lógica paraconsistente aplicada em tomadas de decisão

Revista Pesquisa e Desenvolvimento Engenharia de Produção
n.1, p. 47-62, dez. 2003
Um Estudo de Tomada de Decisão Baseado em
Lógica Paraconsistente Anotada: Avaliação do Projeto de uma Fábrica
Fábio Romeu de Carvalho, Mestre e Doutorando em Engenharia de Produção
[email protected], Universidade Paulista, UNIP
Israel Brunstein, Doutor em Engenharia de Produção, Professor Titular
[email protected], Universidade de São Paulo, USP
Jair Minoro Abe, Bacharel em Matemática, Ph.D. em Filosofia
[email protected], Universidade Paulista, UNIP
Resumo
Neste trabalho apresentamos um estudo sobre tomada de decisão, enfocado como uma
aplicação do algoritmo para-analisador e baseado em uma nova classe de lógicas nãoclássicas - as lógicas paraconsistentes anotadas. Tais lógicas conseguem manipular em seu
interior dados incertos, contraditórios ou paracompletos, sem se tornar trivial. A lógica
paraconsistente anotada (LPA) tem sido aplicada em Ciência da Computação, Robótica,
Inteligência Artificial etc. (ABE, 1997).
Como exemplo de aplicação desse estudo, mostramos como é feita uma tomada de decisão
pelo dispositivo para-analisador na área de Engenharia de Produção. Mais especificamente,
aplicamos o estudo para mostrar como pode ser feita a avaliação do projeto de uma fábrica,
utilizando-se de um novo método, Método de Análise pelo Baricentro, MAB.
Palavras Chave: Tomada de decisão, lógica paraconsistente, algoritmo para-analisador, regra
de decisão, análise de viabilidade.
A Study of Decision-Making Based on
Paraconsistent Annotated Logic: Evaluation of a Plant Project
Abstract
In this paper we present a study about decision-making, focused as an application of the
algorithm para-analyser and based on a new class of non-classical logics – the paraconsistent
annotated logics. Such logics allow to manipulate uncertain, contradictory or paracomplete
data in their interior, without trivialization. The paraconsistent annotated logics (PAL) has
been applied in Computer Science, Robotics, Artificial Intelligence etc. (ABE, 1997).
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As an example of application of this study, we demonstrate how the algorithm para-analyser
can be applied as a decision-making tool in Production Engineering. More specifically, we
applied the study to show how an evaluation of a plant project can be performed by using a
new method, Baricenter Analysis Method, BAM.
Key Words: Decision-making, paraconsistent logics, para-analyser algorithm, decision rule,
viability analysis.
1. Introdução
Uma teoria dedutiva é consistente se não possui teoremas contraditórios, um dos quais é a
negação do outro ( A e ¬A). Ao contrário, a teoria diz-se inconsistente (ou contraditória).
Uma teoria chama-se trivial se todas as fórmulas (ou sentenças) de sua linguagem forem
nela demonstráveis; em hipótese contrária, diz-se não-trivial. Analogamente, a mesma
definição aplica-se a sistemas de proposições, conjuntos de informações etc. (levando-se em
conta, naturalmente, o conjunto de suas conseqüências).
Se a lógica subjacente a uma teoria T é a lógica clássica ou alguma de suas extensões, T é
inconsistente se e somente se for trivial. Em conseqüência, se quisermos erigir teorias ou
sistemas de informação inconsistentes, mas não-triviais, temos de usar um novo tipo de
lógica, diferente da clássica.
Lógica paraconsistente é uma lógica que pode servir de base a teorias inconsistentes e nãotriviais. Deste modo, a lógica paraconsistente é de importância fundamental para se edificar
sistemas de informação ou teorias inconsistentes mas não-triviais.
2. A Lógica Paraconsistente Anotada
As lógicas paraconsistentes anotadas são uma família de lógicas não-clássicas, inicialmente,
empregadas em programação lógica. Posteriormente, várias aplicações foram estendidas por
Blair, Subrahmanian, Kifer e outros. Devido às aplicações obtidas, tornou-se conveniente um
estudo dos fundamentos da lógica subjacente às linguagens de programação investigadas.
Verificou-se que se tratava de uma lógica paraconsistente e que, em alguns casos, também
continha características da lógica paracompleta e não-alética.
Os primeiros estudos sobre os fundamentos da LPA foram efetuados em (DA COSTA,
VAGO & SUBRAHMANIAN 91), (DA COSTA, ABE & SUBRAHMANIAN 91) e (ABE
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92). Em (ABE 92) estudou-se a lógica de predicados, teoria de modelos, teoria anotada de
conjuntos e alguns sistemas modais, estabelecendo-se um estudo sistemático dos fundamentos
das lógicas anotadas apontadas em trabalhos anteriores.
