Simposio DIAGRAMAS

Simposio
DIAGRAMAS
Coordinación de la sesión: Abel Lassalle Casanave / Javier Legris
PARTICIPANTES
Alejandro Chmiel
Abel Lassalle Casanave
Eduardo Giovannini
Javier Legris
Bruno R. Mendonça
Guillermo Nigro
Matías Osta
Frank Thomas Sautter
Sérgio Schultz
José Seoane
PROGRAMA
Viernes, 11/05/2012
14: 00 – 14: 30: Comunicación
Diagramas y pruebas por reductio ad absurdum
Abel LASSALLE CASANAVE
14:30 – 15:00: Comunicación
El problema de la generalización universal en las pruebas euclidianas
Guillermo NIGRO
15: 00 – 15: 30: Comunicación
Felix Klein sobre el valor del razonamiento diagramático en geometría
Eduardo N. GIOVANNINI
15: 30 – 16: 00: Comunicación
Figuras, íconos y diagramas
Matías OSTA
16:00 – 16:30: Comunicación
Diagramas e isomorfismo
Sérgio SCHULTZ
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16: 30 – 17: 00: Comunicación
Sistemas formales sin lenguaje formal
Alejandro CHMIEL
17:00 -17:30 - INTERVALO
17: 30 – 18: 00: Comunicación
Acerca dos diagramas de Euler e Venn
Bruno R. MENDONÇA
18:00 – 18:30: Comunicación
Diagramas y cálculo en Lambert
Oscar Miguel ESQUISABEL
18: 30 – 20:00: Mesa Redonda: Aspectos de la distinción gráfico-lingüístico
Termos negativos e diagramas
Frank SAUTTER
Demostraciones como diagramas
Javier LEGRIS
Definición y visualización
José SEOANE
RESÚMENES
Sistemas formales sin lenguaje formal
Alejandro Chmiel
UDELAR
Uruguay
[email protected]
Los sistemas formales han estado ligados –de una u otra forma- a un lenguaje formal;
podemos considerar los trabajos de Frege, Hilbert, Tarski y Gentzen en este sentido.
Los lenguajes formales: (1) pueden ser definidos esquemáticamente i.e. recursivamente
(2) sus propiedades estructurales nos dan una noción de secuencia de formación, de
fórmula y subfórmula, que nos permite construir reglas de inferencia esquemáticas
sobre dicha estructura sintáctica (como el sistema de Gentzen) (3) las diferentes
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categorías -sintácticas y semánticas- de símbolos del lenguaje nos permiten definir una
noción de sustitución en el sistema. A los sistemas formales que se soportan en
lenguajes formales se los puede llamar sentenciales. Desde el trabajo de Barwise y
Etchemendy, se ha trabajado en un nuevo concepto de sistema formal que se soporta en
un sistema de representación diagramático -el cual sustituye al lenguaje formal-, como
son los sistemas propuestos por Sun-Joo Shin y Nathaniel Miller. A estos sistemas
formales se los puede llamar diagramáticos. En este trabajo nos proponemos comparar
ambos tipos de sistemas formales, observando en qué medida la pérdida -en el sistema
de representación diagramático- de ciertas propiedades estructurales que tienen los
lenguajes formales –como cierto tipo de recursividad-, afectan el sistema formal;
teniendo en cuenta, especialmente, el impacto sobre las reglas de inferencia. Finalmente
se intentará presentar un cierto modo de clasificar sistemas formales en virtud de dos
coordenadas: (1) recursividad y (2) contenido informacional del sistema de
representación; proponiendo un cierto vínculo entre ambas.
