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Estatística e Modelos Probabilísticos - COE241 Aula passada Distribuição da soma, máximo e mínimo de v.a. discretas V.A. Contínua: função distribuição, função densidade V. A. Exponencial, Hypoexponencial Aula de hoje Exemplos de v. a. contínuas: Erlang, Hiperexponencial, Gamma, Weibull, Normal, ChiSquare, Uniforme, Lognormal, Pareto Rosa – 2012 Variável Aleatória Hypoexponencial Exp1 Exp2 Exp3 Exp4 Rosa – 2012 Variável Aleatória Erlang Exp Exp Exp Exp r = número de estágios Rosa – 2012 Variável Aleatória Erlang Rosa – 2012 Variável Aleatória Erlang Rosa – 2012 Variável Aleatória Hyperexponencial p1 p2 p3 p4 Rosa – 2012 Parâmetros de CDF's Uma distribuição pode ser deslocada e reescalonada por uma transformação do tipo: y = (x-mu)/sigma, correspondendo a uma mudança de origem e unidade Os parâmetros location e scale são usados para fazer esta transformação (ex: normal) Location: fornece o posicionamento da distribuição com relação ao eixo das abcissas Scale: define a amplitude da distribuição Algumas distribuições podem ter a sua forma alterada através do parâmetro shape que define a forma da distribuição (ex: gamma, weibull) Rosa – 2012 Variável Aleatória Gamma Modela a soma de exponenciais onde o número de estágios é contínuo Rosa – 2012 Variável Aleatória Gamma alpha (shape), lambda (scale) Rosa – 2012 Variável Aleatória Gamma Rosa – 2012 Variável Aleatória Weibull - 1 É usada para descrever tempo para falha devido a fadiga de um componente Também tem sido usada para modelar um usuário acessando a web (tempo em ON e intervalo entre requisições) Assume diversas formas variando-se os parâmetros lambda(scale) e alpha(shape) Rosa – 2012 Variável Aleatória Weibull - 2 Esta forma possui um parâmetro a mais, o theta (location) Rosa – 2012 Variável Aleatória Weibull Efeito do parâmetro alpha (shape) Rosa – 2012 Variável Aleatória Weibull Efeito do parâmetro lambda (scale) Rosa – 2012 Variável Aleatória Weibull Efeito do parâmetro theta (location) Rosa – 2012 Variável Aleatória Weibull: Exemplo Rosa – 2012 Variável Aleatória Gaussiana ou Normal Rosa – 2012 Variável Aleatória Normal x Teorema do Limite Central Rosa – 2012 Variável Aleatória Normal Rosa – 2012 Variável Aleatória Normal Padrão Rosa – 2012 Variável Aleatória Normal: exemplo Rosa – 2012 Variável Aleatória Chi-Square É a distribuição da soma do quadrado de variáveis aleatórias com distribuição Normal (0,1). Rosa – 2012 Variável Aleatória Chi-square Graus de liberdade (degrees of fredom) – n Não existe somente uma distribuição Chi-square, existe uma família indexada pelo parâmetro n A distribuição Chi-square com n graus de liberdade é a distribuição da soma do quadrado de n v.a. Normal(0,1). Rosa – 2012 Variável Aleatória Uniforme Rosa – 2012 Variável Aleatória Uniforme (função densidade) Rosa – 2012 Variável Aleatória Uniforme (função distribuição) Rosa – 2012 Variável Aleatória Uniforme (função distribuição) Rosa – 2012 Variável Aleatória Lognormal Seja Y v.a. normal e Y = ln(X) X é v.a. lognormal com parâmetros mu e sigma Exemplo: tempo de reparo, tempo de vida de componentes de um sistema O produto de n variáveis lognormais é uma variável lognormal: X = X 1∗X 2∗⋯ X n Rosa – 2012 Variável Aleatória Pareto Tem sido usada para modelar: Tamanho de arquivo web armazenado em provedores Tempo em OFF de uma fonte web (tempo que o usuário está pensando) Tamanho de uma rajada FTP Tempo de CPU consumido por um processo Tamando de reservatórios de petróleo Rosa – 2012 Variável Aleatória Pareto K é o menor valor que v.a. pode assumir. alpha é o parâmetro shape Rosa – 2012 Variável Aleatória Pareto K = 1, é o menor valor que v.a. pode assumir Rosa – 2012 Princípio de Pareto Para diversos eventos, aproximadamente 80% dos efeitos provém de 20% das causas Exemplo: 80% das vendas provém de 20% dos clientes 80% das vendas 20% dos clientes Rosa – 2012 Princípio de Pareto Não existe uma relação de 1 para 1 entre a causa e o efeito Rosa – 2012 Princípio de Pareto: por que é importante ? É importante saber que a maioria dos resultados vêem de uma minoria: 20% dos trabalhadores contribuem para 80% dos resultados 20% dos bugs contribuem para 80% dos crashes 20% dos usuários contribuem para 80% das vendas Rosa – 2012 Cauda Longa (Heavy Tail) Uma distribuição possui cauda longa com parâmetro 0<p<=2, se existe uma constante k tal que para um valor grande de x: k 1− F X x ~ p x onde f(x) ~ g(x) significa que f(x)=g(x)(1+e(x)), com lim x ∞ e x=0 uma distribuição de cauda longa possui variância infinita e para p<=1, média infinita Rosa – 2012 Teste para cauda longa Teste para a cauda longa: plotar a distribuição complementar em escala log-log e procurar por uma relação linear com coeficiente p k 1− F X x ~ p x Para a v.a. Pareto, temos: k 1− F X x= x Para a v.a. Exponencial temos: p − x 1− F X x=e Rosa – 2012 Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial A distribuição complementar da v.a. Pareto obedece a uma Lei de Potência k 1− F X x= x Para k =1,=1, temos Para k =1,=2, temos log 1/ x 2 log 1/ x Para v.a. Exponencial, temos: 1− F Y y=e− x , Para =1, temos log e−x Rosa – 2012 Testando v.a. Pareto x v.a. Exponencial Rosa – 2012
