Lista de exercícios: Funções – Problemas Gerais – Prof

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Lista de exercícios: Funções – Problemas Gerais – Prof
Lista de exercícios: Funções – Problemas Gerais – Prof ºFernandinho
Questões:
01.(Unesp) Apresentamos a seguir o gráfico do volume do álcool em função de sua massa, a uma temperatura
fixa de 0°C. Baseado nos dados do gráfico, determine:
a ) a lei da função apresentada no gráfico.
b ) a massa (em gramas) de 30 cm 3 de álcool.
02.(Unesp) Ao ser inaugurada, uma represa possuía 8 mil m 3 de água. A quantidade de água da represa vem
diminuindo anualmente. O gráfico mostra que a quantidade de água na represa 8 anos após a inauguração é de 5
mil m 3 . Se for mantida essa relação de linearidade entre o tempo e a quantidade de água em m 3 , determine em
quantos anos, após a inauguração, a represa terá 2 mil m 3 .
03.(GV) Nos últimos anos, o salário-mínimo tem crescido mais rapidamente que o valor da cesta básica,
contribuindo para o aumento do poder aquisitivo da população. O gráfico abaixo ilustra o crescimento do
salário-mínimo e do valor da cesta básica na região Nordeste, a partir de 2005. Suponha que, a partir de 2005,
as evoluções anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da cesta básica, na região Nordeste, possam ser
aproximados mediante funções polinomiais do 1º grau, f(x) = a.x + b, em que x representa o número de anos
transcorridos após 2005.
a ) Determine as funções que expressam os crescimentos anuais dos valores do salário-mínimo e dos preços da
cesta básica, na região Nordeste.
b ) Em que ano, aproximadamente, um salário-mínimo poderá adquirir cerca de três cestas básicas, na região
Nordeste? Dê a resposta aproximando o número de anos, após 2005, ao inteiro mais próximo.
04.(Unicamp) Em uma determinada região do planeta, a temperatura média anual subiu de 13,35ºC em 1995
para 13,8°C em 2010. Seguindo a tendência de aumento linear observada entre 1995 e 2010, qual deverá ser a
temperatura média em 2012?
05.(Unicamp) O custo de uma corrida de táxi é constituído por um valor inicial Q 0 , fixo, mais um valor que
varia proporcionalmente à distância D percorrida nessa corrida. Sabe-se que, em uma corrida na qual foram
percorridos 3,6km, a quantia cobrada foi de R$8,25, e que em outra corrida, de 2,8km, a quantia cobrada foi de
R$7,25. Com base nessas informações, calcule o valor inicial Q 0 .
06.(GV) Os gráficos abaixo representam as funções receita mensal R(x) e custo mensal C(x) de um produto
fabricado por uma empresa, em que x é a quantidade produzida e vendida. Qual o lucro obtido ao se produzir e
vender 1350 unidades por mês?
07.(Mack) A figura mostra os gráficos das funções custo total C(x) e receita total R(x) de uma empresa
produtora de CDs. Se, produzindo e comercializando 960 CDs, o custo e a receita são iguais, qual será o lucro
pela venda de 2000 CDs?
(GV) O texto abaixo se refere às questões 08, 09 e 10.
Paulo é um fabricante de brinquedos que produz determinado tipo de carrinho. A figura abaixo mostra os
gráficos das funções custo total e receita, considerando a produção e venda de x carrinhos fabricados na
empresa de Paulo.
08. Existem custos tais como: aluguel, folha de pagamento dos empregados e outros, cuja soma denominamos
custo fixo, que não dependem da quantidade produzida, enquanto a parcela do custo que depende da quantidade
produzida, chamamos de custo variável. A função custo total é a soma do custo fixo com o custo variável. Na
empresa de Paulo, qual é o custo fixo de produção de carrinhos?
09. A função lucro é definida como sendo a diferença entre a função receita total e a função custo total. Paulo
vai obter um lucro de R$2700,00 na produção e comercialização de quantos carrinhos?
10. A diferença entre o preço pelo qual a empresa vende cada carrinho e o custo variável por unidade é
chamada de margem de contribuição por unidade. Portanto, no que diz respeito aos carrinhos produzidos na
fábrica de Paulo, qual é a margem de contribuição por unidade?
