essa dis-
49
50
APÊNDICE C. APLICAÇÃO DO MÉTODO CIENTÍFICO À TEORIA DA EVOLUÇÃO
cussão.
O importante neste ponto é que as demonstrações em
Matemática acabaram possibilidando a introspecção nessa
área. Vejamos o que isto significa: assim como a Filosofia
permite o pensar sobre o pensar, assim as demonstrações
em Matemática acabam por abrir as portas para que a
Matemática fale sobre a própria Matemática e nos permita
usar seus recursos de maneira mais eficiente.
C.2.2
Contexto Histórico
Discutiremos de forma panorâmica o impacto do uso intensivo e essencial da Matemática no estudo do mundo
natural.
É comum entre os comentaristas da história da ciência
omitir ou minimizar alguns itens fundamentais para os pioneiros, como a importância do uso da Matemática na
pesquisa (e a realimentação associada) e as motivações
religiosas que funcionaram como catalisadoras de idéias.
De fato, estes dois itens não são independentes. Como
mencionou Freeman Dyson [1]: “A ciência ocidental nasceu da teologia cristã. Provavelmente não é um acidente
que a ciência moderna tenha crescido explosivamente na
Europa cristã e deixado para trás o resto do mundo. Milhares de anos de debates teológicos nutriram o hábito do
pensamento analı́tico capaz de ser aplicado à análise de
fenômenos naturais.”
Concordando ou não com Dyson ou com as motivações dos pioneiros, precisamos admitir que o método cientı́fico funciona, independentemente do que nos parece
mais “razoável”.
Não muito longe do final da Idade Média, predominavam idéias oriundas da filosofia grega mescladas de formas
pouco consistentes com passagens bı́blicas descontextualizadas. Vários pensadores começaram a perceber mais
e mais nitidamente a importância de aperfeiçoarem-se os
métodos de investigação da Bı́blia e do mundo fı́sico. Um
dos frutos das investigações bı́blicas foi o Protestantismo.
No caso das investigações sobre o mundo fı́sico, surgiu o
conceito de método cientı́fico.
No mundo religioso, a Bı́blia começava a tornar-se cada
vez mais acessı́vel e muitos, especialmente no clero, começaram a notar divergências entre ensinamentos bı́blicos e ensinamentos considerados cristãos na época. Havia até mesmo profecias desaprovando claramente o procedimento do poder religioso na Idade Média, citando inclusive o perı́odo de tempo em que isso ocorreria (538–
1798). A simples queima de bı́blias e a inquisição não
bastavam para calar os dissidentes, e o problema era tão
sério que foram comissionadas pessoas para inventar alguma estratégia de interpretação alternativa que evitasse
esses embaraços. Surgiram assim os esquemas preterista
e futurista para a interpretação de profecias bı́blicas, em
substituição às chaves de interpretação contidas na própria
Bı́blia.
Em relação ao mundo fı́sico o problema era semelhante. Aumentavam as constatações indicando ser necessária
uma revisão conceitual. O estudo do mundo fı́sico ainda
era identificado com a Filosofia nessa época.
Inspirados em idéias teológicas e evidências fı́sicas,
vários pensadores trabalharam na idéia de usarem-se
métodos matemáticos nas investigações.
Um dos pensadores mais notáveis e celebrados nesse sentido foi Galileo Galilei (1524–1642). Notemos o seguinte
comentário que pode ser encontrado no livro “Il Saggiatore” (1623) [2]:
“La filosofia è scritta in questo grandissimo libro che
continuamente ci sta aperto innanzi a gli occhi (io dico
l’universo), ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua, e conoscer i caratteri, ne’ quali
è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri
son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i
quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola;
senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto.”
Tradução: “A Filosofia [Fı́sica] está escrita neste grandioso livro que está sempre aberto à nossa contemplação
(refiro-me ao universo), mas que não pode ser entendido sem
que primeiro aprenda-se a lı́ngua, e conheçam-se os caracteres com os quais está escrito. Ele está escrito em linguagem matemática, e seus caracteres são triângulos, cı́rculos,
e outras figuras geométricas sem as quais é humanamente
impossı́vel entender sequer uma de suas palavras; sem estes
[caracteres] fica-se a vagar por um escuro labirinto.”
Para Galileo, o Universo fora escrito por Deus em linguagem matemática. Portanto, era evidente a necessidade
de usar-se alguma linguagem matemática para estudá-lo.
Além de destacar a importância da Matemática para o
estudo do mundo fı́sico, Galileo também publicou idéias
que serviriam de diretrizes para o desenvolvimento do
aspecto experimental do método cientı́fico, as quais afetariam também a própria formulação de modelos. Por
exemplo, é mais adequado usar uma linguagem que se refira a observáveis do que a entidades intangı́veis, como a
“essência última do ser”, ou conceitos similares.
Muitos outros contribuı́ram, tanto com aperfeiçoamentos das idéias fundamentais quanto com a aplicação dos
conceitos.
Um dos casos mais importantes foi o do desenvolvimento
de uma teoria para a mecânica, por Isaac Newton (1643–
1727). A maior contribuição dos “Princı́pios Matemáticos
de Filosofia Natural” (1687) [35] não foram os três postulados da Mecânica e suas conseqüências, mas sim as estruturas e métodos matemáticos que formam o corpo da teoria proposta. Há que se notar também sua argumentação
filosófica quanto a maneiras adequadas de proceder-se a
investigações cientı́ficas, estendendo as idéias de Galileo.
Notemos que, se Newton agisse como outros, que apenas apresentam uma contextualização, princı́pios básicos
de seu modelo e discussão de conseqüências, o resultado
de seu trabalho seria essencialmente oposto: contribuiria
para a estagnação no estudo da Fı́sica, ao invés de proporcionar o impulso inicial que resultou em uma revolução
sem precedentes na história do conhecimento humano. O
importante foi a forma como Newton usou explicitamente
métodos matemáticos e a forma como ele habilmente bloqueou interferências de argumentos filosóficos que reduzissem a eficácia do método cientı́fico.
C.2. PERSPECTIVA HISTÓRICA
Uma de suas mais notáveis contribuições à metodologia cientı́fica foi o desenvolvimento e a exemplificação do
uso do Cálculo Diferencial e Integral no estudo do mundo
natural. Isso abriu as portas a um universo cheio de maravilhas jamais imaginadas.
Seguiram-se notáveis progressos no século seguinte, especialmente no contexto do Cálculo Variacional. Algumas
idéias teológicas, no mesmo estilo das que haviam inspirado o próprio inı́cio do método cientı́fico, continuaram
gerando frutos. Baseado na idéia de que Deus faz tudo
da forma mais eficiente possı́vel, Louis Moreau de Maupertuis (1698–1759) generalizou o princı́pio de Fermat (do
tempo mı́nimo de percurso para raios de luz) para postular
o chamado “princı́pio da ação mı́nima” [36]. Estudos posteriores, desenvolvidos por Leonhard Euler (1707–1783),
Joseph-Louis Lagrange (1736–1813) e Sir William Rowan
Hamilton (1805–1865) [37] aprofundaram o assunto e os
métodos.
O “princpı́pio de Mapertuis”, ou “princı́pio da ação
mı́nima”, ou “princı́pio de Hamilton” demonstrou-se uma
das idéias mais férteis de todos os tempos. De fato, essa
parece ter sido a maior descoberta cientı́fica da História,
e ainda hoje é um dos principais pilares dos estudos cientı́ficos mais avançados em termos de rigor matemático.
É interessante notar também as sugestões de Maupertuis em relação ao uso da Estatı́stica para o estudo das
leis da hereditariedade [38] [39]. Se essas idéias houvessem sido observadas mais de perto por pequisadores da
área biológica, o estudo da Genética poderia ter sido adiantado em pelo menos cem anos, antecipando o trabalho
de Georg Mendel (1822–1884) e indo muito além. Bastaria que pessoas como Euler, Lagrange e Hamilton desenvolvessem seus aspectos teóricos.
Muitos avanços notáveis seguiram-se. Carl Friedrich
Gauss (1777–1855), uma das mentes mais brilhantes de
todos os tempos, fez colossais contribuições ao conhecimento humano. Gauss foi um dos pesquisadores a resolver
o enigma do quinto postulado de Euclides (ver apêndice
E). Seus estudos matemáticos abriram as portas para uma
grande quantidade de descobertas que se seguiram.
Como discı́pulo de Gauss, Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826–1866), levou adiante várias idéias de seu
orientador e lançou as bases para o que hoje chamamos
de Geometria Diferencial, que serve de fundamento para
os estudos mais avançados que existem atualmente, indo
muito além da geometria pura. A tese da Geometria de Riemann [40] generalizava a Geometria Euclidiana de forma
tão revolucionária que provocou “reações alérgicas” no
mundo acadêmico. Ela era capaz de ir além dos limites da
filosofia da época de maneira tão notável que ainda hoje é
possı́vel perceber o desconforto e a falta de entendimento
por parte de certos comentaristas da Filosofia da Ciência.
De fato, Riemann contribuiu significativamente também
em outras áreas bastante importantes da Matemática.
James Clerk Maxwell (1831–1879), reunindo resultados de pesquisas publicadas por outros pesquisadores, incluindo o próprio Gauss, obteve um modelo matemático
[41] que consiste em uma das mais notáveis produções cientı́ficas de todos os tempos. Mesmo com o advento da
51
Relatividade e da Mecânica Quântica no século XX, a Teoria Eletromagnética não precisou de ajustes estruturais1 .
Albert Einstein (1879–1955) referiu-se à teoria de Maxwell como a coisa “mais profunda e mais fiel que a Fı́sica
experimentou desde o tempo de Newton”.
É importante notar que a Teoria Eletromagnética trazia informações previamente desconhecidas e até desconcertantes, mesmo para o próprio Maxwell. Ela previa a
existência e a propagação de ondas eletromagnéticas. Não
demorou até perceber-se que a própria luz era formada
por ondas eletromagnéticas. O mais notável era que a teoria de Maxwell, isto é, o modelo matemático representado
por suas equações diferenciais, indicava que a velocidade
de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo era
uma grandeza absoluta, não dependendo da velocidade da
fonte ou do observador. E isso era um problema para a
interpretação da teoria.
A possibilidade que uma teoria cientı́fica possui de surpreender ou até contradizer seu autor é uma de suas caracterı́sticas mais interessantes. Teorias não-cientı́ficas, expressas apenas em palavras, possuem um potencial muito menor
(ou até inexistente) para este tipo de fenômeno. Este potencial é essencial à objetividade cientı́fica.
De volta ao problema da velocidade das ondas eletromagnéticas, Maxwell chegou a postular a existência do
éter luminı́fero, que seria um meio fı́sico até então não observado, que permearia todas as coisas e no qual as ondas
eletromagnéticas se propagariam. A tal velocidade absoluta seria, na verdade, medida em relação a esse meio.
Experimentos como o que foi realizado em 1887 por
Albert Michelson (1852–1931) e Edward Morley (1838–
1923), que tentavam medir a velocidade da Terra em
relação a esse referencial absoluto mostraram que o tal
éter luminı́fero não existe e indicaram fortemente que a
velocidade da luz é mesmo uma grandeza absoluta.
Note-se que o éter luminı́fero foi uma construção filosófica de Maxwell e não faz parte de seu modelo matemático. É essencial sabermos a diferença entre as
crenças e argumentos de um cientista e seus modelos matemáticos. Mesmo a elaboração filosófica que dá origem a
um modelo formal não é o modelo.
Implicações deste fenômeno foram estudadas matematicamente por Hendrik Lorentz (1853–1928), e geraram conceitos como “dilatação do tempo” e “contração do espaço”.
Inicialmente, essas “distorções” de espaço e tempo não
foram levadas muito a sério por atentarem contra o “bom
senso” (ou seja, a filosofia da época). Por isso tendiam a
ser consideradas como “meros artifı́cios matemáticos”, válidos apenas no contexto “anômalo” da teoria de Maxwell.
Einstein ousou dar um passo adiante e generalizou essas noções para todos os sistemas fı́sicos [42]. O modelo
matemático resultante chama-se Teoria Especial da Relatividade, ou simplesmente, Relatividade Especial (ou Restrita). Espaço e tempo, isoladamente, deixavam de ser
absolutos, surgindo em seu lugar uma outra entidade absoluta: o espaçotempo.
1 Apenas surgiram novas notações, conclusões e aplicações, bem
como inserção em contextos matemáticos mais amplos.
52
Fazendo uma retrospecção, notamos que na teoria de
Newton, o espaço também não era absoluto, mas o tempo
era normalmente considerado absoluto ao calcularem-se
resultados da teoria simplesmente por causa de paradigmas da época.
Com a Relatividade, abriram-se possibilidades aparentemente bizarras, incluindo a de viagens para o futuro (só
de ida). Teoricamente, uma pessoa poderia viajar milhões
de anos para o futuro praticamente sem envelhecer. A
Relatividade Especial lançou ainda luz sobre a própria
natureza do tempo, pelo menos do ponto de vista macroscópico.
Mais tarde, o próprio Einstein conseguiu utilizar uma
variante de geometria Riemanniana (uma geometria semiriemanniana) para obter um modelo matemático para a
gravitação [43, 44]. A teoria resultante chama-se de Teoria Geral da Relatividade (ou Relatividade Geral). O modelo newtoniano apenas fornecia valores para acelerações e
forças gravitacionais, mas não dava pistas de como a gravidade funciona. A Relatividade Geral, por outro lado,
mostra que a energia encurva o espaço-tempo e esse tipo
de curvatura causa os efeitos que chamamos de gravidade.
Para percebermos conceitualmente a conexão com a geometria de Riemann (ou uma de suas generalizações), notemos que se pode obter a equação fundamental da Relatividade Geral (ver apêndices L e N) utilizando-se um
teorema válido na Geometria Riemanniana chamado de
“identidades de Bianchi” (contraı́das) combinado com o
princı́pio de conservação de energia (que hoje em dia pode
ser deduzido de princı́pios mais fundamentais). Outra maneira de deduzir a equação da Relatividade Geral é por
meio do princı́pio de Mapertuis-Hamilton.
Uma fato notável é que esta teoria pode ser aplicada ao
Universo como um todo, permitindo grandes avanços no
campo da Cosmologia. E a origem geométrica da Relatividade Geral mais uma vez nos faz lembrar do que disse
Galileo a respeito de entidades geométricas como sendo as
letras com as quais o Universo está escrito.
Notemos que o progresso desde a teoria de Newton até
a Relatividade Geral ocorreu principalmente pela remoção
de princı́pios implı́citos que não passavam de preconceitos.
A eliminação do primeiro preconceito, o de que o tempo é
absoluto, resulta na Relatividade Especial (mas levandose em conta que o espaço-tempo é absoluto). A remoção
do preconceito de que a geometria do espaço é “plana”,
sem curvatura, resulta na Relatividade Geral.
É interessante aproveitarmos a oportunidade para desfazer
um equı́voco bastante comum: a idéia de que a Relatividade
invalidou a teoria de Newton. Esse tipo de fenômeno ocorre
no contexto filosófico, não no contexto cientı́fico. O que
está sujeito aos chamados paradigmas é a Filosofia, não a
Ciência. É fácil entender a confusão se levarmos em conta o
fato de que as pessoas quase sempre confundem Ciência com
Filosofia da Ciência. A Teoria de Newton provê resultados
com excelente precisão em sua região de validade. A Relatividade fornece essencialmente os mesmos resultados nessa
região. Se não fosse assim, precisarı́amos descartar a Relatividade, pois a Mecânica de Newton já havia demonstrado-se
adequada.
Para concluir estes comentários sobre a Relatividade,
note-se que muitos importantes trabalhos de fı́sicos deixam
algo a desejar em termos de rigor matemático, e os de
Einstein não são exceção. Felizmente, porém, a situação
tende a ser remediável e pode-se facilmente inserir estes
trabalhos em um contexto matemático adequado com as
devidas definições, demonstrações e ajustes de notação.
Os avanços matemáticos do século XIX permitiram
ainda que se aprofundassem os estudos sobre a estrutura da matéria. Estudos experimentais mostraram que
as idéias mais aceitas sobre átomos eram inconsistentes.
Informações sobre espectros de emissão e absorção de
átomos, efeito fotoelétrico e alguns outros indicavam que
faltava algo de muito fundamental nas idéias abrigadas na
época sobre a estrutura da matéria. Uma dessas inconsistências era de que havia experimentos que mostravam
(por difração e interferência) que a luz é um fenômeno
ondulatório, sendo que outros (efeito fotoelétrico) mostravam que a luz é feita de partı́culas, os fótons!
Max Planck (1858–1947), estudando matematicamente
um fenômeno chamado de “radiação de corpo negro”, obteve alguns resultados interessantes que mais tarde ajudaram na descoberta de estruturas matemáticas capazes
de explicar esses fenômenos microscópicos aparentemente
contraditórios.
Ernst Rutherford (1871–1937) dirigiu um famoso experimento (1909) cuja análise matemática de resultados
(1911) mostrou que os átomos possuem quase toda a sua
massa e toda a sua carga positiva em um núcleo proporcionalmente muito pequeno, sendo que o restante do espaço
é ocupado por cargas negativas com muito pouca massa
(elétrons). Antes, imaginava-se o átomo como uma esfera positiva cravejada com pequenas cargas negativas (os
elétrons). Depois da descoberta de Rutherford, surgiu a
idéia de que os átomos seriam como o sistema solar, com
elétrons orbitando um núcleo. Tal idéia, porém, mostrouse inválida frente às equações de Maxwell.
Na tentativa de entender o que ocorria, foram feitos
alguns postulados ad hoc que, ao funcionarem, produziram
pistas importantes.
Ao levar-se em conta o princı́pio da correspondência,
isto é, o fato de que as teorias anteriores não podem deixar
de gerar resultados válidos em função de novas descobertas, foi possı́vel encontrar métodos matemáticos eficientes
e capazes de lidar bem e até esclarecer as novas descobertas, embora mais uma vez ultrapassando os limites da
Filosofia e do que parece intuitivamente “razoável”. O resultado foi o que chamamos de Mecânica Quântica e Teoria
Quântica de Campos.
Mistérios como o caráter dual da luz, o de ser tanto
partı́cula como onda, foram facilmente resolvidos. Essas
entidades matemáticas mostraram ainda que a estrutura
do espaço-tempo revelada pela Relatividade implicavam
na existência de coisas como antimatéria e spin (momento
angular intrı́nseco) das partı́culas subatômicas.
Os avanços prosseguiram, atingindo profundidades tais
que quase tudo o que se pesquisa hoje em algumas áreas
está fora de alcance para a intuição comum e a Filosofia
da Ciência convencional. Felizmente, parte desses avanços
C.3. PERSPECTIVA FUNCIONAL
acabam beneficiando indiretamente a humanidade, mesmo
que a maioria das pessoas não esteja sequer interessada em
saber do que se tratam.
Os exemplos mencionados nesta seção já bastam para
que se tenha uma idéia de alguns dos efeitos do uso de
métodos matemáticos de investigação.
Salientamos que o uso de métodos matemáticos não teve
um simples papel de coadjuvante nesse processo: foi a metodologia matemática, mais do que tudo, a responsável
pelo aprofundamento tão notável do conhecimento nos
últimos séculos.
O método parece ter vida própria, isto é, ele independe
de nossas motivações. Mas note: isso é verdade por causa
da Matemática. Investigações não-formais são muito mais
propensas ao viés dos preconceitos do investigador.
Ainda hoje, quando muitos (como Richard Dawkins)
consideram que a religião é algo negativo para a sociedade (ignorando-se seu papel na descoberta do método
cientı́fico), encontramos idéias sendo propagadas como se
fossem “fatos cientı́ficos”, quando não passam de idéias
metafı́sicas do tipo “Deus não existe, portanto...”, sem
qualquer suporte experimental ou matemático.
Mas seja qual for a motivação, crenças, preconceitos,
paradigmas, senso comum, o importante é adotar-se o
método cientı́fico da forma mais ampla possı́vel a fim de
minimizar-se esse viés causado pelos paradigmas de cada
época.
Ciência não é um conjunto de pessoas, nem um conjunto
de atividades, nem uma área do conhecimento e nem um
conjunto de descobertas e conclusões. Ciência é uma metodologia de investigação baseada na Matemática e precisamos
entender isso com a maior clareza possı́vel.
C.3
Perspectiva Funcional
Iniciaremos esta seção com mais uma provocação: a descrição popularmente mais conhecida do método cientı́fico,
que pode ser encontrada em livros didáticos de Ensino
Médio, especialmente na área da Biologia, é uma deturpação que guarda com o método cientı́fico genuı́no
pouco mais do que uma leve semelhança.
Exporemos de forma simplificada, as idéias básicas
que podem levar ao entendimento do método cientı́fico
genuı́no.
Para cada tipo de problema dado, podemos inventar
diversos tipos de métodos para obter soluções.
Em princı́pio, poderı́amos pensar nesses métodos como
livres criações da mente, pois eles não são objetos “palpáveis” do mundo fı́sico.2
Por outro lado, quando experimentamos muitos diferentes métodos para resolver um determinado tipo de pro2 Em
pleno século XXI ainda existem algumas linhas filosóficas
que consideram que se não é “palpável” só existe em nossa mente.
Números não podem ser vistos isoladamente, portanto só existiriam
na mente, sendo invenções, portanto. E se existissem fora da mente,
precisariam ser entidades concretas e independentes existindo em
algum lugar! É o mesmo tipo de limitação de pensamento demonstrado por Kant ao argumentar contra o realismo. Vários argumentos
de Kant foram invalidados pela Geometria Diferencial.
53
blema prático, podemos notar que nem todos são igualmente eficientes. Alguns absolutamente não funcionam.
Outros simplesmente facilitam ligeiramente a solução. E
outros funcionam bem.
Imagine-se a seguinte situação: de 100 tipos de métodos
experimentados para resolver determinada famı́lia de problemas, descobre-se que apenas 5 são pelo menos minimamente eficientes. Desses, há um que se destaca positivamente. Observando-se o que eles têm em comum e o que
o melhor método tem de diferente, obtêm-se algumas pistas sobre o que caracteriza um bom método para o tipo de
problema que se quer resolver. De posse dessa informação,
percebemos que é possı́vel aperfeiçoar ainda mais aquele
método que se destacou inicialmente. O resultado é um
excelente método para lidar com a famı́lia de problemas
que querı́amos resolver inicialmente.
Pergunta-se: esse método final pode ser considerado
uma invenção, uma “livre criação do espı́rito”? Ou será
que devemos considerá-lo como uma descoberta? Embora
uma mente humana pudesse estar presente o tempo todo
conduzindo o processo, não é dela que parte o resultado
que implica na superioridade de um método. O que a
mente faz é registrar e interpretar esses resultados, não
inventá-los.
É como encontrar o caminho para chegar a algum lugar
através de uma cidade. É mais apropriado dizer que, como
acabamos de fazer, que encontramos o caminho do que
dizer que inventamos o caminho.
Este é o caso do método cientı́fico: entre todas as estratégias conhecidas para resolver problemas em geral,
existe uma famı́lia que se destaca. Observando esta famı́lia
mais de perto, encontramos um padrão: uma certa forma
de usar métodos matemáticos. Com base nesse tipo de
informação, foi possı́vel encontrar versões ainda melhores desta metodologia de investigação que chamamos de
método cientı́fico.
Graças a essa forma de usar métodos matemáticos, têmse obtido resultados que, de um ponto de vista puramente
filosófico, não são sequer razoáveis por causa da eficiência
exageradamente pronunciada. São obtidos resultados que
violam intuição e crenças filosóficas. E muitas vezes, esses
resultados aplicam-se a fenômenos não testados e mesmo
assim funcionam! Isso é inexplicável se imaginarmos que
a Matemática é uma invenção humana.
O Filosofia da Ciência tenta acompanhar esse progresso,
mas é muito difı́cil. Nos últimos 200 anos tem ficado
cada vez mais claro que abordagens não-formais, como
é o caso das filosóficas, são limitadas demais até mesmo
para acompanhar de perto os avanços proporcionados pela
Matemática.
Infelizmente, muitas áreas da pesquisa só muito recentemente têm começado a adotar partes do método cientı́fico,
o que induz a uma ampla aceitação da versão simplificada
(falsa) do método.
Esta forma de usar métodos matemáticos, que chamamos de metodologia cientı́fica, tem dois aspectos fundamentais: o experimental e o teórico (ver [45] e o epêndice
A).
O aspecto experimental consiste no uso de métodos ma-
54
temáticos para planejar observações ou experimentos, coletar e organizar informações e avaliar a qualidade dos
resultados. É importante frisar: não basta observar
fenômenos, formular hipóteses e testar essas hipóteses
de qualquer maneira que parecer razoável, a menos que
se estejam conduzindo experimentos muito preliminares.
Métodos da Estatı́stica costumam ser essenciais nesta fase,
mas outras áreas da Matemática podem também ser necessárias no caso de estudos mais avançados.
O aspecto teórico consiste na formulação de modelos
formais, isto é, matemáticos, capazes de gerar resultados
ou outros modelos matemáticos. Teorias cientı́ficas são
modelos matemáticos mais abrangentes, usualmente capazes de gerar modelos matemáticos aplicados a areas mais
especı́ficas.
Embora existam modelos não-formais, existem muitas
razões pelas quais não devemos considerá-los como modelos cientı́ficos.
É importante também lembrar que o corpo de uma teoria cientı́fica não consiste em sua motivação, inspiração,
justificativa, conjunto de resultados, explicações, interpretações ou implicações filosóficas, ou mesmo seu enunciado em “linguagem natural”. A teoria em si é a estrutura
matemática subjascente.
Para finalizar esta seção, vamos resumir os principais
conceitos relevantes no momento.
• Matemática: fundamental demais para ser definida.
Impõe regras delimitando o que pode e o que não
pode ser definido de maneira consistente (ou seja, define consistência). Permite a existência de padrões,
o que permite a existência de caminhos de raciocı́nio
viáveis. Está intimamente ligada ao funcionamento
do mundo fı́sico mas, por introspecção, parece ser
mais geral que ele.
Não pode ser compreendida pela Filosofia: isto é uma
das conseqüências do teorema de Gödel.
A eficiência da Matemática aplicada ao mundo fı́sico
não pode ser explicada pelas (e até contraria as) correntes filosóficas mais aceitas atualmente, o que indica que essas correntes utilizam idéias incorretas.
Isto, por sua vez, ajuda a explicar a atual situação
lamentável da Filosofia da Ciência.
• Informação: entidade que causa a redução de uma
incerteza.
• Dado: representação de uma ou mais informações em
um formato adequado ao uso formal (matemático).
• Fato: constatação experimental. Pode ser um dado
ou uma lei.
• Lei: uma regra capaz de resumir uma famı́lia de dados. Uma regularidade. Para se tornarem úteis à
pesquisa teórica, as leis devem ser quantificadas, isto
é, formalizadas, escritas em alguma linguagem matemática. Muitas vezes, chamamos também de leis a
regularidades previstas por teorias cientı́ficas.
• Modelo cientı́fico: o mesmo que modelo matemático, isto é, uma base relacional formal.
• Teoria cientı́fica: um modelo matemático abrangente, tipicamente capaz de gerar outros modelos e
ser aplicável universalmente a uma ampla gama de
fenômenos. Exemplo: Teoria Eletromagnética de
Maxwell.
• Linguagem formal: o mesmo que linguagem matemática. Qualquer linguagem adequada ao raciocı́nio
formal, isto é, que use sı́mbolos que representem diretamente os elementos e regras de raciocı́nio em sua
sintaxe.
• Estrutura relacional: uma coleção de conjuntos
munidos de relações. A estrutura é considerada formal se os conjuntos e relação são bem definidos e
expressos em alguma linguagem formal.
• Base relacional: um sistema formado por uma estrutura relacional, um objeto de estudo e um mapeamento (dicionário) entre ambos. Bases relacionais formais consistem em estruturas relacionais formais (usualmente estruturas algébricas) associadas a
relações entre estas estruturas e algum objeto de estudo. Exemplo: uma geometria semi-riemanniana
(estrutura relacional formal) associada aos aspectos
geométricos do espaço-tempo (Relatividade Geral).
A forma mais eficiente, mais avançada de conhecimento
• Método cientı́fico: classe de estratégias de investigação baseada em métodos matemáticos. Esta não é o fato, a lei, ou muito menos a intuição filosófica,
classe caracteriza-se por maximização de eficiência. mas a teoria cientı́fica.
Subdivide-se em
– experimental: utilização de elementos da Es- C.4
O Conceito de Evolução
tatı́stica (incluindo Teoria da Informação) para
planejar e supervisionar observações (coleta de À medida em que o tempo passa, as coisas mudam. Isto
informações) e para transformar as informações é evolução. Simples assim.
Do ponto de vista filosófico, podemos fazer perguntas
em dados, gerando fatos e leis;
como:
– teórico: formulação de modelos matemáticos
capazes de gerar fatos e leis conhecidos e, pre• Por que as coisas mudam com o tempo?
ferencialmente, gerar também fatos e leis ainda
não observados. Desenvolvimento de métodos
• Como elas mudam?
matemáticos que tornem os modelos mais eficientes.
• Como eram antes?
C.4. O CONCEITO DE EVOLUÇÃO
• Como serão depois?
Do ponto de vista da pesquisa cientı́fica, devemos
começar pelas duas primeiras questões3 .
É um erro estratégico basear-se em hipóteses de como as
coisas eram antes para então imaginar como os fenômenos
se desenrolaram até o presente, a menos que haja uma
razão imperativa para seguir-se por essa linha.
O foco da pesquisa sobre evolução deve estar nos dados
efetivamente coletados que forneçam informações sobre o
mecanismo da evolução em si. Ou seja, é preciso entender
primeiro como os sistemas funcionam para depois poder
estudar sua evolução. Resultados quantitativos dos modelos de funcionamento podem então ser confrontados com
evidências de estados passados ou servirem de estimativas
para eventos futuros.
Um interessante problema que podemos enfrentar diz
respeito a processos estocásticos, nos quais informações
sobre o passado são apagadas com o decorrer do tempo.
Curiosamente, processos estocásticos possuem propriedades matemáticas que facilitam seu estudo.
Outra preocupação que podemos ter diz respeito a incertezas. E se o sistema não for previsı́vel? E se existirem
incertezas que não possam ser eliminadas, isso inviabiliza
o uso de métodos matemáticos? De forma nenhuma!
E se os sistemas forem muito complexos? Ainda assim é
possı́vel aplicar métodos matemáticos de diversas formas.
Aliás, atualmente podemos tirar proveito da existência de
tecnologias de computação que nos permitem lidar com
problemas extremamente complexos.
Por onde começar? Identificando os aspectos que aparentemente são mais importantes para explicar o comportamento atual do sistema. De preferência, relacionando
esses aspectos com leis fı́sicas bem conhecidas.
O próprio conceito de energia é importante nesse caso
[4], pois, do ponto de vista matemático, ele faz parte da
definição de evolução. Tal definição ocorre de maneira
mais natural no contexto da Teoria Quântica de Campos.
No apêndice N, discutimos o conceito de operador energia e operador evolução. Eis uma brevı́ssima revisão dos
resultados mais importantes para esta discussão.
O estado de um sistema fı́sico qualquer4 é representado
por uma entidade matemática chamada de vetor, uma generalização do conceito de vetor com o qual os estudantes
entram (ou deveriam entrar) em contato pelo menos a partir do final do Ensino Fundamental.
Vetores que representam estados fı́sicos5 podem ser denotados por sı́mbolos do tipo
|ai ,
sendo que o sı́mbolo “a” é substituı́do por algum rótulo
mnemônico que nos indique a que estado estamos nos referindo. Por exemplo, podemos nos referir aos estados de
3 Segundo alguns, “por que” não é o tipo de coisa que o método
cientı́fico responde. Discordamos. O que normalmente está fora de
alcance é o “para que”. Os porquês podem simplesmente ser interpretados como relações de causa e efeito. O fenômeno A acontece
porque o fenômeno B ocorreu e tem A como conseqüência.
4 O sistema fı́sico pode até ser o Universo como um todo.
5 Não confundir estado fı́sico com fase (sólida, lı́quida, gasosa).
55
um sistema nos instantes t1 e t2 respectivamente por meio
dos sı́mbolos |t1 i e |t2 i.
Vetores podem ser “transformados” por meio de operadores, que são um tipo especial de operação que se faz
com vetores. Um operador é como uma máquina que recebe um vetor, transforma-o, e devolve um outro vetor
como resultado.
Na prática, se o estado de um sistema muda devido
a alguma influência, podemos representar essa influência
por meio de um tipo de entidade matemática chamada de
operador. Por exemplo, se o sistema evolui do estado |t1 i
para o estado |t2 i, podemos escrever o seguinte:
|t2 i = Û (t2 , t1 )|t1 i .
(C.1)
O operador Û (t2 , t1 ), que transforma |t1 i em |t2 i ao
longo do tempo, chama-se operador evolução.
Qual é a estrutura de Û ? Como podemos usá-lo para
efetivamente calcular a evolução de um sistema? Há vários
caminhos equivalentes para isso. Uma das abordagens
mais fundamentais segue a linha do que apresentamos no
apêndice N:
i
U (t2 , t1 ) = e− h̄ (t2 −t1 )Ĥ ,
(C.2)
sendo que Ĥ representa o operador energia (ou hamiltoniano). Existem técnicas para obtenção do operador hamiltoniano.
Outra abordagem que tem sido muito útil é a obtenção
de uma ou mais equações diferenciais que expressem as
leis que regem um sistema. As soluções dessas equações
revelam, entre outras coisas, como o sistema evolui em
função das circunstâncias.
No apêndice E mostramos o exemplo do eletromagnetismo e como, a partir das quatro equações da teoria de
Maxwell podemos deduzir a equação diferencial que rege
a evolução de campos eletromagnéticos no vácuo. É deste
tipo de estudo que se conclui que a velocidade da luz independe da fonte. E estes resultados acabaram induzindo
a formulação da Teoria da Relatividade.
Como sempre, alguns dirão que este tipo de abordagem
matemática não se aplica a sistemas biológicos. As tentativas de justificar essa idéia bizarra apenas têm demonstrado um fenômeno preocupante: o grau de conhecimento
sobre Matemática é extremamente baixo na população em
geral. Aparentemente isso ocorre também com a maioria
das pessoas que se dizem cientistas.
Uma estratégia adotada nas últimas décadas e que parece estar sendo relativamente bem sucedida, apesar da
parcimônia, é a de promover projetos de pesquisa interdisciplinares, incluindo pesquisadores com boa formação
matemática. Mas essa estratégia tem um calcanhar de
Aquiles: a pobreza em termos de formação em Matemática
por parte da maioria das faculdades da maioria das áreas
do conhecimento.
Mas, realmente, estudar cientificamente sistemas biológicos é uma tarefa hercúlea! Isso, porém, não significa
que métodos matemáticos não se aplicam. Antes, pelo
contrário, é quando eles são mais necessários.
Se há quem ache impossı́vel usar o método cientı́fico na
ı́ntegra para estudar seres vivos, o que dirão essas pessoas
56
de estudar o Universo como um todo? Discutiremos um
pouco este assunto na próxima seção.
C.5
Evolução do Universo
Conforme mencionamos na seção sobre perspectiva histórica, a Relatividade Geral [43] lança luz sobre a Cosmologia.
No apêndice L revisamos a dedução da equação de Einstein
a partir das identidades de Bianchi e da conservação de
energia. Essa equação estabelece uma conexão entre a
geometria do espaço-tempo e a distribuição de energia e
momentum, tendo a seguinte forma:
1
Rµν − gµν R = κTµν − gµν Λ .
2
(C.3)
Esta é uma equação diferencial que, além de explicar
macroscopicamente a gravidade, permite que se façam
estudos cientı́ficos a respeito da evolução do Universo.
As grandezas Rµν , R e gµν representam caracterı́sticas
geométricas do espaço-tempo, e Tµν contém as informações sobre a distribuição de energia e momentum ao longo
do espaço-tempo.
Neste contexto, κ e Λ são o que chamamos de constantes
de integração, que surgem naturalmente quando lidamos
com equações diferenciais.
Einstein cometeu pelo menos dois erros ao deduzir este
tipo de equação. O primeiro erro foi a não obtenção da
constante Λ, conhecida como “constante cosmológica”. O
outro erro foi introduzi-la de maneira artificial para preservar o paradigma de que vivemos em um universo estático,
eterno. Mais tarde, ele considerou isto o maior equı́voco
de sua carreira.
Felizmente esses equı́vocos cancelam-se mutuamente.
Além disso, o termo gµν Λ, interpretado como “energia escura”, não é muito importante para estudos mais localizados, como o funcionamento da gravidade nas vizinhanças
de objetos massivos, como estrelas e buracos negros, por
exemplo. Este termo é, porém, muito importante do ponto
de vista cosmológico.
Estudos teóricos baseados neste tipo equação foram realizados no contexto da Cosmologia. Entre os resultados
obtidos, encontravam-se os que indicavam que o Universo
pode estar em um processo de expansão. Observações astronômicas posteriores adicionaram muitas evidências experimentais a favor da expansão do Universo.
Havia, porém, algo desconcertante: de acordo com as
soluções da Relatividade Geral compatı́veis com as observações astronônicas, o Universo parecia ter tido uma
origem! Isso tem uma série de implicações filosóficas das
quais muitos ainda hoje tentam escapar propondo mecanisms e modelos alternativos.
Uma das idéias inconsistentes nesta linha de fuga é a de
que o Universo sofre periodicamente um processo de colapso (“big crunch”) seguido de um processo de expansão
(“big bang”). Uma inconsistênca desse tipo de idéia reside
em conceitos como ‘seguido de’, ou ‘antes’ e ‘depois’. O
problema é que o conceito clássico de tempo não é válido
no ponto inicial de um big bang, o que destroi a validade
dos conceitos de sucessão temporal. Em outras palavras:
não se pode falar em big crunch seguido de big bang por
que isso não faz sentido do ponto de vista fı́sico.
Notemos que as informações sobre a evolução do Universo surgiram naturalmente como conseqüências dos modelos sobre o funcionamento do espaço-tempo. Este é apenas mais um exemplo de procedimento eficiente para estudar evolução. Inverter essa ordem, ou seja, tentar entender
primeiro a evolução a fim de poder entender o funcionamento do sistema, seria contraprodutivo.
Outro aspecto importante: como pode uma equação tão
pequena como (C.3) descrever o Universo como um todo?
Na verdade, esta equação não descreve todos os detalhes
do Universo: ela trata apenas do aspecto da geometria
do espaço-tempo e de como ela é afetada e afeta a distribuição de energia-momentum. Este tipo de possibilidade
é essencial: é importante podermos fazer modelos que não
precisem levar em conta explicitamente uma infinidade de
informações. Os modelos podem ser abstratos em relação
a detalhes, mas é importante fazer estudos quantitativos
para avaliar a região de validade de tais aproximações.
Por outro lado, a equação da Relatividade Geral realmente contém uma infinidade de informações (eficiência
infinita em termos de compactação de dados) e consegue
até descrever outras estruturas além das que se concretizaram neste universo.
C.6
A Teoria de Darwin
Nesta seção, não pretendemos entrar nos detalhes da teoria de Darwin, mas em seu contexto estratégico em relação
ao método cientı́fico. Nosso objetivo é levantar algumas
crı́ticas sobre da teoria de Darwin, aplicáveis ao Neodarwinismo, a fim de que os problemas estruturais apontados
possam ser estudados e resolvidos. Não pretendemos fazer crı́tica destrutiva, mas sim chamar a atenção para problemas graves que poderiam ter sido mais prontamente
resolvidos por existirem condições técnicas para isso.
Um trabalho monumental tem sido feito em Biologia.
Problemas bastante intrincados têm sido abordados e dados experimentais têm sido acumulados. Estes dados têm
permitido estabelecer relações, mapear processos e desvendar enigmas. Em relação ao uso do aspecto experimental
do método cientı́fico, os biólogos estão de parabéns, embora haja também pesquisa experimental não-cientı́fica.
Quanto ao aspecto teórico do método cientı́fico, há
muito trabalho a ser feito em Biologia e muito poucas pessoas ocupando-se dele. Mais do que isso: há uma cultura
muito forte que induz os pesquisadores a enfatizarem as
pesquisas experimentais (o que não é ruim) em detrimento
das pesquisas teóricas, o que é grave.
O problema começa com o próprio conceito de pesquisa
teórica. Muitos imaginam que se faz pesquisa teórica meramente observando-se evidências, tecendo-se conjecturas,
criando-se definições, classificando e associando idéias, organizando dados experimentais e assim por diante. Mas
isto ainda está no domı́nio experimental, e deve ocorrer
em relação à mera geração e consolidação preliminar de
dados experimentais. E se estas tarefas forem longe de-
C.6. A TEORIA DE DARWIN
mais antes de se fazerem os estudos teóricos propriamente
ditos, aumenta o risco de conclusões expúrias, e o trabalho
pode acabar gerando anti-informação ao invés de servir de
material para boas teorias cientı́ficas. A timidez da pesquisa teórica em Biologia parece ser o principal embaraço
a um progresso maior nessa área.
Observemos mais uma vez o contexto histórico.
Na época de Charles Darwin (1809–1882), fervilhavam
grandes descobertas em decorrência do uso de métodos
matemáticos cada vez mais avançados. Publicações de
Gauss, Hamilton, Riemann e outros traziam informações
capazes de revolucionar até mesmo a Filosofia, subvertendo regras primitivas de senso comum que um dia pareceram imutáveis.
No caso da Biologia, a situação era muito mais difı́cil.
Além de tratar-se de uma área altamente complexa por natureza, idéias confusas sobre a vida (como a da “força vital”) e preconceitos como o da imutabilidade das espécies,
ou idéias opostas mas inconsistentes como as de Lamarck
(Jean-Baptiste Pierre Antoine de Monet, Chevalier de Lamarck, 1744–1829) tornavam a situação ainda mais problemática.
Ao contrário do que aconteceu na Fı́sica, e que deveria ter-se disseminado pelas demais áreas, não houve
quem provocasse uma revolução no estudo da Biologia
pela aplicação de métodos matemáticos avançados, como
fez Newton.
Possivelmente o mais próximo que se chegou disso (mas
não antes dos estudos de Darwin) foi a pesquisa de Georg
Mendel (1822–1884), que abriu as portas para o estudo da
Genética. Os resultados quantitativos de Mendel foram
realmente uma grande descoberta que ficou por décadas
ofuscada pelas repercussões da teoria de Darwin.
Num contexto como este, e sem apelar para o poderoso
instrumental do método cientı́fico6 , já conhecido na época,
é notável a forma como Charles Darwin, usando apenas
observação não-formal e imaginação, conseguiu organizar
suas idéias e propor um paradigma que, apesar de precisar
receber muitos ajustes, tem influenciado profundamente o
pensamento de um grande número de pesquisadores até
os dias atuais.
Conforme mencionamos, não é uma boa estratégia tentar estudar a evolução de um sistema antes de estudar
cuidadosa e quantitativamente seu funcionamento. Mas,
infelizmente, foi isso o que Darwin fez. Apesar disso e da
falta do uso explı́cito de métodos matemáticos, Darwin
conseguiu organizar suas idéias a ponto de propor princı́pios bastante razoáveis e genéricos, os quais, no mı́nimo,
afetam profundamente a evolução das espécies. E o mais
importante é que esses princı́pios podem ser testados e,
quando devidamente adaptados, realmente funcionam.
Tecnicamente, a proposta de Darwin não é uma teoria
cientı́fica. Tampouco o é a versão ajustada em função
de novos conhecimentos oriundos da Genética. Mas a
evolução das espécies acontece. Há modificações com o
tempo, sendo fortemente influenciadas por seleção (natural ou artificial) e por variabilidade (adaptação, manifestação de genes “dormentes”, mutações, etc.).
6 Pelo
menos não em suas publicações.
57
Neste sentido, podemos dizer que a evolução biológica
não é uma teoria, mas um fato. Isto não deve ser confundido com um apoio incondicional a todas as opiniões
emitidas por pesquisadores inspirados nos princı́pios propostos por Darwin.
Apesar da falta de uso do método cientı́fico, há algo
atraente na proposta de Darwin, algo com muitas implicações filosóficas interesantes à pesquisa acompanhado
de alguma coisa que parece inspirar a formulação de modelos matemáticos. Contudo, tais modelos são extremamente escassos e tendem a tratar apenas de situações mais
especı́ficas, não satisfazendo os critérios de abrangência de
uma teoria cientı́fica, ainda que puramente fenomenológica
(não baseada em primeiros princı́pios).7
Esta constatação perturbadora, nos induz a procurar
causas e soluções para este problema. A sistemática falta
de formação em (e até preconceito contra a) Matemática
nesta área parece ser um fator importante.
Existem outros problemas relacionados a maneiras de
treinar o raciocı́nio. Ao ler artigos em diversos ramos da
Biologia, podemos constatar a grande capacidade mental
dos pesquisadores. Treinam e são treinados para raciocinar em termos de estruturas e conceitos de alta complexidade. Isso em si é muito positivo.
Obviamente nem todos os pesquisadores desenvolvem
o mesmo perfil. Pessoas que passam mais tempo trabalhando com Biologia Molecular parecem mais prontas a
assimilar conceitos matemáticos necessários à formulação
de modelos mais avançados, mesmo para tratar de temas mais “macrosópicos”, como sistemas ecológicos, por
exemplo. Por outro lado, para pesquisadores acostumados
a tirar conclusões sobre o presente a partir de possı́veis
cenários passados, o uso abrangente e essencial de modelos matemáticos à Biologia parece mais difı́cil ou, segundo
alguns, até impossı́vel8 .
Esse fenômeno é bastante comum também em outras
áreas do conhecimento. Ao lidarmos com sistemas complexos antes de termos experiência com sistemas mais simples, tendemos a perder de vista seus componentes básicos
e a forma como se combinam para gerar caracterı́sticas
emergentes, coletivas. Tendemos a desenvolver abordagens difusas, vagas, intuitivas, e a ter dificuldades para
ver como seria possı́vel desenvolver modelos matemáticos
na área em questão. Estamos lidando em um nı́vel que
favorece a invenção de formas de raciocı́nio desconectadas das leis fı́sicas, o que facilmente se degenera em antiinformação.
É importante notar que temas da Biologia Molecular
tendem a ser essenciais ao entendimento do funcionamento
da vida. A história da evolução da vida na Terra é um
7 Faz sentido que estes modelos sejam restritos, considerando-se
a abordagem de “caixa preta” utilizada por Darwin e o quão vago
é o princı́pio da seleção natural enquanto não se provê uma estrutura relacional adequada para ditar as normas de particularização,
usuais em teorias cientı́ficas. A abordagem de “caixa preta” ocorre
espontaneamente quando se tenta estudar a evolução de um sistema
antes de estudar o sistema em si.
8 As razões usualmente citadas apenas mostram falta de conhecimentos matemáticos, atribuição de limitações que a Matemática não
possui e assim por diante. Parecem desculpas para fugir ao estudo
da Matemática.
58
tema fascinante, mas deve ser considerada de pouca importância em relação ao funcionamento da vida em si, ou
a pesquisa teórica será quase inviável.
Antes de tudo, é preciso responder à pergunta “o que
é vida?”9 . A resposta deve nos fornecer um critério para
podermos dizer se um determinado ser em dado momento
está ou não vivo, independentemente de sua composição,
história ou espécie.
Isto pode parecer mera questão de gosto, mas é um
exemplo importante de pontos de partida ideais para a
formulação de modelos cientı́ficos.
No momento em que consideramos que o conhecimento
da história da vida deve preceder o conhecimento do funcionamento (atual) da vida, criamos uma espécie de efeito
tampão10 , desviando nossa atenção de aspectos que favorecem o desenvolvimento de modelos matemáticos para
aspectos que dificultam a aplicação do método cientı́fico.
E realmente se observa este efeito tampão atualmente.
Se esta barreira for vencida, então teremos muito melhores condições de tratar cientificamente do problema da
evolução biológica.
Outro ponto digno de nota é o de que os postulados de
Darwin não implicam no surgimento de todas as espécies
a partir de um ancestral comum, mas abrem essa possibilidade. Em outras palavras, a proposta de Darwin não
explica a origem da vida na Terra: apenas impõe regras a
sua evolução. Note-se que não estamos falando de idéias
que podem ser geradas a partir da observação de fósseis,
mas sim dos postulados darwinianos em si. É importante
não confundir uma teoria com tudo o que se sabe ou se
pensa saber sobre o assunto correspondente.
Por outro lado, observando o trabalho de Darwin sem
a preocupação do rigor cientı́fico, percebemos realmente
tratar-se de algo brilhante, uma revolução filosófica. Especialmente no contexto pós Revolução Francesa, suas idéias
serviram de âncora para as aspirações de inúmeros pesquisadores, que desejavam libertar-se das amarras teológicas
que lhes eram impostas pela sociedade da época.
dificulta a elaboração de modelos matemáticos e induz a
conceitos “alternativos” frágeis de ciência.
O principal remédio para essa doença parece ser uma
mudança de paradigma que induza os pesquisadores e desenvolver modelos matemáticos de funcionamento dos sistemas antes de tentar tirar conclusões diretamente a partir de princı́pios genéricos, introduzindo muitas hipóteses
implı́citas no processo. Isso é comum em teorias nãocientı́ficas porque elas tendem a depender da experiência
(e preconceitos) do pesquisador para funcionar. Não podem ser simplesmente utilizadas em um programa de computador com as condições iniciais adequadas para poder gerar resultados: geralmente precisam de muita informação que não está presente explicitamente na teoria
ou nas estruturas que a compõem.
Outro problema sério, mas estruturalmente menos grave, é o uso de premissas não-testáveis na tentativa de gerar
modelos não-quantitativos11 . No caso de modelos quantitativos, isso não é um problema, pois podemos testar
os resultados e medir a precisão dos modelos. Podemos
até criar bons modelos a partir de premissas sabidamente
falsas. Por exemplo, a partir de postulados como “as
moléculas não têm volume” e “as moléculas não interagem à distância” (e mais alguns), podemos gerar uma versão aceitável da Teoria Cinética dos Gases, que produz a
equação
pV = kN T ,
que pode ser testada na prática, com bons resultados. As
premissas são falsas, mas são boas aproximações em muitos casos de interesse.
Quando tentamos fazer isso com modelos intuitivos
(não-formais), podemos ser induzidos a conclusões falsas
sem que possamos perceber, dada a dificuldade de testes diretos. Podemos até mesmo perceber intuitivamente
evidências que parecem estar de acordo com nossa teoria, mas sem um tratamento estatı́stico adequado, teremos
uma alta probabilidade de aceitar e fazer com que outros
aceitem idéias muito pouco realistas.
Um exemplo disso foi o uso que se fez dos resultados do
experimento (1953) de Harold Clayton Urey (1893–1981) e
C.7 Considerações Finais
Stanley Lloyd Miller (1930–2007) para propagar-se a idéia
o mecanismo de
Nem toda pesquisa precisa ser cientı́fica para ser de boa (falsa até hoje) de que fora descoberto
12
surgimento
espontâneo
da
vida
.
qualidade. A pesquisa de Darwin incluiu uma grande
O grande mérito desse experimento foi o de demonstrar
quantidade de observações em diversas partes do mundo.
que
moléculas orgânicas13 podem ser geradas em certas
A riqueza dessas observações, combinada com a inspiração
condições,
sem que seja necessário que o processo ocorra
proveniente de outras propostas (como a de Lamarck) perem
um
organismo
vivo. Isso ajudou a eliminar a hipótese
mitiram a Darwin gerar uma profunda revolução conceide
que
existe
uma
“energia vital”, como uma entidade
tual na Biologia.
natural
independente
das interações básicas (eletromagneEssa revolução teve pontos positivos e negativos. Entre
tismo,
interações
fracas,
interações nucleares e gravidade).
os positivos, destacamos a expectativa de poder-se explicar
o funcionamento da vida em termos de leis fı́sicas. O maior
11 Este não é o caso dos postulados fundamentais de Darwin, pois
efeito negativo local parece ter sido o efeito tampão que eles são corretos. Mas esse fenômeno tem ocorrido em temas afins,
9 Sugestão:
processamento ativo de informações ou um refinamento deste conceito.
10 Em Quı́mica, uma solução tampão é uma solução que sofre apenas pequenas variações de pH quando a ela são adicionados ácidos
ou bases. Um ácido fraco, por exemplo, pode servir para atenuar o
efeito de um ácido forte.
como o caso da origem da vida.
12 Não confundir ‘espontâneo’ com ‘ao acaso’. Um processo é espontâneo se ocorre naturalmente, ou seja, como decorrência direta
de leis naturais ou ao acaso, sem violar essas leis.
13 No caso do experimento de Urey-Miller, foram produzidos venenos, misturas racêmicas incompatı́veis com a vida como a conhecemos.
C.7. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Imaginou-se um cenário em que aminoácidos teriam
sido formados por descargas elétricas na atmosfera primitiva da Terra. Essas substâncias teriam sido concentradas em certos locais, formando uma espécie de “sopa primordial”. Neste ambiente, os aminoácidos teriam tempo
para combinar-se de várias maneiras, até gerar proteı́nas e
DNA, os quais poderiam iniciar o processo de reprodução,
colocando em funcionamento a evolução darwiniana, que
se encarregaria do resto.
Essa idéia demonstrou-se inviável por muitos motivos.
Mesmo nas condições mais ideais imaginadas, cálculos
de probabilidade (realizados por criacionistas) indicavam
que, mesmo que as reações ocorressem um milhão de vezes
mais rápido do que o normal, e mesmo que todo o carbono da Terra tivesse sido usado para formar aminoácidos
e mesmo que esses aminoácidos estivessem no mesmo lugar e que as moléculas tivessem vinte bilhões de anos
para se combinar, ainda assim, o surgimento de um único
polipeptı́deo viável seria astronomicamente improvável,
mesmo sem levar em conta o gravı́ssmo problema de
tratar-se de uma mistura racêmica. O DNA seria ainda
menos provável.
Com a descoberta de que moléculas relativamente pequenas de um certo tipo de RNA podem servir como catalisadoras para a própria reprodução do RNA, as esperanças se renovaram. Mais uma vez, foi divulgado que
“a ciência” encontrara o mecanismo que originou a vida,
o qual seria baseado no RNA. Por mais promissora que
fosse essa idéia, não havia um modelo formal que lhe sustentasse. O problema de apressarem-se conclusões a partir
dos primeiros indı́cios, sem o auxı́lio da Matemática, permanecia grave.
Graças, porém, ao brilhantismo de muitos biólogos e
bioquı́micos, foi possı́vel decomporem-se os possı́veis processos em seus passos necessários e esses passos foram
testados [46] [47]. Resultado: trata-se de um caminho
inviável. Um dos problemas que ocorre é que as condições
necessárias para viabilizar cada um dos passos tende a inviabilizar os demais. Para evitar este problema, seria necessário uma “fábrica” de RNA extremamente sofisticada,
o que invalida toda a idéia básica.
Atualmente, há tentativas de aproveitar as idéias de
Freeman Dyson (1923–) e similares para gerar um “modelo metabólico” para a origem da vida [1]. Esta abordagem também enfrenta problemas de consistência, mas
no momento é a mais promissora em termos de origem
espontânea da vida.
Neste cenário, vemos livros didáticos, revistas e até
biólogos anunciando que “a ciência” já provou pelo experimento de Urey-Miller que a vida surgiu espontaneamente
ou que se conhece o mecanismo pelo qual a vida surgiu na
Terra.
A verdade é que, do ponto de vista cientı́fico, não temos a menor idéia de como surgiu a vida na Terra. Se
dependermos dos mecanismos imaginados até o momento,
temos muitas evidências de que o surgimento espontâneo
da vida é impossı́vel, não apenas na Terra, mas em qualquer ambiente imaginável.
Mais do que isso, se realizarmos em laboratório um ex-
59
perimento que faça com que surja vida a partir de matéria
inorgânica, apenas estaremos demonstrando que seres vivos (os pesquisadores) podem gerar outros seres vivos. E
mesmo que não fosse assim, mostrar que um fenômeno é
possı́vel não é o mesmo que mostrar que esse fenômeno
realmente ocorreu no passado.
Em outras palavras: até que se crie uma máquina do
tempo, o debate sobre como se originou a vida na Terra
aparentemente estará além do alcance da pesquisa experimental.
