história dos números

HISTÓRIA DOS NÚMEROS
A noção de número e suas extraordinárias generalizações estão intimamente ligadas à história da humanidade. E a
própria vida está impregnada de matemática: grande parte das comparações que o homem formula, assim como
gestos e atitudes cotidianas, aludem conscientemente ou não a juízos aritméticos e propriedades geométricas. Sem
esquecer que a ciência, a indústria e o comércio nos colocam em permanente contato com o amplo mundo da
matemática.
A LINGUAGEM DOS NÚMEROS
Em todas as épocas da evolução humana, mesmo nas mais atrasadas, encontra-se no homem o sentido do número.
Esta faculdade lhe permite reconhecer que algo muda em uma pequena coleção (por exemplo, seus filhos, ou suas
ovelhas) quando, sem seu conhecimento direto, um objeto tenha sido retirado ou acrescentado.
O sentido do número, em sua significação primitiva e no seu papel intuitivo, não se confunde com a capacidade de
contar, que exige um fenômeno mental mais complicado. Se contar é um atributo exclusivamente humano, algumas
espécies de animais parecem possuir um sentido rudimentar do número. Assim opinam, pelo menos, observadores
competentes dos costumes dos animais. Muitos pássaros têm o sentido do número. Se um ninho contém quatro
ovos, pode-se tirar um sem que nada ocorra, mas o pássaro provavelmente abandonará o ninho se faltarem dois
ovos. De alguma forma inexplicável, ele pode distinguir dois de três.
O corvo assassinado
Um senhor feudal estava decidido a matar um corvo que tinha feito ninho na torre de seu castelo. Repetidas vezes
tentou surpreender o pássaro, mas em vão: quando o homem se aproximava, o corvo voava de seu ninho, colocavase vigilante no alto de uma árvore próxima, e só voltava à torre quando já vazia. Um dia, o senhor recorreu a um
truque: dois homens entraram na torre, um ficou lá dentro e o outro saiu e se foi. O pássaro não se deixou enganar
e, para voltar, esperou que o segundo homem tivesse saído. O estratagema foi repetido nos dias seguintes com dois,
três e quatro homens, sempre sem êxito. Finalmente, cinco homens entraram na torre e depois saíram quatro, um
atrás do outro, enquanto o quinto aprontava o trabuco à espera do corvo. Então o pássaro perdeu a conta e a vida.
As espécies zoológicas com sentido do número são muito poucas (nem mesmo incluem os monos e outros
mamíferos). E a percepção de quantidade numérica nos animais é de tão limitado alcance que se pode desprezá-la.
Contudo, também no homem isso é verdade. Na prática, quando o homem civilizado precisa distinguir um número
ao qual não está habituado, usa conscientemente ou não - para ajudar seu sentido do número - artifícios tais como a
comparação, o agrupamento ou a ação de contar. Essa última, especialmente, se tornou parte tão integrante de
nossa estrutura mental que os testes sobre nossa percepção numérica direta resultaram decepcionantes. Essas
provas concluem que o sentido visual direto do número possuído pelo homem civilizado raras vezes ultrapassa o
número quatro, e que o sentido tátil é ainda mais limitado.
Limitações vêm de longe
Os estudos sobre os povos primitivos fornecem uma notável comprovação desses resultados. Os selvagens que não
alcançaram ainda o grau de evolução suficiente para contar com os dedos estão quase completamente disprovidos
de toda noção de número. Os habitantes da selva da África do Sul não possuem outras palavras numéricas além de
um, dois e muitos, e ainda essas palavras estão desvinculadas que se pode duvidar que os indígenas lhes atribuam
um sentido bem claro.
Realmente não há razões para crer que nossos remotos antepassados estivessem mais bem equipados, já que todas
as linguagens europeias apresentam traços destas antigas limitações: a palavra inglesa thrice, do mesmo modo que a
palavra latina ter, possui dois sentidos: "três vezes" e "muito". Há evidente conexão entre as palavras latinas tres
(três) e trans (mais além). O mesmo acontece no francês: trois (três) e très (muito).
Como nasceu o conceito de número? Da experiência? Ou, ao contrário, a experiência serviu simplesmente para
tornar explícito o que já existia em estado latente na mente do homem primitivo? Eis aqui um tema apaixonante
para discussão filosófica.