Outras aplicações dos sistemas anotados foram iniciadas por Abe, por volta de 1993, que,
juntamente com discípulos, implementou a linguagem de programação paraconsistente
Paralog (ÁVILA, ABE & PRADO 97), independentemente dos resultados de Subrahmanian.
Tais idéias foram aplicadas na especificação de uma arquitetura, baseada na LPA, que integra
vários sistemas computacionais – planejadores, base de dados, sistemas de visão etc. –, na
construção de uma célula de manufatura (PRADO 96) e na representação de conhecimento
por Frames, permitindo representar inconsistências e exceções (ÁVILA 96).
Em (DA SILVA FILHO 99), (ABE, DA SILVA FILHO 98), (DA SILVA FILHO, ABE
01a) foram introduzidos circuitos digitais (portas lógicas Complement, And e Or), inspirados
nas LPAs. Tais circuitos permitem sinais “conflitantes” implementados em sua estrutura de
modo não-trivial. Acreditamos que a contribuição dos circuitos elétricos paraconsistentes seja
pioneira na área dos circuitos elétricos, abrindo novas vias de investigações. Nas pesquisas
referentes, ainda na parte de hardware, a grande contribuição foi a edificação do analisador
lógico – para-analisador – que permite tratar conceitos de incerteza, inconsistência e
paracompleteza (DA SILVA FILHO, ABE 99a). Também baseados nas lógicas anotadas,
foram construídos controladores lógicos – paracontrol, simuladores lógicos – parasim,
dispositivo para tratamento de sinais – parasônico (ABE, DA SILVA FILHO 03). Como
materialização dos conceitos discutidos construiu-se o primeiro robô com hardware
paraconsistente: protótipo I, que recebeu o nome de Emmy (DA SILVA FILHO, ABE 01), e
está sendo construído o protótipo II.
Os sistemas anotados abarcam aspectos dos conceitos envolvidos em raciocínio nãomonotônico, defesiable, default e deôntico (NAKAMATSU, ABE, SUZUKI 00).
Versões de lógicas anotadas também envolvem muitos aspectos das lógicas fuzzy, o que
pode ser visto sob vários ângulos. A teoria anotada de conjuntos engloba in totum a teoria de
conjuntos fuzzy (DA COSTA, ABE, SUBRAHMANIAN 91) e (ABE 92). Foi erigido o
controlador híbrido parafuzzy que une características das lógicas anotadas e da fuzzy (DA
SILVA FILHO, ABE 99). Versões axiomatizadas da teoria fuzzy foram obtidas (AKAMA,
ABE 99). Aspectos algébricos dos sistemas anotados foram investigados por Abe (ABE 98).
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Intuitivamente, na LPA bivalorada o que se faz é atribuir uma anotação (µ1; µ2), com µ1 e µ2
pertencentes ao intervalo fechado [0; 1], a cada proposição elementar (atômica) p de tal modo
que µ1 traduza o grau de crença (ou evidência favorável) que se tem em p e µ2, o grau de
descrença (ou evidência contrária) (ABE, 1992).
O conjunto [0; 1]2 ou [0; 1] X [0; 1] dotado de uma relação de ordem * tal que (λ1; λ2) *
(µ1; µ2) se e somente se λ1 ≤ µ1 e λ2 ≤ µ2, onde ≤ é a relação de ordem total habitual dos
números reais, constitui um reticulado (reticulado das anotações), que denominamos também
Quadrado Unitário de Plano Cartesiano (QUPC). Cada par (µ1; µ2) constitui um estado
lógico. Destacam-se os seguintes estados lógicos extremos:
(1; 0) representa, intuitivamente, crença total e nenhuma descrença (traduz um estado lógico
que chamamos de verdade, que é representado por V);
(0; 1) representa, intuitivamente, nenhuma crença e descrença total (traduz um estado lógico
que chamamos de falsidade, que é representado por F);
(1; 1) representa, intuitivamente, ao mesmo tempo crença e descrença totais (traduz um
estado lógico que chamamos de inconsistência, que é representado por ┬), e
(0; 0) indica ausência total de crença e de descrença (traduz um estado lógico que chamamos
de paracompleteza ou de indeterminação, que é representado por ⊥).
3. Graus de contradição e de certeza
Sendo um trabalho de aplicação, vamos nos permitir alguns abusos de linguagem, tais como
não distinguir linha AB de reta AB ou de segmento AB; o ponto A “cai” na região ABC etc.
O QUPC pode ser dividido de várias maneiras. Uma divisão conveniente é em doze regiões,
como na Figura 1.
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2
1
L
U
D
S
H
0,6
0,5
0,4
AB: linha perfeitamente indefinida
F
T
R
I
J
CD: linha perfeitamente definida
MN: linha limite de paracompleteza
O
0A
RS: linha limite de inconsistência
Q
N
E
0
B
PQ: linha limite de verdade
G
M
0,4
K
0,5
P
0,6
TU: linha limite de falsidade
C
1
1
Figura 1: Divisão do QUPC em doze regiões, adotando-se como linhas limites |Gcontr| = 0,60 e |Hcert| = 0,60.
