universidade federal do amazonas instituto de - PPGFIS

Transcrição

UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Nova Abordagem de Grupo de Renormalização no Espaço Real
Aplicada em Modelos de Spins
Sabrina Rufo de Almeida
Manaus - 2011
UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONAS
INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA
Nova Abordagem de Grupo de Renormalização no Espaço Real
Aplicada em Modelos de Spins
Sabrina Rufo de Almeida
Orientador: Prof. Dr. José Ricardo de Sousa
Co-orientador: Prof. Dr. João Antônio Plasck
Dissertação de mestrado apresentada ao
Departamento de Fı́sica da Universidade
Federal do Amazonas, como parte dos requisitos básicos para obtenção do tı́tulo de
Mestre em Fisica
Manaus - 2011
Índice
1 Introdução
1
1.1
Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
1.2
Ordenamentos Magnéticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
1.3
Modelagem Magnética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.4
1.5
1.3.1
Modelo de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.3.2
Modelo XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3.3
Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Teoria de Fenômenos Crı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.4.1
Expoentes Crı́ticos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.4.2
Classes de Universalidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
Apresentação do Trabalho . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
Referências Bibliográficas
36
2 Teoria de Campo Efetivo
43
2.1
Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.2
Teoria de Campo Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.2.1
2.3
Técnica do Operador Diferencial . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
Nova Teoria de Campo Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.1
Modelo de Ising . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
2.3.2
Modelo XY . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3.3
Modelo de Heisenberg Anisotrópico . . . . . . . . . . . . . . . 62
67
3 Teoria de Grupo de Renormalização
70
3.1
3.2
Considerações Gerais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.1
Hı́poteses de Escala . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.1.2
Hı́potese de Widom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
3.1.3
Argumento de Kadanoff . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Teoria de Grupo de Renormalização com Aproximação de Campo
Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
3.2.1
3.3
Modelo de Ising - GRCE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
Teoria de Grupo de Renormalização com a Nova Aproximação de
Campo Efetivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3.1
Aplicações e Resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
88
4 Conclusão
91
4.1
Discussão dos Resultados e Perspectivas Futuras . . . . . . . . . . . . 91
ii
Lista de Tabelas
1.1
Classificação de alguns elementos em diamagnéticos e paramagnéticos
com seus respectivos valores de susceptibilidade magnética [9]. . . . .
1.2
6
Substâncias ferromagnéticas com suas respectivas temperaturas de
Curie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3
Valores teóricos e experimentais dos expoentes crı́ticos [61] . . . . . . 33
2.1
Valores de temperatura crı́tica reduzida de modelos quânticos para
uma rede cúbica simples obtidos via, teoria de campo médio(TCM),
teoria de campo efetivo(TCE), nova abordagem da teoria de campo
efetivo(NTCE) e expansão em série. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1
Valores de temperatura crı́tica reduzida através dos métodos de Grupo
de Renormalização de modelos quânticos para uma rede cúbica simples. 86
3.2
Valores do expoente crı́tica térmico obtidos através de métodos do
Grupo de Renormalização de modelos quânticos para uma rede cúbica
simples. Os valores entre parênteses são obtidos usando o fator de
escala de Slotte. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.1
Resultados da tamperatura crı́tica reduzida para uma rede cúbica
com dois sı́tios centrais através de diversos métodos. . . . . . . . . . . 93
Lista de Figuras
1.1
Comportamento da magnetização espontânea experimental reduzida
como uma função da temperatura reduzida T /Tc para os materiais
Nı́quel(Ni), Ferro(Fe) e Cobalto(Co). As curvas contı́nuas são os resultados obtidos via teoria de Weiss para momento magnético total
J = 1/2, J = 1 e J → ∞, conforma indicado na figura. [7] . . . . . .
4
1.2
Ordenamento ferromagnetismo em T = 0.
. . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3
Ordenamento antiferromagnetismo em T = 0. . . . . . . . . . . . . . 12
1.4
Ordenamentos magnéticos: (a)Ferromagnetismo, (b)Antiferromagnetismo
e (c)Ferrimagnetismo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5
Representação de como vórtices ( rotações no sentido horário) e antivórtices (rotações no sentido anti-horário) se comportam em uma rede
de spins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.6
Condensado de átomos de Rubı́dio obtido experimentalmente através
de um laser de absorção[35]. Nos casos (a) e (b) temos os átomos colocados sob rotação com frequência Ω < Ωc e Ω = Ωc , respectivamente.
1.7
24
Comportamento assintótico ln(M ) versus ln(−t), ln(χ−1 ) versus ln(t)
e ln(M ) versus ln(H) para uma liga metálica Fe1−x Alx com concentração x = 0.10[58]. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.1
Rede quadrada com 1 sı́tio central (z = 4). . . . . . . . . . . . . . . . 45
2.2
Estrutura topológica em aglomerado com dois spins centrais para uma
rede linear(a), quadrada(b), hexagonal(c) e kagomé(d). . . . . . . . . 46
2.3
Aglomerado com dois sı́tios centrais numa rede cúbica simples (z=6).
2.4
Curva da magnetização versus a temperatura reduzida K −1 = T ,
56
para o modelo de Ising tridimensional via NTCE. . . . . . . . . . . . 60
2.5
Curva da magnetização versus a temperatura reduzida K −1 = T ,
para o modelo XY tridimensional via NTCE. . . . . . . . . . . . . . . 63
2.6
Curva da magnetização versus temperatura reduzida K −1 = T para
o modelo Heisenberg Isotrópico tridimensional via NTCE.
2.7
. . . . . . 65
Curva da temperatura reduzida K −1 = T versus a anisotropia ∆ para
o modelo Heisenberg anisotrópico tridimensional via NTCE e TCE. . 66
3.1
Bloco de Kadanoff em uma rede quadrada com parâmetro de rede
a.(a)blocos de Kadanoff formado por 4 spins σ.(b)rede quadrada com
spin efetivo θ com parâmetro de rede a0 . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.2
Diagrama de fluxo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3.3
o modelo Heisenberg anisotrópico tridimensional via NGRCE. . . . . 87
4.1
o modelo Heisenberg anisotrópico tridimensional via NGRCE, NTCE
e TCE. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
v
vi
Agradecimentos
Externo aqui minha gratidão a minha famı́lia
aos meus pais Maria de Lourdes Alves Rufo e Paulo Nogueira de Almeida aos
quais devo minha vida!
minha irmã Samantha Rufo que tanto amo
minha avó Maria Rufo pela alegria e sabedoria
ao meu querido Griffith Mendonça por estar sempre ao meu lado incondicionalmente
a Maria Augusta e Raimundo Aderbalde pela confiança
a Maurı́cio, Lı́via e Lucas Cunha pela amizade sincera
Aos amigos
Felipe Armond, Sı́lvia Silveira, Waleska Carbajal, Suellen Regina, Raquel,
Rita, Maria José, Maı́na Froz, Alcinéia Lima, Flávio Soares, Renata Soares, Jaão
Victor, Marco Aurélio, Rosana dos Anjos, Elaine, Vânia, Rodrigo da Lapa, Paula
Magda, Vanessa Azevedo, Thiago Milograno, Alexandre Divino, Lisangêla Lacerda,
José Carlos, Denise, Márcio Amazonas, Márcio Gomes, Manoel, Daniel, Leiziane
Bruno e aos muitos outros amigos.
Ao prof. Dr. José Ricardo de Sousa, por propor este trabalho, tendo sempre
me ajudado como orientador e amigo.
Ao prof. Dr. João Antônio Plasck, sem o qual este trabalho não seria possı́vel.
Aos professores do departamento de Fı́sica da Universidade Federal Do Amazonas pelo apoio e amizade.
A Uiversidade Federal Do Amazonas (UFAM).
A (CNPq).
Resumo
Com base na teoria de fenômenos crı́ticos, desde a definição dos expoentes
criticos até as idéias que culminaram na teoria do Grupo de Renormalização, introduzimos de forma didática as teorias de Campo Efetivo e Grupo de Renormalização
com aproximação de campo efetivo com o intuı́to de estudarmos trasições de fase
em sistemas magnéticos.
A partir da teoria de Campo Efetivo e da técnica do operador diferencial
surgem de forma natural médias acopladas de spin. Essas médias carregam consigo
informações de flutuações e correlações pertinentes ao estudo das transições de fase.
Como primeira aproximação estudos anteriores consideravam essas médias de spin
desacopladas, o que equivale a desprezar totalmente as correlações de spins, ou seja,
hσi σj σl ...σn i = hσi ihσj ihσl i...hσn i.
Nesta dissertação vamos levar em conta a correlação entre determinados pares
de spins escolhidos através de critérios de simetria, com o objetivo de obter valores
de temperatura crı́tica superiores as teorias que desprezam as correlações.
Definimos nosso desacoplamento como F = h~σa · ~σb i.
Os modelos de Ising, XY e Heisenberg anisotrópico foram estudados para uma
rede cúbica simples com dois sı́tios centrais e aproximação axial para os primeiros
vizinhos, usando o novo desacoplamento na teoria de campo efetivo.
O desacoplamento F também foi estendido ao formalismo da teoria de Grupo
de Renormalização com proximação de campo efetivo, na comparação mais simples
entre aglomerados com um e dois sı́tios centrais.
Abstract
On the basis of the theory of critical phenomena, since the definition of the
critical exponents until the ideas that had culminated in the theory of the Group of
Renormalization, we introduce of didactic form the theories of Effective Field and
Group of Renormalization with approach of effective field with intention to study
transitions of phase in magnetic systems.
From the theory of Effective Field and the technique of connected average
the distinguishing operator they appear of natural form of spin. These averages
load obtain pertinent information of fluctuations and correlations to the study of
the phase transitions. As first approach previous studies considered these detached
averages of spin, what it is equivalent to disdain the correlations of spins total, that
is, hσi σj σl ...σn i = hσi ihσj ihσl i...hσn i.
In this work we go to take in account the correlation between determined
chosen pairs of spins through symmetry criteria, with the objective to get superior
values of critical temperature the theories that disdain the correlations.
We define our uncoupling as F = h~σa · ~σb i.
The models of Ising, XY and anisotropic Heisenberg had been studied for
simple a cubical net with two spins central and axial approach for the first neighbors,
using the new uncoupling in the theory of effective field.
The idea of the uncoupling F also was extended to the formalism of the theory
of Group of Renormalização with approach of effective field, in the comparison
simplest between accumulations with one and two spins central.
ii
Capı́tulo 1
Introdução
1.1
Considerações Gerais
O Magnetismo é amplamente associado a minérios com caracterı́sticas de atração
e repulsão entre si. A palavra teve origem na cidade de Magnésia ad Sypilum,
localizada na Turquia Antiga, onde surgiram os primeiros relatos de um mineral
chamado magnetita, o ı́mã natural, abundante na região[1].
O magnetismo foi um dos primeiros fenômenos a aguçar a curiosidade humana
para o mundo desconhecido (microscópico). As primeiras experiências envolvendo
materiais magnéticos foram realizadas por gregos por volta 800 a.C.. Destaque
para a bússola, criada pelos chineses, uma das primeiras invenções a explorar o
comportamento magnético da matéria.
Analogias no estudo do magnetismo com a eletricidade foram inevitáveis,
uma vez que no século XVIII a eletricidade já era bem desenvolvida. Em 1795
agregou-se a Lei de Coulomb, de que a força é proporcional ao inverso do quadrado
da distância, no estudo da interação entre as “massas magnéticas”. A difusão da
idéia de carga elétrica isolada para o magnetismo é alvo de inúmeras pesquisas até
hoje, porém, a existência de uma “carga magnética”isolada análoga ou monopólo
magnético, como é largamente conhecido, não tem sido comprovada experimental-
mente nem observada de forma espontânea na natureza, de modo que as unidades de
“massas magnéticas”só aparecem com as “cargas magnéticas”aos pares, os chamados dipolos magnéticos. Entretanto, recentemente, têm-se ouvido rumores na comunidade cientı́fica de uma possı́vel constatação da existência do monopólo magnético
em laboratório , mas nada oficial foi relatado até a finalização desta dissertação1 . Já
o conceito de campo magnético passa pelos mesmos critérios do conceito de campo
elétrico. Outras grandezas pertinentes ao estudo do magnetismo surgem naturalmente a partir destas.
No século XIX ocorreram grandes descobertas que finalmente provaram que
havia sim uma relação entre o magnetismo e a eletricidade. Em 1820, Oersted
[2]descobriu que um fio percorrido por uma corrente elétrica exibia um efeito magnético
e em 1821 Faraday [3] verificou que um campo magnético variável era capaz de produzir uma corrente elétrica. Com estas descobertas e outras colaborações teóricas,
em 1864, Maxwell [4] unificou o Eletromagnetismo com as famosas equações de
Maxwell.
Um dos maiores interesses da Fı́sica no estudo do Magnetismo é a busca de
uma maior compreensão dos aspectos microscópicos da matéria que justifiquem os
fenômenos magnéticos observados macroscopicamente.
Apesar da descoberta do magnestismo ser antiga, a primeira teoria que se
propunha a explicá-lo só surgiu em 1907, com Pierre Wiess[5].
Foi uma pro-
posta fenomenológica que explicava o comportamento qualitativo das propriedades
magnéticas de certos materiais chamados ferromagnéticos. Esses materiais apresentam, na ausência de campo magnético aplicado, uma magnetização espontânea
abaixo de uma certa temperatura caracterı́stica Tc (particular a cada material),
denominada de temperatura de Curie. Acima dessa temperatura estes materiais
perdem seu ordenamento magnético passando a ter magnetização nula e a exibirem
1
Um conjunto de pesquisadores relatam pela primeira vez a observação de monopolos
magnéticos e como eles surgem em um material real. Para saber mais sobre o assunto ver o
artigo publicado na Science Express [6]
2
um comportamento chamado paramagnético. A teoria de Weiss parte da idéia de
que um único momento magnético, associado a um dado ı́on do material, interage
com os demais ı́ons da rede através de um campo chamado de campo molecular, o
qual Weiss define como sendo proporcional à magnetização , ou seja, à média dos momentos magnéticos do material. Apesar de apresentar uma boa descrição qualitativa
para o comportamento magnético dos ferromagnetos, devemos ressaltar que a teoria
é falha em aspectos quantitativos, o que é justo, uma vez que o fenômeno magnético
é quântico e Weiss não pôde se basear na teoria quântica que só seria desenvolvida
mais tarde. Na figura 1.1[7] temos o comportamento da magnetização de certos
materiais que diminue a medida que a temperatura T cresce ou conforme a energia
térmica aumenta em relação a energia responsável pelo ordenamento magnético, de
modo a minimizar a magnetização do sistema, e anula-se quando T = Tc . Mas a
natureza da energia que é capaz de gerar o ordenamento magnético era até então
desconhecida. Weiss acreditava que essa energia era a do tipo dipolo-dipolo, porém
apenas esta energia de interação entre os ı́ons não é capaz de explicar as altas temperaturas crı́ticas de alguns materias (da ordem de 103 K, obtidos experimentalmente)
e , portanto, não consegue descrever o magnetismo quantitativamente.
Dos resultados experimentais dos materiais compostos por Ni,Fe e Co, onde
na figura 1.1 fizemos uma normalização da magnetização M (T ) com seus respectivos
valores de saturação M (0) e também usamos a normalização na temperatura T /Tc ,
temos observado uma certa universalidade, em particular, próximo da criticalidade
(T ' Tc ) esta universalidade é mais acentuada.
Somente com o surgimento da mecânica quântica tal energia de interação teve
sua real natureza revelada. A energia que dá origem ao ordenamento magnético está,
na verdade, relacionada com o momento magnético do spin dos elétrons do material, mas não através da interação dipolar. O spin é uma quantidade intrı́nseca do
elétron e experiências mostraram que a interação entre os spins era mais intensa,
comparada a interação entre ı́ons, e capaz de explicar de forma correta o comportamento quantitativo dos materiais magnéticos com altas temperatuas crı́ticas. A
3
Figura 1.1: Comportamento da magnetização espontânea experimental reduzida
como uma função da temperatura reduzida T /Tc para os materiais Nı́quel(Ni),
Ferro(Fe) e Cobalto(Co). As curvas contı́nuas são os resultados obtidos via teoria de Weiss para momento magnético total J = 1/2, J = 1 e J → ∞, conforma
indicado na figura. [7]
energia de interação entre os spins é chamada de energia de troca (J) e, ao contrário
do que se pensava, possui origem eletrostática.
1.2
Ordenamentos Magnéticos
O estudo do magnetismo durante o século XX revelou alguns tipos de ordenamentos magnéticos de grande interesse cientı́fico, os quais puderam ser melhor compreendidos microscopicamente a partir da idéia de spin proveniente da mecânica
quântica. Entre os ordenamentos mais estudados estão o ferromagnético(F), antiferromagnético(AF) e o ferrimagnético.
Michael Faraday, em 1821, com base em suas experiências[3], sugeriu que
todas as substâncias respondiam a campos magnéticos aplicados, porém de formas
