Modelagem Matemática e Pensamento Matemático Avançado: Um

Modelagem Matemática e Pensamento Matemático Avançado: Um
Estudo à Luz dos Três Mundos da Matemática
Mestranda: Bárbara Nivalda Palharini Alvim Sousa1
Orientadora: Prof Drª Lourdes Maria Werle de Almeida2
Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática
Universidade Estadual de Londrina – UEL
Resumo
Neste artigo apresentamos o projeto da pesquisa que pretendemos desenvolver. O principal referencial teórico
diz respeito a teoria desenvolvida por David Tall em busca do desenvolvimento do pensamento matemático nos
Três Mundos da Matemática: mundo corporificado, mundo simbólico proceptual e mundo axiomático formal. A
pesquisa visa investigar se o envolvimento de alunos com atividades de modelagem matemática oportuniza
passar por estes Três Mundos da Matemática e, se a partir da “viajem” dos estudantes por estes mundos, é
possível chegar ao pensamento matemático avançado que se dá, de acordo com David Tall, no mundo axiomático
formal. A coleta de dados será feita por meio de observações diretas dos estudantes envolvidos em atividades de
modelagem matemática, questionários, entrevistas e anotações em caderno de campo durante uma disciplina de
Modelagem Matemática em um curso de Licenciatura em Matemática.
Palavras-Chave: Modelagem Matemática. Pensamento Matemático Avançado.
1. Introdução
Neste artigo apresentamos um trabalho de pesquisa que será desenvolvido no
Programa de Pós Graduação em Ensino de Ciências e Educação Matemática da Universidade
Estadual de Londrina. O objetivo principal da pesquisa consiste em investigar como se dá o
pensamento matemático avançado em alunos de graduação num ambiente que envolve a
modelagem matemática. Utilizaremos nessa pesquisa uma teoria emergente sobre o
desenvolvimento cognitivo do pensamento matemático, citada por David Tall em suas
pesquisas, que nos diz que o desenvolvimento do pensamento matemático pode ser
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categorizado em mundos do pensamento matemático, sendo eles, o mundo conceitual
corporificado, mundo simbólico proceptual e mundo axiomático formal. David Tall afirma
que diferentes indivíduos “viajam” através dos diferentes mundos do pensamento matemático.
Nossa pesquisa terá o foco no ensino e aprendizagem de matemática usando
como alternativa pedagógica modelagem matemática, analisando significados atribuídos pelos
estudantes para que se possa verificar a “viajem” dos estudantes através dos três mundos do
pensamento matemático citados por Tall (2004d), com o intuito de chegar ao pensamento
matemático avançado. Segundo Gray et al. (1999) o estudante tem uma transição do
pensamento matemático elementar para o pensamento matemático avançado. Neste contexto, a
pesquisa visa investigar como ocorrem estas transições de pensamento quando o aluno está
envolvido em atividades de Modelagem Matemática.
Neste trabalho fazemos uma breve abordagem do referencial teórico que será
usado para dar sustentabilidade à pesquisa, e apresentamos uma descrição preliminar do
caminho metodológico que pretendemos seguir.
2. Referencial Teórico
O referencial teórico que fundamenta este projeto envolve a teoria dos Três
Mundos da Matemática de David Tall, uma caracterização do pensamento matemático
avançado e a Modelagem Matemática como alternativa pedagógica.
2.1. Os Três Mundos da Matemática
A perspectiva que David Tall vem colocando, sobre o desenvolvimento
matemático (Tall, 2004d, 2007 e Gray et al., 1999) tenta caracterizar o desenvolvimento do
pensamento matemático em três distintos, mas relacionados mundos do pensamento
matemático. Tall afirma que diferentes indivíduos podem desenvolver diferentes caminhos em
seus desenvolvimentos cognitivos de crescimento matemático pessoal. Primeiramente, para
fundamentar sua teoria, Tall (2004d) coloca o pensamento matemático por meio de várias
teorias, como, por exemplo, as abstrações empírica, pseudo-empírica e reflexiva de Piaget,
baseadas na percepção, ação e reflexão de objetos, e os modos de representação mental
sensório-motor, icônico e simbólico colocados por Brunner (1966). Tall utiliza os trabalhos de
3
Lakoff para enfatizar a grande preocupação com o pensamento axiomático formal, e coloca
então sua teoria do desenvolvimento do pensamento matemático apresentando os mundos:
·
Mundo Conceitual Corporificado ou apenas Mundo Corporificado cresce a partir
das nossas percepções do mundo e consiste no nosso pensamento a respeito das coisas
que percebemos e sentimos não apenas no mundo físico, mas no nosso próprio mundo
mental de significado3 (Tall, 2004d).
