Complementos de Física Experimental (1ª Parte)

Transcrição

I
UNIVERSIDADE
DE SAO PAULO
INsTITUTo DE r'Ísrcn
COMPLEMENTOS
de
Física Experimental
(1¿ Parte)
J. H. Vuolo
L994
Prefd,cio
Esta apostila se d,esti,na, ø complernentar os liaros teato d,e Física Geral e
outro,s ilisci,plinøs ern øssuntos que, usuølntente não sã,o tratøilos corn sufi,cientes d,etølhes. Isto é, esta apostila nõ,o substitui tais liaros e nã,o d,ispensa ø
leitura d,os mes¡nos. Assim, para, o leitor que nã,o atentar parø este d,etalhe,
esta apostilo, pod,eró pl,recer muito falhø em certos conceitos bd,sicos e cotn
tópicos se¡n nenhumø sequênci.a. Euíilentemente, isto nã,o quer d,izer que nã,o
eaistem følhas ile rninha parte. Neste cøso, só restø peili,r d,esculpas e tentør
corri,gir tais falhas em edi,ções futuras.
Agrød,ecimentos ¿o Prof. Giorgio Moscati pelo i.ncenti,ao e coløborøçõ,o nas questões ligød,as à. Metrologiø.
Agrailecimentos øo Prof. Aluisio N. Fagundes petø grand,e ajuila com
o eomputød,or e cotn os prograrnt.s, usad,os nø eiliçã,o iløs øpostilas.
Sõ,o
Paulo, 'l
d,e
Julho
d,e
199/
José'llcnrique Vuolo
Indice
...
1.1 Bipolos elétricos
...
pg.
1
... . pg.
1
1. Leis de Kirchhof
1.2 Potência transferida para o
bipolo
.
Kirchhoff
1.4 Solução de circuitos ....
...
pg.
3
pg. 5
1.3 As leis de
.. pg. 7
2. Geradores
2.1 Gerador de força eletromotriz
.....
..
2.3 Modelo simplificado de gerador
2.2 Principais tipos de geradores .
11
pg.
12
pg.
16
pg. 21
3. Curvas características
3.1 Curva característica
pg.
..
.
3.2 Elementos resistivos
....
3.4 Solução de circuitos por método gráfico
3.3 Elementos resistivos comerciais
.. pg. 21
.... pg. 23
.. pg. 26
.... pg. 33
1.5 Simbologia
pg. 39
4. Termos técnicos usados em metrologia
5. Estimativas de incertezas experimentais
5.1 Distribuições de
erros
.
pg. 49
... pg. 39
pg. 40
5.2 Número de graus de liberdade
5.3 Incerteza
padrão
..
P8. 40
5.4 Limites de erro
pg.
51
incertezas
5.6 Incerteza padrão tipo A e tipo B
pg.
53
5.5 Propagação de
B
5.8 Estimativa da incerteza padrão tipo A
6. Sistema Internacional de Unidades
5.7 Estimativa da incerteza padrão tipo
.... pg. 53
..... pg. 54
..... pg. 58
pg. 69
6.1 Sistema Internacional de Unidades
pg.
69
6.2 Valores de algumas consüantes físicas
pg.
73
pg.
75
7. Multímetro
7.1.
. pg. 75
... pg. 77
Multímetro
7.2 Multímetro analógico
.
. pg. 83
7.3 Multímetro digital
7.4 Medição em corrente alternada
...
.
..
pg. 88
.. pg. 89
8. Tensão e corrente alternadas
pg.
8.1 Conceitos básicos
8.2 Rede elétrica
comercial
..
,...
9. Choque elétrico
9.1 Efeitos da corrente no corpo
humano
9.2 Choque entre uma das mãos e a terra
9.3 Choque entre uma das mãos e a
1.4 Ligação de instrumentos à terra
outra
89
pg. 92
pg.
95
pg. 95
.. ps. 99
....
pg.
100
pg.
100
### L
Leis de Kirchhoff
As Leis d,e Ifirchhoff (Lei das Tensões
e
Lei ilas Comentes),
ile circuitos elétricos sã,o resumi,estas leis, é, necessd,rio esParo,
enteniler
das nestø Seção.
tøbelecer certa,s conaenções po,ro, poløri,ilad,e ile tensõ,o e corrente e¡n bipolos, øs quais sã,o também øpresentailas. Para
entender melhor estas conaenções, é øpresentadø também ø
fórmulo, para a potê,nciø trønsþriilø ø un't, elemento bi,polar
ile ci.rcuito.
essenciøis pør& ø soluçõ,o
1-.L Bipolos elétricos
Bipolos elétricos são componentes elétricos com apenas 2 terminaisl.
Exemplos de bipolos são resistores, capacitores, indutores, pilhas, diodos semicondutores e outros. Além destes, existem os chamados multipolos elétricos que são componentes com mais de dois terminais. Os
bipolos são muito importantes porque, além de serem muito utilizados individualmente, são os componentes básicos para a construção de
outros multipolos ou são os modelos biísicos para se entender o funcionamento de multipolos mais complicados. Por exemplo, uma ponte
retificadora2 pode ser entendida como um quadripolo, isto é, um comlBipolos elétricos são discutidos na Referência 1. A expressão "dipolo elétrico"
é usada em eletromagnetismo com sentido um pouco diferente.
2Uma ponte retificadora é mostrada nos Exercícios da Seção 3.
r-
r
1
### 1. LEIS DE 6çRCHHOFF
2
i
î,
BIPOLO
BIPOLO
v
v
(u)
(b)
Figura I.L: Representações
num bipolo elétrico.
d,ø t'ensõ'o
elétri,ca
V
e d,a conente elétrica
i
ponente eletrônico com 4 terminais. Entretanto, a ponte retificadora é
construída a partir de 4 diodos, que são bipolos.
Exemplos importantes de quadripolos, além de ponte retificadora
são transformadores, amplificadores e filtros.
Um bipolo elétrico qualquer pode ser representado como é mostrado
nas Figuras 1.1.(a) ou 1.1.(b).
i
é positiva se a corrente passa pelo bipolo no
sentido indicado pela seta e negativa no caso contrário. A diferença de
potencial elétrico V, também chamada de tensão elétrica, é indicada
como nas Figura.s 1.1.(a) ou 1.1.(b), com a ponta da seta apontønd'o
pt.rø o ponto ile potenci,øl møi,s ølto. Para um simples resistor, por
exemplo, a corrente elétrica sempre flui para o ponto de potencial mais
baixo, de forma que a seta de tensão é sempre oposta à de corrente
como na Figura 1.1.(a). Como outro exemplo, se uma pilha está fornecendo energia para o circuito, a tensão e corrente são representadas
como na Figura 1.1.(b), pois, neste ca"so, a corrente flui no sentido de
potenciais mais altos.
A corrente elétrica
Quando os sentidos da corrente e da tensão num dipolo são conhecidos, d,euem ser necessariø¡nente i,nd'icad,os corn os sentidos cometos,
Entretanto, quando a tensão V e a corrente i forem quantidades
desconhecidas, pode-se escolher um sentido qualquer para a comente,
indicando a tensão conforme a Figura 1.1.(a).
1.2. POTENCIA TR,ANSFERIDA PARA O BIPOLO
3
B
î
BIPOLO
v
Figura L.2: Um bipolo colocad,o entre pontos A e B d'e um circuito.
Quønilo u'ma, ct,rgø L,q se desloca de A øté B, uma certa quo'ntid,ade
d,e energi,a AU é trønsferidø parø o bipolo.
L,2
Potência transferida para o bipolo
Um bipolo inserido num circuito elétrico pode absorver energia do circuito ou fornecer energia ao mesmo. Num circuito simples com uma
única pilha e resistores, a pilha fornece energia para o circuito, enquanto
que cada resistor absorve energia do circuito.
A seguir, será deduzida uma expressão geral para a potência P
transferidø pøra o bipolo. Conforme será visto, esta potência pode ser
positiva ou negativa. No caso em que P é positiva, isto significa
potência absorvida pelo bipolo. No caso em que a potência P transferida ao bipolo é negativa, isto significa que o bipolo é quem está
realmente fornecendo energia para o circuito.
Na Figura 1.2, se uma carga Aq se move de um ponto A a um
ponto B, a sua perda de energia potencial é
LIJ : LqV¡ - A'qVs - LqV
onde
t/ -
v¿
- vB
(1.1)
(1.2)
sendo V¡ e Vn os potenciais elétricos em A e B, respectivamente.
Uma vez que, a carga Ag não tenha se acelerado no percursos, resulta
sNum circuito comum, a{t carga¡¡ elétricas se movem mas, em média, não se
aceleram. Discussão mais detalhada é apresentada na Seção 28.6 da Referência 2'
### 1.
4
LE¿S
DE IçRCHHOFF
que a energia AU permaneceu no bipolo. Dividindo-se as expressões
pelo tempo Aú em que ocorreu o processo, obtém-se
AU
v Aq
Aú
Aú
Por definição, a corrente elétrica
i
enquanto que, a potência
i
(1.3)
é
Aq
(1.4)
A¿
Pé
P : ^*
(1.5)
Substituindo na Equação 1.3, resulta que a potência
maneceu no bipolo é dada por
P=Vi
P
que per(1.6)
Esta potência P é, portanto, a potência trønsferid,a do circuito
pa,ra o bipolo. Se resultar um valor negativo para P, isto significa que
a potência foi transferid,o, ilo bipolo parn, o ci,rcuito. Deve ser cuidadosamente observado que esta interpretação do sinal de P vale para V e
i com as polaridades indicadas na Figura L.2. A inversão de uma das
setas na Figura 1.2, significa inversão na interpretação do sinal de P.
A seguir são apresentados alguns exemplos.
I
Resistor. No caso
de um simples resistor, a corrente
elétrica sempre flui de um poten-
Exemplo
cial mais alto para um potencial
mais baixo, de forma que as setas
queindicam V e i sãosempre opostas, resultando que ambas são positiva^s ou ambas negativas. Assim, P : Vi resulta
sempre positiva, significando que
um resisúor sernpre øbsorae energia d,e um circuito.
i
resistor R
V
Figura 1.3
1.3. AS LEIS DE IçRCHHOFF
5
Exemplo 2. Cøpøcitor. No
caso de um capacitor, a placa
carregada positivamente é a de
maior potencial. Assim, a seta
de tensão V aponta sempre para
a placa positiva. Quanto à corrente elétrica i, o sentido pode ser
qualquer. No caso mostrado na
Figura 1.5, acorrente i > 0 éno
sentido de carregar o capaciüor.
Assim,V e
i
cøpøcitor C
2
t:
l=i
v
Figura 1.4
sãopositivosea
potência P resulta positiva, de forma que o capacitor está retirando
energia do circuito. Entretanto, o capacitor ideal apenas a,rmazena
energia em suas placas. Se a corrente inverter de sentido (i <
a potência P se torna negativa, significando que o capacitor estará
fornecendo energia para o circuito.
1-.3 As leis de Kirchhoff
Uma malhaé definida como qualquer percurso fechado em um circuito.
No exemplo da Figura 1.5 existem 3 malhas. A malha Mt é o percurso
que passa pela pilha e pelos resistores Rt e r. A malha M2 passa por
Rt, Rz e pelo bipolo X. Uma malha externa Ms passa por todos os
componentes do circuito, exceto .R1 .
A, Lei das Tensões ile lfirchhoff a estabelece que é nula a soma
algébrica das diferenças de potencial ao longo de uma malha qualquer.
Esta lei é uma consequência imediata da definição de potencial elétrico.
Por exemplo, considerando um percurso fechado passando por 3 pontos
quaisquer A, B e C, em potenciais V,q,, VB e Vc ,
(V¡
-
VB) +(Vp
- Vc) *(V" - V¡) -
o
4A Lei das Tensões de Kirchhoff também é chamada la Lei de Kirchhoff ou Lei
das Malhas. A nomenclatura do texto é a utilizada na Referência 3.
### 1.
6
---+
A
LEIS DE IçRCÍTHOFF
la,
<ç
Rl
Motho
I
Motho ?
?
I
X
t
BR
vx
?
Figura L.5: Eaemplo ile ci,rcuito elétrico.
Para aplicação imediata da Lei das Tensões, é necessário que
as
setas que indicam as tensões elétricas ao longo da malha estejam todas
num mesmo sentido, tal como na malha Mz da Figura 1.5. Neste caso,
resulta da Lei das Tensões que
Vt*Vx*Vz:0
(
1.7)
Entretanto, se existem tensões representadas por setas oposta^s ao
sentido de percurso, basta inverter o sinal desta^s tensões. Por exemplo,
para a malha M1 , r'esulta
Ue-Vm-V:0
(1.8)
Não é difícil verifica¡ que, se a Lei das Tensões for usada para a
malha Ms resulta uma terceira equação que é a soma das Equações
1.7 e 1.8. Portanto, esta equação não é linearmente independente das
anteriores. Exceto no caso de circuito com uma única malha, o número
de equações independentes é sempre menor que o número de malhass.
Em circuitos mais simples, de umas poucas malhas, não é difícil escolher
somente rn equações independentes. Mas nada impede que sejam
usadas mais que nz equações, se isto ajudar na soluçã.o das mesmas.
6Uma discussão mais detalhada do número de equações independentes em um
circuito pode ser enconürada na RBferência 3.
1.4. soLUÇAO DE CIRCUITOS
7
Um nó é definiclo como um ponto de interligação 3 ou mais fios de
um circuito. Pol exemplo, o ponto A da Figura 1.6 é um nó. A Lei das
Correntes dc lfirch,hoff 6 estabelece que é nula a soma algébrica das
colrentes que convergem para um nó de um circuito. Bvidentemente,
correntes que entram num nó devem ser consideradas com sinal oposto
ao clas que saem. Esta lei é consequência da conservação de cargas.
Uma vez que as cargas não podem se acumulal em um nó, resulta
que a soma das correntes que chegam ao nó deve ser igual à soma das
correntes que saem do mesmo.
Assim, aplicando a Lei das Correntes para o nó A da Figura 1.5,
resulta
i+ir-ir-0
(1.9)
Conforme pode ser visto da Figura 1.5, é inírtil usar a Lei das Correntes para o nó B, pois resulta a própria Equação 1.9. No caso geral
de n nós, existem (rz - 1) equações linearmente independentes para
as correntes.
L.4
Solução de circuitos
O ponto de partida para a solução de problemas de circuitos elétricos
são as Leis das Colrentes e das Tensões de Kirchhoff. Num circuito
qualquer com n nós podem ser escritas rn equações independentes
pata as tensões e (n - 1) equações para a.s correntes.
Além das equações independentes obtidas das Leis de Kirchhoff,
podem existir relações gerais entre tensão e corrente elétrica para cada
bipolo particular. Por exemplo, no caso de um resistor a relaçã.o entre
tensão e corrente é dada pela Lei de OhmT
V:Ri
A partir das equações acima, podem ser determinadas
as quantidades incógnitas do circuito, se o número de quantidades conhecidas
for suficiente.
6A Lei das Correntes tambémé chamada 2aLei de l(irchhoffou Lei dos Nós.
7A Lei de Ohm é discutida na Seção 3.
### 1. LErS DE KTRCHHOFF
8
Por exemplo, no circuito da Figura 1.5, pode-se usar a Lei de Ohm
para os resistores, obtendo-se
Vt=Rtü
Vz:Rziz e V:ri
(1.10)
Assim, as Leis de Kirchhoff e a Lei de Ohm permitem escrever 6
equações independentes pa,ra o circuito da Figura 1.5. As quantidades
envolvidas são
Vo, Vx, Vt, Vz,
V, i, it, iz, .Br, Rz er
(1.11)
Admitindo que o circuito da Figura 1.5 é um circuito de corrente
contínua (CC ou DC)t, para o qual a"s tensões e correntes são constantes, as 11 quantidades relacionadas são constantes e, se 5 delas
forem conhecidas, æ 6 demais quantidades podem ser determinadas.
No caso de várias malhas envolvendo bipolos mais complicados tais
como capacitores e indutores, o problema pode ser mais complicado,
pois as equações pa,Ìa as malhas envolvem derivadas e integrais da"s
correntes. Isto é, pode resultar um complicado sistema de equações
diferenciais para o circuito.
As relações gerais entre tensão e corrente para alguns bipolos são
discutida^s na Seção 3.
Referências
1. L.Q.Orsini, Circuitos
Eletrônicos, Editora Edgard Blucher,
São
Paulo (1963).
2.
D. Halliday, R. Resnick e J. Merrill, Funilamentos
3.
C. M. Close, Circuitos Li,neares
Física 3 Eletromøgnetismo, Livros Técnicos e Científicos Editora Ltda, Rio de
Janeiro (1991).
d,e
/, EDUSP e Livros Técnicos e
Científicos Editora S.A.,Rio de Janeiro (1975).
80 regime de corrente contínua é usualmente indicado por DC, que vem
expressão inglêsa "Direct Current".
da
I
1.4. soluÇÃo DE CIRCUITOS
3 ='!
ó
Fonte
_s
Rr=?
Ra=?
(L
e
n
DC
Ra
R5
Figura 1.6:
Exercício
1. No circuito da Figura 1.6, o bipolo X é uma pilha com força eletromotriz e e resistência interna r. As resistências Rt , Rq e ^R¿
são conhecidas, enquanto Rz , Re e ß5 são desconhecidas. Na
fonte de alimentação DC à esquerda, a tensão V pode ser modificada.
Explicar detalhadamente como podem ser determinadas as resistências
Rz, Rs, Rs e r, bem como e, rcalizando medidas com um
voltímetro digitale.
eO voltímetro digital tem resistência interna bastante alta. Admite-se aqui, que
não há nenhuma alteração no circuito quando o voltímetro é usado.
i0
I
### 2
Geradores
d.iscutidos nesta Seçã,o.
Alé,m ilo conceito d,e gerød,or, sõ,o apresentød,os os tipos d,e
gerailores e um mod,elo sí,mplif,cøilo parø gerador DC.
Gerad,ores de
2.L
forçø eletromotriz
sõ,o
Gerador de força eletromotriz
Um gerad,or d,e força, eletromotriz (fem) pode ser entendido como qualquer dispositivo que pode gerar e manter uma tensão elétrica, convertendo outras formas de energia em energia elétrica. A fem se distingue
de outra tensão elétricaqualquer de um circuito no sentido que a femé
bastante independente do circuito, sendo a energia elétrica correspondente gerada a partir de outro tipo de energia.
Um exemplo simples de gerador é uma pilha comum. A ferné devida
aos potenciais eletroquímicos de substâncias da pilha. Uma pilha pode
fornecer para um circuito, a energia liberada em reações químicas.