diferentes, o que o levou a separar a matéria em duas categorias magnéticas: paramagnéticas e diamagnéticas.
As substâncias diamagnéticas são caracterizadas por possuirem momento
4
magnético intrı́nseco apenas quando induzidos por um campo externo. Quando
sujeito a um campo externo, o campo interno do material tende a orientar-se no
sentido oposto a este campo externo aplicado. O que pode ser visualizado como
uma extensão da Lei de Lenz[8], na qual um campo magnético variável induz, em
uma espira, por exemplo, um campo que se opõe a variação do campo aplicado.
Todas as substâncias são diamagnéticas, porém esse comportamento pode
ser camuflado por uma atração magnética mais intensa dos momentos de dipolo
mangnéticos do material, passando a exibir um ordenamento diferente em relação
ao campo aplicado. Esse comportamento diamagnético é observado em materiais
com estrutura eletrônica simétrica e sem momento magnético permanente, sendo
os gases nobres um bom exemplo de materais com este tipo de simetria . Algo
interessante a se notar é sua indiferença em relação a temperatura, ou seja, variações
na temperatura não perturbam um sistema diamagnético.
Uma grandeza de grande interesse no estudo do magnetismo, além da própria
magnetização, é a susceptibilidade magnética (χm ), que mede a capacidade de um
material ser magnetizado induzido por um campo externo magnético. De um modo
geral, mascroscopicamente, podemos imaginar que a manetização total de um material possa ser dividida em dois termos, um induzido e outro intrı́nseco. Assim,
−
→
→
−
−→
→
−
definimos a magnnetização total como M = χm · H + Mp , onde χm · H é termo
−→
responsável pela intensidade da magnetização induzida pelo campo externo e Mp é
o termo de magnetização permanente, ou seja, que persiste mesmo quando o campo
externo é nulo. No caso particular dos materiais diamagnéticos, o termo de magnetização permanente não é observado, restando apenas o termo de indução, onde a
susceptibilidade magnética é o coeficiente de proporcionalidade que define a relação
entre a magnetização induzida e o campo magnético externo. Então, para os dia−
→
→
−
magnetos, a magnetização fica M = χm · H . Susbstâncias diamagnéticas possuem
valores da susceptibilidade magnética negativos, pois opõem-se ao campo externo, e
a priori constantes2 .
2
A susceptibilidade magnética não é necessariamente constante, podendo ser função do campo
5
Tabela 1.1: Classificação de alguns elementos em diamagnéticos e paramagnéticos
com seus respectivos valores de susceptibilidade magnética [9].
material
χm (×10−6 )(S.I.)
classificação
Al (alumı́nio)
+16.5
paramagnético
Be
-9.0
diamagnético
BeO
-11.9
diamagnético
Ca
+40.0
paramagnético
CaO
-15.0
diamagnético
CaF2
-28.0
diamagnético
C (diamante)
-5.9
diamagnético
C (grafite)
-6.0
diamagnético
Cu
-5.5
diamagnético
CuCl
-40.0
diamagnético
CrCl2
+1080.0
paramagnético
Au
-280.0
diamagnético
Pb
-23.0
diamagnético
Li
+14.2
paramagnético
LiF
-10.1
diamagnético
Mg
+13.1
paramagnético
MgO
-10.2
diamagnético
Ag
+19.5
paramagnético
Na
+16.0
paramagnético
NaCl
-30.3
diamagnético
H2 O (gás)
-13.1
diamagnético
H2 O (lı́quido)
-12.9
diamagnético
H2 O (sólido)
-12.7
diamagnético
6
Por outro lado, os materiais classificados como paramagnéticos possuem um
momento magnético intrı́nseco que pode, inclusive, ser mais intenso que a magnetização induzida e assim camuflar o comportamento diamagnético presente em todas
as substâncias.
A priori, na ausência de campo externo, os momentos magnéticos possuem alinhamento aleatório e , portanto, magnetização nula (média dos momentos magnéticos
−
→
M ). Porém, na presença de campo externo, os momentos de dipolo magnéticos tendem a alinhar-se no sentido do campo, passando a apresentar uma magnetização
não nula e com susceptibilidade positiva. Segundo essa classificação, um campo
interno só passaria a existir caso a amostra fosse exposta a um campo magnético
externo.
Na tabela 1.1 apresentamos exemplos de materiais paramagnéticos e
diamagnéticos, classificados mediante a medida da susceptibilidade, onde chamamos
a atenção para a influência de certos parâmetros sobre o valor da susceptibilidade.
Por exemplo, o tipo de ligação, no caso do Mg e MgO, e a fase da substância, no caso
de H2 O, influenciaram no valor da susceptibilidade e por conseguinte na classificação
destes materiais em paramagnéticos ou diamagnéticos. Portanto, todo o processo
de formação das substâncias influencia de alguma forma na resposta do material a
um campo magnético aplicado.
Em 1885 uma saudosa tese de doutoramento entraria para a história. O
doutorando é nada mais, nada menos, que Pierre Curie[10]. Em seus estudos sobre
o impacto da temperatura no magnetismo, Curie constatou que a susceptibilidade
magnética variava com o inverso da temperatura para os materiais paramagnéticos
e, em contra ponto, independia da temperatura para as substâncias diamagnéticas.
Seu trabalho resultou na conhecida Lei de Curie
χm ∝ T −1
3
(1.1)
O fı́sico francês Paul Langevin, em 1905, a partir de seus estudos com o mag→
−
magnético H para outros tipos de ordenamento .
3
Existe a exceção do bismuto (Bi), que é uma substância diamagnética, porém sua susceptibilidade não independe da temperatura.
7
netismo propôs um modelo para tratar materiais diamagnéticos e paramagnéticos4 [11].
Em seu modelo ele assumiu que átomos de substâncias paramagnéticas têm momentos de dipolos magnéticos intrı́nsecos e permanentes µ, além disso obedeciam a
estatı́stica de Maxwell-Boltzmann 5 . Assim ele mostrou que a magnetização é dada
por
M = N µ L(x)
(1.2)
onde N é o número de Avogrado, a função que aparece entre colchetes é a função
de Langevin L(x) = cotgh(x) − 1/x para x =
µH
,
kB T
H é a intensidade do campo
magnético externo, T é a temperatura e kB é a constante de Boltzmann. Ele observou
que para altas temperaturas, ou campos magnéticos de baixa intensidade, pode-se
expandir a função de Langevin para valores de x << 1 e considerar os termos de
ordem mais baixa, obtendo-se
M=
N µ2
H = χm H
3kB T
(1.3)
Chamamos a atenção para o coeficiente de proporcionalidade entre a magnetização
(M ) e o campo magnético (H), que corresponde a susceptibilidade magnética(χm ),
que como prevê a Lei de Curie para o paramagnetismo é inversamente proporcional
a temperatura.
Para os diamagnetos, Langevin levou em consideração a frequência de Larmor 6 para elétrons sujeitos a um campo magnético de intensidade H, e concluiu que
4
A equação de Langevin é uma equação diferencial usada para compreender processos de na-
tureza estocástica, sendo originalmente usada para o estudo do movimento Browniano, que funcionou como um protótipo para outros sistemas estatı́sticos [12].
5
É importante ressaltar que a estatı́stica de Maxwell-Boltzmann é válida no regime de altas temperaturas, da ordem de algumas centenas de Kelvins e , portanto, negligencia os efeitos quânticos.
6
Através de experimentos, Larmor provou que quando partı́culas carregadas expostas a um
campo magnético de intensidade H exibem uma órbita circular, sobre a frequência de rotação
se sobrepõe uma frequência de precessão. Essa frequência adicional é chamada de frequência de
Larmor, e é dada por : ωL =
eH
4πme
(para o caso de um único elétron).
8
para um único elétron, a variação na magnetização era do tipo
e2 µ0 ε0 hr2 i
∆M = −
H
4me
(1.4)
onde hr2 i é a média quadrática da distância entre o elétron e o núcleo (r), µ0 e ε0
são as constantes de permeabilidade magnética e permissividade elétrica, respectivamente, ambas no vácuo. Notamos então, na equação (1.4), que a susceptibilidade
magnética para os materiais diamagnéticos não depende da temperatura. Portanto,
o modelo de Langevin consegue prever os resultados da Lei de Curie para esses
materiais.
O próprio Weiss, em 1896, em estudos com a magnetita, anos antes de propor
sua teoria para explicar o magnetismo, constestou em sua tese de doutoramento a
idéia, já consolidada no meio cientı́fico na época, de que os materiais só apresentavam magnetização não nula na presença de um campo magnético aplicado. Dois
anos mais tarde, em 1898, Weiss apresentou seus primeiros resultados 7 . Em suas observações para dados materiais expostos a um certo campo, a magnetização se dava
apenas em um sentido e ao longo de um plano, chamado de plano de magnetização,
e persistia mesmo quando o campo magnético fosse zero, ou seja, era desligado,
apresentando assim uma magnetização remanescente ou espontânea. Materiais com
esta caracterı́stica passaram então a ser chamados de Ferromagnéticos, uma vez
que a substância Fe é um exemplo clássico desse tipo de material.
Baseado nisso, Pierre Weiss tentou explicar o comportamento dos materiais
ditos ferromagnéticos usando o modelo de Langevin em 1907[13], onde propôs a existência de pequenos momentos de dipolo magnéticos sujeitos a um campo magnético
interno intenso, que chamou de campo molecular (HM ) [14]. Assim, neste caso o
valor de x para a função de Langevin ficou x =
µH
kB T
M
+ µH
, resultando na chamada
kB T
Lei de Curie-Weiss que é expressa por
7
Resultados estes obtidos com amostras brasileiras vindas de Morro Vellho em Minas Gerais[15],
as quais eram consideradas por ele como as melhores.
9
N µ2
χm =
3kB (T − Tc )
(1.5)
Então, pela equação (1.5), quando T = Tc a susceptibilidade diverge, ou seja,
ocorre uma transição de segunda ordem
8
da fase ferromagnética para a param-
agnética. A temperatura Tc para qual a transição acontece ficou conhecida como
temperatura de Curie. Apesar de descrever qualitativamente a transição ferro-para,
o modelo de Weiss apresentava sérias inconsistências fı́sicas. Por exemplo, Weiss
acreditava que a interação interna responsável pelo ordenamento ferromagnético era
do tipo dipolo-dipolo, porém este tipo de interação não é capaz de explicar as altas
temperaturas crı́ticas Tc para os ferromagnetos, como já foi dito. Além de prever
temperaturas de transição errôneas para alguns modelos. Mas ainda assim a equação
acima está em pleno acordo com a Lei de Curie para os materiais ferromagnéticos,
também estudados por ele, que prevê a existência de uma temperatura crı́tica de
transição.
Portanto, uma substância ferromagnética é caracterizada pela tendência natural de alinhamento que seus momentos de dipolo magnéticos intrı́nsecos apresentam
na presença de um campo magnético aplicado, pela transição para o estado paramagnético a uma certa temperatura Tc , onde a partir desta temperatura crı́tica essas
substâncias perdem a propriedade de magnetização espontânea, e pela divergência
da susceptibilidade magnética a campo nulo, ou seja, na ausência de campo externo
as transições de fase são de segunda ordem. Na figura 1.2 apresentamos o ordenamento esquemático dos momentos magnéticos de um material ferromagnético a
temperatura nula.
Na tabela 1.2 apresentamos alguns compostos ferromagnéticos como Ferro
8
As transições de fase são classificadas mediante o comportamento das primeiras derivadas
da energia livre em relação as grandezas termodinâmicas. Divergências na primeira derivada
caracterizam transições de fase descontı́nuas ou de primeira ordem e na derivada segunda transições
contı́nuas ou de segunda ordem. A susceptilidade corresponde a derivada segunda da energia livre
com relação ao campo.
10
Figura 1.2: Ordenamento ferromagnetismo em T = 0.
(Fe), Cobalto (Co), Nı́quel (Ni) entre outras ligas metálicas, juntamente com suas
respectivas temperaturas de Curie.
Outro tipo de ordenamento muito estudado é o Antiferromagnetismo.
A idéia base assemelha-se ao caso ferromagnético, no entanto os momentos de
dipolo de um material antiferromagnético tendem a alinharem-se de forma antiparalela (veja figura 1.3). Esse tipo de ordenamento também possui uma transição
de fase antiferro-paramagnética a uma temperatura crı́tica chamada temperatura
de Néel9 [16]. O Manganês(Mn) e o Cromo(Cr) são exemplos de materiais antiferromagnéticos. Se sujeitos a campos magnéticos muito intensos os momentos
magnéticos destes materiais podem se alinhar com o campo externo fazendo com
que as caracterı́sticas antiferromagnéticas do sistema sejam perdidas durante a exposição a esse campo, podendo inclusive originar a imantação do composto.
Podemos ainda ter compostos nos quais os momentos magnéticos podem assumir valores absolutos diferentes, de modo que, semelhantemente ao antiferromagnetismo, apresentam uma disposição antiparalela, porém com uma magnetização
não nula, diferenciando-se assim do antiferro. Materiais com essas propriedades são
chamados de Ferrimagnéticos. O ferrimagneto ou ferrite, como também é conhecido, mais famoso é a magnetite (Fe3 O4 ) e sua fama se deve a abundância dessa
9
A temperatura de transição para os materiais antiferromagnéticos é chamada assim em home-
nagem ao fı́sico francês Louis Eugene Félix Néel (1904-2000), prêmio Nobel de Fı́sica em 1970 em
referência aos seus trabalhos no campo do magnetismo.
11
Tabela 1.2: Substâncias ferromagnéticas com suas respectivas temperaturas de
Curie.
material
Tc (K)
Fe
1043
Co
1388
Ni
627
Gd
292
Dy
88
MnAs
318
MnBi
630
MnSb
587
CrO2
386
MnOFe2 O3
573
FeOFe2 O3
858
NiOFe23
858
CuOFe2 O3
728
MgOFe23
713
EuO
69
Y3 Fe5 O12
560
Figura 1.3: Ordenamento antiferromagnetismo em T = 0.
12
Figura
1.4:
Ordenamentos
magnéticos:
(a)Ferromagnetismo,
(b)Antiferromagnetismo e (c)Ferrimagnetismo.
substância no planeta.
Nas figuras 1.4 podemos ter uma idéia da diferença estrutural do arranjo
dos momentos magnéticos dos ordenamentos ferromagnéticos, antiferromagnéticos
e ferrimagnéticos.
A partir da descoberta desta possı́vel classificação dos materiais magnéticos
a necessidade tornou-se formular modelos teóricos para estudá-los a fim de predizer
e descrever de forma ao menos qualitativa, e se possı́vel também quantitativa, os
mecanismos e processos que culminam nas transições de fases magnéticas.
1.3
Modelagem Magnética
1.3.1
Modelo de Heisenberg
Quando um fı́sico quer estudar um sistema ele o modela, focando nos componentes
de maior influência ao fenômeno alvo, filtrando os ingredientes que julgar pouco
relevantes para que no fim possa retratar o sistema real da forma mais simples
possı́vel, sempre vinculado ao mundo real, ou seja, aos resultados experimentais os
quais darão respaldo ou não ao modelo.
Provavelmente com este espı́rito, Heisenberg em 1928 [17] propôs seu modelo,
que leva seu nome, i.e, modelo de Heisenberg, apoiando-se na mecânica quântica e
na idéia de spin, com o qual foi capaz de explicar o magnetismo do ponto de vista
microscópico, reproduzindo os casos ferromagnético e antiferromagnético.
13
O Hamiltoniano de Heisenberg
10
H = −J
é dado por
X
→
− →
−
Si · Sj
(1.6)
<i,j>
onde J é a integral de troca, podendo assumir valores positivos e negativos para
os casos ferro e antiferro, respectivamente. Esta interação de troca é passı́vel de
explicação apenas com o uso da mecânica quântica. Então com auxı́lio da mecânica
quântica vamos entender como J é capaz de explicar as altas temperaturas crı́ticas
e visualizar sua natureza de origem elétrica.
Supondo um cristal com N átomos dispostos nos sı́tios de uma rede e com os
núcleos em repouso, o que é uma aproximação aceitável para um material isolante,
o Hamiltoniano do sistema pode ser escrito como [13][14]
H=−
X
i
X
h̄2 2 X →
−
−
∇i +
V (−
ri ) +
V (→
ri − →
rj )
2m
i
i,j
(1.7)
onde o primeiro termo é referente a energia cinética dos elétrons, o segundo é a
interação Coulombiana entre elétron e o núcleo, e o terceiro somatório é devido a
interação entre os elétrons. Por não possuir caracterı́sticas spinoidais, a função de
onda ϕn , obtida via equação de Shcrödinger, deve ter apenas informações espaciais
do sistema, com autovalor En , ou seja
Hϕn = En ϕn
(1.8)
−
−
onde ϕn = ϕn (→
r ) é a autofunção espacial que depende apenas das coordenadas →
ri
de todos os elétrons.
No entanto, a definição de função de onda, na representação ondulatória[18],
nos diz que esta função deve conter todas as informações do sistema, ou seja, a
função de onda total ψ deve ser do tipo
10
Este Hamiltoniano de Heisenberg corresponde ao caso em que não há dependência com a
orientação angular do spin e por isso é chamado de Heisenberg isotrópico, por motivos que veremos
adiante.
14
ψ = ϕn χn
(1.9)
onde o termo χn representa a parte da função de onda que carrega as informações
de spin, que multiplica-se com ϕn pois são independentes.
Os spins podem assumir valores inteiros ou semi-inteiros. Materiais que exibem spin total semi-inteiro são chamados de férmions e obedecem a distribuição
estatı́stica de Fermi-Dirac[19, 20]. No caso de spin total inteiro as substâncias são
denominados de bósons e também obedecem a uma distribuição particular chamada
de Bose-Einstein [20].
Existe um princı́pio, chamado princı́pio de exclusão de Pauli[21, 22], que diz
que a natureza proibe que dois férmions ocupem o mesmo nı́vel de energia, ou seja,
impede que estes tenham os mesmos números quânticos responsáveis pela indicação
do estado quântico do sistema. Este princı́pio decorre do fato das funções de onda
dos elétrons serem antissimétricas. Para preservar este princı́pio temos então que
garantir que a função de onda total de um sistema fermiônico deve ser antissimétrica.
No caso dos bósons nada os impede de ocuparem o mesmo estado quântico,
fazendo com que sua função de onda total adote um carácter simétrico, o que nos
leva em baixas temperaturas ao fenômeno da condensação de Bose-Einstein.
Para duas partı́culas com spin 1/2, por exemplo elétrons, alinhados para
cima| ↑i ou para baixo | ↓i ao longo de uma certa direção, a função de onda de
spin quando o spin total é 1, onde M = 1, 0, −1 são as projeções na direção z, pode
assumir as formas
χT =