Julgando o desenvolvimento dos nossos ancestrais pelo estado mental das tribos selvagens atuais, é impossível
deixar de concluir que sua iniciação matemática foi extremamente modesta. Um sentido rudimentar de número, de
alcance não maior que o de certos pássaros, foi o núcleo do qual nasceu nossa concepção de número. Reduzido à
percepção direta do número, o homem não teria avançado mais que o corvo assassinado pelo senhor feudal.
Todavia, através de uma série de circunstâncias, o homem aprendeu a completar sua percepção limitada de número
com um artifício que estava destinado a exercer influência extraordinária em sua vida futura. Esse artifício é a
operação de contar, e é a ele que devemos o progresso da humanidade.
O número sem contagem
Apesar disso, ainda que pareça estranho, é possível chegar a uma ideia clara e lógica de número sem recorrer a
contagem. Entrando numa sala de cinema, temos diante de nós dois conjuntos: o das poltronas da sala e o dos
espectadores. Sem contar, podemos assegurar se esses dois conjuntos têm ou não igual número de elementos e, se
não têm, qual é o de menor número. Com efeito, se cada assento está ocupado e ninguém está de pé, sabemos sem
contar que os dois conjuntos têm igual número. Se todas as cadeiras estão ocupadas e há gente de pé na sala,
sabemos sem contar que há mais pessoas que poltronas.
Esse conhecimento é possível graças a um procedimento que domina toda a matemática, e que recebeu o nome de
correspondência biunívoca. Esta consiste em atribuir a cada objeto de um conjunto um objeto de outro, e continuar
assim até que um ou ambos os conjuntos se esgotem.
A técnica de contagem, em muitos povos primitivos, se reduz precisamente a tais associações de ideias. Eles
registram o número de suas ovelhas ou de seus soldados por meio de incisões feitas num pedaço de madeira ou por
meio de pedras empilhadas. Temos uma prova desse procedimento na origem da palavra "cálculo", da palavra latina
calculus, que significa pedra.
A ideia de correspondência
A correspondência biunívoca resume-se numa operação de "fazer corresponder". Pode-se dizer que a contagem se
realiza fazendo corresponder a cada objeto da coleção (conjunto), um número que pertence à sucessão natural:
1,2,3...
A gente aponta para um objeto e diz: um; aponta para outro e diz: dois; e assim sucessivamente até esgotar os
objetos da coleção; se o último número pronunciado for oito, dizemos que a coleção tem oito objetos e é um conjunto
finito. Mas o homem de hoje, mesmo com conhecimento precário de matemática, começaria a sucessão numérica
não pelo um mas por zero, e escreveria 0,1,2,3,4...
A criação de um símbolo para representar o "nada" constitui um dos atos mais audaciosos da história do
pensamento. Essa criação é relativamente recente (talvez pelos primeiros séculos da era cristã) e foi devida às
exigências da numeração escrita. O zero não só permite escrever mais simplesmente os números, como também
efetuar as operações. Imagine o leitor - fazer uma divisão ou multiplicação em números romanos! E no entanto,
antes ainda dos romanos, tinha florescido a civilização grega, onde viveram alguns dos maiores matemáticos de
todos os tempos; e nossa numeração é muito posterior a todos eles.
Do relativo ao absoluto
Pareceria à primeira vista que o processo de correspondência biunívoca só pode fornecer um meio de relacionar, por
comparação, dois conjuntos distintos (como o das ovelhas do rebanho e o das pedras empilhadas), sendo incapaz de
criar o número no sentido absoluto da palavra. Contudo, a transição do relativo ao absoluto não é difícil.
Criando conjuntos modelos, tomados do mundo que nos rodeia, e fazendo cada um deles caracterizar um
agrupamento possível, a avaliação de um dado conjunto fica reduzida à seleçào, entre os conjuntos modelos,
daquele que possa ser posto em correspondência biunívoca com o conjunto dado.
Começou assim: as asas de um pássaro podiam simbolizar o número dois, as folhas de um trevo o número três, as
patas do cavalo o número quatro, os dedos da mão o número cinco. Evidências de que essa poderia ser a origem dos
números se encontram em vários idiomas primitivos.
É claro que uma vez criado e adotado, o número se desliga do objeto que o representava originalmente, a conexão
entre os dois é esquecida e o número passa por sua vez a ser um modelo ou um símbolo. À medida que o homem foi
aprendendo a servir-se cada vez mais da linguagem, o som das palavras que exprimiam os primeiros números foi
substituindo as imagens para as quais foi criado. Assim os modelos concretos iniciais tomaram a forma abstrata dos
nomes dos números. É impossível saber a idade dessa linguagem numérica falada, mas sem dúvida ela precedeu de
vários milhões de anos a aparição da escrita.
