3.7. Primos Nº composto é o nº que conseguimos obter por

3.7.
Primos Nº composto é o nº que conseguimos obter por multiplicações. Exm.: 6 é um nº composto, pois o obtemos fazendo 3 × 2. Os n os que não obtemos por multiplicações (a não ser que seja 1 vezes o próprio nº) são chamados de PRIMOS. Eles tem apenas dois divisores: o 1 e ELE MESMO. Esses n os só são vistos, como resultado, em suas tabuadas e na do 1. Fazendo o Crivo de Eratóstenes descobrimos todos os primos até o último número escrito na tabela. Lembre­se: um primo não é composto e composto são resultados em mais de uma tabuada (o nº 1 não é, nem primo, e nem composto). Podemos verificar se um nº é primo pensando: 1º ­ Qual é o quadrado perfeito menor e mais próximo desse nº? 2º ­ Qual é a raiz quadrada desse quadrado perfeito? 3° ­ O nº é divisível por algum dos primos menor que a raiz quadrada? Se for, não é primo. Exm. 1: *101 é primo?
*101 > 100
*Raiz quadrada de 100 é 10. *2, 3, 5 e 7 são os primos até 10 e não dividem 101. Então, 101 é primo. Exm. 2: *117 é primo?
*117 > 100
*Raiz quadrada de 100 é 10. *3 é primo e menor que 10 e divide 117. Então, 117 não é primo. Exercícios 1. cmpa0715 ­ Considerando que m é um algarismo significativo e que m111 + m798 + m999 = 22908 , podemos afirmar que o número m992 é a) divisível por 11.
b) divisível por 12.
c) primo.
d) divisível por 5.
e) divisível por 7. 2. cmpa0702 ­ Assinale a sequência de números que é formada apenas por números primos: a) 1, 2, 3, 5, 7, 9, 11, 13.
b) 3, 5, 7, 9, 11, 13, 19, 21.
c) 0, 1, 2, 7, 11, 13, 19, 23. d) 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23.
e) 1, 2, 3, 5, 13, 19, 27, 31. 3. cmr9806 ­ A palavra primo significa primeiro. Os números primos são “os primeiros”, pois outros podem ser escritos a partir deles, através de multiplicações; exemplos: 9 = 3 ∙ 3, 12 = 2 ∙ 2 ∙ 3 assim, podemos afirmar que a) todo número que pode ser decomposto em um produto de fatores primos é primo. b) os números 2, 19, 23, 27, 29 e 31 são primos. c) um número natural é primo quando possui somente dois divisores distintos: o número 1 e ele próprio. d) o número 1 não é primo, logo é composto. e) os números 1, 3, 5, 7, 11 e 13 são primos. 4. cmrj0503 ­ Numa subtração, o resto é 518. Se subtrairmos do minuendo o valor do menor número primo maior que 200 e subtrairmos do subtraendo o valor do maior número primo menor que 300, qual será o resto da nova subtração? a. Um número natural menor que 100. b. Um número natural compreendido entre 100, inclusive, e 300, exclusive. c. Um número natural compreendido entre 300, inclusive, e 500, exclusive. d. Um número natural compreendido entre 500, inclusive, e 700, exclusive. e. Um número natural maior que 699. 5. cmrj0402 ­ Considere as sentenças abaixo: I — Escrevendo­se todos os números naturais, de 1 até 765, inclusive os extremos, escrevem­se 665 números de três algarismos. II — Escrevendo­se todos os números de três algarismos distintos e utilizando somente os algarismos do número 456, o maior destes números terá 65 dezenas. III — O menor número primo de três algarismos é o número 107. Pode­se afirmar que: a. Todas são falsas.
b. Apenas a I é falsa.
c. A I e a II são falsas. d. A I e a III são falsas.