Portanto, não é nem um pouco razoável fazer suposições
sobre um passado que não pode ser testado (mesmo por
meio de fósseis) para entender-se o funcionamento da
vida. Procure-se usar a Ciência (a verdadeira), com seus
métodos matemáticos e, com isso, poderemos ampliar nossos horizontes e até validar ou invalidar idéias intuitivas que nutrimos agora e muitas vezes pensamos ser “a
ciência”. 14
Porém, para viabilizar isto, seria interessante incentivarem-se atividades de treinamento em Matemática para
pesquisadores. Ainda mais importante do que isso seria
o ensino massiço e consistente de métodos matemáticos
avançados para estudantes de graduação em Biologia, não
apenas uma introdução ao Cálculo ministrada de forma a
fazer parecer que a Matemática é inútil na Biologia. De
fato, a formação em Matemática de um biólogo deveria
ser superior à de um fı́sico em função da complexidade da
Biologia.
Além da dificuldade de se efetuar uma mudança desta
magnitude, ainda existe a barreira do preconceito. Conseguirá a humanidade superar mais esse obstáculo?
Resumindo, precisamos de alguma forma ampliar muito
mais o uso de modelos matemáticos abrangentes em áreas
tão fundamentais e fascinantes quanto a Biologia, especialmente no que diz respeito ao funcionamento da vida e
a sua evolução ao longo do tempo. Formulação de modelos matemáticos sobre possı́veis cenários para a origem
da vida são também de grande importância para que as
idéias possam ser refinadas e testadas mais eficientemente
quanto a sua consistência interna e concordância com leis
fı́sicas, tendo em mente que não há meios genuı́nos de testar experimentalmente a origem espontânea da vida.
14 Um passo importante que está sendo dado nesse sentido é a
aplicação da Teoria dos Jogos à evolução das espécies. Mesmo que
este método em si deixe a desejar, pode servir como incubadora para
uma cultura capaz de desenvolver e usar bons métodos.
60
Apêndice D
Reducionismo Versus Holismo
D.1
Introdução
A palavra ‘reducionismo’ adquiriu, nas últimas décadas,
o status de termo de baixo calão em certos meios acadêmicos. Tem sido proposta uma abordagem alternativa,
às vezes denominada holista. Estes pontos de vista têm
sido apresentados como posições antagônicas, sendo que o
segundo tem sido considerado superior.
Nosso objetivo aqui é o de tentar desfazer, sem entrar
exaustivamente em detalhes, algumas falácias que têm sido
divulgadas por diversas pessoas que têm-se aventurado
pelo terreno escorregadio, ı́ngreme e povoado de poços de
area movediça que é o assunto de Filosofia da Ciência. Infelizmente, tais falácias têm encontrado aceitação ampla
e quase irrestrita por parte de praticamente todas as pessoas menos ligadas a áreas que fazem uso de métodos mais
avançados da Ciência.
Estes métodos precisam ser compreendidos e aproveitados pelo maior número possı́vel de pessoas. Se forem
combatidos, o conhecimento avançado ficará restrito a um
número cada vez menor de pessoas. Os demais terão de
contentar-se apenas com abordagens superficiais, não formais.
Evitamos citar referências bibliográficas porque nosso
objetivo aqui é o de tentar desfazer equı́vocos, não combater autores.
e a Mecânica Estatı́stica (reducionista), as quais são áreas
da Fı́sica que se superpõem. Estas áreas são um excelente
exemplo prático e testado do que discutimos aqui.
Mas antes disto, trataremos de comentar brevemente alguns exemplos não formais de usos que fazemos do reducionismo sem que percebamos, na maior parte das vezes.
D.1.4
Contradições
Ocorre que muitas propostas holistas geram precisamente
os problemas que procuram resolver e combatem as soluções viáveis para estes problemas.
Esta situação é bastante comum em debates sobre Filosofia da Ciência e merece ser comentada.
D.1.5
Sobre o Exemplo Formal
Na seção D.6, apresentamos um exemplo de tratamento
formal da relação entre abordagens holistas e reducionistas.
“Tratamento formal” siginfica que utilizamos uma linguagem matemática. Utilizamos este tipo de linguagem
pelo fato de que certos detalhes tornam-se perceptı́veis (e
até evidentes) somente quando utilizamos plenamente o
raciocı́nio formal, isto é, quando fazemos uso explı́cito de
alguma linguagem matemática.
D.1.1 Conceitos
O leitor não familiarizado com este tipo de linguagem
Os conceitos de reducionismo e holismo podem ser tais pode apenas dar uma olhada “em diagonal” nas fórmulas,
que resultem em grande utilidade ou apenas levem a dis- verificando se há comentários compreensı́veis que as cercursos vazios (bastante comuns, por sinal). Trataremos cam e continuar a leitura normal na seção seguinte.
de comentar os correspondentes conceitos úteis (ambas as
Embora seja altamente indesejável apresentar informaabordagens são úteis).
ções em uma linguagem que não será compreendida por todos, não se pode fugir ao fato de que, em uma discussão soD.1.2 Posições Antagônicas?
bre holismo e reducionismo, é imprescindı́vel que o assunto
seja abordado também formalmente para que evitem-se
Ao contrário do que pode parecer inicialmente, estas duas
inversões de conclusões que resultam de pensamentos conposições podem ser facilmente conciliadas. Verifica-se
traditórios que muitas vezes nos parecem coerentes. Tais
mesmo que o holismo não apenas não contraria ao reducicontradições, embora muito frequentes (chegando a cerca
onismo, mas faz parte deste.
de dez erros 1 por parágrafo em certos textos sobre Filosofia da Ciência e/ou Educação em Ciências), raramente
D.1.3 Exemplos
são detectadas sem o auxı́lio do raciocı́nio formal.
Um dos inúmeros exemplos utilizados de forma equivocada
1 Erros: ideias autocontraditórias; ideias que não sobrevivem a
na tentativa de demonstrar (pseudo) limitações do método testes “cuidadosos” ou a confrontações com ideias suficientemente
reducionista é a relação entre a Termodinâmica (holista) testadas.
61
62
D.2
D.2.1
APÊNDICE D. REDUCIONISMO VERSUS HOLISMO
Conceitos
Preliminares
Como já mencionamos, há conceitos de abordagem holista
e de abordagem reducionista que têm-se demonstrado de
grande utilidade prática na pesquisa cientı́fica. Antes de
precisarmos estes conceitos, convém que teçamos alguns
comentários com o objetivo de tornar o tratamento desta
questão um pouco mais intuitivo.
Essencialmente, a proposta holista consiste no tratamento de cada problema como um todo, sem decompô-lo
em componentes mais simples. O holismo puro 2 é utópico,
mas existe uma versão viável na qual a componente reducionista está suficientemente camuflada para que passe
despercebida a uma abordagem qualitativa. O holismo
prima pela sı́ntese, evita a análise.
O reducionismo propõe que problemas complexos sejam
subdivididos em problemas mais simples de forma iterativa
até que obtenham-se problemas suficientemente simples
para que possam ser resolvidos. O reducionismo é analı́tico
e, reciprocamente, qualquer análise que mereça este nome
é uma instância do reducionismo. Na prática, utilizamos
este método para quase tudo, não somente nos domı́nios
do intelecto.
Exemplo 1: não engolimos o alimento todo de uma
vez; tratamos de decompô-lo em porções pequenas; estas
porções são mastigadas (nova etapa de redução), engolidas
e prosseguem para as próximas etapas da digestão, sendo
estas também exemplos concretos de processos reducionistas.
Exemplo 2: ao efetuarmos uma mudança de moradia,
dificilmente poderemos transportar o conjunto dos móveis
sem alterar suas posições relativas, sem separá-los (ou até
desmontá-los, se possı́vel) e transportá-los um a um para
algum meio de transporte. Utilizamos a abordagem reducionista.
Exemplo 3: o sentido humano da visão funciona por reducionismo. A imagem é processada em diversas camadas
de células de tal forma que diversos aspectos vão sendo extraı́dos da imagem original. O processo de decomposição
começa na retina e tem seu apogeu em redes neurais especı́ficas no cérebro. Este é um processo analı́tico, reducionista.
Exemplo 4: o sentido humano da audição baseia-se em
decomposição espectral (equivalente à análise de Fourier),
que decompõe (analisa) os sons em suas diversas frequências. Este processo ocorre nos segmentos dos canais semicirculares.
Exemplo 5: Ao tentarmos entender a realidade que nos
cerca, percebemos que a tentativa de compreender tudo
em um relance, de uma só vez, é inviável (holismo utópico). Somos forçados a aprender aos poucos, subdividindo
o que desejamos aprender em relação a diversos aspectos.
Isto é uma instância do reducionismo.
2 Em uma abordagem holista pura, não podemos falar sequer sobre caracterı́sticas de algo, uma vez que isto consistiria em subdividir
o assunto em componentes menores.
D.2.2
Argumento do Espantalho
Um dos tipos mais comuns de falácia que costuma aparecer em textos sobre este assunto pode ser chamado de
“argumento do espantalho”. Trata-se do expediente de alterar convenientemente o argumento a ser combatido de
forma a torná-lo tão indesejável ou ilógico quanto possı́vel.
Esta tática é usualmente empregada para fazer com que o
reducionismo pareça grotesco. Mas o conceito de reducionismo utilizado ali é algo que não corresponde ao seu uso
no contexto da análise cientı́fica.
Apresenta-se o reducionismo como consistindo na decomposição de objetos (ou sistemas) em partes menores
e no estudo destas partes, tratando-se posteriormente o
todo como se fosse meramente a soma das partes. Essa
imagem grotesca e desnecessariamente simplista não corresponde à realidade no que refere-se a métodos analı́ticos
sérios.
Para inı́cio de conversa, para entendermos plenamente
como o método reducionista tem sido aplicado na pesquisa cientı́fica (em sua plenitude), é imprescindı́vel um
conhecimento de um ramo do saber denominado Análise
Matemática. Tentaremos aqui evitar as “tecnicalidades”
do assunto, mas seremos forçados a mencionar algo a respeito em certos momentos. Faremos algumas considerações formais na seção D.6. Nas considerações feitas aqui,
procuraremos comentar os aspectos do reducionismo que
encontrem-se mais próximos aos do “espantalho” de enfatizar a decomposição de objetos ao invés de aspectos
de um problema para a obtenção de sub-problemas. Isto
tende a tornar o assunto mais acessı́vel a considerações
não-formais.
D.2.3
Aperfeiçoando os Conceitos
Consideremos o estudo de um sistema fı́sico qualquer, que
pode ser um átomo, uma galáxia, um animal, uma espécie
de animais, um conjunto de populações de seres vivos inseridos em um ambiente fı́sico qualquer, um cérebro, um
conjunto de moléculas, etc. O método transcende a sistemas fı́sicos 3 , mas aqui vamos nos ater a eles para manter
este texto acessı́vel a leitores pouco familiarizados com
métodos analı́ticos.
Para realizarmos um estudo formal (cientı́fico) deste sistema, podemos utilizar tanto uma abordagem reducionista
quanto uma holista. Ambas são viáveis, desde que efetuadas criteriosamente.
A abordagem holista tratará apenas do comportamento
global do sistema. O que ocorre com seus componentes não
vem ao caso. Do ponto de vista formal, isto geralmente
significa que utilizaremos apenas relações entre variáveis
globais (macroscópicas), as quais caracterizam o sistema
como um todo.
Na abordagem reducionista, desejamos saber quais são
os componentes do sistema, quais são suas caracterı́sticas
(do sistema como um todo e de suas partes), como os componentes interagem uns com os outros e como, a partir de
3 Podemos, por exemplo, tratar de espaços de variáveis, espaços
de possibilidades, manifolds abstratos, etc.
D.5. A MECÂNICA ESTATÍSTICA
um conhecimento detalhado das variáveis e relações que
caracterizam cada parte, poderemos deduzir as variáveis
globais. Isto tem sido feito efetivamente. A ideia de que
o todo é a soma das partes somente é aplicável a problemas totalmente lineares. Mas essa ideia é perfeitamente
dispensável no caso mais geral.
D.3
Antagonismo ou Inclusão?
63
(quais?!). Entretanto, ocorre que os instrumentos básicos
(tanto teóricos quanto experimentais) que os quı́micos utilizam são obtidos, ou pelo menos podem ser obtidos, a
partir de métodos da Fı́sica.
Muitos parecem esquecer-se de que conhecimentos sobre
números quânticos e orbitais atômicos e moleculares (para
não citar uma infinidade de outras coisas) são fruto da pesquisa formal baseada em métodos da Mecânica Quântica,
que é uma das sub-áreas da Fı́sica. Tratam-se de soluções
de equações diferenciais da Mecânica Quântica (Fı́sica).
Todos os fenômenos quı́micos são fenômenos fı́sicos. Negar isto apenas demonstra falta de familiaridade com a
Fı́sica.
E é justamente por meio de métodos matemáticos e do
uso do reducionismo que podemos atingir um tratamento
global, uma visão mais ampla sem perder detalhes importantes, indo muito além de ter apenas uma ideia muito
vaga (não formal) sobre o que é o todo.
Embora, sob certo ponto de vista, as abordagens holista e
reducionista pareçam antagônicas, no contexto do método
cientı́fico podemos considerar simplesmente que há uma
relação de inclusão entre estas abordagens. Em outras
palavras, cada abordagem holista é um subconjunto de
alguma abordagem reducionista.
Desta forma, ao invés de considerar as abordagens
holistas como sendo mais abrangentes, verifica-se que
o que ocorre é precisamente o oposto, conforme pode
ser demonstrado. Apresentaremos uma amostra do aspecto formal deste tipo de demonstração na seção D.6,
A Mecânica Estatı́stica
com a ressalva de que, para sua compreensão, faz-se ne- D.5
cessário algum conhecimento a respeito de fundamentos
matemáticos que viabilizam abordagens holistas e reduci- Na Fı́sica, a Termodinâmica e a Mecânica Estatı́stica se
onistas no contexto do método cientı́fico, mais especifica- superpõem, sendo a primeira uma espécie de subconjunto
da segunda.
mente, no que se refere a teorias cientı́ficas.
A Termodinâmica usa uma abordagem holista, isto é,
utiliza apenas variáveis globais para gerar seus resultados.
D.4 Contradição
A Mecânica Estatı́stica é reducionista. Utiliza variáveis
microscópicas para obter as variáveis globais.
Muitas vezes, ao defender-se a superioridade das aborNa Termodinâmica, estabelecem-se certas relações (desdagens holistas, estabelece-se como meta uma “visão
critas por equações) entre variáveis globais de um sisdo todo”, uma fuga da “compartimentação do conhecitema, tais como energia interna, temperatura, entropia,
mento”.
calor especı́fico, entalpia, potencial quı́mico, energia livre
O problema é que as abordagens holistas tendem não a
de Gibbs, energia livre de Helmholtz, compressibilidade
corrigir, mas a acentuar o problema da compartimentação
térmica, etc.
do conhecimento. Como? Vejamos um exemplo: pessoas
A Termodinâmica é incapaz de relacionar estas variáque defendem a superioridade das abordagens holistas têm
veis a variáveis utilizadas, por exemplo, pela Mecânica
dito que “a Quı́mica não pode ser reduzida à Fı́sica”, ou
Quântica (que descreve o comportamento de partı́culas
que “é impossı́vel explicar a Quı́mica meramente por meio
muito pequenas, tais como moléculas, átomos e partı́culas
das leis estudadas (até agora ou no futuro) pelos fı́sicos”.
subatômicas, sem deixar de ser aplicável ao mundo maO mesmo se aplica a relações entre Biologia e Fı́sica, por
croscópico). Este limitação é uma decorrência direta da
exemplo.
abordagem holista.
Se aceitarmos essas ideias, seremos forçados a abandoPor outro lado, a Mecânica Estatı́stica, sendo redunar qualquer tentativa de integração ou unificação total
cionista,
consegue deduzir as mesmas variáveis da Terdo conhecimento. As diversas áreas do saber sempre terão
modinâmica
(e as leis da Termodinâmica) a partir da
sub-áreas compartimentalizadas, inascessı́veis às demais.
Mecânica
Quântica.
Em outras palavras, por meio de
O efeito disto é que, embora pregue-se (utopicamente,
um
conhecimento
dos
estados
e interações dos componensegundo a própria filosofia de quem fala assim) a busca
tes
microscópicos
de
um
sistema,
a Mecânica Estatı́stica
de uma visão do todo, admite-se que tal visão do todo é
consegue
obter
as
variáveis
e
leis
macroscópicas do sisimpossı́vel, uma vez que há áreas não relacionadas entre
tema.
A
Termodinâmica
funciona
como
um subconjunto
si, o que proı́be um tratamento unificado. Desiste-se do
da
Mecânica
Estatı́stica.
ideal antes da primeira tentativa.
Mas a Mecânica Estatı́stica não se restringe ao que é aPor outro lado, os reducionistas acreditam que existem
tingı́vel
pela Termodinâmica. Ela consegue ir além e tratar
maneiras de unificar os conhecimentos pelo fato de que tode
áreas
para as quais a Termodinâmica é inútil.
das as áreas compartilham certos “componentes” comuns.
Só
para
dar um exemplo, é na área de Mecânica EsVoltemos ao exemplo da relação entre a Quı́mica e a
tatı́stica
que
estudamos redes neurais.
Fı́sica. Para alguns quı́micos, parece evidente que “cer4
tos fenômenos quı́micos” não são explicáveis pela Fı́sica
4 Curiosamente,
embora pareça comum a ideia de que a Fı́sica não
pode explicar a Quı́mica, é difı́cil conseguir que alguém dê exemplos
de fenômenos quı́micos inexplicáveis fisicamente.
64
Isto não é mera coincidência e nem, muito menos, um associadas ao universo no qual o sistema está inserido,
caso isolado (em que a abordagem reducionista abarca e incluindo o tempo como x0 = t. Pode ser preferı́vel utilivai além da holista).
zarmos derivadas covariantes das grandezas qj em relação
ao espaço das variáveis xα , ao invés de simplesmente tomarmos suas derivadas parciais, se quisermos manter a
D.6 Exemplo Formal
validade formal das equações que serão geradas quando
realizamos as simetrias do sistema (mudanças para “ponDe um ponto de vista formal, a descrição reducionista de
tos de vista” alternativos).
um sistema deve conter (como subconjunto) todas as inA derivada covariante de qj com respeito à variável xα
formações correspondentes à abordagem holista. Daremos
será denotada por ∇α qj ou por qj;α .
aqui um exemplo tı́pico. A validade deste exemplo é tal
que possibilita que ele seja aplicado praticamente sem alterações a quase qualquer área das ciências que tratam de D.6.3 Princı́pio de Hamilton
fenômenos do mundo fı́sico (como Fı́sica, Quı́mica, Bio- Se o universo no qual se encontra o sistema é otimizado,
logia, etc.), mas sem restringir-se a estas áreas (no que então existe uma função (com domı́nio no espaço dos comrefere-se a sua aplicabilidade formal).
portamentos possı́veis) que possui um mı́nimo corresponPor simplicidade, vamos nos ater a sistemas que possam dendo ao comportamento real. Esta função A é denomiexistir em universos em que existe uma dimensão equiva- nada ação. Formalmente, este fato expressa-se por
lente ao tempo. Sem esta restrição, a abordagem holista
δA = 0 .
(D.5)
pode ficar seriamente prejudicada 5 , o que não desejamos
aqui. Suporemos ainda que os sistemas em estudo existem
em um universo otimizado, isto é, que obedece ao princı́pio D.6.4 Abordagem Holista
de Hamilton (como é o caso do universo no qual vivemos).
Para reduzir a extensão desta seção, omitiremos uma Neste caso, o comportamento do sistema pode ser entensérie de detalhes que servem para garantir a aplicabilidade dido como uma sequência contı́nua de estados ao longo do
tempo. Desejamos estudar o comportamento do sistema
deste modelo.
durante um intervalo de tempo que inicia-se em t1 e termina em t2 . Consideraremos que o sistema evolui a partir
D.6.1 Base para a Abordagem Holista
de um estado inicial conhecido (em t = t1 ) até um estado
Consideremos um sistema S caracterizado por um con- final (em t = t2 ), também conhecido.
Nestas condições, a ação pode ser expressa como uma
junto de variáveis globais
integral no tempo,
Z t2
{Q1 , Q2 , ..., Qr }
(D.1)
(M )
A=
L(Qj , Q̇j , ..., Qj , t)dt ,
(D.6)
e suas derivadas temporais com ordens tão elevadas quanto
t1
seja necessário. Estamos levando explicitamente em conta sendo que j representa cada um dos elementos do conjunto
o fato de que estas variáveis podem ter seus valores (que dos números naturais não-nulos que não são maiores do
podem ser não-numéricos) alterados com o passar do que r, isto é,
tempo t. Chamaremos às variáveis Qj de variáveis maj ∈ {1, 2, ..., r} .
(D.7)
croscópicas. Suas derivadas temporais serão denotadas
A grandeza L corresponde ao funcional lagrangeano do
por
sistema, que contém todas as informações sobre suas ca`
racterı́sticas globais (macroscópicas).
d2 Qj
d
dQj
(`)
, Q̈j ≡
, . . . , Qj ≡ ` Qj . (D.2)
Q̇j ≡
2
Em sistemas tradicionalmente estudados no ramo da
dt
dt
dt
Fı́sica, M = 1, isto é 6 ,
Z t2
D.6.2 Base para a Abordagem ReducioA
=
L(Q1 , Q̇1 , Q1 , Q̇2 , ..., Qr , Q̇r , t)dt .
(D.8)
nista
t1
Consideremos ainda que o sistema S é composto por par- Por via das dúvidas, trabalharemos com um M genérico
tes que podem ou não interagir entre si. Consideremos qualquer.
que o conjunto de todos os componentes de S e de todas
Aplicaremos agora o princı́pio de Hamilton (ou princı́pio
as interações possı́veis entre estes componentes pode ser da ação mı́nima) à equação (D.6).
caracterizado por um conjunto de s variáveis
Z t2 X
r
∂L
∂L
δQj +
δ Q̇j + . . .
δA
=
dt
{q1 , q2 , ..., qs }
(D.3)
∂Q
∂ Q̇j
j
t1
j=1
!
e de suas derivadas em relação a um conjunto de variáveis
∂L
(M )
+ (M ) δQj
= 0.
(D.9)
∂Qj
{x0 , x1 , x2 , ..., xn }
(D.4)
5 A abordagem reducionista é mais robusta e funciona bem com
ou sem estas restrições.
6 M , de acordo com (D.2) e (D.6) é a ordem máxima de derivação
temporal que aparece em L.
D.6. EXEMPLO FORMAL
65
A esta altura, convém precisar um pouco mais o signifiPara o próximo termo, ocorre que
cado do operador δ. No espaço das variáveis Qj e suas deZ t2
∂L
rivadas, a evolução do sistema S aparece como uma curva
dt
δ Q̈j
∂ Q̈j
t1
que une o ponto P1 (estado do sistema no instante t = t1 )
t2 Z
ao ponto P2 (estado do sistema no instante t = t2 ). Estu
t2
d ∂L
∂L
dar a evolução de S de t1 a t2 corresponde a descobrir qual
dt
δ Q̇j −
δ Q̇j
=
dt ∂ Q̈j
∂ Q̈j
t1
das infinitas trajetórias possı́veis corresponde ao comport1
t2 Z
tamento de S. A cada trajetória, corresponde um valor de
t2
d2 ∂L
d ∂L
A.
dt 2
= −
δQj +
δQj
dt ∂ Q̈j
dt ∂ Q̈j
t1
Segundo o princı́pio de Hamilton, a trajetória procurada
t1
Z t2
é aquela que satisfaz (D.5), ou seja, a diferencial de A
d2 ∂L
δQj
(D.16)
=
dt 2
frente a uma mudança de trajetória deve ser nula para a
dt ∂ Q̈j
t1
curva procurada.
Todas as trajetórias possı́veis devem coincidir em P1 e
Continuando este processo, para um termo genérico de
P2 , uma vez que estes estados são dados.
ordem `, obtemos
!
Uma mudança de trajetória corresponde a alterarmos o
Z t2
Z t2
∂L
d`
∂L
(`)
`
valor de cada variável Qj (t) da seguinte maneira:
dt (`) δQj = (−1)
δQj .
dt `
(`)
dt
t1
t1
∂Qj
∂Qj
Qj → Qj + δQj ,
(D.10)
(D.17)
Levando estes resultados à integral completa, obtemos
isto é, δQj é a alteração sofrida pela j-ésima variável glo"
Z t2 X
r
bal frente a uma mudança de trajetória. Como todas as
d ∂L
∂L
+
dt
−
trajestórias interceptam-se (coincidem) em t = t1 e em
∂Q
dt
∂ Q̇j
j
t1
j=1
t = t2 , segue-se que
#
M
d
∂L
. . . + (−1)M M
δQj = 0 . (D.18)
δQj (t1 ) = δQj (t2 ) = 0 .
(D.11)
dt ∂Q(M )
j
Além disto, como o operador δ não afeta a medida da
dimensão t, decorre imediatamente que
δ
d`
d`
Q
=
δQj .
j
dt`
dt`
Como as variações δQj são independentes e arbitrárias,
esta igualdade só será válida se cada expressão entre colchetes que aparece sob o somatório for nula. Em outras
(D.12) palavras, obtivemos um conjunto de r equações, expressas
por
Podemos agora retornar ao raciocı́nio original para obter as equações que regem o sistema. Aplicando o que
acabamos de ver,
∂L
d ∂L
dM ∂L
−
+ . . . + (−1)M M
= 0 . (D.19)
∂Qj
dt ∂ Q̇j
dt ∂Q(M )
j
Estas são as equações que descrevem o comportamento
macroscópico
de S, isto é, as informações sobre S que são
(D.13)
acessı́veis a uma abordagem holista.
Convém notar que, para lidarmos com um sistema esVamos levar agora estas considerações a cada termo da
pecı́fico, precisamos saber mais sobre ele a fim de determiintegral que estávamos processando.
narmos a forma especı́fica de L para que possamos traduzir
Z t2
as equações acima a fim de que nos forneçam informações
∂L d
dt
δQj
especı́ficas.
∂ Q̇j dt
t1
Esta abordagem (holista) é bastante utilizada em Me!
!
#
Z t2 "
cânica
Clássica (baseada em conhecimentos anteriores a
d
∂L
d
∂L
=
dt
δQj −
δQj
áreas
mais
modernas como Mecânica Quântica e Relatividt ∂ Q̇j
dt ∂ Q̇j
t1
dade).
t2 Z
!
t2
∂L
∂L
d
=
δQj −
δQj
dt
dt ∂ Q̇j
D.6.5 Abordagem Reducionista
∂ Q̇j
t1
t1
!
Z t2
A abordagem reducionista lida com um número de ind
∂L
= −
dt
δQj .
(D.14) formações maior do que a holista. As variáveis globais
dt ∂ Q̇j
t1
são determinadas a partir de um conhecimento do comportamento das variáveis microscópicas (que fornecem inO último passo que acabamos de dar baseia-se em
formações sobre os componentes do sistema e suas in(D.11), que implica em
terações).
t2
Cada componente do sistema pode necessitar de tan
∂L
δQj = 0 .
(D.15) tas variáveis para ser descrito por uma abordagem redu
∂ Q̇j
cionista quanto o sistema como um todo pela abordagem
t1
d
d2
δ Q̇j = δQj , δ Q̈j = 2 δQj , . . .
dt
dt
66
holista. é esta caracterı́stica de simplicidade que torna a e
abordagem holista tão atraente em certos casos. Sempre
δqj (Γ) = δqj;α1 ...α` (Γ) = 0 .
(D.26)
ocorre que7
Como antes, vamos avaliar termo a termo a integral da
s ≥ r,
(D.20) variação da ação.
Z
sendo que, na prática, quase sempre ocorre que
∂L
dV
δqj;α
∂qj;α
R
s r,
(D.21)
Z
∂L
=
dV
∇α δqj
(s é muito maior de que r) e isto se acentua tanto mais
∂q
j;α
R
Z
quanto mais complexo for o sistema S.
∂L
∂L
=
δqj − ∇α
δqj
dV ∇α
Por outro lado, a abordagem reducionista nos permite
∂qj;α
∂qj;α
R
obter mais informações sobre os sistemas e suas interações.
Z
∂L
Comentaremos isto mais adiante.
δqj .
(D.27)
= −
dV ∇α
∂qj;α
O sistema S pode ter um número finito de componentes
R
ou não. Estes componentes podem formar um conjunto
O último passo baseou-se em uma aplicação do teorema
enumerável ou não. Felizmente, isto não representa pro- de Gauss que permite transformar uma integral de volume
blemas para esta abordagem.
em uma integral de superfı́cie.
Na estratégia reducionista, a ação é expressa não sim
Z
Z
∂L
∂L
plesmente como uma integral no tempo, mas como uma
dV
∇
δq
=
δqj
dfα
α
j
α
∂qj;α
∂qj;α
integral de volume no espaço descrito pelas variáveis x ,
R
Γ
Z
= 0,
(D.28)
A=
dV L(qj , qj;α1 , qj;α1 α2 , ..., qj;α1 ...αm , xα ) , (D.22)
pois as variações δqj anulam-se em Γ.
R
Para lidar com os termos de ordem superior, reduzimos
sendo dV = dx0 dx1 dx2 ...dxn , e x0 = t (para efeitos de a ordem de derivação de q de forma análoga à que utilij
comparação posterior com a abordagem holista) e R cor- zamos na subseção anterior.
α
respondendo à região do espaço de x ocupada pelo sis- Z
∂L
tema.
δ∇β ∇α qj
dV
∂qj;αβ
Se desejarmos ser mais rigorosos, levaremos em conta o
R
Z
fato de que o elemento de volume pode ter uma expressão
∂L
∂L
=
dV
∇
δq
δq
−
∇
β
j;α
j;α
β
um pouco mais complexa:
∂qj;αβ
∂qj;αβ
R
Z
Z
√
0
1
n
∂L
∂L
(D.23)
dV = gdx dx ...dx ,
δqj;α −
dV ∇β
δ∇α qj
=
dfβ
∂qj;αβ
∂qj;αβ
R
Γ
Z
sendo g o determinante da matriz de componentes do ten∂L
=
−
dV
∇
∇
δq
α
β
j
sor métrico da variedade a que pertence a região R. Isto
∂qj;αβ
R
pode alterar ligeiramente a classificação de L como objeto
∂L
geométrico (escalar ou densidade de escalar). Mas este
−∇α ∇β
δqj
∂qj;αβ
tipo de detalhe não afeta as conclusões que obteremos so Z
Z
∂L
∂L
bre as relações entre a abordagem holista e a reducionista.
+
dV ∇α ∇β
δqj
= − dfα ∇β
Analogamente à especificação dos estados em t = t1 e
∂qj;αβ
∂qj;αβ
R
Γ
Z
t = t2 que usamos na abordagem holista, especificamos os
∂L
=
dV
∇
∇
δqj .
(D.29)
α β
estados de S na fronteira da região R. A fronteira de R
∂qj;αβ
R
será denotada por Γ.
Para uma ordem arbitrária `,
O funcional L contém toda a informação sobre o sistema
Z
S. Utilizando agora o princı́pio de Hamilton,
∂L
dV
δqj;α1 ...α` =
Z
s ∂q
X
j;α
R
1 ...α`
∂L
∂L
Z
δA =
dV
δqj +
δqj;α1 +
∂L
`
(`)
∂q
∂q
j
j;α
1
(−1)
dV
∇
δqj , (D.30)
j=1
∂qj;α1 ...α`
R
∂L
δqj;α1 ...αm = 0 . (D.24) sendo que utilizamos a notação
... +
∂qj;α1 ...αm
∇(`) ≡ ∇α1 ∇α2 . . . ∇α` .
(D.31)
Analogamente ao caso anterior, o operador δ efetua uma
alteração no valor da expressão sobre a qual atua de forma
Levando estes resultados à equação (D.24) e notando
a alterá-la para um valor vizinho (para cada ponto de R). que a integral deve anular-se apesar de serem as variações
Também ocorre, como antes, que
δqj independentes e arbitrárias, obtemos um conjunto de
s equações diferenciais, cada uma delas da forma
δ∇α = ∇α δ ,
(D.25)
m
∂L X
∂L
7 s é o número de variáveis necessárias à abordagem reducionista
+
(−1)`
= 0.
(D.32)
∂q
∂q
e r é o número de variáveis necessárias à abordagem holista.
j
j;α1 ...α`
`=1
D.7. COMENTÁRIOS FINAIS
Estas são as equações que descrevem o sistema segundo
a abordagem reducionista (com o máximo de informações
sobre os detalhes do sistema). O funcional L contém (idealmente) todas as informações sobre o sistema.
D.6.6
A Relação de Inclusão
Mostraremos agora, no contexto deste exemplo, uma instância da classe de motivos que nos levaram a afirmar que
a abordagem reducionista é mais completa.
Lembremo-nos de que o funcional L contém todas as
informações acessı́veis a abordagens holistas — tais abordagens poderão obter, no máximo, as informações contidas em L. Elas obterão menos informações se utilizarem
métodos formais inferiores ou métodos não-formais.
Da mesma forma, as informações acessı́veis a abordagens reducionistas estão contidas no funcional L.
Mas o funcional L pode ser obtido a partir de L da
seguinte maneira:
Z
L=
dx1 dx2 ...dxn L ,
(D.33)
Rt
sendo Rt a fronteira de uma seção transversal de R em
relação à hipersuperfı́cie x0 = t.
Vemos que L contém todas as informações contidas em
L e muitas outras (as quais se perdem na operação de integração, que realiza a sı́ntese necessária à passagem ao
holismo). Isto significa que a abordagem holista somente
pode perceber uma parte das informações acessı́veis ao reducionismo. Ocorre uma exceção se s = r, quando ambas
as abordagens podem tornar-se equivalentes.
Podemos ter ideias envolvendo outras possibilidades,
como variáveis discretas, formalismos não baseados no
princı́pio de Hamilton, etc., mas temos chegado essencialmente sempre à mesma conclusão.
D.7
Comentários Finais
Na seção anterior, vimos que todas as informações acessı́veis a abordagens holistas também o são a abordagens
reducionistas, mas a recı́proca não é verdadeira.
Em outras palavras, há informações que são acessı́veis
unicamente a abordagens reducionistas, mas não há informações que sejam acessı́veis somente a abordagens holistas.
Note-se, porém, que utilizamos aqui um método capaz
de extrair o máximo possı́vel de informações de um sistema
segundo cada uma das abordagens. Assim, se aplicarmos
maus métodos reducionistas e/ou holistas poderá ocorrer
que o método particular reducionista que apliquemos tenha uma eficiência tão baixa que chegue a ser inferior ao
método holista de que dispomos. Mas isto seria uma deficiência nossa e não do reducionismo em si.
Às vezes, chega a parecer ser essa a motivação (desinformação) que tem levado ao desprezo pelo reducionismo.
Será que a frustração8 de algumas pessoas com métodos
8 Talvez pelo fato de não terem entendido o que significam ou o seu
potencial ou por não perceberem como fazer uso destes instrumentos,
ou por não haverem entendido os métodos que tentaram estudar.
67
matemáticos teria sido racionalizada na busca de justificativas para considerar aquilo que não foi compreendido
como algo inferior, desnecessário?
O aprendizado necessário para que utilizemos fluentemente métodos matemáticos envolve o desenvolvimento de
atividades mentais que permanecem embrionárias na maioria das pessoas. Despertar essas faculdades requer esforço
e é, frequentemente, difı́cil a princı́pio. Se a pessoa estiver
com problemas de auto-estima, pode ficar frustrada diante
das primeiras dificuldades, pensando que tem capacidade
mental insuficiente para lidar com estas coisas (o que, em
geral, não é verdade). Outra possibilidade é a de que a
pessoa considere que não vale a pena esforçar-se por algo
que (aparentemente, para ela) não compensa tanto assim.
Pode ocorrer, também, que os interesses da pessoa sejam voltados para áreas em que os métodos formais ainda
não foram utilizados de forma eficiente (ao menos ostensivamente). Nestas condições, forma-se toda uma comunidade de pensadores com ideias pouco realistas sobre o
raciocı́nio formal e quase nenhuma familiaridade com ele.
Num cenário destes, parece razoável que algumas pessoas procurem encontrar boas razões para minimizar tanto
quanto possı́vel a importância e as potencialidades associadas a métodos que elas desistiram de dominar.
Um fenômeno, que ocorreu em algumas áreas, foi o de
que houve tentativas de formalização (uso de “métodos
quantitativos”) baseada unicamente no que existe de mais
primitivo em termos de métodos matemáticos das ciências
aplicadas. Como os poucos métodos utilizados eram por
demais rudimentares para abranger aquela área de conhecimento (sem mencionar o fato de que nem sempre eram
bem aplicados), os pesquisadores começaram a concluir
que os métodos matemáticos não poderiam lavá-los muito
longe e que precisariam voltar a abordagens qualitativas.
Isto ocorreu, por exemplo, na área da Psicologia Cognitiva, que é uma área estratégica para a Educação. Esta
área, por sua vez, acaba tendendo a formar professores
com estranhos preconceitos contra métodos que eles desconhecem (pensando que conhecem).
Mas, além do emaranhado psicológico de frustrações por
usos inadequados de métodos, seguidos por generalizações
apressadas sobre deficiências dos métodos em si, além desses “problemas técnicos” de funcionamento da mente humana, existe todo um universo fascinante disponı́vel para
ser conhecido. A integração entre as diversas áreas do
conhecimento é um dos instrumentos que nos permitem
avançar.
Para que haja um melhor aproveitamento dos conhecimentos de cada área do conhecimento por parte das demais, isto é, uma maior integração, é interessante que selecionemos os métodos mais gerais e poderosos para que
se tornem mais conhecidos e permitam que mais pessoas
penetrem em áreas que hoje encontram-se “elitizadas”, ou
compartimentalizadas.
Esta situação não precisa continuar. Se lutarmos contra
coisas como as linguagens matemáticas, ou contra o reducionismo ou similares, estaremos apenas contribuindo para
agravar o problema da compartimentação, uma vez que
certas áreas são tratáveis somente por meio de linguagens
68
matemáticas. Existem também áreas somente tratáveis
por meio de métodos matemáticos reducionistas.
A propaganda contra estas coisas tem o efeito de que
aqueles que a aceitam criam preconceitos que impedirão a
compreensão de quase tudo o que é feito e descoberto em
áreas como a Fı́sica e a Informática, por exemplo.
O resultado não é uma visão mais ampla, como querem
alguns, mas sim cegueira quase absoluta em diversas áreas
estratégicas.
Apêndice E
A Natureza Hiperbólica do
Espaço-Tempo
E.1
Introdução
• Sabedoria: está relacionada à otimização. Quanto
mais sábia é uma pessoa, mas otimizadas tendem a ser
suas atitutes, ações, esforços. Alguém assim tende a
ser mais produtivo, feliz, longevo, e assim por diante.
Alguns itens da Geometria têm sido estudados há milênios, usualmente com fins práticos, na forma de técnicas
para medir terras e construir estruturas como casas,
pirâmides, carruagens e assim por diante.
Em traduções da Bı́blia, por exemplo, normalmente se
Aliás a própria palavra ‘geometria’ representa um desses observa um destes equı́vocos: vemos a palavra ‘ciência’
como tradução de γνώσις (ou uma de suas variantes),
usos. Esta palavra vem do grego: γεω-μετρία.
sendo que a tradução mais adequada seria ‘entendimento’.
• A primeira parte da palavra vem de γῆ (guêe), terra. Traduzir esta palavra como ‘ciência’ não está totalmente
errado quando não estamos usando a palavra ‘ciência’ no
• A segunda parte vem de μετρέω (metrêoo), medir.
sentido atual, relacionado ao método cientı́fico, mas sim
no sentido de entendimento ou saber adquirido.
Outro uso notável, especialmente útil para viagens maA distinção entre entendimento e conhecimento é difı́cil
rı́timas nos últimos séculos, tem sido no contexto da As- para as principais correntes filosóficas atuais por causa das
tronomia, para determinar localizações, direções, época do limitações causadas pela idéia de que o conhecimento é
ano, e assim por diante.
“criado” pelo homem e não teria como existir antes do hoAlém dos usos mais pragmáticos da Geometria, há milê- mem (isso seria considerado ‘platonismo’, que rotula uma
nios também têm surgido pessoas que se fascinaram com a das três principais estratégias ingênuas para entender o
maneira como a Geometria parece estar mais intimamente conhecimento através da Filosofia).
relacionada com a realidade que nos cerca do que seria de
Desde antigos filósofos e mı́sticos gregos até pesquisadose esperar à primeira vista. Discursos filosóficos1 e seitas2 res da atualidade tendem a repetir um equı́voco bastante
surgiram em função desses mistérios.
compreensı́vel: considerar a Matemática como parte da
A Geometria, por sua vez, faz parte de algo maior, que Filosofia, ou considerar a Filosofia como sendo mais amhoje chamamos de Matemática. Esta palavra também tem pla do que a Matemática.3
origem grega e refere-se ao conhecimento no sentido de
Podemos considerar que o entendimento humano sobre
algo que pode ser aprendido. Eis algumas palavras relaci- a geometria hiperbólica do espaço-tempo inicia sua traonadas que nos ajudam a situar o significado.
jetória histórica com uma busca filosófico-matemática de
esclarecimentos sobre o quinto postulado de Euclides. Tal
• Μάθημα (mátheema): ciência, conhecimento.
busca acabou por levar o conhecimento humano sobre Matemática para além das fronteiras do que uma abordagem
• Μαθητός (matheetôs): que se pode aprender.
filosófica poderia alcançar, exceto com a ajuda da própria
Matemática.
• Μαθητής (matheetês): discı́pulo, estudante.
É importante também notar que existe diferença entre
E.2 Os Postulados de Euclides
conhecimento (μαθητός ou μάθημα), entendimento (γνώσις
→ gnoosis) e sabedoria (σοφία → sofia).
Há pouca informação disponı́vel sobre Euclides, em si. Ele
teria vivido por volta de 300 a.C. Restam os comentários
• Entendimento: deveria ser entendido como a forma
de Proclus (410–485 a.D.).
como representamos inernamente um conhecimento.
3 Outro equı́voco bastante comum é considerar-se a Matemática
É uma particular forma de entender algo.
1 Platão
e Aristóteles são exemplos notáveis.
2 Exemplo: a confraria dos pitagóricos.
como sendo uma linguagem. Apesar das inúmeras inconsistências
desse tipo de abordagem, tal idéia apresenta um ı́ndice de aceitação
assustadoramente alto.
69
70
APÊNDICE E. A NATUREZA HIPERBÓLICA DO ESPAÇO-TEMPO
t
s
α r
β
1. É possı́vel traçar uma reta que passe por dois pontos.
Esta situação perdurou até o século XIX, quando vários
pesquisadores começaram a perceber que o quinto postulado é independente dos demais, isto é, realmente acrescenta especificidade à Geometria Euclidiana.
Entre as pessoas que se destacaram neste assunto, encontramos Lobatchewski (1792–1860), Gauss (1777–1855)
e Riemann (1826–1866).
Lobatchewski descobriu as geometrias hiperbólicas. Riemann descobriu as geometrias elı́pticas. Em ambos os
casos, os quatro primeiros postulados de Euclides podem
ser satisfeitos sem que o quinto seja válido.
Gauss também obteve resultados, mas não quis publicá-los por medo de ser mal-interpretado. Ainda assim,
Gauss contribuiu nessa área de várias maneiras, incluindo
a forma como orientou Riemann nas suas pesquisas, que
resultaram no que hoje chamamos de geometrias riemannianas e semi-riemannianas, as quais incluem as geometrias
elı́pticas, hiperbólicas e euclidianas.
E, concretizando o receio de Gauss, realmente houve
reações adversas à “bagunça” conceitual resultante. Na
verdade, não houve desorganização conceitual, antes pelo
contrário: houve uma organização e um aprofundamento
de conhecimentos sobre Matemática. E, no processo,
abriram-se as portas para avanços difı́ceis de serem acompanhados por abordagens filosóficas, o que gera desconforto até hoje, como seria de se esperar.
Apesar das tentativas experimentais de Gauss para verificar se o espaço é localmente hiperbólico, elı́ptico ou
“plano” (euclidiano), não foi possı́vel detectar no espaço
fı́sico qualquer desvio em relação ao quinto postulado de
Euclides (corrigido) na época.
2. Um segmento de reta finito pode ser prolongado indefinidamente.
E.3
Figura E.1: Ilustração do quinto postulado de Euclides.
Se α + β < 180◦ , então as retas r e s se interceptam do
mesmo lado de t em que esses ângulos se formam.
Euclides parece ter sido um pioneiro ao organizar um
estudo mais sistemático de áreas da Matemática. Se observarmos escritos antigos, notaremos que existem alguns
que tratam de Geometria, porém tendendo a usar uma
abordagem ao estilo receita de bolo: meros procedimentos para calcular algo (aproximadamente), ou seja, textos
descrevendo algoritmos.
Seguindo a linha de Tales de Mileto (século VI a.C.), Euclides faz uso de proposições utilizáveis em demonstrações,
o que significa um avanço gigantesco para o estudo em
qualquer área.
Euclides parece haver organizado quase todo o conhecimento matemático da época em seus Elementos. No
momento, o que nos interessa nessa obra são os cinco postulados do que hoje chamamos de Geometria Euclidiana.
A Teoria Eletromagnética
3. Dados um ponto e uma distância, pode-se traçar uma Ainda no século XIX, ocorriam muitos outros avanços
circunferência com centro no ponto dado e com raio notáveis no conhecimento adquirido pela humanidade.
Desejamos destacar um em particular: nessa época,
igual à distância dada.
Maxwell formulava (isto é, obtinha as fórmulas para) uma
4. Todos os ângulos retos são iguais.
teoria que unificava o que se sabia sobre eletricidade e magnetismo. O resultado foi a Teoria do Eletromagnetismo,
5. Se uma reta cortar outras duas de modo que a soma que costuma ser resumida na forma de quatro equações
dos ângulos interiores seja menor do que dois ângulos diferenciais que popularmente são expressas da seguinte
retos, então as outras duas retas se interceptam no maneira:
ρ
lado em que os ângulos internos são inferiores a dois
,
(E.1)
∇·E =
0
retos.
∇ · H = 0,
(E.2)
Este tipo de enunciado do quinto postulado deixa a de∂H
∇ × E = −µ0
,
(E.3)
sejar e foi substituı́do pelo que equivale ao seguinte:
∂t
“Dada uma reta e um ponto que não lhe pertence, é
∂E
∇ × H = J + 0
,
(E.4)
possı́vel passar por esse ponto uma e somente uma reta
∂t
paralela à primeira.”
Atualmente, conhecemos formas de enunciar postulados sendo
mais eficientes que acabam descrevendo a mesma estru• E é o vetor do campo elétrico,
tura, mas isso não desmerece e nem invalida o trabalho de
• B é o vetor do campo magnético,
Euclides.
O próprio Euclides parece haver ficado intrigado com
• ρ é a densidade de carga elétrica,
o quinto postulado, e desde então, estudiosos têm procu• J é a densidade de fluxo de carga elétrica (densidade
rado verificar se o quinto postulado pode ser deduzido dos
de corrente elétrica),
demais ou se acrescenta alguma informação nova.
E.4. A RELATIVIDADE ESPECIAL
71
4
• µ0 é a permeabilidade magnética do vácuo,
• Todos os referenciais inerciais são equivalentes.
• 0 é a permissividade elétrica do vácuo.
• A velocidade da luz é a mesma para todos os observadores. 5
A forma das equações de Maxwell colocada acima leva
em conta o campo elétrico, o campo magnético, cargas
elétricas e correntes elétricas no vácuo. Usam-se variantes destas equações para descrever o comportamento de
cargas, correntes e campos em meios materiais, mas essas
formas são simplesmente maneiras de parametrizar comportamentos coletivos das cargas desses meios materiais.
Um dos fatos importantes sobre as equações de Maxwell
é que elas prevêem a propagação de ondas eletromagnéticas no vácuo (ver apêndice E.6). A equação que representa
esse resultado também estabelece a velocidade com que
essas ondas se propagam. O curioso é que tal velocidade,
que é a velocidade da luz no vácuo, independe de referencial, isto é, não depende da velocidade de deslocamento
da fonte das ondas eletromagnéticas e nem da velocidade
do observador.
Esta velocidade depende apenas de µ0 e 0 , mas não
da escolha de um referencial inercial especı́fico no qual se
medem µ0 e 0 .
Se essa velocidade é mesmo absoluta, as implicações são
desconcertantes. Por exemplo, se perseguirmos uma onda
eletromagnética no vácuo a 99% da velocidade da luz, esperarı́amos que as ondas se afastassem de nós a apenas
1% da velocidade da luz. Mas, se a velocidade dessas ondas for absoluta, então elas se afastarão de nós a 100% da
velocidade da luz, independentemente da velocidade com
que as estamos perseguindo!
Como esta situação parecia absurda, Maxwell imaginou
que a velocidade da luz obtida pelas equações era uma
velocidade em relação a um meio fı́sico que permeia todo
o espaço, ao qual ele chamou de éter luminı́fero. Este seria
o meio no qual as ondas eletromagnéticas se propagam.
Note-se que tal idéia surge de considerações filosóficas,
não do modelo matemático em si.
Tentativas posteriores de confirmar essa conjectura acabaram por contradizê-la: não existe o tal éter luminı́fero e
a velocidade da luz no vácuo é mesmo absoluta, como os
fı́sicos temiam crer.
Em função de tais experimentos, especialmente o de
Michelson-Morley, Lorentz (1853–1928) foi capaz de introduzir o conceito de tempo local em 1895. Em 1904,
ele deduziu o que ficou conhecido como transformações de
Lorentz, que indicavam que o tempo pode dilatar-se e o
espaço pode contrair-se.
Estes resultados, porém, eram vistos com ceticismo pela
comunidade acadêmica, como sendo apenas válidos para
explicar fenômenos eletromagnéticos.
E.4
E.4.1
A Relatividade Especial
Algumas Noções Importantes
Em 1905, Einstein (1879–1955) estendeu os conceitos de
Lorentz para além do eletromagnetismo por meio dos seguintes postulados:
Com isto, as transformações de Lorentz passavam a
ser aplicáveis a todos os sistemas fı́sicos, não apenas aos
fenômenos eletromagnéticos.
Frente às transformações de Lorentz, o tempo é relativo,
assim como o espaço. O espaço-tempo, porém, é absoluto
no seguinte sentido: dados dois eventos6 , é possı́vel calcular a distância entre ambos de maneira absoluta, isto
é, a distância entre dois eventos independe do observador,
desde que seja utilizada uma generalização adequada do
teorema de Pitágoras.
A tı́tulo de exemplo, em duas dimensões, em um espaço
euclidiano, podemos traçar um sistema de coordenadas
cartesianas, com eixos x e y. Para calcular a distância
entre dois pontos de coordenadas respectivamente iguais
a (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ), utilizamos o teorema de Pitágoras
em sua forma usual:
D2 = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 ,
(E.5)
ou simplesmente,
D2 = ∆x2 + ∆y 2 .
(E.6)
Em um espaço euclidiano de três dimensões, precisarı́amos de mais um eixo, z. A distância entre dois pontos
seria então dada por
D2 = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 .
(E.7)
Em um espaço euclidiano de quatro dimensões, precisarı́amos de ainda mais um eixo, w. A distância entre
dois pontos seria
D2 = ∆x2 + ∆y 2 + ∆z 2 + ∆w2 .
(E.8)
Esta fórmula, contudo, não se aplica ao espaço-tempo
de forma compatı́vel com os postulados da Relatividade
Especial. No contexto do espaço-tempo, ao invés da dimensão w, temos a dimensão do tempo, t, que tem uma
caracterı́stica diferente das demais.
Para que a distância entre dois eventos seja absoluta
(independente do observador), ela deve ser dada por
D2 = c2 ∆t2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 .
(E.9)
Aqui, a velocidade da luz (c) entra apenas como um fator
de conversão de unidades, pois estamos usando um tipo de
unidades de medida para o tempo (ex.: segundo) e outro
tipo para o espaço (ex.: metro). Se usarmos a mesma
unidade para medir tempo e espaço, a fórmula pode ser
expressa simplesmente como
D2 = ∆t2 − ∆x2 − ∆y 2 − ∆z 2 .
4 Inspirado
(E.10)
por Galileu (1564–1642).
nos resultados das pesquisas sobre eletromagnetismo.
6 Um evento é um ponto no espaço-tempo, isto é, algo que tem
localização no espaço e no tempo.
5 Inspirado
72
Esta fórmula tem importantes implicações para todo E.5.1 Dilatação do Tempo e Similares
o funcionamento da geometria do espaço assim represenRetomando os cálculos da seção anterior, levando em conta
tado. Neste caso, temos um tipo de espaço chamado de
o fato de que D é uma grandeza invariante (não-relativa),
espaço de Minkowski, e o seu tipo de geometria é chamado
ao comparar (E.12) com (E.13) obtemos
de geometria hiperbólica.
Hoje percebemos que em um espaço puramente euclidic2 ∆τ 2 = c2 ∆t2 − ∆x2
(E.14)
ano não pode haver tempo, pois a dimensão de tempo
=⇒ c2 ∆τ 2 = c2 ∆t2 − v 2 ∆t2
(E.15)
difere das de espaço justamente quanto ao sinal, que
2
torna a geometria do espaço hiperbólica e, portanto, nãov
(E.16)
=⇒ ∆τ 2 = ∆t2 1 − 2
euclidiana.
c
r
v2
(E.17)
=⇒ ∆τ = ∆t 1 − 2 .
E.4.2 O Significado da 4-distância
c
Esta fórmula representa o efeito denominado dilatação do
O que é representado exatamente pela distância D entre
tempo.
dois eventos?
Há também um fenômeno chamado de contração de LoPara responder a esta pergunta, utilizaremos um dos rentz, que faz com que objetos fiquem “achatados” na
resultados das transformações de Lorentz.
direção do seu movimento em relação a um observador
Imaginemos um experimento no qual uma lâmpada externo.
pisca periodicamente. Cada uma destas piscadas é um
Outro fenômeno importante é o da relatividade da sievento, pois tem uma localização no tempo e no espaço.
multaneidade. Dois eventos simultâneos em um referencial
Imaginemos agora um observador para o qual a lâmpada não o são necessariamente em outro.
se move a uma velocidade v ao longo do eixo x. Para
Estes três tipos de fenômenos são simplesmente efeitos
este observador, o intervalo de tempo que se passa entre de projeção no espaço-tempo. Para entender isso, podeduas piscadas consecutivas é ∆t, e o espaço percorrido pela mos comparar estes fenômenos com fatos simples da geolâmpada neste perı́odo é
metria euclidiana. Para visualizar o que acontece, vamos
colocar uma das coordenadas de espaço (x) e a coorde∆x = v ∆t .
(E.11) nada de tempo (t) em um gráfico, tomando o cuidado de
lembrar que estamos representando um espaço hiperbólico
A distância entre dois eventos consecutivos de piscadas da em um espaço euclidiano, o que implica em distorções. Eslâmpada é dada por
sas distorções, entretanto, são facilmente identificáveis por
uma análise algébrica da situação.
D2 = c2 ∆t2 − ∆x2 , ∆y = ∆z = 0 .
(E.12)
Se estamos em um referencial inercial, escolhendo uma
coordenada de espaço e tomando a direção do nosso tempo
Agora consideremos o mesmo fenômeno observado por próprio como coordenada de tempo, podemos representar
alguém em repouso em relação à lâmpada. Para este ob- eventos em nossa perpectiva por meio de um gráfico, por
servador, o intervalo de tempo entre duas piscadas conse- exemplo, com eixo vertical t e eixo horizontal x.
As distorções da nossa projeção começam a aparecer
cutivas é ∆τ , e a distância entre dois destes eventos é
quando comparamos as coordenadas associadas a este reD2 = c2 ∆τ 2 .
(E.13) ferencial com as coordenadas equivalentes associadas a outro referencial, t0 e x0 :
Este intervalo de tempo entre os eventos em um referencial no qual ambos os eventos ocorrem no mesmo ponto
do espaço chama-se tempo próprio. Da equação (E.13)
fica evidente que a 4-distância é proporcional ao tempo
próprio, e pode ser considerada uma medida deste.
É importante frisar que, embora a escolha da coordenada temporal seja arbitrária e a simultaneidade de eventos seja algo relativo, o tempo próprio é uma grandeza
absoluta. É o tempo próprio que nos permite a percepção
da passagem do tempo.
E.5
Conseqüências dos Princı́pios
da Relatividade
Os princı́pios da Relatividade Especial têm várias conseqüências notáveis. Veremos algumas.
t 6 t0 :
x 0
rA
rB
x
Em ambos os referenciais, a coordenada espacial (x e x0 )
foi escolhida de tal forma que eventos simultâneos possam
ser representados por pontos que podem ser unidos por
um segmento de reta paralelo à coordenada espacial.
Os eventos A e B representados no gráfico são simultâneos quando observado pelo primeiro referencial,
mas B ocorre antes de A quando esses fenômenos são observados pelo segundo referencial.
E.5. CONSEQÜÊNCIAS DOS PRINCÍPIOS DA RELATIVIDADE
73
Da mesma forma, o tempo transcorrido entre dois eventos e a distância espacial entre eles é algo que depende
do referencial. Medidas deste tipo são efetuadas sobre
projeções apenas.
gem mesmo para grandezas usualmente consideradas escalares, isto é, entidades aparentemente representáveis por
um único número. Com as devidas representações vetoriais das leis fı́sicas, obtemos as abordagens quânticas
(Mecânica Quântica, Teoria Quântica de Campos). Os
vetores utilizados nestas abordagens, entretanto, são de
E.5.2 Spin e Antimatéria
uma natureza mais geral do que os que usamos no exemPesquisas no século XIX e inı́cio do século XX, várias de- plo acima.
las propriciadas pelas descobertas na área do eletromagneVetores, neste contexto, normalmente são representados
tismo, revelaram uma série de fenômenos desconcertantes por sı́mbolos como |ai, sendo que o que colocamos entre
no mundo microscópico.
os sı́mbolos ‘|’ e ‘i’ serve para identificar o vetor.
À primeira vista, parecia que as leis fı́sicas conhecidas
Para representar os operadores, geralmente utilizamos
e aplicáveis ao mundo macroscópico tendiam a falhar no letras maiúsculas.
mundo microscópico.
Na abordagem newtoniana também representamos as
Na verdade, as mesmas leis (regularidades) são aplicá- grandezas por letras, mas estas geralmente denotam variáveis a qualquer nı́vel, apenas a forma de representá-las não veis numéricas, não operadores. Por exemplo, na mecânica
era suficientemente geral. Na abordagem newtoniana, por newtoniana, a relação entre energia e momentum (quantiexemplo, utilizamos números para representar grandezas dade de movimento) é dada por
como energia, quantidade de movimento, posição e assim
p2
por diante.
+U,
(E.20)
H =
2m
Para estudar o mundo microscópico, entretanto, isso
não basta. São necessários outros elementos matemáticos,
sendo H a energia total de um objeto, p o seu momentum,
como os vetores (em sentido mais amplo) e os operadores.
m a sua massa e U sua energia potencial. Para estudarmos
Estados fı́sicos são representados por vetores (usualmente
o mundo microscópico, no nı́vel dos átomos e moléculas,
de dimensão infinita), e as grandezas fı́sicas são represenpodemos usar fórmulas deste tipo, apenas considerando as
tadas por operadores. Um operador neste contexto é uma
grandezas como operadores e não números.
espécie de função que transforma um vetor qualquer em
Assim, a equação (E.20) continua sendo uma boa aprooutro vetor. Isto corresponde a dizer-se que a medição de
ximação para estudar o mundo microscópico, sendo que
uma grandeza fı́sica (aplicação de um operador) pode alcada lado da equação passa a comportar-se como um opeterar o estado de um sistema (transformar um vetor em
rador que pode ser aplicado a um vetor.
outro).
2
Para compararmos esta situação com a dos vetores estup
H|ψi =
+ U |ψi .
(E.21)
dados a partir da oitava série do Ensino Fundamental, po2m
demos pensar no vetor velocidade instantânea, por exemplo, como simbolizando parte do estado (situação) de um Neste contexto, H, p e U são operadores.
veı́culo num dado instante. Imagine que o motorista gira a
Assim como usamos os vetores unitários ortogonais ı̂, ̂
direção do veı́culo. Esta operação muda a direção da velo- e k̂ como uma base para trabalhar com vetores em espaços
cidade, podendo alterar também seu módulo, dependendo euclidianos de três dimensões, podemos usar bases em
de como o motorista usa os pedais no processo.
espaços de estados.7
Podemos expressar essa mudança por meio de um operaNo espaço euclidiano de três dimensões, podemos repredor aplicado ao vetor velocidade (inicial), o que resulta em sentar um vetor ~v por um conjunto de 3 números, vx , vy
outro vetor velocidade (final). Em sı́mbolos matemáticos, e vz , que mantêm com ~v a seguinte relação:
podemos escrever
V 0 = AV ,
(E.18)
~v = vx ı̂ + vy ̂ + vz k̂ .
(E.22)
sendo que V é a representação do vetor velocidade inicial,
V 0 é a representação do vetor velocidade final e A é a
rotação que transformou V em V 0 .
Expandindo os detalhes de (E.18), terı́amos algo do tipo