Usualmente, a palavra t'gerador" é usada para um dispositivo que
pode fornecer energia elétrica em quantidade suficiente para alimentar
circuitos. Entretanto, conforme a definição acima, "gerador" tem um
significado bem mais amplo. Não só uma gigantesca turbina hidroelétrica ou uma poderosa bateria se enquadram na definição de gerador,
mas também diminutos dispositivos, tais como um minúsculo detetor
fotovoltaico ou uma sensível termopilha.
11
### 2.
T2
Um gerador de fem pode ser esquematizado conforme é mostrado na
Figura 2.1. Os condutores A e B são
carregados com cargas *q e -Q ¡
respectivamente. A diferença de potencial e é proporcional à carga
,:
GERADORES
P.T.C
e
I
Cq
O dispositivo pode fornecet uma corFigura Z.lzGerød,or.
rente i para o circuito, mas a carga
g tencle a diminuir, evidentemente.
Num gerador, sempre existe algum processo de transporte de cargas
(P.T.C) que transporta cargas positivas diretamente de B para A, de
forma a manter a carga g constante. Evidentemente, este transporte
de cargas de B para A requer energia que, no caso de um gerador, deve
resultar de conversão de outras formas de energia que nã.o seja elétrica.
Na prática, os diversos tipos de geradores podem ser bastante difelentes do dispositivo esquemático da Figura 2.I e o processo de transporte de cargas pode ser extremamente complicado.
2.2
Principais tipos de geradores
Gerador eletromagnético
A fem é gerada por variação de fluxo magnético em bobinas, conforme
a Lei de Faraday da Induçãol. Os exemplos mais importantes são os
geradores conhecidos, tais como geradores ou alternadores de veículos,
geradores das turbinas hidroelétricas e geradores para suprir falta de
energia da rede elétrica. Entretanto, existem muitos dispositivos que,
lPor exemplo, ver Referências 1, 2 e 3.
2.2.
PRTNCIPAIS TIPOS DE GERADORES
13
embora nã,o funcionem como fonte de energia elétrica, são entendidos
como geradores. Bxemplos de tais geradores são miclofones magnéticos,
bobinas rotativas ou sondas magnéticas para medil campo magnético e
bobinas de Rogowisky ou "amperímetros alicate" para medir corrente
elétrica.
Pilhas eletroquímicas
A fem é gerada a partir dos potenciais elétricos que ocorrem quando
diferentes substâncias químicas são colocadas em contacto2. Quando a
pilha fornece cortente, a fem é mantida por reações químicas.
Uma infinidade de pilhas ou baterias são comercialmente disponíveis, desde minúsculas pilhas de relógios de pulso até gigantescas
baterias de submarinos antigos. Além disso, pilhas rudimentares de
baixa eficiência podem ser facilmente construídas a partir de soluções
químicas comuns e eletrodos metálicos.
Nem sempre a funçã.o cla pilha é fornecer energia para um circuito.
Por exemplo,, a Ttilh,a Ttadrõ.o de Weston fornece /ern e : 1.01485Volt
a 20o C . A variação nesta fern com a temperatura é menor que 0.00005
Volt por grau centígrado. Assim, esta pilha é muito útil como tensão
de referência, por exemplo, para calibração de instrumentos.
Gerador fotovoltaico
A incidência de onda eletromagnética numa junçã.o p-n de um semicondutor adequado, pode resultar numa fem dftetamente relacionada com
a onda eletromagnética incidentes. Assim, a energia da onda eletromagnética pode ser diretamente converticla em energia elétrica e' portanto, tem-se um gerador. Os exemplos mais comuns de tais geradores
são as células de silício usadas em células solares e células de selênio
usadas em fotômetros.
Células comerciais de silício funcionam com eficiência em torno
cle 10%, fornecendo corrente da ordem de 20 mAf cmz em pleno sol.
Atualmente, painéis de células solares têm sido usados para fornecer
2Por exemplo, ver Capítulo 10 da Referência 4.
3Por exemplo, ver Capítulo 10 da Referência 5.
T4
### 2.
GERADORES
energia para satélites, relógios, calculadoras, estações metereológicas,
estações repetidolas de sinais de TV e outros equipamentos em locais
distantes da rede elétrica comercial.
As células de selênio são menos eficientes que as de silício, mas têm
a glande vantagem de ter uma sensibilidade espectral próxima à da
visão humana. Isto as torna mais adequadas para fotometria.
Existem vários tipos de detetores fotoaoltaicos de ladiação que também podem ser entendidos como geradores fotovoltaicos. Dvidentemente, a função de tais detetores nåo é fornecer enetgia, mas permitir
a medida de ondas eletromagnéticas (luz comum e infravermelha). Em
princípio, um fotod.iodo também funciona como detetor fotovoltaico.
Entretanto, para medida da ladiação eletromagnética, o fotodiodo funciona melhor quando polarizado por uma tensã,o elétlica externa.
Gerador termoelétrico
Um termopar simples é construído ligando-se 3 fios em série, sendo o
fio do meio de material diferente, por exemplo cobre-constantan-cobre.
Se as duas junções dos fios sã,o mantidas a temperatulas diferentes,
surge uma fem termoelétrica que é propolcional à diferença de temperaturas entre as junções. Para os termopares mais usados, as tensões
termoelétricasa são cla ordem de 30 a 100 pvl'C. Um termopar simples serve para medir temperaturas.
Uma termopilha é um conjunto cte telmopares muito clelicados, ligados em série e funciona como um detetor térmico de radiação eletromagnética (luz visível, ultravioleta, infravermelho ou qualquer outra
radiação capaz de aquecer significativamente as junções da termopilha).
Além de detetores térmicos de radiação e termopares para medir
temperaturas, o princípio do termopar é usado na construção de um
gerador termoelétrico de potência, capaz de fornecer energia pata alimentar circuitoss. Tal gerador pode funcionar queimando óleo, por
exemplo, sendo bastante incômodo e ineficiente. Dntretanto, pode sel
tuma boa solução para alimentar um radiotransmissor em locais distantes da rede de energia elétrica.
aAs fem termoelétricas de alguns metais e ligas são dadas nas Referê¡rcias 5 e 6,
por exemplo.
sPor exemplo, ver Capítulo I da Referência 5.
2,2. PRINCIPAIS TIPOS DE, GERADORES
15
Gerador eletrostático
O gerador eletrostático funciona essencialmente como mostrado na Figura 2.1, mas a geometria dos condutores A e B é bastante diferenteo.
As cargas são geradas por atrito e transportaclas por meio de uma cinta
transportadora de B para A. Dste processo é extremamente ineficiente,
de forma que o geraclor eletrostático não serve como fonte de energia
elétrica no sentido usual. Entretanto, o gerador eletrostático tem a
grande vantagem de produzir fem com valores extremamente altos, até
dezenas de milhões de Volts. Dsta fem permite acelerar partículas carregadas, obtendo-se assim, feixes de partículas pesadas de alta energia.
Geladores eletrostáticos foram, e ainda são bastante utilizados como
aceleradores de íons.
Gerador piezoelétrico
Certos cristais geram /ern quando submetidos a forças. Como exemplos
conhecidos podem ser mencionados os microfones piezoelétricos e acendedoles de chamas piezoelétricos. Além disso, tais dispositivos também
poclem ser usados como sensores de força.
Gerador Hall
condutor ou semicondutor tlansportando corrente elétrica é colocado num campo magnético transversal à corrente, surge uma /ern
transversal à corrente e ao campo magnético chamada fem flall7.
A fem l{all é proporcional ao campo magnético e à corrente elétrica.
Assim, o gerador Hall pode ser utilizado para medir campo magnético,
se a corrente que passa pelo dispositivo é conhecida. O gerador Hall
é palticularmente útil para medir campo magnético constante. A' fem
I{all também pode ser usada pala medir correntes contínuas muito altas,
aplicando-se um campo magnético conhecido ao condutor.
Se um
6Um desenho detalhado de um gerador eleürostático é mostrado no Capítulo 29
da Referência 7.
TPor exemplo, ver Capítulo I da Referência 5.
### 2.
16
GERADORES
Gerador MHD
O princípio do gerador magnetoh,idrodinô,mico (MHD) é basicamente o
mesmo do gerador Hall, sendo a corrente elétrica devida a um jato de
gas ionizado e não uma corrente elétrica usual como em um condutor
ou semicondutor. A, fem gerada é transversal ao jato de gas.
O gerador MHD é apenas um objeto de pesquisas científicas8 que, se
funcionasse com eficiência, permitiria converter diretamente a energia
térmica em elétrica, usando um gas aquecido a altas temperaturas.
2.3
Modelo simplificado de gerador
O geradores apresentam várias limitações quando estão fornecendo corrente elétrica. A fem e pode sofrer alterações em função da corrente e
sempre existem resistências internase.
A resistência interna depende bastante do tipo de gerador e do processo de transporte de carga para manter a carga g. Além dos fios de
ligação, podem existir resistências associadas aos materiais conclutores
ou semicondutores no interiol do getador'. A fem pode diminuir com a
colrente elétrica. Por exemplo, no gerador eletrostático, a capacidade
do processo de gerar e transpoltar cargas é muito limitada, de forma
que, mesmo para correntes não muito altas, a fem não é mantida. Urn
gerador eletromagnético tende a ser freiado quando está fornecendo corrente. Assim, se o torque externo aplicado ao gerador não aumentar,
a rotaçã.o diminue e também a fem. No que segue, são considerados
somente geradores de corrente contínua (DC).
Um gerador ideal é definido como um gerador pala, o qual a força
eletromotriz e é, sempre igual tensão elétrica V nos seus terminais, independentemente da corrente elétrica i . O gerador ideal é apenas zrn
mod.elo de gerador, que é útil para se construir modelos mais complicados para geradores reais. Um gerador ideal, dificilmente é um modelo
adequado para descrever um geradot real.
sVer Referência 8, por exemplo.
eAlém de resistências internas, pode existir capacitâncias e indutâncias. No caso
mais geral, pode-se falar em impedância internas.
2,3. MODELO SIMPLIFICADO DE GERADOR
i:0
L7
N
t
R
2
(")
(b)
Figura 2.22 Modelo simplificado para um gerador DC.
V (Votts)
e
fi
i.(A)
Figura 2.3: Curua carøcterística V x i Iro,ro, o moilelo simpfficailo
gerø,ilor DC mostrøilo nø Figurø anterior.
d,e
### 2.
18
GERADORES
As Figuras 2.2 mostram o modelo simplificado para um gerador
DC real que consiste de um gerailor iileøl de fern e associado em série
com uma resistência ri, que é chamada resistência, i,ntema do gerador.
Usando a Lei da"s Tensões de Kirchhoff no circuito da Figura 2.2.b,
obtém-se
(2.1)
V:e-r¿i
A Figura 2.3 mostra a relação entre
Uma vez que V = Ri, obtém-se
.e
ô-e
V e i, para esge modelo
(2.2)
R*r;
Para o gerad,or em circuito øberto (Ã :
V -- e. Pa¡a o gerad,or em curto-circuito
máximae V!0.
A potência P
æ), a corrente é nula
(Ë:0),
que é transferida para a resistência
p:Vi=Riz=
de gerador.
r=R".=
(ft
+ r¡)2
R
a correnteé
é
(2.8)
Conforme pode ser demonstrado, esta potência é m¡íxima quandolo
R r¡. Assim, um gerød,or transfere ø ¡nd'xirna potência para o circuito eaterno quønilo a resistênciø interna é iguøl à eúerna.
:
Fonte de Alimentação DC.
Uma fonte d,e o,limentøçõ,o DC ê, tm circuiúo com transformadores,
diodos, capacitores, transistores, resistores e outros componentes, que
fornece tensão elétrica constante, geralmente ajustável, para alimentar
outros circuitos.
A fonte de alimentação DC é alimentada pela rede elétrica ou por
um gerador, e portanto, nõ,o é um geradnrno sentido da definição dada
neste texto, pois não converte outras formas de energia em energia
elétrica. Entretanto, uma fonte de alimentação DC num circuito, tem
comportamento semelhante a um gerador DC.
roVer Exercício
l.
2.3. MODELO SIMPLIFICADO DE GERADOR
19
Referências
Fund,amentos d,e Física - 9,
Editora S.4., Rio de
Técnicos
e
Livros
Científicos
Eletromo,gnetismo,
Janéiro (1991).
1. D. Halliday, R. Resnick e J. Merrill,
2. R. M. Eisberg e L. S. Lerner, Física - Fund'arnentos e Apli'cøções,
Vol.3, McGraw-Hill, São Paulo (1983).
3. P.A.TipIer,
Físi,ca 9, Ed.Guanabara Dois,
Rio de Janeiro(1978).
4. W. J. Moore, Físico-Químicø,Livrc Técnico S.A. e EDUSP, Rio de
Ja¡reiro (1968).
5. V. Stupelman and G. Filaretov,
Semi'conilutor Deai,ces, MIR Pub-
lishers, Moscow (1976).
6. N. Koshkin
and M. Shirkevich, Høndbook of Elementary Physi'cs,
MIR Publishers, Moscow (1968).
7. D. Halliday, R. Resnick e J. Merrill, Físicø 9, 4aEd., Livros Técnicos
e Científicos Editora S.4., Rio de Janeiro (1984).
8. L. Artsimovitch,
ers, Moscou.
Physique líIémentøire iles Plasmøs,
MIR Publish-
20
### 2.
GERADORES
Exercícios
1. Pa¡a obter a máximapotência que pode ser extraída de um gerador,
deve-se encontra¡ o máximo de P, dado pela Equaçãa 2.3, admitindose .R conio variável.
Obter a condição de máximapotência transferida ao circuito externo
e a expressão para esta potência m¿íxima.
2. A corrente de curto-circuito de uma pilha comum é aproximadamente
2 A . Estimar a resistência interna e a máxima potência que esta pilha
pode transferir a um circuito externo.
3.
Cada célula solar de silício fornece aproximadamente uma tensão
de 0,45 Volt. Calcular aproximadamente a corrente elétrica que pode
ser obtida de uma célula de t cr¿2 em pleno sol, admitindo-se uma
eficiênciada ordem de l0 Yo . Apotência de radiação útil para conversã,o
fotovoltaica é aproximadamente æ L\ÙmWf crnz .
4. A insolação média no Estado de São Paulo equivale aproximada-
mente a 5 horas diárias de pleno sol
^, L\ïmWlc,rnz . Admitindo
uma eficiência de l0To, calcular a á,rea (em lcmz) qtt" deveria ser
coberta com painéis solares para fornecer energia equivalente à da usina
hidroelétrica de Itaipu ( 13,2 GW ).
### 3
Curvas Características
As reløções gerais entre a tensõ,o elétricø V e corrente elétríca i ern
urn bipolo sã,o iliscutiilo,s nesta seçõ,o. Em particulør, sã,o apresentød,as
øs defi,nições d,e elemento resisti,oo, ele¡nento resistiao lineør e nõ,o Iinear, Lei d,e Ohm, curaos carøcterísti,co,s dos elementos resistiaos mai,s
cornuns e detølhes sobre conuenções e simbologia.
3.1
Curva característrca
Um gráfico da corrente elétrica i em função da tensão I/ é chamado
curva característica do bipolo, se este gró,f'co seruir pa,rø cør&cterizar o
comportørnento ilo bipolo sob determinadas condições ambientais.
Para se obter a curva ca¡acterística, aplica-se uma tensão V ao
bipolo e mede-se a corrente i. Assim, do ponto de vista operacional, a
tensão V é que deve ser considerada como variável independente e a
curva característica deve ser o grá,fico i xV, que é o grrífico geralmente
apresentado em livros de eletrônica e manuais de fabricantes. Entretanto, do ponto de vista conceitual, parece preferível usar V x i como
curva característica. como mostram as Equações 3.1 e seguintes' por
exemplo. Neste texto, será sempre usada o griifico V x i.
Nem sempre um bipolo tem uma curva característica pois o gráfico
V x i pode não ser definido, como é mostrado a seguir.
2t
### 3,
22
CURVAS CARACTERíSTICAS
A relação geral entle a tensão V e a colrente
pode ser escrita na seguinte forma geral
i
em um bipolo
:
v : v(...,1idt, i,,#,...,0t,,02, ...)
(B.t)
Isto é, a tensâ,o V é função da corrente i , das derivadas e integrais
da corrente, além de depender de certos parâmetros 01, 02, . . ., tais
como temperatura, luminosidade, pressão e outros.
Um bipolo tem curva característica quando a relação geral 3.1 nõo
enaolaer d,eriuadas ou integrais da corrente elétrica. Dm outras palavras, o bipolo tem cutva característica se a relaçåo entre tensåo e
corrente for da forma geral
V:V(i,0r,02r...)
(3.2)
Assim, se as condições ambientais relevantes forem fixadas, de forma
01 , 02, .. . são constantes, resulta uma relação definida entre V
e i. Neste caso, existe um gráfico V x i bem definido que serve para
caracterizar o bipolo nas condições fixadas.
Não é difícil ver que, se a relação geral 3.1 envolve derivadas e integrais da corrente, não é possível nenhum gr'áfico V x i que caracterize
o bipolo. Um exemplo simples é o indutor ideø|1, para o qual a relação
entre a tensão e a corrente é da forma
que
V: Idi
'ã
(3.3)
oncle L é um parâmetro chamado autoindutância ou, simplesmente,
indutô,ncia. A corrente i nã,o influi diretamente na tensão. Uma
corrente muito alta, mas constante (i : constante) resulta em tensão
nula (V : 0 ). Correntes baixas, mas variando rapidamente com o
tempo resultam em grandes valores de V. Dm Ìesumo, um gráfico de
V x i não tem nenhum significado no sentido de caracterizar o indutor.
Um outro exemplo de bipolo que não pode ter curva característica é
o capacitor. Para um capacitor, a lelação entre tensão e corrente num
instante t é da forma
lr
r/Y-cJ-*f iú
lPara indutor real
I/
(8.4)
depende da derivada da corrente e da própria corrente.
3.2. ELEMENTOS RESISTIVOS
onde
23
C
é um parâmetro chamado ca,pacitô'nciø. Neste caso, a tensão
independe do valor da cotrente no instante consiilerado. Também
neste caso, um gráfico de V x não tem nenhum significado no sentido
de caracterizar o capacitor.
Os chamados elementos resistivos são discutidos a seguir e são exemplos de bipolos que têm curva,s características. Pilhas e baterias também
são exemplos de bipolos que têm cutvas características.
V
3.2
i
Elementos resistivos
Um elemento resistivo é um bipolo com relação entre a tensão
corrente i da forma geral :
V : Ri
Ve
(3.5)
onde .E é definida como resi,stência elétrica,do bipolo. A resistência
Isto é,
pode ser função de certos parâmetros físicos h' 0z
R : R(|t, 0r, . ..)
