2 - FB Vestibular

Matemática e
Suas Tecnologias
Matemática
Prof. João Mendes
nº
8
Geometria, para que te quero?
Grandes questionamentos nem sempre têm soluções
complexas, têm, muitas vezes, ideias simples, porém geniais.
Com conhecimentos básicos de geometria, muita imaginação
e criatividade, cálculos aparentemente impossíveis de serem
realizados foram feitos por mentes brilhantes que por aqui já
passaram e deixaram seus feitos documentados ou gravados
no imaginário popular, passando de geração em geração, até
serem registrados por terceiros.
A TERRA É REDONDA?
O bibliotecário e diretor da Biblioteca de Alexandria,
Eratóstenes de Cirênia (276 – 194 a.C.), conhecia um fato
curioso que chamava a atenção dos habitantes de Siena (atual
Aswân). Ao meio-dia do primeiro dia do verão, era comum ver
pessoas olhando a superfície da água de um velho poço para
ver refletida a luz do sol.
Em um desses dias, em Alexandria, observando a sombra
gerada por uma coluna, Eratóstenes pensou: “Se é fato que,
nesse momento, um poço profundo em Siena está refletindo a
luz do sol, e sendo a Terra plana, as colunas daqui de Alexandria
não eram para gerar sombra. Há alguma coisa errada. Se existe
sombra, só há uma explicação: a Terra é redonda.”
Raios solares
Coluna em
Alexandria
Poço em Siena
Sombra
da coluna
“
Como
o GPS
localiza
com
exatidão
qualquer
ponto da
superfície
terrestre?
”
Matemática e Suas Tecnologias
SE A TERRA É REDONDA, QUAL É O COMPRIMENTO
DA MAIOR CIRCUNFERÊNCIA DA TERRA?
Não satisfeito com a dedução de que a Terra era redonda,
Eratóstenes decidiu calcular o comprimento da maior
circunferência da Terra. Para isso, ele, atleta que era, e um
grupo de amigos, contam alguns historiadores, caminharam
de Alexandria até Siena e estimaram a distância percorrida
em 5000 estádios (cerca de 800 km). De volta à Alexandria
e com o conhecimento de que Alexandria e Siena ficavam
praticamente sobre um mesmo meridiano, Eratóstenes
imaginou os prolongamentos da coluna (em Alexandria)
e o do poço (em Siena) se encontrando no centro da Terra
e aguardou ansiosamente o primeiro dia do verão do ano
seguinte, quando estimou em 1 de um círculo o ângulo que
50
os raios solares formavam com a coluna.
Veja o seguinte modelo matemático compatível com os
dados conhecidos por Eratóstenes.
Raios solares
Em uma praia, do alto de uma torre vertical, um observador
olha para um ponto P da linha do horizonte. Os olhos desse
observador estão a uma altura h do solo, enquanto o raio visual e
a linha vertical da torre formam um ângulo de medida θ.
θ
h
P
Conhecendo o fato de que toda reta tangente a um círculo
é perpendicular ao raio no ponto de tangência, pode-se criar o
seguinte modelo matemático, no qual o ponto C representa o
centro da Terra, e R, o raio.
O
h
Coluna em
Alexandria
800 km
θ
P
R
Poço em Siena
R
a = 1 de 360º
50
C
Sombra
da coluna
b
Com esse modelo e os conhecimentos rudimentares de
trigonometria, uma vez conhecidos h e θ, o cálculo da medida
R do raio da Terra é relativamente simples. Veja:
O (centro da Terra)
Nesse esquema, os ângulos alternos internos de retas
paralelas, a e b, são congruentes, ou seja, b =
1
50
de 360°.
Com isto, Eratóstenes concluiu que a distância de Alexandria
a Siena (5000 estádios, 800 km) era
1
50
do comprimento
da maior circunferência da Terra. Ele encontrou, assim, o
comprimento de 250000 estádios (cerca de 40000 km) para
a circunferência da Terra, algo em torno de 15% a mais que o
real. O erro ocorreu por duas razões: a distância entre Siena
e Alexandria não era exatamente 5000 estádios, nem as duas
cidades se localizavam no mesmo meridiano.
