análise numérica e monitoração da deformabilidade de - LEM

Transcrição

Escola Politécnica da Universidade de São Paulo
Departamento de Engenharia de Estruturas e Fundações
Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais
ANÁLISE NUMÉRICA E MONITORAÇÃO DA
DEFORMABILIDADE DE ESTRUTURAS DE CONCRETO
PROTENDIDO
Projeto de pesquisa apresentado à FAPESP para solicitação de bolsa de
pós-doutorado
Candidato:
Marcelo Augusto da Silva Machado
Supervisor:
Túlio Nogueira Bittencourt
São Paulo, Outubro de 2006
Resumo
Este projeto visa ao estudo do comportamento de estruturas de concreto protendido sob cargas
de curta e longa duração por meio de análise numérica, via método dos elementos finitos,
considerando a não-linearidade do concreto e as perdas da protensão. Está prevista também a
monitoração de uma estrutura protótipo, a ser construída em laboratório, para aferição e
refinamento do modelo númerico. A análise numérica conjuntamente com a monitoração da
estrutura protótipo constituem uma importante ferramenta de complemento à observação de
estruturas reais e à detecção e identificação de dano.
A análise numérica e a monitoração das estruturas de concreto protendido, ao longo do tempo,
serão realizadas através da obtenção de grandezas diversas. Tais grandezas podem ser a
deformação, a tensão ou o deslocamento devidos à fluência e à retração do concreto e a perdas
de protensão do aço, principalmente a sua relaxação, e devidos à aplicação de cargas instantâneas
nas diversas idades da estrutura. Os resultados obtidos neste trabalho serão de fundamental
importância na monitoração de estruturas reais, sendo um dos objetivos do projeto temático da
FAPESP, no qual este projeto de pesquisa está inserido.
Este projeto de pesquisa será desenvolvido junto ao Grupo de Modelagem de Estruturas de
Concreto – GMEC coordenado pelo prof. Túlio Nogueira Bittencourt (GMEC:
http://www.lmc.ep.usp.br/people/tbitten/gmec/home.htm), o qual também será supervisor
desse trabalho. Esse Grupo de Pesquisa tem realizado vários trabalhos na área de monitoração,
na área de análise experimental e computacional de estruturas de concreto armado e protendido,
o que pode ser comprovado pelos recentes artigos em anexo. Esses trabalhos têm contado com a
parceria de colegas da UNICAMP na área de interpretação dos resultados utilizando análise
inversa. Cabe também mencionar a experiência adquirida pelo GMEC nos últimos anos por meio
de convênio de cooperação internacional com o Grupo do Professor Joaquim Figueiras da FEUP
(Faculdade de Engenharia da Universidade do Porto), que vem monitorando e ensaiando em
laboratório estruturas de concreto protendido com bastante sucesso. Todo este desenvolvimento
recente justifica a inserção do solicitante no GMEC na condição de pós-doutor, uma vez que os
conhecimentos por ele adquiridos durante o seu mestrado e doutoramento, o que pode ser
comprovado pelos recentes artigos em anexo, são muito importantes para o trabalho que se
pretende desenvolver agora.
Este projeto de pesquisa de pós-doutorado está diretamente ligado ao projeto temático da
FAPESP (“MONITORAÇÃO E AVALIAÇÃO DA DEFORMABILIDADE, DA
FISSURAÇÃO E DA SEGURANÇA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO”) nº. 04/03049-1
e ao projeto de auxílio de pesquisa (“PROTOTIPAGEM DE ESTRUTURAS EM ESCALA
REDUZIDA EM UM AMBIENTE INTEGRADO, UTILIZANDO RECURSOS DE
MONITORAÇÃO, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE NUMÉRICA”) FAPESP nº. 05/522102.
OBJETIVOS DO PROJETO
Os objetivos gerais deste projeto visam à simulação numérica por meio do método dos
elementos finitos de estruturas de concreto protendido e a monitoração de uma estrutura
protótipo, considerando fatores de fluência e retração do concreto e perdas de protensão do aço.
Será considerado o comportamento elasto-viscoplástico do concreto comprimido e o
comportamento linear até a ruptura do concreto tracionado. Será também considerada a não
aderência do aço de protensão. Este projeto pode ser dividido em três etapas distintas:
•
Implementação do modelo numérico para análise de estruturas bidimensionais (2D) de
concreto protendido, sob estados planos de tensão, desenvolvido pelo autor deste
projeto, Machado (2002), no programa FEMOOP (“Finite Element Method – Object Oriented
Programming”) (MARTHA et al., 1996);
•
Simulação de experimentos realizados em laboratório disponíveis na literatura (por
exemplo, o trabalho realizado por Figueras (2004), o qual está vinculado ao projeto
temático principal, entre outros);
•
Comparação dos resultados numéricos obtidos pelo modelo numérico implementado
com outros programas disponíveis (por exemplo, o programa DIANA), para fins de
refinamento do modelo numérico implementado, além da extensão do modelo numérico
para estruturas tridimensionais (3D);
•
Monitoração de uma estrutura protótipo em laboratório, a qual vai fornecer parâmetros a
serem incorporados no modelo numérico, além de fornecer dados a serem comparados
com os resultados obtidos numericamente;
•
A partir dos resultados da análise numérica e da monitoração da estrutura protótipo,
pretende-se fornecer subsídios e parâmetros para o dimensionamento de estruturas reais,
identificando de forma mais precisa as ações do tempo e das solicitações aplicadas nas
diversas idades, as quais governam tal dimensionamento.
1.
INTRODUÇÃO
O material concreto estrutural comporta-se de uma maneira extremamente complexa,
apresentando uma resposta altamente não-linear, quando submetido a solicitações (Machado e
Campos Filho, 2002). A fissuração do concreto, a plastificação do concreto e do aço, a diferença
entre as resistências à tração e compressão do concreto, a não-linearidade da relação tensãodeformação e os fenômenos relacionados ao tempo como, fluência e retração do concreto e
relaxação do aço, entre outros fatores, são as causas desta não-linearidade.
A consideração de efeitos dependentes do tempo, fluência e retração no concreto e relaxação no
aço protendido, é de extrema importância na análise de concreto estrutural. As deformações por
fluência e retração, ocorridas no concreto, têm a mesma ordem de grandeza das deformações
imediatas, geradas por níveis usuais de tensão. Já a relaxação do aço provoca uma perda
significativa de tensão ao longo do tempo. Tais efeitos, portanto, não podem ser desprezados.
Face à disponibilidade de modernos computadores e de programas que permitem a visualisação
gráfica dos resultados obtidos, o método dos elementos finitos já se tornou uma ferramenta
consagrada para solução numérica de uma variedade de problemas encontrados na engenharia e
pode ser usado na análise do funcionamento de estruturas de concreto estrutural.
Já em sistemas de monitoração estrutural, o acompanhamento do comportamento das estruturas
ao longo do tempo é realizado através da medição permanente de grandezas tão diversas como a
deformação, o deslocamento, a temperatura, a umidade relativa, entre outras. O cruzamento
deste manancial de informação com parâmetros quantificados a partir dos resultados obtidos de
modelos numéricos de análise estrutural, desde que devidamente interpretado, permite estudar,
entre outros aspectos, o comportamento reológico e a durabilidade dos materiais e tem
constituído um importante complemento à observação das estruturas e à detecção e identificação
de dano.
2.
SIMULAÇÃO NUMÉRICA
O programa escolhido para a construção do modelo computacional é o FEMOOP (“Finite
Element Method – Object Oriented Programming”) (MARTHA et al., 1996). Programa baseado no
Método dos Elementos Finitos (MEF), o FEMOOP baseia-se no paradigma da programação
orientada para objetos e vem sendo desenvolvido utilizando-se a linguagem de programação C++.
Um dos benefícios mais importantes da programação orientada para objetos é a extensibilidade
do código, permitindo que novas implementações sejam feitas com pequeno impacto sobre o
código já existente.
O modelo computacional de elementos finitos, desenvolvido pelo autor deste projeto, Machado
(2002), será implementado no programa FEMOOP para estudo de estruturas de concreto
protendido com protensão interna submetidas a cargas de curta e longa duração. O modelo
desenvolvido por Machado (2002) também analisa vigas de concreto armado e de concreto
protendido com aderência. A figura 1, a figura 2, figura 3 e a figura 4 ilustram a aplicação do
modelo desenvolvido por Machado (2002). Já a figura 5 ilustra uma aplicação em viga de
concreto armado no programa FEMOOP, apresentada por Gamino (2005).
Figura 1 – Comparação dos resultados de aumento médio de tensão na armadura protendida sem
aderência obtidos experimental e numericamente (Machado e Campos Filho, 2002).
P = 89 kN
Figura 2 – Distribuição das tensões (σx) nos elementos de concreto de uma viga de concreto com
armadura protendida sem aderência antes de sua ruptura (Machado e Campos Filho, 2002).
P = 77,5 kN
Figura 3 – Distribuição das tensões nos elementos de armadura de uma viga de concreto armado
e distribuição de fissuras nos elementos de concreto de uma viga de concreto armado (Machado,
2002).
P = 40 kN
Figura 4 – Distribuição das tensões nos elementos de armadura de uma viga de concreto com
armadura protendida com aderência (Machado, 2002).
Tensões normais nas armaduras em MPa
Abertura de fissuras
Figura 5 – Modelagem 2D de viga de concreto armado no FEMOOP (Gamino, 2005).
No modelo computacional, desenvolvido por Machado (2002), a ser implementado no programa
FEMOOP, o concreto e o aço são considerados como tendo um comportamento elastoviscoplástico e elastoplástico perfeito, respectivamente. Para tanto, modelos constitutivos
apropriados são adotados para simular tal comportamento.
Para o concreto comprimido, um modelo elastoplástico com endurecimento é empregado. O
modelo elastoplástico compõe-se por um critério de ruptura, um critério de plastificação e uma
regra de endurecimento. O critério de ruptura adotado é o critério proposto proposto por
Ottosen (1977), o mesmo adotado pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 (1993). Este critério é
calibrado por quatro parâmetros, em função da resistência à compressão do concreto. A
superfície de ruptura gerada por este critério representa o comportamento real do material. É
dependente dos três invariantes de tensões, tem uma forma suave e convexa, com exceção do seu
vértice, os meridianos são parabólicos e abrem no sentido negativo do eixo hidrostático e o traço
no plano desviador muda de uma forma triangular para circular com o aumento da pressão
hidrostática. Considera-se que o concreto comprimido tenha um endurecimento isotrópico e que
as superfícies de plastificação tenham a forma da superfície gerada pelo critério de Von Mises. O
domínio plástico é suposto para qualquer nível de tensão de compressão aplicado ao concreto. A
regra de endurecimento define o movimento das superfícies de plastificação subseqüentes
durante a deformação plástica. A tensão e a deformação plástica efetiva correspondem ao
diagrama tensão-deformação de um ensaio de compressão uniaxial.
Já para o concreto sob tração, considera-se a contribuição do concreto entre fissuras na rigidez
total da estrutura. O concreto tracionado é considerado isotrópico e elástico linear até a superfície
de ruptura ser atingida. Distingue-se, a partir de então, se ocorreu fissuração ou esmagamento
através do critério do Código Modelo CEB-FIP 1990 (1993). O concreto fissurado segue o
modelo de fissuras distribuídas. Neste modelo, necessita-se apenas que se atualize a relação
tensão-deformação após a ocorrência da fissura, sem ter de modificar a topologia da malha de
elementos finitos durante a análise. É considerado que o concreto seja ortotrópico e os eixos
materiais locais coincidem com as direções das tensões principais. A direção da fissura é admitida
permanecer fixa. Para um ponto previamente fissurado, pode ocorrer a formação de uma
segunda fissura, que, por simplicidade, seria ortogonal à primeira fissura. Reduz-se o módulo de
elasticidade longitudinal na direção ortogonal ao plano da fissura, conforme sugerido por
Hinton (1988), utilizando-se a curva tensão-deformação (strain-softening) sugerida por este autor. O
módulo de elasticidade transversal, nesta direção, também sofre uma redução, conforme
Cervenka (1985) e Hinton (1988).
Barras de armadura em membros de concreto estrutural resistem, basicamente, a esforços axiais.
Para tanto, é suficiente que se conheçam as tensões na direção do seu eixo. Adota-se aqui uma
curva tensão-deformação bi-linear, considerando-as um material elastoplástico perfeito. Supõe-se
um mesmo comportamento, tanto à tração, quanto à compressão.
Para o concreto e o aço, sob a ação do tempo, é empregado um modelo de camadas superpostas,
onde cada camada, com características materiais diferentes, sofre a mesma deformação total.
Cada camada recebe uma parcela da tensão total. Este modelo é baseado no modelo reológio
apresendado por Owen e Hinton (1980), para análise de um material homogêneo com
comportamento elasto-viscoplástico. O modelo reológico empregado por Owen e Hinton (1980)
é representado por uma mola (componente elástica) em série com um conjunto formado por um
amortecedor (componente viscosa) e um elemento de atrito (componente plástica), em paralelo.
Assim, uma cadeia em paralelo tipo Maxwell formada por cinco elementos, uma mola em série
com um amortecedor, é adotada para representar o comportamento reológico do concreto e do
aço, conforme a figura 6.
σ
ε
η
η
η
η
μ=
σ
Figura 6 – Modelo reológico dos materiais.