e. Todas são verdadeiras. 6. cmr9812 ­ Determine a diferença entre a soma dos 10 menores números naturais primos e a soma dos 10 menores números naturais ímpares. 7. cmr9708 ­ Quanto aos números primos, podemos afirmar que a) o número 2 é par, logo. não e primo. b) todos os números consecutivos são também primos. c) o número 1 não é par, logo é primo. d) o conjunto dos números primos é infinito. e) todos os números ímpares são primos. 8. cmpa1118 ­ Quando multiplicamos o maior número composto de “quatro” algarismos distintos pelo menor número composto por “quatro” algarismos, o que é correto afirmar sobre o resultado obtido? a) é divisível por 7.
b) é múltiplo de 11.
c) é divisível por 9.
d) é múltiplo de 10.
e) é primo. 9. cmpa1003 ­ Analise as afirmações que seguem, considerando divisões exatas no conjunto dos números naturais. I. Os divisores de um número ímpar são sempre números ímpares. II. Os divisores de um número par são sempre números pares. III. Todo número primo maior do que 100 é sempre um número ímpar. IV. O número 1 é primo. São verdadeiras as afirmações a) I, III e IV
b) I, II e III
c) I e II
d) II e III
e) I e III 10. Crivo de Eratóstenes: Faça uma tabela com os números de 1 até 200. ● Pinte o número 1; ● Com a mesma cor, não pinte o número 2, mas pinte todos os números que podemos dividir por 2; ● Ainda usando a mesma cor, não pinte o número 5, mas pinte todos os números que podemos dividir por 5; ● Continuando com a mesma cor até o fim do processo, não pinte o número 3, mas pinte todos os números que podemos dividir por 3; ● Agora, veja qual é o próximo número que ficou em branco. Não pinte esse número, mas pinte todos os números que podemos dividir por ele. ● Repita o processo até não encontrar mais nenhum número que precise ser pintado. Todos os números que ficaram em branco são números primos. 3.8.
Fatoração 3.8.1. Quantidade de divisores que um nº tem Depois, olhamos só às potencias. Assim, somamos 119 a cada expoente e multiplicamos todos os resultados das somas. Os resultados das multiplicações será a quantidade de divisores. (2 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) ∙ (1 + 1) = 3 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 24 Então, 780 tem 24 divisores. Exercícios 1. cmpa0803 ­ O número natural 8 ∙ 5k tem 24 divisores positivos. Então, o valor de k
é: 2 3 2. cmr9516 ­ Sabemos que 540 = 2 ∙ 3 ∙ 5. Então, podemos dizer que 540 tem a. 15 divisores.
b. 18 divisores. c. 24 divisores.
d. 20 divisores. 3. cmr9614 ­ Qual é o menor número com 18 divisores? a. 180 b. 108 c. 360
d. 540 4. cmr9719 ­ Quantos divisores tem o número N = 1 ∙ 2 ∙ 3 ∙ 4 ∙ 5 ∙ 6 ∙ 9 ∙ 12 3.9.
Potências Exm.: Uma pessoa conta um segredo para duas outras pessoas, cada uma dessas conta esse segredo para outras duas, que ainda não o conheciam, cada uma dessas conta o segredo para outras duas que, também, ainda não o conheciam, e, assim, sucessivamente. Para calcular quantas pessoas souberam do segredo podemos multiplicar 2 por 2 por 2 ... Essas sucessivas multiplicações do mesmo nº são chamadas de POTÊNCIA. O algoritmo da potência considera quantos fatores iguais estão sendo multiplicados e os junta em um único número que é a base da potenciação. Este nº tem no seu canto superior direito um outro número que é o expoente . Dizemos, assim, que a base está elevada aquele expoente. Quando o expoente é 2, dizemos que a base está elevada ao quadrado. Quando o expoente é 3, dizemos que está elevada ao cubo. Quando é 4, dizemos que foi elevada a quarta potência. Quando é 5, dizemos que foi elevada a quinta potência. E, posteriormente, segue assim. 3.9.1. Definição * Erro
* 31 = 3
* 30 = 1 * 0n = 0 ⇒ para todo n > 0 3.9.2. Propriedades das potências ●