·
Mundo Simbólico Proceptual é o mundo dos símbolos que usamos para cálculos e
manipulação em aritmética, álgebra, cálculo e assim por diante. Estes começam com
ações (tal como apontar e contar) que são encapsuladas como conceitos pelo uso de
símbolos que nos permitem mudar dos processos para se fazer matemática para os
conceitos de pensar sobre4 (Tall, 2004d). É neste mundo que encontramos os símbolos
do cálculo e da aritmética que envolve os proceptos (processos e conceitos)
encapsulando objetos.
·
Mundo Axiomático Formal é baseado em propriedades, expressas em termos de
definições formais que são usadas como axiomas para especificar as estruturas
matemáticas (como, por exemplo, ‘grupo’, ‘campo’, ‘espaço vetorial’ e ‘espaço
topológico’)5(Tall, 2004d).
2.2. O Pensamento Matemático Avançado
Inicialmente, nos perguntamos em que consiste o pensamento matemático
avançado que julgamos desejável em alunos de graduação de um curso de Licenciatura em
Matemática.
3
Tradução nossa, do original “grows out of our perceptions of the world and consists of our thinking about
things that we perceive and sense, not only in the physical world, but in our own mental world of meaning”.
4
Tradução nossa, do original “is the world of symbols we use for calculation and manipulation in arithmetic,
algebra, calculus and so on. These begin with actions (such as pointing and counting) that are encapsulated as
concepts by using symbol that allow us to switch effortlessly from processes to do mathematics to concepts to
think about”.
5
Tradução nossa, do original “is based on properties, expressed in terms of formal definitions that are used as
axioms to specify mathematical structures (such as ‘group’, ‘field’, ‘vector space’, ‘topological space’ and so
on).”
4
Para responder a pergunta nos baseamos nos artigos de Costa (2002), Gray et
al. (1999) e Tall (2005). Costa expõe o sentido atribuído ao pensamento matemático avançado
por meio de alguns autores entre eles David Tall. Costa (apud Dreyfus (2002)) coloca o
sentido do pensamento avançado como “uma série de processos que interagem entre si, como
por exemplo os processos de representar, visualizar, generalizar, ou ainda outros tais como
classificar, conjecturar, induzir, analisar sintetizar, abstrair ou formalizar”. Ainda no artigo de
Costa temos a visão de Gray (1999) sobre o sentido em que o pensamento matemático
avançado tem sido usado, “no sentido do pensamento de matemáticos profissionais criativos
quando imaginam, conjecturam e provam teoremas”. O autor coloca ainda que esse termo se
aplica também ao pensar dos estudantes aos quais foram apresentados definições e teoremas
criados por outros e se lhes pede a construção de um conceito.
Ao falar do pensamento matemático avançado, Tall (2005) argumenta que “o
desenvolvimento cognitivo tem particularidades especificas em cada pessoa, baseados em um
conjunto “set-before” da estrutura mental que já nasce com a pessoa, e um conjunto “metbefore” estruturado a partir de experiências e capacidades mentais desenvolvidas”6. Levando
em consideração a argumentação de Gray et al. (1999), podemos considerar que o
desenvolvimento matemático do indivíduo se dá do pensamento matemático elementar para o
pensamento matemático avançado, ou seja, do pensamento elementar para o pensamento da
prova, da conjectura e da análise matemática.
