Avalanches - O Experimento.indd

Números
e funções
O experimento
Experimento
Avalanches
Objetivos da unidade
1. Modelar o fenômeno de avalanches;
2. Construir gráficos;
3. Linearizar gráficos através de logaritmos.
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Secretaria de
Educação a Distância
Ministério da
Ciência e Tecnologia
Ministério
da Educação
Avalanches
O experimento
Sinopse
Este experimento propõe modelar matematicamente avalanches
provocadas por materiais simples, como milho de pipoca, feijão e um
recipiente qualquer. Inicialmente, os alunos produzirão avalanches,
verificando suas intensidades pela quantidade de grãos que
desmoronam. A partir daí, construirão gráficos com os dados coletados,
obtendo uma curva. Aplicando logaritmo torna-se possível analisar
a função que modela o fenômeno e até fazer algumas previsões.
Conteúdos
Logaritmos e suas aplicações.
Objetivos da unidade
1. Modelar o fenômeno de avalanches;
2. Construir gráficos;
3. Linearizar gráficos através de logaritmos.
Duração
Uma aula dupla.
Introdução
A modelagem é uma área muito importante
dentro da Matemática, com aplicações
em diversos campos como economia,
biologia, etc. Usando modelagem é possível
prever desde terremotos, furacões ou até
o comportamento de um simples íon dentro
de uma célula do corpo humano.
A previsão de grandes avalanches e
outros fenômenos torna-se importante para
o impedimento de tragédias, como muitas
já ocorridas na história de nossa civilização.
Neste experimento, os alunos são
convidados a vivenciar um pouco de como
cientistas desenvolvem seus modelos.
Através de pequenas avalanches produzidas
com materiais simples, os alunos poderão
entender e descobrir um pouco dessa grande
área que é a modelagem matemática.
Avalanches
O Experimento 2 / 10
O Experimento
Material necessário
„„
„„
„„
„„
„„
Grãos de feijão (dois pacotes de meio quilo);
Grãos de pipoca (dois pacotes de meio quilo);
Copos de plástico.
Materiais alternativos
Pode ser usado qualquer outro tipo de
recipiente com raio próximo ao de um copo;
Podem ser usados outros grãos, contanto que
tenham tamanho próximo aos sugeridos.
Preparação
Inicialmente divida a sala em dois grupos
(com aproximadamente o mesmo número
de alunos) de forma que cada um receberá
um tipo diferente de grão. Isso é necessário
para que, no Fechamento, seja possível
discutir as diferenças entre as funções
encontradas para cada um dos tipos.
Divida, então, novamente cada grupo em
equipes de 3 alunos, para os quais serão
distribuídos um recipiente, os grãos e uma
Folha do Aluno.
ºº Peça aos alunos para
apoiarem a montagem
sobre uma folha de sulfite,
ou caderno, a fim de
facilitar a contagem dos
grãos, e também para
garantir que eles não se
percam.
etapa
Coleta dos dados
Cada grupo deve preencher o recipiente com
o máximo de grãos possível de modo que se
acomodem e formem um morrinho sobre o
copo.
A partir dessa situação, os próximos grãos
devem ser colocados cuidadosamente, um
de cada vez, em qualquer lugar do morrinho
até que comecem a cair. A queda desse grãos
em excesso chama-se avalanche. O número
de grãos que cai em uma avalanche será
chamado de intensidade.
fig. 1
Avalanches
1
ºº Talvez seja necessário
descartar as primeiras
avalanches até a pilha
ficar estável.
O Experimento 3 / 10
As equipes devem produzir avalanches
durante dez minutos e as intensidades
de todas elas devem ser registradas. Uma
tabela deverá ser produzida por cada grupo
conforme mostra o exemplo abaixo, figura 3,
onde Q é o número de vezes que a avalanche
de intensidade I ocorreu para esse grupo.
!!
Cuide para que os
alunos não esbarrem
na montagem.
fig. 2 Colocação dos grãos e contagem dos
que caem
O cuidado, ou a sua falta, na colocação
de cada grão pode provocar variações nos
dados obtidos por diferentes grupos, porém,
como serão todos reunidos no final, essas
variações devem ser pouco relevantes.
Terminada a coleta dos dados, cada grupo
deverá escrever os seus dados na lousa,
numa nova tabela, como já feita pelos alunos
dentro de suas equipes, mostrada abaixo, na
qual I é a intensidade, ou seja, a quantidade
de grãos que caem de uma avalanche, e Q
é a quantidade de vezes que a avalanche de
intensidade I ocorreu durante o experimento.
