Série de palestras ministradas por Jean

Série de palestras ministradas por Jean-Baptiste Joinet
Professor visitante na PUC, Bolsista CAPES-Brasil
Professor da área de Lógica no Departamento de filosofia, Université Jean Moulin, Lyon 3 (France)
O programa de construtivização da logica clássica
A primeira palestra ocorrerá na sexta-feira 25 do abril, das 9 :00 ás 11 :00
na sala de reunião do Departamento de Filosofia
localizada no 11o andar do Prédio Cardeal Leme da PUC-Rio.
As outras datas serão determinadas durante a primeira aula.
RESUMO
No inicio do século vinte, a crítica ao « Princípio do terceiro excluído » ou ao « Raciocínio por
contradição » pelo lógico holandês L. E. Brouwer (assim como a posterior formalização por
Heyting e Gentzen do fragmento da Lógica clássica obtido por meio da remoção desses princípios
de raciocínio), permitiu o aparecimento de propriedades « construtivas » específicas da parte
correspondente da Lógica clássica : o fragmento chamado intuicionista da Lógica clássica ou
simplesmente a Lógica intuicionista.
Na lógica intuicionista, se uma fórmula existencial ∃xA[x] é demonstrável, então é possível exibir
um « testemunha existencial », ou seja construir um objeto t, para o qual A[t] seja provável
(dizemos que a lógica intuicionista satisfaz a « propriedade da testemunha existencial »).
Como é bem conhecido, esta propriedade não se estende ao caso de fórmulas existenciais
provadas usando os raciocínios específicos da Lógica clássica (terceiro excluído, raciocínio por
contradição…): há fórmulas existenciais classicamente prováveis para as quais é contudo
impossível construir um tal objeto t testemunhando essa existência.
Diz-se que na lógica intuicionista a existência é construtiva; a lógica intuicionista é chamada por
muitos « a lógica construtiva ».
Contudo, mesmo no caso do intuicionismo, esta propriedade que é válida para os teoremas, i.e.,
para os enunciados provados sem hipóteses, perde sua validade irrestrita quando a fórmula
existencial for provada a partir de uma teoria axiomática. Entre as raras exceções temos as
« Teorias de Harrop » e, claro, em primeiro lugar, a Aritmética.
Se inicialmente a ideia de « lógica construtiva » foi principalmente associada com a satisfação da
« propriedade da testemunha existencial » (ou de propriedades similares), o desenvolvimento da
interpretação das provas intuicionistas como construções ou funções recursivas (Brouwer1/2
Heyting-Kolmogorov, BHK) progressivamente transformou o sentido da noção de construtividade:
uma lógica passou a ser concebida como construtiva se fosse capaz de uma tal interpretação
(realizabilidade).
A existência de traduções da lógica clássica na lógica intuicionista, assim como os resultados de
interpretação parcial da aritmética clássica na aritmética intuicionista, incentivaram as tentativas
de se revelar um « conteúdo construtivo » de provas clássicas (ou seja, estender a interpretação
em termos de funções recursivas às provas clássicas: esse é o programa de pesquisa do lógico
austríaco G. Kreisel, denominado « unwinding program »)
Nos anos seguintes, a idéia da "construtividade lógica" foi de novo profundamente alterada pela
descoberta da « correspondência de Curry-Howard », revelando que uma regra de dedução é
nada mais do que uma instrução de programação no sentido da informática (naquele momento,
isso foi demonstrado apenas para um pequeno fragmento da lógica intuicionista, mas
posteriormente a correspondência foi generalizada a toda a Lógica, inclusive para a teoria dos
conjuntos, sob o nome genérico de « correspondência provas-programmas »)
A partir da década de 1980, a ideia de sistema de lógica construtiva passou a assumir o sentido
geral de "sistema lógico computacional", ou seja « que pode ser visto/usado como uma linguagem
de programação » .
Nesse contexto, o « unwinding program » do Kreseil assumiu uma nova forma, a saber, a de um
programa de pesquisa que busca compreender se os problemas que parecem tornar a lógica
clássica imprópria como linguagem de programação podem ser resolvidos (programa de
« construtivização da logica clássica »).
Nessa seria de dez palestras apresentaremos os vários elementos históricos, filosóficos e lógicos
dessa problemática e varias soluções que foram elaboradas durante os últimos quarenta anos.
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