Para o concreto, o modelo é calibrado, segundo procedimento sugerido por Bazant e Wu (1974),
a partir de uma função de fluência conhecida. Neste trabalho, inicialmente será escolhida a
formulação do Código Modelo CEB-FIP 1990 (1993), também escolhida por Machado (2002), a
qual fornece resultados muito próximos a valores reais, sendo dependente da umidade e da
temperatura ambiente, das dimensões da estrutura, da composição do concreto e do tipo de
cimento utilizado. Posteriormente, os resultados obtidos pela monitoração serão introduzidos no
modelo. Já para o aço, o modelo também é calibrado, segundo procedimento sugerido por
Bazant e Wu (1974), mas é ajustado a partir da função de relaxação conhecida. Utilizar-se-á a
função proposta pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 (1993), a mesma escolhida por Machado
(2002).
A retração é considerada como uma deformação imposta à estrutura. Determina-se um vetor de
forças nodais equivalentes, dado por:
ΔPcs = ∫ [B] T [D]{Δ ε cs } dV
(Equação 1)
V
onde,
⎧Δε cs ⎫
⎪
⎪
{Δε cs } = ⎨Δε cs ⎬
⎪ 0 ⎪
⎩
⎭
(Equação 2)
Os valores de εcs, para cada intervalo de tempo, são determinados, através da formulação
apresentada pelo Código Modelo CEB-FIP 1990 (1993).
O modelo computacional permite a análise de três tipos de protensão: pré-tração, pós-tração com
aderência e pós-tração sem aderência, onde perdas imediatas e progressivas na tensão da
armadura, para cada tipo de protensão, são consideradas. Limita-se aos casos de protensão
interna. Em estruturas pós-tracionadas, a força de protensão é transmitida através da aplicação de
uma força de compressão externa. Nesta análise por elementos finitos, tal força é substituída por
forças nodais equivalentes na posição da ancoragem dos cabos. A tensão aplicada armadura prétracionada sofre uma queda antes da aplicação da protensão por fluência e retração do concreto e
relaxação da armadura. Já para a armadura pós-tracionada, a protensão sucessiva de cada um dos
cabos provoca uma deformação imediata do concreto e, conseqüentemente, afrouxamento dos
cabos anteriormente protendidos. Neste tipo de protensão, também ocorrem perdas imediatas
por atrito ao longo do cabo, as quais são modeladas segundo equações existentes na NBR 6118
(2003). Além disso, ocorrem o escorregamento dos fios na ancoragem e a acomodação da
ancoragem. Ao longo do tempo, perdas decorrentes da fluência e retração do concreto e
relaxação do aço são consideradas automaticamente no presente modelo.
O modelo computacional também permite a análise de estruturas de concreto estrutural com
comportamento elasto-viscoplástico, onde os casos particulares, viscoelásticos e elastoplásticos
são utilizados. Na primeira etapa, há um processo incremental do tempo (em dias), onde são
analisados os efeitos ocorridos ao longo do período desejado. Fluência e retração do concreto e
relaxação da armadura protendida são considerados. Tal etapa representa o comportamento
viscoelástico dos materiais. Na segunda etapa, incrementa-se a carga aplicada, que pode ser dos
tipos nodal, distribuída ou gravitacional (peso próprio). Procura-se o equilíbrio da estrutura após
a aplicação do incremento de carga. Tal etapa corresponde ao comportamento elastoplástico dos
materiais. No modelo computacional, permite-se que sejam aplicados diversos carregamentos em
datas diferentes, entre as quais avaliam-se os efeitos ocorridos ao longo do tempo. Assim, ambas
as etapas são executadas sucessivamente, de acordo com as datas especificadas dos
carregamentos.
Inicialmente, implementar-se-á um modelo computacional bidimensional (2D) para análise de
estruturas protendidas, sob estado plano de tensão. Para tanto, modelar-se-á o concreto com
elementos finitos isoparamétricos quadrangulares da família Serendipity, de oito nós, com dois
graus de liberdade em cada nó, correspondentes às translações na direção dos eixos x-y, sistema
global de coordenadas. Em tais elementos, o campo de deslocamento possui variação quadrática
e o campo de deformação é linear. As funções de forma para cada elemento, as coordenadas
naturais e os e fatores de peso dos pontos de integração encontram-se em Owen e Hinton (1977).
Posteriormente, extender-se-á o código implementado para estruturas tridimensionais (3D),
utilizando-se elementos sólidos.
Para a representação da armadura, utilizar-se-á o modelo incorporado, baseado em
Elwi e Hrudey (1989). Neste modelo, supõe-se que esta resiste apenas a esforços axiais e que há
compatibilidade de deslocamentos entre seus pontos e os pontos de concreto localizados na
mesma posição. Desta forma, a matriz de rigidez da armadura tem a mesma dimensão da matriz
de rigidez do elemento de concreto e a matriz de rigidez total é a soma das duas. Permite-se, com
este modelo, uma disposição aleatória das barras de aço no interior dos elementos de concreto,
sem a geração de novas incógnitas no problema. Podem ocorrer várias barras de aço dentro de
um mesmo elemento finito de concreto. Admite-se, também, aderência perfeita entre o concreto
e o aço, exceto quando se analisam estrutura de concreto protendido sem aderência. As barras de
armadura, modeladas por elementos uniaxiais isoparamétricos, cujas funções de forma são dadas
por Zienkiewicz (1986), podem ter geometria reta, definida por dois pontos, ou curva, definida
por três pontos. Tal modelo pode ser utilizado tanto para estruturas 2D quanto para estruturas
3D.
Tal modelo computacional será calibrado e testado, utilizando-se resultados disponíveis na
literatura e a partir de dados gerados no sistema de monitoração de uma estrutura protótipo feita
em laboratório. Paralelamente, outros programas computacionais, como por exemplo os
programas DIANA, ATHENA, etc., serão utilizados para efeito de comparação ao modelo
computacional implementado neste projeto e o seu refinamento para posterior análise de
estruturas reais de concreto protendido.
Para pós-processamento dos resultados obtidos numericamente, o programa QUEBRA2D será
usado. O programa QUEBRA2D constitui um simulador gráfico interativo da evolução de
danificação de elementos estruturais, sendo um projeto conjunto do Grupo de Modelagem de
Estruturas de Concreto (GMEC) do Laboratório de Mecânica Computacional (LMC) da Escola
Politécnica da Universidade de São Paulo (EPUSP) e o Tecgraf da PUC do Rio de Janeiro. Este
programa atua como gerenciador de entrada e saída de dados e dos processos de fraturamento,
bem como gerador de malhas adaptativas. Todo o pós-processamento é efetuado no
QUEBRA2D . A figura 7 iliustra a aplicação do QUEBRA2D, apresentada por Gamino (2005).
O QUEBRA2D é utilizado em conjunto com o FEMOOP. O Primeiro funciona como pré e
pós-processador sendo ele responsável pelo lançamento e edição de todos os atributos
competentes à análise. Já o segundo funciona como “solver” do sistema que tem por objetivo
processar o arquivo de atributos da análise gerado pelo QUEBRA2D, chamado arquivo neutro
“.dat” e salvar os resultados processados em um arquivo de pós-processamento “.pos” que é
devolvido ao QUEBRA2D para visualização de resultados.
Figura 7 – Exemplo de utilização do programa QUEBRA2D em análises de estruturas de
concreto armado reforçadas com fibras de carbono (Gamino, 2005).
3.
PROTÓTIPO DE MONITORAÇÃO
Será construído e ensaiado um protótipo constituído por uma viga de concreto protendido sem
aderência, de seção transversal retangular e submetida ao peso próprio, a forças concentradas,
variação de temperatura e considerando efeitos reológicos, retração e fluência, do concreto.
Serão medidas deformações lineares em diversos pontos a serem definidos em estudo específico
com o objetivo de otimizar a qualidade dessas informações. Ou seja, serão estudados exemplos
de avaliação com utilização do modelo computacional implementado neste mesmo projeto.
Utlizar-se-á claramente a metodologia da simulação no modelo computacional que permita
melhor orientar a monitoração.
A caracterização dos efeitos de retração e fluência será efetuada pela utilização de corpos de
provas compensadores nos quais serão realizados os ensaios de retração e de fluência. Em
princípio, serão estabelecidas curvas de retração e de fluência obtidas pelo ajuste de coeficientes
de funções propostas nos modelos definidos no Eurocódigo 2 e na NBR6118-2003.
O modelo a ser estudado será construído no Laboratório de Estruturas e Materiais Estruturais,
LEM, e consistirá em uma viga simplesmente apoiada, com comprimento total de 4,10m (4,00m
entre apoios), e secção transversal de 15cm de base por 20cm de altura. O concreto utilizado será
da classe C40, auto-adensável. As armaduras longitudinais são constituídas por 4φ12.5mm de aço
CA50. Devido às forças de tração desenvolvidas nas zonas de ancoragem pela excentricidade da
força de protensão, as armaduras longitudinais serão dobradas nas extremidades. Para as
armaduras transversais serão utilizados aços CA50, φ6.3mm(2r) com espaçamento de 10cm.
O cabo de protensão será constituído por uma cordoalha de sete fios com uma secção transversal
de sete fios com uma secção transversal de 1.40cm2, e deverá ser aplicada uma força de protensão
inicial (Po) de cerca de 170 kN. Junto às zonas de ancoragem, para absorver as forças de tração
que serão desenvolvidas no interior da viga, será adotada uma armadura de reforço de
φ6.3mm(2r) com espaçamento de 10cm, em aço tipo CA25. A figura 8, apresentada a seguir,
mostra o protótipo a ser desenvolvido.
Figura 8 – Protótipo a ser construído, monitorado e analisado.
Um protótipo semelhante ao proposto foi construído e analisado na FEUP. Os dados e as
conclusões oriundas da monitoração e análise do protótipo proposto serão comparados com os
provenientes do modelo ensaiado na FEUP.
De forma a ter um registro contínuo do comportamento estrutural e material da viga, serão
monitorizadas três seções, S1, S2 e S3 (figura 8), cada uma delas instrumentadas com
extensômetros de resistência elétrica autocompensados ao efeito da temperatura, dois de
embeber no concreto e quatro de colar no aço. Para medir a evolução da força de protensão será
instalada uma célula de carga na ancoragem ativa. Também está prevista a instalação de um
sensor de temperatura para a medição da temperatura ambiente. Serão confeccionados com o
mesmo concreto utilizado para a viga, e no mesmo dia, dois prismas compensadores cilíndricos
de dimensões 15cmx30cm, sendo um da retração (PR) e outro da fluência (PF). Os prismas serão
instrumentados cada um com um extensômetro de resistência elétrica autocompensado ao efeito
da temperatura disposto na maior dimensão dos prismas, e colocados nas mesmas condições
ambientais da viga. Complementarmente, em determinados ensaios de carga, serão instalados
LVDT’s (Linear Variable Differencial Transformer) para medição dos deslocamentos verticais
das seções S1, S2 e S3. Todo este equipamento estará ligado a um sistema de aquisição, que
proporcionará o registro e armazenamento das leituras efetuadas.
4.
PROCEDIMENTO METODOLÓGICO
Serão desenvolvidas as seguintes atividades, referentes às linhas que estão sendo implantadas:
•
Implementação do modelo computacional pré-exitente no programa FEMOOP;
•
Testes de funcionamento adequado do modelo implementado, através de comparações
dos resultados de deformação e tensão no concreto e na armadura e deslocamento da
estrutura sob efeitos de cargas de curta e longa duração disponiveis na literatura;
•
Extensão do modelo implementado para estruturas 3D;
•
Comparação do modelo implementado com outros programas disponíveis (por exemplo,
o DIANA, o ATHENA, etc.) para possível refinamento do modelo;
•
Modelagem da estrutura protótipo para pré-determinação dos parâmetros a serem
monitorados. A realização da análise numérica terá a função de validar os resultados
obtidos na monitoração das estruturas, identificando as ações reais que devem ser
consideradas no dimensionamento de estruturas de concreto protendido. O estudo
numérico também auxiliará na escolha dos pontos a serem monitorados, já que pode
indicar pontos críticos da estrutura.
Paralelo ao trabalho de análise numérica, será desenvolvido um ambiente integrado de
prototipagem, viabilizando o prosseguimento de pesquisas em andamento relacionadas a
monitoração de estruturas, e que visam ao acesso a parâmetros relevantes para o estudo do
comportamento de estruturas de concreto protendido ao longo do tempo com relação a fluência,
retração, fissuração do concreto e perdas de protensão do aço e de e outros, além que afetam sua
deformabilidade. Será construído um protótipo no Laboratório de Estruturas e de Materiais, que
será monitorado, fornecendo dados de retroanálises e referência ao modelo computacional
implementado.
O protótipo estará sujeito à atuação do peso próprio e de forças concentradas, e à variação de
temperatura, sendo considerados os efeitos dos fenômenos de retração e de fluência para o caso
do concreto. Serão medidas deformações lineares em diversos pontos a serem definidos em
estudo específico com o objetivo de otimizar a qualidade dessas informações, a partir de modelos
matemáticos.
Este projeto de pesquisa de pós-doutorado está diretamente ligado ao projeto temático da
FAPESP
(“MONITORAÇÃO
E
AVALIAÇÃO
DA
DEFORMABILIDADE,
DA
FISSURAÇÃO E DA SEGURANÇA DE ESTRUTURAS DE CONCRETO”) nº. 04/03049-1 e
ao projeto de auxílio de pesquisa (“PROTOTIPAGEM DE ESTRUTURAS EM ESCALA
REDUZIDA EM UM AMBIENTE INTEGRADO, UTILIZANDO RECURSOS DE
MONITORAÇÃO, INTERPRETAÇÃO E ANÁLISE NUMÉRICA”) FAPESP nº. 05/522102.
5.
