Filtros

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Filtros

Instrumentação e Técnicas de
Medidas
Filtros
Diagrama de Bode
T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
Fase (graus);
0
-50
(A)
(D)
-100
Amin
Amin
-150
Amáx
Amáx
ωp
-200
10-1
100
ωs
(B)
Amin
Freqüência
(rad/seg)
Amin
Amáx
Amáx
ωs
ωp
ω1
ω3
ω3
ω1
101
(C)
ω4
ω2
ω2
ω4
Controle de Versões
2010
Versão 1 – Instrumentação e Técnicas de Medidas (ITM)
2012
Versão 2 – Pequenas alterações no texto, links, CIs não obsoletos.
Última alteração: 06/11/2013
Instrumentação e Técnicas de Medida – UFRJ, 2013/2
Índice
25Filtros seletores de frequência..........................................................................................................4
25.1Introdução.................................................................................................................................4
25.2Unidades e nomenclatura..........................................................................................................4
25.3Diagramas de Bode...................................................................................................................5
25.3.1Constante...........................................................................................................................6
25.3.2Fator S...............................................................................................................................6
25.3.3Fator (S + a)......................................................................................................................7
25.3.4Fator (S2 + a⋅S + b)...........................................................................................................8
25.4Funções de 1ª e 2ª ordens........................................................................................................10
25.5Gabaritos.................................................................................................................................11
25.5.1Desnormalização em Frequência....................................................................................13
25.6Aproximações.........................................................................................................................15
25.7Etapas da Síntese....................................................................................................................18
25.7.1Exemplo 1.......................................................................................................................19
25.7.2Exemplo 2.......................................................................................................................19
25.7.3Exemplo 3.......................................................................................................................20
25.8Cálculo dos polinômios de aproximação................................................................................20
25.8.1Para aproximação de Butterworth...................................................................................21
25.8.2Exemplo 1.......................................................................................................................23
25.8.3Exemplo 2.......................................................................................................................24
25.8.4Aproximação de Chebyshev (I).......................................................................................25
25.8.5Exemplo 3.......................................................................................................................27
25.8.6Exemplo 4.......................................................................................................................28
25.8.7Exemplo 5.......................................................................................................................30
25.8.8Soluções tabeladas..........................................................................................................32
25.9Síntese de filtros ativos...........................................................................................................34
25.9.1Realizações......................................................................................................................34
25.10Filtros de primeira ordem RC...............................................................................................37
25.10.1Filtro passa baixas RC de primeira ordem....................................................................37
25.10.2Filtros passa altas RC de primeira ordem.....................................................................38
25.11Filtros de segunda ordem RC................................................................................................39
1
25.11.1Filtros variáveis de estado.............................................................................................39
25.11.2Exemplo 1.....................................................................................................................44
25.11.3Exemplo 2.....................................................................................................................47
25.11.4Configurações de um único amplificador operacional..................................................49
25.11.5Passa baixas Sallen-Key................................................................................................51
25.11.6Passa baixas MFB.........................................................................................................53
25.11.7Passa altas Sallen-Key...................................................................................................54
25.11.8Passa altas MFB............................................................................................................55
25.11.9Passa Faixa Sallen-Key.................................................................................................57
25.11.10Passa faixas MFB........................................................................................................58
25.11.11Rejeita faixa (ou Notch)..............................................................................................59
25.11.12Rejeita faixa Sallen-Key (modificado – com rede duplo T).......................................59
25.11.13Rejeita faixa MFB (modificado).................................................................................60
25.11.14Exemplo 1...................................................................................................................61
25.11.15Exemplo 2...................................................................................................................65
25.11.16Exemplo 3...................................................................................................................65
25.11.17Exemplo 4...................................................................................................................68
25.12Exercícios..............................................................................................................................68
25.13Filtros a capacitor chaveado..................................................................................................69
25.14Efeitos dos componentes reais..............................................................................................72
25.15Sensibilidade.........................................................................................................................73
25.15.1Exemplos.......................................................................................................................74
APÊNDICE........................................................................................................................................77
2
25 Filtros seletores de frequência
25.1 Introdução
Os filtros seletores de frequência são circuitos que amplificam de forma diferente sinais de
diferentes frequências. Desta maneira, os integradores e os derivadores também podem ser
classificados como filtros seletores de frequência.
Em eletrônica os filtros seletores de frequência (ou simplesmente filtros) estão presentes em
quase todos os circuitos, nem que seja para minimizar o ruído em sua saída (normalmente um filtro
que amplifique apenas as baixas frequências). Dentre as principais aplicações estão a minimização
de ruído de alta frequência, sintonia de rádios, televisões, canais de comunicação, distinguir entre
números teclados em uma chamada telefônica, para eliminar ruído em som ou imagens, equalização
de som, separar faixas de frequências para alto falantes, limitar frequências para amostragem de
sinais antes de uma conversão A/D (conversão de um sinal analógico em um equivalente digital),
analisadores de espectro, conformação de formas de onda...
Programas para o projeto de filtros ativos com ordem menor do que 16 são comuns. Alguns
deles são o FilterCAD da Linear Technology e o FilterPRO da Texas Instruments. Um bom texto
sobre filtros pode ser obtido em Analog Filters, da Analog Devices.
25.2 Unidades e nomenclatura
O estudo dos filtros está sempre relacionado a função de transferência, de um circuito, ou
seja da relação entre saída e entrada, analisadas pelo domínio da frequência. Muitos autores
analisam os circuitos do ponto de vista da atenuação e utilizam o dB como unidade de medida. A
atenuação deve ser entendida, simplesmente, como o recíproco do ganho
Atenuação=
1
Ganho
Utilizar os termos ganho ou atenuação para valores acima ou abaixo da unidade é
matematicamente correto porém pode soar estranho. A escolha pelo termo atenuação se deve ao fato
de que os primeiros filtros apresentavam ganho máximo igual a unidade, portanto era mais sensato
3
falar em atenuação. Além disto a maioria dos filtros eram obtidos polinomialmente o que tornava a
análise da atenuação mais simples.
Também é comum utilizar a unidade dB para informar ganhos ou atenuações. Isto ocorre
porque o gráfico de resposta em frequência é um gráfico logarítmico e o dB é uma unidade
logarítmica. Quando utilizamos dB para quantificar a amplitude da função de transferência e um
eixo logarítmico para o eixo das frequências, o gráfico resultante pode ser esboçado pelo uso de
retas, simplificando a análise do problema.
A conversão de um ganho T(ω) ou atenuação H(ω), especificados como V/V ou A/A, para
dB pode ser realizada pela equação
|X(ω)|dB = 20 log |X(ω)|
onde |X(ω)| é o módulo da função de transferência em V/V ou A/A.
Para fazer a transformação inversa basta usar a equação
∣X ( w)∣=10
∣X (w )∣dB
20
A tabela abaixo mostra as relações existentes entre ganho e atenuação.
Relação
Ganho
Atenuação
vO
1
vI
>1
<1
=G
=G–1
<1
>1
=G
=G–1
vO
1
vI
Unidade
Relação
Ganho
Atenuação
V/V ou A/A
vO
1
vI
>0
<0
=G
=–G
V/V ou A/A
vO
1
vI
<0
>0
=G
=–G
Unidade
dB
dB
25.3 Diagramas de Bode
Filtros seletores de frequência podem ser bem representados pelo diagrama de Bode.
Supondo uma função de transferência genérica T(S) tal que
4
N S
T  S =
= K⋅
D S 
∏i  S −z i 
∏ S − p j 
j
então esta função pode ser analisada do ponto de vista de seu módulo e de sua fase:
∣T  j ∣dB=20⋅log 10∣T  j ∣
θ(ω)=tan
−1
(
)
[
] [
ℑ T ( j ω)
−1 ℑ( j ω− z i)
−1 ℑ( j ω− p j )
=∑ tan
−tan
ℜT ( j ω)
ℜ( j ω−z i )
ℜ( j ω− p j )
]
A forma fatorada da equação acima é composta de quatro componentes básicos: Constante;
Fator S; Fator (S + a); Fator (S2 + a⋅S + b). A análise de cada um destes fatores separadamente
permitirá analisar todas as funções de filtros estudados nesta disciplina.
25.3.1 Constante
T ( j ω)=K
°
Se ∣K∣>1 então ∣T ( j ω)∣dB>0 e θ( j ω)=0
°
Se ∣K∣<1 então ∣T ( j ω)∣dB<0 e θ( j ω)=180
25.3.2 Fator S
T ( j ω)=S
∣T ( j ω)∣dB=20⋅log ( j ω) ; inclinação de 20dB/década
θ(ω)=tan −1 ω° =90°
0
( )
T ( j ω)=
1
S
∣ ∣
1
; inclinação de −20dB/década
jω
θ(ω)=tan −1 ( 0°)−tan −1 ω° =−90°
0
∣T ( j ω)∣dB=20⋅log
( )
5
Diagrama de Bode
T(S) = 1/S
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
Fase (graus);
-89
-89.5
-90
-90.5
-91
10-1
100
101
102
Freqüência (rad/seg)
Figura 1: Resposta em frequência para um polo na origem. No MATLAB: bode([1],[1 0])
25.3.3 Fator (S + a)
T ( j ω)=S +a
∣T ( j ω)∣dB=20⋅log∣ j ω+a∣=20⋅log ( ω +a
2
∣T ( j ω)∣dB ,
ω=a
1
2 2
)
;
=+20⋅log( a)+3dB
θ(ω)=tan −1 ω ; inclinação de 45° /década
a
( )
6
T ( j ω)=
1
S +a
∣T ( j ω)∣dB=−20⋅log∣j ω+a∣=−20⋅log ( ω +a
2
∣T ( j ω)∣dB ,
ω=a
1
2 2
)
=−20⋅log(a )−3dB
θ(ω)=tan −1 ω ; inclinação de 45o /década
a
( )
A constante a corresponde ao ponto de união das assíntotas e é chamado de polo. Como o
polo é real este fator é, muitas vezes, escrito como (S + σ).
Diagrama de Bode
T(S) = 1 / (S + 1)
Magnitude (dB)
0
-5
-10
-15
-20
Fase (graus);
0
-20
-40
-60
-80
-100
10-1
100
101
Figura 2: Resposta em frequência para um polo simples. No MATLAB: bode([1],[1 1])
25.3.4 Fator (S2 + a⋅S + b)
Em baixas frequências o fator (S2 + aS + b) apresenta comportamento semelhante ao fator
constante (S→0) enquanto que em altas frequências ele apresenta comportamento semelhante a dois
fatores S (S→∞). Jé em médias frequências este fator pode apresentar um máximo ou um mínimo.
7
Para polos
∣
∣
d
1
=
=0, cuja solução é
2
d ω −ω +a⋅ j ω+b
√
a2
a2
ωmáx =√ b⋅ 1−
, para
<1, e
2⋅b
2⋅b
a2
ωmáx =0, para
⩾1
2⋅b
Para a frequência do polo ω=b
∣H  j ∣dB=20⋅log
A constante
∣
∣
 