O movimento a partir do elementar para o pensamento matemático avançado
envolve uma transição significativa: isso da descrição à definição, do
convencimento à prova em uma maneira lógica baseada naquelas
definições... É a transição da coerência da matemática elementar a
conseqüência da matemática avançada, baseada nas entidades abstratas que o
indivíduo deve construir através das definições formais7 (Gray et al. ,1999
p. 12).
6
Tradução nossa, do original “Cognitive growth is revealed as a story of each individual born differently
endowed with an underlying set-before structure and having a variety of experiences that construct met-befores
used later to develop highly individual mental capacities”.
7
Tradução nossa, do original “The move from elementary to advanced mathematical thinking involves a
significant transition: that from describing to defining, from convincing to proving in a logical manner based on
those definitions. … It is the transition from the coherence of elementary mathematics to the consequence of
advanced mathematics, based on abstract entities which the individual must construct through deductions from
formal definitions”.
5
O pensamento matemático elementar se dá nos mundos conceitual
corporificado e simbólico proceptual. Segundo Tall (2004d), cada um dos Três Mundos da
Matemática tem seus próprios mandados de verdade, mas em seus dois mundos iniciais do
pensamento a prova se dá por meio de observações, percepções e cálculos. No mundo
axiomático formal o estudante desenvolve então o pensamento matemático avançado. Tendo
na mente processos e conceitos que foram aperfeiçoados na passagem pelos dois mundos
anteriores e tem agora, a partir de propriedades e axiomas, deduzir teoremas e desenvolver o
pensamento lógico dedutível.
A partir desta caracterização, assumimos que o pensamento matemático
avançado é desejável em alunos de um curso de Licenciatura em Matemática.
Cabe à estrutura do curso e aos professores viabilizar ao aluno o
encobrimento com atividades que lhe oportunizem esta transição de pensamento em
matemática. É neste contexto que abordamos a modelagem matemática como alternativa
pedagógica.
2.3. Modelagem Matemática na Educação Matemática
Segundo D’Ambrosio (2002), de forma geral a origem das idéias
matemáticas é resultado de um processo que procura explicar e entender fatos e fenômenos
observados na realidade. O desenvolvimento destas idéias e sua organização intelectual dão-se
a partir de elaborações sobre representações da realidade. Estas representações da realidade
constituem o que chamamos de “modelos matemáticos”. A modelagem matemática consiste
na obtenção, aplicação e validação destes modelos.
No âmbito da Educação Matemática, modelagem matemática tem sido
apontada por diversos educadores matemáticos como uma alternativa pedagógica que visa
relacionar matemática escolar com questões extra-matemáticas. Neste trabalho, assumimos o
entendimento de modelagem já apresentado em Almeida e Brito (2005), como sendo uma
alternativa pedagógica na qual fazemos uma abordagem, por meio da Matemática, de um
problema não essencialmente matemático.
Segundo Almeida (2006), o desenvolvimento de uma atividade de
modelagem matemática em sala de aula envolve um conjunto de ações que vão desde a
definição de uma situação problema e passam pela identificação e seleção das variáveis mais
6
importantes, a elaboração das hipóteses simplificadoras, a obtenção de um modelo matemático
e sua resolução por meio de procedimentos adequados levando à analise do modelo obtido,
confrontando as soluções com os dados reais observados. Este confronto pode sugerir a
complementação ou o aperfeiçoamento do modelo, conferindo um caráter essencialmente
dinâmico à atividade.
Lingefjärd (2001), ao abordar a definição de modelagem matemática, coloca
a importância que a modelagem tem na análise matemática e conjectura de modelos. Segundo
o autor em um ambiente de modelagem matemática o aluno pode ter acesso a análises
matemáticas para aplicar ao respectivo modelo podendo assim desenvolver o pensamento
matemático avançado.
Modelagem Matemática é, sem margem para dúvidas muito mais do que
apenas tomar uma situação, geralmente a partir de um mundo real, e
utilizando variáveis e uma ou mais funções elementares que se enquadram no
âmbito dos fenômenos considerados para se chegar a uma conclusão que
pode então ser interpretada à luz da situação original. Modelagem
matemática pode ser definida como um processo matemático que envolve
observação a um fenômeno, conjeturando relacionamentos, aplicando
análises matemáticas (equações, estruturas simbólicas, etc), obtendo
resultados matemáticos, e reinterpretando o modelo (p. 96)8.
