Unidade IV – Série 8

Pré-vestibular – Matemática
Caderno 1 – Unidade IV – Série 8
Resoluções
Segmento: Pré-vestibular
Coleção: Alfa, Beta e Gama
Disciplina: Matemática
Volume: 1
Unidade IV: Série 8
Base média: triângulos e trapézios
N
P
B
A
N
P
1. D
é base média, assim
//
, ou seja AB = 2 · PN = 12 cm
Analogamente AC = 2 · MN = 18 cm e CB = 2 · PM = 8 cm
Assim o perímetro é 12 cm + 18 cm + 8 cm = 38 cm.
PQ = EQ − EP = 7 − 4 = 3
∴ =
4
1
x
=
8
2
x
7
∴
5
b
e
1
1
− =
4
2
∴
B
=
4
x
7
−
2
1
+ +
6
1 6
B b
b B
6
5
x
5
2
1
x
2
4. C
8
b
B
2
b
B
3. Sejam b e B as bases do trapézio. Assim temos:
 +
 + =
=

⇒ 
⇒ =
=

−
=

 − =

Ou seja a base maior mede 11 cm e a menor 5 cm.
4
=
7
=
C
B 2
Q
E
temos:
=
=
= .
4
F
Q
=
Analogamente, no triângulo ACD, temos
D
A 2
Tomemos o triângulo ABD. Note que EP é base média, logo
D
A 2
P
E
2. B
e no triângulo ABC,
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5. E
DB
= 4 cm .
2
DB
O segmento PN é base média do triângulo CBD, assim, PN =
= 4 cm .
2
O segmento QP é base média do triângulo DAC, logo:
AC
QP =
= 6 cm
2
O segmento MN é base média do triângulo BAC, logo:
AC
= 6 cm
MN =
2
Assim, o perímetro pedido é:
2p = QM + MN + NP + PQ = 4 cm + 6 cm + 4 cm + 6 cm = 20 cm
O segmento QM é base média do triângulo ABD, assim, QM =
B
A
D
A
6. C
Q é ponto médio de
e M de
, logo AQ = AM.
Assim, o triângulo AQM é equilátero, ou seja, QM =
Analogamente, NP =
ℓ
2
ℓ
2
Seja T o ponto sobre PQ tal que PQ ⊥ TD .
Como DA B = 60°, temos que CD A = 120° e assim TDQ = 60°.
Temos: sen 60° =
3
ℓ
2
Analogicamente MN =
2
⋅
3
=
T
Q
2
Q
P
Logo,
QT
3 QT
ℓ 3
∴
=
∴ QT =
ℓ
QD
2
4
2
ℓ
.
=
.
O perímetro pedido é:
2p = MN + NP + PQ + QM =
ℓ ℓ 3 ℓ ℓ 3
+
+ +
=ℓ
2
2
2
2
2
(
)
3 +1
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=
M
Q
=
QM é base média do ∆ABD, logo
N
M
=
MN é base média do ∆BAC, logo
P
N
=
NP é base média de ∆CBD, logo
m
m
m
m
c
c
c
c
7
5
5
7
D 2C 2D
C
A
A 2B
B 2
Q
P
=
7. QP é base média de ∆DAC, logo
.
=
.
=
.
=
.
O perímetro do quadrilátero é:
2p = MN + NP + PQ + QM = 5 cm + 7 cm + 5 cm = 24 cm
8.
b
B
Seja CD = b e AB = B
Note que EF = b, logo AE + FB = B − b. Como o trapézio é isósceles, então
−
AE = FB, assim AE = FB =
.
=
−
2
+
b
−
B
b
b
2
2B
Do enunciado temos que CF =
b
2B
Temos então AF = AE + EF =
−
Assim, CF = AF, ou seja, CA F = ACF = 45°
Ou seja, a diagonal do trapézio forma 45° com uma das b ases.
a
2
D
C
2
B
A
D
C
B
A
9. D
NS é base média do trapézio ABCD, logo:
+
∴
+
=
NS =
T
P
R
M
a
2
T
P
R
M
2
NS também é base media do trapézio PTRM, logo:
+
∴
+
=
NS =
Temos assim:
DC + MR + NS + PT + AB = 2a + a + 2a = 5a
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b
B
2
Bm
10. A
Sejam b, B e Bm as bases menor, maior e média, respectivamente:
+
=
∴ =
b
2
B
2
=
b
3 2
b
+
B
3 4
=
B
⋅ ∴
Bm
e
=
b
3 2
=
B 2
b
Ou seja
Bm
Do enunciado
.
⋅ , isto é, Bm é 75% da base maior. Em outras
palavras, a base média é 25% menor que a base maior.
4