1
1
1
b
=20⋅log
=20⋅log 20⋅log
b
a
a⋅ b
 j  b a⋅ j  bb
2
 b determina a altura do pico e é denominado de fator de mérito Q. Por esta
a
2 
2
razão o fator (S2 + aS + b) costuma ser reescrito como S  ⋅S  . Para Q>5 a largura de faixa
Q
(-3dB) em torno do máximo pode ser bem aproximada por B =  s− i=

.
Q
Para uma função de transferência com polos definidos pelo fator (S2 + aS + b) é possível
fazer com que o ganho seja de -3dB na frequência ω atuando sobre o fator de mérito Q. Isto ocorre
para Q=
1
. Se 0≤Q≤0,5 a função de transferência fica com polos reais (Q=0,5 corresponde a dois
2
polos iguais). A medida que o Q aumenta é possível produzir picos na resposta em frequência. A
figura a seguir mostra a influência de Q na resposta em frequência.
8
Diagrama de Bode
T(S) = 1 / (S^2 + w /Q S + w ^2) para Q = 0.5, 0.707, 1, 2, 10
Magnitude (dB)
20
0
-20
-40
Fase (graus);
0
-50
-100
-150
-200
10-1
100
101
Figura 3: Resposta em frequência para polos complexos. No MATLAB: bode([1],[1 1/Q 1])
25.4 Funções de 1ª e 2ª ordens
A próxima tabela mostra as funções de transferências que podem ser obtidas com os fatores
de primeira e segunda ordem apresentados anteriormente.
Tipo de filtro
Função de
transferência
Integrador
K
S
Passa baixa 1ª ordem
K
0
S  0
Passa alta 1ª ordem
K
S
S  0
Localização dos polos e zeros
Zero no infinito
Polo na origem.
Zero no infinito
Polo sobre o eixo σ (-σ0)
Zero na origem
Polo sobre o eixo σ (-σ0)
9
Função de
transferência
Tipo de filtro
Passa baixa de 2ª ordem
Passa alta de 2ª ordem
Passa faixa (2ª ordem)
Rejeita faixa (2ª ordem)
Passa baixa notch (2ª ordem)
Passa alta notch (2ª ordem)
K
K
 20

S 2 0 S 20
Q
S2

S 2 0 S 20
Q
0
S
Q
K

S 2 0 S 20
Q
K
S 2 20

S 2 0 S 20
Q
Localização dos polos e zeros
2 zeros no infinito
2 polos com raio ω0 no plano S
2 zeros na origem
1 zero na origem
1 zero no infinito
2 zeros sobre o eixo jω ( ω0 )
S 2 20
K

S 2 0 S 20
Q
2 zeros sobre o eixo jω ( zeros > ω0 )
2
2 zeros sobre o eixo jω ( zeros < ω0 )
K
2
S  0