| ↑↑i, M = 1
√1 (|
2
↑↓i + | ↓↑i), M = 0
(1.10)
| ↓↓i, M = −1
e quando o spin total é nulo, onde M=0, temos
1
χS = √ (| ↑↓i − | ↓↑i)
2
15
(1.11)
As funções de spin χT e χS são chamadas de estado tripleto e singleto[23],
respectivamente. O estado tripleto corresponde um estado de spin simétrico, enquanto o singleto a um estado de spin antissimétrico, de tal modo que garanta a
validade do princı́pio de exclusão de Pauli.
Agora precisamos nos preocupar com a parte espacial da função de onda
designada por ϕ. Como a função de onda total no caso dos férmions deve ser
antisimétrica, ou seja,
−
−
−
−
ψ(→
r 1, →
r 2 ) = −ψ(→
r 2, →
r 1)
(1.12)
teremos que
ψ=



ϕ A χT


ϕS χS
(1.13)
ou
1
⇒ ψ = √ (ϕA χT − ϕS χS )
2
(1.14)
Portanto, as funções espacial e de spin devem adequar-se para garantir a antissimetria da função de onda total.
Via teoria de perturbação independente do tempo [22], com aproximação de
primeira ordem, que corresponde ao caso mais simples de perturbação, obtemos as
funções de onda espaciais dadas pela equação (1.9)
1
−
−
−
−
ϕS = √ [ϕα (→
r1 )ϕβ (→
r2 ) + ϕβ (→
r1 )ϕα (→
r2 )]
2
1
−
−
−
−
ϕA = √ [ϕα (→
r1 )ϕβ (→
r2 ) − ϕβ (→
r1 )ϕα (→
r2 )]
2
(1.15)
onde ϕS e ϕA são funções de onda espaciais simétrica e antissimétrica, respectiva−
−
mente, sendo α e β estados arbitrários acupados pelos spins nas posições →
r e→
r , ou
1
2
seja, ϕS e ϕA são autofunções do Hamiltoniano dado por (1.8) para cada partı́cula
individualmente.
Assim a energia do sistema deve ser escrita como
E=
Z Z
ψ ∗ H ψ d~r1 d~r2
16
(1.16)
onde a integral é feita sobre todas as coordenadas espaciais e de spin. O Hamiltoniano usado para o cálculo da energia é dado pela equação (1.7) para o caso de dois
elétrons.
Como nosso Hamiltoniano é linear, a energia total E para o caso da função
orbital simétrica ϕS e antisimética ϕA são dados, respectivamente por
ES = ε1 + ε2 + ε1,2 + ε∗1,2
(1.17)
EA = ε1 + ε2 + ε1,2 − ε∗1,2
onde ES e EA são as energias relacionadas aos estados de singleto e tripleto, respectivamente, e as energias ε1 e ε2 representam as componentes cinéticas das partı́culas
e ε1,2 é o autovalor da parte do Hamiltoniano referente a interação entre os núcleos e
os elétrons. O conjunto de termos de energia ε = ε1 + ε2 + ε1,2 independe dos spins,
logo podemos considerá-lo como um simples deslocamento de energia, uma vez que
o Hamiltoniano de Heisenberg deve depender apenas da interação entre os spins, ou
seja, fazendo uma reescala na energia em ambos os casos, simétrico e antissimétrico,
teremos
∆ES = ε∗1,2 ,
(1.18)
∆ET = −ε∗1,2
para ∆ES = ES − ε e ∆ET = ET − ε. A energia ε∗1,2 é autovalor do componente do
Hamiltoniano responsável pelo potencial de interação entre os elétrons, obtido via
teoria da perturbação.
Relembrando a função de onda total pela equação (1.14) temos que a energia
associada a ela será dada por
E = ∆ES − ∆ET
(1.19)
Esta energia é chamada de energia de troca e foi originalmente introduzida por
Heisenberg [24].
17
Fazendo E = J1,2 , notação comumente usada neste tipo de tratamento, e
explicitando a forma integral desta energia temos
J1,2 = 2 ε∗1,2
= 2
Z Z
(1.20)
−
−
ψ ∗ V (→
r1 − →
r2 ) ψ d~r1 d~r2
−
−
Generalizando para dois pares quaisquer de elétrons i, j, onde ri,j =| →
ri − →
rj |
é a distância entre pares de spins, temos
−
−
V (→
ri − →
rj ) =
⇒ Ji,j = 2
Z Z
ψ∗
e2
4π0 ri,j
(1.21)
e2
ψ d~r1 d~r2
4π0 ri,j
(1.22)
Esta é a famosa integral de troca introduzida por Heisenberg [24][25]. É importante notar que essa integral é feita sobre as funções orbitais, uma vez que estas
funções são ortogonais, a integral irá automaticamente anular-se caso os spins não
estejam ao longo da mesma direção. Portanto, a integral de troca Ji,j corresponde
a diferença de energia entre os estados ferromagnético, com spin paralelos, e o antiferromagnético, com spins antiparalelos.
Então, olhando para as equações (1.20) e (1.23), temos que um valor de Ji,j > 0
nos diz que a energia do estado singleto é superior a do estado tripleto, logo o
estado de menor energia é o estado tripleto que corresponde aos spins alinhados
paralelamente, o que caracteriza o estado como ferromagnético, como vimos na seção
anterior. E para Ji,j < 0 a situação se inverte e o estado de menor energia passa a
ser o estado singleto, no qual os spins encontram-se alinhados de forma antiparalela,
ou seja, o estado antiferromagnético. Assim, o Hamiltoniano de Heisenberg é capaz
de reproduzir os ordenamentos ferro e antiferromagnéticos apenas modifiando o
elemento Ji,j .
Também pela equação (1.23) chegamos a conclusão de que a natureza desta
energia de troca é puramente eletrostática. Essa energia decai com
18
1
,
ri,j
quando os
dois elétrons encontram-se muito afastados, pois assim interagem muito fracamente.
No entanto quando os elétrons estão próximos, lembrando que estamos lidando
com distâncias atômicas, a energia de troca depende da superposição dos orbitais
espaciais e têm papel fundamental na descrição das propriedades magnéticas do
material. Diz-se então que a interação de troca é de curto alcance. Por este motivo
Heisenberg deu prioridade aos primeiros vizinhos dos sı́tios centrais de uma rede.
Com isso conseguimos reproduzir o modelo de spin de Heisenberg dado por
H=
→
− →
−
−Ji,j Si · Sj
X
(1.23)
<i,j>
o caso em que Ji,j não depende de rotações de spin e sendo assim é o mesmo em
todas as direções, o modelo de Heisenberg se torna isotrópico e é dado por
H = −J
X
→
− →
−
Si · Sj
(1.24)
<i,j>
onde J > 0 determina o caso ferromagnético e J < 0 o antiferromagnético.
Algo a se destacar é a importância dos autoestados do Hamiltoniano de
Heisenberg. No caso ferromagnético o autoestado é a configuração na qual todos os
spins estão alinhados paralelamente. É de se esperar que a autofunção para os antiferromagnetos seja tal que a configuração seja equivalente àquela que corresponde
aos spins alinhados de forma antiparalela e sistemática. Porém isso não é verdade.
Existem inúmeras configurações de spins que resultariam em um spin total nulo,
de modo que até o presente trabalho não se sabe qual destes possı́veis estados é a
autofunção verdadeira [25]. No entanto, utiliza-se a configuração de spins antiparalelos como autoestado do Hamiltoniano antiferromagnético, e este estado é portanto
conhecido como estado de Néel[16], ou seja
| ψ0 >F = |↑↑↑↑ ... >
(1.25)
| ψ0 >AF = |↑↓↑↓ ... >
Porém, se a interação spin-órbita for levada em consideração, Ji,j não será
mais independente da orintação dos spins. Isso produziria uma certa tendência dos
19
spins se alinharem ao longo de uma certa direção privilegiada ou plano privilegiado,
chamada de direção ou plano de fácil magnetização. Isso faria com que o Hamiltoniano deixasse de ser isotrópico, ou seja, a interação deixa de ser o mesmo em todas
as direções. Sendo assim o modelo de Heisenberg anisotrópico pode ser escrito como
H=−
X
X
→
− →
−
Ji,j Si · Sj − D (Siz )2
<i,j>
(1.26)
i
onde o segundo termo deste Hamiltoniano corresponde a anisotropia, que é aquela
que destrói a isotropia presente no primeiro termo, de modo que para valores positivos do coeficiente D temos uma preferência dos spins se alinharem ao longo do eixo
z, chamado de eixo de fácil magnetização, e para valores negativos de ∆ teremos um
desfavorecimento do eixo z e , portanto, um plano se torna de fácil magnetização,
no caso o plano xy.
Sistemas reais, em geral, não são isotrópicos por efeitos que negligenciamos
quando introduzimos nosso Hamiltoniano geral. O acoplamento spin-órbita permite
que os spins reconheçam o potencial microscópico da rede, fazendo assim com que
certas direções ou planos sejam privilegiados quanto ao alinhamentos dos spins.
Levando em consideração a interação spin-órbita podemos introduzir anisotropias
ao sistema [26].
Dependendo dos valores de Ji,j e D, o Hamiltoniano de Heisenberg transformase em outros modelos conhecidos que descrevem bem o comportamento de certos
materiais.
Podemos também reescrever o Hamiltoniano geral (1.25) através dos parâmetros
de anisotropia ηx e ηy , contanto que possamos retornar aos modelos mais simples e
conhecidos, isto é,
H = −J
X
[ηx Six Sjx + ηy Siy Sjy + Siz Sjz ]
(1.27)
hi,ji
Assim, sem considerar a anisotropia cristalina, no limite ηx = ηy = 0 o eixo z se
torna o eixo de fácil magnetização, e retornamos ao Hamiltoniano de Ising. Quando
{ηx = 1, ηy = 0} ou {ηx = 0, ηy = 1} temos o plano xz ou yz como o plano de
20
fácil magnetização, e resgatamos o Hamiltoniano do modelo XY
11
, como veremos
nas sessões seguintes. Finalmente para ηx = ηy = 1 recaı́mos no Hamiltoniano de
Heisenberg isotrópico. De modo geral, os parâmetros de anisotropia ηx e ηy podem
ser modificados para o Hamiltoniano comportar modelos diferentes dos usuais.
Um modo especial de escrever o Hamiltoniano anisotrópico pode ser obtido
fazendo-se ηx = ηy = (1 − ∆), onde para ∆ = 1 teremos o modelo de Ising e para
∆ = 0 o modelo de Heisenberg puro ou isotrópico
H = −J
X
[(1 − ∆)(Six Sjx + Siy Sjy ) + Siz Sjz ]
(1.28)
hi,ji
onde fazendo J → −J passamos o modelo do caso ferromagnético para o antiferromagnético. Este Hamiltoniano é alvo de muitos estudos[27] e nesta dissertação
também o exploraremos desenvolvendo técnicas aproximativas.
1.3.2
Modelo XY
Algumas substâncias na natureza possuem uma interação planar muito forte e
são descritas pelo modelo XY, ou modelo planar como também é conhecido. Este
modelo nada mais é do que um caso particular do Hamiltoniano de Heisenberg
que corresponde ao caso onde D < 0 na equação (1.26) ou {ηx = 1, ηy = 0} e
{ηx = 0, ηy = 1} na equação (1.27), de tal modo que a interação planar é privilegiada
e podemos ignorar a interação ao longo do eixo z
12
. O modelo XY pode então ser
descrito como
H=−
X
y
x x x
[Ji,j
Si Sj + Ji,j
Siy Sjy ]
(1.29)
<i,j>
Este modelo foi introduzido em 1956 por Matsubara e Matsuda [28]no estudo do
Hélio superfluido.
y
x
Consideremos o modelo planar dado pela equação (1.29) com Ji,j
= Ji,j
= J,
11
12
Os modelos de Ising e XY serão tratados na sessão seguinte.
O eixo z foi escolhido de forma arbitrária para comportar a anisotropia do sistema.
21
ou seja, um sistema que não depende das rotações de spins. Temos então
H = −J
X
[Six Sjx + Siy Sjy ].
(1.30)
<i,j>
Devido a interação de troca, o sistema é de curto alcance e, portanto, também
deve obedecer ao teorema de Mermin-Wagner [29]. Segundo esse teorema, sistemas
com dimensão d ≤ 2 com simetria global e interações de curto alcance possuem
ordem de longo alcance apenas para temperatura nula, de modo que a magnetização
associada é sempre zero para qualquer temperatura finita[30].
No entanto, observa-se que o modelo XY para d = 2 possui uma transição de
fase topológica
13
a uma temperatura finita. Esta transição é do tipo Berezinsky-
Kosterlitz-Thouless[31].
A função de correlação de dois spins mede o quanto esses spins estão correlacionados, ou seja, o quanto um spin responde a mudança do outro com o qual esta
correlacionado, e indica a ordem de interação. Para altas temperaturas, a função
correlação decai exponencialmente [32], como é de se esperar, pois o sistema possui
somente interação de curto alcance. Já para baixas temperaturas, a função correlação decai obedecendo uma lei de potência[33]. Esse tipo de comportamento da
função correlação indica a existência de uma transição de fase a uma temperatura
caracterı́stica, devido a mudança do decaimento da função correlação, ou seja, devido a sua descontinuidade. No caso do modelo XY, em duas dimensões, esta é
uma transição especial, que ocorre entre as fases planar e paramagnética, caracterizada como sendo uma transição do tipo Berezinsky-Kosterlitz-Thouless (BKT), que
corresponde a mudança entre fases baseada na dinâmica de vórtice-antivórtice, ou
seja, no modelo XY os spins rotacionam no plano XY conforme esquematizado na
figura 1.5. Vórtices são excitações topológicas, modificações nas estruturas de spins,
que surgem no sistema devido à excitação térmica[34]. Uma vez que a função cor−
relação depende da distância entre os spins →
r , com a transição de fase topológica
13
Kosterlitz e Thouless apresentaram essa transição de fase topológica com ordem de longo
alcance, ou seja, extremamente sensı́vel a mudanças produzidas por parâmetros externos.
22
Figura 1.5: Representação de como vórtices ( rotações no sentido horário) e antivórtices (rotações no sentido anti-horário) se comportam em uma rede de spins.
e o advento da dinâmica dos vórtices, fica claro que o comportamento da função
correlação Fc
−−→ −−−
→
−−→ −−−
→
−
−
Fc = hS(0) · S(→
r )i − hS(0)i · hS(→
r )i
(1.31)
deve mudar.
Denotemos TBT K a temperatura de transição. Então para temperaturas inferiores, T < TBT K , temos as ondas de spin que inserem desordem ao sistema apenas
localmente, resultando em um decaimento através de lei de potência da função
correlação. E para temperaturas superiores, T ≥ TBT K , vórtices isolados passam a
aparecer e desordenam o sistema de forma mais intensa, levando a função correlação
a decair exponencialmente.
Essas exitações topólogicas não são exclusividade dos modelos de spins.
Para entender melhor a dinâmica de vórtices, um caso muito estudado atualmente
são os condensados de Bose-Einstein[35, 36, 37] que são colocados em armadilhas
magnéticas onde ocorre uma transição de fase topológica de tal modo que vórtices
passam a aparecer a partir de uma frequência crı́tica Ωc de rotação desses condensados [38].
23
Figura 1.6: Condensado de átomos de Rubı́dio obtido experimentalmente através
de um laser de absorção[35]. Nos casos (a) e (b) temos os átomos colocados sob
rotação com frequência Ω < Ωc e Ω = Ωc , respectivamente.
As imagens das figuras 1.6(a) e 1.6(b)[35] foram obtidas com o uso de um
laser de absorção de feixes em ressonância com os átomos de rubı́dio do condensado. A figura 1.6(a) é obtida para baixas frequencias de rotação, enquanto que
1.6(b) corresponde a uma frequência Ω = Ωc e apresenta um vórtice no centro do
condensado.
Compostos como CoBr2 e CoCl2 , além do superfluido He4 são estudados
através do modelo XY [39]. Um ótimo trabalho com abordagem deste modelo,
para supercondutores a altas temperaturas, pode ser encontrado na referência [40].
1.3.3
Modelo de Ising
Historicamente, o modelo de Ising surgiu na comunidade cientı́fica antes do
Hamiltoniano de Heisenberg, apesar de ser um caso particular deste. Ernest Ising
em 1920 [41], então doutorando, recebeu como proposta de tese de seu orientador
Wilhelm Lenz um Hamiltoniano , com o objetivo de simular o comportamento da
magnetização espontânea dos compostos ferromafnéticos, que é dado por
H = −J
X
<i,j>
24
Siz Sjz
(1.32)
onde vemos que este Hamiltoniano é um caso especial escolhendo-se z como o único
eixo de magnetização e Siz = ±1. Este modelo possui solução exata para uma e
duas dimensões, no último caso na ausência de campo externo [42]. Outro fato
interessante deste modelo é que o estado de Néel, composto de spins antiparalelos,
é autoestado do Hamiltoniano de Ising para o caso antiferromagnético. Lembrando
que isto não ocorre para o Hamiltoniano de Heisenberg antiferromagnético.
Sem campo magnético externo, as propriedades termodinâmicas derivadas da
função partição não são modificadas quando passamos do caso ferromagnético para
o antiferromagnético, isso porque a função partição é invariante pela troca J → −J.
No entanto, a presença de campo magnético externo destrói essa invariância.
Ising ficou decepcionado, quando resolveu analiticamente o Hamiltoniano acima
em uma dimensão, e se deparou com um sistema sem ordem de longo alcance, não
observando magnetização espontânea. Ele obteve corretamente uma temperatura
de transição nula para o caso ferromagnético, e pecou apenas ao generalizar seus
resultados para dimensões superiores, especulando não haver também ordem em
T > 0.
Em 1936, Peierls[43], que foi aluno de Werner Karl Heisenberg, autor também
do Princı́pio da Incerteza, mostrou que o modelo de Ising apresentava ordem de longo
alcance para T < Tc em duas dimensões, baseando-se em argumentos puramente
fenomenológicos, contrariando, assim, a previsão de Ising. Os fı́sicos holandeses
Kramers e Wannier obtiveram o valor teórico de Tc de forma exata em 1941 para
o modelo de Ising bidimensional[44]. Mas a solução rigorosa em duas dimensões
do modelo de Ising foi apresentada em 1944 pelo quı́mico norueguês Lars Onsager
[45, 46], onde demostrou que a temperatura crı́tica era da forma Tc =
J
2kB ln(2+1)
e,
portanto diferente de zero. O trabalho de Onsager representa, sem dúvida alguma,
um grande avanço na teoria de fenômenos crı́ticos e transições de fase. Existe atualmente um trabalho em análise com uma suposta solução exata do modelo de Ising
em três dimensões[47].
Os compostos DyAlO3 , DyPO4 , FeCl2 e Rb2 CoF4 são bons candidatos re25
presentados pelo modelo de Ising. Esse modelo, devido sua simplicidade, é largamente empregado em várias áreas de conhecimento, desde a fı́sica tradicional até a
econômia, e tornou-se, sem duvida, extremamente importante no que diz respeito a
modelos fı́sicos[48, 49].
1.4
Teoria de Fenômenos Crı́ticos
A descoberta dos fenômenos crı́ticos surgiu com os experimentos do barão Charles
Cagniard de la Tour (1777-1859) em 1822[50], onde em uma experiência de acústica
Cagniarg colocou uma bolinha de silex para penetrar uma interface lı́quido-vapor de
modo que no contato da bolinha com a interface era emitido um som. Ele notou que
ao aquecer o sistema a uma temperatura além da temperatura de ebulição do lı́quido
não era emitido som algum durante a passagem da bolinha. Esta fase é chamada
de fluı́da supercrı́tica, na qual não há tensão superficial, pois não existe fronteira
entre as fases lı́quida e gasosa e, por isso, nenhum som é ouvido como resposta.
Este então é o primeiro fenômeno visto como crı́tico do qual se têm notı́cia e marca
portanto o inı́cio dos estudos sobre os fenômeno crı́ticos. Cagniarg realizou inúmeros
experimentos com outras substâncias, com o intuito de provar que a existência de
uma temperatura limite acima da qual um lı́quido se vaporiza, independente da
pressão aplicada, tratava-se de um fenômeno crı́tico.
O primeiro a reconhecer a importância dos trabalhos de Cagniarg foi Faraday,
que em uma carta endereçada a William Whewell em 1844 escreveu que “Cagniard
de la Tour fez um experimento, alguns anos atrás, que fez me sentir a necessidade
de uma nova palavra”. A nova palavra da qual Faraday sentia falta recebeu vários
nomes, até o termo que usamos atualmente “ponto crı́tico”, chamado assim informalmente por Thomas Andrews em 1869.
A partir daı́, os estudos sobre os fenômenos crı́ticos tomaram força além do
esperado. Com destaque para a tese de doutorado de van der Waals, em 1873[51], na
qual van der Waals explica, qualitativamente, a equação de estado de Andrews[52],
26
obtida experimentalmente para fluidos, através de uma extensão da lei do gás ideal
que modelava a atração molecular e a repulsão por esferas rı́gidas de maneira simples.
Teorias ou modelos como o de van der Waals são chamados de clássicos ou de campo
médio, e são teorias fenomenológicas.
Através de experimentos e teorias envolvendo fenômenos crı́ticos, observou-se
que algumas grandezas termodinâmicas apresentavam um comportamento assintótico
na região de criticalidade, cada uma com um expoente especı́fico. Esses expoentes
são chamados de expoentes crı́ticos e descrevem o comportamento das grandezas as
quais estão vinculadas nas proximidades do ponto crı́tico.
Experimentos realizados na região de criticalidade nos dizem que os expoentes
crı́ticos apresentam um caracter universal 14 , o qual é determinado por pouquı́ssimos
parâmetros, sendo o mais relevante deles a dimensionalidade. Porém, esses valores
não conferem com os previstos pelas teorias clássicas.
Analogias com modelos simplificados, como o modelo de Ising, são bastantes
úteis para a compreensão de alguns aspectos dos fenômenos crı́ticos, mas ficou claro
que uma teoria conceitual era necessária para um avanço significativo na área.
Surgiu então a fenomenologia de Landau[53], que engloba as teorias clássicas,
e que propunha o conceito de parâmetro de ordem e expansão da energia livre em
termos deste parâmetro, de modo que esta energia seria supostamente uma função
analı́tica nas vizinhanças do ponto crı́tico para que a expansão pudesse ocorrer
sem nos preocuparmos com problemas de divergências e descontinuidades. Convenhamos, entretanto, que é uma hipótese extremamente forte para ser feita, uma vez
que uma transição de fase é caracterizada justamente pela presença de singularidades na energia livre e que, portanto, pede uma hipótese mais leve e aceitável na
vizinhança do ponto crı́tico.
Na década de 60, Leo Kadanoff, Michael Fisher e Widom [54] notaram que
um tratamento teórico geral para as transições de fase poderia ser realizado através
14
O conceito de “universalidade”na teoria de fenômenos crı́ticos foi introduzido por Pierre Curie
e será discutido na seção 1.4.2 deste trabalho.
27
de uma teoria de escala, que considerasse mais especificamente as relações de escala
entre os expoentes crı́ticos. Esse foi o estopim que abriu caminho para o desenvolvimento de uma nova teoria chamada de Grupo de Renormalização (GR), proposta
por Kenneth Wilson em 1971[55]. Essa nova teoria é capaz de nos fornecer uma
descrição completa dos fenômenos crı́ticos, além de prever de forma precisa os valores dos expoentes crı́ticos, tornando-se assim umas das mais avançadas técnicas
para tratar transições de fase. Portanto, com o intuito de compreender melhor esta
teoria, o GR será alvo de nosso estudo no capı́tulo 3.
Com essas idéias do Grupo de Renormalização, além das classes de universalidade, a teoria de fenômenos crı́ticos ganhou novas perspectivas e entrou em uma
nova fase.
Dentro do espı́rito da teoria de fenômenos crı́ticos é muito importante que
se saiba classificar a ordem de transição. Para classificar a ordem de um transição
de fase basta verificarmos qual derivada da energia livre que possua uma singularidade. Daı́ se a n-ésima derivada apresentar divergências ou descontinuidades, então a
transição de fase é de n-ésima ordem. Por exemplo, no caso dos modelos magnéticos,
se a magnetização for descontı́nua, significa que a transição é de primeira ordem, e
se a magnetização não apresentar descontinuidade, mas a susceptibilidade divergir,
a transição será de segunda ordem, ou contı́nua, com também é chamada, pois a
magnetização vai a zero de forma contı́nua em T = Tc . Isso porque a magnetização
e susceptibilidade correspondem as derivadas de primeira e segunda ordem da ener→
−
gia livre em relação a um dado campo magnético H . É importante destacar que
o termo ponto crı́tico é usado apenas para transições de fase de segunda ordem, e
para as transições de primeira ordem substituimos o termo por ponto de transição.
Para o caso de modelos ferromagnéticos, cuja transição seja de segunda ordem,
o teorema de Yang-Lee[56] diz que o ponto crı́tico ocorre para H = 0 e T = Tc , e
para valores de T < Tc temos uma magnetização não nula e, portanto, o sistema
apresenta ordem de longo alcance. De forma qualitativa, essa ordem de longo alcance
ocorre devido as energias de troca e térmica competirem entre si, no sentido de
28
manter ou destruir a ordem magnética do sistema, respectivamente. Assim, no
regime de altas temperaturas, a energia de troca se torna desprezı́vel e o sistema
não apresenta ordenamento. Conforme a temperatura é reduzida, ou seja, quando
a energia térmica perde força, e para pequenas distâncias entre os ı́ons, a interação
de troca, ou de ”exchange”, é mais intensa e relevante e os spins ficam fortemente
correlacionados. Finalmente, quando KB T ∼ J, ou seja, quando a energia térmica
for da ordem da energia de troca, todo o sistema estará correlacionado, o que significa
que qualquer perturbação acarretará em uma transição de fase. Uma vez que as
correlações se tornam de longo-alcance na região de criticalidade, estas também se
tornam responsáveis pelo comportamento assintótico de grandezas termodinâmica
na vizinhança do ponto crı́tico.
1.4.1
Expoentes Crı́ticos
Ns proximidades da região de criticalidade, algumas grandezas termodinâmicas
e suas derivadas apresentam um carácter assintótico. Já vimos que um parâmetro
de ordem deve ser tal que vai a zero na fase desordenada, ou seja, é nulo para
valores de T > Tc . No caso de sistemas ferromagnéticos o parâmetro de ordem é a
magnetização, e para antiferromagnéticos pode ser a magnetização de subrede mA
e mB , ou a diferença entre elas md =
mA −mB
.
2
De modo geral, para um sistema com transição de fase de segunda ordem, as
grandezas termodinâmicas se comportam da seguinte forma
1. Magnetização
M (T, H) = −



