Introduç ˜ao ao Estudo das Implicaç ˜oes Fuzzy Valoradas

Transcrição

UNIVERSIDADE CATÓLICA DE PELOTAS
ESCOLA DE INFORMÁTICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM INFORMÁTICA
Introdução ao Estudo das Implicações
Fuzzy Valoradas Intervalarmente
por
Marı́lia do Amaral Dias
Trabalho Individual I
TI-2009/2-005
Orientador: Profa. Dr. Renata Hax Sander Reiser
Pelotas, março de 2010
Dedico este trabalho a professora e colega , Viviane Mattos ,
que me incentivou a fazer este mestrado.
AGRADECIMENTOS
Agradeço a Deus, por me dar força, dia após dia ao longo desta caminhada, e em
especial a Santa Edwiges.
Ao meu esposo e ao meu filho , pela compreensão e carinho nos momentos de
cansaço e pela força e colaboração nesta jornada.
A Professora orientadora, pela compreensão, competência e empenho na
orientação deste trabalho e pela confiança depositada em mim.
A todos os meus colegas de mestrado pelo carinho, paciência e companheirismo
demonstrado pelo apoio nos momentos de desânimo.
E por fim, a todas as pessoas que de forma direta ou indireta, contribuı́ram para a
realização deste trabalho.
”A lógica é a cola que gruda
os métodos do raciocı́nio”
D.  F.S
SUMÁRIO
LISTA DE FIGURAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
LISTA DE TABELAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
RESUMO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
12
1 INTRODUÇÃO . . . . .
1.1
Tema . . . . . . . . . .
1.2
Motivação . . . . . . .
1.3
Objetivos . . . . . . .
1.4
Metodologia . . . . . .
1.5
Organização do Texto
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13
14
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16
16
17
2 LÓGICA FUZZY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1
Lógica clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2
Lógica Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1
Conjunto fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2
Caracterização . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3
Aplicações da Lógica Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.4
Estudo de Caso: Aplicação do sistema baseado em regras fuzzy no controle da qualidade de água para o consumo humano . . . . . . . . . . . .
18
18
20
20
22
22
3 AGREGADORES DA LÓGICA FUZZY . . . . . . . . . .
3.1
Norma Triangular Fuzzy e Conorma Triangular Fuzzy .
3.1.1
Norma Triangular Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.2
Conorma Triangular Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.3
Relação de Dualidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.4
Automorfismo e Norma triangular . . . . . . . . . . . .
3.1.5
Automorfismo e Conorma triangular . . . . . . . . . . .
3.2
Negação Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.1
Negação Fuzzy e Negação Fuzzy Forte . . . . . . . . . .
3.2.2
Exemplos de Negação Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.3
Automorfismo e Negação . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
Implicações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
29
29
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3.3.1
3.3.2
3.3.3
Propriedades das Implicações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Principais Classes de Implicações Fuzzy . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Exemplos de implicações fuzzy obtidas a partir de outros conectivos fuzzy
4 LÓGICA FUZZY INTERVALAR . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1
Matemática Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1
Noções Básicas da Matemática Intervalar . . . . . . . . . . . .
4.2
Lógica Fuzzy Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3
Norma Triangular Intervalar e Conorma Triangular Intervalar
4.3.1
Norma Triangular Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.2
Conorma Triangular Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.4
Negação Fuzzy Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5
Implicação Fuzzy Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.1
S-implicação Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.2
Automorfismo Intervalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.5.3
Construção Canônica de um Automorfismo Intervalar . . . . . .
4.5.4
Automorfismo Intervalar e S-implicação intervalar . . . . . . . .
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CONCLUSÃO . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
64
REFERÊNCIAS . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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52
LISTA DE FIGURAS
Figura 2.1
Figura 2.2
Figura 2.3
Figura 2.8
Sistemas Baseados em Regras Fuzzy. . . . . . . . . . . . . . . . . .
Estrutura do sistema baseado em regras fuzzy. . . . . . . . . . . . . .
Funções de Pertinência dos conjuntos fuzzy assumidos pela variável
linguı́stica Aparência da Água (A). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
linguı́stica pH (H). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
linguı́stica Turbidez (T). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
linguı́stica Qualidade da Água (Q). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Resultado da qualidade da água para a aparência 15, o pH 7 e a turbidez 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Qualidade da água em função da aparência, pH e turbidez. . . . . . .
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28
Figura 3.1
Figura 3.2
Figura 3.3
Figura 3.4
t-norma triangular do mı́nimo(intersecção). . . . .
t-norma triangular do produto algébrico. . . . . . .
t-conorma triangular do máximo (união). . . . . .
t-conorma triangular do produto (soma algébrica).
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Figura 2.4
Figura 2.5
Figura 2.6
Figura 2.7
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LISTA DE TABELAS
Tabela 2.1
Tabela 2.2
Tabela 2.3
Tabela 2.4
Tabela 2.5
Tabelas verdade para as operações fundamentais da lógica
Tabelas verdade para as operações fundamentais da lógica
Regras fuzzy quando a aparência da água é boa . . . . . .
Regras fuzzy quando a aparência da água é adequada . .
Regras fuzzy quando a aparência da água é inadequada .
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Tabela 3.1
Tabela 3.2
Exemplos básicos de t-normas e t-conormas e suas propriedades . . . . . .
Exemplos básicos de QL-implicações e suas propriedades . . . . . . . . .
38
51
LISTA DE ABREVIATURAS E SIGLAS
I
Implicação
T
t-norma
S
t-conorma
N
Negação
T
t-norma intervalar
S
t-conorma intervalar
I
Implicação intervalar
QL QL-implicação
MI Matemática Intervalar
D
D-Implicação
R
R-implicação
S
S-implicação
V
verdade
F
Falso
H
Hipótese
Eq. Equação
T M t-norma do mı́nimo
T L t-norma de Lukasiewicz
T D t-norma drástica do produto
T P t-norma do produto
T M t-conorma do máximo
T L t-conorma de Lukasiewicz
T D t-conorma drástica da soma
T P t-conorma do produto
t-norma
Norma triangular
t-conorma
Conorma triangular
IA
Inteligência artificial
RESUMO
Este trabalho contribui para compreensão dos fundamentos da lógica fuzzy valorada intervalarmente, integrando conceitos de Matemática Intervalar e Lógica fuzzy.
Assim o tratamento da incerteza dos resultados aproximados em algoritmos numéricos da
computação cientı́fica pode ser considerado em sistemas dedutı́veis capazes de geração
de saı́da lógica a partir de um conjunto de entradas com informações vagas, ambı́guas e
imprecisas. Na lógica fuzzy intervalar, faz-se uso de intervalos para representação dos
valores de pertinência intermediários entre os valores de verdadeiro([1,1]) e falso([0,0]).
As t-normas , t-conormas, negação padrão e implicações são operações sobre [0,1] que
satisfazem determinadas propriedades generalizando os conectivos lógicos de conjunção,
disjunção, negação e implicação, respectivamente, de maneira a preservar certas propriedades da lógica clássica. Neste estudo, é generalizado a noção de t-conormas, negação
fuzzy e implicação fuzzy para a representação da teoria intervalar, e também é introduzido a forma canônica de obter os conetivos fuzzy para a versão intervalar, mostrando que
esses conetivos preservam as propriedades dos conetivos fuzzy.
Palavras-chave: Lógica Fuzzy , Normas e Conormas Triangulares, Negação Fuzzy,
Implicação Fuzzy Intervalar.
TITLE: “INTRODUCTION TO THE STUDY OF FUZZY IMPLICATIONS VALUED
INTERVALARMENTE”
ABSTRACT
This work contributes to understanding the foundations of fuzzy valued intervalarmente, integrating concepts of Mathematics and Interval Fuzzy logic. Thus the treatment
of uncertainty of results in approximate numerical algorithms, scientific computing can
be considered deductible in systems capable of generating output logic from a set of entries with information vague, ambiguous and imprecise. Interval fuzzy logic, makes use
of intervals to represent the values of membership intermediate between the values of
true ([1,1]) and false ([0,0]).The t-norms, t-conorm, denial and implications are standard
operations on [0,1] that satisfy certain properties generalizing the logical connectives of
conjunction, disjunction, implication and negation, respectively, in order to preserve certain properties of classical logic. In this study, is the widespread notion of t-conorm,
denial fuzzy implication and fuzzy for the representation theory of the interval, and also
introduced the canonical form to obtain the fuzzy connectives to version interval, showing
that these connectives preserve the properties of connective fuzzy.
Keywords: Fuzzy Logic, Norms and Conorms Triangulares, Fuzzy Negation,Interval
Fuzzy Implication.
13
1
INTRODUÇÃO
Na lógica clássica, o raciocı́nio lógico bivalente está baseado em premissas e conclusões, onde determinada afirmação é falsa ou verdadeira, não podendo ser ao mesmo
tempo parcialmente verdadeira e parcialmente falsa, isto é, o meio é excluı́do(DUBOIS;
PRADE, 1996). Entretanto, os sistemas do mundo real nem sempre são bivalentes, nem
sempre estão constituı́dos por fatos absolutamente verdadeiros ou falsos, justificando-se
a necessidade de lógicas multivalentes para tratar e representar incertezas(ROSS, 1995;
SILER; BUCKLEY, 2004; CARLSSON; FULLER, 2002).
A lógica fuzzy surge num contexto onde os recursos tecnológicos disponı́veis são
incapazes de automatizar as atividades relacionadas a problemas de natureza real que
correspondem às situações ambı́guas. Uma das importantes vantagens do uso da lógica
fuzzy em sistemas dedutı́veis é a possibilidade de gerar uma saı́da lógica a partir de um
conjunto de entradas com informações vagas, ambı́guas e imprecisas. Neste aspecto,
os sistemas fuzzy auxiliam para que as decisões tomadas pela máquina se aproximem
cada vez mais das decisões humanas(FODOR; ROUBENS, 1994) (HáJEK, 1998) (ROSS,
1995).
Fundamentada na Teoria de Conjuntos Fuzzy, esta lógica faz uso de variáveis
linguı́sticas, as quais são interpretadas como números fuzzy e manipuladas pela sua
aritmética, permitindo representar valores de pertinência intermediários entre os valores de verdadeiro (1) e falso (0) da lógica binária. A Lógica Fuzzy fundamenta a geração
de técnicas para a solução de problemas com aplicabilidade, especialmente nas áreas de
controle e tomada de decisão (GRIGOLETTI et al., 2006)(ESCARDó, 1996). Assim, os
operadores fuzzy foram definidos à semelhança dos tradicionalmente utilizados na lógica
clássica, e embora freqüentemente introduzidos por necessidades de caráter eminentemente prático, tem-se consolidado como uma área de pesquisa formal, incluindo análise
de propriedades e extensões.
As normas triangulares (t-normas) e conormas triangulares (t-conormas) constituem uma ferramenta indispensável para a interpretação da conjunção e disjunção em
lógica fuzzy(HáJEK, 1998), contribuindo junto com a negação fuzzy, na definição das
implicações fuzzy (BEDREGAL; DIMURO; REISER, 2009; BEDREGAL et al., 2007a;
BEDREGAL; REISER; DIMURO, 2009). Estas operações binárias, definidas sobre o
intervalo unitário fechado [0,1] de números reais, desempenham um papel importante
em sistemas fuzzy aplicados em estatı́sticas (DIMURO; COSTA, 2006), bem como nas
teorias de medidas (KLEMENT; MESIAR; PAP, 1999) e na modelagem de jogos cooperativos (BUTINARIU; E.P., 1993)
Por outro lado, a matemática intervalar vem sendo empregada no tratamento
14
da incerteza dos resultados aproximados em algoritmos numéricos da computação cientı́fica(ACIÓLY, 1991), onde os valores incertos são armazenados através de intervalos,
cujos extremos são pontos flutuantes(HU et al., 2008),(FODOR; ROUBENS, 1994). O
uso da teoria intervalar viabiliza a elaboração de algoritmos autovalidáveis, com controle
automático para o limite dos erros inerentes aos processos numéricos quando do tratamento da precisão em sistemas computacionais, proporcionando maior confiabilidade em
relação a critérios como tempo de execução, memória, arredondamentos e truncamentos(GRIGOLETTI et al., 2006),(ALEFELD; FROMMER; LANG, 1996),(ALEFELD;
HERZBERGER, 1983).
Busca-se na integração destas duas teorias uma modelagem matemática que trate
ambos os contextos, a incerteza da informação e a precisão dos dados computados. Portanto, faz-se uso de subintervalos do intervalo unitário [0, 1] para atribuir valores verdades às proposições fuzzy referentes a uma determinada propriedade de um sistema. Esta
extensão da lógica fuzzy é conhecida como lógica fuzzy valorada intervalarmente ou simplesmente lógica fuzzy intervalar. Por conseguinte, segue-se a teoria axiomática proposta
por (BEDREGAL et al., 2007b), a qual está focada na fundamentação para extensões
intervalares dos operadores da lógica fuzzy, capaz de preservar as propriedades lógicas
dos operadores clássicos e permitir definições obtidas de forma canônica(BEDREGAL,
2007),(BEDREGAL; REISER; DIMURO, 2009),(BACZYNSK; JAYARAM, 2009).
A abordagem para obter as generalizações intervalares consideradas neste trabalho
se constitui num estudo teórico da lógica fuzzy intervalar no sentido restrito, de acordo
com o proposto em (BEDREGAL et al., 2007a), obtendo-se uma extensão das construções
e conceitos usuais que preserva as relações dos casos pontuais já estabelecidos.
1.1
Tema
O tema deste trabalho se refere ao estudo das implicações fuzzy intervalares, considerando a análise das propriedades analı́ticas, incluindo as importantes classes referenciadas na literatura e nas aplicações, e seguindo a abordagem proposta em (BEDREGAL;
TAKAHASHI, 2006)que considera a representação canônica intervalar.
O desenvolvimento deste trabalho procura responder a dois questionamentos diferentes, constituindo relevantes temas de pesquisa da área de computação fuzzy:
• Como incentivar o estudo da lógica fuzzy intervalar no sentido restrito,chamando a
atenção para a sua aplicação em sistemas fuzzy ?
• Como aproximar a área de fundamentação da matemática intervalar com a lógica
fuzzy? Esta aproximação deverá promover uma visão integrada, viabilizando
soluções oportunas e melhoria na compreensão dos fundamentos da lógica fuzzy
intervalar.
1.2
Motivação
A bivalência está profundamente enraizada no modo de pensar,ou seja, algo é
verdadeiro ou não-verdadeiro, branco ou preto,um ou zero. Não há nada entre ambas, o
meio é excluı́do. Por exemplo, alguém é feio ou bonito. Mas, é comum ouvir a expressão
“É bonitinha”(significando que é um pouco bonita).
15
Há um considerável descompasso entre o mundo real e a nossa visão bivalente do
mesmo, a começar pelo fato que o mundo real contém um número infinito de sombreamento e graus de cinza entra as cores preta e branca. Um outro exemplo tı́pico ocorre
em diagnósticos médicos: o profissional costuma contabilizar em sua mente um número
enorme de fatores diferentes, e até contraditórios, para se descrever a doença do paciente
(SILER; BUCKLEY, 2004). No mundo real, tem-se um número infinito de opções em
vez de duas. Ou seja, o mundo real é analógico, não digital, com muitos tons de cinza
entre branco e preto. Portanto, o objetivo da lógica fuzzy é o de capturar esses tons de
cinza e graus de verdade.
