GEOFÍSICA APLICADA À ENGENHARIA

GEOFÍSICA APLICADA À ENGENHARIA CARTOGRÁFICA
Iris Pereira Escobar
Universidade do Estado do Rio de Janeiro
Departamento de Engenharia Cartográfica
Rua São Francisco Xavier, 524, 4º andar, sl 4020B
20550-013 Rio de Janeiro – RJ
e-mail: [email protected]
CAPÍTULO 1
INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS GEOFÍSICOS
1.1. O Campo da Geofísica.
Etimologicamente, Geofísica seria a ciência que estuda a Física da Terra. Embora o estudo
do nosso planeta remonte à época do surgimento das ciências experimentais, o nome Geofísica e a
aplicação deste nome a um ramo da ciência, datam do século dezenove. A descoberta de Guilbert
que a Terra comporta-se como um imã grande e um pouco irregular e a teoria da gravitação de
Newton podem ser consideradas como o início da Geofísica.
Como ocorre em outra ciências a Geofísica é comumente dividida em duas partes:
Geofísica Fundamental e Geofísica Aplicada.
1) A Geofísica Fundamental, para alguns Física do Globo, se ocupa do estudo da gravidade,
magnetismo, eletricidade e sismologia terrestres, mas também compreende os estudos da
vulcanologia, geodinâmica, climatologia, oceanografia e outras ciências relacionadas com a Física
da Terra.
2) A Geofísica Aplicada trata da aplicação da Geofísica Fundamental, ou seja, é a aplicação
das Ciências Físicas ao estudo da parte mais superficial da crosta terrestre, que pode ser explorada
pelo homem; neste sentido seria a aplicação dos métodos geofísicos de prospecção à pesquisa de
recursos minerais úteis ao homem.
O estudo dos fenômenos físicos ligados ao nosso planeta tem conduzido o homem a
conclusões importantes acerca das suas propriedades. Neste aspecto, a Geofísica tem levantado
teses sobre a composição interior da Terra, sua idade, deriva continental e outros assuntos de grande
interesse para o homem. Além disso, no campo da prospecção em geral, a Geofísica tem sido um
instrumento imprescindível.
1.2. A Geofísica Aplicada.
Em 1924 foram descobertos os primeiros campos petrolíferos usando métodos geofísicos:
gravimetria com balanças de torsão e sísmica de refração. Desde então o papel da Geofísica na
prospecção do petróleo tem aumentado progressivamente. Atualmente já não se procuram
hidrocarbonetos sem o auxílio dos métodos geofísicos. A determinação precisa de depósitos
petrolíferos estruturais que apresentem discordâncias com as camadas superficiais, encontra na
Geofísica um complemento imprescindível aos recursos da Geologia.
O campo da Geofísica Aplicada não se reduz somente à prospecção petrolífera, embora seja
importantíssimo este ramo, mas se estende também à prospecção em geral, à de águas subterrâneas
e a certos problemas de engenharia civil.
1
a) Prospecção em geral. A aplicação da Geofísica à prospecção mineira em geral é muito
importante, já que mediante seu emprego torna-se possível localizar depósitos minerais no subsolo,
aproveitando-se de algumas propriedades físicas destes minerais como: densidade, magnetismo,
condutividade, elasticidade, radioatividade, etc. Atualmente a maioria dos depósitos minerais é
encontrada com a ajuda da Geofísica.
b) Águas subterrâneas. A Geofísica também tem papel importantíssimo na pesquisa de águas
subterrâneas, seja detectando o possível manto aquífero por sua resistividade, seja delimitando a
configuração estrutural e estratigráfica do subsolo e, portanto, os locais mais prováveis de
acumulação de águas subterrâneas.
c) Engenharia Civil. Nos trabalhos de Engenharia Civil, a Geofísica desempenha seu papel
na determinação da profundidade da rocha adequada ao suporte das obras: túneis, pontes, estradas,
fundações, etc..
1.3. Classificação dos Métodos Geofísicos
Os métodos geofísicos estudam em profundidade alguma propriedade físico-química das
camadas do subsolo, ou alguma característica relacionada com essa propriedade. A prospecção
geofísica consiste essencialmente em determinar as variações dessa propriedade na região a
explorar. As discrepâncias ou anomalias do valor observado, em relação ao valor normal esperado,
geralmente indicam a presença no subsolo de estruturas ou acumulações minerais que podem ser de
interesse.
a) Método Gravimétrico
Está baseado no campo da gravidade da Terra e estuda a variação da sua intensidade. Os
altos estruturais farão aumentar localmente a intensidade da gravidade em suas proximidades (
sempre que sua densidade média seja maior que a circundante), enquanto que os domos de sal, de
baixa intensidade, a diminuirão. Do mesmo modo, os depósitos de minerais de densidade elevada
farão aumentar localmente o valor da gravidade. A alta densidade das rochas básicas possibilita o
emprego desse método para obtenção de informações sobre o embasamento e sua profundidade,
sendo importante auxilio no estudo da Geologia Estrutural e Regional.
O método gravimétrico é geralmente empregado como método de reconhecimento geral em
prospecção de petróleo. Em pesquisa mineral, pode ser utilizado para reconhecimento geral, ou
empregado em associação com outros métodos para detalhamento de anomalias detectadas no
reconhecimento geral.
b) Método Magnético
A Terra possui um campo magnético natural. As pequenas variações deste campo podem
indicar a presença de substâncias magnéticas, que em alguns casos, podem ser minerais de interesse
econômico. A freqüente associação desses minerais às rochas ígneas, também possibilita o emprego
do método na obtenção de informações sobre o embasamento e sua profundidade. Desta forma,
auxilia o estudo da Geologia Estrutural e Regional.
O método magnético é utilizado como métodos de reconhecimento geral, em prospecção
petrolífera, e de reconhecimento e detalhamento, em prospecção mineira.
c) Métodos Sísmicos
O método sísmico baseia-se no estudo da propagação das ondas elásticas produzidas por
sismos artificialmente provocados. Cronometrando-se os tempos de chegada das ondas, uma vez
refratadas ou refletidas nas distintas formações geológicas, é possível chegar-se a uma imagem
2
muito aproximada das descontinuidades estratigráficas, que geralmente coincidem com as
descontinuidades sísmicas.
É comum distinguir-se duas classes de métodos sísmicos: de reflexão e de refração. O
método sísmico de reflexão é o mais empregado em prospecção petrolífera, sendo utilizado como
método de detalhe. O método sísmico de refração é um método de reconhecimento geral e de
detalhe, mas seu emprego é mais reduzido.
O terremoto é um sismo natural que ocorre quando a crosta terrestre é fraturada e as rochas
nos lados opostos da fratura movem-se em relação umas as outras. Tal ruptura gera ondas sísmicas
que saem da superfície fraturada e são registradas em vários lugares. Esses dados são usados para a
dedução de informações acerca da natureza das rochas que serviram de meio de propagação das
ondas do terremoto.
d) Métodos Elétricos
Os métodos elétricos envolvem a averiguação de efeitos superficiais produzidos por
correntes elétricas fluindo no solo. Existe uma variedade de técnicas disponíveis, mais do que nos
outros métodos de prospecção, que normalmente investigam uma única propriedade anômala. Nos
métodos elétricos podem ser medidos potenciais, correntes e campos eletromagnéticos naturais, ou
induzidos artificialmente, na crosta terrestre. A grande variação na condutividade encontrada nas
diferentes rochas e minerais viabiliza o método.
Os métodos elétricos são frequentemente classificados pelo tipo de fonte de energia
envolvida, natural ou artificial. São empregados como métodos de reconhecimento geral e de
detalhe, sobretudo em prospecção de águas subterrâneas e na busca de minerais de condutividade
metálica.
e) Outros Métodos
Existem outros métodos que podem ser considerados complementares, tais como os métodos
radioativos, geoquímicos e geotérmicos, que se baseiam respectivamente no estudo das
propriedades radioativas, químicas e térmicas das diferentes rochas e minerais.
1.4. O Princípio do Escalonamento dos Métodos Geofísicos
Seja qual for o objetivo de uma prospecção, existe uma série de fatores que influem
notavelmente na eleição do método geofísico mais apropriado, bem como no devido escalonamento
dos métodos que costumam acompanhar, pois como regra geral não é costume empregar-se apenas
um método, senão dois ou mais que se complementem e tornem a pesquisa mais eficiente.
Uma prospecção tem início com o levantamento geológico. Por exemplo, na prospecção de
uma região que é explorada pela primeira vez, em princípio deve ser feito um estudo geológico se
possível de detalhe para conhecer as possibilidades petrolíferas, espessuras das formações,
condições estruturais, etc.
Realizado este primeiro trabalho geológico, passa-se ao estudo da zona por um método
geofísico de reconhecimento geral (magnético, gravimétrico ou ambos) e, uma vez terminado este,
delimitam-se as zonas mais interessantes, deduzidas dos estudos anteriores, e nelas será utilizado
um método de detalhe, que pode ser o sísmico de reflexão.
Em prospecção mineral, da mesma forma, escalonam-se os diferentes métodos geofísicos de
acordo com o problema a resolver. Geralmente utiliza-se um método (o mais apropriado para o
caso) e costuma-se complementar com outro, ou outros, de modo que a interpretação final seja
baseada na comparação de vários resultados.
O conceito de método de reconhecimento ou de detalhe varia segundo as circunstâncias. O
método gravimétrico, utilizado geralmente como método de reconhecimento em prospecção
3
petrolífera, é usado algumas vezes como método de detalhe, associado aos métodos magnético ou
elétricos.
Influi, do mesmo modo, como é lógico, o aspecto econômico da prospecção, que por último
é o que decide o método, ou métodos, a eleger. Os métodos que empregam campos naturais
(gravimétrico, magnético) são geralmente métodos mais econômicos, enquanto que os métodos
sísmicos são muito caros. No entanto não se deve perder de vista o objetivo principal da prospecção
que indicará a razão custo/benefício de cada método.
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CAPÍTULO II
MÉTODO GRAVIMÉTRICO
2.1. Campo da Gravidade Terrestre.
2.1.1. Introdução
O método gravimétrico de prospecção baseia-se na medida das pequenas variações (ou
anomalias) do campo da gravidade na superfície da Terra, devidas à distribuição irregular de massas
de diferentes densidades. Assim, conhecendo-se as anomalias pode-se chegar a uma interpretação
mais ou menos provável da situação das massas no subsolo.
O aparelho empregado no método gravimétrico é o gravímetro. Embora a tecnologia de
determinação absoluta da gravidade pelo método de queda livre tenha alcançado grande
desenvolvimento nesta década, tornando disponíveis gravímetros deste tipo a nível comercial, os
levantamentos gravimétricos, quase sempre, são executados com gravímetros diferenciais, que
medem variações da gravidade de ponto para ponto. No ítem 2.4 esse assunto será abordado em
seus pormenores.
2.1.2. Lei da Gravitação
A lei da gravitação universal, enunciada por Isaac Newton no fim do século dezessete,
estabelece que duas partículas ( massas concentradas num volume infinitamente pequeno) atraem-se
mutuamente com uma força que é proporcional às suas massas e inversamente proporcional ao
quadrado da distância entre elas. A lei da gravitação pode ser expressa pela seguinte formula:
m 1m 2
(2.1)
f = G
r 2
onde f é a intensidade da força gravitacional, m1 e m2 são massas pontuais interativas; r é a
distância entre elas; e G é um coeficiente de proporcionalidade conhecido como constante de
gravitação. O valor de G no sistema CGS é 6,672 x 10-8 cm3 g-1 s-2 e no SI é 6,672 x 10-11 m3 kg-1
s-2, adotado pela União Astronômica Internacional em 1976 (Vanicek & Krakiwsky, 1986, p.71).
Embora a atração gravitacional entre duas massas seja mútua, na prática, é usual distinguirse dentre elas a atraída e a atrativa. Assim, se m é atraída por M , composta de várias partículas, a
equação (2.1) pode ser escrita como a soma das atrações exercidas sobre m pelas partículas de M .
Quando a massa M é contínua, as massas consideradas sobre o total volume, v , do corpo são
integradas, em vez de serem somadas. Então a seguinte equação vetorial pode ser escrita:
dM r
f g = −Gm ∫
(2.2)
r2 r
v
onde os vetores
e r são representados em negrito e dM=ρdv , sendo ρ a massa específica do
corpo. Esta equação pode ser usada para estudar a força gravitacional exercida pela Terra sobre
corpos cujas dimensões possam ser consideradas negligenciáveis em comparação com a da Terra.
Além da força gravitacional, uma outra força, fr , atua sobre as massas vinculadas à Terra,
como consequência de seu movimento de rotação. Essa força é chamada de força centrífuga.
Considerando-se uma rotação com velocidade angular constante ω, com um raio de rotação p, em
torno de um eixo considerado fixo em relação à Terra (Fig. 2.1) tem-se:
fg
5
Fig. 2.1 - Componentes da força da gravidade.
fr = pω 2m
(2.3)
A resultante entre as forças gravitacional e centrífuga constitui o que é conhecido como
força da gravidade, ou seja,
f = f g + fr ,
ou
1 r
f = − Gm ∫
dM + p ω 2 m
(2.4)
2 r
r
v
Pode-se dizer que a massa M da Terra produz um efeito físico no espaço em torno de si,
comumente chamado de campo da gravidade, percebido através da força exercida sobre outra massa
m , situada nessa região.