S 2 0 S 20
Q
Na tabela acima vale a pena observar o nome ou o tipo dos filtros. Observa-se nomes
relacionados as frequências que são mais amplificadas e quais as frequências são atenuadas. Os
quatro principais tipos são o passa baixas, o passa altas, o passa faixa e o rejeita faixa de
frequências. Estes tipos nos levam aos quatro gabaritos utilizados para projeto de filtros.
25.5 Gabaritos
Os filtros seletores de frequência apresentam quatro comportamentos principais
denominados passa baixas (PB), passa altas (PA), passa faixas (PF) e rejeita faixas (RF) em função
da faixa de frequências que apresentam maior ganho. Os gabaritos de atenuação são apresentadas na
próxima figura.
10
Costuma ser especificados no projeto a atenuação mínima (para região de frequências a
atenuar – região de atenuação), atenuação máxima (para região de frequências que não devem ser
atenuadas – região de passagem), frequências que delimitam a região de passagem (banda de
passagem) e frequências que delimitam a região de atenuação (banda de atenuação). Os requisitos
são sempre convertidos nos requisitos de um filtro passa baixas normalizado. Caso o filtro não seja
um passa baixa também é necessário uma transformação em frequência.
Nesta normalização a frequência limite da banda de passagem é ω p=1 , a frequência limite
da banda de rejeição é ω s , a atenuação permitida na banda de passagem é Amáx e a mínima
atenuação exigida para a banda de rejeição Amin.
Figura 4: Gabaritos dos filtros seletores. (A) passa baixa, (B) passa alta, (C) passa faixa, (D)
rejeita faixa
11
25.5.1 Desnormalização em Frequência
Transformação Passa Baixa–Passa Baixa Normalizado
Amin
Amáx
ωp
ωs
Para normalizar
ω p=1
ω
ω s= ω s
p
Para desnormalizar
S
Substituir S por ω
p
Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem,
fazendo ω 0=ω p ou σ0=ω p .
Transformação Passa Alta–Passa Baixa Normalizado
Amin
Amáx
ωs
ωp
Para normalizar
12
ω p=1
ω
ω s= ω p
s
Para desnormalizar
Substituir S por
ωp
S
Alternativamente: Escrever a equação do filtro em seções de primeira e segunda ordem,
fazendo ω 0=ω p ou σ0=ω p .
Transformação Passa Faixa–Passa Baixa Normalizado
Amin
Amáx
ω3
ω1
ω2
ω4
Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amín sejam iguais nas
duas bandas de rejeição e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição
1
2
1
2
ω0= [ ω1⋅ω2 ] = [ ω3⋅ω4 ] , com banda de passagem entre ω1 e ω2.
Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo
ω p=1
ω −ω
ω s=ω 4−ω3
2
1
Para desnormalizar
Substituir S por
2
2
ω0
S +ω 0
, onde B=ω 2−ω 1=
Q
B⋅S
13
Transformação Rejeita Faixa–Passa Baixa Normalizado
Amin
Amáx
ω1
ω3
ω4
ω2
Para normalizar o filtro é necessário fazer com que as atenuações Amáx sejam iguais nas
duas bandas de passagem e que as frequências do filtro atendam a seguinte condição
1
1
ω 0=[ ω 1⋅ω 2 ]2 =[ ω 3⋅ω 4 ]2 , com banda de passagem entre ω1 e ω2
Quando as exigências forem atendidas a normalização é feita fazendo
ω p=1
ω −ω
ω s=ω 2−ω1
4
3
Para desnormalizar
Substituir S por
ω0
B⋅S
2
2 , onde B=ω 2−ω 1=
Q
S +ω 0
25.6 Aproximações
Uma vez que todos os filtros podem ser normalizados e transformados em um passa baixas é
necessário encontrar um polinômio que atenda as especificações do projeto. Existem vários tipos de
funções de transferência, algumas são polinomiais (com zeros no infinito como os filtros
Butterworth, Chebyshev I e Bessel) ou não polinomiais (com zeros finitos sobre o eixo jω como os
filtros Cauer e Chebyshev II). Nestas funções os zeros sobre o eixo jω ajudam a obter uma
atenuação mais rápida na banda e transição.
14
A seguir são apresentados alguns polinômios que podem ser empregados para o projeto de
filtros e algumas características de cada um destes polinômios.
Bessel – BS
•
Função monotônica na banda passante;
•
Quanto maior o grau do filtro mais linear a fase na banda de passagem;
•
Pior resposta em magnitude dentre os listados aqui;
•
Não preserva característica de fase quando se fazem desnormalizações em
frequência;
•
Ordem muito alta, característica de fase muita boa.
Gauss – GS
•
Monotônico na banda de passagem;
•
Melhor resposta temporal (overshoot e atraso ao degrau) dentre os filtros
polinomiais, para um dado grau e Amáx;
•
Semelhante ao filtro de Bessel;
•
Ordem muito alta característica de fase muito boa.
Multiplicidade “n”
•
Monotônico na banda de passagem;
•
Polos reais;
•
Ótimas características temporais (menor tempo de atraso e sem overshoot) e de fase;
•
Pobre característica de atenuação. Ordem muito alta característica de fase muito boa.
Butterworth – BT
•
Função monotônica mais planas possível;
•
Ordem alta, característica de fase boa.
Halpern – HA
•
Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante é o de
corte mais abrupto dado um dado grau e Amáx;
•
Ordem média característica de fase média.
Legendre – LG
15
•
Dentre os polinomiais com características monotônicas na banda passante apresenta a
maior inclinação na característica de magnitude em torno da frequência limite da
banda de passagem;
•
Ordem média característica de fase média.
Chebyshev (I) – CB
•
Equiripple na banda passante, função monotônica na atenuação;
•
Corte mais abrupto entre os polinomiais, para um dado grau e Amáx;
•
A fase, entretanto, vai piorando a medida que o grau aumenta;
•
Ordem baixa, característica de fase ruim.
Chebyshev (II) Inverso – CI
•
Monotônica na banda passante, portanto melhor característica de fase;
•
Equiripple na banda de rejeição;
•
Não polinomial, apresenta zeros sobre o eixo jω;
•
Ordem baixa, característica de fase boa.
Cauer ou Elíptico – CE
•
Equiripple na banda de passagem e de atenuação;
•
Menor ordem – zeros sobre o eixo jω ajudam;
•
Característica de fase pior que Chebyshev Inverso;
•
Ordem muito baixa.
Transicionais – FT
•
Melhor conjunto de características temporal, fase, e atenuação.
Pelo exposto acima, observa-se que, via de regra, melhores características de fase estão
associadas a melhores características temporais. Assim, os principais critérios (os mais comuns) de
escolha para estas aproximações são:
•
Ordem do filtro (Cauer, Chebyshev, Halpern, Legendre...);
•
Dificuldade de implementação – zeros em jω (mais difíceis Cauer e Chebyshev II);
•
Sensibilidade – desvio na magnitude e fase;
•
Regularidade na curva de resposta (Butterworth);
16
•
Resposta temporal (Gauss, Bessel);
•
Característica de fase – incluir o equalizador de fase (Bessel e Gauss para PB,
composição com equalizador, Multiplicidade n e Transicional...);
Uma síntese das principais características para os filtros mais comuns são listadas na tabela
abaixo.
Polinômios
Faixa de Passagem
Faixa de Rejeição
Fase
Grau do Filtro
Butterworth
Máxima planura
Monotônico
Boa
Médio+
Chebyshev I
Ondulado
Monotônico
Regular
Médio–
Chebyshev I
Monotônico
Ondulado
Regular
Médio–
Bessel
Plano
Monotônico
Ótima
Grande
Elíptico (Cauer)
Ondulado
Ondulado
Ruim
Pequeno
25.7 Etapas da Síntese
Uma vez colocada as principais etapas para o projeto dos filtros seletores de frequência é
possível descrever em detalhes o mecanismo para o projeto de um filtro deste tipo. São necessárias
pelo menos 9 etapas descritas na sequência:
(1) Examinar o problema físico e determinar os requisitos necessários;
(2) Estipular as atenuações máximas e mínimas, determinar as frequências características;
(3) Normalizar as frequências do filtro;
(4) Escolher aproximação;
(5) Determinar a T(S) ou H(S);
(6) Escolher a técnica de implementação;
(7) Desnormalizar as frequências do filtro;
(8) Analisar a rede com valores nominais;
17
(9) Testar o filtro.
25.7.1 Exemplo 1
Etapa 1: Minimizar o efeito de uma interferência de 60Hz e tensão eficaz de 1V sobre um
sinal com banda passante de 10Hz e amplitude de 0,1V. Admite-se 11% de atenuação máxima do
sinal na banda passante. Deseja-se uma relação sinal ruído de 100 vezes.
Etapa 2: Filtro passa baixas (a opção mais simples)
Ganho Mínimo na Banda Passante: 20 log (100% – 11%) = – 1dB
Diferença de amplitude entre Sinal e Ruído: 20 log (0,1 / 1) = – 20dB
Relação sinal ruído de 100 vezes: 20 log (100) = 40dB
Amáx = 1dB
Amin = 40dB + 20dB + 1dB = 61dB
Frequência de corte 10Hz, frequência da banda de atenuação 60Hz
Etapa 3: …
25.7.2 Exemplo 2
Projetar um filtro capaz de eliminar a frequência de 60Hz, mantendo o ganho
aproximadamente unitário para DC e 2kHz. Faça o projeto para uma banda de rejeição de ±10Hz.
Filtro rejeita faixa (notch) de segunda ordem.
T ( ̄s )=
1
(2⋅π⋅20)2
, desnormalizar com ̄s = 2
̄s +1
s +(2⋅π⋅60)2
Alternativamente escrevemos a função de segunda ordem com B e ω0 identificados
previamente.
18
T s=
s 2 20
=
2
s 2B⋅s 0
s 22⋅⋅602
s22⋅⋅20⋅s2⋅⋅602
25.7.3 Exemplo 3
Devemos excitar um circuito com sinais na faixa de 300Hz a 3,4kHz. Uma interferência de
60Hz está presente no sistema prejudicando o experimento. Deseja-se projetar um filtro passa faixa
tal que esta interferência seja atenuada em 15 vezes. Desenhe o gabarito do filtro desejado e do
passa baixas normalizado. Diga a aproximação que devemos escolher se desejarmos o filtro de
menor grau.
Amin
Atenuação
Atenuação
Amáx
ωp
ωs
ω3 ω1 ω2 ω4
ω1=300Hz, ω2=3,4kHz, ω3=60Hz, ω4= (ω1⋅ω2)/ω3 = 17kHz,
ωp=1rad/s, ωs= (ω4 – ω3)/(ω1 – ω2)=5,46rad/s.
Amáx = 3dB, Amín = 20⋅log(15) dB
O filtro com menor grau é um filtro do tipo Cauer.
25.8 Cálculo dos polinômios de aproximação
As
aproximações
apresentadas
anteriormente
configuram algumas
das
possíveis
aproximações empregadas para os filtros. Existe um número ilimitado de funções que satisfazem os
requisitos de um dado gabarito sendo que algumas são obtidas por métodos de otimização
puramente numéricos e outras por funções analíticas consagradas.
19
Antes de apresentar a solução para o cálculo de alguns filtros considere que a função de
atenuação H(ω) possa ser escrita como
2
2
∣H (ω)∣ =1+∣K (ω)∣
onde K( ω) é a função característica
A(ω)=10⋅log ( 1+∣K (ω)∣2 )
Definindo ε como a máxima distorção (variação de ganho ou atenuação) na banda de
passagem (em alguns casos ε é o ripple na banda de passagem) da função característica K(ω), temse
K (ω p)=ε
A(ω p )= Amáx=10⋅log ( 1+ε2 ) [dB]
[
Amáx
10
ε= 10
−1
1
2
] ,A
máx
em dB
25.8.1 Para aproximação de Butterworth
ω
K (ω)=ε ω
p
( )
[
n
∣H (ω)∣= 1+ε ⋅ ωωp
2
[
2⋅n
( )
]
1
2
ω
A(ω)=10⋅log 1+ε2⋅ ω
p
2⋅n
( )
] [dB]
A normalização de funções Butterworth pode ser feita para a frequência ωp e, diferente de
outras aproximações também para a atenuação ε com auxílio da equação
1
ω=ε n⋅ ω
ω
1
( )
p
ou seja ω=ε n⋅ ω
ω
( )
p
20
assim A(ω)=10⋅log [ 1+ω2⋅n ] [dB ] , solução normalizada para ω=1 e ε=1.
A determinação do grau do polinômio pode ser obtida
Amin ⩽ A(ω s)=10⋅log [ 1+ε2⋅ω s2⋅n ]
log
n⩾
[
(100,1⋅Amin −1 )
(100,1⋅Amáx −1 )
]
2⋅logω s
onde Amáx e Amin estão em dB; ω s é calculado de 4 formas diferentes dependendo do tipo de
filtro que se esteja calculando.
A determinação da função de Butterworth pode ser obtida
2
2
∣H (ω)∣ =1+∣K (ω)∣
H (S )⋅H (−S )=1+K (S )⋅K (−S )
2 n
S)
H ( S )⋅H (−S )=1+(−S ) , solução normalizada para ω=1 e ε=1 ( 
2
H ( S )=H 0+H 1⋅S +H 2⋅S +...+H n⋅S
cos
para construir o polinômio: H k =
[
( k−1 )⋅π
sen
para obter as raízes: S =e
k
(
j π⋅
2
2⋅k+ n−1
n
n
2⋅n
]
( )
k⋅π
2⋅n
) , k = 1, 2, ...
raízes sobre um circulo de raio unitário
1
Substituir S por εn S ' (desnormalização para Amáx)
S
Substituir S ' por ω (desnormalização em frequência)
p
21
25.8.2 Exemplo 1
Calcule o filtro Butterworth com ωp=10kHz, ωs=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB
[
Amáx
10
ε= 10
log
n⩾
[
−1
1
2
]
= 0,5088
(100,1⋅Amin −1 )
(100,1⋅Amáx −1 )
]
(
= 8,76 com ω s=
2⋅logω s
)
15000
. Usar n=9
10000
k=1, S k =−0.1736±0.9848i , S 2+0,3472⋅S+1
k=2, S k =−0.5000±0.8660i , S 2+S +1
k=3, S k =−0.7660±0.6428i , S 2+1,532⋅S +1
k=4, S k =−0.9397±0.3420i , S 2+1,8794⋅S+1
k=5, S k =−1 , S +1
( )
1
Substituir S por S⋅ ε n =S⋅1,4764⋅10−5 ou, utilizando as formas padrões
ωp
T ( S )=
onde
ω90
x
( S +ω0 )⋅( S 2+1,8794⋅ω0⋅S +ω20 )⋅( S 2+1,5321⋅ω0⋅S+ω20 )
1
2
2
(S +ω0⋅S+ω0 )⋅( S 2+0,3472⋅ω0⋅S +ω20 )
ω0 =
ωp
ε
1
n
= 6,773 ⋅ 104 rad/s
22
Diagrama de Bode
Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB)
0
Magnitude (dB)
-10
-20
-30
-40
-50
Fase (graus);
0
To: Y(1)
-200
-400
-600
104
105
Figura 5: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=butter(9,2*pi*10000,'low','s');
bode(b,a);
25.8.3 Exemplo 2
Projetar um filtro Butterworth passa altas, com ordem não menor do que três e que atenda as
seguintes especificações: ganho máximo da banda de passagem igual a 0dB; ganho mínimo na
banda de passagem igual a -3dB; ganho máximo na banda de atenuação igual a -20dB; frequência
de passagem de 10kHz; frequência de atenuação de 5kHz.
ωp=1rad/s, ωs= (10/5)rad/s.
Amáx = 3dB, Amín = 20dB
[
ε= 10
Amáx
10
−1
1
2
]
≅1
23
log
n⩾
S k =e
[
(100,1⋅Amin −1 )
(100,1⋅Amáx −1 )
]
≥ 3,31
2⋅logω s
(
j π⋅
2
2⋅k+ n−1
n
)
S1,2 = 0,3827 + j0,9239 ( s 2+0,7654⋅s+1 )
S3,4 = 0,9239 + j0,3827 ( s 2+1,8478⋅s+1 )
s2
s2
T s 2
⋅
, onde ω0=2π10000Hz.
s 0,7654⋅ 0⋅s 20 s21,8478⋅ 0⋅s 20
25.8.4 Aproximação de Chebyshev (I)
A aproximação de Chebyshev (que pode aparecer com diferentes grafias dependendo da
tradução feita) é equiripple na banda passante. Esta aproximação tem o corte mais abrupto dentre as
funções polinomiais para um dado grau e Amáx
−1
K (ω)=ε⋅C n (ω)=ε⋅cos [n⋅cos (ω)] , para ∣ω∣⩽1
K (ω)=ε⋅C n (ω)=ε⋅cosh [n⋅cosh−1 (ω)] , para ∣ω∣>1
A normalização de funções Chebyshev pode ser feita para a frequência ωp pela equação
ω= ωω
p
∣H (ω)∣2 =1+ε2⋅C 2n (ω) , onde Cn(1) = 1
A(ω)=10⋅log [ 1+ε2⋅C 2n ( ω) ]
Sabendo que Amáx = A( ω p )= A(1) e A(ω S )⩾Amin
Amin ⩽10⋅log [ 1+ε2⋅C 2n (ω S ) ]
24
Amin ⩽10⋅log [ 1+ε ⋅cosh [ n⋅cosh (ω) ] ]
2
−1
cosh
n⩾
[
2
−1
1
2
]
( 100,1⋅Amin−1 )
( 100,1⋅Amáx −1)
,
cosh−1 (ωs )
onde Amáx e Amin estão em dB; ω s é calculado de 4 formas diferentes.
A aproximação de Chebyshev pode ser obtida por
2
2
∣H (ω)∣ =1+∣K (ω)∣
H  S ⋅H −S =1 K  S ⋅K −S 
H ( S )⋅H (−S )=1+ε2⋅C 2n ( ω) onde
C n+1 (ω)=2⋅ω⋅C n ( ω)−C n−1 (ω) sendo C 0 (ω)=1 e C n (1)=1
C 2n (ω)=0,5⋅[ 1+C 2n (ω) ]
s k =σ k ± j ωk , k =1, 2, ...
]} { [( )
( )]
]} { [( )
( )]
{ [
(2⋅k −1)⋅π
1
1
⋅ senh
⋅senh−1 ε
2⋅n
n
{ [
(2⋅k −1)⋅π
1
1
⋅ cosh
⋅senh−1 ε
2⋅n
n
σ k = ±sen
ω k = ±cos
}
}
O ganho (G0) da função de transferência T(S) deve ser ajustado para que que T(0)=0dB
quando o grau do filtro for ímpar e T(0)=-Amáx quando o grau do filtro for par (em função do ripple
na banda de passagem).
G0 =a 0 , para grau ímpar.
− Amáx
20
G0 =a 0⋅10
, para grau par.
25
Ou, genericamente, G0 =
1
(para grau par ou impar).
⋅2 n−1
S
Para desnormalizar substituir S =ω
p
As raízes estão dispostas sobre uma elipse
25.8.5 Exemplo 3
Calcule o filtro Chebyshev com ωp=10kHz, ωs=15kHz, Amáx=1dB, Amin=25dB
[
Amáx
10
ε= 10
−1
cosh
n⩾
−1
[
1
2
]
= 0,5088
( 100,1⋅Amin−1 )
( 100,1⋅Amáx −1)
1
2
]
(
= 4,41 com ω s=
−1
cosh ωs
)
15000
. Usar n = 5
10000
k=1, Sk =−0,0895±0,9901 i , S20,1790⋅S 0,9883
k=2, Sk =−0,2342±0,6119 i , S20,4684⋅S 0,4293
k=3, Sk =−0,2895 , S 0,2895
fazendo
T ( S )=
a
desnormalização
diretamente
com
as
formas
padrões,
0,12283⋅ω 5p
( S̄+0,2895⋅ω p)⋅( S 2̄+0,4684⋅ω p⋅S ̄+0,4293⋅ω 2p )⋅( S 2̄+0,1790⋅ω p⋅S̄+0,9883⋅ω 2p)
onde  p=2⋅⋅104
26
Diagrama de Bode
Exemplo: w p=10kHz (Amáx=1dB), w s=15kHz (Amin=25dB)
Magnitude (dB)
0
-10
-20
-30
-40
-50
Fase (graus);
0
-200
-400
-600
104
105
Figura 6: Resposta do exemplo. No MATLAB: [b a]=cheby1(5,1,2*pi*10000,'low','s');
bode(b,a);
25.8.6 Exemplo 4
Projete um filtro que atenda as seguintes especificações: Tenha ganho de -3dB nas
frequências de 1000 e 5000Hz; Tenha ganho de aproximadamente 3dB na frequência de 2000Hz;
Atenue 20dB em 8kHz; Tenha ganho nulo em DC.
Encontrar o gabarito do filtro:
Amáx = 3dB, nas frequências centrais
Amin = 20dB, na frequência externa
Filtro passa faixas com f1= 1000Hz, f2= 5000Hz, f4= 8000Hz e f3=??. Este filtro é um passa
faixa onde ω3 não foi informado. Então podemos ajustá-lo de forma a deixar o filtro simétrico.
f0= (f1⋅f2)0,5 = 2236Hz
27
f3 = (f2⋅f1) / f4 = 625Hz.
K=3dB
Agora temos que resolver o problema do ganho. O ganho pode ser implementado no final
pois ele não influencia no formato da curva, porém, devemos ter atenção. Se o ganho deve ser de
+3dB na faixa de passagem e de -3dB em f1, há uma variação permitida de 6dB na faixa de
passagem! Então, podemos alterar o ganho para 0dB e a Amáx para 6dB. Após o projeto, inserimos
um ganho de 3dB para ajustar os valores do projeto.
K = 0dB
Amáx = 6dB
Determinar o passa baixas normalizado equivalente
Ωp = 1 rad/s
Ωs = (ω4 – ω3) / (ω2 – ω1) = 1,84 rad/s
Determinar a aproximação
Como não há especificações que impeçam o uso de qualquer aproximação, podemos
escolher aquela que produz o filtro com menor grau. Dentre os filtros Butterworth e Chebyshev o
último costuma apresentar menor grau. Há um problema que requer atenção especial, com esta
escolha do Chebyshev, teremos que testar o ganho em 2kHz após a implementação, para saber se o
filtro realmente tem ganho de aproximadamente 3dB nesta frequência.
Calcular o grau do filtro
ε=√ 100,1⋅Amáx −1 = 1,72
−1
cosh
n=