Todos os vestígios da significação inicial das palavras que designam os números foram perdidos, com a possível
excessão de cinco (que em várias línguas queria dizer mão, ou mão estendida). A explicação para isso é que,
enquanto os nomes dos números se mantiveram invariáveis desde os dias de sua criação, revelando notável
estabilidade e semelhança em todos os grupos linguísticos, os nomes dos objetos concretos que lhes deram
nascimento sofreram uma metamorfose completa.
Sistema de numeração Romano
A utilização dos números romanos.
Esse Sistema de numeração é o mais usado nas escolas, depois do sistema de
numeração decimal. E também na representação de:
• designação de séculos e datas;
• indicação de capítulos e volumes de livros;
• mostradores de alguns relógios, etc.
No Sistema de Numeração Romano é utilizado sete letras (símbolos) que representam os seguintes números:
1
I
5
V
10
X
50
L
100
C
500
D
1000
M
Para formar outros números romanos utiliza-se as letras acima repetindo-as uma, duas ou três vezes (nunca
mais de três). Sendo que as letras V, L e D não podem ser repetidas.
2
II
3
III
20
XX
30
XXX
200
CC
300
CCC
2000
MM
3000
MMM
Para formar números diferentes dos citados até agora, devemos saber que as letras I, X e C, colocam-se à
esquerda de outras de maior valor para representar a diferença deles, obedecendo às seguintes regras:
♦ I coloca-se à esquerda de V ou X
♦ X coloca-se à esquerda de L ou C
♦ C coloca-se à esquerda de D ou M
Se colocarmos um símbolo de maior valor primeiro que o de menor valor, somamos os números assim:
VI ( 5 + 1)
6
XIII (10 + 3)
13
LIV (50 + 4)
54
CX (100 + 10)
110
Se colocarmos um símbolo de menor valor primeiro que o de maior valor, diminuímos os números assim:
IV (5 - 1)
4
IX (10 - 1)
9
XL (50 – 10)
40
XC (100 – 10)
90
CD (500 – 100)
400
CM (1000 – 100)
900
Sistema de Numeração Egípcios
Símbolos Egípcios.
Os egípcios da Antigüidade criaram um sistema muito interessante para escrever números, baseando em
agrupamentos. Essa idéia de agrupar foi utilizada nos sistemas mais antigos de numeração.
Cada unidade era representada por :
1
2
I
3
II
III
4
5
6
7
8
9
II
II
II
II
I
III
III
III
III
I
IIII
IIII
IIII
IIII
I
Ao chegar às dezenas os foram substituídos por ∩:
10
11
12
13
14
15
∩IIII
∩III
II
∩II
∩
∩I
∩III
16
∩III
III
17
18
19
∩III
IIII
∩IIII
IIII
∩IIII
IIIII
Para representar a centena os ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩ foram substituídos por
escreviam o 200, o 300, o 400 e assim até 900.
20
21
∩∩
∩∩I
, juntando vários símbolos de 100
Dez marcas de 100 eram trocadas pelo símbolo
, assim a cada marca de dez mudamos o símbolo.
Veja os símbolos usados pelos egípcios e o que significa cada marca.
Exemplo:
O número 5068 para os egípcios seria escrito assim:
∩∩∩∩∩∩ IIIIIIII ou seja 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 1000 + 10+ 10+ 10+ 10+ 10+ 10
+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1
Sistema de Numeração Babilônico
Todos os números babilônicos representados simbologicamente.
Quem pensa que não utilizamos o sistema babilônico, está enganado, pois a divisão das 24 horas, uma hora
em 60 minutos e os minutos em 60 segundos, é uma herança dos babilônicos. O sistema babilônico utiliza a
base 60 para a formação de seus numerais.
O sistema sexagesimal, também conhecido como sistema de numeração babilônico, necessita de 60
algarismos diferentes de 0 a 59. Para compor esses números eles usam a base 10 (utilizada no sistema de
numeração decimal, o utilizado atualmente), para associar símbolos que correspondiam aos 60 “algarismos”
necessários.
Veja figuras abaixo:
Símbolos que representam os números de 1 a 10.
Agora para escrever os números de 2 a 9 utiliza-se os mesmos símbolos, mas dispostos de uma forma
diferente:
Para representar os números 10, 20, 30, 40 e 50 utiliza-se o símbolo do numeral 10, mas dispostos de forma
diferentes:
Exemplo:
Como ficaria o número 45?
