Notas de Aula 14/09/2016
Transcrição
Notas de Aula 14/09/2016
Lema de Yoneda (e exemplos). Se F, G : C → D são funtores covariantes (ou contravariantes) escrevemos F ∼ = G para falar que existe um isomorfismo natural h : F → G. Uma outra forma de falar a mesma coisa é que F (X) ∼ = G(X) funtorialmente em X ∈ Ob(C ). O resultado seguinte diz que se dois objetos verificam a mesma propriedade universal então eles são isomorfos. Sejam X e Y dois objetos de uma categoria C e sejam F : C → Set, G : C → Set definidos assim: F (A) = HomC (X, A), G(A) = HomC (Y, A) e se ϕ : A → B é um morfismo em C pomos F (ϕ)(f ) = ϕ◦f e G(ϕ)(f ) = ϕ◦f . Se trata de funtores covariantes. Teorema (Lema de Yoneda). Se F ∼ = G então X ∼ =Y. Demonstração. Mostramos que F é um funtor (a demonstração para G é analoga). Mostramos que se A ∈ Ob(C ) então F (1A ) = 1F (A) . Temos F (1A )(f ) = 1A ◦ f = f = 1F (A) (f ). Mostramos que se ϕ : A → B e ψ : B → C então F (ψ ◦ ϕ) = F (ψ) ◦ F (ϕ). Temos F (ψ ◦ ϕ)(f ) = ψ ◦ ϕ ◦ f e (F (ψ) ◦ F (ϕ))(f ) = F (ψ)(F (ϕ)(f )) = F (ψ)(ϕ ◦ f ) = ψ ◦ ϕ ◦ f . Seja h : F → G isomorfismo natural. Queremos mostrar que X ∼ = Y, isto é, queremos encontrar dois morfismos g : X → Y e f : Y → X tais que g ◦ f = 1Y e f ◦ g = 1X . Observe que hX : HomC (X, X) → HomC (Y, X) e hY : HomC (X, Y ) → HomC (Y, Y ), assim faz sentido definir f = hX (1X ) : Y → X e g = h−1 Y (1Y ) : X → Y (lembrando que hY é isomorfismo de conjuntos, isto é, bijeção). Aplicando a naturalidade a g : X → Y obtemos o diagrama comutativo HomC (X, X) hX / HomC (Y, X) F (g) HomC (X, Y ) hY G(g) / HomC (Y, Y ) assim G(g) ◦ hX = hY ◦ F (g). Aplicando isso a 1X obtemos G(g)(hX (1X )) = hY (F (g)(1X )), isto é, lembrando que hX (1X ) = f , temos g◦f = hY (g) = 1Y . Aplicando a naturalidade a f : Y → X obtemos o diagrama comutativo HomC (X, Y ) hY F (f ) HomC (X, X) hX / HomC (Y, Y ) G(f ) / HomC (Y, X) assim G(f ) ◦ hY = hX ◦ F (f ). Aplicando isso a g obtemos G(f )(hY (g)) = hX (F (f )(g)), isto é, lembrando que hY (g) = 1Y , f ◦ 1Y = hX (f ◦ g), assim −1 f ◦ g = h−1 X (f ◦ 1Y ) = hX (f ) = 1X . 1 2 PRODUTO E COPRODUTO. Já definimos o produto cartesiano de uma famı́lia de conjuntos e falamos da propriedade universal. Agora seja I uma famı́lia de indices e seja Xi um conjunto para todo i ∈ I. O coproduto dos Xi é a [ Xi := {(x, j) : x ∈ Xi , j ∈ I, x ∈ Xj }. i∈I i∈I Pode pensar no coproduto de conjuntos como “união disjunta”, no sentido que você está fazendo a união dos Xi tratando elementos de Xi diferentes como ` sendo diferentes. Por exemplo se X1 = {1, 2} e X2 = {1, 3} então X1 X2 tem 4 elementos: (1, 1), (2, 1), (1, 2), (3, 2). Por outro lado X1 ∪ X2 = {1, 2, 3} tem Observe que se os Xi são dois a dois ` só 3 elementos. S disjuntos então i∈I Xi ∼ X . = i∈I ` i O coproduto tem uma propriedade universal: dar uma função f : i∈I Xi → X é a mesma coisa que dar uma famı́lia de funções fi : Xi → X, de fato dada f temos fi (x) := f (x, i) e dada a famı́lia (fi )i temos f (x, i) = fi (x). Essas correspondências definem então um isomorfismo a Y HomSet ( Xi , X) ∼ HomSet (Xi , X). = i∈I i∈I Como você imagina, se trata de um isomorfismo funtorial em X (pode mostrar isso como exercı́cio: eu fiz isso no caso do produto na aula passada). Observe que o coproduto é uma construção covariante (os funtores definidos acima são covariantes). Definição (Produto e coproduto). Seja C uma categoria e seja (Xi )i∈I uma Q famı́lia de objetos de C . O produto dos Xi (se existir) é um objeto i∈I Xi tal que Y Y HomC (X, Xi ) ∼ HomC (X, Xi ). = i∈I i∈I funtorialmente em X ∈ Ob(C ). O coproduto dos Xi (se existir) é um objeto ` i∈I Xi tal que a Y HomC ( Xi , X) ∼ HomC (Xi , X). = i∈I i∈I funtorialmente em X ∈ Ob(C ). Observe que se o produto dos Xi existir então ele é único a menos de isomorfismo. De fato, sejam A e B dois produtos dos Xi . Então temos isomorfismos funtoriais em X Y ∼ HomC (X, A) = HomC (X, Xi ) ∼ = HomC (X, B). i∈I Logo por composição temos que HomC (X, A) ∼ = HomC (X, B) funtorialmente em X, assim A ∼ = B pelo lema de Yoneda. 