 0 


vx
a11 a12 a13
vx
 vy0  =  a21 a22 a23   vy  .
(E.19)
a31 a32 a33
vz
vz0
Assim, se especificarmos a base ı̂, ̂ e k̂, podemos representar ~v simplesmente pelo conjunto de números (vx , vy ,
vz ).
Analogamente, se utilizarmos eventos (posições no espaço-tempo) como vetores da uma base, podemos representar os vetores por meio de conjuntos de números. Porém,
por causa da natureza do espaço de estados, esses conjuntos de números costumam ser infinitos, mas podem ser
Nesta abordagem, o operador A, representado por uma expressos como funções com valores complexos. No exemmatriz quadrada, quando aplicado ao vetor V (represen- plo anterior, os vetores podiam ser expressos pelas suas
tado por uma matriz coluna), transformando-o no vetor componentes vx , vy e vz ou ainda v1 , v2 e v3 . De forma
V 0 (representado por outra matriz coluna).
7 Um espaço de estados é um conjunto de vetores que representam
Ocorre que para entendermos o mundo dos átomos e estados (situações) e que são dotados de certas operações fundamenpartı́culas menores, precisamos usar este tipo de aborda- tais bem definidas, as quais não explicitamos aqui.
74
mais concisa, dirı́amos que estas componentes são representadas por vi , com i ∈ {1, 2, 3}. No caso de espaços
de estados, entretanto, os vetores freqüentemente têm dimensão contı́nua, isto é, ao invés de permitirem que suas
componentes sejam expressas como vi , com i inteiro, precisam de componentes do tipo v(i) com i percorrendo todos os valores reais de um dado intervalo. Além disso,
as componentes v(i) podem ser complexas e podem ter
vários ı́ndices. Em uma notação mais usual na Mecânica
Quântica, por exemplo, um vetor |ψi é representado pela
função ψ(t, x, y, z), isto é, a função ψ faz o papel de conjunto de componentes do vetor |ψi.
A base que utilizamos neste exemplo consiste em vetores
que representam eventos no espaço-tempo, isto é, vetores
do tipo |t, x, y, zi. Nesta mesma base, os operadores energia e momentum adquirem respectivamente as formas
H → ih̄
∂
, p~ → −ih̄∇ ,
∂t
sendo m a massa de um objeto medido por um certo observador que percebe o objeto movendo-se a uma velocidade
v. A grandeza m0 (massa de repouso) é a massa do mesmo
objeto quando medida por um observador para o qual o
objeto está em repouso.
Como vimos, se traduzirmos uma equação como (E.25)
para a linguagem da Mecânica Quântica, podemos obter
ih̄
h̄2 2
∂ψ
= −
∇ ψ,
∂t
2m
(E.28)
que é uma equação útil, mas não leva em conta o spin das
partı́culas, entre outras coisas.
O que acontece se utilizarmos (E.26) ao invés de (E.25)?
A resposta é a equação de Klein-Gordon:
− h̄2
∂2φ
= −h̄2 c2 ∇2 ψ + m20 c4 φ ,
∂t2
(E.29)
(E.23) ou, em linguagem um pouquinho mais avançada,
h̄2 2φ + m20 c2 φ = 0 ,
(E.30)
sendo h̄ a constante de Planck (h) dividida por 2π. As
2
grandezas m e U não se alteram, pois representam apenas sendo 2 o equivalente ao operador laplaciano (∇ ) no
o operador multiplicação por um número neste contexto. espaço-tempo.
Esta equação descreve bem partı́culas de spin 1 (como
Levando estas representações à equação (E.20), obtemos
é o caso dos fótons), mas ainda não é adequada para ca∂ψ
h̄2 2
sos importantes, como elétrons, prótons e nêutrons, que
ih̄
= −
∇ ψ + Uψ ,
(E.24)
possuem spin 1/2.
∂t
2m
Além disso, para melhor estudar a evolução temporal de
que é a famosa equação de Schrödinger.
sistemas fı́sicos, é preferı́vel trabalhar-se com equações em
Mas o que tudo isso tem a ver com spin e antimatéria?
que haja apenas derivadas de primeira ordem em relação
Embora a equação de Schrödinger tenha representado um
ao tempo.
avanço notável no estudo dos fenômenos microscópicos,
Na tentativa de baixar a ordem de (E.30), podemos efeela possui algumas limitações importantes. Uma destas
tuar uma fatoração do operador (h̄2 2+m20 c2 ), da seguinte
limitações é a falta de um mecanismo natural para lidar
maneira:
com spin (momentum angular intrı́nseco das partı́culas).
É interessante notar também que a equação de Schrödin(h̄2 2 + m20 c2 )φ = (h̄γ µ ∂µ − im0 c)(h̄γ ν ∂ν + im0 c)φ ,
ger compartilha com a Mecânica Newtoniana a mesma
(E.31)
forma de tratar o espaço-tempo: o tempo é tratado como sendo que
∂
um parâmetro externo e absoluto, e o espaço é tratado
,
(E.32)
∂µ ≡
∂xµ
como euclidiano.
Para simplificar as considerações a seguir, consideremos e xµ representa a µ-ésima coordenada do espaço tempo
os casos em que U = 0, como é o caso de partı́culas livres. (usualmente, x0 = t), e as grandezas γ µ devem satisfazer
Levando-se em conta a natureza hiperbólica do espaço- a todas as condições que garantam a validade de (E.31).
tempo, percebe-se que a relação newtoniana entre energia
Além disso, usamos a notação de Einstein: ı́ndices ree momentum,
petidos (no devido contexto) indicam soma:
p2
X
H =
,
(E.25)
γ µ ∂µ ≡
γ µ ∂µ .
(E.33)
2m
µ
embora seja uma excelente aproximação para objetos com
Definindo
baixas velocidades, não é exata. Uma aproximação muito
ψ ≡ (h̄γ ν ∂ν + im0 c)φ ,
(E.34)
melhor neste caso é
H 2 = p2 c2 + m20 c4 ,
(E.26)
facilmente concluı́mos que
(h̄γ µ ∂µ − im0 c) ψ = 0 .
(E.35)
sendo c a velocidade da luz no vácuo, e m0 a massa de
Esta é a equação de Dirac, cujas soluções contêm inrepouso do objeto em estudo. Fala-se em massa de repouso porque no cenário hiperbólico do espaço tempo, a formações sobre spin e anti-matéria.
Resumindo, a existência do spin e da antimatéria estão
massa (medida da inércia) de um objeto depende de sua
intimamente ligadas à natureza hiperbólica do espaçovelocidade em relação ao observador:
tempo, pois surgem naturalmente da relação entre energia
m0
,
(E.27) e momentum resultante da natureza hiperbólica do espaçom = q
2
1 − vc2
tempo.
E.7. EQUAÇÕES DE MAXWELL NA GEOMETRIA DIFERENCIAL
E.6
A Teoria de Maxwell e a Velocidade da Luz
é fácil perceber que (E.45) é uma equação de onda com
velocidade de propagação
As equações de Maxwell prevêem a propagação de ondas
eletromagnéticas e nos permitem até calcular sua velocidade, além de outras propriedades.
As equações (E.3) e (E.4) estabelecem relações entre o
campo elétrico e o magnético de tal forma que cada um
deles é capaz de gerar o outro.
Variações do campo elétrico podem gerar um campo
magnético e variações do campo magnético podem gerar
um campo elétrico.
Veremos agora quantitativamente como as equações de
Maxwell prevêem a propagação do campo elétrico no
vácuo, sem a presença de cargas elétricas e, portanto, sem
correntes elétricas tampouco. Isto fazemos para simplificar o tratamento formal, evitando complexidades que não
contribuem para nosso objetivo, que é o de determinar,
a partir das equações de Maxwell, a velocidade de propagação das ondas eletromagnéticas no vácuo.
Nestas condições, as equações de Maxwell passam a ter
o seguinte aspecto (basta fazer ρ = 0 e J = ~0):
∇ · E = 0,
∇ · H = 0,
∂H
∇ × ∇ × E = −µ0 ∇ ×
.
∂t
(E.40)
Utilizaremos agora o fato de que a derivada parcial em
relação ao tempo comuta com o rotacional, isto é,
∇×
∂H
∂
=
∇ × H,
∂t
∂t
(E.41)
e também o seguinte teorema do cálculo vetorial:
∇ × ∇ × E = ∇ (∇ · E) − ∇2 E .
(E.42)
Utilizando estas duas relações na equação (E.40), obtemos
∇ (∇ · E) − ∇2 E = −µ0
∂
∇ × H.
∂t
(E.43)
Utilizando agora (E.36) e (E.39) em (E.43), obtemos
− ∇2 E = −µ0
∂ ∂E
0
,
∂t ∂t
(E.44)
ou
∂2E
.
(E.45)
∂t2
Lembrando que a equação de uma onda tem a forma
∇2 E = µ0 0
∇2 φ =
1 ∂2φ
,
v 2 ∂t2
v = √
1
,
µ0 0
(E.47)
sendo que o campo que se propaga é E.
Pode-se obter uma equação de onda para H de forma
análoga, com a mesma velocidade de propagação. Os valores das constantes µ0 e 0 podem ser obtidos por meio
de medições em experiências de laboratório, e o valor de
v obtido a partir de (E.47) coincide com o valor medido
para a velocidade da luz.
Quando esta coincidência foi observada pela primeira
vez, imaginou-se que a luz poderia ser um fenômeno eletromagnético. Mais precisamente, as ondas de luz seriam ondas eletromagnéticas. Tal conjectura demonstrouse válida por meio de experimentos posteriores.
Estes resultados, porém, levantam questões desconcertantes. Por exemplo, o valor da velocidade de propagação
das ondas eletromagnéticas não depende da velocidade da
fonte dessas ondas ou do observador.
Em função de descobertas posteriores no contexto da
(E.36)
Relatividade, confirmando o caráter de constante univer(E.37) sal, a velocidade da luz no vácuo passou a ser representada
pelo sı́mbolo c.
(E.38)
∂H
,
∂t
∂E
∇ × H = 0
,
(E.39)
∂t
Apliquemos agora o operador rotacional a ambos os
membros da equação (E.38):
∇ × E = −µ0
75
(E.46)
E.7
Equações de Maxwell na Geometria Diferencial
Na Geometria Diferencial, contamos com vários avanços
importantes em termos de generalizações, ampliação e
aprofundamento de conceitos. Mesmo os rudimentos do
Cálculo Diferencial revestem-se de aspectos notáveis.
A tı́tulo de exemplo, os teoremas de Gauss, Green e
Stokes são apenas casos particulares de um teorema mais
geral da Geometria Diferencial. Da mesma forma, vários
teoremas do Cálculo Vetorial podem ser facilmente deduzidos de propriedades simples de entidades da Geometria
Diferencial.
Entre os conceitos mais estratégicos neste sentido, encontramos o de p-forma, produto exterior e derivada exterior.
Entrar nos detalhes técnicos necessários a este assunto
foge ao escopo destes comentários. Comentaremos apenas
brevemente alguns itens mais vitais para nossos propósitos
locais.
Convém salientar, que essencialmente a mesma linha
de pesquisa que resolveu o problema do quinto postulado
de Euclides acabou também por levar a avanços notáveis
na própria capacidade técnica humana para expressar leis
fı́sicas. Infelizmente, este enorme potencial de avanço tem
sido usado apenas modestamente.
A tı́tulo de exemplo de aplicação de conceitos da Geometria Diferencial à formalização de leis fı́sicas, comentaremos brevemente o caso das equações de Maxwell.
76
E.7.1
O Vetor do Campo Eletromagnético
Suponhamos que um dado material seja isotrópico, isto
é, não apresente uma direção preferencial. Neste caso,
A forma das equações de Maxwell juntamente com alao aplicarmos sobre ele um campo elétrico Ei , estaremos
guns teoremas do Cálculo Vetorial sugerem a possibiliinduzindo uma polarização Pi na mesma direção do campo
dade de representar-se o campo eletro-magnético por meio
elétrico, isto é, a polarização será proporcional ao campo
de um simples vetor quadridimensional (usualmente denoelétrico:
tado por A), ao invés de dois vetores e um escalar: o vetor
Pi = Ei .
(E.50)
do campo magnético, o do campo elétrico e o potencial
A constante de proporcionalidade é o que estamos chaelétrico.
Este vetor quadridimensional (A) guarda com os vetores mando de permissividade elétrica. Neste caso, ela é um
escalar. Nesta situação, cada componente da polarização
dos campos elétrico e magnético as seguintes relações.
é proporcional à componente correspondente do campo
1 ∂ Ā
elétrico.
− ∇ϕ ,
(E.48)
E = −
Por outro lado, se o material tiver uma direção preferenc ∂t
cial, como facilmente pode ocorrer com moléculas longas,
H = ∇ × Ā ,
(E.49) então a direção da polarização pode não ser a mesma do
sendo ϕ o potencial elétrico, e Ā o vetor tridimensional campo elétrico, e a relação entre ambos passa a ser a seguinte:
formado pela componentes espaciais de A.
X j
Note-se, porém, que neste ponto já estamos usando uma
Pi =
i E j ,
(E.51)
j
linguagem simbólica pouco adequada ao problema: separamos artificialmente componentes espaciais e temporais, ou, usando a notação de Einstein (somatório omitido para
por exemplo. Aplicamos a derivada parcial em relação ao ı́ndices repetidos),
tempo sobre as componentes espaciais de A e calculamos o
gradiente (derivada em relação ao espaço) da componente
Pi = ji Ej ,
(E.52)
temporal de A, que é ϕ. O rotacional é aplicado somente
ou ainda, em linguagem matricial,
às componentes espaciais de A para obter-se H.



