Contribuições à matemática e sua luta com

Universidade Federal de Santa Catarina
Centro de Ciências Físicas e Matemáticas
Curso: Física Bacharelado
Ismael Rodrigues Silva - [email protected]
Sir. Isaac
Newton
Contribuições
à matemática e sua luta com
Leibniz pelo título de criador do
Cálculo
INTRODUÇÃO
Isaac Newton ocupa um lugar de destaque no panteão da ciência e da cultura
universais - tanto que os físicos modernos, pelo fato de ainda trabalharem com sua
lei da gravitação universal, consideram-no o primeiro dos físicos, o gigante que os
leva ao conhecimento. Seu nome está associado a um grande número de leis e de
teorias ainda ensinadas e em uso, como a dinâmica newtoniana, as suas leis do
movimento, a teoria da gravitação. De modo mais geral, o newtonianismo é
referido como uma concepção do mundo que influencia a cultura europeia durante
todo o século XVIII.
Mas quem era Newton? Quais eram seus ideais, seus métodos de pesquisa, suas
técnicas de demonstração, sua formação? Se apoiarmos nos trabalhos mais
recentes dos historiadores das ciências, descobriremos um Newton muito
diferente da imagem estereotipada que se cristalizou com o tempo. Vê-se um
filósofo da natureza, que utiliza métodos matemáticos e que enuncia as leis do
movimento diferentemente das que se encontram em manuais; um homem
atormentado pelas questões da natureza teológica; um homem que busca conhecer
os segredos da matéria apoiando-se na alquimia e na magia natural; um teimoso
que se engaja nas vastas controvérsias com os grandes de seu tempo (tais como
Descartes e Leibniz). Percebe-se que seu percurso intelectual se assemelha um
pouco ao do racionalismo do século XVIII, capaz de distinguir claramente o
raciocínio físico-matemático dos preconceitos teológicos e metafísicos.
Se perguntarmos a alguns sobre Newton, ouviremos: Leis de Newton, ação e
reação, inércia etc.. Se perguntarmos a outros, poderão se referir à Lei da
Gravitação ou luz. Mas qual foram as contribuições de Newton à matemática?
Alguns poderiam lembrar do Binômio de Newton ou vagamente do Cálculo. No
fundo temos, entretanto, tantas contribuições à matemática quanto à física ou
química dadas por Newton.
O objetivo deste trabalho não é narrar a vida de Newton desde seu nascimento até
sua morte. Não é, também, entrar em detalhes em assuntos que divergem da
matemática. Apesar das leis do movimento, Lei da Gravitação e da óptica se
fundamentaram quase que inteiramente em matemática, esses assuntos serão
deixados de lado: o objetivo, como diz respeito o título, é dar ênfase às
contribuições de Newton à matemática.
BIOGRAFIA
Como já foi dito, não é objetivo narrar inteiramente a vida de Newton, pois isso é
desnecessário no momento e de fácil acesso. Alguns fatos principais de sua vida,
porém, serão citados, para uma pequena e rápida compreensão de como viveu o
pai da ciência.
Sir Isaac Newton nasceu em 4 de janeiro de 1643 em Woolsthorpe Manor, embora
seu nascimento tivesse sido registrado como no dia de Natal, 25 de dezembro de
1642, pois àquela época a Grã-Bretanha usava o calendário juliano. Newton foi um
cientista inglês, mais reconhecido como físico e matemático, embora tenha sido
também astrônomo, alquimista, filósofo natural e teólogo. Newton foi considerado
o cientista que causou maior impacto na história da ciência.
Newton é uma criança estudiosa e solitária, e sua mãe desiste muito cedo de fazer
dele um agricultor ou um criador de gado. Seguindo conselhos de um tio, enviamno a Cambridge com a idade de 19 anos. Newton entra no Trinity College em 1661
como subsizar. Em Oxford, subsizares eram chamados de servidores. Tratava-se de
estudantes pobres que pagavam seus estudos servindo mesas e arrumando
quartos. Não se sabe, todavia, se Newton precisou de fato desempenhar tais
tarefas.
Naquele tempo, os alunos das universidades inglesas estavam ainda solidamente
ligados às tradições aristotélicas. Newton se sentia desde o início atraído pela nova
filosofia da Natureza. Ele se põe a ler obras de Descartes, especialmente a
Geometria, publicada em 1637, na qual Descartes representa, pela primeira vez, as
curvas por meio de equações. Ele também lê Boyle, Hobbes e Galileu, tudo por
interesse pessoal.
