resolução do Problema 5 - FCT
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resolução do Problema 5 - FCT
Universidade do Algarve Campeonato de Matemática SUB12 2006/2007 Problema 5: Uma fila de gatos Cinco gatos estão sentados em fila sobre um muro. Entre o Fofinho e o Bichano está um gato. Entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos. Entre o Tareco e o Malhado está um gato. Entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos. Como estão os gatos dispostos na fila? Campeonato de Matemática SUB12 - www.ualg.pt/fct/matematica/5estrelas/sub12 Resolução: De acordo com os dados do problema, sabemos que cinco gatos – o Fofinho, o Bichano, o Malhado, o Tareco e o Reguila, estão sentados em fila. Sabemos ainda que: • Entre o Fofinho e o Bichano está um gato; • Entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos; • Entre o Tareco e o Malhado está um gato; • Entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos. Pretendemos saber como estão os gatos dispostos na fila. Para isso, vamos ordenar os gatos através das informações que nos são dadas. O Filipe Magalhães, da E.B. 2,3 de Mora, apresentou uma resolução bastante simples deste problema, que consiste essencialmente no seguinte: vamos assumir que o Bichano (que representamos pela letra B) está à direita do Fofinho (que representamos pela letra F). Entre eles está um gato do qual não sabemos o nome. Esquematicamente, será: F __ B A informação seguinte sobre a posição dos gatos, diz-nos que entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos. Assim, se considerarmos que o Malhado (M) está à direita do Bichano (B), teremos: F __ B __ __ M o que não pode acontecer, pois neste caso seriam seis gatos e não cinco. Logo, necessariamente, o Malhado tem que estar à esquerda do Bichano, como ilustra o próximo esquema: M F __ B Então, sabendo que entre o Tareco e o Malhado está um gato, o Tareco (T) apenas pode estar numa posição: entre o Fofinho e o Bichano. M F T B Reparemos que não poderíamos ter a sequência T __ M F __ B , ou seja, ter o Tareco à esquerda do Malhado, pois assim a fila seria composta por seis gatos. Por fim, entre o Fofinho (F) e o Reguila (R) estão dois gatos, pelo que terá que ser M F T B R ou seja, os gatos estão ordenados da seguinte forma: Malhado – Fofinho – Tareco – Bichano – Reguila. Mas esta não é a única ordenação possível, tal como repararam vários “atletas”, entre eles, o Alexandre Faustino da E.B. 2,3 de Montenegro, a Patrícia Ferro ou a Brígida Laranjo da E.B. 2,3 Dr. José de Jesus Neves Júnior, em Faro. De facto, vamos considerar que o Bichano está à esquerda do Fofinho e seguir o mesmo raciocínio que aplicámos na primeira solução obtida. Entre o Bichano (B) e o Fofinho (F) está apenas um gato. Recorrendo a um esquema semelhante aos anteriores, temos: B __ F Sabemos também que entre o Bichano (B) e o Malhado (M) estão dois gatos. Se considerarmos o Malhado à esquerda do Bichano, obtemos uma fila com seis gatos, como ilustra o próximo esquema: M __ __ B __ F o que não é possível. Assim sendo, o Malhado tem que estar à direita do Bichano e entre eles dois gatos, um dos quais é o Fofinho. Fica: B __ F M Dado que entre o Tareco (T) e o Malhado (M) está um gato, o Tareco tem que estar entre o Bichano e o Fofinho. B T F M A última condição diz-nos que entre o Fofinho (F) e o Reguila (R) estão dois gatos, o que, pelo que vimos até agora, exclui a hipótese de o Reguila estar à direita do Malhado, pois neste caso teríamos seis gatos. Obtemos: R B T F M Portanto, outra solução possível para este problema é: Reguila – Bichano – Tareco – Fofinho – Malhado. Existem, ainda, outras maneiras de resolver este problema. O Pedro Medeiros, do Colégio Internacional de Vilamoura, começou por colocar o Fofinho no primeiro lugar da fila, a contar da esquerda, já que o Fofinho é o primeiro nome que surge no enunciado do problema. Como entre o Fofinho e o Bichano está um gato, iremos seguir o esquema apresentado pelo Pedro Medeiros: Lugar 1 – Fofinho Lugar 2 – Lugar 3 – Bichano Lugar 4 – Lugar 5 – A seguir, sabemos que entre o Bichano e o Malhado estão dois gatos, o que mostra que o Fofinho não pode estar no lugar 1, pois neste caso o Bichano está no lugar 3 e o Malhado teria que ocupar um sexto lugar, o que não é possível porque só existem cinco gatos na fila. Assim sendo, vamos considerar o Fofinho no lugar 2. Obtemos: Lugar 1 – Lugar 2 – Fofinho Lugar 3 – Lugar 4 – Bichano Lugar 5 – Agora sim, podemos colocar o Malhado no lugar 1, ficando dois gatos entre este e o Bichano, tal como exige o problema. Lugar 1 – Malhado Lugar 2 – Fofinho Lugar 3 – Lugar 4 – Bichano Lugar 5 – Sabemos também que entre o Tareco e o Malhado está um gato, por isso, de acordo com o esquema anterior, o Tareco tem que ocupar o lugar 3. Lugar 1 – Malhado Lugar 2 – Fofinho Lugar 3 – Tareco Lugar 4 – Bichano Lugar 5 – Finalmente, entre o Fofinho e o Reguila estão dois gatos, pelo que o Reguila ocupa o lugar 5. Lugar 1 – Malhado Lugar 2 – Fofinho Lugar 3 – Tareco Lugar 4 – Bichano Lugar 5 – Reguila Encontrámos assim uma solução para este problema. Se começarmos por colocar o Bichano no lugar 1 e seguirmos este mesmo raciocínio, iremos encontrar a outra solução possível, que como já vimos é: Lugar 1 – Reguila Lugar 2 – Bichano Lugar 3 – Tareco Lugar 4 – Fofinho Lugar 5 – Malhado Evidentemente, poderíamos ter começado esta ordenação por um gato qualquer. Foi o que fez o Ricardo Tavares da E.B. 2,3 Dr. Joaquim Magalhães, em Faro. Através de tentativas organizadas numa tabela, como a que nos enviou, chega-se à conclusão de que as únicas possibilidades de ordenação dos gatos são as que já apresentámos.