V.19.Capítulo-1-2012

CAPÍTULO I: CONCEITOS FUNDAMENTAIS
1.0 - Objetivo do curso
1.1 - Campos de aplicação
1.2 - Bases para os métodos de análise disponíveis
1.3 - Apresentação da matéria na natureza
1.4 - Conceito de fluidos
1.5 - Conceituação de força cortante e tensão cortante
1.5.1- Unidades básicas da tensão de cisalhamento
1.6 - Classificação dos fluidos, segundo a interação
molecular
1.7 - Mecanismos de transporte de massa pelos fluidos
1.8 - Sistemas de unidades usuais
1.9 – Propriedades dos Fluidos
I.1
1.10 – Noções de termodinâmica
1.10.1- Especificação de estado do gás perfeito
1.10.2 - Casos particulares da equação de estado do gás
perfeito
1.10.3 – Determinação do peso específico dos gases
1.10.3.1 - Observações sobre a constante do gás
1.10.4 - Módulo de elasticidade do gás
1.10.4.1- Simplificações da equação ε  np
1.10.5- Aplicação das equações de estado para o gás ideal
I.2
1.0 - Objetivo do curso
O principal objetivo do curso de Mecânica dos Fluidos é
fornecer ao estudante de Engenharia Civil base teórica para as
demais disciplinas da área de Hidráulica e do Saneamento. Porém,
este é um curso indispensável ao engenheiro de qualquer
especialidade.
1.1 - Campos de aplicação
A mecânica dos fluidos é o ramo da ciência que trata dos
principio fundamentais do comportamento dos fluidos líquidos e
gás.
Quase todos os problemas relacionados à engenharia
hidráulica são resolvidos basicamente pela aplicação da estática,
de cinemática e da dinâmica dos fluidos.
Exemplos de aplicação da disciplina:
-
Engenharia Civil;
Engenharia Elétrica;
Engenharia Mecânica;
Engenharia Química;
Engenharia Oceânica;
Hidrologia;
Hidrossedimentologia.
1.2 - Bases para os métodos de análise disponíveis
 Leis do Movimento de Newton
Principio de Conservação da Massa
Princípio de Conservação da Energia
Lei de Newton da Viscosidade
Adota-se a hipótese do contínuo
I.3
1.3 - Apresentação da matéria na natureza
[Distinção explicada pela teoria cinética molecular]
Matéria
Estado Sólido
Estado Fluido
Líquidos
Aeriformes
Qual a diferença básica entre um sólido de um fluido?
Sólido  resiste bem às tensões cisalhantes.
Fluido  não resiste às tensões cisalhantes.
1.4 - Conceito de fluidos
Definição -1 [intervenções de tensões cisalhantes]: fluidos são
substancias que se deformam continuamente quando submetidos a
tensões de cisalhamento, mesmo que de pequena magnitude.
[Ex.:Barco navegando num lago, causa tensões cisalhantes na
água mudando a forma da superfície]
Definição -2 [compressibilidade]: fluidos são meios elásticos
que se comprimem na presença de pressões externas, podendo
recuperar a forma original com o alívio de tais pressões.
[Ex. reservatório fechado submetido à pressão na superfície
com água]
I.4
1.5 - Conceituação de força cortante e tensão cortante
Força cortante ou de cisalhamento: é a componente de uma
força agindo tangencialmente a uma superfície. [(0 =  RH S)]
x
x
Tensão cortante média: é a relação entre essa força e a área da
superfície.