3 Analogamente, se o coproduto dos Xi existir então ele é único a menos de isomorfismo (mesmo argumento). Exemplo. Considere um conjunto C e a categoria C cujos objetos são os subconjuntos de C e HomC (A, B) = {∗} se A ⊆ B, HomC (A, B) = ∅ se A 6⊆ B. Seja (Xi )i∈I uma Q famı́lia de objetos de C . A propriedade universal do produto fala que i∈I Xi tem a propriedade que uma inclusão de um objeto a uma inclusão de X em cada Xi . Isso Q X nele corresponde T mostra que i∈I Xi ` = i∈I Xi . Analogamente, a propriedade universal do coproduto fala que i∈I Xi tem a propriedade que uma inclusão dele em um objeto X corresponde a uma inclusão de cada Xi em X. Isso mostra ` S que i∈I Xi = i∈I Xi . Exemplo. Considere a categoria C dos aneis comutativos. Se A é um objeto de C então A[t] também é um objeto. Se trata do anel dos polinômios a coeficientes em A. Ele tem uma propriedade universal: se B é um outro anel comutativo, um homomorfismo de aneis ϕ : A[t] → B corresponde a um homomorfismo A → B (a restrição) P e à escolha P de ϕ(t). De fato conhecendo ϕ|A e ϕ(t) podemos calcular ϕ( i ai ti ) = i ϕ(ai )ϕ(t)i . Isso significa que HomC (A[t], B) ∼ = HomC (A, B) × HomSet ({t}, B). Por outro lado, como Z é um objeto inicial em C , HomC (Z[t], B) ∼ = HomC (Z, B) × HomSet ({t}, B) ∼ = HomSet ({t}, B) assim temos que ∼ HomC (A, B) × HomC (Z[t], B). HomC (A[t], B) = Como você imagina, se trata de um isomorfismo funtorial em B, logo lembrando da propriedade universal do coproduto, o lema de Yoneda implica que a A[t] ∼ Z[t]. =A ∼ Observe que temos também A[t] = A ⊗Z Z[t]. De fato, na categoria C o coproduto de uma famı́lia finita de objetos é exatamente o produto tensorial sobre os inteiros. Na categoria das A-álgebras comutativas o coproduto de uma famı́lia finita de objetos é ⊗A . Na próxima aula vou justificar isso melhor. 4 Exercı́cios. (1) Mostre que nas categorias Gp (grupos), GpAb (grupos abelianos), AnComm (aneis comutativos), A-mod (A-modulos, onde A é um anel comutativo) o produto existe e é igual (isomorfo) ao produto direto (produto cartesiano com as operações definidas por componentes). Q (2) Mostre que na categoria dos grupos A B é o produto direto e ` A B é o produto livre. (3) Seja C uma categoria em que os objetos são conjuntos com estrutura (por exemplo grupos, aneis, etc.). Seja S um conjunto. Um objeto L de C é dito livre sobre S se existe um isomorfismo HomSet (S, X) ∼ = HomC (L, X) funtorial em X (os funtores são C → Set). [Observe que o morfismo estrutural S → L tipico dos objetos livres corresponde à identidade L → L]. Use o lema de Yoneda para mostrar que um objeto livre, se existir, é único a menos de isomorfismo e calcule o objeto livre sobre S = {1, . . . , n} na categoria dos grupos abelianos. (4) Mostre que o isomorfismo que define a propriedade universal do coproduto de conjuntos é funtorial. (5) Seja C a categoria cujos objetos são os inteiros positivos e existe um Q (único) ` morfismo entre a e b se e somente se a divide b. Calcule a b, a b e estude a existência de produto e coproduto de uma famı́lia infinita de objetos.