Prova Substitutiva
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Prova Substitutiva
QUESTÃO 1 Uma longa barra cilíndrica condutora, de raio R, está centrada ao longo do eixo z. A barra possui um corte muito fino em z = b. A barra conduz em toda sua extensão e no sentido de z positivo, uma corrente onde ! é uma constante positiva e t o tempo. Não há cargas elétricas nas faces do corte em t = 0. a) Determine a carga elétrica q(t) na face inferior do corte em z = b; b) Determine o campo elétrico no interior do corte c) Adotando coordenadas cilíndricas, determine corte). , para x < R em z = b (no interior do d) Suponha uniforme a densidade de corrente dentro do cilindro e calcule qualquer e r<R , para x r z=b a) y b) Equivale ao problema do capacitor de placas paralelas. Resolver aplicando uma superfície gaussiana cilíndrica numa das faces. c) Usando a lei de Ampère Maxwell: d) A corrente num cilindro com raio r vale: a lei de Ampère Maxwell: fornece QUESTÃO 2 O campo elétrico em um determinado meio é dado por: ! E (z,t) = E 0e " #z sen(kz " $t) xˆ a) (1.0) Determine a relação entre !, k, e " para que este campo satisfaça as equações de Maxwell. ! ! b) (1.0) Determine o campo magnético B . ! c) (0.5) Determine a densidade de corrente J . ! ! NA3.6 ∂E = J(z,t) → E(z,t) = (J0 /�0 ω) sen(ωt − kz) x̂. ∂t ∂B b) ∇×E = − → B(z,t) = (kJ0 /�0 ω 2 ) sen(ωt − kz) ŷ. ∂t ∂E c) ∇×B = µ0 �0 → k 2 /ω 2 = µ0 �0 . ∂t a) �0 ∂B → B = (E0 /kx0 )ex/x0 −kt ẑ ∂t ∂E ∇×B = µ0 �0 → k 2 x20 = 1/µ0 �0 . ∂t NA3.7 ∇×E = − NA3.8 a) ∇·B = 0, ∇×B = 0 ∂B 1 b) ∇×E = − → E(ρ,t) = − kB0 ekt ρ ϕ̂ ∂t 2 � � ∂E c) ∇×B = µ0 J + �0 ∂t = 0 → J = 12 �0 k 2 B0 ekt ρ ϕ̂ 1 NA3.9 0 ≤ ρ ≤ a → E(ρ,ϕ,z,t) = − βρ ϕ̂; 2 ρ > a → E(ρ,ϕ,z,t) = − 1 βa2 ϕ̂ 2 ρ NA3.10 ∂By ∂Ex = E0 e−βz [−β sen(kz − ωt) + k cos(kz − ωt)] = − ∂z ∂t � � k β By = E0 e−βz cos(kz − ωt) + sen(kz − ωt) ω ω � 2 � 2 ∂By 2kβ −βz β − k (∇×B)x = − = E0 e cos(kz − ωt) + sen(kz − ωt) ∂z ω ω ∂Ex = µ0 Jx + µ0 �0 = µ0 Jx − µ0 �0 ωE0 e−βz cos(kz − ωt) ∂t (∇×E)y = a) k 2 − β 2 = µ0 �0 ω 2 . � � k −βz β b) By = E0 e cos(kz − ωt) + sen(kz − ωt) . ω ω 2kβ c) Jx = E0 e−βz sen(kz − ωt). µ0 ω ∂Hϕ 1 ∂ k A sen θ k (rEθ ) = −µ0 ⇒ H(r,θ,ϕ,t) = cos(ωt − kr) ϕ̂ = r̂ × E r ∂r ∂t µ0 ω r� µ0 ω 1 ∂ ∂E0 k2 µ0 ω µ0 (∇×H)θ = − (rHϕ ) = �0 ⇒ 2 = µ0 �0 ⇒ = = Z0 . r ∂r ∂t ω k �0 NA3.11 (∇×E)ϕ = 1 d1 d2 1 1 = + = + 2 2 C �1 � �2 � C1 C2 �1 ��1 �2 ��2 (b) E1t = E2t ⇒ C = + = C1 + C2 d d q 1 NA4.2 E1t = E2t ⇒ E = r̂ 2π(�1 + �2 ) r2 NA4.1 (a) D1n = D2n ⇒ NA4.3 E1t = E0t = −E0 sen α x̂ E1 = E1t + E1n B1n = B0n = 0 1 = E0t + D0n �1 D1n = D0n = �0 E0 cos α E1 = −E0 sen α x̂ + �0 �1 E0 cos α ẑ D1 = −�1 E0 sen α x̂ + �0 E0 cos α ẑ E0 H1t = H0t = ŷ µ0 c 2 QUESTÃO 3 As componentes para o campo elétrico de uma onda plana propagando-se no vácuo são dadas, no sistema internacional de unidades, por: a) (0.5) Escreva as expressões para as componentes do campo magnético associado, escrevendo explicitamente o valor de . (b) (1.0) Calcule o comprimento de onda e a freqüência desta onda. (c) (1.0) Calcule o vetor de Poynting e a Intensidade. Questão 3 Z c o Z kc 106.3.108 3.1014 (a) k Devido ao sinal +Zt, onda caminhando no sentido de z negativo ? k z G G k uE E E B y x x y c c c G 8.108 sin ª¬106 z 3.1014 t º¼ y T (em Tesla) B 2.108 sin ª¬106 z 3.1014 t º¼ x 3 2S (b) O 2S.106 m k Z 3.1014 1.5 u 1014 f 4.77 u 1013 Hz S 2S 2S E y Bx z P0 5 2 W sin ª¬106 z 3.1014 t º¼ z 2 6S m 5 S sin 2 ª¬106 z 3.1014 t º¼ 6S G (c) S G S I 1 G G EuB P0 E B x y 64 36 sin 2 ª106 z 3.1014 t º z cP0 ¬ 5 W =0.133 W/m2 2 12S m ¼ Questão 4 Uma casca esférica condutora de raio interno a e raio externo b tem carga total nula. Em seu centro se coloca uma carga puntiforme positiva Q. � (0,5): a) Determine o campo elétrico E(r) em todo espaço. (1,0): b) Determine o potencial elétrico, V (r) em todo espaço tomando V = 0 no infinito. (0,5): c) Represente graficamente E(r) e V (r). (0,5): d) Calcule o trabalho necessário para colocar a carga no centro da casca a partir da configuração em que ela se encontra infinitamente afastada. Sugestão: compute a diferença de energia potencial eletrostática entre as duas configurações. SOLUÇÃO: a) Dada a simetria esférica, podemos usar a lei de Gauss para determinar o campo elétrico que é radial: qr � E(r) = E(r) r̂ = r̂, 4π�0 r2 onde qr é a carga contida dentro da esfera de raio r. Assim: Q , para 0 < r < a 4π�0 r2 0, para a < r < b (dentro do condutor) E(r) = Q , para r > b 4π�0 r2 � r b) V (r) = − E(r� )dr� . Assim: ∞ � r � Q dr Q Para r > b: V (r) = − = ; �2 4π�0 ∞ r 4π�0 r � b � Q dr Q como E(r) = 0 para a < r < b: V (r) = − = = V (b); �2 4π�0 b � 0 ∞ r � � r 4π� Q dr� Q 1 1 1 Para 0 < r < a: V (r) = V (b) − = − + . 4π�0 a r�2 4π�0 b a r Ou seja � � Q 1 1 1 − + , para 0 < r < a 4π�0 b a r Q V (r) = , para a < r < b (dentro do condutor) 4π� b 0 Q , para r > b 4π�0 r 4π�0 E(r) Q 4π�0 V Q 1 a2 (r) 1 b 1 b2 0 0 a r a r 0 0 b b c) d) A energia eletrostática de uma configuração pode ser�computada como: � �0 �0 ∞ 2 U= E dV = E(r)2 4πr2 dr. 2 2 0 Quando a carga e a casca condutora se encontram infinitamente afastadas, temos apenas o campo 1 da carga Q, que é E(r) = Q/4π�0 r2 , em todo o espaço. Com a carga no centro do condutor, o campo tem a mesma forma exceto dentro do condutor onde ele se anula. Assim: �0 W = U − U0 = − 2 � a b Q E(r) 4πr dr = − 8π�0 2 2 2 � 1 1 − a b � .