  x y
Esta maneira de representar estas relações está tão longe
x x zx
Ex
Px
do ideal que nos induz a pergntar se realmente podemos
 Py  =  xy yy zy   Ey  .
(E.53)
chamar isso de “linguagem matemática” (isto é, uma linEz
Pz
xz yz zz
guagem formal, otimizada).
Felizmente, na Geometria Diferencial encontramos os
Note-se que a componente yx , por exemplo, nos diz o
elementos necessários para encontrar o caminho de volta. quanto a componente y do campo elétrico afeta a compoCom os conceitos de p-formas, produto exterior e de deri- nente x da polarização. Assim, a permissividade elétrica
vada exterior tudo fica mais simples. Explicar estes con- possui uma componente para cada par de dimensões do
ceitos em detalhe foge ao escopo deste artigo, mas po- espaço (e a ordem faz diferença). Grandezas desse tipo
demos expor algumas idéias preliminares com ênfase na chamam-se tensores de segunda ordem.
Fı́sica.
A propósito, vetores são tensores de primeira ordem.
Escalares são tensores de ordem zero.
Em linguagem de componentes, tensores de ordem zero
E.7.2 Tensores
não possuem ı́ndices. Um tensor de ordem 1 possui um
Algumas grandezas podem ser representadas por escalares ı́ndice (ex.: E ). Tensores de ordem 2 possuem dois ı́ndices
i
(apenas um número, na abordagem clássica), como é o (ex.: j ).
i
caso da densidade de um fluido na Fı́sica Clássica: a cada
ponto do fluido associamos um número que representa sua
E.7.3 Tensores Antissimétricos
densidade.
Outro tipo de grandeza pode estar associada a uma Tensores com mais de um ı́ndice podem apresentar simedireção e a um sentido no espaço. Grandezas desse tipo trias ou antissimetrias. Por exemplo, um tensor Sij é sisão representadas por vetores, como é o caso do campo metrı́co se Sij = Sji e antissimétrico se Sij = −Sji .
elétrico e do campo magnético.
Note-se que tensores antissimétricos possuem relativaHá ainda grandezas associadas a pares de direções no mente poucas componentes independentes. Em particular,
espaço. Um exemplo disso é a pemissividade elétrica: Sii = 0 e as componentes associadas a ı́ndices diferentes
quando colocamos um material imerso em um campo estão também ligadas pela relação de antissimetria. Isso
elétrico, as moléculas desse material tendem a se alinhar sugere a possibilidade da existência de um outro tipo de
em relação ao campo. A permissividade elétrica pode ser entidade menos redundante. Mas vejamos outro fato inteentendida como uma medida dessa tendência de alinha- ressante ligado a isso.
mento, diferente para cada material. O alinhamento em si
pode ser expresso como um vetor: a polarização (P). Para
E.7.4 Vetores Axiais
tornar mais clara a situação, usaremos linguagem de componentes (expressão de relações entre vetores por meio de Em alguns contextos, fala-se em vetores polares e vetores
relações entre seus componentes) e linguagem matricial.
axiais.
O vetor deslocamento entre dois pontos, por exemplo, é
um vetor polar. Se um vetor polar for paralelo à superfı́cie
de um espelho, sua imagem possui a mesma orientação do
vetor original.
Para representar o vetor velocidade angular de um objeto sólido, por outro lado, utiliza-se um vetor alinhado
de acordo com o eixo de rotação, com sentido compatı́vel
com a regra da mão direita (poderia ser a regra da mão
esquerda, é apenas uma convenção).
Este tipo de vetor, quando colocado diante de um espelho nas mesmas condições que mencionamos acima, apresenta uma imagem de espelho invertida. Vetores deste
tipo chamam-se vetores axiais.
Essa diferença entre vetores polares e axiais também
indica que estamos lidando com entidades matemáticas
de naturezas realmente diferentes. Os vetores axiais, por
exemplo, poderiam ser uma espécie de tradução (“Hodge
Map”) para a linguagem vetorial de alguma outra entidade
com caracterı́sticas próprias.
77
Grandezas como velocidade angular são melhor representadas por 2-formas, ao invés de vetores. O vetor velocidade angular é uma espécie de projeção de uma 2-forma
no espaço de vetores, o que lhe confere as caracterı́sticas
curiosas que mencionamos.
Vetores podem ser considerados como sendo 1-formas,
e escalares podem ser interpretados como 0-formas.
E.7.6
Produto Exterior
O produto exterior é uma operação entre uma p-forma (A)
e uma q-forma (B) cujo resultado é uma p + q-forma (C):
A ∧ B = C.
(E.60)
Por preservar a antissimetria,
A ∧ B = (−1)pq B ∧ A .
E.7.7
(E.61)
Derivada Exterior
O operador derivada exterior, denotado por d, transforma
uma p-forma em uma p + 1-forma, sendo definido pelas
Para definir componentes de vetores, usamos bases 8 . Por seguintes propriedades:
exemplo, quando falamos em componentes Ex , Ey e Ez
1. É linear, isto é
do campo elétrico, estamos nos referindo implicitamente
ao conjunto de vetores {ı̂, ̂, k̂}, que formam uma base:
d(A + B) = dA + dB ,
(E.62)
E.7.5
p-formas
E = Ex ı̂ + Ey ̂ + Ez k̂ ,
(E.54)
ou de forma mais genérica,
E = Ei θ i ,
(E.55)
d(λA) = λ dA .
(E.63)
2. d(A ∧ B) = dA ∧ B + (−1)p A ∧ dB, sendo p o grau
de A.
3. d2 = 0 .
i
sendo {θ } uma base.
4. Se f é uma 0-forma, então df é a diferencial de f .
Para representar um tensor de ordem 2 (ou grau 2), por
exemplo, podemos compor uma base com dois ı́ndices a
Em um espaço euclidiano tridimensional e usando-se
partir da base {θi } por meio de uma operação de comuma
base cartesiana, temos, para o último item:
posição (⊗), gerando a base {θi ⊗ θj }:
∂f
∂f
∂f
dx +
dy +
dz ,
(E.64)
df =
F = Fij θi ⊗ θj .
(E.56)
∂x
∂y
∂z
Para lidar com entidades puramente antissimétricas, po- sendo que as diferenciais das coordenadas podem ser idendemos definir uma base antissimétrica:
tificadas com os vetores da base tradicional {ı̂, ̂, k̂}.
Por aqui já se pode perceber que a derivada exterior de
1 i
θ ⊗ θj − θj ⊗ θi ,
(E.57) um escalar gera o gradiente:
θi ∧ θj ≡
2
∂f
∂f
∂f
com i < j para evitar a redundância, pois
∇f =
ı̂ +
̂ +
k̂ .
(E.65)
∂x
∂y
∂z
θi ∧ θj = −θj ∧ θi .
(E.58)
Vejamos como é a derivada exterior de uma 2-forma
Podemos generalizar o processo para ordens superiores,
como em
M = MI1 I2 ...Ip θI1 ∧ θI2 ∧ . . . ∧ θIp ,
neste mesmo espaço euclidiano. Seja
A ≡ Ax dx + Ay dy + Az dz .
(E.66)
(E.59) Lembremo-nos de que
com I1 < I2 < . . . < Ip .
Entidades como M são chamadas de p-formas.
8 Uma base é um conjunto de vetores não-redundantes (linearmente independentes) que permitem reproduzir todos os vetores do
espaço por meio de combinações lineares, isto é, somente via multiplicação por escalar e soma de vetores
dAx =
∂Ax
∂Ax
∂Ax
dx +
dy +
,
∂x
∂y
∂dz
(E.67)
ou, num caso mais geral,
dAi =
∂Ai j
dx ,
∂xj
(E.68)
78
sendo x1 = x, x2 = y e x3 = z. É importante notar ainda
De forma análoga ao que fizemos antes, podemos deque o produto exterior de uma 1-forma por si mesma é monstrar facilmente que o divergente de um rotacional é
nulo. Assim, como
nulo. Seja A uma 1-forma.
A = Ai dxi ,
obtemos
dA
∂Ai j
dx ∧ dxi + Ai ∧ d2 xi
∂xj
∂Az
∂Ay
=
−
dy ∧ dz
∂y
∂z
∂Ax
∂Az
+
−
dz ∧ dx
∂z
∂x
∂Ay
∂Ax
+
−
dx ∧ dy .
∂x
∂y
=
(E.69)
d(dA) = d2 A = 0 ,
(E.79)
conforme o axioma 3 da derivada exterior.
Podemos generalizar relações como (E.78) por meio de
(E.70) um operador que combina a operação ∗ com a derivada
exterior. Em um caso mais geral, definimos o operador δ
em termos de sua atuação sobre uma p-forma A:
δA ≡ (−1)p ∗−1 d ∗ A .
(E.80)
Com generalizações apropriadas semelhantes às que vimos,
nos libertamos de espaços com apenas três dimensões
(E.71)
e também dos espaços euclidianos, podendo ir ilimitadamente além.
Note-se que podemos projetar esta 2-forma no espaço
dos vetores identificando a primeira componente com dx,
a segunda com dy e a terceira com dz (existe uma regra E.7.8 Equações de Maxwell Revisitadas
mais correta para aplicar no caso geral, mas neste exemplo, Depois deste passeio, podemos tentar expressar grandezas
podemos usar esta versão simplificada). O resultado será e relações do eletromagnetismo em termos de elementos
uma vetor que chamaremos de ∗dA:
da Geometria Diferencial.
Por exemplo, tratando o quadrivetor (A) do campo ele∂Ay
∂Az
−
dx
∗ dA =
tromagnético
como sendo uma 1-forma, podemos calcular
∂y
∂z
sua derivada exterior, que será uma 2-forma à qual cha∂Ax
∂Az
maremos de F:
+
−
dy
∂z
∂x
F = dA .
(E.81)
∂Ax
∂Ay
−
+
dz .
(E.72) Pela definição do vetor do campo eletromagnético, desco∂x
∂y
brimos que