Avalanches
fig. 3 Tabela construída na lousa com os resultados finais de todas as equipes de
um mesmo grupo da sala.
ºº Professor, deixe
essa tabela montada
previamente para que
os alunos a preencham
à medida que terminarem
a coleta.
O Experimento 4 / 10
Representação gráfica
etapa
2
Após terminado o preenchimento da tabela
na lousa, oriente seus alunos para copiarem
em seus cadernos.
I
Q
1
54
2
26
3
18
4
4
5
1
6
1
7
2
8
3
9
1
fig. 4 Gráfico de I x Q
ºº Professor, a tabela ao lado
e os gráficos seguintes
correspondem a apenas
um tipo de grão, feijão.
Na Folha do Aluno, há uma pergunta que
aborda o formato desse gráfico e questiona
se os alunos conhecem alguma função que
se aproxime da figura encontrada.
Como podemos ver abaixo, o formato
do gráfico se assemelha, em linhas gerais,
ao formato do gráfico da função y = k/x,
k > 0. Para mais informações, vide Guia
com x
do Professor.
!!
Os alunos devem construir
um gráfico de dispersão.
Isso significa que eles não
precisam se preocupar em
ligar os pontos.
Tabela 1 Tabela para ser reproduzida
no caderno.
Feito isso, os alunos devem construir um
gráfico de I × Q utilizando os valores
reunidos de seu grupo, na tabela 1.
fig. 5 Gráfico de I x Q
Avalanches
O Experimento 5 / 10
Uma nova representação
Um modelo matemático que pode descrever
os fenômenos naturais de avalanches ou
desmoronamentos é descrito pela função:
Q=a·
1
Ib
onde a e b são constantes. Esta função é
adequada pois o gráfico da figura 5 é do
tipo 1/x, que é a mesma função, mas com
a = b = 1.
Mas como descobrir os coeficientes a e b
da equação através do gráfico obtido?
Para facilitar a análise desse tipo de
equação podemos utilizar uma ferramenta
matemática capaz de transformar a equação
dada na equação de uma reta, cujos
coeficientes são facilmente encontrados
através de seu gráfico.
A melhor ferramenta nesse caso
é o logaritmo, no qual uma divisão é
transformada numa subtração, e uma
potenciação numa multiplicação.
Aplicando logaritmo nos dois lados
da equação, obtemos:
log Q = log(a ·
etapa
3
Se chamarmos log Q de Y, log(I) de X e log(a) = c , temos a seguinte função:
!!
Note que os cálculos feitos
independem da base do
logaritmo.
!!
Alerte os alunos em
relação à escala utilizada,
pois os valores estão em
decimais.
Y =c−b·X
Portanto, a equação original foi
transformada na equação de uma reta que
relaciona não mais os dados coletados
diretamente, mas seus logaritmos. Assim,
para simplificar a análise dos dados
encontrados pelos alunos, ajude-os a
construir uma tabela, convertendo os valores
de I e Q, para log I e log Q.
A fim de facilitar esse cálculo, há um
anexo com valores já calculados dos
logaritmos na base 2. Essa base foi escolhida
por fornecer melhores valores para uma
posterior produção de gráficos.
Podem ocorrer valores de I não inclusos
no anexo. Fica, então, a critério do professor,
fazer o cálculo do logaritmo numa calcula­
dora científica ou descartar esses dados.
Terminada a conversão dos valores,
os alunos devem construir o gráfico de
log2 I × log2 Q.
1
)
Ib
log Q = log(a) + (log(I −b ))
log Q = log(a) − b · log(I)
Avalanches
fig. 6 Gráfico de log I x log Q.
²
²
O Experimento 6 / 10
Observando o gráfico, é possível perceber
que a maior parte dos pontos segue uma
tendência linear. Nos pontos referentes às
intensidades mais baixas, a quantidade
de avalanches é muito maior que nos de
intensidades mais altas. Assim, a tendência
linear é muito mais visível para os pontos
iniciais do gráfico.
Quanto menor a quantidade de avalan­
ches medidas, ou seja, quanto menos dados
coletados, maior a flutuação (estatística),
o que torna a modelagem menos precisa.
Cálculo dos Coeficientes
O próximo passo é encontrar a melhor
reta que se ajuste nos pontos do gráfico.
O método formal para encontrá-la é chamado
de Mínimos Quadrados. Ele ajusta uma
reta tal que a somatória dos quadrados da
variação de y entre a reta e cada ponto seja
mínima.
Porém, este é um procedimento que
requer muitos cálculos que não serão
necessários para o sucesso do experimento.
Assim, com ajuda de uma régua, os alunos
devem traçar uma reta que esteja o mais
próximo possível da maior parte dos pontos.