Sua obra, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica, é considerada uma das
mais influentes na história da ciência. Publicada em 1687, esta obra descreve a lei
da gravitação universal e as três leis de Newton, que fundamentaram a mecânica
clássica. Ao demonstrar a consistência que havia entre o sistema por si idealizado e
as leis de Kepler do movimento dos planetas, foi o primeiro a demonstrar que o
movimento de objetos, tanto na Terra como em outros corpos celestes, são
governados pelo mesmo conjunto de leis naturais. O poder unificador e profético
de suas leis era centrado na revolução científica, no avanço do heliocentrismo e na
difundida noção de que a investigação racional pode revelar o funcionamento mais
intrínseco da natureza.
Newton estudou no Trinity College de Cambridge, e graduou-se em 1665. Em 1663,
formulou o teorema hoje conhecido como Binômio de Newton. Fez suas primeiras
hipóteses sobre gravitação universal e escreveu sobre séries infinitas e o que
chamou de teoria das fluxões (1665), o embrião do Cálculo Diferencial e Integral.
Por causa da peste negra, o Trinity College foi fechado em 1666 e o cientista foi
para casa de sua mãe em Woolsthorpe. Foi neste ano de retiro que construiu
quatro de suas principais descobertas: o Teorema Binomial, o cálculo, a lei da
gravitação universal e a natureza das cores. Construiu o primeiro telescópio de
reflexão em 1668, e foi quem primeiro observou o espectro visível que se pode
obter pela decomposição da luz solar ao incidir sobre uma das faces de um prisma
triangular transparente (ou outro meio de refração ou de difração), atravessando-o
e projetando-se sobre um meio ou um anteparo branco, fenômeno este conhecido
como dispersão.
Tornou-se professor de matemática em Cambridge (1669) e entrou para a Royal
Society (1672). Publicou, em Cambridge, Arithmetica universalis (1707), uma
espécie de livro-texto sobre identidades matemáticas, análise e geometria,
possivelmente escrito muitos anos antes (talvez em 1673).
A história mais popular é a da maçã de Newton. Se por um lado essa história seja
mito, o fato é que dela surgiu uma grande oportunidade para se investigar mais
sobre a Gravitação Universal. Essa história envolve muito humor e reflexão. Muitas
charges sugerem que a maçã bateu realmente na cabeça de Newton, quando este se
encontrava num jardim, sentado embaixo de uma macieira, e que seu impacto fez
com que, de algum modo, ele ficasse ciente da força da gravidade. A pergunta não
era se a gravidade existia, mas se ela se estenderia tão longe da Terra que poderia
também ser a força que prende a Lua à sua órbita. Newton mostrou que, se a força
diminuísse com o quadrado inverso da distância, poderia então calcular
corretamente o período orbital da Lua. Ele supôs ainda que a mesma força seria
responsável pelo movimento orbital de outros corpos, criando assim o conceito de
"gravitação universal". O escritor contemporâneo William Stukeley e o poeta
Voltaire foram duas personalidades que citaram a tal maçã de Newton em alguns
de seus textos.
O seu primeiro contato com caminhos da alquimia foi através de Isaac Barrow e
Henry More, intelectuais de Cambridge. Por volta de 1693, escreveu Praxis, uma
obra que sugere uma filosofia que via na natureza algo diferente do que admitiam
as filosofias mecanicistas ortodoxas. Newton dedicou muitos de seus esforços aos
estudos da alquimia. Escreveu muito sobre esse tema, fato que soube-se muito
tarde, já que a alquimia era totalmente ilegal naquela época.
Sendo inspirado pela maçã ou não, o fato é que todas essas descobertas
permaneceram guardadas por anos. No final de 1666, elas ainda não estavam na
forma como seriam apresentadas ao mundo futuramente, e que o transformaria no
mais prestigiado matemático de seu tempo. Mais tarde, a realização no campo da
mecânica tomaria a conhecida forma que seria publicada na primeira edição dos
Principia, em julho de 1687.
Em 1669 ele envia a John Collins, a pedido de Isaac Barrow, o artigo “Sobre a
análise das séries infinitas”. Collins, empolgado pela qualidade do trabalho, insiste
em publicá-lo, mas Newton reluta. Esse episódio foi o primeiro de muitos em que
Newton hesitou pela publicação de um artigo, seja pelo receio das críticas, ou
apreensão sobre os desdobramentos de tornar públicas importantes descobertas.