-B
(3.6)
onde os parâmetros 01 , 02, . . . repl€sentam fatores que afetam o valor
da resistência R, tais como temperatura, luminosidade e outros. Em
alguns casos, um desses parâmetros pode ser a própria corrente ou a
tensão V.
Um dos aspectos a serem considerados é que a grande maioria dos
materiais apresenta grande variação de resistência com a temperatura.
O coef,ciente ile temperøturø para uma resistência Ä é definido por
i
an:
TdR
RdT
(3.7)
onde ? é a temperatura. Para varição
temperatura, pode-se usar a aproximaçã,b:
oN
=
I
A,^R
ñ-LT
ou
R:
A?
Ro(l
não muito grande na
+ aAT)
(3.8)
onde -Eo é a resistência inicial. Deve ser observado varição pequena
na temperatura significa que o coeficiente de temperatura varia muito
pouco no intervalo de temperaturas considerado.
### 3.
24
CUilUAS CARACTERíSTICAS
V
P
V
/
A,-_-_1_
0
/
Coef. Ang. BP =R
Coef, Ang. AP =Rd
Figura 3.1: Cunto, cøro,cterlstì,cø
60
ihe
am elemento rcsístioo hipotético
V (Volts)
40
20
0.0
0.4
0.8
L.2
1.6 i(A')
Figura 3.2: Curlo, cørøcteríståeø parø uÍ¿ resistor.
3,2. ELEMEN"OS RBSISTIVOS
25
A delìnição 3.5 para elemento resistivo
assegura uma propriedade
que
é V :0 quando i : 0. Isto é,
importante dos elementos resistivos
a crlrva característica de um elemento lesistivo, por mais complicada
que seja, passa pela-origem do sistema de coordenadas.
Num ponto P qualquer da curva característica a resistência .R
definida pela Equação 3.5
é
:
n
v
(3.e)
?,
Assim, na Figura 3.1, .R é o coeficiente angular da reta que passa pelos
pontos
O e P.
A resistência dinô.micø é definida
terística por
R¿
em cada ponto da curva carac-
: qdi
(B.to)
A resistência dinô,micø também é chamada de resist'ência in'a'ernental
ou resi,stência diferencial. Na Figura 3.1, a resistência dinâ,mica é o
coeficiente angular da reta tangente à curva característica no ponto P.
A resístêncio. d,inâ.micø pode ter valor positivo, negativo ou nulo.
Um bipolo é chamado elernento resistiuo linear ou elcmento ôltmico,
quando obedece a Lei de Oltm em sua folma mais simples:
V:Ri
onde A:constante
(3.11)
Conforme a nomenclatura adotada aqui, a Equação 3.5 é apenas uma
definição de lesistência, enquanto que a Equação 3.9 é a Lei de Ohm2.
Mas nem sempre é esta a nomenclatura usada. As vezes, a Bquação
3.5, ou uma forma equivalente3, é que é chamada de Lei de Ohm.
Eviclentemente, a curva caracter'ística de um elemento resistivo linear é uma leta passando pela origem, como mostra a Figura 3.2. O
coeficiente angular da reta é a resistência ,R.
Quando a resistência não é constante, o elemento resistivo é chamado elemento resistivo nõ,o linear ou nã,o ôhmico. Alguns exemplos cle
elementos lesistivos não lineales são discutidos a seguir.
2Dsta é a nomenclatura adotada nas Referências 1, 2 e 3, por exemplo
sTal como
î = o.d, pot exemplo.
### 3,
26
Bxistem elementos resistivos que são intrinsecamente nã,o lineares.
Isto é, mesmo que todos os fatores ambientais externos sejam mantidos
constantes, a resistência pode apresentar grandes variações. Isto ocorre,
por exemplo, em diodos semicondutores e varistores. Entretanto, existem elementos lesistivos que são usualmente considerados não lineares,
embora a valiação da resistência seja um simples efeito cle variação de
condições ambientais externas. Por exemplo, um filamento metálico
de uma lâmpada apresenta grande aumento na resistência por conta
de um grande aumento na temperatura, quando a cotrente aumenta.
Por outro lado, deve sel observado que é impossível manter constante a
temperatura de um filamento de lâmpada. Um LDR apresenta grandes
variações na resistência em função de variações na luminosidade incidente.
Existem ainda elementos resistivos com relação entre tensão I/ e
corrente i bastante complicadas e não muito repetitivas de forma que é
difícil falar em curva característica. Um exemplo é um tubo cle descarga
com gas, que pode ter comportamento pouco repetitivo, com curva
característica que não volta sobre si mesma. Exemplos de tubos cle
clescargas são lâmpadas neon e fluorescentes.
As Figuras 3.3, 3.4, 3.5 e 3.6 mostram exemplos de elementos resistivos não lineares.
3.3
Elementos resistivos comercrars
Além de resistores, vár'ios elementos resistivos são disponívers comercialmente. A seguir são descritos resumidamente alguns deles. Uma
descricao detalhada do princípio de funcionamento dos componentes
semicondutores é dada na Referência 5. Culvas características e especificações são dados em manuais de fabricantes.
Resistor
Resistor ou resistência sã.o construídos de folma a obedecer a Lei de
Ohm dentro de certas condições nolmais de utilização.
Os resistores comerciais de uso geral mais comuns são os chamados
resistores tle carbono, resístores de fi,o e resistores de filme deqtositado.
3.3. ELEMENTOS
R"ESTSTTVOS COMENCTATS
F¡tonento de
umo lompodo
3.0
V
27
<vottr>
e.0
I
1.0
-400
I (mA)
e00
-200
400
-1.0
-2.0
Figura 3.32 Caraø c.aro,cterístico, ilo filamento rnetdlico ile a'¡nø lômpadø.
V (Votts)
Tubo de
descongo
em gos
e000
1000
| (¡nA)
-0.4
0.2
-0.e
0.{
-1000
-2000
Figura 3.4: Curaa característöcø ile um tabo ile ilescørga ø gas,
### 3.
28
CURVAS CA&ACTERíSTTCAS
Vcvotts)
D¡odo
sem¡condutor
.\l
.74
2.0
1.0
l(mA)
1.0
-1.0
-2.0
2.0
Escolo secclonodo
e
nod¡flcodo
?
100
200
Figura 3.5: Curao, característicø ile um d,ioilo semiconilutor.
Vcvotts>
V
Vor ¡ston
e0
10
I (n'¡A)
-0.4
-0.2
0.?
0.4
Figura 3.6: Curaa, cørøcterísti,ca ile u¡n aaristor.
3,3, ELEMENTOS RESISTIVOS COMERCIAIS
29
Os lesistores cle carbono sã,o construídos de carbono e um material
amalgamante, moldados na forma de uma barra cilíndt'ica. Os resistores
de fio são construídos enrolando-se fio de liga metálicaa sobre uma barra
cerâmica. Os resistores de filme sã,o construídos depositanclo-se metais,
carbono ou óxidos metálicos sobre uma barra de cerâmica ou vidro.
Além desses, existem muitos resistotes especiais, paÌa usos específicos
e feitos cle materiais diversos.
As especificações mais importantes de um resistor comercial são:
o Valor nominal
Il.
r
Tolerância, expressa como percentagem sobre o valor nominal.
Pode ser entendida como w limite de erro L do valor nominal.
¡
Potência nominal, que é a máxima potência qtte' em certas condições normais de utilização pode ser dissipada no t'esistor sem
provocat aquecimeuto excessivo.
As especificações de um resistor comercial vêm escritas diretamente
no resistor' (por exemp\o,4T O - 10% - lÙW .) ou säo dadas por meio
de um código de cores mostrado na Figura 3.7.
Mtritas vezes, é necessário converter o limite de erro (tolerância)
para incerteza qtøtlrã,o, que é a incerteza dada na forma de desvio
padrão. Conforme discutido na Seção 5, para distribuição gaussiana
de erros e nível de confiança de x gSYo para a tolerância (limite de
erro), a incerteza padrã,o é dada por
o
=
L2
(8.r2)
Quanto à tolerância, deve ser sempÌe lembrado que' em geral, não é
suficiente conhecer a resistência ,R com grande acur'ácia para eliminar
erros. Em circuitos, os resistores podem se aquecer, dependendo das
condições, e a resistência pode sofrer alterações. Por exemplo, pode
ser inútil medir a resistência de um resistor comercial de 10 To com
acurácia melhor que 1 %, devido a variações com a temperatura.
Sempre deve ser lembrado que o aquecimento excessivo do resistor,
mesmo quanclo não provoca danos, pode alterar o valor da resistência,
a ponto de invalidar a tolerância especificada.
aEm geral, é usada uma liga de níquel e cromo, de alta resistividade
### 3,
30
Código de cores
0
_
preto
2+
4
?Ldígito ( Z )
2Ld.ígito ( Y )
aertnelho
larania
+
[Qd,ísito ( X )
amo,relo
5
aerd'e
6|8 -+
9
ilfiffirmffiI 7o¡ur6nciø (TTo )
InArrOn
1
3
CURVAS CARACTERíSTTCAS
azul
uioletø
cinza
Ouro *5To
Prata
Tolerâ,ncias
-I0o/o
20 %
Jncolor+
bra,nco
-
R_ XYxl0z +T%
Figura 3.7: Cód,igo de cores pa,rø resistores comerciøis.
Além de resistores de valor fixado, existem disponíveis os potenciômeh'os e trimpots que são resistores de valor ajustável pelo usuário.
Estes dispositivos são muito usados em controles de instrumentos e
também quando é necessário ajustar o valor de uma resistência, depois
que um cilcuito é montado.
Diodo
Um d,i,odo i,deal é um dispositivo que conduz perfeitamente a corrente
elétrica em um sentido e não conduz no sentido inverso. No caso de
corrente direta, a resistência é nula, enquanto que para corrente reversa
a resistência é infinita. A maior utilidade de um diodo consiste em
permitir passagem de cotrente elétrica em um único sentido. Isto é, o
diodo funciona como uma válvula que se abre para um determinado
3.3. ELEMENTOS RESISTIVOS COMERCIAIS
sentido da colrente elétrica e se fecha quanclo a corrente tenta
sentido oposto.
Um di,odo reøl apresenta várias limitações, tais como,
o Tensã,o di,reta não nula, significando
31
fluil
em
resistência não nula para
P: Vi
corrente clireta. Isto também significa que uma potência
é dissipada no própio dioclo.
o
Resistência reuersø finita, significando que existe uma pequena
corrente teversa.
o Bxiste um valor máximo pala a tensã,o l'euerso,, além do qual o
diodo conduz significativamente.
A culva característica de um diodo semicondutor de silício é mostrada na Figura 3.5. Para este diodo, existe uma tensão direta de
æ 0,7Volt quando o diodo está conduzindo uma coÌÌente direta alta.
Além disso, a máxima tensão leversa é æ 200 V olt . Bxistem também
diodos de germânio que têm características piores que as do silício pala
uso geral. Bntretanto, a tensão direta para um diodo de gelmânio cle
x 0,4Volt qrando o diodo está conduzindo uma corrente direta alta.
Isto pode ser vantajoso em algumas aplicações.
Um exemplo de utilizaçã,o do diodo é a chamad a Ttonte retifi,cadoraí,,
que converte uma corlente (ou tensão) de sentido qualquer em corrente
(ou tensão) de sentido único.
Um outro uso de diodos é a proteção de circuitos contra tensões
elevadas na entrada de dispositivos delicados tais como galvanômetros
e entradas de amplificadores opelacionais. Se 2 diodos de silício invertidos são ligados paralelamente à na entrada de um dispositivo
qualquerc, a tensão não pode excedet'significativamente 2 x0r7Volt.
Qualquer que seja o sentido da tensão, um dos diodos entla em condução, mantendo a tensão próxima a0r7Volt,, como mostra a Figura 3.5.
O diod,o zener or d,iodo aualanche tem uma máxima tensão reversa
rnelhor definida, chamada tensã,o zener. Diodos zener, com tensões
zenet desde alguns Volts até mais de l00Volts são disponíveis. A curva
característica é semelhante à de um diodo normal. Este componente é
útil para gerar um tensão de referência bem definida (a tensão zener).
õVer Dxercícios 1. Os símbolos são dados na Figura 3.10
6Ver Dxercício 2 e Figura 3.13.
### 3,
32
LED
Um LED (ligth emitting diode) é um diodo construído de forma a
emitir luz visível ou infravermelha sob tensão direta. Os LED's comuns
emitem luz nas cores vermelha, verde e amarelaT.
A partir de LED's, podem ser construídos lasers LED. Para isso, é
necessário espelhar duas faces do cristal, de forma a se obter uma cavidade ressonante. Um dos espelhos pelmite uma pequena transmissão
da luz para se obter um feixe de saída. Tais lasers são consttuídos para
luz visível e infravermelha.
Varistor
Um aøristor (variable resistor) é um resistor cuja resistência varia com
a tensão aplicada. As vezes, são também chamados de MOV (metal
oxide varistor).
A curva característica de um aøri,storé mostrada esquematicamente
na Figura 3.6.
Os componentes denominados VDR (voltage dependent resistor)
têm característica^s semelhantes às do varistor.
Varistores são utilizados usualmente como proteção contra tensões
elevadas. A curva característica mostra que o varistor não permite que
uma tensão aplicada seja maior eue âJ V¿. Assim, se um varistor é
ligado em paralelo a um dispositivo qualquer, a tensão não pode exceder
significativamente a tensão V¿ .
LDR
Um fotorresistor, também chamado LDR (ligth dependent resistor), é
um resistor cuja resistência depende da luminosidade. O LDR's são
construídos a partir de semicondutores fotossensíveis tais como Pó,5,
Cd,S, CdSe o\ BizSs. Aproximadamente, a relação entre a resistência
R e a intensidade luminosa S ê d,a forma geral
R_
Aö_O
TUma curva característica é mostrada na Figura 3.12.
(3.13)
s.4. soLUÇAo DE cIRCUITos - tøúrono cnÁnco
33
Termistor
Um termistor é um resistor cuja resistência é bastante dependente da
temperatura. Assim, o termistor pode ser usado como um sensor de
temperatura. Geralmente, os termistores são chamados de PTC ou
NTC (positive ou negative temperature coefficient), conforme o resistol tenha coeficiente de temperatura positivo ou negativo. Um coeficiente de temperatura é positivo quando a resistência aumenta com a
temperatura, conforme mostra a Bquação 3.11.
3.4
Solução de circuitos - Método gráfico
Para elemento resistivo não linear, a curva característica é, em geral,
uma curva complicada que não pode ser descrita por nenhuma expressão maternática simples. Neste caso, fica clifícil resolver um circuito
sem usar métodos numéricos. Nos casos mais simples, pode-se usan um
rnétodo gráfico, como explicado a seguir.
Uma situação típica é a do circuito mostrado na Figura 3.8, onde e
é uma /ern conhecida, bem como o valor da lesistência .R. O elemento
X é conhecido apenas por sua cul'va característica. Os tamos A e B do
citcuito podem ser considerados separados, cada um com sua própria
curva caracter'ística (V¡ x i¡ e V' x i', respectivamente). Quando os
ramos A e B são conectaclos, atensão V e acorrente i nos circuitos são
iguais, de forma que esses valores devem estal na intersecçã.o clas curvas
características. Isto é, se as curvas calacterísticas säo desenhadas em
um mesmo gr'áfico, a solução para V e i é intersecção das curvas,
colno mostrado na Figura 3.9. Um exemplo de aplicação do método é
explicado no Exercício 3.
3.5
Simbologia
Os símbolos convencionais para alguns dos elementos mais usados em
circuitos são mostrados na Figura 3.10. Entretanto, nem sempre tais
símbolos são usados em livros de Física. A começar pelo símbolo do
resistor.
### 3.
34
I
l^
-I.ç'
CUïVAS ÇA&ACTERíSTTCAS
l*
--Þ
-+>
vf v.
R
R
V
t
€,
Ro.rîo
A
Ronro
B
Figura 3.8: O elemento X tem cunta carøcterísticø conhecid,o.
,Y,(ir)
V
VX ( x)
Figura 3.9: Soluçõ,o gróficø paro o circuíto dø Fíguro 9.8.
,..':e....:.
:... ,.
.
"
,..,.¡.
3.5.
35
Sh,I.BOLOGIA
\\
t_l
reslslor comum, de carvåo ou
de fio
LDR ou reslslor dePendente
da luz
lâmpada Piloto
(tlpo lncandesc€nto)
v
VDR ou varistor (res¡slor
dependente da tensåo)
-to
NTC ou termistor (reslstor
dependenle da lemperalura;
coeliclente de temPeralura
polenciômetto
negatlvo)
-{
baleria (simbolo genêrico)
lâmpada neon
bateria solar
{l-
capacitor normal, sem
polarização
baleria com tensão
va¡iável
altolalante
microfone '
.\l
7t
--rrnbobina com núcleo de ar
diodo retilicador comum
fusivel
--rn-\boblna com núcleo de lerro
diodo LED
(d¡odo emissor de luz)
N
lolod¡odo
ponte relil¡cadora
lll
translormador com núcleo de
lerro laminado
Figura 3.702 símbolos ile alguns elen¿entos us?,dos em circuitos.
### 3.
36
1. D. Halliday, R. Resnick e J. Merrill,
Fund,amentos d,e Física - 3,
Eletromagnetismo, Livros Técnicos e Científicos Editora S.4., Rio de
Janeiro (1991).
2. W. H. Hayt Jr., Eletroma,gnetisrno,
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P¡tho gnonde
V<votts)
t.5
V
1.0
0.5
i <a>
1.0
-1.0
2.0
-0.5
Figuno 3,7, Cunvo corocter¡stico de
urto pitho,
üþïm
t:'j.r !.
.:i... l:;
8.õ.
g7
SIMBOLOGTA
e-+
'l
a
nv
Fonte
ï.
Figura 8.lLz frmcåonømento ilø ponte rctificadoru'
Vcvotts>
3.0
R
I
e.5
\
\
e.0
Luz
1.5
1.0
0.5
i
5r0t5eo
Figura 3.122 Círcuito com d'iodo LED.
(A)
### 3.
38
Exercícios
1. A Figura 3.11 mostra 4 diodos montados numa disposição chamada
ponte retificadora.
Mostrar que independentemente do sentido de V ou
de iu, a corrente i sempre circula no sentido indicado.
a.