∂g(T, H) (−t)β , (t → 0− , H = 0)

∂H
 H 1δ , (H → 0+ , t = 0),
(1.33)
2. Susceptibilidade
∂ 2 g(T, H)
χo (t) = −
∂H 2
29
!
≈ |t|−γ , t → 0±
H=0
(1.34)
3. Calor Especı́fico
Co (t) = −T
∂ 2 g(T, H)
∂T 2
!
≈ |t|−α , t → 0±
(1.35)
H=0
4. Função Correlação
−r
E
eξ
~ σ(r)i
~ − hσ(0)i.h
~
~
σ(r)
≈ d−2+η ,
Gc = σ(0).
r
D
(1.36)
onde t = (T − Tc )/Tc , g(t, H) é a energia livre de Gibbs e ξ ≈| t |−ν é o comprimento
de correlação que mede o tamanho médio dos aglomerados correlacionados. Sendo
assim, se considerarmos t → 0± , os expoentes crı́ticos serão β (magnetização), γ
(susceptibilidade), α (calor especı́fico), η (da função de correlação) e ν (comprimento
de correlação).
No limite de T = Tc observamos que, devido as fortes flutuações na magnetização ξ(T =T c) → ∞, com isto fica claro o que foi dito anteriormente que todo
o sistema estará correlacionado e que portanto sofrerá uma transição de fase. A
divergência do comprimento de correlação ξ explica o aparecimento do fenômeno da
opalescência crı́tica nos fluidos no ponto crı́tico, ou seja, para valores de volume,
pressão e temperatura criticos (Vc , Pc , Tc )[57].
De modo geral, os valores experimentais dos expontes crı́ticos dependem do
intervalo escolhido para t. Para se ter uma idéia da dificuldade envolvida na escolha
desse intervalo, quando se trata de materiais magnéticos ele é da ordem de | t |=
10−3 . Já para superfluidos esse intervalo é ainda mais delicado, sendo da ordem de
| t |= 10−10 . A escolha da região crı́tica é baseada no fato de que esta escolha não
afeta a medida do expoente crı́tico.
Experimentalmente, a obtenção dos expoentes crı́ticos pode ser útil na hora
de apontar qual modelo melhor que descreve o material. Por exemplo, na figura 1.7,
podemos visualizar os comportamentos assintóticos da magnetização espontânea e
susceptibilidade magnética, e de seus expoentes crı́ticos β = 0.409, δ = 4.280 e γ =
1.325 da liga metálica F e1−x Alx obtidos experimentalmente por Salazar[58], onde x
modifica a concentração dos compostos e foi usado como x= 0.10, notando-se ainda
30
que eles pouco variam com a concentração. Logo, com os resultados experimentais
obtidos por Salazar, pode-se afirmar que o modelo que melhor se adequa a liga
estudada por ele é o modelo de Heisenberg, uma vez que, o conjunto de expoentes
crı́ticos melhor se aproxima dos obtidos por este modelo.
Já os valores teóricos destes expoentes podem apresentar sérios problemas,
uma vez que como observado em outras literaturas[59] os intervalos de t apresentam fortes flutuações térmicas. Nas tabela 1.3 podemos visualizar valores destes expoentes obtidos experimentalmente e teoricamente de modelos teóricos com transição
de fase de segunda ordem. Analisando os resultados dos expoentes obtidos via aproximação de campo médio, notamos que são universais e independem da dimensão e
simetria do Hamiltoniano. Para o modelo de Ising os expoentes crı́ticos dependem
da dimensão, no entanto o uso de topologias diferentes numa mesma dimensão recai em expoentes crı́ticos idênticos. Logo, os expoentes crı́ticos do modelo de Ising
tridimensional numa rede cúbica simples e numa rede cúbica de corpo centrado são
os mesmos, pois apesar da topologia ter mudado a dimensão topológica foi mantida.
1.4.2
Classes de Universalidade
Vimos então que os expoentes crı́ticos não são sensı́veis a mudanças na topologia
de rede para uma dada dimensão fixa. No entanto, estes expoentes são totalmente
dependentes da simetria do Hamiltoniano, mudando se este for alterado. No caso dos
expoentes crı́ticos obtidos via aproximação de campo médio (ACM), estes independem da dimensão e simetria do Hamiltoniano e, portanto, são universais (demais).
A aproximação de campo médio, na verdade, despreza as flutuações térmicas, que
são intensas na criticalidade, e por isto, Ginzburg afirmou que para d ≥ dc , onde
dc é a chamada dimensão crı́tica superior, os expoentes crı́ticos encontrados via
campo médio são considerados exatos, uma vez que nessa aproximação um certo
spin interage, em média, com todo o sistema. Neste caso temos dc = 4.
Então, baseando-se nessas informações, de modo geral, podemos definir classes
31
Figura 1.7: Comportamento assintótico ln(M ) versus ln(−t), ln(χ−1 ) versus ln(t) e
ln(M ) versus ln(H) para uma liga metálica Fe1−x Alx com concentração x = 0.10[58].
32
Resultados teóricos
Modelo
β
γ
δ
α
ν
η
Ising 2d
1
8
7
4
15
0
1
1
4
Ising 3d [60]
3
8
5
4
13
3
0
2
3
1
8
0.01
XY 3d
0.34 1.30
4.8
Heisenberg 3d
0.36 1.39
4.8
Campo médio
1
2
1
3
0.66 0.04
-0.012 0.71 0.04
1
2
0
α
ν
η
0
Resultados experimentais
Materiais
β
γ
δ
Fe
0.39 1.33 4.35
-0.11
−
−
Co
0.44 1.23 3.35 -0.095
−
−
Ni
0.38 1.31 4.48
0.10
−
−
He4
0.36 1.24 4.44
-
−
−
Fe0.8 Al0.2
0.42 1.35 4.26
-0.20
−
−
Gd0.67 Co0.33
0.41 1.16 3.60
0.02
−
−
Gd0.8 Co0.2
0.44 1.29 3.96
-0.17
−
−
Tabela 1.3: Valores teóricos e experimentais dos expoentes crı́ticos [61]
33
de universalidade para os expoentes crı́ticos dependentes dos seguintes parâmetros:
1. Simetria do Hamiltoniano
Ditará o número n de componentes do parâmetro de ordem, ou seja, n =
1,n = 2,n = 3 e n = ∞ correspondem aos limites dos modelos de Ising, XY,
Heisenberg e esférico, respectivamente.
2. Dimensionalidade Topológica
Lembrando que o sistema independerá da topologia se a dimensão não mudar.
3. Alcance da interação
Os expoentes são influenciados pelo longo ou curto alcance da interação.
No entanto, existem alguns modelos que violam a idéia de universalidade. Um
exemplo é o modelo de Ising numa rede quadrada com interações entre primeiros J1
(ferro ou antiferromagnética) e segundos vizinhos J2 (antiferromagnética). Para o
valor r = rc = J2 /J1 = 0.5, o modelo não apresenta ordem de longo-alcance. O calor
especı́fico comporta-se da mesma forma que no modelo de Ising unidimenssional. E
para r < rc temos a classe de universalidade do modelo de Ising 2d, enquanto que
para r > rc temos os expoentes crı́ticos variando continuamente com o parâmetro
r. Logo podemos concluir que a hipótese de universalidade não possui uma base
rigorosa e totalmente confiável, pois é deduzida apenas em cima de observações
teóricas e experimentais. Porém é usada com um certo nı́vel de cautela.
1.5
Apresentação do Trabalho
A presente dissertação estuda a criticalidade de materiais magnéticos, com caracterı́sticas isolantes com estrutura de rede do tipo cúbica simples para um ”cluster”com dois sı́tios centrais, através dos modelos de Ising, XY quântico, Heisen-
34
berg isotrópico e anisotrópico quântico, onde os casos ferromagnéticos e antiferromagnéticos são investigados.
Neste trabalho incluiremos, de forma pioneira, um novo processo de desacoplamento das correlações do sistema de spins. Este desacoplamento associa uma função
de correlação F = hσ~A · σ~B i entre os spins dos sı́tios centrais. Os primeiros vizinhos destes sı́tios passam por uma aproximação axial ao longo do eixo z e tirando
vantagem da simetria translacional da estrutura de rede escolhida, alguns pares
de primeiros vizinhos correlacionam-se apenas com a componente z da função correlação total, a qual chamaremos de Fz .
Por considerar correlações, este novo desacoplamento é superior ao desacoplamento usual de Zernike[62], que por sua vez despreza toda e qualquer correlação de
multi-spin. Na equação abaixo podemos visualizar a diferença entre estes desacoplamentos para os primeiros vizinhos