F
A
(1.1)
1.5.1- Unidades básicas da tensão de cisalhamento
SISTEMA DE UNIDADE
Técnico ou MKFS
MKS
2
Kgf/m
N/m2
CGS
dina/cm2
1.6 - Classificação dos fluidos, segundo a interação molecular
LÍQUIDOS
-São praticamente incompressíveis;
-tomam a forma do volume do recipiente no qual estão contidos;
-formam superfície livre.
AERIFORMES: são gases e vapores
-São muito compressíveis
-Expandem-se até ocuparem o volume nos quais estão contidos
-Não têm volume definido
-Não formam superfície livre.
I.5
1.7 - Mecanismos de transporte de massa pelos fluidos
Advecção: o transporte ocorre movido pelo próprio movimento
do fluido [o fluido transporta porque se move. Ex. Transporte
de contaminantes em rios]
Difusão ou condução: é o processo de transporte através do meio
fluido em movimento ou em repouso, no sentido decrescente da
concentração da propriedade transferida. [Ex.: Fumaça em
chaminé]
1.8 - Sistemas de unidades usuais (coerentes): um sistema de
unidade é dito coerente quando uma unidade de força provoca
uma aceleração unitária em uma unidade de massa.
GRANDEZAS
MKFS
kgf
utm
m
s
FORÇA
MASSA
COMPRIMENTO
TEMPO
SISTEMAS
MKS
CGS
N
dina
kg
g
m
cm
s
s
1kgf = 1 utm 1m/s2
x
1utm = 9,81 kg
1N = 1 kg 1m/s2
x
1 lbf = 1 slug 1 ft/s2
x
1kgf = 9,81 N
Fatores de conversão:
1 ft = (´) = 0,305 m = 12 pol (``) (in)
1 slug = 32,2 lbm = 14,62 kg
1 Psi (libra/pol2)  7x 10-2 kgf/cm2
Gravidade no sistema inglês: 32,2 ft/s2
1 pol (in)(``) = 25,4 mm = 2,54 cm
EXEMPLO 1.1: converter um Psi em Pascal
I.6
INGLES
lbf
slug
ft
s
1.9 – Propriedades dos Fluidos
Possibilitam diferenciar fluidos, nas mais diversas formas de
apresentação na natureza. Assim, possibilita-se particularizar
líquido e gás e possibilita-se também comparar gás com líquidos e
vice e versa. As propriedades mais importantes são: massa
específica; peso específico; densidade relativa; viscosidade;
compressibilidade; tensão superficial; pressão de vapor;
capilaridades; coesão; adesão etc.
a) Massa Específica (): é a relação entre a massa da porção do
fluido e o seu volume.

m
v
(1.2)
a.1) Unidades de massa específica:
Dimensões e unidades de massa específica
Técnico
internacional
Sistema dimensional
MKFS ou MK*S
MKS
CGS
INGLES
MLT
FLT
utm/m3
kgf.s2/m4
102
kg/m3
g/cm3
1000
1,0
1kgf = 1 utm x 1m/s2
slug/ft3
lbf.s2/ft4
1,94
M . L-3
F . T2 L-4
1 lbf = 1 slug x 1 ft/s2
b) Peso específico (): é a relação entre o peso do fluido e o seu
volume.
Líquidos:
p
e
s
o
m
a
s
s
a

g

 



g
v
o
l
u
m
ev
o
l
u
m
e
I.7
(1.3)
b.1) Unidades de peso específico
Técnico
MKFS ou
MK*S
kgf/m3
Dimensões e unidades de peso específico
internacional
Sistema dimensional
MKS
CGS
INGLES
MLT
FLT
N/m3
Kg / m2 . s2
dina/cm3
1kgf = 1 utm x 1m/s2
lbf/ ft3 M .L-2 .T-2
F .L-3
1 lbf = 1 slug x 1 ft/s2
c) Volume específico (Vs): é o volume ocupado por unidade de
peso de fluido
V
1
(1.4)

c.1) Unidades de volume específico:
- Sistema MKFS: m3/kgf
- Sistema CGS: cm3/dyn
d) Densidade relativa (dr): é a relação entre o peso específico de
uma substância e o peso de uma outra tomada como referência.
Para os líquidos, a água é o fluido tomado como
referência.
Para os gases a referência é o ar.
 

g 
d
r
s s
s


a
g
u
a
a
g
u
a
a
g
u
a

g
I.8
(1.5)
e) Compressibilidade: é a propriedade que têm os fluidos de
reduzirem seus volumes quando submetidos ao aumento de
pressões externas. A compressibilidade é traduzida pelo
coeficiente de compressibilidade.
d
v



..
v
d
p
(1.6)
Na qual:
 = Coeficiente de compressibilidade cúbica (m2/kgf)
v = Volume inicial a transformação
f) Módulo de Elasticidade Volumétrica (): é a propriedade dos
fluidos de retomarem seus volumes originais ou primitivos
quando se alivia as pressões externas, as quais foram submetidos.
Ou seja, é o inverso do coeficiente de compressibilidade.