Por outro lado, os computadores são baseados na bivalência: 0 e 1. Os computadores não conseguem entender os termos fuzzy da comunicação humana. A lógica fuzzy
pode preencher esse vazio e traduzir os graus de verdade das informações de uma maneira
que os computadores possam processar tal informação. Ao pensar, raciocinar as pessoas
utilizam a implicação lógica, que consiste na formulação de uma conexão entre causa e
efeito, ou uma condição e sua consequência.
Implicações lógicas são encontradas em todas as situações, por exemplo, ao se
operar uma máquina, ao se resolver problemas matemáticos, programar um computador,
seguir um procedimento em um manual de instruções, ou até tomar uma decisão de qual
produto comprar. Nesses casos, segue-se consciente ou inconscientemente certas regras
de inferências, da seguinte forma: SE condição 1 = A e condição 2 = B ENTÃO consequência = C onde A,B e C são conjuntos. Analogamente, na lógica fuzzy tem-se o
raciocı́nio com números fuzzy e conjuntos fuzzy, e as deduções podem ser consideradas
como regras práticas, como na seguinte situação(SIMÕES; SHAW, 2007):
SE o trânsito está INTENSO na Avenida X ENTÃO mantenha o sinal verde por
MAIS TEMPO , onde os termos INTENSO E MAIS TEMPO representam conjuntos
fuzzy. Neste caso, INTENSO é uma função que determina o grau de densidade do trânsito
e MAIS TEMPO é uma função que determina o grau de duração do tempo de operação
do sinal. O fato de se implantar “inteligência”no controlador de semáfaro consiste então
em associar esses termos fuzzy através de uma inferência fuzzy, expressa por regras SE ...
ENTÃO, as quais podem ser obtidas por implicações fuzzy. Entretanto, se na modelagem
de um controlador de trânsito cosideram-se mais de um especialista pode-se considerar
diferentes graus de pertinências para a mesma variável. Neste caso, tem-se os conjuntos
fuzzy valorados intervalarmente, e as regras de inferência podem ser obtidas a partir das
implicações fuzzy intervalares.
O estudo de propriedades das implicações fuzzy valoradas intervalarmente, as extensões dos casos pontuais e as diferentes classes podem contribuir na generalização de
sistemas especialistas, ou possı́veis extensões.
A motivação para este trabalho pode ser creditada ao desejo de investigar estas
idéias ou de contribuir no sentido de que se tornem mais claras e precisas e, além disso,
colaborar na proposta de novas questões de pesquisa, mais precisas e objetivas.
A organização para este estudo está feita de forma que sejam contemplados os
objetivos previstos na seção seguinte, incluindo um estudo das principais classes de
implicações fuzzy.
16
1.3
Objetivos
Este trabalho individual aborda a pesquisa em lógica fuzzy intervalar e visa contribuir para o estudo das implicação fuzzy intervalares, no sentido da análise e extensão
intervalar das principais propriedades para o desenvolvimento teórico e de aplicações mais
relevantes.
Mais especificamente, busca-se:
• Revisar os fundamentos da lógica fuzzy e da matemática intervalar.
• Caracterizar o estado da arte da lógica fuzzy intervalar.
• Estudar os principais operadores fuzzy, incluindo as correspondentes extensões intervalares.
• Analisar as propriedades e diferentes tipos de implicações fuzzy e as correspondentes extensões intervalares.
• Consolidar a participação no Grupo de Matemática e Fundamentos da Computação
(GMFC).
1.4
Metodologia
A metodologia utilizada neste trabalho foi o levantamento bibliográfico dos fundamentos da lógica fuzzy intervalar visando um estudo introdutório das principais classes
de implicações fuzzy (S-implicações, R-implicações, QL-implicações e D-implicações) e
as correspondentes representações intervalares.
Esta metodologia considera o desenvolvimento de atividades que envolvem:
• Revisão bibliográfica da matemática intervalar e identificação das aplicações cientı́ficas.
• Estudo dos fundamentos da lógica fuzzy, incluindo aplicações de sistemas fuzzy;
• Identificação e análise dos principais implicações fuzzy, principais propriedades e
as correspondentes aplicações;
• Estudo da lógica fuzzy valorada intervalarmente, baseada na representação
canônica de funções intervalares, de acordo com o trabalho de pesquisa do grupo
de pesquisa GMFC;
• Análise da representação canônica das principais implicações fuzzy valoradas intervalarmente,
• Avaliação dos resultados obtidos e construção do texto final.
Salienta-se ainda que as atividades de revisão bibliográfica e estudo compreendem: (i) estudo individual de várias referências bibliográficas; (ii) apresentação de seminários e exposição oral sobre o assunto, incluindo discussão no grupo de pesquisa, com
periodicidade semanal; (iii) elaboração de um texto detalhado para consulta do grupo de
pesquisa. De forma análoga, a atividade de avaliação compreende elaboração de texto
final e definição da continuidade deste estudo a partir da revisão das atividades propostas
de acordo com a avaliação dos resultados obtidos.
17
1.5
Organização do Texto
A apresentação deste texto está organizada em 5 capı́tulos, brevemente resumidos
logo a seguir.
O Capı́tulo 1 é a corrente introdução, aonde estão registrados a motivação e os
objetivos do trabalho descrito neste texto.
No Capı́tulo 2, descreve-se sobre os fundamentos da lógica fuzzy , fazendo uma
distinção entre a lógica clássica e a lógica fuzzy. Ainda considera-se, caracterização e
aplicações da lógica fuzzy através de um estudo de caso.
No Capı́tulo 3, discorre-se sobre a teoria dos conetivos fuzzy (funções de
agregação), mais especificamente, as normas triangulares e as conormas triangulares, incluindo a negação fuzzy, as implicações fuzzy, as classes de implicações fuzzy e suas
propriedades.
No Capı́tulo 4 são resumidos os princı́pios da Matemática Intervalar, operações
aritméticas intervalares e propriedades, sua importância para a computação, incluindo a
negação intervalar, as normas triangulares intervalares e as conormas triangulares intervalares e as implicações fuzzy intervalares.
No Capı́tulo 5 são destacadas os principais tópicos exploradas no texto e apresentadas as conclusões obtidas. Às conclusões gerais acrescentam-se ainda observações
finais e continuidade do trabalho.
18
2
LÓGICA FUZZY
A lógica fuzzy é uma ferramenta matemática que permite operar com situações
onde as fronteiras entre o verdadeiro ou falso são incertos. Tem relevante utilidade computacional, pois a lógica fuzzy fornece condições de traduzir informações vagas, difusas
em valores numéricos, possibilitando a inclusão da experiência humana em controle computadorizado, tornando possı́vel decisões em problemas complexos.
Este capı́tulo apresenta uma fundamentação teórica dos conceitos de lógica fuzzy e
de conjunto fuzzy, fazendo uma distinção entre lógica fuzzy e lógica clássica. É analisado
também, um sistema de regras fuzzy, através de um estudo de caso.
2.1
Lógica clássica
Por que a Lógica clássica não é suficiente para modelagem de sistemas reais?
Certamente porque não consegue modelar a incerteza. A Lógica Clássica, ciência fundada
por Aristóteles, lida com verdadeiro ou falso. Uma proposição pode ser verdadeira ou
falsa,mas em diferentes ocasiões. Se é verdadeira, possui um valor verdade igual a 1. Se
não, possui um valor verdade igual a zero. Proposições podem ser combinadas para gerar
outras proposições, através de operadores lógicos. Quando se diz que uma proposição
é verdadeira ou falsa, está se fazendo uma declaração com certeza. Estas são chamadas
declarações “crisp”.
Por outro lado, existem declarações onde não tem-se apenas um certo grau de certeza. A modelagem deste tipo de situação por sistemas especialistas pode ser obtida pela
aplicação da Lógica Fuzzy. A abordagem fuzzy trata com proposições que são valoradas
como verdadeiras a partir de um certo grau de certeza - algo entre 0 e 1. Incorporando o
conceito de grau de verdade, a teoria dos conjuntos fuzzy estende a teoria dos conjuntos
tradicionais.
Os conjuntos são classificados qualitativamente (exemplos: morno, pequeno,
perto, ativo, quase, alto, parcialmente). Os elementos destes conjuntos são classificados segundo o grau de pertinência. Por exemplo, a velocidade de um carro a 80 km/h e a
150k/h, pertencem ao mesmo conjunto, mas com diferentes graus de pertinência.
Uma das caracterı́sticas da Lógica Clássica é o axioma do Terceiro Excluı́do, isto
é não existe alternativa para um valor verdade além de verdadeiro ou falso. Ao lidar
com problemas reais, no entanto, verifica-se que o conhecimento disponı́vel não é nem
absolutamente verdadeiro nem absolutamente falso, podendo ser, indeterminados, confusos, verdadeiros em geral ou ainda, falsos com uma certa probabilidade. Para estender
a Lógica Clássica de maneira a permitir o tratamento deste tipo de conhecimento, é ne-
19
cessário alterar o conjunto de valores, e neste caso, não mais restrito a verdadeiro ou falso.
A Lógica Fuzzy constitui-se num dos formalismos propostos para alterar este conjunto de
valores.
Na lógica clássica proposicional, lida-se com proposições, que podem ser verdadeiras ou falsas. As combinações de proposições p e q, para formar novas proposições,
são derivadas a partir de operações lógicas básicas. A partir de proposições dadas podem
se construı́das outras proposições pelo uso dos conectivos(CASTRUCCI, 1984),(FILHO,
1986):
(i) Conjunção: p ∧ q (determina a verdade quando as proposições p e q são ambas
verdadeiras e a falsidade nos demais casos);
(ii) Disjunção: p ∨ q (estabelece a verdade quando ao menos uma das proposições p ou
q é verdadeira e a falsidade quando ambas as proposições são falsas);
(iii)Implicação: p −→ q (determina a falsidade apenas quando o antecedente p for
verdadeiro e o consequente q for falso);
(iv) Negação: ¬p (a negação literalmente, nega a proposição que tem como argumento, “é falso que” ou “não e verdade que” são expressões semânticas destes
conectivos, onde ¬0 = 1 e ¬1 = 0);
(v) Bicondicional: p ↔ q (determina a verdade quando ambas as proposições são verdadeiras ou ambas são falsas).
Na lógica proposicional, proposições não relacionadas entre si podem ser combinadas para formar uma implicação, e não se considera nenhuma relação de causalidade,
tão presente no mundo real, conforme descreve a tabela 2.1.
Tabela 2.1: Tabelas verdade para as operações fundamentais da lógica
p q p ∧ q p ∨ q p −→ q p ←→ q ∼ p
V V
V
V
V
V
F
V F
F
V
F
F
F
F V
F
V
V
F
V
F F
F
F
V
V
V
Ou de forma análoga, podemos utilizar 1 para verdade e 0 para falsidade, conforme
mostrado na tabela 2.2.
Tabela 2.2: Tabelas verdade para as operações fundamentais da lógica
p q p ∧ q p ∨ q p −→ q p ←→ q ∼ p
1 1
1
1
1
1
0
1 0
0
1
0
0
0
0 1
0
1
1
0
1
0 0
0
0
1
1
1
20
2.2
Lógica Fuzzy
As primeiras noções da lógica dos conceitos “vagos” foi desenvolvida por um
lógico polonês Jan Lukasiewicz (1878-1956) em 1920 que introduziu conjuntos com
graus de pertinência sendo 0 , 21 e 1 e, mais tarde, expandiu para um número infinito
de valores entre 0 e 1.
A primeira publicação sobre lógica fuzzy data de 1965, quando recebeu este
nome. Seu autor foi Lotfi Asker Zadeh, professor em Berkeley, Universidade da California(ZADEH, 1965),(ZADEH, 1994). Zadeh introduziu a lógica fuzzy combinando os
conceitos da lógica clássica e os conjuntos de Lukasiewicz, definindo os graus de pertinência.
A lógica fuzzy é multivalente, isto é, reconhece vários valores, assegurando que a
verdade é uma questão de ponto de vista ou de graduação, definindo o grau de veracidade
em um intervalo numérico [0,1].
A lógica fuzzy provê uma forma de gerenciamento de incertezas, através da expressão de termos com um grau de certeza. Num intervalo numérico [0,1], a certeza
absoluta é representada pelo valor 1 e a falsidade, por 0.
Expressões verbais, imprecisas, qualitativas, inerentes da comunicação humana,
que possuem vários graus de incerteza, são perfeitamente manuseáveis através da lógica
fuzzy. No raciocı́nio humano, consistindo de implicações lógicas, ou também chamado
por inferência lógica, a entrada ou condição e a saı́da ou conseqüência, são associados por
regras de raciocı́nio, com graus de verdade no intervalo [0,1]. desta forma a lógica fuzzy
pode, sistematicamente, traduzir os termos da comunicação humana em valores fuzzy
compreensı́veis por sistemas especialistas(SIMÕES; SHAW, 2007).
Uma proposição fuzzy é uma frase do tipo x está em A, onde x é o nome de
uma variável linguı́stica e A é um conjunto fuzzy pertencente ao universo X. Sendo o
grau de pertinência de x em A (µA (x)) um número real no intervalo [0,1] As proposições
fuzzy podem ser combinadas por intermédio de diferentes operadores, que podem ser os
conectivos lógicos (e e ou), a negação (não) e a implicação (se...então). Com, isso as
proposições fuzzy podem ser escritas em termos de relações fuzzy(METCALFE, 2003).
Uma regra linguı́stica constitui uma frase do tipo se x esta em A então y está em B, a qual
contém em sua formação o operador de implicação se...então.
Uma variável linguı́stica é uma variável cujo valor é expresso qualitativamente,
por um termo linguı́stico que fornece um conceito à variável, por exemplo bonito, feio,
gordo ,magro e quantitativamente, por uma função de pertinência que determina o grau de
pertinência. A variável linguı́stica é composta por uma variável simbólica e por um valor
numérico. Os termos linguı́sticos são usados para expressar conceitos e conhecimentos
na comunicação humana(RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2009).
2.2.1
Conjunto fuzzy
A Lógica Fuzzy está baseada na teoria dos Conjuntos Fuzzy(CHEN; PHAM,
2001). Tradicionalmente, uma proposição lógica tem dois extremos: ou completamente
verdadeiro ou completamente falso. Entretanto, na Lógica Fuzzy, uma premissa varia em
grau de verdade de 0 a 1, o que leva a ser parcialmente verdadeira ou parcialmente falsa.
Com a incorporação do conceito de grau de verdade, a teoria dos Conjuntos Fuzzy
estende a teoria dos Conjuntos Tradicionais. Os grupos são rotulados qualitativamente
(usando termos lingüı́stico, tais como: alto, morno, ativo, pequeno, perto, etc.) e os
21
elementos deste conjuntos são caracterizados variando o grau de pertinência (valor que
indica o grau em que um elemento pertence a um conjunto). Por exemplo, um homem
de 1,80 metro e um homem de 1,75 metro são membros do conjunto “alto”, embora o
homem de 1,80 metro tenha um grau de pertinência maior neste conjunto.
