As Sucessões e os Fractais - Pavilhão do Conhecimento

ACTIVIDADE:
“As Sucessões e os Fractais”
Actividade desenvolvida pela Escola Secundária com 3º ciclo Padre António Vieira.
ENQUADRAMENTO CURRICULAR: Alunos do Secundário (11º ano)
Conteúdos Específicos:
Convergência de uma sucessão
Soma dos termos de uma progressão geométrica
Figuras autosemelhantes
Dimensão de autosemelhança / Dimensão topológica
Noção de fractal
Princípio de indução matemática
DESCRIÇÃO:
A actividade começa com o Jogo do Caos. Um triângulo desenhado
numa folha de papel, uma caneta e um dado, depois de apresentadas as
regras do jogo, são postos a circular rotativamente entre todos os alunos,
de modo que diariamente um deles contribua com um conjunto de pontos
para a visualização do Tapete de Sierpinski.
Neste momento é logo posta a questão
¿ Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos, …
passos?
Passado algum tempo o trabalho prossegue em sala de aula com 7 fichas:
O Tapete de Sierpinski — aparece pela primeira vez o Tapete de
Sierpinski e é usado para motivar o estudo da convergência de uma
sucessão.
Resolvida esta ficha é pedido o Jogo do Caos e posta novamente a
questão
¿Alguma previsão quanto à figura desenhada ao fim de muitos, muitos,
… passos?
A Curva de Koch — aparece pela primeira vez a curva de Koch e é
usada para motivar o estudo da soma de todos os termos de uma
progressão geométrica;
Figuras autosemelhantes — são explorados o Tapete de Sierpinski e a
Curva de Koch como figuras autosemelhantes, mais, como figuras
estritamente autosemelhantes e os alunos são direccionados para
encontrar em cada uma das figuras uma relação constante entre o
factor de redução e o número de cópias em que a figura se
decompõe;
Dimensão de autosemelhança e dimensão topológica — é
retomada a relação constante encontrada na ficha “Figuras
autosemelhantes” e dado-lhe o nome de dimensão de
autosemelhança.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Geometria fractal — são reunidas as características principais já
encontradas no Tapete de Sierpinski e na Curva de Koch, e
introduzido pela primeira vez o termo Fractal. É feita uma breve
referência ao nascimento dos fractais e às preocupações
matemáticas que a eles conduziram;
Um fractal tridimensional — é feita a construção de um fractal
tridimensional (o que está no Pavilhão do Conhecimento ligado às
Torres de Hanoi) com papel e dobragens;
Fractais com Sketchpad — é feita a construção da Curva de Koch e
do Tapete de Sierpinski com recurso ao Sketchpad.
Para além do trabalho desenvolvido em sala de aula, pressupõe uma visita
à Exposição Matemática Viva do Pavilhão do Conhecimento.
MATERIAIS:
Fichas de Trabalho;
Papel, tesoura e cola;
Software de Geometria Dinâmica — Geometer’s Sketchpad;
Enciclopédia web;
Módulos que integram a Exposição Matemática Viva: Atractor de
Sierpinski, Torres de Hanoi, Modelo fractal e Pilha de esferas.
SUGESTÕES:
Quanto ao trabalho desenvolvido em sala de aula:
Poderá ser feito a pares e ocupar 4 blocos de 90 minutos;
Para obviar às limitações habituais de tempo e equipamento
informático o uso do Sketchpad pode limitar-se à exploração de
sketches e scripts previamente construídos.
Quanto à visita à Exposição Matemática Viva:
Poderá ser feita com vantagem após o lançamento do Jogo do
Caos e a resolução das Fichas: “O Tapete de Sierpinski” e “A Curva
de Kock”, o que permitirá por um lado ter os alunos despertos para a
temática e por outro contactar com novos modelos fractais;
Poderá ser canalizada com vantagem para os módulos intimamente
relacionados com as sucessões e os fractais, bastando para isso a
construção de um pequeno guião;
Poderá ser usado o cib@rcafé para consultar uma enciclopédia web
com vista a obter informação complementar sobre fractais e
enriquecer o álbum de imagens visualizadas.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO 1
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“O Tapete de Sierpinsky”
No princípio do séc. XX o matemático polaco Waclaw Sierpinski estudou
uma figura geométrica que ficou conhecida por Tapete de Sierpinski. A sua
construção baseia-se no seguinte processo recursivo:
• A figura de partida é um triângulo. Embora não seja necessário que seja
equilátero, vamos trabalhar sobre essa versão e chamar-lhe o “tapete
inicial”;
• A primeira transformação consiste na abertura de um “buraco”
triangular nesse tapete que é definido pelos pontos médios dos lados do
triângulo inicial;
• Na segunda transformação repetir-se-á o processo de construção sobre
cada um dos três triângulos intactos do tapete. E para as figuras
seguintes o processo repete-se. Obtém-se assim a seguinte sequência
de figuras:
Geração zero
Geração 1
Geração 2
Geração 3
Geração 4
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Imagina agora o processo repetido indefinidamente, a figura limite obtida
é que é o Tapete de Sierpinski. És capaz de identificar pontos que façam
certamente parte do Tapete de Sierpinski?