11.(Unesp) Numa fazenda, havia 20% de área de floresta. Para aumentar essa área, o dono da fazenda decidiu
iniciar um processo de reflorestamento. No planejamento do reflorestamento, foi elaborado um gráfico
fornecendo a previsão da porcentagem de área de floresta na fazenda a cada ano, num período de dez anos. Esse
ax + 200
gráfico foi modelado pela função f(x) =
, que fornece a porcentagem de área de floresta na fazenda a
bx + c
cada ano x, onde a, b e c são constantes reais. Com base no gráfico, determine as constantes a, b e c e reescreva
a função f(x) com as constantes determinadas.
12.(Unesp) O desenvolvimento da gestação de uma determinada criança, que nasceu com 40 semanas, 50,6 cm
de altura e com 3.446 gramas de massa, foi modelado, a partir da 20ª semana, aproximadamente, pelas funções
matemáticas h(t) = 1,5t – 9,4 e p(t) = 3,8t 2 - 72t + 246 , onde t indica o tempo em semanas, t ≥ 20, h(t) a altura
em centímetros e p(t) a massa em gramas. Admitindo o modelo matemático, determine quantos gramas tinha o
feto quando sua altura era de 35,6 cm.
13.(GV) O gráfico de uma função quadrática f(x) tem as seguintes características:
- O vértice é o ponto (4, - 1).
- Intercepta o eixo das abscissas no ponto (5, 0).
Qual é o ponto de intersecção do gráfico com o eixo das ordenadas?
14.(Unesp) Qual é a expressão que define a função quadrática f(x), cujo gráfico está esboçado abaixo?
15.(Unicamp) Durante um torneio paraolímpico de arremesso de peso, um atleta teve seu arremesso filmado.
Com base na gravação, descobriu-se a altura (y) do peso em função de sua distância horizontal (x), medida em
relação ao ponto de lançamento. Alguns valores da distância e da altura são fornecidos na tabela abaixo. Seja
y(x) = ax 2 + bx + c , a função que descreve a trajetória (parabólica) do peso.
a ) Determine os valores de a, b e c.
b ) Calcule a distância total alcançada pelo peso nesse arremesso.
16.(Unicamp) Uma grande preocupação atual é a poluição, particularmente aquela emitida pelo crescente
número de veículos automotores circulando no planeta. Ao funcionar, o motor de um carro queima
combustível, gerando CO 2 , além de outros gases e resíduos poluentes.
a ) Considere um carro que, trafegando a uma determinada velocidade constante, emite 2,7 kg de CO 2 a cada
litro de combustível que consome. Nesse caso, quantos quilogramas de CO 2 ele emitiu em uma viagem de 378
km, sabendo que fez 13,5 km por litro de gasolina nesse percurso?
b ) A quantidade de CO 2 produzida por quilometro percorrido depende da velocidade do carro. Suponha que,
para o carro em questão, a função c(v) que fornece a quantidade de CO 2 , em g/km, com relação à velocidade v,
para velocidades entre 20 e 40 km/h, seja dada por uma função do segundo grau. Determine essa função com
base nos dados da tabela abaixo.
17.(Unicamp) Um jogador de futebol chuta uma bola a 30m do gol adversário. A bola descreve uma trajetória
parabólica, passa por cima da trave e cai a uma distancia de 40m de sua posição original. Se, ao cruzar a linha
de gol, a bola estava a 3m do chão, qual foi a altura máxima por ela alcançada?
18.(Unesp) O gráfico representa uma função f que descreve, aproximadamente, o movimento (em função do
tempo t em segundos) por um certo período, de um golfinho que salta e retorna à água, tendo o eixo das
abscissas coincidente com a superfície da água.
a ) Sabendo que a parte negativa do gráfico de f é constituída por segmentos de retas, determine a expressão
matemática de f nos instantes anteriores à saída do golfinho da água. Em que instante o golfinho saiu da água?
3
b ) A parte positiva do gráfico de f é formada por parte de uma parábola, dada por f(t) = - t 2 + 6t - 9 .
4
Determine quantos segundos o golfinho ficou fora da água e a altura máxima, em metros, atingida no salto.
19.(GV) Quando o preço do ingresso para uma peça de teatro é p reais, o número de pessoas que comparecem,
por apresentação, é x. Sabe-se que p relaciona-se com x mediante a equação p = 800 – 4x. Nessas condições,
qual é a receita máxima que se pode obter, por apresentação?
