IYPT- INTERNATIONAL YOUNG PHYSICISTS

IYPT- INTERNATIONAL YOUNG PHYSICISTS’ TOURNAMENT
2015
JOÃO MARCOS BRANDET
PROBLEMA 1
INTRODUÇÃO
Qual é a forma mais compacta de empilhar esferas de mesmo raio? Este
é um problema que sempre interessou aos produtores de laranjas ou maçãs
que querem, com razão, economizar engradados. Em 1611, Johannes Kepler
sugeriu que a forma mais eficiente de empilhar objetos esféricos, como
laranjas, era em uma formação de pirâmide. Infelizmente, ele não conseguiu
provar o que ficou chamado de conjectura de Kepler. Acontece que o problema
revelou-se mais difícil do que aparentava inicialmente. Quem conseguiu fazer
essa demonstração, já no século 19, foi o grande matemático Karl Gauss. Na
verdade, o que Gauss demonstrou foi que o arranjo CFC é o mais denso dos
arranjos regulares. Em um arranjo regular, há uma periodicidade na disposição
dos planos de esferas. A demonstração de Gauss, portanto, não inclui a
possibilidade de haver um arranjo desordenado mais denso que o arranjo
CFC.Para visualizar o arranjo "cúbico de face centrada" (CFC) imagine um
cubo e coloque uma esfera em cada vértice desse cubo. Depois, coloque uma
esfera no centro de cada face do cubo. Todas as esferas devem ter o mesmo
raio.
Por
fim,
imagine
que
cada
aresta
do
cubo
vai
encolhendo
simultaneamente até que cada esfera encoste em outras vizinhas e o
encolhimento não possa prosseguir. A figura abaixo mostra, à esquerda, a
1
estrutura CFC antes do colapso das arestas do cubo. A figura à direita mostra a
estrutura já compactada.
Vemos a disposição das esferas nas imagens a seguir
Um bom exercício de geometria espacial, que recomendamos, consiste em
mostrar que a densidade dos arranjos CFC ou HCP vale:
E para partículas não-esféricas,quais características como o número de
coordenação, a orientação ou a fração de empacotamento aleatório( random
colose packing) dependem dos parâmetros relevantes ?É o que veremos neste
trabalho.
EMBASAMENTO TEÓRICO E METODOLOGIA
RANDOM CLOSE PACKING
Analisando a fração de empacotamento aleatório ( random close packing)
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Random close packing (RCP) é um parâmetro empírico utilizado para
caracterizar a fração de volume máximo de objetos sólidos obtidos quando eles
são embalados aleatoriamente. Por exemplo, quando um recipiente sólido está
cheio de grãos, agitando-o irá reduzir o volume ocupado por objetos,
permitindo assim que mais de grãos sejam colocados no interior do recipiente .
Em outras palavras, agitação aumenta a densidade dos objetos embalados.
RCP não tem uma definição geométrica precisa. Ela é definida
estatisticamente, e os resultados são empíricos. Um recipiente é cheio com
objetos de forma aleatória, e, em seguida, o recipiente é agitado ou batido até
que os objetos não compactem ainda mais, neste ponto, o estado de
empacotamento é RCP. A definição da fração de empacotamento pode ser
dada como: "o volume feito pelo número de partículas num determinado
espaço do volume". Em outras palavras, fração de empacotamento define a
densidade de empacotamento. Demonstrou-se que a fração de enchimento
aumenta com o número de toques até que a densidade de saturação seja
atingida. Além disso, a densidade de saturação aumenta à medida que diminui
a amplitude “tapping”. Assim RCP é a fração de empacotamento dado pelo
limite quando a amplitude de toque vai para zero, e o limite como o número de
toques vai para infinito.
A fração de volume de partículas em RCP depende dos objetos que
estão sendo embalados. Se os objetos são polidispersos, em seguida, a fração
de volume depende não- trivialmente sobre a distribuição de tamanho e pode
ser próximo de 1. Para objetos monodispersos o valor para a RCP depende da
forma do objeto; para esferas é 0,64; para balas tipo M & M é de 0,68.
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Esse tema tem sido muito discutido em debates físicos e matemáticos.
Diversos matemáticos têm desenvolvido fórmulas para resolver as questões
que envolvam a RCP.Uma dessas fórmulas é o modelo de CarmanKozeny,conforme o que vemos abaixo:
Onde
K – permeabilidade (m2)
– porosidade (dimensões)
d – diâmetro esférico (m)
k – constante de Kozeny-Carman
A equação de Kozeny–Carman
Rumpf e Gupte também desenvolveram uma fórmula para entender melhor
esse tema:
NÚMERO DE COORDENAÇÃO
Na ciência dos materiais, o número de coordenação em grandes
quantidades de um determinado átomo no interior de uma estrutura de cristal é
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o número de átomos que tocam na molécula dada. Ferro de engomar a 20 ° C
tem um corpo cúbico centrado (BCC) de cristal em que cada átomo de ferro
interior ocupa o centro de um cubo formado por oito átomos vizinhos de ferro.