FORMA DE ANÁLISE DOS RESULTADOS
A análise dos resultados da análise numérica e da monitoração da estrutura protótipo permitirá
avaliar o comportamento estrutural global de estruturas de concreto protendido, determinando
ações, causas e efeitos. Os resultados obtidos numéricamente serão comparados com resultados
obtidos na monitoração e encontrados na literatura. Nesse contexto, a modelagem computacional
deverá proporcionar a comparação entre os resultados obtidos experimentalmente com aqueles
esperados segundo normas vigentes que abordem os estados limites de serviço por deformação
excessiva, e ainda os estados limites últimos, tendo em vista normas como a ABNT-NBR61182003 e o Eurocode 2/2001.
O presente trabalho deverá produzir:
•
relatório final contendo: análise de diversas estruturas de concreto protendido,
comparando-se valores obtidos numéricamente com valores observados na monitoração
e encontrados na literatura;
6.
•
artigos submetidos a congressos nacionais e internacionais;
•
artigos submetidos a revistas nacionais e internacionais;
CRONOGRAMA
O pesquisador interessado em desenvolver este projeto de pesquisa apresenta o cronograma de
atividades em função do exposto anteriormente. Pretende-se executar este projeto com início
previsto para o início de janeiro de 2007, em um período de 36 (trinta e seis) meses, como
mostrado na tabela a seguir e assim especificado:
TABELA – Cronograma de Atividades
ATIVIDADES
2007
2008
Período
1
2
2009
Período
3
1
2
Período
3
1
2
3
1.Fundamentação Teórica
x
x
x
x
x
x
2.Implementação e Aprimoramento do Modelo
x
x
x
x
x
x
x
3. Análise Numérica de Modelos da Literatura.
x
x
x
x
x
4. Instrumentação e Aquisição de Resultados da
x
x
x
x
x
x
5. Interpretação dos Resultados da Monitoração
x
x
x
x
x
x
6. Análise Numérica do Modelo Protótipo.
x
x
x
x
x
x
Computacional no FEMOOP.
Monitoração do Modelo Protótipo.
7. Relatórios Parciais.
8. Relatório Final.
x
x
x
x
x
7.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
•
Associação Brasileira de Normas Técnicas, “Projeto de estruturas de concreto: NBR
6118.” Rio de Janeiro, 2003.
•
Bazant Z.P. & Wu, S.T., “Rate-type creep law of aging concrete based on Maxwell
chain.” Matériaux et Constructions, v.7, n.34, p. 45-60, 1974.
•
Cervenka, V., “Constitutive model for cracked reinforced concrete.” Journal of the American
Concrete Institute, v.82, n.6, p. 877-882, 1985.
•
Comité Euro-International du Beton, “CEB-FIP Model Code 1990.” Lausanne, 1993.
(Bulletin d’Information, 213/214).
•
Elwi, A. E. & Hrudey, T. M., “Finite element model for curved embedded
reinforcement.” Journal of Engineering Mechanics Division, ASCE, v.115, n.4, p. 740-745,
Apr. 1989.
•
Figureras, J. A; Félix, C.; Souza, H. “Comportamento experimental de uma viga de betão
armado e pré-forçado.” 2002.
•
Gamino A.L. “Modelagem computacional de estruturas de concreto reforçadas com
FRP.” Texto de Qualificação de Doutorado, Escola Politécnica da Universidade de São
Paulo, 170p., 2005.
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ANEXOS
Fédération Internationale du Béton
Proceedings of the 2nd International Congress
June 5-8, 2006 – Naples, Italy
ID 17-3
Session 17 – Monitoring, maintenance, repair, residual life and failures
An Integrated System for Structural Behavior Visualization
Assis, W.S., Bittencourt, T.N.
Department of Structures and Foundations Engineering, Polytechnic School of the University of São Paulo, Av. Prof.
Almeida Prado, Trav. 2, n 271- Cidade Universitária; 05508-900 - São Paulo, Brazil
Matos, J.C., Sousa, H., Figueiras, J.A.
Faculty of Engineering, University of Porto, Rua Dr. Roberto Frias, s/n, 4200-465 – Porto, Portugal
INTRODUCTION
Within the scope of a research project (SMARTE Project), which main objective is to develop and implement
a continuous and remote monitoring scheme, is being realized in Portugal the instrumentation of a prestressed concrete structure (Sorraia River Bridge). The installed monitoring scheme, more efficient and less
expensive than traditional surveillance techniques, makes possible the “on time” structural behavior control
minimizing costs related with inspection and maintenance.
In this paper an integrated system for visualization of structural behavior is presented. It main components
are the Structural Behavior System Visualization (SBSV) and the Database System Consultation (DSC). The
obtained information from the installed sensors, which is later processed by the DSC, constitutes the SBSV
input data. The DSC also allows the remote communication with the data acquisition system, being
responsible for the management of all collected data. During the construction of such systems several
technologies and languages such as SQL, PHP, C++ and HTML, are being used and integrated together.
The access to those systems is made by Internet for the entrance in a restricted environment. It is intended,
with them, that the structural behavior accompaniment is carried out in a simple, fast and efficient way.
Keywords: pre-stressed concrete bridge, data management and interpretation, structural health monitoring
SURVEILLANCE TECHNIQUES
Civil infrastructures are always submitted to environmental factors that may cause physical and chemical
modifications on their constitutive materials. Such changes, when not detected and rectified on time,
originate structural deterioration and, eventually, it collapse, resulting in considerable economic and social
costs. Moreover, the later intervention in rehabilitation of concrete structures is one of the principal factors for
the high costs related with civil infrastructure management.
Within such scenario, traditional inspection and maintenance techniques should be only used for an initial
evaluation of structural condition. Such methods become inefficacious when isolately applied and, usually, to
perform them a lot of time and high investment in equipment and human resources is necessary [1].
In order to answer the society demands related to security and economy aspects new surveillance
techniques, as structural health monitoring, have been developed. Such technique presents an important
role in the evaluation of the structural integrity, and allow their life cycle extension by means of “on time”
preventive and corrective measures. It is so responsible for a reduction in infrastructures maintenance costs.
Actually, in several countries, real time continuous monitoring proved to have high potential as a surveillance
technique [2].
A research project (SMARTE Project) is being developed in Portugal with the main objective of realizing
Sorraia River Bridge instrumentation in a way that structural health monitoring is performed during it whole
life cycle. The implementation of an integrated system for a continuous visualization of the structural
behavior is one of the main objectives of such project.
Proceedings of the 2nd
Congress
Session 17
Monitoring, maintenance, repair, residual life and failures
SORRAIA RIVER BRIDGE
Localized at highway A13 in Salvaterra de Magos, Portugal (78 km far from Lisbon), Sorraia River Bridge is a
pre-stressed concrete structure executed by the cantilever construction process, in which an extensive
instrumentation was implemented. The main activities related with the placement of the whole equipment
and also to this bridge continuous and remote monitoring were executed within the supervision of Structural
Behavior and Concrete Technology Laboratory (LABEST) from the Civil Engineering Department of
University of Porto (FEUP).
Structural description
Sorraia River Bridge is composed by two parallel decks with three spans each. Such bridge has a total
length of 270 m being, respectively, 120 m and 75 m length the midspan and the end ones. Each deck is
supported by two central and two transition piers, which realize the connection between the bridge and the
North and South access viaducts, respectively, with 487 m and 909 m length. Each longitudinal and
transversal pre-stressed deck consist in a single box girder with 14.45 m width and a variable height that
runs from 6.00 m over the piers to 2.55 m in midspan center and in end span extremities. Central columns
are rectangular and hollowed (6x3.5 m section), their walls are 0.60m thick and 8.00 m height. Such piers
are founded in a cap with five piles of 2.0 m diameter and 35.0 m length. The necessity to cross Sorraia
River in an oblique way and the impossibility of executing intermediary supports were the main reasons for
using the cantilever constructive process with “in situ” concreting of dowels, which present a maximum length
of 5,0 m and weight of 1500 kN (Fig. 1).
Fig. 1. Cantilever constructive process of Sorraia River Bridge.
Instrumentation plan
In Sorraia River Bridge, during the construction phase, seven sections of the deck were instrumented (S1 to
S7), as it can be observed in Fig. 2. In this instrumentation plan, 42 fibre optic Bragg grating and 42 electric
strain sensors were used. Such sensors were inserted in a sensor holder which main objective is to protect
them, guaranteeing an adequate robustness. Additionally, for environment monitoring, humidity and
temperature electric sensors were placed inside and outside the deck. Fig. 3a presents the expected
instrumentation plan for section S2, while Fig. 3b shows an image of the same section.
Fig. 2. Instrumentation plan of Sorraia River Bridge.
2
Congress
Session 17
The majority of sensor holders installed in this bridge were specially developed for this structure monitoring,
with the purpose of measuring structural deformation in compression and tension stresses with or without
cracking. Those holders are mainly constituted by an epoxy resin being, at their extremities, densified by
means of carbon fibres. Such extremities present, also, a special geometry like a head shape. Fig. 3c shows
one of those sensor holders used for monitoring of section S2 [3].
(a)
(b)
(c)
Fig. 3. Instrumentation plan of section S2 (Fig. 3a); View of section S2 (Fig. 3b); Sensor holder (Fig. 3c).
After those holders placement, the respective cables are conducted till the junction boxes (Fig. 4a, 4b and
4c) in order to warrantee their isolation and watertighteness, and also to minimize the potential risk of
damage on their extremities during concreting. Additionally, such junction boxes allow realizing the union
and lengthening of respective cables till the local stations (Fig. 2) in an easy and robust way after the
concreting phase. Such cables were guided by means of previous placed gutters.
Two local stations (LS1 and LS2), constituted by one data logger (DataTaker model DT500) and two
expansion modules were used (Fig. 4d). Demodulation equipment (Micron Optics), used for fibre optic
sensing, was also implemented in local station LS1. Data acquisition algorithms were developed and
introduced on both stations.
(a)
(b)
(c)
(d)
Fig. 4. Junction boxes before (Figg 4a and 4b) and after (Fig. 4c) dowel concreting; Local station LS2 (Fig. 4d).
Static load field test
After this bridge construction, and having into account the development of a static load field test, an external
measurement was placed to accompanish and register it behaviour. Such instrumentation was also used to
verify the internal monitoring one installed within the SMARTE research project. During such test some
parameters as strain, displacement, rotation and temperature were strictly monitored.
The load test occurred at 24th January 2005, it begun at 16h40 and finished about 20h24. To define the
applied loads, ten vehicles with 20 tones of mass, were used. It position was determined in order to obtain
the possible maximum value for each parameter. Fig. 5 presents an image of the static load field test.
3
Congress
Session 17
Fig. 5. Static load field test.
STRUCTURAL BEHAVIOR SYSTEM VISUALIZATION (SBSV)
System description
For the real time accompanishment of this bridge structural behavior a Structural Behavior System
Visualization (SBSV) was implemented. It executes the structural deformed shape having into account data
obtained from the seven continuous monitored sections (Fig. 2). Such system, which access is made by
Internet, is inserted in a very restricted environment where users are authenticated via HTTP (Hypertext
Transfer Protocol). To perform it, code in PHP language (Hypertext Processor) was developed and inserted
in an Apache server [4]. A Database System Consultation (DSC), responsible for the management of all
obtained data and of whole information related to the installed equipments, was also implemented. The DSC
is connected to the SBSV and also to the communication module. In order to warrantee the SBSV main
objectives it was verified that the implementation of different technological resources, in a way that each
system component could present the required robustness and liability, was strictly necessary. In Fig. 6 the
relation between these system components is presented [5].
Fig. 6. SBSV components and relationships.
Communication Module
This module, developed based on Java language, allows the realization of remote data acquisition by an
establishment of a bidirectional GSM point to point communication with the monitoring system previously
installed in the structure. In this case, remote data transmission is executed by means of a modem Siemens
TC35i. Regarding the communication between modem and data acquisition equipment while with Data Taker
this is established via a RS-232 cable, with demodulation equipment a CPU is necessary.
4
Congress
Session 17
Database System Consultation (DSC)
This system is based on a data base that was developed in order to maximize the availability information
about Sorraia River Bridge. On such data base all information related to the installed equipment, to the users
and to all obtained data is stored. To develop it MySQL was used, which is a relational data base
management system with a transactional mechanism and an Object Data Base Connection (ODBC) access
type that accepts requests in Structured Query Language (SQL). This characteristic makes the whole system
proper to frequent changes.
Two filters were developed using PHP namely one media and one media with variations filter. The
application of this media filter allows the achieving of a new set of points which coordinates are calculated
according to Eq. 1.
yi = Media(Ji); i = 0, 1, 2, …, n – 1
Ji = { xi – r, xi – r + 1…, xi – 1, xi, xi + 1…, xi + r – 1, xi + r }
(1)
In Eq. 1, n is the number of points that constitute the original graphic while yi corresponds to the value of
each new coordinate, obtained from the arithmetic media of the values that belong to Ji. The number of
elements of Ji depends of the value attributed to r, window filter, in a way that within Ji there will be always
(2r +1) elements. Each member of Ji corresponds to a new ordinate value, where xi represents the original
ordinate of the i-th graph. Such filter will provide valid results since n > r ≥ 0. However, in case this condition
is not satisfied, yi = 0 to i = [0, n – 1].
Media with variations filter initially generates a set of points with ordinates equal to the arithmetic media (yi)
of the obtained data from selected sensors. Secondly, using those ordinates, when this media is generated
another set which ordinates are, for each point, the difference between the original ordinate and the
arithmetic media is constructed. Eq. 2 describes the graphic that governs the media with variations filter,
being vi the new ordinate where xi represents the i-th original ordinate and yi the obtained media.
vi = xi – yi; i = 0, 1, 2, …, n – 1
(2)
For both filters, the abscissas related to the original ordinates will not suffer any change. In this way, points
with ordinates yi and vi are the same as points of ordinates xi, for i = [0, n – 1]. We may conclude that
applying these filters the output graphic presents the same number of points as the input one
Structural Behavior System Visualization (SBSV)
This module is composed by special environment windows that allow, having into account data stored in
DSC, to visualize the measurement results and to obtain a panorama of the bridge global behaviour. A set of
diagrams, which constitute the involving of all possible displacements and also their evolution with time for
critical bridge sections, is presented. The SBSV working principle depends essentially of four components,
responsible for the routines listed below that are presented according to processment order:

Communication with data base;
Execution of visualization algorithm;
Diagram construction;
Generation of output data.