O campo da gravidade g, normalmente chamado apenas gravidade, produzido pela Terra
em um determinado ponto, pode ser definido como a força exercida por unidade de massa colocada
naquele ponto. Então
1 r
g = −G∫
dM + p ω 2
(2.5)
2 r
r
v
cuja intensidade, g, negligenciando a pequena diferença de direção entre a resultante e a
componente gravitacional, face à pequena intensidade da componente centrífuga, é dada por
1
g = G∫
dM − p ω 2 cos ϕ
(2.6)
2
r
v
onde ϕ é a latitude geocêntrica.
No SI a intensidade do campo da gravidade é expressa em metros por segundo ao quadrado
(m.s-2) e equivale dimensionalmente a uma aceleração. Entretanto admite-se o gal = cm.s-2, em
homenagem a Galileu, como unidade CGS temporariamente tolerada, face ao seu uso tradicional.
As pequenas variações da gravidade são expressas usualmente em miligal (mGal), microgal (µGal)
ou nanometro por segundo ao quadrado (nm.s-2). Assim,
1 gal= 10-2 m.s-2,
1 mGal=10-5 m.s-2 e
1 µGal = 10 nm.s-2.
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A intensidade da gravidade na superfície da Terra varia entre aproximadamente 978 gals no
equador e 983 gals nos polos, isto é, dentro de 5 gals. Considerando o valor de ω=72,92115x10-6
rd.s-1, a componente centrífuga é cerca de 1/288 do valor total da força da gravidade e varia de zero
nos polos a 3,4 gals no equador. A despeito de sua pequena intensidade, se comparada com a
componente gravitacional, a componente centrífuga atua como a causa básica da variação da
gravidade na superfície da Terra. O achatamento nas regiões polares também contribui para esse
efeito, aumentando da mesma forma o valor da gravidade nos polos.
2.2. Potencial da Gravidade.
Sabe-se que o campo da gravidade é conservativo e que, portanto, possui um correspondente
potencial escalar W=W(x,y,z), tal que
g = grad W.
Esse escalar é conhecido como potencial da gravidade e pode ser definido como a energia
potencial por unidade de massa colocada no campo da gravidade. O potencial da gravidade é então
expresso em m2.s-2.
O potencial da gravidade da Terra, também chamado geopotencial, pode ser escrito como a
soma do potencial gravitacional, W g, com o potencial de rotação ou centrífugo,W r. Assim, para
Wg = G
∫
v
1
dM
r
(2.7)
e
1
p 2 ω2 ,
2
W =W g +W r
Wr =
(2.8)
e
g = grad (W g+W r) = grad W g+ grad W r.
(2.9)
É importante observar que o potencial de rotação age somente sobre os corpos ou partículas
vinculados à Terra, incluindo a atmosfera. Assim, corpos que não giram com a Terra estão isentos
do potencial centrífugo, estando sujeitos apenas ao potencial gravitacional, e.g., os satélites
artificiais.
O incremento do geopotencial dW ao se fazer um deslocamento elementar ds = (dx,dy,dz)
em uma direção arbitrária no campo da gravidade é dado por:
∂W
∂W
∂W
dW =
dx +
dy +
dz
∂x
∂y
∂z
ou, considerando que pela equação (2.9),
∂W ∂W ∂W
g = ( g x , g y , gz ) = (
,
,
)
∂x ∂y ∂z
conclui-se que
(2.10)
dW = g . ds ,
donde se obtém:
dW=g ds cos(g, s)
ou
dW
= g cos(g, s)
(2.11)
ds
ou, ainda,
dW
= gs ,
ds
7
que é a componente da gravidade segundo a direção do deslocamento ds.
2.2.1. Sentido Físico do Potencial da Gravidade.
A equação (2.10) mostra que o incremento do geopotencial é zero se o vetor deslocamento
ds for perpendicular à direção do vetor g. Neste caso,
dW = 0
e
W = constante = C.
(2.12)
Esta é a equação de uma superfície em relação à qual a gravidade é sempre normal. Tal
superfície é chamada de superfície de nível ou superfície equipotencial do campo da gravidade ou,
simplesmente, geope, devido à constância do potencial nela.
Atribuindo valores diferentes à constante em (2.12) obtém-se uma família de superfícies
equipotenciais que têm a propriedade de não se tocarem. Caso isso acontecesse, as duas superfícies
teriam o mesmo potencial C no ponto comum e, de acordo com (2.12), isso significaria que todos os
pontos de ambas as superfícies teriam o mesmo potencial C, isto é, as superfícies seriam totalmente
coincidentes.
Devido à distribuição irregular de massa na Terra, os geopes possuem pequenas, porém
significantes, irregularidades. Seus raios de curvatura variam irregularmente de ponto para ponto,
provocando torções nas linhas de força em todas as direções. Portanto a vertical é uma curva
reversa (Vanicek & Krakiwsky, 1986, p.85).
A equação (2.11) mostra que a derivada da função potencial em relação a qualquer direção é
igual à componente do campo segundo essa direção. Quando uma massa pontual executa um
deslocamento dH ao longo da linha de ação da gravidade (vertical), porém em sentido contrário,
então cos(g, s) = −1 e
dW
dH = −
(2.13)
g
onde H é chamada de altitude ortométrica e dW é o incremento do potencial na passagem de uma
superfície para outra infinitamente próxima. Esta equação fornece a conexão entre uma quantidade
física, diferença de potencial, e uma quantidade geométrica, diferença de altitude, de geopes
vizinhos.
De acordo com (2.13) a distância entre duas superfícies equipotenciais infinitamente
próximas é inversamente proporcional à intensidade do campo. Pode-se, portanto, concluir que as
superfícies equipotenciais não são paralelas, estão mais próximas quanto maior for a intensidade da
gravidade. Assim, os geopes estão mais próximos nos polos do que no equador.
Como o incremento dW do potencial é constante na transferência de uma superfície para
outra, não dependendo da posição do ponto na mesma, também não depende da trajetória seguida
pelo ponto em seu deslocamento; é apenas função dos pontos extremos do percurso. Donde se
conclui que o incremento do potencial dW em um circuito fechado é igual a zero.
O geope mais notável é o geóide, do qual faria parte a superfície dos oceanos, caso estes não
estivessem sujeitos às ações das marés, ventos, correntes e outros fenômenos relacionados com a
sua dinâmica. Portanto, compreende-se por geóide uma superfície equipotencial do campo da
gravidade terrestre, coincidente com o nível imperturbado dos oceanos e que se prolonga sob os
continentes de modo tal que a direção da gravidade lhe é perpendicular em todos os seus pontos. O
geóide é uma superfície contínua e levemente ondulada, mas não é uma superfície analítica, sua
curvatura varia descontinuamente com a densidade no interior da Terra (Heiskanen & Moritz, 1967,
p.51). Portanto, a forma do geóide, como também de qualquer geope, é resultado da distribuição de
massa na Terra.
Para pontos situados no exterior ou na superfície da Terra é válida a equação diferencial
generalizada de Laplace:
8
∆W =
∂ 2W ∂ 2W ∂ 2W
+
+
= 2ω
∂x 2
∂y 2
∂z 2
2
(2.14)
onde ∆ é o operador laplaciano.
No interior da Terra, o geopotencial W satisfaz a equação diferencial generalizada de
Poisson (Dehlinger, 1978, p.25-26):
∆W = −4πG ρ + 2ω 2,
(2.15)
onde ρ é a massa específica no ponto considerado. No espaço exterior (ρ = 0, negligenciando a
massa específica do ar) a equação de Poisson iguala-se à de Laplace.
Em um sistema de coordenadas locais xyz, cujo eixo z é vertical e os eixos x e y são
tangentes ao geope no ponto P, origem do sistema, a curvatura média J do geope em P é definida
por (Heiskanen & Moritz, 1967, p.52):
J= −(Wxx+Wyy)/2g
(2.16)
onde os subscritos denotam derivada parcial:
∂ 2W
∂ 2W
.
Wxx =
e Wyy =
∂x 2
∂y 2
A equação (2.11), para s = z, permite concluir que ∂g/∂z = −Wzz , já que cos(g,z) = −1.
Combinando a equação diferencial generalizada de Poisson (2.15) com a (2.16), obtém-se a
relação:
J= −(∆W −Wzz)/2g
ou
−Wzz=−2gJ−∆W .
Considerando ainda que Wz = −g e Wzz = −∂g/∂z = −∂g/∂H, resulta:
∂g
2
(2.17)
= − 2gJ + 4π Gρ − 2ω
∂H
que é a relação entre a variação vertical da gravidade e a curvatura média do geope.
2.3. Anomalia da Gravidade.
A determinação da gravidade geralmente é feita na superfície física da Terra, algumas vezes
subterrânea ou subaquática. Os valores observados dependem, principalmente, da localização do
ponto na superfície da Terra (isto é, de suas coordenadas horizontais e altitude) e, em menor grau,
da topografia circundante e da distribuição de massa no subsolo. Desse modo, tais valores não
podem ser comparados entre si na forma como são obtidos. Estas irregularidades do campo da
gravidade, embora significativas e facilmente observadas, são pequenas se comparadas com a
magnitude da própria gravidade. Portanto, para melhor analisá-las é conveniente dividir o campo da
gravidade em duas partes, uma que varia regularmente, refletindo uma forma ideal da Terra,
representada por um modelo, e outra que varia irregularmente, chamada de anomalia.
A parte que varia regularmente corresponde ao campo da gravidade gerado por um elipsóide
de revolução, com ligeiro achatamento polar, dotado de movimento de rotação em torno de seu eixo
menor, coincidente com o eixo principal de inércia polar da Terra, e com massa e velocidade
angular iguais às desta. Esta Terra fictícia, denominada Terra normal é geradora do campo da
gravidade normal, cuja intensidade é denotada por γ. O potencial da gravidade da Terra normal é
chamado de esferopotencial, normalmente representado pela letra U. A superfície equipotencial do
campo da gravidade da Terra normal é comumente chamada de esferope.
O valor de γ depende da distância ao centro de massa da Terra e da latitude geográfica ϕ.
Face à simetria rotacional γ independe da longitude e na superfície do elipsóide de referência é
geralmente denotado por γo e é expresso pela fórmula:
γo = γe (1 + β sen2ϕ − β’sen22ϕ)
(2.18)
9
Procurando unificar mundialmente a definição de gravidade normal, a IAG adotou em 1930,
em Estocolmo, a fórmula:
γo=978 049,0(1+0,005 2884 sen2ϕ−0,000 0059sen22ϕ) mGal,
recomendando o seu uso para todos os trabalhos gravimétricos. Esta fórmula tornou-se conhecida
como fórmula internacional da gravidade.
Em 1964 a União Astronômica Internacional (IAU) adotou o Sistema de Constantes
Astronômicas; em 1967, a Assembléia Geral da Associação Internacional de Geodésia (IAG)
aprovou novos parâmetros para o elipsóide de referência, coerentes com a decisão da IAU, e
recomendou o Sistema Geodésico de Referência 1967, cujas constantes básicas são:
a
= 6 378 160 m
GM = 398 603 x 109 m3s−2 (constante gravitacional geocêntrica)
J2 = 10 827 x 10−7 (fator dinâmico de forma)
ω = 72 921 151 467 x 10−15 rd/s (velocidade angular)
onde J2 é o coeficiente do termo do 2° grau no desenvolvimento do esferopotencial em série de
harmônicos esféricos. Destas constantes básicas derivam os seguintes valores:
α = 0,003 352 9237 (achatamento)
α−1 = 298,247
m = 0,003 449 8014; (m = ω2 a2 b/GM)
γe = 978 031,846 mGal (gravidade normal no equador)
γp = 983 217,730 mGal (gravidade normal nos polos)
cuja gravidade normal é expressa pela fórmula:
γo=978031,85(1+0,005 3024 sen2ϕ−0,000 0059 sen22ϕ) mGal
(2.19)
ou, equivalentemente,
γo = 978 031,85(1+0,005 278 895 sen2ϕ +0,000 023 462 sen4ϕ) mGal,
com precisão de 4 µGal. A equação (2.19) foi chamada de fórmula internacional da gravidade
1967.
Em 1979 a Assembléia Geral da Associação Internacional de Geodésia (IAG) aprovou o
Sistema Geodésico de Referência 1980 (GRS80), com novos parâmetros para o elipsóide de
referência:
Constantes Definidoras (Primárias)
a
= 6 378 137 m
GM = 3 986 005 x 108 m3s−2
J2 = 108 263 x 10−8
ω = 7 292 115 x 10−11 rd/s
Constantes Derivadas
α−1 = 298,257 222 101
α = 0,003 352 810 681 18
m = 0,003 449 786 003 08; m = ω2 a2 b/GM
γe = 978 032,67715 mGal
γp = 983 218,63685 mGal
A fórmula da gravidade normal resultante é a fórmula internacional da gravidade 1980:
γo=978 032,67715(1 + 0,005 279 041 4 sen2ϕ + 0,000 023 271 8 sen4ϕ + 0,000 000 126 2 sen6ϕ +
(2.20)
+ 0,000 000 000 7 sen8φ) mGal
com precisão de 0,1 µGal.
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Tradicionalmente, a anomalia, ∆g, é definida como a diferença entre o valor da gravidade na
superfície do geóide, go, e o valor da gravidade normal no elipsóide, γo:
∆g = go−γo.