Um conjunto fuzzy é definido, matematicamente, por meio da atribuição de
um valor que representa o grau de pertinência ao conjunto de cada indivı́duo no universo. Formalmente um conjunto fuzzy A é caracterizado por uma função de pertinência
µA (x) , a qual associa a cada elemento de um universo U, um número real no intervalo
unitário[0, 1]. O valor de µA (x) em U representa o grau de pertinência de x em A (ZADEH, 2008). Um conjunto fuzzy representa uma coleção de objetos com valores associados entre 0 (exclusão total) e 1 (pertinência total). Os valores associados expressam o
grau com o qual cada elemento é compatı́vel com as propriedades que são definidas para
o conjunto.
Um subconjunto fuzzy A de U é definido em termos de uma função pertinência µ
que a cada elemento x de U associa um número µ(x), entre 0 e 1, que é chamado o grau
de pertinência de x em A. Assim o conjunto a é definido como:
µA : U → [0, 1].
Os valores µA (x) = 1 e µA (x) = 0 significam a pertinência e a não pertinência,
respectivamente do elemento x ∈ A. Na teoria clássica dos conjuntos, o conceito de
pertinência de um elemento a um conjunto fica bem definido. Dado um conjunto A em
um universo U, os elementos deste universo simplesmente pertencem ou não pertencem
àquele conjunto. Isto pode ser expresso pela função caracterı́stica µA : X → {0, 1}. Logo,
dado um universo U e um elemento particular x ∈ U, a função de pertinência muA (x) em
relação ao conjunto A ⊆ U é definida por:
(
1, se x ∈ A
µA (x) =
(2.1)
0, se x < A;
Se µA = 0 , então x está no complemento de A, x ∈ A = X − A .
Mas, Zadeh propôs uma caracterização mais ampla, generalizando a função
caracterı́stica de modo que ela pudesse assumir um número infinito de valores no
intervalo [0,1], sendo µA (x) : U → [0, 1] o conjunto fuzzy A representando por um
conjunto de pares ordenados: A = {µA (x) | x ∈ X}
Um determinado elemento pode pertencer a mais de um conjunto fuzzy, com diferentes graus de pertinência. O conjunto suporte de um conjunto fuzzy A é o subconjunto
dos pontos x em U tal que µA (x) > 0.
Neste sentido a lógica fuzzy estende os conceitos da lógica tradicional para os
número reais. Ao contrário da lógica tradicional que tem somente dois valores, verdadeiro
ou falso, a lógica fuzzy é multivalorada, sendo os valores representados por conjuntos
fuzzy. Ou seja, a lógica fuzzy oferece uma ferramenta para tratar palavras ao invés de
números.
A teoria dos conjuntos fuzzy permite lidar com problemas em que a imprecisão
não resulta do comportamento aleatório de pertinência a um determinado conjunto. As
22
variáveis linguı́sticas podem assumir valores, cujos graus de precisão não podem ser mensurados com certeza.
2.2.2
Caracterização
A caracterı́stica especial da lógica Fuzzy(também referida como lógica nebulosa
e em alguns casos por teoria de possibilidades) é a de representar uma forma inovadora
de manuseio de informações imprecisas, de forma muito distinta da teoria de probabilidades(SIMÕES; SHAW, 2007). A lógica fuzzy provê um método de traduzir expressões
verbais, vagas, imprecisas e qualitativas, comuns na comunicação humana em valores
numéricos. Isso abre as portas para se converter a experiência humana em uma forma
compreensı́vel pelos sistemas especialistas sendo extensı́vel aos sistemas computacionais(ZADEH, 1975),(CARLSSON; FULLER, 2002).
Assim, a tecnologia favorecida pelo enfoque fuzzy tem um imenso valor prático,
na qual se torna possı́vel a inclusão da experiência de operadores humanos em controladores computadorizados, possibilitando estratégias de tomadas de decisão em problemas
complexos. A lógica fuzzy caracteriza-se por:
• Possuir vários modificadores de predicado: muito, mais ou menos, pouco, bastante,
médio;
• Possuir também um amplo conjunto de quantificadores: poucos, vários, em torno
de, usualmente;
• Fazer uso das probabilidades linguı́sticas: provável, improvável, expressões que
são interpretadas como números fuzzy e manipuladas pela sua aritmética.
• Manusear todos os valores entre 0 e 1, tomando estes, como um limite apenas.
A lógica fuzzy estende os conceitos da lógica tradicional para os número reais.
Ao contrário da lógica tradicional que tem somente dois valores, verdadeiro ou falso, a
lógica fuzzy é multivalorada, sendo os valores representados por conjuntos fuzzy. Ou
seja, a lógica fuzzy oferece uma ferramenta para tratar palavras ao invés de números. A
teoria dos conjuntos fuzzy permite lidar com problemas em que a imprecisão não resulta
do comportamento aleatório de pertinência a um determinado conjunto. As variáveis
linguı́sticas podem assumir valores, cujos graus de precisão não podem ser mensurados
com certeza.
2.2.3
Aplicações da Lógica Fuzzy
A lógica fuzzy tem fundamentado novas técnicas para aproximar a decisão computacional da decisão real. Isto é feito de forma que a decisão de uma máquina não
se resuma apenas a um sim ou um não, mas também tenha decisões abstratas, do tipo
um pouco mais, talvez sim, e outras tantas variáveis que representem as decisões humanas(BOJADZIEV; BOJADZIEV, 1995).
Entre 1970 e 1980 as aplicações da lógica fuzzy aconteceram com maior importância na Europa e após 1980, o Japão iniciou seu uso com aplicações na indústria.
Algumas das primeiras aplicações foram em um tratamento de água feito pela Fuji Electric em 1983 e pela Hitachi em um sistema de metro inaugurado em 1987. Por volta de
1990, a lógica fuzzy despertou um maior interesse em empresas dos Estados Unidos.
23
Devido ao desenvolvimento e as inúmeras possibilidades práticas dos sistemas
fuzzy e o grande sucesso comercial de suas aplicações, a lógica fuzzy é considerada hoje
uma técnica standard e tem uma ampla aceitação na área de controle de processos industriais (LODWICK, 2004)(BARROS; BASSANEZI, 2006),(BANDO, 2002).
Uma aplicação da lógica fuzzy está no desenvolvimento das Redes Neurais e das
técnicas mais recentes de Inteligência Artificial(IA)(expressão utilizada para designar um
tipo de inteligência construı́da pelo homem para dotar a máquina de comportamentos
inteligentes). (BARBOZA; DIMURO; REISER, 2004),(MENDEL, 2007).
Os primeiros estudos sobre IA surgiram na década de 40, que foi marcada pela II
Guerra Mundial. O desenvolvimento do computador, primeiramente impulsionado pela
aplicabilidade militar e posteriormente comercial, mostrou-se viável. Seu rápido progresso, desde o surgimento dos primeiros computadores eletrônicos (1943 - Collossus, na
Inglaterra e 1946 - ENIAC, nos Estados Unidos) até o surgimento dos microcomputadores (na década de 70) demonstra que essa área recebeu grandes investimentos. A partir da
estruturação desse novo campo do conhecimento o fenômeno da inteligência começou a
ser pesquisado de forma intensa. Vários esforços foram e têm sido feitos no sentido de
simular os tipos de raciocı́nios utilizados pelo ser humano e implementá-los no computador. Isso se tornou possı́vel em grande parte graças ao desenvolvimento dos sistemas
especialistas, da lógica fuzzy e das redes neurais.
2.2.4
Estudo de Caso: Aplicação do sistema baseado em regras fuzzy
no controle da qualidade de água para o consumo humano
O sistema para controle da qualidade da água para consumo humano será descrito
em quatro etapas, (de A a D)(JACELINE; BARROS; BASSANEZI, 2005)
A) Sistemas Baseados em Regras Fuzzy(Figura 2.1) Os sistemas baseados em
regras fuzzy, também conhecidos como: sistema de inferência fuzzy, sistema especialista
fuzzy, modelo fuzzy, controlador fuzzy ou apenas sistema fuzzy, são constituı́dos por
quatro componentes principais:
• Processador de Entrada (Fuzzificação): nesta etapa as variáveis de entrada do sistema são traduzidas em conjuntos fuzzy em seus respectivos domı́nios. É o processo de designar ou calcular um valor para representar o grau de pertinência de
uma entrada, em um ou mais grupos qualitativos, chamados conjuntos difusos.Para
a modelagem do fenômeno a ser analisado é de fundamental importância a atuação
de um especialista no momento em que são construı́das as funções de pertinências
para a descrição das entradas.
• Base de Regras: descreve relações entre as variáveis linguı́sticas, para serem utilizadas na máquina de inferência fuzzy. Constitui-se numa coleção de proposições
fuzzy na forma Se...então...
• Máquina de inferência: nesta etapa cada proposição fuzzy é traduzida matematicamente por meio de técnicas de raciocı́nio aproximado. Os operadores matemáticos
serão selecionados para definir a relação fuzzy que modela a base de regras. Desta
forma, a máquina de inferência fuzzy é de fundamental importância para o sucesso
do sistema fuzzy, já que fornece a saı́da a partir de cada entrada fuzzy e da relação
definida pela base de regras. Um dos métodos utilizados para o processo de dedução
24
é o de Mamdani. Método de MAMDANI Uma regra Se (antecedente) então (consequente) é definida pelo produto cartesiano fuzzy dos conjuntos fuzzy que compõem
o antecedente e o consequente da regra. Este método agrega as regras através do
operador lógico OU ( t-conorma) que é modelado pelo operador máximo e, em cada
regra, o operador lógico E (t-norma) é modelado pelo operador mı́nimo.
• Processador de saı́da (Defuzzicação): é o processo de se representar um conjunto
fuzzy por um número real, baseados nas variáveis de entrada. Um dos métodos
utilizados para defuzzicar a saı́da e obter um número real que a represente é pelo
centro de gravidade através da fórmula do centróide.
Figura 2.1: Sistemas Baseados em Regras Fuzzy.
Para esta análise da qualidade da água, são considerados três aspectos relacionados
com a sua potalidade (água para consumo humano), os quais consistem nas variáveis de
entrada.
B) Variáveis de Entrada Para a fuzzificação, ou seja, para a determinação das
variáveis de entrada são utilizadas informações da SABESP (Companhia de Saneamento
Básico do Estado de São Paulo). As váriáveis de entradas escolhidas para garantir a
potalidade da água são: cor aparente (medida em UH - unidade Hazen), pH (potencial
de hidrogeniônico, ou seja, concentração de ı́ons de Hidrogênio, onde os valores variam
de 0 a 14), e a turbidez (causada pela presença de substâncias suspensas e coloidais, é
determinada pela quantidade de luz dispersada quando ela passa através de uma amostra
e é medida em UT, ou seja, unidades de cor). Para o estudo em questão considera-se as
seguintes variáveis de entrada:
1. Cor aparente
• Menor ou igual a 5UH - boa
• Maior que 5UH e menor ou igual a 15UH - adequada
• Maior que 15UH - inadequada
25
2. pH
• De 6,5 a 8,5 - bom
• De 6 a 10 - adequado
• Menor que 6 ou Maior que 10 - inadequado
3. Turbidez
• Menor ou igual a 1UT - boa
• Maior que 1UT e menor que 5UT - adequada
• Maior que 5UT - inadequada
Na Figura 2.2 está representada a estrutura do sistema baseado em regras fuzzy
construı́do para determinar o tipo da qualidade da água. Considerando as variáveis:
Aparência (A), pH, Turbidez(T) como as variáveis linguı́sticas que influenciam na qualidade de água (Q) para o consumo.
Figura 2.2: Estrutura do sistema baseado em regras fuzzy.
Nas Figuras 2.3, 2.4 e 2.5 estão representadas as variáveis de entrada com suas
funções de pertinências trapezoidais.
Figura 2.3: Funções de Pertinência dos conjuntos fuzzy assumidos pela variável
linguı́stica Aparência da Água (A).
26
linguı́stica pH (H).
linguı́stica Turbidez (T).
C) Variável de Saı́da Para esta análise a variável de saı́da é a qualidade da água
com os termos linguı́sticos: boa, adequada e inadequada para o consumo. A figura 2.6,
representa a variável de saı́da.
Tabela 2.3: Regras fuzzy quando a aparência da água é boa
pH(H)\T urbidez(T )
Boa
Adequada Inadequada
InadequadoBaixo
Inadequada Inadequada Inadequada
Adequada
Adequada
Adequada Inadequada
Bom
Boa
Boa
Inadequada
InadequadoAlto
Tabela 2.4: Regras fuzzy quando a aparência da água é adequada
pH(H)\T urbidez(T )
Boa
Adequada Inadequada
InadequadoBaixo
Adequada
Adequada
Adequada Inadequada
Bom
Boa
Adequada Inadequada
InadequadoAlto
27
linguı́stica Qualidade da Água (Q).
Tabela 2.5: Regras fuzzy quando a aparência da água é inadequada
pH(H)\T urbidez(T )
Boa
Adequada Inadequada
InadequadoBaixo
v
Inadequada Inadequada
Adequada
Bom
Adequada
Adequada Inadequada
InadequadoAlto
Nesta análise temos um sistema composto por 36 regras formadas a partir de 3
termos lingüı́sticos da variável aparência, 4 termos lingüı́sticos da variável pH e 3 termos
lingüı́sticos da variável turbidez.(Tabelas 2.3, 2.4 e 2.5)
A Figura 2.6 representa a saı́da (qualidade de água) a partir das variáveis de entradas. Para a obtenção do valor de saı́da foi utilizada o método do centro de gravidade
e aplicado a fórmula do centróide. Na figura 2.7 temos um exemplo do resultado da
qualidade da água considerando-se para a aparência 15, o pH 7 e a turbidez 0.
A Figura 2.8 representa a superfı́cie tridimensional obtida com a modelagem deste
sistema fuzzy. Qualidade da água em função da aparência, pH e turbidez.
D) Conclusão Através das informações da SABESP e do sistema fuzzy podemos
constatar que a qualidade da água é boa para o consumo quando a cor aparente e a turbidez se aproximam de zero e o pH se manter em torno de 7. Desta forma, o controle da
qualidade da água para o consumo humano, deve ser cuidadoso, com o intuito de evitarmos doenças posteriores, e a lógica fuzzy é uma ferramenta útil para este tipo de controle,
uma vez que para análise da água são envolvidas muitas variáveis não numéricas. Além
dessas três variáveis da água que foram analisadas, poderı́amos utilizar outras, tais como:
odor e sabor, nı́vel de flúor, nı́vel de cloro residual, quantidade de coliformes fecais e
totais. Neste caso terı́amos mais variáveis de entrada, o que acarretaria em um número
bem maior de base de regras para a formação do sistema de inferências.
28
Figura 2.7: Resultado da qualidade da água para a aparência 15, o pH 7 e a turbidez 0.
Figura 2.8: Qualidade da água em função da aparência, pH e turbidez. .
29
3
AGREGADORES DA LÓGICA FUZZY
As normas triangulares, ou simplesmente t-normas, foram simultaneamente introduzidas em(MENGER, 1942) e (SCHWEIZER; SKLAR, 1961) . Estes trabalhos deram
uma axiomatização para as normas triangulares, estendendo estes conectivos proposicionais clássicos para o conjunto [0,1] e preservando suas propriedades lógicas. As noções
intuitivas de t-normas e t-conormas foram modeladas à partir dos conectivos de conjunção
e disjunção, respectivamente.