Vejamos algumas definições:
Grau de contradição: G contr = µ1 + µ2 – 1, donde se conclui que: -1 ≤ G contr ≤ 1.
Grau de certeza: H cert = µ1 - µ2 , donde se conclui que: -1 ≤ H cert ≤ 1.
Linha limite de paracompleteza: segmento MN, tal que G contr = - k1, para 0 < k1 < 1;
Linha limite de inconsistência: segmento RS, tal que G contr = + k1, para 0 < k1 < 1;
Linha limite de falsidade: segmento TU, tal que H cert = - k2, para 0 < k2 < 1;
Linha limite de verdade: segmento PQ, tal que H cert = + k2, para 0 < k2 < 1.
Habitualmente, adota-se k1 = k2 = k, dando simetria ao gráfico, como na Figura 1, onde k1 =
k2 = k = 0,60. O valor de k2 será chamado de nível de exigência.
Destaquemos, na Figura 1, quatro regiões extremas e uma região central.
Região AMN: -1 ≤ Gcontr ≤ - 0,60 ⇒ região de paracompleteza.
Região BRS:
0,60 ≤ Gcontr ≤ 1 ⇒ região de inconsistência.
Região CPQ: 0,60 ≤ H cert ≤ 1 ⇒ região de verdade.
Região DTU: -1 ≤ H cert ≤ - 0,60 ⇒ região de falsidade.
As regiões CPQ e DTU são chamadas de regiões de decisão. A primeira, de decisão
favorável (viabilidade) e a segunda, de decisão desfavorável (inviabilidade).
Região MNTUSRQP:
|G contr | < 0,60 ou - 0,60 < G contr < 0,60 e |H cert | < 0,60 ou - 0,60 < H cert < 0,60
Esta é a região que não permite tomadas de decisão, ou seja, quando o ponto que traduz o
resultado da análise pertence a essa região, dizemos que a análise é não conclusiva.
Vejamos com detalhes uma de suas sub-regiões, a título de exemplo.
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Sub-região OFSL: 0,5 ≤ µ1 < 0,8 e 0,5 ≤ µ2 ≤ 1; 0 ≤ G contr < 0,60 e – 0,5 ≤ H cert < 0.
Nesta sub-região temos uma situação de inconsistência e falsidade relativamente pequenas,
mas mais próxima da situação de inconsistência total (ponto B) do que da situação de
falsidade total (ponto D). Por isso, dizemos que é uma sub-região de quase inconsistência
tendendo à falsidade. A seguir, as doze regiões do QUPC destacadas nesta análise.
Região
µ1
µ2
Gcontr
Hcert
Descrição
AMN
BRS
CPQ
DTU
OFSL
OHUL
OHTI
OENI
[0; 0,4 ]
[0,6; 1]
[0,6; 1]
[0; 0,4]
[0,5; 0,8 [
] 0,2; 0,5 [
[0; 0,5 [
[0; 0,5 [
[0; 0,4]
[0,6; 1]
[0; 0,4]
[0,6; 1]
[0,5; 1]
[0,5; 1]
[0,5; 0,8 [
] 0,2; 0,5[
[-1; -0,6]
[0,6; 1]
[-0,4; 0,4]
[-0,4; 0,4]
[0; 0,6 [
[0; 0,5 [
[– 0,5; 0 [
] – 0,6; 0 [
[-0,4; 0,4]
[-0,4; 0,4]
[0,6; 1]
[-1; -0,6]
[ – 0,5; 0 [
] – 0,6; 0 [
] – 0,6; 0 [
] – 0,5; 0 [
Paracompleteza (ou Indeterminação)
Inconsistência
Verdade
Falsidade
Quase inconsistência tendendo à falsidade
Quase falsidade tendendo à inconsistência
Quase falsidade tendendo à paracompleteza
OEMK
OGPK
OGQJ
OFRJ
] 0,2; 0,5 [
[0,5; 0,8 [
[0,5; 1 ]
[0,5; 1 ]
[0; 0,5 [
[0; 0,5 [
] 0,2; 0,5 [
[0,5; 0,8 [
] – 0,6; 0 [
[– 0,5; 0 [
[0; 0,5 [
[0; 0,6 [
[0; 0,5 [
[0; 0,6 [
[0; 0,6 [
[0; 0,5]
Quase paracompleteza tendendo à verdade
Quase paracompleteza tendendo à falsidade
Quase verdade tendendo à paracompleteza
Quase verdade tendendo à inconsistência
Quase inconsistência tendendo à verdade
Representação
⊥
┬
V
F
Q┬ →
QF →
QF →
Q┴ →
Q┴ →
QV →
QV →
Q┬ →
F
┬
┴
F
V
┴
┬
V
Tabela 1: Resumo da análise das doze regiões do Quadrado Unitário do Plano Cartesiano (QUPC).