Note-se, ainda, a relação com o rotacional do vetor A:
0
Ex
Ey
Ez
 −Ex
∗ dA = ∇ × A .
(E.73)
0
−Hz Hy 
,
Fµν = 
(E.82)
 −Ey Hz
0
−Hx 
Portanto, a derivada exterior de uma 1-forma corres−Ez −Hy Hx
0
ponde ao rotacional, porém de uma maneira a permitir a
obtenção de relações em um contexto mais amplo.
sendo que µ e ν são ı́ndices do conjunto {0, 1, 2, 3}. O
Note-se como neste contexto é fácil demonstrar o teo- ı́ndice 0 está associado à dimensão temporal.
rema do Cálculo Vetorial que afirma ser nulo o rotacional
A 2-forma F, que também pode ser tratada como tende um gradiente:
sor, é conhecida na literatura como tensor do campo eletromagnético.
d(df ) = d2 f = 0 ,
(E.74)
Uma conseqüência imediata desta abordagem é
conforme o axioma 3 da derivada exterior.
dF = d(dA) = d2 A =⇒ dF = 0 .
(E.83)
Ao aplicarmos a derivada exterior sobre uma 2-forma,
também encontramos algo interessante. Seja
Esta equação (dF = 0) corresponde a duas das equações
A = Ayz dy ∧ dz + Azx dz ∧ dz + Axy dx ∧ dy . (E.75) de Maxwell, e de forma mais compacta e elegante. As
equações originais são (E.2) e (E.3).
Se tomarmos como ponto de partida a existência do veTenhamos em mente também que
tor (A) e a definição de F, então a equação (E.83) é des∗ A = Ayz dx + Azx dy + Axy dz
necessária por tratar-se de uma trivialidade (muito útil,
= ∗Ax dx + ∗Ay dy + ∗Az dz .
(E.76) contudo).
As outras duas equações podem ser resumidas na seCalculando a derivada exterior de A, obtemos:
guinte:
δF + J = 0 ,
(E.84)
∂Azx
∂Axy
∂Ayz
+
+
dx ∧ dy ∧ dz . (E.77)
dA =
∂x
∂y
∂z
sendo J a densidade de corrente quadridimensional (a
O resultado é uma 3-forma cuja única componente não- componente temporal é a densidade de carga).
Assim, de um ponto de vista lógico (não histórico), potrivial é o divergente de ∗A.
demos dizer que as equações de Maxwell são um desdobra∗ dA = ∇ · ∗A .
(E.78) mento de (E.83) e (E.84). E estas equações descrevem os
fenômenos eletromagnéticos com uma precisão e um nı́vel
de detalhe impressionantes.
É interessante também notar como seria difı́cil (para
não dizer impossı́vel) obterem-se informações tão detalhadas sobre praticamente qualquer elemento da realidade
fı́sica9 , ainda que bastante particular, se nos baseássemos
somente em abordagens filosóficas “puras”, isto é, independentes de qualquer metodologia formal. Resta para
essas abordagens o negar a realidade ou, no mı́nimo, a
eficácia dos métodos formais (o que também seria negar
o mundo observável); ou ainda torcer tanto fatos simples
por meio de divagações imaginativas que nada mais pareça
muito coerente ou confiável.
Abordagens matemáticas não apenas nos permitem lidar com um nı́vel de detalhe mais apurado, mas também
proporcionam visões mais gerais (abrangentes) e nos levam
a transpor barreiras impostas pela intuição. Abordagens
filosóficas puras (sejam elas quais forem), por outro lado,
são totalmente vulneráveis a limitações da intuição e preconceitos.
9 Abordagens formais (métodos matemáticos) tendem a nos habilitar a perceber e lidar com um nı́vel de detalhe impossı́vel a outras
abordagens. Um exemplo disso é a tecnologia para construir aparelhos baseados nas leis de Maxwell, como TVs e computadores.
79
80
Apêndice F
Conceitos Matemáticos Fundamentais
F.1
Introdução
A prática tem indicado que o instrumental mais poderoso
no sentido de ampliar a capacidade de raciocı́nio dos seres inteligentes (capazes de raciocı́nio abstrato) é o formalismo matemático. Há importantes detalhes filosóficos e
psicológicos associados a questões deste tipo, os quais não
serão tratados aqui, exceto por uns breves comentários
iniciais.
Nosso objetivo local é o de apresentar alguns temas que
parecem servir como peças fundamentais para nos aprofundarmos em qualquer assunto.
Ideias como esta podem parecer um grande exagero, mas
ao ganharmos suficiente familiaridade com métodos matemáticos cada vez mais avançados, notamos que eles têm
menos limitações do que qualquer outra forma de conhecimento. Em, particular, não têm certas limitações que
a maioria das pessoas tende a atribuir à Matemática —
noções equivocadas de que ela lida somente com números,
de que não pode lidar com coisas imprecisas ou imprevisı́veis, e assim por diante.
Mas, mesmo admitindo que essas ideias são infundadas,
alguns ainda atribuem à Matemática as limitações humanas por ser ela uma construção do pensamento humano. Se
a Matemática fosse meramente uma construção humana,
como seria possı́vel alguém, por exemplo, usar a Teoria dos
Espaços vetoriais e perceber que ela descreve surpreendentemente bem fenômenos fı́sicos anteriormente inacessı́veis
ao conhecimento e à intuição humana? Ou até prever novos fenômenos e entidades fı́sicas antes que elas fossem descobertas na prática? Este tipo de fenômeno envolvendo a
Matemática é extremamente comum na pesquisa cientı́fica
e parece ir muito além da mera coincidência.
Mas não é óbvio que nós inventamos a linguagem e os
axiomas e demonstramos os teoremas? O que acontece
é que simplesmente não podemos fazer isso de qualquer
maneira, porque não funciona, isto é, não é aplicável!
Então, ao inventarmos linguagens para descrever entidades matemáticas e seus comportamentos, algo nos guia.
Esse “algo” tem a ver com padrões que encontramos na
realidade fı́sica e, como se vê na Fı́sica, controlam essa
realidade. Esse “algo” é o que devemos chamar de Matemática, não a linguagem que inventamos para descrevêla.
Quando não reconhecemos este fato, acabamos gerando
inconsistências em nossa visão de mundo.
Mesmo que não queiramos aceitar posições filosóficas
deste tipo, ninguém pode negar com conhecimento de
causa que métodos matemáticos têm levado o conhecimento humano a alturas jamais sonhadas por qualquer
outra abordagem, ultrapassando os limites da intuição e
chegando a um enorme grau de sincronia com as regularidades que encontramos na Natureza.
Ao aprofundarmos muito qualquer assunto, costumamos nos deparar com as mesmas estruturas algébricas comuns à maioria das áreas. Quanto nos aprofundamos o
suficiente usando métodos matemáticos, podemos perceber que estes mesmos métodos são aplicáveis a todas as
áreas do conhecimento, e que, na base de tudo, encontramos a Lógica Matemática e a Teoria dos conjuntos.
F.2
A Teoria dos Conjuntos
A Teoria dos Conjuntos é fundamental na Matemática. É
extremamente vantajoso (do ponto de vista de unificação
de conhecimentos) construir conceitos a partir dela.
Os primeiros rudimentos e sı́mbolos matemáticos serão
aqui considerados como conhecidos. Entretanto, comentamos agora o significado de alguns sı́mbolos:
81
Sı́mbolo
∈
⊂
∪
∩
∅
∀
∃
|
=
≡
<
>
≤
≥
PN
k=1
=⇒
Significado
pertence (é elemento de)
é subconjunto de, ou está contido
união
intersecção
conjunto vazio
para todo, ou para qualquer
existe
tal que
é igual a
define-se como, ou é congruente a
é menor que
é maior que
é menor ou igual a
é maior ou igual a
soma com k variando de 1 a N
implica
82
APÊNDICE F. CONCEITOS MATEMÁTICOS FUNDAMENTAIS
F.2.1
Definições Preliminares
F.2.2
Produto Cartesiano
Exercı́cios
Considere os seguintes conjuntos:
Sejam A e B dois conjuntos. O produto cartesiano A × B
é o conjunto de todos os pares ordenados (a, b) tais que
a ∈ A e b ∈ B.
Da mesma forma que fazemos com o produto de números reais, podemos denotar por An o produto cartesiano
de um conjunto A por si mesmo n vezes:
A = {a, b, c, d} ,
C = {a, d, f, h} .
1. Determine os seguintes conjuntos:
(a) A ∪ B e A ∪ C.
(b) A ∩ B e B ∩ C.
n fatores
z
}|
{
An ≡A × A × ... × A .
B = {e, f, g} ,
(c) B 2 e C × B.
(F.1)
(d) Duas relações distintas (à sua escolha) entre A e
B.
Exemplo: A3 = A × A × A.
(e) Uma aplicação f : A × B → C.
Relação
Uma relação R entre A e B é um sobconjunto do produto
cartesiano A × B, isto é, R ⊂ A × B.
2. O conjunto {(e, e), (f, e), (g, e)} é uma lei de composição interna em B?
Relação de Equivalência
3. O conjunto {((a, a), e), ((b, d), f ), ((c, f ), f ), ((d, h),
g)} é uma aplicação do tipo f : A × C → B? É uma
relação? Justifique.
Uma relação R ⊂ A × A é uma relação de equivalência em
A se é dotada das seguintes propriedades ∀a, b, c ∈ A:
Reflexividade:
Simetria:
Transitividade:
(a, a) ∈ R.
(a, b) ∈ R =⇒ (b, a) ∈ R.
(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R =⇒ (a, c) ∈ R.
Classe de Equivalência
4. A relação de igualdade é uma relação de equivalência?
Por quê?
F.3
F.3.1
Estruturas Algébricas
Introdução
Seja R ⊂ A × A uma relação de equivalência e seja a ∈ A.
A classe de equivalência de a em relkação a R é definida As estruturas algébricas desempenham um papel fundamental na formulação de modelos cientı́ficos. Pode-se
por
conceber uma infinidade de estruturas algébricas. Entre{x ∈ A | (a, x) ∈ R} .
tanto, algumas destas estruturas têm sido mais utilizadas,
demonstrando-se extremamente férteis quanto à organizaAplicação
ção do conhecimento e à obtenção de resultados.
Apresentam-se aqui algumas das estruturas algébricas
Diz-se que f é uma aplicação de A para B e utiliza-se a
notação f : A → B se f ⊂ A × B e cada a ∈ A comparece mais simples, embora extremamente úteis. O conceito de
grupo, por exemplo, pode ser utilizado em conexão com
em um, e somente um, par ordenado de f .
Nota: alguns usam a palavra ‘função’ como sendo si- o conceito de simetria, que tem-se demonstrado fundanônimo de ‘aplicação’; outros preferem reservar o termo mental para o estudo de leis fı́sicas. O conceito de espaço
‘função’ para aplicações do tipo f : A 7→ R, sendo R o vetorial também é algo de surpreendente utilidade e abrangência.
conjunto dos números reais.
Nas subseções seguintes, veremos alguns dos mais importantes
exemplos de estruturas algébricas.
Ordenamento Parcial
Um ordenamento parcial em um conjunto A é uma relação
R ⊂ A × A dotada das seguintes propriedades (∀a, b, c ∈
A):
Reflexividade:
Antissimetria:
Transitividade:
(a, a) ∈ R.
(a, b) ∈ R, (b, a) ∈ R =⇒ a = b.
(a, b) ∈ R, (b, c) ∈ R =⇒ (a, c) ∈ R.
Operações Internas e Externas
F.3.2
Grupo
Um grupo é um conjunto G munido de uma operação interna G × G → G denotada por (a, b) 7→ ab (a, b ∈ G)
dotada das seguintes propriedades:
(ab)c = a(bc), ∀a, b, c ∈ G ;
(F.2)
∃e | ea = ae = a, ∀a ∈ G .
(F.3)
Uma operação (ou lei de composição) interna em um con∀a ∈ G, ∃a−1 | aa−1 = a−1 a = e .
(F.4)
junto X é qualquer função f do tipo f : X × X → X.
Se a operação for comutativa, isto é, ab = ba, ∀a, b ∈ G,
Sejam X e Y dois conjuntos. Uma operação externa de
diz-se que o grupo é abeliano.
Y em X é qualquer função do tipo f : Y × X → X.
F.3. ESTRUTURAS ALGÉBRICAS
F.3.3
83
Anel
F.3.6
Um anel é um conjunto X dotado de duas operações internas, aqui denotadas por (x, y) 7→ xy (multiplicação) e
(x, y) 7→ x + y (adição), tais que
1. X é um grupo abeliano frente à adição.
2. A multiplicação é associativa e distributiva em relação
à adição (∀x, y, z ∈ X):
(xy)z = x(yz) ,
(F.5)
x(y + z) = xy + xz ,
(F.6)
Espaço Topológico
Para definir espaço topológico, é conveniente definir primeiro topologia.
Seja X um conjunto qualquer e seja T um conjunto de
subconjuntos de X. T é uma topologia em X se satisfaz
os seguintes axiomas:
1. X ∈ T , ∅ ∈ T
2. A, B ∈ T =⇒ (A ∪ B) ∈ T
3. A, B ∈ T =⇒ (A ∩ B) ∈ T
Nestas condições, denominanos espaço topológico ao par
ordenado (X, T ).
Os elementos de T são denominados T -abertos ou simNote que os termos adição e multiplicação aqui não se
referem, em princı́pio, às correspondentes operações com plesmente abertos. Portanto, para sabermos se um conjunto é aberto ou não, precisamos ter definida uma toponúmeros reais.
logia.
(y + z)x = yx + zx .
(F.7)
Anel com Identidade
F.3.7
Seja X um anel. Se
∃e ∈ X | ex = xe = x, ∀x ∈ X ,
Considerações Gerais
Podemos considerar uma estrutura algébrica como um par
(F.8) ordenado
então diz-se que X é um anel com identidade (unidade).
((A1 , ..., An ) , (P1 , ..., Pp ))
em que o primeiro elemento é uma n-upla ordenada de
conjuntos e o segundo elemento é uma p-upla ordenada de
Elemento Regular de um Anel Com Identidade
relações envolvendo os conjuntos da n-upla.
Seja X um anel com identidade (e). Se para um dado
Por exemplo, um grupo é um par ordenado (G, f ) tal
x ∈ X existe um elemento inverso frente à multiplicação, que f : G × G → G satisfaz os axiomas de grupo.
isto é,
Um anel é um par ordenado (R, (fa , fm )) tal que
∃x−1 | x−1 x = xx−1 = e ,
(F.9)
então diz-se que x é regular, ou invertı́vel, ou não singular.
F.3.4
fa : R × R → R ,
fm : R × R → R ,
Corpo
(R, fa ) é um grupo abeliano e fm satisfaz os postulados
Um anel com identidade é um corpo se todos os seus eleda multiplicação em um anel.
mentos exceto o zero (elemento neutro da adição) forem
Um módulo é um par ordenado
regulares.
((X, R), (fg , fa , fm , fe ))
F.3.5
Módulo e Espaço Vetorial
tal que (X, fg ) é um grupo abeliano, (R, (fa , fm )) é um
Um módulo X sobre um anel R é um grupo abeliano anel e f : R × X → X satisfaz às demais propriedades
e
X juntamente com uma operação externa, chamada de dos módulos.
multiplicação por escalar, R × X → X, denotada por
Um espaço vetorial (ou espaço linear) é um módulo
(α, x) 7→ αx, tal que (∀α, β ∈ R, ∀x, y ∈ X)
α(x + y) = αx + αy ,
(F.10)
((X, R), (fg , fa , fm , fe )) ,
tal que (R, (fa , fm )) é um corpo. Os elementos de X são
(F.11) denominados vetores. A coleção de todos os espaços lineares possı́veis será denotada por V.
(αβ)x = α(βx) .
(F.12)
Um espaço topológico, no contexto de estruturas algéOs elementos de R são chamados de escalares neste con- bricas, pode ser expresso como ((X, T ), ∅), onde T é uma
texto. Se R é um corpo, o módulo é chamado de espaço topologia em X. Assim, os espaços topológicos também
vetorial.
podem ser considerados estruturas algébricas.
(α + β)x = αx + βx ,
84
F.3.8
Exercı́cios
F.4.2
1. Considere a estrutura algébrica denotada por (R, +),
isto é, o conjunto dos números reais dotados da
operação de adição usual.
Subconjunto
A é subconjunto de B, isto é, A ⊂ B, se cada elemento de
A é também elemento de B. Em linguagem formal:
(A ⊂ B) ≡ (∀x ∈ A, x ∈ B) .
(F.15)
(a) Esta estrutura algébrica é um grupo?
F.4.3
(b) É um grupo abeliano?
União
(c) É um anel?
A união de A com B (A ∪ B) é o conjunto formado por
todos os elementos de A e mais os elementos de B. Em
2. Considere a seguinte estrutura algébrica: (X, f ), com linguagem formal (o sı́mbolo ∨ significa “ou”):
X = {a, b, c} e
(A ∪ B) ≡ {x|x ∈ A ∨ x ∈ B} .
(F.16)
f = {((a, a), a), ((a, b), b), ((a, c), c),
((b, a), b), ((b, b), c), ((b, c), a),
((c, a), c), ((c, b), a), ((c, c), b)} . (F.13)
Uma outra forma mais clara de se expressar f é por
meio da seguinte tabela de operação:
f
a
b
c
a
a
b
c
b
b
c
a
F.4.4
Intersecção
A intersecção A∩B de dois conjuntos é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a ambos os conjuntos. Em linguagem formal (o sı́mbolo ∧ significa “e”):
(A ∩ B) ≡ {x|x ∈ A ∧ x ∈ B} .
c
c
a
b
F.4.5
Por exemplo, para determinar-se bc procura-se a intersecção da linha b com a coluna c, encontrando-se a
como resultado. Em que estruturas algébricas (X, f )
se encaixa?
3. Seja a estrutura algébrica E = (R, (+, ∗)), onde R é o
conjunto dos números reais, + é a operação de adição
de reais e ∗ é a operação de multiplicação de reais.
Diferença
A diferença A − B de dois conjuntos é o conjunto formado
pelos elementos de A que não pertencem a B. Em linguagem formal:
(A − B) ≡ {x|x ∈ A ∧ x 6∈ B} .
(F.18)
Outra forma de expressar-se a declaração acima é:
(A − B) ≡ {x ∈ A|x 6∈ B} .
F.4.6
(a) E é um anel?
(F.17)
Diferença Simétrica
A∆B ≡ (A − B) ∪ (B − A) .
(b) E é um módulo?
(F.19)
(F.20)
(c) E é um anel com identidade?
F.4.7
(d) E é um corpo?
Complemento
Seja A ⊂ X. O complemento de A em relação a X é
F.4
Conceitos Adicionais
X\A ≡ X − A .
(F.21)
Nas seções anteriores, utilizamos alguns conceitos sem
defini-los. Entre estes conceitos, estavam os de relação de F.4.8 Comentário Adicional sobre Relações
igualdade, subconjunto e o conceito de conjunto dos números reais. O conceito de número real será apresentado
Sejam R ⊂ A × B, a ∈ A e b ∈ B. A notação aRb
formalmente mais tarde.
significa: “O par ordenado (a, b) pertence à relação R.”
Agora, veremos alguns dos conceitos básicos que utiliFormalmente:
zamos sem definir. Apresentaremos também uma breve
introdução à lógica formal.
(aRb) ≡ ((a, b) ∈ R) .
(F.22)
Convém mencionar que algumas definições que apresentamos aqui não são consensuais. O importante é que haja
F.4.9 Relação de Igualdade
coerência em relação às definições feitas.
Seja A um conjunto qualquer. A relação de igualdade em
A é o conjunto
F.4.1 Conjunto Vazio
É o conjunto ∅ sem elementos. Em linguagem formal:
∅ | 6 ∃x ∈ ∅ .
IdA ≡ {(a, a)|a ∈ A} .
(F.14) Denota-se a afirmação (a, b) ∈ IdA por a = b.
(F.23)
F.5. PRIMEIRAS DEFINIÇÕES EM LÓGICA FORMAL
F.4.10
Conjunto Potência
Seja A um conjunto. O conjunto de todos os subconjuntos de A, o qual denotaremos por P (A), é chamado de
conjunto potência.
F.4.11
Grupóide e Semigrupo
Um grupóide é uma estrutura algébrica (G, f ), com f :
G × G → G. Um grupóide é um semigrupo quando a
operação f é associativa.
F.5
F.5.1
Primeiras Definições em Lógica Formal
Malha
1
Uma malha é uma estrutura algébrica (A, (∨, ∧)), onde
∨ : A × A → A e ∧ : A × A → A, que satisfaz aos seguintes
axiomas ∀a, b, c ∈ A:
1. Idempotência:
a ∨ a = a,
85
(a) 0 ∨ a = a, a ∧ 1 = a.
(b) a ∨ ¬a = 1 e a ∧ ¬a = 0.
É interessante considerar o caso particular em que B
tem exatamente dois elementos, que poderemos denotar
por 0 e 1, no qual definimos as seguintes operações (que
expressamos aqui por meio de tabelas de Cayley):
1. ∨ : B × B → B (operação “ou”):
∨
0
1
0
0
1
1
1
1
ou, equivalentemente,
∨ ≡ {((0, 0), 0), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)} .
(F.26)
2. ∧ : B × B → B (operação “e”):
∧
0
1
0
0
0
1
0
1
a ∧ a = a.
ou, equivalentemente,
2. Comutatividade:
a ∨ b = b ∨ a,
a ∧ b = b ∧ a.
∧ ≡ {((0, 0), 0), ((0, 1), 0), ((1, 0), 0), ((1, 1), 1)} .
(F.27)
3. ¬ : B → B (operação “não”), ¬ ≡ {(0, 1), (1, 0)}.
Com base nas aplicações ∧ e ¬, podemos definir diversas
outras (incluindo ∨).
3. Associatividade:
a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c ,
1. (a ∨ b) ≡ ¬(¬a ∧ ¬b) (operação “ou”).
a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c .
2. (a =⇒ b) ≡ ¬a ∨ b (operação “implica”),
4. Absortividade:
a ∧ (a ∨ b) = a ,
a ∨ (a ∧ b) = a .
F.5.2
Malha Distributiva
=⇒
0
1
0
1
0
1
1 .
1
Nota: Algumas vezes utilizamos a notação a → b ao
invés de a =⇒ b.
Os comentários a seguir se destinam a dar uma idéia de
temas um pouco mais avançados relacionados à lógica.
Podemos utilizar as álgebras booleanas como suportes
a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) .
(F.24)
de bases relacionais destinadas ao estudo da lógica das
proposições. Podemos fazer considerações como as que se
F.5.3 Álgebra Booleana
seguem (que tocarão em conceitos mais avançados do que
os que estamos estudando agora).
Uma álgebra booleana é uma estrutura algébrica
Seja (B, (∨, ∧, ¬)) uma álgebra booleana e seja P um
(B, (∨, ∧, ¬)) ,
(F.25) conjunto de proposições que podem ser classificadas como
verdadeiras ou falsas sem ambigüidade (no qual as operacom ¬ : A → A, tal que
ções de composição de proposições sejam internas), isto é,
podemos encontrar uma função (compatı́vel com o espaço
1. (B, (∨, ∧)) é uma malha distributiva.
de significados utilizado para construir as proposições)
2. Existem dois elementos de B que denotaremos por 0 v : P → B que preserva as operações de composição de
proposições (∀x, y ∈ P ):
e 1 tais que, ∀a ∈ B,
Uma malha (A, (∨, ∧)) é distributiva se, ∀a, b, c ∈ A,
1 Em
inglês: lattice.
v(x ∧ y) = v(x) ∧ v(y) ,
(F.28)
86
v(x ∨ y) = v(x) ∨ v(y) ,
(F.29)
F.8
Grupos
v(¬x) = ¬v(x) ,
(F.30) Os princı́pios de conservação são extremamente importantes na expressão formal das leis da Natureza. No século
v(x → y) = v(x) → v(y) .
(F.31) XX, descobriu-se que cada lei de conservação está associNote-se que a operação ∧ que aparece em x ∧ y não é ada a uma simetria (cujo conceito veremos a seguir). Os
a mesma que aparece em v(x) ∧ v(y). O mesmo vale para grupos são especialmente úteis no estudo das simetrias.
— Uma simetria de um sistema é uma transformação
as demais aplicações definidas em termos de ∧ e ¬.
frente à qual o sistema é invariante. Em outras palavras,
o sistema não se altera quando lhe aplicamos uma transformação de simetria.
F.6 Exercı́cios
1. (P (A), (∪, ∩)) é uma malha? Em caso afirmativo, é
uma malha distributiva?
F.8.1
Exercı́cios
Um Grupo de Simetrias
2. Considere a estrutura ({0, 1}, (∨, ∧, ¬)). Construa a
Considere a seguinte forma bidimensional com certa oritabela de Cayley das seguintes operações:
entação e posição em relação ao plano em que se encontra:
f (a, b) ≡ a ∨ (a =⇒ b) ,
a∨ b ≡ (a ∨ b) ∧ ¬(a ∧ b) .
3. A expressão a ⇐⇒ b significa que a =⇒ b e b =⇒ a.
Determinaremos o grupo de simetrias desta figura. Um
Construa a tabela de Cayley (neste caso chamada de grupo é um conjunto munido de uma operação interna
tabela verdade) desta operação.
que satisfaz às caracterı́sticas que estudamos. O grupo de
simetrias da figura acima é o conjunto destas simetrias e
uma operação interna neste conjunto.
F.7 Revisão
As simetrias mencionadas são as seguintes:
Dentre os conceitos vistos até agora, convém destacar os
seguintes:
1. Produto cartesiano.
2. Relação.
3. Função.
4. Operação interna e operação externa.
Vimos também conceitos um pouco mais complexos
como o de estrutura algébrica. Definimos as seguintes estruturas algébricas:
1. Grupóide.
2. Semi-grupo.
3. Grupo.
4. Anel.
5. Módulo.
6. Espaço vetorial.
7. Topologia.
8. Álgebra booleana.
Agora, convém darmos alguma atenção a exemplos e
exercı́cios.
1. Giro de 360◦ , que denotaremos por I.
2. Giro de 180◦ , que denotaremos por G.
3. Reflexão (imagem de espelho) em relação a um eixo
vertical que passa pelo centro da figura, que denotaremos por RV .
4. Reflexão em relação a um eixo horizontal que passa
pelo centro da figura, que denotaremos por RH .
Ao conjunto destas simetrias chamaremos de S:
S ≡ {I, G, RV , RH } .
Se aplicarmos sucessivamente duas das transformações
de S à figura, obteremos como resulado uma outra transformação pertencente a S.
Vamos agora definir a seguinte operação entre elementos
de S:
— Sejam a, b ∈ S. O “produto” ab será a transformação
resultante de aplicar a transformação b e depois a.
Por exemplo: II = I, GG = I, RH RV = G.
Para visualizarmos melhor o resultado de cada transformação, podem ser colocadas marcas (as quais, destroem
simetrias) sobre a figura:
c
s
Com a aplicação de G, por exemplo, a figura adquire o
seguinte aspecto:
F.11. OPERAÇÕES N-ÁRIAS
87
s
que está no estado 0. Quando estiver ligado, diremos que
está no estado 1. O mesmo se aplica à lampada do sistema.
Agora note que a corrente elétrica não pode percorrer o
c
circuito a menos que ambos os interruptores a e b estejam
ligados (isto é, a = b = 1). Portanto, a lâmpada só estará
1. Construa a tabela da Cayley para a operação que aca- acesa neste caso. A tabela de Cayley, ou tabela verdade,
para este circuito será:
bamos de definir.
2. Mostre que (S, f ), onde f é a operação da qual estamos falando, é um grupo aplicando os critérios usuais,
que são os seguintes:
(a) Verifique se f é uma operação interna em S, isto
é, ∀a, b ∈ S, ab ∈ S.
(b) Verifique se existe o elemento neutro.
(c) Verifique se cada elemento tem seu inverso.
(d) Verifique se a operação é associativa.
3. Se esta estrutura é realmente um grupo, verifique se
é abeliano.
F.9
Topologia: Exercı́cio
lâmpada
a=0
a=1
b=0
0
0
b=1
0
1
Esta tabela é a mesma para a correspondente operação
∧ que definimos anteriormente. Portanto, pdemos dizer
que este circuito é uma representação fı́sica da operação ∧
mencionada.
Se r denota o estado da lâmpada, podemos expressar o comportamento deste circuito por meio da seguinte
equação:
r = a ∧ b.
F.10.1
Exercı́cios
Seja S o conjunto definido para os exercı́cios acima e seja
Agora, suponhamos que os dois interruptores estão em
P (S) o seu conjunto potência.
paralelo (ao invés de em série):
P (S) é uma topologia em S? Explique sua resposta.
F.10
Álgebra Booleana
a
s s
s s
Uma das muitas aplicações das álgebras booleanas diz
respeito à possibilidade de produzir circuitos eletrônicos
digitais (ou lógicos), como calculadoras, computadores,
b
relógios, etc.
Consideremos mais uma vez aquele caso particular de
álgebra booleana que mencionamos: ({0, 1}, ∨, ∧, ¬).
1. Construa a tabela verdade deste dispositivo.
Imaginemos o seguinte dispositivo: De uma pilha (1.5
V) partem dois fios. O fio ligado ao pólo negativo (que
2. Identifique a operação correspondente em MAT00003.
consideraremos com potencial 0) está ligado diretamente
a uma lâmpada. O segundo fio passa por um certo dispo3. Escreva a equação do circuito.
sitivo antes de chegar à lâmpada.
O dispositivo mencionado será uma combinação de interruptores. Esta combinação será diferente para cada um
dos propósitos que mencionaremos logo a seguir e o sis- F.11
Operações n-árias
tema funcionará como uma calculadora binária muito rudimentar. Embora simples, esta calculadora servirá para Antes de prosseguirmos, convém definir um conceito básiexemplificar a aplicação de princı́pios da álgebra booleana co: o de operação n-ária.
para a construção de circuitos digitais.
— Qualquer aplicação (isto é, função) do tipo
Imaginemos que o dispositivo de que estamos falando
é formado por dois interruptores ligados em série como
An → A
indica a figura abaixo:
chama-se operação (interna) n-ária.
Quando definimos operação interna, estávamos nos resa
b
tringindo a operações binárias (n = 2). Agora podemos
considerar que, ao falarmos de operação interna, sem menAs hastes erquidas indicam interruptores que podem ser cionar a ordem (n), estaremos nos referindo à ordem 2.
ligados (abaixando as hastes) ou desligados (erguendo as Quando n = 1, isto é, quando a aplicação é do tipo A → A,
hastes). Quando um interruptor estiver desligado, diremos dizemos que a operação é unária.
s
s
88
F.11.1
Uma Álgebra Booleana
Com p1 e p2 também podemos formar a seguinte proposição:
Neste estudo, continuaremos tratando de alguns usos das
— A afirmação p1 é verdadeira ou a afirmação p2 é verálgebras booleanas. Mais expecificamente, continuaremos dadeira. Em outras palavras, afirmamos que pelo menos
utilizando o seguinte caso particular:
uma destas duas proposições (p1 e p2 ) é verdadeira.
Formalmente, podemos utilizar a notação:
B = (B, (∨, ∧, ¬)) , B = {0, 1} ,
(F.32)
∨
0
1
0
0
1
1
1 ,
1
∧
0
1
0
0
0
1
0 ,
1
0
1
p4 = p1 ∨ p2 .
¬
1 .
0
(F.37)
Neste caso, estamos atribuindo ao sı́mbolo ∨ o significado “ou”.
Podemos também negar uma afirmação:
Conforme já vimos, pelas definição de função que esta— Não é verdadeira a afirmação p1 (isto é, a afirmação
mos utilizando, a primeira tabela equivale a
p1 é falsa).
Formalmente, podemos utilizar a notação:
∨ ≡ {((0, 0), 0), ((0, 1), 1), ((1, 0), 1), ((1, 1), 1)} . (F.33)
p5 = ¬p1 .
(F.38)
Esta expressão (que explicita uma operação binária)
significa que ao par (0, 0), está associado o valor 0; a cada
Com isto, estamos atribuindo o significado “não” ao
um dos demais pares ordenados está associado o valor 1.
sı́mbolo
¬.
A segunda tabela (que também explicita uma operação
Consideremos
agora a ligação que podemos fazer entre
binária) é equivalente a
o que vimos sobre álgebras booleanas, em particular a es∧ ≡ {((0, 0), 0), ((0, 1), 0), ((1, 0), 0), ((1, 1), 1)} . (F.34) trutura B, e o que acabamos de ver.
Seja P a classe2 das proposições. As afirmações pi que
Esta expressão significa que o valor 0 está associado a mencionamos são elementos de P , isto é, pi ∈ P .
todos os pares ordenados exceto ao par (1, 1), ao qual está
Por definição, os elementos de P (as proposições) são
associado o valor 1.
tais que pode-se atribuir sem ambigüidade um valor lógico
A terceira tabela (que explicita uma operação unária) (isto é, verdadeiro ou falso) a cada um deles. Se expressarequivale a
mos o valor lógico verdadeiro pelo sı́mbolo 1 e o valor falso
¬ ≡ {(0, 1), (1, 0)} .
(F.35) pelo sı́mbolo 0, podemos utilizar o conjunto B = {0, 1}
Isto significa que ao valor 0 está associado o valor 1 e como o conjunto dos valores lógicos. Formalmente, isto
ao valor 1 está associado o valor 0, isto é, ¬0 = 1, ¬1 = 0. equivale a dizer que existe uma função do tipo v : P → B,
isto é, dada uma proposição p, podemos determinar seu
valor lógico v(p).
F.12
Lógica das Proposições
Já vimos uma forma simples de correlacionar a álgebra booleana B (ver acima) com a construção de circuitos lógicos.
Estes circuitos são chamados de lógicos porque os valores
de tensão elétrica relevantes são apenas dois, do tipo ligado ou desligado que, por sua vez, podem ser associados
a valores do tipo verdadeiro ou falso. Os conceitos de
verdadeiro e falso estão intimamente relacionados ao que
conhecemos filosoficamente por lógica.
Neste momento, reduziremos o rigor matemático para
facilitar uma compreensão um pouco mais intuitiva.
Vamos chamar de proposições a afirmações às quais pode ser atribuı́do um valor verdadeiro ou falso sem ambigüidade.
Dadas algumas proposições, podemos combiná-las para
formar proposições compostas (também chamadas de complexas). Por exemplo, dadas duas proposições p1 e p2 ,
podemos montar uma terceira da seguinte forma:
— A afirmação p1 é verdadeira e a afirmação p2 também
é verdadeira.
A esta afirmação composta, podemos chamar de p3 .
Formalmente, podemos utilizar o sı́mbolo ∧ para denotar a operação “e”. Podemos expressar esta composição
de proposições da seguinte maneira:
p3 = p1 ∧ p2 .
(F.36)
F.12.1
Exercı́cios
Procure entender o significado das seguintes equações
e encontre uma maneira de mostrar que são verdadeiras.
Ao fazer uma composição de proposições, utilize os significados que acabamos de propor para os sı́mbolos ∨ (ou),
∧ (e), e ¬ (não). Ao fazer cálculos com valores lógicos,
utilize as tabelas apresentadas na introdução.
1. v(p1 ∨ p2 ) = v(p1 ) ∨ v(p2 ).
2. v(p1 ∧ p2 ) = v(p1 ) ∧ v(p2 ).
3. v(¬p) = ¬v(p).
F.12.2
Outras Operações Lógicas
Podemos compor proposições de outras maneiras. Por
exemplo:
— Implicação: p1 implica em p2 . Em outras palavras,
a proposição p2 é verdadeira sempre que a afirmação p1 é
verdadeira. Notação:
p6 = (p1 =⇒ p2 ) .
2A
(F.39)
rigor, o termo conjunto não é sinônimo de classe. Entretanto, para nossos propósitos locais, podemos considerar estas palavras como sinônimos.
F.12. LÓGICA DAS PROPOSIÇÕES
89
Como já vimos,
Caso 2
(p1 =⇒ p2 ) = (¬p1 ∨ p2 ) .
(F.40)
Se r é verdade, muitos concluem que a afirmação
t ≡ (b =⇒ a)
(F.44)
— Ou exclusivo: uma e somente uma das proposições
p1 e p2 é verdadeira. Em outras palavras, a afirmação também é verdadeira, isto é, concluem que r =⇒ t.
composta diz que ou p1 é verdadeira ou p2 é verdadeira,
Em palavras, “se o indivı́duo X morreu, então satisfez
mas não ambas. Notação:
à afirmação a” (isto é, satisfez às condições C e deixou de
respirar durante um intervalo de tempo ∆t). Obviamente,
p7 = p1 ∨p2 .
(F.41) tal conclusão é falsa, pois X pode ter morrido por outros
motivos.
F.12.3
Exercı́cios
Exercı́cio
1. Mostre que (p1 =⇒ p2 ) = (¬p1 ∨ p2 ).
Construa as tabelas verdade de s e t.
Sugestão: construa ambas as tabelas verdade e verifique que são iguais.
2. Mostre que se a =⇒ b então ¬b =⇒ ¬a, isto é, estas duas operações têm a mesma tabela verdade em
relação a a e b. Em outras palavras, você estará demonstrando que
(a =⇒ b) =⇒ (¬b =⇒ ¬a) .
F.12.4
Uma Falácia
Costumo utilizar o termo falácia como uma referência a
um tipo de raciocı́nio falso, mesmo que em muitos casos o
tal tipo de raciocı́nio leve a conclusões corretas. Vamos ver
daqui há pouco uma falácia (classe de raciocı́nios falsos)
que podemos denominar de falácia da implicação.
Vamos considerar a proposição composta r definida por
r ≡ (a =⇒ b) ,
(F.42)
e aplicar a um exemplo. O exemplo será o seguinte:
• a = “Sob um conjunto de condições C, um indivı́duo
X deixa de respirar durante um certo intervalo de tempo
∆t.”
• b = “O indivı́duo X morre.”
A proposição r é: “Se a então b.”
Vamos ver exemplos de raciocı́nios falsos envolvendo a
proposição r.
Caso 1
Muitas pessoas, ao saberem que a afirmação r é verdadeira, concluem que a afirmação
s ≡ (¬a =⇒ ¬b)
(F.43)
também é verdadeira, isto é, concluem que r =⇒ s.
Em palavras, “se o indivı́duo X não satisfaz às condições
impostas por a, ele não morre”. Esta idéia é falsa, pois X
pode morrer por outros motivos, sem que a seja verdade.
Por outro lado, conforme um exercı́cio que propusemos
há pouco, se b não se verifica então podemos afirmar que
a também não se verifica.
90
Apêndice G
Números Reais e Complexos
G.1
Introdução
G.2.3
No apêndice F não definimos cada um dos conceitos fundamentais que utilizamos. Tivemos apenas uma visão panorâmica de fundamentos matemáticos. Entretanto, é instrutivo encararmos os números reais do ponto de vista de
estruturas algébricas. O estudo dos números reais pode
se tornar bastante complexo, dependendo dos objetivos e
métodos de quem conduz a investigação. Facilmente podemos nos perder em um intrincado processo para evitar
definições circulares. Não nos preocuparemos com isso,
uma vez que apenas queremos apresentar uma idéia dos
principais conceitos envolvidos, evitando um excesso de
rigor (que implicaria em um texto muito longo).
Em outras palavras, para proporcionar uma idéia mais
rapidamente assimilável, limitamos a coerência deste estudo. Ele deve ser visto apenas como um exercı́cio de
pensamento no sentido de preparar a intuição para um
possı́vel futuro estudo verdadeiro do assunto.
Iniciamos com comentários ao estilo “colcha de retalhos”, com o objetivo de apresentar uma visão panorâmica
de princı́pios motivadores da definição de números reais.
Em seguida, apresentamos axiomas dos números reais.
G.2
Números Naturais
Antes de nos envolvermos com os números reais, em geral,
vamos nos deter um pouco no conjunto dos números naturais. Associaremos o conceito de número natural com o
de cardinalidade.
Para definirmos números naturais, precisaremos de alguns conceitos auxiliares, que veremos a seguir.
G.2.1
Classe de Equivalências
Seja R uma relação de equivalência definida em um conjunto A (R ⊂ A × A).
A classe de equivalências de x ∈ A, denotada por [x], é
o conjunto {y | (x, y) ∈ R}.
G.2.4
Cardinalidade e Equipotência
Dizemos que dois conjuntos são equipotentes quando pode
ser definida uma aplicação biunı́voca (isto é, um-um) e
sobrejetora entre eles.
Consideremos uma classe de conjuntos e verifiquemos a
relação de equipotência entre conjuntos. Notaremos que
ela é reflexiva, simétrica e transitiva. Logo, a equipotência
é uma relação de equivalência.
À classificação de um conjunto em termos da classe de
equivalências a que pertence em relação à equipotência,
denominamos cardinalidade do conjunto.
A cada cardinalidade possı́vel, denominamos número
cardinal.
Aqui, consideraremos (sem muito rigor) como cardinais
finitos à classe de equivalências do conjunto vazio ([∅]) e
às classes de equivalências dos conjuntos obtidos a partir
do vazio pela inclusão de um elemento por vez.
Aos cardinais finitos denominamos de números naturais.
Denotaremos a cardinalidade de um conjunto A pelo
sı́mbolo |A|.
Podemos definir os seguintes sı́mbolos:
0 ≡ |∅| ,
1 ≡ |{a}| ,
2 ≡ |{a, b}| ,
3 ≡ |{a, b, c}| ,
4 ≡ |{a, b, c, d}| ,
Aplicação Biunı́voca
5 ≡ |{a, b, c, d, e}| ,
Seja f : A → B uma aplicação. Se cada b ∈ B comparece
no máximo uma vez em f , então dizemos que f é uma
aplicação biunı́voca.
6 ≡ |{a, b, c, d, e, f }| ,
7 ≡ |{a, b, c, d, e, f, g}| ,
8 ≡ |{a, b, c, d, e, f, g, h}| ,
G.2.2
Aplicação Sobrejetora
Seja f : A → B uma aplicação. Se cada b ∈ B comparece
no mı́nimo uma vez em f , então dizemos que f é uma
aplicação sobrejetora.
9 ≡ |{a, b, c, d, e, f, g, h, i}| .
Com estes sı́mbolos, podemos construir um esquema
para representar qualquer número natural, com base nas
operações que mencionaremos a seguir. Usualmente, trabalhamos com um sistema posicional de base 10.
91
92
APÊNDICE G. NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS
G.3
Operações com Cardinais
G.3.1
Operações Básicas
Sejam dois conjuntos A e B tais que A ∩ B = ∅ e sejam
m = |A| e n = |B|.
Neste caso, podemos definir as operações de adição e
multiplicação entre cardinais respectivamente da seguinte
forma:
m + n ≡ |A + B| ,
m · n ≡ |A × B| .
Notemos que a adição tem elemento neutro e é associativa e comutativa. A multiplicação também possui elemento neutro, é associativa, comutativa e distributiva em
relação à adição.
Notemos também que estas operações não admitem elementos inversos pertencentes aos cardinais da forma como
os definimos. Isto nos servirá de chave para a expansão
dos números naturais em outros conjuntos mais ricos.
G.3.2
Radiciação
Podemos definir a radiciação em termos da potenciação:
√
n
x = y ⇐⇒ y n = x .
√
√
x ≡ 2 x.
A radiciação√não é uma operação interna aos racionais.
Por exemplo, 2 não é um racional (é um irracional).
G.3.3
Considerações Gerais
Todas estas idéias, e ainda outras que não mencionamos
aqui por falta de tempo, nos sugerem algo sobre a construção do conceito de números reais. Podemos organizar
os conceitos na forma de estruturas algébricas, isto é, conjuntos dotados de relações internas que satisfazem a certos
axiomas.
Depois, poderemos utilizar estes axiomas para comparar
os números reais com outras estruturas algébricas que já
vimos.
Operações Secundárias
Podemos definir outras operações a partir das elementares
(ou básicas).
G.4
Números Reais
G.4.1
Axiomas
Subtração
Os números reais são os elementos de um conjunto dotado
Definimos a subtração (−) em termos da adição da se- de duas operações internas, chamadas respectivamente de
guinte forma:
adição ((x, y) 7→ x + y) e multiplicação ((x, y) 7→ xy),
e uma relação de ordenamento — formando uma estruy − x = z ⇐⇒ x + z = y .
tura algébrica (R, (+, ∗, <)) — satisfazendo aos seguintes
axiomas (x, y, z ∈ R):
Como a subtração não é uma operação interna aos
naturais, encontramos outro conjunto de números — os
1. Comutatividade:
números inteiros negativos: o sı́mbolo −x denota 0 − x.
À união do conjunto dos inteiros negativos com os natux + y = y + x , xy = yx .
rais, chamaremos simplesmente de conjunto dos números
inteiros.
2. Associatividade:
Divisão
x + (y + z) = (x + y) + z ,
Definimos a divisão (/) em termos da multiplicação da
seguinte forma:
y/x = z ⇐⇒ x · z = y .
Notemos que, se x = 0 (isto é, x = |∅|), então x · z = 0,
pois ∅ × A = ∅, ∀A. Portanto, y/0 é algo sem sentido.
Como a divisão não é uma operação interna aos inteiros,
encontramos o conjunto dos números racionais, que são os
que podem ser expressos por x/y, sendo x e y inteiros e
y 6= 0.
Potenciação
x(yz) = (xy)z .
3. Distributividade:
x(y + z) = xy + xz .
4. x, y ∈ R =⇒ ∃z | x + z = y . Então, denota-se z =
y − x.
0 ≡ x − x.
0 é independente de x.
−x ≡ 0 − x .
Podemos definir a potenciação (com potência inteira) em
termos de iterações da multiplicação. Sendo n um número
natural e x um número racional, podemos definir:
5. ∃x 6= 0 . x, y ∈ R =⇒ ∃z | xz = y . Então, denota-se
z = y/x.
1 ≡ x/x , x 6= 0 .
n fatores
n
}|
{
z
x ≡ x · x · x · ... · x .
x−1 ≡ 1/x ,
x 6= 0 .
G.6. NÚMEROS COMPLEXOS
6. Uma, e somente uma das proposições a seguir é verdadeira para cada um dos pares de números reais (x, y):
(a) x = y.
(b) x < y.
(c) y < x.
Nota: Utilizaremos a notação (x > y) ≡ (y < x) .
7. x < y =⇒ x + z < y + z ∀z ∈ R.
8. (x > 0) ∧ (y > 0) =⇒ (xy > 0).
9. (x > y) ∧ (y > z) =⇒ (x > z).
10. Se ∅ =
6 A ⊂ R e A está acotado superiormente, então
A possui extremo superior (ver definições a seguir).
Notação: (x ≤ y) ≡ (x < y) ∨ (x = y).
G.4.2
Conceitos Auxiliares
Cota Superior
93
G.5.2
Conjunto Ordenado
Seja P um conjunto parcialmente ordenado, isto é, um
conjunto no qual definiu-se uma relação de ordenamento
parcial, que denotaremos por a b, para a, b ∈ P . P
é dito linearmente ordenado, ou totalmente ordenado ou
simplesmente ordenado se, ∀a, b ∈ P , a b ou b a.
No caso dos números reais, esta relação é “≤”, cujas
propriedades podem ser obtidas dos axiomas envolvendo
“<”.
G.5.3
Corpo Arquimediano
Seja um corpo (K, (+, ∗)) e seja uma norma | | : K → R.
(K, (+, ∗, | |)) é um corpo arquimediano se, ∀a, b ∈ K:
1. 0 ≤ |a|; |a| = 0 =⇒ a = 0.
2. |ab| = |a||b|.
3. |a + b| ≤ |a| + |b|.
No caso dos números reais, a norma é do tipo | | : R →
R.
G.5.4
Outras Considerações
Seja A ⊂ R. Se existe x ∈ R tal que ∀a ∈ A ocorre que
a ≤ x, diz-se que x é uma cota superior para A e que A O termo “completo”, que usamos para classificar os reais,
equivale ao axioma 10.
está acotado superiormente.
O assunto dos números reais, que aqui tratamos apenas
superficialmente e sem muito rigor, é bastante rico. TrataExtremo Superior
se de um importante instrumento de trabalho teórico.
Embora os números reais não sejam essenciais para a
Seja A ⊂ R acotado superiormente e seja x uma cota
Matemática,
eles o são à Fı́sica e a todas as suas descensuperior para A. Se, para qualquer outra cota superior
dentes
(Quı́mica,
Biologia, etc.), isto é, às ciências aplicay para A é verdade que x ≤ y, então diz-se que x é um
das.
extremo superior do conjunto A.
Daqui por diante faremos uso intensivo dos números
reais e de sua extensão imediata: os números complexos.
G.5
Estrutura dos Reais: Corpo
Abeliano Arquimediano Or- G.6 Números Complexos
denado Completo
A radiciação de
√números reais não é uma operação interna.
O conjunto dos números reais, juntamente com as relações
internas definidas e uma norma induzida pela subtração,
é um corpo arquimediano ordenado completo. A norma
da qual falamos é a função | | mencionada mais adiante,
quando definimos corpo arquimediano.
Nas próximas subseções, veremos o significado dos termos que acabamos de utilizar.
G.5.1
Corpo
Por exemplo, −4 não é um número real, pois não existe
x ∈ R tal que x2 = −4.
G.6.1
Definição
O conjunto dos números complexos C é o conjunto dos
pares ordenados de números reais (x1 , x2 ), munido das
operações de adição e multiplicação que se relacionam
às operações correspondentes nos reais da seguinte forma
(x ≡ (x1 , x2 ) e y ≡ (y1 , y2 )):
x + y = (x1 + y1 , x2 + y2 ) ,
É um anel com identidade em que todos os elementos, exceto o 0 (elemento neutro da adição), são regulares (admixy = (x1 y1 − x2 y2 , x1 y2 + x2 y1 ) .
tem inverso frente à multiplicação). A estrutura algébrica
(R, (+, ∗)) (números reais munidos das operações usuais
Note, por exemplo, que (0, 1)2 = (−1, 0) e que (0, 2)2 =
de adição e multiplicação) é um corpo.
(−4, 0). Podemos identificar cada par do tipo (x1 , 0) com
Corpo abeliano é aquele no qual a multiplicação é co- o número real correspondente x1 . Neste caso, o conjunto
dos números reais passa a ser um subconjunto de C.
mutativa.
94
G.6.2
APÊNDICE G. NÚMEROS REAIS E COMPLEXOS
Notação para Complexos
Normalmente, utiliza-se a seguinte notação para os números complexos:
i ≡ (0, 1) ,
(G.1)
x1 + ix2 ≡ (x1 , x2 ) .
G.6.3
(G.2)
Complexo Conjugado
Seja z = (x, y) = x+iy um número complexo. O complexo
conjugado de z, denotado por z ∗ , é definido por
z ∗ ≡ (x, −y) = x − iy .
G.6.4
(G.3)
Norma de um Complexo
A norma de um número complexo é um número real não
negativo cujo quadrado é z ∗ z.
Em outras palavras, sep
z = x + iy, então z ∗ z = x2 + y 2 .
Logo, a norma de z será x2 + y 2 .
Apêndice H
O Caráter Exponencial do Decaimento
Radioativo
Sendo a a taxa de decaimento e sendo N o número de
nuclı́deos da amostra, vimos na seção 4.3.3 que
a = λN .
(H.1)
Mas a, por definição, é o número de nuclı́deos que se desintegram por unidade de tempo, isto é,
dN
.
dt
Juntas, estas duas equações implicam em
a = −
(H.2)
dN
= −λN .
(H.3)
dt
Esta é uma equação diferencial das mais simples de resolver:
Z
Z
1
1
dN = −λ dt =⇒
dN = − λdt
(H.4)
N
N
Z
=⇒ ln(N ) = − λ dt .
(H.5)
Se λ for constante ao longo do tempo, obtemos:
ln(N ) = −λ t + C ,
(H.6)
sendo C uma constante de integração. Disso resulta
N (t) = e−λt+C = eC e−λt .
(H.7)
Definindo N0 ≡ N (0), temos
N0 ≡ N (0) = eC .
(H.8)
Com isso, identificamos uma relação entre a constante de
integração e um parâmetro fı́sico que faz sentido. Esta
relação implica em
N (t) = N0 e−λt .
(H.9)
Esta é a famosa lei de decaimento exponencial.
Das hipóteses que utilizamos, a mais frágil parece ser a
de que λ não varia com o tempo, isto é,
dλ
= 0.
(H.10)
dt
Entretando, mesmo no cenário de Norman e Setterfield
esta hipótese parece bastante razoável (ver seção M.6),
mas as observações têm indicado que podem ocorrer variações em λ até por fatores quase surrealistas, como variações da distância entre a Terra e o Sol [27]!
95
96
APÊNDICE H. O CARÁTER EXPONENCIAL DO DECAIMENTO RADIOATIVO
Apêndice I
Leis de Newton
I.1
Enunciado
Esta é uma caracterı́stica importante da pesquisa cientı́fica legı́tima: novas teorias não invalidam as anteri1. Lei da inércia. Objetos sobre os quais a força resul- ores, mas podem funcionar como modelos mais precisos
tante é zero, não sofrem alteração no vetor velocidade, e/ou mais abrangentes.
É importante lembrar que teorias cientı́ficas não podv
F=0 →
= 0,
dem ser meras conjecturas, mas precisam de embasamento
dt
teórico (matemático) e experimental1 .
isto é, se a força resultante é nula, a taxa de variação
As leis de Kepler para o movimento planetário são menda velocidade em relação ao tempo também o será.
cionadas resumidamente a seguir.
2. Relação entre força e momentum. A força resultante
que atua em um objeto é igual à taxa de variação do
seu momentum (ou quantidade de movimento, p =
mv) em relação ao tempo:
F =
1. Órbitas elı́pticas. A órbita de cada planeta tem forma
elı́ptica, com o Sol ocupando um dos focos.
2. Lei das áreas. Uma linha unindo um planeta ao Sol
varre áreas iguais em intervalos de tempo iguais.
dp
.
dt
3. Ação e reação. Se a força total que A exerce sobre B
é FAB e a força total que B exerce sobre A é FBA ,
então
FAB = −FBA .
3. Relação entre perı́odo e semi-eixo maior. O quadrado
do perı́odo orbital de um planeta é proporcional ao
cubo do semi-eixo maior de sua órbita.
I.3
Leis de Newton Geram Leis de
4. Gravitação. Dados dois objetos puntiformes A e B
Kepler
com massas respectivamente iguais a mA e mB , sendo
r o vetor deslocamento de A para B, a força de gra- A tı́tulo de exemplo, deduzimos a segunda lei de Kepler a
vitacional exercida por B sobre A será dada por
partir das leis de Newton.
F =
GmA mB
r,
r3
I.3.1
sendo G uma constante universal.
Objetos Esfericamente Simétricos
Em primeiro lugar, nem o Sol e nem os planetas são puntiformes. entretanto, pode-se demonstrar que objetos esNote-se que a segunda lei pode ser interpretada como
fericamente simétricos comportam-se gravitacionalmente
a definição de força, e a primeira lei pode ser deduzida
como se fossem puntiformes para objetos em seu exterior.
da segunda. Esse tipo de constatação apenas nos mostra
Como tanto o Sol quanto os planetas são praticamente
que a teoria de Newton pode ser expressa de forma mais
esféricos, podemos usar a simetrioa esférica como uma
elegante, mas não indica que ela esteja errada.
aproximação muito boa. Além disso, a distância entre o
De fato, dentro de determinados limites, ela é uma exceSol e os planetas é tão grande que poderı́amos considerálente aproximação e é usada como referência na validação
los puntiformes de qualquer maneira.
de novas teorias.
Para demonstrar a equivalência entre o campo gravitacional de um objeto puntiforme e o campo externo produzido por um objeto com simetria esférica, vejamos qual é o
I.2 As Leis de Kepler
efeito gravitacional de uma casca esférica sobre um ponto
A partir das leis de Newton é possı́vel deduzir as leis de exterior.
Kepler para o movimento planetário. Portanto as leis de
1 Os postulados de uma teoria devem ser boas aproximações ou,
Newton formam um modelo mais abrangente do que o de se não forem testáveis, devem pelo menos gerar boas aproximações
de medidas acessı́veis à experimentação.
Kepler.
97
98
APÊNDICE I. LEIS DE NEWTON
Imaginemos a casca esférica C centrada na origem, com
raio a e massa M . Imaginemos um objeto puntiforme P
de massa m situado a uma distância R do centro da casca
esférica, sendo R > a. Sem perda de generalidade, P
colocado sobre o eixo z.
A densidade superficial de C é
σ =
M
.
4π a2
(I.1)
Cada elemento de superfı́cie dS terá uma massa
dM = σ dS .
a < R. Conforme já demonstramos, apenas a componente
z é não-trivial:
dFz = −
Gm
dM ,
R2
(I.11)
sendo dM a massa dessa camada. Como nem G, nem m
e nem R variam com M , é muito simples integrar esta
equação de ambos os lados:
Fz = −
GM m
,
R2
(I.12)
(I.2)
que é o comportamento gravitacional de um objeto puntiSendo r a posição desse elemento e R a posição do ob- forme situado no centro da esfera.
jeto puntiforme, a força gravitacional sofrida pelo objeto
I.3.2 A Segunda Lei de Kepler
puntiforme será:
dF =
G dM m
(r − R) .
|r − R|3
(I.3)
A projeção da força no plano xy terá componentes
dFx
=
dFy
=
dFz
=
σ G a3 m
sin2 θ cos φ dθ dφ ,
w3
σ G a3 m
sin2 θ sin φ dθ dφ ,
w3
σ G a2 m
sin θ (a cos θ − R) dθ dφ ,
w3
(I.4)
(I.5)
(I.6)
sendo
w ≡ |w| ≡ |r − R| =
p
a2 + R2 − 2aR cos θ .
As forças em x e y cancelam-se, pois
Z 2π
Z 2π
dFx =
dFy = 0 .
φ=0
(I.7)
(I.8)
φ=0
Resta-nos então calcular Fz .
Z π
Z 2π
σ G a2 m sin θ (a cos θ − R)
Fz =
dθ
2
2
3/2
θ=0
φ=0 (a + R − 2aR cos θ)
Z π
2π σ G a2 m sin θ (a cos θ − R)
=
dθ
(a2 + R2 − 2aR cos θ)3/2
θ=0
4π σ G a2 m
,
(I.9)
= −
R2
Conforme vimos, podemos tratar o Sol e os planetas como
se fossem objetos puntiformes para fins de obtenção das
leis de Kepler.
Uma outra aproximação válida neste ponto é a de considerar que o movimento do Sol praticamente não é afetado
pelos movimentos dos planetas. Neste caso, no referencial
do Sol, os planetas movem-se influenciados pelo campo
gravitacional fixo do Sol, centrado na origem.
A força sentida por um planeta de massa m na posição
r será
GM m
r.
(I.13)
F = −
r3
A aceleração de um planeta em sua órbita em torno do
Sol será
F
GM
a =
= − 3 r,
(I.14)
m
r
ou
GM
a = − 2 ur ,
(I.15)
r
sendo ur um vetor unitário que possui o mesmo sentido
de r. Note-se que a aceleração, assim como a força, não
tem componentes tangenciais (uθ e uφ ). Lembrando que
a =
dv
,
dt
(I.16)
Tomando como plano xy o plano da órbita de um planeta e como centro o Sol, podemos utilizar coordenadas
polares e suas relação com as cartesianas a fim de traduzir as equações acima em uma forma que nos permita
ou seja,
demonstrar a segunda lei de Kepler.
Usando ı̂ e ̂ como vetores unitários nos sentidos x e y
GM m
,
(I.10)
Fz = −
respectivamente,
podemos expressar suas relações com os
R2
vetores polares unitários:
que é exatamente o resultado que obterı́amos se subsur = ı̂ cos φ + ̂ sin φ ,
(I.17)
tituı́ssemos a casca esférica por um objeto puntiforme com
a mesma massa e posicionado no cento de C.
uφ = −ı̂ sin φ + ̂ cos φ .
(I.18)
Se, ao invés de uma casca esférica, tivermos uma esfera
Podemos agora expressar a em coordenadas polares:
com uma densidade que varia apenas com o raio (não com
θ ou φ), podemos decompô-la em uma infinidade de cascas
a = ar ur + aφ uφ
esféricas concêntricas de espessura dr e, após a integração,
d
obterı́amos o mesmo tipo de resultado.
=
(vr ur + vφ uφ )
Explicitamente, seja dF a força exercida sobre P por
dt
uma dessas camadas esféricas de espessura dr e raio r ≤
= v̇r ur + vr , u̇r + v̇φ uφ + vφ u̇φ ,
(I.19)
I.3. LEIS DE NEWTON GERAM LEIS DE KEPLER
sendo que o ponto sobre uma grandeza indica derivada em
relação ao tempo. Notemos que
u̇r
= φ̇ uφ ,
(I.20)
u̇φ
= −φ̇ ur .
(I.21)
Notemos também que
vr
vφ
dr
= ṙ ,
dt
= rφ̇ = rω ,
=
sendo ω ≡ φ̇.
Assim, a expressão para a aceleração se torna
a = r̈ − rω 2 ur + (2ṙω + rω̇) uφ .
(I.22)
(I.23)
(I.24)
De acordo com I.14, a aceleração não tem componente
angular (tangencial). Portanto
2ṙω + rω̇ = 0 ,
ou
2
Z
Z
ω̇
dr
dω
ṙ
= − =⇒ 2
= −
r
ω
r
ω
r
ω0
2 ln
,
= ln
r0
ω
(I.25)
(I.26)
(I.27)
sendo r0 e ω0 constantes de integração. Assim,
r2 ω = r02 ω0 ,
(I.28)
isto é, r2 ω é constante. Em termos de φ,
r2
dφ
= constante ,
dt
(I.29)
ou seja, r2 dφ é proporcional a dt:
r2 dφ ∝ dt .
(I.30)
Mas r2 dφ é o elemento de área dA varrida por uma linha
unindo o centro do Sol ao centro do planeta durante o
intervalo de tempo dt. Integrando,
Z
Z
dA ∝
dt =⇒ ∆A ∝ ∆t .
(I.31)
Esta é a segunda lei de Kepler.
99
100
APÊNDICE I. LEIS DE NEWTON
Apêndice J
A Mecânica Quântica
J.1
Introdução
J.2
Fundamentos Teóricos
Na teoria de Newton, as grandezas fı́sicas (entidades
mensuráveis) são representadas por números. Essa esEntre os enigmas que os fı́sicos tentavam resolver nas pri- tratégia funciona bem dentro de certos limites, mas falha
meiras décadas do século XX, estavam os seguintes.
no mundo microscópico. Em tais domı́nios, as grandezas
não têm as mesmas propriedades dos números reais. Foi
• Como é possı́vel que a luz apresente caracterı́sticas necessário encontrar outras estruturas algébricas capazes
de onda em alguns experimentos (interferência e di- de lidar com esse tipo de entidade.
fração) e caracterı́sticas de partı́cula em outros (efeito
Os espaços vetoriais estão entre as estruturas algébricas
compton, efeito fotoelétrico)?
adequadas para essa finalidade.
Neste contexto, estados fı́sicos (situações em que um
• Como podem existir átomos estáveis? O problema sistema pode se encontrar) são representados por vetores
é que, se os elétrons giram em torno do núcleo, de em um espaço vetorial. Grandezas são representadas por
acordo com as equações de Maxwell, eles deveriam operadores.
irradiar toda a sua energia cinética, colapsando sobre
Um operador sobre um espaço vetorial pode ser enteno núcleo: os átomos deveriam ser instáveis. Onde está dido como algo que transfoma um vetor em outro vetor.
o erro?
Em linguagem um pouco mais técnica, um operador P
sobre um espaço vetorial V é uma aplicação do tipo
Experimentos indicavam que não apenas a luz se comP :V →V.
(J.1)
porta como fenômeno ondulatório, mas todas as partı́culas
também se comportam como ondas em circunstâncias adequadas. As leis de Newton pareciam falhar no mundo dos Essa transformação representa o fato de que, ao medirmos
uma grandeza em certo sistema que se encontra em certo
átomos.
estado, tendemos a alterar o estado do sistema.
Dois grandes expoentes da pesquisa nessa área foram
Em estudos nesta área, é comum denotarmos vetores
Erwin Rudolf Josef Alexander Schrödinger (1887–1961) e
utilizando a notação de Dirac:
Werner Heisenberg (1901–1976).
Schrödinger deduziu uma equação diferencial que con|ai ,
(J.2)
seguia lidar razoavelmente bem com as tais ondas de partı́culas. Heisenberg encontrou uma estratégia matemática sendo que entre os sı́mbolos ‘|’ e ‘i’ escreve-se algo que
diferente para resolver os mesmos problemas utilizando indique o estado (vetor) a que nos referimos.
matrizes.
Utilizamos um tipo especial de espaço vetorial nessa
Como duas abordagens matemáticas tão diferentes con- área. São espaços de dimensão infinita chamados espaços
de Hilbert.
seguiam tratar tão bem dos mesmos problemas?
Nesses espaços vetoriais, está definido o produto escalar,
Na verdade, essas abordagens eram tão diferentes só na
aparência. Ambas eram casos especiais de um tipo de que é uma aplicação do tipo
estrutura algébrica conhecido como espaço vetorial, ou esV ×V →E,
(J.3)
paço linear. Neste apêndice, abordamos alguns detalhes
preliminares deste assunto.
sendo E o conjunto dos escalares. O produto escalar, ou
Alguns conceitos fundamentais, como o de espaço vetoproduto interno, pode ser denotado por um sı́mbolo como
rial, podem ser encontrados no apêndice F.
(|ai | |bi) ,
(J.4)
cujo resultado é um número complexo. Note-se que E,
neste contexto, é o conjunto dos números complexos.
Para ter-se uma idéia intuitiva do contexto formal da
Define-se também um espaço dual: os elementos do
Mecânica Quântica, é interessante compará-la com a abor- espaço dual são funções que mapeiam vetores em escadagem newtoniana.
lares. Elementos desse espaço são usualmente denotados
101
102
APÊNDICE J. A MECÂNICA QUÂNTICA
por sı́mbolos semelhantes aos dos vetores, porém invertiNos exemplos acima, quando expressamos |ψi na base
dos, como em
{|νi}, a representação de |ψi é ψ(ν).
ha| .
(J.5)
Como é sempre possı́vel trabalhar com bases ortogonais,
isto é, bases {|ii} ou {|νi} tais que
Um vetor dual ha| transforma um vetor |bi em um escalar,
ou seja, é uma aplicação do tipo
hj|ii = 0 , i 6= j ,
(J.16)
ha| : V → E ,
(J.6) ou
hµ|νi = 0 , µ 6= ν ,
subentendida em expressões como
(J.17)
podemos utilizar o produto interno para obter os coeficien(J.7) tes de uma representação. Em J.13, por exemplo, podemos
aplicar hj| a ambos os membros da equação, obtendo
Por causa do produto escalar (ou produto interno), poX
X
demos estabelecer uma relação canônica (relação natural)
hj|ψi =
hj|ψi |ii =
ψi hj|ii = ψj .
(J.18)
entre vetores e vetores duais. Dado um vetor |ai, existe
i
i
exatamente um vetor dual ha| tal que
Analogamente,1
ha|bi = (|ai | |bi) ∀ |bi ∈ V .
(J.8)
hν|ψi = ψ(ν) .
(J.19)
ha|bi = λ .
Se denotamos o espaço vetorial por V, usualmente denotamos o espaço dual por V † ou por V ∗ , dependendo das J.3
Autovetores e Autovalores
convenções locais.
Um operador sendo aplicado a um vetor e resultando Dado um operador Â, podemos procurar vetores tais que
em outro vetor é denotado por expressões do tipo
satisfaçam à equação
Â|ai = |bi .
(J.9)
Â|ψi = α |ψi ,
(J.20)
Também definem-se operadores no espaço dual (ou sendo α algum escalar. Esta é a equação caracterı́stica de
espaço adjunto), como em
Â.
Os vetores que satisfazem à equação caracterı́stica de Â
ha|B̂ = hb| .
(J.10)
chamam-se autovetores de Â, e os escalares correspondenComo existe uma relação canônica entre vetores e seus tes chamam-se autovalores.
Estes são conceitos gerais associados a espaços vetoriduais, o mesmo se estende para os operadores. Assim, uma
expressão como J.9 possui uma expressão correspondente ais, mas passam a ter significado fı́sico no contexto da
Mecânica Quântica.
no espaço dual:
†
Operadores representam grandezas fı́sicas. Se o estado
ha|Â = hb| ,
(J.11)
de um sistema corresponde a um autovetor |ψi de um opesendo que Â† denota o operador dual (Â† ∈ V ∗ ) ou adjunto rador Â, sendo α o autovalor correspondente, então o rede Â. Note-se que, nesta notação, os operadores adjuntos sultado da medição da grandeza Â é α. Neste caso, o valor
atuam sobre vetores à esquerda.
dessa grandeza é bem definido no sistema, e dizemos que
O quadrado da norma de um vetor |ai é dado por
o sistema encontra-se em um autoestado de Â.
Por exemplo, se estamos lidando com o operador energia
2
| |ai | = ha|ai .
(J.12) (Ĥ) e descobrimos que um elétron está em um autoestado
|ϕi de Ĥ, então temos
Um vetor |ψi pode ser representado em uma base discreta {|ii},
Ĥ|ϕi = E |ϕi ,
(J.21)
X
|ψi =
ψi |ii ,
(J.13)
i
sendo E o valor numérico da energia do elétron nesse estado.
uma base contı́nua {|νi},
Z
|ψi =
ψ(ν)|νi dν ,
(J.14) J.4
Operadores Lineares Autoad-
juntos
ou mista {|ii, |νi},
Z
|ψi =
ψ(ν)|νidν +
X
i
ψi |ii .
Espera-se que medições de grandezas produzam resultados
(J.15) reais. Existe uma classe de operadores cujos autovalores
são todos reais: são os operadores lineares autoadjuntos.
Usualmente, utilizamos a expressão ‘representação de
um vetor’ significando o conjunto de coeficientes deste vetor quando expresso em alguma base.
1
hµ|νi = δ(µ − nu) ,
sendo δ a delta de Dirac.
J.7. A EQUAÇÃO DE SCHRÖDINGER
103
Por definição, um operador L̂ é linear se satisfaz à regra definida por
L̂ (α|ψi + β|ξi) = αL̂|ψi + β L̂|ξi ,
(J.22)
ÂB̂ |ψi = Â B̂|ψi , ∀|ψi ∈ V .
quaisquer que sejam |ψi, |ξi, α e β.
Um operador L̂ é autoadjunto se coincidir com seu
próprio adjunto, isto é
L̂ = L̂† .
(J.28)
O comutador de dois operadores Â e B̂ é definido por
[Â, B̂] = ÂB̂ − B̂ Â .
(J.29)
(J.23)
Grandezas fı́sicas são representadas por operadores lineares autoadjuntos (ou hermitianos), o que garante garante
que as previsões sobre resultados de medições serão sempre
reais.
Isso não significa que operadores não-hermitianos sejam inúteis para a Mecânica Quântica. De fato, em Teoria Quântica de Campos, podem-se construir operadores
hermitianos a partir de operadores de criação e de aniquilação, os quais não são autoadjuntos.
Na mecânica clássica, no contexto do formalismo de Hamilton, cada sistema é descrito por um conjunto de pares
de variáveis {(qi , pi )}, chamadas de variáveis canônicas.
Neste contexto, dadas duas funções f (qi , pi , t) e g(qi , pi , t),
define-se uma operação entre elas chamada de parênteses
de Poisson 2 :
X ∂f ∂g
∂f ∂g
(f, g) ≡
−
.
(J.30)
∂qi ∂pi
∂pi ∂qi
i
O interessante é que o resultado dos colchetes de Poisson aplicados a um par de grandezas clássicas (variáveis
J.5 O
Princı́pio
da
Corres- numéricas) é proporcional ao comutador dos operadores
correspondentes na Mecânica Quântica. Isso nos permite,
pondência
entre outras coisas, determinar a forma dos operadores em
De acordo com este princı́pio, novas teorias devem concor- representações especı́ficas.
Na representação de coordenadas, por exemplo, temos
dar com as teorias anteriores bem suscedidas no caso de
as seguintes relações entre os operadores Ĥ e p̂ e suas
haver intersecções de regiões de validade.
Nos limites adequados, a Mecânica Quântica precisa for- representações:
necer os mesmos resultados de teorias macroscópicas bem
∂ψ(x)
∂
sucedidas, como a Mecânica Newtoniana.
,
(J.31)
hx|Ĥ|ψi = ih̄ hx|ψi = ih̄
∂t
∂t
Em particular, podemos observar isso notando que,
no caso de sistemas com baixas energias (sistemas nãoˆ~|ψi = −ih̄∇hx|ψi
~
~
hx|p
= −ih̄∇ψ(x)
.
(J.32)
relativı́sticos), podemos utilizar as fórmulas de Newton na
Mecânica Quântica desde que substituamos as grandezas Note-se que x, neste contexto, representa todas as coordenuméricas (“c-numbers”) por operadores lineares autoad- nadas do espaçotempo, isto é, (t, x, y, z).
juntos.
A representação da energia potencial V̂ (x) corresponde
Existe, por exemplo, uma relação clássica entre ener- simplesmente à multiplicação pelo valor numérico da energia E de um objeto de massa m, momentum p e energia gia potencia, isto é, o operador V̂ comporta-se como um
potencial V :
escalar. O mesmo acontece com a massa m.
p2
+V .
(J.24)
E =
2m
A Equação de Schrödinger
Substituindo as entidades numéricas por operadores e apli- J.7
cando ambos os membros da equação a um vetor incógnita,
Utilizando as informações que vimos sobre a representação
obtemos uma equação válida (para baixas energias) na
de coordenadas na equação J.26, obtemos
Mecânica Quântica:
p̂2
Ĥ|ψi =
|ψi + V̂ |ψi .
2m
ih̄
(J.25)
∂ψ
h̄2 2
= −
∇ ψ+Vψ.
∂t
2m
(J.33)
Utilizando a chamada representação de coordenadas, cuja Esta é a famosa equação de Schrödinger, uma das peças
mais importantes da Mecânica Quântica não relativista.
base são eventos (pontos no espaçotempo), {|xi}, temos
hx|Ĥ|ψi = hx|
J.6
p̂2
|ψi + hx|V̂ |ψi .
2m
(J.26)
J.8
Na Relatividade Especial, a relação entre energia e momentum de uma partı́cula livre é
Comutadores
Pode-se definir uma operação interna no conjunto dos operadores (O), isto é, uma aplicação do tipo
E 2 = p2 c2 + m20 c4 ,
2 Ou
O×O → O,
Equação de Klein-Gordon
(J.34)
alguma expressão semelhante, dependendo dos sı́mbolos uti-
(J.27) lizados, como “colchetes de Poisson”, por exemplo.
104
APÊNDICE J. A MECÂNICA QUÂNTICA
sendo c a velocidade de luz no vácuo e m0 a massa de
repouso.
A equação correspondente na Mecânica Quântica, na
representação de coordenadas é
−
h̄2 ∂ 2
ψ = −h̄2 ∇2 ψ + m20 c2 ψ ,
c2 ∂t2
(J.35)
ou
2ψ + m20 c2 ψ = 0 .
(J.36)
Esta é a equação de Klein-Gordon, sendo
2 ≡
h̄2 ∂ 2
− h̄2 ∇2 .
c2 ∂t2
(J.37)
Podemos facilmente generalizá-la para funcionar num
espaçotempo curvo (Relatividade Geral) definindo
2 ≡ g αβ ∇α ∇β .
(J.38)
Para maiores detalhes sobre o significado destes sı́mbolos,
veja o apêndice L.
Apêndice K
Um Átomo com 1 Elétron
K.1
Introdução
A equação (K.1) adquire então o seguinte aspecto:
h̄2 2
h̄2 2
∂Ψct
−
∇ −
∇ + V Ψct = ih̄
.
(K.7)
2mn n 2me e
∂t
O objetivo deste apêndice é o de exemplificar o uso da
Mecânica Quântica não-relativista para obter a função de
onda (representação de coordenadas do vetor de estado)
para um átomo isolado contendo apenas um elétron. Não
K.3 Mudança de Coordenadas
estamos interessados na estrutura do núcleo. Trataremos
o núcleo como uma partı́cula indivisı́vel.
A equação (K.7) não é linear por causa da dependência
de V das coordenadas dos componentes do átomo. Entretanto, se utilizarmos coordenadas relativas e centro de
K.2 Equação de Schrödinger
massa, a equação se torna linear e admite separação de
Para determinarmos a forma da equação de Schrödinger variáveis. O novo sistema de coordenadas pode ser defipara este problema, utilizaremos o princı́pio da correspon- nido da seguinte maneira:
dência: as equações macroscópicas se tornam em equações
~r ≡ ~re − ~rn ,
(K.8)
envolvendo operadores.
Consideraremos este átomo simplesmente como um sis~ ≡ me~re + mn~rn .
(K.9)
R
tema composto por um núcleo de carga Zq e um elétron
me + mn
(carga −q). Suporemos que a interação entre eles seja
Definimos também a massa total e a massa reduzida
apenas eletromagnética.
do sistema, as quais são definidas, respectivamente, da
A energia total do sistema (nesta abordagem não relaseguinte forma:
tivı́stica) é a soma das energias cinéticas de seus compomn me
nentes e mais a energia de interação:
M ≡ mn + me , µ =
.
(K.10)
mn + me
p2e
p2n
+
+ V (|~re − ~rn |) ,
(K.1)
H=
Precisamos agora expressar os operadores de (K.7) nas
2mn
2me
novas coordenadas.
onde H é a energia total do sistema, p~n é o momentum
∂
∂xβ ∂
∂X β ∂
mn
do núcleo, p~e é o momentum do elétron, mn é a massa do
∇R − ∇ ,
∇n ≡
=
+
=
α ∂xβ
α ∂X β
núcleo, me é a massa do elétron e V é a energia potencial
∂xα
∂x
∂x
M
n
n
n
(K.11)
(função da distância entre o elétron e o núcleo), ~rn e ~re
∂
∂xβ ∂
∂X β ∂
me
são, respectivamente, a posição do núcleo e do elétron.
∇e ≡
=
+
=
∇R + ∇ ,
β
β
A função V (|~re − ~rn |) é a energia de interação coulom∂xα
∂xα
∂xα
M
e
e ∂x
e ∂X
biana:
(K.12)
2
Zq 2
Zq
V (|~re − ~rn |) = −
.
(K.2)
V =−
.
(K.13)
|~re − ~rn |
r
Os operadores correspondentes às grandezas da equação
1
1
∇2 =
∇n · ∇ n =
(K.1) são:
2mn n
2mn
∂
m
1 mn
(K.3)
H → ih̄ ≡ ih̄∂t ,
n
∇R − ∇ ·
∇R − ∇ =
∂t
2mn M
M
p~n → −ih̄∇n , p~e → −ih̄∇e ,
(K.4)
2
2mn
1
mn 2