32 ∙ 33 = 32+3 = 35 Na MULTIPLICAÇÃO da mesma base, CONSERVA­SE a base e se SOMA os expoentes. ●
35 : 32 = 35−2 = 33 Na DIVISÃO da mesma base, CONSERVA­SE a base e se SUBTRAI os expoentes. 19
Porque somamos 1? Veja: 20 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 13 = 195 que divide 780; 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 13 = 390 que divide 780; 2 2 ∙ 5 ∙ 3 ∙ 13 = 780 que divide 780; 2 2 ∙ 50 ∙ 3 ∙ 13 = 156 que divide 780... Assim, sempre temos que lembrar da possibilidade do expoente de um dos primos ser zero. 1 ●
(2 ∙ 3)2 = 22 ∙ 32 A POTÊNCIA DO PRODUTO é igual ao PRODUTO DAS POTÊNCIAS. ●
A POTÊNCIA DO QUOCIENTE é igual ao QUOCIENTE DAS POTÊNCIAS. ●
2 3
2 ∙ 3
(3 ) = 3
6
=3 Na POTÊNCIA DA POTÊNCIA, CONSERVA­SE a base e MULTIPLICA­SE os expoente. Exercícios 1. cmrj0610 ­ Assim que chegou à Caverna das Caveiras, Barba Negra desenterrou uma garrafa que continha um pedaço de papel com a seguinte informação: “Caminhe, no sentido da Cachoeira Véu da Noiva, tantos quilômetros quanto for o valor de n para que o resultado da expressão 5 ∙ 10 5 + 2 ∙ 10 4 + 4 ∙ 10 3 + 530 + n seja divisível por 11, sabendo que n é um número natural menor que 10.” Podemos, então, afirmar que Barba Negra caminhou: a) 1 km b) 5 km c) 6 km d) 8 km e) 9 km 2. cmpa1005 ­ Quantos números de dois algarismos são primos e têm como antecessor um quadrado perfeito? 3. cmsm1516 ­ O convite de aniversário de Bruno foi espalhado na rede social. Bruno enviou para Ana Clara, Lucas, André e Mariana, que enviaram, cada um, para mais quatro pessoas, que, por sua vez, enviaram para outras quatro. Se cada pessoa recebeu a mensagem uma única vez, o número total de pessoas que receberam a mensagem foi: 4. cmr0116 ­ A metade de 240 é igual a: a. 240
b. 220
c. 210
d. 239
e. 1/2 40 5. cmr0510 ­ Na manhã do roubo, o Sr. Papagaio contou o ocorrido a 15 animais da floresta. No dia seguinte, cada um deles contou a outros 15, e esses contaram, cada um deles, a outros 15. Sabendo­se que nenhum animal foi informado da notícia mais de uma vez, pergunta­se: Qual o número total de animais que souberam da notícia após o Sr. Papagaio contá­la? 6. cmr0411 ­ Um gato come 4 ratos por dia. Quatro gatos comem quantos ratos em 4 dias? 7. cmr1002 ­ Na figura abaixo, as setas representam uma operação feita com o número que consta no círculo de origem, sendo o resultado da operação dado no círculo para o qual a seta aponta. Todas as setas correspondem à mesma operação. Assinale a alternativa que representa a soma dos algarismos do número que deve ocupar o círculo A: 8. cmsm0805 ­ Durante a viagem da corte portuguesa entre a cidade de Lisboa e a cidade de Salvador/BA, aconteceu de tudo um pouco: tempestades, calmaria (falta de ventos) e até um surto de piolhos, todas as mulheres foram obrigadas a raspar os seus cabelos. Supondo que a quantidade de pessoas infestadas nesta embarcação dobrasse a cada dia, começando com um pessoa, o número de dias necessários para que 63 pessoas fossem infestadas pelos piolhos seria de: 9. cmr1116 ­ Em uma grande empresa multinacional de fabricação de carros existem 22.000 funcionários. O diretor geral determinou que todos os funcionários recebessem aumento salarial e contou esta maravilhosa notícia a apenas quatro integrantes da diretoria. Quinze minutos depois, cada um desses integrantes contou a notícia a outros quatro funcionários. A partir daí, quinze minutos depois do instante em que ficou sabendo, cada pessoa que recebeu a notícia a repassa a apenas mais quatro pessoas que não haviam escutado a notícia antes. Passados uma hora e quarenta minutos e considerando o diretor geral como funcionário, quantos funcionários ainda não sabem da notícia? a. 155 funcionários.