20.(GV) Segundo um analista de mercado, nos últimos 7 anos, o preço médio dos imóveis por metro quadrado
(em R$100) pode ser representado pela equação abaixo (em que t representa o tempo, em anos, variando de t =
– 3 em 2004 a t = 3 em 2010):
Preço(t) = − 3t 2 + 6t + 50
De acordo com o analista, houve uma crise no mercado imobiliário nesse período, em um ano em que o preço
dos imóveis por metro quadrado atingiu o valor Maximo, decaindo no ano seguinte. Em que ano ocorreu a
referida crise?
21.(Unesp) Um ônibus de 40 lugares transporta diariamente turistas de um determinado hotel para um passeio
ecológico pela cidade. Se todos os lugares estão ocupados, o preço de cada passagem é de R$ 20,00. Caso
contrário, para cada lugar vago será acrescida a importância de R$ 1,00 ao preço de cada passagem. Assim, o
faturamento da empresa de ônibus, em cada viagem é dada pela função f(x) = (40 – x).(20 + x), onde x indica o
número de lugares vagos (0 ≤ x ≤ 40). Determine:
a ) quantos devem ser os lugares vagos no ônibus, em cada viagem, para que a empresa obtenha faturamento
máximo.
b ) o faturamento máximo obtido em cada viagem.
22.(Unicamp) Um restaurante a quilo vende 100 kg de comida por dia, a R$ 15,00 o quilograma. Uma pesquisa
de opinião revelou que, a cada real de aumento no preço do quilo, o restaurante deixa de vender o equivalente a
5 kg de comida. Responda às perguntas abaixo, supondo corretas as informações da pesquisa e definindo a
receita do restaurante como o valor total pago pelos clientes.
a ) Em que caso a receita do restaurante será maior: se o preço subir para R$ 18,00 / kg ou para R$ 20,00 / kg?
b ) Formule matematicamente a função f(x), que fornece a receita do restaurante como função da quantia x, em
reais, a ser acrescida ao valor atualmente cobrado pelo quilo da refeição.
c ) Qual deve ser o preço do quilo da comida para que o restaurante tenha a maior receita possível?
23.(GV) Uma loja de departamentos compra cartuchos para uma determinada impressora jato de tinta a
R$28,00 a unidade e prevê que, se cada cartucho for vendido a x reais, serão vendidos 200 – 2x cartuchos por
mês.
a ) Encontre uma fórmula que fornece o lucro mensal em função do preço de venda x de cada cartucho.
b ) Estabeleça matematicamente o intervalo dos valores de x para os quais existe efetivamente lucro.
c ) Para que o lucro seja máximo, qual deve ser o preço de venda x de cada cartucho?
d ) Qual será o lucro máximo e quantos cartuchos serão vendidos mensalmente ao preço que maximiza esse
lucro?
24.(GV) A Editora Progresso decidiu promover o lançamento do livro “Descobrindo o Pantanal” em uma Feira
Internacional de Livros, em 2012. Uma pesquisa feita pelo departamento de Marketing estimou a quantidade de
livros adquirida pelos consumidores em função do preço de cada exemplar.
Considere que os dados da tabela possam ser expressos mediante uma função polinomial do 1º grau y = a.x + b,
em que x representa a quantidade de livros vendida e y, o preço de cada exemplar.
a ) Que preço de venda de cada livro maximizaria a receita da editora?
b ) O custo unitário de produção de cada livro é de R$8,00. Visando maximizar o lucro da editora, o gerente de
vendas estabeleceu em R$75,00 o preço de cada livro. Foi correta a sua decisão? Por quê?
Resolução
25.(GV) A editora fez também um estudo sobre o lançamento do livro em duas versões: capa dura e capa de
papelão. A pesquisa mostrou que, se a versão capa dura for vendida por x reais e a versão capa de papelão por
y reais, serão vendidos, no total, 130 x + 70 y − ( x 2 + y 2 ) exemplares das duas versões. Por uma questão de
estratégia, o gerente de vendas decidiu que a versão capa dura deve custar o dobro da versão capa de papelão.
a ) Qual deve ser o preço de venda de cada versão, de modo que a quantidade de livros vendida seja a maior
possível?
b ) Nas condições do item a, quantos exemplares a editora estima vender no total?
