exploração do software wingeom no ensino da geometria espacial

EXPLORAÇÃO DO SOFTWARE WINGEOM NO ENSINO DA
GEOMETRIA ESPACIAL PARA O CÁLCULO DE VOLUMES POR
APROXIMAÇÃO: UMA PROPOSTA PEDAGÓGICA
Adriana de Fátima Vilela Biscaro
Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
[email protected]
Ana Maria Villela Grecco
Universidade Federal da Grande Dourados - UFGD
[email protected]
Bruno Rogério Locatelli dos Santos
Universidade Federal da Grande Dourados – UFGD
[email protected]
Resumo:
O presente artigo tem como objetivo apresentar uma proposta pedagógica utilizando alguns recursos
do software Wingeom para auxiliar no ensino da Geometria Espacial, no Ensino Médio. O uso de
softwares educativos nas escolas públicas vem ganhando destaque quando se trata de melhorias na
qualidade de ensino, principalmente quando a utilização é referente ao ensino da Geometria Espacial.
Neste sentido, a utilização de softwares pode contribuir para a compreensão de conceitos e
propriedades geométricas, de forma que o aluno é levado a visualizar, interpretar, conjecturar, induzir
e generalizar resultados, assumindo o papel de sujeito ativo na construção do seu próprio
conhecimento. A metodologia apresentada no artigo é voltada para o cálculo de volumes dos sólidos
geométricos, em especial o volume da pirâmide através de aproximação da soma de volumes de cubos
dispostos em pirâmide. Tal aproximação será superior ao volume da pirâmide de base quadrada, e
verifica-se que ao diminuirmos as arestas dos cubos e aumentarmos a quantidade dos mesmos,
obtemos uma melhor aproximação para o volume da pirâmide. O artigo apresenta também uma
demonstração geométrica do volume da pirâmide. Esta proposta possibilita ao aluno uma melhor
aprendizagem, permitindo que ele assimile os conceitos da geometria espacial.
Palavras-chave: Software Wingeom. Geometria Espacial. Volumes.
Introdução
De acordo com os Parâmetros Curriculares Nacionais, Brasil (1998), o conhecimento
matemático é visto como instrumento necessário em diversas situações da vida cotidiana, e
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serve de apoio a outras áreas do conhecimento, ou ainda, como forma de desenvolver
habilidades de pensamento. No ensino de Geometria espera-se que o aluno desenvolva
habilidades de visualização e desenho espacial, use seus conhecimentos em geometria para
resolver problemas geométricos em situações do seu cotidiano. Segundo Brousseau (2008,
p.20) “uma situação é um modelo de interação de um sujeito com um meio determinado”.
Tal desenvolvimento ajuda na compreensão e ampliação da percepção de espaço e
construção de modelos para interpretar questões da Matemática e de outras áreas do
conhecimento.
Sendo assim, é de suma importância procurar novas formas de estabelecer o processo
de ensino-aprendizagem, com a intenção de não somente melhorar a qualidade do ensino, mas
também de adotar estratégias que levem o aluno a questionar e traçar novos caminhos, como
forma de superar suas dificuldades cotidianas. Tratando-se dos recursos tecnológicos que nos
circundam, devemos utilizá-los a nosso favor.
Segundo Oliveira (1977, p.8):
Tecnologia Educacional é o processo pelo qual os recursos para a
aprendizagem são planejados, produzidos, utilizados e avaliados. [...] [Assim
não é o uso da TV, por si só, que faz com que essas mudanças aconteçam. É
a especificação dos objetivos, a análise cuidadosa do aluno e do conteúdo, a
produção e a implementação dos materiais de instrução, tudo isso enfim que,
integrado, indica a aplicação de tecnologia].
Dentro deste contexto, a utilização de tecnologias como os softwares matemáticos no
ensino-aprendizagem pode ser vista como auxílio para que os alunos assimilem melhor os
conceitos matemáticos. A utilização de softwares de Geometria Dinâmica pode contribuir
para a compreensão e assimilação de conceitos e propriedades geométricas, em especial em
Geometria Espacial, pois as construções geométricas tridimensionais são favorecidas pela
visualização e mobilidade oferecida por tais recursos.
A partir de situações problema onde é possível manipular as construções geométricas
em um ambiente de Geometria Dinâmica, o aluno é levado a visualizar, interpretar,
conjecturar, induzir e generalizar resultados, assumindo o papel de sujeito ativo na construção
do seu próprio conhecimento. De acordo com Richit, (2005) a manipulação, a visualização e o
contato com diversos elementos construídos a partir de um elemento geométrico básico
(software), potencializa a abordagem desse conteúdo. Borba &Villarreal, (2005), acreditam
que os passos construtivos de tal conceito podem ser tratados separadamente ou
conjuntamente, permitindo assim um melhor entendimento da Geometria Espacial.
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Segundo Piaget (1975, p.61):
Os esquemas de agir e pensar se desenvolve num processo interativo que
permite ampliar e aprofundar nossa leitura de mundo. Quando somos
colocados frente aos desafios que perturbam nossas crenças e certezas,
podem surgir novas formas de ação (física ou mental) em nossa atividade, o
que vai permitir construir novos conhecimentos. A interação é condição
necessária a toda construção de conhecimento, o que incluí, além da
interação com os objetos, a interação com outros sujeitos.