Fz = hσAz σBz i novo desacoplamento

z
z
hσiA
ihσjB
i desacoplamento de Zernike
z
z
hσiA
σjB
i=
(1.37)
onde A e B simbolizam os sı́tios centrais da rede.
No Capı́tulo 2 apresentamos uma introdução a Teoria de Campo Efetivo,
juntamente com a técnica do operador diferencial. Como exemplo mostramos a
aplicação deste método ao modelo de Ising.
Em seguida apresentamos a Nova Teoria de Campo Efetivo, que ganha o
tı́tulo de “nova” por usar o novo desacoplamento proposto neste trabalho. Este
método é desenvolvido para os modelos de spins. Como resultado são apresentados os comportamentos da magnetização versus a temperatura reduzida para cada
modelo mencionado. Mostramos, também, o diagrama de fase com o comportamento da temperatura reduzida crı́tica em função da anisotropia ∆ para o modelo
de Heisenberg anisotrópico. Através de uma tabela, comparamos os valores de temperatura crı́tica reduzida obtidos via Nova Teoria de Campo Efetivo com resultados
via Campo Médio, Campo Efetivo e expansão em Série.
35
No Capı́tulo 3 damos ênfase a Teoria de Grupo de Renormalização[63]. Apresentamos o método Grupo de Renormalização na Aproximação de Campo Efetivo EFRG, como exemplo usamos novamente o modelo de Ising tridimensional, na sua
forma mais simples, obtendo sua temperatura crı́tica e expoente crı́tico térmico.
Ainda no Capı́tulo 3 mostramos como o novo desacoplamento modifica o
método EFRG e formulamos assim uma nova técnica, a qual chamamos de Teoria de Grupo de Renormalização com a Nova Aproximação de Campo Efetivo NEFRG. Com esta nova técnica encontramos as temperaturas crı́ticas reduzidas
para todos os modelos propostos neste trabalho. Duas tabelas são apresentadas
com os nossos resultados de temperatura crı́tica e expoente crı́tico térmico obtidos
via NEFRG e comparamos com outros métodos do Grupo de Renormalização. O
diagrama de fase da temperatura crı́tica reduzida em função da anisotropia também
é apresentada neste formalismo.
No Capı́tulo 4 discutimos os resultados obtidos via as duas novas técnicas
desenvolvidas nesta dissertação: Nova Teoria de Campo Efetivo e Teoria de Grupo
de Renormalização com a Nova Aproximação de Campo Efetivo, onde apresentamos
as conclusões e perspectivas futuras.
36
[1] Rodriguez B.J.G., Revista Brasileira do Ensino de Fı́sica, 20, 315 (1998).
[2] H. C. Ørsted., “Experiments on the effect of a current of electricity on the
magnetic needle”,1820.
[3] F. Garozzo, in Michael Faraday (Editora Três, 1975).
[4] James Clerk Maxwell, “A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field”,
Philosophical Transactions of the Royal Society of London 155, 459-512 (1865).
(This article accompanied a December 8, 1864 presentation by Maxwell to the
Royal Society.).
[5] P. Weiss, J. Phys. Radium, 4, 661 (1907).
[6] Dirac Strings and Magnetic Monopoles in Spin Ice Dy2Ti2O7 D.J.P. Morris, D.A.
Tennant, S.A. Grigera, B. Klemke, C. Castelnovo, R. Moessner, C. Czter-nasty,
M. Meissner, K.C. Rule, J.-U. Hoffmann, K. Kiefer, S. Gerischer, D. Slobinsky e
R.S. Perry 2009.
[7] José Roberto Viana Azevedo, Transição de Fase Quântica em Modelos de Spins
Frustrados - UFAM, 2007, Tese de Doutorado não Publicada.
[8] Heinrich F. E. Lenz, On the Direction of Galvanic Currents Which Are Excited
through Electrodynamic Induction,Academy at St. Petersburg, 1833.
[9] Weast, Robert C. Handbook of Chemistry and Physics, 61st ed. Boca Raton,
FL: CRC Press, (1981).
[10] Currie, Pierre. Symétrie dans les phénomenes physiques. Journal de Physique
Theoretique et Aplliquée 3: 393-415, 1894. JUSTI, R.GILBERT, J. History.
[11] Langevin, P.,“On the Theory of Brownian Motion”. C. R. Acad. Sci. (Paris)
146: 530-533 (1908).
[12] Journal de Physique Théorique et Apliqué 4, p. 678; Annales de Chimie et
Physique 5, p. 70 (1905).
[13] Minas Gerais e a história do ferromagnetismo, Fı́sica na Escola, 7, n.1, (2006).
[14] Charles Kittel. Introduction to Solid State Physics 6th ed. 1986. John Wiley
Sons, Inc.
[15] Reif. F. Fundamentals of Statistical and Thermal Physics, McGraw Hill New
York, p. 560 (1965).
[16] L. Néel Ann. Physique 18, 5(1932).
[17] W. Heisenberg, Z. Phys. 49, 619(1928)
[18] Conceitos de Fı́sica Quântica, O.Pessoa Jr., 1.ed, SP Ed. Livraria da Fı́sica,
2003.
[19] Sı́lvio R. A. Salinas, Introdução a Fı́sica Estatı́stica, 2ed., SP, 2005.
[20] David J. Griffith, Introduction to Quantum Mechanics. Prentice-Hall, 1994.
[21] Nelson P. Neto, Teorias e Interpretações da Mecânica Quântica, 1ed. 2010.
[22] J.J. Sakurai, Modern Quantum Mechanics, Revised Edition. Springer-Verlag,
1994 .
[23] Derek Craik, Magnetism-Principles and applications, Wiley ((1995).
38
[24] B.D.Cullity, Introduction to magnetic materials, Addison-Wesley (1972).
[25] E. J. Samuelsen, et al., Phys. Rev. B 3, 157 (1971).
[26] R. Shankar, Principles of Quantum Mechanics, Second Edition. Plenum Press,
1994.
[27] J.Ricardo de Sousa, Physica A 9, 259, (1998).
[28] T. Matsubara e H. Matsuda, Progr. Theor. Phys. 16, 416 (1956).
[29] N.Mermim e H.Wagner, Phys. Rev. Lett., v. 17, p. 1133, (1966).
[30] E. H. Lieb, Phys. Rev. Lett. 18, 1046 (1967).
[31] Z. Hadzibabic, et al.: “BerezinskiiKosterlitzThouless crossover in a trapped
atomic gas”, Nature 441, 1118 (2006).
[32] J. M.Kosterlitz e D. J.Thouless, Progress in Low Temperature Physics. Amsterdam: North-Holand, 1977.
[33] J. B.Kogut, Rev. Mod. Phys., v. 51, p. 680, 1979.
[34] Jürg Fröhlich and Thomas Spencer, The Kosterlitz-Thouless transition in twodimensional abelian spin systems and the Coulomb gas. Comm. Math. Phys. 81
(1981), no. 4, 527602.
[35] K.W. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben e J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 84,
806 (2000)
[36] K. W. Madison, F. Chevy, W. Wohlleben e J. Dalibard, cond-mat/0004037,
Jour. Mod. Optics 47, 2715 (2000)
[37] K.W. Madison, F. Chevy, V. Bretin e J. Dalibard, Phys. Rev. Lett. 86, 4443
(2001)
39
[38] V. Schweikhard, S. Tung e E. A. Cornell, Vortex Proliferation in the BerezinskiiKosterlitz-Thouless Regime on a Two-Dimensional Lattice of Bose-Einstein Condensates, Phys. Rev. Lett. 99, 030401 (2007).
[39] Ying-Hong Li e S. Teitel, Three-dimensional Random XY Model: Application
to the Superfluid Transition of 4He in Porous Media, Phys. Rev. B 41, 11388
(1990).
[40] Tao Chen e S. Teitel, Phase Transitions in High Tc Superconductors and the
Anisotropic 3D XY Model, Phys. Rev. B 55, 11766 (1997) .
[41] E. Ising, Z. Physik 31, 253 (1925).
[42] R. J. Baxter, Exactly solved models in statistical mechanics - Academic Press,
New York (1982).
[43] R.E. Peierls, Proc. Roy. Soc. (London) A-154, 207 (1936).
[44] H. A. Kramers e G. H. Wannier, Statistics of the Two-Dimensional Ferromagnet, Phys. Rev. 60, 252262 (1941).
[45] L. Onsager, Phys. Rev. 65, 117 (1944).
[46] B. Kaufmann, Phys. Rev. 76, 1232 (1949).
[47] Zhidong Zhang, Conjectures on exact solution of three - dimensional (3D) simple orthorhombic Ising lattices, Philosophical Magazine, 87, 5309 (2007).
[48] W. P. Wolf, The Ising Model and Real Magnetic Materils, Braz. J. Phys. 30,794
(2000).
[49] S.G. Brush, Rev. Mod. Phys. 39, 883 (1967).
[50] Bertrand Berche, Malte Henkel e Ralph Kenna, Fenômenos Crı́ticos: 150 anos
desde Cagniard de la Tour, Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, v. 31, n. 2,
2602 (2009).
40
[51] Bruce H. Mahan. Quı́mica: Um curso universitário. 2 ed. São Paulo: Edgard
Blücher Ltda., 1972.
[52] A. A. Abrikosov, L. P. Gorkov e I. E. Dzyaloshinski. Methods of Quantum Field
Theory in Statistical Mechanics. Dover Publications, Inc., New York, 1963.
[53] L.D. Landau e E.M. Lifshitz, The Classical Theory of Fields. Vol. 2 (4th ed.).
Butterworth-Heinemann (1975).
[54] Renormalization Equations: Conceptual Basis and a Simple Example. L.P.
Kadanoff, In Renormalization Group in Critical Phenomena and Quantum Field
Theory, ed., J.D. Gunton e M.S. Green (Philadelphia, Temple University Press,
1973), p. 21.
[55] Kenneth G. Wilson, Renormalization Group and Critical Phenomena. I. Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture, Phys. Rev. B 4, 31743183
(1971).
[56] T. D. Lee e C. N. Yang, ”Statistical Theory of Equations of State and Phase
Transitions. II. Lattice Gas and Ising Model”, Physical Review 87: 410419
(1952).
[57] Mário José De Oliveira, Termodinâmica 1ed., Ed. Livraria da Fı́sica, 2005 .
[58] N.M. Salazar, Propriedades Magnéticas Íntrisecas e Comportamento Crı́tico da
liga metálica F e1−x Alx , dissertação de mertrdo, UFPE (1994).
[59] J.Ricardo de Sousa e Douglas F. de Albuquerque, Physica A 9, 236,(1997).
[60] M.E. Fisher, Rep.Prog.Phys. 30, 615 (1967).
[61] C. Domb, In Phase Transition and Critical Phenomena, editado por C. Domb
e M.S.Green, Vol.3(Academic Pres.London,1974).
[62] F. Zernike, Physica 1, 565(1940).
41
[63] Renormalization Group and Critical Phenomena, Kadanoff Scaling Picture
Phys.Rev. B (1971).
42
Capı́tulo 2
Teoria de Campo Efetivo
2.1
Após formular um modelo para estudar o comportamento de um dado material,
nos deparamos com a dificuldade de lidar com um sistema de 1023 componentes, ou
seja, um problema de muitos corpos. Tal problema nos obriga a lidar com equações
acopladas e por este motivo de difı́cil tratamento. Isso acontece pois um fenômeno
crı́tico só ocorre em sistemas infinitos. A partir daı́ é necessário a implementação
de teorias e técnicas que desacoplem essas equações a fim de calcularmos as propriedades pertinentes ao entendimento do comportamento estudado, no nosso caso
propriedades magnéticas dos materiais, e comparar o resultado obtido com os experimentais para julgarmos a eficiência da teoria implementada.
Tratando-se de sistemas de spins, a teoria mais simples é aquela que despreza
as correlações entre os spins e também suas flutuações. Essa teoria se chama Teoria
de Campo Médio (ACM), ou do inglês Mean Field Aproximation-MFA[1]. Também
conhecida como aproximação de ordem zero, a ACM trata o problema de muitos
corpos através de um campo de interação tal que este seja o resultado médio da
interação de uma partı́cula com todo o sistema restante. Essa idéia foi introduzida
primeiramente por Pierre Weiss [2] que chamou esse campo de campo molecular.
Porém, por negligenciar todas as flutuações, teorias do tipo campo médio prevêem
resultados quantitativos ruins em comparação aos experimentais. Um exemplo disso
é uma previsão de temperatura crı́tica para o modelo de Ising ferromagnético unidimensional diferente de zero1 ! Outro resultado indesejável da teoria de campo
médio é que os seus expoentes crı́ticos são independentes da dimensão e simetrias
do sistema, o que também não confere com o conceito de classe de universalidade
discutido no capı́tulo 1. No entanto, a dimensão do sistema e as flutuações são
inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior a dimensão menor a flutuação
térmica, de modo que para dimenções maiores que quatro (d > 4) os resultados
quantitativos de campo médio, para o modelo de Ising, se tornam exatos. O que é
claro, afinal as teorias de ACM ignoram as flutuações térmicas e quando o sistema
também passa a desprezá-las, seus resultados teóricos coincidem. Mas ainda assim
apenas uma descrição qualitativa aceitável pode ser obtida,2 o que deixou claro que
a aproximação de campo médio é necessária para uma primeira avaliação, porém
ineficaz para obter resultados quantitativos. Implentações nesta teoria foram feitas
ao longo dos anos na tentativa de melhorar estes resultados. Uma aproximação
muito usada no contexto de modelos magnéticos foi introduzida pelos trabalhos de
Bethe e Peierls[3, 4]. A aproximação é chamada de aproximação de Bethe-Peierls, e
consiste em considerar um aglomerado de spins com N sı́tios centrais e z primeiros
vizinhos, cuja interação entre estes é tratada de forma exata, sendo feita uma aproximação do tipo campo médio entre cada primeiro vizinho e o restante do sistema.
A orientação espacial dos primeiros vizinhos é pré-definida em relação aos sı́tios
centrais, onde é feita uma aproximação axial3 . Já os spins dos sı́tios centrais não
possuem eixo privilegiado e, sendo assim, podem possuir componentes em todo o
espaço, dependendo do modelo adotado. Com este tratamento foi possı́vel prever
uma temperatura crı́tica mais próxima da realidade, e no caso Ising ferromagnético
1
O resultado correto da temperatura crı́tica para o modelo de Ising unidimensional é nulo.
Apenas para sistemas reais onde d < 4.
3
A aproximação axial é a escolha de um eixo que será privilegiado quanto a orientação dos spins
2
dos primeiros vizinhos.
44
Figura 2.1: Rede quadrada com 1 sı́tio central (z = 4).
em uma dimensão o valor nulo. Portanto, a aproximação de Bethe-Peierls apresenta
melhoras significativas em relação a aproximação de ordem zero. Uma teoria deste
tipo é chamada de Teoria de Campo Efetivo (TCE), ou em inglês Effective Field
Theory (EFT).
Muitos trabalhos utilizam também a técnica da Teoria de Campo Efetivo (TCE)
para cálculos de grandezas na criticalidade do sistema, utilizando os métodos TCE1, TCE-2 e TCE-4, que são tratamentos através de campo efetivo de sistemas com
aglomerados com 1, 2 e 4 sı́tios centrais, respecivamente. Estes aglomerados dependem da topologia e dimensão da rede. Por exemplo, na figura 2.1 temos uma rede
quadrada, bidimensional, com um sı́tio central e quatro primeiros vizinhos localizados pelos ı́ndices (i, j), podendo ser tratada via TCE-1. Já nas figuras 2.2(a), (b),
(c) e (d) temos os casos das redes linear, quadrada, hexagonal e kagomé, respectivamente, todas com aglomerados de dois sı́tios centrais, que por sua vez podem ser
resolvidas com TCE-2. Atenção para o número total de primeiros vizinhos (z) que
varia para cada topologia.
Muitos trabalhos têm se desenvolvido com o uso das técnicas TCE-1 e TCE-2.
Para mais detalhes veja referências [5]-[9].
45
Figura 2.2: Estrutura topológica em aglomerado com dois spins centrais para uma
rede linear(a), quadrada(b), hexagonal(c) e kagomé(d).
2.2
Teoria de Campo Efetivo
Neste trabalho será proposto uma nova aproximação de campo efetivo correlacionado, baseado na técnica do operador diferencial de Honmura e Kaneyoshi[10],
introduzindo-se correlações ao sistema de forma direta. O novo método, ao qual
chamaremos de Nova Teoria de Campo Efetivo-NTCE será aplicada a sistemas
conhecidos de modo que uma comparação entre esta e outras técnicas possa ser
visualizada e analisada.
2.2.1
Técnica do Operador Diferencial
No estudo do comportamento microscópico da matéria, um tratamento estatı́stico
deve ser realizado, e para isso precisamos ter acesso aos valores médios das grandezas
de interesse do sistema. A mecânica estatı́stica nos diz que a média térmica de uma
46
grandeza X no ensemble canônico é dada por
n
< X >=
n
onde Z = T r e−βH
o
T r Xe−βH
o
,
T r {e−βH }
(2.1)
é a função partição, H é a Hamiltoniana do sistema e a
operação traço, T r, é uma soma sobre todos os possı́veis estados dos spins.
No tratamento de campo efetivo, o sistema é dividido em duas partes. Uma
que contêm o aglomerado com os sı́tios centrais e seus primeiros vizinhos Ω e a outra
com o restante dos spins Ω0 . É importante lembrar que o sistema como um todo
é tomado como infinito, no sentido de que o limite termodinâmico foi tomado 4 ,
ou seja, a primeira parte citada é finita e a outra não finita. Portanto, podemos
reescrever o Hamiltoniano da forma
H = HΩ + HΩ0 .
(2.2)
Uma propriedade importante5 é que os Hamiltonianos HΩ e HΩ0 comutem,
isto é,
[HΩ , HΩ0 ] = 0,
(2.3)
de modo que a equação acima equivale a igualdade e−βH = e−βHΩ e−βHΩ0 e, portanto,
devido as propriedades da operação traço, temos que
n
o
n
o
n
o
T r e−βH = T rΩ e−βHΩ T rΩ0 e−βHΩ0 .
(2.4)
Então, por motivos do sistema infinito ser intratável, vamos avaliar a média
de um operador com variáveis do aglomerado finito
Ω ⇒ X = X(Ω), que contém
informações de parte do sistema. A média deste operador fica
< X(Ω) >=
4
T rΩ0 T rΩ X(Ω)e−β(HΩ +HΩ0 )
,
T rΩ0 T rΩ e−β(HΩ +HΩ0 )
(2.5)
É de extrema importância que o sistema se encontre no limite termodinâmico pois só assim o
fenômeno crı́tico poderá ser contemplado, além de que do ponto de vista da mecânica estatı́stica
isso torna a teoria exata, uma vez que o erro é proporcional a
5
A priori [HΩ , HΩ0 ] 6= 0, como veremos mais adiante.
47
√1 .
N
onde T rΩ0 e T rΩ representam somas apenas sobre as variáveis dos aglomerados Ω0
e Ω, respectivamente. Portanto, com base na identidade obtida via comutação dos
Hamiltonianos HΩ e HΩ0 temos
< X(Ω) >=
T rΩ0 e−βHΩ0 · T rΩ X(Ω)e−βHΩ
.
Z
Multiplicando-se a equação (2.6) por
T rΩ X(Ω)e−βHΩ
,
(2.6)
o que não altera a equação, temos
1
· T rΩ0 e−βHΩ0 T rΩ e−βHΩ ·
Z
T r e−βHΩ
(
) Ω
1
T r e−βH ·
⇒ < X(Ω) > =
Z
T rΩ e−βHΩ
< X(Ω) > =
que finalmente equivale a
*
⇒ < X(Ω) > =
T rΩ e−βHΩ
+
.
(2.7)
Esta equação é exata apenas para o caso clássico, onde a equação (2.3) é verificada.
Para casos quânticos, os Hamiltonianos em geral não comutam ⇒ [HΩ , HΩ0 ] 6= 0[11].
Porém, a equação acima pode ser usada para tratamentos quânticos correspondendo
a uma aproximação de ordem zero para estes casos, e assim o usamos neste trabalho.
A equação (2.7) é fundamental para obtermos identidades de spins chamadas
na literatura de “Identidades de Callen-Suzuki ”. Para ilustrar, vamos calcular esta
identidade para o caso do modelo de Ising para uma rede quadrada com aglomerado
de um spin como ilustrado na figura 2.1). A equação (1.33) pode então ser reescrita
como
H = −Jσ1
X
σ1+~δ .
→
−
δ
Pela definição de média da equação (2.7), temos que
*
< σ1 >=
T rσ1 σ1 eσ1 K
T rσ1 eσ1 K
P
P
(2.8)
σ1+~δ
+
,
σ1+~δ
(2.9)
onde K ≡ βJ. Como os valores possı́veis da variável de spin são σi = ±1, efetuando
o traço temos que a magnetização m =< σ1 > é dada por
D
m = tanh K
48
X
σ1+~δ
E
.
(2.10)
Essa equação é conhecida como Identidade de Callen-Suzuki para o modelo de Ising
, e recebeu este nome por ter sido deduzida em 1963 por Callen [12] para este modelo
com spin 1/2 e por ter sido generalizada dois anos depois por Suzuki para um spin
geral [13].
A determinação de identidades do tipo Callen-Suzuki finaliza a fı́sica da TCE,
passando a depender de técnicas matemáticas para que se possa trabalhar com as
médias de spins. O lado direito da equação de Callen-Suzuki é de difı́cil tratamento
devido aos argumentos da função hiperbólica envolverem operadores de spins. Para
contornar este problema, vamos introduzir a técnica do operador diferencial, que
visa transportar as médias, antes tomadas sobre as exponenciais, diretamente para
os operadores de spin. Esta técnica pode ser dividida em duas etapas. A primeira
é o uso da propriedade do operador diferencial, que para uma variável é dada por
eλD̂x F (x) |x=0 = F (λ),
o termo D̂x =
∂
∂x
(2.11)
é o operador diferencial, onde F (x) deve ser uma função suave,
ou seja, contı́nua e diferenciável em todo o espaço. O segundo passo é utilizar a
identidade de van der Waerden para spin-1/2(com dois estados)
e±λσi = cosh(λ) ± σi sinh(λ).
(2.12)
A prova da equação (2.11) é simples. Vamos expandir a função eλD̂x em série de
Taylor, ou seja,
e
λD̂x
λ2 D̂x2 λ3 D̂x3
= 1 + λD̂x +
+
+ ...
2!
3!
(2.13)
Multiplicando esta equação por F (x) em ambos os membros
eλD̂x F (x) = F (x) + λD̂x F (x) +
λ2 D̂x2 F (x) λ3 D̂x3 F (x)
+
+ ...
2!
3!
(2.14)
Lembrando que D̂x é o operador diferencial, percebemos que o lado direito da
equação é exatamente igual a expansão de F (x + λ) em série de Taylor em torno de
x=0
F (x + λ) =
∞
X
1 n
D̂x F (x)λn .
n!
n=0
49
(2.15)
Comparando as equações (2.14) e (2.15) tem-se
eλD̂x F (x) = F (x + λ),
(2.16)
de modo que para x = 0 a equação (2.11) é verificada.
Usando a propriedade do operador diferencial na Identidade de Callen-Suzuki
para o modelo de Ising-2D, equação (2.10), temos
F (λ) ≡ tanh(λ) = eλD̂x tanh(x) |x=0
D
⇒ hσ1 i =
eK
P
σ1+~δ D̂x
E
tanh(x) |x=0 ,
(2.17)
e como x não depende de nenhuma variável de spin ficamos
*
k
P
hσ1 i = e
Notando que e
P
i
ai
=
Q
i
σ
→
− D̂x
1+ δ
tanh(x) |x=0 .
+
(2.18)
eai , a equação acima pode ser reescrita ainda na forma
hσ1 i =
* z
+
Y Kσ
D̂
x
~
(1+δ)
e
tanh(x) |x=0 .
(2.19)
~
δ
Agora, usando a identidade de van der Waerden, dada pela equação (2.12), ficamos com
hσ1 i =
* z
Y
αx + σ1+~δ βx
+
tanh(x) |x=0 ,
(2.20)
~
δ
onde αx = cosh(k D̂x ), βx = sinh(k D̂x ) e z = 4 é o número de coordenação para o
modelo de Ising com um único sı́tio central numa rede quadrada.
Expandindo o produtório em (2.20) admitindo que os spins vizinhos a σ1 são
denotados por {σa , σb , σc , σd }, obtemos
hσ1 i = h(αx + σa βx ) (αx + σb βx ) (αx + σc βx ) (αx + σd βx )i tanh(x) |x=0
= A0 + A1 hσa + σb + σc + σd i
+ A2 hσa σb + σa σc + σa σd + σb σc + σb σd + σc σd i
+ A3 hσa σb σc + σa σb σd + σa σc σd + σb σc σd i
+ A4 hσa σb σc σd i ,
(2.21)
50
de modo que Aj = αx4−j βxj tanh(x) |x=0 . Notamos que Aj = 0 para ı́ndices pares
devido nossa função F (x) = tanh(x) ser ı́mpar. Por exemplo, para
1
ϕpar = αx = cosh(k D̂x ) = (ekD̂x + e−kD̂x )
2
1
⇒ αx tanh(x) |x=0 =
[tanh(x) + tanh(−x)] = 0.
2
(2.22)
Sendo assim, em (2.21) só ficarão os termos com ı́ndice ı́mpar, portanto
hσ1 i = A1 hσa + σb + σc + σd i
+ A3 hσa σb σc + σa σb σd + σa σc σd + σb σc σd i .
(2.23)
Devido a simetria translacional do sistema, temos que hσl i = m, ∀ l, onde m é a
magnetização por spin, e hσi σj σl i = Γ, ∀i 6= j 6= l, onde Γ é a média acoplada dos
spins que chamaremos de função correlação, resultando assim
m = 4A1 m + 4A3 Γ,
(2.24)
A equação (2.24) constitui uma expressão de estado para a magnetização m.
A magnetização funciona como parâmetro de ordem
6
para sistemas magnéticos, ou
seja, torna-se nula quando o sistema passa para uma fase desordenada m → 0.
Esta equação (2.24) é exata e de difı́cil manipulação matemática, porque envolve no lado direito a função de correlação de muitos corpos, em particular, temos
três spins da rede conectados através do parâmetro Γ ≡ hσa σb σc i, e se tentarmos
continuar os cálculos usando a técnica do operador diferencial vamos nos deparar
com funções de correlação de até cinco spins, e com isto geraremos um conjunto
infinito de equações acopladas. Desta maneira, é inevitável o uso de algum tipo
de desacoplamento a fim de obter resultados aproximados para as grandezas termodinâmicas.
Neste momento precisamos aplicar algum tipo de aproximação para tratarmos
as correlações de spin do tipo Γ. A aproximação mais simples consiste em descorrelacionar totalmente esses spins. Esta aproximação é conhecida como desacoplamento
6
O termo parâmetro de ordem foi introduzido no estudo de transições de fase por Landau, que
o definiu como não nulo para a fase ordenada e nulo para a desordenada ou isotrópica.
51
de Zernike [14], que corresponde a tomar
hσi σj . . . σn i ' hσi ihσj i . . . hσn i.
(2.25)
Assim, uma vez que m = hσi i ∀ i, a equação (2.24) pode ser reduzida a
m=
v
u
u 1 − 4A1 (K)
t
.
4A3 (K)
(2.26)
Aplicando este desacoplamento para uma rede com número de coordenação z
qualquer (2.20), temos
m ' [αx + m βx ]z F (x) |x=0 ,
(2.27)
desenvolvendo a equação (2.27) ficaremos
m=
z
X
Az2j+1 m2j+1
(2.28)
j=0