1
(1.7)

É característico de cada fluido, dado em kgf/m2.
Para a água:  = 2,2 109 Pa = 2,2 Gpa =  = 2,2 108 kgf/m2
x
x
EXEMPLO 1.2
Respeitando-se o princípio de conservação da massa expresse o
módulo de elasticidade volumétrica de um fluido, em função da
variação da massa específica e da pressão.
Solução:
Da definição de massa específica:
m  v
dm  dv  vd
I.9
Pelo princípio de conservação da massa
dm0

dv

dv

vd


0

v

 (*)
d

Combinar a equação (*) com a equação (1.6):


v

 
vdp
d





dp
1
v


vdp



d
d

(1.8)
= massa inicial à transformação
EXEMPLO 1.3
Prove que para os líquidos, como a água, cujo coeficiente de
compressibilidade cúbica (   0) é próximo de zero a massa
especifica () inicial a transformação permanece inalterada,
mesmo se o fluido é submetido a diferenças de pressões elevadas.
Solução: a partir da equação (1.8) temos:




p
p

f 


1






p

p
f 
f




 

f





 







p

p

1

p

p




f
f
f






   




Para fluidos incompressíveis   0
f cte
(1.9)
I.10
EXEMPLO 1.4
Qual a redução no volume que se observa quando se submete 1
m3 de água a uma pressão de 0,10 Mpa? (dado:  = 2,2 109 Pa =
2,2 Gpa)
x
OBSERVAÇÃO: a partir do conceito de compressibilidade
concluímos que os fluidos são meios elásticos, que se comprimem
quando submetidos a força de pressão. Porém, na maioria das
aplicações práticas, um líquido pode ser considerado
incompressível, exceto quando ocorram variações elevadas na
pressão ou na temperatura.
g) Pressão de vapor: é a pressão limite para o líquido passar ao
estado gasoso. A pressão de vapor é diretamente associada a
agitação molecular, a qual o líquido está submetido. Tal agitação
pode ser afetada pelas variações de temperatura ou reduções
substanciais da pressão reinante no líquido [Ex. o caso dos sifões
invertidos].
h) Tensão superficial: trata-se de tensão que se observa na
interface entre um líquido e um gás, ou entre dois líquidos
imiscíveis. É uma tensão resultante das forças de coesão e tem
unidade N/m.
I.11
EXEMPLO 1.5
estabelecer analiticamente o raio da gota em um conta-gotas, para
um fluido de peso específico () e tensão superficial ().
Figura 1.1: conta-gotas
EXEMPLO 1.6
Um tubo de vidro limpo de 4,0 mm de diâmetro é inserido em
água a 20 0C. Determine a altura de ascensão capilar. A água
apresenta superfície horizontal no contato com o tubo. [dados:  =
0,0075 kgf/m; 998 kgf/m3].
Figura 1.2: ascensão capilar
I.12
i) Viscosidade: quando um fluido escoa em condutos livres ou
forçados surgem, no mínimo, duas formas de atrito que interferem
no escoamento. O atrito externo, do fluido com a superfície
sólida, e o atrito interno gerados pelas próprias partículas de
fluidos ao se deslocarem. Portanto, a viscosidade é a propriedade
que determina a capacidade do fluido de resistir ao escoamento.
τ μ
dv
dy
(1.10)
A equação 1.10 traduz a Lei de Newton da Viscosidade
assim enunciada:
"Para uma dada intensidade de deformação angular
dv
, a tensão de cisalhamento é diretamente proporcional à
dy
viscosidade do fluido."
Como obter a lei de Newton da viscosidade?
Consideremos uma placa móvel se deslocando sobre outra
fixa, separadas por uma distância “y”, cujo espaço é preenchido
por um fluido de viscosidade dinâmica . Na placa móvel, impõese uma força F de modo a dar-lhe a velocidade V constante. Ou
seja, nessas condições a placa se locomoverá em movimento
uniforme.
Figura 1.3: definição qualitativa da viscosidade
I.13
Para a obtenção da Lei de Newton da Viscosidade, como se
apresenta na equação
 