Diante destas considerações, propomos como uma atividade pedagógica a utilização
do software Wingeom para o ensino da Geometria Espacial, em especial para o cálculo do
volume da pirâmide através de aproximação da soma de volumes de cubos dispostos em
pirâmide, será apresentado também à demonstração geométrica do volume da pirâmide
utilizando o referido software.
O estudo da Geometria no ensino médio
De acordo com o Referencial Curricular da Rede Estadual de Ensino do Estado de
Mato Grosso do Sul (http://www.sed.ms.gov.br), os conteúdos referentes à Geometria
Espacial estão propostos para do terceiro ano do Ensino Médio, pois nesta etapa é esperado
que os alunos tenham o domínio sobre conteúdos de Geometria Plana. Entre as competências
e habilidades que se pretendem alcançar podem ser destacadas a utilização do conhecimento
geométrico para ler e representar a realidade como também agir sobre ela; analisar
características e propriedades das formas geométricas em segunda e terceira dimensão, além
de desenvolver argumentos matemáticos sobre as relações geométricas.
Como uma das maiores dificuldades dos alunos no ensino da Geometria Espacial é a
visualização espacial dos sólidos, a utilização de softwares de Geometria Dinâmica pode ser
vista como auxílio para superar essas dificuldades, pois dá ao aluno a oportunidade de
construir e reconstruir de forma interativa.
Conhecendo o software Wingeom
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Desenvolvido pelo Professor Richard Parris, da Philipis Exceter Academy, o
Wingeom é distribuído em 10 idiomas, incluindo o Português do Brasil.
O Wingeom é um software gratuito de geometria dinâmica que permite criar formas
geométricas em duas ou três dimensões e manipular as construções facilitando a verificação
de propriedades geométricas. Esse software visa favorecer os processos educacionais em
Matemática, pois é de fácil manuseio e possui aplicações que procuram motivar o ensinoaprendizagem.
O programa oferece a opção de trabalhar em duas ou três dimensões. As versões
disponíveis para Windows são 95/98/ME/2K/XP/Vista/7, e a versão utilizada neste trabalho é
a de 1 setembro de 2012. Para obter uma versão grátis acesse o endereço
http://math.exeter.edu/rparris/wingeom.html e faça download do mesmo. O programa é de
fácil utilização, pois cada menu do Wingeom tem seu próprio arquivo de ajuda. Todas as
construções podem ser modificadas e animadas, facilitando assim a compreensão e
visualização do professor ou do aluno.
Volume de um bloco retangular
Um bloco retangular é um sólido limitado por seis retângulos, que são suas faces.
Esses retângulos são constituídos de três pares, onde em cada par são retângulos idênticos. Os
lados dos retângulos são chamados de arestas do bloco.
Figura 1: As arestas, a, b e c determinam o bloco retangular
Para medir a grandeza chamada volume, devemos compará-la com uma unidade, e
tradicionalmente, a unidade de volume é o cubo, cuja aresta mede uma unidade de
comprimento, denominada cubo unitário (Lima, 2010). Como exemplo: dado um cubo de
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aresta 1 cm, seu volume será de 1cm3. Sendo assim, o volume do cubo de aresta a é dado por
V  a.a.a , ou seja, V  a 3 .
Volume da Pirâmide
Podemos considerar uma pirâmide como um poliedro que possui por base um
polígono qualquer, por faces laterais triângulos que tem um vértice comum. Este ponto é o
vértice da pirâmide.
De forma geral, se P é uma pirâmide com área de base B e altura h, então o volume da
pirâmide é dado por:
1
V ( P)  Bh
3
Para melhor compreensão desta fórmula, faremos a demonstração geométrica a partir
de um cubo, pois podemos decompô-lo em três pirâmides de bases quadradas de mesmo
volume.
Demonstração geométrica do volume da pirâmide a partir do programa Wingeom
Vamos demonstrar geometricamente que o volume de uma pirâmide é igual a um terço
do volume de um cubo. Para esta demonstração precisaremos da aplicação dos teoremas.
Teorema 1: Duas pirâmides de mesma área da base e mesma altura tem o mesmo volume.
Teorema 2: Seja C um cubo de aresta a. Então o volume de C é igual a soma do volume de
três pirâmides, inscritas em C, com mesmo vértice e bases quadradas.
Em outras palavras podemos representar uma descrição do resultado do teorema 2.
Seja C um cubo de volume V  a 3 , dividindo-o em três pirâmides P1, P2, P3, de
mesmo vértice E, tal que suas bases quadradas sejam faces do cubo, obtemos três pirâmides
de mesma área da base e mesma altura. Logo pelo Teorema 1, terão o mesmo volume. Por
construção, temos que a soma dos respectivos volumes, de P1, P2, P3, é igual ao volume do
cubo.
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Vejamos agora a demonstração do teorema 2 geometricamente, com o auxílio do
software Wingeom. Para esta demonstração, devemos seguir os seguintes procedimentos:
Passo 1: Construir o cubo e organizar seus vértices em ordem alfabética e no sentido
anti-horário, clicando em cada um dos vértices com o botão direito do mouse.