: IÙVolt e R:20f), calcular a potência dissipada na ponte retificadora e no resisüor.
b. Se V
\\\\'¡¡//z
2. O fundo da escala de um galvanômetro é I2¡tA e a resistência
Dois diodos
interna é 30 /fO .
de silício são ligados nos terminais
do galvanômetro, conforme mostrado na Figura 3.13, para proteção
do mesmo. Isto é, correntes muito
maiores que L2 p,A queimatiam a
bobina do galvanômetro, mas são
desviadas pelos diodos.
\
Fig 3.L3: Proteçã,o d,e um
galaanôrnetro co¡n 2 iliodos.
a. Mostrar que os diodos praticamente não interferem no funcionamento normal do galvanômetro e calcular a máxima corrente que passa
pelo galvanômetro, quaisquer que sejam as sobretensões ou sobrecorrentes aplicadas na entrada do mesmo.
b. Para diodos de silício de 1, 4W , calcular a máxima corrente que
pode ser aplicada ao conjunto, para que a proteção funcione.
Um LED deve ser ligado a 2 pilhas comuns de l,\Volts, como
mostrado na Figura 3.12. Obter o valor da resistência que deve ser
usada em série, de forma a ter uma corrente de 20 mA no LED.
3.
### 4
Termos técnicos usados em
Metrologia
Def,nições e alguns comentórios sobre termos e erpressões
mais usados en'¿ rnetrologiø sã,o apresentad,os nestø Seçã,o.
4.L
Introdução
A nomenclatura b¿ísica sobre metrologia tem sido discutida nos últimos
anos por grupos constituídos de especialistas indicados pelas seguintes
olganizações internacionais:
o BIPM - Bureau International
¡
des Poids et Measures
IEC - International Eletrotechnical Comission
o IFCC - International Federation of Clinical Chemistry
o ISO - International Organization for Standardization
o IUPAC - International Union of Pure and Applied Chemistry
o IUPAP - International Union of Pure and Applied
¡
Physics
OIML - International Organization of Legal Metrology
39
40
### 4.
TERMos rÉcNtcos usADos EM METRILIGIA
As recomendações desses grupos de trabalho são reunidas em duas
ptrblicações de 1993 Í1,21, "Guide to the Eqtression of Uncertainty
in Measuren'tent" (Guia) e "International Vocøbulary of Basic and
General Terms in Metrology" (Vocabulólio), editados em nome das organizações internacionais citadas. A autolidade das organizações mencionadas não deixa muitas dúvidas de que tais recomendações serão
universalmente adotadas em ciência e tecnologia. Por isso, palece extremamente impoltante conhecer e utilizar tais recomendações.
No que segue são apresentadas as definições e alguns comentários
t'Guiatt e no
sobre alguns dos termos usados no
"Vocabulário" citados.
ttVocabuláriot' é bem mais extenso e apenas
Deve ser observado que este
foram escolhidas as expressões mais importantes. Também deve ser
observado que, não houve a preocupação de traduzir literalmente as
definições originaisl. A preocupação maior consistiu em manter, os
conceitos originais das Referências I e 2.
Para as expressões que constam do "Vocabulát'io", além da explessão traduzida, são aptesentadas também as palavras originais em
inglês e em francês. As expressões sã.o indexadas por asteriscos (,r.) com
os seguintes significados:
*
**
**
*
Expressões recomendadas no "Vocabulário" (Refetência 2)
ttGuiat' (Ref. 1), mas
Bxpressões usadas no
çlue não aparecem no
"Vocabulário" (Ref. 2)
ttVocabulát'io",
Expressões que não aparecem no "Gniatt e nem no
mas são usadas em outros textos.
As palavras foram ordenadas de forma que, na medida do possível,
cada definição nã.o envolva conceitos não mencionados antes.
As Referências 3 e 4 são citadas com bastante frequência porque são
os textos utilizados nas disciplinas de Física Experimental 1 e 2. Tal
quantidade de citações não constitue um julgamento de mérito destes
textos.
rDm alguns casos, foram adotadas as definições das Referências 3 e 4.
4,1. TNTR¡DUÇÃI
4t
* Grandeza (quantity/grandeur)
lJma grand,eza mensuróael é um atributo de um fenômeno, corpo ou
substância que pode ser distinguido qualitativamente e determinado
quantitativamente.
* Medição (measurement/mesurage)
Mediçõ,o é o conjunto de operações com o objetivo de determinar o valor
de uma grandeza. Em geral, a medição é também chamada de med'iila,
simplesmente. Entretanto, medição é a palavra mais correta.
* Metrologia (metrology/métrologie)
A metrologia'ê, a ciência da medição.
r,
Valor verdadeiro (true value/valeur vraie)
ile uma, grand'ezø é o valor que seria obtido de uma
medição perfeita e a determinação do mesmo pode ser entendida como
o objetivo final da medição. Enttetanto, deve ser observado que o valot
verdadeiro é por natureza, indeterminado.
O aalor
aerd,ød,eiro
* Mensurando (measurand/measurande)
O mensurand,o ê,o objeto da medição. Esta palavra pode ser usada para
o valor verdadeiro de uma grandeza particular submetida a medição.
Valor convencional (convenüional true value/valeur conventionnellement vraie)
,¡
uølor conuencionøl é um valor aceito por convenção para uma dada
grandeza. Por exemplo, as constantes física^s mais importantes são periodicamente analisadas e atualizadas pelo CODATA2.
O
2Commitee on Data for Science and Technology. Ver Referência 5, por exemplo'
42
*.
### 4.
TDRM}S rÉ,c¡,ucos usADos EM METR)L)GIA
Erro (error/erreur)
erco é o resultado de uma medição menos o valor verdadeiro da
glandeza. Uma vez que o valor verdadeiro é uma quantidade desconhecida, resulta que o erro é também uma quantidade indeterminada, por
natureza.
Bm geral, o erro é uma quantidade inteiramente desconhecida. Entretanto, em certos casos excepcionais, o erÌo pode ser determinado
com boa aproximaçã.o. Um exemplo de tal caso ocorre quando se realiza medida de uma grandeza de valor convencional muito acurado, com
objetivo de testal um aparato experimental. Uma situação semelhante
ocorÌe em experiências didáticas. O aluno realiza uma expeliência para
determinar uma quantidade, cujo valor já é conhecido com acurácia
muito maiol do que a permitida pelo equipamento didático disponível.
Neste caso, o aluno pode obter o erÌo do resultado com muito boa aproximação, em relaçãoàs incertezas envolviclas. Entretanto, como regra
geral, o erro deve ser entendido como uma quantidade completamente
desconhecida e os conceitos de eÌ'ro e incerteza devem ser cuidadosamente distinguidos.
O
*.
Incerteza (uncertainty/incertitude)
A incertezø no resultado de uma medição é uma quantidade que indica
quanto pode ser o erro. Evidentemente, a incerteza só pode ser obtida
e interpretada em telmos probabilísticos. Existem várias formas de
indicar a incerteza3.
* Repetitividade (repeatability/répétabilité)
Repetitiaidade é, o glau de concordância entle resultados de sucessivas
medições de um mesmo mensurando, repetidas exatamente nas mesmas
condições, que são chamadas condições d,e repetiti.uidade. As condições
de repetitividade incluem mesmo procedimento de medida, mesmo obselvador, mesmos instlumentos e nas mesmas condições, mesmo local
e repetição em tempos curtos.
3Ver final desta Seção e a próxima
4.1. TNTRODUÇAO
43
* Reprodutibilidade (reproducibility/reproductibilité)
Reprodutibilidade é o grau de concordância entle resultados de medições cle um determinado mensurando, sob condições modificadas. Se o
princípio ou método cle medição, ou qualquer das condições de repetitividade é modificada, cleve-se falar em reprodutibilidade de resultados.
* Erro estatístico (random error/erreur aléatoire)
Erro estatístico ot erro aleatório é a diferença entre o resultado de uma
medição e o valor médio verdadeiro correspondente (média limite).
Os erros estatísticos flutuam aleatoriamente quando a medição é
repetida em condições de repetitividade.
O erro estatístico da média pode ser reduzido por meio de repetições
da medição em condições de repetitividade. Por exemplo, o desvio
padrão da média de n medidas é t/" vezes menor que o desvio
padr'ão das medidas.
* Erro sistemático (systematic error/erreur systématique)
Erro sistemó.tico é o erro da média limite. Isto é, em conclições de
repetitividade, o erro sistemático na média é o mesmo que em cada
resultado, independentemente do número de repetições da medição.
Assim, um elro sistemático na média nã.o é reduzido quando a medida
é repetida ern condições de repetitividade.
* * * Valor médio verdadeiro
Valor médio aerd,adeiro or méd.i,a limite é o valor médio que seria obtido
de um número infinito de medições em condições de repetitividade.
A diferença entre o valor verdadeiro e o valor médio verdadeiro é o
erro sistemático.
* Correção (correction/correction)
Coneçã,o é um valor a ser somado algebricamente ao resultado (não
corrigido) de uma medição para compensar um erro sistemático.
44
*,
### 4.
TERMos rÉ,cNtcos usADos EM METRILIGTA
Fator de correção (correction factor/facteur de correction)
Fator d,e correçã.o é um fator numérico pelo qual deve-se multiplicar
um resultado (não corrigido) de uma medição paÌa compensar um erro
sistemático.
x*
* Erro sistemático residual
As correções para compensação de um erro sistemático nunca sã,o perfeitas. Assim, erco sistemático residualpode ser definido como o resíduo
do erro sistemático. Isto é, a cliferença entre o erÌo sistemático e a
correção.
Um erro sistemático não corrigido, também pode ser entendido como
um erro sistemático residual.
,r Acurácia (accur acy f exactitude)
A. acurdciø é um conceito qualitativo para indical o glau de concordância entre o resultado de uma medição e o valor verdadeiro do mensurando. "Acur'ácia" é a palavra que deve set' usada para indicar a
qualidade f,nal de um resultado experimental.
A palavra precisõ,o não deve ser confundida com acurácia.
* *,r, Precisäo
A
precisão é um conceito qualitativo para indicar o grau cle concor'clância de divelsos resultados experimentais obtidos em condições de
repetitividade. Assim, "boa precisão" significa erro estatístico pequeno,
de forma que os lesultados apresentam boa repetitividade. Dntretanto,
pode existir erro sistemático grande e a aculácia pode ser ruim.
Por exemplo, pode-se construir uma balança de pratos extremamente sensível, que permita comparar massas com muito boa precisã,o.
Entretanto, se as massas de referência não forem boas, a acurácia será
ruim. Assim, é possível ter boa precisã,o e acurácia ruim. Entretanto,
não se pode ter boa acurácia quando a plecisão é ruim.
Se o aparato não permite boa precisão, uma boa acurácia só pode
ser obtida às custas de grande número de repetições de medidas, de
forma a ter média com boa precisão.
4.1. TNTRODUÇAO
45
** fncerteza padrão
A incerteza padrã,o é a incerteza dada na forma de um desvio padrão.
Nas Referências 3 e 4 a incerteza padr'ão é denominada erro padrõ,o.
A expressãa incerteza padrã.o consta do "Guia" (Referência 1), mas
não aparece no "Vocabulário" (Referência 2). Isto significa que esta
também não é uma expressão de consenso. De qualquer modo, "incetteza padrão" parece preferível, pois "erro padrão" é uma incerteza
e não um erro, como a expressåo sugere.
,¡* fncerteza padrão
tipo A (fncerteza estatística)
A incerteza padrã,o tipo A é uma incerteza padrão obtida por métodos
estatísticos. Isto significa que a incerteza padrão de tipo A é obtida
a partir de resultados de n de medições quaisquer, em condições cle
repetitividade ou não.
A incerteza padrão tipo A é determinada pelos métodos estatísticos
usuais e indicada pelo desvio padrão resultante da análise estatísticaa.
Quando for o caso, também devem ser indicadas as covariâncias.
Nas Referências 3 e 4, a incerteza tipo A é chamada de incerteza
estatística.
*,*.
fncerteza padrão tipo B
tipo B é uma incerteza padrã,o obtida por qualque
quer método
não seja estatístico.
Bmbola erros sistemáticos e e?'l'os estatísticos possam ser distinguiclos numa experiência sob condições experimentais bem determinadas,
a distinção entre tais tipos de erros é bastante arbitrária5. Por isso, não
se deve identificar incertezas de tipo A ou B com incertezas associadas
a erros estatísticos ou sistemáticos.
Nas Referências 3 e 4, a incerteza tipo B é chamada de incerteza
si st ern áti. ca r e si tlu al.
A incerteza
pad.rã,o de
aPor exemplo, ver Referências de 3 a 1.0, exceto 5.
sUma discussão a respeito é apresentada no Capítulo 6 da Referôncia 3
46 ### 4. TERMos rÉcNtcos usADos EM METRILIGTA
** fntervalo de confiança
Um interualo ile conf,ança P
dade tenha probabilidade
P
é um intervalo tal que uma dada quantide estar contida nele.
** Coeficiente de confiança
O coef,ciente ile conf,ønçt' níuel de conf,ançø ou conf,ança é a probabilidade P para um determinado intervalo de confiança.
Por exemplo, se Uo é o valor verdadeiro de uma grandeza,
resultado experimental e o é a incerteza padrã.o
y-o<Uo1y+o
y
é um
comPx6STo
define um intervalo com coeficiente de confiança
tribuição normal de erros.
P
æ 68T0, para dis-
**, fncerteza expandida com confiança P
A incertezø erpand,id,ø é a incerteza padrão multiplicada por uma constante ß , de forma a se obter um intervalo de confiança P determinada.
Por exemplo, se Uo é o valor verdadeiro de uma grandeza, y é um
resultado experimentale o é a incerteza padrão, a incerteza expandida
ê, ko, com intervalo de confiança definido por
A
- lco 1
Uo
1
A
* ko
comconfiança P
Nas Referências 3 e 4, a incerteza expandida com confiança P é
chamada li,¡nite d,e erro corn confiønça P.
Pa¡a distribuição normal de erros e incerteza padrão experimental,
valem os seguintes coeficientes de confiança
2 (V - Zo 1 yo < V *2o)
å:3 (y-go1 y,< y*3o)
lc
--
x
temconfiança P x
tem confiança
P
gSTo
ggTo
Os coeficientes de confiança P indicados são v¿ílidos com boa aploximação para a incertezaexperimental ø obtida a partir de um número
grande de graus de liberdade.
4.1.. TNTRODUÇAO
47
Referências bibliográficas
l. Guide to the Eopression of Uncertai,nty in Measuremezú, International Organization for Standardization, Geneva (1993).
2. Internati,onal Vocøbuløry of Basic and, General Terms in Metrology, Zni, Ed., International Organization for Standardization,
Geneva (1993).
3. J.H. Vuolo, Fund,ømentos d,a Teoria
d,e
Enos, Editora Edgard
Blücher, São Paulo (1992).
4. J.H. Vuolo, Introiluçõ,o à, Teorio, d,e Erros, Apostila IFUSP,
São
Paulo (1992).
5. B.N. Taylor, The Physical Consto,nts, Phys. Lett. B 204, 51
(1e88)
6. O.A.M.Helene
V.R.Vanin, Trøtamento Estatísti,co de Dailos em
Flsicø Eaperimenúøl, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo
e
(1e81).
7. P.R. Bevington, Døta Red,uction
ico.l Sciences,
ønd,
Error Analysis for the Phys-
McGraw-Hill Book Company (1969).
8. V.R. Vanin, Tópicos Aaançøilos e¡n Tløtamento Esta,tístico ile
Dai\os Experimenúøis, Apostila IFUSP, São Paulo (1991).
9. E.M. Pugh and G.H. rWinslow,?/re Analysis of Physicøl Measurernents, Addison-Wesley ( 1966).
10. H.F. Meiners, W. Eppenstein and K.H. Moorc, Løhoratory Physics, John Wiley and Sons (1969).
48
### 5
Estimativas de incertezas
experimentais
Algumas regras gerais para cdlculo ile incertezøs em resultøilos eaperimentais sõ,o øpresento,iløs nesta Seçã,o. As d,ef,nições e conceitos bó,sicos
sã,o iletalho,ila,mente apresentøilos e d,iscutid,os nøs Referências Bibliogrd,f,cas øpresentøilo.s no final, pørticulørmente nas Referê,ncias 1, 2, I
e 4. A no¡nenclaturo, e ølgumas definições foram resumid,as na Seçã,o
ønterior.
5.1- Distribuições de erros
A distribuição de erros mais frequente é a d,istribuiçã,o normøl d,e enos,,
também chamada de d,istribuiçõ,o d,e Gøuss-Laplace, or simplesmente,
d,istrí,bui,çõ,o gaussiana d,e ercos. A distribuição gaussiana de erros pa,ra
uma variável aleatória y é definida pela funçã,o ile d,ensid,ød,e d,e probabilidød,e
:
G(v)
-
1
o,
t/2r
s-us¿.\2
t
e-L2\ tv
,
(5.1)
da distribuição e o, é o desvio
onde y, é o valor médio (verdadeiro)
padrão (verdadeiro).
Uma justificativa matemática para a função gaussiana como distribuiçäo de erros ê o teorema do limite centrøl em sua forma mais
49
50 ### 5.
ESTIMATIVAS DE INCERTEZAS EXPERIMENTAIS
geralr. Confolme este teorema, a su,perposiçã,o de grande númelo de
erros inclependentes e com distribuições de erros guoisquer tencle a
uma clistribuiçã,o gaussiana. As condições são que nenhum dos elros
seja muito maior que os demais e as distribuições de erros tenham
variâncias finitas. Na prática, a superposição de alguns poucos erros
independentes converge rapidamente para uma gaussiana. Pol exemplo, a superposição de 3 distribuições retangulares iguais de erro resulta
numa clistribuição gaussiana com boa aproximação2.
5.2
Número de graus de liberdade
u
Em geral, como resultado de medições, obtém-se um certo nírmero n
de dados experimentais independentes, a partir clos quais são calculados
um ou mais parâmetros.
O ntímero tle graus de li.berd,ade u é definido como
y:
Ì1,
- rlp
(5.2)
n é o nírmero disponível de dados experimentais independentes
e flp ,é o nú¡net'o tle parô,metros determinaclos a partir dos dados
onde
experimentais.
O caso mais simples é a obtenção de uma média a partil de n
meclidas. Nestecaso, amédiaé o único parâmetro obtido (no:1)e
o número de graus de liberdade é u: (n - 1).
No caso de ajustes de reta u: (n - 1) ou u: (n-2), conforme
seja ajustacla uma reta passando pela origem (U : o* ) ou uma reta
geral(Y:ar+b).
n,
parâmetros a n
pontos experimentais, o nfimero de graus de liberdade 6, u : (n - nr) .