O zero? Os babilônios já tinham o conceito do zero e, como esse não era nenhuma quantidade, indicavam-no
com um espaço vazio.
O Sistema de Numeração Maia
No sistema de numeração maia os algarismos são representados por símbolos, os símbolos
utilizados são pontos e barras horizontais.
O sistema de numeração Maia era baseado em símbolos
No decorrer da história existem relatos de vários sistemas de numeração elaborados pelas grandes
civilizações. Os mais conhecidos são: egípcio, babilônico, romano, chinês, o nosso atual sistema
denominado decimal ou indo-arábico, e o dos povos Maias. Este último foi adotado pela civilização précolombiana e consiste num sistema de numeração vigesimal, isto é, de base vinte. De acordo com relatos
históricos, o sistema é vigesimal porque possui como base a soma dos números de dedos das mãos e dos pés.
No sistema de numeração Maia, os algarismos são baseados em símbolos. Os símbolos utilizados são o
ponto e a barra horizontal, e no caso do zero, uma forma oval parecida com uma concha. A soma de cinco
pontos constitui uma barra, dessa forma, se usarmos os símbolos maias para escrever o numeral oito,
utilizaremos três pontos sobre uma barra horizontal.
Os números 4, 5 e 20 eram importantes para os Maias, pois eles tinham a ideia de que o 5 formava uma
unidade (a mão) e o número 4 estava ligado à soma de quatro unidades de 5, formando uma pessoa (20
dedos). De acordo com a história, os cálculos maias foram os primeiros a utilizar a simbologia do zero no
intuito de demonstrar um valor nulo. Também é atribuído ao sistema de numeração Maia a organização dos
números em casas numéricas.
Sistema de Numeração Decimal
Como escrever um numeral no Sistema Decimal.
O sistema de numeração que normalmente utilizamos é o sistema de numeração decimal, pois os
agrupamentos são feitos de 10 em 10 unidades.
Os símbolos matemáticos utilizados para representar um número no sistema decimal são chamados de
algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, que são utilizados para contar unidades, dezenas e centenas. Esses
algarismos são chamados de indo-arábico porque tiveram origem nos trabalhos iniciados pelos hindus e
pelos árabes.
Com os algarismos formamos numerais (Numeral é o nome dado a qualquer representação de um
número).
Veja um exemplo de como contar o conjunto de bolinhas a seguir, agrupando-as de 10 em 10:
Igual a 35 bolinhas.
23 grupos de
5
mais
10 bolinhas
bolinhas
3 x 10
+
5
30
+
5
A Partir do agrupamento de 10 em 10 surgiu a primeira definição: o grupo de dez unidades recebe o nome
de dezena. Assim cada grupo de 10 dezenas forma uma centena. Os grupos de 1, 10, 100 elementos são
chamados de ordens. Cada ordem forma um novo grupo denominado classe.
Exemplos:
• O número 352 possui 3 ordens e uma classe.
352
cdu
• O número 2 698 possui duas classes e quatro ordens.
2
698
Classe dos milhares
Classe das unidades
2 → Ordem das unidades de milhar
6 → Ordem das centenas
9 → Ordem das dezenas
8 → Ordem das unidades
Toda classe tem a ordem da centena (c), dezena (d) e unidade (u), observe o quadro a seguir:
A partir daí fica mais fácil a leitura dos números:
• 2 351: dois mil trezentos e cinqüenta e um.
• 30 423 048: Trinta milhões, quatrocentos e vinte e três mil e quarenta e oito.
• 246 102 025: Duzentos e quarenta e seis milhões cento e dois mil e vinte e cinco.
CLASSES E ORDENS: a tabela a seguir mostra as classes e ordens dos números.
Depois da classe dos bilhões temos: classes dos trilhões, classes dos Quatrilhões, classes dos quintilhões, e assim por
diante.
Leitura e escrita dos números inteiros

Na leitura de um número com vários algarismos, fazem-se grupos de três algarismos, da direita para a
esquerda.
O último grupo da esquerda pode ficar com um, dois ou três algarismos.

Cada grupo de algarismos representa uma classe.
Da direita para a esquerda:
- A primeira classe é a das unidades.
- A segunda classe é a dos milhares.