COMO MEDIR O RAIO DA TERRA?
Eratóstenes, assim como Aristóteles, Arquimedes e outros
estudiosos gregos estimaram um perímetro para a circunferência
máxima da Terra e, consequentemente, o seu raio. Não se sabe
ao certo quem, mas foi na antiga Grécia que alguém idealizou o
seguinte processo para o cálculo do raio da Terra.
2
R
→ R ⋅ sen θ + h ⋅ sen θ = R → h ⋅ sen θ = R(1 − sen θ)
R+h
h ⋅ sen θ
R=
.
1 − sen θ
sen θ =
Daí,
COMO UM NAVEGADOR, EM ALTO-MAR, PODE
DETERMINAR A SUA LATITUDE?
A medida em grau do menor arco de circunferência, sobre
a superfície terrestre, que liga um ponto à linha do equador é
a latitude do ponto.
Para o cálculo da latitude de um ponto sobre a superfície
terrestre, ao norte e ao sul da linha do equador, podem ser
tomadas como referências as estrelas Polaris e Sigma
Octantis, respectivamente. Essas estrelas, consideradas
pontos do eixo de rotação da Terra, estão tão distantes da
Terra que os raios de luz delas provenientes e que incidem
sobre nosso planeta são considerados paralelos. Assim,
olhando para uma dessas estrelas, de todos os pontos da Terra
de onde é possível visualizá-la, os raios visuais serão paralelos
ao eixo de rotação da Terra.
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Matemática e Suas Tecnologias
Se, por exemplo, de um ponto A ao norte da linha do equador,
um navegador, utilizando um sextante, mira a estrela Polaris sob
um ângulo de 40º com o plano horizontal, a latitude do ponto A
é 40º norte.
raio visual do
navegador ao mirar
a estrela Polaris
eixo de
rotação
40º
A
plano
horizontal
linha do
equador
centro da
Terra
Observe que o plano horizontal formando um
ângulo θ = 40° (alternos internos de retas paralelas) com o
eixo de rotação, o ângulo central α é tal que α = θ = 40°(α e
θ são complementos do mesmo ângulo β).
Quando o receptor detecta um segundo satélite, a
distância entre eles é calculada e uma segunda esfera é
formada, gerando uma segunda circunferência com as
possíveis posições do receptor. Agora, as possíveis posições
do receptor estão reduzidas a dois pontos, intersecções das
duas circunferências determinadas.
θ
40º
A
β
B
α
C
= α = 40° (ângulo central), mostrando
Assim, o arco AB
que a latitude de A é 40°.
Um terceiro satélite é detectado e, de modo análogo, uma
terceira circunferência é gerada na superfície da Terra com as
possíveis posições do receptor.
COMO O GPS LOCALIZA COM EXATIDÃO
QUALQUER PONTO DA SUPERFÍCIE TERRESTRE?
O Sistema de Posicionamento Global (GPS) foi criado para
fins militares. No entanto, hoje, qualquer civil tem acesso a esse
sistema, e seu uso é praticamente indispensável na localização de
endereços, rotas, rastreamento de veículos, pessoas ou animais.
Mas como se dá o funcionamento do GPS?
Com um período de 12 horas (tempo para dar uma volta),
orbitando em torno da Terra, a uma altitude de 20200 km,
existem 24 satélites enviando sinais para os receptores GPS.
Quando o receptor GPS detecta um dos satélites, a distância
entre eles é calculada. Com isso, já se sabe que o receptor se
encontra na superfície de uma esfera cujo centro é o satélite e
cujo raio é a distância calculada. Sabendo que o receptor está
na superfície da Terra, as possíveis posições ficam restritas à
circunferência que representa a intersecção dessa esfera com
a Terra (note que o satélite não fica obrigatoriamente acima
do receptor).
A posição do receptor é a intersecção das três
circunferências geradas, respectivamente, nas três esferas
pela superfície da Terra.
