Nuno Marreiros 8º ANO Dízimas infinitas periódicas
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14-11-2014 8º ANO DÍZIMAS FINITAS E INFINITAS PERIÓDICAS Dízimas infinitas periódicas Nuno Marreiros Recorda … Fração própria e fração imprópria Frações próprias Uma fração diz-se própria quando o numerador da fração é menor do que o denominador, isto é, quando representa um valor maior que zero e menor que um. Exemplos: Frações impróprias A fração que não é própria é denominada imprópria. As frações impróprias representam valores maiores que 1 ou o zero ou o inteiro. Exemplos: 1 14-11-2014 Dízimas finitas versus dízimas infinitas periódicas Considera as seguintes frações: Indica se representam dízimas finitas ou infinitas periódicas: Dízimas finitas (frações decimais): Dízimas infinitas: Uma aplicação do algoritmo da divisão Considera o seguinte número racional O algoritmo da divisão permite representar um número que está escrito sob a forma de fração, na forma de dízima. Se aplicarmos o algoritmo da divisão a esta fração, ao fim de algumas repetições do algoritmo obtemos o primeiro resto parcial repetido, neste caso 110. 2 14-11-2014 Uma aplicação do algoritmo da divisão Assim sendo a fração dada é representada na forma de dízima da seguinte forma: Uma vez que a sequência é 384615, a partir de dado momento se repete, então diz-se que é uma dízima infinita periódica e representa-se da seguinte forma: Uma aplicação do algoritmo da divisão À sequência de algarismos que se repete chamamos período da dízima e dizemos que tem comprimento 6. Generalizando: 3 14-11-2014 Dízimas infinitas periódicas Exemplos: Curiosidade … Uma dízima infinita periódica é representada pela fração irredutível . Qual é o número máximo de algarismos que constituem o período dessa dízima (comprimento do período)? Se pensarmos nos restos possíveis que podemos obter ao efetuar a divisão inteira de a por b podemos concluir que esses restos são sempre menores que b. Temos então b -1 restos diferentes. 4 14-11-2014 Curiosidade … Pensemos na fração . Efetuando a divisão, usando o seu algoritmo tem-se: Obtivemos os restos: 9, 12, 3, 4, 1, 10 até que se repetiu o resto 9, isto quer dizer que o período da dízima tem exatamente 6 algarismos. O número de algarismos do período é igual ao número de restos diferentes que se obtêm. Então o número máximo de algarismos do período de uma dízima infinita periódica é o número de restos possíveis, ou seja, b -1. Páginas 53 Exercícios 17. 18. 19. 20. Vai mais além … 21. 5
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