The first component is responsible for the communication and reading of all information stored in the DSC,
converting such values in a vectorial format. Such vectors constitute the input data for the component that
executes the visualization algorithm. The code which transforms such data into structural deformed shape is
introduced here. The final output of this component is a set of points that will gonna be used by the diagram
construction component. The respective code, necessary to obtain such sets, is divided within the next
steps:

Using the obtained strains in each instrumented section Si (i = [1, 7]), the curvature of such section can
be calculated (ρi). The minimum square method is so implemented to perform it (Fig. 7);
Having into account the already estimated curvatures (ρi) and the well known structural border
conditions, a mathematic formulation that uses convergence polynomials to the real structural deformed
shape is developed. In this particular case three polynomial functions were considered to execute it:
P1(x), P2(x) and P3(x) (Fig. 8).
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Fig. 7. Curvature estimation based on strain measurements.
y''(x=0m)
S1
S2
S3
y''(x=25m)
y''(x=75m)
y''(x=105m)
y(x=0m)
S4
y''(x=135m)
y (x=75m)
S5
y''(x=165m)
S6
S7
y''(x=195m)
y''(x=145m)
y''(x=270m)
y (x=195m)
y (x=145m)
y(x=270m)
P1 (x)
P3 (x)
P2 (x)
Fig. 8. Convergence polinomials (P1(x), P2(x) and P3(x)) to the real structural deformed shape.
In the final output generation data component the presented results are converted into vectors and stored in
a .txt archive type format, which allows the subsequent visualization within a computational platform.
SBSV functionalities
To use the SBSV it is necessary to connect into internet and to register as a user, which may have a
common or an administrative permission, being the availability functionalities dependent of such permission
type. It is possible to visualize the measured results consulting the values stored in data base, or even the
ones obtained in real time. The values obtained during construction, static load field test and service phase
or even within any previously defined time interval may be seen. After selection of the respective period, the
user can realize a search by instrumented section, section alignment or sensor. In data base instrumented
section consultation multiple sections can be selected (Fig. 9), and so the results of each section alignment
(Fig 10) or of each installed sensor may be visualized at same time.
Also the observation of the structural deformed shape, using all obtained data from the sensors placed in the
seven instrumented sections, may be done. In Fig. 11, located at left, it is possible to visualize the set of
diagrams that constitute the involving of all bridge vertical displacements during static load field test for low
speed vehicles passage. The diagram positioned at right presents the transient displacements variation in
one of the seven instrumented sections (in this case section S1).
A module for real time consultation, which uses remote communication, enables the observation of the most
recent values stored in data acquisition equipment, which will be added to the data base, and also of the
actualized structural deformed shape. Similar to data base values and structural deformed shape
consultation, this real time possibility can be performed by all users.
In administrative area of the web site it is possible to access the information related to installed equipment,
furnishers and users. It is also feasible to stablish a remote communication with the equipments installed “in
situ”, being so possible to know the status of each data logger and to send them programs with new
procedures to perform data acquisition.
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Fig. 9. Database consulting based on instrumented sections.
Fig. 10. Database consulting using instrumented section alignments.
Fig. 11. Structural deformed shape consultation.
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OBTAINED RESULTS
Some results obtained by the calculus of this structure deformed shape, using convergence polinomials, are
presented and also an interesting comparison with experimental values for vertical displacements obtained
in instrumented sections during the static load field test (Fig. 12 and 13). From this comparison it is possible
to conclude about the quality of obtained data (Fig. 13). The most important values and also the relative
error, less than 10%, are indicated in Tab. 1.
Fig. 12. Static load field test with vehicles located at midspan.
Fig. 13. Comparison between calculated and measured results for midspan load position.
S1
S3
S4
S5
S7
δv, measured
-14.1
+27.2
+49.0
+26.9
-13.8
δv, calculated
-13.5
+29.4
+53.6
+29.6
-13.4
Relative error
-4.3%
+8.1%
+9.4%
+10.0%
-2.9%
Tab. 1. Comparison between calculated and measured vertical displacements in instrumented sections.
CONCLUSIONS
The Structural Behavior System Visualization (SBSV) of Sorraia River Bridge was presented. It is a complex
system which access is realized via internet and inserted in one user authentication environment. To develop
it different technologies and languages were used and integrated in a way that each component of the
system could present the expected robustness and liability.
After a brief description of this structure and respective constructive process, of the installed instrumentation
and of the executed static field load test, a explanation of the integrated SBSV having into account the
functions and linkages of it main components is done. The SBSV main functionalities were also presented,
and tested during the respective load test. The main objective which is the structural accompaniment in a
trusty, simple, fast and efficient way having into account the secure, intelligent and automatic management
of all obtained data is also attended.
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ACKNOWLEDGEMENTS
The authors would like to thank AdI – Innovation Agency for the financial support of SMARTE research
project and H. Sousa scholarship, and also to the partners INESC and BRISA for their special contribution.
Thanks to CAPES - Brazilian Federal Agency for Post Graduation Education, for granting the doctoral
scholarship of W. S. Assis and to FCT – Portuguese Foundation for Science and Technology, for the
financial support to PhD Programme of J. C. Matos.
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Budapest. Hungary.
9
27 a 31 de Maio de 2002 – Universidade de Brasília – UnB
Brasília, DF – Brasil
Jornadas Sul-Americanas de Engenharia Estrutural
MODELO EM ELEMENTOS FINITOS PARA ANÁLISE DE PEÇAS FLETIDAS DE
CONCRETO ARMADO E PROTENDIDO
MARCELO AUGUSTO DA SILVA MACHADO, aluno de Mestrado
AMÉRICO CAMPOS FILHO, Professor Doutor Orientador
Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil
Universidade Federal do Rio Grande do Sul
Porto Alegre/RS - Brasil
RESUMO
Apresenta-se, neste trabalho, um modelo computacional para estudo de peças fletidas de concreto
estrutural, armado e protendido, submetidas a estados planos de tensão, utilizando-se o método dos
elementos finitos. Um comportamento elasto-viscoplástico é admitido para os materiais. Permite-se
analisar situações de carga de curta e longa duração, onde são considerados os efeitos de fluência e
retração do concreto e relaxação do aço. Pode-se representar armaduras passivas e de protensão
com ou sem aderência. Para garantir-se a validade do modelo, seus resultados são comparados com
valores determinados experimentalmente. Usou-se o software MATLAB para o desenvolvimento
do modelo, o qual possui recursos gráficos para a representação dos resultados obtidos. Com isso,
mostram-se, graficamente, as distribuições de tensões nos elementos de concreto e na armadura, a
partir dos resultados do modelo.
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1. Introdução
O material concreto estrutural comporta-se de uma maneira extremamente complexa, apresentando
uma resposta altamente não-linear, quando submetido a solicitações. Em virtude da sua importância
dentro da engenharia estrutural, este material tem sido um objeto permanente de estudo.
A fissuração do concreto, a plastificação do concreto e do aço, a diferença entre as resistências à
tração e compressão do concreto, a não linearidade da relação tensão-deformação e os fenômenos
de relacionados ao tempo como, fluência e retração do concreto e relaxação do aço, entre outros
fatores, são as causas desta não-linearidade.
O método dos elementos finitos já se tornou uma ferramenta consagrada para solução numérica de
uma variedade de problemas encontrados na engenharia e pode ser usado na análise do
funcionamento de estruturas de concreto estrutural.
Neste trabalho, apresenta-se um modelo computacional, desenvolvido por Machado [10], para
simulação numérica de peças fletidas de concreto armado e protendido, sob estados planos de
tensão, submetidas a cargas de curta e longa duração.
O concreto e o aço são considerados como tendo um comportamento elasto-viscoplástico, onde
modelos constitutivos apropriados foram implementados para simular tal comportamento.
Para o concreto, sob a ação do tempo, foi empregado um modelo de camadas superpostas, onde
cada camada, com características materiais diferentes, sofre a mesma deformação total. Cada
camada recebe uma parcela da tensão total.
Um modelo de fissuras distribuídas foi utilizado para o concreto fissurado, onde se leva em conta a
contribuição da rigidez entre fissuras. Considera-se aderência perfeita entre o concreto e o aço.
As armaduras, tanto passivas, quanto de protensão, são introduzidas no modelo como linhas de um
material mais rígido dentro dos elementos de concreto. Existe compatibilidade de deslocamentos
entre as barras de armadura e os elementos de concreto. A matriz de rigidez total é obtida, assim,
pela soma das matrizes de rigidez do concreto e do aço.
O modelo computacional foi implementado usando-se o software MATLAB, que permite a
representação gráfica dos resultados obtidos.
2. Modelo de elementos finitos para análise de um material com comportamento elastoviscoplástico
Owen e Hinton [13] apresentaram um programa, baseado no método dos elementos finitos, para
análise de um material com comportamento elasto-viscoplástico, sob estados planos de tensão. O
modelo reológico empregado é representado por uma mola (componente elástica) em série com um
conjunto formado por um amortecedor (componente viscosa) e um elemento de atrito (componente
plástica), em paralelo. Com base neste programa, desenvolveu-se o modelo computacional
apresentado neste trabalho.
Tal modelo tem como casos particulares, o viscoelástico e o elastoplástico. No primeiro caso, o
elemento de atrito é retirado, anulando-se a tensão de plastificação, permitindo-se encontrar a
resposta da estrutura frente a cargas de longa duração. Já no segundo caso, consideram-se apenas as
componentes elástica e plástica, fazendo-se o tempo tender ao infinito, onde se pode estudar a
reposta da estrutura submetida a cargas instantâneas.
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Para muitos materiais com comportamento complexo, como o concreto, o modelo reológico,
descrito anteriormente, pode ser muito simples para representar a história de deformação com o
tempo. Implementou-se, então, um modelo de camadas superpostas, onde cada uma delas possui
propriedades materiais distintas, mas sofre a mesma deformação. O campo de tensões totais é
obtido pela soma da contribuição de cada camada. Para a representação da relaxação da armadura
protendida, utilizou-se um modelo reológico análogo ao do concreto. Ambos os modelos serão
descritos no item 5 deste trabalho.
3. Modelos de elementos finitos empregados para o concreto e o aço
Três tipos de elementos finitos isoparamétricos quadrangulares, com dois graus de liberdade em
cada nó, correspondentes às translações na direção dos eixos x-y, sistema global de coordenadas,
são utilizados na modelagem do concreto: um linear, com quatro nós, cujo campo de deslocamento
varia linearmente e o campo de deformações é constante ao longo dos lados de tal elemento e outros
dois quadráticos da família Serendipity e Lagrange, com oito e nove nós, respectivamente, onde o
campo de deslocamento possui variação quadrática e o campo de deformação é linear. As funções
de forma para cada elemento, as coordenadas naturais e os e fatores de peso dos pontos de
integração encontram-se em Owen e Hinton [14].
Para a representação da armadura, utilizou-se o modelo incorporado, baseado em Elwi e Hrudey
[6], onde se supõe que esta resiste apenas a esforços axiais e que há compatibilidade de
deslocamentos entre seus pontos e os pontos de concreto localizados na mesma posição. Desta
forma, a matriz de rigidez da armadura tem a mesma dimensão da matriz de rigidez do elemento de
concreto e a matriz de rigidez total é a soma das duas. Permite-se, com este modelo, uma disposição
aleatória das barras de aço no interior dos elementos de concreto, sem a geração de novas incógnitas
no problema. Podem ocorrer várias barras de aço dentro de um mesmo elemento finito de concreto.
Admite-se, também, aderência perfeita entre o concreto e o aço.
As barras de armadura, modeladas por elementos uniaxiais isoparamétricos, cujas funções de forma
são dadas por Zienkiewicz [15], podem ter geometria reta, definida por dois pontos, ou curva,
definida por três pontos.
4. Modelos constitutivos dos materiais
Provavelmente, a principal característica do comportamento do material concreto simples é a sua
baixa resistência à tração, quando comparada a sua resistência à compressão. Por tal motivo,
utilizaram-se dois modelos distintos para descrever este comportamento. Para o concreto
comprimido, um modelo elastoplástico com endurecimento foi empregado. Já para o concreto sob
tração, considera-se a contribuição do concreto entre fissuras na rigidez total da estrutura.
O modelo elastoplástico para o concreto comprimido compõe-se por um critério de ruptura, um
critério de plastificação e uma regra de endurecimento.
Utilizou-se o critério de ruptura proposto por Ottosen [12], o mesmo adotado pelo Código Modelo
CEB-FIP 1990 [5]. Este critério é calibrado por quatro parâmetros, em função da resistência à
compressão do concreto. A superfície de ruptura gerada por este critério representa o
comportamento real do material. É dependente dos três invariantes de tensões, tem uma forma
suave e convexa, com exceção do seu vértice, os meridianos são parabólicos e abrem no sentido
negativo do eixo hidrostático e o traço no plano desviador muda de uma forma triangular para
circular com o aumento da pressão hidrostática.
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Considera-se que o concreto comprimido tenha um endurecimento isotrópico e que as superfícies de
plastificação tenham a forma da superfície gerada pelo critério de Von Mises. O domínio plástico é
suposto para qualquer nível de tensão de compressão aplicado ao concreto.
A regra de endurecimento define o movimento das superfícies de plastificação subseqüentes durante
a deformação plástica. A tensão e a deformação plástica efetiva correspondem ao diagrama tensãodeformação de um ensaio de compressão uniaxial.