Segundo Barbosa (2001)
Modelagem pode ser entendida em termos mais específicos. Do nosso ponto
de vista, trata-se de um ponto de vista, trata-se de uma oportunidade para os
alunos indagarem situações por meio de matemática sem procedimentos
fixados previamente e com possibilidades diversas de encaminhamento. Os
conceitos e idéias matemáticas exploradas dependem do encaminhamento
que só se sabe à medida que os alunos desenvolvem a atividade. Porém,
alguns casos podem ser mais propícios a alguns conceitos matemáticos... (p.
5).
Modelagem matemática é assim um modo de encarar a realidade, uma
perspectiva de se ensinar e aprender matemática por meio de situações não essencialmente
matemáticas.
8
Tradução nossa, do original “Mathematical modeling is beyond doubt much more than just taking a situation,
usually one from the real world, and using variables and one or more elementary functions that fit the phenomena
under consideration to arrive at a conclusion that can then be interpreted in light of the original situation.
Mathematical modeling can be defined as a mathematical process that involves observing a phenomenon,
conjecturing relationships, applying mathematical analyses (equations, symbolic structures, etc.), obtaining
mathematical results, and reinterpreting the model”
7
Neste sentido, ao se envolver nas diferentes ações que integram uma
atividade de modelagem matemática, é vislumbrada a possibilidade de observar a transição de
um pensamento elementar para o pensamento matemático avançado.
3. Problemática
O pensamento matemático avançado é algo desejável em estudantes de
graduação. Especialmente de um curso de Licenciatura em Matemática e de difícil acesso por
parte dos estudantes.
Todavia, para fazer com que o aluno alcance este pensamento é preciso
envolvê-lo em atividades que o encaminhe nesta direção.
Assim, levando em consideração os Três Mundos da Matemática definidos
por Tall (mundo corporificado, mundo simbólico proceptual e mundo axiomático formal) e a
perspectiva definida pelo autor de que é no mundo axiomático formal que a expressão do
pensamento matemático avançado está mais evidente, estamos interessados em investigar a
problemática:
O envolvimento de alunos de um curso de Licenciatura em Matemática com
atividades de modelagem e o alcance do pensamento matemático avançado neste contexto.
4. Metodologia
Pretendemos trabalhar com alunos do 4º ano do curso de Licenciatura em
Matemática na disciplina de Modelagem Matemática no primeiro semestre de 2009.
A natureza da metodologia adotada para esta pesquisa pode ser caracterizada
como qualitativa, pois enfatiza o processo das atividades e o produto das mesmas sendo que o
pesquisador é um observador direto da realidade pesquisada.
A coleta de dados se dará por observações diretas dos alunos envolvidos nas
atividades de modelagem matemática propostas durante as aulas, com a perspectiva de
observar se o aluno está ou não desenvolvendo o pensamento matemático avançado, como
caracterizado anteriormente. Para esta observação levamos em consideração o referencial dos
Três Mundos da Matemática e a passagem dos alunos por estes mundos até o mundo
axiomático formal definido acima como o mundo em que o pensamento matemático avançado
ocorre. Consideramos a observação direta por parte dos pesquisadores de extrema importância
8
na pesquisa já que é importante a descrição das atividades, dos alunos e de todos os
acontecimentos ocorridos em sala de aula.
Outros instrumentos para coleta de dados serão o caderno de campo,
questionários e entrevistas.
Com o caderno de campo pretendemos colher informações detalhadas sobre
as aulas. Utilizaremos os questionários para observar o desenvolvimento dos alunos de acordo
com a atividade programada. Caso seja observada alguma deficiência de informação nas
observações feitas e dados coletados, utilizaremos entrevistas com o respectivo aluno para
sanar tais dúvidas. Tais instrumentos de coleta de dados juntamente com a observação direta
do pesquisador são características da pesquisa qualitativa.
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