26.(Fuvest) Sejam f(x) = 2x – 9 e g(x) = x 2 + 5x + 3 . Qual é o valor da soma dos valores absolutos das raízes da
equação f(g(x)) = g(x)?
27.(GV) Sejam f e g duas funções de ℜ em ℜ , tais que f(x) = 2x e g(x) = 2 – x. Qual é o valor de x na seguinte
equação: f(g(x)) + g(f(x)) = f(f(x)) + g(g(x)).
28.(Mack) As funções f(x) = 3 – 4x e g(x) = 3x + m, onde m é uma constante, são tais que f(g(x)) = g(f(x)),
qualquer que seja x real. Nessas condições, qual é o valor da constante m?
29.(Anglo) Sendo f(x) = 2x 2 - x + 1 e g(x) = x – 2 funções de ℜ em ℜ calcule:
a ) o valor de f o g o f o g o g(3) .
b ) os valores reais de x para que se tenha f(g(x)) ≤ 2g(x).
30.(Espm) Considere as funções f(x) = log 2 x e g(x) = x 2 - 2x , definidas para todo x real estritamente positivo.
Se a > 0 e f(g(2a)) = 3, quanto vale f(a)?
31.(Mack) Sejam as funções f e g de ℜ em , definidas por f(x) = x 2 − 4 x + 10 e g(x) = – 5x + 20. Qual é o valor
(f ( 4)) 2 − g (f ( 4))
da expressão y =
?
f (0) − g (f (0))
32.(Mack) Se f(x) =
a − x 2 , g(x) =
b − x , e f(g(2)) = 2, calcule o valor de f(g(0)).
33.(Anglo) Para um número real fixo α , a função f(x) = α.x - 2 é tal que f(f(1))= -3. Qual é o valor de α?
34.(Unesp) Determine a função inversa de f(x) =
x −1
.
x
1
uma função real definida para x > 0 e seja f −1 ( x ) a sua função inversa. Qual é a
x +1
solução da equação f(x) = f −1 ( x ) ?
35.(Espm) Seja f(x) =
36. (Anglo) Considere a função f(x) = x 2 - 4x + 3 , de domínio A = ] - ∞ , 2 ] e contra domínio B = [ - 1 , + ∞ [ .
a ) Esboce o gráfico de f(x).
b ) Obtenha a função f - 1 (x) .
37.(Anglo) Sendo A = [ 1 , + ∞ [ , determine o conjunto B, dado que f: A → B , f(x) = x 2 - 2x + 10 é uma função
bijetora e, nessas condições, obtenha também a função f - 1 (x) .
38.(Anglo) Seja f : A → B com A = [ 5 , 8]e f (x) = x 2 - 10x + 21 . Sabe-se ainda que f(x) é bijetora. Obtenha:
a ) o conjunto imagem de f(x).
b ) a função inversa f - 1 (x) .
39.(Anglo) Seja f: A → B com A = {x ∈ ℜ / 4 < x ≤ 6} e f(x) = x 2 - 4x - 5 . Sabe-se ainda que a função f é
bijetora.
a ) Esboce o gráfico de f(x).
b ) Obtenha o conjunto-imagem de f(x).
c ) Obtenha a função f - 1 (x) inversa de f(x).
d ) Esboce o gráfico de f - 1 (x) .
40.(Fuvest) Considere a função quadrática f(x) = x 2 + 2x + 2 , definida para todo x real, tal que x ≥ – 1.
Encontre para a função f(x) a sua função inversa f -1 (x) .
t
41.(GV) A curva de Gompertz é o gráfico de uma função expressa por N = C.A k , em que A, C e K são
constantes. É usada para descrever fenômenos como a evolução do aprendizado e o crescimento do número de
empregados de muitos tipos de organizações. Suponha que, com base em dados obtidos em empresas de mesmo
porte, o Diretor de Recursos Humanos da Companhia Nacional de Motores (CNM), depois de um estudo
estatístico, tenha chegado à conclusão de que, após t anos, a empresa terá N(t) = 10000.(0,01)
(com t ≥ 0).
0,5 t
funcionários
a ) Segundo esse estudo, qual é o número inicial de funcionários empregados pela CNM?
b ) Qual será o número de funcionários que estarão empregados na CNM, após dois anos?
c ) Depois de quanto tempo a CNM empregará 1000 funcionários?