- A terceira classe é a dos milhões.
centenas
dezenas
unidades
cent. de
milhar
dez. de
milhar
unid. de
milhar
centenas
dezenas
unidades
5
3
2
6
9
3
4
1
7
classe dos milhões
classe dos milhares
classe das unidades
532 milhões, 693 milhares, 417 unidades

Em cada classe há três ordens, unidades, dezenas e centenas.

Em todos os números inteiros, o primeiro algarismo da direita representa a ordem das unidades.

As classes têm de ser formadas por três algarismos, excepto a última, a da esquerda, que pode ter só dois
ou um algarismos.
Exemplos de leitura e escrita de números
a) 275: duzentos e setenta e cinco.
b) 1.246: Um mil, duzentos e quarenta e seis.
c) 14.809: catorze mil, oitocentos e nove.
d) 77.777: setenta e sete mil, setecentos e setenta e sete.
d) 245.709: duzentos e quarenta e cinco mil, setecentos e nove.
e) 889.626: oitocentos e oitenta e nove mil, seiscentos e vinte seis.
f) 2.505.812: dois milhões, quinhentos e cinco mil, oitocentos e doze.
g) 68.909.531: sessenta e oito milhões, novecentos e nove mil, quinhentos e trinta e um.
h) 489.645.789: quatrocentos e oitenta e nove milhões, seiscentos e quarenta e cinco mil, setecentos e oitenta e
nove.
i) 2.506.000.485: dois bilhões, quinhentos e seis milhões, quatrocentos e oitenta e cinco.
j) 156.451.489.056.489: cento e cinquenta e seis trilhões, quatrocentos e cinquenta e um bilhões, quatrocentos e
oitenta nove milhões, cinquenta e seis mil e quatrocentos e oitenta e nove.
 Pratique: Escreva por extenso os números a seguir:
a) 125:
b) 2.222:
c) 45.601:
d) 89.999:
e) 415.203:
f) 789.654:
g) 15.415.852:
h) 222.222.222:
i) 845.603.007:
j) 3.802.615.023:
k) 77.506.321.815:
l) 111.045.333.789:
m) 32.758:
n) 489.652:
o) 47.984:
p) 305.745:
q) 788.654:
r) 2.784.523:
s) 23.745.899:
t) 156.856.987:
u) 222.222.222:
v) 456.456.485.896:
w) 1.026.159.753.489:
x) 22.022.022.022.022:
y) 159.456.852.489.623:
z) 487.856.963.852.741:
 Escreva 30 números diferentes, desde pequenos valores até valores “gigantes” e treine a escrita dos números.
 Determine o valor posicional do algarismo 5, em relação ao exercício anterior.
(exemplo: na letra e, o algarismo 5 vale 5.000, e assim por diante)
 Exemplos de escrita aditiva (Escrita Aditiva: cada número possui algarismos com valores posicionais distintos.
Através destes valores posicionais podemos escrever qualquer número através de uma soma).
a)1210 2
b)48 408
c)148100 408
d)876 800 70 6
e)45.875 40.0005.00080070 5
f )489.621 400.00080.0009.000 600 201
g)841.596 800.000 40.0001.00050090 6
h)2.058.785 2.000.00050.0008.000700805
i)78.005.623 70.000.0008.000.000 5.000 600 20 3
j)123.123.123100.000.000 20.000.0003.000.000100.000 20.000 3.000100 20 3
k)41.748.256.123 40.000.000.0001.000.000.000 700.000.000 40.000.0008.000.000 200.00050.000 6.000100 20 3
 Determine a escrita aditiva dos números a seguir:
a) 65
b) 189
c) 2.452
d) 33.333
e) 75.341
f) 88.705
g) 874.856
h) 999.999
i) 2.541.623
j) 33.259.475
k) 888.888.888
l) 222.745.602.333
m) 3.505.606.859.444
n) 125.000.689.845.125
o) 159.156.152.157.623
p) 48.652
q) 63.127.236
r) 152.152.158
s) 748.863.945.623
 Escrita Aditiva e Multiplicativa: Como vimos todo número pode ser transformado em uma escrita aditiva. Através
desta escrita aditiva podemos transformar cada parcela obtida na soma em multiplicação de números múltiplos de
10.