Na barra de ferramentas acesse a Janela 3dim Unidades  Poliedros 
Paralelepípedo (modificando na janela que se abre o comprimento, a largura e a altura,
colocando em ambos o valor 1)
Execute o caminho: Ver  Aparência  Pintada Pontilhada para que todos os
vértices do cubo fiquem visíveis. Para melhor visualização na coloração das faces das
pirâmides é recomendável deixar todas as faces transparentes antes de executar o passo 2.
Figura 2: Cubo com vértices ordenados
Passo 2: Vamos agora construir e colorir as pirâmides inscritas no cubo.
2.1. Construindo a pirâmide de base ABCD e vértice F:
2.1.1 Para isto, execute o caminho Linear  Segmento ou face (para
criar os segmentos BF, CF e DF, uma vez que o segmento AF já existe).
2.2. Colorindo as faces da pirâmide ABCDF.
2.2.1 Execute o caminho Editar  Elementos Lineares (para colorir as
faces ABCD, ABF, ADF, CDF e BCF).
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Figura 3: Construção da Pirâmide1 inscrita no Cubo
2.3. Construindo a pirâmide de base CDEH e vértice F:
Repita 2.1.1 (para criar os segmentos CF, DF, HF (uma vez que EF já está
construído)).
2.4. Colorindo as faces da pirâmide CDEHF.
Repita 2.2.1 (para colorir as faces CDEH, CDF, CHF, DEF, EHF).
Figura 4: Construção da Pirâmide 2 no Cubo
2.5. Construindo a pirâmide de base BCHG e vértice F:
Repita 2.1.1 (para criar os segmentos BF, CF, HF (uma vez que GF já está
construído)).
2.6. Colorindo as faces da pirâmide BCHGF.
Repita 2.2.1 (para colorir as faces BCHG, BCF, BGF, CHF, GHF).
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Figura 5: Construção da Pirâmide 3 no Cubo
Após executar todos os procedimentos descritos, temos a visão final das pirâmides
inscritas no Cubo. Logo, ao movimentarmos o cubo no programa Wingeom, conseguimos
visualizar as três pirâmides.
Figura 6 e 7: Cubo com as pirâmides inscritas
Podemos também calcular e comparar o volume das três pirâmides e do cubo. Portanto
as três pirâmides construídas possuem mesma área e mesmo volume, segundo o teorema 1.
Logo cada uma das pirâmides tem volume igual a um terço do volume do cubo, como
queríamos demonstrar.
Volume da pirâmide por aproximação de cubos
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Intuitivamente dizemos que o volume de um sólido é a capacidade de espaço por ele
ocupada. Diante desta ideia, estamos interessados em mostrar o volume da pirâmide com a
utilização do software Wingeom através de aproximação da soma de volume de cubos
dispostos em pirâmide. Inicialmente, tomaremos como unidade de volume um cubo cuja
aresta mede uma unidade de comprimento. Sendo assim, o volume da pirâmide deverá ser um
número que exprima quantas vezes a pirâmide contém o cubo. A figura 8 mostra uma
pirâmide de base quadrada com vértices ABCE e vértice E, onde o volume da pirâmide é uma
aproximação superior ao volume da pirâmide de base quadrada.
Figura 8: Representação 1 do volume da pirâmide
Em seguida, tomaremos uma pirâmide de cubos cuja soma dos comprimentos das
arestas da base tenham o mesmo comprimento da aresta da base pirâmide da Figura 8.
Observamos que ao diminuirmos as arestas dos cubos e aumentarmos sua quantidade, o
volume da pirâmide de cubos se aproxima cada vez mais do volume da pirâmide, conforme
Figura 9.
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A Figura 9: Representação 2 do volume da pirâmide
Analogamente a Figura 10 mostra uma melhor aproximação do volume da pirâmide.
Figura 10: Representação 3 do volume da pirâmide
Continuando infinitamente o mesmo processo de construção, e considerando o erro
entre os volumes como E  Vc  VP , onde Vc é o volume da pirâmide de cubos, ou seja,
(número de cubos que a forma) e VP é o volume da pirâmide de base quadrada. Temos que,
conforme E se aproxima de zero, Vc se aproxima de VP .
Considerações finais
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A proposta mostrada neste trabalho reflete uma possibilidade de ensinar a Geometria
Espacial, em especial o volume da pirâmide, de forma diferenciada, buscando transmitir os
conceitos geométricos de forma concreta, que muitas vezes somente com o lápis e papel
tornam-se difícies de demonstrar e visualizar, principalmente quando estamos no espaço
tridimensional.
O software Wingeom oferece novas perspectivas ao ensino da linguagem matemática,
pois apresenta um papel muito importante na visualização das representações geométricas,
permitindo que os alunos possam interpretar, conjecturar, fazer simulações e investigações a
respeito do assunto que esteja estudando, podendo relacionar os conceitos envolvidos nas
representações, elaborar suas hipoteses e principalmente desenvolver o pensamento
geometrico.
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