Função do 1° Grau

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2
Função do 1° Grau
Danielly Guabiraba - Engenharia Civil
Funções
• Na linguagem do dia a dia é comum ouvirmos frases como:
“Uma coisa depende da outra” ou “Uma está em função da
outra”.
• A ideia de um fator variar em função do outro e de se
representar essa variação por meio de gráficos, de certa
forma, já se tornou familiar em nossos dias.
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Funções
o
A máquina de dobrar
Entrada
1
2
3
3,5
5
x
o
Dobrar
Saída
2
4
6
7
10
2x
Nesse caso, temos:
O número de saída n é igual a duas vezes o número de
entrada x. A lei da função é n = 2x.
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Domínio de uma função
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chamase domínio da função, pois representa as entradas
para a função f. Ou seja, os valores que podem ser
usados na função. O domínio da função indicaremos
por D(f).
A
B
0.
.0
.1
1.
.2
.3
2.
.4
.5
3.
.6
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Imagem de uma função
Dada uma função f de A em B, o conjunto de todos
os valores de y obtidos através de x é chamado de
conjunto imagem da função f. Ou seja, ele é o
resultado de f(x), que representa os valores reais
obtidos quando aplicamos um x do domínio na
função e é indicado por Im(f).
D(f)
0.
Im(f)
.0
.1
1.
.2
.3
2.
.4
.5
3.
.6
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Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Como vimos o domínio de uma função representa as entradas para
a função, ou seja, os valores que podem ser usados na função.
Façamos um paralelo entre essa definição e nossas experiências
cotidianas. Por exemplo:
Se imaginarmos f como sendo um liquidificador, e usarmos x como
sendo frutas, esse liquidificador poderá nos retornar um resultado
f(x), então essas frutas (x) fazem parte do domínio da função
(liquidificador).
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Para que serve mesmo o domínio de uma função?
Entretanto, se usarmos uma pedra (x) a função
liquidificador não poderá processar esse x (pedra),
NÃO sendo possível obter f(x). Sendo assim, o x
(pedra) não faz parte do domínio da função
(liquidificador).

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Função do 1° grau
Como uma função é uma forma de relacionar duas, ou mais grandezas,
observamos uma função entre cada período e o número de filhos por
mulher.
Em nosso cotidiano, podemos observar inúmeros exemplos de funções:
• Velocidade de um carro em função do tempo;
• Lucro de uma empresa em função de sua produtividade;
• Consumo de combustível de um avião em função da velocidade.
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Função do 1° grau
Se (A,B) pertence a uma função 𝑓, o elemento B é chamado
imagem de A pela aplicação de 𝑓 ou valor de 𝑓 no elemento
A.
f ( A)  B
f: 𝐴 → 𝐵
𝑦 = 𝑓(𝑥)
Lê-se: f é função de A em B.
Lê-se: 𝑦 é função de 𝑥, com x ∈ 𝐴 e 𝑦 ∈ 𝐵.
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Função do 1° grau
A remuneração de um vendedor de uma loja é feita em duas
parcelas: uma fixa, no valor de R$ 500,00 e a outra variável,
correspondente a uma comissão de 12% do total de vendas
realizadas na semana.
𝑅(𝑥) = 500 + 0,12. 𝑥
Função polinomial do 1º Grau f:ℝ → ℝ, sendo
f(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 com a, b ∈ ℝ e a≠0.
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Função do 1° grau
Seja f a função de R em R definida por f ( x)  3x  2. Calcule :
a) f(2)
b) f(-3)
c) f( 3 )
3
d) f  
2
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Função Crescente
A função f : V  W definida por y  f(x)
é crescente no conjunto V1  V
se, para dois valores quaisquer X 1 e X 2 pertencentes a V1 ,
com X 1  X 2 , tivermos f ( X 1 )  f ( X 2 ).
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Função Crescente
Em símbolos : f é crescente quando
X 1 , X 2 V1 ( X 1  X 2 ) 
f ( X 1 )  f ( X 2 )
e isto também pode ser postoassim :
f ( X 2 )  f ( X1)
(X 1 , X 2  V1 )( X 1  X 2 ) 
 0)
X 2  X1
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Função Decrescente
A função f : V  W definida por y  f(x)
é decrescent e no conjunto V1  V
se, para dois valores quaisquer X 1 e X 2 pertencentes a V1 ,
com X 1  X 2 , tivermos f ( X 1 )  f ( X 2 ).
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Função Decrescente
Em símbolos : f é decrescent e quando
X 1 , X 2 V1  X 1  X 2 ) 
f ( X 1 )  f ( X 2 )
e isto também pode ser postoassim :
f ( X 2 )  f ( X1)
(X 1 , X 2  V1 )( X 1  X 2 ) 
 0)
X 2  X1
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Funções do 1° Grau
• Características importantes da função do 1º grau:
• Coeficiente angular: o coeficiente a é denominado
coeficiente angular.
• Coeficiente linear: o coeficiente b é denominado
coeficiente linear.
A função do primeiro grau é crescente em ℝ quando 𝑎 > 0
e decrescente em ℝ quando 𝑎 < 0.
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Funções do 1° Grau
• Para função 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 4.
• O coeficiente angular 𝑎 é o número 2;
• O coeficiente linear 𝑏 é o número 4.