Outros conectivos proposicionais fuzzy são gerados através desses axiomas, desde
que exista uma ligação forte entre esses conectivos proposicionais fuzzy, sendo possı́vel
obter uma implicação fuzzy à partir de uma t- norma, ou uma negação fuzzy à partir de
uma implicação(FODOR, 1995).Várias generalizações de normas triangulares são encontradas na literatura (KLEMENT; MESIAR; PAP, 2000),(BEDREGAL; TAKAHASHI,
2006),(DESCHRIJVER, 2008),(BEDREGAL; TAKAHASHI, 2007),(TAKAHASH; BEDREGAL, 2006),(BUTINARIU; E.P., 1993), (KLEMENT; NAVARA, 1999).
3.1
Norma Triangular Fuzzy e Conorma Triangular
Fuzzy
Generalizando os operadores de união e intersecção tem-se as normas triangulares,
que são nomeadas como norma triangular e conorma triangular.
Esta seção apresenta a definição de norma triangular e conorma triangular.
São consideradas também os exemplos mais referenciados na literatura, incluindo as
classificações referentes à continuidade, e análise com respeito à relação de dualidade.
Automorfismo atuando sobre t-normas e t-conormas são estudados, mostrando que estes
operadores preservam tais funções de agregação.
3.1.1
Norma Triangular Fuzzy
Definição 1. Seja o intervalo unitário real U = [0, 1] ⊆ <. Uma norma triangular,
conhecida como t-norma, é uma operação binária T : U 2 → U, utilizada geralmente
para representar o operador (e) ou a intersecção,que satisfaz as seguintes propriedades:
T 1 Comutatividade:
T (x, y) = T (x, y);
T 2 Associatividade:
T (x(T (y, z)) = T (T (x, y), z);
T 3 Elemento Neutro:
T (x, 1) = x;
30
T 4 Monotonicidade:
T (x, y) ≤ T (x, z) se y ≤ z.
Proposição 1. A função T M : U 2 → U, T M (x, y) = min(x, y) é uma t-norma, denominada
norma triangular do mı́nimo.
Demonstração. Sejam T M (x, y) = min(x, y) e x, y, z ∈ U. Tem-se que:
(i) T M é comutativa:
T M (x, y) = min(x, y)
= min(y, x) = T M (y, x)
(ii) T M é associativa:
T M (x, T M (y, z)) =
=
=
=
min(x, T M (y, z))
min(x, min(y, z))
min(min(x, y), z))
min(T M (x, y), z) = T M (T M (x, y), z)
(iii) T M satisfaz a propriedade do elemento neutro:
T M (x, 1) = min(x, 1) = x
(iv) T M é monotônica:
y ≤ z → min(x, y) ≤ min(x, z) → T M (x, y) ≤ (T M (x, z)
Logo T M é uma t-norma.
Figura 3.1: t-norma triangular do mı́nimo(intersecção).
Proposição 2. A função T P : U 2 → U, T P (x, y) = x.y é uma t-norma, denominada norma
triangular produto .
Demonstração. Sejam T P (x, y) = x.y e x, y, z ∈ U. Tem-se que:
31
(i) T P é comutativa:
T P (x, y) = x.y
= y.x = T P (y, x)
(ii) T P é associativa:
T P (x, T P (y, z)) =
=
=
=
T P (x, y.z))
x.(y.z)
(x.y).z)
(T P (x, y).z) = T P (T P (x, y).z)
(iii) T P satisfaz a propriedade do elemento neutro:
T P (x, 1) = x.1 = x
(iv) T P é monotônica:
y ≤ z → x.y ≤ x.z → T P (x, y) ≤ (T P (x, z)
Logo T P é uma t-norma.
Figura 3.2: t-norma triangular do produto algébrico.
Proposição 3. A função T L : U 2 → U, T L (x, y) = max(x + y − 1, 0) é uma t-norma,
denominada norma triangular de Lukasiewicz.
Demonstração. Sejam T L (x, y) = max(x + y − 1, 0) e x, y, z ∈ U. Tem-se que:
(i) T L é comutativa:
T L (x, y) = max(x + y − 1, 0)
= max(y + x − 1, 0) = T L (y, x)
32
(ii) T L é associativa:
T L (x, T L (y, z)) =
=
=
=
=
T L (x, max(y + z − 1, 0))
max(x + max(y + z − 1, 0) − 1, 0)
max(max(x, 0) + max(y − 1, 0) + max(z, 0) − 1, 0)
max(max(x + y − 1, 0) + z − 1, 0)
max(T L (x, y) + z − 1, 0) = T L (T L (x, y), z)
(iii) T L satisfaz a propriedade do elemento neutro:
T L (x, 1) = max(x + 1 − 1, 0)
= max(x, 0) = x
(iv) T L é monotônica:
y ≤ z → max(x + y − 1, 0) ≤ max(x + z − 1, 0) → T L (x, y) ≤ (T L (x, z)
Logo T L é uma t-norma.
Proposição 4. Drástica do Produto T D (x, y)
(
0,
Se (x, y) [0, 1[2
T D (x, y) =
min{x, y}, c.c;
(3.1)
Observação 1. Pela definição, temos que T D (1, y) = y;T D (x, 1) = x;T D (x, y) = 0 ,com
x, y , 1
Demonstração. Considerando ∀x, y e z ∈ [0, 1],tem-se:
(i) T D é comutativa:
A) (x, y) ∈ [0, 1[2 → (y, x) ∈ [0, 1[2 → T D (x, y) = T D (y, x)
B) T D (x, y) = min(x, y) = min(y, x) = T D (y, x)
(ii)T D é associatividade: A) Se (x, y) ∈ [0, 1[2 então T D (x, y) = 0.
Se z ∈ [0, 1[2 então T D (x, T D (y, z) = T D (T D (x, y), z) = 0 .
Se z < [0, 1[2 então z=1, logo T D (x, T D (y, z) = T D (T D (x, y), z) = 0 .
B) Se (x, y) ∈ [0, 1[2 então x = y = 1 e S D (x, y) = min(x, y) = 0
Se z ∈ [0, 1[2 então S D (S D (x, y), z) = S D (1, z) = min(1, z) = 0 .
Se z < [0, 1[2 então z=1, logo S D (S D (x, y), z) = S D (x, S D (y, z) = 0 .
iii) T D satisfaz a propriedade do elemento neutro:
Se x ∈ [0, 1[2 então T D (x, 1) = x
33
Se x < [0, 1[2 então T D (x, 1) = min(x, 1) = x .
(iv) T D é monotônica:
A) Se (x, y) ∈ [0, 1[2 então T D (x, y) = 0.
Se z ∈ [0, 1[2 então T D (x, z) = 0, logo T D (x, y) ≤ T D (x, z).
Se z < [0, 1[2 então T D (x, z) = min(x, z) = x = 0 .Logo T D (x, y) ≤ T D (x, z)
B) Se (x, y) < [0, 1[2 então x = y = 1 .
Logo T D (x, y) = T D (x, z) = 0 .
Logo S D é uma t-conorma.
3.1.2
Conorma Triangular Fuzzy
Definição 2. Seja o intervalo unitário real U = [0, 1] ⊆ <. Uma conorma triangular,
indicada por t-conorma, é uma operação binária S : U 2 → U que satisfaz as seguintes
propriedades:
S 1 Comutatividade:
S (x, y) = S (x, y);
S 2 Associatividade:
S (x(S (y, z)) = S (S (x, y), z);
S 3 Elemento Neutro:
S (x, 0) = x;
S 4 Monotonicidade:
S (x, y) ≤ S (x, z) se y ≤ z.
Proposição 5. A função S M : U 2 → U, S M (x, y) = max(x, y) é uma t-conorma, denominada conorma triangular do máximo.
Demonstração. Sejam S M (x, y) = max(x, y) e x, y, z ∈ U. Tem-se que:
(i) S M é comutativa:
S M (x, y) = max(x, y)
= max(y, x) = S M (y, x)
(ii) S M é associativa:
S M (x, (S M (y, z)) =
=
=
=
max(x, (S M (y, z))
max(x, (max(y, z))
max(x, y), z))
max(S M (x, y), z) = S M (S M (x, y), z)
(iii) S M satisfaz a propriedade do elemento neutro:
S M (x, 0) = max(x, 0) = x
34
(iv) S M é monotônica:
y ≤ z → max(x, y) ≤ max(x, z) → S M (x, y) ≤ (S M (x, z)
Logo S M é uma t-conorma.
Figura 3.3: t-conorma triangular do máximo (união).
Proposição 6. A função S P : U 2 → U, S P (x, y) = x+y−xy é uma t-conorma, denominada
conorma triangular produto .
Demonstração. Sejam S P (x, y) = x + y − xy e x, y, z ∈ U. Tem-se que:
(i) T P é comutativa:
S P (x, y) = x + y − xy
= y + x − yx = S P (y, x)
(ii) S P é associativa:
S P (x, S P (y, z)) =
=
=
=
=
=
S P (x, y + z − yz))
(x + y + z − yz − x(y + z − yz))
(x + y + z − yz − xy − xz + xyz)
(x + y − xy + z − yz − xz + xyz)
(x + (1 − x)y + z − (yz + xz − xyz))
(S P (x, y).z) = S P (S P (x, y).z)
35
(iii) S P satisfaz a propriedade do elemento neutro:
S P (x, 0) = x + 0 − x.0 = x
(iv) S P é monotônica:
y ≤ z → x + y − xy ≤ x + z − xz ⇒ S P (x, y) ≤ (S P (x, z)
Logo S P é uma t-conorma.
Figura 3.4: t-conorma triangular do produto (soma algébrica).
Proposição 7. A função S L : U 2 → U, S L (x, y) = min(x + y, 1) é uma t-conorma,
denominada conorma triangular de Lukasiewicz.
Demonstração. Sejam S L (x, y) = min(x + y, 1) e x, y, z ∈ U. Tem-se que:
(i) S L é comutativa:
S L (x, y) = min(x + y, 1)
= min(y + x, 1) = S L (y, x)
36
(ii) S L é associativa:
S L (x, S L (y, z)) =
=
=
=
=
S L (x, min(y + z, 1))
min(x + min(y + z, 1), 1)
min(min(x, 1) + min(y, 1) + min(z, 1), 1)
min(min(x + y, 1) + z, 1)
min(S L (x, y) + z, 1) = S L (S L (x, y), z)
(iii) S L satisfaz a propriedade do elemento neutro:
S L (x, 0) = min(x + 0, 1)
= x+0= x
(iv) S L é monotônica:
y ≤ z → min(x + y, 1) ≤ min(x + z, 1) → S L (x, y) ≤ (S L (x, z)
Logo S L é uma t-conorma.
Proposição 8. A função S D : U 2 → U, é uma t-conorma, denominada Drástica da Soma
.
(
1,
Se (x, y) ∈ [0, 1[2
S D (x, y) =
(3.2)
max(x, y), c.c;
Demonstração. Sejam x, y, z ∈ U,tem-se que:
(i) S D é comutativa:
Se (x, y) ∈ [0, 1[2 então (y, x) ∈ [0, 1[2 . Logo S D (x, y) = S D (y, x) = 1
Se (x, y) < [0, 1[2 então x = y = 1 . Portanto max(x, y) = max(y, x) = 1
(ii) S D é associativa:
A) Se (x, y) ∈ [0, 1[2 então S D (x, y) = 1.
Se z ∈ [0, 1[2 então S D (x, S D (y, z) = S D (S D (x, y), z) = 1 .
Se z < [0, 1[2 então z=1, logo S D (x, S D (y, z) = S D (S D (x, y), z) = 1 .
B) Se (x, y) = [0, 1[2 então x = y = 1 e S D (x, y) = max(x, y) = 1
Se z ∈ [0, 1[2 então S D (S D (x, y), z) = S D (1, z) = max(1, z) = 1 .
Se z < [0, 1[2 então z=1, logo S D (S D (x, y), z) = S D (x, S D (y, z) = 1 .
(iii) S D satisfaz a propriedade do elemento neutro:
37
Se x ∈ [0, 1[2 então S D (x, 0) = 1
Se x < [0, 1[2 então S D (x, 0) = max(x, 0) = x .
(iv) S D é monotônica:
A) Se (x, y) ∈ [0, 1[2 então S D (x, y) = 1.
Se z ∈ [0, 1[2 então S D (x, z) = 1, logo S D (x, y) ≤ S D (x, z).
Se z < [0, 1[2 então S D (x, z) = max(x, z) = z = 1 .Logo S D (x, y) ≤ S D (x, z)
B) Se (x, y) < [0, 1[2 então x = y = 1 . Logo S D (x, y) = S D (x, z) = 1 .
Logo S D é uma t-conorma.
Definição 3. (KLEMENT; MESIAR; PAP, 2000) A t-norma T (t-conorma S, respectivamente) é dita
(i) contı́nua, se for contı́nua em ambos os argumentos;
(ii) contı́nua à esquerda, se for contı́nua à esquerda em ambos os argumentos ;
(ii) contı́nua à direita, se for contı́nua à direita em ambos os argumentos ;
(iii) idempotente, se T (x, x) = x(S (x, x) = x, respectivamente) para todo x ∈ U;
(iv) Arquimediana, se para cada x, y ∈ U existe n ∈ ℵ tal que xT[n] < y(xS[n] > y, respectivamente);
(v) estrita, se T(S, respectivamente) é continua e estritamente monotônica, i.e., T (x, y) <
T (x, z)) sempre x > 0 (S (x, y) < S (x, z)) sempre x < 1, respectivamente) e y < z.
(vi) nilpotente, se T(S, respectivamente) é contı́nua e se x ∈ U é um elemento nilpotente,
i. e., se para cada x ∈ U existe n ∈ ℵ tal que xT[n] = 0(xS[n] = 1, respectivamente).
(vii) positiva, se T (x, y) = 0 (S (x, y) = 1,respectivamente) implica que seja x = 0 ou
y = 0(x = 1 ou y = 1, respectivamente).
Observação 2. T M e T P são positivas enquanto as t-normas T L , T D e T nM não são. Da
mesma forma, S M e S P são positivas enquanto as t-conormas S L , S D e S nM não são.
Na Tabela 3.1, apresenta-se uma listagem de t-normas e t-conormas básicas e as
respectivas propriedades satisfeitas.
38
Tabela 3.1: Exemplos básicos de t-normas e t-conormas e suas propriedades
t-norma t-conorma
Propriedades
TM
SM
Contı́nua, Idempotente
TP
SP
Estrita
TL
SL
Nilpotente
TD
SD
Arquimediana, não-contı́nuas
T nM
Não-Arquimediana, contı́nua a esquerda
S nM
Não-Arquimediana, contı́nua a direita
3.1.3
Relação de Dualidade
Definição 4. A função S : [0, 1]2 → [0, 1] é uma t-conorma se, e somente se, existe a
t-norma T tal que para todo (x, y) ∈ [0, 1]2 cada uma das seguintes equivalências são
satisfeitas:
S (x, y) = 1 − T (1 − x, 1 − y),
(3.3)
T (x, y) = 1 − S (1 − x, 1 − y).
