Resolução da Prova de Matemática Aplicada

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Resolução da Prova de Matemática Aplicada
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A figura abaixo é uma representação plana de certo apartamento, feita na escala 1: 200, ou seja, 1 cm
na representação plana corresponde a 200 cm na realidade.
Vão ser colocados rodapé e carpete no salão. Cada metro de rodapé custa R$ 14,00. O preço do
carpete é de R$ 20,00 o metro quadrado. Quanto vai ser gasto no total? O resultado que vai ser
obtido é aproximado, devido à presença de, pelo menos, uma porta.
Resolução
1 200
1
200
=
→ a = 700 cm = 7m;
=
→ b = 400 cm = 4 m;
2
b
3,5 a
perímetro = 2 (7 + 4) = 22; 14 x 22 = 308; área = 7 x 4 = 28; 20 x 28 = 560; 308 + 560 = 868
No total, o gasto vai ser de R$ 868,00.
1
2
Você usa a internet?
Observe os resultados de uma pesquisa sobre esse tema.
A pesquisa de 2009 foi feita em 500 domicílios e com 2000 pessoas com 10 anos ou mais de idade.
A Quantos domicílios pesquisados tinham acesso à internet em 2009?
B Em 2009, quantas pessoas disseram que usavam a internet?
C Considere que o gráfico das porcentagens de domicílios com acesso à internet, nos anos 2008,
2009 e 2010, seja formado por pontos aproximadamente alinhados. Faça uma estimativa da
porcentagem de domicílios com acesso à internet em 2010.
Resolução
A 27,4% x 500 = 137 domicílios
B 41,7% x 2 000 = 834 pessoas
C (0; 23,8); (1; 27,4) m = 3,6
y – 23,8 = 3,6x
Se x = 2, então y = 23,8 + 7,2 = 31; 31%
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Não existe um método único para resolver problemas. Em geral, é necessário experimentar, fazer
tentativas, desenhos, gráficos etc.
A Em um sítio, há vários cercados para guardar certo número de filhotes de cachorro. Se pusermos
4 cachorros em cada cercado, sobrarão dois cachorros; se pusermos 6 cachorros em cada
cercado, dois cercados ficarão vazios.
Quantos cachorros e quantos cercados há?
B O produto das idades de três crianças com mais de 1 ano é 231. Quantos anos tem a mais velha?
Resolução
A x = nº de cercados
y = nº de cachorros
4 x + 2 = 6 x − 12
 4x + 2 = y
 4x + 2 = y
→
→

2 x = 14
6( x − 2 ) = y 6 x − 12 = y
∴x = 7
B Se fatorarmos 231 em um produto de fatores primos, teremos: 231 = 3.7.11.
A mais velha tem 11 anos.
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O idioma da Álgebra é a equação. Para resolver um problema que envolva números ou relações entre
quantidades, é conveniente traduzir o problema da sua linguagem para a linguagem da Álgebra.
Resolva estes dois antigos problemas.
A Quatro irmãos têm 45 moedas de ouro. Se a quantia do primeiro aumenta em duas moedas, a
quantia do segundo diminui duas moedas, a do terceiro dobra e a do quarto se reduz à metade,
todos ficam com a mesma quantia de dinheiro. Quantas moedas tem cada um?
B Dois amigos decidem, caminhando em linha reta, encontrar-se em algum ponto do caminho
entre as suas casas. Um dos amigos diz ao outro:
“Como sou mais velho, caminho a cerca de 3 km por hora; você é muito mais novo e,
provavelmente, deve caminhar a cerca de 4 km por hora. Então, saia de casa 6 minutos depois
que eu sair e nos encontraremos bem na metade da distância entre nossas casas.”
Qual a distância entre as duas casas?
Resolução
A x + y + z + t = 45
x + 2 = y – 2 = 2z = 0,5 t
Os quatro irmãos têm 8, 12, 5 e 20 moedas de ouro.
B
1