No caso geral de ajuste de uma função de
5.3
Incerteza padrão
Incerteza é um conceito definido de maneira genérica e pocle ser dacla
cle várias formas tais como desvio padrão, limite de erro ou tolerância,
erro provável (antigamente) e outras.
lVer Capítulo 3 da Referência 3, por exernplo
2Ver Capítulo 3 da Referência 3, por exemplo
5.4. LTMITES DE ERRO
51
A incerteza
padrã,o é a incerteza dada na forma de um desvio
padrão. Nas Referências 3 e 4, a incerteza padrã,o é denominada erro
pad,rõ,o.
Considerando uma distribuição normal de erros, se yo é o valor
verdadeiro de uma grandeza, y é um resultado e o, é a incerteza
padrão no resultado, então (y L ,r) define um intervalo de confiança
P : 68,2770. Isto é,
U
- oo S
Uo
3 y * oo
temconfiança
P : 68,2770
(5.3)
Uma observação importante é que este coeficiente de confiança se
aplica ao valor verdadeiro ø, do desvio padrão. Quando se obtém
uma estimativa experimental ø, o nível de confiança é menor, pois
esta estimativa também tem um certo erro, alargando a distribuição
final. Neste caso, os coeficientes de confiança podem ser estimados a
partir da chamada distribuição de Student3, em funçã,o do número de
graus de liberdade u . A Figura S.L mostra os valores calculados para
o coeficiente de confiança P para o intervalo:
y-ko1Uo<U*lco
ø é uma estimatiua experimental
liberdade.
onde
5,4
e v é o número
(5.4)
de graus de
Limites de erro
A
incerteza expønd,i,d,a leo pode ser interpretada como um limite de
erro .Lp com um dado nível de confiança P. Isto é,
Lp -e
lco
- Lp 1 Uo 1 U * Lp temconfiançaP (5.b)
Para &:Lr2 e 3, os valores.de P são dados naFigura5.1, em
U
funçâo do número de graus de liberdade v.
sVer Referência 9, por exemplo
52 ### 5. ESTTMATTUAS DE INCEilTEZAS
P
(To)
100
aooltoo{ottttt
a
rorodoorrott
90
k
'
a
'
3
a
a
a
k:2
'--
EXPEFdMENTAIS
99.T3To
96.45Y0
a
-
80
70
68.27
&:1
To
60
50
-
40
30
20
10
0
0 10 20 30 40 50 60 ?0 80 90 100
u
Figura 5.1: Vølores ilo coeficiente ile confro,tuçq, P para o intemølo d,e
confrønçø ko 1 (y - yr) 1 ko, em fungão ilo wi¡nero ile grøus ile
liberiløihe v .
5.5, PROPAGAÇAO DE INCERTEZAS
5.5
53
Propagação de incertezas
Uma grandeza us que é calculada como rma funçã,o de outras grandezas ï, U , z, ... pode ser representada por
w : w(r, U,, z, ...)
As grandezas ï ¡ U ¡ z , ... são admitidas como grandezas experimentais, sendo co ¡ as t oz t .. . as incertezas padrões correspondentes:
*-oau+ogz-roz
Se os erros nas variáveis :u , ll , z ¡ . .. sã,o completarnente independentes entre si, a incelteza padrão ou, Íta grandeza é dado em primeira
aproximação por
0w
0w
o'*:rffr"z + ( 6
)t ol + ( 0t )to2 +
(5.6)
Para que esta seja uma boa aproximação, a função w(æ,y,2,...)
deve variar de maneira suficientemente lenta com ï,, A ¡ z , .... Se
os erros nas variáveis não são completamente independentes entre si, a
expressão acima é incompleta. Neste caso, deve ser usada uma fórmula
mais geral pala propagação de incertezas,
o?,
: (Hy4 + (Hyotr + (yyo\ + ...
(5.7)
+zrY¡rTr"r, + z(Hufftd" * r(#trffi4, *...
onde o2rr, o3r, olr, .. . sã,o as covariâncias associadas a cada par de
variáveis. Deve ser observado que esta notação que é geralmente usada
paÌa covariâncias é um pouco inadequada, pois as covariâncias podem
ser negativa"s.
5.6
Incerteza padrão tipo A
e
tipo B
Incerteza padrã,o tipo A é o desvio padrão determinado por métodos
estatísticos, a partir de várias medidas. A incerteza ti,po A também
54 ### 5. ESTIMATIVAS
DE INCE,RTEZAS EXPERIMENTAIS
pode ser chamacla de incerteza estatística. Os métodos de estimar a
incerteza padrão tipo A são discutidos na Seção 5.8 para os casos mais
simples de cálculos de rnédias e ajustes de reta.
Incerteza padrã,o de ti,po B é uma incelteza padrão ol¡tida por qualquer método que não seja estatístico. A incerteza padrão de tipo B
("s) também deve ser clada na forma de desvio padrão ou, equivalentemente, como a raiz quadrada de uma variância. Uma cliscussão mais
detalhada sobre a estimativa da incerteza padrão tipo B é apresentacla
na Seção 5.7.
Para se obter a incerteza padrão o, ffi incertezas padr'ões tipo A
(o¡) . tipo B ("n) devem ser combinadas conforme as regras cle
propagação de incertezas.
No caso mais simples, obtém-se um resultado ys e a respectiva
incerteza estatística ot. O resultaclo final y é obtido somando-se ao
restrltaclo não corrigido yo uma eventual correçâo C devida a erro
sistemático'Istoé'
u:yo*c
(b.g)
O valor de C sempre tem um certo erro que é o erro sistemd,ti,co
residual. A incerteza paclrão associada ao valor de C pode ser entenclida como uma incelteza padrão tipo B ("r ). Assim, conforme as
regras de propagação de incertezas pala a soma 5.8, obtém-sea
o" :
"\ + "'e
Muitas vezes, não é feita nenhuma correçáo
(5.9)
(C -
Bntletanto,
valem as mesmas considerações acima e a mesma equação para combinar incertezas padrão de tipos A e B.
5.7
0
).
Estimativa da incerteza padrão tipo B
Incerteza qta,drõ,o de tipo B é uma incerteza padrão obtida por qualquer
método que não seja estatístico. Pode-se dizer que a incerteza cle tipo B
é a incelteza a ser estimada quando o número de glaus de liberdade
é nulo. Por exemplo, estimar a incerteza em uma única medida ou
estimal as incertezas nos parâmetlos de uma reta traçada por 2 pontos.
aUma dedução alternativa desta equação é apresentada ¡ra Referência 3.
5.7, ESTIMATIvA DA INCERTEzA pADRÃo rtpo B
A incerteza padrão de tipo B
55
(r"
) também deve ser dada na forma
de desvio padrão ou, equivalentemente, como a raiz quadrada de uma
variância. Bntretanto, estimal a incerteza padrã,o øB , embota possa
ser simples clo ponto de vista operacional, é bem mais difícil do ponto
de vista conceitual
A incerteza de tipo B deve ser avaliada com base em julgamento
científico de toda inforrnação disponível sobre todas as possíveis fontes
de erlos envolvidas. Esta infolmação inclui dados de experiências prévias iguais ou colrelatas, comportamento dos materiais e instrumentos
utilizados, especificações cle fabricantes, dados fornecidos em certificados de calibração e incertezas atlibuídas a dados de referências em
manuais de dados.
A dificuldade consiste em converter a informação disponível em uma
incerteza na forma de uma valiância oþ . Cada caso, deve ser estudado
individualmente. Alguns casos são cliscutidos a seguir.
A situação mais comum é aquela em que a incerteza ntlma quantidade é conhecida por meio de limites de erro conhecidos a partir clas
fontes de informação disponíveis.
A seguir sã,o discutidos os casos em que o limite de erro é conhecido
com um dado nível de confiança, para distribuição gaussiana de elros,
ou são conhecidos os limites absolutos de erlo para distribuições de
erros retangular ou triangular simétriccas.
Frequentemente ocorre que, a distlibuição original de erros ou nível
de confiança ou ambas informações não são disponíveis. Isto se deve,
em grande parte, justamente à falta de uniformidade de critérios que
tem prevalecido na atribuição de incertezas, tanto pol parte de pesquisadores ao apresentar resultados de medidas, quanto por fabricantes cle
materiais, instrumentos, componentes e outros clispositivos experimentais.
5.7.L Distribuições
de erros
Geralmente, o erro experimental é superposição de alguns erros menores
e, neste caso, r'esulta uma distribuição gaussiana, conforme discutido
na Seção 5.1. Entretanto, isto não exclui a possibilidade cle existir
erros com distribuições diferentes, tal como uma distribuição retangular simétrica, triangular simétrica, distribuições assimétricas ou outras.
56 ### 5. ESTTMATMS
DE TNCERTEZAS EXPERIMENTAIS
Além clisso, podem ocorrer distribuições de variância não finita, tal
como uma lorentzianas.
Assim, para converter em incerteza padrão tipo B, uma tolerância
ou um limite cle erro ou outra informaçã.o soble um detetminado tipo
cle erro, seria importante conhecer a distribuição clo erro. Infelizmente,
esta informação nem sempre é acessível. Por exemplo, fabricantes de
instrumentos de medição, fornecem limites admissíveis de erlo, rnas
nunca indicam a distribuição aproximada para o erro.
Nos casos de falta de informações diretas sobre os limites de erro
indicados, resta a alternativa escolher uma das opções apresentadas a
seguir, ou outra igualmente razoável, para estimar a incerteza de tipo B.
a. Distribuição gaussiana de erros
incerteza numa quantidad€ o , com valor verdadeiro Íu pode
ser clada como um limite de erro Lp com um determinado nível de
confiança p . Se a distribuição de erros é descrita por uma função
gaussiana cle densidade de probabilidades, a afirmativa
A
x-leo1xolx*leo
(5.10)
P,
dada aproximadamente pela função de distribuição
gaussianao. Se os valoles de ø são experimentais, os níveis de confiança
são um pouco menores. A rigor, nestes casos, a probabilidade P cleve
ser obtida a partir da função cle distribuição-ú de StudentT. Os valores
de P pala k: 1,2 e 3 são dados na Figula 5.1.
Assim, a conversäo clo limite de erro Lp em incelteza paclrão de
tipo B pode ser feita pela lelaçã,o
tem confiança
o"
:
L-3
(5.11)
&
conforme o nível de confiança atribuído ao limite de erro Lp
Considerando valores da Figura 5.1 para número de graus de liber'dade razoavelmente grandes resultam
o"=ï
L,
paraP=9570
sVer Capítulo 2 da Referência 3, por exemplo.
6Ver, por exemplo, Seção 2.4 da Referência 3.
7Ver, por exemplo, Referências 1 ou g.
(5.12)
5.7. ESTIMATIvA DA INCERTEZA pADRÃ,o rrco p
e
o"=iLo
para P
=
99Yo
57
(5.13)
b. Limites absolutos de erros
limites de erro para uma determinada quantidade sã,o absolutos, isto
é, com I00To de confiança, a distribuição de erros não pode ser gaussiana, evidentemente. Na falta de maiores informações, o melhor procedimento consiste em admitir uma distribuição retangular ou tringular
de erros para a quantidade indicada.
Admitindo uma distribuição retangular simétrica de probabilidades
para os erros, o desvio padräo é dado por8
Se
oB
: L-=- L
,ß
r,7
para
p
= L00To
(b.14)
No caso de distribuiçáo triangular, o desvio padtão é dado pore
OB:
L
T6
L
N-
214
para P
= 100%
(5.15)
b. Conclusões
Em resumo, as relações anteriores podem ser usadas para converter o
limite de erro "Lp pata a forma de desvio padrão oB , se a distribuição
de erros e os níveis de confiança são conhecidos.
Com frequência ocotre que o limite de erro (tolerância) é dado com
nível de confiança de 100 70, mas a distribuição de erros não é claramente estabelecida. Neste caso, pode-se admitir uma distribuição tri-
angular e
LL
oB:&=zl
para P
= l00%o
(5.16)
Entretanto, se houver qualquel suspeita de que o coeficiente de confiança é menor que l00Vo, é preferível adotar as relações para distribuição gaussiana. Para esta distribuição e Lp : 95T0,
Lp
o"=ï
paraP=95%
sVer Referências 1 e 3, por exemplo.
eVer Referências I e 3, por exemplo.
(5.17)
58 ### 5, ESTIMATTVAS
5.8
DE INCERTEZAS EXPERIMENTAIS
Estimativa da incertezapadrão tipo A
Incerteza pød,rõ,o tipo A é o desvio padrão determinado por métodos
estatísticos, a partir de v¿i¡ias medidas. A. incerteza tipo.4 também
pode ser chamada de incerteza estøtísticø.
A seguir, são apresentados os métodos de avaliação da incerteza estatística nos casos de média^s de um conjunto de n resultados e nos
casos de regressão linear. As deduções das expressões são feitas detalhadamente nas Referências 3, 4, 6 e 7, por exemplo. Ca"sos mais
gerais de ajuste de polinômios e outras funções são apresentados nas
Referências 3 e 7, por exemplo.
5.8.1 Média
de n medições com repetitividade
O caso mais simples é a obtenção do valor experimental para uma
grandeza y a partir de rz de medições em condições de repetitividade.
A n¿elhor estimatiaa para a grandeza é a média simples
v:
D,?=t
g¿
(5.18)
n
onde y¿ indicam os resultados das n medições. O desvio padrão experimental do conjunto de medidas é obtido por
o2
1
n-l
1
Ð'
i=1
v
(r, -v)'
É
d=1
(5.1e)
'r,, é o desvio padrão da média, dado por
A incerteza estatística em
f;
oV
o
-1/n
(5.20)
Deve ser observado que a estimativa experimental øy pode ter um
erro considerável. A Tabela 5.1 mostra a incerteza percentual neste
desvio padrão, em funçã,o do número r¿ de medidas realizadaslo.
roVer Referências 1 e 8, por exemplo
5.8. ESTIMATIVA DA TNCERTEZA PADRAO TIPO A
u
fncerteza relativa
percentual em o
2
1
76
3
2
52
4
3
5
4
42
36
24
n
10
20
50
100
200
500
1000
5000
Tabela
I
59
16
10
19
49
99
7rL
199
5r0
499
999
4999
312
212
1r0
5.I: Incertezø no ilesaio pailrã,o experi,mental
d,e
n
med,idas.
5.8.2 Média de n medições no caso geral
O caso mais geral é a obtenção do valor experimental para uma grandeza y a partir de n de medições quaisquer da grandeza em diferentes
condições experimentais. Isto é, não existem condições de repetitividade e deve-se supor que a cada resultado y¡ está associado um desvio
padrão ø; diferente. A melhor estimøti,aø pa.ra a grandeza é uma média
ponderadall :
v:
DT=t P;U¡
DT=t P;
llVer Capítulo 1l da Referência 3, por exemplo.
(5.21)
60 ### 5. ESTIMATMS
DE INCEHîEZAS EXPERTMENTATS
onde pd é o peso estatístico de cada resultado y;, definido por
pi-+oí
A
(5.22)
incerteza, padrãn estøtísticø é obtida por
I
vî
-?--
DT=t p¿
1
DT=,
(5.23)
þ
E importante observa¡ que as expressões 5.21 e 5.23 só poilem ser
o;
completømente ind,epenilentes entre si,.
Por exemplo, se um mesmo erro sistemático residual, que afeta todos
os resultados gd r foi considerado para obtenção dos ø¿, estes não são
independentes e as expressões 5.21 e 5.23 não podem ser usadas. O
procedimento correto neste caso é obter incertezas ø¿ independentes,
sem considera.r o efeito do erro sistemático residual. Este efeito deve
ser incluído diretamente no cálculo da incerteza padrã.o da média, como
discutido na Seção 5.7.
usød,as se o,s incertezøs
5.8.3 Ajuste
sã,o
de reta para incertezas diferentes
y
é medida em função de uma variável ï,
os resultados da^s medidas podem ser resumidos como um conjunto de
Quando uma variável
dados representados por
(t u o rti
y 1,
o sr) t
(t
¿,
o r¡i y ¡, o
s¿),,''',
(æ n,,
o
oni
U
n, o sn)
onde æi e U;
são os resultados e oaå e asi são as respectivas
incertezas estatísticas expressas na forma de desvio padrão.
A incerteza oa na variável independente û deve ser transferi,ilø
para a variável dependente y. Isto é, a variável æ é suposta isenta
de erro, enquanto que a variável y passa a ter incerteza dada por
o?
=
,1,
+ oi, =
ol;
+ ffrÊ
"?,
(5.24)
deve ser estimada no ponto r;, por meio de
cálculo preliminar. Pa¡a validade da aproximação acima, esta derivada
deve variar pouco para variações em o da ordem de ø6.
A derivada (dyldæ);
5.8. ESTTMATIVA DA INCERTEZA PADRÃO TIPO A
61
Assim, o conjunto de dados experimentais pode ser escrito como
(xr;ytrot),, (*r;yrrrr), . ..
onde ø¿ é a incerteza em
, (r;;y;ro;), ... ,
yi e fii
(xniynron),
(5.25)
é admitida isenta de erro.
v
x
Figura 5.2: Conjunto d,e pontos eaperimentais. A incertezø nø aørid,ael
fi ileoe ser trønsferi,ilø pa,ra a, aarí,ó,ael y .
Admitindo, como hipótese, que a relação entre
y e æ é linear,
U: aæ*b
os melhores valores para os parâmetros
método do mínimos quadrados. Isto é,
x2
:
ärry,
+
(5.26)
a e b podem ser obtidos pelo
deve ser
mínimo
(5.27)
62 ### 5.
ESTTMATTVAS DE TNCE&TEZAS EXPERTMENTATS
Substituindo
y*, :
a,ï¿
I b na equaçã,o, obtém-se as soluçõesr2
- *,* sac - s,sr)
- *,*,,ss - s,s,o)
o,
b
(5.28)
(5.2e)
onde
so=å:,
d=1
ss: å #
e
n^2
lD¿
Sr:É
Srz:Ðå
oI?
,Sr,
=D
i=l
A _ (SoSr,
Î¿U¿
7
S3)
(5.30)
(5.31)
As variâncias e covariancia são dadas por
so
o2t
o!
A
sr2
A
oïu: -*
e
(5.32)
As Equações 5.28 e 5.29 permitem obter a melhor øproúmøçôo para
os parâmetros ø e ö da reta, conforme o método dos mínimos quadrados.
Como pode ser observado da condição 5.27, a melhor reta não corresponde exatamente a minimizar a soma dos quadrados dos desvios.
Entretanto, a expressão "método dos mínimos quadrados" é geralmente
usada, mesmo com referência a este caso.