(3.4)
A t-conorma dada por Eq.(3.3) é chamada de dual t-conorma de T e, analogamente, a t-norma dada por Eq.(3.4) diz-se dual t-norma se S corresponde a negação
NC definida por N(x) = 1 − x.
Proposição 9. (T M , S M ), (T P , S P ), (T L , S L ) e (T D , S D ) são pares duais em relação a NC e
as t-normas e as t-conormas são mutuamente duais, respectivamente.
Demonstração. (i) (T M , S M ) é um par dual
1 − T M (1 − x, 1 − y) =
=
=
=
1 − min(1 − x, 1 − y)
max(1 − (1 − x), 1 − (1 − y))
max(x, y)
S M (x, y)
(ii) (T P , S P ) é par dual:
1 − T P (1 − x, 1 − y) =
=
=
=
1 − (1 − x).(1 − y)
1 − (1 − x − y + xy)
1 − 1 + x + y − xy
S P (x, y)
(iii) (T L , S L ) é par dual:
1 − S L (1 − x, 1 − y) =
=
=
=
1 − min((1 − x) + (1 − y) − (1 − 1), (1 − 0))
max(1 − (1 − x) + 1 − (1 − y) − 1 − (1 − 1), 1 − (1 − 0))
max(x + y − 1, 0)
T L (x, y)
39
(iv) (T D , S D ) é par dual:
A)T D (x, y) =
=
=
=
B)T D (x, y) =
=
=
=
=
3.1.4
0, (x, y) ∈ [0, 1[2
1−0
1
S D (x, y)
min(1 − x, 1 − y)
max(1 − (1 − x), 1 − (1 − y))
max(1 − 1 + x, 1 − 1 + y)
max(x, y)
S D (x, y)
Automorfismo e Norma triangular
Definição 5. Automorfismo: A função φ : U → U é um automorfismo se, e somente
se é bijetora e monotônica. Ou seja, φ é uma função contı́nua e estritamente crescente,
tal que: φ(0) = 0 e φ(1) = 1.
A Proposição 10 assegura que os automorfismos preservam as t-conormas.
Proposição 10. Seja S uma t-conorma,T uma t-norma e N uma negação forte, então temse:
T φ (x, y) = φ−1 (T (φ(x), φ(y))), ∀x, y ∈ [0, 1] é uma t-norma.
Demonstração. Para ser uma t-norma , as propriedades T 1 ,T 2 ,T 3 e T 4 (comutatividade,
associatividade, monotonicidade e elemento neutro) devem ser satisfeitas, então :
(T 1 )
(T 2 )
(T 3 )
T φ (x, y) = φ−1 (T (φ(x), φ(y)))
= φ−1 T (φ(y), φ(x))
= T φ (y, x) logo é comutativa.
T φ (x, T φ (y, z)) =
=
=
=
=
=
=
T φ (x, φ−1 (T (φ(y), φ(z))
φ−1 (T (φ(x), φ.φ−1 (T (φ(y), φ(z))
φ−1 (T (φ(x), (T (φ(y), φ(z))
φ−1 T (T (φ(x), φ(y), φ(z))
φ−1 T (φ.φ−1 (T (φ(x), φ(y)), φ(z))
T φ (φ−1 (T (φ(x), φ(y)), z)
T φ (T φ (x, y), z) logo é associativa.
Se x1 ≤ x2 . Então φ(x1 ) ≤ φ(x2 ).
T φ (x1 , y) = φ−1 T (φ(x1 ), φ(y))
≤ φ−1 T (φ(x2 ), φ(y))
= T φ (x2 , y) logo é monotônica no 1o argumento.
40
e de forma análoga:T φ (x, y1 ) ≤ T φ (x, y2 ) sempre que y1 ≤ y2
T φ (x, y1 ) = φ−1 T (φ(x), φ(y1 ))
≤ φ−1 T (φ(x), φ(y2 ))
= T φ (x, y2 ) logo é monotônica no 2o argumento.
(T 4 )
3.1.5
T φ (x, 1) =
=
=
=
φ−1 T (φ(x), φ(1))
φ−1 (T (φ(x), 1))
T φ (φ(x))
x logo 1 é o elemento neutro.
Automorfismo e Conorma triangular
A próxima proposição mostra que os automorfismos preservam as t-conormas
fuzzy.
Proposição 11. Seja S uma t-conorma,T uma t-norma e N uma negação forte, então temse:
S φ (x, y) = φ−1 (S (φ(x), φ(y))), ∀x, y ∈ [0, 1] é uma t-conorma.
Demonstração. Para ser uma t-conorma ,
as propriedades T 1 ,T 2 ,T 3
e T 4 (comutatividade, associatividade, monotonicidade e elemento neutro) devem
ser satisfeitas, então :
(S 1 )
S φ (x, y) = φ−1 (S (φ(x), φ(y)))
= φ−1 (S (φ(y), φ(x)))
= S φ (y, x) logo é comutativa.
(S 2 )
S φ (x, S φ (y, z)) =
=
=
=
=
=
=
(S 3 )
S φ (x, φ−1 (S (φ(y), φ(z))
φ−1 (S (φ(x), φ.φ−1 (S (φ(y), φ(z))
φ−1 (S (φ(x), (S (φ(y), φ(z))
φ−1 S (S (φ(x), φ(y), φ(z))
φ−1 S (φ.φ−1 (S (φ(x), φ(y)), φ(z))
S φ (φ−1 (S (φ(x), φ(y)), z)
S φ (S φ (x, y), z) logo é associativa.
Se x1 ≤ x2 . Então φ(x1 ) ≤ φ(x2 ).
S φ (x1 , y) = φ−1 S (φ(x1 ), φ(y))
≤ φ−1 S (φ(x2 ), φ(y))
= S φ (x2 , y) logo é monotônica no 1o argumento.
41
e de forma análoga:S φ (x, y1 ) ≤ S φ (x, y2 ) sempre que y1 ≤ y2
S φ (x, y1 ) = φ−1 S (φ(x), φ(y1 ))
≤ φ−1 S (φ(x), φ(y2 ))
= S φ (x, y2 ) logo é monotônica no 2o argumento.
(S 4 )
3.2
S φ (x, 0) =
=
=
=
φ−1 S (φ(x), φ(0))
φ−1 (S (φ(x), 0))
S φ (φ(x))
x logo 0 é o elemento neutro.
Negação Fuzzy
Esta seção considera o estudo das funções de complemento, negação fuzzy. São
definidas e exemplificadas negações fuzzy forte, estritas e contı́nuas. Ponto de equilı́brio
de uma negação é apresentado assim como também é considerada a ação de automorfismo
em funções de negação.
3.2.1
Negação Fuzzy e Negação Fuzzy Forte
A função N : U → U é uma negação fuzzy se
N1 : N(0) = 1 e N(1) = 0;
N2 : Se x ≥ y então N(x) ≤ N(y), ∀x, y ∈ U.
Uma negação fuzzy se satisfaz a propriedade involutiva então é chamada de negação fuzzy
forte. (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003; KLEMENT; MESIAR; PAP, 2000):
N3 : N(N(x)) = x, ∀x ∈ U.
Além disso, uma negação fuzzy é contı́nua e estrita quando:
N4 : Se x > y então N(x) < N(y), ∀x, y ∈ U.
Sabe-se, que toda negação fuzzy forte é estrita.
Um elemento e ∈ U é dito ser ponto de equilı́brio se a negação fuzzy N sempre
N(e) = e. Se N é uma negação fuzzy estrita , então existe: um único ponto de equilı́brio
eN ∈ U e admite N(x) ≥ eN , para todo x ≤ eN . Por outro lado, tem-se N(x) ≤ eN , para
todo x ≥ eN .
3.2.2
Exemplos de Negação Fuzzy
Exemplo 1. Um tı́pico exemplo de uma negação fuzzy forte é Negação Complementar
ou Negação Padrão, ou seja, é a função dada por NC (x) = 1 − x.
Exemplo 2. A Negação de Gödel é uma negação fuzzy, mas não é estrita e nem forte.
(
0, se x ∈ ]0, 1]
NG (x) =
(3.5)
1, se x = 0;
42
Exemplo 3. Sendo T e S, respectivamnete a t-norma e a t-conorma. A função NT , NS :
U → U é definida como
NT (x) = sup{t ∈ U|T (x, t) = 0},
(3.6)
NS (x) = in f {t ∈ U|S (x, t) = 1},
(3.7)
São chamadas negação natural de T(eq.4.2) e a negação natural de S (eq.4.3).
O seguinte, exemplo básico de negação natural de t-normas e t-conormas são considerados:
(i) NC é uma negação natural se T L e é uma negação natural se S L ;
(ii) NC é uma negação natural se a positiva t-norma T (t-conorma S L );
(iii) ND2 é uma negação natural se T D1 e ND1 é uma negação natural se S D ;
(iv) NC é uma negação natural se T nM e é uma negação natural seS nM .
Observação 3. Para qualquer T t-norma e S t-conorma temos T (x, 0) = x e S (x, 1) = 1,
pode-se definir os conjuntos Eq. (3.6) e Eq. (3.7) não-vazios.
Observe que, se S (x, y) = 1 para algum x, y ∈ U, então y ≥ NS (x) e se T (x, y) = 0
para algum x, y ∈ U, então y ≤ NS (x). Além disso, se z < NT (x) então T (x, z) = 0 e se
qualquer z > NS (x) então T (x, z) = 0, quando z, x ∈ U.
Quando na t-norma considerada, é possı́vel estabelecer uma ordem parcial relacionada a uma negação fuzzy . Considerando duas negações fuzzy N1 e N2 ,esta ordem
parcial é definida como:
N1 ≤ N2 se, para cada x ∈ U, N1 (x) ≤ N2 (x).
Observação 4. Se N1 ≤ N2 ex ≥ y então N1 (x) ≤ N2 (y).
3.2.3
Automorfismo e Negação
Proposição 12. (BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003)[Teorema 2] A t-norma T continua é tal que T (x, N(x)) = 0 vale para todo x ∈ [0, 1]com uma negação estrita N se e
somente se existir um automorfismo φ neste intervalo.
T (x, y) = φ−1 (max(φ(x) + φ(y) − 1, 0))
N(x) ≤ φ−1 (1 − φ(x)).
Proposição 13. Uma negação fuzzy é forte se, e somente se existir um automorfismo φ
para todo x ∈ [0, 1] , tal que:
N(x) = φ−1 (1 − φ(x)) ∀x ∈ [0, 1]
Proposição 14. Seja N uma negação forte, então tem-se:
N φ (x) = φ−1 (N(φ(x))
∀x ∈ [0, 1] é uma negação forte.
43
Demonstração. Para ser uma negação forte, as propriedades N1,N2 e N3 dever ser satisfeitas, então :
N φ (0) =
=
=
=
(N1)
φ−1 (N(φ(0))
φ−1 (N(0))
φ−1 (1)
1
e
N φ (1) =
=
=
=
(N2)
como mostrado a seguir:
φ−1 (N(φ(1))
φ−1 (N(1))
φ−1 (0)
0
Seja x ≤ y. Então φ(x) < φ(y). Logo N φ (x) ≥ N φ (y) ,
N φ (x) = φ−1 (N(φ(x))
≥ φ−1 (N(φ(y))
= N φ (y)
(N3)
3.3
N φ (N φ (x)) =
=
=
=
=
N φ (φ−1 (N(φ(x))
φ−1 (N(φ.φ−1 (N(φ(x)))
φ−1 (N(N(φ(x)))
φ.φ−1
x
Implicações Fuzzy
A implicação fuzzy generaliza a implicação clássica e desempenha um papel importante em lógica fuzzy, em especial na fase de fuzzificação de um sistema fuzzy. Fazer
uma inferência difusa significa aplicar regras do tipo se X então Y de forma que X e
Y, e a própria proposição, sejam noções difusas. Dessa forma, se torna mais fácil interpretar matematicamente e implementar sistemas a partir do raciocı́nio humano, pois o
pensamento humano consiste de implicações lógicas.
Nesta seção considera-se o estudo das implicações fuzzy, suas propriedades e
mais precisamente, caracterizações de algumas classes de implicações fuzzy. Esta discussão centra-se principalmente em quatro importantes classes de implicações fuzzy: Simplicações, R-implicações, QL-implicações e D-implicações.
Definição 6. Uma função I : [0, 1]2 → [0, 1] é uma implicação fuzzy se verifica, no
mı́nimo, as seguintes condições:
I(1, 1) = I(0, 1) = I(0, 0) = 1 e I(1, 0) = 0
44
Portanto, uma implicação fuzzy é uma extensão da implicação clássica, ou seja,
compreende-se o operador de implicação como uma forma de modelar regras de inferência do tipo se ... então (se ”premissa”então ”conclusão”).
3.3.1
Propriedades das Implicações Fuzzy
Existem inúmeras propriedades das implicações fuzzy apresentadas em (RUIZAGUILERA; TORRENS, 2009; FODOR; ROUBENS, 1994; BACZYNSKI, 2004;
BACZYNSKI; JAYARAM, 2008; BACZYNSK; JAYARAM, 2009; BALASUBRAMANIAM, 2007; BEDREGAL; REISER; DIMURO, 2009; BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003; BACZYNSKI; JAYARAN, 2007; FODOR, 1995; MAS; MONSERRAT;
TORRENS, 2007; MAS et al., 2007; SAINIO; TURUNEN; MESIAR, 2008; RUAM;
KERRE, 1993; YAGER, 2004, 1983). As propriedades das implicações fuzzy relevantes
para este estudo, estão enunciadas abaixo: Considere∀x, y, z ∈ [0, 1]
I1 Se x ≤ z então I(x, y) ≥ I(z, y)(antitonicidadeno primeiro argumento)
I2 Se y ≤ z então I(x, y) ≤ I(x, z), ∀x, y, z ∈ [0, 1](isotonicidade no segundo argumento)
I3 I(1, x) = x (princı́pio da neutralidade)
I4 I(x, I(y, z)) = I(y, I(x, z)) (princı́pio da troca)
I5 I(x, y) = I(x, I(x, y))
I6 I(x, N(x)) = N(x)(onde N é uma negação fuzzy forte)
I7 N(x) = I(x, 0) = x ( é uma negação fuzzy forte)
I8 I(x, 1) = 1 (dominância da verdade do consequente)
I9 I(x, y) ≥ y
I10 I(x, y) = I(N(y), N(x)) (onde N é uma negação fuzzy forte)(lei da contraposição)
I11 I(0, y) = 1 (dominância da falsidade do antecedente)
I12 I(x, y) ≥ NI (x)
I13 I(x, y) = 0 se e somente se x = 1 e y = 0.
I14 S (x, N(x)) = 1 (lei do terceiro excluı́do)
I15 I(x, y) = 0 sex ≤ y (princı́pio da ordenação)
I16 I(x, x) = 1 (princı́pio da identidade)
Proposição 15. Se I : U 2 → U é uma implicação fuzzy satisfazendo a propriedade I1:
então NI : U → U, definida por NI (x) = I(x, 0), é uma negação fuzzy (BACZYNSKI;
JAYARAM, 2008).
45
Demonstração. NI : U → U é uma negação fuzzy. Pela definição de implicação fuzzy,
tem-se que NI satisfaz N4 :
NI (0) = I(0, 0)
= 1
NI (1) = I(1, 0)
= 0
Além disso, NI satisfaz N2 , seja x ≤ y, então NI (x, z) ≥ NI (y, Z) Portanto, NI é
uma negação fuzzy.