Esta definição de anomalia preserva em seu valor as influências da separação e da inclinação
geóide-elipsóide, conhecidas respectivamente como altura geoidal, N, e desvio da vertical, i. Além
disso, como a gravidade é‚ observada na superfície física da Terra, ponto A (Fig. 2.2), para a
obtenção da anomalia é necessário reduzi-la para a superfície do geóide. Esta operação é conhecida
como redução dos valores da gravidade. Para tanto a distância AO entre o ponto na superfície física
e o geóide, como também a lei de variação do valor da gravidade real neste trajeto, devem ser
conhecidas. Visto que a variação do valor da gravidade sobre AO é função da distribuição de massa
no interior da Terra e, portanto, não pode ser rigorosamente conhecida, a redução da gravidade é
feita com base na variação da gravidade normal, o que preserva na anomalia o efeito daquela
heterogênea distribuição.
Fig. 2.2 - Redução da Gravidade.
Portanto as magnitudes das anomalias da gravidade dependem:
a) da distribuição de massa no interior da Terra, principalmente na crosta.
b) de N.
Assim, a partir do conhecimento das anomalias da gravidade sobre a superfície total da
Terra, a altura geoidal, N, e o desvio da vertical, i, podem ser determinadas ( a solução deste
problema é considerada na Geodésia Física). Quando as medidas gravimétricas são utilizadas para
fins geológicos, leva-se em conta a relação entre anomalias e distribuição de massa; as influências
de N e i são, então, negligenciadas ou consideradas na forma de pequenas correções. Como a
variação na altura do geóide é pequena e gradual e a magnitude de i é muito pequena, o fator de
correção aplicável varia muito pouco de ponto para ponto e na prática é considerado constante
em áreas não muito extensas.
Com as modernas técnicas de posicionamento por satélites, a determinação da altitude
geométrica AO', em muitos casos, se tornou mais acessível do que a determinação da altitude
ortométrica AO. Assim, para objetivos geofísicos é mais prático e conveniente usar a altitude
geométrica, que elimina o efeito da altura geoidal N, reduzindo a gravidade observada para a
superfície do elipsóide. Obviamente este procedimento não atende aos objetivos geodésicos.
Por outro lado, ao invés de utilizar a variação da gravidade normal com a altitude, para
redução do valor da gravidade, poderia ser utilizada a variação da gravidade real, observada na
superfície física. Este procedimento reduziria o efeito da distribuição de massa e seria conveniente
para os objetivos geodésicos. Entretanto, isso não contempla os interesses geofísicos.
Assim, a definição inicial de anomalia atende, sem grandes prejuízos, aos objetivos
geodésicos e geofísicos e, portanto, sempre que possível, deve ser adotada por seu benefício mais
amplo.
11
2.3.1. Anomalia de Ar Livre (“Free Air”).
Para se obter uma anomalia deve-se reduzir o valor de g para o ponto O a uma profundidade
H. Isso pode ser feito com auxilio de uma fórmula que expressa o valor da variação da gravidade
normal com a altitude na superfície do elipsóide de referência (Vanicek & Krakiwsky, 1986, p.498):
2γ
∂γ
= − o ( 1 + m + α cos 2φ ) ,
(2.21)
∂H
a
Onde α é o achatamento do elipsóide, m é a razão entre a componente centrífuga e a
gravidade no equador, a é o semi-eixo maior do elipsóide.
Considerando o elipsóide de referência de 1967 ( α = 0,003 352 9237, m = 0,003 449 8014 e
a = 6 378 160m), para a latitude ϕ = 45o ,
∂γ
(2.22)
= − 0,30856 mGal /m
∂H
Este valor, que não diferencia muito daqueles para o equador e os polos, é normalmente
utilizado para representar a chamada redução de ar livre (“free air”).
A fórmula para o cálculo da anomalia de ar livre pode, portanto, ser escrita como a
diferença entre os valores da gravidade reduzida e normal, ou seja:
go = g + 0,3086H
e
∆ga = g − γ0 + 0,3086H
(2.23)
Na redução de ar livre as massas situadas entre os níveis do ponto de observação e da
superfície do geóide são ignoradas. Contudo a presença dessas massas aumenta o valor observado
da gravidade g, o que aumenta o valor da anomalia. Esse efeito é particularmente percebido em
montanhas onde a anomalia de ar livre para pontos localizados nos cumes é sempre maior do que
para pontos nos vales. Assim, a anomalia de ar livre, além de refletir os efeitos da altura geoidal,
desvio da vertical e das diferenças de massas específicas nas rochas situadas abaixo do ponto de
observação, reflete também o efeito das massas externas ao geóide, causado pelas diferentes
altitudes dos pontos de observação. Este efeito pode atingir valores da ordem de dezenas de
miligals, algumas vezes pode exceder consideravelmente o efeito gravitacional causado pelo
contraste de massa específica na crosta. Consequentemente, a anomalia do ar livre não pode ser
usada sem reservas para interpretação geológica, sem que sejam aplicadas correções para
compensar esta indesejável correlação positiva com a altitude.
Existem diversos tipos de reduções que representam correções adicionais, com base em
diferentes suposições acerca das massas internas e externas da Terra e seus efeitos.
De modo geral a anomalia da gravidade pode ser escrita na forma:
∆g = g − γo + 0,3086H + δg ,
onde δg é uma correção que define a natureza específica da redução.
12
Fig. 2.3 - Reduções de Ar Livre, Bouguer e do Terreno.
Para propósito de interpretação geológica é necessário excluir todas as influências que
mascaram o efeito das massas anômalas. A Fig. 2.3 ilustra as reduções da gravidade
tradicionalmente aplicadas com objetivos geológicos. A correção de ar livre no ponto A é aquela
causada pela altitude H. A correção que leva em conta a camada de massa de espessura H constante,
abaixo do ponto A, é denominada correção de Bouguer. Finalmente, as diversas formas de relevo,
devidas ao afastamento da superfície topográfica em relação ao plano horizontal que passa por A,
são consideradas na correção do terreno ou correção topográfica.
13
2.3.2. Correção do Terreno.
A correção do terreno considera todas as formas de relevo de modo a reduzir o valor da
gravidade em um determinado ponto àquele que seria obtido se o terreno fosse plano e homogêneo
abaixo do ponto considerado.
A presença de uma massa extra CDE (Fig. 2.4) acima do ponto de observação originará uma
força adicional dirigida para aquela massa. A componente vertical δgt dessa força reduzirá o valor
de g. A lacuna de massa na região ABC também diminuirá o valor de g em relação ao valor que
seria obtido se essa região fosse completamente cheia. Portanto a correção do terreno será sempre
positiva, tendendo para zero quando o terreno circunvizinho ao ponto de observação for pouco
acidentado.
Fig. 2.4 - Correção do Terreno.
Tradicionalmente, as reduções do terreno e de Bouguer consideram o modelo de um cilindro
plano vertical para dedução de seus valores. A componente vertical da atração gravitacional de tal
disco sobre um ponto situado em seu eixo, ∆g, é dada por:
(2.24)
∆ g = 2π Gρ ( z 12 + R 2 − z 22 + R 2 + z 2 − z 1 )
onde ρ é a massa específica do cilindro, z1 e z2 são, respectivamente, as distâncias do ponto às suas
faces anterior e posterior e R é o seu raio.
Ao avaliar o efeito do relevo é usual representar a área circunvizinha ao ponto de observação
como prismas curvilíneos adjacentes, limitados por circunferências concêntricas no ponto e por
radiais ao mesmo. A Fig. 2.5 apresenta uma representação em planta dos prismas descritos. O efeito
de cada prisma é calculado analiticamente considerando sua espessura constante. O efeito total do
relevo é obtido pela soma dos efeitos individuais dos prismas.
Para o calculo da atração gravitacional de um prisma, primeiro calcula-se a atração do anel
circular com raio externo R2 e raio interno R1. Para isso, é necessário calcular a atração do cilindro
com raio R2 e a do cilindro com raio R1, e então subtrair o segundo resultado do primeiro. Para
calcular as atrações dos dois cilindros emprega-se a equação (2.24), para z1=0 ( ponto situado na
face do cilindro); nesse caso z2 será igual a espessura ∆H do cilindro. A atração de um prisma
correpondente à n-ésima parte do anel é dada por (Sazhina & Grushinsky, 1971, p.63):
2 π Gρ
2
2
2
2
(2.25)
δgt =
( R 1 + ∆H − R 2 + ∆H + R 2 − R 1) .
n
Na prática, costuma-se empregar uma grade transparente que representa os prismas em
planta por compartimentos em forma de trapézios curvilíneos, delimitados por circunferências
concêntricas e radiais (Fig.2.5). Essa grade é superposta a uma carta topográfica de mesma escala
de modo que seu centro coincida com o ponto em estudo. Para cada trapézio curvilíneo é extraída
do mapa a sua altitude média. Subtraindo-se da altitude média de cada trapézio a altitude do ponto,
obtém-se a altura ∆H do excesso ou falta de massa existente naquele compartimento, então a
equação (2.25) fornece a correção para o prisma em questão. Este procedimento, estendido a todos
os compartimentos, dá origem a um conjunto de correções que somadas resultam na correção do
terreno para o ponto.
14
Fig. 2.5 - Gabarito para Correção do Terreno.
A Tabela 2.1 apresenta os comprimentos dos raios e números de setores para 26 zonas, até o
raio de 300 km a partir do ponto de observação.
Zona
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
Raio
Interno
0m
2
10
20
50
100
200
300
500
700
1000
1500
2000
3000
Raio
Externo
2m
10
20
50
100
200
300
500
700
1000
1500
2000
3000
5000
N° de
Setores
1
4
8
8
8
8
16
16
16
16
16
16
16
16
Zona
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
Raio
Interno
5 km
7
10
15
20
30
50
70
100
150
200
250
300
Raio
Externo
7 km
10
15
20
30
50
70
100
150
200
250
300
400
N° de
Setores
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
16
Tabela 2.1 - Zonas para Correção do Terreno.
Comumente são considerados apenas os setores de 1 a 19 (30 km) e frequentemente apenas
até o setor 14 (5 km), visto que o efeito das zonas distantes é negligenciável. Para o cálculo do
efeito das zonas próximas (1 a 14) são empregadas cartas (e grades) nas escalas de 1:1000 a
1:25000. Para as zonas intermediárias (15 a 19) são necessárias cartas de 1:25000 a 1:100000 e para
zonas distantes (20 a 26) 1:100000 a 1:1000000.
A obtenção das correções do terreno com a aplicação das grades pode ser muito laboriosa se
executada para um grande número de pontos. Entretanto, hoje em dia a tarefa pode ser grandemente
facilitada, com o uso de microcomputadores, a partir do relevo da área em estudo digitalizado uma
única vez (Woodward.D.J., 1975).
15
2.3.3. Anomalia Bouguer.
A redução de Bouguer é adicionada à anomalia de ar livre de modo a corrigir o efeito da
atração da camada de massa existente entre a superfície do geóide e a altitude do ponto, camada
essa representada por um disco homogêneo de massa específica ρ, de raio infinito e espessura
constante H igual à altitude do ponto de observação (platô de Bouguer). Tal correção é dada pela
equação (Groten, 1981, p.309):
δgb = −2πGρH.
(2.26)
Substituindo π e G pelos seus valores e fazendo as adequadas conversões de unidades,
obtém-se:
δgb = −0,0419ρH,
(2.27)
onde δgb ‚ dada em mGal, para ρ em g/cm3 e H em metros. Essa é a expresão da correção de
Bouguer, que corrige o efeito da atração do platô de Bouguer e é associada à correção do terreno.
Assim, a anomalia Bouguer é dada pela fórmula:
∆gb = g − γo + 0,3086H − 0,0419ρH + δgt .
(2.28)
Do ponto de vista da melhor representação do efeito das massas anômalas reveladas nas
anomalias da gravidade, a anomalia Bouguer apresenta vantagens sobre a anomalia de ar livre,
particularmente em virtude da remoção do efeito da camada de massa entre o ponto de observação e
o geóide. A dependência da anomalia Bouguer em relação à altitude é muito menor do que na
anomalia de ar livre, o que significa que em regiões montanhosas a primeira varia mais suavemente
do que a segunda. Esta última qualidade torna a anomalia Bouguer mais indicada do que a de ar
livre para interpolação de valores da gravidade.
A exclusão do efeito de um disco intermediário de massa específica média remove o efeito
de todas as massas que possuem essa massa específica, de forma que os efeitos das massas cujas
massas específicas são diferentes da média tornam-se mais pronunciados.
A escolha da massa específica ρ é de grande importância na redução de Bouguer. Com
densidades mais baixas seus valores numéricos aproximam-se dos da anomalia do ar livre, podendo
existir uma correlação direta com a topografia. Com massas epecíficas mais altas, ao contrário,
aparecerão anomalias fictíceas que terão uma correlação inversa com a topografia, ou seja,
anomalias negativas em regiões elevadas. Assim, uma escolha incorreta da densidade pode
complicar grandemente a interpretação dos resultados de um levantamento gravimétrico e conduzir
a enganos.
Em lugares de grande variação de massa específica, são tomados valores diferentes para
várias áreas quando do cálculo da correção de Bouguer.
2.4. Variação da Gravidade com a Latitude.
Assim como foi importante avaliar a variação da gravidade com a altitude, para a redução
dos valores observados ao geóide, é também importante ter uma avaliação da variação horizontal da
gravidade. A variação espacial da gravidade, entretanto, depende da distribuição de massas na
Terra, principalmente nas proximidades do ponto considerado. Assim, tendo em vista a distribuição
heterogênea das massas, principalmente na crosta terrestre, não é possível dentro do rigor científico
estabelecer uma relação analítica para a variação espacial da gravidade. Entretanto, analogamente
ao que foi feito para a avaliação da variação com altitude, abdicando-se ao rigor científico, é
possível avaliar a variação horizontal da gravidade a partir do modelo adotado para a Terra Normal.