• Como a>0, a função é crescente em ℝ.
• Para função 𝑓 𝑥 =
2
− 𝑥
3
1
+ .
2
2
• O coeficiente angular 𝑎 é o número − ;
1
2
3
• O coeficiente linear 𝑏 é o número .
• Como a<0, a função é decrescente em ℝ.
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Casos Particulares
Função Linear: a função polinomial do 1º grau em que o
termo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) passa a ser chamada de função
linear e tem forma: 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥.
Exemplo:
𝑦 = 3𝑥
2
𝑦=− 𝑥
3
𝑦 = 2𝑥
A função linear sempre é representada por uma reta!
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Casos Particulares
Função Identidade: a função polinomial do 1º grau em que o
termo 𝑏 é nulo (𝑏 = 0) e 𝑎 = 1 passa a ser chamada de
função identidade e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑥.
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Casos Particulares
Função Constante: Caso o termo 𝑎 seja nulo (𝑎 = 0) na
expressão 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 e 𝑏 ∈ ℝ, a função 𝑓 não é uma
função do primeiro grau e tem a forma 𝑓(𝑥) = 𝑏.
Exemplo:
𝑓 𝑥 =3
𝑦=0
𝑦= 7
1
𝑓 𝑥 =−
4
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Função Afim, Definição:
Uma aplicação f de R em R recebe o nome de
' função afim ' quando a cada elemento x
pertencente a R estiver associado o elemento
(ax  b) pertencente a R com a  0.
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Função Afim, Definição:
f :R R
x  ax  b, a  0
𝑎 é o coeficiente
angular da reta.
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Praticando!
1) Obtenha a equação da reta que passa pelo
ponto (1,3) e tem coeficiente angular igual a 2.
2) Obtenha a equação da reta que passa pelo
ponto (-2,1) e tem coeficiente linear igual a 4.
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Praticando!
1) Obtenha a equação da reta com coeficiente angular
igual a -1/2 e passando pelo ponto (-3,1).
2) Obtenha a equação da reta com coeficiente linear
igual a -3 e passando pelo ponto (-3,-2).
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Raiz ou Zero da função
Raiz ou zero da função é um valor do seu domínio cuja
imagem é zero.
Em resumo, é o valor de 𝑥 para que 𝑦 seja nulo (𝑦 = 0).
Sendo 𝑦 = 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 ≠ 0, tem-se:
𝑥 é zero ou raiz de 𝑓 ↔ 𝑓 𝑥 = 0
Assim, 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0, que apresenta uma única solução, nos
𝑏
leva a 𝑥 = − para 𝑎 ≠ 0.
𝑎
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Raiz ou Zero da função
Exemplo:
Seja a função 𝑦 = 2𝑥 − 4.
Para obtermos sua raiz ou zero, faremos 𝑦 = 0.
2𝑥 − 4 = 0 → 2𝑥 = 4 → 𝑥 = 2
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Taxa de variação média ou inclinação
• Considerando uma função numérica 𝑓, sendo
𝑥1 e 𝑥2 dois elementos de seu domínio e
𝑥2 > 𝑥1 .
• A taxa de variação média entre 𝑥1 e 𝑥2 da
função 𝑓 em relação a 𝑥 pode ser expressa
𝐴
𝑦2 −𝑦1
pelo quociente: =
.
𝐵
x2 −x1
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Taxa de variação média ou inclinação
Assim, uma função do 1º grau tem como taxa de
variação:
𝐴 𝑦2 − 𝑦1
=
𝐵 𝑥2 − 𝑥1
O coeficiente 𝑎 é
denominado taxa de
variação
ou
coeficiente angular.
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Taxa de variação média ou inclinação
O estudo dos sinais da função do 1º grau, 𝑦 =
𝑎𝑥 + 𝑏 (𝑎 ≠ 0), consiste em saber para que
valores de 𝑥:
• 𝑦 > 0;
• 𝑦 = 0;
• 𝑦 < 0.
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Estudo do sinal
Função Crescente:
𝑦 = 2𝑥 − 4
Para 𝑥 = 0; 𝑦 = −4.
Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 2.
Para 𝑥 > 2, temos 𝑦 > 0;
Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;
Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.
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Estudo do sinal
• A Função Crescente assume:
• Valores positivos para todo 𝑥 >
• Valor zero para 𝑥 =
𝑏
− ;
𝑎
•Para
Valores
𝑥 > 2,negativos
temos 𝑦 >para
0; todo 𝑥 <
Para 𝑥 = 2, temos 𝑦 = 0;
Para 𝑥 < 2, temos 𝑦 < 0.
𝑏
− ;
𝑎
𝑏
−
𝑎
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Estudo do sinal
Função Decrescente:
𝑦 = −3𝑥 + 9
Para 𝑥 = 0; 𝑦 = 9.
Para 𝑦 = 0; 𝑥 = 3.
Para
Para𝑥𝑥<>3,2,temos
temos𝑦 𝑦>>0;0;
Para
Para𝑥𝑥==3,2,temos
temos𝑦 𝑦==0;0;
Para
Para𝑥𝑥><2,2,temos
temos𝑦 𝑦<<0.0.
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Exercícios
Exercícios
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Obrigada pela atenção!
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