42.(Unifesp) Sob determinadas condições, o antibiótico gentamicina, quando ingerido, é eliminado pelo
organismo à razão de metade do volume acumulado a cada 2 horas. Daí, se k é o volume inicial da substância
t
12
no organismo, pode-se utilizar a função f(t) = k .   para estimar a sua quantidade depois de um tempo t, em
2
horas. Neste caso, qual será o tempo mínimo necessário para que uma pessoa conserve 2 mg desse antibiótico
no organismo, tendo ingerido inicialmente 128 mg numa única dose?
43.(Fuvest) Uma substância radioativa sofre desintegração ao longo do tempo, de acordo com a relação
m(t) = c.a - k.t em que a é um número real positivo, t é dado em anos, m(t) é a massa em gramas, m0 é a
quantidade de massa inicial e, c e k são constantes positivas. Sabe-se que no prazo de 10 anos a quantidade
inicial dessa substância foi reduzido a 20%. A que porcentagem de m0 ficará reduzida a massa da substância,
em 20 anos?
44.(Unifesp) A figura 1 representa um cabo de aço preso nas extremidades de duas hastes de mesma altura h em
relação a uma plataforma horizontal. A representação dessa situação num sistema de eixos ortogonais supõe a
plataforma de fixação das hastes sobre o eixo das abscissas; as bases das hastes como dois pontos, A e B; e
considera o ponto O, origem do sistema, como o ponto médio entre essas duas bases (figura 2). O
1
comportamento do cabo é descrito matematicamente pela função f(x) = 2 +   , com domínio [ A , B ] .
2
x
x
a ) Nessas condições, qual a menor distância entre o cabo e a plataforma de apoio?
b ) Considerando as hastes com 2,5 m de altura, qual deve ser a distância entre elas, se o comportamento do
cabo seguir precisamente a função dada?
45.(Fuvest)
a ) Esboce, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos de f(x) = 2 x e g(x) = 2x.
b ) Baseado nos gráficos da parte a, resolva a inequação: 2 x ≤ 2x.
c ) Qual é o maior valor: 2
2
ou 2 2 ? Justifique.
46.(Unicamp) As populações de duas cidades, A e B, são dadas em milhares de habitantes pelas funções
A(t) = log 8 (1 + t) 6 e B(t) = log 2 (4t + 4) , onde a variável t representa o tempo em anos. Qual é a população de
cada uma das cidades nos instantes t = 1 e t = 7?
47.(Unesp) Numa fábrica, o lucro originado pela produção de x peças é dado em milhares de reais pela função
L(x) = log 10 (100 + x) + k , com k uma constante real.
a ) Sabendo que não havendo produção não há lucro, determine k.
b ) Determine o número de peças que é necessário produzir para que o lucro seja igual a mil reais.
48.(Ibmec) Na figura abaixo, está representada, fora de escala, uma parte do gráfico da função y = log 3 x . A
partir do gráfico, calcule aproximadamente o valor de x na equação 9 x = 15 .
49.(Unesp) Considere as funções f(x) =
x
e g(x) = log 2 x , para x > 0.
2
a ) Represente, num mesmo sistema de coordenadas, os gráficos das duas funções, colocando os pontos cujas
abscissas são x = 1, x = 2, x = 4 e x = 8.
x
b ) Baseado na representação gráfica, dê o conjunto solução da inequação: < log 2 x .
2
c ) Qual é o maior:
π
2
ou log 2 π ? Justifique sua resposta.
50.(Unesp) O brilho de uma estrela percebido pelo olho humano, na Terra, é chamada de magnitude aparente da
estrela. Já a magnitude absoluta da estrela é a magnitude aparente que a estrela teria se fosse observada a uma
distância padrão de 10 parsecs (1 parsec é aproximadamente 3.10 13 km). As magnitudes aparente e absoluta de
uma estrela são muito úteis para se determinar sua distância ao planeta Terra. Sendo m a magnitude aparente de
uma estrela e M a magnitude absoluta de uma estrela, a relação entre M e m é dada aproximadamente pela
seguinte fórmula: M = m + 5.log 3 (3.d - 0,48 ) , onde d é a distância da estrela em parsecs. A estrela Rigel tem
aproximadamente magnitude aparente 0,2 e magnitude absoluta – 6,8. Determine a distância, em quilômetros,
de Rigel ao planeta Terra.
