Produto Vetorial

Produto Vetorial
Diferente do Produto Escalar, o Produto Vetorial de dois vetores
resulta em um vetor ortogonal aos outros dois e
só é definido no espaço tridimensional.
Definição:
Se u  u1,u2,u3 e v  v1, v2, v3 forem vetores no espaço tridimensional
então o produto vetorial u  v é o vetor definido por:
i j k
u  v  u1 u2 u3
v1 v2 v3
Propriedades algébricas do Produto Vetorial
Sejam u, v e w vetores em 3 e “a” um escalar:
a) u  v    v  u 
b) u   v  w    u  v    u  w 
c)  u  v   w   u  w    v  w 
d) a  u  v    au   v  u   av 
e) u  0  0  u  0
f) u  u  0
Obs.: Para os vetores unitários, temos algumas relações importantes:
a) i  j  ____
k
b) j  i  ____
c) j  k  ____
d) k  j  ____
e) k  i  ____
f) i  k  ____
i
j
Esquema
Propriedades geométricas do Produto Vetorial
Sejam u e v vetores em 3 , então:
  
a) u  (u  v )  0

 
(u  v ) é ortogonal a u .
  
b) v  (u  v )  0

 
(u  v ) é ortogonal a v .
 
 
Ou seja (u  v ) é simultaneamente ortogonal a u e v .
Área do paralelogramo
Sejam u e v vetores não-nulos de 3 , e seja  o ângulo entre esses vetores
quando estiverem posicionados de tal forma que os seus pontos iniciais
coincidam.

A área A do paralelogramo que tem
u e v como lados adjacentes é:
 
A | u  v |

Além disso,
   
| u  v || u | . | v | .sen
1) Calcule u  v e v  u sendo u  5i  4 j  3k e v  i  k .
2) Por que para qualquer vetor v de 3 o produto vetorial com ele
mesmo é o vetor nulo?
3) Mostre que u  v é ortogonal a u e a v
sendo u  5i  4 j  3k e v  i  k .
4) Dados os vetores u  1, 1,1 e v  (2, 3, 4) , calcule:
a) a área do paralelogramo determinado por u e v .
b) a altura do paralelogramo relativo à base definida pelo vetor u .
5) Seja um triângulo eqüilátero ABC de lado 10cm. Calcule AB  AC .
6) Dados os vetores u   2,1, 1 e v  (1, 1, a) , calcular
o valor de “a” para que a área do paralelogramo determinado
por u e v seja igual a
62 .
7) Sejam os vetores u  1, 1, 4  e v  (3, 2, 2) .
Determinar um vetor que seja:
a) ortogonal a u e v.
b) ortogonal a u e v e unitário.
c) ortogonal a u e v e tenha módulo 4.
Resumão
• Representação
• Como se calcula
• Resultado
– Vetor ortogonal
• Definição Geométrica
• Aplicações
– Área do paralelogramo