O concreto tracionado é considerado isotrópico e elástico linear até a superfície de ruptura ser
atingida. Distingue-se, a partir de então, se ocorreu fissuração ou esmagamento através do critério
do Código Modelo CEB-FIP 1990 [5]. O concreto fissurado segue o modelo de fissuras
distribuídas. Neste modelo, necessita-se apenas que se atualize a relação tensão-deformação após a
ocorrência da fissura, sem ter de modificar a topologia da malha de elementos finitos durante a
análise. É considerado que o concreto seja ortotrópico e os eixos materiais locais coincidem com as
direções das tensões principais. A direção da fissura é admitida permanecer fixa. Para um ponto
previamente fissurado, pode ocorrer a formação de uma segunda fissura, que, por simplicidade,
seria ortogonal à primeira fissura.
Reduz-se o módulo de elasticidade longitudinal na direção ortogonal ao plano da fissura, conforme
sugerido por Hinton [8], utilizando-se a curva tensão-deformação (“strain-softening”) sugerida por
este autor. O módulo de elasticidade transversal, nesta direção, também sofre uma redução,
conforme Cervenka [4] e Hinton [8].
Barras de armadura em membros de concreto estrutural resistem, basicamente, a esforços axiais.
Para tanto, é suficiente que se conheçam as tensões na direção do seu eixo. Adotou-se uma curva
tensão-deformação bi-linear, considerando-as um material elastoplástico perfeito. Supõe-se um
mesmo comportamento, tanto à tração, quanto à compressão.
5. Propriedades dos materiais dependentes do tempo
A consideração de efeitos dependentes do tempo, fluência e retração no concreto e relaxação no aço
protendido, é de extrema importância na análise de concreto estrutural. As deformações por fluência
e retração, ocorridas no concreto, têm a mesma ordem de grandeza das deformações imediatas,
geradas por níveis usuais de tensão. Já a relaxação do aço provoca uma perda significativa de tensão
ao longo do tempo. Tais efeitos, portanto, não podem ser desprezados.
Uma cadeia em paralelo formada por cinco elementos tipo Maxwell, uma mola em série com um
amortecedor, foi adotada para representar o comportamento reológico do concreto, conforme a
Fig.1. Este modelo é computacionalmente atrativo por não necessitar que se conheça toda a história
de tensões. Pode ser obtido do modelo elasto-viscoplástico básico, descrito no item 2, admitindo-se
que o concreto seja dividido em cinco camadas e que cada uma delas seja representada por um
elemento da cadeia de Maxwell. O modelo é calibrado, segundo procedimento sugerido por Bazant
e Wu [2], a partir de uma função de fluência conhecida. Escolheu-se a formulação do Código
Modelo CEB-FIP 1990 [5], a qual fornece resultados muito próximos a valores reais, sendo
dependente da umidade e da temperatura ambiente, das dimensões da estrutura, da composição do
concreto e do tipo de cimento utilizado.
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σ
ε
η
η
η
η
μ=
σ
Figura 1 – Modelo reológico dos materiais.
O modelo para se considerar a relaxação do aço também é uma cadeia de cinco elementos do tipo
Maxwell apresentada anteriormente para o concreto. Seus parâmetros são determinados pelo mesmo
procedimento de Bazant e Wu [2], mas são ajustados a partir da função de relaxação proposta pelo
Código Modelo CEB-FIP 1990 [5].
6. Tipos de protensão
O modelo computacional desenvolvido permite a análise de três tipos de protensão: pré-tração, póstração com aderência e pós-tração sem aderência, onde perdas imediatas e progressivas na tensão da
armadura, para cada tipo de protensão, foram consideradas.
Em estruturas pós-tracionadas, a força de protensão é transmitida através da aplicação de uma força
de compressão externa. Nesta análise por elementos finitos, tal força é substituída por forças nodais
equivalentes na posição da ancoragem dos cabos.
A tensão aplicada armadura pré-tracionada sofre uma queda antes da aplicação da protensão por
fluência e retração do concreto e relaxação da armadura. Já para a armadura pós-tracionada, a
protensão sucessiva de cada um dos cabos provoca uma deformação imediata do concreto e,
conseqüentemente, afrouxamento dos cabos anteriormente protendidos. Neste tipo de protensão,
também ocorrem perdas imediatas por atrito ao longo do cabo, as quais foram modeladas segundo
equações existentes na NBR 7197 [1]. Além disso, ocorrem o escorregamento dos fios na
ancoragem e a acomodação da ancoragem.
Ao longo do tempo, perdas decorrentes da fluência e retração do concreto e relaxação do aço são
consideradas automaticamente no presente modelo.
7. Implementação computacional do modelo
O modelo computacional permite a análise de estruturas de concreto estrutural com comportamento
elasto-viscoplástico, onde os casos particulares, viscoelásticos e elastoplásticos são utilizados.
Na primeira etapa, há um processo incremental do tempo (em dias), onde são analisados os efeitos
ocorridos ao longo do período desejado. Fluência e retração do concreto e relaxação da armadura
protendida são considerados. Representa o comportamento viscoelástico dos materiais.
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Na segunda etapa, incrementa-se a carga aplicada, que pode ser dos tipos nodal, distribuída ou
gravitacional (peso próprio). Procura-se o equilíbrio da estrutura após a aplicação do incremento de
carga. Corresponde ao comportamento elastoplástico dos materiais.
No modelo computacional, permite-se que sejam aplicados diversos carregamentos em datas
diferentes, entre as quais avaliam-se os efeitos ocorridos ao longo do tempo. Assim, ambas as
etapas são executadas sucessivamente, de acordo com as datas especificadas dos carregamentos.
O algoritmo foi desenvolvido através do software MATLAB. Este software possui uma linguagem
de programação de alto nível, cuja principal característica é a fácil manipulação e armazenamento
de dados em matrizes, muito útil quando se trabalha com o método dos elementos finitos. Este
software contém poderosas ferramentas gráficas para melhor visualização e compreensão dos
resultados obtidos. Foi possível, então, elaborar um programa iterativo com o usuário, onde é
possível visualizar todos os resultados de cada incremento de carga aplicado na estrutura. Alguns
resultados serão mostrados graficamente no item seguinte, além de serem comparados com valores
experimentais.
8. Comparações com resultados experimentais
8.1. Estruturas de concreto armado
Neste item, comparam-se os resultados obtidos através do modelo computacional com valores
determinados por ensaios experimentais para vigas bi-apoiadas de concreto armado. Estes ensaios
foram realizados por Leonhardt e Walther [9]. Mostram-se, também, os resultados, obtidos pelo
modelo computacional, para tensões na armadura e de distribuições de fissuras no concreto ao
longo da estrutura.
São analisadas quatro vigas, denominadas ET1, ET2, ET3 e ET4, onde a largura da alma é variada e
cujo detalhamento pode ser visto na Fig. 2. A altura da base da viga ET4 vale 10 cm. São aplicadas
duas cargas concentradas, cuja posição pode ser vista também na Fig. 2. A resistência à compressão
do concreto vale 2,42 kN/cm2.
Todas as vigas possuem a mesma armadura longitudinal. Esta consiste, inferiormente, de quatro
barras de 20 mm de diâmetro (fy = 42,8 kN/cm2), sendo duas localizadas a 3 cm e outras duas, a 6
cm da borda inferior e, superiormente, de duas barras de 8 mm de diâmetro, localizadas a 3 cm da
borda superior (fy = 46,5 kN/cm2). Todas as barras são de aço da antiga classe B (encruamento a
frio). Têm estribos verticais de 6 mm de diâmetro (fy = 32 kN/cm2, aço da antiga classe A,
encruamento natural), uniformemente espaçados.
Para a análise computacional, utilizou-se a malha de elementos finitos com vinte elementos
quadrangulares quadráticos de oito nós para estado plano de tensão, conforme a Fig. 3.
Consideram-se os efeitos da fluência e da retração do concreto a partir do sétimo dia após a
concretagem das vigas. Adotaram-se, conforme medições no local, uma umidade relativa do ar de
60% e uma temperatura de 18º C. Na Fig. 4, comparam-se os valores de tensões médias dos trechos
de quatro estribos, localizados na altura da alma e posicionados entre 38 e 71 cm a partir do apoio
esquerdo. São também mostradas, nas Fig. 5 até 8, as distribuições de tensões na armadura e de
fissuras no concreto, com a evolução da carga, para as quatro vigas ET.
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Figura 2 - Detalhamento das vigas ET com diferentes larguras de alma (cotas em cm).
Figura 3 – Malha de elementos finitos das vigas ET (cotas em cm).
Figura 4 – Comparação das tensões nos estribos obtidas no ensaio e pelo modelo
computacional para as vigas ET.
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P =27,5 kN
P =102,5 kN
P = 152,5 kN
P = 242,5 kN (Carga de Ruptura)
Figura 5 – Evolução da distribuição das tensões na armadura e das fissuras nos elementos
de concreto da viga ET1, segundo o modelo computacional
(tensões em kN/cm²).
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P =12,5 kN
P = 87,5 kN
P = 137,5 kN
P = 247,5 kN (Carga de Ruptura)
de concreto da viga ET2, segundo o modelo computacional (tensões em kN/cm²).
Obs. O símbolo (*) representa ocorrência de fissura nas duas direções para o ponto em questão. Já o
símbolo (*) significa que o ponto em questão esmagou.
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P = 5 kN
P = 55 kN
P = 130 kN
P = 227,5 kN (Carga de Rutpura)
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P =2,5 kN
P = 27,5 kN
P = 77,5 kN
P = 192,5 kN (Carga de Rutpura)
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8.2. Estruturas de concreto protendido pré-tracionadas
determinados por ensaios experimentais, realizados por Britto e Silva [3], para a laje alveolar de
concreto protendido, referenciada por protótipo A1. Tal laje tem armadura em uma só direção e foi
submetida à pré-tração. Seu detalhamento pode ser visto na Fig. 9.
Tal protótipo possui área da seção de concreto de 458 cm2. A armadura protendida, aço CP-180 RN,
é constituída, superiormente, de duas cordoalhas de diâmetro 2,5 mm, posicionada a 2,67 cm da
base superior e, inferiormente, de quatro cordoalhas de diâmetro 3,0 mm, posicionada a 2,1 cm da
base inferior. As tensões iniciais superior e inferior de protensão no aço são, respectivamente, σp0s =
144,2 kN/cm2 e σp0i = 139,7 kN/cm2. O módulo de elasticidade do aço é 19500 kN/cm2 e seu limite
de resistência à tração (fptk), 180 kN/cm2. A resistência média à compressão do concreto é de
3kN/cm2. O processo de cura foi realizado de forma acelerada, pela aplicação de vapor
supersaturado, de forma que o concreto atingisse a resistência à compressão desejada no primeiro
dia de idade. O tipo de cimento utilizado é o portland comum, com adição de cinzas e com
endurecimento normal.
O ensaio consistiu em aplicar uma carga de serviço distribuída de valor 1,65 kN/m aos 12 dias de
idade do protótipo e deixá-lo carregado por um período de quatro meses.
Para a análise computacional, foi utilizada uma malha de elementos finitos com doze elementos
Foram considerados os efeitos de fluência e retração do concreto, adotando-se uma umidade
relativa do ar de 80% e uma temperatura média de 20º C. A espessura fictícia do protótipo tem o
valor de 5,27 cm. Foram também considerados os efeitos de relaxação da armadura protendida.
As análises foram feitas considerando as características físicas individuais médias do protótipo, ou
seja, sua seção transversal foi aproximada para uma seção I, Fig. 9, com idênticas áreas de concreto
e de armadura, considerada como sendo composta de duas barras, uma superior e outra inferior,
localizadas na mesma posição da seção real e com diâmetros equivalentes.
Os valores de deslocamentos e deformações são comparados nas Fig. 11 até 15. Mostram-se,
também, na Fig. 16, os resultados, obtidos pelo modelo computacional, de distribuições de tensões
(σx) nos elementos de concreto.
No que se refere às deformações, são comparados os resultados obtidos através da leitura de
extensômetros elétricos e mecânicos, para as faces inferior e superior da seção central, com aqueles
encontrados através do modelo computacional.
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Figura 9 - Detalhamento do protótipo A1 e suas seções real e teórica, respectivamente
(cotas em cm).
Figura 10 – Malha de elementos finitos do protótipo A1 (cotas em cm).
Figura 11 – Comparação das flechas obtidas no ensaio e pelo modelo computacional para o
protótipo A1, ao longo da aplicação da carga distribuída.
Figura 12 – Comparação entre as deformações obtidas no ensaio e pelo modelo
computacional para as faces inferior e superior da seção central do protótipo A1,
ao longo da aplicação da carga.
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Figura 13 - Comparação entre as flechas obtidas no ensaio e pelo modelo computacional para
o protótipo A1, ao longo dos quatro meses de aplicação da carga.
Figura 14 – Comparação entre as deformações obtidas no ensaio e pelo modelo computacional
para a face inferior da seção central do protótipo A1, ao longo dos quatro meses de aplicação
da carga.
Figura 15 – Comparação entre as deformações obtidas no ensaio e pelo modelo
computacional para a face superior da seção central do protótipo A1, ao longo dos quatro
meses de aplicação da carga.
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Somente Peso Próprio
p = 0,74 kN/m
p = 1,65 kN/m
p = 1,65 kN/m
Período: 143 dias
Figura 16 – Evolução da distribuição das tensões (σx) nos elementos de concreto do protótipo
A1, segundo o modelo computacional (tensões em kN/cm²).
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8.3. Estruturas de concreto protendido pós-tracionadas com aderência
determinados pelo ensaio experimental, realizado por Mattock, Yamazaki e Kattula [11], para a
viga, referenciada por RB1, bi-apoiada de concreto protendido, submetida à pós-tração com
aderência.