Newton foi respeitado como nenhum outro cientista e sua obra marcou
efetivamente uma revolução científica. Seus estudos foram como chaves que
abriram portas para diversas áreas do conhecimento cujo acesso era impossível
antes de Newton. Em seus últimos dias, passou por diversos problemas renais que
culminaram com sua morte. Na noite de 20 de março de 1727 (Calendário juliano)
faleceu. Foi enterrado junto a outros célebres homens da Inglaterra na Abadia de
Westminster.
PRINCÍPIOS MATEMÁTICOS DA FILOSOFIA NATURAL
Em 1669, Newton tornou-se o sucessor de Barrow na cátedra de matemática em
Cambridge. Em 1672, apresentou-se à Royal Society (que havia sido fundada 10
anos antes) seu primeiro trabalho, sobre a natureza da luz branca e sua
decomposição espectral. Entretanto, essa publicação provocou uma disputa com
Robert Hooke sobre prioridades, e Newton, que era um recluso e profundamente
tímido e desconfiado, ficou tão desgostoso que não teria publicado mais nada se
não o forçassem a fazê-lo.
No início de 1684, Robert Hooke, Sir Christopher Wren (o arquiteto da St Paul’s
Cathedral, que também era astrônomo) e Edmund Halley tiveram uma discussão
conjunta em Londres sobre qual seria a órbita de um planeta atraído pelo Sol com
uma força que variasse com o inverso do quadrado da distância. Seria uma elipse,
conforme pela 1° Lei de Kepler? Hooke acreditava que sim, e Wren ofereceu-lhe 40
shillings (cerca de US$100 atuais) se provasse dentro de um tempo prefixado - o
que Hooke não conseguiu fazer. Alguns meses mais tarde, Halley foi a Cambridge e
perguntou a Newton (sem explicar por que) qual seria a forma da órbita. Newton
respondeu imediatamente: “Uma elipse”. - “Como sabe? Tem a prova?” perguntou
Halley, ao que Newton respondeu: “Ora, já sei disso há muitos anos. Se me der
alguns dias, certamente reconstruirei a prova”.
Com efeito, Newton havia resolvido esse problema em 1676 e 1677, e logo enviou
a Halley duas provas diferentes. Com muito esforço, Halley conseguiu persuadi-lo a
preparar um tratado em que exporia suas investigações sobre a gravidade e
mecânica celeste. Newton escreveu-o em 18 meses, e Halley, embora não tivesse
muitos recursos, subvencionou a publicação.
“Philosophiae Naturalis Principia Mathematica”, o “Principia”, publicado em 1687,
é muitas vezes considerado como a obra científica mais importante e de maior
influência até hoje escrita.
O que teria levado Newton a aguardar tantos anos antes de publicar os seus
resultados? Em parte, isso foi devido a seu caráter e aos revezes anteriores.
Entretanto, havia uma dificuldade mais fundamental. Ao calcular a força da
gravidade na superfície da Terra, admitimos que toda a massa da Terra estivesse
concentrada em seu centro. Como justificar isso? Foi só em 1685 que Newton
conseguiu demonstrar (usando o cálculo integral, que ele próprio havia inventado)
que, para uma força central inversamente proporcional ao inverso do quadrado da
distância (aliás, isto só vale para uma tal força!), a atração exercida por uma esfera
sobre uma partícula externa é a mesma que se toda a massa da esfera estivesse
concentrada em seu centro.
No livro I dos “Principia”, Newton formula os princípios fundamentais da dinâmica
(as 3 leis de Newton) e estuda os diferentes tipos de órbitas possíveis de uma
partícula sob ação de uma força do tipo gravitacional (variando com o inverso do
quadrado da distância): órbitas elípticas, hiperbólicas e parabólicas; mostra
também a relação com as leis de Kepler. Inclui ainda o tratamento da ação de umas
esfera sobre um corpo externo. No livro II,ndiscute o movimento de corpos num
meio resistente e problemas de mecânica dos fluidos, inclusive a propagação de
ondas num fluído. Finalmente, no livro III, intitulado “O Sistema do Mundo”, aplica
a lei da gravitação para discutir o movimentos dos satélites em torno dos planetas
e dos planetas em torno do Sol; mostra como calcular as massas dos planetas em
termos da massa da Terra; calcula o achatamento da Terra devido a sua rotação;
calcula o efeito, conhecido como precessão dos equinócios, produzido sobre a
órbita da Terra por esse achatamento; discute as perturbações do movimento da
Lua devidas à ação do Sol; explica as marés; calcula as órbitas dos cometas etc..