dv
dy
faz-se necessário valer-se das
seguintes suposições:
[1] a placa móvel desloca-se em movimento uniforme (V =
constante);
[2] deve-se considerar que a distância entre as placas é
infinitesimal, de modo a considerar uma distribuição linear de
velocidades entre elas;
[3] considerar que o fluido entre as placas desloca-se em
escoamento laminar;
[4] deve-se admitir que o escoamento obedece ao postulado da
aderência: quando uma partícula de fluido desloca-se aderida a
uma superfície sólida a velocidade da partícula é a mesma desta.
Ao se observarem as 4 (quatro) suposições supramencionadas
pode-se admitir, com base em experiências práticas já
consagradas, que:
F=μ
AV
Y
(1.11)
O coeficiente de proporcionalidade é a viscosidade dinâmica
do fluido, do qual é uma propriedade característica. Na Figura 1.3,
por semelhança de triângulos, temos:
v dv
=
y dy
(1.12)
F
dv
=μ
A dy
(1.13)
I.14
τ μ
dv
dy
(1.14)
Na qual:
A: área da placa separada pela distância y. Corresponde a área
preenchida pelo fluido que está submetida ao cisalhamento.
  F : tensão cisalhante ou esforço tangencial que tende a
A
separar o fluido entre as placas;
y: espessura da camada de fluido de viscosidade que preenche o
espaço entre as placas.
i.1.Classificação dos fluidos de acordo com a Lei de Newton
da Viscosidade:
Figura 1.4: classificação dos fluidos
[1]Newtoniano: deforma-se segundo a Lei de Newton da
Viscosidade, ou a tensão cisalhante é diretamente proporcional à
velocidade de deformação angular.
Exemplo: água e a maioria dos líquidos
I.15
[2] Não-Newtoniano: há deformação, embora não proporcional à
velocidade de deformação, exceto para baixos valores da tensão.
Exemplo: mangue, lama, misturas bifásicas.
[3] Plástico Ideal: suporta pequenas tensões sem se deformar, em
seguida, deforma-se segundo a Lei de Newton da Viscosidade.
Exemplo: tinta, pasta de dente, gelatina, parafina.
[4] Fluido Ideal: Na análise dos fluidos ideais, não são
considerados os efeitos da viscosidade. Existe deformação para
qualquer valor da tensão atuante. (Hipotético, não existe na
natureza).
[5] Sólido Ideal: não se deforma, mesmo para altos valores de
tensões.
[6] Sólidos: deformam-se segundo a Lei de Hooke.
i.2. Unidades de Viscosidade dinâmica
Técnico
MKFS ou
MK*S
kgf.s/m2
Dimensões e unidades de viscosidade dinâmica
internacional
Sistema dimensional
MKS
CGS
INGLES
MLT
FLT
N.s/m2
dyn.s/cm2 lbf .s/ ft2
M .L-1 .T-1 M . T.L-2
utm / m.s
Kg / m . s
g / cm . s
slug / ft.s
POISE
centipoise=10-2 poise
j) Viscosidade Cinemática
É a relação entre viscosidade dinâmica do fluido e a massa
específica