O QUPC dividido em doze regiões permite análises para tomadas de decisão. Por isso, ele é
chamado dispositivo (ou algoritmo) para-analisador (DA SILVA FILHO & ABE, 2001).
4. Regra de decisão
Vimos anteriormente que, se na análise da viabilidade de um empreendimento, o resultado
nos leva a um ponto da região CPQ (de verdade), a decisão é favorável, ou seja, é pela
viabilidade do empreendimento; se, a um ponto da região DTU (de falsidade), a decisão é
desfavorável, pela inviabilidade do empreendimento; mas se o resultado nos leva a um ponto
de qualquer outra região diferente dessas duas, dizemos que a análise é não conclusiva. Essas
idéias determinam a regra de decisão (CARVALHO 02), que assim se resume:
Hcert ≥ 0,60 ⇒ decisão favorável (viabilidade);
Hcert ≤ - 0,60 ⇒ decisão desfavorável (inviabilidade); e
- 0,60 < Hcert < 0,60 ⇒ não conclusivo.
Observemos que foi adotado |Hcert| = 0,60 como linhas limites de verdade e de falsidade. Isto
significa que a análise só é conclusiva quando |Hcert| ≥ 0,60. Por isso, o valor 0,60 (ou 60%)
traduz o nível de exigência (Nexig) da análise. Portanto, o nível de exigência representa o
mínimo valor de |Hcert| para que se caia na região de verdade ou de falsidade, ou seja, para que
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tome uma decisão favorável ou desfavorável (CARVALHO 02). Isto significa que as decisões
serão tomadas com o mínimo de 60% de certeza.
De uma maneira mais genérica, a regra de decisão pode ser assim escrita:
Hcert ≥ Nexig ⇒ decisão favorável (viabilidade);
Hcert ≤ - Nexig ⇒ decisão desfavorável (inviabilidade); e
- Nexig < Hcert < Nexig ⇒ não conclusivo.
O nível de exigência depende da segurança que se quer ter na decisão, que, por sua vez,
depende da responsabilidade que ela implica, do investimento que está em jogo, do
envolvimento ou não de risco para vidas humanas etc.
Cumpre-nos destacar que, se o resultado cai na região BRS (região de inconsistência), a
análise é não conclusiva quanto à viabilidade do empreendimento, mas acusa um alto grau de
inconsistência dos dados (Gcontr ≥ 0,60). Analogamente, se cai na região AMN (de paracompleteza), significa que os dados apresentam um alto grau de indeterminação (Gcontr ≤ - 0,60).
5. Operadores NOT, OR e AND da LPA
NOT é definido por: NOT ( µ1; µ2) = (µ2; µ1). O operador NOT deve corresponder à
negação da lógica anotada. Notemos que: NOT T = T, NOT ⊥ = ⊥, NOT V = F e NOT F = V.
O operador OR é definido por: ( µ1; µ2) OR ( λ1; λ2) = (max{ µ1, λ1}; max{ µ2, λ2}). Este
operador tem o mesmo sentido da disjunção clássica, ou seja, o de fazer a maximização.
O AND é definido por: ( µ1; µ2) AND ( λ1; λ2) = (min{ µ1, λ1}; min{ µ2, λ2}). Seu sentido é
o mesmo da conjunção clássica, ou seja, o de fazer a minimização.
6. Uma aplicação: Avaliação do Projeto de uma Fábrica
Como aplicação do processo de tomadas de decisão com ferramentas da LPA,
desenvolvemos um método de análise de viabilidade, que chamamos de Método de Análise
pelo Baricentro, MAB. Como exemplo, vamos aplicá-lo na avaliação do projeto P de uma
fábrica, problema com o qual, constantemente, se deparam engenheiros, consultores ou os
próprios empresários. A idéia é analisar se o projeto de uma fábrica pode ser implantado
(decisão favorável) ou não (decisão desfavorável). Vamos chamar de engenheiro do
conhecimento, EC, a pessoa responsável por preparar, pesquisar e concluir a análise.
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Apesar de detalharmos o método nas próximas páginas, julgamos conveniente antecipar-lhe
uma síntese. O MAB consiste, basicamente, em oito etapas, que são coordenadas pelo EC.
1ª) Seleção dos fatores. Como toda decisão é influenciada por uma série de fatores, devem
ser selecionados os mais importantes e que nela têm maior influência.
2ª) Estabelecimento das seções. Para cada fator, devem ser estabelecidas três (ou quatro ou
cinco ou mais seções, dependendo do caso e da precisão desejada) seções, que vão traduzir as
diferentes características possíveis para o projeto.
3ª) Fixação do nível de exigência. Antes de qualquer análise do projeto, deve ser fixado o
nível de exigência para a tomada de decisão. Com isso estarão determinados o dispositivo
para-analisador e a regra de decisão. Essas fases iniciais são executadas pelo EC.