A quantidade di (y; U^)f o; é adimensional e pode ser interpretada como a distância entre o resultado A; e o valor correspondente
Umå nù reta, quando esta distância é medida corn ø¿ como unid,ad,e ile
d,istâ,nciø. Assim, ¡2 pode ser interpretado como ø solnø d,os quød,ra(y; U*ù é med,id,o co¡n
ilos dos d,esuios, quand,o cad,a, d,esaio d¿
unid,øile o¿.
É importante observar que as incertezas ø¿ devem ser quantidades
completamente independentes entre si. Por exemplo, se existe algum
:
-
:
l2Ver Referências 3 e 4, por exemplo
-
5.8,
ESTIMATIUA DA INCDRTEZA PADRAO TIPO A
63
erro sistemático residual afetando o conjunto de resultadosls, o efeito
deste erro não pode ser considerado para obter as incertezas ø; . O
efeito do erro sistemático residual deve ser considerado somente para
obter as incertezas finais em a e b.
5.8.4 Ajuste de reta para incertezas iguais
No caso de incertezas oi iguais ( ø1 - oz :
valores de ø e ó são obtidos pelas expressões:
- on :
a,:
*,r".eøe s,ss)
b-- *,*,s, - s's'r)
ø
), os
(5.33)
(5.34)
onde
ir
8o
--
sr=D
n,
srz:!
a;
d=1
d=1
sy
Ë U¡
saa
d=1
e
A:
(
sosa2
DL, 1 : n
a!
d=1
-
:
É
i=l
"3
ï¿vi
(5.35)
)
(5.36)
foi indicado por sø porque, com esta notação as equações
ficam semelhantes às do caso geral de ajuste de reta.
As variâncias e covariancia são dadas por
OZ
: X,"'
ol
$a?
A
o2
e
Neste caso em que as incertezas são iguais
pode ser estimada pela relação:
oz
=
i
-- -þoo'
o216
,Ð^(y,-y^,
)
(o : o;),
2
(5.37)
a incerteza o
(5.38)
l3Por exemplo, o eno de calibração de um instrumento usado para medir a
grandeza
gl.
64 ### 5.
onde z
ESTTMATTVAS DE TNCERTEZAS EXPERTMENTI:Í9'
:(n-2)
éo número degraus de liberdadeê Umi: aæ;*b.
Deve ser observado que a equação acima equivale a impor a condição:
x?u¿:
+ :1
(s.se)
Por isso, se a incertezafoi obtida por este método, o critéri,o de
parø aaaliaçõ,o ile qualid,ade d,e ajuste não se aplica.
de reta T:ax
No ca^so de ajuste de reta U : ac, o parâmetro ø
X?o¿
5.8.5 Ajuste
determinado a
partir da condição de mínimo para y2 é dado por
D.?=,
a=
T
^2
Dia fr
Sas
s12
(5.40)
e a incerteza oo é dado por
o!
1
(5.41)
DI=r
Também neste caso valem as mesmas observações anteriores quanto
à independência das incerteza,s o¿.
No caso de incerteza^s iguais (ot = o), a incerteza ø pode ser
estimada a partir da Equação 5.38.
5.8. ESTIMATIVA DA INCERTEZA PADNÃO TTPO I
65
Critério das barras de incertezas
baseado no exame do gráfico com os pontos experimentais, barras de incerteza"s e função ajustada. Um certo
número de barras de incerteza deve cruzar a função ajustada. Mais
exatamente, o númeto N", de barras de incerteza que devem cruza,r a
função ajustada é dado aproximadamente porl4
Um critério rud,imentør
é,
N^-
?n
= u +iro
1
$.42)
e no ê o número de
parâmetros ajustados.
Assim, o número de barras de incertezas que cruzam a função ajustada tende a ser um pouco rnaior que2l} do número n de pontos. Dvidentemente, Nu é um número sujeito a grandes flutuações estatísticas,
especialmente para pequeno número de pontos.
Apesar de rudimentar, este criüério permite detectar falhas no procedimento de ajuste, especialmente nas estimativas de incertezas.
onde r¿ é o número de pontos experimentais
Critério de ¡2-reduzido
Indicando por /(ø) a função ajustada a um conjunto de n pontos
experimentais ( n¡i A¡ o¿),aquantidade y2-estatístíco é definida como
x2
=ilv;-l('ùl'
ui
i=l
(5.4a)
A quantidade y2-reduzido é definida como
x?"¿
x2
v
(5.44)
v ê, o número de graus de liberdade. Se no é o número de
parâmetrosajustados, z = (n-rò.
Evidentemente, ¡2 e X7"¿ são quantidades aleatórias, que depen-
onde
dem bastante das flutuações estatísticas dos pontos experimentais. A
função de densidade de probabilidade para y2 e ouüras características
da distribuição sã,o dadas nas Referências 3, 6, 8 e 9, por exemplo.
l4lsto é mostrado mais detalhadamente na Seção 14.2 da Referência 3
66 ### 5.
ESTTMATTVAS DE TNCERTEZAS EXPERTMENTATS
A Figura 5.3 resume, em função de v , o valor médio ¡2, o valor
mais proválel yf;o e o valor Q^ gve tem 50To de probabilidade de
ser excedido.
X7"¿
1r0
0,8
a
-
0,6
a
-
x\u¿
o-
014
'
o
Q*:
Q$ïTo)
- (x?uo)*o
012
u
0'0
0
40
20
60
80
100
Figura 5.3: VøIor médio ylo¿, uølor mais proaóoel (ylu)ô
Q^ que tem 50To ile probøbilidade ile ser erced.id,o.
e
o ualor
A Figura 5.4 mostra os valores d" Qt e Q2 eue têm probabilidades
Pe = 99To e Pe = lTo de serem excedidos, em função de v . Assim os
valores du Qt e 8z definem um intervalo de g8 To de confiança para
valores de X?u¿. Por exemplo, pam, u: 10, pode-se afirmar com 98 %
de confiança que
0,26
<
y!,uo
<2,32 (p*o v--10)
(5.45)
Uma discussão mais detalhada é apresentada na Referência 3.
õ.8. ESTIMATTUA DA INCERTEZA PADRÃO TIPO A
v
99To
50Yo
67
lYo
140
130
120
110
100
90
80
70
60
50
40
30
Q,
20
Q,
I
10
x?"¿
0
0
,0
Figura
Per:
5.4:
0,5 1,0 1,5 2,0 2,5
3,0
:
VøIores ,1" Q, e Q2 cor-respon¿Ientes e Pe,
LYo. A linha interrneiliório, correEtond,e a Pq :50T0.
99To e a
68 ### 5.
ESTTMATTVAS DE TNAERTEZAS EXPERTMENTATS
Referências bibliográficas
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Estø,tístico ile Do,ilos em
Flsico. Euperimenúøl, Editora Edgard Blücher Ltda, São Paulo
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Apostila IFUSP, São Paulo (1991).
9. E.M. Pugh and G.H. Iffinslow, The Analysis of Physicøl Measurernents, Addison-Wesley
(
1966).
###
6
Sistema Internacional de
Unidades
As definições das unidades de base do Sistema Internacional
são apresentadas nesta seção. Valores do CODATA de 1986
para algumas constantes físicas são também apresentados.
6.1- Sistema Internacional de Unidades
O Sistema Internacional (SI) é um sistema de unidades que vem sendo
amplamente difundido e adotado na últimas décadas. Desde L962 ê o
sistema oficial de unidades no Bra^sil.
O Bureau Internacional de Pesos e Medidas (BIPM) é a entidade
responsável pelo Sistema Internacional de Unidades. O BIPM tem sede
em Sèvres na França e foi fundado por um tratado assinado em 1875
pa,ra assegurar a unificação e melhoria do sistema métrico.
O SI atual foi essencialmente definido na ga e na 104 Conferência
Geral de Pesos e Medidas (CGPM) realizadas em 1954 e 1960, respectivamente. Vária^s modificações foram feitas nas CGPM's posteriores e'
certamente, novas alterações serão feitas no futuro.
As grandezas num sistema de unidades podem ser cla^ssificadas como
grønd,ezas bósicas, grandezas ileriaad'as e grønd'ezas ødi'mensionais. Estas classes são definidas a seguir.
69
### 6.
70
SISTEMA IN?ERNACIONAL DE UNIDADES
Tabela 6.1: Uni,dad,es bdsicas, unid,ød,es suplementares e øIguns eïernplos d,e unid,ailes d,eriuød,as do SI.
G røn
d, e
z o,s
fund, ørn ent øi s
Comprimento
Massa
Tempo
Corrente elétrica
Temperatura termodinâmica
Quantidade de matéria
Intensidade luminosa
G ran
d, e
z as
suplern ent are s
Nome
d,a
uniilade
metro
quilograma
segundo
ampère
kelvin
mol
candela
Nome d,a unid.ad.e
Angulo plano
Ângulo sólido
radiano
esteradiano
Grønd,ezøs d,eriuad.øs
Nome da unid,ød,e
Frequência
Potência
Carga elétrica
Potencial elétrico
Resistência elétrica
Condutância elétrica
Capacitância elétrica
Fluxo magnético
Densidade de fluxo magnético
Intensidade de campo magnético
hertz
watt
coulomb
volt
ohm
Indutância
henry
siemens
farad
weber
tesla
Sírnbolo
rn
ks
s
A
I{
mol
cd
SímboIo
rad
sr
Símbolo
Hz
W
C
V
o
^g
F
Wb
T
Al*
H
6,1. SISTEMA INTERNA CIONAL DE UNIDADES
7T
Grandezas l¡ó,sica ot grandeza de base é uma grandeza convencionalmente aceita como funcionalmente independente das demais.
Gro.ndezø deriaada é definicla em função das grandezas de base.
Grandeza adimensional ot grandeza de dimensã,o / é uma grandeza
para a qual todos os expoentes da expressão dimensional são nulos.
No SI são definidas 7 grandezas b¿ísicas que são comprirnento, møssa, tempo, corrente elétrica, temperøtura termod,inô,mica, quantidade tle
mat,íria e intensidad,e luminosø.
As uni,d,ades l¡dsicas ou unido,des d,e bøse são as unidades correspondentes às quantidades basicas, definidas a seguir.
o O metro é a distância percorrida pela luz no vácuo dutante um
intervalo de I1299792458 de segundo (17a CGPM - 1983).
t
O qui,logr&rn& é a massa do padrão em platina iridiada preservado
em Sèvres na França (la CGPM-1889 e 2a CGPM-1901).
o
O segundo 'ê,aduração de 9192 631770 períodos colresponclentes
à transiçáo entre os dois níveis hiperfinos do estado fundamental
do átomo de césio 136 (13a CGPM-1967).
o O ampère
é a intensidade cle uma corrente elétrica que, mantida
em dois condutores paralelos, retilíneos, infinitos, de seção circular desprezível, e situados à distância de 1rn entre si, no vácuo,
produz entre estes dois condutores uma força igual a 2 x I0-7
newton por metro de comprimento de fio (9a CGPM-1948).
t
O keluin é a fração 11273,16 cla temperatura termodinâmicado
ponto tríplice da água (10a CGPM-1954 e 13a CGPM-1967)
o O mol é a quantidade
de matéria de um sistema contenclo tantas
quantos átomos existem em 0,0L2kg de
elementares,
entidades
carbono 12 Qaa CGPM-1971)
o A candela
é a intensidade luminosa numa dada direção, de uma
que
emite radiação monocromática com uma frequência de
fonte
540 x 1012 hertz e cuja intensidade energética nesta clireção é
1/683 watt por esteradiano (16a CGPM - 1979)
### 6,
72
SISTEMA IN?ERNACIONAL DE UNIDADES
Tabela 6.2: Fatores multiplicatiaos, Ttrefiros e símbolos no SI.
Múltiplos
Fator PreJì,xo
101
102
deca
hecto
Submúltiplos
Simbolo
da
h
k
103
quilo
106
M
10e
mega
giga
1012
tera
T
G
Fator Prefiro
10-1
10-2
10-3
10-6
10-e
10-12
10-15
10-r8
deci
centi
mili
mlcro
nano
plco
femto
atto
Simbolo
d
c
rn
l.L
n
p
Í
o,
Com exceção, do quilograma, as demais unidades podem ser realizadas em qualquer laboratório, em princípio. Para isso, devem ser'
seguidos os plocedimentos detalhados para realização prática das unidades, que também são apresentados pelas CGPM's. Evidentemente,
no caso do quilogramø, só existe a possibilidade de obter padrões secundários por comparação com o padrão primário.
As uniclades derivadas são definidas a partir das unidades b¡ísicas
por meio de relações algébricas. Algumas unidades derivadas são apresentadas na Tabela 6.1.
Existem ainda as chamadas unid,ades suplernentares, que são as
unidades de ângulos plano e sólidos, apresentada.s na Tabela 6.1.
A partir de cada unidade b¡ísica ou derivada do SI, podem ser formadas unidades que sejam múltiplas ou submúltiplas decimais acrescentando-se os prefixos mostrados na Tabela 6.2.
Além das grandezas b¡ísicas e derivadas, existem as grandezas adimensionais que também desempenham papel importante. Como exemplos podem ser mencionados o índice de refração, coeficientes de atrito,
fração molar', número de Mach, número de Reynolds e constantes tais
como a constante de estrutura fina e constante de entropia absoluta.
6.2. VALORES DE ALGUMAS CONSTANTES FíSICAS
6,2
73
Valores de algumas constantes físicas
As constantes físicas fundamentais são periodicamente revisadas e atualizadas pelo CODATA1. Os valores de alguma"s constantes físicas escolhidas são mostrados na Tabela 6.3. Estes valores foram extraídos das
Referências 3 e 4, que apresentam valores para várias outras constantes.
A incerteza pad,rã,o em cada constante da Tabela 6.3 pode ser obtida
diretamente, multiplicando-se a constante pela incerteza relativa. Os 2
algarismos significativos na incerteza padrão devem corresponder aos 2
últimos algarismos indicados para a constante.
Conforme definição do metro, a velocidade da luz no vácuo é um
número exato, dado na Tabela 6.3. A permeabilidade do vácuo no SI
4r x 10-t , por definição. Considerando a relação
é |to
:
c
:
,/
1
Poeo
resulta que a permissividade do vácuo es também é um número exato.
Referências bibliográfi cas
1. Instituto Nacional de Pesos e Medidas, Sistemø Interno,cional
d,e
Uni,d,ød,es (1971).
2. B.\ /. Petley, The Fundømental Physical Constants
tier of Measurement, Ad,am Hilger, Boston (1985).
and, the
Fron-
3. B.N. Taylor, The Physical Constanús, Phys. Lett. B 204,
5L
(1e88) %4
4. E.R.Cohen and B.N.Taylor, The 1986 CODATA
Recommend,ed
Values of the Funilømentals Physico,l Constanús, J. Research NBS
,85 (1e87).
9212
lOommittee on Data for Science and Technology.
74
### 6. SISTEMA INTERNACIONAL
DE UNIDADES
Tabela 6.3: Vo,lores CODATA ile 1986 pørø algumas constøntes.
Vølor
Grand,eza
velocidade da luz
no vácuo
permeabilidade
do vácuo
permissividade
do vácuo
constante de
Gravitação
constante
de Planck
c=
Incertezo,
relatiaa
299792458m1s
rro=4tr x 10-7 NlA2
60
= 8,854187817 x
G
:
6, 67259
*
h:6,6260755 x
massa elétron
Irt¿
massa próton
constante
de Rydberg
constante
de Avogadro
constante
de Boltzmann
constante de
trÙr: I,6726231 x
:9,
33 x
109 389
Nt
6,0221367 x
:
1,380
Js
7 x 10-3r &g
10 973 731
k
F/m
10-1e C
.B- =
-
L0-r2
10-34
e:
L,602I77
exato
16-11-3s2 /lcg
carga elementa¡
Stefan-Boltzmann
exato
10'27 lcg
534 x m-r
1023
mol-t
658 x t0-23 J /I(
o = 5,67051 x 10-8
WlrnzI(
exato
l3 x 10-5
60
x 10-8
30
x 10-8
59
x 10-8
59
x 10-8
12
x
10-10
59
x
10-8
85
x 10-?
34
x
10-6
### 7
Multímetro
Os pri,neípios d,e funcionamento e as d,íaersas funções
anølógico e digi.tal sã,o discutiilos nesta Seçã,o.
d,os
multímetros
7.L Multímetro
Amperímetro, voltímetro e ohmímetro são instrumentos de medição
para medida de corrente elétrica (A), tensão elétrica (V) resistência
"
elétrica ( O ), respectivamente. Geralmente, tais instrumentos são montados em um único aparelho chamado multímetro. Existe uma grande
variedade de multímetros, desde multímetros bastante simples com
muito poucas funções até multímetros extremamente completos, incluindo funções tais como capacímetro, decibelímetro, termômetro e
até frequencímetro rudimentar, além de testes de diodos, transistores e
outras funções. Na discussão que segue, sã,o considerados multímetros
analógico ou digital comuns de boa qualidade, que incluem as seguintes
funções de medição:
o Amperímetro para corrente contínua (DC) ou alternada (AC),
com várias faixas de medição.
o Voltímetro para tensão contínua (DC)
ou corrente alternada (AC)'
com várias faixas de mediçã.o.
o Ohmímetro com várias faixas de medição.
75
### 7. MUÍ.:TíMETfuO
76
+
Figura 7.1: Gølaanômetro
+
ihe bobdna
móoel com d,iodos
d,e
proteção.
Amperfnnetno
*
V
s
ü
-l
l'n
R-5
R
<_
I
G
6otvonô¡netro
L
J
Figura 7.2: Anperínetro montødo a pørtír de um gølaønômetro.
7.2. MULTíMETRI ANAtóctco
77
7.2 Multímetro analógico
O elemento básico medição de um multímeüro analógico comum é o
chamado galuønômetro de bobina móael, a partil do qual são construídas todas as funções do multímetro.
7.2.L Galvanômetro de bobina móvel
O galvanômetro de bobina móvell é mostrado na Figura 7.1. Um par de
semieixos mantém uma delicada bobina em mancais especiais do tipo
usado em relógios, com rubis ou materiais similares. Um par de molas
espirais mantém a bobina na posição de equilíbrio ef.az contacto elétrico
para passagem de uma corrente elétrica. O campo magnético gerado
pelo imã na borda cla bobina deve ter a direção radial, em relação ao
eixo. A corrente elétrica i é diretamente lelacionada com o ângulo
de deflexã.o da bobina pol
i : k0
0
(7.1)
k depende campo magnético radial na borda da bobina, do núrnero e áreas das espiras e da constante el¿ística das molas espirais.
