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5910170 – Física II – Ondas, Fluidos e Termodinâmica – USP – Prof. Antônio Roque
Aula 17
A Equação de Onda em Uma Dimensão (continuação)
Energia em uma onda mecânica
Consideremos
novamente
o
problema
da
onda
transversal
propagando-se em uma corda vibrante em uma dimensão (lembrese, a corda vibrante é um modelo “protótipo” para todos os tipos de
onda mecânica em uma dimensão).
Suponhamos que a onda seja produzida na corda por uma pessoa ou
máquina (que vamos chamar de agente motriz) que a segure por sua
extremidade da esquerda e a faça vibrar transversalmente
executando um MHS. A onda gerada por esse movimento se
propaga ao longo da corda e o efeito disso é que os diferentes
pedaços da corda sobem e descem, isto é, são postos em movimento.
Se houver um objeto preso à outra extremidade da corda (um peso
como o da figura da página 1 da aula 14), ele também será posto em
movimento.
Esses movimentos dos diversos pontos da corda e do peso preso à
sua extremidade ocorrem porque trabalho mecânico é realizado
sobre eles. Esse trabalho é devido à energia que é transportada pela
onda ao longo da corda.
1
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Obviamente, quando a corda estava em repouso antes que o agente
motriz pusesse sua extremidade da esquerda em movimento os seus
pontos não se movimentavam para cima e para baixo. Isto significa
que a corda sozinha não tem condições (ou energia) para produzir a
onda que se propaga através dela.
É necessário que energia seja fornecida de fora para que a corda seja
posta em movimento e a onda ocorra. Essa energia vem do agente
motriz que faz com que a extremidade da esquerda da corda oscile.
Devemos notar que quando uma onda se propaga por uma corda,
não somente os seus pontos se movem como também a corda sofre
deformações (por causa da sua elasticidade). Isto implica que a
energia transmitida à corda deve estar presente em duas formas: na
forma de energia cinética, associada ao movimento da corda, e na
forma de energia potencial elástica, associada à deformação da
corda.
Vamos, a seguir, calcular a energia total por comprimento de onda
de uma onda harmônica propagando-se em uma corda esticada. A
energia será calculada por comprimento de onda e não para a corda
inteira porque a corda pode ter tamanhos diferentes, mas um
comprimento de onda será sempre um comprimento de onda.
2
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Vamos novamente considerar todas as aproximações feitas na aula
passada para a dedução da equação das cordas vibrantes (consulte a
aula passada para relembrá-las).
Consideremos uma configuração qualquer da onda na corda em um
instante t > 0. Seja um segmento de corda que, no repouso, está entre
x e x + dx. Vamos supor que o segmento é tão curto que quando a
corda está vibrando ele possa ser aproximado por uma linha reta.
Vamos chamar o comprimento do segmento na situação em que a
corda vibra de ds (veja a figura abaixo).
A massa do segmento é dm = µdx e a sua velocidade transversal é
vy =
∂y
∂t .
(1)
Logo, a energia cinética do segmento é
2
1
 ∂y 
dK = µdx  .
2
 ∂t 
(2)
3
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Com base em (2) podemos definir a energia cinética por unidade de
comprimento da corda, ou densidade linear de energia cinética,
como
2
dK 1  ∂y 
= µ  .
dx 2  ∂t 
(3)
Para calcular a energia cinética de um pedaço da corda de um dado
comprimento qualquer, basta integrar a expressão acima por esse
comprimento.
A energia potencial elástica do segmento pode ser calculada a partir