3 t +  = 4t
 10 
3t + 0 ,3 = 4t
t = 0 ,3hora = 18 min utos
4.0,3=1,2
A distância entre as casas dos dois amigos é 2(1,2) = 2,4 km.
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A
Oito meias azuis idênticas e oito meias pretas idênticas estão em uma gaveta em um quarto
escuro. Quantas meias, no mínimo, uma pessoa deve apanhar para ter certeza de conseguir
1.
2.
B
um par de meias da mesma cor?
um par de meias azuis?
Bruna tem exatamente R$ 64,00. Ela aposta quatro vezes no lançamento de uma moeda. A cada
vez, aposta exatamente metade da quantia que tem. Bruna ganha ou perde a quantia apostada.
Ela vence em metade dos lançamentos da moeda. Qual será sua quantia no final?
Resolução
A 1. 3 meias
2. 10 meias
B Considere, por exemplo, que Bruna vence os dois primeiros lançamentos e perde os dois últimos.
• 1º lançamento: ela aposta R$ 32,00, vence e fica, então, com R$ 96,00.
• 2º lançamento: ela aposta R$ 48,00, vence e fica, então, com R$ 144,00.
• 3º lançamento: ela aposta R$ 72,00, perde e fica com R$ 72,00.
• 4º lançamento: ela aposta R$ 36,00, perde e fica com R$ 36,00.
No final, ela ficará com R$ 36,00, independente da ordem de ganhos e perdas.
x
3x
reais. Se ela ganha, fica com
reais, se perde fica com
2
2
x
3
1
reais. A quantia que tem é multiplicada por quando ganha e por quando perde. Ao final de 2
2
2
2
Em geral, Bruna tem x reais e aposta
2
3 1
2 2
2
vitórias e 2 derrotas, ela ficará com   .  .64 = 36 ; R$36,00.
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A descoberta de um campo de petróleo provocou um aumento nos preços dos terrenos de certa
região. No entanto, depois de algum tempo, a comprovação de que o campo não podia ser
explorado comercialmente, provocou a queda nos preços dos terrenos.
Uma pessoa possui um terreno nessa região, cujo valor de mercado, em reais, pode ser expresso pela
função f ( x ) = 2000.e 2 x − 0 ,5 x , em que x representa o número de anos transcorridos desde 2005.
Assim: f ( 0 ) é o preço do terreno em 2005, f ( 1 ) o preço em 2006, e assim por diante.
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A Qual foi o maior valor de mercado do terreno, em reais?
B Em que ano o preço do terreno foi igual ao preço de 2005?
C Em que ano o preço do terreno foi um décimo do preço de 2005?
Use as aproximações para resolver as questões acima:
... e 2 ≈ 7 ,4; ln 2 ≈ 0 ,7; ln 5 ≈ 1,6; 34 ,4 ≈ 6
Resolução
A
B
C
f ( 2 ) = 2000.e 2 = 14800 ; R$ 14 800,00.
1 = e 2 x − 0 ,5 x → x = 4 No ano 2009.
ln 0 ,1 = 2 x − 0 ,5 x 2 → x 2 − 4 x − 4 ,6 = 0 → x ≈ 5 . No ano 2010.
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A figura mostra o gráfico da função f ( x ) = 1 + x − 2 x 3 .
A Determine as soluções que não são números reais da equação f ( x ) = 0.
B Resolva a inequação: f ( x ) ≥ 1.
Resolução
A
f ( x ) = ( x − 1 ).( −2 x 2 − 2 x − 1 )
−1 + i
−1 − i
;x =
2
2
− 2
2
ou 0 ≤ x ≤
x≤
2
2
2x2 + 2x + 1 = 0 → x
B
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O quadrilátero ABCD é um quadrado e E, F, G e H são os pontos médios dos seus lados. Qual
superfície tem maior área: a branca ou a hachurada?
Resolução
•
l l 
 .  l2
superfície branca → Área = 4  2 2  =
 2  2


•
l 2 
l2


superfície hachurada → Área =
 2  = 2


2
As duas superfícies têm áreas iguais
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Atenção:
No enunciado original, ao invés de “... volume 5175 cm3”, está escrito “... volume 5175cm2”.
O próprio candidato deve ter percebido, corrigido o erro e resolvido sem dificuldades a questão.
No entanto, qualquer observação dele será analisada pela banca de correção.
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Em uma lata cilíndrica fechada de volume 5175 cm3, cabem exatamente três bolas de tênis.
A Calcule o volume da lata não ocupado pelas bolas.
B Qual é a razão entre o volume das três bolas e o volume da lata?
Resolução
A
π r 2 .6r = 5175 → r 3 =
5175
6π
 4 5175 
V3bolas = 3. π .
 = 3450
6π 
3
O volume não ocupado pelas bolas é igual a 5175 – 3450 = 1725 cm3.
4

3 π r 3 
3
 = 2.
B razão =  2
π r .6 r
3
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A Considere os números complexos z1 = 1 + i ; z2 = 2( 1 + i ) , em que i é o número complexo tal
que i 2 = −1.
Represente, no plano cartesiano, o triângulo cujos vértices são os afixos dos números complexos
z1 + z2 , z2 − z1 e z1 z2 . Calcule a sua área.
B A razão de semelhança entre um novo triângulo, semelhante ao triângulo original, e o triângulo
original, é igual a 3. Qual é a área desse novo triângulo?
Resolução
A
 3.1 ( 1 + 3 )2 ( 1 + 4 )1 
+
+
=4
2
2 
 2
Área = 3.4 − 
B
área
= 32 → área = 36
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Fim da Prova de Matemática Aplicada
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