4ª) Atribuição de pesos aos fatores. Esses pesos vão refletir a maior ou menor importância
de cada fator na decisão. Normalmente, eles são atribuídos por especialistas, escolhidos pelo
EC e segundo um critério por ele fixado, tal como, os pesos têm que ser inteiros de 1 a 5.
5ª) Anotação dos graus de crença (µ1) e de descrença (µ2) dos fatores, em cada uma das
seções. Essa fase, também, é feita pelos especialistas.
A atribuição dos pesos e a anotação dos graus de crença e de descrença aos fatores,
normalmente, são feitas por meio de especialistas, mas poderiam ser feitas com base em
dados estatísticos. Esses valores vão constituir a base de dados para as análises.
6ª) Realização da pesquisa. Um pesquisa precisa ser feita para verificar, no caso em estudo,
em que seção cada um dos fatores se encontra.
7ª) Obtenção dos graus de crença (µ1R) e de descrença (µ2R), resultantes, para cada fator, na
seção detectada pela pesquisa. Isso é feito pela aplicação das técnicas de maximização (OR) e
de minimização (AND) da LPA e permite, pela aplicação da regra de decisão ou do
dispositivo para-analisador, verificar como é a influência de cada fator na decisão.
8ª) Obtenção dos graus de crença (µ1W) e de descrença (µ2W) do baricentro. Para a tomada
de decisão final, não basta saber como cada fator influi, mas interessa a influência conjunta
(combinada) de todos os fatores analisados. Isto pode ser determinado pelo centro de
gravidade ou baricentro (W) dos pontos que representam os fatores.
O grau de crença de W, µ1W, é a média ponderada dos graus de crença resultantes, µ1R, e o
seu grau de descrença, µ2W, a média ponderada dos graus de descrença resultantes, µ2R, para
todos os fatores. Com esses valores, podemos chegar à decisão final, calculando o grau de
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certeza de W, HcertW = µ1W – µ2W, e aplicando a regra de decisão, ou aplicando o dispositivo
para-analisador.
Neste trabalho, adotaremos com peso de cada fator a média aritmética dos pesos atribuídos
pelos especialistas. Observemos que, se os pesos médios forem todos iguais, o baricentro W
irá coincidir com o centro geométrico dos pontos que representam os fatores.
6.1. A escolha dos fatores, o estabelecimento das seções e a fixação do nível de exigência
Para exemplificar, vamos escolher oito fatores (F1 a F8) que influem na decisão de
implantar ou não o projeto de uma fábrica, ou seja, que influem na viabilidade do projeto.
Para cada um desses fatores estabelecemos três seções (S1 a S3), tais que S1 represente uma
situação favorável, S2, uma situação indiferente, e S3, uma situação desfavorável.
Observemos que a escolha dos fatores e a caracterização das seções dependem do projeto a
ser avaliado, de análises de mercado, de estudos econômicos e de outros elementos. Neste
trabalho, essa caracterização é feita sem a utilização rigorosa desses elementos, pois se trata
apenas de um exemplo para a apresentação do método.
Os fatores escolhidos (Fi) e as seções estabelecidas (Sj) são os apresentados a seguir.
F1: Capacidade de produção da fábrica – Medida pela comparação entre a produção
projetada para a fábrica e a média M de produção das fábricas similares já existentes – S1:
maior que 1,2M; S3: menor que 0,8M; uma situação diferente de S1 e S3.
F2: Seleção de equipamentos – Traduzida pelas características: flexibilidade,
produtividade e qualidade dos equipamentos escolhidos – S1: pelo menos duas características
são altas; S3: pelo menos duas são baixas; S2: uma situação diferente de S1 e S3.
F3: Lay out da fábrica – Traduzido pelas características: facilidade de entrada de material,
adequada disposição dos equipamentos para o fluxo de produção e facilidade de saída de
produto – S1: pelo menos duas dessas características são altas; S3: pelo menos duas são
baixas; S2: uma situação diferente de S1 e S3.
F4: Localização – Traduzida pela proximidade dos seguintes elementos: centro fornecedor
de material, centro consumidor, boas estradas e meios de transporte baratos (ferroviário ou
hidroviário) - S1: pelo menos três desses elementos estão bem próximos; S3: pelo menos três
não estão próximos; S2: uma situação diferente de S1 e S3.
F5: Organização - Traduzida pela adequação dos seguintes sistemas de apoio: controle de
qualidade, manutenção, sistema de embalagens e logística de expedição de produtos – S1:
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pelo menos três desses sistemas são bem adequados; S3: no máximo um é bem adequado; S2:
uma situação diferente de S1 e S3.
F6: Disponibilidade de área interna – Medida pela percentagem de área livre para
eventuais estocagens ou para implantação de novos departamentos – S1: mais de 50%; S3:
menos de 20%; S2: uma situação diferente de S1 e S3.