Exemplos:
a )12  10  2  1 10  2 1
b) 48  40  8  4 10  8 1
c)148  100  40  8  1 100  4 10  8
d )876  800  70  6  8 100  7  10  6 1
e) 45.875  40.000  5.000  800  70  5  4 10.000  5  1.000  8  100  7 10  5 1
f )489.621 400.00080.0009.000600 201 4100.000810.00091.000610021011
g)841.596 800.000 40.0001.000500906  8100.000410.00011.000510091061
h)2.058.785 2.000.00050.0008.000700805  21.00.000510.00081.000710081051
i)78.005.623 70.000.0008.000.0005.000600 203 
 710.000.00081.000.00051.000610021031
j)123.123.123100.000.000 20.000.0003.000.000100.000 20.0003.000100203
1100.000.000 220.000.00031.000.000210.00031.000110021031
k)41.748.256.123 40.000.000.0001.000.000.000 700.000.000 40.000.0008.000.000 200.00050.0006.000100 203
 41.000.000.0007100.000.000 410.000.00081.000.0002100.000510.00061.0001100 21031
 Determine a escrita aditiva e multiplicativa em relação aos números do exercício anterior.
a) 49
b) 152
c) 666
d) 2.689
e) 148.652
f) 3.859.623
g) 41.062.58
h) 88.859.652
i) 79.651.489
j) 812.406.203
k) 436.849.452
l) 888.063.123
m) 1.258.149.631
n) 33.333.333.333
o) 148.652.485.901
p) 22. 444.555.666.777
q) 145.514415.852.953
 Escrita Polinomial ou Escrita Decomposta de um número
Escrita Polinomial de um número é baseada na escrita aditiva e multiplicativa. A diferença básica é que números
como 10, 100, 1.000, 10.000, 100.000, 1.000.000, e assim por diante, são trocados por potências de 10.
Potências de 10
a )100  1
h)107  10.000.000
b)101  10
i)108  100.000.000
c)10 2  100
j )109  1.000.000.000
d )103  1.000
k )1010  10.000.000.000
e)10 4  10.000
l )1011  100.000.000.000
f )105  100.000
m)1012  1.000.000.000.000.000
g )10 6  1.000.000
n)1013  10.000.000.000.000.000
Perceba que o expoente da potência de 10 determina a quantidade de zeros que aparecem nos números à direita.
Exemplos:
a)135  1  100  3  10  5  1  1  10 2  3  101  5  10 0
b)982  9  100  8  10  2  1  9  10 2  8  101  2  10 0
c)12.758  1  10.000  2  1.000  7  100  5  10  8  1  1  10 4  2  103  7  10 2  5  101  8  100
d )333.333  3  100.000  3  10.000  3  1.000  3  100  3  10  3  1 
3  105  3  10 4  3  10 3  3  10 2  3  101  3  10 0
Os quatros primeiros exemplos acima mostram primeiramente a escrita aditiva e multiplicativa, e posteriormente a
escrita polinomial.
Quando o aluno possuir dúvidas é ACONSELHÁVEL que escreva todo o processo, assim o fará de forma correta.
Os próximos exemplos mostram a escrita polinomial direta, sem a forma aditiva e multiplicativa. Tal situação
somente é ACONSELHÁVEL para os alunos que dominam a técnica e sabem o que fazer:
e)2.505.623  2 106  5 105  5 103  6 102  2 101  3100
f )17.526.358  1107  7 106  5 105  2 104  6 103  3 102  5 101  8 100
g )222.222.222  2 108  2 107  2 106  2 105  2 104  2 103  2 102  2 101  2 100
h)845.666.523.147  8 1011  4 1010  5 109  6 108  6 107  6 106  5 105  2 104  3103  1102  4 101  7 100
i)451.689.523.145.859  4 1014  5 1013  11012  6 1011  8 1010  9 109  5 108  2 107  3 106 1105  4 104  5 103  102  5 101  9 100
(OBSERVAÇÃO: os exercícios a seguir são referente a escrita polinomial. Faça primeiramente a escrita aditiva e
multiplicativa. Posteriormente faça a escrita polinomial. Quando tiver dúvidas observe os exemplos ou exercícios
resolvidos na apostila).
 Exercício: Determine a escrita polinomial em relação aos números do exercício anterior.
 Exercício: Determine a escrita polinomial dos números a seguir:
a) 88
b) 145
c) 806
d) 859
e) 748
f) 1.253
g) 22.351
h) 15.856
i) 412.809
j) 888.888
k) 987.523
l) 1.452.585
m) 41.512.658
n) 487.956.123
o) 1.526.987.451
p) 45.526.123.859
q) 415.875.999.651
r) 33.415.873.853.459
s) 777.777.777.777.777
 POTENCIAÇÃO
Esta operação abaixo é chamada de potenciação: 23 = 2 . 2 . 2 = 8
Neste caso o número 2 é a base, e o número 3 é o expoente, e o número 8 é a potência O expoente é o
número de vezes que a base irá se repetir, a potência é o resultado.