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Matemática. Manuel Paiva – Textos diversos, coletados e adaptados.
3
Matemática e Suas Tecnologias
EXERCÍCIOS
1. Em certo momento, do observatório astronômico
A, a Lua é vista no zênite, isto é, na vertical, sob um
ângulo β, e, no observatório B, a Lua é vista na linha
do horizonte, conforme as figuras seguintes.
B
R
α
O
R
A
Lua
L
3. (UFSCar-SP) Os satélites de comunicação são posicionados em
sincronismo com a Terra, o que significa dizer que cada satélite
fica sempre sobre o mesmo ponto da superfície da Terra.
Considere um satélite cujo raio da órbita seja igual a 7 vezes
o raio da Terra. Na figura, P e Q representam duas cidades na
Terra, separadas pela maior distância possível em que um sinal
pode ser enviado e recebido, em linha reta, por esse satélite.
Se R é a medida do raio da Terra, para ir de P até Q,
passando pelo satélite, o sinal percorrerá, em linha
reta, a distância de:
A) 6 3R
B) 7 3R
C) 8 3R
Terra
Figura 1
D) 10 2R
E) 11 2R
T
A
Terra
β
L
Lua
T’
Figura 2
Um estudante de astronomia, que já conhece a medida R do
, que é igual
raio da Terra e a medida α do ângulo central AOB
à medida do arco AB, está interessado em determinar
a medida r do raio da Lua. Para isso, ele estimou em β
a medida do ângulo de visão da Lua (TÂT), a partir do
observatório A. Já usando o cosseno de α na figura 1,
ele encontrou AL =
R
−R .
cosα
4. (Cesgranrio-RJ) Supondo a Terra esférica de centro C, o
comprimento (perímetro) do paralelo PP’, mostrado na
ilustração, é metade do comprimento da linha do equador EE’.
A latitude desse paralelo é:
A) 30º
B) 40º
C) 45º
D) 60º
E) 70º
Com base nessas informações e considerando a
distância AL = d, a medida r do raio da Lua é igual a:
 β
d ⋅ sen  
 2
A)
 β
1 − sen  
 2
 β
d ⋅ cos  
 2
B)
 β
1 − cos  
 2
 β
d ⋅ cos  
 2
C)
 β
1 − sen  
 2
 β
2d ⋅ sen  
 2
D)
 β
1 − sen  
 2
5. Consideremos a Terra como uma esfera de centro C e raio R.
Qualquer plano secante à superfície terrestre e perpendicular
ao seu eixo de rotação determina nessa superfície uma
circunferência chamada de paralelo terrestre.
 β
2d⋅ cos  
 2
E)
 β
1 − cos  
 2
2. Em uma noite de lua cheia, Paulo e Renata realizaram
a seguinte experiência: Paulo fechou um dos olhos, e
Renata segurou uma moeda de 2,5 cm de diâmetro
entre a Lua e o olho aberto de Paulo, de modo que
o jovem visse a moeda coincindindo com a imagem
do disco lunar. A seguir, mediram a distância entre
a moeda e o olho aberto de Paulo, obtendo 290 cm.
Sabendo que a distância da Terra à Lua é 4 · 105 km, os
jovens estimaram a medida do diâmetro da Lua.
Com esses dados, a melhor estimativa para a medida
do diâmetro da Lua, em quilômetros, é:
A) 3,30 · 103
B) 3,35 · 103
3
C) 3,40 · 10 D) 3,45 · 103
3
E) 3,50 · 10
4
R 3
Sejam A e B dois pontos distintos de um paralelo de raio 3 .
Se um navio, indo de A até B, sobre esse paralelo, percorre 120º,
é:
então a medida α do ângulo ACB
A) 30º
C) 90º
E) 120º
B) 150º
D) 60º
GABARITO (V. 7)
1
2
3
4
5
D
A
D
D
A
Professor Colaborador: Fábio Coelho
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OSG: 43716/11 - A.J - REV.: AR