b. 159 funcionários.
c. 151 funcionários. d. 163 funcionários.
e. 154 funcionários. 10. cmsm0608 ­ Enquanto a multiplicação é uma soma de parcelas iguais (3+3+3+3+3 = 5 ∙ 3 = 15), podemos definir a potência como um produto de fatores iguais (3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 3 5 = 234). Aplique o conceito de potência nas afirmativas abaixo e identifique a única alternativa verdadeira. a. 33 = 9.
b. 110 = 10
c. 25 = 32
d.5 3 = 75 e. 43 = 48. 11. cms1406 ­ Qual o algarismo das unidades do número que se obtém ao efetuar a multiplicação 711 ∙ 911 ? 12. cmrj0613 ­ Ao saber do roubo de mais um de seus navios, o Rei mandou o capitão Strong informar aos demais capitães sobre o ocorrido. No mesmo dia, capitão Strong informou a três capitães, que, por sua vez, avisaram, cada um deles, a outros três; estes, por sua vez, enviaram, cada um deles, três mensageiros, os quais avisaram, cada um deles, a outros três capitães. Quantos capitães, incluindo o capitão Strong, foram avisados, sabendo que nenhum deles foi avisado mais de uma vez? 3.10.
Radiciação Seguindo a ideia de que sempre existe uma operação inversa, precisamos de uma operação inversa a potência. O nome de uma20 dessas operações é radiciação. Quando não aparece índice, ele vale 2. Para conhecermos a raiz de um nº, seja quadrada, cúbica ou qualquer outro expoente, podemos usar o processo de fatoração. 3.10.1. Definições * *
⇒ para todo n >0 3.10.2. Propriedades * *
* * *
Exercícios 3.11.
Fechamento dos Naturais * O que acontece quando fazemos uma soma e uma subtração de um mesmo valor, uma seguida da outra? * O que acontece quando fazemos uma multiplicação e uma divisão usando um mesmo valor, uma seguida da outra? * O que acontece quando fazemos uma potenciação e extraímos a raiz dessa potenciação, uma seguida da outra? 20
Existem duas operações que desfazem o que a potência faz: a radiciação, diz qual a base que foi elevada tantas vezes até dar o radicando, e o logaritmo, diz qual o expoente que elevou uma base até dar o logaritmando. Já deu para perceber como as operações tem sempre alguma outra operação que anula seu resultado nos naturais. Só que o fato da subtração não ter a propriedade comutativa levou os humanos a criarem os números negativos.21 Esses números, juntamente com os ℕ, formam o conjunto dos números inteiros, que veremos mais tarde. Mas, muito antes da criação e aceitação dos números inteiros a humanidade sentiu falta dos números que são resultados de divisões não exatas (por causa de medições de terras). Assim, criamos as frações e os números decimais, nesta ordem. A junção desses nº s deu origem ao conjunto dos números racionais.22 Exercícios 1. cmsm1216 ­ O basquetebol é disputado nos Jogos Olímpicos desde 1936 e o maior vencedor é os Estados Unidos, país que criou o esporte. Na Olimpíada de Londres 2012, o time dos Estados Unidos venceu a equipe da Nigéria por uma diferença de 83 pontos, alcançando a maior pontuação de um time de basquetebol na história das Olimpíadas. Supondo que a equipe da Nigéria, durante o jogo, tenha marcado 11 cestas de 3 pontos cada uma e 20 cestas de 2 pontos cada uma, qual foi a pontuação obtida pela equipe americana? a. 73 pontos
b. 83 pontos
c. 96 pontos d.156 pontos
e. 165 pontos 2. cmr9605 ­ Sabe­se que a e b são dois números naturais diferentes de zero, tais que a = b. Nessas condições a igualdade correta é a. a × b = 0 b. a : b = 1
c. a + b = 0 d. a ­ b = 1 3. cmr9607 ­ A soma de 3 números naturais consecutivos é 102. O maior desses números é a. 33 b. 34
c. 35 d. 36 4. cmsm0513. Com relação aos números naturais e suas propriedades julgue as afirmativas abaixo como verdadeiras (V) ou falsas (F). ( ) A quantidade de múltiplos de um número é infinita. ( ) “Zero” é divisor de qualquer número natural. ( ) Números naturais diferentes de 1 que possuem apenas dois divisores distintos, o 1 e o próprio número, são denominados números primos. ( ) A quantidade de divisores de um nº natural é finita. ( ) Se um número natural é múltiplo de 3 ou múltiplo de 4, então ele é múltiplo de 12. A sequência correta é: a. V — F — V — F — V.