3.3.2
Principais Classes de Implicações Fuzzy
O conjunto de todas as implicações fuzzy pode ser dividido em classes(YAGER,
2004). Essas classes podem ser construı́das a partir das propriedades I1, I2 ... I16.
• S-Implicações
Uma S-Implicação é uma generalização da condicional da lógica
proposicional(RUIZ-AGUILERA; TORRENS, 2009),(BACZYNSKI; JAYARAM, 2008), ou seja,
p → q ≡ ¬p ∨ q
Onde o conectivo ∨ (ou) representa a operação de máximo (união padrão).
Seja S uma t-conorma e N uma negação forte, então:
IS (x, y) = S (N(x), y) , ∀ x, y ∈ [0, 1]
ou de outra forma:
IS ,N (x, y) = S (N(x), y) , ∀ x, y ∈ [0, 1]
Exemplo 4. Considerando S (x, y) = max(x, y) e N(x) = 1 − x, tem-se que:
IS (x, y) = max(1 − x, y)
• R-Implicações
Seja T uma t-norma, então (BEDREGAL et al., 2007):
IR (x, y) = sup{z ∈ [0, 1] | T (x, z) ≤ y }
Exemplo 5. Considerando T (x, y) = min(x, y), tem-se que:
IR (x, y) = sup{z ∈ [0, 1] | min(x, y) ≤ y }
46
• QL-Implicações
Seja S uma t-conorma, T uma t-norma e N uma negação forte, então:
IQL (x, y) = S (N(x), T (x, y)) , ∀ x, y ∈ [0, 1]
ou representada da seguinte forma:
IS NT (x, y) = S (N(x), T (x, y)) , ∀ x, y ∈ [0, 1]
As QL-implicações estendem a noção de implicação da lógica proposicional, dada
pela expressão: co
¬p ∨ (p ∧ q)
onde, os conectivos ∨(ou)disjunção e ∧(e)conjunção são representadas, respectivamente, pelas operações de máximo (união) e de mı́nimo(intersecção), e ¬
(não)negação pela negação padrão fuzzy.
Exemplo 6. Considerando S (x, y) = max(x, y) , T (x, y) = min(x, y)e N(x) = 1 − x,
tem-se que:
IQL (x, y) = max(1 − x, min(x, y))
• D-Implicações
Seja S uma t-conorma, T uma t-norma e N uma negação forte, então:
ID (x, y) = S (T (N(x), N(y)), y) , ∀ x, y ∈ [0, 1]
ou simbolizada por:
IS ,T,N (x, y) = S (T (N(x), N(y)), y) , ∀ x, y ∈ [0, 1]
Pela lógica proposicional, pode-se definir como:
p → q ≡ (¬p ∧ ¬q) ∨ q
Proposição 16. A função I : U 2 → U é uma S- implicação fuzzy forte se e somente se I
satifaz as propriedades I1,I2,I3,I4 e I10:
Demonstração. Sejam x, y, z ∈ [0, 1]. Tem-se que, se I é uma S-implicação fuzzy forte,
satisfaz as seguintes propriedades:
(I1) x ≤ z → I(x, y) ≥ I(z, y)
IS N (x, y) = S (N(x), z) ≥ S (N(y), z)
= IS N (z, y)
(I2) y ≤ z → I(x, y) ≥ I(x, z)
IS N (x, y) = S (N(x), y) ≤ S (N(x), z)
= IS N (x, z)
47
(I3) I(1, x) = x
IS N (1, x) = S (N(1), x) ≤ S (0, x)
= x
(I4) I(x, I(y, z)) = I(y, I(x, z))
IS N (x, IS N (y, z)) =
=
=
=
=
=
=
S (N(x), IS N (y, z))
S (N(x), S (N(y), z)
S (S (N(x), N(y)), z) (pela comutatividade de S )
S (S (N(y), N(x)), z) (pela associatividade de S )
S (N(y), S (N(x), z)
S (N(y), IS N (x, z))
IS N (y, IS N (x, z))
(I10) I(x, y) = I(N(y), N(x)), sendo N uma negação forte.
IS N (N(y), N(x)) =
=
=
=
S (N(N(y)), N(x))
S (y, N(x)) (pela comutatividade de S )
S (N(x), y)
IS N (x, y)
Proposição 17. A função I : U 2 → U é uma S- implicação fuzzy forte se e somente se
IS N satifaz as propriedades I1-I4 e I7:
Demonstração. Se IS N é forte, satisfaz as propriedades I1-I4 (provadas anteriormente)
e I7:
(I7) N(x) = I(x, 0)
Considerando
IS N (x, 0) = S (N(x), 0) (pelo elemento neutro da S )
= N(x)
(3.8)
(3.9)
N(N(x)) = N(I(x, 0))
= N(S (N(x), 0))
(3.10)
(3.11)
e
Tem-se que:
IS N (IS N (x, 0), 0) =
=
=
=
=
=
S (N(IS N (x, 0)), 0) (pela eq. 5.1)
S (N(S (N(x)), 0), 0) (pela eq. 5.3)
S (S (N(N(x), 0), 0)
S (S (x, 0), 0)
S (x, 0)
IS N (x, 0)
48
Proposição 18. A função I : U 2 → U é uma S- implicação fuzzy forte se e somente se
IS N satifaz as propriedades I8-I13 :
Demonstração. Sejam x, y, z ∈ [0, 1] e N uma negação fuzzy forte:
(I8) I(x, 1) = 1
IS N (x, 1) = S (N(x), 1)
= S (N(x), y)
= 1
(I9) I(x, y) ≥ y
IS N (x, y) =
≥
≥
≥
S (N(x, y))
S (N(1), y))
S (0, y))
y
(I10) I(x, y) = I(N(y), N(x)) ( anteriormente demonstrada ).
(I11) I(0, x) = 1
IS N (0, x) = S (N(0), x)
= S (1, x)
= 1
(I12) I(x, y) ≥ NI (x)
IS N (x, y) ≥
≥
≥
=
S (N(x), y)
S (N(x), 0)
IS N (x, 0)
NI (x)
(I13) I(x, y) = 0 se e somente se x = 1 e y = 0
Se x = 1 e y = 0 então
IS N (1, 0) = S (N(1), 0)
= S (0, 0)
= 0
Se IS N (x, y) = 0 então S (N(x), y) = 0, logo S (N(x), y) = S (0, 0).
Portanto y = 0 e N(x) = 0 → x = 1
49
Proposição 19. Seja I : U 2 → U uma implicação fuzzy forte e se I é do tipo QLimplicações então as propriedades I1,I2,I3 e I7 são satisfeitas:
Demonstração. Considerando IS NT = S (N(x, y)).
(I1) x ≤ z → I(x, y) ≥ I(z, y)
IS NT (x, y) =
≥
≥
=
S (N(x), T (x, y))
S (N(z), T (x, y)) (troca do 1o argumento)
S (N(z), T (z, y))
IS NT (z, y)
(I2) y ≤ z → I(x, y) ≥ I(x, z)
IS NT (x, y) = S (N(x), T (x, y))
≤ S (N(x), T (x, z))
= IS NT (x, z)
(I3) I(1, x) = x
IS NT (1, x) =
=
=
=
S (N(1), T (1, x))
S (0, T (1, x)) (1 é neutro na T)
S (0, x) (0 é neutro na S)
x
(I7) N(x) = I(x.0), sendo N uma negação forte.
IS NT (x, N(x)) = S (N(x), T (x, N(x))) (definição de t-norma: V ∧ F = F)
= S (N(x), 0) (0 é neutro na S)
= N(x)
Proposição 20. Se uma QL-implicação satisfaz a simetria contrapositiva, com respeito a
propriedade I10, então S (x, N(x)) = 1 , ∀x ∈ U.
Demonstração. (I10) I(x, y) = I(N(y), N(x))
IS NT (x, y) = S (N(x), T (x, y))
S (x, N(x)) =
=
=
=
=
=
=
=
=
S (N(x), x) (comutatividade da S)
S (N(x), T (x, 1)) (elemento neutro na T e definição de QL-implicação)
I(x, 1)
I(N(1), N(x))
I(0, N(x)) (definição de QL-implicação)
S (N(0), T (0, N(x))
S (1, T (0, N(x)) (elemento absorvente da T)
S (1, 0) (elemento neutro da S)
1
Proposição 21. Se IS NT satisfaz I1, então : S (x, N(x)) = 1
50
Demonstração. (I1) x ≤ z → I(x, y) ≥ I(z, y)
IS NT (x, y) =
=
=
≥
=
S (N(x), T (x, y))
S (N(x), T (x, 1)) (elemento neutro da T)
I(x, 1) (definição de QL-implicação)
IS NT (1, 1) (definição do domı́nio U = [0, 1])
1
Logo,S (x, N(x)) = 1
Proposição 22. Se IS NT satisfaz I8, então : S (x, N(x)) = 1, ∀x ∈ U
Demonstração. (I8) I(x, 1) = 1
S (x, N(x) =
=
=
=
S (N(x), x)
S (N(x), T (x, 1))
IS NT (x, 1)
1
Proposição 23. Seja T M uma t-norma mı́nima, uma negação fuzzy forte e S uma tconorma satisfazendo S (x, N(x)) = 1. Então a correspondente QL-implicação IS NT M é
dada por:
(
IS NT M =
1,
S (N(x), y),
se x ≤ y
c.c;
Demonstração. Considere primeiramente que (H1) x ≤ y.Tem-se:
IS NT M (x, y) = S (N(x), T (x, y))
S (x, N(x)) =
=
=
=
=
S (N(x), T M (x, y))
S (N(x), min(x, y))
S (N(x), x) comutatividade da S
S (x, N(x))
1
Agora, seja x, y ∈ U tais que x > y. logo, tem-se que: (H2) x > y
IS NT M (x, y) = S (N(x), T M (x, y))
= S (N(x), min(x, y))
= S (N(x), y)
Proposição 24. Seja IS M NT uma QL-implicação.Então:
(i) IS M NT (x, N(x)) = N(x) e
(ii) IS M NT (x, y) = 1 se, e somente se x = 0 e x = y = 1
(3.12)
51
Tabela 3.2: Exemplos básicos de QL-implicações e suas propriedades
N
IS ,N,T
Nome
NC IK,D (x, y) = max(1 − x, y)
Kleene-Dienes
NC IR,C (x, y) = 1 − x + xy
Reichenbach
NC IL (x, y) = min(1
− x + y, 1)
Łukasiewicz
(
S
SL
SL
SL
T
TL
TP
TM
S nM
TM
NC
SD
TP
NC
SM
T
NK
SP
T
ND2
1,
if x ≤ y;
max{1 − x, y}, otherwise;


y,
if x = 1;



1
−
x,
if
y = 0;
IDP (x, y) = 


 1,
x < 1 and y > 0
I M,K (x, y) =(max(1 − x2 , y)
1, if x < 1;
ID2 (x, y) =
y, x = 1
IF (x, y) =
Propriedades
I3, I4
I3, I4
I3, I4, I15, I16.
Fodor
I3, I4, I15, I16.
Dubois-Prade
I3, I4, I15.
-
I3, I4
Weber
I3, I4, I16.
Demonstração. (i) IS M NT (x, N(x)) = N(x)
IS M NT (x, N(x))) =
=
=
=
S M (N(x), 0) (definição da T (p ∧ ¬p = 0))
S (N(x), T (x, 1))
max(N(x), 0) (x ∈ [0, 1])
N(x)
(ii) IS M NT (x, y) = 1 se, e somente se x = 0 e x = y = 1
A) Se x = 0
IS M NT (0, y) =
=
=
=
S M (N(0), T (0, y))
S M (1, 0)
max(1, 0)
1
(0 é o elemento absorvente da T)
B) Se x = y = 1
IS M NT (1, 1) =
=
=
=
S M (N(1), T (1, 1))
S M (0, 1)
max(0, 1)
1
A Tabela 6.1 apresenta exemplos de QL-implicações e as propriedades satisfeitas por
estas implicações frequentemente referenciadas na literatura.
Proposição 25. Uma D-implicação corresponde a contraposição com relação a negação
de uma QL-implicação.
(i) IS T N (x, y) = N(IS NT (N(y), N(x))
(ii) IS NT (x, y) = N(IS T N(N(y), N(x))
52
Demonstração. Considerando-se
IS NT (x, y) = S (N(x), T (x, y))
(QL-implicação) e
IS T N (x, y) = S (T (N(x), N(y)), y)
(D-implicação), tem-se que:
A)IS T N (N(y), N(x)) = S (T (y, x), N(x))
= S (N(x)T (x, y))
= IS NT (x, y)
B)IS NT (N(y), N(x)) =
=
=
=
(comutatividade da S e T)
S (N(N(y)), T (N(y), N(x)))
S (y, T (N(y), N(x)) (comutatividade da S e T)
S (T (N(x), (N(y)), y)
IS T N (x, y)
Portanto, verifica-se a dualidade.
Proposição 26. Seja T uma t-norma , S uma t-conorma e N uma negação fuzzy forte.Se I
é uma D-implicação satisfaz a propriedade I2 (monotonicidade do segundo argumento),
então tem-se: S (x, N(x)) = 1, ∀x ∈ [0, 1](princı́pio do meio excluı́do).Ou seja,a proposição diz que quando é monotônica satisfaz o princı́pio do meio excluı́do.
Demonstração.
S (x, N(x)) =
=
=
=
≥
=
3.3.3
S (x, T (N(x), 1)) (como o neutro da T é 1, aplicou-se uma T)
S (x, T (N(x), N(0)) (comutatividade da S e T)
S (T (N(0), (N(x)), x) (definição de D-implicação)
ID (0, x)
ID (0, 0)
1
Exemplos de implicações fuzzy obtidas a partir de outros conectivos fuzzy
1) IS P,NC,T P (x, y) = 1 + x2 y − x
Sejam:
S (x, y) = S P (x, y) = x + y − xy
T (x, y) = T P (x, y) = x.y
N(x) = 1 − x,
então
53
IS P,NC,T P (x, y) =
=
=
=
S P (N(x), T P (x, y))
S P (1 − x, x.y)
1 − x + x.y − x.y = x2 y
1 + x2 y − x
2) A Implicação de Gödel é uma R-implicação
(
1, Se x ≤ y
IG (x, y) =
y, c.c;
Considerando a t-norma T M (x, y) = min(x, y) e a definição de R-implicação, tem-se que:
• (i) x ≤ y → T (x, 1) ≤ y → sup{t ∈ [0, 1] | T (x, t) ≤ y} = 1
• (ii)x > y
A) x ≤ y → T (x, t) = min(x, t) = x ≤ y (contradição)
B) x > t → T (x, t) = t ≤ y → sup{t ∈ [0, 1] | T (x, t) ≤ y → I(x, y) = y } Portanto,
por (i) e (ii) Gödel implicação é uma R-implicação.
