Outros teoremas

Outros teoremas
Teorema de Reciprocidade
• É uma propriedade bastante frequente em sistemas físicos lineares;
• Em um circuito elétrico que satisfaz as condições do teorema, é
possível trocar as posições de uma fonte e de um medidor, sem
alteração da medida.
Circuitos com fonte de corrente e medidor
de tensão
• As equações de nós para um circuito constituído por resistores
lineares e fontes de corrente independente podem ser escritas na
forma matricial (como visto anteriormente):
Ye = If
Y é a matriz admitância dos nós (no caso de circuitos resistivos, é a
matriz de condutância), e é simétrica.
Temos,
e = Y-1If , com Y-1 simétrica
Se o circuito tiver apenas uma fonte de corrente I, entrando no nó p ( e
saindo no nó de referência), o vetor de fontes de corrente de nós If
terá um único elemento não nulo , I , localizado na linha p.
A soma dos produtos dos elementos da linha q da matriz Y-1 pelos
elementos do vetor If, que será eq do nó q, terá apenas um elemento
não nulo e será dada por
eq = Y-1q,p I
Passando a fonte de corrente para o nó q, a tensão do nó p será
ep = Y-1p,q I
Como a matriz Y-1 é simétrica,
Y-1q,p = Y-1p,q
e a tensão do nó q com uma fonte de corrente I ligada ao nó p é igual à
tensão do nó p com a fonte ligada ao nó q.
Exemplo:
− 1 / R1
0
 1 / R1
  e1   I 
− 1 / R1 1 / R1 + 1 / R 2 + 1 / R3
 e 2  = 0 
−
1
/
R
3

   
 0
− 1 / R3
1 / R3 + 1 / R 4  e3 0
R2 R4
e3 =
I
R2 + R3 + R4
− 1 / R1
0
 1 / R1
  e1  0
− 1 / R1 1 / R1 + 1 / R 2 + 1 / R3
 e 2  = 0 
−
1
/
R
3

   
 0
− 1 / R3
1 / R3 + 1 / R 4  e3  I 
e1 =
R2 R4
I = e3
R2 + R3 + R4
Condição do teorema:
• Não devem existir outras fontes independentes
ou vinculadas (controladas), no circuito.
Exercício
Teorema de deslocamento de fontes
• Deslocamento de fontes de tensão: Inclusão de fontes ideais de
tensão iguais em série com todos os bipolos ligados a um nó (com
polaridades adequadas), como mostra as figuras abaixo, não altera
as equações do circuito.
• Deslocamento de fontes de corrente:inclusão de um laço de fontes
ideais de corrente iguais (em sentido apropriados) em um circuito
não altera as equações do circuito.
Teorema de Millman
• Considerem-se agora as fontes de tensão associadas em paralelo.
O teorema de Millman estabelece que o conjunto destas fontes
pode ser substituído por uma fonte de tensão com resistência
interna, cujos parâmetros são dados pelas expressões:
• Tendo agora fontes de correntes
Teorema de compensação
• Permite determinar como se modificam as diversas tensões e
correntes de um circuito em consequência de uma alteração no
valor de uma de suas resistências.
• Essa determinação pode ser importante em algumas circunstâncias,
como:
– Utilização, na montagem de um circuito, de algum valor de resistência
diferente do valor de projeto;
– Efeito de um medidor de corrente de resistência não desprezível
adicionado ao circuito.
Teorema de compensação
• O teorema diz: Se um resistor de resistência R, percorrido por uma
corrente I, tiver seu valor alterado para R + δR, a mudança em
todas as tensões e correntes do circuito pode ser obtida a partir do
mesmo circuito com as seguintes modificações:
– todas as fontes originais do circuito são anuladas;
– o resistor R tem seu valor alterado para R + δR;
– uma fonte de tensão de valor δR I é incluída em série com o resistor
alterado. O sentido da fonte é tal que a corrente por ela produzida
tenha sentido oposto ao da corrente I ( se δR > 0)