2
∇ +∇ −
∇R · ∇ ,
∂xn
∂xe
2mn M 2 R
M
∇n →  ∂yn  , ∇e →  ∂ye  .
(K.5)
1
mn 2
1
1
∂zn
∂ze
∇2n =
∇R +
∇2 −
∇R · ∇ . (K.14)
2
2mn
2M
2mn
M
Note-se que a expressão H → ih̄∂t significa
2
1
1
me 2
2me
2
2
∇ =
∇ +∇ +
∇R · ∇ =
h~r|H|ψi = ih̄∂t h~r|ψi .
(K.6)
2me e
2me M 2 R
M
105
106
APÊNDICE K. UM ÁTOMO COM 1 ELÉTRON
me 2
1
1
∇R +
∇2 +
∇R · ∇ .
2
2M
2me
M
(K.15)
−
Somando as equações (K.14) e (K.15), obtemos
1
1
1 2
1 2
∇2n +
∇2e =
∇R +
∇ .
2mn
2me
2M
2µ
ER + E = ET .
(K.16)
Levando estes resultados à equação (K.7), ela adquire o
seguinte aspecto:
∂Ψt
h̄2 2 Zq 2
h̄2 2
∇R −
∇ −
Ψt = ih̄
.
(K.17)
−
2M
2µ
r
∂t
K.4
h̄2 2
Zq 2
∇ ψ−
=E,
2µψ
r
Separação do Tempo
(K.27)
(K.28)
A equação (K.26) é a equação de onda para o centro de
massa. A equação (K.27) é a equação de onda associada
às coordenadas relativas.
K.6
Centro de Massa
A equação (K.26) admite a seguinte separação de
variáveis:
ψR (X, Y, Z) = X (X)Y(Y )Z(Z) ,
(K.29)
1 d2 Y
1 d2 Z
2M ER
1 d2 X
+
+
=−
.
(K.30)
2
2
2
X dX
Y dY
Z dZ 2
h̄
~ t) = Ψ(~r, R)τ
~ (t)
Ψt (~r, R,
(K.18)
Como o membro direito é uma constante e cada termo
do membro esquerdo depende de uma variável que não
dτ
1
1 dτ
=⇒ τ (...)Ψ = ih̄Ψ
=⇒ (...)Ψ = ih̄
. (K.19) aparece nos demais termos, segue-se que cada termo deve
dt
Ψ
τ dt
ser constante. Sejam estas constantes, respectivamente,
O membro esquerdo da última equação não depende do
2
2
−ωX
, −ωY2 e −ωZ
. Utilizamos ω 2 ao invés de ω simplestempo, ao passo que o membro direito não depende de ~r e
~ Isto significa que ambos os membros são iguais a uma mente para evitar raı́zes quadradas as quais sabemos que
R.
apareceriam normalmente na solução destas equações. Os
constante (que será chamada de ET ). Neste caso, temos:
sinais negativos foram introduzidos para facilitar as exZ
Z
pressões das soluções em forma normalizável. Assim, fi1 dτ
dτ
i
ih̄
= ET =⇒
=−
ET dt .
(K.20) camos com as seguintes equações lineares ordinárias a uma
τ dt
τ
h̄
variável (cada uma):
A solução geral para τ será:
d2 X
2
+ ωX
X = 0,
−iET t/h̄
τ (t) = τ0 e
,
(K.21)
dX 2
2
d Y
+ ωY2 Y = 0 ,
onde τ0 é (por enquanto) simplesmente uma constante ardY 2
bitrária de integração.
d2 Z
2
Para a parte independente do tempo, obtemos:
+ ωZ
Z = 0,
(K.31)
dZ 2
h̄2 2 Zq 2
h̄2 2
2M E
2
2
∇ −
∇ −
−
Ψ = ET Ψ .
(K.22)
ωX
+ ωY2 + ωZ
=
.
(K.32)
2M R 2µ
r
h̄2
Notemos que a equação (K.17) admite solução do tipo
As equações para X , Y e Z são formalmente idênticas.
Logo, se resolvermos uma delas, teremos imediatamente a
solução das demais. Estas equações são bastante simples
A equação (K.22) admite a seguinte separação de e admitem diversos métodos para a obtenção de soluções
variáveis:
gerais. Utilizaremos um que talvez seja o mais rápido.
~ = ψ(~r)ψR (R)
~ ,
Ψ(~r, R)
(K.23)
A solução geral de qualquer equação diferencial linear
2
2
2
ordinária
homogênea e a uma variável pode sempre ser
h̄
h̄
Zq
−
ψ∇2R ψR −
ψ R ∇2 ψ −
+ ET ψψR = 0 .
expressa como combinação linear de exponenciais do tipo
2M
2µ
r
αx
(K.24) e , onde α é uma constante e x é a variável independente.
O
número de termos será igual à ordem da equação. AsDividindo esta equação por ψψR :
sim, para X , teremos:
h̄2
h̄2 2
Zq 2
X (X) = CX1 eα1 X + CX2 eα2 X .
(K.33)
−
∇2R ψR −
∇ ψ−
= ET .
(K.25)
2M ψR
2µψ
r
Para determinarmos α1 e α2 , basta tomar uma parti~
O primeiro termo desta equação depende apenas de R,
cular combinação linear das possibilidades acima e levar
ao passo que os dois termos restantes do primeiro membro à equação diferencial para X . Consideraremos, então,
dependem só de ~r. Como o segundo membro é constante, X = eαX .
ambas estas partes devem ser constantes. Mais precisa2 αX
2
mente,
α2 eαX + ωX
e
= 0 =⇒ α2 + ωX
= 0 =⇒ α = ±iωX
2
h̄
−
∇2 ψR = ER ,
(K.26)
=⇒ α1 = iωX , α2 = −iωX .
(K.34)
2M ψR R
K.5
Separação de Coordenadas
K.7. COORDENADAS RELATIVAS
107
=⇒ X (X) = CX1 eiωX X + CX2 e−iωX X .
(K.35)
Analogamente, teremos as seguintes soluções para as
outras duas funções:
Y(Y ) = CY 1 eiωY Y + CY 2 e−iωY Y ,
Z(Z) = CZ1 eiωZ Z + CZ2 e−iωZ Z .
K.7
Coordenadas Relativas
K.7.1
Solução para a parte angular
Podemos expressar Y da seguinte forma:
Y (θ, ϕ) = Θ(θ)Φ(ϕ) .
(K.46)
(K.36)
Levando esta forma à equação (K.45), tendo em conta
(K.42), e multiplicando toda a equação resultante por
(K.37) sin2 (θ), obtemos:
sin(θ) ∂
∂Θ
1 ∂2Φ
= λ sin2 (θ) . (K.47)
sin(θ)
+
Θ ∂θ
∂θ
Φ ∂ϕ2
Verificamos que o termo em ϕ é constante (−m2 ). A
É interessante resolver (K.27) em cordenadas esféricas.
equação
resultante é:
Para tanto, precisamos expressar ∇2 nesse sistema. Podemos então partir da expressão geral do operador laplaciano
∂2Φ
+ m2 Φ = 0 .
(K.48)
em um sistema qualquer de coordenadas (com o auxı́lio do
∂ϕ2
tensor métrico):
A solução geral desta equação é:
1 ∂
√ αβ ∂
2
gg
.
(K.38)
∇ ≡√
Φ(ϕ) = Aϕ e−imϕ + Bϕ eimϕ .
(K.49)
g ∂xα
∂xβ
Se levarmos em conta a natureza da variável ϕ, teremos
A métrica (ver seção L.3) de um espaço euclidiano tria seguinte condição:
dimensional descrito por coordenadas esféricas (r, θ, ϕ) é
dada por
Φ(ϕ + 2π) = Φ(ϕ) .
(K.50)
ds2 = gαβ dxα dxβ = dr2 + r2 dθ2 + r2 sin2 θdϕ .
(K.39)
Levando esta condição à equação (K.49):
Aϕ e−2πmi e−imϕ + Bϕ e2πmi eimϕ = Aϕ e−imϕ + Bϕ eimϕ .
Portanto, o tensor métrico contravariante é:
A equação acima só é verdadeira para valores inteiros de
m.
Como a função Φ entra no problema como um fator,
,
g αβ
g = r2 sin(θ) . (K.40)
as
constantes
Aϕ e Bϕ são redundantes frente à constante
1
0 r2 sin2 (θ)
que aparecerá na solução completa, a qual permitirá a normalização. Como m pode assumir tanto valores positivos
Nestas condições, o operador laplaciano adquire a sequanto negativos, precisamos apenas de um dos termos de
guinte forma:
(K.49). Nestas condições,
1 ∂
∂
1
Φ(ϕ) = e−imϕ .
(K.51)
∇2 = 2
r2
+ 2Λ,
(K.41)
r ∂r
∂r
r
A equação (K.47) ainda nos fornece a seguinte relação:
2
∂
1 ∂
∂
1
∂
∂Θ
Λ≡
sin(θ)
+
.
(K.42)
2
sin(θ)
sin(θ)
− λ sin2 (θ)Θ = m2 Θ . (K.52)
sin(θ) ∂θ
∂θ
sin (θ) ∂ϕ2
∂θ
∂θ

1

0
=
0
0
1
r2
0
0

√
Podemos agora aplicar a seguinte separação de variáveis
à equação (K.27):
Efetuemos a seguinte substituição de variáveis:
u ≡ cos θ ,
ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Y (θ, ϕ) ,
f (u) = f (cos(θ)) ≡ Θ(θ) ,
(K.53)
(K.43)
h̄2
1 ∂
1
Zq 2
2 ∂R
−
r
+
ΛY
−
= E . (K.44)
2
2µr R ∂r
∂r
Y
r
p
du d
d
d
=
= − 1 − u2
dθ
dθ du
du
2
d
df
m
=⇒
(1 − u2 )
− λ+
f = 0.
du
du
1 − u2
(K.54)
(K.55)
2
Se multiplicarmos esta equação por r , notaremos que
Esta equação (Legendre Associada) tem solução se λ =
o termo proporcional a (ΛY )/Y independe de r, ao passo
−`(` + 1) e se m e ` forem inteiros, com ` ≥ 0. Além disso,
que os demais independem das coordenadas angulares.
|m| ≤ `. Neste caso, a solução geral será:
Logo, o termo em Y é constante (λ). Isto nos leva à seguinte equação:
f (u) = A P m (u) + B Qm (u) ,
(K.56)
θ
1
ΛY (θ, ϕ) = λ .
Y (θ, ϕ)
`
θ
`
m
(K.45) onde P` é uma função associada de Legendre de primeira
espécie e Qm
` é uma função associada de Legendre de
108
segunda espécie. A solução geral para a equação em θ é
então
Θ(θ) =
Aθ P`m (cos(θ))
+
Bθ Qm
` (cos(θ)) .
(K.57)
K.7.2
Solução para a Parte Radial
Com base no que acabamos de concluir, podemos expressar a equação (K.44) da seguinte forma:
h̄2
1 d
Zq 2
2 dR
A função Qm
(u)
diverge
para
u
=
±1,
isto
é,
para
θ
=
0
−
r
−
`(`
+
1)
−
= E , (K.68)
`
2µr2 R dr
dr
r
e para θ = π. Logo, em nosso problema, Bθ = 0. Podemos
também ignorar a constante Aθ pelo mesmo motivo que ou
ignoramos as constantes associadas a ϕ. Assim, obtemos
Zq 2
d2 R 2 dR
2µ
`(` + 1)
+
R = 0.
+ 2 E+
−
Θ(θ) = P`m (cos θ) .
(K.58)
dr2
r dr
r
r2
h̄
(K.69)
As funções associadas de Legendre de primeira ordem
Façamos agora as seguintes definições:
relacionam-se com os polinômios de Legendre (P` (x)) da
r
seguinte forma:
h̄2
r
µZ 2 q 4
2
a ≡−
, η≡ , n≡ − 2 ,
(K.70)
8µE
a
2h̄ E
m
d
(K.59)
P`m (x) = (−1)m (1 − x2 )m/2 m P` (x) .
dx
e R̄ é uma função tal que
Normalização de P`m (x):
1
Z
2
[P`m (x)] dx =
−1
R̄(η) ≡ R(r) .
2 (` + m)!
.
2` + 1 (` − m)!
(K.60)
Ortogonalidade:
1
Z
Pnm (x)P`m (x)dx = 0 ,
n 6= ` .
Com estas convenções, a equação (K.69), após multiplicada por a2 η, adquire a seguinte forma:
d2 R̄
dR̄
η `(` + 1)
R̄ = 0 .
(K.72)
η 2 +2
+ n− −
dη
dη
4
η
(K.61)
Façamos agora nova substituição:
−1
R̄(η) ≡ η ` e−η/2 Q(η) .
Agora já estamos em condições de montar a expressão
para a função Y (θ, ϕ):
Y`m (θ, ϕ) = N`m P`m (cos θ)eimϕ ,
(K.62)
onde N`m é um fator de normalização que determinaremos
agora.
Normalizar estas funções significa escolher N`m tal que
2π
Z
π
Z
dθ sin θ|Y`m (θ, ϕ)|2 = 1
dϕ
0
(K.63)
0
(o elemento de ângulo esférico é sin θdθdϕ).
Assim,
(N`m )2
Z
2π
Z
dϕ
0
π
2
dθ sin θ [P`m (cos θ)] = 1 .
(K.64)
Mas,
Z
π
dθ sin θ[P`m (cos θ)]2 =
Z
1
dx[P`n (x)]2
(K.65)
d2 Q(η)
dQ(η)
+ [2(` + 1) − η]
+ (n − ` − 1)Q(η) = 0 ,
dη 2
dη
(K.74)
que é satisfeita pelos polinômios associados de Laguerre
L2`+1
n−`−1 (η).
Portanto, a solução desta equação que não é divergente
na origem é (a menos de uma constante arbitrária multiplicativa):
η
desde que n seja um número inteiro positivo e ` ≤ n.
Para fins de normalização, notemos que
Z ∞
(n + j)!
dxxj e−x [Ljn (x)]2 =
.
(K.76)
n!
0
(ver equação (K.60)). Portanto,
(N`m )2
2 (` + m)!
2` + 1 (` − m)!
s
=⇒ N`m =
R(r) =
Z
2π
dϕ = 1
r `
a
e−r/2a L2`+1
n−`−1 (r/a) .
(K.77)
(K.66)
K.8
0
2` + 1 (` − m)!
.
4π (` + m)!
(K.75)
Em termos da variável r,
−1
0
(K.73)
Levando esta substituição a (K.72), obtemos uma nova
equação diferencial:
R̄n` (η) = η ` e−η/2 L2`+1
n−`−1 (η) ,
0
(K.71)
(K.67)
As funções Y`m (θ, ϕ) são os harmônicos esféricos.
Soluções
A famı́lia de soluções para (K.27) pode ser expressa da
seguinte forma (a menos de um fator de normalização):
ψn`m (η, θ, ϕ) = Y`m (θ, ϕ)η ` e−η/2 L2`+1
n−`−1 (η) ,
(K.78)
K.9. EXEMPLOS
109
µZ 2 q 4
.
(K.79)
2h̄2 n2
Note-se que estamos usando unidades tais que a força
de Coulomb é dada por
En = −
K.9.4
Orbital 3s
2
F =
Zq
.
r2
1 Zq 2
F =
.
4π0 r2
K.9.5
Zq 2
,
4π0
(K.82)
o que resulta em
µZ 2 q 4
.
2(4π0 )2 h̄2 n2
(K.83)
A partir deste ponto, a solução geral da equação completa se torna trivial.
K.9
Exemplos
A seguir, explicitamos a forma especı́fica de ψn`m para
alguns orbitais.
K.9.1
Orbital 1s
1
ψ1,0,0 (η, θ, ϕ) = √ e−η/2 .
2 π
(K.84)
Densidade de probabilidade:
ρ1,1,0 (η, θ, ϕ) = |ψ1,0,0 (η, θ, ϕ)|2 =
K.9.2
K.9.3
e−η
.
4π
(K.85)
Orbital 2s
2−η
ψ2,0,0 (η, θ, ϕ) = √ e−η/2 ,
2 2π
(K.86)
(2 − η)2 e−η
.
8π
(K.87)
ρ2,0,0 (η, θ, ϕ) =
(K.92)
ρ3,0,0 =
(6 − 6η + η 2 )2 −η
e .
48π
(K.93)
Orbitais 2p
Há três orbitais 2p possı́veis, um para cada valor de
m ∈ {−1, 0, 1}.
r
3 −η/2
ψ2,1,0 =
ηe
cos θ ;
(K.88)
8π
3 −η
ρ2,1,0 =
ηe cos2 θ ;
8π
r
1 3 −η/2 ±iϕ
ηe
e
sin θ ;
ψ2,1,±1 =
4 π
3 2 −η 2
ρ2,1,±1 =
η e sin θ ;
16π
(K.89)
(K.90)
(K.91)
Orbitais 3p
ψ3,1,0 =
(K.81)
Para levar isto em conta no cálculo dos nı́veis de energia,
basta fazer a transformação
En = −
6 − 6η + η 2 −η/2
√
e
;
4 3π
(K.80)
Em unidades do Sistema Internacional, terı́amos
Zq 2 →
ψ3,0,0 =
1
4
r
3
(4 − η)ηe−η/2 cos θ ;
2π
3
(4 − η)2 η 2 e−η cos2 θ ;
32π
r
1 3
ψ3,1,±1 =
(4 − η)ηe−η/2 e±iϕ sin θ ;
8 π
3
ρ3,1,±1 =
(4 − η)2 η 2 e−η sin2 θ ;
64π
ρ3,1,0 =
K.9.6
(K.94)
(K.95)
(K.96)
(K.97)
Orbitais 3d
1
8
r
5 2
η (3 cos2 θ − 1)e−η/2 ;
6π
5 4
ρ3,2,0 =
η (3 cos2 θ − 1)2 e−η ;
384π
r
1 5 2 −η/2 ±iϕ
ψ3,2,±1 =
η e
e
sin(2θ) ;
4 π
5 4 −η 2
η e sin (2θ) ;
ρ3,2,±1 =
16π
r
5 2 −η/2 ±2iϕ 2
1
ψ3,2,±2 =
η e
e
sin θ ;
16 π
5 4 −η 4
η e sin θ .
ρ3,2,±2 =
256π
ψ3,2,0 =
(K.98)
(K.99)
(K.100)
(K.101)
(K.102)
(K.103)
110
Apêndice L
A Equação de Einstein
das que mencionamos, um evento pode ser representado
pelas coordenadas (t, x, y, z).
Podemos representar o mesmo evento por meio de diferentes
sistemas de coordenadas. Poderı́amos, por exemNa literatura técnica, entretanto, é mais natural vermos
plo,
usar
uma outra escala de tempo (τ ao invés de t, com
este nome associado à equação fundamental da Relativit
=
ξτ
,
sendo
ξ uma constante) e coordenadas esféricas ao
dade Geral, isto é,
invés de cartesianas. Assim, a mesma distribuição de tem8πG
1
peratura poderia ser expressa em função de outro sistema
Tµν + Λ gµν ,
(L.1)
Rµν − gµν R =
de coordenadas: T 0 (τ, r, θ, ϕ).
2
c4
Mas, se (t, x, y, z) e (τ, r, θ, ϕ) representam o mesmo
Alguns sinais podem variar nesta equação dependendo das
ponto em diferentes sistemas de coordenadas, e se T e T 0
convenções de representação que adotamos. Os resultados
representam a temperatura do mesmo ponto nas mesmas
são os mesmos desde que sejamos coerentes.
unidades, então
Einstein deduziu esta equação originalmente sem o
termo contendo Λ (a constante cosmológica). Mais tarde,
T (t, x, y, z) = T 0 (τ, r, θ, ϕ) .
(L.2)
na tentativa de fugir da possibilidade de um Universo
não-estacionário, que evolui, ele acrescentou esse termo
Na verdade, estamos tratando com uma grandeza que
à equação de maneira artificial. Foram dois erros que se
depende do ponto de aplicação, e não das coordenadas
compensaram, pois em uma dedução mais cuidadosa, a
que usamos para descrever este ponto. Isso sugere uma
constante cosmológica aparece naturalmente.
mudança de notação.
Neste apêndice, pretendemos mostrar um caminho para
Esse caminho, quando devidamente desenvolvido, acaba
a dedução desta equação. Porém, ao invés de utilizar o tranos levando ao conceito de variedades diferenciáveis, que é
tamento matemático rigoroso e elegante da Geometria Dialgo fundamental na Geometria Diferencial. Por questões
ferencial em sua versão mais moderna, optamos por seguir
didáticas, entretanto, vamos abordar uma estratégia meum caminho que apele mais à intuição do leitor, desde que
nos elegante, porém mais rápida para obtermos resultados.
este domine alguns itens fundamentais, como o Cálculo
Tendo em mente que T depende do evento a que se refere
Diferencial, vetores e sistemas de coordenadas.
e não ao sistema de coordenadas em uso no momento,
lançamos mão de um abuso de linguagem matemática para
escrever
L.1 Tensores
T (t, x, y, z) = T (τ, r, θ, ϕ) .
(L.3)
No apêndice E introduzimos o conceito de tensor. Aqui,
Referir-nos-emos ao primeiro sistema de coordenadas
aprofundamos um pouco mais o assunto introduzindo uma
definição simplificada de tensor, a qual já nos permite ob- como xα , sendo que α varia de 0 a 3, sendo x0 = t,
x1 = x, x2 = y, x3 = z. Note que o superı́ndice aqui
ter resultados.
Consideremos um espaço de n dimensões (em Relativi- não representa potenciação, mas indica a qual das coordenadas nos referimos. Quando este ı́ndice está em aberto
dade Geral é comum usarmos n = 4).
A cada ponto de uma região do espaço, podemos asso- (isto é, trata-se de uma variável ao invés de um número
ciar um número. Um exemplo disso é a temperatura do explı́cito), estaremos nos referindo a todas as coordenasas
ar. Em um dado ponto do espaço em um certo instante exceto se o contexto indicar algo diferente.
O segundo sistema de coordenadas será denotado por
de temperatura é T . No mesmo instante, em outro ponto,
0
0
0
0
0
a tenperatura pode ser outra. A temperatura T depende xα , com x0 = τ , x1 = r, x2 = θ e x3 = ϕ.
de quatro variáveis, que podem ser x, y, z e t, isto é, T
Quando traduzimos expressões de um sistema de coorpode ser representado como uma função destas variáveis: denadas para outro, tratamos as coordenadas do primeiro
T (t, x, y, z).
sistema como funções do segundo e vice-versa. Denota0
Chamaremos de evento a um ponto do espaço em um mos isso respectivamente por meio dos sı́mbolos xα (xα ) e
0
determinado instante de tempo. No sistema de coordena- xα (xα ).
Quando se fala em equação de Einstein, muitos pensam
em
E = mc2 .
111
112
APÊNDICE L. A EQUAÇÃO DE EINSTEIN
Lidamos com sistemas em que existem os jacobianos Note-se que se pode intercambiar α0 e α sem alterar a
destas transformações e eles não são nulos, sendo que o semântica das expressões, como em
0
jacobiano da transformação xα → xα é o determinante
Vα0 = ∂αα0 Vα .
(L.12)
α
∂x (L.4)
Jα0 →α = α0 .
Vetores são tensores de ordem 1, possuindo um ı́ndice
∂x
em sua representação.
Conforme mencionamos no apêndice E, existem granEm nosso exemplo,
dezas que precisam de mais componentes para serem re
t = ξτ ,

presentadas, como é o caso da permissividade elétrica em


x = r sin θ cos ϕ ,
(L.5) um meio não isotrópico. Assim, temos tensores de ordem
y = r sin θ sin ϕ ,

2, que possuem representações com dois ı́ndices. Tensores


z = r cos θ ,
de ordem 2 ou superior podem ser totalmente covariantes,
totalmente contravariantes ou mistos. Este tipo de proprie o determinante jacobiano será dado por
edade pode ser identificado pela lei de transformação do
∂t ∂t ∂t ∂t tensor.
∂τ ∂r ∂θ ∂ϕ ∂x ∂x ∂x ∂x Um tensor covariante de ordem dois, diante de uma mu
∂r
∂θ
∂ϕ .
(L.6)
Jα0 →α = ∂τ
dança
de coordenadas, transforma-se de acordo com a se∂y
∂y
∂y
∂y
∂τ
∂r
∂θ
∂ϕ ∂z ∂z
guinte
regra:
∂z
∂z 0
0
∂τ
∂r
∂θ
∂ϕ
Tαβ = ∂αα ∂ββ Tα0 β 0 .
(L.13)
O fato de este determinante ser não-nulo garante o “bom
Um tensor contravariante de ordem 2 obedecerá à regra
comportamento” dos resultados de interesse ao mudarmos
0 0
T αβ = ∂αα0 ∂ββ0 T α β .
(L.14)
de coordenadas.
Grandezas que se comportam como a temperatura T de Um tensor misto de segunda ordem, segue a uma das senosso exemplo, chamam-se escalares. São representados guintes regras:
por um número real associado a cada evento.
0
0
Escalares são tensores de ordem zero.
T αβ = ∂αα0 ∂ββ T αβ 0 ,
(L.15)
Existem grandezas que possuem uma natureza vetorial.
Vetores precisam de n números para serem representados, ou
0
0
Tα β = ∂αα ∂ββ0 Tα0β .
(L.16)
sendo n a dimensão do espaço. Mas nem todas as grandezas que possuem n componentes são realmente vetores.
Estes conceitos generalizam-se para tensores de ordens
Podemos classificar os vetores em dois tipos: covariantes superiores.
e contravariantes.
Uma das vantagens de se lidar com tensores consiste em
Vetores contravariantes são representados com ı́ndices que as equações que representam as leis fı́sicas tornam-se
superiores e comportam-se frente a uma mudança de co- independentes de sistemas de coordenadas. Em outras paordenadas da seguinte maneira:
lavras, mudanças de coordenadas são simetrias das equações tensoriais.
X ∂xα
α
α0
A tı́tulo de exemplo, vejamos se o gradiente de um esca(L.7)
V =
V .
∂xα0
0
lar
φ é uma grandeza tensorial (vetorial, neste caso). Em
α
um sistema de coordenadas cartesiano, o gradiente de φ é
É comum adotarmos a convenção de Einstein, segundo dado por
a qual ı́ndices repetidos, um em cima e outro em baixo,
∂φ
,
(L.17)
∇φ =
subentendem um somatório. Com esta convenção, pode∂xα
se omitir o somatório na expressão anterior sem afetar seu ou, em uma notação simplificada,
significado.
∂xα α0
∇φ = ∂α φ .
(L.18)
Vα =
V .
(L.8)
0
∂xα0
Diante da transformação xα → xα , pela regra da cadeia,
Vetores covariantes são representados com ı́ndices in- temos
0
feriores e transformam-se de maneira semelhante, porém
∂α φ = ∂αα ∂α0 φ ,
(L.19)
inversa:
α0
ou seja, o gradiente de um escalar comporta-se como um
∂x
Vα =
Vα0 .
(L.9) vetor covariante.
α
∂x
Para simplificar a notação, utilizaremos a seguinte simbologia:
L.2 Contração de Tensores
0
∂xα
α0
.
(L.10)
∂α ≡
β β ...β ...β
∂xα
Dado um tensor misto Tα1 α2 ...αi ...αm1 2 j n , podemos
Assim a lei de transformação para um vetor covariante escolher um ı́ndice superior e um inferior e efetuar uma
pode ser denotada por:
soma do tipo (usando a convenção de Einstein)
0
Vα = ∂αα Vα0 .
(L.11)
Tα1 α2 ...µ...αmβ1 β2 ...µ...βn ,
(L.20)
L.4. A DERIVADA COVARIANTE
113
resultando em um tensor de ordem 2 unidades mais baixa.
Esta operação chama-se contração tensorial.
Pode-se efetuar a contração em um produto. Exemplo,
Aµ B µ = escalar .
Note-se que isto é um produto contraı́do, resultando em
um escalar.
Com base no produto escalar, podemos definir a norma
(ao quadrado) de um vetor:
(L.21)
|A|2 ≡ gαβ Aα Aβ .
Isto é chamado de produto contraı́do.
L.3
(L.30)
Se efetuarmos um produto contraı́do do tipo gαβ Aα ,
obteremos um vetor covariante como resultado:
O Tensor Métrico
Cβ = gαβ Aα .
(L.31)
Para calcularmos o elemento de distância entre os pontos
xα e xα + dxα em um espaço euclidiano, podemos usar o O vetor covariante Cβ terá uma caracterı́stica importante
teorema de pitágoras. Em um espaço euclidiano tridimen- em relação a Aα :
sional com coordenadas cartesianas temos:
Cα Aα = gαβ Aα Aβ = |A|2 .
(L.32)
2
2
2
2
ds = (dx) + (dy) + (dz) .
(L.22)
Além disso,
Em coordenadas esféricas, temos
g αβ Cα Cβ = gαβ Aα Aβ = |A|2 .
(L.33)
2
2
2
2
ds = (dr) + (r dθ) + (r sin θ dϕ) .
(L.23)
O vetor Cα é uma espécie de “versão covariante” de
Note-se que não há termos cruzados, como dr dθ, porque Aα . Mais precisamente, o tensor métrico estabelece uma
ambos estes sistemas de coordenadas são ortogonais. Em relação canônica entre vetores covariantes e contravariansistemas de coordenadas mais gerais, termos cruzados po- tes. Por esta razão, neste caso, utilizamos a notação
dem aparecer.
De forma mais geral e usando a convenção de Einstein,
Aβ = gαβ Aα ,
(L.34)
podemos escrever
e
ds2 = gαβ dxα dxβ .
(L.24)
Aβ = g αβ Aα .
(L.35)
Dependendo do sistema de coordenadas e das caracterı́sticas do espaço, teremos diferentes coeficientes gαβ .
Uma expressão como L.24 é usualmente chamada de
métrica, pois fornece meios de medir distâncias no espaço
em estudo.
Vejamos como se comportam estes coeficientes frente
a uma mudança de coordenadas. A distância entre dois
eventos não pode depender do sistema de coordenadas utilizado. Por esta razão, temos
0
0
ds2 = gαβ dxα dxβ = gα0 β 0 dxα dxβ .
Por outro lado,
0
0
dxα = ∂αα dxα .
(L.25)
β
gαβ dx dx =
A Derivada Covariante
Conforme vimos, ao aplicarmos o operador ∂α a um escalar, obtemos um tensor covariante. É interessante verificar se isso acontece para tensores de ordens mais altas.
Isso é importante, uma vez que derivadas são operações
necessárias no estudo de leis fı́sicas. E se lidaremos com
equações tensoriais, precisamos saber como usar derivadas
sem destruir o caráter tensorial (absoluto) das equações.
Seja Aα um vetor contravariante. Interessa-nos saber se
∂β Aα é um tensor misto de ordem 2. Sabemos que
0
(L.26)
Como conseqüência,
α
L.4
Aα = ∂αα0 Aα ,
(L.36)
e que
0
gα0 β 0 ∂αα
0
∂ββ
0
α
β
dx dx .
Como esta equação é válida para qualquer dxα , segue-se
que
0
0
gαβ = ∂αα ∂ββ gα0 β 0 ,
(L.28)
o que demonstra que gαβ é um tensor covariante de ordem
2. Este é o tensor métrico, que contém as informações
sobre o tipo de geometria com a qual estamos lidando.
A matriz inversa de gαβ é representada por g αβ e é um
tensor contravariante de ordem 2.
O tensor métrico define um produto escalar entre vetores contravariantes:
gαβ Aα B β .
∂β = ∂bβ ∂β 0 .
(L.27)
(L.29)
(L.37)
Com isto, temos
∂β Aα
0
0
= ∂ββ ∂β 0 ∂αα0 Aα
(L.38)
0
0
0
∂ 2 xα
= ∂ββ
Aα + ∂αα0 ∂β 0 Aα
∂xβ 0 ∂xα0
0
0
0
0
∂ 2 xα
Aα .
= ∂ββ ∂αα0 ∂β 0 Aα + ∂ββ
∂xβ 0 ∂xα0
Esta equação nos mostra que ∂β Aα não é um tensor por
causa do último termo:
∂ββ
0
∂ 2 xα
α0
.
0
0 A
β
α
∂x ∂x
(L.39)
114
É preciso encontrar uma generalização da derivada, que
representaremos por ∇α que possa ser aplicada a tensores e cujo resultado seja um tensor. A esta generalização
chamaremos de derivada covariante. Para poder ser considerado uma derivada, o operador ∇α deve ser linear e
obedecer à regra de Leibniz, isto é, sendo A e B dois
tensores de ordem qualquer, e sendo a e b dois números
quaisquer,
∇α (aA + bB)
=
a∇α A + b∇α B ,
(L.40)
∇α (AB)
=
∇α (A)B + A∇α B .
(L.41)
No caso de aplicação a escalares, ∇α coincide com ∂α .
No caso de vetores, precisamos de um termo que compense o item problemático L.39. Isso pode ser obtido
acrescentando-se um termo linear em relação a Aα (para
não comprometer a linearidade da derivada). Genericamente, teremos algo do tipo:
∇α Aβ = ∂α Aβ + Γβαγ Aγ ,
∇α A
β
= ∂α A +
Γβαγ Aγ
0
0
= ∂αα ∂ββ0 ∇α0 Aβ
0
0
0
0
= ∂αα ∂ββ0 ∂α0 Aβ + Γβα0 γ 0 Aγ . (L.43)
Por outro lado, podemos transformar L.38 em L.43 adicionando termos de ambos os lados de forma a preservar a
igualdade:
γ
∂β Aα + Γα
βγ A
0
0
0
0
0
γ0
= ∂ββ ∂αα0 ∂β 0 Aα + Γα
+ ∂ββ ∂βα0 γ 0 Aγ
β0 γ0 A
0
0
0
γ
α
γ
−∂ββ ∂αα0 Γα
β 0 γ 0 A + Γβγ A ,
∂ 2 xα
.
≡
∂xβ 0 ∂xγ 0
γ
Γα
βγ A
=
= ∂ββ
0
0
(L.49)
∂βα0 γ 0 = ∂γα0 β 0 ,
(L.50)
1
segue-se que Γα
βγ é simétrico nos ı́ndices inferiores:
α
Γα
βγ = Γγβ .
(L.51)
Para determinar a forma do operador ∇α quando aplicado a tensores de ordem 2, podemos utilizar a regra de
Leibniz aplicada a um produto de dois vetores contravariantes:
∇α (Aβ B γ )
= ∇α (Aβ )B γ + Aβ ∇α B γ
=
(∂α Aβ )B γ + Γβαδ Aδ B γ
+Aβ ∂α B γ + Aβ Γγαδ B δ
(L.52)
β
γ
β γ
δ γ
β δ
= ∂α A B + Γαδ A B + Γαδ A B .
Portanto, a regra para a derivada covariante de um tensor contravariante de ordem 2 é
∇α T βγ = ∂α T βγ + Γβαδ T δγ + Γγαδ T βδ .
(L.53)
Se proseguirmos com esse raciocı́nio, veremos que surge
um novo termo para cada novo ı́ndice da expressão sendo
derivada.
E quanto à derivada covariante de um vetor covariante?
Para obter esse resultado, podemos recorrer à regra de
Leibniz aplicada a uma contração de um vetor contravariante por um vetor covariante, que é um escalar:
∇α (Aβ B β )
=
∂α (Aβ B β )
=
∇α (Aβ )B β + Aβ ∇α B β
=
β
β
∇α (Aβ )B + Aβ ∂α B +
(L.54)
Aβ Γβαδ B δ
.
Temos, portanto, a relação
(L.45)
∂α (Aβ B β ) = ∇α (Aβ )B β +Aβ ∂α B β + Aβ Γβαδ B δ , (L.55)
que pode ser reorganizada da seguinte maneira:
Portanto,
0
∂ββ
0
Como a derivada parcial é comutativa, isto é,
(L.44)
sendo que a soma dos últimos três termos é nula e
∂βα0 γ 0
0
α
α
Γα
β 0 γ 0 = ∂α ∂β 0 γ 0 .
(L.42)
sendo que precisamos descobrir como calcular os coeficientes Γβαγ .
Como ∇α Aβ é um tensor,
β
ou
∇α (Aβ )B β
0
α
γ
∂αα0 Γα
β 0 γ 0 − ∂β 0 γ 0 A
0
α
γ0 γ
∂αα0 Γα
β 0 γ 0 − ∂β 0 γ 0 ∂γ A . (L.46)
Como Aγ é um vetor contravariante arbitrário,
0
β0
α α0
α
Γα
=
∂
∂
Γ
−
∂
∂γγ ,
0
0
0
0
0
βγ
α β γ
β γ
β
(L.47)
= ∂α (Aβ B β ) − Aβ ∂α B β − Aβ Γβαδ B δ
= ∂α (Aβ )B β − Γβαδ Aβ B δ
= ∂α (Aβ )B β − Γδαβ Aδ B β .
(L.56)
Como esta expressão é válida para qualquer B β , decorre
que
∇α (Aβ ) = ∂α (Aβ ) − Γδαβ Aδ .
(L.57)
Usando a regra de Leibniz em uma expressão do tipo
o que mostra que Γα
βγ não é um tensor.
∇α (Aβ Bγ ), obtemos a regra para a derivada covariante
Se um tensor tem todas as suas componentes nulas em
de um tensor covariante de ordem 2.
um dado sistema de referência, então terá todas as suas
componentes nulas em qualquer sistema de referência. Isso
∇α Tβγ = ∂α Tβγ − Γδαβ Tδγ − Γδαγ Tβδ .
(L.58)
não ocorre com Γα
βγ . É sempre possı́vel encontrar um sistema de coordenadas no qual Γα
Mas ainda falta encontrar uma maneira de calcular os
βγ é nulo. De fato, basta
garantir que a transformação de coordenadas seja tal que coeficientes Γα
βγ , conhecidos como sı́mbolos de Christoffel.
0
α
∂αα0 Γα
β 0 γ 0 = ∂β 0 γ 0 ,
(L.48)
1 Este
raciocı́nio é válido para espaços sem torção.
L.6. O TENSOR DE RICCI
115
sendo que Rγαβδ é o tensor de curvatura, que descreve
a curvatura do espaço em cada ponto em todas as combinações de direções. Note que se trata de um tensor de
quarta ordem. em um espaço-tempo de quatro dimensões,
o tensor de curvatura possui 256 componentes. Vejamos
(L.59) como calculá-las.
∇α ∇β Aγ = ∇α ∂β Aγ + Γγβδ Aδ
(L.60)
= ∂α ∂β Aγ + Γγβδ Aδ
(L.61)
+Γγαδ ∂β Aδ + Γδβ A
Esta informação pode ser obtida ao analisarmos o relacionamento entre a derivada covariante e o tensor métrico.
Como estamos construindo a definição de ∇α Aβ para
que esta expressão seja um tensor, é importante que
gβγ ∇α Aβ = ∇α Aγ .
Mas
∇α Aγ = ∇α gβγ Aβ ,
ou seja,
gβγ ∇α Aβ = ∇α gβγ Aβ .
−Γδαβ (∂δ Aγ + Γγδ A )
= ∂α ∂β Aγ + ∂α Γγβδ Aδ + Γγβδ ∂α Aδ
Portanto, ∇α precisa comutar com o tensor métrico, o que
implica em
∇α gβγ = 0
(L.62)
+Γγαδ ∂β Aδ + Γγαδ Γδβ A
por causa da regra de Leibniz. Expandindo a derivada
covariante do tensor métrico, temos
= ∂α gβγ − Γδαβ gδγ − Γδαγ gβδ .
∇α gβγ
Definindo
−Γδαβ ∂δ Aγ − Γδαβ Γγδ A .
(L.63) Subtraindo a expressão equivalente para ∇ ∇ Aγ e reorβ α
ganizando os termos, obtemos
Γαβγ ≡ Γδβγ gαδ ,
(L.64)
∂α gβγ = Γγαβ + Γβαγ .
(L.65)
[∇α , ∇β ]Aγ
obtemos
=
[∂α , ∂β ]Aγ
+Γγβδ ∂α Aδ
+Γγαδ ∂β Aδ
−Γδαβ ∂δ Aγ
Alternando os ı́ndices desta equação, somando os resultados e utilizando a simetria
Γαβγ = Γαγβ ,
(L.72)
(L.66)
obtemos a seguinte relação:
=
(L.73)
− Γγαδ ∂β Aδ
− Γγβδ ∂α Aδ
+ Γδβα ∂δ Aγ
+ ∂α Γγβδ − ∂β Γγαδ + Γγα Γβδ − Γαβ Γγδ Aδ
∂α Γγβδ − ∂β Γγαδ + Γγα Γβδ − Γγβ Γαδ Aδ .
∂α gβγ − ∂β gγα − ∂γ gαβ
=
Assim, o tensor de curvatura é dado por
Γγαβ + Γβαγ
−Γαβγ − Γγβα
Rγαβδ = ∂α Γγβδ − ∂β Γγαδ + Γγα Γβδ − Γγβ Γαδ .
−Γβγα − Γαγβ
=
=⇒ Γαβγ =
−2Γαβγ
1
(∂β gγα + ∂γ gαβ − ∂α gβγ ) .
2
(L.67)
(L.68)
Em alguns casos, é conveniente utilizar o tensor de curvatura em sua forma totalmente covariante:
Rαβγδ
L.5
=
=
Portanto,
Γα
βγ =
1 αδ
g (∂β gγδ + ∂γ gδβ − ∂δ gβγ ) .
2
(L.69)
(L.74)
L.6
gα R βγδ
∂β Γαγδ − ∂γ Γαβδ +
(L.75)
Γγδ Γαβ
−
Γβδ Γαγ
.
O Tensor de Ricci
O Tensor de Curvatura
Na Relatividade Geral, é mais comum utilizarmos um outro tensor que também contém informações sobre curvaA derivada covariante nos permite calcular, por exemplo, tura e pode ser obtido a partir do tensor de curvatura de
a curvatura de um espaço. Um plano, por exemplo, tem Riemann:
γ
curvatura nula. Uma superfı́cie esférica possui curvatura
Rαβ ≡ Rαγβ
.
(L.76)
não-nula.
Este tipo de resultado pode ser obtido ao aplicarmos o Este é o tensor de Ricci.
comutador da derivada covariante sobre um vetor contravariante:
L.7
[∇α , ∇β ]Aγ ≡ ∇α ∇β Aγ − ∇β ∇α Aγ .
(L.70)
Escalar de Curvatura
Outra grandeza importante para a Relatividade Geral é o
O resultado será uma expressão tensorial com a seguinte escalar de curvatura:
forma:
R ≡ Rαβ .
(L.77)
[∇α , ∇β ]Aγ = Rγαβδ Aδ ,
(L.71)
116
L.8
As Identidades de Bianchi
A partir deste ponto, utilizaremos a seguinte notação sim- ou
plificada:
A,α ≡ ∂α A ,
(L.78)
A;α ≡ ∇α A .
(L.79)
O tensor de curvatura, por exemplo, pode ser expresso
como
Rγαβδ = Γγβδ,α − Γγαδ,β + Γγα Γβδ − Γγβ Γαδ .
1
∇α Rαβ − δβα R = 0 ,
2
(L.95)
1
∇α Rαβ − g αβ R = 0 .
2
(L.96)
Esta é a identidade de Bianchi contraı́da.
L.9
Conservação de Energia
(L.80)
Entidades como tensões, densidade de energia, densidade
de momentum, fluxo de momentum, comportam-se como
componentes de um tensor de segunda ordem, o tensor de
L.8.1 Primeira Identidade de Bianchi
energia-momentum, usualmente representado por T αβ .
Conforme já mencionamos, é sempre possı́vel encontrar
De acordo com o teorema de Noether, a simetria de
sistemas de referência (referenciais localmente inerciais)
translação das leis fı́sicas no espaço-tempo implica em uma
α
nos quais os sı́mbolos de Christoffel são nulos (Γβγ = 0)
lei de conservação associada ao tensor de energia momenem um dado evento, embora não seja possı́vel anular totum, que pode ser expressa da seguinte maneira:
das as suas derivadas da mesma maneira se o espaço tiver
curvatura não-nula.
∇α T αβ = 0 .
(L.97)
Em um sistema localmente inercial,
= ∂β Γαγδ − ∂γ Γαβδ .
(L.81) L.10
A Equação de Einstein
1
(gαδ,βγ − gαγ,βδ + gβγ,αδ − gβδ,αγ ) ,
=
Consideremos o seguinte sistema de equações diferenciais:
2
1
=
(gαδ,βγ − gαγ,βδ + gβγ,αδ − gβδ,αγ ) .
∇α T αβ = 0 ,
2
(L.98)
∇α Rαβ − 12 g αβ R = 0 .
(L.82)
Rαβγδ
Rαβγδ,
Como as derivadas parciais comutam e por causa da
simetria do tensor métrico (gαβ = gβα ), é válida a seguinte
relação:
Rαβγδ, + Rαβγ,δ + Rαβδ,γ = 0 .
(L.83)
Em um referencial mais geral, a expressão passa a ser:
Rαβγδ; + Rαβγ;δ + Rαβδ;γ = 0 .
(L.84)
Esta é a primeira identidade de Bianchi.
L.8.2
Identidade de Bianchi Contraı́da
Podemos efetuar a seguinte operação em L.84:
g αγ (Rαβγδ; + Rαβγ;δ + Rαβδ;γ ) = 0 ,
R
γ
R
γ
βγδ;
βγδ;
+R
γ
−R
γ
βγ;δ
βγ;δ
+R
γ
+R
γ
Rβδ; − Rβ;δ + R
βδ;γ
= 0,
βδ;γ
= 0,
γ
βδ;γ
= 0,
g βδ Rβδ; − Rβ;δ + Rγβδ;γ = 0 ,
R; − Rδ ;δ + Rγδδ;γ = 0 ,
R; − Rδ ;δ − Rγ;γ = 0 ,
R; − Rδ ;δ − Rγ;γ = 0 ,
R;β − 2Rαβ;α = 0 ,
δβα R;α − 2Rαβ;α = 0 ,
Note-se que, se A e B são tensores da mesma ordem,
{∇α Aαβγ... = 0 , ∇α B αβγ... = 0}
=⇒ Aαβγ... = κB αβγ... + Φαβγ... ,
(L.99)
sendo κ e Φ funcionam como “constantes de integração”,
e são tais que
∇α κ = ∇α Φ = 0 .
(L.100)
Em princı́pio, κ e Φ podem ser arbitrariamente complexos,
o que nos fornece uma famı́lia infinita de soluções para
L.98. Existem, entretanto, algumas restrições: κ é um
escalar e Φ é um tensor do mesmo tipo de A e B. Além
disso, como κ é um escalar,
∇α κ = ∂α κ = 0 ,
(L.101)
(L.85)
o que significa que κ não pode depender de qualquer coordenada
de espaçotempo. Portanto, κ é uma constante
(L.86)
universal, a qual não pode variar com o tempo, inclusive.
(L.87)
Quanto a Φ, a forma mais simples que esta entidade
pode
adquirir é
(L.88)
Φ = Λg αβ ,
(L.102)
(L.89) sendo Λ um escalar tal que
(L.90)
∇α Λ = 0 ,
(L.103)
(L.91) o que, como no caso de κ, implica em que Λ é uma cons(L.92) tante universal que também não varia no tempo.
Neste caso, a partir do sistema L.98 obtemos a equação
(L.93)
1
(L.104)
Rαβ − g αβ R = κT αβ + Λg αβ ,
(L.94)
2
L.12. BURACOS DE VERME
sendo que κ e Λ são constantes de integração.
A constante κ pode ser determinada pela comparação de
resultados de L.104 com resultados da teoria newtoniana,
o que resulta em
8πG
κ =
.
(L.105)
c4
Em princı́pio, o valor de Λ pode ser determinado por observações astronômicas. Esta é a constante cosmológica,
responsável conhecida pela chamada energia escura, que
tende a acelerar a expansão do Universo, segundo observações recentes.
Há estudos envolvendo uma possı́vel “constante cosmológica variável”, como [20], mas essa não seria a mesma
constante da qual falamos aqui, mas seria o coeficiente de
um outro termo do mesmo tipo adicionado ao tensor de
energia-momentum, sendo que a equação de Einstein passaria a ter o seguinte aspecto:
117
com
2GM
,
(L.111)
c2
sendo M a massa do objeto gerador do campo gravitacional. Esta é a solução de Schwarzschild para a equação de
Einstein no vácuo.
Note o leitor o que ocorre para r < r0 : os sinais da
dimensão radial e do tempo se invertem. Isso significa que
a dimensão radial passaria a ser uma dimensão de tempo
no interior do buraco negro, e nossa dimensão de tempo
seria uma dimensão de espaço naquela região.
r0 =
L.12
Buracos de Verme
A expressão ‘buraco de verme’ é uma tradução do inglês
‘wormhole’, que vem de uma analogia. Um verme em
uma maçã poderia ir de um lado ao outro sem percorrer
a superfı́cie, mas cavando um túnel pelo interior da maçã.
1
(L.106) A Relatividade Geral já aponta para uma possibilidade
Rαβ − g αβ R = κT̄ αβ + Λ̄g αβ + Λg αβ ,
2
desse tipo, permitindo tomar uma espécie de atalho para
sendo que as novas grandezas T̄ e Λ̄ são tais que
ir de um ponto a outro do Universo sem percorrer toda a
distância que os separa. [48] [49].
1 αβ
αβ
αβ
A métrica de um wormhole pode ser representada da
T
≡ T̄ + Λ̄g .
(L.107)
κ
seguinte maneira:
Ao simplesmente substituir-se Λ por Λ̄ na equação de Einstein, está-se, de fato, efetuando a decomposição L.107 e
supondo-se Λ = 0.
ds2 = e2Φ(r) c2 dt2 −
dr2
1−
b(r)
r
− r2 dθ2 + sin2 θ dϕ2 .
(L.112)
L.11
Buracos Negros
Em 1915, enquanto servia ao exército alemão na primeira
guerra mundial, Karl Schwartzchild conseguiu obter uma
solução exata para a equação de Einstein, a qual descrevia a geometria do espaço-tempo ao redor de um objeto
estático com simetria esférica (sem rotação, portanto).
Por causa da simetria esférica e por tratar-se de um sistema estático, pode-se utilizar um sistema de coordenadas
do tipo:
ds2 = A(r)c2 dt2 − B(r)dr2 − r2 dθ2 + sin2 θdϕ2 .
(L.108)
A representação do tensor métrico neste sistema é