3) A implicação de LuKasiewics que é igual ao mı́nimo entre 1 e 1-x+y é uma Simplicação
Ou seja: IL (x, y) = min(1, 1 − x + y)
Considerando
IS N (x, y) = S (N(x), Y)
IL (x, y) = min(x + y, 1)
NC (x) = 1 − x. Então:
IS N (x, y) = S (N(x), y)
= S (1 − x, y)
= min(1 − x + y, 1)
54
4
LÓGICA FUZZY INTERVALAR
Este capı́tulo apresenta um resumo sobre Matemática Intervalar e das principais
operações intervalares. Discorre-se ainda, sobre a importância da lógica fuzzy intervalar.
Conceitos sobre operadores da lógica fuzzy são extensivos para a abordagem intervalar,
descrevendo as t-normas fuzzy intervalares e t-conormas fuzzy intervalares, bem como as
propriedades que devem ser consideradas para fundamentar este estudo. É feito um estudo
sobre as implicações fuzzy valoradas intervalarmente com ênfase nas S-implicações.E
também, analisando automorfimos, a construção canônica de automorfimo intervalar e
mostrando -se as condições para que automorfismos preservam implicações fuzzy intervalares.
4.1
Matemática Intervalar
A Matemática Intervalar(MI) é uma teoria introduzida com o objetivo de automatizar a análise de erro computacional. Ela trata de dados na forma de intervalos numéricos,
buscando controlar os limites de erro dos processos de desenvolvimento de métodos operacionais construtivos (Matemática Numérica) para a resolução aproximada de problemas
que podem ser representados por um modelo matemático exato e eficiente. neste contexto vem proporcionando a máxima economia e confiabilidade em termos dos fatores
envolvidos, como tempo de execução, memória e erros de arredondamento e de truncamento(CLAUDIO; MARINS, 1989).
Os números representados como intervalos servem como controladores da
propagação do erro, uma vez que garantem que a resposta correta de determinado problema pertence ao intervalo obtido (BEDREGAL; DIMURO; REISER, 2009).
Os intervalos, na computação cientı́fica, podem ser aplicados para representar valores desconhecidos e, também, para representar valores contı́nuos(números reais). Servem para controlar o erro de arredondamento e para representar dados inexatos, aproximações e erros de truncamento de procedimentos (DESCHRIJVER; KERRE,
2005),(MENDOZA; MELIN; LICEA, 2009).
Os primeiros pesquisadores a utilizarem uma forma de Aritmética Intervalar para
descrever resultados foram Burkill, 1924 e Young, em 1931 e os primeiros registros de
trabalhos independentes nessa área devem-se a P.S. Dwyer, M.Warmus, T. Sunaga e Ramon E. Moore(MOORE, 1962),(DWYER, 1951),. Mas quem consolidou a Aritmética
Intervalar foi Moore, com publicações de artigos e em especial com a sua monografia, em
1966. Seu trabalho despertou a comunidade cientı́fica para aplicação da Matemática Intervalarcomo uma área de pesquisa computacional. Leslie Fox, em 1974, nas suas pesquisas
55
propõe um avanço desta teoria combinando diferentes áreas, como análise intervalar, topologia intervalar, álgebra intervalar e outras.
Atualmente, a Matemática Intervalar vem sendo empregada na elaboração de algoritmos numéricos auto-validáveis e com controle automático de erro. Sem o uso de
intervalos, a validação da aritmética através do controle do erro é praticamente impossı́vel
em computação cientı́fica.
A necessidade do uso de intervalos para controle do erro numérico em computação
cientı́fica é um fato conhecido entre pesquisadores e a implementação do tipo intervalo em
linguagens, desenvolvimento de algoritmos e métodos intervalares têm sido uma frutı́fera
área de pesquisa(ALSINA; TRILLAS; VALVERDE, 1980).
O interesse de se ter uma teoria consistente e mais precisa é que surgiu a análise
de intervalos, uma teoria matemática com origem na década de 60,(MOORE, 1979), integrando áreas como análise intervalar, topologia intervalar, álgebra intervalar, lógica intevalar e outras. Os algoritmos intervalares, em contraste com os algoritmos pontuais,
computam um intervalo como solução, com a garantia de que a resposta pertence a este
intervalo.
A vantagem do uso da aritmética intervalar aparece principalmente em problemas
onde a instabilidade numérica (decorrente do uso da aritmética de ponto flutuante e da
natureza dos problemas) é crı́tica(ACIÓLY, 1991),(MOORE, 1962).
O benefı́cio é resultante da forma como os números reais são representados (um
intervalo de pontos flutuantes que contém o real) e do fato de que os cálculos produzem
um intervalo que, com certeza, contém o resultado real(MOORE, 1966). Ou seja, o uso
da MI permite um controle de erros com limites confiáveis, além de provas de existência
da solução de diversas equações.
A desvantagem decorrente da complexidade de cálculo das operações intervalares
é compensada pela segurança e qualidade do resultado e pela aceleração decorrente da
exploração do paralelismo das operações intervalares em arquiteturas multiprocessadas.
A computação consiste numa seqüência finita de operações, no entanto a solução
exata de um problema, em muitos casos, requer uma seqüência infinita de operações
aritméticas exatas. Isso nos motiva integrar a Aritmética Intervalar na solução desses
problemas, pois desta forma torna-se viável o controle rigoroso sobre os erros, como
também nos possibilita o tratamento e modelagem da incerteza em computação.
4.1.1
Noções Básicas da Matemática Intervalar
• Intervalo de Números Reais Um intervalo de reais (ACIÓLY, 1991),(CLAUDIO;
MARINS, 1989)é uma representação da forma
A = [a, b] = {x ∈ R | a ≤ x ≤ b}, em que a, b ∈ R, e tal que a ≤ b.
• Conjunto IR É o conjunto de todos os intervalos reais, ou seja: IR = {[a, b] | a, b ∈
R, a ≤ b}
• Operações aritméticas em IR Sejam A = [a1 , a2 ] e B = [b1 , b2 ] ∈ IR, as
operações aritméticas com intervalos são executadas sobre os extremos de seus
intervalos. Assim, as operações de soma, subtração, multiplicação e divisão em IR
são definidas por:
A ~ B = {a ~ b | a ∈ A ∧ b ∈ B},em que ~ ∈ {+, −, /, ∗} No caso da divisão,
56
assume-se que o 0 < Bpara que a operação esteja bem definida.
As operações entre intervalos A e B são definidas como:
A + B = [(a1 + b1 ); (a2 + b2 )]
A − B = [(a1 − b2 ); (a2 − b2 )]
A ∗ B = [min(a1 ∗ b1 , a1 ∗ b2 , a2 ∗ b1 , a2 ∗ b2 ); max(a1 ∗ b1 , a1 ∗ b2 , a2 ∗ b1 , a2 ∗ b2 )]
A/B = [min(a1 /b2 , a1 /b1 , a2 /b2 , a2 /b1 ); max(a1 /b2 , a1 /b1 , a2 /b2 , a2 /b1 )] , com 0 <
[b1 , b2 ]
• Função Intervalar Seja a função:
f:X→Y
X → F(X)
Se X = Dom(f) ⊆ IR eY = CD(f) ⊆ IR, então diz-se que f é uma função intervalar
de uma variável intervalar.
• Representação Canônica Intervalar
Sejam U = [0, 1] ⊆ R o intervalo unitário e U = {[a, b] | 0 ≤ a ≤ b ≤ 1} o
correspondente conjunto de todos os subintervalos de U, tem-se as projeções:
l, r : U → U, l(X) = l([a, b]) = a = X, r(X) = r([a, b]) = b = X.
As ordens parciais no contexto da Matemática Intervalar são:
1. Ordem Produto: X ≤ Y se, e somente se, X ≤ Y e X ≤ Y.
2. Ordem de Inclusão: X ⊆ Y se, e somente se, X ≥ Y e X ≤ Y
Definição 7. Para cada função f : U n → U, a função intervalar b
f : Un → U,
b
~ = [inf{ f (~x) : ~x ∈ X},
~ sup{ f (~x) : ~x ∈ X}]
~
f (X)
é denominada a representação canônica intervalar de f.
4.2
Lógica Fuzzy Intervalar
Na computação cientı́fica, mesmo quando se utiliza na resolução de um modelo matemático um método que apresenta a solução exata para o modelo, pelo fato
de este envolver um número muito grande de operações elementares (adição, subtração,
multiplicação e divisão) e sendo essas processadas em equipamento com capacidade limitada para armazenar dados, pode-se cometer erros, fazendo com que os cálculos com
esses dados produzam resultados imprecisos. Os erros mais comuns que podem ocorrer
na fase de resolução de um problema são os erros de arredondamento e de truncamento.
Conforme descrito na seção anterior, como a qualidade de um processo computacional
depende do controle sobre seu erro, é desenvolvida na década de 60, inicialmente por
Moore, uma teoria matemática capaz de resolver esta questão, a aritmética intervalar, que
57
visa dar suporte a problemas computacionais que lidam com a incerteza(BEDREGAL;
TAKAHASHI, 2006).
Por outro lado, a força da lógica fuzzy deriva da sua habilidade em inferir conclusões e gerar respostas baseadas em informações vagas, ambı́guas e qualitativamente
incompletas e imprecisas. Neste contexto, os sistemas especialistas baseados na lógica
fuzzy têm habilidade de raciocinar de forma semelhante à dos humanos. Seu comportamento é representado de maneira muito simples e natural, levando à construção de sistemas compreensı́veis e de fácil manutenção.
4.3
4.3.1
Norma Triangular Intervalar e Conorma Triangular
Intervalar
Norma Triangular Intervalar
Seja I[0, 1] = {[a, b] | 0 ≤ a ≤ b ≤ 1} o conjunto dos intervalos entre 0 e 1.
Considerando-se que X ∈ I[0, 1] então X = [xi , xk ].
Definição 8. Uma norma triangular intervalar, conhecida como t-norma intervalar, é
uma operação binária T : I[0, 1]2 → I[0, 1],que satisfaz as seguintes propriedades:
T1 Comutatividade:
T(X, Y) = T(Y, X)
T2 Associatividade:
T(X(T(Y, Z)) = T(T(X, Y), Z)
T3 Elemento Neutro: T(X, [1, 1]) = X
T4 Monotonicidade:
A)T(X, Y) ≤ T(Z, W)
produto)
se X ≤ Z e
Y ≤ W (monotônica em relação à ordem
B)T(X, Y) ⊆ T(Z, W) se X ⊆ Z e Y ⊆ W (monotônica em relação à inclusão)
Proposição 27. Se T : [0, 1]2 → [0, 1] é uma t-norma, então T : I[0, 1]2 → I[0, 1]
definida por
T(X, Y) = [T (xi , yi ), T (xk , yk )]
é uma t-norma intervalar, denominada de t-norma intervalar derivada de T.
Demonstração. Sejam X, Y, Z, W ∈ I[0, 1]. Tem-se que, se T é uma t-norma intervalar,
(i) Comutativa:
T(X, Y) = [T (xi , yi ), T (xk , yk )]
= [T (yi , xi ), T (yk , xk )]
= T(Y, X)
58
(ii) Associativa:
T(X, T(Y, Z)) =
=
=
=
=
T(X, [T (yi , zi ), T (yk , zk )])
[T (xi , T (yi , zi )), T (xk , T (yk , zk ))]
[T (T (xi , yi ), zi ), T (T (xk , yk ), zk )]
T([T (xi , yi ), T (xk , yk ), Z)
T(T(X, Y), Z)
(iii) Elemento neutro:
T(X, [1, 1]) = [T (xi , 1), T (xk , 1)]
= [xi , xk ]
= X
(iv) Monotônica:
A) Se X ≤ Z e Y ≤ W então xi ≤ zi , xk ≤ zk , yi ≤ wi e yk ≤ wk
Logo,T (xi , yi ) ≤ T (zi , wi ) e T (xk , yk ) ≤ T (zk , wk ).
Assim, [T (xi , yi ), T (xk , yk )] ≤ [T (zi , wi ), T (zk , wk )].
Portanto T(X, Y) ≤ T(Z, W).
B) Se X ⊆ Z e Y ⊆ W então zi ≤ xi ≤ xk ≤ zk e wi ≤ yi ≤ yk ≤ wk
Por definição, T(X, Y) = [T (xi , yi ), T (xk , yk )] e T(Z, W) = [T (zi , wi ), T (zk , wk )].
Logo, pela monotonicidade de T, tem-se que T (zi , wi ) ≤ T (xi , yi ) ≤ T (xk , yk ) ≤ T (zk , wk ).
Portanto T(X, Y) ⊆ T(Z, W).
Logo, pelo demonstrado acima, T é uma t-norma intervalar.
4.3.2
Conorma Triangular Intervalar
Definição 9. Uma conorma triangular intervalar, conhecida como t-conorma intervalar,
é uma operação binária IS : I[0, 1]2 → I[0, 1],que satisfaz as seguintes propriedades:
S1 Comutatividade:
S T (X, Y) = S T (Y, X)
S2 Associatividade:
S T (X(S T (Y, Z)) = S T (S T (X, Y), Z)
S3 Elemento Neutro:
S T (X, [0, 0]) = X
S4 Monotonicidade:
A)S T (X, Y) ≤ S T (Z, W) se X ≤ Z e Y ≤ W (monotônica em relação à ordem
produto)
B)S T (X, Y) ⊆ S T (Z, W) se X ⊆ Z e Y ⊆ W (monotônica em relação à inclusão)
Proposição 28. Se S : [0, 1]2 → [0, 1] é uma t-conorma, então S : I[0, 1]2 → I[0, 1]
definida por
S(X, Y) = [S (xi , yi ), S (xk , yk )]
59
é uma t-conorma intervalar, denominada de t-conorma intervalar derivada de S.
Proposição 29. Seja T uma t-norma intervalar. Então S T : I[0, 1]2 → I[0, 1] definida por
S T (X, Y) = [1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − Y)
é uma t-conorma intervalar, denominada de t-conorma intervalar derivada de T.
Demonstração. Sejam X, Y, Z, W ∈ I[0, 1]. Tem-se que, se S T é uma t-conorma intervalar,
(i) Comutativa:
S T (X, Y) = [1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − Y)
= [1, 1] − T([1, 1] − Y, [1, 1] − X)
= S T (Y, X)
(ii) Associativa:
S T (X, S T (Y, Z)) =
=
=
=
=
=
=
S T (X, [1, 1] − T([1, 1] − Y, [1, 1] − Z))
[1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − ([1, 1] − T([1, 1] − Y, [1, 1] − Z)))
[1, 1] − T([1, 1] − X, T([1, 1] − Y, [1, 1] − Z))
[1, 1] − T(T([1, 1] − X, [1, 1] − Y), [1, 1] − Z)
[1, 1] − T([1, 1] − ([1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − Y)), [1, 1] − Z)
S T ([1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − Y), Z)
S T (S T (X, Y), Z)
(iii) Elemento neutro:
S T (X, [0, 0]) =
=
=
=
[1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − [0, 0])
[1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1])
[1, 1] − ([1, 1] − X)
X
(iv) Monotônica:
A) Se X ≤ Z e Y ≤ W então [1, 1] − X ≤ [1, 1] − Z e , [1, 1] − Y ≤ [1, 1] − W.
Logo,pela monotonicidade de T,T([1, 1] − X, [1, 1] − Y) ≤ T([1, 1] − Z, [1, 1] − W).
Assim, [1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − Y) ≤ [1, 1] − T([1, 1] − Z, [1, 1] − W).