Certamente identificaste os lados do triângulo inicial assim como os lados
dos triângulos que vão sendo criados.
Tomando para unidade a área do triângulo inicial, para quanto te parece
tender a área do tapete (a branco) e a área “esburacada” (a preto)?
Para testares as tuas conjecturas:
1. Olha as quatro primeiras transformações representadas e calcula os
quatro primeiros termos das sucessões (Bn) (sucessão das áreas preenchidas
por triângulos brancos) e (Pn) (sucessão das áreas preenchidas por
triângulos pretos).
2. Procura os termos gerais das sucessões (Bn) e (Pn).
3. Visualiza os seus gráficos.
4. Averigua se cada uma das sucessões é:
• monótona;
• limitada.
Viste que:
• a sucessão
(Bn)
é limitada inferiormente por zero e porque
decrescente, à medida que n aumenta Bn “vai-se aproximando cada
vez mais” de zero.
• A sucessão (Pn) é limitada superiormente por um e porque crescente,
à medida que n aumenta Pn “vai-se aproximando cada vez mais” de
um.
Precisemos melhor o significado de “vai-se aproximando cada vez mais”.
5. a) Para isso tabela a sucessão (Pn) e procura a ordem depois da qual
todos os seus termos são valores aproximados de um a menos de:
• 0, 1
• 0, 01
• 0, 001
b) O que te parece, se aumentares o grau de aproximação δ , continuarás
a obter uma ordem depois da qual todos os termos da sucessão são
valores aproximados de um a menos de δ ?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
6. a) Tabela agora a sucessão (Bn) e procura a ordem depois da qual todos
os seus termos são valores aproximados de zero a menos de:
• 0, 1
• 0, 01
• 0, 001
b) O que te parece, se aumentares o grau de aproximação δ , continuarás
a obter uma ordem depois da qual todos os termos da sucessão são
valores aproximados de zero a menos de δ ?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO 2
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“A Curva de Koch”
Em 1904 o matemático sueco Helge Van Koch estudou uma figura
geométrica que ficou conhecida por Curva de Koch ou Curva floco de
neve. A sua construção baseia-se no seguinte processo recursivo:
• A figura de partida é um triângulo equilátero;
• A primeira transformação consiste na divisão de cada um dos lados do
triângulo em três segmentos iguais, construindo-se sobre cada um dos
segmentos centrais um novo triângulo equilátero;
• Na segunda transformação repetir-se-á o processo de construção sobre
cada um dos lados da figura obtida anteriormente. E para as figuras
seguintes o processo repete-se. Obtém-se assim a seguinte sequência
de figuras:
Geração zero
Geração 1
Geração 3
Geração 2
Geração 4
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Imagina agora o processo repetido indefinidamente, a figura limite obtida
é que é a Curva de Koch.
Tomando para unidade de comprimento o lado do triângulo inicial
determina:
• o comprimento da curva de Koch;
• a área delimitada pela curva de Koch.
Para isso:
a) 1. Completa o quadro seguinte:
Fase
0
1
2
3
N
Nº total de
segmentos
Comprimento de
cada segmento
Soma dos
comprimentos de
todos os
segmentos
2. Qual o comprimento da linha obtida na n-ésima transformação?
3. Qual o comprimento da curva de Koch?
Surpreendido?
b) 1. Qual a área do triângulo inicial?
2. Completa o quadro seguinte:
Fase
Nº de triângulos
acrescentados à
figura anterior
1
2
Área de cada um
dos novos triângulos
Área da figura
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
3
n
3. Qual a área delimitada pela curva de Koch?
Surpreendido?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO 3
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“Figuras autosemelhantes”
Estudaste nos últimos tempos duas figuras geométricas com uma
característica comum, a sua construção baseia-se num processo recursivo.
Recorda-o:
Geração zero
Geração 1
Geração 2
Geração 3
Geração 4
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Geração zero
Geração 1
Geração 3
Geração 2
Geração 4
Repetindo o processo indefinidamente ficamos com as figuras limite:
A. Tapete de Sierpinsky
B. Curva de Koch
Imagina-as
A obtenção por um processo recursivo não é a única característica
comum às duas figuras, vejamos outra — autosemelhança.
Tal como a palavra leva a inferir, numa figura autosemelhante partes da
figura são semelhantes ao todo, são cópias reduzidas do todo.
¿ Tal acontece no Tapete de Sierpinsky?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
1. Olha atentamente as cinco primeiras gerações.
Na geração 4 encontras alguma cópia da geração 4?
E da geração 3 / 2 / 1 / 0?
Com que factor de redução?