 z 
sendoAzj = 
 αxz−j βxj F (x) |x=0
j
A partir das equações (2.26) e (2.28) obtemos a temperatura crı́tica reduzida
Kc−1 de forma numérica, fazendo m → 0, para o número de coordenação z desejado.
Por exemplo, para uma rede quadrada (z = 4) temos Kc −1 = 3.089. Tendo em
vista que a solução exata de Onsager [15] prevê Kc −1 = 2.269, podemos dizer que
o resultado obtido via TCE é melhor do que o obtido por ACM, o qual assume o
valor de Kc −1 = 4.00, mesmo que tenhamos desprezado toda a correlação do sistema usando o desacoplamento de Zernike. O mesmo ocorre para a rede cúbica
simples(z=6), onde a temperatura crı́tica reduzida obtida via TCE-1(ACM) e simulação de Monte Carlo são dadas respectivamente pelos valores Kc −1 = 5.073(6.00)
e Kc −1 = 4.511[11]. Uma análise numérica da equação transcendental Az1 (Kc ) = 1
como uma função do número de coordenação (z) mostra que para z 1 temos
um comportamento assintótico Kc−1 ' z, indicando que no limite de coordenação
infinita (z → ∞) encontramos o resultado de campo médio limz→∞ ( Kzc ) = 1.
52
2.3
Nova Teoria de Campo Efetivo
A teoria de campo efetivo pode ser implementada, com o intuı́to de melhorar os
valores de temperatura crı́tica, com o auxı́lio de novas formas de desacoplamento
a partir da aplicação da técnica do operador diferencial, que nos leva a médias
acopladas dos operadores de spins.
Nesse espı́rito, Keneyoshi e colaboradores [15] considerando a idéia, já consolidada na literatura [16], de que as flutuações de spin em sı́tio σi eram proporcionais
as flutuações de um sı́tio vizinho σj . Seja então a flutuação para um sı́tio σi definida
como [σi − hσi i], temos que
σi − hσi i = λ(σj − hσj i)
(2.29)
a constante de proporcionalidade λ é o chamado campo de reação de Onsager[17]
que deve dempender da temperatura e representa a reação de um spin na presença
do seu vizinho. Está equação é também conhecida como teoria de campo efetivo
correlacionado, pois ao utilizá-la nas equações do tipo (2.23), nos deparamos com o
surgimento de equações acopladas para os parâmetros m(magnetização) e λ. Essas
equações acopladas podem ser resolvidas de forma simultânea para uma temperatura
fixa. Fazendo a magnetização ir a zero obtemos a temperatura crı́tica reduzida que
é equivalente à aproximaa̧ão de Bethe-Peierls[3, 4]. O campo de reação de Onsager
também possui um valor crı́tico nessas condições e para uma rede com número de
coordenação z ambos são dados, respectivamente, por
kB T
2
=
z
J
ln( z−2
)
(2.30)
e
λc =
1
z−1
(2.31)
Um outro tipo de aproximção chamada de “aproximação do tripleto médio”
foi proposta por Taggart e Fittipaldi [18], como uma nova tentativa de tratamento
das funções correlação entre os spins. De modo que, seja a média de um operador
53
de spin σi dada pela equação (2.10), para o modelo de Ising unidimensional, então
podemos definir a correlação entre o spin σi e uma função de variáveis de spin
qualquer ζi como
X
hζi σi i = hζi tanh(
σi+~δ )i
(2.32)
~
δ
A “aproximação do tripleto médio” consiste em considerármos ζi ≡ coth (K
P
~
δ
σi+~δ ),
e como coth(x) = [tanh(x)]−1 , isso torna a equação (2.32) equivalente a unidade,
para o a função ζi escolhida, e fazendo hζi σi i ≡ hσi ζi i, chegamos a expressão
X
1 = hσi coth(
σi+~δ )i
(2.33)
~
δ
Aplicando a técnica do operador diferencial no lado direito da equação (), temos
1 = 4hσa σ1 iA∗1 (K) + 4hσa σ1 σ2 σ3 iA∗3 (K)
(2.34)
onde fizemos σi = σa é sı́tio central da rede esquematizada na figura 2.1 e os spins
{σ1 , σ2 , σ3 , σ4 } correspondem aos seus primeiros vizinhos. Os coeficientes A∗1 (K)
e A∗3 (K) são semelhantes aos A1 (K) e A3 (K), usados na equação (2.24), porém
referentes a função hiperbólica coth(x). Pela equação (), temos que a média de spin
hσa i = m pode ser escrita como
m = 3A∗1 (K)Γ + A∗3 (K)ϕ
(2.35)
para Γ = hσa σ1 σ2 i e ϕ = hσa σ1 σ2 σ3 σ4 i. Sendo assim, isolando-se m na equação
(2.24) e substituindo-se na equação, temos
4A3 (K)Γ = (1 − 4A1 (K))[3A∗1 (K)Γ + A∗3 (K)ϕ]
(2.36)
Na metódo “aproximação do tripleto médio”, Taggart e Fittipaldi [18] usaram ϕ = 0
para K = Kc−1 , ou seja, na temperatura crı́tica a correlação de quatro spins deve
ser nula. Chegando portanto, na relação
4A3 (K) = 3A∗1 (K)(1 − 4A1 (K))
54
(2.37)
de forma numérica a equação nos rende o resultado para a temperatura crı́tica de
Kc−1 = 2.680. Taggart[19] usou também a idéia do campo de reação de Onsager,
equa ção (2.29), na equa ção e obteve temperatura crı́tica Kc−1 = 2.490 para o
modelo de Ising em uma rede quadrada, enquanto que o valor exato é dado por
Kc−1 = 2.269, mostrando assim a eficécia da sua técnica.
Nesse sentido, desejando não desprezar todas as informações preciosas contidas na correlação entre os spins, desenvolveremos neste trabalho um novo tipo de
desacoplamento dentro do formalismo de campo efetivo, o qual será apresentado na
seção seguinte, com o objetivo de alcançarmos resultados melhores e que indiquem
, ao menos, uma convergência para os valores considerados exatos,
O tı́tulo de “novo ”na Teoria de Campo Efetivo deve-se ao fato de que trataremos as funções correlação de forma exata, porém apenas para determinados pares de
spins dentro do aglomerado, escolhidos de forma estratégica, a fim de que possamos
tirar vantagem de possı́veis simetrias da rede, com o objetivo de encontrarmos valores de temperatura crı́tica reduzida melhores em relação aos métodos que utilizam
o desacoplamento de Zernike. Para uma melhor compreenssão do método, este foi
aplicado aos modelos de Ising, XY e Heisenberg anisotrópico. Todos estes modelos
tiveram os casos ferro e antferromagnético estudados para uma rede cúbica simples
com dois sı́tios centrais.
2.3.1
Modelo de Ising
Consideremos uma rede cúbica esquematizada na figura 2.3, onde passaremos a
considerar uma correlação F entre os spins dos sı́tios centrais σa e σb . No entanto,
como primeira aproximação tomaremos os spins da vizinhança alinhados ao longo
do eixo z, o que chamamos de aproximação axial, em resposta ao restante do sistema
infinito. Assim, no caso do modelo de Ising os spins centrais interagem apenas ao
longo do eixo z e , portanto, a função correlação entre os sı́tios centrais e aquela
que ocorre entre determinados pares de primeiros vizinhos são equivalentes F =
55
Figura 2.3: Aglomerado com dois sı́tios centrais numa rede cúbica simples (z=6).
Fz = hσaz σbz i 7 . Devido a simetria translacional da rede os pares hσ2z σ3z i = hσ5z σ6z i =
z
hσ7z σ8z i = hσ9z σ10
i também correlacionam-se mediante ao mesmo função correlação.
Por definição nossa função correlação F deve ser da forma
F ≡ hσ~a · σ~b i.
(2.38)
Mediante a média de um operador (2.1), para as grandezas magnetização e
função correlação teremos
T r σA e−βH
mA =
,
e−βH
T r σA σB e−βH
F = h
i.
e−βH
*
+
(2.39)
Para o modelo de Ising, o Hamiltoniano (1.33), considerando uma rede cúbica
simples com dois sı́tios centrais, com interação de ”exchange”J entre seus primeiros
7
Para os modelos de Heisenberg e XY(planar), onde a interação entre os spins dos sı́tios centrais
ocorre no espaço e no plano, respctivamente, essa equivalência entre as funções correlação entre os
sı́tios centrais e os primeiros vizinhos não será verdadeira, como veremos adiante.
56
vizinhos, ou seja,
X
H = −J
σi · σj .
(2.40)
hi,ji
onde σi = ±1. Para o aglomerado central ddo pela figura 2.3, o Hamiltoniano (2.33)
será dado por
− βH = KσAz σBz + cA σAz + cB σBz ,
(2.41)
z
z
z
z
de forma que K = βJ, cA = KΣi σiA
e cB = KΣi σiB
. Onde σiA
e σiB
correspondem
aos primeiros vzinhos dos respectivos sı́tios A e B.
Escrevendo-se a equação acima na base | + +i, | + −i, | − +i e | − −i, obtemos
sua forma matricial

− βH =









K + cA + cB
0
0
0
0
−K + cA − cB
0
0
0
0
−K − (cA − cB )
0
0
0
0










K − (cA + cB )
(2.42)
A função partição é definida como
Z=
X
e−βλi ,
(2.43)
{λi }
onde λi corresponde a todos os autovalores da matriz (2.33), que podem ser encontrados mediante a diagonalização da mesma. No caso do modelo de Ising, a matriz
já se encontra em sua forma diagonal, e portanto sua função partição será dada por
Z = 2eK cosh (cA + cB ) + 2e−K cosh (cA − cB ).
(2.44)
Através das equações (2.30) e (2.32) , temos que para a magnetização
*
m=
1 ∂Z
Z ∂cA
+
(2.45)
e para função corelação F temos
*
F =
1 ∂Z
Z ∂K
57
+
.
(2.46)
aqui como F = Fz não existe componente Fx para nos preocuparmos.
Conhecendo-
se a função partição (2.37), temos que mA e a função correlação F são dadas, respectivamente, por
sinh(cA + cB ) + e−2K sinh(cA − cB )
,
cosh(cA + cB ) + e−2K cosh(cA − cB )
(2.47)
cosh(cA + cB ) − e−2K cosh(cA − cB )
.
cosh(cA + cB ) + e−2K cosh(cA − cB )
(2.48)
*
mA =
*
F =
+
+
Agora, aplicando a técnica do operador diferencial para as equações (2.40) e
(2.41), eaDx +bDy g(x, y) = g(x + a, y + b) para Dµ =
∂
,
∂µ
e a identidade de van der
Warden, e±λσi = cosh(λ) ± σi sinh(λ), ficamos
mA =
+
*
Y
Y
i,A
i,B
(αx + σiA βx )
(αy + σiB βy ) g(x, y) |x=y=0 ,
+
*
F =
onde os produtórios
(2.49)
Y
Y
i,A
i,B
(αx + σiA βx )
Q
i,A
e
Q
i,B
(αy + σiB βy ) h(x, y) |x=y=0 ,
(2.50)
referem-se ao primeiros vizinhos dos sı́tios A e B
respectivamente, αr = cosh(KDr ), βr = sinh(KDr ), Dr =
∂
∂r
para r = x, y e
g(x, y) =
sinh(x + y) + e−2K sinh(x − y)
,
cosh(x + y) + e−2K cosh(x − y)
(2.51)
h(x, y) =
cosh(x + y) − e−2K cosh(x − y)
.
(2.52)
Vamos expandir os produtórios das equações (2.42) e (2.43) levando em consideração que as funções de correlação que envolverem os spins {σ2 , σ3 , σ4 , σ5 , σ6 , σ7 σ8 , σ9 , σ10 }
toda vez que tiver par destes spins, o desacoplamento considerará a função correlação F = hσA σB i, isto é, seja um exemplo particular para correlação hσ1 σ2 σ3 σ4 i '
hσ2 σ3 ihσ1 ihσ4 i = F mA mB . Notemos que as médias dos spins ao redor de σA correspondem a mB = hσi i (i = 3, 4, 5, 7, 10), enquanto ao redor de σB temos mA = hσj i
(j = 1, 2, 6, 8, 9). No caso ferromagnético temos mA = mB = m, assim sendo, as expressões aproximadas para m e F nesta nova metodologia de campo efetivo (NTCE)
serão dadas por
m = A1 (K, Fz )m + A3 (K, Fz )m3 + A5 (K, Fz )m5 ,
58
(2.53)
F = B0 (K, Fz ) + B2 (K, Fz )m2 + B4 (K, Fz )m4 + B6 (K, Fz )m6 .
(2.54)
onde os coeficientes Ar e Br foram obtidos analiticamente usando o software do
Maple, cujas respectivas expressões são demasiadamente grandes e omitimos escrevêlas.
Note os sub-ı́ndices ı́mpares dos coeficientes para m, isso se deve ao fato de que
na equação (2.40) a função g(x, y) ser ı́mpar, o que faz com que todos os coeficientes
pares sejam nulos. Fato semelhante ocorre para a equação (2.45), uma vez que
função h(x, y) é par, e os coeficientes nulos são agora os ı́mpares.
Outro ponto importante ao qual devemos ficar atentos é que esses coeficientes
Ai e Bj , para i ı́mpar e j par, serão idênticos para os casos ferro e antiferro. Isso
ocorre porque estes dependem de K = βJ e, portanto, fazendo K > 0 e K < 0,
teremos, respectivamente, os casos ferro e antiferromagnéticos.
Usando o método de Newton-Raphason[20], para calcular raı́zes, ou seja,
fixando a temperatura encontramos m(T ) e F (T ) resolvendo as equações (2.46) e
(2.47) simultaneamente.
Assim, verificamos que a temperatura crı́tica reduzida,
tanto para o caso ferro quanto para o antiferro, é a mesma, como deve ser, e é dada
por Kc−1 = KN−1 = 5.00 (veja figura 2.4).
2.3.2
Modelo XY
Como vimos no capı́tulo anterior, podemos escrever o Hamiltoniano geral na
forma
− βH = K
X
[ηx σix σjx + ηy σiy σjy + σiz σjz ],
(2.55)
hi,ji
de modo que para ηx = ηy = 0 (ηx = ηy = 1) o Hamiltoniano acima equivale ao
Hamiltoniano do modelo de Ising(Heisenberg isotrópico). Finalmente, para ηx =
1, ηy = 0 ou ηx = 0, ηy = 1 o Hamiltoniano se reduz a caso do modelo XY.
Então fazendo ηx = 1, ηy = 0 e executando os mesmo passos da sessão anterior,
o Hamiltoniano para o modelo XY é dado por
− βH = K[σAx σBx + σAz σBz ] + cA σAz + cB σBz ,
59
(2.56)
Figura 2.4: Curva da magnetização versus a temperatura reduzida K −1 = T , para
o modelo de Ising tridimensional via NTCE.
60
lembrando que os spins vizinhos passaram por uma aproximação axial ao longo do
eixo z.
A forma matricial do Hamiltoniano (2.49) fica

− βH =
K + (cA + cB )









0
0
K
0
−K + (cA − cB )
K
0
0
K
−K − (cA − cB )
0
K
0
0





.




K − (cA + cB )
(2.57)
Sua respectiva função partição Z será portanto
q
K
Z = 2e cosh[
(K 2
+ (cA + cB
)2 )]
−K
+ 2e
q
cosh[ (K 2 + (cA − cB )2 )].
(2.58)
Aqui precisamos distinguir a função correlação entre os sı́tios centrais e entre
os pares de primeiros vizinhos, de modo que para os sı́tios centrais F = hσa · σb i =
hσAx σBx i+hσAz σBz i, ou seja, F = Fx +Fz , enquanto para os primeiros vizinhos teremos
Fz = hσAz σBz i. As equações de estado para magnetização e a função correlação total
são dadas, respectivamente,
*
m=
sinh(W+ )(cA + cB )W+ −1 − e−2K sinh(W− )(cA − cB )W− −1
,
cosh[W+ ] + e−2K cosh[W− ]
+
*
F =
cosh[W+ ] +
sinh[W+ ]K
W+
− e−2K cosh[W− ] +
sinh[W− ]K
W−
(2.59)
+
(2.60)
Com o objetivo de deixar F totalmente em função de Fz , vamos explicitar Fx fazendo
∂Z
Fx = h Z1 ∂K
i 8 , e portanto
x
* sinh[W+ ]K
Fx =
onde W+ =
8
q
W+
+
cosh[W+ ] +
e−2K sinh[W− ]K +
W−
,
e−2K cosh[W− ]
K 2 + (cA + cB )2 e W− =
q
(2.61)
K 2 + (cA − cB )2 .
x x
Kx é a constante de acoplamento que acompanha o termo σA
σB no Hamiltoniano, isto é,
x x
z z
z
z
−βH = Kx σA
σB + Kz σA
σ B + cA σ A
+ cB σB
. É possı́vel verificar que só aparece Kx dentro
∂Z
das raı́zes na função partição, equação (2.51), após fazermos Fx = h Z1 ∂K
i tomamos novamente
x
Kx = Kz = K.
61
De modo análogo as equações (2.42) e (2.43), definimos as funções g(x, y),
h(x, y) e l(x, y) para o modelo XY como
sinh(W+ )(x + y)W+ −1 − e−2K sinh(W− )(x − y)W− −1
g(x, y) =
,
h(x, y) =
cosh[W+0 ] +
0
q
− e−2K cosh[W−0 ] +
0 ]K
sinh[W−
0
W−
cosh[W+0 ] + e−2K cosh[W−0 ]
0 ]K
sinh[W+
0
W+
l(x, y) =
aqui W+ =
0 ]K
sinh[W+
W+
+
0 ]K
e−2K sinh[W−
0
W−
cosh[W+0 ] + e−2K cosh[W−0 ]
0
K 2 + (x + y)2 e W− =
(2.62)
(2.63)
(2.64)
q
K 2 + (x − y)2 .
As equações de m, F e Fx também podem ser expressas respectivamente pelas
equações
m = A1 (K, Fz )m + A3 (K, Fz )m3 + A5 (K, Fz )m5 ,
(2.65)
F = B0 (K, Fz ) + B2 (K, Fz )m2 + B4 (K, Fz )m4 + B6 (K, Fz )m6 .
(2.66)
Fx = B0l (K, Fz ) + B2l (K, Fz )m2 + B4l (K, Fz )m4 + B6l (K, Fz )m6 .
(2.67)
O mesmo esquema de procura de raı́zes foi feito pelo método de Newton-Raphason,
com a diferença que para o modelo XY, na equação equivalente f2 teremos F =
Fx + Fz . A figura 2.5 mostra a curva obtida de m × K −1 . Uma vez que o Hamiltoniano do modelo XY é invariante pela troca de J → −J, o que corresponde a mudança
do caso ferro para antiferro, a temperatura crı́tica reduzida para ambos os casos deve
coincidir. Com o novo desacoplamento implementado neste trabalho encontramos
que Kc−1 = KN−1 = 4.941, onde Kc−1 e KN−1 coincidem quando a magnetização vai a
zero, como o esperado.
2.3.3
Modelo de Heisenberg Anisotrópico
Estendemos nossa implementação da Nova Teoria de Campo Efetivo ao modelo
de Heisenberg anisotrópico. O Hamiltoniano com anisotropia no plano xy é dado
por
− βH = K[(1 − ∆)(σAx σBx + σAy σBy ) + σAz σBz ] + cA σAz + cB σBz .
62
(2.68)
Figura 2.5: Curva da magnetização versus a temperatura reduzida K −1 = T , para
o modelo XY tridimensional via NTCE.
63
Na forma matricial temos

 K + cA + cB


0

− βH = 

0



0
0
cA − cB
2K(1 − ∆)
0
2K(1 − ∆) −(cA − cB )
0
0
0

0
K − (cA + cB )
0




.