F7: Possibilidade de expansão – Medida pela razão entre a área total do imóvel e a área
ocupada pelo projeto - S1: maior que 3; S3: menor que 2; S2: situação diferente de S1 e S3.
F8: Flexibilidade do processo – Traduzida pela capacidade de adaptação para a produção
de diferentes produtos – S1: alta capacidade; S2: capacidade média; S3: baixa capacidade.
A seguir, deve ser fixado o nível de exigência da análise para a tomada de decisão. Nesta
aplicação, vamos fixá-lo em 0,65 (ou 65%). Com isso, a regra de decisão e o dispositivo paraanalisador já estão determinados:
1,2
Regra de decisão:
Hcert ≥ 0,65 ⇒
decisão favorável (projeto viável);
Hcert ≤ - 0,65 ⇒
decisão desfavorável (proj. inviável);
- 0,65 < Hcert < 0,65 ⇒
análise não conclusiva.
1,0
0,8
0,6
0,50
0,4
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4 0,50 0,6
0,8
1,0
1,2
Figura 2: Regra de decisão e dispositivo para-analisador para o nível de exigência igual a 65%.
6.2. A construção da base de dados
Escolhidos os fatores e estabelecidas as seções, por meio de especialistas (ou usando dados
estatísticos), como já dissemos, são atribuídos grau de crença (µ1) e grau de descrença (µ2),
para cada um dos fatores em cada uma das seções, e, também, os pesos para cada um dos
fatores. Neste exemplo, vamos optar pelo uso de especialistas.
Vamos admitir que, segundo critérios estabelecidos ou por determinação do decisor, foi
escolhido o seguinte quadro de especialistas: Especialista 1: engenheiro de produção; 2:
administrador industrial; 3: engenheiro de processo (mecânico ou químico ou outro,
dependendo da fábrica); e 4: engenheiro de produto.
Os pesos médios dos fatores, bem como os graus de crença e de descrença atribuídos pelos
especialistas estão na tabela abaixo, que constitui a base de dados.
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1
F2
1
F3
1
F4
3
Espec 4
µ11 µ21 µ12 µ22 µ13 µ23 µ14 µ24
S1
S2
S3
S1
S2
S3
S1
S2
S3
S1
1,0
0,7
0,3
0,9
0,6
0,3
0,9
0,6
0,3
1,0
S2
0,5 0,6 0,6 0,6 0,6 0,4
0,5 0,6
S3
0,1 1,0 0,2 1,0 0,2 1,0
0,0 0,9
0,0
0,4
1,0
0,2
0,5
0,9
0,2
0,4
1,0
0,2
0,9
0,6
0,3
1,0
0,6
0,2
0,8
0,4
0,0
0,8
0,1
0,4
1,0
0,2
0,6
0,8
0,2
0,4
1,0
0,0
1,0
0,6
0,2
0,9
0,4
0,1
0,8
0,6
0,3
1,0
0,2
0,6
0,8
0,1
0,4
0,8
0,0
0,5
1,0
0,2
0,8
0,5
0,2
0,8
0,5
0,0
0,7
0,5
0,1
0,9
0,3
0,6
1,0
0,1
0,4
0,9
0,2
0,5
0,9
0,4
Peso
Espec 3
Fator
Espec 2
F5
1
F6
1
F7
2
F8
2
Espec 1
Espec 2
Espec 3
Espec 4
Seção
F1
Espec 1
Seção
Peso
Fator
Revista Pesquisa e Desenvolvimento Engenharia de Produção
n.1, p. 47-62, dez. 2003
µ11 µ21 µ12 µ22 µ13 µ23 µ14 µ24
S1
S2
S3
S1
S2
S3
S1
S2
S3
S1
0,9
0,4
0,1
1,0
0,6
0,3
1,0
0,6
0,1
1,0
S2
0,7 0,3 0,6 0,5
0,5 0,4 0,5 0,6
S3
0,0 0,9 0,3 0,7
0,3 0,8 0,2 0,9
0,9
0,5
0,8
0,1
0,5
1,0
0,2
0,5
1,0
0,2
1,0
0,6
1,0
1,0
0,7
0,2
1,0
0,3
0,3
0,9
0,8
0,3
0,2
0,1
0,3
0,9
0,0
0,4
0,9
0,2
1,0
0,7
0,9
1,0
0,7
0,3
0,9
0,6
0,3
0,9
0,1
0,3
0,3
0,0
0,4
0,9
0,2
0,5
0,7
0,1
0,2
0,5
0,8
0,1
0,6
0,0
1,0
0,5
0,0
0,8
0,9
0,6
0,3
0,8
0,4
0,9
0,2
0,6
0,9
0,2
Tabela 2: Base de dados (pesos médios dos fatores e seus graus de crença e de descrença, em cada seção).