Tomando a equação (2.18), que é a expressão analítica da gravidade normal, γο , tem-se que:
γo = γe (1 + β sen2ϕ − β’ sen22ϕ).
Observa-se que este modelo não apresenta dependência em relação à longitude, face à
simetria do elipsóide de revolução em relação ao eixo de rotação, onde todos os meridianos são
representados pela mesma elipse geratriz. Assim, para um mesmo paralelo de latitude ϕ a
gravidade normal é a mesma em todos os seus pontos, independentemente da longitude. Deste
16
modo, determinar a variação horizontal da gravidade normal equivale a determinar a variação da
gravidade normal com a latitude. Assim,
dγ o
= γe ( β sen 2ϕ − 2 β’ sen 4ϕ)
(2.29)
dϕ
ou
dγο = γe ( β sen 2ϕ − 2 β’ sen 4ϕ) dϕ.
Normalmente é mais útil definir a variação de γo em função do arco elementar de meridiano,
ou seja, substitui-se dϕ pelo deslocamento elementar na direção norte-sul, dx = Mdϕ, onde M é o
raio de curvatura meridiana. Então,
γe
( β sen 2ϕ − 2 β’ sen 4ϕ) dx.
(2.30)
M
Substituindo γe e β pelos seus valores, M pelo valor médio do raio da Terra e negligenciando
o termo em β’, obtem-se:
dγο = 0,0008144 sen 2ϕ dx,
(2.31)
onde dγo é obtido em mGal para dx dado em metros. dγo pode ser positivo ou negativo, dependendo
do hemisfério e do sentido do deslocamento considerado. O correto sinal é obtido adotando-se os
sinais convencionais para a latitude (positiva no hemisfério norte) e para o deslocamento (positivo
para norte).
dγ o =
Constata-se que a variação vertical da gravidade, dada pela equação (2.22), é cerca de 380
vezes maior do que a sua variação horizontal, dada pela equação (2.31). O que confere à
determinação da altitude um papel mais importante nos levantamentos gravimétricos. A
determinação planimétrica tem sua relevância vinculada muito mais à necessidade de
georreferenciamento das anomalias, em função da escala escolhida para a sua representação gráfica
ou cartográfica, do que pela sua influência no valor da gravidade.
2.5. Variação da Gravidade com o Tempo. Marés.
2.5.1. Perturbação da Gravidade pela Lua e Sol.
A gravidade não é rigorosamente constante para um determinado ponto da superfície
terrestre. A interação gravitacional entre a Terra e outros astros provoca variações periódicas em
conseqüência da mudança de suas posições relativas.
O campo gravitacional do astro perturbador não é homogêneo, ou seja, seu módulo, direção
e sentido variam no espaço ocupado pela massa da Terra, sua ação é diferente em pontos distintos
da superfície da terrestre. Pode-se decompor o campo gravitacional perturbador, p, em duas
componentes: po, um campo uniforme correspondente ao valor médio de p em todo o volume da
Terra, numericamente igual à intensidade deste campo no centro da Terra, caso esta tivesse
distribuição de massa radialmente simétrica, e T, um campo heterogêneo de média nula, conhecido
como campo de maré, que é responsável pela variação do potencial da gravidade, causador do
fenômeno da maré, cujos efeitos se manifestam na variação periódica do geóide, com elevações em
alguns pontos e depressões em outros, fazendo-se sentir no mar, pelo deslocamento das águas, e nos
continentes pela deformação elástica suave da superfície física. Assim,
p = po + T
ou
T = p − po.
Portanto, para se obter o campo de maré é necessário excluir do campo perturbador o seu valor para
o centro da Terra.
Quando o astro perturbador está diretamente acima do ponto de observação a gravidade é
reduzida (fig. 2.6). Quando o astro está em quadratura, ou seja, está posicionado em um ângulo de
17
90o com a vertical no ponto de observação, a gravidade é aumentada. Quando o astro atinge o nadir
em relação ao ponto de observação há novamente uma diminuição da gravidade. A geometria do
campo de maré é mostrada na figura, na qual pode ser visto que o seu valor é máximo quando o
astro está no zenite ou no nadir, provocando elevações no geóide, enquanto que há uma pequena
depressão na superfície equipotencial quando ele está em quadratura.
Para objetivos práticos é suficiente considerar os campos gravitacionais perturbadores
resultantes das interações Terra-Lua e Terra-Sol, considerando negligenciáveis os demais em
função das pequenas razões entre massas e quadrados das distâncias. A intensidade máxima dos
campos de maré lunar e solar são as seguintes:
Maré lunar TL máxima = 0,166 mGal,
Maré solar TS máxima = 0,061 mGal.
Assim, o efeito máximo total é de 0,227 mGal, que é de ordem superior a precisão dos modernos
gravímetros. Portanto, o campo de maré deve ser considerado nos levantamentos gravimétricos.
− p0
p
T
O
A
p0
Figura 2.6 : Composição do Campo de Maré
A amplitude do deslocamento do geóide devido ao campo de maré luni-solar atinge os
seguintes máximos:
Deformação para a Lua para o Sol
elevação
35,6 cm
16,4 cm
depressão
17,8 cm
8,2 cm
amplitude
53,4 cm
24,6 cm
Em uma certa posição da Lua e do Sol em relação ao ponto de observação a amplitude do
deslocamento do geoide pode atingir 78 cm. Esse deslocamento seria acompanhado pela crosta
terrestre mas, em virtude de sua composição elástica sua deformação real é aproximadamente 65%
do valor estatístico ideal, o que dá uma amplitude máxima de oscilação de sua superfície de 51 cm
no equador. Nas latitudes de 500 a 600 o deslocamento se reduz a 40 cm. Portanto, a Terra está
continuamente pulsando. Porém essas variações se tornam imperceptíveis ao homem em virtude de
serem lentas, menos do que 4 cm por hora, e o deslocamento relativo para objetos próximos é muito
pequeno. Entretanto o efeito da maré luni-solar altera a posição da vertical periodicamente, ou seja,
altera a inclinação da superfície equipotencial. Durante a rotação da Terra o efeito perturbativo
18
produz uma alteração periódica da posição dos polos terrestres, que descrevem curvas eliticas com
leves excentricidades.
A perturbação luni-solar produz também as marés oceânicas, que atingem alturas de
vários metros em certas partes do mundo.
2.5.2-Teoria Elementar das Marés Terrestres
A dedução de uma fórmula para o cálculo da perturbação luni-solar da gravidade para uma
Terra absolutamente rígida pode ser feita a partir da observação da fig. 2.7, onde O denota o centro
de massa; A é o ponto onde a perturbação da gravidade deve ser averiguada; m é a massa do corpo
perturbador; z e z’ são as distâncias zenitais nos pontos A e O, respectivamente; R é o raio da
Terra; ∆ e ∆’ são as distâncias do centro da Terra e do ponto A ao corpo per turbador; e δg denota a
correção para a perturbação da gravidade pelo astro.
B
A
m
z’
∆’
R
∆
z
O
Figura 2.7: Dedução do Campo de Maré
A perturbação da gravidade no ponto A (T) é igual à diferença entre as componentes
verticais da atração luni-solar no centro (p0) e no ponto A (p), ou seja
T = p−p0 ,
onde
p = (Gm/∆’2) cos z’
e
p0 = (Gm/∆2) cos z
Multiplicando o numerador e o denominador do primeiro termo por ∆ e do segundo por ∆’,
obtém-se:
T = Gm {(∆’/∆’3) cos z’ − (∆/∆3) cos z}
Da fig. 2.7 percebe-se que ∆’ cos z’ = ∆ cos z − R. Assim,
T = Gm{(∆ cos z − R)/ ∆’3 − (∆/∆3) cos z}
Tendo em mente que ∆ >> R, pode-se escrever:
19
(2.32)
∆’ = ∆ − R cos z
e ainda
1/∆’3 = {1 - (R/∆) cos z}-3/∆3.
Desenvolvendo os parênteses pela fórmula binomial de Newton,
contendo (R/∆)2, e substituindo o resultado na equação (2.32), tem-se:
omitindo os termos
T = (Gm/∆3 ){ [∆ cos z - R][1+(3R/∆) cos z] − ∆ cos z}
Desenvolvendo mais uma vez e negligenciando o pequeno termo 3(R2/∆4) cos z, chega-se a:
T = (GmR/∆3)(3cos2z-1)
Da Astronomia sabe-se que R/∆= sen P, onde P é a paralaxe horizontal, ou seja, o ângulo
segundo o qual o raio terrestre é visível do astro. Expressando D em funçào de P, temos
T = (GmR sen3P)(3 cos2z-1) /R3
Finalmente, notando que GM/R2 ≅ g é o valor médio da gravidade para a Terra esférica,
onde M é sua massa, temos
T = g sen3P (m/M) (3 cos2z - 1)
(2.33)
A razão m/M da massa do corpo perturbador em relação à massa da Terra e a paralaxe são
dadas abaixo para o Sol a para a Lua:
m/M
P
Sol
332000
8,65” - 8,95”
Lua
0,01227
53,5’ - 61,6’
Então a correção para a maré solar ΤS tomando o valor médio de P = 8",80 e adotando
para g = 982,05 gals
ΤS = 0,076 (cos2z − 1/3) mGal
(2.34)
Para a Lua o valor da paralaxe varia de forma mais acentuada sendo conveniente retirá-lo
do anuário. Então,
ΤL = 36l49 sen3P (cos2z − 1/3) mGal
(2.35)
As equações (2.34) e (2.35) expressam as correções dos efeitos do campo de maré para
uma Terra rígida. Como esta hipótese não se verifica na prática, devido à elasticidade do planeta, a
correção da maré luni-solar para a Terra elástica é dada pela fórmula:
T=
1,2 (TS+TL)
20
onde o coeficiente 1,2 é um fator de correção devido a deformação elástica da Terra, determinado
experimentalmente.
Para obtenção de z pode-se recorrer à Astronomia:
cos z = senφ senδ + cosφ cosδ cos H,
onde φ é a latitude do ponto de observação, δ é a declinação do astro no instante da observação e H
é o ângulo horário do astro no mesmo instante.
Alguns anuários fornecem δ e H (Almanaque Náutico da DHN,p.ex.), outros fornecem a
e a ascenção reta do astro no instante da observação (α) (Anuário do Observatório Nacional, p.ex.).
No segundo caso, H pode ser determinado do seguinte modo:
H=θ− α
θ
= θ0G − λ + k(L-F)
onde θ é a hora sideral local no instante da observação; e θ0G é a hora sideral de Greenwich a zero
horas médias de Greenwich; λ é a longitude do lugar; L é a hora legal local no instante da
observação; F é o número do fuso horário local e k é um fator para transformação do intervalo de
hora mêdia em intervalo de hora sideral que é igual a 1,00273791.
Analisando as fórmulas (2.34) e (2.35) podemos concluir que a correção T será máxima
quando o astro estiver no zenite ou no nadir. Para o Sol, nesse caso, TS = +0,061 mGal e para a
Lua, considerando a maior paralaxe TL = +0,166 mGal. A correção T será zero quando z = 54044’
ou 125016’. Quando o astro perturbador está em quadratura (z = 900), o valor de T é mínimo; para
o Sol TS = −0,03 mGal e para a Lua TL = −0,083 mGal.
2.5.3- Variação Secular da Gravidade
Além da variação periódica da gravidade (maré) existem também variações não
periódicas ou variações seculares. Tais variações, por serem de pequena intensidade e de período
longo, ainda não foram efetivamente medidas, visto que a era dos gravímetros precisos teve início
na década de 50, e por definição as variações seculares necessitam de um longo período de
observação. A sua existência, contudo, é inferida do conhecimento dos processos químicos e físicos
ativos no interior da terra, caracterizando o nosso planeta não como um corpo morto mas vivo.
Essas atividades manifestam-se na desintegração de elementos radioativos, no aquecimento de
certas regiões e resfriamento de outras, na transformação de substâncias pela temperatura e pressão,
movimento de matéria, etc., processos que aparecem na superfície como atividade vulcânica,
terremoto, formação e desaparecimento de ilhas, termas, fraturas, incluindo imensos vales fendidos
extendendo-se por vasta distancia.
21
Logicamente esses processos não deixam de afetar a gravidade. O influxo de massas
densas pode causar um aumento da gravidade, sua submersão e substituição por massas menos
densas, ao contrário, pode reduzi-la.
Além desses fatores, existem ainda hipóteses sobre a variação da velocidade angular da
Terra e mesmo da constante gravitacional (G). No primeiro caso, a componente centrífuga da
gravidade seria afetada e, no segundo, a componente gravitacional.
22
2.6 - Principais Métodos de Determinação da Gravidade
A determinação do campo da gravidade é um dos principais meios para se estudar a
estrutura e a dinâmica da Terra. Diversas pesquisas em Geodésia, Geodinâmica, Geofísica e
Metrologia têm sido realizadas usando diferentes métodos de medições gravimétricas com
soluções técnicas distintas. Atualmente a determinação do campo da gravidade terrestre pode ser
realizada através de três tipos de soluções: análise das órbitas dos satélites, altimetria por satélite
e medida gravimétrica de superfície. A solução pela análise das órbitas dos satélites baseia-se na
observação das perturbações orbitais provocadas pelo campo gravitacional. A altimetria por
satélite possibilita determinações precisas do campo da gravidade no mar, desde que os erros
orbitais e as variações não-geoidais da superfície do mar sejam adequadamente modeladas. A
medição gravimétrica de superfície é a mais direta e mais precisa, apesar da maior dificuldade de
se obter uma distribuição global uniforme, em comparação com as outras duas soluções.