A
0
0
0
 0 −B

0
0
.
gαβ = 
(L.109)
2
 0

0
−r
0
0
0
0
−r2 sin2 θ
L.13
Friedman-Lemaı̂tre
Imaginando-se o Universo como homogêneo e isotrópico
(o que muitos consideram ser uma boa aproximação),
terı́amos uma métrica do tipo
dr2
2
2
2
2
2
2
2
ds = dt − a (t)
+ r dθ + sin θ dϕ
,
1 − kr2
(L.113)
sendo que estamos utilizando a mesma unidade de medida
para o tempo e para o espaço (c = 1 nessas unidades), por
simplidicade, e k é um dos valores +1, 0 ou −1 se a curvatura puramente espacial do Universo for respectivamente
positiva, nula ou negativa.
Note-se que em um espaço homogêneo e isotrópico, a
curvatura é a mesma em toda parte.
Com uma transformação de transformação de coordenadas, a métrica adquire o seguinte aspecto:
ds2 = dt2 − a2 (t) dχ2 + Sk2 (χ) dθ2 + sin2 θdϕ ,
Estamos buscando soluções para a equação de Einstein
(L.114)
do lado de fora do objeto esférico. Nessa região, o tensor
sendo que Sk (χ) é uma das funções sin χ, χ ou sinh χ resde energia-momentum é nulo.
Levando esta métrica à equação de einstein, conseguem- pectivamente para k sendo +1, 0 ou −1.
Como não há atrito entre aglomerados galácticos (que
se determinar A(r) e B(r). O resultado é a seguinte
funcionam como minúsculos grãos de pó no Universo), pométrica:
demos utilizar o tensor de energia-momentum do pó, ou
dr2
r0 2 2
2
2
2
2
2
fluido perfeito:
ds = 1 −
c dt −
− r dθ + sin θdϕ ,
r
1 − rr0
(L.110)
Tαβ = −pgαβ + (p + ρ)uα uβ ,
(L.115)
118
sendo p a pressão do fluido, ρ sua densidade de energia e
u o quadrivetor velocidade do fluido. No referencial que
escolhemos, temos, em média,
 
1
 0 

(L.116)
u =
 0 .
0
Levando estas informações à equação de Einstein
1
Rαβ − gαβ R = 8πG Tαβ + Λ gαβ ,
2
(L.117)
obtemos as equações de Friedman-Lemaı̂tre:
2
8π G ρ
Λ
k
ȧ
=
− 2+ ,
H ≡
a
3
a
3
2
e
(L.118)
ä
Λ 4πG
=
−
(ρ + 3p) ,
(L.119)
a
3
3
sendo H(t) o parâmetro de Hubble, que estabelece a
proporcionalidade entre velocidades de afastamendo e
distâncias no Universo.
Estas equações ajudam a definir e utilizar parâmetros
cosmológicos e obter conclusões a partir de dados observacionais.
Apêndice M
Possı́vel Decaimento da Velocidade da
Luz
M.1
Introdução
Uma das constantes mais importantes na Mecânica
Quântica, por exemplo, é h̄, que se chama constante de
Em 1987, Trevor Norman e Barry Setterfield publicaram Planck reduzida.
um artigo [19] com evidências de que a velocidade da luz
Uma das restrições que mencionamos é a de que h̄c não
no vácuo (c) estaria diminuindo com o passar do tempo. varia com o tempo. Portanto, h̄ deve ser inversamente
Embora o artigo apresentasse alguns problemas concei- proporcional a c, isto é,
tuais, varias ideias ali apresentadas não devem ser suma1
riamente descartadas sem alguma investigação.
(M.1)
h̄ ∝ .
c
Nosso objetivo neste apêndice é o de apresentar de forma
preliminar, alguns dos problemas do artigo e fazer uma
O artigo tece esta e outras considerações sobre “vaestimativa inicial de algumas das consequências no âmbito riações de constantes”. Avaliaremos alguns detalhes
da Relatividade Geral e da Mecânica Quântica. Neste técnicos relacionados a este assunto.
último caso, estamos especialmente interessados em saber
se variações de c afetariam constantes de decaimento de
materiais radiogênicos.
M.3 Problemas Conceituais
Quando tivermos tempo de examinar o problema mais
profundamente podemos descobrir itens importantes que Comentaremos três dos problemas que encontramos no arnão estamos levando em conta nesta avaliação preliminar tigo.
do assunto, o que pode alterar alguma conclusão que tiramos a partir das informações levadas em conta.
M.3.1
M.2
Contexto
De acordo com os autores, a velocidade da luz no vácuo
(c) vem diminuindo desde a criação do Universo. Uma
interessante implicação disso seria a de que as imagens
que recebemos de objetos astronômicos teria partido de lá
a menos tempo do que se supõe, pois, no inı́cio da jornada,
a luz viajava a velocidades superiores à atual.
Mas a velocidade da luz está ligada à própria passagem
do tempo, regulando, por exemplo, o funcionamento de
relógios atômicos.
Norman e Setterfield fazem uma distinção entre
‘tempo atômico’, medido por processos atômicos (eletromagnéticos ou nucleares), e ‘tempo dinâmico’, medido por
processos mecânicos, como o movimento de planetas em
torno do sol.
De acordo com o artigo, o decaimento da velocidade da
luz significa que relógios atômicos estão ficando cada vez
mais lentos em relação a relógios astronômicos.
Observações experimentais impõem certas restrições
quanto ao que podemos aceitar sobre “variações de constantes” fı́sicas.
Primeiro Problema
Logo na introdução, lemos que o tempo atômico “é governado pelo perı́odo gasto por um elétron para dar uma
volta em sua órbita”.
Aparentemente, os autores ainda imaginam que elétrons
giram ao redor de núcleos atômicos, ideia que foi descartada no inı́cio do século XX por ser incompatı́vel com as
leis de Maxwell para o eletromagnetismo. Este foi um dos
problemas resolvidos pela Mecânica Quântica.
Elétrons em um átomo não giram ao redor do núcleo
como partı́culas clássicas. Como eles se comportam como
ondas, o que existem são ondas estacionárias de elétrons
as quais são chamadas de orbitais. As regras da Mecânica
Quântica nos permitem calcular as propriedades destes orbitais (ver apêndice K).
No orbital de menor energia de um átomo de hidrogênio,
por exemplo, a quantidade de movimento angular (momento angular) do elétron é zero, ou seja, mesmo que
quiséssemos imaginá-lo como uma partı́cula clássica, seu
movimento seria apenas radial (caindo direto sobre o
núcleo em linha reta e emergindo do outro lado, repetindo
o processo indefinidamente). Mas o que temos é uma onda
estacionária com simetria esférica sem momentum angular.
119
120
APÊNDICE M. POSSÍVEL DECAIMENTO DA VELOCIDADE DA LUZ
Usando a ideia de que o elétron gira ao redor do próton percebe-se imediatamente que
em um átomo de hidrogênio, os autores calculam como a
G ∝ c4 ,
(M.6)
variação da valocidade da luz afeta o perı́odo desse giro,
que determinaria o tempo medido por relógios atômicos.
pois κ é constante.
Evidentemente essa abordagem é inválida. Trataremos
No limite de campos gravitacionais muito fracos, vale a
desta questão na seção M.5.
aproximação de Newton para a força de atração gravitacional entre dois objetos de massas m1 e m2 respectivamente
M.3.2 Segundo Problema
e separados por uma distância r:
Trata-se de um problema menor. O número de Avogadro
(N0 ) é tratado como uma importante constante universal
que não é afetada pela variação de c. A independência
entre N0 e c não é problema, mas o número de Avogadro é uma mera convenção e não uma constante da fı́sica
genuı́na: é a razão entre a massa de um grama e a massa
de uma unidade de massa atômica.
Estas são duas unidades de medida arbitrárias e o
número de Avogadro é simplesmente o quociente desses
valores arbitrariamente escolhidos.
F =
G m1 m2
.
r2
(M.7)
De acordo com o artigo, fenômenos gravitacionais como
este não devem ser afetados pela redução da velocidade da
luz, uma vez que não se observa a catástrofe gravitacional
que resultaria disso. Como distâncias também não são
afetadas e F não se altera com c, então podemos concluir
que
G ∝ m−2 ,
(M.8)
o que resulta em
M.3.3
m ∝ c−2 ,
Terceiro Problema
O artigo afirma que a solução de Schwarzschild inclui o
termo1 Λ/c2 , o que não é verdade.
O leitor pode conferir a solução de Schwarzschild na
seção L.11 e observar que a constante cosmológica não é
usada.
Segundo o artigo, Λ/c2 deve ser constante, pois não se
observam evidências de uma catástrofe gravitacional. Portanto,
Λ ∝ c2 .
(M.2)
(M.9)
ou seja, a massa de qualquer objeto de massa m aumenta
quadraticamente à medida em que c diminui, de forma que
mc2 permanece constante.
Neste caso, a energia do Universo estaria estável, mas a
massa estaria aumentando com o passar do tempo.
M.5
Tempo Atômico
Conforme comentamos antes, o argumento utilizado no
artigo para associar o tempo atômico ao valor da velociTrataremos deste tipo de questão na seção M.4.
dade da luz era inválido. Entretanto, a conclusão final parece razoável. Trataremos agora de corrigir o argumento,
M.4 Consequências na Relativi- tornando-o compatı́vel com a Mecânica Quântica.
O tempo atômico não é definido em termos de “perı́odos
dade Geral
orbitais”, mas em frequências de fótons emitidos quando
A partir deste momento, precisaremos entrar em detalhes elétrons passam de um nı́vel de energia a outro.
Partı́culas confinadas, como elétrons ligados a átomos,
técnicos.
só
admitem certos valores bem definidos de energia (E1 ,
Conforme os argumentos que apresentamos da seção
E
,
2 ...). Se um elétron passar de um nı́vel de energia Ei
L.10, a equação de Einstein pode ser expressa como
para um nı́vel de energia Ej , sendo Ej < Ei , um fóton é
1
(M.3) criado e transporta consigo essa diferença de energia
Rµν − gµν R = κTµν + Λgµν ,
2
E = Ei − Ej .
(M.10)
sendo que κ e Λ são escalares tais que
O fóton emitido terá uma frequência ν tal que
∂µ κ = ∂µ Λ = 0 .
(M.4)
E = hν ,
(M.11)
Traduzindo, eles não podem variar no tempo e nem no
espaço, seja qual for o referencial usado.
sendo h a constante de Planck. Lembramos que
A proposta de que Λ ∝ c2 é incompatı́vel com a Reh
latividade Geral, a menos que não estejamos falando de
h̄ =
.
(M.12)
2π
alguma outra granda que se pareça com a constante cosmológica em suas propriedades formais (ver comentários Para verificarmos o quanto a variação de c afeta os nı́veis
no final da seção L.10).
de energia, podemos, por exemplo, resolver a equação de
Por outro lado, lembrando que
Schrödinger para um átomo com um só elétron (apêndice
κ =
1Λ
é a constante cosmológica.
8πG
,
c4
K). O resultado é que, para o nı́vel de energia n, temos
(M.5)
En = −
µ Z 2 e4
,
2(4π 0 h̄ n)2
(M.13)
M.6. EFEITO EM CONSTANTES DE DECAIMENTO
sendo Z o número atômico do núcleo (número de prótons),
µ a massa reduzida do sistema núcleo-elétron, e a carga
elétrica do elétron, e 0 a permissividade elétrica do vácuo.
De acordo com Norman e Setterfield, 0 não se altera
com o tempo, o mesmo ocorrendo com e. Como µ ∝ c−2
e h̄ ∝ c−1 , segue-se que En não varia com o tempo.
A propósito, é bom lembrar que, de acordo com as
equações de Maxwell (ver seção E.6),
c2 =
1
,
µ0 0
(M.14)
sendo µ0 permeabilidade magnética do vácuo. Têm sido
utilizadas unidades tais que
µ0 = 4π × 10−7 N/A2 .
(M.15)
Se 0 é fixo e c varia, então µ0 também varia, o que afeta a
definição da unidade SI de corrente elétrica (A, ampère),
que afeta a unidade SI de carga elétrica (C, coulomb), que
afeta os resultados das medidas de e. Mas deixemos isso
de lado por enquanto.
Voltando ao problema principal, como a frequência do
fóton satisfaz
E
,
(M.16)
ν =
h
e lembrando que h ∝ c−1 , o resultado é que
121
M.6
Efeito em Constantes de Decaimento
Se h̄ cresce com c−1 , devemos supor que constantes de decaimento radioativo (λ) se alterem com o tempo? Isso faz
algum sentido por causa da importância de h̄ na Mecânica
Quântica. O item determinante da possibilidade do decaimento de radionuclı́deos é o efeito túnel.
Para uma estimativa preliminar da relação entre λ e
h̄, podemos utilizar o coeficiente de transmissão no efeito
túnel em um caso simples. Com isso poderemos saber se
o efeito túnel é, de modo geral, afetado por variações em
c.
Consideremos uma barreira de potencial descrita por

x < 0,
 0,
V0 , 0 ≤ x ≤ L,
V (x) =
(M.22)

0,
L < x.
Equação de Schrödinger:
−
∂Ψ(t, x)
h̄2 2
∇ Ψ(t, x) + V (x)Ψ(t, x) = ih̄
. (M.23)
2m
∂t
Nos interessa o caso em que uma partı́cula viaja da esquerda para a direita com momentum p e energia cinética
ν ∝ c.
(M.17) E < V0 e atinge a barreira. Esta informação nos serve de
filtro em relação à solução geral da equação de SchrödinA unidade de medida de tempo atômico τ é inversa- ger.
mente proporcional a alguma frequência padrão ν, que é
Separando as variáveis,
proporcional a c. Portanto,
Ψ(t, x) ≡ ϕ(t)ψ(x) ,
(M.24)
τ ∝ c−1 .
(M.18)
obtemos
Como consequência,
dc
dτ
<0 →
> 0,
(M.19)
dt
dt
o que significa que os relógios atômicos e eletrônicos ficam
mais lentos em relação a relógios mecânicos à medida em
que c diminui.
Portanto, a conclusão de Norman e Setterfield de que
o “tempo atômico está ficando mais lento em relação ao
tempo dinâmico” (se a velocidade da luz estiver mesmo
diminuindo) é correta apesar do erro de argumentação.
Note-se que no raciocı́nio que seguimos, tratamos apenas da formação e emissão de um fóton. Nada dissemos
sobre o que acontece durante sua propagação, à medida
em que a luz viaja e c diminui.
Supondo que a energia E = hν do fóton seja constante
(ignorando expansão do Universo), então
−
h̄2 1 2
ih̄ ∂ϕ
∇ ψ+V =
,
2m ψ
ϕ ∂t
(M.25)
dϕ
= Eϕ
dt
(M.26)
que implica em
ih̄
e
h̄2 d2 ψ
+ V ψ = Eψ .
2m dx2
A equação M.26 fornece
−
i
ϕ(t) = e− h̄ E t ,
(M.27)
(M.28)
que basicamente representa a evolução temporal da fase da
função de onda, pouco relevante para nossos propósitos,
mas faz parte da solução.
A parte espacial tem comportamentos diferentes, depen−1
dendo
da região estudada. Para a primeira região (x ≤ 0)
ν∝h ∝c
(M.20)
a
solução
será chamada de ψ1 (x); para 0 ≤ x ≤ L teremos
durante a viagem. Levando em conta que h ∝ c−1 e lem- ψ2 (x) e para x > L teremos ψ3 (x).
brando que permanece válida a relação
Nas regiões 1 e 3, temos
c = λν ,
(M.21)
percebe-se que, embora ν e c diminuam com o tempo,
λ permanece constante, o que é consistente com as ou
afirmações do artigo de que distâncias não são afetadas
pelo decaimento de c.
−
h̄2 d2 ψ
= Eψ ,
2m dx2
d2 ψ 2mE
+ 2 ψ = 0.
dx2
h̄
(M.29)
(M.30)
122
APÊNDICE M. POSSÍVEL DECAIMENTO DA VELOCIDADE DA LUZ
ik(A − B) = µ(C − D) ,
µ Ce − De−µL = ikF eikL .
A equação caracterı́stica é
r2 +
µL
2mE
= 0,
h̄2
(M.31)
cujas soluções são
r = ±ik ,
com
(M.32)
√
2mE
p
= .
(M.33)
h̄
h̄
Portanto, as soluções gerais para as regiões 1 e 3 são
k ≡
ψ1 (x) = Aeikx + Be−ikx ,
(M.34)
e
ψ3 (x) = F eikx + Ge−ikx .
(M.35)
(M.49)
(M.50)
Interessa-nos calcular o coeficiente de transmissão T ,
que representa a probabilidade de que a partı́cula atravesse
a barreira:
F ∗F
T = ∗ .
(M.51)
A A
Para obter esta expressão, basta resulver o sistema linear
acima para B, C, D e F em termos de A. Note-se, porém,
que as únicas grandezas que podem aparecer em T e que
contém constantes que podem variar com a velocidade da
luz são k e µ. Porém, em termos de variação de c temos:
√
m
c−1
(M.52)
∝ −1 = 1 ,
µ∝k∝
h̄
c
ikx
Note-se que o momentum correspondente a Ae
é dado ou seja, k e µ não se alteram com c, o que significa que o
pela equação caracterı́stica do operador momentum:
coeficiente de transmissão também não.
Mas o coeficiente de transmissão está diretamente ligado
p̂Aeikx = p0 Aeikx
(M.36)
à constante de decaimento, isto é, ambos representam a
probabilidade de que uma partı́cula atravessará a barreira
∂
(M.37) de potencial. Como esta probabilidade não é afetada pelo
=⇒ −ih̄ Aikx = −ih̄ikAeikx = h̄kAeikx
∂x
decaimento de c, a constante de decaimento radioativo
=⇒ p0 = p .
(M.38) também não se altera.
A tı́tulo de curiosidade, completamos a solução.
Para Be−ikx , obtemos p0 = −p. Portanto, Aeikx repreResolvendo o sistema para determinar F em termos de
senta a onda que incide na barreira, e Be−ikx representa
A, obtemos
a onda refletida.
No caso da região 3, só pode haver onda transmitida,
−4ikµAeµL
indo da esquerda para a direita (F eikx ) e nenhuma onda
,(M.53)
F =
e2µL+ikL (µ − ik)2 − eikL (µ + ik)2
retornando. Portanto G = 0.
Na região da barreira, temos
h̄2 d2 ψ
+ V0 ψ = Eψ ,
−
2m dx2
(M.39)
T
=
=
ou
d2 ψ
2m(V0 − E)
=
ψ.
dx2
h̄2
(M.40)
ψ2 (x) = Ceµx + De−µx ,
(M.41)
=
A solução geral é
com
p
2m(V0 − E)
.
h̄
Condições de fronteiras:
µ ≡
ψ1 (0) = ψ2 (0) ,
ψ2 (L) = ψ3 (L) ,
dψ1 dψ2 =
,
dx x=0
dx x=0
dψ2 dψ3 =
.
dx x=L
dx x=L
F ∗F
A∗ A
(M.54)
16k 2 µ2 e2µL
+
+
− 2((µ2 − k 2 )2 − 4k 2 µ2 )e2µL
8k 2 µ2
.
2
2
2
(µ + k ) cosh(2µL) − (µ2 − k 2 )2 + 4k 2 µ2
(M.55)
(µ2
k 2 )2 (1
e4µL )
Resumindo, se não houver algum equı́voco no raciocı́nio
que acabamos de expor, o efeito túnel em si não é afetado
(M.42) pela variação da velocidade da luz no vácuo. Se depender
somente deste fator, variações em c não afetam a constante
de decaimento λ e a fórmula
(M.43)
(M.44) permanece válida.
(M.45)
(M.46)
Traduzindo este sistema,
A+B = C +D,
(M.47)
CeµL + De−µL = F eikL ,
(M.48)
N (t) = N0 e−λt
(M.56)
Apêndice N
O Que É Energia?
N.1
Introdução
Este texto exige certos pré-requisitos para ser entendido.
O leitor que não possuir os conhecimentos preliminares
exigidos aqui tem a opção de ler um outro texto mais
acessı́vel cujo tı́tulo é “Energia” [4]. Saiba, porém, que
o texto mais acessı́vel é, por isso mesmo, mais superficial
e não chega a definir energia propriamente, mas limita-se
a passar uma primeira idéia rudimentar e esclarecer alguns
malentendidos.
Os pré-requisitos que mencionamos são os seguintes
(pelo menos até seção da definição de energia em si):
1. Cálculo elementar (integrais e derivadas), derivadas
parciais e série de Taylor.
2. Noções básicas sobre vetores (nı́vel de segundo grau).
3. Familiaridade com entidades matemáticas mais comuns, como operadores, funções, números complexos,
exponenciais, etc.
4. Noções básicas de Fı́sica.
Conhecimentos da teoria de espaços vetoriais aplicados
à Mecânica Quântica e de cálculo tensorial aplicado à Relatividade Geral são de grande ajuda, mas é possı́vel acompanhar as principais idéias que apresentamos aqui sem estes pré-requisitos.
Procuraremos evitar qualquer rigor matemático desnecessário. Mesmo assim, é importante comentar, ainda que
com pouco rigor, certos conceitos matemáticos. Também
serão demonstrados dois teoremas, mas o leitor pode optar por contentar-se com os resultados e não preocupar-se
muito em entender os detalhes das demonstrações.
N.2
Estados de Sistemas Fı́sicos
N.2.1
Vetores
encontra o sistema. Para especificar um estado, podemos
usar um conjunto de variáveis.
Por exemplo, ao estudarmos o comportamento de um
gás, especificamos o valor de grandezas como o volume
(V ), a pressão (p) e a temperatura (T ). A partir destas,
calculamos as demais. Nestas condições, podemos utilizar
um trio (uma “tripla”, uma n-upla com três elementos)
de números do tipo (V , p, T ) para especificar o estado do
gás.
Cada um destes estados pode então ser representado
como um ponto com coordenadas (V , p, T ) em um espaço
que, neste caso, é tridimensional.
Este espaço poderia então ser chamado de espaço de
estados do sistema.
As coordenadas de um ponto em um espaço deste
tipo podem ser entendidas como informações que indicam
quanto e em que direção o ponto está afastado da origem
de um sistema de coordenadas (0,0,0). Este afastamento,
ou deslocamento, pode ser representado por uma “flecha”
que tem seu ponto de partida na origem e sua extremidade
afiada no ponto que está sendo especificado.
Com estas “flechas”, podemos fazer algumas operações,
tais como soma (dois deslocamentos em sequência) e multiplicação por um número real (aumentando ou diminuindo
o deslocamento sem mudar a direção).
Estes deslocamentos, juntamente com estas operações,
compõem o que chamamos de espaço vetorial. Mas isto
é apenas um caso particular de espaço vetorial. Todos os
espaços vetoriais 1 têm em comum certas caracterı́sticas de
suas operações, de forma que sempre podemos trabalhar
com eles efetuando operações similares às das “flechas”.
Cada elemento de um espaço vetorial chama-se vetor.
Vetores são excelentes para representar estados de sistemas fı́sicos em geral. Vários princı́pios importantes de
certas áreas (como a Mecânica Quântica, por exemplo)
podem ser entendidos como sendo meras consequências de
teoremas sobre espaços vetoriais. Dentre os exemplos mais
importantes e famosos, podemos citar o “princı́pio da incerteza”, de Heisenberg, e o “princı́pio da exclusão”, de
Pauli.
No caso do exemplo citado há pouco, o espaço de estados tem poucas dimensões (3). Mas, em Fı́sica, trabalhamos muito com espaços de estados com uma infinidade di-
Um sistema fı́sico é um subconjunto qualquer de um universo fı́sico (que pode até ser o próprio Universo como um
todo).
Exemplos de sistemas fı́sicos: um elétron; um átomo;
uma molécula; uma célula; um ser vivo; um ecossistema;
um gás; um planeta; o Universo.
1 O autor deste artigo preparou uma série de resumos que incluem
Quando falamos em estado de um sistema fı́sico, re- a definição formal geral de espaço vetorial, bem como diversas proferimo-nos a algo que especifique a situação em que se priedades e conceitos associados.
123
124
APÊNDICE N. O QUE É ENERGIA?
mensões (espaços de Hilbert). Os vetores de um espaço de
estados são frequentemente expressos por sı́mbolos como
|ψi, isto é, uma barra vertical seguida de um ou mais
sı́mbolos (que servem para distinguir um vetor de outro),
seguindo-se um sı́mbolo semelhante ao sinal de “maior”.
Este tipo de sı́mbolo lembra (um tanto remotamente) uma
flecha.
A soma de dois vetores resulta em outro vetor:
|xi + |yi = |zi .
Nosso objetivo local é o de definir energia matematicamente. Por isso, é de importância estratégica neste contexto o conceito de operador energia (Ĥ), o qual discutiremos em breve.
N.2.3
Autovetores e Autovalores
Os operadores que representam grandezas fı́sicas são lineares, isto é, possuem a seguinte propriedade:
(N.1)
L̂(α|xi + β|yi) = αL̂|xi + β L̂|yi ,
(N.4)
Um vetor também pode ser multiplicado por um escalar, que normalmente é um número real ou complexo. O para quaisquer vetores |xi e |yi do espaço de estados, sendo
α e β escalares e L̂ um operador linear.
resultado será um outro vetor:
Para cada operador linear (L̂), existe um conjunto de
α|xi = |yi .
(N.2) vetores {|ψj i} (chamados de autovetores) e um conjunto
de escalares {λj } (chamados de autovalores) que satisfaAssim como nas operações com números reais e com- zem à seguinte relação:
plexos, a soma de vetores também possui um elemento
neutro, normalmente representado pelo mesmo sı́mbolo do
L̂|ψj i = λj |ψj i .
(N.5)
zero dos reais (0).
Esta equação chama-se equação caracterı́stica do operador
L̂.
N.2.2 Operadores
Cada grandeza fı́sica é representada por um operador liExistem outros tipos de operações envolvendo vetores. As- near (como L̂); os valores medidos para esta grandeza, em
sim como podemos multiplicar um escalar por um vetor, experimentos, estão associados aos autovalores deste opeobtendo como resultado um outro vetor, podemos “multi- rador; os autovetores de L̂ representam os estados fı́sicos
plicar” outras entidades (que comentaremos a seguir) por nos quais a grandeza L̂ tem um (auto) valor bem definido.
vetores, obtendo outros vetores como resultado. Estas
Ocorre frequentemente que uma medição altera o estado
“entidades” chamam-se operadores.
do sistema. Isto é descrito por uma fórmula do tipo:
Para começar a formar uma idéia sobre o significado
L̂|ψi = |χi .
(N.6)
disto, vejamos um exemplo.
Imaginemos uma flecha, presa pela “cauda”, mas com a
Mas, se o sistema encontra-se em um autoestado do opeponta livre, apontando em determinada direção.
Podemos reorientar a flecha: fazer com que ela passe a rador (estado representado por um autovetor), então a
apontar em outra direção. Isto pode ser feito por meio de medição não afetará o estado do sistema, situação esta
uma rotação (em relação a algum eixo de nossa escolha). que pode ser expressa por uma fórmula como (N.5), já
Digamos que a orientação inicial da flecha (juntamente que vetores proporcionais representam o mesmo estado.
Agora, para associar este formalismo com algo mais concom seu tamanho) seja expressa pelo sı́mbolo |xi. Utilizaremos o sı́mbolo R̂ para expressar a rotação aplicada e o creto, vamos imaginar que um determinado sistema fı́sico
sı́mbolo |yi para expressar a orientação (e tamanho) final esteja em um estado representado pelo vetor |ψi. Imaginemos ainda que, neste estado, o sistema possui uma
da flecha. Podemos então escrever:
quantidade bem definida de energia.
Suponhamos que desejamos medir a energia (que será
R̂|xi = |yi .
(N.3)
definida daqui a pouco) do sistema. Efetuamos algum tipo
Esta rotação R̂ é um exemplo de operador. Podemos de experimento para conseguir esta informação e obtemos,
aplicar outras transformações aos vetores, as quais podem como resultado, o valor E para a energia. Na linguagem
alterar não apenas sua orientação, mas também seu “ta- dos espaços vetoriais, um experimento assim, com este remanho” (norma).
sultado, pode ser expresso por
Estas transformações são os operadores, dos quais falaĤ|ψi = E|ψi .
(N.7)
mos.
Grandezas fı́sicas como energia, carga elétrica, etc., podem ser expressas por números, dependendo do tipo de N.2.4 Comutadores
objeto de estudo. Porém, se desejamos nos aprofundar
nos estudos, percebemos que meramente os números reais Podemos aplicar um operador sobre o resultado da aplicação de outro operador. Por exemplo, consideremos as
são insuficientes para expressar as gradezas fı́sicas.
Por outro lado, os operadores são excelentes para isto. seguintes operações:
Assim sendo, ao definirmos com mais precisão as grandeÂ|xi = |y1 i , B̂|y1 i = |z1 i ,
(N.8)
zas fı́sicas, é aconselhável e, às vezes mesmo indispensável,
recorrer a operadores.
B̂|xi = |y2 i , Â|y2 i = |z2 i .
(N.9)
N.3. GERADORES DE TRANSFORMAÇÕES
125
Expressando de outra forma, temos:
De fato,
ÂB̂|xi = |z2 i ,
(N.10)
B̂ Â|xi = |z1 i .
(N.11)
Se subtrairmos o segundo resultado do primeiro, obtemos o seguinte:
(ÂB̂ − B̂ Â)|xi = |z2 i − |z1 i .
[Â, B̂ n ]
= ÂB̂ n − B̂ n Â
= ÂB̂ n − B̂ ÂB̂ n−1 + B̂ ÂB̂ n−1 − B̂ n Â
=
[Â, B̂]B̂ n−1 + B̂[Â, B̂ n−1 ]
=
β B̂ n−1 + B̂[Â, B̂ n−1 ] .
(N.20)
(N.12) Utilizando esta mesma fórmula no último termo, obtemos
B̂[Â, B̂ n−1 ] = β B̂ n−1 + B̂ 2 [Â, B̂ n−2 ] .
(N.21)
Se a ordem de aplicação destes dois operadores não fizer
diferença para qualquer |xi, então |z1 i sempre coincidirá
com |z2 i, e o resultado da última equação será sempre 0. Continuando com o processo até que o expoente de B̂ denNeste caso, diz-se que os operadores Â e B̂ comutam tro do comutador se reduza a 1, obteremos o último termo:
entre si. A expressão
B̂ n−1 [Â, B̂] = β B̂ n−1 .
(N.22)
ÂB̂ − B̂ Â
(N.13)
Ao reunirmos todos estes resultados, notaremos que há n
n−1
que devem ser somados para que
também é um operador, chamado comutador de Â com B̂. termos iguais a β B̂
O comutador usualmente é expresso pela seguinte simbo- se obtenha o resultado desejado, isto é,
logia:
[Â, B̂ n ] = n β B̂ n−1 .
(N.23)
[Â, B̂] ≡ ÂB̂ − B̂ Â .
(N.14)
Grandezas fı́sicas representadas por operadores que coAgora poderemos utilizar este resultado para demonsmutam podem coexistir ambas com precisão ilimitada. trar o segundo teorema.
Caso contrário, isto não é permitido pelas leis dos espaços
#
"
∞ k
X
vetorias e não pode ocorrer na Natureza (“princı́pio da
1 k
`
B̂
[Â, Û (`)] =
Â,
incerteza”).
β
k!
k=0
N.3
Geradores de Transformações
N.3.1
Teoremas Importantes
=
=
Existem pares de operadores cujo comutador é uma constante. Em linguagem formal,
=
[Â, B̂] = β .
(N.15)
Vamos supor que |ai seja um autovetor de Â, com autovalor a, isto é,
Â|ai = a|ai .
(N.16)
=
∞ k
X
`
1
[Â, B̂ k ]
β
k!
k=0
∞ k
X
`
kβ k−1
B̂
β
k!
k=1
∞ k−1
β
`X `
B̂ k−1
β
β
(k − 1)!
k=1
∞ k
X
`
1 k
`
B̂
β
k!
k=0
= ` Û (`) ,
(N.24)
De um ponto de vista de interpretação fı́sica, isto equivale a dizer que, se fizermos uma medição da grandeza Â c.q.d.
quando o sistema encontrar-se no estado |ai, o resultado
da medição será a.
N.3.2 Aplicação dos Teoremas
Definamos agora o operador (com ` sendo um escalar)
Determinemos o efeito de Û (`) sobre |ai. O resultado,
`
obviamente, será um vetor ao qual chamaremos de |bi,
B̂
Û (`) ≡ e β
isto é,
∞ k
X
`
1 k
Û (`)|ai = |bi .
(N.25)
=
B̂
β
k!
k=0
Demonstraremos agora que |bi é um autovetor de Â.
2
`
`
1 2
= 1 + B̂ +
B̂ + . . . (N.17)
[Â, Û (`)]|ai = ` Û (`)|ai
(N.26)
β
β
2
Com base em (N.15), podemos demonstrar que
[Â, B̂ n ] = nβ B̂ n−1 ,
e utilizar este resultado para demonstrar que
[Â, Û (`)] = ` Û (`) .
=⇒ ÂÛ (`)|ai = ` Û (`)|ai + Û (`)Â|ai
(N.18)
= ` Û (`)|ai + a Û (`)|ai (N.27)
=⇒ Â|bi = (` + a)|bi ,
(N.28)
(N.19) isto é, |bi é um autovetor de Â com autovalor a + `.
126
A interpretação fı́sica disto é que o operador Û (`) fez
com que o sistema passasse do estado |ai, no qual a grandeza Â tem o valor a, para o estado |bi, no qual a grandeza
Â tem o valor a + `, isto é, provocou uma translação (em
sentido generalizado).
Lembremo-nos de que
relação às translações temporais implicam na conservação
de energia. 3
Em estudos um pouco mais avançados, entretanto, é
preciso levar em conta que a energia comporta-se como
uma componente de um vetor em um espaço de quatro
dimensões, uma de tempo três e de espaço. Este quadrivetor chama-se quadrimomentum. Em um sistema de
`
Û (`) = e β B̂ , [Â, B̂] = β .
(N.29) cordenadas ao estilo cartesiano e um sistema de notação
por componentes, como é usual em Relatividade, podemos
Nestas condições, B̂ é chamado de gerador das transla- expressar o quadrimomentum da seguinte maneira:
ções de Â.