do trabalho feito pela força atuando sobre o segmento (a tensão
constante T) para deformá-lo. Note que como o segmento é tão
pequeno que pode ser tomado sempre como reto, a única
deformação possível é uma alteração no seu comprimento (um
estiramento ou uma compressão). Essa alteração é dada pela
diferença ds – dx.
O trabalho feito pela tensão T para deformar o segmento de corda é
então dW = T(ds – dx), de maneira que a energia potencial elástica
do segmento é
dU = T (ds − dx ) .
(4)
Olhando para a figura da página 3 podemos escrever,
4
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1/ 2
[
2
]
2 1/ 2
ds = (dx ) + (dy )
  ∂y  2 
= dx 1 +   
  ∂x  
.
Certifique-se de que você entende o porquê de se escrever a
expressão acima em termos da derivada parcial ∂y ∂x .
Supondo que os deslocamentos transversais são pequenos, temos
que ∂y ∂x << 1 . Isto implica que podemos aproximar o termo que
multiplica dx no lado direito da expressão acima por sua expansão
binomial truncada no segundo termo1, obtendo
 1  ∂y 2 
ds ≈ dx 1 +   
 2  ∂x   ,
ou
2
1  ∂y 
ds − dx ≈   dx .
2  ∂x 
(5)
Substituindo (5) em (4) obtemos,
2
1  ∂y 
dU ≈ T   dx .
2  ∂x 
1
(6)
(1 + x )n ≈ 1 + nx .
5
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Pode-se então definir a energia potencial elástica por unidade de
comprimento da corda, ou densidade linear de energia potencial
elástica, como
2
dU 1  ∂y 
≈ T  .
dx 2  ∂x 
(7)
A energia potencial elástica de um dado pedaço de corda é dada pela
integral da densidade linear acima pelo comprimento do pedaço de
corda.
As expressões obtidas acima para as densidades lineares de energia
cinética (equação 3) e energia potencial elástica (equação 7) são
gerais, válidas para qualquer tipo de onda que se propague pela
corda.
Vamos agora particularizar nosso estudo e considerar que a onda
que se propaga pela corda é uma onda harmônica dada por,
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt + ϕ ) .
(8)
A velocidade transversal da corda, para um dado ponto x, é então,
v y ( x, t ) =
∂y
( x, t ) = ωAsen (kx − ωt + ϕ ) .
∂t
(9)
Podemos escrever esta expressão como
v y ( x, t ) = Vy sen (kx − ωt + ϕ ) ,
(10)
6
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onde Vy = ωA é a máxima velocidade transversal da corda.
Num instante de tempo t qualquer, por exemplo t*, as velocidades
transversais para os vários pontos da corda são:
(
)
v y ( x, t * ) = Vysen kx − ωt * + ϕ = Vysen (kx + δ ) ,
(11)
onde δ = –ωt + φ é uma nova constante de fase.
Observe que para quaisquer outros instantes de tempo, t**, t***, etc, a
expressão acima é a mesma, apenas com uma constante de fase
diferente. Dito de outra maneira, a distribuição de velocidades
transversais ao longo da corda varia no espaço como uma função
seno com amplitude Vy, independentemente do instante de tempo t
considerado.
Como estamos interessados aqui em calcular a energia de um
comprimento de onda e a distribuição de velocidades transversais é
sempre senoidal e de mesma amplitude, isto é, o comprimento de
onda é o mesmo para toda a onda, a informação sobre a constante de
fase δ é desnecessária para o nosso cálculo.
Podemos, portanto, sem perda de generalidade para os nossos
propósitos, fazer δ = 0 na equação (11) e usar a distribuição espacial
de velocidades transversais escrita como
7
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v y ( x) = Vysen (kx ) .
(12)
Substituindo (12) em (3), temos que a densidade linear de energia
cinética da corda é:
dK 1
1
2
= µ v y ( x) = µVy2sen 2 (kx ) .
dx 2
2
[
]
(13)
Podemos reescrever a expressão acima como
dK 1
 2π 
= µVy2sen 2 
x .
dx 2
λ