 100,1⋅Amin −1


= 2,00!
−1
cosh  s 
Encontrar a função de transferência do passa baixas normalizada
28
s k = k ± j⋅ k
{   } { 
{   } { 
 12k
⋅
2
n
 k = ±sen
 k = cos
 12k
2
n
⋅ senh
⋅ cosh
}
}
1
1
arcsenh
n

1
1
arcsenh
n

SK = -0,1979 ±j0,7343 = –a ± j⋅b
H(S) = S2 + 2⋅a⋅S + (a2 + b2) = S2 + 0,3958⋅S + 0,57836
T  S =
1
S 0,3958⋅S 0,57836
2
Aplicar a desnormalização adequada
na T(S), substituir S por (S2 + ω02)/(ω2 – ω1)⋅S = (S2 + 140492) / (2⋅π⋅4000⋅S)
T S =

K⋅1
2
2
2



S 14049
S 214049 2
0,3958⋅
0,57836
2⋅⋅4000⋅S
2⋅⋅4000⋅S
Este filtro tem ganho unitário na banda de passagem e atenua 6dB nas frequências de corte.
Par obter ganho de 3dB na banda de passagem e atenuação de 3dB nas frequências de corte basta
fazer o ganho K=1,41 (+3dB).
25.8.7 Exemplo 5
Um filtro deve atender, aproximadamente, as seguintes especificações: Atenuação de 35dB
na frequência de 1000Hz; Atenuação de 3dB na frequência de3500Hz; A oscilação máxima na
banda de passagem não deve ultrapassar 3dB; O filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na
banda de passagem. Escolher entre as aproximações de Butterworth e Chebyshev. Identifique o tipo
de filtro, desenhe o seu gabarito e identifique os pontos do gráfico.
29
Atenuação
35dB
3dB
Ripple 3dB
0dB
1000
f
3500
Amin = 35dB, fs = 3500Hz
Amáx = 3dB, fp = 1000Hz
É um filtro passa altas.
Se o ripple máximo é 3dB e a máxima atenuação na banda de passagem é 3dB então a menor
atenuação da banda de passagem é 0dB. Assim, o ganho na banda de passagem é 0dB.
Se o filtro deve alterar minimamente a fase do sinal na banda de passagem, e só podemos
escolher entre Butterworth e Chebyshev, devemos escolher Butterworth.
Projetar o filtro
= 100,1⋅Amáx−1=0,9976 (podemos adotar ε = 1, pois Amáx = 3dB).
log
n≥

10 0,1⋅Amin −1
2
 
fs
2⋅log
fp
sk =cos


≥3,21=4


 2kn−1
 2kn−1
⋅
± j⋅sen ⋅
2
n
2
n

S1,2= –0,382683±j0,0,923879=–a ± j⋅b.
30
Polinômio: S2+2⋅a⋅S+(a2+b2) = S2+0,7653⋅S+1
S3,4= –0,923879±0,382683 =–a ± j⋅b.
Polinômio: S2+2⋅a⋅S+(a2+b2) = S2+1,8477⋅S+1
T PBNormalizada  s=
1
1
⋅ 2
s 0,7653 s1 s 1,8477 s1
2
Desnormalizar
Primeiro: Como o filtro é Butterworth desnormalizar o ε. Para ε=1 não há desnormalização.
Segundo: Desnormalizar a frequência.
s2
s2
T PB S= 2
⋅
, onde
s 0,7653⋅ 0⋅s 20 s 21,8477⋅ 0⋅s 20
 0=2⋅⋅3500 rad/s
Se for acrescentado, após o projeto do filtro, um estágio de ganho x5. Quanto será a
atenuação na frequência de 3500Hz?
Ganho x5 corresponde a ganho de 13,97dB. Então o ganho em 3500Hz será
aproximadamente 13,97dB-3dB=10,97dB.
Outra forma de calcular é multiplicar o ganho em 3500Hz (0,707) por 5. O resultado é 3,53,
ou seja, 10,97dB.
Também poderíamos ter calculado substituindo K1⋅K2 por 5 e “s” por j(2⋅π⋅3500) na função
TPA(s). O resultado é 3,53 que corresponde a 10,97dB!
25.8.8 Soluções tabeladas
Apesar de existirem algoritmos para o cálculo dos filtros é muito comum encontrarmos
tabelas com os polinômios normalizados. A seguir são apresentados algumas tabelas com os
polinômios mais comuns. Nelas a função de transferência é separada em seções de primeira e
31
segunda ordem. Estão indicados os graus dos filtros (N), o valor de ω e Q de cada seção. Para os
filtros de grau impar, uma das seções é de primeira ordem e não apresenta Q.
Parâmetros para filtros de Butterworth (3dB de ganho na frequência de corte)
N
ω1
Q1
ω2
Q2
ω3
Q3
2
1,00000
0,707107
3
1,00000
1,00000
1,00000
-
4
1,00000
1,30656
1,00000
0,541196
5
1,00000
1,61803
1,00000
6
1,00000
1,93185
7
1,00000
8
1,00000
ω4
Q4
0,618034
1,00000
-
1,00000
0,707107
1,00000
0,517638
2,24698
1,00000
0,801938
1,00000
0,554958
1,00000
-
2,56291
1,00000
0,899977
1,00000
0,601345
1,00000
0,50599
*Ganho unitário
Parâmetros para filtros de Bessel (desvio de fase de N / 4 rad na frequência de corte)
N
ω1
Q1
ω2
Q2
ω3
Q3
2
1,00000
0,577350
3
1,07869
0,691047
0,985560
-
4
1,07890
0,805538
0,962319
0,5521935
5
1,08504
0,916478
0,962003
6
1,09270
1,02331
7
1,10034
8
1,10046
0,563536
0,928640
-
0,969010
0,611195
0,920141
0,510318
1,12626
0,978443
0,660821
0,921478
1,22567
0,982040
0,710853
0,921150
ω4
Q4
0,522356
0,904336
-
0,559609
0,894187
0,505991
32
Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 0,5 dB na faixa de passagem)
N
ω1
Q1
ω2
Q2
ω3
Q3
2
1,23134
0,863721
3
1,06885
1,70619
0,626456
-
4
1,03127
2,94055
0,5977002
0,70511
5
1,01774
4,54496
0,690483
6
1,01145
6,51283
7
1,00802
8
1,00595
ω4
Q4
1,17781
0,362320
-
0,768121
1,81038
0,396229
0,683639
8,84181
0,822729
2,57555
0,503863
1,09155
0,256170
-
11,5308
0,861007
3,46568
0,598874
1,61068
0,296736
0,676575
Parâmetros para filtros de Chebyshev (ripple de 2 dB na faixa de passagem)
N
ω1
Q1
ω2
Q2
ω3
Q3
2
0,977227
1,12865
3
0,941326
2,55164
0,368911
-
4
0,963678
4,59388
0,470711
0,929449
5
0,975790
7,23228
0,627071
6
0,982828
10,4616
7
0,987226
8
0,999141
ω4
Q4
1,77509
0,218308
-
0,730027
2,84426
0,316111
0,901595
14,2802
0,797114
4,11507
0,460853
1,64642
0,155340
-
18,6873
0,842486
5,58354
0,571925
2,532267
0,237699
0,892354
25.9 Síntese de filtros ativos
25.9.1 Realizações
Filtros passivos RLC (particularmente as redes ladder LC) com as seguintes características:
33
•
Baixa sensibilidade aos componentes;
•
Difícil de sintonizar e necessita de indutores;
•
Ainda utilizados em altas frequências – indutores menores;
•
Podem ser transformadas em filtros ativos
Filtros a capacitor chaveado (anos 70)
•
Compatibilidade com tecnologia CMOS – fácil de integrar (precisão de 0,1%)
Corrente chaveada (final dos anos 80)
•
Semelhante ao capacitor chaveado
Filtros MOSFET-C (anos 80)
•
Resistores ativos obtidos com transistores MOSFET
•
Resistências podem ser ajustadas por tensão – sintonia automática
•
Problemas com linearidades dos MOSFET
Filtros OTA-C
•
Permite atuar em altas frequências
•
Problemas com relação a linearidade dos OTAs
Filtros ativos RC
•
Filtros ativos RC em cascata (biquads – seções de primeira e segunda ordem);
•
Redes com 1 Amp. Op.;
•
Redes com vários Amp. Op.;
•
Redes multirealimentadas;
•
Redes Ladder RLC com simulação de indutores;
•
Redes Ladder RLC com escalamento de impedância para uso com FDNR;
•
Redes Ladder LC simuladas.
Comparado aos filtros passivos podemos listar as seguintes vantagens dos filtros ativos:
•
Usa R e C (capacitores práticos tem comportamento mais próximo ao teórico do que
indutores);
•
Não sofrem influência dos campos eletromagnéticos gerados pelas indutâncias
presentes nos filtros passivos;
34
•
São baratos;
•
Podem ter ganho e raramente tem perdas como nos filtros passivos;
•
São fáceis de sintonizar;
•
Filtros de baixa frequência podem ser obtidos com componentes de valores
modestos;
•
São leves e pequenos;
•
Tem baixa impedância de saída (isto permite que sejam ligados em série).
Comparando com filtros passivos podemos listar as seguintes desvantagens dos filtros
ativos:
•
Necessitam de alimentação;
•
São limitados pelas características reais dos Amp. Ops. (resposta em frequência,
saturação, limitação de fornecer corrente, slew-rate, ganho finito, impedância de
entrada finita, resistência de saída diferente de zero, );
•
São mais sensíveis a variações nos componentes, o que resulta em maiores variações
de ω e Q (esta é uma das razões pela qual se aumentam número de elementos ativos
nos filtros);
•
São mais ruidosos;
•
Não tem isolação galvânica;
•
Podem oscilar;
Nesta disciplina serão estudados alguns filtros ativos RC ligados em cascata. Nestes projetos
devemos preferencialmente:
•
Dividir o filtro em seções de primeira e segunda ordem;
•
Interligar as seções em cascata (esta característica que facilita o projeto também é
responsável pela maior sensibilidade destes filtros a variações nos componentes);
•
Evitar capacitores eletrolíticos, e dar preferência a capacitores de polipropileno, mica
e cerâmica);
•
Distribuir o ganho entre todas as seções;
•
Utilizar um possível passa baixas como primeiro estágio de filtragem para eliminar
as altas frequências e diminuir problemas com slew-rate;
•
Colocar uma eventual seção passa altas como estágio de saída para diminuir
problemas com off-set;
•
Manter a banda de passagem o mais plana possível, sempre;
•
Manter polos e zeros próximos.
35
25.10 Filtros de primeira ordem RC
25.10.1 Filtro passa baixas RC de primeira ordem
Um filtro passa baixas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência

T  S =K⋅ 0
S  0
onde σο é chamada de frequência de corte do filtro, pois corresponde ao ponto onde o ganho
na faixa de passagem diminui 3dB (0,707 vezes menor). Este ponto é conhecido como ponto de
meia potência e costuma ser utilizado genericamente como frequência de corte.
Os dois principais circuitos que implementam esta função estão apresentados na figura
abaixo. Um deles é o próprio integrador com perdas. O segundo, com a mesma função, pode ser
utilizada em altas frequências pois sofrem menos influência das características dinâmicas do AO.
36
Para o primeiro circuito
1
vO s 
Rf
Rf ⋅C
=− ⋅
vi  s 
Ri
1
s+
Rf ⋅C
e para o segundo circuito
1
vO s 
R⋅C
=
v i  s
1
s
R⋅C .
25.10.2 Filtros passa altas RC de primeira ordem
Filtros passa altas de primeira ordem pode ser obtido pela função de transferência
S
T  S =K⋅
S  0
onde σ0 é a frequência de corte do filtro.
Os dois principais circuitos que implementam a função de transferência do passa altas são
apresentados na próxima figura. O primeiro deles corresponde ao derivador modificado e o segundo
uma implementação passiva com um buffer na saída. Este último pode ser utilizado em frequências
mais elevadas com menos influência das limitações dinâmicas do AO.
37
Para o primeiro circuito
vO s 
Rf
=− ⋅
vi  s 
Ri
s
s+
1
Ri⋅C ,
e para o segundo
vO s 
=
v i  s
s
s
1
R⋅C
25.11 Filtros de segunda ordem RC
Nesta seção serão apresentadas algumas formas de se obter filtros de segunda ordem com
topologias de 1 ou mais amplificadores operacionais. As configurações de 1 amplificador
normalmente apresentam características de frequência de corte, ganho e fator de mérito mais
sensíveis as variações nos componentes porém são de implementação mais barata.
25.11.1 Filtros variáveis de estado
Os filtros variáveis de estado apesar de necessitarem de no mínimo três Aos apresentam
muitas vantagens que tornam atrativa a sua integração. Estes filtros podem ser utilizados em
funções de transferências com Q elevado (10<Q<500) e frequências de corte mais altas que aquelas
possíveis para as topologias de um só amplificador. Além do mais, uma mesma topologia de
circuito permite a implementação de filtros passa baixas, passa altas e passa faixa. O ajuste do Q e
de ωο são simples e relativamente independentes além de permitirem sintonia (ajuste da frequência
de corte) controlada por tensão.
38
Por todas estas razões é muito comum encontrarmos esta topologia integrada em circuitos
como o LTC1563 e o LTC1568 da Linear Technology e os MAX270 e MAX271, MAX274 e
MAX275 da Maxim (estes últimos implementam em um só integrado filtros de até oitava ordem).
O desenho básico do filtro de variáveis de estado esta representado no diagrama em blocos
abaixo. O mesmo circuito, pode ser um passa altas, um passa baixa, ou um passa faixa, dependendo
apenas de onde é retirado o sinal de saída do filtro.
Equacionamento da saída passa altas
v PA=v i −
A⋅0⋅v PA B⋅ 20⋅v PA
−
s
s2
v PA
s2
=
v i s 2 A⋅ 0 sB⋅20
Equacionamento da saída passa faixa
v i⋅0 A⋅ 0⋅v PF B⋅ 20⋅v PF
v PF =−
−
−
s
s
s2
v PF
s⋅ω 0
= 2
v i s +A⋅ω 0⋅s +B⋅ω 20
Equacionamento da saída passa baixas
2
2
2
v PB⋅s =v i⋅ 0−B⋅0⋅v PB −A⋅ 0⋅s⋅v PB
39
v PB
20
=
v i s 2 A⋅ 0⋅sB⋅ 20
Se A=
1
e B=1 as funções de transferência são idênticas as dos gabaritos apresentados
Q
anteriormente. O circuito que implementa o diagrama de blocos pode ser facilmente obtido com o
circuito abaixo.
As equações para os parâmetros são
ω0=
Q=

K3
R1⋅R2⋅C1⋅C2

1 K4 K3⋅R1⋅C1
⋅
1K3
R2⋅C2
K PB =
K4⋅ 1K3 
K3⋅ 1K4 
K PA=
K4⋅ 1K3 
1K4
K PF =−K4
Normalmente a escolha dos componentes é feita de forma que R1=R2, C1=C2, e K3=1.
Estes filtros permitem algumas modificações interessantes. Uma delas é o controle da
frequência de corte usando multiplicadores e controle por tensão.
40
KPa=KPb=
ω 0=
Q=
2⋅K4
1 +K4
Ec
10⋅R⋅C
1 +K4
2
Se as três saídas originais do filtro forem somadas de forma apropriada, para produzir uma
saída Vo, pode-se obter, neste ponto, qualquer função de transferência de segundo grau, incluindo
aquelas com zeros complexo conjugados.
41
α S 2 +βS+θ
G( s )= 2
AS +BS+C
(
VO
=
VI
[(
)
R F⋅K PA
2
⋅S +
RA
1+
)
RF
⋅ω0
R A // RB
]
⋅K PF ⋅S +
Q
ω
S 2+ 0⋅S+ω20
Q
R F⋅K PB 2
⋅ω0
RB
O numerador vale ⋅s2⋅s
De onde pode se calcular diretamente as parcelas.
=
2RF K 4
R A 1 +K 4 
2( 1+
β =
θ=
RF
)K
R A // R B 4
(1 +K 4 ) RC
2R F K 4
2
R B 1 +K4 R C
2
Para a síntese de filtros elípticos ou rejeita faixas temos:
⋅S 2 +θ
Gs = 2
,
AS +BS +C
β=0
2R K
R A= F 4
 1 +K 4 
RB=
2RF K 4
2
θ 1 +K 4 R C
2
42
25.11.2 Exemplo 1
A Burr Brown fabricava um integrado híbrido (UAF42), cujo diagrama em blocos está
desenhado abaixo. De posse deste integrado, de capacitores, AO e resistores, projetar um filtro de 3°
ordem de Chebyshev, passa alto, com máxima atenuação na banda de passagem de 1dB e frequência
de corte de 2kHz. O filtro deve ter módulo 2 na frequência de passagem. Desenhar o circuito
indicando os pinos do circuito integrado. Usar a menor quantidade de componentes.
Examinando o integrado nota-se que o é possível implementar com facilidade um filtro do
tipo variável de estado. Como o filtro é de 3°ordem o AO adicional pode ser utilizado para
implementar a seção de 1° ordem.
Da tabela dos polinômios de Chebyshev com atenuação máxima de 1dB e n=3. O filtro passa
baixas normalizado é:
T  S =
0,99420
0,49417
⋅
 S 0,49417⋅S 0,99420   S 0,49417 
2
Para desnormalizar o filtro
substituir S por
 0 2⋅⋅2000 12566
=
=
S
S
S
Finalmente, precisamos considerar que o módulo do ganho, nas frequências de passagem,
deve ser 2.
43
T  S =2⋅

0,99420
125662
12566
0,49417⋅
0, 99420
2
S
S
⋅

0,49417
12566
0,49417
S

0,99420⋅S 2
0,49417⋅S
T  S =2⋅
⋅
2
 0,99420⋅S 6210⋅S157904356   0,49417⋅S12566 
S2
S
T  S =2⋅ 2
⋅

S25428
 S 6246⋅S 158825544 
O filtro de variáveis de estado já vem praticamente montado no integrado. Faltam interligar
os integradores com resistores R1 (da saída passa altas para o integrador do passa faixa) e R 2 (da
saída passa faixa para o subtrator da entrada). A entrada do filtro corresponde ao pino IN3.
Os parâmetros do filtro são
 0=