Nos últimos anos o aprimoramento tecnológico tem possibilitado o aumento da
quantidade e qualidade dos dados nestes três diferentes tipos de medições, com reflexo positivo
nas determinações dos modelos descritivos do campo da gravidade terrestre. O uso do Sistema de
Posicionamento Global (GPS) tem contribuído significativamente para o desenvolvimento das
técnicas de determinação da gravidade, provendo medições precisas das perturbações orbitais,
bem como posicionamento preciso dos veículos transportadores dos diferentes tipos de sensores
gravimétricos (Bell, 1995; Forsberg e Brozena,1993; Melbourne et al.,1994; Nerem et al.,1994).
Nas medições gravimétricas de superfície, incluindo os aerolevantamentos, podem ser
encontrados os desenvolvimentos instrumentais mais recentes, que envolvem tipos de sensores
distintos, dentre os quais selecionou-se alguns, cujas características são apresentadas a seguir.
2.6.1- Gravimetria de Superfície
As determinações gravimétricas na superfície da Terra têm encontrado diversas
aplicações, dentre as quais podem ser citadas: (a) em Geodésia - determinação de modelos
geopotenciais, determinação do geóide, determinação de altitudes, realização de sistemas
geodésicos de referência, etc.; (b) em Geofísica e Geodinâmica - detecção de movimentos
crustais verticais, monitoramento de fluxo de magma vulcânico, estudos de terremotos,
monitoramento das marés e modelagem da elasticidade da Terra, monitoramento do nível d'água
em aqüíferos subterrâneos (Peter et al., 1994), monitoramento do nível do mar para estudo do
aquecimento global (Marshall e Pavlis, 1993), monitoramento das variações na pressão
atmosférica (Merriam, 1992; Chao e Au, 1991), monitoramento da rotação da Terra e do
movimento do polo (Defraigne et al., 1995; Sato et al.,1994; Chao, 1993), pesquisa de recursos
23
minerais, etc.; (c) em Metrologia - desenvolvimento de novos sensores (Warburton e Brinton,
1994; Niebauer et al., 1995), realização de padrões nacionais de gravidade (Escobar et al., 1996),
calibração de padrões de força e transdutores de massa e pressão.
De acordo com o método de medição os instrumentos utilizados nas determinações
gravimétricas de superfície normalmente são divididos em dois grupos: gravímetros absolutos e
gravímetros diferenciais ou relativos.
Os gravímetros absolutos determinam o valor da gravidade num ponto diretamente,
como resultado da medida feita no ponto e das constantes do instrumento usado. Os gravímetros
diferenciais medem pequenas variações de gravidade entre dois pontos distintos. Assim, se a
gravidade num desses pontos for conhecida, pode-se determinar a gravidade no outro ponto. Os
gravímetros absolutos são mais estáveis no tocante às suas características. Isso quer dizer que
uma vez calibrados, os mesmos conservam essa calibração por longo tempo, o que não acontece
com os gravímetros diferenciais os quais são sempre aferidos num local de gravidade conhecida
antes de se iniciar uma série de medidas e são reaferidos a intervalos durante as medidas. Esta
diferença essencial entre os dois tipos de gravímetros além de diferenças de resolução e
sensibilidade determinam a sua aplicação a problemas gravimétricos específicos. Os diferentes
tipos de gravimetros têm aplicação preferencial a determinada classe de problemas gravimétricos.
Assim, os gravímetros absolutos aplicam-se principalmente na caracterização do campo global,
ao passo que os gravímetros diferenciais são empregados nos levantamentos locais e regionais,
através dos quais são identificadas as anomalias gravimétricas relacionadas à estrutura da crosta e
do manto superior. Além disso, certos gravímetros diferenciais de altíssima sensibilidade são
usados no estudo dos efeitos gravimétricos dos potenciais de maré da Lua e do Sol e também no
detalhamento preciso da crosta superior (microgravimetria).
A seguir será discutido brevemente o principio de funcionamento dos principais
tipos de gravímetros atualmente em uso.
2.6.1.1- Gravímetros Absolutos
Os gravímetros absolutos atuais utilizam a técnica balística de monitorar o
deslocamento vertical de um corpo no campo da gravidade, com base na equação do movimento
uniformemente acelerado. Neste grupo de instrumentos podem ser distinguidos aqueles que
monitoram o movimento do corpo em queda livre e aqueles que monitoram a ascensão e queda
do corpo (Faller e Marson, 1988). Embora esteja havendo um desenvolvimento acentuado na
portabilidade deste tipo de gravímetro, visando o seu uso no campo, sua aplicação primordial se
dá nos laboratórios, sob condições controladas. Dependendo do modelo e dos cuidados
operacionais a exatidão na determinação do valor da gravidade com este instrumento pode variar
24
entre 2 µGal e 50 µGal (1 Gal = 10−2m/s2) (Micro-g Solutions, 2001). A Figura 2.8 mostra o
gravímetro absoluto Micro-g FG5, que opera pelo método de queda livre. Um corpo é deixado
cair no interior de uma câmara de vácuo e seu movimento descendente, em queda livre, é
monitorado de modo preciso usando um interferômetro a laser. Um cronômetro atômico de
rubídio é utilizado para a medição precisa e exata do tempo. Este instrumento pode determinar o
valor da gravidade pelo método absoluto com exatidão da ordem de 2 µGal (Okubo et al., 1997;
Robertson et al., 1996; Sasagawa et al., 1995)
Fig. 2.8. Gravímetro absoluto Micro-g FG5
2.6.1.2- Gravímetros Diferenciais
Dentre os gravímetros diferenciais atualmente em uso podem ser destacados
aqueles que utilizam sensores mecânicos elásticos e os que utilizam sensores supercondutores.
Os primeiros gravímetros diferenciais mecânicos surgiram por volta de 1930 e até
hoje são os medidores da gravidade mais utilizados. Por sua grande portabilidade e facilidade
operacional, este tipo de gravímetro é utilizado nas medições da gravidade em levantamentos
terrestres, marinhos e aéreos. Seu sensor é constituído essencialmente por uma "mola de
comprimento zero" ("zero length spring") cujo comprimento varia proporcionalmente à variação
da gravidade, que faz variar o peso de uma massa suspensa instavelmente na mola (Fig. 2.9).
Para um determinado valor de g, o sistema está em posição de equilíbrio. Uma pequena variação
de g é suficiente para que a massa abandone sua posição de equilíbrio de forma que pequenas
25
variações de g se traduzem em deslocamentos relativamente grandes da mola. Atuando-se,
então, sobre o parafuso micrométrico, até que o equilíbrio seja restabelecido, o número de voltas
do micrometro será proporcional à variação da gravidade.
Fig. 2.9. Diagrama Esquemático do Sensor do Gravímetro LaCoste & Romberg
O instrumento deve ser calibrado em local de gravidade conhecida para converter a
medida da variação do comprimento da mola em variação da gravidade em mGal.
Fig. 2.10. Gravímetro LaCoste & Romberg modelo G
26
Como a estabilidade do local é muito importante na qualidade da medição, os
levantamentos terrestres apresentam resultados mais precisos. A figura 2.10 mostra o painel
de controle do gravímetro LaCoste & Romberg modelo G, onde podem ser observados os três
parafusos de nivelamento, a ocular de visualização da posição do braço do sensor ("beam"), o
mostrador do micrômetro ("nulling dial"), o botão de travamento do sensor, os níveis de bolha
longitudinal e transversal, a chave liga/desliga para a iluminação interna e a chave liga/desliga
para exibição da temperatura interna ou da voltagem da bateria através mostradores de cristal
líquído, LCD. O gravímetro modelo G reune as especificações da tabela 2.2:
Tabela 2.2: Especificações do gravímetro LaCoste & Romberg, modelo G
Amplitude de escala
Resolução
Exatidão
Repetibilidade
Deriva
Faixa de temperatura
Comprimento
Largura
Altura
Peso
Peso da bateria adequada
Peso do medidor, bateria e maleta de transporte
7000 mGal
0,005 mGal
0,04 mGal ou melhor
0,01 a 0,02 mGal
1,0 mGal por mês ou melhor
-25°C a +45°C
19,7 cm
17,8 cm
25,1 cm
3,2 kg
2,3 kg
10,0 kg
O gravímetro LaCoste & Romberg GRAVITON-EG (Fig. 2.11) é um instrumento
totalmente automático, autonivelador e portátil, cuja características técnicas são apresentadas na
tabela 2 (LaCoste & Romberg, 2001).
Fig. 2.11. Gravímetro LaCoste & Romberg GRAVITON-EG
27
Tabela 2.3: Especificações do gravímetro LaCoste & Romberg, GRAVITON-EG
Amplitude de escala
Resolução
Repetibilidade
Deriva
Faixa de temperatura
Comprimento
Largura
Altura
Peso
7000 mGal
24-bit ≤0,0001 mGal bit size
0,001 a 0,003 mGal
1,0 mGal por mês ou melhor
-10°C a +50°C
21,5 cm
22,0 cm
31,0 cm
9,0 kg
Com o advento do Sistema de Posicionamento Global (GPS), o aprimoramento do
controle das acelerações induzidas durante o transporte favoreceu o desenvolvimento da
aerogravimetria, que, apesar de ainda não ter atingido a precisão da gravimetria terrestre, permite
a obtenção de uma cobertura gravimétrica uniforme mesmo em regiões de difícil acesso. Os
levantamentos gravimétricos marinhos também têm se beneficiado do GPS da mesma forma que
a aerogravimetria.
Fig. 2.12. Gravímetro LaCoste & Romberg Ar/Mar
A figura 2.12 mostra o gravímetro LaCoste & Romberg Ar/Mar, cujo sensor é
análogo ao do gravímetro mecânico terrestre porém mais robusto e amortecido para acomodar as
condições de movimento da plataforma. Um sistema de realimentação giroscópico, controlado
28
por motor de torque, mantém a plataforma estabilizada de modo a manter o sensor verticalizado
durante o seu deslocamento. Em condições estáticas, em laboratório, este instrumento apresenta
repetibilidade de 0,01 mGal (LaCoste & Romberg, 2001). Em condições operacionais no ar e no
mar os relatórios recentes apontam resultados melhores do que 1 mGal na precisão, dependendo
do sistema de navegação, das condições de vento, da velocidade da plataforma e dos parâmetros
do sistema de filtragem.
Atualmente, o gravímetro diferencial supercondutor (SG) é o mais sensível e
estável. Seu sensor consiste de uma esfera que é posta a levitar por um campo magnético muito
estável, produzido por uma corrente que circula por bobinas supercondutoras. O sensor é
acondicionado em uma câmara cheia de hélio líquido a uma temperatura controlada de 4,2 º K.
Uma técnica de realimentação negativa proporciona uma força adicional que permite conduzir a
esfera para a posição zero do instrumento. A voltagem de realimentação varia linearmente com a
variação da gravidade. Uma vez calibrado em local de gravidade conhecida, o gravímetro
supercondutor apresenta uma resolução da ordem de 1 nGal (10-11m/s2). Sua taxa de deriva é da
ordem de 1µGal por ano. Analogamente aos gravímetros absolutos, devido a sua pouca
portabilidade, estes instrumentos ainda têm seu uso primordial em laboratórios, no
monitoramento de variações da gravidade em estações fixas com condições controladas. A figura
2.13 mostra o sensor do gravímetro supercondutor GWR em sua câmara refrigerada CD-125.
Fig. 2.13. Câmara refrigerada CD-125 do SG GWR
29
Além dos que foram apresentados, existem outros sistemas e técnicas de medição
da gravidade em diferentes estágios de desenvolvimento. Os que aqui foram citados são, na
opinião do autor, aqueles que têm sido mais utilizados nas diversas áreas de aplicação das
medições gravimétricas, nos dias atuais.
2.6.2- Considerações Gerais sobre os Gravímetros Diferenciais
Em todos os gravímetros diferenciais a resposta é proporcional a variação da
gravidade, entretanto o coeficiente de proporcionalidade não pode ser determinado com o próprio
gravímetro. Com este objetivo são utilizados os gravímetros absolutos. Outra característica
desses instrumentos é a deriva decorrente de variações no sistema elástico que acarretam
variações de leituras com o tempo. Embora essa deriva seja própria do sistema, pesquisas no
sentido de reduzi-la e torná-la linear tem conseguido muito progresso nesta área, possibilitando a
sua correção mesmo para períodos relativamente longos (48 horas).
Outro fator que deve ser considerado é a instabilidade
dos gravímetros
diferenciais, quando submetidos a certas vibrações durante o transporte entre as estações
gravimétricas. Tais vibrações dentro de determinada faixa (35 a 70 Hz) podem provocar saltos
no registro da medida, dando origem a erros que afetam a qualidade das observações. Vibrações
dentro dessa faixa podem ocorrer tanto em aeronaves (principalmente na hélice) como em
veículos terrestres, sendo necessárias algumas precauções quanto a embalagem e a viatura
utilizadas no transporte a fim de evitar esse efeito.
2.6.3- Procedimento para Execução de Observações com Gravímetros Diferenciais
Antes de um gravímetro ser usado em levantamentos, ele deve ser inteiramente
testado e preparado para operação. Acima de tudo as relação leituras com a temperatura e pressão
devem ser determinadas. Os valores das graduações da escala também devem ser testados, ou
seja, o aparelho deve ser calibrado. Quando um gravímetro vem do fabricante, todos esses
parâmetros são dados em seu certificado técnico e operacional, porém com o passar do tempo e
em circunstâncias anteriores ao uso de um instrumento particular os valores de várias constantes
podem ser alteradas.