O CÁLCULO
Os problemas abordados naquela época são essencialmente de dois tipos. O
primeiro consiste, numa dada curva, em determinar a tangente num de seus
pontos. O segundo tipo de problema é o cálculo da área delimitada por uma curva.
Ora, imediatamente depois de ter descoberto a série binomial, Newton toma
consciência de um fato extraordinário
extraordinário:: esses dois tipos de problemas são um
inverso do outro. Nos termos de hoje, diríamos que Newton percebeu que o cálculo
de uma tangente realiza uma operação de derivação, enquanto o cálculo de uma
área equivale a efetuar uma operação inversa, isto é, a determinar
determinar uma primitiva
(diz-se
se que uma função F é uma primitiva de f se sua derivada F’ é igual a f).
Esse resultado é, longe de qualquer dúvida, um dos mais fecundos da história da
matemática. Não se refere à resolução de um certo problema particularmente
difícil, mas à resolução de toda uma classe de problemas que podem levar a um
cálculo de áreas ou de tangentes. É o evento que se chamará cálculo diferencial e
integral, ou cálculo infinitesimal (sim, o mesmo que Leibniz inventa quase ao
mesmo tempo que Newton),
ewton), e que forma em nossos dias um conjuntos de técnicas
indispensáveis em quase todos os domínios da ciência. Os ginasianos e estudantes
universitários aprendem, segundo o teorema fundamental do cálculo integral, que
derivação (ou diferenciação) e inte
integração são operações inversas.
Newton sentiu a necessidade de ferramentas matemáticas específicas para
exprimir as relações entre as grandezas relevantes da mecânica. Criou p
para este
fim o chamado método das fluxões,
fluxões essencialmente nossas derivadas;; em paticular,
derivadas em relação ao tempo.
As fluxões das variáveis x e y, a razão com que elas variam ou “fluem” no tempo,
eram representados simbolicamente por ẋ e ẏ, suas derivadas em relação ao
tempo,, notação ainda em uso. As variáveis seriam, nesse ccaso, os fluentes
fluentes. A fluxão
de uma variável podia tornar-se,
tornar
por sua vez, um fluente,, sendo representado por ẍ
e
, que são suas derivadas segundas em relação ao tempo. Uma outra operação
permitiria encontrar o fluente de uma fluxão,, sendo indicada pelos símbolos
e
, integrais em relação ao tempo.
tempo
É provável que muitas partes do Principia tenham sido deduzidas por Newton
através do método dos fluxions e depois convertidas para o processo geométrico,
mais tedioso e desajeitado, porém
porém mais bem estabelecido na comunidade
científica.
Os nomes fluxion e fluente sugerem uma simples analogia com definições ligadas
ao movimento de fluidos, no qual o fluente poderia representar o volume de água
em um açude, enquanto o fluxion representaria fisicamente a vazão de um córrego
que sai desse açude. O cálculo diferencial e integral foi desenvolvido paralelamente
pelo filósofo alemão Leibnizz,, a quem devemos nossa notação para diferenciais e
derivadas, assim como o símbolo de integral, que é um “S”” (de ““soma”)
graficamente deformado, além da talvez ambígua notação de diferenciais.
O MÉTODO DAS FLUXÕES
A guinada metodológica dada por Newton na década de 1670 certamente levou a
não divulgar um método formal ou algébrico que ele próprio considerava inferior à
geometria dos clássicos. Ele revelou principalmente o método das fluxões e séries
infinitas a alguns amigos que iam a Cambridge, quase em peregrinação, para visitálo. Em carta a Leibniz datada de 1676, ele expôs o teor do teorema fundamental,
mas sob forma de diagrama indecifrável! Por fim, cumpre notar que Newton,
deixando de publicar seu método das fluxões, não agia de forma diferente dos
geômetras da Antiguidade, que teriam dissimulado seu método analítico. A
reserva com que Newton vê sua obra de juventude e a forma como tenta dissimulála podem nos aparecer concernentes, mas, para Newton, essa atitude está de
acordo com os hábitos dos geômetras da Antiguidade.
No domínio da matemática, Newton se dedica, entre 1670 e 1690, à geometria.