6.3. A pesquisa e a obtenção dos resultados
Devemos fazer uma pesquisa em relação ao projeto P, para verificar em que seção cada um
dos fatores se encontra. Ou seja, os pesquisadores devem verificar, para cada um dos fatores
Fi (1 ≤ i ≤ 8), em que seção Sj (1 ≤ j ≤ 3) o projeto P se encontra. Com os Sj encontrados,
preenchemos a coluna 3 da Tabela 3. De posse desses resultados extraímos da base de dados
(Tabela 2.), além dos pesos médios dos fatores (coluna 2), as opiniões dos especialistas sobre
as condições do projeto P, traduzidas pelas seções pesquisadas. Essas opiniões, traduzidas
pelos graus de crença e de descrença, estão colocadas nas colunas de 4 a 11 da Tabela 3.
A seguir, aplicamos as técnicas de maximização (OR) e de minimização (AND) da LPA.
Nesta aplicação é conveniente que os grupos sejam constituídos, observando-se a formação
dos especialistas. Quase sempre é uma escolha do EC ou decisor.
Vamos supor que, no quadro de especialistas utilizado, o EC (ou o decisor) considere que as
opiniões dos especialistas 1 e 2 são indispensáveis, mas que, entre os especialistas 3 e 4, uma
sendo favorável é suficiente. Assim, a formação dos grupos é: grupo A - engenheiro de
produção (1); grupo B – administrador industrial (2); e grupo C – engenheiro de processo (3)
com engenheiro de produto (4). Dessa forma, para a aplicação das técnicas de maximização
(OR) e de minimização (AND) às opiniões dos especialistas, faremos:
[(Especialista 1)] AND [(Especialista 2)] AND [(Especialista 3) OR (Especialista 4)]
ou seja, aplicaremos, primeiro, o operador OR apenas dentro do grupo C (intragrupo) e, a
seguir, o operador AND entre os grupos A, B e C (entregrupos).
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Seção
3
4
5
6
7
Grupo A
Grupo B
Espec 1
Espec 2
8
9
10
11
F1
F2
F3
F4
F5
F6
F7
1
1
1
3
1
1
2
S3
S1
S2
S3
S1
S2
S3
0,3
0,9
0,6
0,1
0,9
0,6
0,1
1,0
0,2
0,4
1,0
0,9
0,5
1,0
0,3
1,0
0,4
0,2
1,0
0,7
0,3
1,0
0,2
0,4
1,0
0,8
0,3
0,9
0,2
0,9
0,6
0,2
1,0
0,7
0,3
0,8
0,1
0,5
1,0
0,1
0,4
0,7
0,2
0,8
0,5
0,0
0,2
0,6
0,0
1,0
0,1
0,5
0,9
0,9
0,4
0,9
F8
2
S1
1,0
0,2
0,9
0,2
0,9
0,1
0,8
0,2
Espec 3
12
13
Grupo C
Grupo C
Peso
2
Fator
1
Espec 4
µ11
µ12
µ21
µ22
µ31
µ32
µ41
µ42
E3 OR E4
14
15
A AND B
AND C
16
17
Nível de Exig.
18
0,65
Conclusões
µ1C µ2C µ1R µ2R Hcert Gcontr
Decisão
0,2 1,0 0,2 1,0 -0,80 0,20 INVIÁVEL
0,9 0,1 0,9 0,1 0,80 0,00 VIÁVEL
0,6 0,5 0,4 0,4 0,00 -0,20 NÃO CONCLUSIVO
0,2 1,0 0,1 1,0 -0,90 0,10 INVIÁVEL
1,0 0,9 0,9 0,8 0,10 0,70 NÃO CONCLUSIVO
0,7 0,4 0,6 0,3 0,30 -0,10 NÃO CONCLUSIVO
0,3 0,9 0,1 0,9 -0,80 0,00 INVIÁVEL
0,9 0,2 0,9 0,2 0,70 0,10 VIÁVEL
Baricentro W: média ponderada dos graus resultantes
0,44 0,65 -0,21
0,09 NÃO CONCLUSIVO
Tabela 3: Fatores (1), pesos (2), seções pesquisadas (3), graus de crença e de descrença (4 a 11), aplicação dos
operadores OR (12 e 13) e AND (14 e 15), cálculos (16 e 17) e análise dos resultados (18).
Na Tabela 3, os resultados da aplicação do operador OR ao grupo C (intragrupo) estão nas
colunas de 12 e 13. Os resultados da aplicação do operador AND entre os grupos A, B e C
(entregrupos) aparecem nas colunas 14 e 15. Dessa forma, obtemos, para cada fator, nas
condições da seção encontrada na pesquisa, os graus de crença (µ1R) e de descrença (µ2R),
resultantes da combinação das opiniões dos especialistas.