Observe estas potências:
52 = 5 . 5 = 25 → Cinco elevado à segunda potência.
43 = 4 . 4 . 4 = 64 → Quatro elevado a terceira potência.
Propriedades da Potenciação
* Toda potência de base 1 e expoente natural é igual a 1, ou seja sempre que a base for 1 a potência será
igual a 1.
Exemplos:
16 = 1 . 1. 1 . 1 . 1 . 1 = 1
14 = 1 . 1 . 1 . 1 = 1
* Todo número natural não-nulo elevado à zero é igual a 1.
Exemplo:
30 = 1
90 = 1
* Todo numero natural elevado a 1 é igual a ele mesmo.
Exemplo:
41 = 4 . 1 = 4
61 = 6 . 1 = 6
81 = 8 . 1 = 8
* Toda potência de base 10 é igual ao número formado pelo algarismo 1 seguido de tantos zeros quantos
forem as unidades do expoente.
Exemplo:
103 = 10 . 10 . 10 = 1000
105 = 10 . 10 . 10 . 10 . 10 = 100.000
Exemplos de cálculos de potências: Para determinarmos o cálculo de uma potência corretamente temos
que efetuar a primeira multiplicação entre as duas primeiras bases. Com o resultado obtido iremos multiplicá-lo com
a próxima base, e assim por diante.
LEMBRE-SE: POTENCIAÇÃO não é conta de multiplicação normal. Utilizamos nossos conhecimentos de multiplicação
para efetuarmos cálculos para a determinação do resultado da potência.
3
a) 2  2  2  2  8
(2  2  4  4  2  8)
3
b)10  10 10  10  1.000
(10 10  100  100 10  1.000)
4
c) 5  5  5  5  5  625
(5  5  25  25  5  125  125  5  625)
2
d ) 8  8  8  64
3
e) 6  6  6  6  216
(6  6  36  36  6  216)
5
f ) 2  2  2  2  2  2  32
(2  2  4  4  2  8  8  2  16  16  2  32)
Outros EXEMPLOS PRÁTICOS:
a)
30 = 1
b)
50 = 1
c)
20 = 1
d)
560 = 1
e)
51 = 5
f)
31 = 3
g)
52 = 5.5 = 25
h)
53 = 5.5.5 = 125
i)
54 = 5.5.5.5 = 625
j)
55 = 5.5.5.5.5= 3125
k)
32 = 9
l)
190 = 1
m)
191 = 19
n)
192 = 361
o)
01 = 0
p)
02 = 0.0 = 0
q)
03 = 0.0.0= 0
r)
04 = 0.0.0.0 = 0
s)
05 = 0.0.0.0.0 = 0
t)
1511 = 151
u)
17 = 1.1.1.1.1.1.1=1
 Exercícios:
1) Escreva as multiplicações de fatores iguais em uma potência:
a) 2×2×2×2=
b) 10 ×10× 10× 10× 10× 10× 10 ×10 =
c) 1x1x1x1x1x1x1x1x1=
d) 10x10x10x10x10x10x10x10x10=
e) 8x8x8x8x8=
f) 15x15x15=
g) 30x30=
h) 14x14x14x14x14=
i) 7x7x7x7=
j) 35x35x35=
k) 9x9x9x9x9x9x9=
l) 13x13=
m) 19x19x19x19x19=
n) 2x2x2x2x2x2x2x2x2x2=
o) 11x11x11x11=
p) 31x31x3x31=
2) Escreva cada potência como uma multiplicação de fatores iguais:
5
a) 2 
3
b)11 
4
c)10 
3
d )9 
7
e) 2 
4
f )3 
7
g) 4 
6
h) 5 
3
i) 7 
2
j )12 
2
k ) 30 
1
l )14 
3
m) 6 
500
n)1 
4
o) 5 
7
p) 2 
3) Determine o resultado das potências a seguir:
4
a) 2 
0
i) 7 
2
j )12 
2
k ) 30 
b)11 
c )10 
2
3
3
l )14 
9
m) 6 
5
n )1 
4
o ) 25 
d )9 
e) 2 
f )3 
g)4 
5
h) 5 
2
4
50
2
2
p ) 32 
4) Crie você 15 potências com números diferentes dos exercícios anteriores e calcule o resultado de cada
uma.