K PA=

K3
1K 4 K 3⋅R1⋅C 1
, e Q=
⋅
R1⋅R2⋅C 1⋅C 2
1K 3
R2⋅C 2
K4⋅1K3 
.
1K4
onde
C1=C2=1000pF,
K4=K3=1,
 0= 158825544=12602 .
Como
0
=6210 ,
Q
Q=2 .
Podemos montar um sistema de 2 equações, 2 incógnitas (R1 e R2):
44
Q=2=

R1
R2
R1 =4⋅R2
 20=126022 =
1
4⋅R22⋅ 1000⋅10-12 2
R2 =39676 
R1 =158705
Falta projetar o filtro de 1° ordem, com ganho 2. Isto pode ser realizado com o AO que está
sobrando no integrado. A função de transferência
T  S =
2⋅S
S 25428
pode ser implementado com
T  S =−
Rf
S
⋅
Ri
1
S
C⋅Ri
onde
1
=25428 .
C⋅Ri
Se C=1000 pF , Ri =39326 
45
Como
Rf
=2
Ri
R f =78652 
25.11.3 Exemplo 2
Utilizando um filtro variáveis de estado, projete um equalizador de ganho que possua as
características da figura e tabela abaixo. Este equalizador deve ter sua curva de ganho ajustável por
tensão externa (vC). O desvio máximo dos parâmetros é de 5%. Use valores comerciais para os
componentes.
vC
∣T  S ∣
+4V
+12dB
+1V
0dB
+0,25
-12dB
0
S  20
Q
T  S =K 0⋅
0
S 2
S 20
Q
S 2K
Como o patamar é 0dB, o ganho K0=1.
Nos extremos: K1=4 (12dB), K2=0,25 (-12dB).
Projeto do filtro
Se fizermos K 3=K 4=1, R3= R4 , C=C 1=C 2, K PB=−K PF =K PA=1
então
1
1
 0= ⋅
C  R1⋅R 2
46
Q=

R1
=2
R2
R1
=4
R2
R1 =4⋅R2
R2 =0, 25⋅R1
Substituindo em ω0
 0=
1
1
⋅
C⋅R 1  0,25
C⋅R1 =3,1831⋅10−4
C=6,8 nF , R1 =47k  C⋅R1=3,196⋅10−4  .
Assim
R2 =
R1
=11 ,75 k 
4
Comercialmente R2 =12k 
Conferindo os desvios
f 0 =985,5 Hz −1,4 % , Q=1,979−1 % , K 0 =10 %
Para obter o filtro controlado por vC é preciso somar
T  S =v PAv C⋅v PF v PB
47
Assim vC=Ki, ou seja, vC=4V para K1=4, vC=1V para K0=1, vC=0,25 para K2=0,25.
25.11.4 Configurações de um único amplificador operacional
Filtros com um único AO normalmente não estão disponíveis em integrados mas podem ser
facilmente implementados de forma discreta. As duas configurações de filtros mais utilizadas são:
Ganho Infinito Realimentação Múltipla (GIRM ou MFB) e Fonte de Tensão Controlada por Tensão
(FTCT ou Salen-Key). A topologia dos dois filtros é mostrada na figura a abaixo.
Biquad - FTCT (Sallen Key)
Biquad – MFB
Note que no desenho das topologias MFB e Sallen-Key estão representadas as impedâncias
de cada configuração. A medida que as impedâncias são trocadas por resistências ou capacitores a
função do filtro muda.
Alterações no ganho das funções de transferência podem ser realizados com um divisor de
tensão na entrada do filtro (desde que mantenha a impedância de entrada inalterada) ou utilizando
um divisor de tensão na saída do operacional e usando este divisor para realimentar o filtro. No
primeiro caso se obtém uma redução do ganho, no segundo um aumento. Estas técnicas não alteram
os outros parâmetros da função de transferência.
48
Sallen Key
MFB
PB
PA
PF
PB
PA
PF
Z1
R
C
R
R
C
R
Z2
R
C
C
C
R
-
Z3
C
R
R
R
C
C
Z4
C
R
R
R
C
C
Z5
-
-
C
C
R
R
Parâmetros para os filtros Sallen Key
ωΟ2
Q
PB
1
R1⋅R2⋅C 3⋅C 4
  R1⋅R 2⋅C 3⋅C 4 
PA
1
C 1⋅C 2⋅R3⋅R 4
PF
R 1 R4
R1⋅R3⋅R4⋅C 2⋅C 5
K
m
1−m⋅R1⋅C 4 C 3⋅ R1 R2
 C 1⋅C 2⋅R 3⋅R4 
m
1−m⋅R3⋅C 2 R4⋅C 1C 2 
  R1R 4⋅R1⋅R3⋅R 4⋅C 2⋅C 5
[ R4R1⋅1−m]⋅R3⋅C 2 R1⋅R4⋅C 2C 5 
R ⋅1−m
m
 1
R ⋅C R
R4
1 1 5  1
R3⋅C 2 R3
Parâmetros para os filtros MFB
ωΟ2
Q
PB
1
R3⋅R4⋅C 2⋅C 5
 C 2 /C 5
PA
1
R2⋅R5⋅C 3⋅C 4
PF
1
R1⋅R5⋅C 3⋅C 4
K
 R 3⋅R4⋅[ 1/ R11/ R31/ R 4 ]
 R2⋅R5⋅C 3⋅C 4
R2⋅C 1 C 3C 4 
 R1⋅R5⋅C 3⋅C 4
R1⋅C 3C 4
−
−
R4
R1
−
C1
C4
R5
C3
⋅
R1 C 3 C 4
49
Os filtros passa baixas são bons para uso com Q<10. A escolha dos componentes fica muito
sensível e o projeto torna-se crítico para Q elevados. A configuração MFB apresenta resultados
melhores para este tipo de filtro já que os filtros Sallen-Key tem sérias restrições de sintonia e
frequência.
25.11.5 Passa baixas Sallen-Key
Circuito:
Função de transferência:
m
Vos 
R1⋅C4⋅C3⋅R2
=
Vi s  2
1
1
m−1
1
s +s⋅

−

R1⋅C4 R2⋅C4 R2⋅C3 R1⋅R2⋅C3⋅C4
[
]
Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem:
Vos 
=
Vi s 
K⋅ω 20
ω
s 2 +s⋅ 0 +ω20
Q
Comparando as duas equações podemos verificar como cada componente afeta os valores de
K, Q e T0. Uma solução para ajustar os componentes é:
50
C3 = C4 = C, e R1 = R2 = Rx
Rx=
1
ω 0⋅C
Q ≥ 0,5
m= 3−
1
Q
m=∣K∣
Uma das soluções de mínima sensibilidade para a maioria dos componentes é:
m=K=1
R1=R2=1
2Q
C4=
0
C3=
1
2 0 Q
Para esta solução, entretanto, a diferença entre os capacitores é proporcional a Q2:
Outra solução muito conhecida e com um bom comprometimento entre sensibilidade e
facilidade no ajuste dos componentes é a solução de Saraga:
C3=1
C4= 3Q
R2=
1
3  0
R1=
1
Q 0
51
4
m=K=
3
OBS.: Para qualquer uma das soluções podem ser realizados escalamentos de impedância.
Para isto basta multiplicar os resistores e dividir os capacitores simultaneamente por um fator “b”.
25.11.6 Passa baixas MFB
Circuito:
1
Vos 
R1⋅R3⋅C2⋅C5
=−
Vi s 
1
1
1
1
s2 +s⋅



R1⋅C2 R3⋅C2 R4⋅C2 R3⋅R4⋅C2⋅C5
[
]
Função de transferência geral do filtro passa baixas de segunda ordem:
Vos 
=
Vi s 
2
K⋅ω 0
ω
s 2 +s⋅ 0 +ω20
Q
Fazer
52
C2 = C
C5 = X @C2
R4=
[ 
1
4⋅Q2⋅∣K∣1 
⋅ 1± 1−
X
2⋅Q⋅ 0⋅C
]
R
R1 = 4
∣K∣
R3=
1
ω 20⋅R4⋅C2⋅C5
Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB
25.11.7 Passa altas Sallen-Key
Circuito:
Vos 
=
Vi s 
s 2⋅m
1
1
m−1
1
s 2 +s⋅

−

R3⋅C2 R3⋅C1 R4⋅C1 R4⋅R3⋅C1⋅C2
[
]
53
Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem:
Vos 
=
Vi s 
K⋅s 2
ω
s 2 +s⋅ 0 +ω20
Q
Fazer C1 = C2 = C, e R3 = R4 = Rx
Rx=
1
ω 0⋅C
m= 3−
1
Q , para Q ≥ 0,5
m=∣K∣
As soluções alternativas, propostas para o filtro passa baixas Sallen-Key, podem ser
utilizadas e o filtro pode ser desnormalizado diretamente nos componentes.
Substituir Resistores por Capacitores de valor 1/R  0
Substituir Capacitores por Resistores de valor 1/C 0
25.11.8 Passa altas MFB
Circuito:
54
C1
s 2⋅
Vos 
C4
=−
Vi s 
C1
1
1
1
2
s +s⋅



C4⋅R5 C3⋅R5 C3⋅C4⋅R5 C3⋅C4⋅R2⋅R5
[
]
Função de transferência geral do filtro passa altas de segunda ordem:
Vos 
=
Vi s 
K⋅s 2
ω
s 2 +s⋅ 0 +ω20
Q
Fazer C1 = C3 = C
C
C 4= 1
∣K∣
R 5=
Q
⋅2⋅∣K∣1
ω 0⋅C
R 2=
1
 0⋅Q⋅C⋅2⋅∣K∣1 
55
Bom para KQ>100 e ganho de malha aberta dos amp. op. > 80dB
25.11.9 Passa Faixa Sallen-Key
Circuito:
m
s⋅
Vos 
R1⋅C5
=
Vi s  2
1
1
1
m−1
R1+R4
s +s⋅