6.4. Análise dos resultados
A análise dos resultados finais (colunas 14 e 15) é feita pela aplicação do dispositivo paraanalisador ou da regra de decisão da Figura 2. Para isso, devemos plotá-los, juntos com o
QUPC, obtendo a Figura 3. Esta nos permite determinar qual é a influência de cada um dos
fatores (F1 a F8) na decisão de viabilidade do projeto P e, também, a influência conjunta de
todos os fatores por meio do baricentro W. A observação dos pontos obtidos nos mostra que
dois fatores (F2 e F8) recomendam a execução do projeto P, ao nível de exigência de 65%,
pois pertencem à região de verdade; três fatores (F1, F4 e F7) recomendam a não execução
do projeto P, ao nível de exigência de 65%, pois pertencem à região de falsidade. Os demais
fatores pertencem a outras regiões, sendo, portanto, não conclusivos. Destaquemos que F5
pertence à região de inconsistência, mostrando que as opiniões dos especialistas, com relação
a este fator, são contraditórias (apresentam um alto grau de contradição, igual a 0,70).
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QUPC
1,2
Grau de descrença
1,0
0,8
Fatores
Baricentro
0,6
Contorno
0,50
Div Centrais
0,4
Div Diagonais
0,2
0,0
0,0
0,2
0,4 0,50 0,6
0,8
1,0
1,2
Grau de crença
Figura 3: Análise dos resultados pelo dispositivo para-analisador
Mas, a influência conjunta (combinada) de todos estes fatores pode ser resumida pelo
baricentro W. Como W está na região de quase verdade tendendo à inconsistência, dizemos
que o resultado total da análise é não conclusivo. Ou seja, a análise não recomenda o projeto
P, mas, também, não exclui esta possibilidade. Apenas sugere que novas análises sejam feitas,
numa tentativa de se aumentarem as evidências.
A mesma análise pode ser feita numericamente. Basta calcular o grau de certeza resultante,
HcertR = µ1R – µ2R , para cada um dos fatores e aplicar a regra de decisão (colunas 16 e 18 da
Tabela 3) ou o grau de certeza do baricentro W, HcertW = µ1W – µ2W , e aplicar a regra de
decisão (última linha das colunas 16 e 18 da Tabela 3).
Julgamos importante observar que foi desenvolvido um software, em Excel, que, após o
preenchimento da coluna 3 da Tabela 3, preenche automaticamente as colunas de 4 a 18 da
mesma tabela e “desenha” o dispositivo para-analisador (Figura 3).
6.5. A fidedignidade do MAB
Para se fazer um teste da fidedignidade do MAB e um exercício de sua aplicação, sugerimos
ao leitor que analise a viabilidade de um projeto P’ de uma fábrica, admitindo que na pesquisa
todos os fatores caíram na seção S1, ou seja, todos os fatores se mostraram favoráveis à
viabilidade do projeto P’. Neste caso, evidentemente, é de se esperar que a aplicação do
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método nos leve a concluir pela viabilidade do projeto P'. De fato, aplicando-se o MAB a este
caso (e este é o exercício), obtemos µ1W = 0,89 e µ2W = 0,13. Isto nos permite calcular HcertW
= µ1W – µ2W = 0,89 – 0,13 = 0,76. Como 0,76 ≥ 0,65, a regra de decisão (Figura 2) nos
permite inferir pela viabilidade do projeto P’, ao nível de exigência de 65% (Figura 4).
1,2
1,2
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
0,50
0,50
0,4
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
0,0
0,2
0,4 0,50 0,6
0,8
1,0
1,2
0,0
0,2
0,4 0,50 0,6
0,8
1,0
1,2
Figuras 4 e 5: Todos os fatores favoráveis (viável a 65%) e todos os fatores desfavoráveis (inviável a 65%)
Ao contrário, se, para um outro projeto P", todos os fatores caíssem na seção S3, isto é, se
todos os fatores se mostrassem desfavoráveis ao projeto, teríamos µ1W = 0,09 e µ2W = 0,84
(confira os cálculos, como exercício). Isto nos permitiria calcular HcertW = µ1W – µ2W = 0,09 –
0,84 = - 0,75. Como - 0,75 ≤ - 0,65, aplicando a regra de decisão, poderíamos inferir pela
inviabilidade do projeto P" (Figura 5).
Vamos analisar um caso em que quatro fatores (3, 4, 7 e 8) se mostram favoráveis ao projeto
(seção S1) e outros quatro (1, 2 , 5 e 6), indiferentes (seção S2). Nesse caso, a avaliação do
projeto resulta não conclusiva, ao nível de exigência de 65% (Figura 6), mas atesta sua
viabilidade ao nível de 55% de exigência (Figura 7).
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1,2
1,2
1,0
1,0
0,8
0,8
0,6
0,6
0,50
0,50
0,4
0,4
0,2
0,2
0,0
0,0
0,0
0,2
0,4 0,50 0,6
0,8
1,0
1,2
0,0
0,2
0,4 0,50 0,6
0,8
1,0
1,2
Figuras 6 e 7: Quatro fatores favoráveis e quatro indiferentes (não conclusivo, a 65%, e viável, a 55%).
7. Referências
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