O detalhamento da viga RB1, assim como suas seções transversais no meio do vão e nos apoios,
podem ser vistas, respectivamente, na Fig. 17. O ensaio se constituiu na aplicação de quatro cargas
concentradas aplicadas até atingir-se a ruptura da viga.
A armadura protendida é constituída de duas cordoalhas de diâmetro 12,7 mm, disposta de forma
parabólica e cuja posição pode ser vista na Fig. 17. Seu módulo de elasticidade e limite de
resistência à tração (fptk) são, respectivamente, 19500 kN/cm² e 197 kN/cm². A tensão inicial de
protensão (σp0) vale 132,5 kN/cm². Já as armaduras passivas longitudinais tracionada e comprimida
são formadas por duas barras de 6,3 mm dispostas respectivamente, a 2,3 cm e 28,5 cm da base da
viga. Seu módulo de elasticidade vale 21000 kN/cm² e sua tensão de escoamento, 38,5 kN/cm². Os
estribos possuem os mesmos valores de diâmetro, módulo de elasticidade e tensão de escoamento
das armaduras passivas longitudinais e estão espaçados de 17,78 cm.
A resistência à compressão do concreto é de 3kN/cm2 aos 28 dias, mesma data de realização do
ensaio e da aplicação da protensão. Adotou-se uma umidade relativa do ar de 80% e uma
temperatura média de 20º C. A espessura fictícia vale 10,16 cm. O coeficiente para o cálculo da
perda de atrito da armadura protendida vale 0,3.
Para a análise computacional, foi utilizada uma malha de elementos finitos com dez elementos
Os valores das flechas ao longo da aplicação do carregamento são comparados na Fig. 19.
Mostram-se, também, na Fig. 20, os resultados obtidos pelo modelo computacional, de distribuições
de tensões (σx) nos elementos de concreto.
Figura 17 - Detalhamento da viga RB1 e seções no veio do vão e nos apoios, respectivamente
(cotas em cm).
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Figura 18 – Malha de elementos finitos da viga RB1 (cotas em cm).
Figura 19 – Comparação entre as flechas obtidas no ensaio e pelo modelo computacional para
a viga RB1.
P = 40 kN
Figura 20 – Evolução da distribuição das tensões (σx) nos elementos de concreto da viga RB1,
antes e após a aplicação da carga, segundo o modelo computacional (tensões em kN/cm²).
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8.4. Estruturas de concreto protendido pós-tracionadas sem aderência
determinados por ensaios experimentais, realizados por Gongchen e Xuekang [8], para a viga biapoiada de concreto protendido, referenciada por A-6 e submetida à pós-tração sem aderência.
Duas cargas concentradas são aplicadas até atingir-se a ruptura, cuja posição pode ser vista na Fig.
21, assim como o detalhamento da viga analisada.
Os valores da resistência média à compressão do concreto (fcm), da armadura protendida (φp), da
tensão inicial de protensão (σp0), da armadura longitudinal passiva tracionada (φs), da tensão de
escoamento das armaduras passivas (fy), da tensão de ruptura da armadura protendida (fptk) e os
módulos de elasticidade da armadura protendida, Ep, e das armaduras passivas, Es, encontram-se na
Tab. 1.
fcm
(kN/cm2)
φp
(cm)
3,06
1,41
Tabela 1 – Características da viga A-6.
fptk
Es
Ep
fy
σp0
φs (cm)
2
2
2
2
(kN/cm ) (kN/cm ) (kN/cm ) (kN/cm2)
(kN/cm )
85,4
2,43
40
179
21000
20500
Para a análise computacional, foi utilizada uma malha de elementos finitos com doze elementos
Adotou-se uma umidade relativa do ar de 80% e uma temperatura média de 20º C. A espessura
fictícia vale 10,18 cm. O ensaio foi considerado como sido realizado aos 28 dias de idade da
estrutura, quando também foi aplicada a protensão na armadura ativa.
O coeficiente para o cálculo das perdas por atrito da tensão da armadura protendida vale 0,5.
Os valores de tensões médias ao longo da armadura protendida são comparados na Fig. 23.
Mostram-se, também, na Fig. 24, os resultados, obtidos pelo modelo computacional, de
distribuições de tensões (σx) nos elementos de concreto.
Figura 21 - Detalhamento da viga A-6 (cotas em cm).
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Figura 22 – Malha de elementos finitos da viga A-6 (cotas em cm).
Figura 23 – Comparação entre as médias das tensões na armadura protendida obtidas no
ensaio e pelo modelo computacional para a viga A-6.
P = 89 kN
Figura 24 – Evolução da distribuição das tensões (σx) nos elementos de concreto da viga A-6,
segundo o modelo computacional (tensões em kN/cm²).
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9. Conclusões
Neste trabalho, apresentou-se um modelo elasto-viscoplástico, baseado no método dos elementos
finitos, para a análise de peças fletidas de concreto armado e protendido. Tal modelo tem como
casos particulares o viscoelástico, onde os efeitos ligados ao tempo dos materiais, como fluência e
retração do concreto e relaxação do aço, são investigados, e o elastoplástico, onde se busca o estado
de deformações após a aplicação de um determinado carregamento.
Na análise do funcionamento do concreto ao longo do tempo, o modelo de camadas superpostas
atingiu ótimos resultados para descrever o fenômeno de fluência no concreto.
Tanto o modelo elastoplástico para o concreto comprimido, quanto o modelo para o concreto
tracionado, onde o modelo de fissuras distribuídas foi empregado, também se mostraram eficientes.
A automação da implementação da armadura, através do modelo incorporado, tornou o modelo
computacional extremamente versátil, uma vez que as barras inseridas dentro dos elementos de
concreto são definidas por apenas dois ou três pontos nodais. Automaticamente, o algoritmo se
encarrega de determinar os segmentos de armadura dentro de cada elemento de concreto.
O software MATLAB mostrou-se muito eficiente para a implementação do modelo computacional.
Além disso, viabiliza o uso de ferramentas gráficas para visualização dos resultados obtidos. Esta é
uma exigência para a utilização do método dos elementos finitos, já que este método fornece um
volume muito grande de informações.
Com os excelentes resultados obtidos com o modelo, quando comparados com os resultados
experimentais, verifica-se a possibilidade de se simular computacionalmente o funcionamento real
de diferentes estruturas de concreto estrutural. Deste modo, pode-se analisar o comportamento de
peças estruturais, de maneira mais precisa, a fim de se otimizar o aproveitamento dos materiais.
Agradecimentos
Os autores agradecem ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico-CNPq e
à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior-CAPES, o apoio recebido para a
realização deste trabalho.
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[15] Zienkiewickz, O.C., “The finite element method”. London: McGraw-Hill, 1986, 787p.
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Structural Engineering and Materials Program
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of Civil and Environmental Engineering
VIRGINIA POLYTECHNIC INSTITUTE
AND STATE UNIVERSITY
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May 12, 2006
Dear Authors
for the Journal of Structural Engineering Special Issue
dedicated to the 17th Analysis and Computation Conference
Thank you very much for agreeing to develop a full version of your 17th Analysis and
Computation Conference Paper. This paper, if accepted, will be published in early 2007 in a
special edition of the Journal of Structural Engineering. In addition to your papers, the special
issue will contain a state-of-the-art report on the latest developments in analysis and
computation. Several papers related to analysis and computation, but not necessarily part of the
A&C Conference, may also be added to the Special Issue.
Your paper should be submitted directly to ASCE by e-mail. The address is [email protected]. Please copy me in on your correspondence with ASCE.
The paper must be submitted in accordance with published guidelines (PDF of paper, PDF of
abstract, sizing sheet, etc). The cover letter must indicate that the paper is for the Special Issue.
This will allow ASCE to “tag” the paper so that it will be assigned to me as Associate Editor of
the Special Issue.
The schedule for completion of the Special Issue is as follows:
•
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Full papers submitted for review by July 1, 2006
Initial papers reviews completed by September 30, 2006
Notification to authors (acceptance, re-review, or decline) by October 15, 2006.
Papers submitted for re-review (if necessary) by November 15, 2006
Re-review completed by December 15, 2006
Camera ready papers due January 31, 2007.
Journal Publication Spring, 2007
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initial paper due date and the re-submission date (if necessary). If you can do this, I promise to
work as hard as I can to see that the rest of the schedule is maintained.
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Sincerely,
Finley A. Charney, Ph.D. PE
Associate Editor
A Land-Grant University-The Commonwealth Is Our Campus
An Equal Opportunity / Affirmative Action Institution
Modeling Technique for Honeycomb FRP Deck Bridges via Finite
Elements
Marcelo A. S. Machado1, Elisa D. Sotelino, M.ASCE2; and Judy Liu, M.ASCE3
Abstract: Honeycomb Fiber Reinforced Polymer (FRP) decks have been used to
rehabilitate highway bridges in the U.S. Nevertheless, existing serviceability criteria, intended to
limit vibrations, are not reliable for honeycomb FRP bridge decks. This may be attributed to the
inherently low mass and stiffness of honeycomb FRP decks and properties of the deck-to-girder
connections. A joint analytical-experimental investigation is being conducted to establish
serviceability criteria for honeycomb FRP bridge deck applications. A simplified finite element
modeling technique for honeycomb FRP bridge decks has been developed as a first step. The
motivation for this step is the combination of the complex geometry of honeycomb FRP decks
and computational limits which may prevent modeling of these decks in detail. The results from
static and modal analyses indicate that the proposed modeling technique provides a viable tool
for development of serviceability criteria for honeycomb FRP bridge decks.
CE Database subject headings: Honeycomb FRP decks; Bridges; Finite element method.
1
Research Assistant, School of Civil Engineering, Purdue University, 550 Stadium Mall Drive, West Lafayette, IN
47907-2051. E-mail: [email protected]
2
Professor, The Via Department of Civil and Environmental Engineering, Virginia Tech, 214 Patton Hall,
Blacksburg, VA 24061. E-mail: [email protected]
3
Assistant Professor, School of Civil Engineering, Purdue University, 550 Stadium Mall Drive, West Lafayette, IN
47907-2051. E-mail: [email protected]
Presented at the 17th A&C Conference by Machado, Sotelino, and Liu in May 2006
1
Introduction
Fiber Reinforced Polymer (FRP) decks have been used to rehabilitate highway bridges in the
U.S. One important characteristic of these decks is their inherent high strength to weight ratio
(GangaRao et al. 2002). These decks also have low stiffness. Their design is thus governed by
serviceability rather than strength. Meanwhile, preliminary analyses have suggested that existing
serviceability criteria, intended to limit vibrations, are not applicable to FRP deck bridges. There
are two primary reasons for this conclusion: first, the inherently low mass and stiffness of the
FRP deck, and second, the deck-to-girder connections adopted in FRP deck bridge design are
discrete and do not provide full composite action between deck and girder. Both properties
produce a vibration response very different than that from a traditional reinforced concrete slab.
Attempts to satisfy the existing serviceability criteria with FRP decks require more material and,
possibly, a larger number of deck-to-girder connectors. This results in expensive, impractical
designs.
Therefore, a joint analytical-experimental investigation is being conducted to establish
appropriate serviceability criteria for FRP bridge deck applications. In this work, honeycomb,
sandwich FRP decks are investigated. These honeycomb FRP decks have a very complex
geometry, and computational limits prevent modeling of these bridge decks in detail. As a first
step in the development of appropriate serviceability criteria, a simplified finite element
modeling technique for this type of FRP deck has been developed using the commercial finite
element program ANSYS 8.1. In this paper, the modeling technique of each FRP bridge
component is described in detail. This includes the use of the eccentric beam model for the steel
girders, the steel guardrails, and their connections to the FRP deck. For the validation of the
2
proposed simplified finite element modeling technique, the results from the laboratory tests
performed on a honeycomb FRP specimen are compared with those obtained from a detailed
model and the simplified model of the specimen. In particular, deflections, frequencies, and
mode shapes obtained from the analysis of each model are compared with the experimental data.
For the validation of the overall bridge model concept, an existing bridge with concrete deck is
modeled and the resulting frequencies and mode shapes are compared to those obtained in the
field.
Proposed Finite Element Modeling Techniques
FRP Deck Model
Honeycomb FRP decks currently manufactured by Kansas Structural Composites, Inc. (KSCI)
are made of several individual 305 mm (12 in) wide units assembled together and referred to as
‘logs’. Each log is composed of two top and bottom face sheets and a sinusoidal honeycomb-type
core extending along the longitudinal direction between face laminates. An extra laminate, or
wrap layer, is added to increase the strength and stiffness of the log (KSCI 2005). Each log
component is constituted of E-glass fibers and either polyester or vinylester resins. Figure 1
shows the honeycomb FRP structure in detail, and Figure 2 shows a cross section of a ‘log’.
KSCI generally ships 2.44 m (8 ft) wide panels to the field. The length of each panel matches the
transverse dimension of the bridge. The ‘tongue-and-groove’ panel-to-panel connection is shown
in Figure 3. Each tongue-and-groove joint is also clamped to each girder by means of a bent
3
plate (Figure 3) and a threaded stud welded to the girder. More details are provided in the section
on modeling of this connection. Figure 4 shows how the FRP deck panels are installed on a
bridge.
As can be seen from the previous discussion, honeycomb FRP decks have complex
geometry. Due to this complexity, a detailed finite element model of a bridge constructed with
honeycomb FRP decks requires a very large number of degrees-of-freedom (DOF).
Consequently, simulations are computationally intensive and expensive. In order to reduce the
size of these models, some researchers have developed simplified equivalent honeycomb FRP
deck geometries. The most common simplifications for such decks found in the literature are the
integral method and the layered method described by (Hwai et al. 2003).
