Filtros Analógicos - Departamento de Física da UBI

Transcrição

Processamento de Sinal e Imagem
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
António M. Gonçalves Pinheiro
Departamento de Fı́sica
Universidade da Beira Interior
Covilhã - Portugal
[email protected]
Engenharia Electrotécnica e de Computadores
Sumário
1. Filtro Passa-Baixo Ideal
2. Filtros Passa-Baixo Reais
3. Filtros Analógico de Butterworth
4. Filtros Analógico de Chebyshev e Elı́pticos
Filtros
Filtro - sistema que selecciona, enriquece, ou remove componentes do sinal.
Exemplos de Filtros:
• Filtros que seleccionam bandas de Frequências
(passa-baixo, passa-banda, passa-alto e rejeita-banda).
G
G
ωp ω
passa-baixo
B
passa-banda
G
B
ω
G
ωp ω
passa-alto
B
rejeita-banda
B
• Filtros equalizadores (Ex.: de fase).
• Filtros para remoção de ruı́do.
ω
Filtro Passa Baixo Ideal
• Amplitude:
H
1
|H(jω)| =
1 |ω| < ωc
0 |ω| > ωc
• Fase:
φH
φH(jω) =
ωc ω
0
−ωt0 |ω| < ωc
0
|ω| > ωc
ωc
0
ω
Filtros Passa Baixo Ideal
H(jω) =
−jωt0
e
0
|ω| < ωc
|ω| > ωc
sen(ωc(t − t0))
π(t − t0)
ω
ωc
c
h(t) = sinc
(t − t0)
π
π
h(t) =
T F −1
−→
Em que
sinc(ωt) = sen(ωt)/(πωt)
to
Filtros Reais
Factores de Projecto:
• Banda de passagem [0, ωp]
• Ripple na banda de passagem γ
• Banda de transição [ωp, ωs]
H
1
1-γ
• Ripple na banda de paragem δ
δ
Filtros mais usuais:
• Filtros de Butterworth
• Filtros de Chebyshev
• Filtros Elı́pticos
ωp ωs
banda de banda de banda de
passagem transição paragem
ω
Filtros Reais - Filtros de Butterworth
Função de Butterworth de ordem K:
|H(jω)| =
Im
1
2
Im
1 + (ω/ωc)2K
Para o Filtro de Butterworth são escolhidos os
polos da função de Butterworth que têm parte
real negativa, de forma a obtermos um sistema
estável.
Re
K=2
Exemplos (ωc = 1):
√
√
• K = 2 ⇒ s = − 2/2 ± j 2/2
√
• K = 3 ⇒ s = −1 e s = −1/2 ± j 3/2
• K ⇒ s = ejπ(2n+1)/(2k),
com n = 0, 1, ..., 2k − 1
Re
K=3
Filtros Reais - Filtros de de Chebyshev e Elı́pticos
• Polos dos Filtros de Chebyshev são retirados de elipses
em vez do cı́rculo unitário.
• Os Filtros de Chebyshev apresentam Ripple na banda
de passagem.
• Normalmente os polos são retirados de tabelas apresentadas em função da ordem do filtro e do Ripple na
banda de passagem.
Exemplo de Filtro de Chebyshev
• O aumento do Ripple seleccionado vai permitir diminuir a largura da banda de transição.
• Filtros Elı́pticos resultam da composição de filtros de
Chebyshev e filtros de Chebyshev Invertidos (apresentam riple na banda de paragem).
Exemplo de Filtro Elı́ptico
Filtros Reais
Filtros estudados são filtros normalizados (passa-baixos com ωc=1)
Passagem para filtros não normalizados:
H
1. Passa-Baixo:
s→
s
ωc
H
1
1
0
1
ω
0
H
2. Passa-Alto:
s→
ωc
s
1
ω
−ωc
0
H
ω
ω0
ω
H
1
0
ωc
1
0
3. Passa-Banda:
ω
H
1
s2 + ωo2
s→
Bs
ωc
1
1
ω
- ω0
B
ωo - frequência central; B - largura de banda.
0
B
Filtros Reais
Bode Diagram
0
−20
Magnitude (dB)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
−40
−60
−80
−100
0.5
−120
0
0.3
−90
Phase (deg)
0.4
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−180
−270
−360
−450
−1
Filtros de Butterworth
10
0
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
1
10
Filtros Reais
Bode Diagram
0
Magnitude (dB)
1
0.9
0.8
0.7
−50
−100
0.6
0.5
−150
0
0.3
−90
Phase (deg)
0.4
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−180
−270
−360
−450
Filtros de Chebyshev (Ripple 10dB)
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
1
10
Filtros Reais
Bode Diagram
0
−20
Magnitude (dB)
1
0.9
0.8
0.7
0.6
−40
−60
−80
−100
0.5
−120
0
0.3
−90
Phase (deg)
0.4
0.2
0.1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
−180
−270
−360
−450
Filtros de Chebyshev (Ripple 1dB)
−1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
Diagramas de Bode
1
10
Filtros Reais
1
1
0.9
0.9
0.8
0.8
0.7
0.7
0.6
0.6
0.5
0.5
0.4
0.4
0.3
0.3
0.2
0.2
0.1
0.1
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Filtros de Chebyshev (Ripple 0.2dB)
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
3.5
Comparação de Filtros de ordem 5
Butterworth (Vermelho) e Chebyshev com ripple de 0.2 (Azul
escuro) e 1 dB.
Projecto de Filtros Reais
Dimensionamento de filtros:
• Escolha do tipo e da ordem N do filtro
• Ripple
• Matlab
[z,p,k]=buttap(N) - resulta filtro de Butterworth de ordem N
[z,p,k]=cheb1ap(N,R) - resulta filtro de Chebyshev de ordem N com Ripple de R dB na banda de
passagem
[z,p,k]=ellipap(N,Rp,Rs) - resulta filtro Elı́ptico de ordem N com Ripple de Rp dB na banda de
passagem e Rs na banda de paragem
zpk(z,p,k) - resulta a função de transferência do filtro
• Tabelas
Circuito de filtro passa baixo de primeira ordem:
Cf
Rf
Rf
1
Vo(s)
=−
Vi(s)
R1 (1 + sRf Cf )
R1
vi
v0
Circuito de filtro passa baixo de segunda ordem:
C2
1
Vo(s)
= 2
Vi(s) s R1R3C2C4 + sC4(R1 + R3) + 1
R1
R3
v0
vi
C4
Circuito de filtro passa alto de primeira ordem:
Cf
Rf
sRf C1
Vo(s)
=−
(1 + sRf Cf )
Vi(s)
C1
vi
v0
Circuito de filtro passa alto de segunda ordem:
s2R2R4C1C3
Vo(s)
=
Vi(s) s2R2R4C1C3 + sR2(C1 + C3) + 1
R2
C1
vi
C3
R4
v0

Filtros Analógicos - Departamento de Física da UBI

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