b. V — V — F — V — F.
c. F — V — F — V — V. d. F — V — F — V — F.
e. V — F — V — V — F. 4.
Expressões Numéricas É comum, depois de aprendermos todas as operações com os naturais, aprendermos as expressões numéricas. Essas expressões são apresentadas como se não existissem em situações cotidianas, mas, de fato, elas estão muito mais envolvidas em problemas do que suas contas isoladas. Muitos alunos acham que os parênteses, colchetes e chaves são inventados ou enfiados em contas pelos professores. Na verdade, eles são ferramentas que podem e devem ser usadas pelos alunos para não fazerem confusões de contas que devem realizar primeiro. Como já fizemos algumas resoluções com expressões numéricas, vamos apenas relembrar algumas regras para resolvê­las: resolvemos primeiro o que estiver dentro dos parênteses, depois resolvemos o que estiver dentro dos colchetes e, por último, dentro das chaves. Pode ser que algumas 21
10 ­ 5 = 5; 5 ­ 10 = por não existir nos naturais, forçou os humanos a inventarem os números inteiros. Faça a tabuada das divisões. 22
expressões apresentem apenas parênteses. Para resolvermos essas, pensemos em ir de dentro para fora, ou seja, sempre eliminando as contas que estão dentro dos parênteses mais internos até chegar ao mais externo. 2
3
Exm. 1: {20 – [6 + (5 ∙ 2)] + 1} ∙ 3 =
Exm. 2: (5 − ((5 + 3) ∙ 2) − 1 ) ∙ 5 = {20 – [6 + 10] + 1} ∙ 3 =
(25 − (8 ∙ 2) − 1) ∙ 5 = {20 – 16 + 1} ∙ 3 =
(25 − 16 − 1) ∙ 5 = {4 + 1} ∙ 3 =
(9 − 1) ∙ 5 = 5 ∙ 3 = 15
8 ∙ 5 = 40 Quando as expressões apresentarem só somas ou só multiplicações, podemos fazer na ordem que quisermos, pela propriedade associativa. Exm. 1: Exm. 2: OU OU
Se houver uma mistura de operações temos uma ordem a seguir: 1.
Potências e raízes, na ordem que aparecerem; 2.
Multiplicação e divisão, na ordem que aparecerem; 3.
Adição e subtração, na ordem que aparecerem. Exm.: É preciso tomar cuidado com a calculadora para resolvermos expressões. Se digitarmos as operações em uma ordem na qual elas devem ser efetuadas, a calculadora ajuda, caso contrário, ela atrapalha o processo e informa coisas erradas. Exm.: A expressão 1 + 1 − 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 ∙ 0 se for digitada, como se vê, na calculadora, resultará em 0, mas seu resultado correto é 13. Exercícios 1. cmsm1511 ­ Uma loja encomendou 316 dezenas de b lue­rays de jogos eletrônicos. Já chegaram 43 caixas do produto: 14 delas contendo 25 b lue­rays cada, com um jogo de futebol, e 29 caixas contendo duas dúzias de blue­rays cada, com um jogo de corrida. A quantidade de b lue­rays que falta chegar é? 2. cmr9608 ­ O valor da expressão [3 × 2 × (7 ­ 2) ­ (4 × 2) : (14 ­ 10)]+[(2 + 15 × 2) : 8] é a. 28
b. 30 c. 32