 Expressões Numéricas com potências e as operações de adição e subtração.
Para a resolução deste tipo de conta teremos que adotar o seguinte procedimento:
- primeiramente efetuamos as contas de potências;
- posteriormente efetuamos as contas de adição ou subtração, conforme o caso.
Exemplos Resolvidos:
4
3
a ) 2  2  16  8  24
2  2  2  2  16
2 2 2  8
b)7 3  5 2  343  25  318
7  7  7  343
5  5  25
c)103  10 2  101  1.000  100  10  1.110
10  10 10  1.000
10  10  100
d )33  53  43  27  125  64  88
3  3  3  27
5  5  5  125
4  4  4  64
e)8 2  7 2  64  49  113
8  8  64
7  7  49
f )152  132  14 2  225  169  196  252
15 15  225
13 13  169
14  14  196
g )212  182  15 2  441  324  225  342
21 21  441
18 18  324
15 15  225
h)1100  180  148  1200  1  1  1  1  2
i)10 4  103  10 2  10 2  10.000  1.000  100  100  10.800
 Exercício: Resolva as expressões numéricas a seguir:
a ) 2 2  2 2  32 
b)53  63  7 2 
c)103  122  14 2 
d )30 2  252  12 2 
e)93  7 3  51 
f )212  202  152 
g )312  30 2  292 
h)82  52  4 3 
i)452  352  5 2 
j )182  17 2  16 2 
k )122  132  14 2 
l )252  242  232 
 Exemplos Resolvidos similares ao da
apostila:
1) Com os algarismos 2, 3 , 4 e 5, escreva todos os números de 3 dígitos distintos possíveis que começam com 2 e
com 3:
Começando com 2: 234, 235, 243, 245, 253, 254
Começando com 3: 324, 325, 342, 352, 345, 354
2) Com os algarismos 5, 6 , 7, 8 e 9, determine:
a) o maior número de 04 algarismos distintos que conseguimos escrever: 9.876
b) o menor número de 04 algarismos distintos que conseguimos escrever: 5.678
3) Escreva todos os números possíveis de 02 dígitos distintos que conseguimos escrever com os algarismos 1, 2, 3 e
4.
12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43.
4) Determine a soma entre o maior e menor número de 4 dígitos distintos que podemos escrever com os algarismos
5, 7, 6 e 3.
Maior número: 7.653
 Soma: 7.653  3.567  11.220
Menor número: 3.567
5) Calcule a diferença entre o maior e o número de 5 dígitos distintos que conseguimos escrever com os algarismo 4,
5, 6, 7, 8 e 9.
Maior número: 98.765
 Diferença: 98.765  45.678  53.087
Menor número: 45.678
 Exercícios
1) Com os algarismos 4, 5 e 7, escreva todos os números de 2 dígitos distintos.
2) Com os algarismos 4, 5 e 7, escreva todos os números de 3 dígitos distintos.
3) Com os algarismos 5, 6, 8 e 9, escreva todos os números pares de 2 dígitos distintos que podemos escrever.
4) Com os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6, escreva o maior número de 4 dígitos distintos que podemos escrever.
5) Com os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6, escreva o menor número de 4 dígitos distintos que podemos escrever.
6) Com os algarismo 2, 3, 4, 5 e 6, escreva o maior e o menor número de 5 dígitos distintos que podemos escrever.
7) Determine a soma entre o maior e o menor número de 3 dígitos distintos que podemos escrever com os
algarismos 6, 7, 8 e 9.
8) Determine a soma entre o maior e o menor número de 5 dígitos distintos que podemos escrever com os
algarismos 3, 4,6, 7, 8 e 9.
9) Determine a diferença entre o maior e o menor número de 3 dígitos distintos que podemos escrever com os
algarismos 6, 7, 8 e 9.
10) Determine a diferença entre o maior e o menor número de 5 dígitos distintos que podemos escrever com os
algarismos 3, 4,6, 7, 8 e 9.
11) Com base nos algarismos 2, 3, 5, 6, 7 e 9, escreva:
a) o maior número par de 4 algarismos distintos;
b) o menor número par de 4 algarismos distintos;
c) o maior e o menor número de 03 algarismos distintos;
d) o maior e o menor número de 5 algarismos distintos;
e) a soma entre o maior e o menor número de 6 dígitos distintos;
f) a diferença entre o maior e o menor número de 4 dígitos distintos.