Uma característica conveniente para o galvanômetro é a linearidade
da relação 7.1 e, para isso, fr deve ser uma constante. Do ponto de
vista técnico, esta não é uma conclição fácil de ser obtida. O campo
magnético raclial na borda da bobina deve ser constante, independentemente do ângulo 0 , e a constante elástica das molas espirais deve ser
indepenclente da temperatula.
A corrente de fundo tle escala i¡c é a corrente necessária para a
máxima defìexão. Eviclentemente, quando menor esta corrente, mais
sensíuel é o galvanômetro. Por isso, a sensibilidade do galvanômetro é
definida por
onde
so
A
: Ixtc
(7.2)
sensibilidade é maior para um conjunto móvel mais leve, com
grande número de espiras e molas mais sensíveis, e para campo magnético mais intenso.
lO princípio de funcionamento deste galvanômetro e detalhes históricos são apresentados nas Referências 1, 2 e 3.
### 7. MULTíMETRO
78
Uma outra característica elétrica importante do galvanômetro é a
resistência elétrica, que é relativamente alta, em geral. Para ter grande
sensibilidade, é necessário ter uma bobina com número lelativamente
grande de espiras de fio muito fino. A resistência da bobina e das
molas espitais (em série) constituem a resistência interna l?6 do galvanômetro.
Quando a corrente pelo galvanômetro é
minais é dada pela Lei de Ohm,
V¡6
i¡c,
a tensão em sens ter-
-- R6i¡c
(7.3)
Assim, a sensibilidade do galvanômetlo é dada por
Sc
7Rc
i¡c V¡c
(7.4)
Por isso, a sensibilidacle é usualmente dada em I(QlV. Por exemplo,
se a colrente de fundo de escala cle uma galvanômetlo é 10 ¡.t,A, a sensibilidacle é So : Ili¡c : 100 K{llV . Bste é um valor típico para
a sensibilidade de um galvanômetro muito bom. Geralmente as sensibilidades variam 10 a 100 KAIV. Um valor típico para a resistôncia
interna de urn galvanômetro de 100 KnlV é Ro : 251(Q. Assim, a
máxima tensão elétlica neste galvanômetro é V¡c - Rci¡6 : 0,3 y .
Se for aplicada uma tensão muito maior que esta no galvanômetlo, a
bobina do galvanômetro poderá queimar. Por isso, geralmente são usados dois diodos de silício em paralelo corrì os terminais. Um diodo de
silício só começa a conduzir significativamente para tensão um pouco
maior que 0,3 I/ . Assim, os diodos de silício protegem o galvanômetro
contta aplicação de tensão mais alta, pois neste caso, a corrente elétrica
é desviada para o diodo. De qualquer modo, deve ser lembrado que esta
proteção é bastante relativa, pois não evita a pancada do ponteiro no
fundo da escala, o que também danifica o delicado mecanismo de sustentação do conjunto. Além disso, para tensão muito mais alta, também
os diodos podem ser queimados. Os diodos de proteção de silício não
são mostraclos nas figuras que seguem.
A inversão de corrente pelo galvanômetlo provoca inversão do torqtre. O sentido correto de entrada da corrente elétrica é indicado pelo
sinal " * ".
7.2. IIvLTíMETRI ANAtóctco
79
No caso de corrente elétrica variável, o galvanômetlo de bobina
móvel tende a indicar o valor médio da corrente. Por isso, este galvanômetro não funciona, pala corrente altelnada de 60 I{ z .
O galvanômetlo de bobina móvel, também chamado de galvanômetro de Arsonval, é o írnico usado em multímetros de boa qualidade,
devido a suas boas cat'acterísticas de linearidade e sensibilidade. Entretanto, existem outros tipos de galvanômetros que podem ser úteis
pala corrente alternada ou quando nã.o é importante ter boa sensibilidade ou boa linearidade. Bxistem os "galvanômetros ferrodinâ.micos",
nos quais a corlente a sel medida passa por uma grande bobina fixa
e o conjunto móvel é baseado em materiais ferromagnéticos. No "galvanômetro de ferro móvel" existem lâminas de material felromagnético
no conjunto móvel. Bm uma valiação de galvanômetro ferrodinâmico,
o ponteiro inicador é ligado a um cilindto ferromagnético que é att'aído
para o interior de uma bobina, conforme a couente a ser medida. Galvanômetros ferrodinârnicos tem baixa sensibilidade, mas sã.o adequados para correntes alternadas. Os "galvanômetro eletrodinâmico" tem
bobina móvel e campo rnagnético gerado por bobinas externas alimentaclas pela própria corrente a ser medida. Uma vantagem deste tipo cle
galvanômetro é que a iuversão de corlente não afeta o torque, pois há
inversã.o cla corrente na bobina móvel e também do campo magnético.
7.2.2 Amperímetro
analógico
Amperímetros de diferentes fundos de escala podem ser montaclos a
paltir do galvanômetlo, como mostrado na Figura 7.2. Pa:ra isso, um
resistor'é colocado em paralelo com os terminais do galvanômetro. Dste
resistor desvia a maior parte da corrente, mas a corrente iç é proporcional à corrente total i. Uma vez qtle V : Rrir: Rsic, resulta
(7.5)
Assim, i : Fi6 oncle F : ( I * R6l R').
Uma vez que a função do resistor em paralelo é ttdesviart' parte
da corrente, este resistor é usualmente chamado de resisúor shunt ou
simplesmente, shunt que significa "desvio", em inglês.
### 7. MUI.|TíMETfuO
80
+
VoItlnetro
-'+
+
R
V
-l
¡
+
R
6
Golvq nâ¡letno
J
L
Figura 7.3: Voltínetro ¡nontadn
r
ø
Ehmfi'¡etno
R
-l
I
i ü'
x
ER
+
-l
+
+
R
pwtir ile um gøIaønôrnetro.
t_
3
d
Go.Lvonônetro
_J
Figura 7.4: Oh¡nûnetro montød,o ø partir ile um galaanômetro,
7,2, MULTíMETRO ANALOGICO
A resistência interna do amperímetro é a da
de .Ro com .Rr, e pode ser escrita como
Rn
81
a"ssociação em paralelo
- YF
(7.6)
As várias faixas de medição, com diferentes fundos de escala,
obtidas mudando-se o valor de -R por meio de chaves adequadas.
são
7.2.3 Voltímetro analógico
O galvanômetro de corrente de fundo de escala
voltímetro de fundo de escala
V¡6
--
i¡c
também é um
Rci,¡c
9.7)
Voltímetros com diferentes fundos de escala podem ser montados
a partir do galvanômetro, como mostrado na Figura 7.3. Para isso,
um resistor R é colocado em série com os terminais do galvanômetro.
Assim, a tensão nos terminais do voltímetro é
V:(R+Rc)i-Rvi
(Ã + .Rc) é a resistência interna do voltímetro. A
d,e tund,o d,e escala do voltímetuoé V¡v - Rv i¡c. Assim,
onde .Rv
-
Rv
: S6V¡v
(7.8)
tensã,o
(7.9)
onde ,96 é a sensibilidade do galvanômetro. Em resumo, basta multiplicar a tensão de fundo de escala do voltímetro pela sensibilidade
do galvanômetro para se obter a resistência interna do voltímetro. Assim, um voltímetro de 12 V de fundo de escala para galvanômetro de
100 KOIV , tem resistência interna 1200 /lO : I,2 Mn .
As várias faixas de medição, com diferentes fundos de escala, são
obtida^s mudando-se o valor de .R por meio de chaves adequadas.
7,2.4 Ohmímetro
analógico
Um ohmímetro pode ser construído ligando-se uma bateria e um resistor
ajustável ,B em série com um galvanômetro conforme é mostrado na
### 7. MULTíMETRO
82
Figura 7.4, onde R, é a resistência a ser medida e -Rs é a resistência
interna da bateria. O resistor .R deve ser tal que, quando os terminais
do ohmímetro estiverem em curto-circuito (,R" = 0 ), a corrente pelo
galvanômetro seja máxima
?=xte=
e
(7.10)
R"
onde .Bo : (R + Rc a l?a) pode ser considerada como resistência
interna do ohmímetro.
Quando existir um resistor .8, nos terminais do galvanômetro, a
corrente é dada por
i' : -rFt*t
(?.11)
E assim,
se
Rr-
o
1
se
R,-
Ro
se
R, :
nHo
+
oo
se
.R,
llc
x
,l
i¡e
2
?,
?
i¡c
n+L
0
Assim, uma escala pode ser construída conforme os valores acima,
paÌa um dado valor Ã" . Se esta resistência é multiplicada por 10, basta
multiplicar a leitura da escala por 10. Para se obter diversas faixas de
medição, o valor mais baixo de Ã, é multiplicado por 10, 100, 1000 e
assim por diante, e a leitura em cada faixa é multiplicada pelo mesmo
fator ( X10, X100, X1000, ...).
Deve ser observado que R, : Ro quando o ponteiro indicador
está no meio da escala (i - i¡clL). Por outro lado, um bom galvanômetro tem resistência interna Ro ba^stante alta (alguns /lO, pelo
menos). Assim, resulta que um ohmímetro, tal como o descrito, tem
resistência interna Ro = (Æ + ¡?c 1 .Ra) muito alta e será insensível
para valores baixos da resistência .Rr. A solução para o problema consiste em substituir o galvanômetro da Figura 7.4 por um amperímetro.
A Equação 7.6 mostra que o amperímetro tem resistência interna bem
mais baixa.
7,3. MULTíMETRO DIGITAL
83
Evidentemente, o ohmímetro não pode ser ligado a um resistor .R,
que já esteja ligado a um circuito externo. Neste caso, as equações
mostradas não são válidas e, se o resistot está submetido a uma tensão
relativamente alta, devida ao circuito externo, o ohmímetro pode ser
danificado devido a corrente excessiva.
Devido às alterações da bateria com o tempo, é sempre necessário
ajustar .R para obter corrente de fundo de escala, quando A, : 0.
Por isso, o multímetro tem um potenciômetro externo para zerar o
ohmímetro.
7.3 Multímetro digital
Os multímetros digitais vêm substituindo rapidamente os analógicos,
pois pelmitem maior acurácia nas medições e maior comodidade de
leitura. Uma pequena desvantagem do multímetro digital é a necessidade de bateria para alimentação de seus circuitos e do mostrador
digital, enquanto que um multímetro analógico só usa bateria para o
ohmímetro. Isto é, um multímetro digital é completamente inútil sem
bateria, enquanto que o análogico sem bateria funciona perfeitamente,
exceto o ohmímetro. Atualmente, o custo de ambos instrumentos são
equiparáveis.
O elemento b¿ísico medição de um multímetro digital comum é um
miliaoltí¡net¡'o de 200mV d,e fundo de esco.lø, a partir do qual sã.o construídas todas as funções do multímetro. Entretanto, deve ser observado
que este milivoltímetro é um conjunto de circuitos bastante complicados
que, a partir de uma determinada tensão elétrica mostram os dígitos
conespondentes num mostrador' (display). Nos mostradores mais antigos, os segmentos que formam os dígitos são LEDS, que funcionam com
correntes relativamente altas e significam grande consumo de bateria.
Nos multímetros atuais, são usados os mostradores de cristal líquido
que exigem correntes muito menores. Uma pequena desvantagem destes
mostradores consiste em setem invisíveis no escuro, pois não há emissão
de luz. O princípio de funcionamento consiste em bloquear ou não a
passagem da luz, a partir de uma tensão elétrica aplicada ao segmento.
### 7. MUr.iríMETnO
84
¡¡n <<<
+
¡
ln
-*
I l EH H
û
V
o
R
Contnolodor
V
Converson A/D
Figura 7.5: Miltuoltlmetro d,e 200¡nV
.
Vottímetno
+
m
<<(
-1
¡
+
RI
V
*
fYl
+I
+
R?
I
H
E
J
Figura 7.6: Voltímetro montøilo ø parti,r ile um milfuoltímetro.
7.3. MULTíMETRO DIGITAL
85
7.3.L Milivoltímetro de 200mV .
O funcionamento de um milivoltímetro comum de 200 mV de fundo de
escala é esquematizado na Figura 7.5, de maneira bastante simplificada.
Um dos elementos essenciais é um convelsor analógico/digital (A/D)
que converte uma tensã,o elétrica num trem de pulsos de frequência
proporcional à tensão. No circuito controlador, o número de pulsos
é contado durante certo tempo e o resultado da contagem binária é
decodificado e convertido em sinais elétricos aplicados aos segmentos
do mostrador digital. O circuito controlador tem um relógio interno
e, além de comandar o mostrador, controla o conversor AlD, pois a
leitura da tensão na entrada é feita por amostragem. Bstas funções
sã,o realizadas em muitos cilcuitos bastante complicados que, apesar
disto, sã,o montados num único circuito integrado de 40 pinos. Apenas
o mostrador e alguns componentes são externos ao circuito integrado.
Uma informação importante é que o milivoltímetro tem um certo
ritmo d,e leitura que não é muito grande, geralmente, algumas leituras
poÌ segundo. Isto torna o milivoltímetro digital relativamente lento e
a indicação é bastante confusa para tensões que variam rapidamente.
Uma outra inforrnação importante é que a resistência de entrada do
conversor AID ê muito alta, da ordem de dezenas de GO. Isto significa
que a corrente elétrica i- que entra no conversor é completamente
desprezível, usualmente. Assim, tesistência interna do milivoltímetlo
mostrado na Figura 7.5 é Rv, exceto se esta resistência for comparável
com a do conversor A/D. Um valor usual para .Ry é. n Mn, eüe
embora bastante alto, é desprezível comparado com a resistência da
entrada do conversor A/D. Por isso, a corrente i* é desprezada nas
considerações que seguem.
7.3.2 Voltímetro digital
A partir do milivoltímetro de 200 rnV qualquer fundo de escala maior
pode ser obtido, como na Figura 7.6. A tensão nos terminais é
_ (&
y'Rr
!
Rz)
r*
(7.r2)
Assim, se Rz e -Rr são escolhidos na proporção de 9 para 1, a tensão
V é rc vezes maior que a, leitura do milivoltímetro. Outras faixas de
### 7. MULTíMETRO
86
medição podem ser obüidas, para outros valores de Rz
A resistência interna do voltímetro é ( Àr + Ä, ).
e .El .
7.3.3 Amperímetro digital
A pa.rtir do milivoltímetro de 200 mV pode-se montar um amperímetro
como mostrado na Figura 7.7. Se V* é a leitura do milivoltímetro, a
corrente elétrica é
v*
R
Por exemplo, se .B
=
1
O
(7.13)
, o milivoltímetro pode ser lido em mA.
Obtem-se outras faixas de medição trocando .8.
A resistência interna do amperímetro é -&, em princípio. Entretanto, os valores de .R são muito baixos, especialmentepara correntes altas
(æ, I A). Isto significa que pequenas resistências em série, tal como a
resistência de um fusível ou de fios de ligação devem ser somadas com
.R para se obter a resistência interna do amperímetro.
7.3.4 Ohmímetro digital
Um ohmímetro pode ser montado a partir do milivoltímetro de 200mV
como mostrado na Figura 7.8. Entretanto, o ohmímetro exige um circuito complicado chamado fonte ile conente, que fornece uma corrente
bem definida e constante i . Assim, a corrente que passa pela resistência
desconhecida .R, é i , qualquer que seja o valor de .R' . Assim, se V^
é a leitura do milivoltímetro, a resistência é
R,:\
(7.14)
?,
Por exemplo, se i : ImA, o milivoltímetro pode ser lido diretamente
em O. Outras faixas de medição podem ser obtidas, com diferentes
valores de i.
87
7.3. MUI:TíMETRO DIGTTAL
An,penfnet no
r
I
-€
¡tl
<<(
-t
i
I
--+
+
t
+úffi Ñ
¡1
R
-[EE"
A
J
L
Figura 7.72 Amperímetro ¡nontød,o a partir
d,e
um miliuoltírnetro.
!hnlne t n o
-l
Fonte
de
m
conne nte
+
¡1
4
._
I
RX
ü
1
flEE "E
t_
Figura 7.8: Olnnímetro rnontad,o a partir de um miliaoltírnetro.
J
### 7. MULTíMETRO
88
7.4
Medição em corrente alternada
No caso de tensão ou corrente alternada2 de 60Hz nenhum dos circuitos apresentados (digital ou analógico) funcionam. Os circuitos
analógicos respondem conforme os valoles médios, que são nulos. Os
digitais tendem a ficar confusos, dependendo do tempo de amostragem
e do rítmo de leituras. Uma solução para medição em corrente alternada consiste em usar diodos para retificaçã.o da corrente3. Entretanto,
deve ser observado que cada dioclo retificador introduz no circuito uma
queda de tensão t 0,6 I/ . Isto inviabiliza a medida de tensã.o AC pequena da ordem de 1 V ou menos e comprometea acurácia das meclidas
de tensão AC da ordem de dezenas de volts. A solução para medida de
tensão AC baixa consiste em amplifical a tensão a ser medida, retificar
e compensar a queda de tensäo nos diodos.
Um outro problema na medição em AC é que, geralmente se deseja
medir valor méclio quadráticoa que é o valor máximo multiplicado por
Il\Æ = 0,707. Mas quando se consegue retificação da corrente, o
instrumento indica o valor médio do módulo da corrente retificada que
é o valor máximo multiplicado por 2lr
= 0,637. Assim, no cálculo do
circuito deve-se consiclerar um fator de correçáo cle 1,111.
No caso de multímetros analógicos, as correções mencionadas são
gelalmente feitas construindo-se escalas diferentes para medição AC.
Referências
Fundamentos de Física - 3,
Eletromagnetisrno, Livros Técnicos e Científicos Editora S.4., Rio de
Janeiro (1991).
1. D. Halliday, R. Resnick e J. Mellill,
2. R. M. Eisberg e L. S. Lerner, Físi,ca Vol.3, McGraw-I{ill,
Sã,o
Fundamentos e Aplicações,
Paulo (1983).
3. P.A.Tiplet, Física 9, Ed.Guanabara Dois, Rio de Janeiro(1978).
4. Revista Nova Eletrônica, Nqs 40 a 51 (1981).
2Ver Seção 8.
sPor exemplo, ver a ponte retificadora no ñnal da Seção
aValor eficaz ou valor RMS.
3
### I
Tensão e corrente alternadas
Alguns conceitos básicos sobre tensõ,o e comente ølterno,d'as
sã,o resumid,os nesta Seçã,o.