The integral method treats each component of the FRP deck (e.g. top and bottom faces
and core) as one single equivalent plate. All the orthotropic material properties are integrated
along the cross section of the deck according to the classical laminate theory. Also, in this
method, the individual mechanical behavior of each component and each interface is neglected.
On the other hand, the layered method treats each FRP deck component as an independent
structure. In this method, the faces are modeled in layers in accordance with their manufacturing
process, and the core is represented by a homogeneous single layer. Moreover, the computation
proceeds layer by layer. Then, lamination theory is applied to combine the results.
Robinson (2001) models honeycomb FRP decks using the two aforementioned
approaches referring to them as the equivalent plate model (integral method) and the 3-layer
laminate model (layered method). For both approaches, Davalos at al. (2001) formulate
equivalent material properties to represent both each FRP deck components and the entire
equivalent plate. This formulation is based on a micro/macro-mechanics approach for the face
4
skins. Using micromechanics, the elastic modulus of each layer, or ply, is found. Based on the
properties and lay-up of each ply, the equivalent elastic moduli of the face skins are obtained
using the classical lamination theory, or macromechanics. The equivalent elastic moduli of the
honeycomb core are found based on a homogenization concept, utilizing a combined energy
method and mechanics of materials approach. This homogenization process requires definition of
a Representative Volume Element (RVE), for which the global properties of the core are
obtained by periodical conditions and kinematical assumptions.
Buannic et al. (2003) also make use of the layered approach and utilize the
homogenization theory to compute the effective material properties of both flat faces and
corrugated core. This homogenization process is based on the asymptotic expansion method and
incorporates the face-core interaction, which enables the computation of local stress
distributions. However, the obtained results are similar to those obtained by Davalos et al.
(2001).
After a thorough investigation of both modeling techniques, it has been concluded that
neither are appropriate to represent the honeycomb FRP deck currently being manufactured by
KSCI. Three main problems have been encountered. The first problem is the fact that the
equivalent properties proposed by both Davalos et al. (2001) and Buannic et al. (2003) do not
take into account the presence of the wrap. This would underestimate the stiffness of the deck.
The inclusion of the wrap was subsequent to both studies. The second problem is the inability of
both procedures to allow for the inclusion of the wrap in their formulation due to the assumptions
made by the authors. Finally, both formulations homogenize just the stiffness, but not the mass
of the deck, which would pose a major problem for dynamic analyses. These three problems
5
would certainly result in erroneous modal frequencies and bridge response to static and dynamic
loads.
For numerical analyses of bridges with honeycomb FRP decks currently manufactured by
KSCI, a more realistic but still simple model is proposed in this study. The idea consists of
replacing the complex geometry by a simpler one with equal stiffness and mass. In order for the
simplified geometry to be able to mimic the behavior of the complex geometry under both static
and dynamic loads, it must be able to capture the main deformation modes and stress
distributions of the complex geometry. The proposed model represents the cross section of one
FRP log as a box. Figure 5 shows a schematic of this simplified cross section. The box top and
bottom faces represent the deck top and bottom faces, respectively. Each one of the box lateral
walls represents one half of the entire core (sinusoidal and flat core components including the
wrap). The thickness of the top and bottom box faces (tfaces) is given by
t faces = twrap + t face − original = 6.3 mm (0.25 in) + 12.7 mm (0.5 in) = 19 mm (0.75 in)
(1)
where twrap is the thickness of the wrap = 6.3 mm (0.25 in) and tface-original is 12.7 mm (0.5 in) for
the configuration studied.
To determine the thickness of each box wall, two steps are followed. First, the corrugated
core is replaced by an equivalent flat plate using the formulation presented by Ugural (1999) of
the stiffness of corrugated plates (Dzcorrugated). This stiffness is given in (2) and is equal to the
stiffness of flat isotropic plates (Dzplate) given in (4). From this equality, the thickness of the
equivalent flat core can be easily calculated. Then, the thickness of the entire core is split, and
each half is concentrated on each side of the box. This modification does not change the global
stiffness of the core.
6
3
s E z tcorrugated
Dzcorrugated =
λ 12(1 −ν 2 )
zy
(2)
⎛ π 2h2 ⎞
⎟
λ = s⎜⎜1 +
4s 2 ⎟⎠
⎝
(3)
Ez t3
(4)
Dz plate =
(
12 1 −ν zy 2
)
In the above equations, s is the length of one corrugation, or 102 mm (4 in), for KSCI FRP
decks. The modulus of elasticity (Ez) and the Poisson’s ratio (νzy) of the core are given in Table
1. The variable h is the amplitude of the corrugation, or 50.8 mm (2 in), tcorrugated is the thickness
of the corrugated plate, 2.54 mm (0.1 in), and t is the thickness of the equivalent flat plate, 2.16
mm (0.085 in), calculated from (2) and (4). The thickness of each wall (twall) is the given by
1
1
t wall = [7(t flat ) + 6(t ) + 2(twrap )] = [7(2.54 mm) + 6(2.16 mm) + 2(6.3 mm)] = 11 mm
2
2
(5)
where tflat is the thickness of each flat core, or 2.54 mm (0.1 in). The multipliers ‘7’, ‘6’, and ‘2’,
are the number of flat cores, the number of corrugated cores, and the number of wraps in a log,
respectively, as can be seen in Figure 1.
The density of the equivalent flat core (ρequiv), given by (6) below, is obtained by first
calculating the total volume of one log using both actual and simplified geometries. The actual
core has a density ρactual = 1.39 kN-s2/m4 (1.3E-7 kip-s2/in4). This value has been obtained by
7
weighing core coupons with known volumes. The density of the faces (ρfaces), calculated also by
weighing coupons, is 1.60 kN-s2/m4 (1.5E-7 kip-s2/in4).
ρ equiv =
ρ actual Vactual
(6)
Vequiv
where Vequiv is the total volume of the equivalent flat core and Vactual is the volume of the actual
core. This value of ρequiv is calculated for each case study depending on the dimensions of the
deck.
The entire box unit is modeled by 4-node shell elements (SHELL63 from ANSYS
Element Library). This element has six degrees-of-freedom per node, translations and rotations
in X, Y, and Z directions. All of the nodes of the top face, except those that are coincident to the
nodes of the core, are connected to the corresponding nodes of the bottom face by constraint
equations given by
⎛ UX top ⎞ ⎛ 1
⎜
⎟ ⎜
⎜ UYtop ⎟ = ⎜ 0
⎜ UZ top ⎟ ⎜ 0
⎜⎜
⎟⎟ ⎜
⎝ ROTZ top ⎠ ⎝ 0
0 0 −eccentricity ⎞ ⎛ UX bottom ⎞
⎟
⎟ ⎜ UY
1 0
0
bottom
⎟
⎟⎜
⎟ ⎜ UZ bottom ⎟
0 1
0
⎟
⎟⎜
0 0
1
⎠ ⎝ ROTZ bottom ⎠
(7)
where UXtop, UYtop, and UZtop are the displacements of the nodes of the top face in the X, Y, and
Z directions, respectively, while UXbottom, UYbottom, and UZbottom are the displacements of the
nodes of the bottom face in the X, Y, and Z directions, respectively. ROTZtop and ROTZbottom are
the rotations about the Z direction of the nodes of the deck top and bottom faces, respectively.
The eccentricity, which is represented by d in Figure 5, is the distance between the nodes of the
8
top and bottom faces. These constraint equations guarantee that plane sections remain plane after
deformation. Also, they force the entire box to deform as a homogeneous block, avoiding
differential vertical displacements of the top face with respect to the bottom face. The material
properties of both face and core elements, as determined from coupon tests by Peterman et al.
(2000), are given in Table 1. In Figures 5, 6, 8 and 12, the constraint equations given in (7) are
represented by dashed lines.
Steel Girder Model
Since the objective of this study is not to investigate the behavior of the steel girders themselves,
a 3-beam model is proposed. In this model, each part of the I-shape girder cross section (i.e. top
flange, web, and bottom flange) is simply modeled by a 2-node 3D Euler beam element
(BEAM4 from ANSYS Element Library). This element is compatible with the shell elements
used to model the FRP deck since both have the same six degrees-of-freedom.
The nodes of each part of the beam cross section are connected to one another by
constraint equations in a similar manner as the ones of the FRP deck presented in (7). Now,
UXtop, UYtop, and UZtop are the displacements of the nodes of the top flange/web in the X, Y, and
Z directions, respectively, while UXbottom, UYbottom, and UZbottom are the displacements of the
nodes of the web/bottom flange in the X, Y, and Z directions, respectively. The eccentricity,
which is represented by b in Figure 6, is the distance between the centroid of the section and the
centroid of a flange. ROTZtop and ROTZbottom are the rotations about the Z direction of the nodes
9
of the top flange/web and the nodes of the web/bottom flange, respectively. Figure 6 shows the
girder cross section.
Deck-to-Girder Connection Model
The deck-to-girder connection adopted by KSCI is a friction-type connection and consists of a
22.2 mm (7/8 in)-diameter threaded stud bolted to a bent plate (Figure 7). The two wings of the
bent plate are embedded into the top face of the FRP deck. The body of the bent plate extends
into the core of the deck. The bolted connection is fully tightened.
The spacing between
connectors depends on each case study bridge design.
In the proposed finite element model, these connectors are represented by linear
translational springs (COMBIN14 from ANSYS Element Library) in the X, Y, and Z directions.
In the vertical direction (e.g. Y direction) the spring is assumed to have stiffness equal to
700.5 kN/mm (4000 kips/in). This value is obtained from the slope of the elastic portion of a bolt
tension versus elongation curve presented by Kulak et al. (2005). On the other hand, the spring in
the longitudinal direction (e.g. X-direction) is assumed to have stiffness equal to 61 kN/mm (350
kips/in). This value is obtained by dividing the design load for slip critical connections (AISC
LRFD 2001; Salmon and Johnson 1996) by the prescribed amount of slip equal to 0.51 mm (0.02
in) given by Kulak et al. (2001). The spring in the transverse direction (e.g. Z direction) is
assumed to have the same stiffness of the spring in the longitudinal direction (e.g. X direction).
10
Guardrail Model
One type of guardrail used with FRP bridge decks is the steel thrie-beam. In this work, the
guardrail is modeled by the same 2-node 3D Euler beam (BEAM4 from ANSYS Element
Library). The steel posts are replaced by constraint equations that connect the guardrail to the top
of the deck in a similar manner as for the FRP deck, presented in (7). Now, UXtop, UYtop, and
UZtop are the displacements of the nodes of the guardrail in the X, Y, and Z directions,
respectively, while UXbottom, UYbottom, and UZbottom are the displacements of the nodes of the FRP
deck top face in the X, Y, and Z directions, respectively. The eccentricity, which is represented
by h in Figure 8, is the distance between the guardrail and deck top face. ROTZtop and ROTZbottom
are the rotations about the Z direction of the nodes of the guardrail and the nodes of the FRP
deck top face, respectively.
Validation of the Proposed Modeling Techniques
Simplified Model for the Honeycomb Configuration
In order to validate the proposed modeling technique for the simplified FRP deck, the
numerically produced results of maximum deflection under static load and modal frequencies are
compared against those obtained experimentally for a simply-supported 2.74 m (9 ft) long, 305
mm (1 ft) wide, and 215 mm (8.5 in) deep FRP beam tested at Purdue University. For this beam,
ρequiv is equal to 1.76 kN-s2/m4 (1.65E-7 kips.s2/in4). A maximum point load of 240 kN (54 kips)
11
is applied at the center of the beam during the static test. The modal frequencies are obtained by
placing accelerometers along the beam span and by exciting the beam in several locations using
a load cell hammer. Special data acquisition equipment is used to extract the frequency response
function (FRF) plots, and the modal parameters can be estimated graphically from such plots.
The beam used in this study has also been modeled in detail (i.e. both structural faces and
sinusoidal/flat core are modeled) for comparison against the proposed simplified model. Figure 8
and Figure 9 show views of the meshes of the detailed and simplified models, respectively.
In Table 2, the numerical and experimental results are presented and compared. As can be
seen, the detailed model can reproduce the experimental results very well. The obtained
maximum deflection at midspan (Δy) and the first bending mode (f1), of special interest in bridge
analysis, reproduce the experimental values with errors of 1.29% and 0.41%, respectively. The
maximum error obtained is 4.85% for the third bending mode, which is generally not dominant
in bridges. The simplified model can also mimic the experimental results. The maximum
deflection at midspan (Δy) and the first bending mode (f1) agree with the experimental values
with errors of 0.86% and 0.62%, respectively. The maximum error obtained is 13.4%, which is
still acceptable since it occurs for a non-dominant mode. Better reproduction of maximum
deflection by the simplified model rather than the detailed model can be attributed to the fact that
a coarser mesh was used in the detailed model. The maximum deflection and other modes
produced by both simplified and detailed models agree well with the experimental data. The
maximum difference between the two models is 8.25% for the second mode. In terms of number
of DOFs the detailed model has 145,580 DOFs, whereas the simplified model has only 4,560
DOFs.
12
Bridge Model
The Wildcat Creek Bridge, located in the Tippecanoe County, Indiana, is used to validate the
proposed modeling techniques for the steel girders, the guardrails, and the deck-to-girder
connections. This bridge does not currently have an FRP deck, but its modal parameters,
measured in the field, are used to help validate the overall proposed bridge modeling concept
(i.e. shell elements representing the bridge deck connected to the bridge girders by constraint
equations). The bridge is 48.76 m (160 ft) long between approaches, 8.48 m (27.83 ft) wide
between barriers, and has a 15˚ skew, which is ignored here for modeling purposes. The concrete
deck is supported by five W30x124 steel girders, spaced at 1.7 m (5.58 ft), with spans of 15.24 m
(50 ft), 18.28 m (60 ft), and 15.24 m (50 ft). Two 838 mm (2.75 ft) overhangs complete the
width of the bridge. Concrete barriers are used on each side of the bridge. Figure 10 shows an
elevation view of this case study bridge. At every 3.65 m (12 ft) steel diaphragms, C15x33.9, are
connected to the girders.