(2.69)
Então, após diagonalizar a matriz (2.57) obtemos a função partição
Z = 2eK cosh (cA + cB ) + 2 cosh (W ∆ ),
com W∆ =
q
(2.70)
4[K(1 − ∆)]2 + (cA − cB )2 .
Da mesma forma, as equações para m, F e Fx são
*
m=
*
F =
sinh(cA + cB ) + e−2K sinh(W∆ )(cA − cB )(W∆ )−1
,
cosh(cA + cB ) + e−2K cosh(W∆ )
+
cosh(cA + cB ) − e−2K cosh[W∆ ] + 4K(1 − ∆)2 sinh[W∆ ](W∆ )−1
cosh(cA + cB ) + e−2K cosh[W∆ ]
*
Fx =
2K(1 − ∆)2 sinh[W∆ ](W∆ )−1
cosh(cA + cB ) + e−2K cosh[W∆ ]
(2.71)
+
(2.72)
+
(2.73)
De modo análogo temos que as funções
0
g(x, y) =
h(x, y) =
cosh(x + y) − e−2K cosh[W∆0 ] + 4K(1 − ∆)2 sinh[W∆0 ](W∆0 )−1
cosh(x + y) + e−2K cosh[W∆0 ]
l(x, y) =
0
onde W∆ =
0
sinh(x + y) + e−2K sinh(W∆ )(x − y)(W∆ )−1
,
cosh(x + y) + e−2K cosh(W∆ )0
2K(1 − ∆)2 sinh[W∆0 ](W∆0 )−1
cosh(x + y) + e−2K cosh[W∆0 ]
q
4[K(1 − ∆)]2 + (x − y)2 .
(2.74)
(2.75)
(2.76)
As equações de m, F e Fx também são
escritas como polinômios de m, semelhantes as equações (2.58), (2.59) e (2.60),
diferenciando-se apenas pelos coeficientes para os casos ferro e antiferro. Aqui devemos ter o cuidado de notar que F = (1 − ∆)(Fx + Fy ) + Fz e uma vez que as
interações ao longo dos eixos x e y são iguais podemos fazer Fx = Fy , logo teremos
F = 2(1 − ∆)Fx + Fz . Sendo assim, o gráfico da magnetização em função da temperatura crı́tica reduzida para ∆ = 0.0, correspondendo ao modelo de Heisenberg
isotrópico, é dado pela figura 2.6.
64
Figura 2.6: Curva da magnetização versus temperatura reduzida K −1 = T para o
modelo Heisenberg Isotrópico tridimensional via NTCE.
O comportamento da temperatura crı́tica reduzida em função do parâmetro
de anisotropia ∆ é descrito pela figura 2.7.
Com base nos gráficos 2.6 e 2.7 temos que para o modelo de Heisenberg
isotrópico, ou seja para ∆ = 0.0, as temperaturas crı́ticas reduzidas para caso ferro
e antiferro são, respectivamente, Kc−1 = 4.860 e KN−1 = 4.898.
Para compararmos com o caso desacoplado, ou seja, aquele que utiliza o desacoplamento de Zernike, vejamos o gráfico reffig:figura2-7.jpga para o modelo de
Heisenberg anisotrópico desacoplado, onde Kc−1 = 4.891 e KN−1 = 4.947.
Na tabela 2.1 é possı́vel visualizar valores de temperatura crı́tica reduzida
de Curie e Néel para os modelos de Ising, XY Quântico e Heisenberg Isotrópico
65
Figura 2.7: Curva da temperatura reduzida K −1 = T versus a anisotropia ∆ para o
modelo Heisenberg anisotrópico tridimensional via NTCE e TCE.
66
Tabela 2.1: Valores de temperatura crı́tica reduzida de modelos quânticos para uma
rede cúbica simples obtidos via, teoria de campo médio(TCM), teoria de campo
efetivo(TCE), nova abordagem da teoria de campo efetivo(NTCE) e expansão em
série.
modelo
método
Kc−1
KN−1
Ising
TCM
5.847
5.847
TCE [11]
5.039
5.039
NTCE
5.000
5.000
Séries [11]
4.511
4.511
TCM
5.787
5.787
TCE [11]
4.980
4.980
NTCE
4.941
4.941
XY Quântico
Séries [11]
Heisenberg Isotrópico Quântico
4.000 4.000
TCM
5.719
5.771
TCE [11]
4.891
4.947
NTCE
4.860
4.898
Séries [11]
3.360
3.593
Quântico, obtidos através dos métodos ACM, TCE, Séries e NTCE, sendo o último
contribuição do presente trabalho, para uma rede cúbica simples com dois sı́tios
centrais.
No capı́tulo 3, faremos uma introdução a Teoria de Grupo de Renormalização,
com o objetivo de também usarmos o desacoplamento F ≡ hσ~A · σ~B i na procura de
valores cada vez mais refinados de temperaturas crı́ticas.
67
[1] Revista Brasileira de Ensino de Fı́sica, v.26, n. 4, p. 385 - 393, (2004).
[2] P. Weiss, J. Phys. 6, 667 (1907).
[3] H.A. Bethe, Proc. Roy. Soc. London A 150, 552(1935).
[4] R.E. Peierls, Proc. Roy. Soc. (London) A-154, 207(1936).
[5] J. Ricardo de Sousa e Ijanı́lio G. Araújo, J. Mag. Mag. Mat. 202, 231-238
(1999).
[6] J. S.Smart, Effective Field Theories of Magnetism, Saunders, Philadelphia,
(1966).
[7] T. Idogaki, N.Urya, Physica A 181, 173 (1992).
[8] K. G. Chakraborty, Phys. Lett. A 177, 263 (1993).
[9] B.Strieb, H. B. Callen, Phys. Rev. 130, 1798 (1963).
[10] R. Honmura e T. Kaneyoshi, J. Phys. C 12, 3970 (1979).
[11] F. C. Sá Barreto e I. P. Fittipaldi, Physica A 129, 360 (1985).
[12] H. B. Callen, Phys. Lett. 4, 161 (1963).
[13] N. Suzuki, Phy. Lett. 19, 267 (1965).
[15] T. Kaneyoshi, I.P.Fittipaldi, R. Honmura e T.Manabe, Phys.Rev.B, 24, 481
(1981).
[16] M.Suzuki, Phys.Lett.19, 267 (1965).
[17] L. Onsager, Phys. Rev., 65, 261 (1944).
[18] G.B. Taggart e I.P.Fittipaldi, Phys.Rev.B 25, 7026 (1982).
[19] G.B. Taggart, Physica A 113, 535 (1982).
[20] Lima, E. Lages, Curso de Análise, Vol.2, IMPA, R.J., Projeto Euclides.
69
Capı́tulo 3
Teoria de Grupo de
Renormalização
3.1
Proposto por Kenneth Wilson em 1971[1], a Teoria de Grupo de Renormalização
trabalha em duas bases: a não analiticidade da energia livre na região crı́tica, ou
seja, na vizinhança da transição de fase, e a invariância por escala de parâmetros
termodinâmicos de sistemas dentro de uma dada classe de universalidade, que se
baseia, principalmente, nas formas asintóticas de grandezas termodinâmicas também
na região crı́tica. A aliança dessas duas idéias forma a base para compreendermos
o espı́rito da Teoria de Grupo de Renormalização.
3.1.1
Hı́poteses de Escala
Os fenômenso crı́ticos apresentam caracterı́sticas que merecem destaque, como
por exemplo algumas divergência tipo leis de potência, determinadas pelos seus expoentes crı́ticos, e a universalidade dos mesmos, que depende da dimensão espacial,
dimensão do parâmetro de ordem (simetrias do Hamiltoniano) e da natureza da
interação (interação de curto ou de longo alcance), mas não depende da topologia
do sistema.
A invariância por escala é uma simetria do ponto crı́tico, e como tal terá
associada a ela um conjunto de transformações de simetria. De modo geral, as transformações de escala nos passam uma expressão única e adaptam suas formulações
de acordo com o sistema em estudo, de modo que em torno do ponto crı́tico todas
as formulações apontem aproximadamente para o mesmo resultado.
O conjunto de procedimentos associados as transformações de escala, em
mecânica estatı́sitica, é chamado de Grupo de Renormalização. E veremos que
de modo curioso as quantidades associadas com este conjunto de tranformções de
simetria que se conservam são justamente os expoentes crı́ticos. Estes expoentes não
são independentes entre si e se relacionam satisfazendo a um conjunto de igualdades,
conhecidas como leis de escala, algumas listadas a baixo
α + 2β + γ = 2
α + β (1 + δ) = 2
(3.1)
(2 − η) ν = γ
dν = 2 − α.
Essas igualdades na verdade derivam de desigualdades semelhantes, no entanto com
as soluções exatas as igualdades acima são verificadas.
Vamos analisar um conjunto de hipóteses que explicam, de forma fenomenológica,
as leis de escala, as quais são chamadas de Teorias ou Hipóteses de Escala. A idéia
básica da Teoria de Escala está relacionada com a divergência do comprimento de
correlação no ponto crı́tico. O comprimento de correlação é um parâmetro importante para que se compreenda um fenômeno crı́tico, pois nos fornece a ordem
da interação. Assumimos que as propriedades que determinam a forma assintótica
das funções termodinâmicas ocorrem em uma escala espacial de dimensão linear
da ordem do comprimento de correlação, e portanto esta é a única escala espacial
relevante ao problema.
Antes de se fazer esta suposição, modificamos os parâmetros termodinâmicos
71
do sistema, o que equivale a uma mudança de escala, mas que preserva a informação
fı́sica, que no nosso casa reside na energia livre do sistema e que portanto devese manter invariante durante o processo. Uma propriedade deste tipo é chamada
de leis de estados correspondentes e é observada experimentalmente. Assim, conseguimos garantir que as grandezas termodinâmicas não mudarão mediante uma
transformação de escala, ou seja, seus comportamentos assintóticos serão os mesmos nesse processo, o que fixa os expoentes crı́ticos e nos permite dizer que as leis
de potência são invariantes por escala.
Mas, de modo geral, vejamos qual o comportamento de uma função invariante por escala. Seja uma função homogênea na variável x que segue a seguinte
propriedade
f (λx) = g (λ) f (x)
∀ λ real.
(3.2)
Se ela é invariante por escala, então para um µ arbitrário temos
f (λµx) = g (λµ) f (x) = g (λ) f (µx) ,
(3.3)
g (λµ) = g (λ) g (µ) .
(3.4)
onde
Diferenciando-se a equação anterior em relação a µ obtem-se
∂
g (λµ) = λg 0 (λµ) = g (λ) g 0 (µ) .
∂µ
(3.5)
Fazendo µ = 1 e definindo p = g 0 (µ) temos
g 0 (λ)
p
= ,
g (λ)
λ
(3.6)
d
p
lng (λ) = .
dλ
λ
(3.7)
g (λ) = λp .
(3.8)
f (λx) = λp f (x) .
(3.9)
que pode ser reescrita como
Portanto, g (λ) deve ser do tipo
Sendo assim
72
De modo análogo, uma função homogênea de duas variáveis invariante por escala,
que será de nosso interesse, pode ser escrita como
f λa x, λb y = λf (x, y) .
3.1.2
(3.10)
Hı́potese de Widom
O parâmetro de ordem pode ser desde um escalar até um tensor, dependendo
do sistema, mas por simplicidade vamos tomá-lo como escalar. Nossa grandeza
invariante por escala, como já vimos, é a energia livre, que deve ser função da
temperatura e do campo externo. Portanto, a energia livre de deve ser uma função
do tipo g (T, H). Seja t =
T −Tc
Tc
a temperatura reduzida e vamos supor que no ponto
crı́tico H = 0. Feito isso, Widom[2] formulou sua hipótese da seguinte forma
1. Nas proximidades do ponto crı́tico a energia livre pode ser decomposta em
g (T, H) = gr (T, H) + gs (T, H) ,
(3.11)
onde a primeira parcela é a parte analı́tica da energia livre que pode ser considerada constante na região do ponto crı́tico, e a segunda parcela contém todas
as singularidades da função.
2. A parte singular é uma função homogênea de duas variáveis
g (λx T, λy H) = λgs (T, H) .
(3.12)
A partir destas hipóteses podemos trabalhar com as derivadas da energia
livre, obtendo assim o comportamento assintótico apresentado pelas grandezas termodinâmicas na vizinhança do ponto crı́tico e as relações de escala entre eles.
De modo geral, para um sistema na região de criticalidade, ou seja H = 0 e
T = Tc , com transição de fase de segunda ordem, temos que as grandezas apresentam
os mesmos comportamentos assintóticos representados na seção 1.4.1.
73
Trabalhando com estes expoentes chegamos as relações
2x − 1
,
x
1−y
β =
,
x
2y − 1
γ =
,
x
y
.
δ =
1−y
α =
(3.13)
Com certas manipulações, a partir destas equações obtemos as leis de ecala já apresentadas (ver equação (3.1)).
As hipóteses de escala são plausı́veis e apesar de não terem uma demostração
rigorosa. esta em de perfeito acordo com os dados experimentais e simulações
numéricas e, portanto, são aceitas e utilizadas pela comunidade cientı́fica e pesquisadores
da área de fenômenos crı́ticos e afins.
3.1.3
Argumento de Kadanoff
A hipótese de escala, apesar de explicar os resultados esperados, necessitava de
uma explicação microscópica. Vejamos então, de modo mais geral, qual é o comportamento de uma função invariante por escala. Kadanoff [3]deu as justificativas
necessárias baseando-se no fato de que, próximo do ponto crı́tico as correlações do
sistema possuem ordem de longo alcance com ξ → ∞ e detalhes de cuto-alcance não
devem ser fundamentais. Seu argumento consiste em dividir uma rede de tamanho
de célula ad , onde d é a dimensão e a é o seu parâmetro de rede, em células de
tamanho maiores a0d , onde a0d = la como na figura 3.2, de modo que, perto de Tc
a la ξ. No caso de sistemas magnéticos, pode-se fazer uma substituição de um
único spin por um bloco de spins efetivo, chamado de bloco de Kadanoff, o que corresponde a eliminação de graus de liberdade, ou seja, o sistema foi transladado para
um análago, porém com meno graus de liberdade para serem tratados. Exigindo-se
então que o Hamiltoniano do novo sistema terá o mesmo formato do Hamiltoniano
74
Figura 3.1: Bloco de Kadanoff em uma rede quadrada com parâmetro de rede
a.(a)blocos de Kadanoff formado por 4 spins σ.(b)rede quadrada com spin efetivo θ
com parâmetro de rede a0 .
original, com os parâmetros renormalizados é claro, dá-se assim respaldo às hipóteses
de Widom, admitindo-se igualdade da função de partição dos sistemas (com a qual
chegamos a energia livre). Devemos identificar fator de escala dessa renormalização,
que no nosso caso é dado por l.
Feita a renormalização teremos, por consequência, a renormalização dos parâmetos
do Hamiltoniano, para o campo H 0 = lYH H e a constante de acoplamento J 0 = lYt J,
para que a forma do Hamiltoniano não seja alterada.
A função partição contém toda a informação fı́sica do sistema e, portanto,
deve ser invariante por escala
ZN 0 (t0 , H 0 ) = ZN (t, H) ,
onde t0 = lYt t e l =
N
N0
1/d
(3.14)
e os expoentes crı́ticos magnético YH e térmico Yt são
determinados a partir do método de renormalização utilizado.
Tomando-se o lagaritmo da equação acima, dividindo-se por N e lembrando
que
N 0 = ld N,
75
(3.15)
e
gN (t, H) = −
kB T
ln [ZN (t, H)] ,
N
(3.16)
obtem-se
g lYt t, lYH H = ld g (t, H) .
(3.17)
A equação (3.21) justifica, de certa forma, a hipótese de escala proposta por Widom
em 1964, propiciando assim a base para o estudo de transições de fases e fenômenos
crı́ticos no espı́rito de Grupo de Renormalização.
Os métodos do Grupo de Renormalização partem do fato de que nas pro-ximidades do ponto crı́tico o comprimento de correlacao ξ é muito maior do que o
parâmetro de rede a, que é a distância mı́nima permitida entre os sitios de uma
dada rede, ou seja, ξ >> a. Assim, segundo Kadanof, é possı́vel diminuirmos o
número de graus de liberdade de um sistema de spins de uma maneira sistemática
e controlada.
3.2
Teoria de Grupo de Renormalização com Aproximação de Campo Efetivo
Aliando a Teoria de Campo Efetivo[4], apresentada no capı́tulo 2, e a técnica do
operador diferencial [5] com as idéias do Grupo de Renormalização [2], formulouse o método de Grupo de Renormalização com aproximação de Campo Efetivo GRCE[6]. Esse método foi desenvolvido inicialmente para o tratamento de sistemas
clássicos [7][8][9]. Observou-se que os resultados obtidos via GRCE eram melhores
comparados aos obtidos pelo método GRCM, usando os mesmos aglomerados. O
método de Grupo de Renormalização com aproximação de Campo Médio (GRCM)
[10] usa as técnicas de Grupo de Renormalização porém, como o próprio nome indica, com aproximação de Campo Médio e por isso traz consigo as inconsistências
ı́ntrinsecas dessa aproximação, sendo assim superada de forma qualitativa e quantitativa pelo método de GRCE. Além disso, o GRCE possui uma convergência mais
76
rápida em relação ao GRCM para os valores das quantidades crı́ticas de interesse.
Em 1992, o método de GRCE foi aplicado de forma pioneira a sistemas
quânticos no modelo de Ising de spin 1/2 com campo transverso [11], onde os resultados superaram os obtidos pelo GRCM [12] [13]. A aplicação de GRCE também
foi realida para os modelo de Heisenberg quântico ferromagnético [14][15], Heisenberg quântico antiferromagnético[9][16][17] e clássico [9][18], e todos os resultados
mostraram-se superiores aos obtidos pelo seu antecessor, o GRCM.
Um ponto muito importante que se soma ao método de GRCE é que este consegue discernir topologias diferentes através do número de coordenação para uma
mesma dimensão, coisa que o GRCM despreza totalmente, retornando os mesmo
valores crı́ticos para redes com número de coordenação diferentes a um mesma dimensão.
Através da técnica do operador diferencial podemos usar equações do tipo
”identidades de Callen-Suzuki” [19],
m = tanh K
X
σ →
−
1+ δ
,
(3.18)
onde a ”Identidade de Calle-Suzuki” acima é um exemplo para o modelo de Ising
para spin 1/2. Com equações deste tipo, como já foi dito, o problema passa a
ser o tratamento das médias de spins, que fornecem relações exatas de todas as
correlações de multi-spins do sistema. Porém, cosiderar todas as correlações, o que
corresponderia ao sistema totalmente real, na prática tornaria o problema insolúvel.
Logo, aproximações devem ser implementadas para que se possa seguir adiante.
A aproximação usada em GRCE é a aproximação de ordem zero, ou de Zernike
[20], que despreza totalmente as correlações de multi-spins, dada por
hσi σj . . . σn i ' hσi ihσj i . . . hσn i.
(3.19)
No entanto, esta aproximação já supera o campo médio usual, pois uma vez que
via campo efetivo as propriedades de cinemática local das variáveis de spins são
rigorosamente incorporadas quando usamos a dentidade de van der Waerden para
spin-1/2, equação (2.12), onde σi2n = 1 e σi2n+1 = σi .
77
No espirı́to do Grupo de Renormalização, com as aproximações citadas é
possı́vel desmembrar as equações do tipo (3.22) para gerarmos equações de estado
fenomenológicas associadas a ”aglomerados” com N 0 e N sı́tios centrais, de modo
que N 0 < N . Lembrando que para a energia livre numa estratégia de Grupo de
Renormalização temos
gN 0 (K 0 , b0 ) = ld gN (K, b) ,
(3.20)
onde K 0 = J 0 /kB T e K = J/kB T são as temperaturas reduzidas para os blocos
com N 0 e N sı́tios centrais, e b0 e b são as magnetizações efeitivas, que substituem o
campo dos spins externos a cada aglomerado. Através das equaçõe (3.24) é possı́vel
determinar as magnetizações
1
mN 0 (K 0 , b0 ) = ld−YH mN (K, b) ,
(3.21)
b0 = ld−YH b.
(3.22)
Sendo assim, obtidas as equações de estado de magnetização para N 0 e N
através da expansão de expressões do tipo (2.20), podemos compará-las com o auxı́lio
da equação (3.25) no limite de b e b0 → 0 com objetivo de investigar as temperaturas
crı́ticas do sistema. Então
∂mN 0 (K 0 , b0 )
∂mN (K, b)
|b0 =0 = ld−YH
|b=0 .
∂b
∂b
(3.23)
Expandindo-se as expressões de mN 0 e mN para pequenos valores de b0 e b , lembrando
que estas expansões são polinômios de b’ e b com potências ı́mpares, de modo que
mN 0 (K 0 , b0 ) = A1N 0 (K 0 )b0 + O(b03 ) + ...,
(3.24)
mN (K, b) = A1N (K)b + O(b3 ) + ...,
(3.25)
A1N 0 (K 0 )b0 + O(b03 ) + ... = ld−YH [A1N (K)b + O(b3 ) + ...,
(3.26)
assim
1
A equação da energia livre para um sistema magnético é g(t, H) = Sdt − mdH ⇒ m(t, H) =
∂g
− ∂H
∂g
0
YH
e m(t0 , H 0 ) = − ∂H
H e S é entropia.
0 , onde H = l
78
e como b0 = ld−YH b,
A1N 0 (K 0 )ld−YH b + O[(ld−YH b)3 ] + ... = ld−YH [A1N (K)b + O(b3 )] + ....
(3.27)
Assim, derivando-se a equação (3.30) em ambos os membros com relação a b, temos
no limite de b → 0
A1N 0 (K 0 )ld−YH = ld−YH A1N (K),
(3.28)
de forma independente do fator de escala ficamos
A1N 0 (K 0 ) = A1N (K).
(3.29)
A equação de igualdade entre os primeiros coeficientes para N 0 e N rendem
uma relação de recorrência, ou como também é chamada, equação de pontos fixos
K 0 = K 0 (K).
(3.30)
As soluções desta relação de recorrência serão candidatos a pontos crı́ticos. Porém,
apenas os pontos fixos identificados como instáveis serão de fato os pontos crı́ticos
procurados, ou seja, quando
K = K 0 = K ∗ = Kc .
(3.31)
Através da equação (3.33) é possı́vel determinar o expoente crı́tico térmico Yt . Vejamos, expandindo K 0 (K) em termos de K em torno de Kc temos
K 0 (K) = Kc +
dK 0
|K ∆K,
dK c
onde ∆K = K − Kc . Como K 0 = ld−Yt K e l =
N
N0
1/d
(3.32)
, temos que
K 0 (K) = Kc + ld−YH ∆K,
(3.33)
dK 0
|K = ld−Yt ,
dK c
(3.34)
logo