Diagramas y cálculo en Lambert
Oscar Miguel Esquisabel
UNQ-UNLP / CONICET
Argentina
[email protected]
Las concepciones semióticas de Lambert, que continuaban la tradición leibniziana
relativa al concepto de conocimiento simbólico, se concretaron en dos programas de
formalización. Por una parte, Lambert ensayó la construcción de diversos cálculos
lógicos que tomaban como modelo el álgebra, dando lugar así a una teoría de
―ecuaciones conceptuales‖, al estilo de la lógica booleana. Por otra parte, propuso la
representación diagramática de las estructuras silogísticas como modelo por excelencia
de tratamiento de las formas lógicas. Es así que en su obra fundamental, el Nuevo
órgano, de 1764, presentó un método sistemático para la representación diagramático
lineal para las formas silogísticas. Lo interesante, y curioso, del caso, es que Lambert
parece privilegiar la representación diagramática por sobre el cálculo lógico cuasialgebraico, ya que pese a que los ensayos de construcción de un cálculo son bastante
anteriores al Nuevo órgano, el único método que en dicha obra se expone
sistemáticamente es el diagramático, mientras que sólo hay ocasionales referencias a
otras posibilidades de tratamiento formal de las estructuras lógicas. Esta actitud de
Lambert obedece, por lo menos en el contexto del Nuevo órgano, al hecho de que, en el
marco de sus reflexiones sobre el conocimiento simbólico, le confiere a los diagramas
una mayor evidencia o certeza que a las operaciones operaciones formales con
fórmulas. Ello plantea, entre otras cuestiones, es si el método diagramático de Lambert
puede ser concebido como cálculo. En el presente contexto, se expondrá el método
diagramático lambertiano y se planteará una evaluación de su naturaleza y alcance.
Felix Klein acerca del valor del razonamiento diagramático en geometría
Eduardo N. Giovannini
UNL / CONICET
3
Argentina
[email protected]
El nombre de Felix Klein (1849–1925) suele ser mencionado por los historiadores de la
matemática como el autor de uno de los programas de investigación que más
contribuyó, hacia fines del siglo XIX, a la unificación de la geometría, el análisis y el
álgebra como un sistema orgánico. En efecto, en su célebre ‗Programa de Erlangen‘ de
1872, Klein describió de un modo programático cómo el concepto algebraico de grupo
podía ser utilizado para clasificar y unificar el estudio de la geometría, en aquel
momento notablemente diseminada en diversas teorías sin una vinculación aparente. La
utilización de la teoría de grupos en el estudio de la geometría tuvo así como resultado
la introducción de un grado de abstracción y generalización, anteriormente desconocido
por esta disciplina. Sin embargo, Klein debe ser también reconocido como uno de los
principales defensores de la intuición y el razonamiento basado en diagramas en
matemáticas, en un período en que la validez y la relevancia de este tipo
representaciones estaban siendo fuertemente cuestionadas. Más precisamente, un
aspecto constante en toda su obra, aunque ciertamente con importantes matices a lo
largo del tiempo, fue la defensa de la utilización de diagramas en la práctica
matemática, no sólo como una herramienta heurística para facilitar la comprensión, sino
sobre todo como un instrumento fundamental para el descubrimiento y la exposición de
nuevos conceptos matemáticos. El objetivo de este trabajo será luego comentar y
analizar, de un modo preliminar, la defensa de la utilización de diagramas en geometría
llevada a cabo por Klein.
Diagramas en pruebas geométricas por reductio ad absurdum
Abel Lassalle Casanave
UFBA / CNPQ
Brasil
[email protected]
Después del drástico rechazo, a fines del siglo XIX, al uso de recursos que
genéricamente podríamos llamar gráficos en demostraciones matemáticas, la literatura
reciente en filosofía de las ciencias formales ha vindicado su legitimidad. Si
denominamos homogéneas a las pruebas exclusivamente lingüísticas que según la
concepción standard de demostración predominante durante el siglo XX serían las
únicas demostraciones posibles, entonces la vindicación mencionada supone una noción
heterogénea de demostración. En particular, las demostraciones de la geometría
sintética clásica –un caso paradigmático de demostración heterogénea- han recibido una
atención creciente. Se distingue en una demostración euclidiana entre una parte textual,
que autoriza pasos de la demostración acerca de aspectos denominados exactos y una
parte gráfica –el diagrama- que autoriza pasos acerca de aspectos denominados coexactos. En esta comunicación pretendo mostrar, en primer lugar, cómo la distinción
exacto / co-exacto ilumina el concepto de demostración por reductio ad absurdum. En
segundo lugar, pretendo examinar una posible objeción a la tesis de que las figuras
puedan ser consideradas bajo la especie de muestras. ¿De qué podría ser muestra un
diagrama en una demostración por reductio si por definición el diagrama no podría
―instanciar‖ los conceptos involucrados?
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Demostraciones como diagramas
Javier Legris
UBA / CEF-CONICET
Argentina
[email protected]
En la filosofía actual de las ciencias formales existe una animada discusión acerca de la
función de los diagramas en las demostraciones. De acuerdo con la concepción
predominante, los diagramas cumplen una función secundaria (exclusivamente didáctica
o cognitiva) en las demostraciones, las que deben entenderse como secuencias de
enunciados o proposiciones. Esta concepción supone que los diagramas aluden a
aspectos intuitivos que deben eliminarse de los procedimientos demostrativos. La
discusión se inscribe en el marco de la oposición ―gráfico-lingüístico‖ en las formas de
representación científica, y en el marco del razonamiento diagramático y el
razonamiento heterogéneo. Esta comunicación propone invertir el problema, afirmando
que las demostraciones son diagramas. Esto no es más que seguir la perspectiva que
Charles Sanders Peirce (1839-1914) defendió en la última etapa de su pensamiento, a
partir de su teoría semiótica: demostrar es construir un ícono o diagrama. Lo relevante
de estos signos es su naturaleza estructural. Sobre esta base se analizarán los conceptos
que entran en juego en esta perspectiva y se extraerán algunas consecuencias
concernientes a los siguientes aspectos: 1) el carácter necesario del conocimiento
demostrativo, que depende de la observación de signos y la ejecución de acciones sobre
ellos; 2) La existencia de demostraciones que contienen hipótesis, que está vinculada
con la idea de hacer experimentos con diagramas; 3) el empleo de diferentes tipos de
signos en las demostraciones, tales como fórmulas algebraicas o figuras geométricas, ya
que todas tienen un cierto grado de iconicidad. Estas consecuencias sugieren que esta
perspectiva está más próxima a la práctica demostrativa en las ciencias formales que la
concepción predominante.
Acerca dos diagramas de Euler e Venn
Bruno R. Mendonça
Mestrando em Filosofia / UFSM
Brasil
[email protected]
Avalia-se as vantagens dos diagramas de Venn frente aos diagramas de Euler tendo
como base a análise feita por Venn (1834-1923) – algebrista da lógica mais conhecido
pelo criação dos diagramas que recebem seu nome – desse mesmo tópico em Symbolic
Logic (1881). A análise de Venn foca-se em dois pontos: em primeiro lugar, ele
reconhece como os diagramas de Venn representam a forma lógica da proposição
diferentemente dos diagramas de Euler, i.e., Venn reconhece como os artifícios
simbólicos de um sistema diagramático são mais sofisticados do que os de outro; além
disso, Venn aponta ao menos duas vantagens da representação da lógica por diagramas
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de Venn em comparação com os diagramas de Euler. Como primeira vantagem tem-se a
capacidade dos diagramas de Venn de representar pacotes parciais de informação. Em
segundo lugar, os diagramas de Venn oferecem um método sistemático de avaliação da
validade lógica de argumentos, o que falta em diagramas de Euler. Conclui-se, desse
modo, que os diagramas de Venn configuram um conjunto original de sistemas
diagramáticos, distinto dos diagramas de Euler, cujas características básicas podem ser
encontradas ainda em sistemas diagramáticos tais como os diagramas de Carroll.
El problema de la generalización universal en las pruebas euclidianas
Guillermo Nigro
UDELAR / CSIC
Uruguay
[email protected]
Cuando se examinan las pruebas que aparecen en los Elementos (I-III especialmente)
qua pruebas heterogéneas, surge la interrogante acerca de la legitimidad de que algunos
pasos de las mismas estén basadas en diagramas. Unas de las dificultades están
relacionadas con la legitimidad de inferir una conclusión universal partiendo de un
diagrama particular; dicho problema puede ser formulado con la siguiente interrogante:
¿cómo puede alguien que examina una prueba euclidiana estar justificado en creer que
la proposición es verdadera de cualquier figura? En esta ponencia está dedicada a
presentar –y criticar- una respuesta clásica a este problema que podemos denominar
representacional y a proponer –a modo de bosquejo- una alternativa, que podemos
denominar computacional. Cuando probamos un enunciado de la forma ‗∀x (Fx →
Gx)‘ partimos de ‗Fa‘ donde ‗a‘ tiene un estatus especial: representa un individuo
arbitrario o un individuo representativo de la clase de los F. En este caso, el uso de ‗a‘
es, estrictamente hablando, innecesario (ya que cada formula en la que ‗a‘ ocurre puede
sustituirse por una formula universal —i.e. ∀x (…x…)). Fenómenos como este sugieren
que en este contexto los diagramas no son indispensables en la prueba, por lo que no
sirve como explicación de las pruebas heterogéneas. Otra alternativa sería ver a ‗a‘
como el nombre propio de algún objeto como el triángulo general (como sostenía
Locke). Ambas alternativas brindan una explicación de la generalidad basadas en lo que
‗a‘ representa. La alternativa que se presenta aquí incluye tomar a ‗a‘ como un índice,
donde la generalización se realiza por medio de un proceso iterativo que nos da, para el
diagrama de la clase adecuada, una prueba de la proposición deseada.
Figuras, íconos y diagramas
Matías Osta
UDELAR
Uruguay
[email protected]
Las matemáticas, debido a los múltiples y sumamente diversos modos de representación
que utilizan, constituyen todo un desafío para cualquier teoría semiótica. Dentro de
estas, la Geometría Euclidiana es un desafío especial, por su uso combinado de
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elementos sentenciales y representaciones visuales. La ambiciosa teoría semiótica de
Peirce parece solventar estas dificultades. Posee un sistema de clasificación de los
signos sumamente amplio que da cuenta, tanto de los primeros, como de las últimas.
En el sistema antedicho, Peirce distingue a los diferentes tipos de signos según el modo
a través del cual representan a sus objetos. Las representaciones visuales entran dentro
de la categoría de los icónicos: signos cuya característica principal es representar a sus
objetos a través de cierto tipo de semejanza con los mismos. Debido a que esta
semejanza puede ser de diversas formas, existen subclases de íconos, siendo una de
estas, la de los diagramas, la clase en la que Peirce incluía a las figuras geométricas. Sin
embargo, las definiciones que da el filósofo del concepto de diagrama son diversas y
difíciles de armonizar, lo que complica la tarea de clasificar a las figuras geométricas.
Este trabajo tiene como intención principal explorar la semiótica de las figuras
geométricas para evaluar en que medida se adecúan a la teoría de Peirce. En especial, se
intentará problematizar la supuesta pertenencia de estas figuras a la clase de los
diagramas.
Termos negativos e diagramas
Frank Thomas Sautter
UFSM / CNPq
Brasil
[email protected]
A silogística suporta a discussão de, pelo menos, quatro diferentes formas de negação.
As reconstruções modernas costumam interpretar a negação silogística exclusivamente
em termos de negação judicativa. Lukasiewicz utiliza, em Aristotle’s Syllogistic from
the Standpoint of Modern Logic, um par de atos cognitivos: o ato de asserção e o ato de
rejeição, sendo esse último o locus de uma negação. Prior utiliza, em Formalized
Syllogistic, um par de cópulas predicativas: a cópula est e a cópula non-est, sendo essa
última o locus de uma negação. Diversas reconstruções do final do século XIX e início
do século XX utilizam negação terminística ou termos negativos. Examinarei a
utilização de termos negativos na quarta edição, de 1906, do manual de lógica Studies
and Exercises in Formal Logic, de John Neville Keynes. A introdução de termos
negativos tem, como consequência imediata, a obtenção de um octógono de oposições.
As novas relações de oposição não dependem de pressupostos existenciais, ao contrário
das relações de contrariedade, subcontrariedade e subalternidade. Keynes também
desenvolve um método diagramático de decisão, adaptado do método de Euler. Nesse
método, cada juízo categórico é associado a uma coleção de diagramas básicos, e a
validade pode ser expressa em termos da continência de uma coleção de diagramas em
outra. O ganho associado à introdução de termos negativos pode ser medido pela
quantidade de tipos de diagramas básicos: cinco no caso da utilização somente de
termos positivos, sete no caso da utilização de termos positivos e negativos.
Diagramas e isomorfismo
Sérgio Schultz
Pós-doutorando / PUC-Rio/FAPERJ-Capes
Brasil
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Uma idéia um tanto comum nas discussões filosóficas acerca de diagramas é que estes
representam por isomorfismo. Defende-se basicamente, em primeiro lugar, que há um
isomorfismo entre o sistema de signos diagramático e o domínio de objetos ou conceitos
representados e que, além disto, o isomorfismo constitui a relação de representação
entre os signos diagramáticos e os entes. Esta tese costuma ser assumida como sendo
trivial ou, ao menos, como inocente de um ponto de vista conceitual. Contudo, um olhar
mais atento começa a revelar pressupostos e consequências nada triviais desta tese.
Relações de isomorfismo se dão entre estruturas matemáticas e não entre objetos ou
conceitos. Ao falar de um isomorfismo entre diagramas e o objetos/propriedades,
pareceria que os diagramas seriam concebidos não como signos que podem ser usados e
compreendidos, mas sim em termos de uma estrutura matemática abstrata. Enquanto
que uma tal concepção pode ser útil para investigações lógico-matemáticas acerca de
sistemas de diagramas, é duvidoso se ela é sustentável de um ponto de vista filosóficoconceitual. Também, sistemas de signos – sejam linguagens naturais, sejam sistemas
como os diagramas geométricos de Euclides – são coisas que usamos para comunicar,
descrever e, principalmente no caso de diagramas, para provar e explicar. Não é nada
claro que usar um signo para provar algo possa ser igualado a usar (recorrer a) uma
estrutura matemática para provar algo. É a noção de signo e de uso de signos
pressuposta pela tese do isomorfismo que examinaremos em nossa apresentação.
Definición y visualización
José Seoane
UDELAR / ANII/ANEP
Uruguay
[email protected]
La concepción según la cual las representaciones visuales deben excluirse de las
demostraciones matemáticas ha sido ampliamente dominante. Este punto de vista -cuya
justificación explícita es harto infrecuente- suele apoyarse en la convicción de una
potencialidad falaciosa, supuestamente connatural a tal forma de representación. Esta
sensibilidad intelectual parece exigir, asimismo, la suspicacia respecto de la
representación visual en el contexto de las definiciones matemáticas rigurosas. El objeto
de esta exposición es, precisamente, la exploración de la interacción entre componentes
sentenciales y visuales en el caso de las definiciones matemáticas. La conjetura a la que
se arriba sostiene la existencia de una suerte de irreductibilidad metodológica entre
aquellas definiciones compuestas exclusivamente por sentencias (definiciones
sentenciales) y aquellas que apelan a la representación visual como un modo relevante
de codificar información matemática (definiciones heterogéneas o visuales). En
particular, importa subrayar el diferente papel que desempeñan, en este contexto, el
componente sentencial y el componente visual. Esta diferenciación tal vez permita, por
una parte, entender cómo se comportan ambas dimensiones, cuando se apela a tales
definiciones en tramas demostrativas heterogéneas y, por otra, analizar mejor qué ha
fracasado en aquellos casos paradigmáticos de generación de raciocinios falaciosos,
vinculados a las definiciones de naturaleza preponderantemente visual.
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