Portanto, S T (X, Y) ≤ S T (Z, W).
B) Se X ⊆ Z e Y ⊆ W então [1, 1] − X ⊆ [1, 1] − Z e [1, 1] − Y ⊆ [1, 1] − W
Pela monotonicidade de T, T([1, 1] − X, [1, 1] − Y) ⊆ T([1, 1] − Z, [1, 1] − W).
Logo, [1, 1] − T([1, 1] − X, [1, 1] − Y) ⊆ [1, 1] − T([1, 1] − Z, [1, 1] − W).
Portanto, S T (X, Y) ⊆ S T (Z, W).
Logo, pelo demonstrado acima, S T é uma t-conorma intervalar.
60
Teorema 1. Seja T uma t-norma, então
ST = S T
(4.1)
Observação 5. Este teorema afirma que as construções de t-conormas intervalares à
partir de t-conormas são derivadas de uma t-norma, corresponde com a de t-conorma
intervalar derivada da t-norma intervalar obtida à partir de t-norma. Ou seja, temos a
comutatividade garantida pela eq.4.1.
Demonstração. Sejam X, Y ∈ I[0, 1] , X = [xi , xk ] e Y = [yi , yk ]. Considerando as
proposições 8,9 e 10, tem-se que:
ST (X, Y) =
=
=
=
=
=
4.4
[S T (xi , yi ), S T (xk , yk )
[1 − T (1 − xi , 1 − yi ), 1 − T (1 − xk , 1 − yk )]
[1, 1] − [T (1 − xk , 1 − yk ), T (1 − xi , 1 − yi )]
[1, 1] − IT ([1 − xk , 1 − xi ], [1 − yk , 1 − yi ])
[1, 1] − IT ([1, 1] − X, [1, 1] − Y)
S T (X, Y)
Negação Fuzzy Intervalar
Definição 10. Uma função intervalar N : U → U é uma negação fuzzy intervalar se,
para todo X, Y ∈ U, as seguintes condições são satisfeitas:
N1: N([0, 0]) = [1, 1] e N([1, 1]) = [0, 0].
N2a: Se X ≥ Y então N(X) ≤ N(Y).
N2b: Se X ⊆ Y então N(X) ⊇ N(Y).
Se N também satisfaz a propriedade involutiva, N é uma negação fuzzy intervalar forte:
N3: N(N(X)) = X.
b é negação fuzzy intervalar.
Teorema 2. Seja N : U → U uma negação fuzzy. Então N
b
Além disso, se N negação fuzzy forte então N é também uma negação fuzzy intervalar
b é dada pela expressão:Prova em(BEDREGAL et al.,
forte. Uma caracterização de N
2007c)
b
N(X)
= [N(X), N(X)].
(4.2)
4.5
Implicação Fuzzy Intervalar
Definição 11. Uma função intervalar I : U2 → U é uma implicação fuzzy intervalar se
as seguintes condições são satisfeitas:
I([1, 1], [1, 1]) = I([0, 0], [0, 0]) = I([0, 0], [1, 1]) = [1, 1],
I([1, 1], [0, 0]) = [0, 0].
A seguir, tem-se extensão intervalar das propriedades das implicações fuzzy consideradas
na seção 3.3.
I1 Se X ≤ Z então I(X, Y) ≥ I(Z, Y)
61
I2 Se Y ≤ Z então I(X, Y) ≤ I(X, Z)
I3 I([1, 1], X) = X
I4 I(x, [1, 1]) = [1, 1]
I5 I([0, 0], Y) = [1, 1]
I6 Se W ⊆ Y e X ⊆ Z então I(W, X) ⊇ I(Z, Z)
I7 I(X, I(Y, Z)) = I(Y, I(X, Z))
I8 I(X, Y) ⊆ I(X, I(X, Y))
I9 I([x, x], Y) = I([x, x], I([x, x], Y))
Teorema 3. Seja I : U 2 → U uma implicação fuzzy tal que I(x, y) = 1 se x ≤ y e
satisfazendo as propriedades I1 e I2. Então a representação intervalar de I, b
I : U2 → U
é dado pela Eq. (4.3)
b
(4.3)
I(X, Y) = [I(X, Y), I(X, Y)]
4.5.1
S-implicação Intervalar
Se S uma t-conorma e N uma negação fuzzy, então uma S-implicação fuzzy é
dada pela Eq. (4.4):
IS ,N (x, y) = S (N(x), y).
(4.4)
As S-implicações fuzzy constituem extensões das condicionais (→) definidas pela equivalência lógica dada pela seguinte expressão x → y ⇔ ¬x ∨ y, envolvendo negação (¬) e
disjunção (∨) da lógica clássica.
Definição 12. Seja S uma t-conorma intervalar e N uma negação intervalar. Uma implicação intervalar IS,N é uma S-implicação intervalar se satisfaz a Eq. (4.5)
IS,N (X, Y) = S(N(X), Y).
(4.5)
Teorema 4. Seja S uma t-conorma e N uma negação fuzzy. Então IbS ,Nb = Id
S ,N .
Proposição 30. Se I é um S-implicação então I é uma S-implicação intervalar.
Sejam as seguintes classes e correspondentes denotações:
• C(N) e C(N) para as classes das negações fuzzy e negações fuzzy intervalares;
• C(S ) e C(S) para as classes das t-conormas fuzzy e t-conormas fuzzy intervalares;
• C(I) e C(I) para as classes das S-implicações fuzzy e S-implicações fuzzy intervalares.
A partir dos Teoremas 2, 3 e 4 verifica-se a comutatividade da Classe das S-implicações
intervalares.
Proposição 31. Seja T uma t-norma intervalar, então a função IT : U2 → U é uma
implicação fuzzy intervalar, definida por
62
IT (X, Y) = sup{Z ∈ U | T(X, Y) ≤ Y}
(4.6)
Teorema 5. Seja T uma t-norma, então
IT = IbT
(4.7)
Observação 6. Este teorema afirma que as construções de implicações intervalares à
partir de implicações derivadas de uma t-norma, corresponde com a implicação intervalar derivada da t-norma intervalar obtida à partir de t-norma. Ou seja, temos a comutatividade garantida pela eq.5.10.
Demonstração. Sejam X, Y, Z ∈ U. Considerando o conjunto
{Z ∈ U | [T (xi , zi ), T (xk , zk )] ≤ Y}, tem-se que:
IT (X, Y) =
=
=
=
=
4.5.2
sup{Z ∈ U | IT (X, Y) ≤ Y}
sup{Z ∈ U | [T (xi , zi ), T (xk , zk )] ≤ Y}
[sup{Z ∈ U | T (xk , z) ≤ yi }, sup{Z ∈ U | T (xi , z) ≤ yk }]
[IT (xi , yi ), I((xk , yk )]
IIT (X, Y)
Automorfismo Intervalar
Definição 13. A função φ : U → U é um automorfismo se é bijetiva e monótona (x ≤ y
implica que φ(x) ≤ φ(y)). Aut(U) representa o conjunto dos automorfismos.
Se φ é um automorfismo e I uma implicação fuzzy(BUSTINCE; BURILLO; SORIA, 2003). Pela ação de φ em I,
I φ (x, y) = φ−1 (I(φ(x), φ(y))),
(4.8)
é uma implicação fuzzy . Se I é uma S-implicação então I φ também é uma S-implicação.
4.5.3
Construção Canônica de um Automorfismo Intervalar
A função ϕU → U é um automorfismo intervalar se e somente se é bijetiva e
monotônica pela relação de ordem produto (X ≤ Y → ϕ(X) ≤ ϕ(Y)). O conjunto de todos
os automorfismos intervalares ϕ : U → U é denotado por Aut(U).
Teorema 6. Se ϕ : U → U é um automorfismo intervalar. Então existe um automorfismo
φ : U → U tal que
(4.9)
ϕ(X) = [φ(X), φ(X)].
4.5.4
Automorfismo Intervalar e S-implicação intervalar
Teorema 7. Se ϕ : U → U é um automorfismo intervalar(BEDREGAL et al., 2007b) e
I : U2 → U é uma S-implicação intervalar. A função I : U2 → U é uma S-implicação
intervalar, quando
Iϕ (X, Y) = ϕ−1 (I(ϕ(X), ϕ(Y))).
63
Proposição 32. Se I é uma S-implicação intervalar e ϕ1 e ϕ2 é um automorfismo intervalar. Então (Iϕ1 )ϕ2 = Iϕ1 ◦ϕ2 .
64
5
CONCLUSÃO
A máquina e o raciocı́nio humano nunca estiveram tão próximos quanto atualmente. A IA avança evoluindo os algoritmos que modelam e implementam os sistemas
reais, tornando-os mais capazes e propondo soluções cada vez mais realistas a problemas, anteriormente, somente possı́veis ao cérebro humano. Para este desenvolvimento cientı́fico muito tem de contribuição da área de sistemas especialistas, em especial da lógica
fuzzy. A teoria da lógica fuzzy tem participado desse processo pelas suas caracterı́sticas
que atraı́ram a atenção de várias linhas de pesquisa, pois ela tem sido desenvolvida para
lidar com o conceito de verdade parcial, ou seja, com valores de verdade entre o complemento verdadeiro e o complemento falso da lógica clássica. No nosso cotidiano real
poucos são os casos em que temos total certeza sobre as coisas ou fatos, sabe-se que faz
parte do pensamento humano tomar decisões considerando a verdade parcial existente.
A lógica fuzzy é a lógica que suporta os modos de raciocı́nio que são aproximados
ao invés de exatos. Derivada do conceito de conjuntos fuzzy, a lógica fuzzy constitui
a base para o desenvolvimento de métodos e algoritmos de modelagem e controle de
processos, permitindo a redução da complexidade de projeto e implementação, tornandose a solução para problemas de controle até então intratáveis por técnicas clássicas.
Neste estudo, foram revisados os conceitos da Teoria dos Conjuntos Fuzzy, onde
o valor verdade de uma proposição pode ser um subconjunto fuzzy de qualquer conjunto
parcialmente ordenado, ao contrário dos sistemas lógicos binários, onde o valor verdade
só pode assumir dois valores: verdadeiro (1) ou falso (0). Nos sistemas lógicos multivalorados, o valor verdade de uma proposição pode ser um elemento de um conjunto
finito. Um conjunto fuzzy corresponde a alargar a noção de conjunto, para permitir a
representação de conceitos qualitativos ou difusos.
A função de pertinência a um conjunto fuzzy indica com que grau um conceito
especı́fico é membro de um conjunto. São funções que mapeam o valor que poderia ser
um membro do conjunto para um número entre 0 e 1, onde o grau de pertinência 0 indica
que o valor não pertence ao conjunto e o grau 1 significa que o valor é uma representação
completa do conjunto. Utilizando-se esta lógica este trabalho considerou um estudo de
caso, denominado Aplicação do sistema baseado em regras fuzzy no controle da qualidade de água par o consumo humano, onde os valores verdade são expressos linguisticamente sendo cada termo linguı́stico é interpretado como um subconjunto fuzzy do
intervalo unitário.
A modelagem e o controle fuzzy são técnicas para se manusear informações qualitativas de uma maneira rigorosa. Tais técnicas consideram o modo como a falta de
exatidão e a incerteza são descritas e, fazendo isso, tornam-se suficientemente podero-
65
sas para manipular de maneira conveniente o conhecimento. A teoria de sistemas fuzzy
trata do relacionamento entre entradas e saı́das, agregando vários parâmetros de processo
e de controle. A grande simplicidade de implementação de sistemas de controle fuzzy
pode reduzir a complexidade de um projeto a um ponto em que problemas anteriormente
inviáveis passam agora a ser solúveis.
Logo, a principal função das variáveis linguı́sticas é fornecer uma maneira sistemática para uma caracterização aproximada de fenômenos complexos ou mal definidos.
Ou seja, a utilização do tipo de descrição linguı́stica empregada por seres humanos, e não
de variáveis quantificadas, permite o tratamento de sistemas que são muito complexos
para serem analisados através de mecanismos matemáticos convencionais simples.
A Matemática Intervalar aliada com a teoria fuzzy permite, em princı́pio, tratar
tanto com a incerteza quanto com a imprecisão dos valores de entrada.
Baseando-se na Teoria dos Conjuntos Fuzzy, este estudo foi relevante para compreender que a lógica fuzzy, inicialmente construı́da a partir dos conceitos já estabelecidos
na lógica clássica, operadores aqui foram definidos à semelhança dos tradicionalmente
utilizados . Assim também as funções de pertinência, tem representações equivalentes
dos conjuntos fuzzy, podem ser utilizadas para definir as operações básicas de intersecção,
união e complemento fuzzy, sendo representadas tomando o mı́nimo, máximo e complemento das correspondentes funções caracterı́sticas.
O trabalho desenvolvido mostra que proposições fuzzy podem ser combinadas
utilizando-se diferentes operadores, gerando novas proposições fuzzy, incluindo os conectivos lógicos e e ou, bem como o operador de implicação se ...então. As proposições
fuzzy resultantes da combinação podem ser descritas em termos de relações fuzzy. A
determinação do valor desta relação fuzzy, em função dos conjuntos fuzzy de cada operando,pode ser realizada de muitas maneiras diferentes.
Na teoria de conjuntos fuzzy, as normas triangulares têm um papel fundamental para fornecer os modelos genéricos para as operações de intersecção e união, devendo
possuir as propriedades de comutatividade, associatividade, monotonicidade e satisfazer o
elemeto neutro. Existem muitas formas de estender os conectivos proposicionais clássicos
para o conjunto U. Neste estudo, a representação canônica consiste num operador cujas extensões preservam tanto as propriedades lógicas dos conectivos clássicos como os
critérios de optimalidade e corretude da análise numérica sobre intervalos de reais. As
normas triangulares intervalares formam classes gerais de intersecção e união respectivamente caracterizadas por normas intervalares (t-normas intervalares) e por conormas
intervalares (s-normas intervalares). Pelas propriedades da representação canônica das
normas triangulares, o operador inf é uma t-norma intervalar e o operador sup é uma
s-norma intervalar, então as operações sobre conjuntos fuzzy intervalar podem ser interpretadas como conectivos lógicos fuzzy e as t-normas e as s-normas como conectivos
lógicos fuzzy intervalares conjuntivos e disjuntivos, respectivamente.
Portanto, com este estudo conseguiu-se generalizar os conectivos proposicionais
clássicos utilizando os conceitos de normas triangulares fuzzy (normas triangulares intervalar), de negação fuzzy ( negação fuzzy intervalar) e de implicação( implicação fuzzy
intervalar) e interpretando a t-norma como a conjunção, a t-conorma como a disjunção e a
implicação como a condicional. Considerando a importância de implicações fuzzy no desenvolvimento de aplicações práticas em sistemas fuzzy, a maior contribuição deste trabalho foi a análise das diferentes classes de implicações(QL-S-R-D-implicações) e de suas
principais propriedades e consequências, com base nas t-normas, t-conormas e negação
66
fuzzy, incluindo as correspondentes extensões intervalares.
Para trabalhos futuros pretende-se aprofundar o estudo em relação as implicações
fuzzy intervalar, objetivando análise de outras propriedades e de suas importantes classes,
levando-se em consideração a representação canônica intervalar.
67
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