(1.15)
j.1.Unidades de Viscosidade Cinemática
Sistema MKS: m2/s
Sistema CGS: cm2/s (stokes)
I.16
EXEMPLO 1.7:
Um viscosímetro de cilindros cocêntricos é acionado pela queda
de uma massa M ligada por meio de corda e polia como mostrado
na figura abaixo. O líquido que foi testado preenche a folga anular
de largura a e altura H. Após um breve transiente de partida, a
massa cai a velocidade constante Vm. Encontre uma expressão
algébrica que relacione essas grandezas medidas para determinar
a viscosidade do líquido e avalie a mesma empregando os valores
encontrados abaixo.
Figura 1.5: viscosímetro
EXEMPLO 1.8
Um cilindro de 130 mm de raio gira concentricamente dento de
um cilindro fixo de 140 mm de raio. Os cilindros têm 400 mm de
comprimento. Determinar a viscosidade do líquido que enche o
espaço entre os cilindros, se um torque de 0,12kgf.m é necessário
para impor uma velocidade angular de 80 rpm.
Figura1.6 - Exercícios de cilindros concêntricos
I.17
EXEMPLO 1.9:
Um cubo tem 40 cm de arestas e pesa 25 kgf. Deixa-se o cubo
escorregar, com uma velocidade V constante sobre um plano
inclinado, no qual existe uma película de óleo lubrificante, cuja
viscosidade dinâmica  = 2,16 10-2 Poise. Admitindo satisfeitas
as suposições básicas para a dedução da lei de Newton da
viscosidade, solicita-se: Determine, em m/s, a velocidade do
cubo.
X
Figura 1.7: cubo
EXEMPLO 1.10:
O dispositivo da figura abaixo é constituído de dois pistões de
mesmas dimensões geométricas que se deslocam em dois
cilindros de mesmas dimensões. Entre os pistões e os cilindros
existe um lubrificante de viscosidade dinâmica igual a 10 -²
N.s/m². O peso específico do pistão (1) é 20.000 N/m³. Qual é o
peso específico do pistão (2) Para que o conjunto se desloque na
direção indicada com uma velocidade de 2m/s constante?
Desprezar o atrito na corda e nas roldanas Fonte: (Brunet; 2008,
pág.13) – resposta: 16.800 N/m³
I.18
Referência Bibliográfica
Brunet, F. Mecânica dos Fluidos. São Paulo: editora Pearson/Prentice Hall. 2º edição.
2008. 429 p. 24cm.ISBN978-85-7605-182-4.
I.19
1.10 – Noções de termodinâmica
Introdução: quando um fluido não puder ser considerado
incompressível e, ao mesmo tempo, houver efeitos térmicos
envolvidos na descrição qualitativa do seu escoamento, haverá a
necessidade de se determinar as variações da massa específica,
em função da pressão e da temperatura, através de equações de
estado, como aquela mostrada pela equação 1.15.
f ( , T, P) =0
(1.16)
As equações de estado mais conhecidas de interesse nos estudos
de mecânica dos fluidos são: a equação do gás perfeito e a
equação politrópica dos gases:
PVS  RT
(1.17a)
P  ρ RT
(1.17b)
p1 ρ 2 T1
. 
P2 ρ1 T2
(1.17c)
P: pressão absoluta inicial
Vs: volume específico do gás
R : constante do gás
T ; temperatura em K.
 :massa específica do gás.
Sobre a constante (R): A constante do gás “R” é função da
constante universal do gás cujo valor é comum para qualquer gás
e igual a:
I.20
kJ
R  8,314
k mol . kelvin
(1.18)
Tabela 1.1 – Propriedade dos gases ideais a 300k. Fonte: Potter e Wiggert (2007)
Transformações isotérmicas: o processo é dito isotérmico
quando na transformação não há variação de temperatura
p1v1  p 2 v 2
(1.19a)
p1 p 2

ρ1 ρ 2
p1
1

(1.19b)
p2
2
(1.19c)
I.21
Transformações isobáricas: o processo é dito isobárico quando
na transformação não há variação de pressão.
v1 v 2

T1 T2
(1.20)
ρ1T1  ρ 2T2
(1.20a)
Processo isocórico, isométrico ou isovolumétrico: nesse caso
não há variação de volume.
p1 p 2

T1 T2
(1.21)
Nas transformações adiabáticas: o processo é dito adiabático
quando na transformação não há troca de calor.
p1
p2
 n
n
ρ1
ρ2
p1V1  p 2 V2
n
ε  np2
T2  p 2 
 