3.L
Conceitos básicos
Uma tensão alternadar é uma diferença de potenciat y(t), que varia
harmonica¡nente corn o tempoz. A tensão alternada é mostrada na
Figura 8.1 e pode ser descrita matematicamente como
V(t)
-
V*cos(øt
* Õs)
(8.1)
onde V*, w e Õo são constantes. O argumento da função cosseno é
definido como fase da tensão alternada:
O
=
(¿.,t
* iÞo)
(8.2)
A constante V* é o valor máximo da tensão, também chamado
aalor ile píco. A tensão Vpp:zU^ é, chamada aalor d,e pico øpi,co. A
constante Oo é a fase da tensão alternada no instante t:0 e, sempre
que possível, é escolhida como 0. Se existem duas tensões alternadas
envolvidas, pode-se escolher a fase inicial (Þo de uma dela^s como 0.
rA corrente alternadaé usualmente indicadapor CA ou AC (alternating current).
2Va^riação harmônica no tempo é entendida como variação do
89
tipo senat.
### 8.
90
TENSAO E COR&ENTE AL:TEBNADAS
v(t)
T
v,n
V'
%o
Fþra 8.lz Tensão
øltemailo.
+
¡(t)
V<t>
R
Fonte
AC
Figura 8,22 Resistênaia lögøilø ø
aftù
gerøilor ile tensõo ølternøilo.
8.1, CONCEITOS BÁ,SrcOS
A constante
91
ø
é chamada frequênciø øngular da tensã,o alternada
e está diretamente relacionada com a frequência / e com o período T
da^s oscilações por
u:Zrf :+ T
(S.3)
A Figura 8.2 representa um gerador de tensã,o alternada ligado a
uma resistência .R. Escolhendo Os = 0 e aplicando a Lei de Ohm ao
circuito, resulta que a corrente elétrica é dada por
i(t)
: i^cos(ut) onde i^ -- +
(s.4)
Assim, a corrente i(ú) que passa pela resistência .R também é alternada e com rnesrna frequênciø e tnesmø fase O que a tensão alternada.
A potência dissipada no resistor é dada por
P(t)
: V(t)i(t) - V*i*coszut
(s.5)
A relação trigonométrica
: 1. + cosut)
i(l
^
cos',,s,
(8.6)
mostra que a potência dissipada no resistor também valia harmonicamente com o tempo, mas com frequência angular 2ar. Em geral,
interessa a potência média no tempo transferida ao resistor, isto é,
FIÐ
- v**ffit
(s.T)
onde a barra indica valor médio no tempo em um período de oscilação.
Conforme definição de valor médio num tempo T :
ffiî:
+
l:: cosz,,tt o, : # Ii,' ft * coszot) dt - f,
Assim, a potência média transferida ao resistor
P(t)
(s.8)
é
1
- iV^¿^
(8.e)
Vølor ef,cøz d.ø tensõ.o e aalor eficøz ila corcente são definidos por
y-,-L
e!
^Æ
e
¿"¡
i^
: z,r/T
(8'10)
### 8.
92
?ENSAO E CORR,BNTE ALTERNADAS
Assim,
V¡ -- Riu¡
e
P
Ir^n*
: vÍi"Í
(8.11)
Como pode ser observado, em termos de valores eficazes V¡ . i"! , a
¡rotência média dissipada no resistor e a Lei de Ohm são dadas pelas
mesmas expressões que em corrente contínua. Entretanto, outros componentes tais como capacitoles e indutores, têm um compottamento
mais complicaclo em corrente alternada, pois ocorre clefasagem entre a
tensão V(t) e a corrente elétrica í(t) .
8.2
Rede elétrica comercial
A energia elétrica é distribuída comercialmente para
residências, indústrias e outros fins, ¡ror meio de corrente alternada. Isto porque a
tensáo alternada, além de ser facilmente gerada como tal, apresenta
vantagens em relação à tensão contínua. Uma das grandes vantagens é
que os valores eficazes podem ser facilmente elevados ou rebaixados de
maneira relativamente simples, pol meio de transformadores. Isto simplifica bastante a transmissão e distribuição de energia elétrica. Muitos
clispositivos simples tais como lâmpadas incandescentes, aquecedores e
lesistores em gelal, funcionam igualmente bem em corrente contínua
ou alternacla. Outros clispositivos, tais como motores e relés, podem
ser facilmente construídos ou adaptados para corrente alternada. A
utilizaçäo de enelgia elétrica em aparelhos eletrônicos tais como rádios,
TV's e outros, é mais simples usando tensão alternada.
A frequência da recle elétrica no Brasil é 60 I:I z, a mesma que nos
Estados Unidos e Canadá, por exemplo. Nos países da Europa e cla
América Latina, a frequência é 50 H z .
A instalação elétrica residencial comum é a chamada instalação
monof,ísi,cø e, gelalmente, são disponíveis as tensões alternadas corn
valores eficazes de 110 e 220V. Neste tipo de instalação, podem ser
identificados 4 fios :
Fio
Fio
Fio
Fio
rede
vt - v^cos(ut) + vN
rede -)
----+ Vx È constante
rede
Ve - V^cos(øt *r) + V¡,t
-'
terra T local
Vr - Potencial da terra local
-|
fase A da
fase N da
fase B da
8,2. REDE ELÉTRICA COMERCIAL
93
Se
V"! :110 Y
resultam os valores
v^
- tE V¡ = Ls6v e
vpp
-
2v* = SLLr
"Il}V" é apenas
uma denominaçã,o usual para a
tensão alternada monof¿ísica. Infelizmente, no Brasil existe pouca padronizaçã.o e, dependendo da região, a tensão alternada pode ter valores
O valor
eficazes
efr.caz
Vt : 110, II7, I27 e outros.
A Figura 8.3 mostra os potenciais dos 4 fios da instalação elétrica
monofásica cornum. O fio neutt'o também é um telra, mas da rede
elétrica e pode estar em local distante e portanto, seu potencial pode
ser diferente clo potencial da terra local.
A tensão altelnada de 110 I/ é obtida entre o fio A e o fio N. Entre
os fios B e N tarnbém existe 110 y. Entretanto, entre os fios A e B a
diferença de potencial é
V
:
V¡
-
Vø
-
V*cosut
-
V^cos(ut
* r) -
2V*
cosut
(8.12)
Portanto, entre os fios A e B existe uma tensão alternada com o dobro
da tensão efrcaz, isto é, 220V .
O fio telra se destina ao aterlamento de caixas metálicas de aparelhos por razões de segurança dos usuários e também de equipamentos3.
Todas as conexões com plugues e tomadas deveriam ter um terceiro
pino para esta ligação. Infelizmente, no Brasil, o fio terra é ligado
somente em chuveiros, torneilas elétricas e máquinas de lavar, quando
é instalado.
Além de instalaçáo monofdsico, existem também instalações elétricas triftísicas usadas em instalações inclustriais e laboratórios com
máquinas elétlicas grandes. Uma instalação trif'asica tem 3 tensões alternadas de mesma amplitude, ñffi cada uma delas defasada de +1200
ou -1200 em relação às outras duas. Instalação bifdsica não tem interesse prático e não deve ser confundida com a instalação monofiisica
comum de duas tensões alternada defasadas de 1800 . Instalações de 6,
12 ou mais fases teriam vantagens que não compensam a complexidade
das ligações e não são viáveis cometcialmente.
3Ver Seção 9.
### 8. tnMsto E COSRENTE
94
v(t)
FIo
AATEüNADAS
A
v"
V'
F¡o Neutno
v-
v,
t
.-J
F¡o Terro
F¡o
B
Figura 8.32 Potenciais nos fios ile umø ínstøloçào tn'onotdsica.
###
e
Choque elétrico
Os principais efeitos d,o choque elétrico no corpo humøno
os cui,d,ailos o, serern seguiilos sã,o resu¡nid,os nestø Seçõ,o.
e
9.1- Efeitos da corrente no corpo humano
O corpo humano é muito sensível à passagem da corrente elétrica.
Isto ocorre porque as atividades muscula¡es, incluindo a respiração e os
batimentos cardíacos são controlados por correntes elétricas internas.
A passagem de uma corrente elétrica de origem externa pode resulta^r
em graves descontroles, tais como paralisia respiratória, fibrilação ventricular ou parada cardíaca. Os principais efeitos da corrente elétrica
alternada de 60 Hz sãa reunidos na Tabela 9.1 (conforme Referências
tr2 e 3). Os resultados apresentados são deduzidos de experiências com
animais e an¡ílise de acidentes, sendo portanto ba,stante aproximados.
V¿írios dos efeitos considerados devem ser entendidos no sentido que
têm grande probabilidade de ocorrer. Além disso, tais efeitos podem
variar de uma pessoa para outra, conforme a idade e podem ser muito
mais graves em pessoas cardíaca^s.
A f,brilaçã,o aentricular se caracteriza por movimentos de contração
não coordenados dos ventriculos, resultando em grande diminuição da
ação de bombeamento sanguíneo. A fibrilação ventricular pode levar à
morte se o batimento ca¡díaco normal não é restabelecido com técnicas
médicas de desfibrilação.
95
### e. cHoQUE ELÉTRTCO
96
Tabela 9.L: Efeitos proadaeis da cort'ente elétricø no corpo hurnøno.
Corrente (60 Hz
Duração
Efeitos prováveis
0 a 0r3mA
Qualquer
Nenhum
0,3 a 0.6naA
Qualquer
Limiar de percepção
1 a lÙmA
Qualquer
Dor
Contração muscular
Descontrole musculal
l0 a25mA
Minutos
Contração muscular
Dificuldade respiratória
Aumento da pressão arterial
25 a 50mA
Segundos
Paralisia respiratória
Fibrilação ventricular
Inconsciência
50 a 200 mA
Mais de um
ciclo cardíaco
Pa¡alisia respiratória
Inconsciência
Marcas visíveis
mais de 200m4
Menos de um
ciclo cardíaco
Inconsciência
Marcas visíveis
mais de 200m4
Mais de um
ciclo cardíaco
Parada cardíaca
Inconsciência
Queimaduras
9.1. EFEITOS DA CORRENTB NO CORPO HUMANO
97
Tabela 9.2: Valores mdximos pare a con'ente elétricø de fuga enx o.parelhos eletrônicos.
Aparelhos em contacto
apenas com a
pele clo corpo
Corrente máxima aceitável
:
300 p,A
Corrente máxima desejável
:
100 p,A
Aparelhos em contacto
com o intelior de
Corrente máxima aceitável
:
l5 ¡tA
vasos sanguíneos
Corrente máxima desejável
:
5
¡tA
Existe tm período aulnerdael no ciclo de batimento cardíaco que
é o início da chamada fase T do eletrocardiogramal. Nesta fase, uma
corrente de duração de 100nzs pode provocar fibrilação ventricular.
Assim, é um engano supol que um choque rápido não é perigoso.
Um outro aspecto a sel considerado é o percurso da corrente elétrica
no colpo hurnano. Correntes da ordem de 50 ¡t,A pelo coração podem
provocar fibrilação ventricular, enquanto que 500mA entre os dedos
polegar e o indicador pode plovocar somente queimadura.
Como limites absolutamente seguros para corrente em um choque
elétrico podem ser considerados os valotes2 de normas internacionais
pata limi,tes de faga de corcente em aparelhos eletrônicos, dados na
Tabela 9.2. Como pode ser visto, limites considetados segulos são bastante pequenos. Bm particular, certos insttumentos médicos introduzidos diretamente em vasos sanguíneos são muito mais perigosos, pois a
comente vai diretamente ao coração.
A seguir, são discutidas as duas situações mais comuns e perigosas
de choques elétricos, mostradas nas Figuras 9.1 e 9.2.
lVer Referência 4, por exemplo.
2Dstes valores são dados na Referência 3.
### s. cHoSuE
98
ELÉTRICO
Condutor
ô
I
I
\v
Ptso
Figura 9.1: Choque entre uma ilas ¡nõ,os e a temø.
Conduton
Condutor 2
1
v
V2
I
IT
V=Ve-Vr
0
Plso
Figura 9.22 Choque entre as iluøs
mõ,os.
9.2. CHOQUE EN?RÊ UMA
9.2
DAS MAOS E
A
TERRA
99
Choque entre uma das mãos e a terra
A corrente elétrica que circula pelo corpo
é dada aproximadamente por
,-V
R
onde .& é a resistência elétrica efetiva, correspondente ao percurso da
corrente entre o ponto de contacto com o condutor e a telra. Esta
resistência pode variar enormemente, dependendo dos seguintes fatores:
o
Acoplamento entre a mão do indivíduo e o condutor, que depende
da humidade da pele, da área de contacto e outros fatores.
o
Resistência elétrica interna do corpo associada ao percuÌso, que
é relativamente baixa.
o
Frequência da corrente elétrica.
o Acoplamento entre os pés do indivíduo e o piso.
o Acoplamento entre o piso e a própria terra.
Ambientes molhados ou mesmo úmidos são perigosos porque melhoram os acoplamentos, diminuindo a resistência efetiva.
Como medida de prevenção contra choques elétricos, nunca se deve
tocar em um condutor sem isolação adequada. Muito menos, se deve
agalral um condutor, pois a contração muscular pode resultar em
aperto ainda maiot do condutor.
Sapatos com sola grossa de borracha e piso com bom revestimento
isolante constituem uma boa proteção adicional contra choque entre
a mão e a terra, no caso de instalação residencial (t L20V ). Em
ambientes molhados tais proteções podem ser inúteis.
No caso de altas tensões (n: 500 V ou maior), a corrente elétrica
pode ocorrer através de rachaduras ou fissuras no isolante ou ainda, pela
superfície do mesmo, dependente da umidade, sujeira e outros fatores.
Isto significa que, no caso de altas tensões, sapatos de sola grossa e pisos
isolantes comuns podem ser cuidados completamente inúteis, mesmo
em ambientes secos.
100
9.3
### e. cqoeug u,Érmco
Choque entre uma das mãos e a outra
Esta situação é rnuito mais perigosa que a anterior. Isto porque todos
os cuidados de isolaçã,o em relação à terra tornam-se completamente
inírteis e, além disso, o percurso da corrente pa.ssa diretamente pelo
coração, com maiores plobabilidades de provocar fibrilação ventricular'
ou outros efeitos graves.
A resistência .R do corpo entre as mãos suadas pode ser cla ordem
cle 2000 f,t. Agarrando-se, um em cada mão, os fios de uma tomada
elétrica comum ( t 120 I/ entre uma fase e o neutro), a corrente é
_V
I*Ex60mA
Bsta corrente é suficiente para provocar paralisia lespiratória, fibrilação
ventricular e inconsciência.
A regra básica de prevençã,o contra choque elétrico entre as duas
mã.os consiste em nunco, lr,so:ì' 0,s duas mã,os simultaneamente em pontos diferentes de um circuito elétlico. Em particular, não se deve pegar
dois fios, mesmo isolados, com mãos diferentes e nem manusear aparelhos diferentes simultaneamente. Técnicos que trabalham em instrumentos com alta tensão costuma dizer que t'deve-se trabalhal com uma
das mãos no bolsot'.
O manuseio do multímetlo para medição em circuitos com tensões
relativamente altas deve ser feito com cuidado. As pontas cle ptova
nunca devem seÌ manuseadas com mãos diferentes, simultaneamente.
9.4
Ligação de instrumentos à terra
Um dos cuidados mais importantes paÌa prevenção de choque elétrico
é a ligação de caixas metálicas de instrumentos ou aparelhos à terra,
como mostrado na Figura 9.3.
O terra é construído enterrando-se condutores em terra úmida, juntamente com sais e outras substâncias, de forma a se obter alta condutância elétrica entre os condutores e a terra. O terra é caracterizado
por uma resistência ,R7 eue deve ser o menor possível, como discutido
a seguir.
s.4. LIGAÇÃI DE rNsrRuMENTos À rønnt,
101
Se uma caixa metálica de um aparelho é ligada ao fio terra, pode
existir uma corÌente elétrica i da caixa para a terra. Assim, a diferença
de potencial entre a caixa e a terra é
V¡t * Rri
(9.1)
é, a resistência do terra, se a resistência dos fios de ligação é
desprezada. Assim, se a resistência do terra é muito pequena, a tensão
V¡t enfie a caixa e a terra é desprezível. O aterramento de caixas de
aparelhos apresenta grandes vantagens, destacadas a seguir.
onde -Ea
o
Prevenção de choque entre a mão do operador e o piso, pois a
caixa do aparelho está aproximadamente no mesmo potencial da
terra. Particularmente perigoso é um chuveiro elétrico de carcaça
metálica não aterrada.
o
Prevençã,o de choque quando o operador manusear simultaneamente, aparelhos diferentes, pois estes estão no mesmo potencial.
o Prevenção de descarga^s elétricas intensas (faíscas) entre instrumentos diferentes, quando as caixas dos mesmos se tocam. Instrumentos mais delicados podem ser danificados com tais faíscas.
r
Em instrumentos de mediçã.o, intetferências de campos elétricos
externos (ruídos) diminuem, pois as caixas realizam uma blindagem mais eficiente.
r
O potencial da terra é um potencial de referência bastante conveniente e estável para medições elétricas.
Toda instalação elétrica, mesmo residencial, deveria ter um terra
local e terminais para ligação este terra. Assim, as tomadas elétricas
deveriam ter um terceiro pino para esta ligação.
O terra deve ter resistência suficientemente baixa, tendo em vista
sua finalidade. Por exemplo, pode-se admitir uma corrente de æ 100 A
num curto-circuito num aparelho. Conforme a Equação 9.1, se a resistência do terra é 100 mdl,, a tensão no fio de ligação ao terra é
V¡t N 10 y . Entretanto, este terra seria inútil para um banco de capacitores que, numa descarga acidental paÌa a terra possa liberar 20 kA .
Neste caso, a tensã.o V¡t nos fio do terra seria x 2000V .
i
### s.
102
cHoQUE ELÉTHCO
Instnumento
r
Flos do
-l
F¡o
tenno
R
I
I
J
L
Vç*
I
Clncultos
nede {
\-ô
Colxo
oterrodo
I
:
Figura 9.3: Ligøção de instrumentos
à,
terrø,
Um para-raios pode concluzir dezenas de leA quando ocorre um raio.
Assim, ã cabo de liga,ção ao terra do para-raios pode atingir milhares
de volts e rw,¡tcø ileae ser uso'ilo cotno terra.
Referências
1. J.B.Marion, Generøt Physics añth Bioscience
Essøys, John
wiley
(1e?e).
2. M.A.t. Martin, Saúde Ocupacional e Segurança, Vol. XKllz,
(1e86).
3. G. Gronich, O
Choque Elétrico, Revista Nova Eletrônica, No 3,
pe. 342 (1e77).
4.
Heart
- Electroeøriliogrøms,
E¡cyclopaedia Britaunica, vol. 11,
ps.223 (1e71).
J

Complementos de Física Experimental (1ª Parte)

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