(14)
A energia cinética total de um pedaço de fio com comprimento igual
a um comprimento de onda é, portanto:
1
K λ = µVy2
2
x+λ
∫
x
 2πx 
sen 
dx .
λ


2
(15)
A integral do quadrado do seno na expressão acima vale λ/2 (mostre
isto como exercício para casa),
x+λ
∫
x
λ
 2πx 
sen 2 
dx
=

λ
2,


de maneira que,
Kλ =
1
1
λµVy2 = λµω 2 A2 .
4
4
(16)
Esta é a energia cinética de um comprimento de onda da corda
quando uma onda harmônica se propaga por ela.
8
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Vamos agora calcular a energia potencial elástica de um
comprimento de onda, também para o caso de uma onda harmônica
propagando-se pela corda.
Olhando para a equação (7), vemos que precisamos calcular ∂y ∂x
para isso. Da equação (8), temos:
∂y
( x, t ) = −kAsen (kx − ωt + ϕ ) .
∂x
(17)
Assim como feito no caso do cálculo da energia cinética, num
instante de tempo t qualquer, por exemplo t*, esta expressão é:
∂y
( x, t * ) = −kAsen kx − ωt * + ϕ = −kAsen (kx + δ ) , (18)
∂x
(
)
onde δ = –ωt + φ é uma nova constante de fase.
Como novamente nosso interesse restringe-se apenas a um
comprimento de onda, podemos escrever a expressão acima como
∂y
( x) = − kAsen (kx ) ,
∂x
(19)
de maneira que a densidade linear de energia potencial elástica é:
2
dU 1  ∂y
 1
= T  ( x)  = Tk 2 A2sen 2 (kx ) .
dx 2  ∂x
 2
(20)
Podemos reescrever a expressão acima como
9
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dU 1 ω 2 2 2  2π
= T 2 A sen 
dx 2 v
 λ

x ,

(21)
onde se usou a equação (9) da aula 15, ω = kv .
Também podemos usar a expressão para a velocidade de uma onda
em uma corda deduzida na aula passada, v = T µ , para reescrever
dU/dx em (21) como
dU 1
 2π 
= µω 2 A2sen 2 
x .
dx 2
λ