T1  P1 
( n 1)
n
(1.22)
n
V2  T1 
 
V1  T2 
I.22
1
( n 1)
(1.22a)
Nas quais:
P1; P2 – respectivamente pressão absoluta inicial e final a
transformação;
V1; V2 – respectivamente volume inicial e final a transformação;
T – temperatura em Kelvin
K = 273 + 0C
1 – massa específica inicial a transformação (kgf.s / m );
2
4
g – aceleração da gravidade;
3
Vs – volume específico – m / kgf;
CP
n
CV
(1.23)
Cp – calor específico do gás a pressão constante;
CV – Calor específico do gás a volume constante.
1.10.1 - Módulo de elasticidade do gás
O módulo de elasticidade do gás dependo do tipo de
transformação a qual o gás possa ser submetido. Para a sua real
descrição usa-se a equação politrópica dos gases, sempre
respeitando o principio de conservação da massa.
I.23
p
= constante
n
ρ
(1.24)
P.Vn = constante
(1.25)
Para encontrar a equação que relaciona o módulo de elasticidade
do gás com a pressão final a transformação basta diferenciar a
equação (1.25) em relação a pressão e ao volume:
dP.Vn + n V (n-1) dV . P = 0
(1.26)
n
n.V
dP.V n +
dV.P = 0
V
n.P.dV
dP +
=0
V
(1.27)
(1.28)
_ V.dP
dV =
ε
(1.29)
ε  np
(1.30)
1.10.4.1- Simplificações da equação (1.30)
Nas transformações isotérmicas (n=1): o módulo de
elasticidade volumétrica, em qualquer instante, iguala-se a
pressão após a transformação ( = P).
I.24
Nas transformações adiabáticas: não há troca de calor entre a
massa do gás e o meio. O módulo de elasticidade depende da
constante politrópica do gás ( = nP).
1.10.2- Aplicação das equações de estado para o gás ideal
Uma das mais significativas aplicações das equações de
estado do gás ideal é referente ao movimento geral de circulação
do ar na atmosfera.
(i) a atmosfera basicamente pode ser dividida em duas camadas:
a troposfera, mais próxima da terra (11 km a partir da superfície
livre do mar).
(ii) camadas superiores: acima da troposfera (a estratosfera; a
ionosfera; e a exosfera) o movimento de circulações se dá por
processo isotérmico, no qual não há variação da temperatura.
(i.1) variação da pressão na troposfera: a pressão é função da
altitude e da temperatura (esta variável). Por outro lado, o
movimento geral de circulação do ar na atmosfera segue a lei do
gás perfeito (equação 1.39)
dp  γ dz
(1.31)
T ( z )  (T0  z )
(1.32)
PVS  RT
(1.33)
T: temperatura final do gás.
Aplicando as equações (1.32) e (1.33) em (1.31) obtemos, para a
troposfera, a equação geral que relaciona a pressão num ponto
acima do nível do mar com a temperatura no nível do mar e a com
a altitude.
I.25
p
dz
RT
(1.34)
dp
1
dz

p
R (T0  z )
(1.35)
dp  
dp
1 z
dz



Patm
p
R 0 (T0  αz)
A integração da equação (1.36) fornece:

p
 T  z 
p  patm  0

T
 0 
(1.36)
1
 .R
(1.37)
Na equação 1.37 temos:
To: temperatura no nível do mar ou no nível inferior
Z : altitude no nível superior
 : taxa de variação da temperatura = 0,0065 K/m
P: pressão no nível superior
Patm: pressão atmosférica ano nível do mar
R: constante do gás para o ar atmosférico (R=29,30 m/K)
ii.1) na camada superior a troposfera: a transformação a que o ar
está submetido é considerada isotérmica.
dp
1

dz
p
R. T
dp
1

Po p
R.T

p
(1.38)

z
z0
(1.39)
dz
A integração da equação 1.39 fornece:
I.26
p  ( po) . e

( z  z0 )
R .T
P0: pressão no nível inferior
T: temperatura no nível superior
Obs: se atmosfera for considerada isotérmica:
p  ( patm) . e

z
R .T
(1.40)
EXEMPLO 1.11
Um pneu de automóvel com volume de 0,60m³ é inflado até
alcançar uma pressão manométrica de 200kPa. Calcule a massa
de ar no pneu, sabendo-se que a temperatura é de 20° C. Dados:
R= 29,30 m/k e Patm= 100 kPa. (Resposta: m= 2,182 kg).
[FONTE - Ciências térmicas: M.C.Potter]
EXEMPLO 1.12
Aplicação das equações termodinâmicas. A temperatura na
atmosfera perto da superfície da terra (até uma altura de 10.000m)
pode ser aproximada por T(Z)= 15 - 0,0065.Z °C. Determine a
pressão a uma altura de 3.000 m. Dado: Patm= 101kPa em Z= 0.
(Resposta: P= 69,90 kPa). [FONTE - Ciências térmicas:
M.C.Potter]
EXEMPLO 1.13
Um recipiente contém 500 litros de hidrogênio à pressão de 2,0
kgf/cm². A seguir é comprimido, reduzindo seu volume para 160
litros. Determine a nova pressão absoluta, o módulo de
elasticidade volumétrica () e o coeficiente de compressibilidade
() nas seguintes condições:
a) Em condições isotérmicas.
b) Em condições adiabáticas (n= 1,41).
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