−

R1⋅C5 R3⋅C2 R3⋅C5 R4⋅C5 R1⋅R3⋅R4⋅C2⋅C5
[
]
Função de transferência geral do filtro passa faixa de segunda ordem:
ω
K⋅s⋅ 0
Vos 
Q
=
Vi s  2 ω 0
s +s⋅ +ω20
Q
Fazer C2 = C5 = C
56
R1 = R3 = R4 = Rx
Rx=
2
ω 0⋅C
m= 4−
Q≥
K=
2
Q
2
3

m
1
= 0⋅ 2⋅2−
R1⋅C5
Q

25.11.10 Passa faixas MFB
Circuito:
1
s⋅
Vos 
R1⋅C4
=−
Vi s 
1
1
1
s2 +s⋅


C4⋅R5 C3⋅R5 C3⋅C4⋅R1⋅R5
[
]
Função de transferência geral do filtro passa faixa de segunda ordem:
57
ω
K⋅s⋅ 0
Vos 
Q
=
Vi s  2 ω 0
s +s⋅ +ω20
Q
Fazer C3 = C4 = C
R1=
Q
∣K∣⋅ 0⋅C
R5=
2⋅Q
ω 0⋅C
K=−2⋅Q⋅ 0
25.11.11 Rejeita faixa (ou Notch)
O filtro rejeita faixa também é chamado de “notch” pois muitas vezes é utilizado para
eliminar uma determinada frequência ou uma faixa de frequências muito estreita. Isto é muito
utilizado para reduzir a interferência de sinais de 60 Hz em instrumentos de precisão.
25.11.12 Rejeita faixa Sallen-Key (modificado – com rede duplo T)
Circuito:
58
A escolha dos componentes pode ser feita da seguinte maneira:
C1=C2=C, R1=R2=R
C4=2C, R5=R/2
 0=
Q=
1
R⋅C
1
, Q>=0,25
4−2⋅m
K=m , m<2
25.11.13 Rejeita faixa MFB (modificado)
Circuito:
59
Observe que o circuito rejeita faixa MFB funciona como se fosse “1 - PF” MFB. O projeto
pode ser feito com as seguintes relações:
˙
C3=C4 , Rb=R5 , Ra=2 R1
K=
R5
R52⋅R1
 0=
Q=
1
C⋅ R1⋅R5

1 R5
2 R1
25.11.14 Exemplo 1
Projetar um filtro PA do tipo MFB com as seguintes características: fo=1,5kHz, Q=0,7,
K=20dB. As características do filtro não podem sofrer desvio maior que 5%. Usar valores
comerciais para os componentes. Garantir que o filtro funcione até uma frequência de 100kHz.
Calcular o produto ganho-faixa do AO necessário para que esta especificação seja atendida.
Justificar o procedimento de cálculo.
Solução:
Escolhendo C 3=C 4=C ,C 1= A⋅C , R5 =R , R2 =B⋅R
60
K =−A=−10
Q=
B
2A
B
Q=0,7=
2 A
B=70,56
com valores de resistores com precisão de 10% uma boa escolha para os resistores é
R=R 2=4,7 k  , R5=330k  .
A frequência de corte é
 0=
C=
1
=2⋅⋅ f 0
R⋅C⋅ B
1
=2,694 nF
2⋅⋅ f 0⋅R⋅ B
Comercialmente C=2,7 nF ,C 3=C 4=2,7 nF ,C 1=27nF
Variação nos parâmetros do filtro:
f 0 =1, 497 kHz ,  f 0=−2,2 %
61
Q=0,6983 ,  Q=−2,5 %
K 0 =−10,  K =0 %
A determinação do produto ganho faixa pode ser realizada se for encontrado o ganho da
malha de realimentação. O limite de funcionamento deste filtro ocorre quando o ganho diferencial
do AO se torna igual ao ganho de rede de realimentação
O ganho da rede é
∣ ∣
v 0 S 
=∣A S ∣
v – S 
onde
A S =
Ad⋅p Ad⋅p
≈
S p
S
GBW =A S ⋅S≈ Ad⋅p
Para o PA MFB a rede de realimentação é
2
v0  S 
v – S 
 
= 1
C1
C4
⋅
S 
[
[
]
C 1C 4 C 3  C 3
1
1
⋅

⋅S
C 3⋅C 1 C 4 
R5
R2
C 3⋅C 1 C 4 ⋅R5⋅R 2
S 2
]
C1
1
1
1
1
 
⋅S 
R 5 C 2⋅C 4 C 3 C 4
C 4⋅C 3 R5 R2
62
para frequências muito maiores que f0
 
v0  S 
C1
≈ 1
v – S 
C4
Este resultado também poderia ser obtido considerando que em altas frequências apenas os
capacitores são importantes. Nesta situação os resistores poderiam ser retirados do circuito e o
ganho do filtro seria
1
1

v 0 C 1⋅S C 4⋅S
C
≈
=1 1
v–
1
C4
C 1⋅S
assim
 
1
C1
2⋅⋅GBW
=
C4
2⋅⋅ f 0
 
GBW= f 0⋅ 1
C1
C4
=1,1 MHz
63
25.11.15 Exemplo 2
Para o circuito da figura abaixo mostre como: 1) Reduzir a metade o ganho da configuração;
2) Dobrar o ganho da configuração. Utilize apenas componentes passivos. Não altere os parâmetros
ω0 e Q. Mostre as equações que você utilizaria para estas alterações.
Para diminuir o ganho da configuração é possivel substituir o capacitor C1 por um divisor de
tensão (um C1' na mesma posição que C1 e um C1'' em paralelo com R2). A capacitância
equivalente deve ser igual a C1.
Para aumentar o ganho é possível ligar a saída do amplificador operacional em um divisor
resistivo. Do centro deste divisor resistivo faz-se a conexão para C4 e R5. A saída do operacional
torna-se a saída do filtro. Se os resistores dividem a tensão por dois, então a tensão na saída do
operacional será duas vezes maior para manter a realimentação no mesmo nível.
25.11.16 Exemplo 3
Com
T  s=
o
circuito
passa
baixas
abaixo,
implemente
a
função
de
transferência
7439,494
s 25693,96 s7439,492  s 213745,95 s7439,49 2
Use componentes com valores práticos (não precisam apresentar valores comerciais)
64
C3=1,
C4= 3⋅Q ,
1
R2=
,
 3 0
1
R1=
,
Q 0
4
m=K=
3
,
A forma geral da função de transferência de um passa baixas de segunda ordem é:
20
T  s=

s 2 0 s 20
Q
Então a função de transferência pode ser decomposta em:
T  s=
7439,49 2
7439,492
⋅
2
2
2
2
s 5693,96 s7439,49 s 13745,95 s7439,49
Podemos implementar este filtro com dois circuitos passa baixas de segunda ordem ligados
em cascata.
Na primeira seção
K=1, ω0=7439,49 e Q=1,3065
Então, aplicando as fórmulas para os cálculos dos componentes temos
C3=1, C4=2,263, R2=7,76⋅10-5, R1=1,0288⋅10-4, m=K=1,3333
Para obter componentes com valores práticos podemos desnormalizar este Sallen Key
dividindo todos os capacitores por um fator α e multiplicando todos os resistores pelo mesmo fator.
65
Os resistores da realimentação (“R” e “R(m-1)”) não precisam ser escalonados pois não influenciam
em ω0 nem em Q. Devemos respeitar, apenas, a relação entre eles, que determina o ganho da
configuração.
Fazendo α=108
C3=10nF, C4=22nF, R2=7,7kΩ, R1=10,2kΩ, K=1,33333, R=10kΩ, R(m-1)=3,3kΩ
Para obter um ganho unitário podemos usar um divisor resistivo no lugar de R1.
R11//R12 = R1
R12/(R11+R12) = m-1
Então
R11= m⋅R1 = 13,6kΩ
R12=(R1⋅R11) / (R11-R1)=40,8kΩ
Na segunda parcela temos
K=1, ω0=7439,49 e Q=0,541
Então, aplicando as fórmulas para os cálculos dos componentes temos
C3=1, C4=0,937, R2=7,76⋅10-5, R1=2,4846⋅10-4, m=K=1,333333
Fazendo α=108
66
C3=10nF, C4=9nF, R2=7,7kΩ, R1=24kΩ, R=10kΩ, R(m-1)=3,3kΩ
Para obter ganho unitário, podemos usar um novo divisor resistivo.
Então, R11= m@R1 = 32kΩ
R12=(R1⋅R11) / (R11-R1)=96kΩ
25.11.17 Exemplo 4
Projetar um filtro rejeita faixa de 2° ordem com Q=5 e f0=120Hz. É aceitável um erro
máximo de 10%. Utilizar apenas um filtro PF ativo e algum outro circuito ativo que não seja filtro
mas que empregue apenas 1 AO.
Um filtro RF subtrai do sinal de entrada, uma determinada faixa de frequências. Assim,
podemos implementá-lo subtraindo o resultado de um PF, do sinal de entrada.
T  S = K 1 −K 2⋅
S
=K 1⋅
2
S a⋅S b
 
