Domínio, Contradomínio e Imagem
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Domínio, Contradomínio e Imagem
Domínio, Contradomínio e Imagem Definição (domínio, contradomínio e imagem de função) Transformações Lineares Seja f : X → Y uma função. Dizemos que: Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f (X ) Função Inversa Inversa de TL X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30 Domínio, Contradomínio e Imagem Definição (domínio, contradomínio e imagem de função) Transformações Lineares Seja f : X → Y uma função. Dizemos que: Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f (X ) Função Inversa Inversa de TL X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30 Domínio, Contradomínio e Imagem Definição (domínio, contradomínio e imagem de função) Transformações Lineares Seja f : X → Y uma função. Dizemos que: Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f (X ) Função Inversa Inversa de TL X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30 Domínio, Contradomínio e Imagem Definição (domínio, contradomínio e imagem de função) Transformações Lineares Seja f : X → Y uma função. Dizemos que: Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f (X ) Função Inversa Inversa de TL X Y X é o domínio; Y é o contra-domínio e {y ∈ B; y = f (x) para algum x ∈ X } é a imagem, denotada Im(f ) ou f (X ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 1 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções Injetiva, Sobrejetiva e Bijetiva Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Definição (função injetiva, sobrejetiva e bijetiva) Seja f : A → B uma função. Dizemos que f é: injetiva se f (u) = f (v ) implica que u = v . No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido no máximo uma vez. Inversa de TL sobrejetiva se f (A) = B. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido pelo menos uma vez. bijetiva se é injetiva e sobrejetiva. No diagrama, cada elemento do contra-domínio é atingido exatamente uma vez. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 2 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 1 Exemplo (função injetiva) Transformações Lineares f : R → R2 definido por f (x) = (x, x). Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão f Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R é o domínio R2 é o contra-domínio É injetiva: f (x) = f (y ) ⇒ (x, x) = (y , y ) ⇒ x = y Não é sobrejetiva: (1, 2) 6= f (x) = (x, x) ∀x ∈ R A imagem de f é a reta y = x. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 3 / 30 Funções – Exemplo 2 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo (função sobrejetiva) f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y . Núcleo e Imagem R2 é o domínio composição de TLs/produto de matrizes R é o contra-domínio Função Inversa Inversa de TL Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0)) tal que f (x) = f (y , 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Funções – Exemplo 2 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo (função sobrejetiva) f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y . Núcleo e Imagem R2 é o domínio composição de TLs/produto de matrizes R é o contra-domínio Função Inversa Inversa de TL Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0)) tal que f (x) = f (y , 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Funções – Exemplo 2 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo (função sobrejetiva) f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y . Núcleo e Imagem R2 é o domínio composição de TLs/produto de matrizes R é o contra-domínio Função Inversa Inversa de TL Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0)) tal que f (x) = f (y , 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Funções – Exemplo 2 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo (função sobrejetiva) f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y . Núcleo e Imagem R2 é o domínio composição de TLs/produto de matrizes R é o contra-domínio Função Inversa Inversa de TL Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0)) tal que f (x) = f (y , 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Funções – Exemplo 2 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo (função sobrejetiva) f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y . Núcleo e Imagem R2 é o domínio composição de TLs/produto de matrizes R é o contra-domínio Função Inversa Inversa de TL Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0)) tal que f (x) = f (y , 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Funções – Exemplo 2 Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo (função sobrejetiva) f : R2 → R definido por f (x, y ) = x + y . Núcleo e Imagem R2 é o domínio composição de TLs/produto de matrizes R é o contra-domínio Função Inversa Inversa de TL Não é injetiva: f (1, 0) = f (0, 1) É sobrejetiva: dado y ∈ R (elemento do contra-domínio), existe x ∈ R2 (por exemplo, x = (y , 0)) tal que f (x) = f (y , 0) = y A imagem de f é R Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 4 / 30 Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) Transformações Lineares T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: Revisão de Funções T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ). Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R. Função Inversa Inversa de TL Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) Transformações Lineares T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: Revisão de Funções T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ). Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R. Função Inversa Inversa de TL Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) Transformações Lineares T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: Revisão de Funções T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ). Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R. Função Inversa Inversa de TL Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) Transformações Lineares T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: Revisão de Funções T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ). Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R. Função Inversa Inversa de TL Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) Transformações Lineares T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: Revisão de Funções T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ). Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R. Função Inversa Inversa de TL Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 Definição de Transformação Linear Definição (transformação linear) Transformações Lineares T : V → W é dita linear se preserva combinações lineares: Revisão de Funções T (α~u + ~v ) = αT (~u ) + T (~v2 ). Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes para todo ~u , ~v ∈ V e α ∈ R. Função Inversa Inversa de TL Observação Uma função é linear se e só se preserva soma vetorial e multiplicação por escalar. Se T é linear, T (0) = T (−0 + 0) = − T (0) + T (0) = 0 Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 5 / 30 TL – Notação Notação Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Observação Inversa de TL Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30 TL – Notação Notação Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Denotamos por L(U; V ) o conjunto de todas as transformações lineares de U em V . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Observação Inversa de TL Veremos que L(U; V ), munido de operações adequadas, é espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 6 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 1 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , −x1 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = T (αx1 + y1 , αx2 + y2 , αx3 + y3 ) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = (αx3 + y3 , −(αx1 + y1 )) Função Inversa Inversa de TL = α(x3 , −x1 ) + (y3 , −y1 ) = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 7 / 30 TL – Exemplo 2 Transformações Lineares T : Rn → Rm é linear? x 7→ Am×n x Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = A(αx + y) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = αAx + Ay Função Inversa Inversa de TL = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 TL – Exemplo 2 Transformações Lineares T : Rn → Rm é linear? x 7→ Am×n x Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = A(αx + y) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = αAx + Ay Função Inversa Inversa de TL = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 TL – Exemplo 2 Transformações Lineares T : Rn → Rm é linear? x 7→ Am×n x Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = A(αx + y) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = αAx + Ay Função Inversa Inversa de TL = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 TL – Exemplo 2 Transformações Lineares T : Rn → Rm é linear? x 7→ Am×n x Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = A(αx + y) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = αAx + Ay Função Inversa Inversa de TL = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 TL – Exemplo 2 Transformações Lineares T : Rn → Rm é linear? x 7→ Am×n x Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = A(αx + y) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = αAx + Ay Função Inversa Inversa de TL = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 TL – Exemplo 2 Transformações Lineares T : Rn → Rm é linear? x 7→ Am×n x Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (αx + y) = A(αx + y) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes = αAx + Ay Função Inversa Inversa de TL = αT (x) + T (y) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 8 / 30 TL – Exemplo 3 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (1, 1, 1) = (1, 1) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Inversa de TL Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 TL – Exemplo 3 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (1, 1, 1) = (1, 1) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Inversa de TL Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 TL – Exemplo 3 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (1, 1, 1) = (1, 1) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Inversa de TL Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 TL – Exemplo 3 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (1, 1, 1) = (1, 1) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Inversa de TL Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 TL – Exemplo 3 T : Transformações Lineares R3 → R2 é linear? (x1 , x2 , x3 ) 7→ (x3 , x1 x2 ) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão T (1, 1, 1) = (1, 1) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (2, 2, 2) = (2, 4) 6= 2T (1, 1, 1) Inversa de TL Não. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 9 / 30 TL – Exemplo 4 Transformações Lineares Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada Revisão de Funções Definição D : C 1 (R; R) → C(R; R) f 7→ D(f ) = f 0 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL é linear? D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 TL – Exemplo 4 Transformações Lineares Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada Revisão de Funções Definição D : C 1 (R; R) → C(R; R) f 7→ D(f ) = f 0 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL é linear? D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 TL – Exemplo 4 Transformações Lineares Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada Revisão de Funções Definição D : C 1 (R; R) → C(R; R) f 7→ D(f ) = f 0 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL é linear? D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 TL – Exemplo 4 Transformações Lineares Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada Revisão de Funções Definição D : C 1 (R; R) → C(R; R) f 7→ D(f ) = f 0 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL é linear? D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 TL – Exemplo 4 Transformações Lineares Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada Revisão de Funções Definição D : C 1 (R; R) → C(R; R) f 7→ D(f ) = f 0 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL é linear? D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 TL – Exemplo 4 Transformações Lineares Seja C 1 (R; R) o espaço das funções continuamente diferenciáveis e C(R; R) o conjunto das funções contínuas. A transformação derivada Revisão de Funções Definição D : C 1 (R; R) → C(R; R) f 7→ D(f ) = f 0 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL é linear? D(αf + g) = (αf + g)0 = αf0 + g0 = αD(f) + D(g) Sim. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 10 / 30 Teorema Teorema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un } base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U. Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL u= Pn i=1 αi ui T (u) = T Pn Álgebra Linear II 2008/2 i=1 αi ui = Prof. Marco Cabral Pn i=1 αi T (ui ) & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 Teorema Teorema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un } base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U. Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL u= Pn i=1 αi ui T (u) = T Pn Álgebra Linear II 2008/2 i=1 αi ui = Prof. Marco Cabral Pn i=1 αi T (ui ) & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 Teorema Teorema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un } base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U. Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL u= Pn i=1 αi ui T (u) = T Pn Álgebra Linear II 2008/2 i=1 αi ui = Prof. Marco Cabral Pn i=1 αi T (ui ) & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 Teorema Teorema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Sejam T : U → V transformação linear e {u1 , u2 , . . . , un } base de U. Se conhecemos T (ui ) para i = 1, . . . , n, então T (u) está bem determinado para qualquer u ∈ U. Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL u= Pn i=1 αi ui T (u) = T Pn Álgebra Linear II 2008/2 i=1 αi ui = Prof. Marco Cabral Pn i=1 αi T (ui ) & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 11 / 30 Exemplo Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). Função Inversa Inversa de TL (x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Exemplo Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). Função Inversa Inversa de TL (x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Exemplo Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). Função Inversa Inversa de TL (x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Exemplo Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). Função Inversa Inversa de TL (x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Exemplo Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo Seja T : R2 → R TL tal que T (1, 1) = 2 e T (0, 1) = 3. Determine T(x,y). Função Inversa Inversa de TL (x, y ) = (x, x) + (0, y − x) = x(1, 1) + (y − x)(0, 1) T (x, y ) = xT (1, 1) + (y − x)T (0, 1) = 2x + 3(y − x) = 3y − x Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 12 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL v u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem u+v composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL v u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão R (u) u + v R Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R Função Inversa Inversa de TL v R (v) u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares R (u) + R (v) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão R (u) Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes u+v Função Inversa Inversa de TL v R (v) u R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares R (u) + R (v) Revisão de Funções R Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem u+v composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares R (u) + R (v) Revisão de Funções R Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem u+v composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Rotação A rotação em torno da origem é uma transformação linear. Transformações Lineares R (u) + R (v) Revisão de Funções R Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem u+v composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL R(u + v) = R(u) + R(v) Argumento análogo vale para a multiplicação por escalar. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 13 / 30 Exemplo: Matriz de Rotação R x y = R(xe1 + y e2 ) = xR(e1 ) + yR(e2 ) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição sen θ Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes e2 θ R (e1 ) R (e2 ) θ cos θ Função Inversa Inversa de TL cos θ e1 R Álgebra Linear II 2008/2 x y − sen θ − sin θ = x +y cos θ cos θ − sin θ x = sin θ cos θ y Prof. Marco Cabral & cos θ sin θ Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30 Exemplo: Matriz de Rotação R x y = R(xe1 + y e2 ) = xR(e1 ) + yR(e2 ) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição sen θ Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes e2 θ R (e1 ) R (e2 ) θ cos θ Função Inversa Inversa de TL cos θ e1 R Álgebra Linear II 2008/2 x y − sen θ − sin θ = x +y cos θ cos θ − sin θ x = sin θ cos θ y Prof. Marco Cabral & cos θ sin θ Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30 Exemplo: Matriz de Rotação R x y = R(xe1 + y e2 ) = xR(e1 ) + yR(e2 ) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição sen θ Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes e2 θ R (e1 ) R (e2 ) θ cos θ Função Inversa Inversa de TL cos θ e1 R Álgebra Linear II 2008/2 x y − sen θ − sin θ = x +y cos θ cos θ − sin θ x = sin θ cos θ y Prof. Marco Cabral & cos θ sin θ Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 14 / 30 Núcleo e Imagem Definição (núcleo, imagem) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo. Projeção, Rotação e Reflexão Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0} Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum vetor do domínio. Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U} Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30 Núcleo e Imagem Definição (núcleo, imagem) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição O núcleo de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do domínio cuja imagem por T é o vetor nulo. Projeção, Rotação e Reflexão Nuc(T ) = {u ∈ U | T (u) = 0} Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL A imagem de uma transformação linear T é o conjunto dos vetores do contra-domínio que são imagem por T de algum vetor do domínio. Im(T ) = {v ∈ V | v = T (u) para algum u ∈ U} Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 15 / 30 Núcleo e Imagem Observação Transformações Lineares Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Im(T ) é subespaço vetorial de V . Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Definição (nulidade, posto) Função Inversa A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(T ) = dim(Nuc(T )) Inversa de TL O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(Im(T )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30 Núcleo e Imagem Observação Transformações Lineares Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Im(T ) é subespaço vetorial de V . Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Definição (nulidade, posto) Função Inversa A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(T ) = dim(Nuc(T )) Inversa de TL O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(Im(T )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30 Núcleo e Imagem Observação Transformações Lineares Nuc(T ) é subespaço vetorial de U. Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Im(T ) é subespaço vetorial de V . Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Definição (nulidade, posto) Função Inversa A nulidade de uma transformação linear T é a dimensão do seu núcleo ν(T ) = dim(Nuc(T )) Inversa de TL O posto de uma transformação linear T é a dimensão da sua imagem dim Im(T ) = dim(Im(T )) Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 16 / 30 Núcleo e Imagem Exemplo Transformações Lineares T : R2 → R 3 , T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = h(1, −1)i Im(T ) = h(1, −2, 0)i Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Núcleo e Imagem Exemplo Transformações Lineares T : R2 → R 3 , T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = h(1, −1)i Im(T ) = h(1, −2, 0)i Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Núcleo e Imagem Exemplo Transformações Lineares T : R2 → R 3 , T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = h(1, −1)i Im(T ) = h(1, −2, 0)i Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Núcleo e Imagem Exemplo Transformações Lineares T : R2 → R 3 , T (x, y ) = (x + y , −2(x + y ), 0) Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa T (x, y ) = (0, 0, 0) ⇔ x + y = 0 Nuc(T ) = h(1, −1)i Im(T ) = h(1, −2, 0)i Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 17 / 30 Núcleo e Imagem Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem Seja T : U → V uma TL. Então: T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V ) composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30 Núcleo e Imagem Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem Seja T : U → V uma TL. Então: T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V ) composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30 Núcleo e Imagem Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem Seja T : U → V uma TL. Então: T é injetiva ⇔ Nuc(T ) = {0} T é sobrejetiva ⇔ dim(Im(T )) = dim(V ) composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 18 / 30 Núcleo e Imagem Teorema (do Núcleo e Imagem) Transformações Lineares Seja T : U → V uma TL. Então Revisão de Funções Definição dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U). Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Prova Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr } seja base de U. Basta verificar que {T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Núcleo e Imagem Teorema (do Núcleo e Imagem) Transformações Lineares Seja T : U → V uma TL. Então Revisão de Funções Definição dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U). Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Prova Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr } seja base de U. Basta verificar que {T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Núcleo e Imagem Teorema (do Núcleo e Imagem) Transformações Lineares Seja T : U → V uma TL. Então Revisão de Funções Definição dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U). Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Prova Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr } seja base de U. Basta verificar que {T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Núcleo e Imagem Teorema (do Núcleo e Imagem) Transformações Lineares Seja T : U → V uma TL. Então Revisão de Funções Definição dim(Nuc(T )) + dim(Im(T )) = dim(U). Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Prova Seja {u1 , . . . , uν } base de Nuc(T ) e sejam v1 , . . . , vr tais que {u1 , . . . , uν , v1 , . . . , vr } seja base de U. Basta verificar que {T (v1 ), . . . , T (vr )} é base de Im(T ). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 19 / 30 Espaço Vetorial das TLs Definição (operações entre TLs) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a sua multiplicação por escalar como: Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes T +S : U → V u 7→ T (u) + S(u) e αT : U → V . u 7→ αT (u) Função Inversa Inversa de TL Lema (espaço vetorial das TLs) L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30 Espaço Vetorial das TLs Definição (operações entre TLs) Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Dados T , S ∈ L(U; V ) e α ∈ R definimos a soma de TLs e a sua multiplicação por escalar como: Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes T +S : U → V u 7→ T (u) + S(u) e αT : U → V . u 7→ αT (u) Função Inversa Inversa de TL Lema (espaço vetorial das TLs) L(U; V ) com as operações acima é um espaço vetorial. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 20 / 30 Composição de Funções Definição (composição de funções) Transformações Lineares Dadas f : X → Y e g : Y → Z , define-se Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes g◦f : X x → Z 7 → g(f (x)) f g Função Inversa Inversa de TL X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral Y & Prof. Paulo Goldfeld Z DMA / IM / UFRJ 21 / 30 Composição de Funções Definição (composição de funções) Transformações Lineares Dadas f : X → Y e g : Y → Z , define-se Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes g◦f : X x → Z 7 → g(f (x)) f g Função Inversa Inversa de TL X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral Y & Prof. Paulo Goldfeld Z DMA / IM / UFRJ 21 / 30 Composição de Funções Definição (composição de funções) Transformações Lineares Dadas f : X → Y e g : Y → Z , define-se Revisão de Funções Definição g◦f : X x Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes → Z 7 → g(f (x)) Função Inversa Inversa de TL g◦f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral Z & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 21 / 30 Composição de Funções Propriedades da Composição Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z , g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está. Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30 Composição de Funções Propriedades da Composição Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z , g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está. Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30 Composição de Funções Propriedades da Composição Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z , g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está. Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30 Composição de Funções Propriedades da Composição Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z , g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está. Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30 Composição de Funções Propriedades da Composição Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Associatividade: (f ◦ g) ◦ h = f ◦ (g ◦ h) = f ◦ g ◦ h Não-comutatividade: em geral, dadas f : X → Y e g : Y → Z , g ◦ f está bem definido, mas f ◦ g não está. Mesmo quando Z = X , caso em que ambas estão definidas, g ◦ f e f ◦ g podem diferir. Exemplo em breve. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 22 / 30 Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A composição de TLs é uma TL. (T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v)) = αT (S(u)) + T (S(v)) = α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v) (S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade); S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade); S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30 Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A composição de TLs é uma TL. (T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v)) = αT (S(u)) + T (S(v)) = α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v) (S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade); S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade); S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30 Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A composição de TLs é uma TL. (T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v)) = αT (S(u)) + T (S(v)) = α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v) (S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade); S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade); S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30 Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A composição de TLs é uma TL. (T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v)) = αT (S(u)) + T (S(v)) = α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v) (S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade); S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade); S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30 Composição de TLs Propriedades da Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL No caso particular em que as funções são TLs, temos algumas propriedades adicionais: A composição de TLs é uma TL. (T ◦ S)(αu + v) = T (S(αu + v)) = T (αS(u) + S(v)) = αT (S(u)) + T (S(v)) = α(T ◦ S)(u) + (T ◦ S)(v) (S + T ) ◦ U = S ◦ U + T ◦ U (distributividade); S ◦ (T + U) = S ◦ T + S ◦ U (distributividade); S ◦ (αT ) = α(S ◦ T ) = (αS) ◦ T ; Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 23 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Exemplo de Composição de TLs Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Exemplo Considere TLs definidas em R2 : P projeção no eixo x: P(a, b) = (a, 0); Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes R reflexão na reta y = x: R(a, b) = (b, a); Função Inversa S reflexão no eixo y : S(a, b) = (−a, b). Inversa de TL PS(x, y ) = P(−x, y ) = (−x, 0) SP(x, y ) = S(x, 0) = (−x, 0). Logo PS = SP. PR(x, y ) = P(y , x) = (y , 0) RP(x, y ) = R(x, 0) = (0, x). Logo PR 6= RP Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 24 / 30 Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y : (a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 : f −1 : Y y → X 7 → x satisfazendo f (x) = y . Função Inversa Inversa de TL f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y : (a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 : f −1 : Y y → X 7 → x satisfazendo f (x) = y . Função Inversa Inversa de TL f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y : (a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 : f −1 : Y y → X 7 → x satisfazendo f (x) = y . Função Inversa Inversa de TL f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y : (a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 : f −1 : Y y → X 7 → x satisfazendo f (x) = y . Função Inversa Inversa de TL f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y : (a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 : f −1 : Y y → X 7 → x satisfazendo f (x) = y . Função Inversa Inversa de TL f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Seja f : X → Y uma função bijetiva. Dado y ∈ Y : (a) sobrejetividade garante ∃x ∈ X tal que f (x) = y ; (b) injetividade garante a unicidade de tal x. Assim fica bem definida a inversa de f , denotada por f −1 : f −1 : Y y → X 7 → x satisfazendo f (x) = y . Função Inversa Inversa de TL f −1 X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 25 / 30 Propriedades da Inversa A inversa possui as seguintes propriedades: Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f −1 = IY e f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f −1 ◦ f = IX . De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos mais adiante. Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30 Propriedades da Inversa A inversa possui as seguintes propriedades: Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f −1 = IY e f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f −1 ◦ f = IX . De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos mais adiante. Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30 Propriedades da Inversa A inversa possui as seguintes propriedades: Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa f (f −1 (y )) = y ∀y ∈ Y , isto é, f ◦ f −1 = IY e f −1 (f (x)) = x ∀x ∈ X , isto é, f −1 ◦ f = IX . De fato, estas duas propriedades caracterizam a inversa, conforme veremos mais adiante. Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 26 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Exemplos de Função Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Exemplo √ 3 é f −1 (x) = 3 x pois ( √ 3 y )3 = y e A inversa de f (x) = x √ 3 x 3 = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/x 3 . Função Inversa Inversa de TL Exemplo A inversa de f (x) = cos(x) é f −1 (x) = arccos(x) pois cos(arccos(y )) = y e arccos(cos(x)) = x. A inversa NÃO é g(x) = 1/ cos(x). Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 27 / 30 Caracterização da Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Lema Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo: (a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e (b) f ◦ h = IY (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f −1 . Corolário Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f . Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 Caracterização da Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Lema Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo: (a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e (b) f ◦ h = IY (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f −1 . Corolário Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f . Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 Caracterização da Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Lema Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo: (a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e (b) f ◦ h = IY (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f −1 . Corolário Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f . Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 Caracterização da Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Lema Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo: (a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e (b) f ◦ h = IY (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f −1 . Corolário Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f . Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 Caracterização da Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Lema Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo: (a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e (b) f ◦ h = IY (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f −1 . Corolário Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f . Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 Caracterização da Inversa Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Lema Seja f : X → Y uma função qualquer. Se existem g, h : Y → X satisfazendo: (a) g ◦ f = IX (identidade em X ) e (b) f ◦ h = IY (identidade em Y ), então f é bijetiva e g = h = f −1 . Corolário Se f é bijetiva, então f −1 é bijetiva e (f −1 )−1 = f . Usaremos, indistintamente, os termos bijetiva e invertível. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 28 / 30 Inversa da Composta Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Função Inversa Inversa de TL Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 29 / 30 Inversa da Composta Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f Função Inversa g Inversa de TL X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral Y & Prof. Paulo Goldfeld Z DMA / IM / UFRJ 29 / 30 Inversa da Composta Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f Função Inversa g Inversa de TL g◦f X Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Y Prof. Paulo Goldfeld Z DMA / IM / UFRJ 29 / 30 Inversa da Composta Lema Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Se g : Y → Z e f : X → Y são invertíveis então g ◦ f também o é e (g ◦ f )−1 = f −1 ◦ g −1 . Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes f −1 Função Inversa g −1 Inversa de TL f −1 ◦ g −1 X Y Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld Z DMA / IM / UFRJ 29 / 30 Inversa de TL Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Função Inversa Inversa de TL Lema (inversa de TL) Se T : U → V é transformação linear invertível, então T −1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30 Inversa de TL Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Função Inversa Inversa de TL Lema (inversa de TL) Se T : U → V é transformação linear invertível, então T −1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30 Inversa de TL Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Função Inversa Inversa de TL Lema (inversa de TL) Se T : U → V é transformação linear invertível, então T −1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30 Inversa de TL Transformações Lineares Revisão de Funções Definição Projeção, Rotação e Reflexão Núcleo e Imagem composição de TLs/produto de matrizes Uma transformação linear é uma função e, como tal, admite uma função inversa desde que seja bijetiva. Há dois fatos específicos relativos à inversa de uma transformação linear importantes. Função Inversa Inversa de TL Lema (inversa de TL) Se T : U → V é transformação linear invertível, então T −1 também é linear; U e V têm a mesma dimensão. Álgebra Linear II 2008/2 Prof. Marco Cabral & Prof. Paulo Goldfeld DMA / IM / UFRJ 30 / 30