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Vibração livre de um sistema de translação não amortecido
Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Introdução Um sistema sofre vibração livre quando oscila somente sob uma perturbação inicial. Sistema mais simples possível: massa-mola Amortecido??? Não amortecido??? 1 grau de liberdade??? N graus de liberdade??? Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Introdução Exemplo da Modelagem de um prédio Pêndulo invertido Massa mola equivalente??? Se aproxima da realidade??? Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Vibração livre de um sistema de translação não amortecido Equação do movimento pela segunda lei de Newton Se a massa m for deslocada por uma distancia x quando uma resultante F agir sobre ela na mesma direção, a segunda lei de Newton resulta em: Se m for constante: r r d d x (t ) F (t ) = m dt dt 2r r r& d x (t ) & F (t ) = m = mx 2 dt Equação de movimento de um sistema vibratório Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Vibração livre de um sistema de translação não amortecido Equação do movimento pela segunda lei de Newton Para um corpo rígido sujeito a um movimento rotacional: Momento resultante r Deslocamento angular r d θ (t ) && M (t ) = J = J θ dt 2 2 Aceleração angular Equação de movimento de um sistema vibratório Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Vibração livre de um sistema de translação não amortecido Equação do movimento pela segunda lei de Newton Aplicando o procedimento ao sistema com um grau de liberdade e não amortecido podemos fizer: F ( t ) = − kx = m &x& ou m &x& + kx = 0 x, x& , &x& Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Vibração livre de um sistema de translação não amortecido Equação do movimento pelo princípio da conservação da energia O que é um sistema é conservativo??? Energias em um sistema vibratório T e U A energia total do sistema permanece constante: T + U = cte Sabemos: d (T + U ) = 0 dt 1 1 2 2 T = m x& e U = kx 2 2 m &x& + kx = 0 Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Vibração livre de um sistema de translação não amortecido Equação do movimento massa-mola vertical Considere o sistema: E se houver um deslocamento extra Posição de equilíbrio estático ∑F = 0 ∑F = m&x& Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Exercício 1 Resposta harmônica de uma caixa Suponha uma caixa d’água como a da foto Altura = 40 m Seção tubular (D) 5m int e 5,5m ext Massa 6e5 kg E=4e6 N/mxm Determine: A freqüência e período natural de vibração transversal da caixa d’água. A resposta de vibração da caixa d’água resultante de um deslocamento transversal inicial de 0,5m Os valores máximos da velocidade e aceleração experimentados pela caixa d’água Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Exercício 1 Resposta harmônica de uma caixa Modelagem: A freqüência e período natural de vibração transversal da caixa d’água. Wl3 δ st = 3EI I = W 3EI k= = 3 δst l π ( d 64 4 e k =? −d 4 i ) ω =? T =? Vibrações Exercício 1 Resposta harmônica de uma caixa A resposta de vibração da caixa d’água resultante de um deslocamento transversal inicial de 0,5m Prof. Vinicius Souza Morais Vibrações Exercício 1 Resposta harmônica de uma caixa Os valores máximos da velocidade e aceleração experimentados pela caixa d’água Prof. Vinicius Souza Morais Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais Exercício 2 Freqüência natural da caçamba de um caminhão de bombeiros A caçamba de um caminhão de bombeiros está localizada na extremidade de uma lança telescópia. Determine a freqüência natural da caçamba no sentido vertical. Dados: 11 E = 2,1x10 N / m 2 1 1 1 1 = + ... keq k1 k2 kn A1 = 20cm 2 , A2 = 10cm 2 , A3 = 5cm 2 l1 = l2 = l3 = 3m Vibrações Prof. Vinicius Souza Morais