30
2.6.4- Deriva instrumental
A característica mais notável do gravímetro diferencial mecânico é a deriva
instrumental, que se manifesta pela variação contínua e, normalmente, lenta da posição do
indicador com o tempo e, logicamente, de sua leitura, mesmo com um valor constante da
gravidade. A variação é causada pela alteração gradativa da elasticidade dos materiais, e depende
das condições externas às quais o instrumento é submetido, tais como variações de temperatura e
oscilações e trepidações por ocasião do transporte. Nos gravímetros mais modernos a deriva pode
ser considerada linear dentro de um intervalo de tempo de 24 horas ou mais, o que permite a sua
fácil determinação e correção. Uma vez ultrapassado o período de linearidade característico do
instrumento a deriva pode assumir um comportamento irregular que pode comprometer a sua
correção.
É importante conhecer a grandeza e a natureza da deriva para cada gravímetro a
fim de selecionar as condições e o método de trabalho mais adequados em cada caso, e também
saber em que tipo de trabalho o seu emprego é adequado. Gravímetros com derivas grandes não
são adequados para o planejamento de redes de referência, embora possam demonstrar-se
suficientemente exatos para levantamentos de detalhe.
Distinguem-se duas espécies de derivas:
a) Deriva Estática
Ocorre quando o instrumento está em repouso. Para sua determinação o gravímetro
deve ser instalado em um local conveniente (se possível com uma temperatura constante), e
serem tomadas leituras do micrômetro três a quatro vezes por dia em intervalos definidos. Essas
leituras podem ser locadas em um gráfico com o tempo no eixo dos x e as leituras no eixo dos y.
Após dois ou três dias de observações um quadro suficientemente confíável será obtido.
b) Deriva Dinâmica
Ocorre quando o instrumento está sendo transportado e se encontra, portanto,
submetido a diversas acelerações mais ou menos bruscas. Devem ser evitados tanto quanto
possível os choques e sacudidelas e todos os movimentos devem ser suaves. Deve-se, portanto,
tomar muito cuidado em providenciar um bom absorvedor de choques. O aparelho deve ser
transportado em uma embalagem especial a prova de choques, ser mantido à sombra e
protegido do vento.
31
2.6.5- Coeficiente de Inclinação do Instrumento
Suponhamos um gravímetro diferencial sujeito a um pequeno desnivelamento, Designemos por α o
ângulo de inclinação entre o eixo OX (do sistema instrumental XOY) e o horizonte (fig.24).
Fugura 24 – Variação da leitura com a inclinação do gravímetro.
Nesse caso, temos:
δg = g cos β − g,
onde g é o modulo do vetor aceleração da gravidade no local da observação (que atuaria sobre o
sistema do instrumento caso este estivesse perfeitamente nivelado e g cos β é o módulo da
componente da aceleração da gravidade que realmente é compensada pelo sistema elástico da
instrumento. δg será, portanto, a variação aparente da gravidade registrada pelo instrumento em
função do ângulo β.
Assim,
= cos − 1
= − 2 sin .
2
expressando β em radianos e sendo β <1º,
sin
≅
2
4
= −
2
II. 69
Tomando para g ≅ 106 mGal e desejando que δg < 0.01 mGal (resolução dos gravímetros precisos),
temos:
32
< 2
< 2.
10
= 2 . 10 ∴ < 10 √2 rad ou β<29"
10
Conclui-se, portanto, que os gravímetros diferenciais estão sujeitos a erros de observação
significativos mesmo para pequenos erros de nivelamento. A fim de se minimizar tal efeito
sistemático os instrumentos são providos de um dispositivo de nivelamento semi-automático que
atua em dois planos ortogonais, um deles contendo o eixo de rotação do sistema (eixo transversal).
2.6.6- Calibração e Verificação da Linearidade da Escala
A ocupação de duas estações sucessivas (i-l, i) com um gravímetro tem como resultado imediato as
leituras instrumentais brutas (ri-1,r), expressas no sistema de unidades próprio do instrumento.
A obtenção das leituras em mGal é feita através da aplicação de uma função chamada de calibração
ou de escala. Designando por l’ as leituras expressas em mGal, teremos:
l’i-1 = f (ri-1)
l’i = f (ri) .
Os manuais de operação dos instrumentos fornecem as funções f que são determinadas em
laboratório pelo fabricante, para cada gravímetro. A função pode ser linear, representada
simplesmente por uma constante multiplicativa (fi = k ri), ou não linear, representada por uma tabela
que fornece constantes multiplicativas e aditivas para intervalos determinados da faixa de leitura do
instrumento (ver tabela I). No primeiro caso estão classificados os gravímetros Scintrex CG-5 e no
segundo os LaCoste & Romberg, modelo G.
Diversos fatores, entretanto, podem provocar alterações nas funções de calibração. Os principais são:
a) Imperfeições no sistema de leitura do gravímetro devidas a excentricidade dos eixos das
engrenagens.
b) Alterações das propriedades físicas dos componentes do sistema de medida. Podem ser
distinguidas duas fontes principais: variações da constante da mola de medida, causadas pelas
tensões as quais ela e submetida, seu envelhecimento, variações de temperatura, etc;
modificações das posições relativas dos acessórios do sistema de medida (acomodações
desgastes, dilatações diferenciais).
Portanto, é importante considerar a possibilidade de eventual variação na função de calibração do
instrumento.
Os principais métodos de calibração podem ser divididos em dois grupos: relativos e absolutos.
33
TABELA I – Parâmetros de calibração do gravímetro LCR G061
34
2. 6. 6.1- Métodos Relativos de Calibração
Esses métodos baseiam-se na ocupação de pontos onde o valor da gravidade (gi) é conhecido. A
calibração de um dado instrumento pode ser feita através do cálculo de fatores de escala, ki, que são
aplicados aos coeficientes para os intervalos da tabela de calibração do instrumento, ou um fator k
único para todo o alcance de leitura do instrumento.
A ocupação periódica de um número de estações de gravidade previamente determinada, em
quantidade suficiente para solucionar um sistema de equações superabundantes, possibilita o
emprego do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores dos fatores ki e seus desvios
padrões. A análise dos resultados permite a identificação de eventuais alterações significativas na
calibração do instrumento.
Os métodos relativos de calibração aplicam-se a determinada faixa de leitura do instrumento na qual
os fatores k podem ser considerados validos. Existem conjuntos de estações de gravidade conhecida
chamadas "linhas de calibração" (ou bases de calibração), cobrindo extensas faixas de valores de
gravidade. Tais bases podem ser de dois tipos:
a) Bases latitudinais - estabelecidas aproximadamente ao longo de meridianos, em que a
variação de gravidade se deve à variação de latitude.
b) Bases verticais - nas quais os desníveis entre as estações asseguram as variações de
gravidade necessárias.
Dependendo do intervalo de gravidade abrangido pela linha de calibração e do instrumento a ser
avaliado a aferição pode abranger total ou parcialmente o alcance da escala do instrumento. Uma
linha de calibração pode ser latitudinal, quando explora a variação da gravidade com a latitude, ou
vertical, quando explora a variação da gravidade com a altitude. As linhas de calibração verticais,
embora apresentem intervalo de gravidade fisicamente limitado pelas altitudes máxima e mínima das
estações da linha, normalmente, são mais fáceis de serem ocupadas pois, para um mesmo intervalo
de gravidade, exige um deslocamento menor do que uma linha latitudinal, em virtude do gradiente
vertical da gravidade ser maior do que o gradiente horizontal. Além disso, é possível explorar a
variação da temperatura e da pressão atmosféricas com a altitude para verificar o bom desempenho
dos dispositivos térmicos e barométricos.
Figura 2.15 - Linha de Calibarção Gravimétrica ON-AN
35
Em 1982 o Observatório Nacional, interessado em monitorar as características dos gravímetros
utilizados na Rede Gravimétrica Fundamental Brasileira, se associou ao IAG/USP para a
implantação da linha de calibração gravimétrica vertical Observatório Nacional - Pico das Agulhas
Negras, composta pelas estações cujos valores de gravidade ajustados se encontram na tabela 2.4. O
percurso envolve uma diferença de altitude da ordem de 2500 metros, em aproximadamente 230
quilômetros de distância, e uma significativa variação de temperatura e pressão ambientais. Com um
intervalo de gravidade de 628 mGal, o trajeto é subdividido em quatro trechos por três estações
intermediárias: Engenheiro Passos, Fazenda Lapa e Marco Zero (Fig. 2.15).
Tabela 2.4 - Valores de Gravidade Ajustados das Estações da Linha de Calibração ON-AN
Estação
Rio de Janeiro
Angra dos Reis
Engenheiro Passos
Fazenda Lapa
Marco Zero
Agulhas Negras
Código
Gravidade (mGal)
016080
CAL-01
CAL-02
CAL-03
CAL-04
CAL-05
978791,64
978768,84
978601,09
978419,55
978325,58
978163,10
D. Padrão (mGal)
0,012
0,015
0,012
0,013
0,014
0,016
2.6.6.2- Métodos Absolutos de Calibração
a) Suspensão de carga à haste do sistema
A massa de tais cargas deve ser conhecida com desvio padrão de ±0,1 mg e a posição dos pontos de
suspensão em relação ao eixo de rotação da haste deve ser determinada com rigor; basta que o valor
da gravidade no local seja conhecido com desvio padrão de ±l00 mGal. A variação aparente da
gravidade, causada pela adição das cargas, pode ser calculada e é associada á variação observada das
leituras instrumentais, permitindo determinar a função de calibração. Este método é normalmente
empregado pelos fabricantes dos gravimetros por ocasião da montagem do instrumento.
b) Método de inclinação
Baseia-se na equação (II.69). Inclina-se o gravímetro no plano do sistema instrumental XOY e
fazem-se leituras correspondentes às diversas posições do aparelho; as variações de leituras são
associadas às variações aparentes da gravidade, obtendo-se assim uma função de escala. O valor da
gravidade no local deve ser conhecido com desvio padrão entre 10 mGal e 50 mGal. São usadas
plataformas de calibração reclináveis.
2. 6. 7- Teste e Correção dos Níveis
Antes de iniciar o trabalho com um gravímetro seu sistema de nivelamento deve ser testado. Na
realidade, isso deve ser feito diariamente durante os levantamentos.
A dependência das medidas gravimétricas com a inclinação tem uma característica parabólica; em
uma certa posição do sistema um pequeno ângulo de inclinação não afetará as leituras, mas com o
aumento desse ângulo as leituras começarão a variar, e quanto maior for o ângulo mais rápida será a
variação. Um gráfico dessa relação é dado na figura 25, onde os ângulos de inclinação são
apresentados no eixo dos x e as leituras no eixo dos y. O sistema elástico de qualquer tipo de
gravímetro deve ser montado no aparelho de um modo tal que a dependência das leituras em relação
a inclinação seja mínima. Assim as pequenas variações acidentais na Posição do instrumento,
36
resultante da instabilidade da fundação onde ele foi instalado, não causarão erros de observação
significativos. Para tal a posição do sistema nivelador do instrumento deve estar na posição zero.
Para testar o grau de correção do sistema nivelador o aparelho deve ser instalado em um local estável
e nivelado. Então são efetuadas as leituras, inclinando-se o instrumento, após cada leitura, de um
ângulo igual no plano vertical da haste do sistema ou perpendicularmente a este. Os ângulos podem
ser convenientemente registrados, por exemplo, anotando-se o numero de voltas do parafuso calante.
Quando as leituras começam a variar apreciavelmente, o aparelho deve ser inclinado na direção
oposta. A partir dos registros loca-se a curva e determina-se a posição de variação mínima. O
instrumento é então reposicionado no ponto onde a leitura máxima foi obtida e os níveis zerados
naquela posição. Nos gravímetros com sistema de nivelamento automático este procedimento é
realizado pelo próprio aparelho.
fig. 25
2.7- Datum Gravimétrico
O conceito original de datum gravimétrico era o de uma estação onde se determinava o valor da
gravidade através de um método absoluto, com o objetivo de servir de referência às determinações
relativas da gravidade em outros locais.
O primeiro datum gravimétrico adotado em caráter internacional foi o de Viena, em 1900. O erro
médio quadrático estimado para a determinação de g pelo método pendurar foi de ± 10 mGal.
Seguiu-se ao datum de Viena o datum de Potsdam, 1909, em cuja determinação foram utilizados
aparelhos pendurares mais precisos. Obteve-se o valor g = 981274 ± 3 mGal. Tal valor corrigiu o
valor referido a Viena em -16 mGal.
O advento dos gravímetros diferenciais portáteis, com elevada coerência interna, tornou evidente a
imprecisão das medidas absolutas obtidas por aparelhos pendurares e introduziu um novo conceito
de datum gravimétrico. O valor atribuído a uma única estação poderia ser substituído pelos valores
de gravidade em várias estações, obtidas do ajustamento de observações absolutas e diferenciais pelo
método dos mínimos quadrados. Tal procedimento facilitaria a interligação dos diversos
levantamentos gravimétricos existentes e futuros por meio de um único sistema de referência.
37
O desenvolvimento dos gravímetros absolutos por queda livre, atingindo erros médios quadráticos
nas determinações da gravidade da ordem de poucos µGal, favoreceram ainda mais a idéia.
2.7.1- Rede IGSN-71
Em 1970, a IGC "International Gravity Commission", Orgão da IAG ( International Association of
Geodesy), sugeriu a execução do ajustamento final de uma rede gravimétrica de referência e sua
adoção em caráter internacional, com o nome de IGSN-71 ("International Gravity Standardization
Net-1971").