51.(Unicamp) A escala de um aparelho de medir ruídos é definida como R dβ = 10.(12 + log10 I ) , em que R dβ é a
medida do ruído, em decibéis, e I é a intensidade sonora, em W/m 2 . O ruído dos motores de um avião a jato
equivale a 160 decibéis, enquanto o tráfego em uma esquina movimentada de uma grande cidade atinge
80 decibéis, que é o limite a partir do qual o ruído passa a ser nocivo ao ouvido humano.
a ) Determine a intensidade sonora máxima que o ouvido humano suporta sem sofrer qualquer dano.
b ) Calcule a razão r entre as intensidades sonoras do motor de um avião a jato e do tráfego em uma esquina
movimentada de uma grande cidade.
52.(Unesp) Considere as funções f(x) = - 5 + log 2 (1 - x) , definida para x < 1, e g(x) = x 2 - 4x - 4 , definida para
7
todo x real. Resolva a equação g(x) = f   .
8
53.(Unesp) O altímetro dos aviões é um instrumento que mede a pressão atmosférica e transforma esse
resultado em altitude. Suponha que a altitude h acima do nível do mar, em quilômetros, detectada pelo altímetro
1
de um avião seja dada, em função da pressão atmosférica p, em atm, por h(t) = 20.log   . Num determinado
p
instante, a pressão atmosférica medida pelo altímetro era 0,4 atm. Considerando a aproximação log 2 = 0,3,
qual era a altitude h do avião nesse instante, em quilômetros?
54.(Fuvest) Tendo em vista as aproximações log 2 = 0,30 e log 3 = 0,48, qual é o maior número inteiro n,
satisfazendo a inequação 10 n ≤ 12 418 ?
55.(Unicamp) Uma bateria perde permanentemente sua capacidade ao longo dos anos. Essa perda varia de
acordo com a temperatura de operação e armazenamento da bateria. A função que fornece o percentual de perda
anual de capacidade de uma bateria, de acordo com a temperatura de armazenamento, t (em ºC), tem a forma
P(t) = a.10 b.t , em que a e b são constantes reais positivas. A tabela abaixo fornece, para duas temperaturas
específicas, o percentual de perda de uma determinada bateria de íons de Lítio.
Com base na expressão de P(t) e nos dados da tabela, determine as constantes a e b para a bateria em questão.
Se necessário, use log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70.
56.(Unesp) Os átomos de um elemento químico radioativo possuem uma tendência natural a se desintegrar
(emitindo partículas e se transformando em outro elemento). Assim sendo, com o passar do tempo, a
quantidade original desse elemento diminui. Suponhamos que certa quantidade de um elemento radioativo com
-
t
70
inicialmente m 0 gramas se decomponha segundo a equação matemática: m(t) = m 0 .10 , onde m(t) é a
quantidade de massa radioativa no tempo t (em anos). Usando a aproximação log 2 = 0,3, determine:
a ) log 8.
b ) quantos anos demorará para que esse elemento se decomponha até atingir um oitavo da massa inicial.
57.(Unesp) Um determinado lago foi tomado por uma vegetação. Em 1990, a área coberta pela planta era de
160 m 2 , e a partir de então o aumento anual da área coberta pela vegetação foi de 60%. Determine:
a ) a área, em m 2 , coberta pela vegetação n anos mais tarde.
b ) usando log 16 = 1,2, quantos anos se passaram até que uma área de 2560 m 2 fosse coberta.
58.(Unicamp) Um capital de R$12.000,00 é aplicado a uma taxa anual de 8%, com juros capitalizados
anualmente. Considerando que não foram feitas novas aplicações ou retiradas, encontre:
a ) o capital acumulado após 2 anos.
b ) o número inteiro mínimo de anos necessários para que o capital acumulado seja maior que o dobro do
capital inicial. (Se necessário, use log 2 = 0,301 e log 3 = 0,477)
8
expressa, em função do tempo t (em anos), aproximadamente, a
1 + 12.3- 0,1. t
população, em milhões de habitantes, de um pequeno país, a partir de 1950 (t = 0). Um esboço do gráfico dessa
função, para 0 ≤ t ≤ 80, é dado na figura abaixo.