⇒ Yt = d 
ln
79
dK 0
|
dK Kc
ln NN0

.
(3.35)
Portanto, com o método GRCE é possı́vel determinar a temperatura crı́tica reduzida
Kc−1 e o expoente crı́tico térmico Yt com boa precisão, uma vez que com a aproximação de campo efetivo o método consegue diferenciar através do número de coordenação z as várias topologias de rede que podem ser usadas para os aglomerados
com N’ e N sı́tios.
Para compreendermos melhor esta técnica, vamos apresentar um exemplo de
aplicação com o modelo de Ising na sua forma mais simples.
3.2.1
Modelo de Ising - GRCE
Consideremos o modelo de Ising ferromagnético unidimensional, cujo Hamiltoniano é dado por
H = −J
X
σi σi+1 .
(3.36)
i
Aqui vamos usar GRCE com N 0 = 1 e N = 2. Sendo assim, temos que via técnica
do operador diferencial as equações de estado para as magnetizações mN 0 e mN são
respectivamente
0
m1 (K ) = hσA i =
* z
Y
→
−
δ
+
(αx + σ1+δ βx ) f (x) |x=0 ,
*
(3.37)
+
Y
Y
σA + σB
m2 (K) = h
i =
(αx + σiA βx ) (αy + σiB βy ) g(x, y) |x=y=0 ,
2
i,B
i,A
(3.38)
onde
f (x) = tanh(x)
g(x, y) =
(3.39)
sinh(x + y)
.
(3.40)
Expandindo-se os produtórios das equações (3.41) e (3.42), e lembrando que apenas
os coeficientes ı́mpares sobreviverão, uma vez que ambas as funções f (x) e g(x, y)
são ı́mpares, temos que os primeiros coeficientes referentes a m1 e m2 , são respectivamente

Az1 = 


z 
1
z−1
 αx
βx f (x) |x=0
(3.41)
80



z − 1   z − 1  z−2
z−1
z−1 z−2
Az2 = 
 [αx βx αy + αx αy βy ]g(x, y) |x=y=0 , (3.42)


1
0
onde z é o número de coordenação, αi = cosh(jDi ) e βx = sinh(jDi ) para i = x, y
e j = K, K 0 , e o termo entre parênteses é uma combinação. Neste caso temos que
z = 2 para A1 e A2 , então
A1 (K 0 ) = 2αx βx f (x) |x=0
(3.43)
A2 (K) = [βx αy + αx βy ]g(x, y) |x=y=0 ,
(3.44)
A1 (K 0 ) = tanh(2K 0 )
sinh(2K)
A2 (K) =
.
cosh(2K) + exp(−2K)
(3.45)
logo
(3.46)
Usando agora a equação de recorrência (3.33) temos que
tanh(2K 0 ) =
sinh(2K)
.
cosh(2K) + exp(−2K)
(3.47)
A equação acima possui dois pontos fixos K ∗ = 0 e K ∗ = ∞. Porém, para
determinar qual destes pontos equivale a Kc , ou seja, representa a solução fı́sica,
precisamos analisar esses pontos através de um diagrama de fluxo. Para melhor visualizarmos o diagrama, façamos as transformações t0 = tanh(2K 0 ) e t = tanh(2K),
daı́
t0 =
t
.
2−t
(3.48)
Aqui, os pontos fixos se tornam t∗ = 0(K ∗ = 0) e t∗ = 1(K ∗ = ∞).
O diagrama de fluxo está representado pela figura ??, motrando que o ponto
fixo t∗ = 1 é instável, nos rendendo o ponto crı́tico fı́sico Kc = ∞, que por sua vez
significa Tc = 0 como esperado.
No caso do expoente crı́tico, uma vez que não podemos explicitar K 0 , procedemos da seguinte forma
dK 0
|K =
dK c
∂A2 (K)
|Kc
∂K
.
∂A1 (K 0 )
|
K
0
c
∂K
81
(3.49)
Figura 3.2: Diagrama de fluxo.
Assim, pelas equações (3.50) e (3.52)
dK 0
1 + e−4Kc
|Kc =
= 1,
dK
1 + 3e−2Kc
(3.50)
portanto, para d = 1, pela equação (3.38), temos
Yt = 0
(3.51)
Com este exemplo fica claro como o formalismo adotado pelo método de GRCE
funciona.
3.3
Teoria de Grupo de Renormalização com a
Nova Aproximação de Campo Efetivo
Como visto, a nova aproximação de Campo Efetivo consiste em introduzir no
método GRCE, no processo de desacoplamento dos spins durante a expansão da
média dos produtórios das equações de estado para as magnetizações de aglomerados com N 0 e N sı́tios centrais, o novo desacoplamento com a função de correlação
F = hσA σB i. De modo análogo ao que ocorreu com a implementação da função correlação F na Nova Teoria de Campo Efetivo, na Teoria de Grupo de Renormalização
com a nova aproximação de Campo Efetivo -NGRCE, o tratamento envolverá duas
equações de estado para cada aglomerado. Ou seja, além da equação de recorrência
obtida no espı́rito do Grupo de Renormalização onde K 0 = K 0 (K), equação (3.35),
teremos uma segunda equação com referência a função correlação, que terá a função
82
de investigar se o ponto fixo encontrado através da equação de pontos fixos é um
ponto instável, e garantindo assim se este é ponto é de fato o ponto crı́tico desejado.
3.3.1
Aplicações e Resultados
O novo método foi aplicado aos modelos de Ising, XY quântico e Heisenberg
isotrópico quântico, numa rede cúbica simples com N 0 = 1 e N = 2.
Para o modelo de Ising com um único sı́tio central temos que numa rede cúbica
o número de coordenação z é igual a 6. Sendo assim, pela equação (2.20), a equação
de estado para a manetização fica
m1 (K 0 ) =
* z
Y
→
−
δ
+
(αx + σ1+δ βx ) f (x) |x=0 ,
(3.52)
onde continuamos com f (x) = tanh(x). No entanto, para N 0 = 1, a função correlação F1 = 0, uma vez que existe apenas um sı́tio central e portanto não há um
outro sı́tio com o qual ele possa se correlacionar.
Agora vamos trabalhar com o aglomerado com dois sı́tios centrais. A magnetização hσA i fica
m2 (K) =
+
*
Y
Y
i,A
i,B
(αx + σiA βx )
(αy + σiB βy ) g(x, y) |x=y=0 ,
(3.53)
para g(x, y) dado pela equação (2.42). Neste caso a função correlação, F = hσA σB i,
é diferente de zero e é dada por
*
F2 =
+
Y
Y
i,A
i,B
(αx + σiA βx )
(αy + σiB βy ) h(x, y) |x=y=0 ,
(3.54)
onde h(x, y) é igual a equação (2.43). Desenvolvendo as equações (3.56),(3.57) e
(3.58), de forma análoga as (2.44) e (2.45), onde nos produtórios para N = 2 para
determinados pares de spin teremos Fz = hσAz σBz i, encontramos
m1 = A1 (K 0 )m + A3 (K 0 )m3 + A5 (K 0 )m5 ,
(3.55)
m2 = A1 (K, Fz )m + A3 (K, Fz )m3 + A5 (K, Fz )m5 ,
(3.56)
83
F2 = B0 (K, Fz ) + B2 (K, Fz )m2 + B4 (K, Fz )m4 + B6 (K, Fz )m6 .
(3.57)
lembrando que no caso do modelo de Heisenberg e XY precisaremos da função para
a correlação Fx , então
Fx = B0l (K, Fz ) + B2l (K, Fz )m2 + B4l (K, Fz )m4 + B6l (K, Fz )m6 .
(3.58)
Dependendo do modelo usado, as funções que acompanham as médias nos produtórios [f (x), g(x, y), h(x, y) e l(x, y)] podem mudar, porém as médias continuam
iguais pois elas dependem apenas do número de sı́tios centrais e da função correlação Fz entre os primeiros vizinhos, que é igual para todos os modelos, uma vez
que todos passaram pela aproximação axial. Devemos apenas ter atenção com os
coeficientes do bloco com N = 2, que dependerão tanto de K quanto de F2 , pois
as equações de m2 e F2 são auto-consistentes. Aqui F2 corresponde a função correlação total, ou seja, compreende todas as componentes, de modo que este deverá
se adequar para cada modelo. Para o modelo de Ising F2 = F = Fz , para o modelo
planar F2 = F = Fx + Fz e finalmente para o modelo de Heisenberg anisotrópico
F2 = F = 2(1 − ∆)Fx + Fz , como analisamos no capı́tulo 2.
Pelo formalismo de GRCE os termos usados serão os primeiros coeficientes de
m1 (K 0 ) e m2 (K) que são dados por
A1 (K 0 ) = ±6αx5 0 βx0 f (x) |x=0 ,
A2 (K, F2 ) = [5(αx5 αy4 βy ± αx4 βx αy5 )
(3.59)
(3.60)
+ 16F2 (αx4 βx αy3 βy2 ± αx3 βx2 αy4 βy )
+ 18F22 (αx3 βx2 αy2 βy3 ± αx2 βx3 αy3 βy2 )
+ 8F23 (αx2 βx3 αy βy4 ± αx βx4 αy2 βy3 )
+ F24 (αx βx4 βy5 ± βx5 αy βy4 )]g(x, y) |x=y=0 ,
onde nas equações (3.62) e (3.63), o sinal + é para o caso ferro e − para o caso
antiferro.
84
Além das magnetizações, temos ainda a equações para os primeiros coeficientes
de F2 , B0 ,( lembrando que F2 inclui também o primeiro termo de Fx que é dado po
B0l ) pois precisamos fazer b → 0
B0 (K, Fz ) = [αx5 αy5 + 4F2 αx4 βx αy4 βy
(3.61)
+ 6F22 αx3 βx2 αy3 βy2 + 4F23 αx2 βx3 αy2 βy3
+ F24 αx βx4 αy βy4 ]h(x, y) |x=y=0 .
B0l (K, Fz ) = [αx5 αy5 + 4F2 αx4 βx αy4 βy
(3.62)
+ 6F22 αx3 βx2 αy3 βy2 + 4F23 αx2 βx3 αy2 βy3
+ F24 αx βx4 αy βy4 ]l(x, y) |x=y=0 .
Com os coeficientes em mãos , pela equação (3.32) fizemos
f 1 = A1 (K 0 ) − A2 (K, F2 ) = 0
(3.63)
f 2 = B0 (K, F2 ) − F2 = 0,
(3.64)
e com o auxı́lio do método computacional de Newton-Raphson[21], procuramos as
raı́zes que satisfaziam ambas as equações (3.67) e (3.68) simultaneamente, o que nos
retorna o valor fı́sico da temperatura reduzida crı́tica Kc−1 = 3.031 para os casos
ferro e KN−1 = 3.411 para o antiferro.
O mesmo processo foi realizado para os modelos XY e Heisenberg isotrópico,
onde chamamos a atenção para a mudança das funções g(x, y), h(x, y) e l(x, y), que
para o caso do modelo XY são dadas respectivamente pelas equações (2.55), (2.56)
e (2.57), e para o modelo de Heisenberg pelas equações (2.67), (2.68) e (2.69), para
∆ = 0.0, respectivamente.
Os valores de temperatura crı́tica reduzida obtidos para os caso ferro e antiferromagnético no presente trabalho pelo método NGRCE estam expostos na tabela
3.1, onde uma comparação com os resultados obtidos via GRCM, GRCE e expansões
em série, pode ser realizada.
85
Tabela 3.1: Valores de temperatura crı́tica reduzida através dos métodos de Grupo
de Renormalização de modelos quânticos para uma rede cúbica simples.
modelo
método
Kc−1
KN−1
Ising
GRCM [11]
4.926
4.926
GRCE [11]
4.85
4.85
NGRCE
4.534
4.534
Séries [11]
4.51
4.51
GRCM [22]
4.47
4.47
GRCE [22]
4.43
4.43
NGRCE
3.949
3.949
Séries [22]
4.00
4.00
GRCM [22]
3.64
4.06
GRCE [22]
3.69
4.09
NGRCE
3.031
3.411
Séries [22]
3.36
3.59
XY Quântico
86
modelo Heisenberg anisotrópico tridimensional via NGRCE.
O diagrama de fase com o auxı́lio da teoria do Grupo de Renormalização,
figura 3.3, mostra o comportamento da temperatura crı́tica reduzida K −1 em relação
ao parâmetro de anisotropia ∆.
Obtemos também os expoentes crı́ticos para cada modelo a partir de equação
(3.39), levando em conta os valores de temperatura crı́tica obtidos via NGRCE.
Usamos dois tipos de fatores de escala para determinar os expoentes crı́ticos Yt . O
fator de escala L = (N/N 0 )1/d [10] corresponde a uma definição tradicional baseada
na comparação entre “clusters”de tamanhos diferentes através do número de spins.
No entanto, existe uma outra proposta para o fator de escala sugerida por Slotte[23].
A definição de Slotte para o fator de escala baseia-se no número de interações e para
87
Tabela 3.2: Valores do expoente crı́tica térmico obtidos através de métodos do Grupo
de Renormalização de modelos quânticos para uma rede cúbica simples. Os valores
entre parênteses são obtidos usando o fator de escala de Slotte.
modelo
método
YtF
YtAF
Ising
GRCM [11]
0.649(1.46)
0.649(1.46)
GRCE [11]
0.726(1.63)
0.726 (1.63)
NGRCE
0.661(1.49)
0.661(1.49)
Séries [11]
1.59
1.59
GRCM [22]
0.598(1.34)
0.598 (1.34)
GRCE [22]
0.670 (1.51)
0.670 (1.51)
NGRCE
0.604(1.36)
0.604(1.36)
Séries [22]
1.49
1.49
GRCM [24]
0.450 (1.01)
0.450 (1.01)
GRCE [24]
0.610 (1.37)
0.610 (1.37)
NGRCE
0.470(1.06)
0.432(0.975)
Séries [24]
1.389
1.389
XY Quântico
caso de “clusters”com N 0 = 1 e N = 2 spins é dado por L =
q
(9d/9d − 5). Na
tabela 3.2 apresentamos os valores de Yt com os fatores de escala L = (N/N 0 )1/d e
L=
q
(9d/9d − 5) que correpondem a NGRCE e NGRCE-Slotte, respectivamente.
Com os resultados desejados obtidos estamos prontos para discutı́-los no
capı́tulo de conclusão que segue.
88
[1] Renormalization Group and Critical Phenomena, Kadanoff Scaling Picture
Phys.Rev. B (1971).
[2] B. Widom, J. Chim. Phys. 43, 3892 (1965); J. Chim. Phys. 43, 3898 (1965).
[3] Kadanoff.
[4] H.A. Bethe, Proc. Roy. Soc. London A 150, 552(1935).
[5] R. Honmura and T. Kaneyoshi, J. Phys. C 12, 3979 (1979).
[6] J. Ricardo de Sousa e I. P. Fittipaldi, J. Appl. Phys. 75, 3835 (1994).
[7] Tese de Mestrado de Edgar Bublitz Filho, apresentado no Departamento de
Fı́sica da UFAM (2003).
[8] I. P. Fittipaldi, J. Mag. Mag. Mat. 131, 43 (1994); J. Ricardo de Sousa, Phys.
Lett. A 216,321 (1996).
[9] J. Ricardo de Sousa e D. F. Albuquerque, Physica A 236, 419 (1997).
[10] J. O. Indekeu, A. Maritan e A. L. Stella, J. Phys. A 15, L291 (1982).
[11] I. P. Fittipaldi e D. F. de Albuquerque, J. Mag. Mag. Mat. 104-107, 236
(1992).
[12] J. Ricardo de Sousa, Physica A 256, 383 (1998).
[13] C. Z. Yang e W. J. Song, Phys. St. Solidi B 166, 269 (1991).
[14] J. A. Plascak, J. Phys. A 17, L597 (1984).
[15] J. Ricardo de Sousa e I. P. Fittipaldi, J. Appl. Phys. 75, 5835 (1994).
[16] J. Ricardo de Sousa e Ijanı́lio G. Araújo, J. Mag. Mag. Mat. 202, 231 (1999).
[17] Ijanı́lio G. Araújo e J. Ricardo de Sousa, Phys. Rev. B (1999).
[18] J. Ricardo de Sousa e D. F. Albuquerque, Physica A 236, 419 (1997).
[19] H. B. Callen, Phys. Lett. 4, 161 (1963).
[21] Lima, E. Lages, Curso de Análise, Vol.2, IMPA, R.J., Projeto Euclides.
[22] J. Ricardo de Sousa, Ijanı́lio G. Araújo e J.A.Plasck. Croossover of the antiferromagnet Heisenberg to XY model, Phys. Rev. A, 278, (2000).
[23] P.A.Slotte, J.Phys. A, 20(1987).
[24] J. Ricardo de Sousa, Critical Behavior of the quantum spin 1/2 anisotropic
Heisenberg model, Phys. Rev. A, 259, (1998).
90
Capı́tulo 4
Conclusão
4.1
Discussão dos Resultados e Perspectivas Futuras
Nesta dissertação implementamos um novo tipo de desacoplamento F = hσA ·σB i,
proposto por este trabalho, às teoria de Campo Efetivo e Grupo de Renormalização
com aproximação de Campo Efetivo, com o intuı́to de melhorar valores de temperatura crı́tica e de expoente crı́tico térmico, no caso do grupo de renormalização.
Apresentamos na tabela 4.1 uma retrospectiva dos resultados obtidos para a temperatura crı́tica reduzida dos capı́tulos 2 e 3. Através desta é possı́vel identificar um
certa convergência das temperaturas crı́ticas encontradas com o nosso método para
valores próximos aos obtidos pelo método de expansão em série. Salientamos que os
valores de KC−1 e KN−1 para os modelos XY e Heisenberg através do método NGRCE
são inferiores aos obtidos pelo método de Séries, porém próximos. Associamos esse
fenômeno a forma como definimos nossa função correlação entre os sı́tios centrais
para cada modelo e a aproximação axial feita para os primeiros vizinhos da rede. Na
figura 4.1 podemos visualizar uma comparação entre os diagramas de fase, referentes
aos métodos NTCE e NGRCE, respectivamente, onde verificamos que os diagramas
obtidos pelos nossos métodos apresentam o comportmento qualitativo correto e de
modelo Heisenberg anisotrópico tridimensional via NGRCE, NTCE e TCE.
acordo com o esperado.
Analisando os nossos resultados para o expoente crı́tico térmico através da
tabela 3.2, chegamos a concusão de que os valores obtidos usando a proposta de
Slotte para o fator de escala são superiores aos que utilizam a definição tradicional
de fator de escala, pois estes estão em ótima concordância com o método de expansão
em série. Os ótimos resultados para os expoentes crı́ticos térmicos usando o fator
de escala de Slotte, que se baseia no número de interações, pode ser encarado como
uma resposta a inclusão de interações através da função correlação.
Atribuimos o bom desempenho do método ao fato deste distinguir as correlações entre os sı́tios centrais e os pares de primeiros vizinhos tornando nosso
92
Tabela 4.1: Resultados da tamperatura crı́tica reduzida para uma rede cúbica com
dois sı́tios centrais através de diversos métodos.
modelo
método
Kc−1
KN−1
Ising
ACM
5.847
5.847
TCE2
5.039
5.039
NTCE
5.000
5.000
GRCM
4.926
4.926
GRCE
4.850
4.850
NGRCE
4.534
4.534
Série
4.511
4.511
ACM
5.787
5.787
TCE2
4.980
4.980
NTCE
4.941
4.941
GRCM
4.470
4.470
GRCE
4.430
4.430
NGRCE
3.949
3.949
Série
4.000
4.000
ACM
5.719
5.771
TCE2
4.891
4.947
NTCE
4.860
4.898
GRCM
3.69
4.09
GRCE
3.64
4.06
NGRCE
3.031
3.411
Série
3.36
3.59
XY quântico
Heisenberg quântico
93
desacoplamento um argumento fı́sico bastante confiável.
Novas propostas podem ser feitas com base neste novo desacolamento para
todo tipo de teoria que trabalhe com médias de operadores de spins, que como
sabemos necessitam ser desacoplados em algum momento da teoria. A partir desta
dissertação pode-se propor a investigação de dimensões inferiores a estudada aqui,
usando por exemplo uma rede quadrada d = 2, com o objetivo de comparar os
futuros resultados com valores exatos encontrados na literatura, a fim de determinar
de forma mais ampla a eficácia do novo desacoplamento e o real impacto deste ás
teorias de spins.
94

universidade federal do amazonas instituto de - PPGFIS

Transcrição

Documentos relacionados

Parônimas e homônimas mais comuns são:

TICO (Tableros Interactivos de Comunicación) (http://www

P2 F´ısica III

Bon Jovi - It`s My Life

Gabarito da SUB

Sabendo que 1 pé tem 30,48 cm e que 1 polegada tem 2,54 cm

Lista 6

AV - Profmat

Medida do campo magnético terrestre

Clique aqui para ver a coluna.