No ajustamento foram utilizadas 10 medidas baseadas na queda livre no vácuo, 1200 medidas
pendurares e aproximadamente 12000 observações com gravímetros diferenciais, em sua maioria
LaCoste & Romberg.
A solução do sistema resultou nos valores de gravidade em 1854 estações com erros médios
quadráticos inferiores a 0,10 mGal. O valor de Potsdam recebeu, então, uma correção de -14,0 mGal.
2.7.2- Estações IGSN-71 no Brasil
Por facilidade logística a maioria das estações IGSN-71 em território brasileiro foi estabelecida em
aeroportos internacionais e algumas delas foram destruídas nas obras de remodelação por que
passaram tais instalações. Das 46 originalmente implantadas restam atualmente menos de 38.
2.8- Redes Gravimétricas e Circuitos de Primeira Ordem
2.8.1- Redes Gravimétricas
Os levantamentos gravimétricos têm por objetivo o estabelecimento de conjuntos de estações ou
redes, cuja densidade e precisão na determinação de g variam de acordo com os objetivos propostos.
De um modo geral, pode-se classificar as redes em duas espécies:
a) redes básicas, fundamentais, nacionais ou de 1a ordem. São apoiadas diretamente a estações
pertencentes ao datum internacional, ou seja, seus valores de g são determinados a partir do datum.
Servem de arcabouço a levantamentos posteriores e configuram, em grandes linhas, o campo da
gravidade de um país ou região. Possuem as seguintes características:
- fraca densidade de estações;
- grande precisão na determinação de g;
- escala compatível com aquela fornecida pelo datum.
Os valores de g nas estações de uma rede básica devem apresentar, após o seu ajustamento, desviospadrão não superiores a 0,05 mGal, em relação aos valores nos pontos do datum, tomados como
fixos (exatos). Para tanto, empregam-se gravímetros que permitam a leitura direta de 0,01 mGal
como o LaCoste & Romberg, usando-se no mínimo dois instrumentos para cada determinação.
Os meios de transporte podem ser automóveis (somente em estradas asfaltadas, a fim de evitar que o
equipamento seja submetido a vibrações excessivas); aeronaves de propulsão a jato, etc.
38
As estações das redes básicas são geralmente fundadas em localidades de certa importância,
previamente selecionadas em função de suas vias de acesso e posição geográfica relativa. Os locais
onde são feitas as medidas, em cada cidade, são escolhidos de acordo com certos critérios rigorosos,
tais como a permanência (templos religiosos, edifícios públicos, monumentos), acessibilidade e
estabilidade (evitando-se a proximidade de ruas com tráfego pesado); como precaução adicional, um
conjunto de no mínimo duas estações é estabelecido em algumas localidades, sendo uma delas
denominada fundamental (situada na estrutura arquitetônica mais relevante e a outra excêntrica,
embora a determinação de g obedeça aos mesmos critérios em ambas.
a) redes regionais, complementares, de adensamento ou de 2a ordem. São apoiadas diretamente a
estações pertencentes à rede fundamental do país. Servem de apoio aos levantamentos gravimétricos
regionais e locais. Possuem as seguintes características:
- alta densidade de estações;
- precisão na determinação de g compatível com o objetivo;
- escala compatível com aquela fornecida pela rede fundamental.
As estações das redes regionais são geralmente estabelecidas em feições reconhecíveis em cartas
topográficas (bifurcações de vias terrestres, casas, ângulos formados por cercas, escolas, etc.). Sua
posição geográfica deve ser correta ao 0,1 minuto de arco.
2.8.2- Circuito Gravimétrico de la Ordem
Chama-se circuito a ocupação sucessivaà de um certo número de locais onde se pretende determinar
o valor da gravidade. O número de estações de um circuito é limitado pelo tempo, em função da
deriva instrumental. Em um circuito de 1a ordem é aconselhável tomar-se como limite o intervalo de
24 horas; experiências comprovaram que após esse limite a deriva pode tornar-se excessivamente
não-linear, dificultando cada vez mais a sua correção.
Nos levantamentos de 1a ordem, são empregados os circuitos chamados de perfil duplo; às vezes
designados por 1 - 2 - 3- . . . - n -. . .- 3 - 2 - 1 , sendo n o número de estações do circuito; tendo o seu
início e término na mesma estação. Tais circuitos representam um percurso de ida e volta onde todas
as estações são ocupadas em ambos os sentidos, permitindo o cálculo deriva dinâmica.
As informações que caracterizam uma estação são:
a) Principais, para cada instrumento
- leituras instrumentais (media das séries)
- horas das observações
- data (dia, mês, ano)
b) Adicionais
- temperatura
- pressão atmosférica
- documentação da estação
39
- nome e número da estação
- coordenadas geográficas (ϕ, λ)
- altitude (h)
O planejamento dos circuitos terrestres é feito levando-se em consideração a rede rodoviária
existente. Aconselha-se uma distância média entre estações da ordem de 100 km o que, no caso do
uma distribuição superficial homogênea permitiria uma estação por quadrícula do 1° x1°. As
ligações aéreas são usadas com três finalidades principais: instalação de pontos em regiões de acesso
difícil, conexões a estações do datum afastadas e ligações entre estações já existentes, com o intuito
de se aumentar a rigidez da rede.
2.8.3- Cálculo Gravimétrico de Campo
Os cálculos de campo são efetuados com o fim de se assegurar exatidão obtida nos levantamentos.
Para isso são empregados planilhas, como o da página seguinte (utilizado pelo Observatório
Nacional), onde são lançadas as observações registradas nas cadernetas de campo e efetuados os
cálculos passo a passo.
Os procedimentos para utilização do formulário são os seguintes:
1) Coluna da Estação: Indica-se o nome o/ou código da estação.
2) Coluna de Data/Hora. Indica-se a data e a hora legal local ou de Greenwich da leitura para cada
estação.
3) Coluna ∆T/ΣT
Na parte superior esquerda do espaço, colocam-se os intervalos do tempo entre as observações
efetuadas nas estações em horas e décimos de hora.
Na parte inferior direita do espaço, coloca-se a soma acumulada dos ∆T entre estações (ΣT). Para
uma estação de deriva estática, omite-se o ∆T entre as duas leituras.
4) Coluna leitura do contador/leitura do "dial"
Escreve-se a leitura da caderneta de campo.
40
41
5) Coluna Miligals do Contador/ Fator do "dial"
Da tabela de calibração do gravímetro, extrai-se o valor de miligal correspondente à leitura do
contador. Cada instrumento tem sua própria tabela de calibração.
Exemplo:
Leitura de campo para LCR, G 61 = 1836,281
Leitura do contador na tabela = 1800
Valor em miligals da tabela = 1867,37
Da mesma tabela, obtém-se o fator para o intervalo .
6) Coluna Miligals Observados
As leituras de campo são convertidas em miligals mediante a multiplicação das partes da leitura de
campo correspondentes as dezenas, unidades e décimais pelo fator para o intervalo, adicionando-se o
produto ao valor de miligals do contador.
Exemplo:
36,281 x 1,03785 + 1867,37 = 1905,024
leitura de
fator
miligals de miligals
campo
contador observados
7) Colunas de correções
Coluna 1: Correção de Maré Terrestre
É calculada com subrotinas especialmente preparadas para esse fim.
Coluna 2: Correção da Deriva Estática
É calculada aplicando-se algebricamente as correções de maré aos valores de miligals observados
para cada estação de deriva. A diferença entre os valores corrigidos em mi1igals para a mesma
estação é a deriva para esta estação.
Exemplo:
Estação
mGal observado
corrigido de maré
013976
1936,100
013976
1936,096
Valor da deriva
-0,004
O valor da deriva para a estação 013976 é de -0,004 mGal e, por conseguinte, a correção de deriva é
de +0,004 mGal. Esta correção é inserida na coluna 2 até à próxima estação de deriva ou ate o final
do trecho.
Coluna 3: Correção de Deriva Dinâmica
As correções para deriva dinâmica são obtidas aplicando-se as correções de deriva estática e maré
terrestre às leituras de partida e chegada na estação de origem. A diferença entre as duas leituras
corrigidas é a deriva dinâmica total para o trecho.
Exemplo:
013476 (partida) 1905,104
013476 (chegada) 1905,076
42
Deriva Total
-0,028
A deriva dinâmica total é de -0,028 mGal e a correrão é de +0,028 mGal. Este valor é colocado na
coluna 3 para a leitura de chegada. A correção é distribuída de forma linear com o tempo decorrido
entre a leitura de partida na estação origem e a leitura que se deseja corrigir. Sua aplicação a cada
estação é feita da seguinte maneira:
Calcula-se a marcha da deriva dividindo-se a deriva total pelo tempo total decorrido na observação
de todo o trecho.
Exemplo:
',' mGal
,,, horas
= - 0, 003636 mGal/hora
A marcha de deriva é então multiplicada pelo ΣT para cada uma das estações do circuito.
Exemplo: Na estação 013976, o tempo acumulado é de 4,3 horas, logo,
4,3 horas x 0,003636 mGal/hora = 0,016 mGal
8) Coluna Miligals Corrigidos 1, 2
Anota-se a leitura corrigida de maré e deriva estética.
9) Coluna Miligals Corrigidos 1,2,3
Registra-se a leitura corrigida de maré, deriva estática e deriva dinâmica.
10) Coluna ∆G
A diferença entre os valores corrigidos 1,2,3 de duas estações consecutivas é o intervalo de
gravidade ∆G entre essas estações. Este é o produto final dos levantamentos gravimétricos relativos.
Assim os valores da gravidade para as estações de campo podem ser obtidos por transporte a partir
do valor de gravidade da estação origem.
A tolerância normalmente adotada para a discrepância entre os valores te ida e volta obtidos para
cada ∆G é de ±0,05 mGal após serem efetuadas todas as correções. Caso o limite de tolerância seja
excedido o intervalo deverá ser redeterminado.
43
2.9. Estrutura da Crosta Terrestre e Teoria da Isostasia
2.9.1. Estrutura Interna da Terra
A relação entre anomalias e as características geomorfológicas e geológicas de uma área varia com
os diferentes tipos de reduções da gravidade.
A natureza da distribuição das anomalias em um mapa da gravidade é muito complexa. Juntamente
com as variações regionais do campo há um conjunto de anomalias locais de magnitudes variáveis,
todas diretamente ligadas com a estrutura da crosta e sua densidade variável.
A solução desse problema depende da estrutura geológica local da exatidão com que foram
determinadas as anomalias da gravidade, e do suficiente conhecimento da densidade.
A natureza do campo gravífico anômalo depende dos seguintes aspectos principais da estrutura da
crosta:
1) Variação em sua espessura geral e, em alguma proporção, das diferenças de densidade
da matéria subcrustal;
2) Existência de grandes perturbações tectônicas e das rupturas da crosta em blocos
diferentes;
3) Variação na espessura, composição, estrutura das diferentes camadas da crosta;
especialmente aquelas de composição sedimentar, granítica e basáltica;
Visto que o movimento da crosta é um único processo, todos esses fatores operam simultaneamente e
estão mutuamente interconectados, porém fatores diferentes terão, naturalmente, importância
preponderante em áreas diversas com condições tectônicas e estrutura geológica.
A complexidade e, freqüentemente, a impossibilidade de distinguir esses efeitos é o principal
obstáculo na interpretação geológica das anomalias da gravidade.
Os dados gravimétricos não possibilitam apenas extrair deduções a respeito das feições das camadas
superiores da Terra, mas também tornam possível, em combinação com dados sísmicos, construir um
modelo geral de sua estrutura interna.
As análises das propriedades das ondas elásticas no interior da Terra permitem deduzir que ela
consiste das seguintes camadas principais:
1) Camada superior ou crosta,
2) Camada média ou manto,
3) Núcleo
i.
ii.
A camada superior, ou crosta, da Terra tem uma estrutura cristalina e atinge uma
profundidade de 30 a 70 km abaixo dos continentes o 5 a 15 km sob os oceanos. Em seu
limite inferior, conhecido como descontinuidade de Mohorvicic ou (Moho), existe uma
súbita descontinuidade na densidade e uma elevação na velocidade de propagação das
ondas elásticas.
Na parte superior da camada intermediária, ou manto superior, a matéria se encontra em
estado plástico. Esta camada estende-se até uma profundidade da ordem de 1100 a l200
km, o em seu limite inferior ocorre um pequeno aumento na velocidade de propagação
44
iii.
das ondas elásticas e uma súbita elevação na densidade. A parte inferior do manto
estende-se até a profundidade de 3000 km, onde começa o núcleo.
O núcleo é praticamente impermeável às ondas transversais, enquanto que a velocidade
das ondas longitudinais diminui repentinamente
repentinamente (baixa elasticidade), o que implica que
ele se encontra em estado líquido. Existem razões,entretanto, para supor que sua parte
interior, com um raio entre 1260 e 1650 km, é sólida.
A gravidade é a principal força que dá forma à Terra e determina sua estrutura e composição interna.
É esta força que determina a concentração dos elementos mais pesados nas partes internas mais
profundas e dos mais leves na superfície ela também governa a estrutura concêntrica geral das
diversas camadas. Entretanto a Terra não tem sido capaz, no curso da evolução, de preservar uma
homogeneidade exata em suas camadas esferoidais concêntricas. Os distúrbios de homogeneidade
ocorrem principalmente nas camadas superiores, e causam reflexos no campo gravitacional. Os
afastamentos da gravidade de uma distribuição adequada algumas vezes aumentam e outras
diminuem, ou seja, as anomalias da gravidade são maiores quanto maiores forem as variedades de
densidades que compõem as camadas. A variação periódica da gravidade com o tempo fornece
informações a respeito da estrutura interior da Terra. A analise das variações da maré devida à
gravidade possibilitam-nos construir um modelo de variação de densidade em seu interior.