É muito importante frisar que esta reta não
precisa passar por todos os pontos e nem
ligá-los, podendo até não passar pela maioria
deles.
Traçada a reta, é possível calcular os
coeficientes linear e angular, e chegar a uma
equação que modele as avalanches deste
experimento.
Avalanches
O ângulo α é
fig. 7 Gráfico de log I x log Q.
²
²
A tangente do ângulo α nos fornece
o coeficiente angular da reta. Calculando,
então, obtemos:
tg α = m = ∆y/∆x
Como exemplo vamos usar os pontos
(3, 17; 0) e (0; 6, 4) da reta
m = (6, 4 − 0)/(0 − 3, 17)
= 6, 4/ − 3, 17
≈ −2, 0
O coeficiente linear é a coordenada Y do
ponto onde a reta cruza o eixo Y. No nosso
caso: 6, 4.
Assim, com os valores que utilizamos nos
exemplos, a equação da reta obtida é:
Y = 6, 4 − 2, 0 · X
O Experimento 7 / 10
Fechamento
Finalizadas as etapas anteriores, os alunos
podem socializar os valores encontrados dos
coeficientes da equação da reta.
A tendência é que os coeficientes encontrados por equipes com o mesmo grão
sejam muito próximos, afinal eles usaram
os mesmos dados. Por outro lado, pequenas
variações podem ocorrer, pois cada grupo
traçou a reta ao seu modo.
O que sugerimos para o fechamento
desse experimento é uma comparação entre
os coeficientes obtidos pelos grupos com
grãos diferentes, especialmente o coeficiente
angular.
Reúna os coeficientes calculados por
cada equipe na lousa e calcule a média para
cada tipo de grão, a fim de comparar esses
valores.
Esperamos que haja uma diferença
significativa, o que caracterizaria o grão
utilizado. Podemos pensar que o coeficiente
angular é um tipo de “coeficiente de
granulação”, que reflete a maior ou menor
tendência de desmoronar.
No nosso caso, o coeficiente angular foi
aproximadamente –2,0.
Coeficientes maiores, ou seja, retas mais
próximas da horizontal, significam mais
ocorrências de avalanches maiores, por
exemplo, o gráfico a seguir:
6
5
4
3
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
7
8
9
10
fig. 8
A figura 8 é referente a equação
º Uma mudança no tipo
de recipiente utilizado
também provoca uma
mudança nos coeficientes
obtidos. Se desejar,
explore essa variação com
os seus alunos.
y = 6, 5 − 0, 5x, e a figura 9 é referente a
equação y = 84, 4x−0,5, onde se aplicado
logaritmo, encontrar-se-á a anterior.
100
80
60
40
20
0
0
1
2
3
4
5
6
fig. 9
Avalanches
O Experimento
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A figura 10 é referente a equação
y = 6, 4 − 3x, e a figura 11 é referente a
equação y = 84, 4x−3, onde se aplicado
logaritmo, encontrar-se-á a anterior.
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
�
��
Será que isso tem a ver com o tamanho
do grão? Com o formato? Com o tamanho
do recipiente? Com o atrito entre os grãos?
E se fosse em um contexto de
desmoronamento de morro, será que
é possível analisar o “coeficiente de
desmoronamento” para diferentes tipos
de solos?
Discuta essas questões com seus alunos!
-�
-��
-��
-��
fig. 10
40
30
20
10
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
fig. 11
Avalanches
O Experimento
9 / 10
Ficha técnica
Autor
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenação de redação
Leonardo Barichello
Redação
Mariana Sacrini Ayres Ferraz
Revisores
Matemática
Antônio Carlos Patrocínio
Língua Portuguesa
Carolina Bonturi
Pedagogia
Ângela Soligo
Projeto gráfico
e ilustrações técnicas
Preface Design
Ilustrador
Lucas Ogasawara de Oliveira
Fotógrafo
Augusto Fidalgo Yamamoto
Universidade Estadual
de Campinas
Reitor
José Tadeu Jorge
Vice-Reitor
Fernando Ferreira da Costa
Grupo Gestor
de Projetos Educacionais
(ggpe – unicamp)
Coordenador
Fernando Arantes
Gerente Executiva
Miriam C. C. de Oliveira
Matemática Multimídia
Coordenador Geral
Samuel Rocha de Oliveira
Coordenador de Experimentos
Leonardo Barichello
Instituto de Matemática,
Estatística e Computação
Científica (imecc – unicamp)
Diretor
Jayme Vaz Jr.
Vice-Diretor
Edmundo Capelas de Oliveira
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