59.(Unesp) A função p(t) = 9 +
a ) Determine aproximadamente quantos habitantes tinha o país em 1950.
b ) De acordo com esse modelo matemático, calcule em que ano a população atingiu 12 milhões de habitantes.
(Use as aproximações log 3 2 = 0,6 e log 3 5 = 1,4 ).
60.(Unesp) A temperatura média da Terra começou a ser medida por volta de 1870 e em 1880 já apareceu uma
diferença: estava (0,01)°C (graus Celsius) acima daquela registrada em 1870 (10 anos antes). A função
t(x) = (0,01).2 (0,05).x , com t(x) em °C e x em anos, fornece uma estimativa para o aumento da temperatura média
da Terra (em relação àquela registrada em 1870) no ano (1880 + x), x ≥ 0. Com base na função, determine em
que ano a temperatura média da Terra terá aumentado 3°C. (Use as aproximações log 2 3 = 1,6 e log 2 5 = 2,3 )
x
 5  10
61.(Unesp) A função f(x) = 500.  , com x em anos, fornece aproximadamente o consumo anual de água no
 4
3
mundo, em km , em algumas atividades econômicas, do ano 1900 (x = 0) ao ano 2000 (x = 100). Determine,
utilizando essa função, em que ano o consumo de água quadruplicou em relação ao registrado em 1900. Use as
aproximações log 2 = 0,3 e log 5 = 0,7.
62.(Unicamp) O sistema de ar condicionado de um ônibus quebrou durante uma viagem. A função que descreve
a temperatura (em graus Celsius) no interior do ônibus em função de t, o tempo transcorrido, em horas, desde a
quebra do ar condicionado, é T(t) = (T0 - Text ).10 - t/4 + Text , onde T0 é a temperatura interna do ônibus enquanto
a refrigeração funcionava, e Text é a temperatura externa (que supomos constante durante toda a viagem).
Sabendo que T0 = 21ºC e Text = 30ºC, responda às questões abaixo.
a ) Calcule a temperatura no interior do ônibus transcorridas 4 horas desde a quebra do sistema de ar
condicionado.
b ) Calcule o tempo gasto, a partir do momento da quebra do ar condicionado, para que a temperatura subisse
4ºC. Se necessário, use log 2 = 0,30, log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70.
63.(Unifesp) Pesquisa feita por biólogos de uma reserva florestal mostrou que a população de uma certa espécie
de animal está diminuindo a cada ano. A partir do ano em que se iniciou a pesquisa, o número de exemplares
desses animais é dado aproximadamente pela função f(t) = 750.2 - 0,05t , com t em anos, t ≥ 0.
a ) Determine, com base na função, em quantos anos a população de animais estará reduzida à metade da
população inicial.
b ) Considerando log 2 3 = 1,6 e log 2 5 = 2,3 , e supondo que nada seja feito para conter o decrescimento da
população, determine em quantos anos, de acordo com a função, haverá apenas 40 exemplares dessa espécie de
animal na reserva florestal.
64.(Unicamp) Uma barra cilíndrica é aquecida a uma temperatura de 740ºC. Em seguida, é exposta a uma
corrente de ar a 40ºC. Sabe-se que a temperatura no centro do cilindro varia de acordo com a função:
−
t
12
T ( t ) = (T0 − Tar ).10 + Tar , sendo t o tempo em minutos, T0 a temperatura inicial e Tar a temperatura do ar.
Baseado nessa função, qual será o tempo requerido para que a temperatura no centro atinja 140ºC? Use para
cálculos log 7 = 0,85.
65.(GV) Um capital A de R$10000,00 é aplicado a juros compostos, à taxa de 20% ao ano; simultaneamente,
um outro capital B, de R$5000,00, também é aplicado a juros compostos, à taxa de 68% ao ano. Utilize a tabela
abaixo para resolver.
Depois de quanto tempo os montantes se igualam?
66.(GV) Meia-vida de uma grandeza que decresce exponencialmente é o tempo necessário para que o valor
dessa grandeza se reduza à metade. Uma substância radioativa decresce exponencialmente de modo que sua
t
quantidade, daqui a t anos, é Q = A.(0,975) . Adotando os valores ln 2 = 0,693 e ln 0,975 = - 0,025, qual é o
valor aproximado da meia-vida dessa substância?
67.(GV) O diretor de uma editora estima que, se x exemplares de um novo livro de Cálculo para o Ensino
Superior forem entregues aos professores para análise, as vendas do livro no primeiro ano serão de
aproximadamente f(x) = 1000. 15 - 24e - 0,003x exemplares. Quantos exemplares a editora deverá distribuir para
análise, para vender cerca de 9000 exemplares no primeiro ano? Use a aproximação ln 2 = 0,69 para responder
a questão.
(
)
68.(Unesp) Em 2010, o Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística (IBGE) realizou o último censo
populacional brasileiro, que mostrou que o país possuía cerca de 190 milhões de habitantes. Supondo que a taxa
de crescimento populacional do nosso país não se altere para o próximo século, e que a população se
estabilizará em torno de 280 milhões de habitantes, um modelo matemático capaz de aproximar o número de
habitantes (P), em milhões, a cada ano (t), a partir de 1970, é dado por: P(t) = 280 - 190.e - 0,019.(t - 1970) . Baseado
 14 
nesse modelo, e tomado a aproximação para o logaritmo natural ln   = - 1,9 , em que ano a população
 95 
brasileira será 90% da suposta população de estabilização?
[
]
Gabarito:
5
a ) y = .x
01.
4
b ) m = 24 g
05. Q0 = R$3,75
09. 850 carrinhos
02. 16 anos
a ) S(x) = 42x + 300
03. C(x) = 6x + 154
b ) ano 2012
04. 13,86°C
06. 1750
07. 2600
08. R$ 2400,00
10. R$ 6,00
a = 100, b = 1, c = 10
100x + 200
11.
f(x) =
x + 10
12. 1.506 g
a ) a = - 0,1, b = 1
c = 1,1
15.
b ) 11 metros
16.
19. R$ 40000,00
20. 2008
2
13. (0, 15)
14. f ( x ) = 2x + 2x − 4
a ) 75,6 kg
v 2 - 40v + 1000
b ) c(v) =
2
17. 4 m
21.
18.
a ) y = 2t - 4 e t = 2
b) t =4eh =3
a )L( x ) = −2 x 2 + 256 x − 5600
a ) R$ 18,00
22. b ) f(x) = (15 + x).(100 - 5x)
c ) R$ 17,50
a ) x = 10
b ) R$ 900,00
Dura = R $66,00
25.
6
28. m = 5
a)7
29.
5 
b ) S =  , 3
2 
30. f(a) = 1
33. α = 1
34. f -1 ( x ) =
32.
2
36. f - 1 (x) = 2 -
x +1
37.
c)R $64,00
d )R $2592,00e72cartuchos
a )R $65,00
24.
b) Não
a)
b)S = ]28,100[
23.
Papelão = R $33,00 26. Soma = 7
b)5445 exemplares
B=[9,+∞ [
f (x) = 1 + x - 9
-1
38.
1
1− x
a ) Im = [ - 4 , 5 ]
b ) f -1 (x) = 5 + 4 + x
27. x =
2
3
31. y =
13
4
35. x =
39.
5 −1
2
b ) Im = ] - 5 , 7 ]
c ) f -1 (x) = 2 + 9 + x
-1
40. f (x) = - 1 +
44.
a)2
b)2m
x -1
a ) 100
41. b ) 10 3,5
c ) 1 ano
45.
b)S = [1,2]
c) 2 2
49.
52. S = ሼ2ሽ
53. 8 km
a ) 0,9
b ) 63 anos
57.
46.
b)S= ]2,4 [
48. x= 1,25
56.
42. t = 12 horas
b ) 6 anos
A : 2000 e 6000
B : 3000 e 5000
15
c ) Log 2 π
a ) A = 160.(1,6)
47.
a)k =-2
b ) 900 peças
a ) I = 10 - 4 W/m 2
50. d = 7,29.10 km
51.
54. n = 451
55. a = 1,6 e b = 0,02
n
b ) r = 10 8
58.
a ) R$ 13.996,80
b ) 10 anos
59.
a ) 9,6 milhões
b ) 1968
a ) T = 29,1°C
b ) t = 1,04 h
63.
a ) 20 anos
b ) 84 anos
60. 2044
61. 1960
62.
64. 10,2
65. 2 anos
66. 27,7 anos
68. 2070
43. 4%
67. 460