Figura 25. Estrutura interna da Terra. Distribuição de densidade por profundidade.
Dependendo da elasticidade da Terra existirá de alguma maneira uma correlação entre a altura real
da maré na crosta sólida e a deformação na superfície equipotencial; O fenômeno é muito complexo
se nós levarmos em conta a estrutura da Terra em camadas, e lembrarmos que a elasticidade media
da Terra dependerá da distribuição de densidade nas camadas. Para cada distribuição de densidade
adotada corresponde um tipo teórico definido de onda de maré. Um modelo da Terra pode ser
45
construído a partir de camadas de densidades diferentes, e a partir dele calcular as marés
teoricamente. Comparando-se a densidade calculada com aquelas observadas pode-se chegar a uma
distribuição mais provável de densidades. A fig. 28 mostra um diagrama dessa distribuição. É
evidente que a densidade varia abruptamente para profundidades de 0,2R, 0,57R e 0,87R (ou
profundidades da ordem de 1200, 3600 e 5600 km), que correspondem aos limites do manto superior
e do núcleo e à transição interna do estado líquido para o sólido.
2.9.2. Teoria da Isostasia
A crosta terrestre esta sempre tendendo a um estado de equilíbrio, que constantemente é perturbado
pelos vários processos de evolução e existência da Terra. Transformações tectônicas, processos de
sedimentação, alterações nos regimes glaciais em áreas de glaciação, tudo perturba o estado de
equilíbrio. As diferentes regiões da crosta onde esses fenômenos ocorrem começam a submergir ou
ao contrário se elevar, a fim de restaurar o equilíbrio perturbado. Este fenômeno é conhecido como
isostasia.
A compensação é claramente notada na distribuição das anomalias da gravidade, que são muito
menos afetadas pelo relevo do que seria de esperar em função do excesso real das massas externas.
Isso significaria que haveria uma grande anomalia positiva sob as montanhas e negativa acima dos
oceanos. Fazendo-se um apanhado de medidas gravimétricas tomadas em diferentes continentes e
sob diferentes condições de relevo, observa-se, entretanto, uma forte correlação negativa entre as
anomalias de Bouguer e o relevo topográfico, nas regiões em que a topografia está associada a
feições estruturais de grande porte, tais como grandes cadeias de montanhas. Uma compilação
estatística das anomalias Bouguer medidas na América do Norte segundo Garland (l970), mostra
bem esse efeito:
Localização das estações
gravimétricas
Anomalia do Bouguer
típica (mGal)
Estações costeiras
+ 17
Estações continentais
em áreas não montanhosas
- 28
Estações em áreas montanhosas
- 110
As evidências de que a estrutura da crosta é mais espessa sob os continentes e especialmente sob
montanhas, e fina abaixo das depressões, e especialmente nos oceanos, combina bem com a teoria da
isostasia.
A teoria do estado de equilíbrio da crosta evoluiu no meio do século passado. Supunha-se a
existência de deslocamento de material no interior da crosta em regiões de carga adicional, tal que a
uma profundidade definida seria observada em toda a terra uma pressão constante. Em regiões de
deficiência externa de massa de modo contrário haveria uma consolidação. A hipótese baseou-se em
descobertas experimentais de que a atração observada de massas montanhosas era menor do que seu
valor consideravelmente menor do que o calculado enquanto media o desvio da vertical num distrito
do Himalaia. O valor calculado para a estação de Dimargid foi 27,9" e o observado 5,2”. A única
conclusão correta foi considerar que se as montanhas atraem menos fortemente do que era de se
esperar da sua massa, deveria existir um déficit de massa sob elas. Desta hipótese foi formulada a
isostasia.
46
2.9.3- Considerações gerais sobre interpretação das anomalias da gravidade
As anomalias da gravidade, calculadas pelos métodos discutidos na secção 2.3, são amplamente
utilizadas para a obtenção de informação acerca da estrutura terrestre abaixo da superfície. Os
diferentes tipos de rochas que ocorrem tanto na crosta como abaixo dela possuem densidades
diferentes, o que nos leva a concluir que a densidade terrestre próxima a superfície é altamente
heterogênea. Em regiões nas quais está presente um excesso de massa sob a superfície, o valor
medido da gravidade é maior do que o normal, e existe uma tendência a se observar anomalias
positivas. Um dos problemas fundamentais da interpretação das anomalias da gravidade é, a partir da
configuração da anomalia observada, deduzir forma, localização e densidade de massas anômalas.
Usualmente essa configuração é representada por meio de perfis de anomalia ou por meio de mapas
de iso-anômalas.
Existem duas características do campo da gravidade terrestre que tornam impossível a interpretação
exata e única de anomalias da gravidade. A primeira delas, é que a gravidade em qualquer ponto
da superfície terrestre é determinada pela massa de toda a Terra. As variações de gravidade
causadas por corpos de pequenas dimensões freqüentemente se apresentam como pequenas
distorções na variação de g causada por corpos maiores as quais finalmente estão contidas na
variação global de g devida ao achatamento e à rotação terrestres. Os efeitos do achatamento e da
rotação são levados em conta no processo de cálculo das anomalias, pois os mesmos estão contidos
na gravidade normal. No entanto, qualquer que seja o método empregado, a separação da
superposição dos efeitos gravitacionais de corpos distintos nunca é completa e esse fato tem grande
importância no caso da prospecção gravimétrica, onde o interesse é focalizado em estruturas
extremamente localizadas e que produzem anomalias geralmente fracas.
A segunda característica acima referida consiste no fato de que é impossível determinar
univocamente a distribuição interna de massa de um corpo se for conhecido apenas o potencial
gravitacional exterior ao mesmo. Em outras palavras, existem distribuições de massa distintas (na
verdade um número infinito delas) que produzem um mesmo potencial gravitacional externo ao
corpo. Já nos defrontamos com essa propriedade quando vimos que todas as distribuições
radialmente simétricas de massa, desde que possuam mesma massa total M, são gravimetricamente
indistinguíveis de uma massa puntiforme de mesmo valor M, e, portanto, são também indistinguíveis
entre si.
Esse fato, que parece à primeira vista impossibilitar o uso da gravidade como ferramenta para a
investigação da distribuição de massa no interior da Terra, implica apenas que o problema é
indeterminado se nos restringirmos apenas aos dados gravimétricos. Pela combinação criteriosa de
dados gravimétricos com informações de natureza não gravimétrica tais como dados sísmicos,
magnetotelúricos, etc., freqüentemente é possível restringir a classe de soluções a umas poucas
possibilidades, sendo a escolha final feita em geral por considerações de natureza geológica. De fato,
pode-se afirmar que a grande maioria dos métodos de interpretação de dados gravimétricos depende
de uma estreita colaboração com outras áreas da Geofísica.
47
Anomalia da gravidade gerada por uma esfera homogênea
No caso da massa esférica é possível calcular precisamente a anomalia através de expressões simples
e, o que é importante, a análise relativamente fácil desse caso resulta em conclusões válidas, ao
menos qualitativamente, para o caso de anomalias causadas por outras distribuições de massa.
Figura 29a: Anomalia gerada por uma esfera homogênea
Seja uma esfera de raio R formada de massa com densidade uniforme ρ, situada a uma profundidade
h ≥ R abaixo da superfície da crosta terrestre a qual é formada de material de densidade ρ0 uniforme.
Despreza-se a curvatura da Terra, cuja superfície é assumida plana e horizontal; Na figura 29a, g é o
vetor gravidade em P na ausência da esfera, isto é, supondo a crosta homogênea de densidade ρ0. O
vetor ∆g é o campo gravitacional criado pela esfera em P, e é dado por:
∆ ,
II.70
onde l é o vetor de posição de P em relação ao centro da esfera C, e V e o volume da esfera. Note-se
que a intensidade do campo perturbador é determinada não pela densidade ρ da esfera, mas sim pelo
contraste de densidade ∆ρ = (ρ – ρ0 ). A quantidade ∆M =V(ρ – ρ0) é chamada de massa aparente da
esfera. Essa propriedade é absolutamente geral e pode ser enunciada como: ”O campo perturbador
de qualquer corpo é proporcional ao contraste de densidade entre o mesmo e o meio
circundante”.
O vetor ∆g pode ser decomposto em duas componentes sendo uma na direção de g, simbolizada por
∆g, e a outra perpendicular a g. Como ∆g é pequeno comparando a g, a variação do modulo de g é
determinada apenas pela componente ∆g, a qual é exatamente o valor da anomalia produzida pela
esfera no ponto P. Esta é outra propriedade geral: "A anomalia da gravidade gerada por uma
massa qualquer é a componente vertical do campo perturbador da massa".
massa".
Tendo em vista que ∆ |∆|
, por (II.70) vem:
∆ 48
"
! #
(II. 71)
A equação (II.71) exprime a anomalia da gravidade causada pela esfera no ponto P distante x da
vertical que passa pelo centro da esfera C. O perfil da anomalia correspondente pode ser visto na
figura 29b.
Figura 29b: Perfil da anomalia da gravidade gerada por uma esfera homogênea.
O máximo valor da anomalia ocorre para x = 0, ou seja, na vertical da esfera. Isso e razoável, pois
neste caso a distância à esfera é mínima. De (II.71), para x = 0, tem-se
∆() ∆*
,
+
II. 72
que é precisamente a intensidade campo de uma massa puntiforme M a uma distância h da mesma.
Combinando (II.71) e (II.72) podemos escrever:
~
∆ ∆,-./
/
01!2 4
3
(II. 73)
"
5
Calculemos, usando (II. 73), aquele valor x’, tal que
1
∆ 6 ∆()
2
isto é, queremos saber a que distância da vertical da massa a anomalia reduz-se a metade de seu valor
máximo.
Resulta:
9
6 2" 1 +
6 0,7664 +
49
ou
(II. 74)
O exame das equações (II. 72) e (II. 74) nos leva a duas conclusões:
i.
ii.
Considerando um valor ∆gmax fixo, quanto mais profunda a esfera, maior deve ser sua
massa para causar uma dada anomalia máxima. De falo, ∆M cresce com o quadrado
de h , para uma mesma intensidade da anomalia máxima.
O valor da anomalia cai à metade do máximo ∆gmax a uma distância x da vertical da
massa proporcional à profundidade h da mesma.
Esses dois fatos são representados graficamente, em escala, na figura 30, onde temos as dimensões
que uma esfera de dada densidade deve ter para produzir na superfície uma anomalia máxima préestabelecida. À esfera mais rasa, apenas profunda o suficiente para estar completamente contida na
crosta, corresponde-o perfil de anomalia A, e à esfera mais profunda corresponde o perfil B. É
importante observar que Perfil B é mais suave e afeta uma maior área da superfície terrestre que o
perfil A simplesmente porque a esfera B esta mais profunda que a esfera A e não porque a esfera B é
maior que a esfera A.
Figura 30. Perfis de anomalias da gravidade para esferas de profundidades diferentes e anomalias máximas iguais.
A equação (II.71) é determinada pela massa aparente da esfera e não por seu raio. Se o produto 4/3 π
R3 (ρ – ρ0) for constante, para uma dada profundidade h fixa, o perfil da anomalia é o mesmo
qualquer que seja o valor do raio R. Isso quer dizer que é impossível determinar univocamente o raio
R da esfera a partir do seu perfil de anomalia. Por outro lado, é perfeitamente possível determinar a
massa anômala ∆M da esfera e a profundidade h a que se encontra o seu centro C; De fato,
conhecido o valor x’ da distância para a qual a anomalia cai à metade de seu valor máximo e o valor
máximo ∆gmax, pela equação (1I . 74) acha-se o valor da profundidade h, a qual substituída em
(II;72) permite calcular o valor da massa aparente ∆M. Esta é toda a informação que a gravimetria
pode extrair do perfil de anomalia. Se, no entanto, dispusermos de informação adicional de origem
50
não gravimétrica, por exemplo, as densidades ρ e ρ0 (as quais podem ser determinadas por método
sísmico) então podemos calcular a massa real da esfera e o seu raio R. As conclusões acima, que são
evidentes para o caso da esfera continuam válidas para anomalias de corpos quaisquer e são
expressas pelos princípios:
a. "É sempre possível determinar a massa aparente de um corpo e a localização de seu
centro de gravidade com base apenas no mapa de anomalia da gravidade do corpo".
b. "A determinação da forma do corpo e a sua distribuição interna de densidade exige
informação adicional não gravimétrica para a sua determinação”.
c. "Qualquer que seja o corpo causador de anomalia gravimétrica, quanto mais profundo
estiver o corpo, maior será a área da superfície terrestre afetada por sua anomalia".
d. "Para produzir uma anomalia da gravidade perceptível, um dado corpo deve possuir
massa aparente tanto maior quanto mais profundo estiver”.
Com base nos princípios gerais acima discutidos, podemos inferir que as anomalias, classificadas
pela extensão da superfície terrestre que afetam são causadas por corpos de densidade anômala
localizados a diferentes profundidades. Assim temos:
Tipo de Anomalia
Localização das Massas Anômalas
Local
Crosta superior
Regional
Crosta Inferior e Manto Superior
Global
Manto e Núcleo
Devido à sua origem distinta e à ênfase a diferentes aspectos geofísicos associados a sua
interpretação é mais conveniente estudar os diferentes tipos de anomalias separadamente.
51
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