(22)
Integrando esta densidade por um comprimento de onda, obtemos a
expressão para a energia potencial elástica de um comprimento de
onda da corda:
x+λ
Uλ =
∫
x
dU
1
1
( x) dx = λµω 2 A2 = λµVy2
.
dx
4
4
(23)
Note que esta expressão é igual a Kλ: a energia cinética e a energia
potencial elástica de um comprimento de onda são iguais.
A energia total de um comprimento de onda da corda, no caso de
uma onda harmônica, é então:
Eλ = K λ + U λ =
1
λµVy2 .
2
(24)
10
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Imagine um pedaço de corda com comprimento igual a um
comprimento de onda da onda harmônica, ∆x = λ. A massa desse
pedaço de corda é m = µ ∆x = µ λ. A equação acima nos diz então
que a energia total de um comprimento de onda da corda é igual à
energia cinética que um pedaço de corda de comprimento λ teria se
todo ele estivesse se movimentando com a velocidade transversal
máxima Vy da onda.
Observe que as expressões obtidas para a energia cinética (equação
16) e potencial elástica (equação 23) de um comprimento de onda da
corda indicam que essas energias são proporcionais ao comprimento
de onda λ. Da mesma forma, a energia total de um comprimento de
onda também é proporcional a λ.
Não é conveniente, quando se estuda energia transmitida por uma
onda, trabalhar com grandezas que dependam do tamanho do meio
por onde a onda se propaga (no caso da corda, este é o comprimento
L da corda) ou do comprimento de onda λ.
Define-se, portanto, a energia média (cinética, elástica ou total) de
uma onda como,
E=
1
λ
Eλ .
(25)
11
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Desta forma, as energias médias cinética, potencial elástica e total
da corda são, respectivamente:
K=
1
µω 2 A2 ,
4
(26)
U =
1
µω 2 A2
4
(27)
E=
1
µω 2 A2 .
2
(28)
e
Compare estas expressões com as equações (5.4.6), (5.4.7) e (5.4.8)
do livro do Nussenzveig.
Vamos agora calcular a taxa média com que energia é transportada
pela onda, ou potência média da onda.
Voltando ao nosso exemplo da onda harmônica sendo gerada por um
agente motriz fazendo sua extremidade da esquerda oscilar
transversalmente como um MHS, notemos que este processo implica
em um fornecimento contínuo de energia à corda. Para cada novo
comprimento de onda λ gerado pelo agente que movimenta a corda,
uma quantidade de energia dada por (24) é fornecida à corda. Vamos
calcular o trabalho feito pelo agente motriz para garantir esse
fornecimento constante de energia.
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Consideremos a extremidade esquerda da corda (x = 0) e a força
(tensão T) atuando sobre ela nesse ponto, gerando a onda harmônica
que se propaga pela corda (figura abaixo).
O movimento da ponta da corda é, por hipótese, puramente
transversal. A componente da força T na direção do movimento é,
Fy = −Tsenθ .
Vamos novamente supor que o ângulo θ é muito pequeno, θ << 1, de
maneira que podemos aproximar sen θ ≈ tan θ. Desta forma,
 ∂y 
Fy ≈ −Ttanθ = −T   ,
 ∂x  x = 0
(29)
onde y(x, t) é a expressão para a onda harmônica,
y ( x, t ) = A cos(kx − ωt + ϕ ) .
A derivada desta expressão em relação a x, calculada em x = 0, é
 ∂y 
  = − kAsen (− ωt + ϕ ) ,
 ∂x  x = 0
(30)
que substituída em (29) nos dá
13
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Fy = kATsen (− ωt + ϕ ) .
(31)
Esta força é a responsável pelos deslocamentos transversais da ponta
da corda, que executam um MHS descrito por,
y0 (t ) = y (0, t ) = A cos(− ωt + ϕ ) .
(32)
O trabalho feito pela força Fy para deslocar a ponta da corda por
uma distância dy0 é,
dW = Fy dy0 = Fy [ωAsen (− ωt + ϕ )dt ] ,
e substituindo Fy dada por (31) nesta expressão,
dW =
ω 2 A2T
v
sen 2 (− ωt + ϕ )dt ,
(33)
onde usamos novamente a expressão ω = kv.
Usando também que v2 = T/µ, temos:
dW = µvω 2 A2sen 2 (− ωt + ϕ )dt .
(34)
O trabalho feito durante um ciclo completo da oscilação harmônica
da extremidade esquerda da corda é dado pela integração da
expressão acima por um período da oscilação. Note que tanto o
período como a tensão sobre a corda são expressos aqui pela letra T.
Portanto, fique atento, o símbolo que será usado na integral a seguir
quer dizer período e não tensão.
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O trabalho feito pela força Fy por um período é dado por,
t +T
2
Wciclo = µvω A
2
2
sen
∫ (− ωt + ϕ )dt
t
.
(35)
A integral do quadrado do seno por um período é dada por,
t +T
2
sen
∫ (− ωt + ϕ )dt =
t
T
2.
Mostre isto como exercício para casa.
Temos então,
Wciclo =
1
µvω 2 A2T .
2
(36)
Note (desculpe pela insistência) que a letra T que aparece na
expressão acima é o período T e não a tensão T.
Se dividirmos o trabalho feito por ciclo pela duração de um ciclo (o
período T), teremos a potência média fornecida à corda, P :
P=
Wciclo 1
= µvω 2 A2 .
T
2
(37)
A potência média nos dá a quantidade de energia que passa, em
média, por um dado ponto da corda por unidade de tempo. Para um
caso unidimensional como o da corda vibrante, ela também pode ser
chamada de intensidade I da onda (como faz o Nussenzveig),
15
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I =P.
(38)
Em mais de uma dimensão, porém, a intensidade de uma onda é
definida como a quantidade de energia transportada pela onda por
unidade de tempo por unidade de área (ela é medida em unidades de
W/m2)
Observe pela equação (37) que a intensidade é proporcional ao
quadrado da amplitude, ao quadrado da frequência e à velocidade da
onda.
Comparando esta expressão com a equação (28) para a energia total
por comprimento de onda da corda, temos que:
I = P = vE .
(39)
Podemos interpretar esta equação como significando que, a cada
ciclo, o agente motriz adiciona um novo comprimento de onda à
corda, com energia média E . Essa energia não fica retida na
extremidade esquerda da corda, mas se propaga por ela com
velocidade v. A taxa com que essa energia passa por cada ponto da
corda por unidade de tempo é dada pela potência média P acima.
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