Ainda que se trate, segundo ele, de redescobrir um saber antigo, ele obtém
resultados de grande originalidade. Assim, ele antecipa a geometria projetiva
utilizando, de forma sistemática, projeções para resolver numerosos problemas de
geometria plana, como aquele que consiste em encontrar as cônicas que passam
por k pontos dados ou o problema de classificação das curvas cúbicas em x e y
(sombras de cinco espécies diferentes).
Nem por isso ele abandona completamente a álgebra e o cálculo das fluxões. Em
1683, Newton entrega à Trinity College um texto de suas lições lucasianas. Estas
seriam publicadas em 1707 em um volume intitulado Arithmetica universalis,
dedicado à teoria das equações algébricas. Embora o texto tenha um espírito
francamente algébrico, encerra-se com um apêndice no qual o autor exprime com
eloquência sua simpatia pela geometria:
As equações são as expressões de um cálculo aritmético e, enquanto tais, não têm
lugar na geometria. As multiplicações, as divisões e outras operações do gênero
foram introduzidas recentemente na geometria, e isso sem precaução e contra os
princípios primeiros dessa ciência. Assim, essas duas ciências [a aritmética e a
geometria] não devem ser confundidas. Os antigos delas faziam uma distinção tão
clara que nunca introduziram termos aritméticos na geometria. E os modernos,
confundindo uma com a outra, perderam a simplicidade que faz toda a elegância da
geometria.
O método das fluxões continua igualmente a ocupar o professor lucasiano. Newton
se dedica a reescrever seu trabalho de juventude em linguagem geométrica. Assim,
ele distingue método analítico e método sintético das fluxões. O primeiro é o
método simbólico, descrito acima, no qual estão em jogo quantidades
infinitamente pequenas. O segundo não contém símbolos algébricos: Newton
refere-se apenas a figuras geométricas. Essas figuras não são estáticas, mas devem
ser concebidas como geradas por um “fluxo contínuo”.
NEWTON E LEIBNIZ
Quem é Leibniz? Nasceu em 1646, e seu pai, morto em 52, deixou-lhe uma
biblioteca de herança que lhe permite adquirir erudição precoce, construindo uma
linguagem simbólica que exprime todo tipo de raciocínio. Leibniz se dedica a ler,
com a maior atenção, as obras matemáticas de Descartes, Torricelli, Roberval,
Pascal, Wallis e Barrow.
Leibniz chega à formulação do “cálculo diferencial e integral”. Ainda hoje, essa
expressão é utilizada para designar a teoria matemática que, apesar das
modificações e desenvolvimentos feitos nos séculos que se surgiram, tem como
origens notações (em especial os símbolos dx e y dx) os trabalhos de Leibniz do
período de 1672 a 1676.
Com relação ao método das fluxões (chamados hoje de infinitesimal), que Newton
havia formulado alguns anos antes, o cálculo leibniziano apresentava diferenças
tanto no ponto de vista dos conceitos quanto do das notações. Entretanto, há
grandes semelhanças. Se Newton fala de momentos ẋ o de quantidades fluentes,
Leibniz fala de diferenciais dx de grandezas. Leibniz também dispões de uma regra
de eliminação dos diferenciais (x + dx = x). Como Newton, ele usa frequentemente
as séries infinitas. Finalmente Leibniz formula igualmente um teorema
fundamental do cálculo infinitesimal e compreende que classes inteiras de
problemas podem-se resumir à integração ou à diferenciação. Esses pontos de
similaridade, justamente, motivariam a acusação de plágio por parte de Newton.
Contrariamente a Newton, que preferia quase que dissimular seus métodos
matemáticos, Leibniz esforçava-se em comunicá-los. A partir de 1864, em uma
revista intitulada Acta eruditorum, Leibniz passa a publicar os princípios e
aplicações do cálculo diferencial e integral. Do método newtoniano das fluxões, em
contrapartida, nenhuma única linha ainda havia se tornado pública! Manuscritos e
cartas de Newton sobre as fluxões deviam certamente circular. O próprio Leibniz
teria recebido de Newton duas cartas que referiam-se ao teorema do binômio e a
um método da quadratura. Numa dela, Newton enunciava o objeto de seu teorema
fundamental do cálculo infinitesimal de forma codificada: 6accdaei3eff73i9n4o4qr
r4s8ti2vx. Essa mensagem criptada parecia corresponder - exceção feita ao “t”, e
identificando-se o “u” e o “v” - aos números das diferentes letras da frase “Data
aequatione quotcunque fluentes quantitates involvente, fluxiones invenire; et vice
versa”, ou seja, “Dada uma equação que contenha um número qualquer de
quantidades fluentes, encontrar as fluxões, e vice-versa”. Mesmo que Leibniz tenha
conseguido decifrar esse difícil quebra-cabeça, isso não lhe teria acrescentado
muito: nessa época, ele já tinha seu próprio cálculo diferencial e integral. As
acusações de plágio dirigidas a Leibniz são portanto infundadas.