S 2  1−
K2
a⋅Sb
K1
S 2 a⋅Sb
Se fizermos K2=K1
S 2b
T  S = K 1⋅ 2
S a⋅S b
que é a função de transferência de um RF.
Com filtro Sallen-Key, cujo ganho é positivo, o sinal original deve ser subtraído do sinal na
saída do filtro. Com filtro MFB, cujo ganho é negativo, o sinal original deve ser somado ao sinal na
saída do filtro.
25.12 Exercícios
1) Projetar um filtro Butterworth de acordo com as especificações abaixo. Como você
implementaria este filtro na prática?
67
Atenuação
15dB
3dB
1
2
3
ω(x10 )
2) No circuito abaixo, calcule v 0 = f  v i  e esboce a forma de onda de v i e v 0 no tempo,
uma sobre da outra, indicando valores típicos. Supor v i =2⋅sen 2⋅10 3⋅t
3) Projete um filtro variáveis de estado tipo PA cujo parâmetro ωο/Q seja controlado por
tensão (o parâmetro ωο/Q deve ser diretamente proporcional a uma tensão de controle vc. Usar um
conversor tipo  x⋅y /Z⋅10 para obter o controle desejado. Utilizar valores comerciais para os
componentes e garantir que o desvio máximo de qualquer parâmetro do filtro seja de ± 10% da
especificação abaixo:
K0=0dB, f0=1kHz
ωο/Q
100Hz
1KHz
vc
+1V
+10V
Utilizar apenas três AOs. Considerar R1=R2=R.
25.13 Filtros a capacitor chaveado
Uma outra abordagem, bastante comum para a integração de filtros é a utilização da técnica
de capacitor chaveado. Diversos fabricantes produzem integrados com filtros a capacitor chaveado
68
como os MF100 da National, o MAX7491 da Maxim e o LTC1062 da Linear Technology além de
blocos de capacitor chaveado para uso genérico como o LTC1043 da Linear Technology.
Os filtros variáveis de estado podem ser facilmente modificados para incorporar a tecnologia
de capacitor chaveado. Um bom texto sobre este assunto pode ser encontrado em Take the Mystery
Out of the Switched Capacitor Filter da Linear Technology. A Cypress apresenta um texto sobre
filtros de segunda ordem a capacitor chaveado em PSoC1. Algumas páginas dizem respeito
exclusivamente ao PSoC mas há muita informação sobre estes filtros em Understanding Switched
Capacitor Filters.
Neste abordagem um capacitor é chaveado com altas frequências de forma que a corrente
média que circula no capacitor pode ser modelada como a corrente de um resistor. A figura abaixo
mostra como o resistor de um integrador é substituído por um capacitor chaveado.
As chaves W1 e W2 são acionadas em instantes de tempo diferentes de forma que o
integrador pode ser analisado em dois momentos distintos. O primeiro quando W1 está fechada e
W2 está aberta. Nesta situação o capacitor recebe cargas da fonte vi, e a tensão acumulada no
capacitor C2 corresponde a tensão de saída do operacional conforme indicado na figura abaixo.
Em um segundo instante a chave W1 está aberta e a chave W2 está fechada. Nesta condição
o capacitor C se conecta ao circuito com o AO fazendo circular corrente entre ele e o capacitor C2.
69
Se a frequência de chaveamento for muito elevada a corrente média que circula pelo
capacitor C pode ser modelada como
iC =
C⋅v i
TC
por associação
i=
vi
Req
então
Req=
iC =
TC
e
C
vi
.
Req
Esta relação é válida inclusive para o cálculo de constantes de tempo que, tanto no
integrador original quanto no integrador com capacitor chaveado é
=Req⋅C2 .
Esta relação é muito interessante para a integração pois a constante de tempo torna-se
independente do valor dos capacitores do circuito. Na verdade a constante de tempo depende apenas
das relações entre os valores de capacitância o que pode ser bem controlado em processos de
integração.
70
C
=T C⋅ 2
C
Uma estrutura mais complexa de chaveamento, conforme indicado na figura abaixo, permite
que o integrador seja implementado em uma configuração inversora ou não inversora.
Se as chaves W1 e W4 estão acionadas enquanto as chaves W2 e W3 não estão, e vice-versa,
o integrador apresenta característica não inversora. Se as chaves W1 e W2 estão acionadas enquanto
as chaves W3 e W4 não estão e vice-versa, o integrador apresenta característica inversora.
25.14 Efeitos dos componentes reais
Os AOs reais apresentam polos de alta frequência de forma que a função de transferência de
um AO pode ser modelada por
A d  s =
Ad
S /  p1
ou
Ad s =
Ad  S / z 1 
.
 S /  p11 S /  p21 
O AO real introduz mais polos na função de transferência global e, por causa da
realimentação negativa, todos os polos se deslocam de suas posições originais. De um modo geral
os polos do filtro deslocam-se para a direita e para cima. Como resultado a frequência de corte do
filtro é menor do que a frequência calculada, e o fator de mérito real é maior que o desejado. Para
baixas frequências de operação, a resposta do filtro é menos influenciada pelas singularidades do
AO, porém, próximo do produto ganho faixa os erros aumentam consideravelmente. Nas
71
frequências intermediarias o erro na frequência ωο pode chegar a 1% e o ganho da faixa de
passagem pode ser 1dB menor do que o planejado.
Além da influência dos polos, a impedância de saída do AO pode acrescentar um zero de
alta frequência alterando o comportamento da função de transferência original. Já a impedância de
entrada, costuma não ter importância significativa, ainda mais se o AO possuir entrada FET.
Por estas razões alguns projetistas preferem utilizar estruturas passivas para filtros passa
baixas e passa altas de primeira ordem e utilizar buffers para isolação do circuito. Mesmo assim, a
escolha dos capacitores também é importante no desempenho dos filtros. Normalmente são
recomendados capacitores de poliester do tipo SCHIKO para frequências até algumas centenas de
kHz, capacitores cerâmicos PLATE, mica e polipropileno para frequências de alguns MHz.
Capacitores eletrolíticos não são recomendados para uso em frequências médias e elevadas por
apresentarem muitas não linearidades, alta tolerância de valores, elevada corrente de fuga,
comportamento indutivo além de serem polarizados.
Para o projeto e determinação dos valores dos componentes escolhe-se a maior quantidade
possível de capacitores com valores comerciais e o uso de resistores de precisão (com 1% de
tolerância).
25.15 Sensibilidade
Funções de transferência implementadas com filtros ativos apresentam, normalmente, um
número de componentes maior que o número de parâmetros da equação, tornando a escolha do
componentes bastante difícil para o projetista. Ao invés de arbitrar aleatoriamente valor para alguns
componentes e depois calcular os restantes, que nem sempre podem ser obtidos com valores
comerciais, é possível obter outras equações para ajudar na determinação dos componentes. A
forma usual de se obter estas equações consiste na análise das sensibilidades de ω e Q com relação
aos componentes do circuito. Com este enfoque, o objetivo do projetista também passa a ser a
minimização da sensibilidade.
De uma forma geral, a sensibilidade indica o grau de variação de um parâmetro em torno do
seu valor nominal, com relação a variações dos elementos que formam o circuito, com relação ao
72
valor nominal de cada elemento. Matematicamente a variação de um parâmetro V com relação a um
elemento R é obtido como
S VP =lim ΔP  0

ΔV
V
P ∂V
= ⋅
ΔP
V ∂P
P
como
∂Y
=∂ln Y 
Y
a sensibilidade pode ser reescrita como
S VP =
∂ ln V 
.
∂ln P 
Para simplificar os cálculos valem algumas observações:
1) se V é independente de P então S VP =0
k⋅P
2) se V = k·P (k é uma constante) então S P =
∂ln k⋅P  ∂ln k  ∂ln P
=

=01=1
∂ln P  ∂ln P  ∂ln P
3) pelas relações de logaritmo S VP =−S 1/P V e S VP =−S V1/ P
4) outras relações úteis são
V2
V1 /V2
V2
S V1⋅V2
=S V1
=S V1
P
P S P , S P
P −S P
1
S VP = ⋅S VP , S VP =n⋅S VP
n
n
n
S
V1V2
P
V2
V1⋅S V1
P V2⋅S P
=
V1V2
25.15.1 Exemplos
1) Calcular a sensibilidade para K, ωp e Qp para a função de transferência
73
1
T ( S )= ⋅
R
S
2
S +
S
1
+
R⋅C L⋅C
Identificando os elementos: Filtro passa faixa com
K=
1
1
C
,  p=
, Qp=R⋅
C
L
 L⋅C

K
1/ C
C
S C =S C =−S C =−1
S L =S 1L/ L⋅C =−S 
p
p
S C =−S CC / L=−
L⋅C L
1 L⋅C
1
=− ⋅S L =−
2
2
1
2
C/L
S R =S R⋅
=1
R
Qp
1 R ⋅C / L 1
S Qp
=
C = ⋅S C
2
2
2
1 R ⋅C / L
1 L / R ⋅C
1
Qp
S L = ⋅S L
=− ⋅S L
=−
2
2
2
2
2
As demais sensibilidades são nulas.
2) Calcular a sensibilidade para o filtro variável de estado cujos parâmetros são
ω 0=
√
R '3 / R 3
1 R' 4 / R4
e Q=
R1⋅C 1⋅R2⋅C 2
1R '3 / R3

R'3 / R3
R1⋅C 1⋅R2⋅C 2
onde R '3=K 3⋅R3 e R '4=K 4⋅R4
Como os parâmetros já estão especificados as sensibilidades podem ser calculadas

S R0' =
3
R '3 ∂ 0
⋅
=
 0 ∂ R '3
R '3

R'3 / R3
R1⋅C 1⋅R2⋅C 2

⋅
1/ R3
1 1
1
⋅ ⋅
=
R1⋅C 1⋅R2⋅C 2 2  R'3 2
74





1
S R0 =− =S R 01 =S R 02 =S C 01 =S C 02
3
2
S QR ' =
4
1
=−S QR
4
1R4 / R '4
1
Q
SR = −
4
2
K3
R1⋅C 1
0
⋅ 1K 4 
Q
Q
=−S R '
3
75
APÊNDICE
Redes Multirealimentadas
Utilizam como base as redes Ladder passivas.
Substituem os componentes da rede original por circuitos ativos.
Aproveitam as características de baixa sensibilidade das redes Ladder.
Rede com simulação de indutores – uso de gyrator (“girador” de fase)
Conversor generalizado de impedância, GIC, ou gyrator
Um capacitor, conectado ao gyrator produz uma impedância similar à de um indutor.
Zins=
C4⋅R1⋅R3⋅R5
⋅s
R2
Para um projeto otimizado, com relação ao Q do indutor,
Usar R2=R3 e  c⋅R5⋅C4=1
76
O gyrator apresentam a impedância de um indutor com um dos terminais ligados ao terra.
Para simular um indutor sem terminais ligados ao terra (“flutuante”) é necessário espelhar o circuito
acima.
Esta característica faz com que este “componente” seja utilizado na substituição de indutores
de redes ladder LC passa altas, o que não impede seu uso em qualquer outra topologia.
Existem outros circuitos com um e dois Amp. Ops. e alguns outros com transistores.
Normalmente o desempenho destes circuitos é pior. Uma destas alternativas é o gyrator de Riordan,
apresentado na figura abaixo.
Zins=
C1⋅R1⋅R2⋅R4
⋅s
R3
FDNR – Frequency Dependent Negative Resistance
O mesmo circuito do gyrator de Antoniou pode ser utilizado para produzir uma resistência
negativa, chamada de FDNR. Este método é chamado de transformação de Bruton.
77
Zin=
R3
1
1
⋅ 2=
C1⋅C5⋅R2⋅R4 s D⋅s 2
*Se s= j então s2=− 2 , o que confere ao circuito o comportamento de uma resistência
negativa.
Para um projeto otimizado, com relação ao Q do FNDR,
Usar R2=R3 e  c⋅R4⋅C5=1
Para o uso deste componente em redes Ladder basta fazer um escalonamento de impedância
de 1/s
Indutores sL L
Resistores RR/s
Capacitores 1/sC1 /s 2 D
Este escalonamento transforma os indutores em resistores, os resistores em capacitores e os
capacitores em FNDR.
Está transformação é particularmente interessante para transformar redes Ladder passa
baixas.
78
A transformação de R1 (da rede Ladder) pode levar a um capacitor em série com a rede. Na
teoria o zero na origem, criado por este capacitor, seria cancelado pelo restante do circuito. Como os
componentes não são ideais, pode haver um erro em frequências muito baixas.
Redes Ladder LC simuladas (redes Ladder Ativas)
Utiliza-se uma técnica chamada leap-frog
Fundamentalmente utiliza-se integradores, somadores e circuitos de segunda ordem
Escrever equações de malhas e nós utilizando sempre variáveis de estado
Vc=
Il=
1
C⋅S
1
L⋅S
Exemplo:
V1=
[
1
R
⋅ ⋅Vin – V1– R⋅I L1
S⋅R⋅C1 R1
]
repare que as correntes estão multiplicadas por R e toda a expressão está dividida por R.
R⋅I L1=V2 '=
Vo=
R
⋅V1 – Vo
S⋅L
[
1
R
⋅ R⋅I L1 – ⋅Vo
S⋅R⋅C2
R2
]
79
V1=
V1=
Vin
V2
V1
–
–
S⋅Rin⋅C1 S⋅R2⋅C1 S⋅R1⋅C1
[
]
1
R
Vin
V2'
V1
⋅ ⋅Vin – V1– R⋅I L1 =
–
−
S⋅R⋅C1 R1
S⋅R1⋅C1 S⋅R⋅C1 S⋅R1⋅C1
80

Filtros

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