O número de coordenação em massa para essa estrutura é, portanto, 8.
O número de coordenação em massa mais alta é 12, encontrado no
HCP ( hexagonal close-packed) e no CCP (cubic close-packed). Este valor de
12 corresponde ao limite teórico do número do problema quando todas as
esferas são idênticas.
As duas formas alotrópicas mais comuns de carbono têm diferentes
números de coordenação. No diamante, cada átomo de carbono está no centro
de um tetraedro formado por outros quatro átomos de carbono, de modo que o
número de coordenação é quatro, como para o metano. A grafite é feito de
camadas bidimensionais, no qual cada carbono está ligado de forma covalente
a outros três átomos de carbono. Os átomos em outras camadas são muito
mais distantes e não são vizinhos mais próximos, de modo que o número de
coordenação de um átomo de carbono na grafite é 3 como em etileno.
Estruturas iónicos simples são descritas por número de coordenação
dois, um para cada tipo de ion. Fluoreto de cálcio é uma (8, 4) estrutura, o que
significa que cada cátion Ca² + é cercado por oito F- vizinhos ânions e cada
ânion F- por quatro Ca² +. Para o cloreto de sódio (NaCl), o número de cations
e anions são iguais, e ambos são números de coordenação de seis, de modo
que a estrutura é (6, 6).
Para um átomo de cada superfície de um cristal, o número de
coordenação de superfície é sempre menor do que o número de coordenação
grandes quantidades. O número de coordenação de superfície é dependente
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dos índices de Miller da superfície. Em um BCC o número de coordenação
maior é 8, que, para o de superfície (100), o número de coordenação superfície
é 4.
Diferentes índices de Miller
6
BBC- Ferro
Onde
Então
.
Logo,
Dependendo do tipo e da posição com que se encontram os grãos de
arroz,por exemplo, poderão haver variações no interior de uma caixa,ou seja,
poderá caber ou não mais grãos na caixa.
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Para entendermos melhor esse problema da IYPT, foram realizados
experimentos.
Conforme o que mostra nas imagens em anexo, foram pegos 200 grãos
de arroz da marca Prato Fino tipo parboilizado e colocados numa caixa de chá.
Essa quantidade de grãos encheu a caixa. Depois que foram colocados na
caixa,a caixa foi agitada e percebeu-se que cabiam mais grãos.Foram
adicionados 50 grãos de arroz.A caixa foi agitada novamente e percebeu-se
que cabiam ainda mais grãos.
Com o experimento anterior, conclui-se que quanto mais agitada é a
caixa, mais grãos poderemos adicionar no recipiente.
Quando agitamos a
caixa, a posição dos grãos de arroz muda. Mudando a posição, cabem mais
grãos.
O mesmo procedimento do experimento anterior foi feito para grãos de
feijão e soja. Foram colocados 152 grãos de soja e posteriormente a caixa foi
agitada.Percebeu-se que cabiam mais grãos.Foram adicionados 24 grãos de
soja, a caixa foi agitada e percebeu-se o mesmo resultado do experimento com
arroz.
Se observarmos um sólido ou analisarmos o centro de massa, temos
que:
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A posição de uma partícula não- esférica em relação à caixa pode ter um
ângulo,expresso por:
Pois,
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Onde,
Analisando a posição do objeto, temos que:
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CONCLUSÃO
A necessidade de estudar de que maneira características como o
número de coordenação, a orientação ou a fração de empacotamento aleatório
(random close packing) dependem dos parâmetros relevantes é de extrema
importância.Através desse estudo pode-se saber mais sobre como aproveitar
mais o espaço de pacotes e embalagens.
Conhecendo e analisando as variáveis apresentadas por esse trabalho
pode-se economizar embalagens e aumentar a quantidade de grãos por
pacote. Dependendo do tipo de grão de arroz,palitos de fósforo ou balas tipo
M&M’s, podem haver variáveis que facilitam o entendimento e a compreensão
de espaço ocupado pelos objetos no interior de uma caixa.
A temperatura no interior da caixa, a quantidade de espaços vazios
dentro da caixa e o ângulo formado entre, por exemplo, um grão de arroz e a
parede da caixa são fatores que podem depender dos parâmetros relevantes
apresentados nesse projeto.
Random Close Packing é um assunto muito discutido e que poderá
ajudar na economia de embalagens e no aumento do armazenamento de
objetos no interior de recipientes.
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REFERÊNCIAS
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Wikipedia:
Random
close
pack,
https://en.wikipedia.org/wiki/Random_close_pack
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