É interessante destacar o que separa Newton de Leibniz. Ambos atribuem um
papel muito diferente a suas respectivas descobertas matemáticas e também
adotam atitudes bastante divergentes com relação a sua divulgação. A história da
matemática não é feita só de teoremas. Enquanto Newton é um nostálgico dos
métodos dos geômetras da Antiguidade clássica, Leibniz é um defensor convicto da
nova matemática, e, na sua opinião, o cálculo que ele havia finalizado constitui uma
separação com relação à matemática clássica. Ele externa uma grande admiração
pelo método newtoniano das primeiras e últimas razões. Mas suas declarações
fazem-se sempre acompanhar do convite para que se adote o novo cálculo, e para
desenvolvê-lo sem se preocupar com rigor ou contradição.
SÉRIES INFINITAS
Newton aprendeu muito sobre as séries infinitas graças às obras de Wallis; é
igualmente generalizando seus resultados que chegará à série binomial. Obtém-se
essa série exprimindo (1 + x)a, onde o número a pode ser um inteiro ou uma fração,
sob a forma de uma série de potências de x. A série binominal de Newton, válida
para todo x superior a -1 e inferior ou igual a 1, escreve-se:
(1 + x)a = a + aza-1 + [a(a - 1)/2]xa-2 + [a(a - 1)(a - 2)(a - 3)xa-3+ ..., sendo o (n +
1)ésimo termo dessa série igual a [a(a - 1)(a - 2)(...(a - n + 1)/n!]xa - n.
Newton chegou a essa fórmula tateando. Sem ter nenhuma dúvida sobre sua
exatidão, ele nunca conseguiu dar-lhe uma demonstração que satisfizesse. Na
prática, utilizava métodos de interpolação que Wallis batizava como “indutíveis”.
Newton conhecia a fórmula do binômio no caso em que o expoente a é um inteiro
positivo (no caso, a série binomial não comporta senão um número finito de
termos). Com um pouco de sorte, generalizou-a para expoentes fracionários
negativos ou positivos. Depois, ali aplicou aos casos cuja resposta conhecia por
meio de outros métodos e verificou que os resultados coincidiam.
Com a ajuda da série binomial, Newton calculou facilmente a área definida por
centenas de curvas, um dos principais problemas de sua época, assim como a
determinação de tangentes, raios de curvatura (a circunferência que aproxima
melhor uma curva em um dado ponto), baricentros, comprimentos dos arcos de
curva etc.
BINÔMIO DE NEWTON
Em matemática, o binômio de Newton permite escrever na forma canônica o
polinômio correspondente à potência de um binômio. Deve-se
se salientar que o
Binômio
mio de Newton não foi o objeto de estudos de Isaac Newton.. Na verdade o que
Newton estudou foram regras que valem para (a + b)n quando o expoente n é
fracionário ou inteiro negativo, o que leva ao estudo de séries infinitas.
Notação e fórmula:
O teorema do binômio de Newton se escreve como segue:
n
x y
x y k
Os coeficientes (nk) são chamados coeficientes binomiais e são definidos como:
n
n!
k
k! n k
!
onde n e k são inteiros, ≤ .
O coeficiente binomial (nk) corresponde, em análise combinatória,, ao número
combinações de n elementos agrupados k a k.
O triângulo de Pascal é um triângulo numérico infinito formado por coeficientes
binomiais (nk), onde n representa o número da linha (posição vertical) e k
representa o número da coluna (posição horizontal).
A construção do triângulo faz-se
faz
de forma que cada elemento do seja igual à soma
dos elementos imediatamente acima e à direita com o elemento imediatamente
acima e à esquerda. O elemento da primeira linha e primeira coluna é 1.