The bridge in this study is modeled in accordance with Chung and Sotelino (2006).
Chung and Sotelino (2006) compare different modeling techniques to represent bridges with slab
on girders acting compositely. It should be noted that the scope of their work is limited to static
analysis. From comparisons with experimental data, the modeling technique that best represented
those types of bridge is the eccentric beam model. According to Chung and Sotelino (2006), the
eccentric beam model provides excellent results with fewer DOFs than the other models. There,
the concrete deck is represented by a single plate with the same 4-node shell elements as the
proposed FRP deck model. It is assumed that the concrete is isotropic and uncracked. The
W30x124 girders are represented by the same 2-node 3-D beam as in the proposed girder 3-beam
13
model. Their nodes are connected to those of the concrete deck by constraint equations,
presented in (7), in order to enforce composite action between girder and deck. The diaphragms
are also modeled using the 2-node 3-D beam elements.
Now the variables UXtop, UYtop, and UZtop are the displacements of the nodes of the girder
in the X, Y, and Z directions, respectively, while UXbottom, UYbottom, and UZbottom are the
displacements of the nodes of the deck in the X, Y, and Z directions, respectively. The
eccentricity, which is represented by e in Figure 11, is the distance between the center of gravity
of the steel girder and the mid-height of the deck. It should be noted that the eccentricity must be
multiplied by -1 in order to keep the positive counterclockwise orientation of the rotations about
the Z directions of the nodes of the girder and deck, represented by ROTZtop and ROTZbottom,
respectively.
In this model, the pier supports are modeled by weightless 1-D mass elements (MASS21
from ANSYS Element Library), which connect the other pier components to the ground (e.g.
FRP deck and steel girders) to the ground. The node for each mass is also connected to a girder
node by the same constraint equations given in (7). Now, UXtop, UYtop, and UZtop are the
displacements of the pier nodes in the X, Y, and Z directions, respectively, while UXbottom,
UYbottom, and UZbottom are the displacements of the nodes of the girder in the X, Y, and Z
directions, respectively. The eccentricity, which should also be multiplied by -1 and represented
by l in Figure 11, is the distance between the location of the mass element, corresponding to the
bottom of the girder, and the center of gravity of the girder. ROTZtop and ROTZbottom are the
rotations about the Z direction of the nodes of the pier support and girder, respectively. Pin-roller
boundary conditions are applied.
14
The concrete barriers are modeled with the same 2-node 3-D beam as the proposed steel
guardrail model. The same constraint equations are used. The only difference is that, now, the
variable h is the distance between the center of gravity of the barrier and the mid-height of the
deck.
Figure 11 shows a cross section of this eccentric beam model. As can be seen, only one
beam element is used for each girder, since the intention is to represent fully composite action
between deck and girders, contrary to the 3-beam model as for the FRP deck. The modulus of
elasticity of the concrete is assumed to be 24993 MPa (3625 ksi) and its Poisson’s ratio to be 0.2.
As mentioned previously, the modal parameters of the case study bridge were obtained in
the field by placing seismic accelerometers along the bridge deck and exciting the bridge with a
load cell sledge hammer. Special data acquisition system recorded the acceleration history of
each accelerometer, and, after proper manipulation of the acquired data, the modal parameters
are found from the frequency response functions (FRF). Such parameters are compared here
against those obtained from the numerical modal analysis of the case study bridge finite element
model just described.
In Table 3, the first three bending modes obtained experimentally are compared against
those produced numerically. These modes are shown in Figures 12, 13, and 14. As can be seen,
the proposed finite element model reproduces the bending modes with an error of 0% for the first
mode. This mode is generally the most dominant as compared to the subsequent bending modes
and consequently the most important in dynamic analysis of bridges. The other two bending
modes obtained numerically also replicate the experimental values with errors of 0.43% and
2.59%, respectively.
15
Conclusions
Fiber Reinforced Polymer decks provide an attractive alternative to traditional reinforced
concrete bridge decks. They have low stiffness and also inherently high strength to weight ratio.
As a result, their design is governed by serviceability, but also put the existing serviceability
criteria in question. As a first step in developing new serviceability criteria for honeycomb FRP
deck bridges, based on vibration limits, a finite element modeling technique has been developed
and is presented in this paper. The proposed technique homogenizes the stiffness and also
preserves the mass of the deck, properties which are very important in dynamic analyses.
In the proposed modeling technique, the FRP deck is represented by a simplified model, a
series of boxes, modeled by 4-node shell elements with 6 degrees-of-freedom per node. The steel
girders are modeled by 2-node 3D Euler beam elements, which also have six degrees-of-freedom
per node. The steel guardrails are modeled by the same 2-node 3D beam element. Finally, the
concrete piers are modeled by weightless 1-D mass elements. The various components of the
bridge are connected to each other by proper constraint equations. The deck-to-girder
connections are represented by linear springs. For validation of the proposed simplified FRP
deck model, a detailed model of the FRP beam has been created. Deflections, frequencies, and
mode shapes for each are compared with the experimental data. For validation of the overall
bridge model concept, the Wildcat Creek Bridge with concrete deck has been modeled in a
similar manner and the resulting frequencies and mode shapes are compared to those obtained in
the field.
The results from the FRP beam analysis indicate that the simplified model represents well
the complex geometry of honeycomb FRP decks. Both detailed and simplified models of the
16
FRP beam agree well with the experimental values. The maximum deflection at midspan (Δy)
and the first bending mode (f1) reproduce the experimental values with errors of 1.29% and
0.41%, respectively. The maximum error obtained is 4.85% for the third bending mode, which is
generally not dominant in bridges. The simplified model is also able to mimic the experimental
results. The maximum deflection at midspan (Δy) and the first bending mode (f1) agree with the
experimental values with errors of 0.86% and 0.62%, respectively. The maximum error is 8.22%
for the second bending mode.
The results from the bridge model also show that the eccentric beam model represents
well the behavior of the Wildcat Creek Bridge, with an error of 0% for the first bending mode
frequency. This model proves that the finite elements used in the proposed modeling technique
are totally compatible and can be used to represent bridges in general.
From the FRP beam model and the bridge model case studies, it can be concluded that
the proposed modeling technique provides a viable tool for the development of serviceability
criteria for honeycomb FRP bridge decks.
Acknowledgements
The authors want to acknowledge Coordination for the Improvement of Higher Education
Personnel (CAPES) Foundation/Brazilian Ministry Education for providing financial support for
this research, and Dr. Jerry Plunkett from Kansas Structural Composites, Inc. (KSCI) for
supplying FRP specimens.
17
Notation
The following symbols are used in this paper:
tfaces
=
thickness of the top and bottom box faces;
twrap
=
thickness of the wrap;
tface-original
=
thickness of the original FRP deck top and bottom faces;
Dzcorrugated
=
stiffness of corrugated plates;
Dzplates
=
stiffness of flat isotropic plates;
s
=
length of one corrugation;
Ex
=
modulus of elasticity in the X-direction;
Ez
=
modulus of elasticity in the Z-direction;
Gxz
=
Shear modulus in the X-Z plan;
Gzy
=
Shear modulus in the Z-Y plan;
νxz
=
Poisson’s ratio in the X-Z plan;
νzy
=
Poisson’s ratio in the Z-Y plan;
t
=
thickness of the equivalent flat plate;
twall
=
thickness of the box walls;
ρequiv =
density of the equivalent flat core;
ρactual =
density of the actual core structure;
ρfaces
density of the faces;
=
Vequiv =
volume of the equivalent flat core;
Vactual =
volume of the actual core structure;
UXtop =
displacement in the X-direction of the top node;
18
UYtop =
displacement in the Y-direction of the top node;
UZtop =
displacement in the Z-direction of the top node;
ROTZtop
=
rotation in the Z-direction of the top node;
UXbottom
=
displacement in the X-direction of the bottom node;
UYbottom
=
displacement in the Y-direction of the bottom node;
UZbottom
=
displacement in the Z-direction of the bottom node;
ROTZbottom
=
rotation in the Z-direction of the bottom node;
d
=
eccentricity between the top and bottom face nodes;
b
=
eccentricity between girder flange and web nodes;
μ
=
friction coefficient;
h
=
eccentricity between deck and guardrail nodes;
e
=
eccentricity between deck and girder nodes;
l
=
eccentricity between girder and pier support nodes;
Δy
=
deflection;
f1
=
FRP beam first modal frequency;
f2
=
FRP beam second modal frequency; and
f3
=
FRP beam third modal frequency.
19
References
Buannic, N., Cartraud, P., Quesnel, T. (2003). “Homogenization of Corrugated Core Sandwich
Structures.” Composite Structures, 59, 299-312.
Chung, W., Sotelino, E. (2006). “Three-dimensional Finite Element Modeling of Composite
Girder Bridges.” Engineering Structures, 28, 2006, 63-71.
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21
Table Captions
Table 1. Material properties of the KSCI FRP deck components in the global direction
(Peterman 2000)
Table 2. Comparison of the results of detailed and simplified models against experimental data –
KSCI FRP beam
Table 3. Comparison of the first three modal frequencies of the Wildcat Creek Bridge
22
Figure Captions
Figure 1. Honeycomb FRP structure
Figure 2. Cross section of a log
Figure 3. Tongue-and-groove connection
Figure 4. Application of honeycomb FRP decks in the field
Figure 5. Simplified honeycomb FRP structure cross-section
Figure 6. Girder cross-section
Figure 7. Deck-to-girder connection
Figure 8. Detailed model of FRP beam
Figure 9. Simplified model of FRP beam
Figure 10. Overall view of the Wildcat Creek Bridge
Figure 11. Cross-section the Wildcat Creek Bridge finite element model
Figure 12. Comparison between the first bending mode obtained numerically and experimentally
Figure 13. Comparison between the second bending mode obtained numerically and
experimentally
Figure 14. Comparison between the third bending mode obtained numerically and
experimentally
23
Table 1. Material properties of the KSCI FRP deck components in
the global direction (Peterman 2000)
Ex
Ez
Ey
Gxz
Gzy
νxz
νzy
MPa
MPa
MPa
MPa
MPa
(ksi)
(ksi)
(ksi)
(ksi)
(ksi)
15030 19305
6936
6936
Faces
0.28
(2180) (2800)
(1006) (1006)
8108
8108
3116
Core
0.3
(1176) (1176)
(452)
24
Table 2. Comparison of the results of detailed and simplified models against
experimental data – KSCI FRP beam
%
%
%
Experimental Detailed Simplified
error
error
error
2
59.7
(2.35 in)
3
58.4
(2.3 in)
(1 - 2)
(1-3)
(2-3)
(mm)
1
58.9
(2.32 in)
1.29
0.86
2.12
f1 (Hz)
48
47.8
48.3
0.41
0.62
1.04
f2 (Hz)
152
151.5
164
0.33
7.89
8.25
f3 (Hz)
297
311.4
337
4.85
13.47
8.22
Δy
25
Table 3. Comparison of the first three bending modes
of the Wildcat Creek Bridge
Modes
Finite
Experiment
% Error
(Hz)
Elements
First
6.85
6.85
0
Second
9.25
9.21
0.43
Third
11.30
11.59
2.59
26
Fig. 1. Honeycomb FRP structure
27
y
x
Fig. 2. Cross section of a log
28
Bent plate
Groove
Tongue
Fig. 3. Tongue-and-groove connection
29
Deck-to-girder connection
z
Girder centerline
x
FRP panel
FRP panel
FRP panel
FRP panel
FRP panel
Girder centerline
Core orientation (not to scale)
Girder centerline
Girder centerline
2.44m
8'-0"
2.44m
8'-0"
2.44m
8'-0"
2.44m
8'-0"
2.44m
8'-0"
2.44m
8'-0"
Fig. 4. Application of honeycomb FRP decks in the field
30
y
x
tfaces
tfaces
twalls
twalls
twallst
walls
d
tfaces
tfaces
Fig. 5. Simplified honeycomb FRP structure cross-section
31
y
z
Fig. 6. Girder cross-section
32
y
Embedded
bent
plate surface
Bent plate embedded
in structural
x
Sand
filled
FRP
panel 1
FRP panel 1
Neoprene
FRP
panel 2
FRP panel 2
Steel plate
Girder
top
Girder
top flange
flange
Fig. 7. Deck-to-girder connection
33
Honeycomb Core
y
x
z
Fig. 8. Detailed model of FRP beam
34
y
x
z
Fig. 9. Simplified model of FRP beam
35
Fig. 10. Overall view of the Wildcat Creek Bridge
36
y
h
Shell element
(deck)
z
Beam element
(diaphragm)
l
Beam element
(girder)
Beam element
(barrier)
e
Mass element
(pier)
Fig. 11. Overall view of the Wildcat Creek Bridge
37
Experimental
1
0.5
0
0
-0.5
5
Numerical
-1
0
y
z
10
20
40
60
80
100
120
15
140
160
x
Fig. 12. Comparison between the first bending mode obtained numerically and experimentally
38
Experimental
1
0.5
0
0
-0.5
5
Numerical
-1
0
y
z
10
20
40
60
80
100
120
15
140
160
x
Fig. 13. Comparison between the second bending mode obtained numerically and experimentally
39
Experimental
1
0.5
0
0
-0.5
5
-1
Numerical
0
y
z
10
20
40
60
80
100
120
15
140
160
x
Fig. 14. Comparison between the third bending mode obtained numerically and experimentally
40