Como certamente concluíste na geração 4 não há nenhuma cópia da
geração 4, logo esta geração não é autosemelhante, mas há cópias:
da geração 3 com factor de redução 1/2
da geração 2 com factor de redução 1/4
da geração 1 com factor de redução 1/8
da geração 0 com factor de redução 1/16
2. Olha mais uma vez atentamente a geração 4, agora nestes dois
exemplares
e vê o que lhe falta para conter uma sua cópia com factor de redução
1/2.
Podes encontrar isso na geração seguinte?
Então tendo presente que o Tapete de Sierpinsky contém “todas” as
gerações, o que te parece, no Tapete de Sierpinsky é possível encontrar
cópias reduzidas do próprio Tapete? Com que factores de redução?
Como certamente concluíste o Tapete de Sierpinsky é uma figura
autosemelhante e nela podem ser encontradas cópias com factores de
redução 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …
¿ O mesmo acontece à Curva de Koch?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
3. Olha atentamente as cinco primeiras gerações fixando-te num dos lados
do triângulo inicial
e completa de todas as maneiras possíveis
Na geração 4 aparecem cópias da geração ………. com factor de
redução ……….
4. Então que conclusões podes tirar?
Cada uma das gerações é autosemelhante? E a curva de Koch? Porquê?
Como viste no Tapete de Sierpinsky é possível encontrar cópias com
factores de redução 1/2, 1/4, 1/8, ... e na Curva de Koch com factores de
redução 1/3, 1/9, 1/27, …
Mais, quer o Tapete de Sierpinsky quer a Curva de Koch são totalmente
decomponíveis em cópias com aqueles diferentes factores de redução
(não esqueças que o “Tapete de Sierpinsky” é o que está a branco), por
isso dentro das figuras autosemelhantes dizem-se estritamente
autosemelhantes.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
Repara que nem sempre uma figura autosemelhante o é estritamente,
olha as cinco primeiras gerações de outra:
e imagina o processo repetido indefinidamente.
Na figura limite vais encontrar cópias do todo com infinitos factores de
redução, logo a figura é autosemelhante, mas a figura não é totalmente
decomponível em cópias com esses diferentes factores de redução, logo
não é estritamente autosemelhante.
5. Conta agora o número de cópias em que o Tapete de Sierpinsky e a
Curva de Koch são decomponíveis.
Para isso considera a geração 4 como sendo a figura limite e completa:
Tapete de Sierpinsky
Factor de
Nº de cópias N
redução r
1/2
1/4
1/8
…..
(1/2)n
Curva de Koch
Factor de
Nº de cópias N
redução r
1/3
1/9
1/27
…..
(1/3)n
6. Verifica que, quer no Tapete de Sierpinsky quer na Curva de Koch, existe
uma relação constante entre o factor de redução r e o número de
cópias N em que se decompõe, um número D tal que
1
N= D
r
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
7. Entre que números inteiros fica compreendido D ? Porquê?
Procura um seu valor aproximado às centésimas para cada uma das
figuras.
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
FICHA DE TRABALHO 4
Nome: __________________________________________________ Data: __________
“Dimensão de autosemelhança e dimensão
topológica”
Concluíste que o Tapete de Sierpinsky e a Curva de Koch são figuras
estritamente autosemelhantes e que, em cada uma delas, existe uma
relação constante entre o factor de redução r e o número de cópias N
em que se decompõe, um número D tal que
N=
1
rD
sendo o seu valor aproximado às centésimas 1,58 e 1,26 respectivamente.
Tal número designa-se de dimensão de autosemelhança.
Façamos agora uma incursão por figuras já tuas conhecidas e para as
quais já ouviste falar em dimensão: o segmento de recta, o quadrado, o
cubo. Que dimensão atribuis a cada uma delas?
¿ Será que também estas são figuras estritamente autosemelhantes?
Isto é, é possível decompor um segmento de recta / um quadrado / um
cubo em cópias reduzidas da mesma?
Certamente concluíste que sim.
¿Então qual será a dimensão de autosemelhança de cada uma delas?
¿Será que esta coincide com a dimensão que habitualmente lhe atribuis —
dimensão topológica?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
1. Considera um segmento de recta e conta o número de cópias N com
factor de redução r em que se decompõe, completando o quadro:
Factor de redução r
1/2
1/3
1/4
…..
1/n
Então qual é o número D tal que N =
Nº de cópias N
1
?
rD
2. Considera em seguida um quadrado e procede analogamente:
Factor de redução r
1/2
1/3
1/4
…..
1/n
Então qual é o número D tal que N =
Nº de cópias N
1
?
rD
3. Por último considera um cubo e procede analogamente:
Factor de redução (r)
1/2
1/3
1/4
…..
1/n
Então qual é o número D tal que N =
Nº de cópias (N)
1
?
rD
Como vês para estas três figuras a dimensão topológica coincide com a
dimensão de autosemelhança.
¿O mesmo acontecerá com o Tapete de Sierpinsky e a Curva de Koch?
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
4. Olha a Curva de Koch na figura seguinte:
PAVILHÃO DO CONHECIMENTO – CIÊNCIA VIVA
ERROR: undefined
OFFENDING COMMAND: ‘~
STACK: