Par Ordenado Produto Cartesiano Relação
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Par Ordenado Produto Cartesiano Relação
𝑅1 = {(1,3), (2,5)} 𝑅2 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 / 𝑦 = 𝑥 + 1 } x = 1 → y = 1 + 1 = 2 → (1,2) ∈ AxB Par Ordenado x = 2 → y = 2 + 1 = 3 → (2,3) ∈ AxB A ordem dos elementos tem importância (x,y) ≠ {x,y} 1º) ( a, b ) = ( c,d ) a=c 2º) ( a,b ) = ( b,a ) a=b e b=d Gráfico cartesiano Representamos os elementos de A no eixo x e os elementos de B no eixo y. O gráfico de A x B é constituído pelos pontos pertencentes ao produto A x B. R4 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅² / 𝑥 = 3} ( abscissa,ordenada ) Considerando os conjuntos A e B, podemos ter as seguintes situações: B x A = {(3,1), (5,1), (7,1), (3,2), (5,2), (7,2)} A x A = {(1,1), (1,2), (2,2), (2,1)} AxB = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝐴 𝑒 𝑦 ∈ 𝐵} Ex.: A = { 1,2 } e B = { 3,5,7 } Listagem dos Elementos 𝑅² = 𝑅 𝑥 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) / 𝑥 ∈ 𝑅 𝑒 𝑦 ∈ 𝑅} Relação R = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 / 𝑠𝑒𝑛𝑡𝑒𝑛ç𝑎 } AxB = { (1,3),(1,5),(1,7),(2,3),(2,5),(2,7)} Utilizando como exemplo o produto cartesiano anterior Diagrama de Flechas OBS.: Se considerarmos o espaço cartesiano R² não tem como listar os elementos, nem representar no diagrama. Só nos resta representar no plano cartesiano. R3 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅² / 𝑦 = 𝑥} OBS.: Um ponto só pode ser representado por um único par ordenado e um par ordenado só pode representar um único ponto Produto Cartesiano 𝑅2 = {(2,3)} 𝑅1 = { (𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴𝑥𝐵 / 𝑦 = 2𝑥 + 1 } x = 1 → y = 2.1 + 1 = 3 → (1,3) ∈ AxB x = 2 → y = 2.2 + 1 = 5 → (2,5) ∈ AxB O conjunto imagem são os elementos de B que são utilizados. Im={0,9} 𝐼𝑚 𝑒𝑠𝑡á 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎 𝑛𝑜 𝐶𝐷 Par Ordenado : (domínio,imagem) Definição de Função Função é toda relação binária de A em B, onde para todo x pertencente a A, tem se um único correspondente y pertencente a B. Usando as relações anteriores Y = f(x) → imagem= f(domínio) f(5)=12 5 é domínio ; 12 é imagem e f(12) é a imagem do domínio 12 f(5)=12 → (5,12) e vice e versa R1 e R3 são funções Exemplo : 𝑦 = 𝑥+2 𝑥−2 x–2≠0→ x≠2 D = R – {2} Isolando x, fica y.(x -2) = x + 2 yx – 2y = x + 2 yx – x = 2y + 2 x(y – 1) = 2y + 2 R2 e R4 não são funções 𝑥= 2𝑦+2 𝑦−1 y–1≠0 → y≠1 Im = R – {1} 𝑛 2º) y = √𝑥 → x ≥ 0 Observe que todos os elementos do conjunto A possuem uma flecha em direção a um único elemento do conjunto B. Para saber se uma relação gráfica é função, traça segmentos verticais. Nenhum deles pode interseccionar o gráfico em mais de um ponto. 11 Domínio: D = [-2, [ → projeta no eixo x Se n for par. D = { x ∈ R / x ≥ 0} 2 Imagem: Im= [-2,3] → projeta no eixo y Sempre partimos da idéia de que o domínio é R. Exemplo: y = x² Perceba que f(0) = -2 ; f(-2)=0 e f(4)=3 não é função de x em y → x = ±√𝑦 D=R Domínio e Imagem na função 1º) y = é função de x em y 1 𝑥 Im = { y ∈ R / y ≥ 0 } → x≠0 D=R–{0} Sendo função, lê-se f : A → B (função de A em B). Isolando a variável x obtemos a imagem A é o domínio da função x= A={-3,0,3} B é o contradomínio da função B={0,9,18} 1 𝑦 → y≠ 0 Im = R – { 0 }
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