E
 px 

(N.35)
Pµ = 
 py  .
N.4 Definição de Energia
pz
Energia (Ĥ) é o gerador das translações temporais, isto é,
Na Relatividade Especial não se desvinculam energia de
o operador energia Ĥ é tal que satisfaz à seguinte equação:
momentum, em função das simetrias de Lorentz.
Em estudos ainda mais avançados, é preciso também
[Ĥ, t̂] = ih̄ ,
(N.30)
levar em conta que as componentes da densidade deste
vetor fazem parte de algo de maior aplicabilidade: o tensendo
sor de energia-momentum, T µν . Basicamente, este tensor
√
−1 ,
(N.31) contém as informações relevantes sobre densidade de eneri ≡
gia, momentum e tensões (fluxos de momentum).
h
,
(N.32)
h̄ ≡
Usando ainda um sistema de coordenadas do tipo
2π
(t, x, y, z), podemos atribuir o seguinte significado às componentes do tensor de energia-momentum.
h é a constante de Planck e t̂ é o operador tempo. 2


De maneira análoga, o momentum (quantidade de moE
πx
πy
πz
vimento) é o gerador das translações espaciais:
 πx σxx σxy σxz 

T µν = 
(N.36)
 πy σyx σyy σyz  ,
[x̂, p̂x ] = ih̄ .
(N.33)
πz σzx σzy σzz
No caso do momentum, podemos dizer que ele está ligado
à existência de translações no espaço.
No caso da energia, podemos dizer que ela está ligada à
passagem do tempo, pois o operador evolução,
i
Û (t, t0 ) = e− h̄ (t−t0 )Ĥ ,
(N.34)
é definido como função do operador energia justamente
por causa dos teoremas que acabamos de demonstrar.
sendo E a densidade de energia, πi a densidade de momentum na direção xi (x1 = x, x2 = y, x3 = z), e σij o tensor
de tensões (densidade de fluxos de impulso).
Na Relatividade Especial, a conservação de energia é
expressa pela equação
∂µ T µν = 0 ,
(N.37)
sendo
∂
,
(N.38)
∂xµ
e ı́ndices repetidos implicam em somatório, isto é,
∂µ ≡
N.5
Conservação de Energia
X ∂T µν
O principal objetivo deste artigo era o de definir energia.
.
(N.39)
∂µ T µν ≡
Isto foi feito. Entretanto, existem algumas propriedades
∂xµ
µ
da energia que merecem ser discutidas. A partir desta
seção, comentaremos de passagem alguns tópicos ligeiraEste é o análogo relativı́stico de fórmulas mais elemenmente mais avançados do que os anteriores, mas procu- tares de conservação como, por exemplo, a da conservação
raremos evitar formalismos matemáticos mais sofisticados de massa de um fluido:
para tornar o texto menos difı́cil de acompanhar.
∂ρ
O Teorema de Noether permite deduzir leis de conser+ ∇ · (ρ~v ) = 0 ,
(N.40)
∂t
vação a partir de certos tipos de simetrias.
A partir da relação que existe entre tempo e energia, sendo que
é possı́vel demonstrar que a simetria das leis fı́sicas em
• ρ = ρ(t, x, y, z) é a densidade do fluido e
2 O conceito de operador tempo exige um tratamento um pouco
mais avançado do que o normalmente utilizado em textos básicos sobre Mecânica Quântica. Para os nossos propósitos locais, entretanto,
podemos ignorar este detalhe.
3 Dizer-se que as leis fı́sicas são simétricas em relação as translações temporais é o mesmo que dizer que as leis fı́sicas não se alteram
com o passar do tempo.
N.6. ALGUMAS CONSEQUÊNCIAS DA CONSERVAÇÃO
• ~v = ~v (t, x, y, z) é a velocidade do fluido.
Em coordenadas ao estilo cartesiano, a equação (N.40)
adquire a forma
∂J 0
∂J 1
∂J 2
∂J 3
+
+
+
≡ ∂µ J µ = 0 ,
∂t
∂x
∂y
∂z
sendo

1
 vx 

Jµ = ρ 
 vy  .
vz
(N.41)

(N.42)
Note que, neste último caso, mesmo sem utilizamos uma
abordagem relativista, obtém-se a fórmula (N.41), que tem
o mesmo aspecto básico de (N.37).
N.6
Algumas Consequências da
Conservação
127
Vejamos isto em um caso mais especı́fico: um objeto
é acelerado, partindo do repouso até atingir uma velocidade V . Durante este processo, o objeto recebe e acumula
energia cinética (K). De acordo com a Relatividade, a
massa do objeto aumenta no processo, pois um aumento
de energia implica em aumento de massa. Vejamos isto
quantitativamente.
Suponhamos que um objeto, partindo do repouso, seja
acelerado por uma força resultante F , ao longo de uma
distância L, até atingir a velocidade V . Este processo
ocorre durante um intervalo de tempo T . O momentum
final é P .
Como a energia se conserva e não há atrito e nem energia potencial neste problema, todo o trabalho realizado
pela força converte-se em energia cinética, isto é, a energia cinética (K) é igual à energia que entra no sistema
como consequência da força externa F aplicada durante o
processo:
Z L
Z L
dp
dx
K =
F dx =
dt
0
0
Z P
Z T
dp
v dp ,
(N.44)
v dt =
=
dt
0
0
Existem algumas mal-entendidos circulando mesmo entre profissionais da Fı́sica com relação à conservação de
energia. Mais especificamente, circula um boato de que
massa pode converter-se em energia e vice-versa. E esse sendo que o momentum p é dado por
boato (que não deixa de ter um certo fundo de verdade em
1
um sentido restrito) é aceito como se fosse algo demonsp = mv = m0 γv , γ ≡ q
.
(N.45)
2
trado pela Teoria da Relatividade. Afirma-se que essa
1 − vc2
idéia baseia-se na seguinte proporcionalidade decorrente
Nestas expressões, m0 é a massa de repouso (massa medida
dos princı́pios da Relatividade Especial:
no referencial em que o sistema está em repouso), e m é a
E = mc2 ,
(N.43) massa inercial total do sistema.
Resolvendo a integral, encontramos
sendo E a energia de um sistema e m a sua massa.
Essa idéia é contraditória porque a fórmula acima esK = mc2 − m0 c2 = m0 γc2 − m0 c2 .
(N.46)
tabelece uma proporcionalidade entre massa e energia e,
portanto, proı́be a transformação de massa em energia e Enfatizamos que a massa inercial do sistema é
vice-versa, pois isto implicaria em redução de uma destas
m = m0 γ .
(N.47)
grandezas ao mesmo tempo em que a outra aumenta, o
A fórmula da energia cinética pode então ser expressa
que invalidaria a proporcionalidade!
por
Em princı́pio, este argumento deveria ser suficiente para
K = (m − m0 ) c2 = (∆m) c2 .
(N.48)
tornar óbvio o equı́voco, mas mesmo assim, algumas pessoas ainda têm dificuldades de se convencer pelo fato de Em outras palavras, a massa acrescentada ao sistema é
nutrirem algumas outras noções que ajudam manter o en- proporcional à energia cinética (pode-se considerar que é
gano.
a massa da energia cinética)
Por esta razão, discutiremos alguns tópicos adicionais
K
(N.49)
∆m = 2 .
na esperança de que sejam tocados os principais pontos
c
importantes que podem estar causando dúvidas ao leitor.
Esta é uma relação fundamental que estabelece a proporcionalidade entre massa e energia no âmbito da RelaN.6.1 O Que É Massa?
tividade Especial. Conforme vimos, tanto a massa quanto
Em termos bem simples: massa é a medida da inércia de a energia do sistema aumentaram no processo. Se uma
houvesse sido convertida na outra, uma teria diminuı́do
um sistema.
Em outras palavras, a massa nos diz o quão difı́cil é e a outra taria aumentado na mesma proporção, isto é,
terı́amos algo do tipo
acelerar (fazer variar a velocidade de) um sistema.
Notemos que, conceitualmente, massa e energia são coiK + (∆m) c2 = 0 (errado!) ,
(N.50)
sas diferentes: um gera as translações temporais (permitindo, por exemplo, a realização de trabalho), e o outro é o que não é o caso.
uma medida da inércia.
Resumindo, o que acabamos de ver neste exemplo foi
O que a Relatividade nos traz de novo é a afirmação de que, ao aumentarmos a energia de um sistema, estamos
aumentando sua inércia (massa).
que estas grandezas são proporcionais.
128
N.6.2
Aniquilação Partı́cula-Antipartı́cuÉ importante notar, porém, que massa de repouso e
massa
inercial são, em geral, coisas diferentes. A massa
la
Este assunto pertente à área da Teoria Quântica de Campos.
Se nos restringirmos apenas a considerações superficiais, poderemos ter a impressão de que fenômenos de
aniquilação de partı́culas com antipartı́culas provam que
“matéria” pode ser transformada em energia.
O primeiro problema com essa idéia é o conceito confuso
de ‘matéria’. De acordo com alguns, por exemplo, elétrons
seriam partı́culas de matéria (seria porque têm massa de
repouso não-nula?), ao passo que fótons seriam partı́culas
de “energia pura”, seja lá o que isto signifique (massa de
repouso nula?).
Na Teoria Quântica de Campos, existe o vácuo (|0i)
e existem estados excitados do vácuo (|ni) em relação a
vários tipos de números quânticos. Operadores de criação
e destruição (a† , a) estabelecem as relações entre estes
diversos estados de excitação, que são as partı́culas —
fótons, elétrons, etc. São apenas estados com diferentes
combinações de números quânticos.
Entre os números quânticos do elétron, por exemplo,
encontramos sua massa de repouso, sua carga elétrica, seu
spin e seu número leptônico. Havendo massa de repouso,
há também energia de repouso (às vezes chamada de energia interna).
No caso do fóton, os números quânticos mais importantes são spin e energia. Note que o fóton não pode ser
considerado uma partı́cula de energia pura até pelo fato
de ter outra caracterı́stica além da energia: o spin.
Existem números quânticos que correspondem a grandezas que se conservam. Entre estes números, encontramos
spin, carga elétrica e energia. Já a massa de repouso4 , por
exemplo, não é uma grandeza que se conserva em reações
de criação e destruição de partı́culas. Isto, de certa forma,
torna esta grandeza menos importante do que outras, que
se conservam.
Vejamos, por exemplo, o que acontece em uma reação
de aniquilação de um elétron com um antielétron.
e− + e+ → 2γ .
inercial se conserva, pois é proporcional à energia, que se
conserva. Massa de repouso não se conserva.
Para ver o que isto significa em termos da reação (N.51),
lembremo-nos que a energia total dos fótons criados após
a aniquilação do par elétron-antielétron é
E = 2me c2 .
Lembremo-nos também de que um sistema que contém
energia contém também uma inércia proporcional a esta
energia. Em outras palavras, a massa inercial total do
sistema após a reação é
E
= 2me = M ,
c2
(N.54)
Resumindo, a energia total antes da reação é
E = 2me c2 ,
(N.55)
e continua tendo o mesmo valor após a reação. A diferença
é que, antes da reação só há energia de repouso; a energia
mecânica é nula.
Após a reação, a soma das energias de repouso das
partı́culas resultantes é nula, ao passo que a energia
mecânica é E = 2me c2 (energia cinética).
Pode-se dizer então que, em certo sentido, a massa de
repouso desapareceu para dar lugar à energia mecânica.
Note que a energia mecânica, ao contrário da energia total,
não se conserva neste processo, assim como a massa de
repouso.
Se denotarmos por ∆U a variação de energia mecânica
do sistema e por ∆M0 a variação da soma das massas de
repouso de todas as partı́culas do sistema, vale a relação
∆U = − (∆M0 )c2 .
(N.56)
Note-se que os sinais são invertidos, pois houve perda de
massa de repouso e ganho de energia mecânica. Esta
equação pode ser expressa da seguinte maneira:
(N.51)
Chamaremos de energia mecânica à soma da energia
cinética com a potencial.
Para simplificar, suporemos que a energia mecânica do
sistema antes da reação é desprezı́vel.
A massa total do sistema antes da reação é
(N.53)
∆U + (∆M0 )c2 = 0 ,
(N.57)
∆ U + M0 c2 = 0 .
(N.58)
ou
Esta fórmula indica que nem U e nem M0 se conservam, mas a soma que aparece em (N.58) se conserva. Isto
pode ser entendido, de certa forma, como se massa de reM = 2me ,
(N.52) pouso pudesse ser transformada em energia mecânica e
vice-versa.
sendo me a massa de repouso de um elétron. Neste caso,
Note-se que, se pensássemos somente em termos de vaM é também a soma das massas de repouso das partı́culas
lores absolutos, poderı́amos expressar (N.56) na forma
componentes do sistema.
Após a reação, a soma das massas de repouso das par|∆U | = |∆M0 | c2 ,
(N.59)
tı́culas que compõem o sistema (dois fótons) é nula. A
soma das massas de repouso não se conserva, portanto. que nos lembra a fórmula E = mc2 . Mas não se deve
Em outras palavras, trata-se de uma grandeza que pode perder de vista o sinal que aparece em (N.56).
ser criada ou destruı́da.
Fique bem entendido, contudo, que tanto a energia to4 Mais precisamente, a soma das massas de repouso das partı́culas
tal quanto a massa total do sistema se conservam: são
de um sistema.
exatamente iguais antes e depois da reação.
N.6.3
Massa de uma Caixa com Fótons
Imaginemos agora um experimento no qual temos uma
caixa contendo uma grande quantidade de pares elétronantielétron, a tal ponto que a massa de repouso total deles seja observável macroscopicamente, e que seja muito
maior do que a massa das paredes da caixa. Consideremos que o número total destas partı́culas seja N .
Suponhamos que, após algum tempo, todos os parem
tenham sofrido aniquilação, produzindo fótons, e que estes
fótons não possam escapar da caixa, mas fiquem sendo
refletidos por suas paredes internas. Suponhamos também
que este seja um sistema isolado.
Podemos levantar questões como as seguintes.
1. Como se comporta a energia total do sistema neste
processo?
2. Como se comporta a massa total neste processo?
N.6.4
129
Massa Gravitacional
Imaginemos novamente o experimento da seção anterior,
mas pensemos em termos do campo gravitacional que ela
produz. Ao invés de pensarmos em uma caixa pequena,
podemos pensar no núcleo de uma grande estrela, em que
reações de aniquilação produzem fótons, como ocorre no
núcleo do Sol.
Será que o campo gravitacional desta estrela diminui
durante um processo de aniquilação de uma proporção
significativa de seu núcleo, antes que os fótons produzidos escapem? A resposta é: não! Quem nos diz isto é a
Relatividade Geral.
A estrela continua tendo a mesma massa gravitacional
enquanto não perde material ou fótons (em quantidade
apreciável), e a aceleração da gravidade ainda será da ordem de
GM
,
(N.63)
r2
sendo que M não varia no processo, isto é, a massa dos
3. Como se comporta a energia mecânica neste processo? fótons produzidos continua mantendo o campo gravitacional.
4. Como se comporta a massa de repouso neste proTentaremos apresentar um resumo superficial do que
cesso?
está envolvido.
Como consequência de alguns teoremas fundamentais
Como se trata de um sistema isolado, a energia total da Geometria Diferencial, podem-se demonstrar as chase conserva, sendo que podemos calcular seu valor pelas madas identidades de Bianchi contraı́das em um espaço
condições iniciais:
sem torção (mas que pode ter curvatura). Estas identidades envolvem o tensor de Ricci (Rµν ) que está ligado à
E = Mb c2 + N me c2 + U0 ,
(N.60) curvatura de uma variedade diferenciável (em nosso caso,
o espaço-tempo):
sendo E a energia total, Mb a massa da caixa, me a massa
de repouso de um elétron (igual à de um antielétron), e U0
1 µν
µν
∇
g
R
= 0,
(N.64)
R
−
µ
a energia mecânica inicial total (cinética mais potencial).
2
No final do processo, a energia total ainda será a mesma,
mas as parcelas que a compõem serão diferentes:
sendo ∇µ a representação da derivada covariante geométrica (uma generalização da derivada parcial válida em
E = M b c2 + U ,
(N.61) espaços curvos) e g µν as componentes do tensor métrico
contravariante (matriz inversa do tensor métrico gµν ). A
sendo U a energia mecânica total de todos os fótons cria- grandeza R chama-se escalar de curvatura e pode ser obdos. Como no exemplo da seção anterior,
tida a partir do tensor de Ricci:
∆U = −(∆M0 ) c2 .
(N.62)
Agora, observe cuidadosamente o que dissemos sobre
M0 : é a soma das massas de repouso das partı́culas que
compõem o sistema. Isto não é sinônimo de massa de
repouso total do sistema.
A massa de repouso total do sistema não se altera no
processo!
A massa de repouso total do sistema é a massa inercial medida em um referencial no qual o sistema esteja
em repouso. No caso que estamos discutindo, tanto antes
quanto depois das reações, a energia total é E e a massa
inercial total é M = E/c2 , pois estamos estudando o experimento do ponto de vista de um referencial no qual a
caixa está em repouso.
Note-se que, se Mb << N me , quase toda a massa inercial (e de repouso) da caixa será constituı́da pela inércia
causada pela energia cinética dos fótons!
R ≡ gµν Rµν .
(N.65)
Quanto ao tensor métrico, ele define a métrica do espaçotempo, permitindo o cálculo do elemento de distância:
ds2 = gµν dxµ dxν .
(N.66)
Por outro lado, temos uma relação parecida com as
identidades de Bianchi contraı́das aplicável ao tensor de
energia-momentum:
∇µ T µν = 0 .
(N.67)
Considerando que a derivada covariante do tensor métrico é nula, estas duas equações têm a seguinte consequência:
Rµν −
1 µν
g R = κT µν + g µν Λ ,
2
(N.68)
130
sendo Λ e κ constantes de integração. Λ é a famosa constante cosmológica.
Esta é a Equação de Einstein, a fórmula fundamental da
Relatividade Geral, que estabelece a relação entre energiamomentum e curvatura do espaço-tempo (gravidade).
Lembre-se agora do significado do tensor de energiamomentum (N.36). De acordo com a equação de Einstein,
o efeito que chamamos de massa gravitacional é, na verdade, produzido pelo tensor de energia-momentum, que
não é nulo para fótons.
Em outras palavras, fótons têm massa gravitacional.
De fato, massa gravitacional e massa inercial são iguais
no contexto da Relatividade Geral. Enquanto a energia
total de um sistema não variar, sua massa inercial total e
sua massa também não podem sofrer alterações.
N.6.5
Ondas e Partı́culas
Todas as partı́culas (no sentido de quanta de campos
quânticos) podem comportar-se tanto como partı́culas
quanto como ondas em circunstâncias adequadas, sejam
esses quanta fótons, elétrons ou até mesmo átomos e
moléculas.
Dizemos que um quantum se comporta como partı́cula
quando apresenta uma localização razoavelmente bem definida no espaço, e comporta-se como onda quando se
torna capaz de sofrer processos como interferência e difração, isto é, quando apresenta caracterı́sticas tı́picas de
onda.
Estes dois tipos de comportamentos são mutuamente
exclusivos no sentido de que, quando um deles se acentua,
o outro diminui.
Existe um mal-entendido nesta área que consiste em
pensar-se no quantum como sendo “energia pura” ao comportar-se como onda e como sendo “matéria” ao comportar-se como partı́cula. Tentaremos esclarecer essa questão.
Conforme comentamos na seção sobre comutadores,
grandezas fı́sicas representadas por operadores que não comutam não coexistem pacificamente.
Antes de mencionar propriedades matemáticas que geram este comportamento, pensemos em um exemplo do
mundo macroscópico. Imagine um plano com um sistema
de coordenadas cartesianas, com eixos x e y. Agora imagine um segmento de reta que tem uma de suas extremidades na origem e a outra no ponto (0, 1).
Qual é a localização deste segmento na dimensão x? A
resposta é x = 0. Em outras palavras, o segmento está
localizado em um ponto bem definido se considerarmos
apenas a dimensão x.
Qual é a localização deste segmento na dimensão y? A
resposta é que ele não se encontra em apenas um ponto,
mas está em todos os pontos desde y = 0 até y = 1.
Se fizermos estas mesmas perguntas para um segmento
de (0, 0) a (1, 0), as respostas serão invertidas em relação
às anteriores.
O que ocorre é que estamos lidando com projeções do
segmento sobre um dos eixos, o que faz com que ele
possa ter uma aparência de ponto em um dos eixos e uma
aparência de intervalo no outro eixo. Ou pode comportarse como intervalo em ambos os eixos. Mas o segmento não
pode comportar-se como um ponto em ambos os eixos simultaneamente; isso não é compatı́vel com sua natureza.
Com os quanta dos campos ocorre algo semelhante. Dependendo dos “eixos” que tomamos como referência para
representar os vetores de estado (isto é, dependendo da
base escolhida no espaço de estados), pode ocorrer de podermos representar este estado como um ponto em nosso
“sistema de coordenadas” ou seremos forçados a descrevêlo como um “segmento”.
Quando usamos a chamada representação de coordenadas (usando a base em que os vetores de estado são
posições no espaço, {|xi}), estamos descrevendo o comportamento do quantum em relação a sua localização no
espaço.
Ao invés de fazer isto, podemos usar a representação de
momentum (usando a base {|pi}). Neste caso, estaremos
descrevendo o vetor de estado em função de sua localização
no espaço de momentum.
Os vetores da base {|xi} são autovetores do operador
posição (x̂), e os vetores da base {|pi} são autovetores do
operador momentum (p̂).
Conforme vimos em (N.33), estes operadores não comutam. Matematicamente, isto significa que eles não admitem autovetores em comum, isto é, se
x̂ |ai = α |ai ,
(N.69)
p̂ |ai = β |ai .
(N.70)
não existe β tal que
A recı́proca é verdadeira, ou seja, autovetores de p̂ não
podem ser autovetores de x̂.
Traduzindo esta propriedades para termos fı́sicos, significa que um estado quântico não pode ter posição e momentum simultaneamente bem definidos. Assim, se um estado satisfaz (N.69), por exemplo, então sua representação
na base {|pi} terá a forma
Z
|ai =
β(p) |pi dp ,
(N.71)
ou seja, o estado espalha-se por todo o espaço de momentum.
Quando isto acontece, dizemos que o quantum está se
comportando como partı́cula, pois tem uma posição bem
definida no espaço (α).
Por outro lado, se o sistema encontra-se em um estado
tal que
p̂ |ai = α |ai ,
(N.72)
então o momentum está bem definido (α), mas a posição
não.
Estabelecido este contexto, notemos agora que caracterı́sticas fundamentais do campo como massa de repouso,
carga elétrica, spin, enfim, os números quânticos que definem o tipo de excitação do vácuo com que estamos lidando, estas coisas não são afetadas pelo particular estado
em que se encontra o quantum.
Assim, a massa de repouso de um elétron por exemplo,
continua sendo a mesma independentemente de ele estar
em um estado de onda ou de partı́cula.
Não faz sentido dizer-se que uma partı́cula “transformou-se em energia” quando entrou em um estado de momentum bem definido e passou a comportar-se como onda.
Note-se que este estado de momentum pode corresponder
a um valor de momentum muito pequeno, desprezı́vel em
relação à massa de repouso, de forma que, mesmo neste
estado, uma partı́cula pode ter quase toda a sua massa na
forma de massa de repouso.
Não há ligação deste assunto com supostas transformações de “matéria em energia” e de “energia em matéria”,
processos estes que, como vimos, não passam de malentendidos.
131
Índice Remissivo
Álgebra booleana, 85, 87
Anel, 83
com identidade, 83
Antimatéria, 32
aniquilação partı́cula-antipartı́cula, 128
elétron-antielétron, 128
Aplicação, 82
biunı́voca, 91
sobrejetora, 91
Autoestado, 124
Avermelhamento, 22
Axioma, 44
Bósons, 33
Base
contı́nua, 102
discreta, 102
mista, 102
ortogonal, 102
Base relacional, 54
Bianchi
contraı́da, identidade de, 116
identidades de, 52, 116, 129
primeira identidade de, 116
Bloqueio de Pauli, 34
Buraco
de verme, 117
negro, 117
Carbono 14
hipóteses do método, 36
método do, 35
pontos frágeis, 36
Cardinalidade, 91
Classe
de equivalência, 82, 91
Complemento, 84
Comutador, 103, 115, 125
compatibilidade de autoestados, 130
Conjunto
ordenado, 93
potência, 85
Conjunto vazio, 84
Constante cosmológica, 21, 117
Corpo, 83, 93
arquimediano, 93
Cosmologia
etimologia, 19
Curvatura
de superfı́cies, 19
Dado, 54
Dados, 12
elaboração, 44
Darwin, 57
teoria de, 56
De Sitter, 21
Decaimento
exponencial, 35, 95
radioativo, 34
Derivada, 14
covariante, 113
exterior, 77
Derivada covariante, 114
Diferença, 84
simétrica, 84
Dilatação do tempo, 72
Dyson, 59
Eddington, 21
Efeito túnel, 121
Einstein, 51
convenção de, 112
equação de, 111, 116
Elétrons, 33
Elemento quı́mico, 33
Eletromagnetismo, 70
na Geometria Diferencial, 75
no vácuo, 75
Energia
consequências da conservação de, 127
conservação de, 126
definição, 126
escura, 117
mecânica, 128
origem da E. do Universo, 26
pura, 130
relação com a massa, 127
Equação, 13
algébrica, 13
caracterı́stica de um operador, 124
de Dirac, 74
de Einstein, 117, 120, 129
de Klein-Gordon, 104
de Schrödinger, 74, 103, 121
diferencial, 14
transcedental, 13
Equipotência, 91
Escalar, 112
132
ÍNDICE REMISSIVO
de curvatura, 115
Espaço
adjunto, 102
de Hilbert, 101
dual, 101
topológico, 83
vetorial, 83, 101
Espaço de estados, 123
Espectroscopia, 23
Estatı́stica, 43
Estrutura
algébrica, 82
Estrutura relacional, 54
Eternidade, 24
só Deus pode habitar a, 25
Euclides, 69
Euler, 51
Evolução
conceito de, 54
do Universo, 56
operador, 55
Férmions, 33
Fato, 54
Formal
modelo, 44
sistematização, 44
Friedman, 21
Gödel
teorema de, 54
Gênesis 1, 24
extrapolação para o Universo, 24
Jó, Ezequiel e Apocalipse para entender, 24
Galileu, 12, 50
importância da Matemática para, 50
Gamow, 23
Gauss, 19, 51
Gentry, 26
modelo de, 26
Geocentrismo moderno, 24
sem apoio bı́blico, 25
Geometria, 69
de superfı́cies curvas, 19
Euclidiana, 19, 70
Lobachewky, Gauss, Riemann, 70
Riemanniana, 19, 52
Gravidade, 20
newtoniana, 120
Grupóide, 85
Grupo, 82, 86
abeliano, 82
de simetrias, 86
Hamilton, 51
Hipótese, 44
Hiperespaço, 32
Homogêneo, 25
Horizonte de eventos, 21
133
Informação, 54
Intersecção, 84
Isócronas, 38
pontos frágeis, 39
Isótopos, 33
Isotrópico, 26
Léptons, 33
Lógica das proposições, 88
Lagrange, 51
Lamarck, 57
Lei, 44, 54
fı́sica, 11
fı́sica, inaptidão para lidar com, 11
Leibniz
regra de, 114
Leis, 12
de Newton, 12
Lemaı̂tre, 21, 24
Linguagem
formal, 54
Linguagens
formais, 12
matemáticas, 12
Lorentz, 51
Método cientı́fico, 12, 54
a Matemática é o fundamento do, 45
experimental, 43, 54
fundamentos, 43
teórico, 43, 54
Métrica, 113
de Friedman-Lamaı̂tre, 117
Módulo, 83
Malha, 85
distributiva, 85
Mar de Dirac, 32
“buraco” no, 32
desnecessário na TQC, 32
Massa
de fótons, 129
gravitacional, 129
medida da inércia, 127
Matemática, 69
conceito indefinı́vel, 54
eficiência além do “razoável”, 54
etimologia, 69
mais ampla do que a Filosofia, 54
na revolução cientı́fica, 4
Maupertuis, 51
Maxwell, 51
Meia vida, 35
Mendel, 51, 57
Michelson, 51
Michelson-Morley
experimento de, 51
Modelo, 12, 44
cientı́fico, 12
formal, 44
134
não formal, 44
Modelo cientı́fico, 54
morley, 51
Nı́veis de energia
eletrônica, 108
nuclear, 34
Núcleons, 34
Núcleos atômicos, 33
Número
adição, 92
atômico, 33
cardinal, 91
complexo, 93
complexo conjugado, 94
complexo, norma, 94
complexo, notação, 94
de massa, 33
divisão, 92
inteiro negativo, 92
multiplicação, 92
natural, 91
operações básicas, 92
operações com, 92
potenciação, 92
quântico, 33
radiciação, 92
real, 92
real, axiomas, 92
real, membro de estrutura algébrica, 93
subtração, 92
Nêutrons, 33
instabilidade intrı́nseca, 34
Newton, 50
Norman, 119
Nuclı́deo, 33
Observação
controlada, 43
preliminar, 43
Operação
interna, 82
n-ária, 87
Operador, 101
autoadjunto, 103
autovalores, 102
autovatores, 102
equação caracterı́stica, 102
hermitiano, 103
linear, 103
Orbitais, 33
Ordenamento parcial, 82
p-formas, 77
Padrão
conceito de, 12
de padrões, 12
Partı́culas, 33
como quanta de um campo, 130
comportamento ondulatório, 130
ÍNDICE REMISSIVO
idênticas, 33
indistinguı́veis, 33
Penzias, 23
Planck, 52
Planejamento, 43
Poisson
parênteses de, 103
Postulado, 44
Prótons, 33
Princı́pio
cosmológico, 22, 25
da ação mı́nima, 51
da correspondência, 103
da exclusão, 33
de Fermat, 51
de Hamilton, 51, 64
Produto
cartesiano, 82
Produto exterior, 77
Profecias bı́blicas
descrevendo a Idade Média, 50
esquemas alternativos de interpretação, 50
Quarks, 33
Raciocı́nio
filosófico, 43
Radiação cósmica de fundo, 23
RATE, 39
Relação, 82
canônica, 102
de equipotência, 91
de equivalência, 82
de igualdade, 84
Relatividade
consequências da R. especial, 72
Especial, 51, 71
Geral, 52
quadridistância, 72
Representação, 102
contı́nua, 102
de coordenadas, 103, 130
discreta, 102
mista, 102
Riemann, 19, 51
Rutherford, 52
Sı́mbolos de Christoffel, 114
Schwarzschild, 21
solução de, 21, 117
Semigrupo, 85
Setterfield, 25, 35, 119
Simetria, 14, 86
Sistema
posicional, 91
Spin, 33
Subconjunto, 84
Superior
cota, 93
extremo, 93
ÍNDICE REMISSIVO
Tensor, 76, 111
antissimétrico, 76
contração, 113
de curvatura, 115
de energia-momentum, 116
de Ricci, 115, 129
escalar de curvatura, 115
métrico, 107, 113
ordem 0, 112
ordem 1, 112
ordem 2, 112
Teorema
de Noether, 126
Teoria, 12, 44
da informação, 45
dos Conjuntos, 81
Teoria cientı́fica, 54
TQC, 32
operador de anuquilação, 32
operador de criação, 32
vácuo na, 32
União, 84
Universo jovem
sem apoio bı́blico, 25
Urey-Miller, 58
Vácuo, 32
na TQC, 32
Variedades diferenciáveis, 111
Vetor
contravariante, 112
covariante, 112
Vida média, 35
Wilson, 23
Wormhole, 117
135
136
ÍNDICE REMISSIVO
Referências Bibliográficas
[1] DYSON, F. Review of feynman and of polkinghorne [15] LEMAı̂TRE, G. Expansion of the universe, the ex‘belief in god in an age of science’. New York
panding universe. Monthly Notices of the Royal
Review of Books, May 1998. 1.4, C.2.2, C.7
Astronomical Society, London, v. 91, p. 490–501,
1931. 3.5.2
[2] GALILEI, G. Il saggiatore. 1623. 2.4, C.2.2
[16] EDDINGTON, A. S. On the instability of einstein’s
[3] LüTZ, E. F. Introdução ao cálculo diferencial e intespherical world. Monthly Notices of the Royal
gral.
Astronomical Society, London, v. 90, p. 668–678,
http://edlutz.netfirms.com. 2.5
1931. 3.5.2
[4] LüTZ, E. F. Energia.
http://edlutz.netfirms.com. 2.7, C.4, N.1
[5] MAYR, E. Speciation phenomena in birds. The American Naturalist, v. 74, p. 249–278, 1940. 2.8.4
[17] PLANCK, M. On the law of distribution of energy
in the normal spectrum. Annalen der Physik, v.
4, p. 553, 1901. 3.6.1
[18] GAMOW, G. The origin of chemical elements. Physical Review, New York, v. 73, p. 803–804, April
[6] NOETHER, E. Invariante variationsprobleme. Na1948. 3.6.2
chr. v. d. Ges. d. Wiss. zu Göttingen, p. 235–257,
1918. 3.2, 7
[19] NORMAN, T., SETTERFIELD, B. The atomic constants, light and time. Invited Research Report.
Menlo Park, Califorma: Stanford Research Institute, 1987. 3.7.3, 4.4.4, M.1
[7] KANT, I. Kritik der reinen vernunft. 1781. 3.3
[8] SCHWARZSCHILD, K. On the gravitational field of
a mass point according to einstein’s theory. Pro[20] SHAPIRO, I. L., SOLA, J. A friedmann-lemaitrecedings of the Prussian Academy, 1916. 3.5.1
robertson-walker cosmological model with running lambda.
[9] DE SITTER, W. On einstein’s theory of gravitation,
http://arxiv.org/abs/astro-ph/0401015.
2004.
and its astronomical consequences — first paper.
3.7.3, L.10
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, London, v. 76, p. 699–728, 1916. 3.5.2
[21] POWELL, R. The visible universe.
http://www.atlasoftheuniverse.com/universe.html.
30 07 2006. 3.7.4
and its astronomical consequences — second paper. Monthly Notices of the Royal Astronomical
[22] GENTRY, R. V. Modern Physics Letters A, SingaSociety, London, v. 77, p. 155–184, 1916. 3.5.2
pore, v. 12, p. 2919, 1997. 3.7.5
[23] http://www.orionfdn.org/papers/nature-04-01and its astronomical consequences — third paper.
2004.htm. 3.7.5
Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, London, v. 78, p. 3–28, 1917. 3.5.2
[24] http://www.orionfdn.org/papers/aps-2006poster.pdf. 3.7.5
[12] FRIEDMAN, A. A. Über die krümmung des raumes. Zeitschrift für Physik, v. 10, n. 1, p. 377–386, [25] MAJOR, T. Dating in archaeology: Radiocarbon &
1922. 3.5.2
tree-ring dating. 4.4.4
[13] FRIEDMAN, A. A. Über die möglichkeit einer welt [26] ET ALL, P. J. R. Intcal04 terrestrial radiocarbon age
mit konstanter negativer krümmung des raumes.
calibration, 0–26 cal kyr bp. Radiocarbon, v. 46,
Zeitschrift für Physik, v. 21, n. 1, p. 326–332,
n. 3, p. 1029–1058, 2004. 4.4.4
1924. 3.5.2
[27] JENKINS, J. H., FISCHBACH, E., BUNCHER,
[14] LEMAı̂TRE, G. Un univers homogène de masse consJ. B., GRUENWALD, J. T., KRAUSE, D. E.,
tante et de rayon croissant rendant compte de la
MATTES, J. J.
Evidence for correlations
vitesse radiale des nébuleuses extra-galactiques.
between nucelar decay rates and earth-sun disAnnales de la Société Scientifique de Bruxelles,
tance. http://arxiv.org/abs/0808.3283. 2008.
v. 47, p. 49, 1927. 3.5.2
4.4.4, H
137
138
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
[28] KIETH, M. S., ANDERSON, G. Radiocarbon da- [44] EINSTEIN, A. Die grundlage der allgemeinen relatiting: Fictitious results with mollusk shells. Scivitätstheorie. Annalen der Physik, v. 7, n. 49, p.
ence, Washington, p. 634, August 1963. 4.4.4
769–822, 1916. C.2.2
[29] FARQUHAR, G. D., EHLERINGER, J. R., HUBIK, [45] LüTZ, E. F. O que é ciência.
http://edlutz.netfirms.com. C.3
K. T. Carbon isotope discrimination and photosynthesis. Annu. Rev. Plant Physiol. Plant Mol.
[46] LüTZ, M. G. F. O mundo de rna e o sonho do biólogo
Biol., v. 40, p. 503–537, 1989. 4.4.4
molecular.
http://edlutz.netfirms.com. C.7
[30] FLYNN, K. F., GLENDENIN, L. E. Half-life and
beta spectrum of rb-87. Physical Review, New
[47] ORGEL, L. E. Prebiotic chemistry and the origin of
York, v. 116, p. 744–748, June 1959. 4.5.1
the rna world. Critical Reviews in Biochemistry
and Molecular Biology, v. 39, n. 2, p. 99–123, 2004.
[31] BEGEMANN, F., LUDWIG, K. R., LUGMAIR,
C.7
G. W., MIN, K., NYQUIST, L. E., PATCHETT,
P. J., RENNE, P. R., SHIH, C.-Y., VILLA, I. M.,
[48] DEBENEDICTIS, A., DAS, A. On a general class
WALKER, R. J. Call for an improved set of deof wormhole geometries. http://arxiv.org/abs/grcay constants for geochronological use. Geochim.
qc/0009072. 29 January 2001. L.12
Cosmochim. Acta, v. 65, p. 111, 2001. 4.5.2
[49] LI, L.-X.
Two open universes connected by a
[32] http://www.answersingenesis.org/articles/nab/doeswormhole: Exact solutions.
radiometric-dating-prove. 4.6
http://arxiv.org/abs/hep-th/0102143. 21 February 2001. L.12
[33] KULLBACK, S. Information theory and statistics.
Dover Publications Inc., 1959/1968. A.4
[34] DARWIN, C. On the origin of species by means of
natural selection. London: John Murray, Albermarle Street, 1859. C.1
[35] NEWTON, I. Philosophiæ naturalis principia mathematica. 1687. C.2.2
[36] DE MAUPERTUIS, P. L. M. Les loix du mouviment
et du repos déduites d’un principe metaphysique.
Histoire de l’Académie Royale des Sciences et des
Belles Lettres, p. 267–294, 1746. C.2.2
[37] HAMILTON, W. R. On a general method in dynamics. Philosophical Transactions of the Royal
Society, v. II, p. 247–308, 1834. C.2.2
[38] LANCASTER, H. O. Mathematicians in medicine
and biology. genetics before mendel: Maupertuis
and réaumur. Journal of Medical Biography, v. 2,
n. 3, p. 84–89, 1995. C.2.2
[39] SANDLER, I. Pierre louis moreau de maupertuis a precursor of mendel? Journal of the History of
Biology, v. 1, n. 16, p. 101–136, 1983. C.2.2
[40] RIEMANN, G. F. B. Über die hypothesen, welche
der geometrie zu grunde liegen. 1854/1868. C.2.2
[41] MAXWELL, J. C. A treatise on electricity and magnetism. London: Claredon Press, 1873. C.2.2
[42] EINSTEIN, A. Zur elektrodynamik bewegter körper.
Annalen der Physik, v. 17, p. 891–921, 1905. C.2.2
[43] EINSTEIN, A. Die feldgleichungen der gravitation. Sitzungsberichte der Preussischen Akademie
der Wissenschaften zu Berlin, p. 844–847, 1915.
C.2.2, C.5

Consideraç˜oes sobre - Escola Criacionista

Transcrição

Documentos relacionados

O Problema Deliano - Departamento de Matemática

Terrorismo Poético

SHELLAC 78`

Baixar este arquivo PDF

Nota de Alta

Grigori Yakovlevich Perelman - PET Matemática

Teorema de Ptolomeu

A Semente de Discrepância

Reitores na Moncloa - Duvi

1a Frequência — 2002/2003