O princípio
pio do triângulo de Pascal é a relação de Stifel também conhecida como
igualdade do triângulo de Pascal:
Pascal
Por exemplo, o desenvolvimento de diversos binômios através dessa técnica:
x y
x y 2x y x y x y
x y 3x y 3x
3 y x y Demonstração do teorema do Binômio de Newton:
Newton
Antes de começar, vale lembrar que:
a a
(1)
Sejam x, y elementos de um anel comutativo (xy=yx) e n um inteiro não-negativo.
negativo.
n
x y
x y k
Demonstraremos por indução matemática.
Base:
0
n 0, x y
1 " # x y 0
1
1
n 1, x y
x y " # x y " # x y
0
1
Recorrência:
Seja n um inteiro maior ou igual a 1, mostraremos que a relação para n implica a
relação para n+1:
Da hipótese de indução,
n
$
x y
x y x y
k
Por distributividade de produto sob a soma:
x y
$
n
n
x $ x x y y x y y $
k
k
Que pode ser reescrito usando (1):
x y
$
x y
$
x
$
x
$
n
n
x x y y x $ y y $
k
k1
n
n
% & x $ y y $
k
k1
Usando a formula do triângulo de Pascal:
n 1 $ $
$
x y
x
"
#x
y y $
k
Reagrupando o somatório:
$
n 1 $ #x
y
x y
$ "
k
E segue o resultado.
CURIOSIDADES
Em um manuscrito que Newton escreveu em 1704, no qual ele descreve sua
tentativa de extrair informações científicas a partir da Bíblia, ele estima que o
mundo não iria terminar antes de 2060. "Ele pode acabar além desta data, mas não
há razão para acabar antes".
No lado mais pessoal, muitos biógrafos afirmam que ele havia morrido virgem.
Conta-se que as suas aulas de matemática eram tão monótonas que muitas vezes
ninguém aparecia e ele falava para as paredes.
Existe uma contradição na data de nascimento de Sir Isaac Newton, alguns autores
relatam que Newton nasceu em 25 de Dezembro de 1942 e outros datam seu
nascimento em 04 de Janeiro de 1943. Segundo Perna, 2007, pelo calendário atual
estávamos em 4 de Janeiro de 1643 - O calendário adotado em Inglaterra calendário gregoriano - estava atrasado em 10 dias. Alguns preferem dizer que
Newton nasceu em 1642 somente por este ser o ano da morte de outro gênio:
Galileu.
Os estudos atuais dos documentos mostram que Newton criou o cálculo durante
1665-1666 e Liebniz desenvolveu, independentemente, só 10 anos depois. Mas
ainda há muitas controvérsias. Alguns insistem em dizer que ambos criaram
praticamente ao mesmo tempo, mas que Leibniz tenha publicado primeiro.
Parece que a morte de Hooke não apenas abriu caminho para a presidência da
Royal Society, como também para que Newton publicasse Opticks, em 1704.
CONCLUSÃO
Isaac Newton foi um grande avanço para a ciência. Talvez, sem suas descobertas,
não haveria hoje tantos avanços da física moderna e tantas explicações para
diversos fenômenos. Suas leis e várias outras descobertas nos fazem compreender
melhor o mundo que nos cerca.
Newton foi um dos principais precursores do Iluminismo, sua capacidade mental
era incrível, fez descobertas importantes para a ciência que servem de base para
explicar diversos fenômenos e acontecimentos, e compreender o que é o universo.
Newton acreditava nos seus ideais e na sua capacidade, se propunha a observar
fenômenos da natureza e explicar como estes aconteciam. Diante de todas as suas
descobertas, que, sem sombra de dúvida, ampliaram os horizontes e deu a ele o
título de Pai da Física, este cientista brilhante acreditava que ainda havia muito a
se descobrir.
REFERÊNCIAS
http://www.algosobre.com.br/matematica/binomio-de-newton.html
http://www.infoescola.com/matematica/binomio-de-newton/
http://www.coladaweb.com/fisica/leis_de_newton.htm
http://web.educom.pt/luisperna/biografia_newton.htm
http://www.fisicapotierj.pro.br/poligrafos/leis_newton.htm
http://www.infoescola.com/fisica/lei-da-gravitacao-universal/
http://plato.if.usp.br/1-2003/fmt0405d/apostila/renasc7/node12.html
http://plato.if.usp.br/1-2003/fmt0405d/apostila/renasc7/node12.html
http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo
http://ciencia-vela.blogspot.com/2007/04/isaac-newton.html
Revista Scientifc American, “Gênios da ciência - Newton, o pai da física moderna”.